La théorie de Binet

Texte original

Compte rendu des séances de l’Académie des Sciences

Séance du lundi 17 février 1851

[...]

Mécanique - Suite de la note sur le mouvement du pendule simple en ayant égard à

la révolution diurne de la Terre, par M. Binet

Première partie de la résolution

Les équations différentielles du mouvement relatif d’un pendule simple d’une

longueur r, en ayant égard à la rotation diurne de la Terre résultent soit des formules de

Laplace, établies dans le quatrième volume de la Mécanique céleste, soit celle que Poisson a

données dans le Journal de l’École Polytechnique, 26e cahier, je vais rapporter ces formules

en me servant, à peu près de la notation de Poisson : n sera la vitesse angulaire de la Terre

de l’occident vers l’orient, γ la latitude géographique du point de suspension du pendule ; g

la pesanteur terrestre combinée avec la force centrifuge locale provenant de la rotation de la

Terre ; les coordonnées rectangulaires x, y, z auront leur origine au point de suspension ;

l’axe positif des x est dirigé vers l’Est, l’axe de y vers le Nord, et les z positifs sont dirigés de

haut en bas, dans le sens vertical de la chute des graves ; N est la tension du fil du pendule

simple, ou la pression normale que supporte la surface sphérique : cette force est dirigée

vers l’origine des coordonnées, et elle forme avec les axes des angles qui ont rx

, ry

, rz

pour

cosinus. En négligeant la résistance de l’air, les trois équations différentielles du mouvement

du pendule seront :

( )

( )

( )

( )

−=+

−=+

+=+

dtdxγcosn2g

rNz

dtzd:C

dtdxγsinn2

rNy

dtyd

:B

dtdzγcosn2

dtdy

γsinn2r

Nxdt

xd:A

a

2

2

2

2

2

2

Entre les coordonnées, on a d’où l’on tire les relations 2222 zyxr ++=

0zdzydyxdx =++ et ( ) ( ) 0dzzdyydxxd 222 =++ dydxz 222 +++ .

En multipliant par dx, dy, dz les équations (a) et en les ajoutant, tous les termes

affectés de N et de n se détruisent, et il reste simplement gdz

dtzdzdydydxdxd

2

222

=++

dont l’intégrale est ( )czg2

dtdzdydx

2

222−=

++

.

On aura la pression N en multipliant par x, y, z les mêmes équations différentielles

et en les ajoutant ; on remplacera dans la somme xd par

, et il viendra

zzdyydx 222 ++

222 dzdydx −−−

−

+

−

+++

+=dt

zdxxdzγcosn2dt

ydxxdyγsinn2

dtdzdydx

gzNr 2

222

.

On substitue la valeur ( )czg2 − , au carré de la vitesse, et il vient

−

+

−

+−=dt

zdxxdzγcosn2dt

ydxxdyγsinn2gc2gz3Nr

.

La vitesse angulaire de la Terre, représentée par le coefficient n dans ces formules,

est une très petite fraction, savoir 86400π2n =

, si l’on prend la seconde sidérale comme unité

de temps, et alors, 51n ′′= de degré ; et quand on prend la seconde de temps moyen solaire

3951 ′′=13713

186163

π2n ==, ce qui surpasse un peu la première valeur, rapportée à une

autre unité de temps.

Tous les termes multipliés par n peuvent être assimilés à des forces perturbatrices

du mouvement déterminé par les mêmes équations où l’on aurait posé n=0 : ce seraient

alors les équations du pendule conique dont on a les intégrales qui renferment quatre

paramètres arbitraires ; pour avoir égard aux termes multipliés par n, selon la méthode

connue de la variation des constantes arbitraires, on rendra variables les quatre

paramètres ; et leurs différentielle étant obtenues pourront être intégrées par

approximation.

Notre objet actuel permet de simplifier cette recherche, parce que nous pouvons

nous borner à considérer les petites digressions ou oscillations d’un pendule autour de sa

position d’équilibre, autour de la verticale, sa distance 22 yxρ += à l’axe des z doit

demeurer une petite quantité, ainsi que les vitesses dtρd

, dtdx

, dtdy

, elles seront traitées

comme des quantités du premier ordre.

On a .etc

r8ρ

r2ρrρryxrz 2

4222222 −−−=−=−−=

ainsi, en voulant négliger

les dans z, on aura 4ρ dt

ρdrρ

dtdz

−=. En remplaçant z par cette valeur dans la dernière des

formules de (a), on aura

( )

+

−+= 2

2

2 r2ρ

1dtdxγcosn2

rdtρdρd

gN où 2

2

r2ρ

1 + remplace le

facteur zr

: dans la première approximation, on peut négliger le terme dtdxγcosn2

, ainsi

que les termes en ρ et dtρd

qui demeurent du second ordre : on y aura égard si on le veut

dans une approximation ultérieure. La valeur de N sera ainsi réduite à gN . =

Pour abréger, nous poserons 2h

rg

rN

==, et les deux premières équations (a)

deviendront :

dtdxγsinn2yh

dtyd

dtdzγcosn2

dtdy

γsinn2xhdt

xd

22

2

22

2

−=+

+=+

Le terme dtρd

rρ

γcosn2dtdzγcosn2 −=

doit être rejeté dans l’approximation

suivante, étant de l’ordre déjà négligé dans le premier membre où N est remplacé par .

Les équations deviennent donc en posant

2rh

kγsinn = ,

( )

−=+

=+′

dtdxk2yh

dtyd

dtdy

k2xhdt

xd

a2

2

2

22

2

On satisfait à ces équations linéaires par les valeurs ( )εtµcospx += et

( )εtµsinpy += , p et étant deux constantes arbitraires, et µ une quantité constante qui

va être déterminée. La substitution dans l’une ou l’autre des équations (a) donne la même

formule, savoir

ε

( ) ( ) ( )εtµsinµkp2εtµsinµp 2 +=+−h 2. Après avoir divisé par

( )εtµsinp +

hµk2µ 22 =−+

, cela se réduit à h . On obtiendra en résolvant l’équation

, ses racines et sont de signes contraires, savoir,

µk2µ22 =−

µ 1µ

µ

0

22 k+hkµ +−= et 22

1 khk +−−=µ . On remarquera que k est une

quantité négligeable relativement à

γsinn 22=2

rgh2 =

, parce que 137131n =

et nous prendrons

et µ . On satisfait évidemment aux mêmes équations (a’) par les

valeurs

khµ −= kh −1 = −

( )1ε1µ1 cos t +px = et ( )1ε11 tµsinpy += ; or les équations différentielles étant

linéaires, l’on sait que les expressions générales des variables x et y se composent de la

somme des valeurs particulières, ainsi, l’on a ( ) ( )111 εtµcosp +εtµcospx ++= et

( ) ( )11 εtµ1 sinpεtµsinpy +++= .

L’instant à partir duquel on compte le temps étant arbitraire, on pourra rendre

égales les constantes arbitraires ; la constante ainsi supprimée sera comprise dans la

variable t : les deux autres constantes p et p

1εε =

1, quoique arbitraires, doivent cependant être

telles que x et y demeurent de petites quantités, selon l’hypothèse. Ajoutons les carrés des

coordonnées

( ) ( )( ) ( εtµεtµsinpy

εtµcosεtµcospx

1

1

++= )sinpp

1

1

++++=

( )ht2cospp2 1

cela donne, pour ρ ,

parce que

222 yx +=

ppρ 21

22 ++= ( ) ( )ht2costµ1tµcos =− .

Cette valeur revient à ( ) ( ) ( ) ( )htsinpphtcosppρ 221

221

2 −++= et en posant

et p11 ρpp =+ 21 ρp =− , on aura ( ) ( )htsinρhtcosρ 222

221

2 +=

21

22 1

ρ . Ainsi la valeur de ρ

est nécessairement comprise entre ρ et ρ , et, en posant que ρ soit supérieur à ρ , on

aura constamment ρ . Par conséquent, il suffit que la constante

2

2

2ρ>1 ρ> rρ1

soit une

petite quantité pour que ces résultats soient conformes à l’hypothèse des petites

oscillations.

Seconde partie de la résolution

On voit qu’après chaque durée grπ

hπt ==

k

la distance ρ reprend

périodiquement sa valeur, mais il n’en n’est pas tout à fait ainsi de x et y : ces coordonnées

éprouvent de petites altérations dont nous allons reconnaître les effets. Substituons dans x

et y pour et µ les quantités hµ 1 − et kh −− ; elles deviennent

( ) ( )( ) ( )ktεhtpktεhtsinpy

ktεhtpktεhtcospx+−−+= sin

cos

1

1

−+−+−+=

ou bien

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ktεsinpphtcosktεcospphtsiny

ktεsinpphtsinktεcospphtcosx

11

11

−++−−=

−−−−+=

or p 11 ρp =+

et p , on a donc 21 ρp =−( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ktεsinhtcosρktεcoshtsinρy

ktεsinhtsinρktεcoshtcosρx

12

21

−+−=−−−=

, d’où l’on tire

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ktεcosyktεsinxhtsinρ

ktεsinyktεcosxhtcosρ

2

1

−+−−= )−+−=

Pour interpréter plus clairement ces expressions, nous concevrons le pendule

simple (ou l’extrémité du rayon sphérique) comme projeté sur le plan tangent horizontal,

inférieur à la sphère décrite avec le rayon r ; nous nommerons P cette projection mobile à

l’égard de deux axes des x et y parallèles à ceux qui passaient par le point de suspension ; le

point mobile ne s’écartant du plan tangent inférieur que d’une quantité du second ordre, est

dans toutes ces situations extrêmement voisin de sa nouvelle projection : suivre des yeux

cette projection est presque suivre des yeux le pendule lui-même.

Soit l’azimut de la projection horizontale P mesurée de l’Est vers le Nord, c’est-à-

dire dans le sens de circulation des x positifs aux y positifs ; en sorte que et

υυcosρx =

υsinρy =

( ) ; par les valeurs précédentes, on aura

( ) ( )[ ]ktεsinυcosktεcosυsinρhtsinρ2 −−−= ou bien ( ) ( ktευ )sinρhtsinρ2 = +− et

semblablement ( ) ( )ktευcosρhtcos1ρ +−= .

Soit encore ( ) ( )ktευcosρhtcosρξ 1 +−== et ( ) ( ktευsi )nρhtsinρν 2 +−== ;

on voit que ξ est la projection du point P sur une droite qui comprendra avec l’axe des

x, car elle forme alors l’angle avec ρ ; ν sera la perpendiculaire abaissée de P sur

ktε −

ktευ +−

cette même droite ; et ξ est donc une droite mobile. Cela posé, on a ( ) 2ρνhtsin = et

( ) 1ρξhtcos = et en ajoutant les carrés de ces valeurs, 21

2

22

2

ρξ

ρν1 +=

2

ainsi les coordonnées ν

et ξ appartiennent à une ellipse dont les axes 2 et sont constants ; mais le grand axe

de cette ellipse est uniformément mobile autour de son centre. La valeur de l’angle azimutal

prouve que le sens du mouvement est rétrograde du nord vers l’est, la vitesse

angulaire constante

1ρ ρ2

ktεξx^

−=

dtυd , étant γsinnk = , où γ est la latitude. Cette vitesse est nulle

quand la station est à l'équateur où 0γ = ; elle serait 86163π2n = pour une station

polaire. Quand on pose , selon l'hypothèse ordinaire où l'on néglige la rotation de la

terre, la projection devient l'ellipse invariable indiquée par M. Pouillet, dans le cas de des

petites oscillations du pendule simple.

0n =

grπ

gr

γ

La durée d’une oscillation étant , la déviation de l’axe de l’ellipse est, pendant

ce temps, de πγsinn ⋅

; quantité extrêmement petite, mais qui, se reproduisant dans le

même sens à chaque oscillation, devient promptement sensible et appréciable.

La vitesse angulaire du plan oscillatoire autour de la verticale est γsinnk = ; il

convient de remarquer qu'elle est précisément égale en grandeur, et de direction contraire à

une composante de la vitesse de rotation de la terre n décomposée en deux vitesses

angulaires : l'une aurait, pour axe de rotation la verticale, et l'autre, la méridienne dirigée

vers le nord. Ces deux droites et une parallèle à l’axe de la terre passant par le point de

suspension du pendule sont dans un même plan ; la parallèle à l’axe de la terre fait avec la

méridienne, l’angle γ, et l’angle γ90 avec la verticale ; d’après le théorème d’Euler sur les

vitesses angulaires de rotation, la composante de n avec la verticale est

−°

γcosn . Ainsi

l’angle azimutal s’accroît comme si la terre était entraînée autour de la verticale par la

composante horizontale de sa vitesse angulaire, et que le plan oscillatoire fût entièrement

fixe, sans avoir égard à la seconde composante cosn . Au pôle, cette dernière composante

est nulle ; la proposition est alors évidente et c’est le point de départ des considérations

ingénieuses qui ont amené M. Foucault à son expérience.[...]

Résolution de l’équation du pendule à la manière de Binet

Première partie de la résolution

Pour la résolution de l’équation différentielle des mouvements du pendule de

Foucault, telle que Jacques Binet l’a menée, on part du système d’équations que Poisson a

établi par différents changements de base, à savoir :

( )

( )

( )

( )

−=+

−=+

+=+

dtdxγcosn2g

rNz

dtzd:C

dtdxγsinn2

rNy

dtyd

:B

dtdzγcosn2

dtdy

γsinn2r

Nxdt

xd:A

a

2

2

2

2

2

2

Remarque : N, que Jacques Binet nomme « pression », n’est pas une tension en réalité.

Calculons l’unité de N :

[ ][ ]

[ ][ ][ ]L

LnTL

2 =. Donc N s’exprime en . On pouvait

également le remarquer en notant que les équations ont été obtenues grâce à la relation

fondamentale de la dynamique puis en divisant les équations obtenues par la masse de la

sphère suspendue au fil.

12 kgNsm −− ⋅=⋅

Le fil reliant la sphère à son point d’attache étant inextensible, on a

. Donc, en différentiant cette équation une fois, puis deux fois, on obtient

les équations suivantes :

2222 zyxr ++=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0zdzydyxdx:Dzdz2ydy2xdx20

dzzrdy

yrdx

xrrd

2222

=++++=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

et

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( 0dzdy

zzddz

zdzd

22

22

=++

+

( ) ( ) dxzzdyydxxd:E

yyddyxxddx0

ydydxdxdrddrd

2222

2222

222

+++

++++=

++==

)

On obtient une nouvelle équation à partir des relations entre les différentielles et du

système d’équations du pendule de Foucault :

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( )D à grâce gdzdt

zdzdydydxdxd:F

gdzzdzydyxdxrN

dtzdzd

dtydyd

dtxdxd

con2gdzdt

dxdyγsinn2

dtdxdzγcosn2

dtdxdy

γsinn2dzr

Nzdt

zddyr

Nydt

yddx

rNx

dtxd

:dzCdyBdxA

2

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=++

=+++++

−+−+=

++

++

+

++

On intègre cette équation :

( )

( ) ( )czg2dt

dzdydx:G

czgdt

dzdydx21

gdzdtdz

dtdy

dtdx

21

dddz

dtyd

dydt

xddxdt

zddz2dt

yddy2

dtxddx2

21

dtdz

dtdy

dtdxd

21

gdzdt

zdzdydydxdxd

2

222

2

222

x

0

y

0

z

c

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2222

x

0

y

0

z

c

x

0

y

0

z

c2

222

−=++

−=++

∫

∫

∫=

+

+

⇒

++=

++=

+

+

∫

∫

∫=∫

∫

∫

++

Dans (G), c est une constante d’intégration.

Remarque : On peut retrouver cette équation à partir du théorème de l’énergie cinétique ;

en effet, on a, d’une part, la puissance du poids qui vaut

( ) mgdzedzedyedxgmdrPP zyx =++⋅=⋅= d’où où m

est la masse de la sphère suspendue au fil, et d’autre part,

( )czmgdzmgPz

c

z

c−=∫=∫

2

+

+

=

=

222

c dtdz

dtdy

dtdxm

21

dt

drm

21E

, et puisque l’on a égalité entre les

deux, on retrouve le résultat.

En substituant les valeurs ainsi déterminées dans (a), il vient :

( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

( )

−

+

−+−=

−

+

−++−=

−

+

−++

++=++=

−+

−+=+++++

−+−+=+++++

++

dtzdxxdzγcosn2

dtydxxdy

γsinn2gc2gz3Nr:H

grâce dt

zdxxdzγcosn2dt

ydxxdyγsinn2gzczg2Nr

dtzxdzγcosn2

dtydxxdy

γsinn2gzdt

dzdydxNrzyxr puisque et E à grâce

dtdxz

dtdzxγcosn2

dtdxy

dtdy

xγsinn2gzzyxrN

dtzzdyydxxd

dtdxγcosnz2gz

dtdxγsinny2

dtdzγcosnx2

dtdy

γsinnx2r

Nzdt

zdzr

Nydt

ydy

rNx

dtxdx

:zCyBxA

2

2222222

2222

222

2

2

22

2

22

2

2

Or 15 s.rad103,7

86400π2n −−×==

est négligeable devant les autres termes et :

( )r2

ρrz:I

rρo

r2ρr

rρo

rρ

211r

rρ1rρrzzρzyxr

2

2222222222222

−≈

+−=

+

−=

−=−=⇒+=++=

(On effectue un DL1(0) de t1t −a , possible car x et y sont négligeables devant z,

donc est négligeable devant r : ρ zzyxryxρ 22222 ≈++=<<+= ).

À partir de là, on dérive z par rapport au temps, et il vient :

( ) ( )dtρd

rρ

dtdz:J

dtρdρ2

r21

dtρd

r21

r2ρr

dtd

dtdz 22

−=⇒

−==

−=

D’où, en réalisant un DL1(0) de t11t−

a à partir de l’équation (C) :

( ) ( )

+

−+=

−

+−=

−=

−+

−

−=

−+

−=+

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

r2ρ1

dtdxγcosn2

rdtρdρdgN:K

rρ1

1dtρdρ

rdtd

dtdxγcosn2gN

dtdxγcosn2g

rρ1N

dtρd

rρ

dtd

dtdxγcosn2g

r2ρr

rN

dtdz

dtd

dtdxγcosn2g

rNz

dtzd

Lorsqu’on néglige les termes du second ordre, c’est-à-dire,

dtρdρ

dtd

, 2

2

rρ

et le

terme dtdxγcosn2

(négligeable car n est petit de même que dtdx

, on peut le considérer

comme un terme du second ordre). On a ( ) gN:L = .

Remarque : Ce résultat est prévisible étant donné que les oscillations sont de faible

amplitude, donc la tension du fil est quasiment verticale puisqu’elle suit sa direction. De

plus, à l’équilibre, le poids et la tension du fil s’annulent, d’après la relation fondamentale

de la dynamique.

On note maintenant N , mais aussi rhg 2== kγsinn = . On obtient alors, en

remplaçant N et γsinn par leurs valeurs dans (a) :

( )

( )

( )

( )

−=+′

−=+′

+=+′

′

dtdxγcosn2gzh

dtzd:C

dtdxk2yh

dtyd

:B

dtdzγcosn2

dtdy

k2xhdt

xd:A

a

22

2

22

2

22

2

.

Or ( )

dtρd

rρ

γcosn2dtdzγcosn2

dtρd

rρ

dtdz:J −=⇒−=

qui est assimilable à un

terme du second ordre, puisqu’il comporte n, vitesse angulaire de rotation de la Terre, qui

est petite et dtρd

qui est une quantité du premier ordre. On peut donc négliger ce terme. On

trouve donc :

( )

( )dtdxk2yh

dtyd

:B

dtdy

k2xhdt

xd:A

22

2

22

2

−=+′

=+′

.

Selon Jacques Binet, les solutions sont de la forme

( ) ( )( ) ( )εtµsinpy:M

εtµcospx:M

y

x

+=+=

.

Remarque : Ces solutions ne sont pas justifiées. En effet, à l’époque de la publication de

cet ouvrage, lorsqu’une solution était juste, on considérait que toutes les solutions étaient

de cette forme (si une solution convenait, alors, les autres étaient de la même forme).

Aujourd’hui, on retrouve ces résultats grâce à la méthode complexe. En effet,

( ) ( )dtdxik2

dtdy

k2yihxhdt

ydi

dtxd:BiA 22

2

2

2

2−=+++′+′

i. Si on considère le complexe

yxu +=

( ) ( )

, on obtient l’équation différentielle linéaire d’ordre deux

0uhdtduik2

dtud

dtduik2

dtdy

idtdx

ik2

dtdy

dtdxik2uh

dtud: 2

2

22

2

2=++⇔−=

+=

+−=+

0hikr2 22 =++

BiA ′+′

. Alors, on retrouve les mêmes solutions que Binet : l’équation caractéristique associée à

l’équation différentielle ci-dessus est r et a pour solutions r et r1 tels que

+−−=

++−=⇒−

221

222

khiikr

khiikrk−=′ 2h∆

, donc les solutions pour u sont

( ) ( )tkhkitkhki 2222

BeAeu ++−++− += , on peut en conclure que les solutions pour x et y sont

de la forme :

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tkhksinBtkhksinAtkhksinBtkhksinAy

tkhkcosBtkhkcosAtkhkcosBtkhkcosAx22222222

22222222

++−++−=++−+++−=

+++++−=++−+++−=

On a donc ici les valeurs de µ, µ1, ε et ε1.

On a alors

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )εtµsinµpdt

ydεtµcosµp

dtdy

εtµsinpy:M

εtµcosµpdt

xdεtµsinµpdtdxεtµcospx:M

22

2

y

22

2

x

+−=+=+=

+−=+−=+=

( )A′

. Si on

reporte ces valeurs dans , on obtient l’équation du second degré en µ :

( ) ( ) ( ) 0hµk2µµk2hµεtµcosµkp2εtµcosphεtµcosµp 222222 =−+⇔=+−⇔+=+++−

. De même, le report de ces mêmes valeurs dans l’équation ( )B′ permet de retrouver le

résultat précédent :

( ) ( ) ( ) 0hµk2µµk2hµεtµsinµkp2εtµsinphεtµsinµp 222222 =−+⇔=+−⇔+=+++−22 hk∆ +=′On peut maintenant résoudre cette équation donc, les solutions sont

22 khkµ ++−= et 22

1 khkµ +−−= .

Or

2292

222 srad103,586400

π2γsinnk −− ⋅⋅≈

≤=

et 14,0

6881,9

rg

h 2 ≈≈=

hkµ +−=

,

donc est négligeable devant , on peut donc considérer que et

.

2k

k −−

2h

hµ1 =

Les solutions de l’équation différentielle sont de la forme

( ) ( )111 εtµcospεtµcospx +++= et ( ) ( )111 εtµsinpεtµsinpy +++= .

Binet pose ensuite ε . 1ε=

Remarque : On a vu, dans la résolution moderne de l’équation du pendule, que la

résolution de l’équation différentielle donnant le complexe u en fonction du temps donne

l’égalité entre ε, ε1 et zéro.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )( )tµµcosppppεtµεtµcos21pp2ppρ

εtµsinεtµsinεtµcosεtµcospp2εtµsinεtµcospεtµsinεtµcospρ

yxρ

εtµsinεtµsinpp2εtµsinpεtµsinpyεtµsinpεtµsinpy

tµcosεtµcospp2εtµcospεtµcospxεtµcospεtµcospx

1121

211

21

22

111

12

122

12222

222111

221

22211

11122

1222

11

−++=

+−+++=

+++++++++++++=

+=

++++++=⇒+++=

++++++=⇒+++=

En remplaçant par leurs valeurs les quantités µ et µ1, on obtient :

( ) ( )( )[ ]( ) ( )ht2cosppppρ:P

thkhkcosppppρ

121

221

21

22

++=

−−−+−++=

, que l’on transforme :

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )htsinpphtcosppρ:Q

htsinpp2pphtcospp2ppρ

htsinhtcospp2htsinhtcosppρ

221

221

2

21

21

221

21

22

221

2221

22

−++=

−++++=

−+++=

On pose deux nouvelles inconnues : ρ 11 pp += et ρ 12 pp −= . On a donc

. Étudions la fonction ρ en fonction du temps : ( ) ( ) ( )htsinρhtcosρρ:Q 222

221

2 += 2

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )( )21

22

2

22

21

2

ρρhtsinhtcosh2dtρd

htcoshtsinh2ρhtsinhtcosh2ρdtρd

−=

+−=

. si on suppose ρ 12 ρ< ,

on a le tableau de variation suivant :

t 0 h2π hπ h2π3 hπ2

( )htcos + - - +

( )htsin + + - -

( )21

22 ρρ −

- - - -

( ) dtρd 2

- + - +

2ρ 21ρ

22ρ

21ρ

22ρ

21ρ

Les variations de nous indiquent clairement que 2ρ 12 ρρρ << :

Donc, il est nécessaire que r1ρ soit une petite quantité pour que ρ soit une petite

quantité, c’est-à-dire, pour que l’on se trouve dans le cadre de petites oscillations. Et par

définition, , où p et p11 ppρ +=1 sont des réels tels que ( ) ( )εtµcospεtµcospx 11 +++=

et ( ) ( )εtµsinpεtµsinpy 1 += 1++ . Les longueurs x et y restant négligeables devant r ; p et

p1 restent eux aussi négligeable devant r, donc, rρ1 est une petite quantité.

Seconde partie de la résolution

ρ est périodique, c’est-à-dire qu’on remarque qu’après chaque période

hrπ

hπt ==

, ρ reprend la même valeur ( ( ) ( )htsinρhtcosρρ 222

221 += ). Mais il n’en va

pas de même pour x et y :

Remplaçons µ et µ1 par leurs valeurs (respectivement kh − et ) dans

l’expression de x et de y :

kh −−

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) (

( )( ) ( )( ) ( )

+−−−+=+−+−+=

−+−+−+=+++=−+

)−+−++++=

ktεhtsinpktεhtsinpyktεhtcospktεhtcospx

:R

ktεhtsinpktεhtsinpεtµsinpεtµsinpyktεhtcospktεhtcospεtµcospεtµcospx

1

1

111

111

que l’on transforme de sorte que cela devienne :

( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ([ ]( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( )( )

)

( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

−++−−=

−−−−+=

−++−−=−−−+−+−=

−−+−+=−−−−+=

−+−+−−−=−−+−+=

ktεsinpphtcosktεcospphtsinyktεsinpphtsinktεcospphtcosx

:R

ktεsinpphtcosktεcospphtsinyhtcosktεsinktεcoshtsinphtcosktεsinktεcoshtsinpy

ktεhtsinpktεhtsinpyktεsinpphtsinktεcospphtcosx

ktεsinhtsinktεcoshtcospktεsinhtsinktεcoshtcospxktεhtcospktεhtcospx

11

11

11

1

1

11

1

1

1p+ 1pp− 1 2

( ) ( )On remplace p et par leur valeur respective ρ et ρ , on a donc

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )−+−=−−−=

ktεsinhtcosρktεcoshtsinρktεsinhtsinρktεcoshtcosρ

12

21

1

( )ktεcos −

yx

:R

2ρ. D’où l’on tire l’expression de ρ et de

en fonction de x, y, et ( )ktεsin − :

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )ktεsinyktεcosxktεsinktεsinhtcosρktεcoshtsinρktεcosktεsinhtsinρktεcoshtcosρktεsinhtcosρktεsinktεcoshtsinρ

ktεsinktεcoshtsinρktεcoshtcosρ

ktεsinhtcosρktεcoshtcosρ

ktεsinktεcoshtcosρhtcosρ

12

21

212

22

1

21

21

2211

−+−=−−+−+−−−−=−+−−+

−−−−=

−+−=

−+−=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )ktεcosyktεsinx

ktεcosktεsinhtcosρktεcoshtsinρktεsinktεsinhtsinρktεcoshtcosρktεsinktεcoshtcosρktεcoshtsinρ

ktεsinhtsinρktεsinktεcoshtcosρ

ktεsinhtsinρktεcoshtsinρ

ktεsinktεcoshtsinρhtsinρ

12

21

12

2

221

22

22

2222

−+−−=−−+−+−−−−−=−−+−+

−+−−−=

−+−=

−+−=

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

−+−−=−+−=

ktεcosyktεsinxhtsinρktεsinyktεcosxhtcosρ

:S2

1

On considère maintenant que les coordonnées x et y de la sphère suspendue au fil

sont celles du projeté P de la sphère sur le sol comme décrit par le schéma suivant :

Ceci est possible étant donné qu’on se trouve dans le cas de petites oscillations,

donc la sphère rase le sol et se trouve non loin de P.

Soit tel que et υ υcosρx = υsinρy =

Remarque : Binet appelle υ un « azimut de la projection horizontale P mesurée de l’Est

vers le Nord », c’est-à-dire une direction ; mais, en réalité, puisque x et υcosρ=

υsinρy = , on peut considérer que l’on se place en coordonnées polaires où ρ et υ sont les

coordonnées polaires, ρ étant la distance de P au pôle et υ l’angle entre l’axe polaire des x et

la droite (OP).

En remplaçant les coordonnées cartésiennes x et y par les coordonnées polaires de

P ρ et υ dans les équations (S), on obtient :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

+−=+−=

+−=−+−−=−+−−=

−+−−=+−=

−+−=−+−=

−+−=

ktευsinρhtsinρktευcosρhtcosρ

:T

ktευsinρhtsinρktεcosυsinktεsinυcosρhtsinρktεcosυsinρktεsinυcosρhtsinρ

ktεcosyktεsinxhtsinρktευcosρhtcosρ

ktεsinυsinktεcosυcosρhtcosρktεsinυsinρktεcosυcosρhtcosρ

ktεsinyktεcosxhtcosρ

2

1

2

2

2

2

1

1

1

1

À partir de maintenant, on notera ( ) ( ktευcosρhtcosρξ 1 +− )== et

( ) ( )ktευsinρhtsinρν 2 +−==

υcosρx = υsi. Concrètement, on remarque que, puisque ρ et

et

22 yx +=

nρy = , ξ et ν sont les projections de P dans un plan tel que les

coordonnées polaires de P soient ρ et ν, on a donc un axe polaire en décalage par rapport à

l’axe des x, et ce décalage vaut ktε − : on note ξ l’axe des abscisses et ν celui des

coordonnées dans cette nouvelle base, qui, il faut le rappeler, est mobile dans le repère

(Oxyz), en effet, l’angle où S est la projection orthogonale au sol du point de suspension

du pendule, vaut et dépend donc du temps.

ξSx

ktε −

On a donc ( )

1ρξhtcos =

et

( )2ρνhtsin =

. Ces relations donnent l’équation :

( ) ( )

( ) 22

2

21

2

2

2

2

1

22

ρν

ρξ1:U

ρν

ρξhtsinhtcos

+=

+

=+

.

Ceci est l‘équation d’une ellipse, en effet, ρ1 et ρ2 sont fixés, donc, ξ et ν sont les

coordonnées d’un point qui décrit une ellipse, donc le grand axe est et le petit axe est

. Mais il ne faut pas oublier que le grand axe de cette ellipse possède un mouvement

rétrograde par rapport à la rotation de la Terre, tel que l’orientation de cet axe par rapport à

l’axe de référence des x soit de ε .

1ρ2

2ρ2

kt−

Interprétation des résultats obtenus

Lorsqu’on donne un mouvement au pendule, l’oscillation se trouve dans le plan

. La vitesse de rotation du plan du pendule est donc de ktε −( ) k

dtktεd

−=−

, soit, en valeur

absolue, γsinn=k .

Si on se trouve au pôle, on a °= 90γ , donc nk = , le plan d’oscillation du pendule

tourne à la même vitesse que la Terre ; au contraire, si on se trouve à l’équateur, °= 0γ ,

donc , c’est-à-dire que le plan d’oscillation du pendule ne change pas, on se trouve

dans le cas du pendule simple dans un référentiel galiléen, comme si on négligeait la

rotation de la Terre.

0k =

Durée d’une oscillation

grπ

Déviation du plan du pendule pendant une oscillation

grπγsinn ⋅

Vitesse de rotation du plan d’oscillation du pendule γsinnk =

Conclusion

Jean Léon Foucault fût un véritable touche à tout génial. Rares sont les disciplines

scientifiques où il ne laissa pas sa trace. D’un point de vue pratique, nous sommes

aujourd’hui les héritiers de son gyroscope, de sa méthode dite de « Foucaultage » (contrôle

de la surface des miroirs encore utilisé par les astronomes et les opticiens) mais aussi dans

le domaine de la microphotographie ou des télescopes. D’un point de vue théorique, il

apporta également une contribution non négligeable que ce soit par ses mesures de la

vitesse de la lumière ou par ses recherches sur les courants dits de « Foucault ».

C’est par cet équilibre entre recherches fondamentales et recherches appliquées

que vient l’originalité du savant qu’était Foucault et qui ont fait de lui le grand chercheur

que nous connaissons.

Toutefois c’est surtout pour l’expérience du pendule qui porte son nom que l’on se

souvient de Foucault. En effet, cette dernière s’est distinguée des autres expériences

scientifiques qui sont le plus souvent réservées aux initiés, par la relative simplicité de sa

mise en œuvre et le fait qu’elle mettait à la portée du regard de tous, du plus grand

physicien au plus modeste citoyen, la rotation de la Terre. Son caractère spectaculaire fit sa

grande popularité qui provoqua une véritable manie du pendule à travers le monde. Dans le

cercle restreint des physiciens, cette expérience fut le prétexte à de nombreuses théories

plus ou moins proches de la réalité qui, d’un côté, révélèrent des erreurs commises par

certains par le passé et de l’autre, confirmèrent des travaux alors non vérifié par la pratique.

Dans la continuité de cette expérience, Foucault créa le gyroscope, outil qui a eu et

qui a encore une importance capitale de nos jours, avec les gyro-lasers, dans le domaine de

l’aéronautique ou de la marine.

Aujourd’hui, Foucault n’est pas oublié, son pendule est devenu, en quelque sorte,

une œuvre d’art que l’on peut admirer partout dans le monde que ce soit en Europe, aux

Amériques, en Asie ou sur tout autre continent et qui continue à fleurir ici et là.