La Value at Risk ou Capital at Risk - Freeensiiefinance.free.fr/club/Rapport4.pdf · L'aventure de...

RASSAT Valérie Le 15 Janvier 2001

MOUSSA Imène

MAHJOUB Selma

Value at Risk

Projet encadré par M.DESVILLES

Marchés Financiers

I. LES MARCHES FINANCIERS, UN MONDE RISQUE 3

I.1. QUELS RISQUES FINANCIERS ? 3

I.2. QUAND LES RISQUES NE SONT PAS MESURES 3

II. LA VAR, UN OUTIL DE MESURE DES RISQUES FINANCIERS 4

II.1. PREMIERE APPROCHE 4

II.2. RESOLUTION 4

II.2.A METHODE EMPIRIQUE 5

II.2.B PORTFOLIO NORMAL METHOD ET ASSET NORMAL METHOD 5

II.2.C METHODE STRESS-TESTING 6

II.2.D SIMULATIONS DE MONTE CARLO 6

II.2.E METHODE DELTA-NORMALE 8

III. PROBLEMATIQUE 9

III.1. ETUDE THEORIQUE 9

III.1.A CAS D'UNE OBLIGATION 9

III.1.B CAS D'UNE OPTION 10

III.2. APPLICATION NUMERIQUE 11

III.2.A CAS D‟UNE OBLIGATION (APPOBLIGATION EN ANNEXE) 11

III.2.B CAS D‟UNE OPTION (APPOPTION EN ANNEXE) 13

IV. LE MODELE D'EVALUATION DELTA-GAMMA 16

IV.1. HYPOTHESES 16

IV.2. METHODES DE RESOLUTION 17

IV.2.A MÉTHODE 1: SOLUTION TABLEUR „SPREADSHEET‟ 17

IV.2.B METHODE 2: SOLUTION NUMERIQUE RAPIDE 18

IV.3. ILLUSTRATION PAR LA METHODE SPREADSHEET 20

IV.3.A CAS D‟UNE SEULE OBLIGATION 20

IV.3.B CAS DE PLUSIEURS OBLIGATIONS 21

V. ANNEXE 22

V.1. MACRO MAIN DU FICHIER APPOBLIGATION.XLS 22

V.2. MACRO MAIN DU FICHIER APPOPTION.XLS 23

Marchés Financiers

I. Les marchés financiers, un monde risqué

I.1. Quels risques financiers ?

L'essence même des marchés financiers étant de réaliser la synthèse des valeurs échangées et

d'anticiper les fluctuations de ces valeurs, la notion de risque est prépondérante.

Les opérateurs sont en effet confrontés à maints risques, risque de change, risque de taux et

autres, c'est pourquoi les organismes financiers doivent se préoccuper de mesurer les risques.

I.2. Quand les risques ne sont pas mesurés

Quelques exemples historiques ont motivé les organismes financiers à mesurer de plus en plus

précisément le risque associé à leurs diverses activités.

L'aventure de Nick Leeson, un trader de la Barings exerçant sur le marché du Nikkei, illustre

combien il est important pour les banques de mesurer le risque associé à leur activité de

trading. Ce trader qui venait de perdre une somme importante, décida de reconquérir des

fonds en réalisant de gros gains sur spéculation, il misa sur la stabilité du Nikkei. Il prit, en

réalité, de gros risques. Le marché lui fut alors défavorable. Espérant sans cesse que le marché

lui soit favorable, il répéta cette opération sur des montants de plus en plus importants

jusqu'au jour où la Barings fit faillite.

Bien que cet exemple n'ait pas été le seul du genre, il n'est pas nécessaire ici d'en multiplier

les récits.

Citons également la crise de 1994. En 1993, les banques exerçant des activités obligataires

pouvaient raisonnablement évaluer le risque de leurs positions à quelques pour cent et espérer

compenser partiellement la perte dans une monnaie par un gain dans une autre. Mais en

février 1994, la hausse du taux d'escompte décidé par la Réserve fédérale américaine créa une

onde de choc qui se propagea dans l'ensemble des marchés financiers mondiaux. Les banques

se sont alors trouvées devant une situation où leurs obligations perdaient jusqu'à 10 % de leurs

valeurs, et ce dans toutes les monnaies en même temps et en quelques semaines.

Marchés Financiers

II. La VaR, un outil de mesure des risques financiers

II.1. Première approche

La méthode de la Value at Risk définit la perte maximale possible sur un instrument dont la

possibilité d‟occurrence à un horizon donné est inférieure à un certain niveau par exemple

1%. Le calcul de la VaR est destiné à formuler le constat suivant : « Nous sommes surs a X %

de ne pas perdre plus de V dollars dans les N prochains jours ». La Basles Commitee a adopté

N = 10 et X = 99.

La VaR n‟est pas unique et dépend de deux paramètres.

D‟une part, on fixe l‟intervalle de confiance. Si la probabilité que la perte dépasse en valeur

absolue un certain seuil est trop faible, la banque risque d‟attendre plusieurs années avant de

valider un modèle de calcul douteux car passant par les points extrêmes de distributions

approchées, si elle est trop grande elle sera plus une mesure du bruit statistique qu‟un

indicateur de risque car alors la perte réelle dépassera plus probablement la perte estimée. Cet

intervalle de confiance reflète le degré d‟aversion au risque d‟une banque. Ainsi, Bankers

Trust utilise un niveau de 99%, alors que J.P. Morgan se contente de 95%.

D‟autre part, La période est choisie selon la nature du portefeuille. L‟horizon sera court (un

jour) pour les activités de trading d‟instruments liquides, on peut l‟allonger pour les

instruments illiquides, mais on bute alors sur la limite de prédictibilité de la volatilité et sur

l‟hypothèse certainement fausse qu‟on ne réagira pas durant la période. Il s‟agit de trouver un

juste milieu entre les coûts d‟une surveillance fréquente du risque et les bienfaits de la

détection à temps de risques potentiels.

II.2. Résolution

Le calcul de la VaR est une activité critique pour toute institution financière. Le problème

étant posé, il reste à surmonter les obstacles de mise en œuvre.

D‟un côté, les méthodes statistiques simples offrent des solutions certes valables mais qui

n‟intègrent pas entièrement la réalité. De l‟autre côté, il y a des méthodes plus robustes basées

sur des techniques de simulation mais qui requièrent un investissement de taille.

Voici les méthodes classiques pour le calcul de la VaR, la méthode delta-gamma-normale sera

développée ultérieurement :

Marchés Financiers

II.2.a Méthode empirique

Calcul

Cette méthode est souvent choisie car elle est considérée comme plus robuste et intuitive que

les méthodes qui se basent sur des modèles. Elle s‟appuie sur une technique de simulation qui

utilise les variations des taux d‟intérêts historiques {St}, t = -T..0. Elle consiste à choisir une

longue série de taux, calculer les séries temporelles des changements de la valeur du

portefeuille en utilisant les fonctions de prix P(S) et déterminer la Value at Risk en examinant

les valeurs extrêmes des revenus générées par la simulation.

Hypothèses

La méthode empirique suppose que les variations de prix sont décrites par la distribution

empirique. L‟utilisation de données historiques permet de se débarrasser des problèmes

inhérents à la modélisation mathématique du risque (distribution des prix, calculs de

corrélations, de volatilité…). Si la méthode est suivie littéralement, aucune hypothèse n‟est

faite concernant les fonctions de prix.

Cependant, en pratique, la méthode est difficile à implémenter car elle nécessite une

nouvelle simulation chaque fois que le risque doit être calculé.

Application

La simulation historique s‟applique bien aux structures qui se décomposent en cash flows non

contingents (swaps, forwards, futures …), elle capture cependant mal les options et les

corrélations entre devises.

II.2.b Portfolio normal method et asset normal method

Calcul

Cette méthode considère que le risque est multiple de l‟écart type des revenus sur le

portefeuille :

VaR = α σp

avec σp écart type des revenus sur portefeuille et α la constante qui correspond à un intervalle

de confiance donné pour une distribution normale standard.

Hypothèses

Le calcul n‟est justifié que pour un portefeuille dont le revenu est distribué normalement, soit

ΔP ~ N(μp,σp).

Pour adopter cette hypothèse, la méthode portfolio-normal suppose directement que les

retours sur portefeuille sont distribués normalement. Alors que la méthode asset-normal

suppose que le vecteur des revenus individuels de taille M*1, soit ΔP ~ N(μ, Σ), avec µ

vecteur de revenus pour chaque position et Σ matrice de covariance. Comme le portefeuille

est combinaison linéaire des différentes positions, il suit une loi normale de moyenne μp = e‟

μ et de variance σp ² = e‟Σe avec e vecteur colonne unité de taille M*1.

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Application

La méthode portfolio-normal est utilisée traditionnellement dans deux cas : d‟une part, si le

portefeuille est composé d‟un grand nombre de positions identiques mais indépendantes, on

peut donc conclure que la distribution du portefeuille est approximativement normale, d‟autre

part, si l‟on décide de développer une méthodologie du risque rapide et grossière.

La méthode asset-normal se heurte à un problème quand le nombre de position N est du

même ordre que M le nombre de taux d‟intérêt qui déterminent la valeur du portefeuille. Si

par exemple, le portefeuille est composé de 100 positions toutes dépendantes sur le taux

d‟intérêt court terme, mieux vaut réduire les dimensions et se focaliser sur cette variable

qu‟estimer une matrice de corrélation. La méthode paramétrique décrite ultérieurement adopte

cette solution.

II.2.c Méthode Stress-Testing

Calcul

Il s‟agit d‟une méthode complémentaire qui permettent d‟évaluer les performances d‟un

portefeuille à la suite de chocs boursiers similaires à ceux des 10 ou 20 dernières années.

Ainsi, pour calculer l‟impact d‟un choc qui toucherait les prix d‟actions, on propage toutes les

variations des sous-jacents proportionnellement à celles enregistrée le 19 octobre 1987 –

quand la S&P 500 a varié de 22.3 écarts types.

Application

Ces tests peuvent être considérés comme une façon de prendre en compte les événements

extrêmes qui peuvent arriver de temps à autre mais qui sont virtuellement impossible selon

les distributions probabilistes supposées sur le marché. Ainsi, une variation de 5 écart-types

pendant une journée d‟une variable de marché arrive une fois tous les 7000 ans sous

l‟hypothèse d‟une distribution normale. En réalité, cet événement a lieu une à deux fois tous

les 10 ans.

Hypothèses

Primo, cette méthode néglige les corrélations entre positions. Secundo, elle ne prend pas en

compte la sensibilité du portefeuille par rapport à chaque facteur, elle « pousse » tous les

facteurs du même écart type. Tertio, elle suppose que le maximum de risque encouru, l‟est

pour les valeurs extrêmes dans la distribution des taux.

II.2.d Simulations de Monte Carlo

Calcul

Comme l‟approche empirique, la méthode de Monte Carlo calcule la Value at Risk en lisant

directement la distribution du portefeuille qui a été simulée, sauf qu‟il se base sur un modèle

spécifique d‟évolution des taux plutôt que sur les changements historiques.

La VaR se calcule selon le fractile approprié de la distribution de ΔP, variation de la valeur du

portefeuille. En effet, supposons qu‟on calcule 5000 échantillons de ΔP. La VaR à 99%/1jour

est la valeur de ΔP correspondant au cinquantième pire revenu.

Supposons qu‟on veuille calculer la VaR journalière d'un portefeuille, voici la procédure à

suivre :

Marchés Financiers

1. calculer la valeur du portefeuille aujourd‟hui en utilisant les valeurs actuelles des

variables du marché,

2. échantillonner les changements des variables du marché suivant la loi normale

multivariée,

3. déterminer les valeurs de fin de journée des variables du marché à partir de

l‟échantillon,

4. réévaluer le portefeuille,

5. soustraire la valeur du portefeuille calculée à la première étape de celle calculée

à la quatrième étape pour déterminer ΔP,

Hypothèses

L‟évolution de chaque facteur de risque du marché doit être modélisée pour implémenter la

méthode. Même si certaines hypothèses sont énoncées concernant les fonctions de prix, la

distribution simulée se base sur les fonctions de prix actuel.

Application

Cette méthode comme la méthode empirique de grandes capacités informatiques parce qu'un

portefeuille est réévalué plusieurs fois, un portefeuille pouvant se composer de milliers

d‟instruments. Elle nécessite aussi un énorme investissement en terme d‟infrastructure pour

développer et maintenir le modèle de risque.

Nous avons utilisé la méthode de Monte Carlo dans un souci de comparaison avec la

méthode delta-gamma-normale exposée ultérieurement. Ainsi avons nous échantillonné 5

milles variations de la loi normale.

Nous avons d'abord calculé les valeurs du taux de marché pour ensuite calculer la VaR.

Nous avons trié les valeurs de la VaR et nous avons comparé la 50ème

valeur égale à

(-117,08) – la VaR étant calculée à 99%- à celle obtenue par la méthode delta-gamma-

normale.

Les résultats étaient probants, cependant vu que nous avons étudié le comportement d‟un

portefeuille ne contenant qu‟un seul actif financier, les valeurs obtenues n‟étaient pas

significatives.

Marchés Financiers

II.2.e Méthode delta-normale

Calcul

La Value at Risk est considérée comme un multiple de l‟écart type :

VaR = α σp t

avec σp écart type du portefeuille et α est une constante définie par Proba(X< α)=k X variable

aléatoire suivant une loi normale standard et k valeur seuil pour l‟intervalle de confiance.

Hypothèses

La méthode δ-normale se base sur deux hypothèses. D‟abord, nous supposons que les taux

sont distribués normalement avec une moyenne nulle :

ΔS ~ N(0, Σ Δt)

avec Σ matrice de corrélation de taille M*M et Δt période de liquidation par rapport à une

base annuelle.

Ensuite, on suppose que les changements de prix ont aussi une distribution normale, soit on

approche le prix par un premier ordre dans la série de Taylor :

ΔP = θ Δt + δ‟ ΔS + o(2)

Ou encore ΔP ≈ θ Δt + δ‟ ΔS, θ = ∂P(S)/ ∂t et δ = ∂P(S)/ ∂S matrice de duration de taille M*1.

Ainsi, le changement de prix a aussi une distribution normale comme combinaison linéaire de

distributions normales :

ΔP ~ N(θ, δ‟ Σ δ Δt)

D‟où, la formule de calcul de la VaR :

VaR = α σ t

avec σ = δ‟, α étant la constante définie par la loi normale standard pour un intervalle de

confiance donné. Par exemple, α = 2 pour un intervalle de confiance de 97.5%.

Application

Cette méthode capture certes la corrélation entre les facteurs de risque du marché, elle ne

permet cependant pas une bonne approche du risque parce qu‟elle néglige le γ-risque lié à la

convexité. Elle ne peut être utilisée que pour le calcul de la VaR sur un horizon de temps

limité pour un portefeuille composé d‟actions, d‟obligations, de devises et de certains produits

dérivés.

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III. Problématique

Pour illustrer les limites de la méthode delta-normal, nous nous proposons dans cette partie

d‟évaluer par les deux approches, linéaire et quadratique, deux produits financiers, à savoir

une obligation et une option.

Vous trouverez avec ce rapport deux fichiers Excel, AppObligation.xls et AppOption.xls, qui

présentent les résultats suivants.

III.1. Etude théorique

III.1.a Cas d'une obligation

Soit une obligation émise sur T années avec un taux d‟intérêt r variable et un taux de coupon

Ct .

La valeur actuelle des futurs cash flows est alors :

P =T

tt

t

r

C

1 1

Duration :

La maturité de l‟obligation est en réalité un facteur peu précis de mesure de risque en ce sens

qu‟elle ne prend en compte que le repayement du principal et ignore tous les payements de

coupons. Au contraire, la duration nous fournit une meilleure approche du risque sur une

obligation puisqu‟elle prend en compte tous les payements intermediaires. De plus la

duration mesure par definition la sensibilité du prix du produit aux mouvements des taux

d‟intérêts.

C‟est pour cela que la duration constitue un meilleur outil de mesure de risque.

C‟est ainsi qu‟on définit la duration par D vérifiant :

r

D

dr

dP

P 1

1

ou encore dyDP

dP * où r

DD

1

*

Par exemple :

Soit un portefeuille de $100 million investits sur 5 ans. Si dans les 40 dernières années, le

taux de perte à 95% de la valeur sur un mois a été de –1.7%, alors il y a seulement 5% de

chance que le portefeuille perde plus que $100 million de fois –1.7% soit $1.7 million.

Cette perte peut aussi être obtenue en multipliant la duration par la hausse des taux.

Supposons qu‟une obligation de 5 ans donne une maturité de 4.5 ans. Si la pire hausse des

taux sur un mois avec un intervalle de confiance à 5% atteint 0.38%, alors la pire perte est

donnée par :

Marchés Financiers

Pire perte = duration * valeur du portefeuille * pire hausse des taux

= 4.5 ans * $100m * 0.38%

= $1.7m

Limites de la duration :

La duration est certes un moyen efficace pour la mesure du risque mais elle parait limitée

dans certains cas. En effet, elle ne peut mesurer le risque que pour les mouvements

“parallèles” et infiniment petits des taux d‟intérêts. On entend par mouvements “parallèles”

le fait que le mouvement des taux d‟intérêts sont uniformes dans tous les intervalles compris

entre les différents payements de coupons; ce qui traduit très mal la réalité des marchés.

La seconde limitation de la duration est qu‟elle présente une approximation linéaire du risque,

ce qui n‟est valide que pour des variations infinitesimales des taux d‟intérêts. Par contre,

quand des mouvements brusques surviennent, des termes supérieurs dans la dérivée du prix

devraient être ajoutés pour l‟évaluation. C‟est pourquoi la convexité –qui est considérée

comme uen mesure du risque au second degré- doit être prise en compte.

Convexité:

La convexité C est donc un effet au second ordre qui décrit la manière dont évolue la duration

par rapport aux mouvements des taux d‟intérêts.

Pour visualiser l‟importance de la convexité, on se propose de la calculer pour une obligation:

Ainsi on remarque bien que comme la convexité est positive

dans le cas d‟une obligation, la courbe des prix est toujours au dessus de celle de la duration,

ce qui prouve –avantageusement- que les prix d‟obligations augmentent plus que dans le cas

d‟ approximation linéaire et décroissent moins rapidement aussi.

III.1.b Cas d'une option

Soit une option d'achat ou de vente de prix d'exercice K, de date d'échéance T, sur le sous-

jacent de cours S et de volatilité . R est le taux sans risque.

Cette option est valorisée par la formule de Black-Scholes :

Pour un call,

C = S.N(d1) – K.Exp(-R.T).N(d2)

Avec :

d1 = ( Log(S/K) + T.(R + ²/2) ) / ( .√T)

d2 = d1 - .√T

N() est la loi normale standard

Pour un put,

P = -S.N(-d1) + K.Exp(-R.T).N(-d2)

dyCdyD

dyCdyDP

dP

)2/1(

)()2/1(

*

2*

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III.2. Application numérique

III.2.a Cas d’une obligation (AppObligation en annexe)

Considérons une obligation de maturité 10 ans, de nominal 100 et de coupon 8%.

Remarque importante :

Les prix des obligations sont un problème plus complexe à traiter car ils dépendent de

différents taux d'intérêt, eux-mêmes très liés entre eux par une courbe des taux aux

déformations limitées.

C'est pourquoi nous avons valorisé les taux de marché des obligations par des taux actuariels

plutôt que par des taux 0-coupons dans le calcul de la VaR.

Présentation des calculs (sur tableur excel)

Vous souhaitez évaluer une obligation : entrez les paramètres de l'obligation (nominal,

coupon, maturité) et cliquez ensuite sur le bouton ”RunMacro”.

Ce bouton exécute la macro Main (celle-ci vous est donnée en Annexe) qui calcule le prix de

l'obligation suivant les différentes méthodes et trace le graphe.

Feuille de paramètres

Feuille des données (générées par la Macro)

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Graphe

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Interprétation

Dans l‟exemple précédent on trace la courbe donnant les changements de prix de l‟obligation

en fonction des changements des taux d‟intérêts pour un coupon de 8%. Sont aussi tracés

l‟estimation des changements de prix en utilisant la duration d‟un côté et en implémentant une

combinaison de la duration et de la convexité d‟un autre.

La duration toute seule nous fournit une bonne estimation des changements de prix quand les

changements de taux d‟intérêts sont faibles. Par exemple, quand les taux augmentent de 2%,

l‟erreur sur le prix due à la duration est de (87.54 – 85.89) ou encore 165 bp d‟erreur. Et

quand les taux baissent de 2%, l‟erreur sur les prix devient (114.87-114.13), ou encore 74 bp.

L‟approximation est en soit pas très mauvaise.

Par contre avec l‟estimation utilisant à la fois la duration et la convexité, le prix estimé est de

loin plus proche de la réalité qu‟en utilisant la duration seule. Ainsi quand les taux

augmentent de 2%, l‟erreur sur le prix due à cette dernière approximation est de (87.54-

87.07), ou encore seulement 47 bp. Et quand les taux baissent de 2%, l‟erreur sur les prix

devient (114.87-115.33), ou encore 46 bp.

Donc on peut conclure que la convexité est beaucoup mieux adaptée à approximer les

fluctuations de prix pour des fluctuations de taux assez grandes.

III.2.b Cas d’une option (AppOption en annexe)

Un CALL / Un PUT

Considérons un call de prix d'exercice 68, de date d'échéance 9 mois, sur le sous-jacent de

cours 65 et de volatilité . R, le taux sans risque, vaut 10%.

Considérons aussi un put de prix d'exercice 68, de date d'échéance 9 mois, sur un sous-jacent

de cours 70 et de volatilité . R, le taux sans risque, vaut 10%.

Présentation des calculs (sur tableur excel)

Le code de la macro se trouve en annexe.

Feuille de paramètres

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Feuille des données pour le call

Graphe pour un call

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Graphe pour un PUT

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IV. Le modèle d'évaluation delta-gamma

IV.1. Hypothèses

D‟abord, on commence par faire une hypothèse standard concernant les changements dans les

taux de marché; plus spécifiquement, on considère que les changements de taux de marché

sont normalement distribués avec une moyenne nulle.

(H1) S ~ N( 0 , t)

où est une matrice de dimensions M*M des covariances des changements de prix du marché

et t représente l‟horizon de temps de l‟étude. D‟un point de vue théorique, cette hypothèse

peut être justifiée pour la plupart des processus continus en utilisant le lemme d‟Itô, si toute

fois l‟horizon de temps est suffisamment court. Cette hypothèse pourrait être généralisée pour

inclure les distributions qui possèdent des queues plus larges ainsi que des volatilités

aléatoires1.

Nos hypothèses concernant les fonctions de prix sont aussi standards, même si peu

transparentes. Implicitement, les mesures de risque qu‟utilisent régulièrement les traders pour

évaluer et contrôler le risque de leurs portefeuilles – delta, gamma et thêta – sont suffisants

pour caractériser le risque d‟un portefeuille. Cette approximation est raisonnable pour les

mesures journalières ou même intra-journalières de la VaR de la plupart des portefeuilles

même ceux comprenant des produits exotiques.

On commencera par développer au second ordre de Taylor la valeur du portefeuille autour des

taux de marché courants. Ca sera la “méthode delta-gamma”, qui est donc en contraste avec la

série de premier ordre utilisée par la méthode “delta normale”

(H2) Méthode delta gamma

P(S) = t + ’ S + S’ S /2 + o(3)

P(S) ~ t + ’ S + S’ S /2

où = t

SP )( le thêta du portefeuille;

= S

SP )( est le vecteur duration du portefeuille

= ji SS

SP )(2

est le gamma du portefeuille qui respecte les variations des facteurs de

risque du marché (une matrice M*M symétrique) .

o(3) terme d‟erreur d‟ordre 3.

1 On peut remplacer l‟hypothèse de la normalité des changements des taux de marché par l‟hypothèse qu‟ils

suivent une loi de Student à u degrés de liberté. La distribution Student semble en effet mieux convenir aux

données empiriques, puisque elle fait ressortir des queues de distributions plus larges que celles de la loi

normale. Dans ce cas, la formule de la VaR reste inchangée globalement – VaR = t , où ces paramètres

devront être changes pour convenir à ceux requis pour le calcul de l‟intervalle de confiance pour une distribution

de Student (voir Wilson 1993).

Marchés Financiers

Les termes de la matrice Gamma sont plus significatifs sur la diagonale, et dans ce cas

Gamma est définie comme la matrice des 2

2 )(

iS

SP. On ignorera les termes croisés de la

matrice sont fonction seulement des taux d‟intérêts ou si leurs effets sont négligeables

(connus pas les traders à l‟avance). Pour les autres corrélations, on gardera les termes croisés

car ils deviennent significatifs.

Si on substitue (H2) dans l‟équation (3), on obtient :

Max [ ’ S + S’ S /2] (4)

Pour toutes les valeurs de S vérifiant :

Pour toutes les valeurs de S vérifiant :

S’ -1

S 2 (la somme des écarts au carré 2 )

où le terme S’ -1

S la probabilité que toutes les divergences de taux n‟excèdent pas 2 .

Par exemple si on écrit la contrainte pour deux variables, on obtient l‟équation d‟une ellipse :

les variables bougent dans les deux sens mais les variations conjointes restent limitées dans un

certain domaine .

Si le pire scénario se produit pour une valeur extrême des changements, alors cette

contrainte sera saturée ( S’ -1

S 2 ) ; Sinon, si le pire scénario se produit quand les

taux ne varient pas beaucoup, alors la contrainte n‟est pas saturée ( S’ -1

S 2 ).

IV.2. Méthodes de résolution

Nous présentons la théorie de deux méthodes de résolution parmi les diverses méthodes

possibles : une résolution par tableur et une résolution numérique rapide.

Nous nous focaliserons plus particulièrement sur la méthode par tableur aux fins de présenter

des exemples usant de cette résolution.

IV.2.a Méthode 1: Solution tableur ‘Spreadsheet’

L‟équation (4) répond maintenant à un problème de programmation quadratique (à la fois la

fonction et la contrainte) et, pour cela, on dispose de plusieurs méthodes numériques pour le

résoudre. L‟une d‟elles consiste à mettre en place le Lagrangien approprié et de différencier.

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Fondements théoriques de la méthode

Les conditions d‟optimalité de premier ordre répondent au théorème suivant :

Maximiser f(x) pour {x JixhIixgxT i ,0)(,,0)(; (

I est donc l‟ensemble des indices i des contraintes d‟inégalités (gi(x) <= 0)

Et j est l‟ensemble des indices i des contraintes d‟égalité ( hi(x) =0 )

Si x* est un maximum local et si x* est qualifié2 alors les conditions de Kuhn-Tucker sont

vérifiées, à savoir :

JjIi ji ,,,0

0*)(.*)(*)( . xhxgxfJi

iii

Ii

i

Iixgii ,0*)(.

avec *)(xf est le vecteur des dérivées premières de f au point x*.

Donc les gi sont les contraintes de non égalités (<=) et les hi sont les contraintes d‟égalité (= ).

Ainsi on peut modéliser notre problème présent de recherche de la perte maximum par un

système d‟équations sous contraintes et qui répond aux conditions de Kuhn-Tucker, avec :

x = S , I={1}, J=

f( S ) = ‟ S + S‟ S /2

g( S )= S‟ -1

S 2

h( S )=0

On trouve que le premier ordre et les conditions de Khun-Tucker qui décrivent la solution se

déclinent comme suit :

S.. 1 ou SA ).( (5a)

S‟ -1

S 2 (5b)

avec .( S‟ -1

S 2 ) = 0 et . 0 (5c)

où .est le coefficient de Kuhn-Tucker associé à la contrainte, ce coefficient peut

s‟interpréter comme suit : mesure du montant marginal de la VaR supplémentaire qui va être

allouée au portefeuille si l‟intervalle de confiance (i.e 2 ) s‟agrandit.

IV.2.b Méthode 2: Solution numérique rapide

Une méthode de résolution du système (5a) (5b), est de faire une recherche numérique avec

. 0 ,en inversant la matrice )(A pour chaque .à résoudre pour S en utilisant

l‟équation (5a) et après vérifier si la contrainte (5b) est satisfaite ou pas.

Ce processus peut être fait en utilisant le “solveur” fonction dans les tableurs classiques et qui

converge rapidement pour les tailles M des matrices petites.

2 x qualifié Jixhi ),( sont linéairement indépendants.

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Par contre, cela devient très coûteux en temps dès que le nombre de facteurs risqué, M, croît,

puisqu‟il faut à ce moment là inverser une M-matrice à chaque itération.

La vitesse d‟exécution peut être optimisée si la matrice A est diagonalisée en transformant les

facteurs risques et leurs effets duration en des variables indépendantes. Dans ce cas,

l‟équation (5a) implique des solutions pour S à .donné, et donc )(A peut être inversée

analytiquement. Nous procèderons pour cela en s‟appuyant sur le théorème ci dessous de

Sheffe (1959) :

Théorème : Soit S un vecteur M*1 de variables aléatoires normalement distribuées

S ~ N( 0 , ) , avec non singulière; soit une autre matrice M*M non singulière aussi.

Considérons la forme quadratique de S définie par Q = S‟ S . Alors, par

transformations linéaires pour une matrice appropriée P, on peut définir SSQ . où Q

est équivalent à Q = S‟ S en distribution et où S = P S avec S ~ N( 0 , 1 ) et est

une matrice diagonale avec des valeurs propres non nulles dans le long de la diagonale.

De plus P est définie comme une matrice orthogonale des vecteurs propres de telle que

= P‟

P .

Ainsi en définissant = P-1

, et en appliquant le théorème, l‟équation (4) se réécrit

comme suit:

Max [ ‟ S + S‟ S /2] (6)

Pour toutes valeurs de S vérifiant :

S‟ S 2

Les conditions de premier ordre peuvent alors être réécrites ainsi :

SI .. ou SA ).( (7a)

S‟ S 2 (7b)

avec .( S‟ S 2 ) = 0 et . 0 (7c)

où :

I est la matrice identité

A ( . ) matrice diagonale impliquant que les valeurs de S solutions de (7a) pour chaque .

peuvent être déterminées analytiquement. Ainsi la matrice A n‟a plus à être inversée à chaque

itération de la recherché, donc grande économie de temps de calcul. En effet, la valeur de Si

qui résout (7a) à .donné est donnée par la formule suivante :

Si =ii

i.

Ceci étant, le système d‟équations défini en (7) doit être résolu numériquement en s‟appuyant

sur des valeurs non négatives de .

Marchés Financiers

IV.3. Illustration par la méthode spreadsheet

IV.3.a Cas d’une seule obligation

Voici l'application de la méthode SpreadSheet (sous MS Excel) pour un portefeuille composé

d'une seule obligation. Le solveur donne pour valeur de VaR (-409.97), calculée pour une

variation de taux égale à 4.23%.

Vous pourrez tester vous-même d'autres valeurs de paramètres et lancer le solveur à partir du

fichier Var1Oblig.xls qui se trouve sur la disquette ci-jointe.

Nous avons également souhaité comparer la valeur calculée par le problème de Kuhne-Tucker

avec celle renvoyée par le problème de maximisation initial (cf. la section ”Résolution de

l'équation générale” de la capture d'écran). Les deux méthodes renvoient les mêmes valeurs et

sont aussi simples à implémenter dans Excel, ce qui nous a interrogé sur la pertinence

d'employer le problème de Kuhne-Tucker plutôt que le problème de maximisation. La

question reste ouverte.

Marchés Financiers

IV.3.b Cas de plusieurs obligations

Dans le cas de deux obligations, le problème de Kuhne-Tucker s'écrit comme une équation à

deux variables multidimensionnelles. Excel permet d'effectuer des calculs matriciels mais le

solveur, lui, n'effectue aucune résolution matricielle.

Cette difficulté technique ne nous a pas permis d‟évaluer la méthode delta gamma normale

dans le cas de plusieurs obligations.

Remarquons que d‟autres alternatives étaient possibles. Nous disposons en effet à l'école de

deux logiciels d'optimisation, CPLEX et SDP, qui fonctionnent sous UNIX.

Il aurait été intéressant d'étudier ces logiciels dans le cadre de notre sujet, la VaR. D'une part,

nous n'en avons pas eu le temps. D'autre part, il me semble que ces logiciels, tout comme

Excel, ne nous aurait pas permis d'arriver à notre but car ceux-ci n'effectuent pas non plus de

calcul matriciel.

La question qui découle de tout ce qui précède est alors la suivante : faut-il transcrire le

problème matriciel de maximisation ou de Kuhne-Tucker en problème linéaire ?

Si oui, nous savons linéarisé un problème d'optimisation mais en aucun cas, la linéarisation ne

peut être automatique. Encore une fois, la question reste ouvert.

Vous pourrez également tester vous-même l'application du fichier Var2Oblig.xls qui se trouve

sur la disquette ci-jointe.

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V. Annexe

V.1. Macro Main du fichier AppObligation.xls

Dim T 'maturité

Dim N 'nominal

Dim C 'coupon en % du nominal

Sub Main()

'Affectation des variables globales

T = Sheets("Paramètres").Range("B1").Value

N = Sheets("Paramètres").Range("B2").Value

C = Sheets("Paramètres").Range("B3").Value

'Variables locales

Dim r 'taux actuariel * 100

Dim ligne

ligne = 1

'Calcul des données

For r = 0 To 16 Step 2

ligne = ligne + 1

Sheets("Données").Cells(ligne, 1).Value = r

Sheets("Données").Cells(ligne, 2).Value = PrixActuariel(r / 100)

Sheets("Données").Cells(ligne, 3).Value = DeltaNormal(r / 100)

Sheets("Données").Cells(ligne, 4).Value = DeltaGamma(r / 100, ligne)

Next r

End Sub 'Main()

Function PrixActuariel(r)

For i = 1 To T

PrixActuariel = PrixActuariel + C / ((1 + r) ^ i)

Next i

PrixActuariel = PrixActuariel + 1 / ((1 + r) ^ T)

PrixActuariel = PrixActuariel * N

End Function 'PrixActuariel()

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Function Delta(r)

For i = 1 To T

Delta = Delta + C * i / ((1 + C) ^ (i + 1))

Next i

Delta = Delta + T / ((1 + C) ^ (T + 1))

Delta = -N * Delta

End Function 'Delta()

Function DeltaNormal(r)

Dim vDelta

vDelta = Delta(r)

DeltaNormal = vDelta * (r - C) + N

End Function 'DeltaNormal()

Function Gamma(r)

For i = 1 To T

Gamma = Gamma + C * N * i * (i + 1) / ((1 + C) ^ (i + 2))

Next i

Gamma = Gamma + N * T * (T + 1) / ((1 + C) ^ (T + 2))

End Function 'Gamma()

Function DeltaGamma(r, ligne)

Dim vGamma

vGamma = Gamma(r)

Dim vDeltaNormal

vDeltaNormal = Sheets("Données").Cells(ligne, 3).Value

DeltaGamma = vGamma * (r - C) ^ 2 / 2 + vDeltaNormal

End Function 'DeltaGamma()

V.2. Macro Main du fichier AppOption.xls

Dim Sigma ' Volatilité du sous-jacent

Dim R ' Taux sans risque

Marchés Financiers

Sub Main()

'Affectation des variables

Dim TypeOption ' = "C" ou "P"

'Call

Dim K1

Dim S1

Dim T1

'Put

Dim K2

Dim S2

Dim T2

K1 = Sheets("Paramètres").Range("B7").Value

S1 = Sheets("Paramètres").Range("B8").Value

T1 = Sheets("Paramètres").Range("B10").Value

K2 = Sheets("Paramètres").Range("D7").Value

S2 = Sheets("Paramètres").Range("D8").Value

T2 = Sheets("Paramètres").Range("D10").Value

Sigma = Sheets("Paramètres").Range("B2").Value

R = Sheets("Paramètres").Range("B4").Value

Dim S 'cours du sous-jacent

Dim ligne

ligne = 1

'Calcul des données

For S = 25 To 100 Step 5

ligne = ligne + 1

Sheets("Call").Cells(ligne, 1).Value = S

Sheets("Call").Cells(ligne, 2).Value = BlackScholes("C", S, K1, T1)

Sheets("Call").Cells(ligne, 3).Value = DeltaNormal("C", S, S1, K1, T1)

Sheets("Call").Cells(ligne, 4).Value = DeltaGamma("C", S, S1, K1, T1)

Sheets("Put").Cells(ligne, 1).Value = S

Sheets("Put").Cells(ligne, 2).Value = BlackScholes("P", S, K2, T2)

Sheets("Put").Cells(ligne, 3).Value = DeltaNormal("P", S, S2, K2, T2)

Sheets("Put").Cells(ligne, 4).Value = DeltaGamma("P", S, S2, K2, T2)

Sheets("Straddle").Cells(ligne, 1).Value = S

Sheets("Straddle").Cells(ligne, 2).Value = -BlackScholes("P", S, K2, T2) -

BlackScholes("C", S, K1, T1)

Sheets("Straddle").Cells(ligne, 3).Value = -DeltaNormal("P", S, S2, K2, T2) -

DeltaNormal("C", S, S1, K1, T1)

Sheets("Straddle").Cells(ligne, 4).Value = -DeltaGamma("P", S, S2, K2, T2) -

DeltaGamma("C", S, S1, K1, T1)

Next S

End Sub 'Main()

Marchés Financiers

Function N(d)

N = Application.WorksheetFunction.NormSDist(d)

End Function

Function BlackScholes(TypeOption, S, K, T)

Dim d1

Dim d2

d1 = (Log(S / K) + T * (R + Sigma ^ 2 / 2)) / (Sigma * Sqr(T))

d2 = d1 - Sigma * Sqr(T)

If TypeOption = "C" Then

BlackScholes = (S * N(d1)) - (K * Exp(-R * T) * N(d2))

Else

BlackScholes = -(S * N(-d1)) + (K * Exp(-R * T) * N(-d2))

End If

End Function 'BlackScholes()

Function Delta(TypeOption, S, K, T)

Dim d1



Delta = N(d1)

Else

Delta = -N(-d1)

End If

End Function 'Delta()

Function DeltaNormal(TypeOption, S, So, K, T)

Dim vDelta

vDelta = Delta(TypeOption, K, K, T)

DeltaNormal = vDelta * (S - K) + BlackScholes(TypeOption, K, K, T)

End Function 'DeltaNormal()

Marchés Financiers

Function f(d)

f = (1 / Sqr(2 * Application.WorksheetFunction.Pi)) * Exp(d ^ 2 / 2)

' ou f = Application.WorksheetFunction.NormDist(d,0,1,False)

End Function

Function Gamma(TypeOption, S, K, T)

Dim d1



Gamma = 1 / (S * Sigma * Sqr(T)) * f(d1)

Else

Gamma = 1 / (S * Sigma * Sqr(T)) * f(-d1)

End If

End Function 'Gamma()

Function DeltaGamma(TypeOption, S, So, K, T)

Dim vGamma

Dim vDelta

vGamma = Gamma(TypeOption, K, K, T)

vDelta = Delta(TypeOption, K, K, T)

DeltaGamma = BlackScholes(TypeOption, K, K, T) + vDelta * (S - K) + vGamma * ((S -

K) ^ 2) / 2

End Function 'DeltaGamma()

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