La stratification naturelle des espaces de fonctions différentiables réelles et le théorème de...

INTRODUCTION

I S O T O P I E ET P S E U D O - I S O T O P I E

x. Le problt~ne de la pseudo- isotopie .

Soit V une vari~td diffdrentiable de classe Ca~ dans tousles cas qu'on consid~re, V e s t en plus compacte, sans bord, et orientable; sa dimension est notde n - - i .

On note Di f fV le groupe des diffdomorphismes d'orientation positive de V; on munit Diff V (ainsi que tousles espaces de fonctions diff~rentiables qui vont intervenir) de la topologie C ~.

On va d~finir deux relations d'~quivalence dans DiffV.

Ddfinition 1. - - Une isotopic de V est un chemin diffdrentiable dans Diff V, d'origine l'identit~, i.e. une application :

I~t ~ f t e D i f f V

telle que :

(off I = [o, I ])

iN(x ) = x VxeV I I'application (x, t) ~ f ( x ) est diff6rentiable.

L'application :

(x, t) (f,(x), t)

est alors un diff~omorphisme du cylindre V • I. L'ensemble des isotopies de V s'identifie done au sous-groupe W de Diff(V• I) form~ des g tels que :

io g(x, o ) = x , V x~V;

2o p o g - ~ p (off p d~signe la projection VxI- -+I) .

Le groupe ~ op~re dans Di f fV par la formule :

g . f ( x ) = g ( f ( x ) , I).

Deux 616ments de D i f fV qui sont dans la m6me orbite sont dits isotopes. Les orbites coincident avec les composantes connexes de Di f fV muni de la topologie C ~ (car tout chemin continu darts D i f fV peut ~tre approch6 par un ehemin diffdrentiable).

D~finition 2. - - Une pseudo-isotopic de V est un difffiomorphisme de V • qui

vfirifie la condition io (mais pas n~cessairement 2~

187

8 J E A N C E R F

Les pseudo-isotopies de V forment un groupe qu'on note ~ ; ff op~re dans Di f fV; deux ElEments qui sont dans la m~me orbite sont dits pseudo-isotopes.

Comme 9~ c if, << isotope >> implique << pseudo-isotope >>. Problkme. - - Sous quelle condition ces deux classifications sont-elles les m~mes ?

2. R ~ s u l t a t s .

TMor~me O. - - Soit V une varigt~ compacte sans bord de classe C ~ Si ~ l ( V ) = o et

dimension V~> 5, alors le groupe ~ des pseudo-isotopies de V e s t connexe.

CoroUaire 1. - - Sous les hypothkses du thdorkme O, les deux classifications de Diff V (isotopic

et pseudo-isotopic) sont les rMmes.

[En effet, les orbites de ff sont alors connexes; comme elles contiennent les orbites de of ~ qui sont les composantes connexes, ce sont les composantes connexes.]

CoroUaire 2. - - Pour n>>-6 :

I ~ ~0(DiffD") = o; 2 ~ %(DiffS "-a) ~ F,; 3 ~ =l(DiffS "- l ) est une extension de F,+ 1.

[En effet, tout diffdomorphisme g de D" peut ~tre ddformE par isotopic de mani~re ~ induire l'identitE sur la boule de rayon moitiE D'"; la restriction de g k la

couronne D"--D'" s'identifie alors ~ une pseudo-isotopic h de S"-a; le thdor&me o permet de dEformer h isotopiquement en l'identit~; ceci prouve le i o. On passe de 1~ au s o et au 3 ~ au moyen de la suite exacte classique :

~l(Diff S"- t) _+=0(Di ff S") -+=0(Diff D") ~=0(Diff S"- l) _+ F,-+o.]

Remarques. - - I. J ' a i annoncE le thdor~me o dans [4], sons des conditions plus restrictives (dimension V~> 9 et rcl(V ) = =2(V) = o).

2. Les premiers exemples de ~(DiffS") non triviaux pour i>_-I sont dus

S. P. Novikov [I3].

3. L'analogue du thdor~mc o dans la categoric PL a Et6 ddmontrd inddpendamment par C. lV[orlet [12] et C. P. Rourke.

Leur mEthode (qui nEcessite ~ l ( V ) = o ) consiste ~ ramcner (dans chacunc des categories DIFF et PL) le cas gEnEral k celui de la sphere S"- l ; ce dcrnier cas est rEsolu trivialement dans la catdgorie PL par la << retraction d'Alexander >>, dont on sait qu'elle nc s'appliquc pas au cas diffdrcntiablc. Dans la categoric DIFF, la difficultE est exactement la m~me dans le cas de la sphere et dans celui de n'importc quelle variEt6 simplement connexe.

4. La question << pscudo-isotopie entralne-t-elle isotopie? >> admet une gdndralisation

naturelle ~ k param~tres. Soit o un point marque sur Sk; tout diffdomorphisme de V x S k qui respecte la projection sur S ~, laisse fixe V • {o}, et peut se prolonger en un diffEo-

morphisme de V • k+l, peut-il se prolonger en un diffdomorphisme de V • k+l qui

188

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 9

respecte la projection sur D ~+i ? Dans [I2], Mor]et munit D i f fV de deux complexes,

l'un donnant l 'homotopie ordinaire, l 'autre la notion d' << homotopie , qui g~n6ralise un nombre quelconque de param~tres la notion de pseudo-isotopie; le k i~me groupe

d'homotopie relatif de ces deux complexes est nul exactement lorsque la r~ponse ~ la question ci-dessus est positive. Morlet montre qu'il e n e s t ainsi dans la cat~gorie PL

pour tout k<~c lorsque V e s t c-connexe. On peut faire la conjecture analogue pour

la catfigorie DIFF.

5- La notion g6n6ralisant celle de pseudo-isotopie (relative aux diff~omorphismes) aux plongements d'une vari&~ dans une autre est appel& en gfinfiral << concordance )>. Rappelons le r~sultat maintenant classique de J . F. P. Hudson [7] : en codimension/> 3, la concordance entraine l'isotopie; ce r6sultat (valable dans les categories DIFF et PL) a ~t~ gfin~ralis~ ~ plusieurs param&res par Morlet [I2].

6. Dans l'~noncfi du th~or~me o, les hypotheses de compacitfi et de simple connexit~ sont essentielles; cela r&ultc de deux contre-exemples de L. Siebenmann [I5], qui associe ~t une pseudo-isotopie un invariant de torsion. Notons aussi qu 'un autre pas en direction d 'une th6orie g6n~ralisant ~ i param&re celle du s-cobordisme a fitfi fait tout r&cmment par A. Chenciner et F. Laudenbach [6].

3. L a f o r m e (~ f o n c t i o n n e l l e ~ d u t h 6 o r ~ m e o.

Soil o*" l'espace des fonctions de classe C * : V • (I, o, i) ~ (I, o, i) sans point critique sur le bord. Pour d6montrer

(i)

on fa.it op~rer fr gauche dans ~" par la formule :

g . f = f o g -1.

On d*signe par o a l e sous-espace de ~- form~ des fonctions qui n'ont aucun point critique.

Lemme. - - Soit p la projection V x I - + I . L'espace o ~ est l'orbite de p pour les opdrations de ~; fr est horadomorphe ~ ~ x d'.

Ddmonstration. -- I1 est clair que l 'orbite de p est contenue dans o ~, et d'autre part que 9f ~ est le sous-groupe de ~r form~ par les ~l~ments qui laissent p fixe. I1 suffit done de montrer l'existence d'une section s : d ' -+~ pour l 'application g ~ p o g -1.

Pour construire une telle section, on choisit une m&rique riemannienne sur V • I. Soit f~@, on d6finit l'fiMment g = s ( f ) par : << g(x, t) est le poin ty de la ligne de gradient d e f i s s u e du point (x, o) qui v~rifie f ( y ) = t ~.

On a : p o g - X ( y ) = t = f ( y ) ;

autrement dit, pog - t = f ; donc s est bien une section.

Puisque W e s t contractile, (I) fiquivaut ~ :

(2)

189 2

~o J E A N CERF

Puisque ~" est une partie convexe de ]'espace vectoriel de toutes les fonctions

rfielles ddfinies sur V • (2) dquivaut ~ :

( 2 ' ) = o .

Ceci appara~t comme une g~nfiralisation ~ I param~tre de la th~orie du h-cobordisme de Smale. Les espaces analogues ~ ~ e t o~" peuvent en effet ~tre d~finis pour toute triade (W, V, V'). La thfiorie de Smale consiste ~ montrer que (moyennant des conditions homotopiques convenables et une condition de dimension) W e s t diff~omorphe au cylindre V • I; or les cylindres sont caract~ris~s parmi toutes les triades par la condition g o e O, qui peut s'ficrire :

= o .

4. Pr inc ipe de la d 6 m o n s t r a t l o n de (2') : s t ra t i f i ca t ion na ture l l e et f i l trat ion de S m a l e de ~ .

D'une fa~on g~n~rale, une suite E ~ E ~ , . . . , E~ , . . . de sous-espaces d 'un espace topologique E sera appelde stratification de E si les E i forment une partition de E, et si E ~ l u . . . u E ~ e s t ouvert pour tout i.

La notion de stratification naturelle des espaces d'applications diff~rentiables d'une varidtd dans une autre a 6td introduite par Thom; les travaux rdcents de J . Mather [9] l 'ont dclairde d 'un jour nouveau (of. I, 3)- La strate o ~-~ de la stratification naturelle de l'espace o~- est d~finie comme l'ensemble des fonctions <( de codimension i )), la codimension d'une fonc t ion fpouvan t fitre ddfinie (au moins pour les petites valeurs de i)

comme la somme des << codimensions >) des points et des valeurs critiques de f . Une valeur critique de codinaension o, i, etc., est une valeur critique simple, double, etc. Un point critique de codimension o est un point critique du type de Morse (c'est-~t-dire quadratique non ddg~n~r~); un point critique de codimension I e s t un << point de naissanee >>. La (< strate ~) .~-o est done l'espace des fonctions (< excellentes )) au sens de

Thorn : celles dont tousles points critiques sont du type de Morse, et toutes les valeurs critiques distinctes. D'apr~s un thdorbme classique de M. Morse, o~'0 est ouvert et dense dans ~ ' . La strate ,~1 est la rdunion (disjointe) de o~-~ et ,~-~ ddfinis comme suit :

f a un point de naissance; t ous l e s autres

feo~-~-~ } P2~t22 2tiqa~2Sur]~176 ;.

I tousles points critiques sont du type de Morse ;

feo~-~ ~ i t o u t e s les valeurs critiques sont distinctes,

sauf exactement deux d'entre elles.

o ~-1 est une sous-vari~tfi de codimension i de o~~ ~1 et le compl~mentaire

de ,~~ o~'~ dans o~- est de codimension sup~rieure ~ x, ce qui peut fitre pr~cisd comme

suit. On dit qu 'un chemin Y a valeurs dans ~- est bon si T(t) so~-0, sauf pour un nombre

190

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E ET T H ~ O R I ~ M E DE LA P S E U D O - I S O T O P I E t t

fini de valeurs de t, et si, pour ces valeurs exceptionnelles, y(t) traverse .~'I; alors l'espace des bons chemins de a r est dense dans l'espace de tousles chemins, muni de la topologie C ~

I1 r6sulte de ceci que, pour prouver (2'), il suffit de consid6rer les bons lacets relatifs de (~ ' , o*) et de mont rer que ehacun d 'eux peut ~tre d6form6 avec extr6mit6s fixes en un chemin de o ~. On utilise pour cela la filtration de Smale de o *-~ : pour d6montrer le th6or~me du h-cobordisme, Smale d6finit une filtration de l 'espace ~-0 relat if ~t une triade (W, V, V ' ) ; puis, par tan t d 'un 616ment fe,~-0 (dont l 'existence est assur6e par le th6or~me de Morse), il construit (sous des hypotheses convenables) un chemin d'origine f , qui est bon au sens ci-dessus, q ui est d6eroissant pour la filtration, et qui about i t ~t un dl6ment f ' de @. La filtration utilis6e est la filtration lexicographique d6finie par les trois invariants suivants : le hombre d' inversions v (cf. V, I~X), ] ' intervalle des indices [ i , j ] (cf. V, 2 .2) , enfin le nombre total de points critiques. Une fonction pour laquelle ,~ = o est dite << ordonn6e >>. Les trois grandes 6tapes de la d6monstrat ion du thfor&me du

h-cobordisme sont les suivantes :

I) Existence d 'une fonction ordonn6e excellente. 2) Existence (pour i convenable) d 'une fonction ordonn6e dont l ' intervalle des

indices est [i, i + i ]. 3) Existence d 'une fonction sans point crit ique.

De m~me, pour d6former un bon lacet de (~ ' , g) , on le repousse de proche en proche dans des sous-espaees de filtration de plus en plus petite, de sorte que les trois grandes 6tapes de la d6monstrat ion du thfor~me o correspondent ~t celles du th6or~me de Smale :

i) L 'espace des fonctions ordonn6es est connexe (V, i . I, th6or6me ~). 2) L 'espace 0~'~ des fonctions ordonn6es dont l ' intervalle des indices est [i, i + x ]

est connexe pour i convenable (V, 2.1, th6or~me ~). 3) L 'espace des fonctions sans point cri t ique est connexe (VII , 4-2, thdor&me 3)-

5. Les l e m m e s s e m i - l o c a u x .

Les << cocellules ~> de codimension o e t I de ~" (c'est-~t-dire les composantes connexes de o *'~ et ~-1) ne sont pas acycliques en g6ndral. Au cours de la d6formation d 'un lacet sur ~-, on rencontre done un certain nombre d 'obstruet ions tt valeurs dans le nt des o-cocellules modulo leur bord ; d'ofl la ndcessitd de d6montrer un certain nombre de lemmes explicitant ces obstructions et donnant des cas de nullit6; on les appelle semi- locaux parce qu'ils met tent en jeu un petit nombre de cocellules. 11 est souvent commode de les expr imer en termes de graphique; le graphique d 'un chemin y ~t valeurs dans # - est la 'par t ie F de I • d6finie par :

(t, u ) e F - c ~ u est valeur cri t ique de 2.(t).

Les lemmes semi-locaux sont de deux sortes; les uns sont des lemmes de classification de ,~ chemins de travers6e ~> (chemins d 'origine un point donnd de ~-o, t raversant une

lois ~-1); voici leur interpr6tation en termes de graphique :

191

J E A N C E R F

Gonccrncnt la possibilitd de ddformcr

le graphique ci-comre

en le graphique ci-contre

Lemmes de croisement (I1, 4. ~, propositions 3 e t 4)

Unicitd des naissances (III, t . 3, corollaire 2)

_ i + t i + I .>- .< z i

Unicitd des morts (III, 2.4, proposition 4)

Les autres lcmmes scmi-locaux sont relatifs ~t la possibilitd de faire f ranchir ~t un

lacet une singularitd de codimension 2, au t rement dit une composante connexe de o~'".

Voici lcur in terprdta t ion en termes de graphiquc ct los schdmas correspondants dans

l 'espace fonctionnel (on se repor tc ra aux dnoncds pour les condit ions de validitd) :

Conccrne la possibilitd de ddformcr

le graphique ci-contrc

eta le graphique ci-contre

Schdma dam l'espace fonctionnel

(~ = nalsmnce, = c r o i s e m e n t )

Singularitd de codimertsion 2

correspondante

Lemme du triangle (IV, 2.~, proposition ~)

Point triple ddfini par l'~galitd

de 3 valeurs critiques

Lemme du bec (IV, 3.3, proposition 4)

Naissance un nivcau critique

L c m m e de la queue d'aronde

(IV, 4-3, proposition 5)

Singularit~ queue d'aronde

192

STRATIFICATION NA'FURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE i3

La ddmonstration de ces lemmes utilise la mEthode des << chemins Eldmentaires )~, dfveloppEe en I, 2, dans un cadre gEnEral : celui d 'une stratification de codimension dans laquelle un groupe topologique G op~re de fa~on que les orbites soient les cocellules et que sur chacune d'entre elles les operations admettent des sections locales continues. Le << lemme des chemins 61Ementaires )) affirme que dans ces cortditions on peut se borner, pour calculer les groupes d 'homotopie des espaces de chemins de traversfe, k consid6rcr des , familles EIEmentaires de chemins ~, c'est-~-dire essentiellement des families invariantes par les opfrations de G. Dans le cas de la stratification de ,~z- le r61e de G est jouE par le groupe Di f f (V•215 I; les families E1Ementaires sont d6finies dans chaque cas par transport d 'une << d6formation standard - relative au module de la singularitE correspondante. L'application du lemme des chemins El6mentaires rambne alors ~t un probl~me gEomdtrique (classification de certaines sous-vari6t6s), de difficult6 tr~s variable suivant les cas.

6. Par t i e ~ g l o b a l e ~ de la d 6 m o n s t r a t l o n .

Les thEor~mes I e t 2 (connexit6 de l'espace des tbnctions ordonnEes et de l'espace ~ ) se d6montrent sans grande difficultE h partir des lemmes semi-locaux (cf. chapitre V). Par contre, la demonstration du thEor6me 3 (passage de la conncxit6 de ~ ~t celle de l'espace g des fonctions sans point critique) pr6sente une difficultE de nature alg6brique; c'est ce qu i conduit ~t introduire le neff de ~ et, en fair, ~t le ddtermincr.

D'une faqon g6nErale, le nerf d 'une stratification E ~ E 1, . . . , E ~, . . . d 'un espace topologique E est l'ensemble ~0(E ~ tJ r~0(E a) u . . . u r~0(E ~) u . . . muni de la structure

de complexe simplicial ordonn6 d6finie par la relation A c ig. Soit o~,~ la partie de ~ formfe des fonctions ayant cxactement 2q points critiques

(fonctions ~ de type (i, q) ~) ; s o i t f unc telle fonction, et soit M une - vari6t6 interm6diaire de f~) (c'est-k-dire une vari6tE de niveau sEparant les points critiques d'indice i de ceux d'indice i + i ) ; M s6pare V x I en deux parties qu 'on note W + et Wff. On sait que Hi+~(Wff, M ) ~ H , _ i ( W ~ - , lVI),~Zq; certaines bases de ces groupes d'homologie sont ~ adaptEcs ~ f ~ au sens suivant : elles peuvent ~tre repr6sentdes par les classes fondamen-

tales d 'un syst~me de nappes de gradient issues des points critiques d e f . A tout f ' e ~ - ~ (sous-espace de .~,q form6 des fonctions pour lesquelles IV[ est une vari6tE interm6diairc), on peut associer l 'ensemble de ses couples de bases adaptdes; cet ensemble s'identifie ~t une classe de G L ( q , Z ) • modulo un sous-groupe de (Tq•215215 qui d6pend uniquement de la cocellule de f ' (T~ : groupe triangulaire; Sq : groupe sym6-

trique). On d6finit ainsi un morphisme :

: (Nerf de ~'M) ~ ~q • ~ ,

off ~q est un quotient du complexe dEfini sur le groupe GL(q, Z) par les gdn~rateurs

privil6giEs du groupe sym6trique (par exemple, un couple d'6lEments (g, g') est joint par une ar6te si et seulement si g' est de la forme gs o~t s est une transposition). On montre

193

x 4 J E A N C E R F

en utilisant essentiellement le lemme des croiscments ~ indices 6gaux que ~ est un morphisme de rev~tement. Cessant alors de fixer la vari6t6 interm~diaire M, on obtient un morphisme :

(Nerf de ~ , q) -+ 9~q

off 9/q est le complexe quotient de r215 (~q par des op6rations convenables de GL(q, Z) (cn particulier, le o-squelette de 9~q est isomorphe ~t l'espace des doubles classes ~ gauche et ~t droite de GL(q, Z) modulo le groupe triangulaire).

Un lemmc algfbrique, qui est le r6sultat principal du chapitre VI, donne un syst~me de g6n6rateurs du premier groupe d'homotopic relatif de ~ • ~q modulo l'orbite <~ neutre >> des op6rations de GL(q,Z). On constate alors que chacun de ces g6n6rateurs correspond ~t un certain type de singularit6 de codimension 2; les Icmmes semi-locaux relatifs ~t ces singularitds prouvent prdcisfment que ces g6n6rateurs se rel~vent dans le revfitement ~ en des chemins dont les images dans le nerf de 4 ,~ sont des lacets. On en d6duit facilement les thdor~mes 3 (connexitf de 8) et 4 (isomorphisme du nerf de 4 , q avec 9/q) ; ce dernier rfsultat a pour corollaires des thfor~mes de classification : par exemple, les fonctions excellentcs de type (i, q) sont classififes par un invariant ~t valeurs dans Tq\GL(q, Z)/Tq.

194

CHAPITRE PREMIER

S T R A T I F I C A T I O N S ET C H E M I N S I~L]~MENTAIRES

Apr~s avoir flxfi au w I la terminologie qu 'on utilisera en ce qui concerne les stra-

tifications, on d6montre au w 2 le << lemme des chemins 616mentaires >> (2.2, proposition I), outil essentiel des chapitres II , I I I et IV. Le w 3 contient la d6finition et une premiere

description de la stratification naturelle des espaces de fonctions rdelles diff6rentiables. Deux autres exemples de stratifications naturelles d'espaces d 'applications diffdrentiablcs

(qui jouent dans la suite un r6le auxiliaire, respectivement au w 4 du chapitre I I et

au w 2 du chapitre I I I ) sont 6tudi6s aux w167 4 et 5-

w x. S T R A T I F I C A T I O N S L O C A L E M E N T T R I V I A L E S

x .x . S t r a t i f i c a t i o n s .

D~finition 1. - - Soit E un espace topologique; une suite E ~ Ea, . . . , E~, . . . de

parties de E est appel~e stratification de E si elle forme une part i t ion de E (i.e., les E i sont disjoints deux ~ deux et leur rdunion est E), et si elle vfirifie la condit ion suivante :

E ~ ~ est ouvert pour tout ieN.

E muni d 'une stratification est dit << espace topologique stratifig >>; E ~ s'appelle la i i~m~ strate de E. Les composantes connexes par arcs des strates sont appelfies cocellules de la stratification.

Exemple de stratification. - - Soit V une vari~td triangulde de dimension n; soit Vi le i-squelette de V pour i>~o, et Vi=lO pour i < o ; la stratification de V d6finie p a r :

V~- -V ,_~- -V ,_ i_ I pour tout i o n

est appel~e stratification naturelle dc V. On rcmarquera les deux propridt~s suivantes :

i) Pour tout ioN, V ~ + l c V ~.

2) Pour tout ioN, V ~ est une sous-vari~t~ de codimension i de V.

La propri~t~ i) est vdrifi~e par toutes les stratifications quc nous utiliserons dans

la prat ique; la propri~t~ 2) est v~rifi~e par toutes les stratifications de varidt~s (de dimen-

sion finie ou infinie) que nous rencontrerons.

195

16 J E A N C E R F

Morphismes d'espaces stratifi/s. - - Soient E et E' deux espaces topologiques stratifies;

un morphisme E--->E' est une appl icat ion cont inue f : E-->E' telle que

f ( E ~ ) c E '~ pour tout i eN .

Ceci ddfinit la cat/gorie des espaces stratifies.

Stratification induite. - - Soit E un espace topologique stratififi; soit A c E ; on

appelle stratification induite par E sur A celle d6finie sur A par

A ~= A n E i pour tout i~N.

Stratification produit. - - Soient E et E ' deux espaces topologiques stratifids; la stra-

t ification de E • d6finie par

= E J • ' (E x j+ U=

est appel~e stratification produit des stratifications de E et E' .

x .2. S t r a t i f i c a t i o n s l o c a l e m e n t t r l v l a l e s .

La stratification triviale d 'un espace topologique E est celle ddfinie par E~

D/finition 2. - - Soit E un espace topologique stratifid; la stratification de E est dite

localement triviale si, pour tout xeE , il existe

- - un espace topologique stratifid X , ayan t une strate ponctuel le {o};

- - un espace topologique Y (muni de la stratification triviale) et un point y E Y ;

- - un morphisme q~ : X x Y ~ E ,

tels que r -=x, que l ' image de ? soit un ouver t U de E, et que q~ ddfinisse un isomor-

phisme de X x Y sur U (muni de la stratification indui te par E).

T o u t morphisme ? du type ci-dessus est appel6 carte locale de E en x; on dit que X

est un modkle transverse de la stratification en x. O n dit qu 'un morphisme t~ : X - + E est

une carte transverse de E en x s'il existe une carte locale ? teUe que '~ (z ) -=?(Z,y) pour

tout z e X .

Remarques. - - i) Si q0 est une carte locale de E en x, d ' image U, la strate de x

dans U est q~({o}xY); U dtant ouvert , il en rdsulte clue ~ ( { o } x Y ) est un voisinage

ouver t de x dans sa strate.

2) Si E est un espace stratifid localement trivial et localement connexe pa r arcs,

alors toutes les strates de E sont localement connexes par arcs.

�9 .3. S t r a t i f i c a t i o n s c o n i q u e s , s t r a t i f i c a t i o n s c o m b i n a t o i r e s .

D/finition 3. ~ Soit S un espace stratifi~ ayant un n o m b re fmi de strates S ~ S 1, . . . , S".

On appelle c6ne ouvert de S l 'espace stratifid suivant : son support topologique est le c6ne

ouver t C ( S ) - - S ; la stratification sur le compldmenta i re du sommet est celle ddfinie

196

STRATIFICATION NATUREI.LE ET THI~.OR]~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 17

par la stratification produi t de celle de S par la stratification triviale de ]o, I [; le sommet

est l 'unique 616ment de la ( n + I ) i~m' strate.

D~finition 4. - - Soit E un espace stratifid. La stratification de E est dite conique

si elle est localement triviale et si, pour tout xEE, il existe un mod61e transverse de la

stratification en x qui soit un c6ne ouvert.

Dgfinition 5. - - Soit E un espace stratifi6; la stratification de E est dire combinatoire

si elle est conique, et si pour tout i>~ o et pour tout xeE i, il existe un module transverse

en x qui soit le c6ne ouvert d 'une ( i-- i )-sph~re combinatoi rement triangulde (munie

de la stratification naturelle, cf. i . i).

Exemple de stratification combinatoire. - - Si V est une vari6t~ combinatoi rement trianguMe, la stratification naturelle de V constitue 6videmment un exemple de strati-

fication combinatoire; d 'autres exemples seront donn~s aux w167 3, 4 et 5.

w 2. S T R A T I F I C A T I O N S D E C O D I M E N S I O N x

L E M M E D E S C H E M I N S ~ . L I ~ M E N T A I R E S

2. x. S t r a t i f i c a t i o n s d e c o d i m e n s i o n �9 ; c h e m l n s d e t r a v e r s ~ e .

Dgfinition 1. - - Soit E un espace topologique; une stratification de codimension i de E

est une stratification conique (of. x.3) ~ deux strates non vides E ~ et E a, telle que, pour tout y e E a, il existe un module transverse de la stratification e n y qui soit le c6ne ouvert

d ' un ensemble fini.

Exemples. - - i) E est une vari~t~ (de dimension finie ou infinie), E 1 est une sous-

varidt~ de codimension I de E. 2) V ~tant une vari~t~ triangulde munie de sa stratification natureUe, E ~ i,

E 1 = V i + l .

On verra d 'autres exemples au w 3 du chapitre II .

Lemme 1. - - Soit E un espace topologique muni d'une stratification de codimension I. Soit

yeE1; soit T l'image d'une carte transverse de E en y ; on note .LP u l'espace des applications

continues (I, o, ]o, i]) ~ (E ,y , E~ muni de la topologie C ~

Il y a un isomorphisme canonique %(-~u) ~ %(T--y) ; chaque composante conn~xe de "~v

est acyclique.

Dhnonstration. - - Soit ? une carte locale de E en y telle que la carte transverse

correspondante ait T pour image; soit U l ' image de % On considSre sur T et sur U

la stratification induite par E, et on note .o~u(T), s les espaces analogues

_~~ v. II est clair que % ( . ~ ( T ) ) est canoniquement isomorphe ~ %(T--y) , et

que chaque composante connexe de ~~ ) est acyclique. Or les injections naturelles

.L~~ ~ .L~u(U ) ~ . ~ sont l 'une et l 'autre des ~quivalences d 'homotopie faibles (la

197

3

18 .JEAN C E R F

premiere parce que .o9~ ) est canoniquement homdomorphe au produi t de .SPu(T )

et de l 'espace des chemins d ' o r i g i n e y dans U n E a; la seconde, parce que tout compac t de .L# u peut ~tre d6form6, par une homothdtie convenable de .LPv, jusque dans l ' image de .L~~ ceci ach~ve la d~monstration.

D~finition 2. - - Soit y un chemin I - + E ; soit t o un point isol6 de y-l(EX); on note y( t0)=y . Si t0e]o , I [, le germe de y e n t o d~finit un couple d'616ments de =0(5~v) ; si ces 6ldments sont distincts, on dit que y traverse E ~ en y pour la valeur t o du pararaktre.

On dit que y est un bon chemin si y-X(E~) n 'a qu ' un nombre fini d'dldments, et si pour chacun d 'entre eux u traverse E 1. U n bon chemin traversant E ~ une seule lois est appel6

chemin de traversge.

Lemme 2. - - Soient E, y , T comme au lemme 1. Soit cg v l'espace des chemins de traversde

de E 1 en y (muni de la topologie CO); soit R u le compldmentaire de la diagonale dans

r~0(T-y ) • ). Il y a un isomorphisme canonique : r r R.u, et chaque composante

connexe de ~ est acyclique.

Dgmonstration. - - Soit ~r ~ la part ie de <gV form6e des chemins dont le param~tre

de travers6e est i - ; compte tenu du lemme I, il suffit de mont rer que l ' injection 2

,1-~'~v induit un isomorphisme pour tous les groupes d 'homotopie . I1 suffit donc

de montrer que l 'appl icat ion v qui ~ tout ~l~ment de :dv associe son param~tre de travers~e est une fibration localement triviale; or le groupe W des hom6omorphismes croissants de [o, I] op6re ~ gauche dans ~u (par la formule g.y----yog -1) ct dans ]o, I [ de mani~re compat ible avec x; en plus, les op6rations de 9ff dans ]o, I [ admet ten t des sections locales continues; comme il est bien connu (cf. [3], P. x 15, lemme i), ceci suffit ~ 6tablir la

trivialit~ locale de -r.

2 2. L e m m e d e s c h e m i n s ~ l ~ m e n t a i r e s .

Soit E un espace topologique muni d 'une stratification de codimension I. Dans ce numdro, on suppose qu 'on s'est donn6 un groupe topologique G op6rant (h gauche) continflment dans E en respectant la stratification.

On ddsigne par (a~) (pour i = o , I) la propridt6 suivante :

~< Pour tout x eE i, la strate de x coincide au voisinage de x avec l 'orbitc de x, et l 'appl icat ion g ' ~ g . x est une fibration localement triviale de G sur l 'orbite

de x. ),

O n notcra que les opdrations de G dans E ddfinissent de fa~on naturelle des op6rations de l 'espace des chemins de G dans l 'espace ~ des chcmins de traversde de E t

(cf. 2. I) et, par rcstriction, des opdrations de G dans q~.

Proposition 1. --- Soit E un espace topologique muni d'une stratification de codimension I,

dans laquelle un groupe topologique G opkre en vdrifiant les conditions (ao) et (ai) ci-dessus. (Pour

198

S T R A T I F I C A T I O N NATURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 19

le 2 ~ la condition (ao) suffit.) Soient 4 ' et 4 " deux parties de l' espace 4 des chemins de travers& de E 1 telles que 4 " c 4 ' . On suppose que :

(I) 4 ' et 4 " sont stables pour les opgrations de G dans 4 .

Pour tout xeE , on dgsigne par 4'~ (resp. 4'=') :

- - si xeE ~ la pattie de 4 ' (resp. 4 " ) form& des chemins d'origine x;

- - si x e E 1, la partie de 4 ' (resp. 4 " ) formde des chemins qui passent par x.

I ~ Pour tout ~ 4 " , soit x l'origine de ~, soit y son point de traversge, ll y a un

isomorphisme canonique :

=j(4'~, 4'~'; ~) U~ ~j(4s ~r ~) pour tout j>>. i.

2 ~ Si la condition suivante est ve?ifie'e :

(2) r:.o(4s 4s pour tout y e E t,

alors = o ( 4 ; , 4 ~ ' ) = o pour tout xcE ~

3 ~ Soient plus g~ne'ralement 4 ' et 4 " deux sous-complexes de Kan du complexe singulier Z(4)

de ~ , tels que ~ " c ~ ' ; on note 4 ' et 4 " les o-squelettes respectifs de ~ ' et ~'". On suppose que :

(T) Ug, et ~ " sont stables pour les opgrations du groupe simplicial Z(G) clans E(4).

Alors, pour tout ~ e ~ " , soit x l'origine de ~, soit y son point de travers/e; il y a un isomor-

phisme canonique :

=j(%, % ; = ,=j(%, 4,,, Si, en plus :

(~ ) =o(4y, 4 u ) = o pour tout y e E 1,

alors =o(Y#;,~'_')=o pour tout xeE ~

Corollaire. - - Soit E un espace topologique localement connexe par arcs (l.c.a.) rnuni d' une strati-

fication de codimension i dans laquelle un groupe topologique G op~re en v/rifiant les conditions (ao) et (at). Soit 4 ' une r~union de composantes connexes de l'espace 4 des chemins de travers/e de El;

soit ~ " une partie du complexe singulier Z ( 4 ' ) qui soit stable pour les op/rations de Z(G); on

note 4 " le o-squelette de ~ " . Alors, pour tout ~e 4 " , soient x et y l'origine et le point de travers/e de ~, et 4'~' la partie

de 4 " form/e des chemins ayant mgme point et mgme sens de travers/e que ~; il y a un isomorphisrae

canonique (1) i ~ ' t t / ~ l ! o ~j(4~,4, ; ~ ) ~ = j _ a ~ , ~) pour tout j > ~ .

Si, en plus, pour tout y e 4 ' , il existe un gl/ment de 4 " ayant mgme point et mgme sens de

travers/e que y, alors %(4'~, 4'~')= o pour tout x e E ~

(1) La notation rrj(~~ ~.~'; ~) ddslgne le groupe ,-:.t(Z(~f'z), ~ ' ; ~)),

199

~o J E A N CERF

C'est la partie de ce corollaire relative au % dont on fera l'usage le plus frdquent

dans la suite sous le nom de ~< lemme des chemins ~14mentaires ~. En voici un 6none4 autonome :

Lemme des chemins ~ldmentaires. - - Soit E un espace topologique l.c.a, muni d'une stratifi-

cation de codimension i dans laquelle un groupe topologique G opkre en vdrifiant la condition (ao).

Soit c~, une rtunion de composantes connexes de l'espace ~ des chemins de traversge de El; soit c~,,

une partie de ~ ' qui soit stable pour les opdrations de G; les glgments de ~ " sont appelgs ~< chemins

~l~mentaires ~.

Si, pour tout 7e ~", il existe un chemin dldmentaire ayant rngme point et mgme sens de traversge

que y, alors tout 7 e ~ ' est homotope clans ~" (l un chemin gldmentaire, de fafon que l'origine reste

f ixe au cours de l'homotopie.

D~monstration du corollaire. - - Soit G, la composante connexe par arcs de l'dl6ment neutre de G. Puisque E est localement connexe par arcs, le fait que les op4rations de G v4rifient les conditions (%) et (a~) entratne que les opdrations de G~ v4rifient les m~mes conditions. Or l'hypoth6se faite sur ~ ' entratne que ~ ' est stable pour les opdrations de G~; on peut done appliquer la proposition I avec G~ dans le r61e de G, de sorte que le seul point qui reste ~ vdrifier est que, pour tout j~> ~, il y a un isomorphisme canonique :

~, , . ,

r ~ _ l ( ~ , ~). Or ~ est rdunion de composantes connexes par arcs de c~g; il r4sulte done du lemme ~ de ~. i que chaque composante de c~ est caract4risde par son sens de traversde, et qu'elle est acyclique; &off le r6sultat.

Dgmonstration de la proposition 1, ~o et 2 ~ - - Soit q l 'application ~ - + E t obtenue en associant ~ tout 616ment de ~ son point de travers4e. Le groupe G op6re dans ~ ' et dans E 1 de fa~on que le diagrammc :

G• ' > ~ '

id• (q[ ~r [q[ ~r

G • E 1 > E 1

soit commutatif. On sait (cf. [3], P. i i5, lemme I) que dans cette situation la condition (al) entra~ne que q IC~ ' est une fibration localement triviale. On montre de mfme que q] c~,, est une fibration localement triviale. C'est une propridt6 61dmentaire des paires de fibr6s localement triviaux de m6me base que, dans cette situation, pour tout ~ e ~ " (tel que q(~)=y) on a un isomorphisme canonique :

nj(~'v, ~ ' ; ~) ~ = F 6 ' , ~6"; ~) pour tout j ,>~;

en plus (sans que la locale trivialit6, ni par consdquent la condition (al) soient ndces-

saires), si %(if'g, ~'g')--o pour tout y e E l, alors %(if ' , ~")----o.

On proc~dc cxactcmcnt de la m~me fa~on pour l 'application p : ~ + E ~ qui

tout 616ment de ~' associe son originc. Utilisant la propridt6 (a0) , on montrc quc p [ ~ '

200


et p ] ~ " sont des fibrations localement triviales, et on en d~duit que pour tout ~ e ~ " (tel que p ( ~ ) = x ) on a un isomorphisme canonique

~ j ( ~ , c~'~'; ~)-~-rcj(~', ~ " ; ~) pour tout j~>I.

En plus (mais ici la locale trivialit6 est n~cessaire, et par consequent la proprifit~ (a0)), si %(c6", c6" ' )=o, alors %(c6'~, c g ; ' ) = o pour tout x~E ~ Ceci ach~ve la preuve du i ~

et du 2 ~ Preuve du 3 ~ - - C'est une transposit ion dans le cadre semi-simplicial de celle qui

precede. O n utilise les deux propri~tds suivantes des fibrds de K a n (qui correspondent aux deux propridt~s des fibrds localement tr iviaux utilis~es ci-dessus) :

(,) Soient C et X deux complexes de Kan, et soit p un morphisme C - + X ; soit Gun groupe simplicial opgrant simplicialement dam C et dam X de fafon qu'il y ait commutativitd du diagramme

G • �9 C

'd• 1 i p G • > X

et que, pour tout sommet x o de X, le morphisme G - + X (ddfini par G, gg ~ g.X(o")eX) soit une fibration de Kan. Alors p est une fibration de Kan.

[Dgmonstration.--Soit x e X , ; soit ke{o, I , . . . , n}, et soient, pour o<<.i<<.n et iaek, q e C , _ t tels que :

l a, cj = dj_ p(q)=d~x pour i<j .

O n a, pour tout

D 'au t re par t :

Soit x 0 le sommet de x qui est opposd ~ la face dkx; et soit q le morphisme G - + B ddfini par le complexe ponctuel {x0} ; puisque q est une fibration de Kan, on peut construire en gr impant sur le squelette un ~ldment g de G , tel que q(g)=x. Posons, pour i oek :

ddg -1) . q = ~ .

i+k : p(~,) =XCo "-~ .

done, puisque C est de Kan, il existc a e C , tel que les (n- - I ) - faces dep(a), ~ l 'exception de la k i~m", sont en %; il existe done ~ e G , , toutes les (n- - i ) - faces sauf la k i~m' sont en e, tel que q('~)=p(a).

Posons :

g ."~- l .a=c .

pour i < j ;

dia=c'~i pour tout i+-k. Toutes dont

201

22 J E A N C E R F

On a :

p ( c ) = g. ~ - ~.p(a) -= g.x(o")-= x; et, pour i :I: k :

dic = d,g. d / ~ - l . di.a = d,g. d,a = a,g. ~ = q.]

(**) Soient G un complexe de Kan, B u n sous-complexe de Kan de (3, X un comphxe de

Kan, et p un morphisme C ~ X ; on suppose que p e t p I B sont des fibrations de Kan. Pour tout x e X , soient B, et G, les fibres respectives de B e t C situges au-dessus de x; le morphisme naturel :

, j(C~, B,; b) --~ ~j(C, B; b)

est un isomorphisme pour tout sommet b de B, et pour tout j >_. I. En plus, il y a gquivalence entre la proprigtg %(C, B) -= o, et la propriltd , %(C~, B~) = o pour tout x e X ~.

[D4monstrat ion imm6diate ~ l 'aide des suites exactes d 'homotopie du triple (C, B, B~)

et du triple (C, C~, B~).]

Application des propridtgs ( . ) et (**). - - Le groupe simplicial Z(G) op6re dans ~"

et Z(E*) de fa~on compat ib te avec le morphisme Z(q) l~ ' ; il rdsuhe donc de la propridtd ( ,)

que ce morphisme est une fibration de Kan. On montre de meme que X(q) ]~" est une fibration de Kan ; on appl ique la propridtd (**) A cette paire de fibrations. Puis on proe~de exactement de la m~me fa~on pour le morphisme Z(p).

w 3. STRATIFICATION NATURELLE DES F.SPACES DE FONCTIONS RI~ELLES

Dans ce paragraphe , W d6signe, soit une vari6tfi compacte sans bord, soit une tr iade compacte de bord V u V ' ; dans le premier cas, on ddsigne par o~- l 'espace des fonctions r4elles de classe C ~' sur W ; dans le second cas, on d6signe par o~- l 'espace des fonctions C ~ : (W, V, V') ~ (I, o, I) sans point cr i t ique sur le bord (dont l 'dtude est l 'objet principal de ce travail) . O n d4signe par ~ le groupe D i f f W • ou, lorsque W e s t une triade, le groupe Diff(W, V, V ' ) • o, i ) ; le groupe N op~re

gauche dans o ~- par la formule :

(I) ~ • o~'~((g, g ' ) , f ) ~ g ' o f o g - l ~ o ~ .

3-*. Codlmens ion d'un point critique, d'une valeur critique, d'une fonct ion; stratification de ~-.

J. Mather a propos6 la dfifinition directe suivante de la codimension d 'un d l 6 m e n t f de o~" : c'est la codimension de l ' image de 1' << applicat ion linfiaire tangente - (1) l 'applicat ion (g, g')~ ~(g, g') . f de ~ dans o~'. Pour tout entier j~>o, on note o~ -J la patt ie

de o~" form4e des fonctlons de codimension j ; on note ~ ' ~ l 'espace des fonctions de

(1) Voir 'a d~fin-tlon precise en [9] ou [x72.

Z02

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 0 3

codimcnsion infinie. La suite .~,~-0, #-1, . . - , ~-j, . . . est une stratification de ~ - - - ~ ' ~

au sens de I, I. I ; on l'appe]le (abusivemcnt) stratification naturelle de ~ . E]le est respectde par lcs opdrations du groupe ~.

En fait, nous travaillcrons toujours sur un sous-cspace de .~', contenant notam- ment .,~-0, ~-a, ~-~. ct toutes les fonctions de Morse, sur lcquel il est possible de dEfinir

la codimension (de faw Equivalente ~ celle qui precede) par unc formule explicite simple; c'cst toujours cettc definition quc nous utiliserons.

Dgfinition 1. - - Soit feo~-; soit c un point critique de f i On appelle codimension du point critique c la (:()dimension de l'idEal engendrE par les germes des ddrivEes partielles premieres de f en c dans l 'anneau des germes de fonctions C ~~ : W---~R, nulles e n c .

Classification des points critiques de codimension o, I, 2. - - [On ddsigne dans la suite par n la dimension de W.]

a) Les points critiques de codimension zero sont les points critiques quadratiques non dEgEnErEs, encore appel6s points critiques du type de Morse. I1 est bien connu que leur

forme canonique est :

(2)

i est appeld indice du point critique. b) Les points critiques de codimension i sont les points d'inflexion gEnEralisEs,

encore appel6s points de naissance; leur forme canonique (el. par exemple [3], P. 17-18) est :

(3) - -x~- - . . . - - ~ , + x~+l + . . . + ~_~ + 4 ;

i s'appelle encore l'indice du point de naissance. c) Les points critiques de codimension 2 sont les points critiques du type queue d' aronde;

leur forme canonique est :

(4) ~ . - . - - g - { - ~ + l + - . . + ~ - t - - x ] ;

i s'appelle encore l'indice du point critique.

On remarquera que tout point critique c appartenant ~ l'un des trois types ci-dessus v6rifie la propriEtd suivante :

(,) Le germe en c de la fonction x ~ f ( x ) - - f ( c ) appartient g~ l'idgal engendrd par les getmes des dgrivdes partielles premikres de f en c.

Dgfinition 2. - - Soit f e ~ ' ; soit ~ une valeur critique de f telle que tous les points critiques situds au niveau o~ vdrifient la proprigtg (*). On appelle codimension de la valeur critique o~ le nombre de points critiques de f-t(0c), diminuE d'une unitE.

Dgfinition 3. - - Soit f E ~ ' ; on suppose que tousles points critiques d e f s o n t isoMs

et vdrifient la propridtd (,). Soit :

vl(f) := somme des codimensions des points critiques de f ;

v2 ( f )=somme des codimensions des valeurs critiques de f .

203

~4 J E A N C E R F

On pose :

(5) codimension f = ,q(f) + ,~(f).

Description de j~-o. __ La codimension d 'un ElEment f e o ~ ne peut fitre nulle que si vl(f) = v~(f)-= o; autrement dit tousles points critiques sont du type de Morse, et toutes les valeurs critiques sont distinctes; conformEment ~ la terminologie de Thom, nous dirons qu'une telle fonction est exceUente. C'est un rEsultat classique de Morse (que l'on peut dEduire facilement du thEor~me de transversalit~ de Thorn; cf. par exemple [3], P. 12) que l'espace ~ o des fonctions exceUentes est ouvert et dense dans .~'.

Description de .~ra. __ D'apr& (5), on peut avoir codimension f = I dans deux cas :

a) v l ( f ) = i et v2( f )= o; on dit alors q u e f e s t unefonction de naissance; on note #-~ la partie correspondante de ~'x.

b) ~ a ( f ) = o et v 2 ( f ) = l ; on dit alors que f est une fonction de croisement; on note o~'~ la partie correspondante de o ~ .

I1 est clair que #'~ et o~'~ sont tous deux ouverts (et par cons~quent fermEs) dans o~ ~. On prouve en outre les propriEtEs suivantes (cf. [3], P. 29-35) :

I o o ~'~ est une sous-variLtg de codimension I de o~-~ de ceci r&ulte en particulier que o~'~ est ouvert dans o~, et que (#-0, ~-1) est une stratification de codimension

de ~-~ au sens de I, ~ . I . 2 ~ L'espace des bons chemins a valeurs dans o~ '~ "~ (cf. I, 2. ~, d~finition ~) est dense

dans l'espace de tous les chemins a valeurs dans ~ ' , muni de la topologie G ~ De ceci r~sulte en particulier que, pour tout f e ~ "~ l'application naturelle ~t(#-~ # ' ~ ; f ) - + ~ ( ~ ' ; f ) est surjective, ce qu'on traduit en disant que ~< o~'--(,~-~ ~'~) est de codimension >~

dans o~" , . 3 ~ Les operations de W dans o~" respectent o ~'~ o*'~, ~'~. En plus, les propriEt~s (a0)

et (a~) de I, ~. 2 sont satisfaites, autrement dit, pour tout f e ~ - 0 o ~-~, la strate defcoi 'ncide au voisinage de f avec l'orbite de f pour les operations de fg, et l'application :

ff~ (g, g') ~ (g, g') . f

est une fibration localement triviale de fg sur l'orbite d e f . [Lorsque f~o~ -~ c'est un cas particulier du thEor&me de fibration de Mather, valable quelle que soit la variEtE but dans le eas o f i f e s t stable (el. [9]); la demonstration dans le cas qui nous int~.resse ici, c'est-A-clire r e # -~ ou f E 5 1, ou m~me lorsque f ~ o ~ , n'offre aucune diflicultd (voir l 'Appendice, w I, propositions I et I', des indications sur la m~thode de demonstration); par contre, lorsque la codimension de f est grande, il peut arriver que l'orbite de f soit localement strictement contenue dans la cocellule correspondante.]

Des families de ~ chemins filfimentaires ~ relatives k ~'~ et #'~ sont ddfinies respectivement aux chapitres II et III , et jouent un r61e essentiel dans ces chapitres et dans

les suivants.

204

STRATIFICATION NATURELI.E ET TH~ORI~,ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 25

Description de ,~-2. __ D'apr~s (5), les divers cas possibles sont les suivants :

a) v l ( f ) = 2 et v~(f)==o; ce cas se decompose en deux :

I) f a un point critique du type queue d 'aronde, et toutes ses autres singularitds (points et valeurs critiques) sont de codimension zero.

i) f a deux points de naissance, et toutes les autres singularit& sont de codimension

zero (en particulier, les niw:aux des deux naissances sont distincts).

b) v l ( f ) = v 2 ( f ) = I ; ce cas se decompose en deux :

I) f a un point de naissance et une valeur critique double correspondant ~t deux

points de Morse; les autres singularit& sont de codimension zero.

2) f a un point de naissance et un point de Morse au m~me niveau; les autres

singularit& sont de codimension zero.

c) v l ( f ) = o et v 2 ( f ) = 2 ; ce cas se decompose en deux :

i) f a une valeur critique triple, et les autres singularitds sont de codimension zero

(en particulier t ous l e s points critiques sont de Morse). i) f a deux valeurs critiques doubles, et les autres singularitds sont de codimension

zero.

L '&ude locale et semi-locale de ces diffdrents cas est faite au chapitre IV; en fait

le cas c) est un cas particulier de celui dont l '&ude f a r l 'objet du rmm&o suivant (3-~)-

3.2. Stratification de l'espace des fonctions de Morse (~tude locale).

D~finition 4. - - Soit f E ~ ' ; on dit q u e f e s t unefonction de Morse si tous les points critiques de f sont de eodimension zero, au t rement dit sont du type de Morse.

II rdsulte de la definition 3 que la codimension d 'une fonction de M o r s e l est dgale la somme des codimensions de ses valeurs crit iques; ceci permet de dEfinir en route

codimension la stratification naturelle de l'espace des fonctions de Morse. Les operations

de fr dans o~ laisscnt stable l 'espace des fonctions de Morse, et ont relativement $ la stratification de cet espace les m~mes propri&ds que relat ivement ~ celle de o~~

c'est-~-dire :

i) elles respectent la stratification; 2) pour toute fonction de Morse f , la strate de f coincide au voisinage de f avec

l 'orbite de f , et l 'application (g, g') ~ (g, g ' ) . f de ~ sur cette orbite est une fibration

localement triviale.

Deux ElEments de ~" sont dits isotopes s'ils sont dans la m~me orbite pour les opera-

tions du groupe ~ (composante connexe de l 'dldment neutre dans ~). Les propri&&

ci-dessus des operations de fr peuvent s 'exprimer comme suit : soient f e t f ' deuxfonctions de Morse (ou encore, deux glgments de .~-~ ~ - l u ~ 2 ) ; pour que f et f ' soient isotopes, il faut et il suffit qu'ils appartiennent ~ la m~me cocellule (cf. I, I. ~) de la stratification de o~.

2o5 .I

~6 J E A N C E R F

On va donner de ]a stratification de l'espace des fonctions de Morse une definition plus adapt~e h son dtude locale.

D~finition E. - - Soit q un entier >o; on appelle stratification sym/trique de ]Rq celle qui est d~finie par le syst~me d'EgalitEs :

xj=xj , pour I < j < j ' 4 q ;

(la k i~m* strate, pour o<k<~q- I, est la partie de R q formde par les points dont les coordonndes vErifient exactement k Equations indEpendantes de ce syst&me).

Soit f e ~ " une fonction de Morse ayant q points critiques; on choisit un ordre de l'ensemble critique de f , c'est-h-dire une bijection a de {i, 2, . . . , q} sur cet ensemble; on note tz(j)=c~ (pour j = i , e , . . . , q ) ; on note c le point (q, . . . ,%) de W q.

Soient UI, U::, . . . , Uq des voisinages ouverts deux ~t deux disjoints de q, . . . , cq; soit ~ l 'ouvert de o j d~fini par ((f 'e~r si et seulement si, pour tout j----x, . . . , q, f ' a dans Uj un point critique du type de Morse (notd c~), et si f ' n 'a aucun autre point critique >>; on note ~, l'application qui ~t tout f ' e~r associe le point c' =(c[, . . . , c~) de W q.

Lemme 1. - - i) La stratification natureUe de ~ est l'image rgciproque de la stratification sym/trique de R q par l'application ~% ddfinie par :

~ , ( f ' ) = (f'(c',), f ' (4), . . . , f ' (c'q) ).

2) L'application ~ est une submersion topologique de ~r clans R ~.

Dgmonstration. - - Le x) est une consequence immediate des definitions. Preuve de 2). - Soit &u le groupe des diffEomorphismes de W h support dans

U a u U z u . . . oU~; le groupe ~u op~re ~t gauche dans ~ par la formule habituelle g . f , = f , og-a; il op~re h gauche dans Ut • U 2 • • Uq par la formule

g. (x~, . . . , x~) = ((gl U J . x~, . . . , (gl Uq). xq).

Le diagramme suivant cst commutatif :

.~,u x ~ -> " / "

I

x I~ identit~ ~t [

r # ~ x ( U , x . . , xUq) > U , x . . . x U q

I1 existe sur un voisinage Y" de c u n e section ~ pour l'application g ~ g . c de @u dans U t • 2 1 5 on note ~ la fibre ~-x(c). L'application

•

est une trivialisation de ~, au-dessus de &r. Les operations de ~u dans ~e" laissant I'application ~% invariante, cette trivialisation a la propriEt~ que la projection sur 1~

~06

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E ET THI~ORI~ME DE LA P S E U D O - I S O T O P I E ~7

qu'elle d6finit au voisinage de "/Pc laisse l 'application z,~ invariante. On est donc ramend montrer que la restriction de ~%, ~ 3r est une submersion.

Or l 'application ~, coincide sur 3r avec l'application lin6aire affine t ddfinie

par t ( . f ' ) = ( f ' ( c l ) , . . . , f ' ( c q ) ) . Soit ~j (pour j = i , 2, . . . , q) une fonction en cloche support dans Uj ayant son maximum (Sgal ~ I) en cj. Posons :

q

. . . , =f+j=X

l 'application p donne une section de t au-dessus d 'un voisinage assez petit de g(f) ; d o n c

la restriction de ~ ~ ~ est une submersion affine.

L'espace des fonctions de Morse ~ q points critiques est ouvert dans celui de toutes les fonctions de Morse. II rdsulte done du lemme i et du caract&re combinatoire de la

stratification symStrique de R q le Corollaire. - - La stratification naturelle du sous-espace de o~ forrM des fonctions de Morse

est combinatoire (cf. i-3, d~finition 5)-

Remarque. - - Ce qui prSc~de s'applique aussi bien au sous-espace de ~ form~ des fonctions de Morse ayant un jet donnfi le long de V; il suffit, dans la d~monstration, de remplacer ~u par son sous-groupe formd des diffSomorphismes qui sont tangents

['identit5 le long de V.

w 4. PLONGEMENTS D'UNE VARII~T~ DE DIMENSION i - -1 DANS UNE VARI~TI~ MUNIE D'UNE SOUS-VARII~TI~ DE CODIMENSION i

Dans ce paragraphe, V d~signe une varifit~ compacte, connexe, sans bord, de dimension n - - I ; X (de dimension i - - I ) et Y (de codimension i) sont deux sous-

varidtds de V, fermdes et disjointes; on suppose que Y est sans bord; on note 5(1, . . . , Yq

les composantes connexes de Y; on note f0 l'injection de X dans V.

4. x. Stratif ication de l 'espace des p l o n g e m e n t s de X dans V dt~finie par Y ; c h e m i n s ~l~mentaires .

On note Y" l'espace des plongements de (X, 0X) dans (V, V--Y) . La donn~e de Y d6finit une stratification de W dont on va se borner ~ ddcrire les deux premi6res strates; soient y-0 et 5L r t l e s parties de ~ respectivement d6tinies par les conditions

suivantes :

y-0 : l'image est disjointe de Y; y-1 : l 'image rencontre Y en un seul point, avec contact d'ordre zfro en ce point

[autrement dit, les espaces tangents en ces points sont en position g~n~rique].

II r~sulte des th~or~mes classiques de transversalit~ que y-0 est ouvert et dense dans s et que ~1 est une sous-varidtd de codimension I de s done (y,0, ~1)

207

o8 J E A N C E R F

dEfinit une stratification de codimension I de Y ~ au sens dc 2. i, definition i. En plus, s est (( de codimension >t2 >) dans ~ ; [de fa~on precise, tout lacet relatif de (s s peut ~tre approchE par un chemin de s u s qui soit (( bon ~ au

sens de 2. I, definition e]. Soit f~ la composante connexe de l'dldment neutre dans le groupe des diffEo-

morphismes de V qui laissent stable Y. Le groupe N op&re ~ gauche dans ~ en laissant et s stables. I1 r~sulte du th6orEme de fibration des espaces de plongements (cf. [3], p. II8) que les operations de ~ vErifient la condition (%) de 2.~, autrement dit : toutes les projections de N sur les orbites des points de ~ sont des fibrations localement triviales. [La condition (al) de 2.~ est satisfaite Egalement, mais nous ne l'utiliserons

pas.] Chemins dlgmentaires. - - On consid~re le module D~-~• et une fonction en cloche

relative ~ R i - i , de support D i- t , Egale 5 I ~ l'origine. On dEfinit un ,( chemin module )~

dans l'espace des applications de D ~-I dans D~-~xI en posant :

(i) ~xt(x)=(x , tN(x)) pour (x, t ) e D ' - a •

Dgfinition 1. - - S o i t f ' e ~ , d'image notEe X' . Un plongement r de D~- t • dans V est dit adaptg gt X ' et ~ Y s'il vErifie les conditions suivantes :

{ q0(Di-1X o) c X ' - - 0X';

(2) i X' n q~(D'-a • I ] ) = O ;

(3) (image ~)nY==q~ o, ; et ? est transversal ~ Y.

D~finition 1'. --- On appelle chemin tltmentaire d'origine f ' dEfini par q~ le chemin dEfini par f = +lof ' pour te I , off +test le plongement de X dans V ddfini par :

lq~o~toq~-l.x pour xe(image q~)nX';

+t(x):=Ix pour tous les autres points de X'.

II est clair que tout chemin 616mentaire est un chemin de traversEe de Wt au sens

I du paramEtre; de ~.I , definition 2 (il y a traversEe de ~ l pour la seule valeur

cf. fig. I). I1 est clair que la famille des chemins E1Ementaires est stable pour les operations de fr Enfin, pour tout f " e R f ~, chacun des deux sens de traversde de s en f " peut ~tre rEalisd par un chemin dlEmentaire. [En effet, soit X " l'image de f " ; soit y le point d'intersection de X " et de Y; on choisit un plongement d'orientation

(t~�89

Y Fig.

208

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE ~9

positive de (Di - l ,o ) dans ( X " - - O X " , y ) , puis on le prolonge en un plongement

-~ :Di - lx [ - - i , -+ - i ] - - -~V transversal /~ Y et ne rencontrant Y qu'au seul point y (eL fig. '~). Soit ~r2 un diff6omorphisme de D i - ~ • + I ] tangent d'ontre oo 5 l'identitd le long du bord, et prolongeant Na (ddfini par la formule (1)). Soit + le plongement de X " dans V ddfini par :

{~o~l/-21og-t.x pour x~(image ~ ) n X " ;

q~(x)= !x pour tous les autres points de X" .

Le plongement ~ o ~ est adaptd ~ +(X") et k Y; le chemin dldmentaire qu'il ddfinit traverse . ~ en f " . Pour obtenir un chemin dldmentaire traversant dans le sens opposd, il suffit de remplacer ~ par son composd avec la symdtrie de D i - l • I-I] par

Fig.

rapport ~ D ~-1• Toutes les conditions du <( lemme des chemins dldmcntaires )~ (cf. 2.2) sont done satisfaites; on en ddduit le

Lemme 1. - - Pour tout f E W ~ tout chemin de travers& de ~-1 d'origine f est homotope

(clans l'espace des chemins de traversde) ~un chemin dlgmentaire, de fafon que l'origine reste f ixe

au cours de l'homotopie.

Corollaire. - - On suppose 2 <~ i <~ n -- 2.

I ~ Tout lacet relatif y de (~ , f o ) est homotope avec origine f ixe (et extrdmitd restant dans R "~ au compos~ d'un hombre f in i de chemins ~l~mentaires ~ supports disjoints.

2 ~ Si en plus le fibrg normal h X admet une section, alors tout lacet relatif y de (W, f ~ est homotope (comme au i o) a un chemin tel que l' application X x I---~ V associ~e soit un plongement.

D~monstration. - - I ~ On salt que y peut ~tre ddformd en un bon chemin par une petite horuotopie; on suppose done que y est bon, et on ddmontre la propridtd par rdcurrence sur le hombre de points off y coupe ~1. La propridtd est vraie s i c e nombre est dgal ~ I : c'est le lemme t ; supposons-la ddmontrde si ce nombre est ~ k- - I, et supposons que y coupe s en k points. D'apr6s l'hypoth6se de rdcurrence, on peut supposer que u est de la forme y ' , ~k, off y" est composd de k - - I chemins dldmentaires, de supports

(notds PI, . - - , Pk-t) disjoints, et off ~k est dldmentaire. On note J" l'extrdmitd de y', et X ' l'image d e f ' . Soit q~k un plongement adaptd ~t X ' et Y, ddfinissant [3 k. On ddplace d 'abord la <~ surface d 'at tachement )~ de % (c'est-~-dire l 'image de D i - l • par une

209

30 J E A N C E R F

isotopie de V laissant stable X ' , de fa~on k sc rzw, ener au cas o~ cette surface d 'a t tache-

ment est disjointe de P~, . . . , Pk- l . On met alors I' << ame ~ de ?, (c'est-h-dire ] ' image de {o}x I) en position g~n~rale par rapport /~ P~, . . . , Pk, de sorte que l ' interscction est

vide si i<~n--3, et se compose d ' un hombre fini de points si i=n--2. Soit ~ un point off l '~me de ?~ rencontre par exemple P~; on jo in t z au bord de F~ par un chemin ne

rencontrant ni P ~ n X ' , ni P~mY, ni les autres points off P~ rencontre Fame de ?~; ce chemin permet de d6finir une isotopie de V laissant fixes X ' et Y e t modifiant l 'ame de ? , de fa~on a supprimer te point z; on se ramSne ainsi au cas off Fame de % est disjointe de PD . . . , Pk-1. On r6tracte alors ?~ sur un voisinage suffisamment petit de son gtme

pour que le support Pk de ?k soit disjoint de P~, . . . , P~_~.

P~ R X'

/ [

Fig. 3

20 On suppose que ; 'or[gine de u est f~. D'apr~s le .~o, on peat supposer que u est compos~ d 'un nombre fini de chemins 616mentaires [3~, . . . , [3~, respecfivement d6finis

par des plongements adapt~s % , . . . , ?k, d ' images disjointes; on note B 1 , . . . , B k les surfaces d ' a t l achement correspondantes. Puisque le fibr6 normal ~, X admet ur~e section, il existe un plongement �9 : X • I - + V (tel que O(x, o ) = x pour tout xeX) , compatible

avec 71, . . . , q~,. On pose, pour j = t , . . . , k :

i mo~0; l(x) pour xeB~; ~ j (x )= 0 pour x e X - - B j .

Soit ~ ' une fonction positive, suffisamment petite, dont le support est un voisinage o o

suffisamment petit du compl6mentaire de B1u . . . u B e dans X; on pose, pour tout u e I :

k

~ ' = u ~ ' + Z ~ j = l

et : y,,~(x)=O(x, t~[,'(x)).

On a Yt,0='rt; et l 'application (x, t) H, u est un plongement.

4 . 2 . Le m o r p h l s ~ e a 0 ; c o n d i t i o n s s u / ~ i s a n t e s de s u r j e c t i v l t ~ er de bijectivit&.

On suppose dans Iz suite que V, X et Y sont orientables, et qu 'on a choisi une

orientat ion sur X.

~I~

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E E T THI~ORI~,ME DE I,A P S E U D O - I S O T O P I E 3 ~

D~finition du morphisme ~j. - - S o i t j un entier t>o. Soit ~(e=j+l(Y" , Y'~ ; soit X un reprEsentant de ~(; c'est une application de (DJ+a,S j) dans ( 5 ~ , f ~ dEfinit canoniquement une application de (DJ+I, S i ) • dans ( V , V - - Y ) ; l ' image de la classe fondamentale de D ~ + I • par cette derni~re application est un ElEment de H~+j(V, V--Y) . On note 0cj le morphisme ~+I(Y', ~V~ -+ Hi+j(V , V--Y) ainsi dEfini.

Propri~t6s particulikres du morphisme a 0 : ~t(Y', ~o; f0) + H~(V, V--Y) .

I) Si on oriente V et Y, on a, par dualit6 de Poincar6, des isomorphismes

canoniques : Hi(V , V--Y) ~ H"-~-I (Y) ~ H0(Y ) ;

le groupe H0(Y ) est canoniquement isomorphe ~t Z q. Ainsi % associe /~ tout ElEment ~( de ~a(Y', Y'~ une suite ~ de q entiers ~1, . - . , ~q; pour tout k = I , . . . , q, la composante ~k de ~ est Egale au nombre algEbrique d'intersection de %(~() et de la classe fondamentale de la composante Yk de Y.

~) Soit ha ( f , s l 'ensemble des classes d 'homotopie des lacets relatifs de (.T, 5~ "~ (sans point de base). On peut prolonger % en une application

~0 : ~(~, ~) ~ H~(V, V - - Y ) ;

~0 est un morphisme pour la loi de composition (non partout dEfinie) dc = l ( f , s et l 'addition de H~(V, V--Y) .

3) D'apr~s la propridt6 2) ci-dessus, il y a ~quivalence entre l'injectivitE de ao et le fait que l ' imagc r~ciproque de zero par % soit la classc neutre de ~ l ( f , :~r176 ). Or cette derni~re propriEtE s'interpr~te comme suit : ~ Toute isotopic de X sur (V, V--Y) dont l'invariant ~ valeurs dans Hi(V, V--Y) , dgfini par ~0, est nul, peut gtre d6form& avec extrgmitgsfixes en une isotopic sur V--Y. >~ (La nullitE de cet invariant est dans tous l e s cas une condition n&essaire pour qu 'une telle deformation soit possible).

Proposition 2. - - Soit V (de dimension n--~) une varidt~ orientable, compacte, connexe,

sans bord; soient X (de dimension i--~ ) et Y (de codimension i) deux sous-varigtgs de V

firm&s, orientables, disjointes; on suppose que Y est sans bord; on note fo l'injection de X dans V . Soient ~ l'espace des plongements de (X, OX) dans (V, V--Y) et ~ l'espace des

plongements de X dans V--Y. Le choix d'une orientation sur X dgtermine un morphisme

% : =~(:F, ~ ; f o ) ~ Hi(V, V--Y) .

I ~ 0~ 0 est surjectif si l'une des conditions suivantes est remplie :

(s~) ~< i<n- -~ ; (s~) i = x et V - - Y est connexe;

(sa) i = n - - x et V - - X est connexe.

~o o~ ~ est b~jectif si n>~ 6, ~x(V)= o e t si l'une des trois conditions suivantes est remplie :

(bx) 3~<i~<n--3; (b~) i = ~ , et ~ t ( V - - Y ) = o ou Y borde un disque de V; (b~) i = n - - ~ , et = x ( V - - X ) = o ou X borde un disque de V .

211

3~ J E A N C E R F

Dgmonstration. - - On choisit une orientation sur V e t sur Y, ce qui d6termine une bijection H~(V, V- -Y) ~ Z ~ (cf. propridt6 ~) ci-dessus).

t ~ D'apr~s l'additivit~ de % (cfi propridt6 2)), il suffit de montrer que pour toute composante connexe Y~ de Y, il existe, pour 8 = + I e t pour r un lacet relatif y de ( f , R'~ d'originef0, dont l 'invariant ~eZ q soit tel que ~ = ~, les autres composantes ~tant nulles. I1 est commode de construire un tei y qui soit Elgmentaire. Tout revient construire un arc orient6 sans point double L joignant X ~Yp dans le compl~mentaire de X u Y e t un champ s de (i--~)-rep~res transverses ~ L, tels que (en d~signant par x l'origine, par y l'extr~mitd de L, et par t (]) un vecteur tangent ~ L en y ) , s(x) soit un rep~re positif de l'espace tangent g'~(X), et que ( t (y) , s (y ) , rep~re positif de g'u(Y~))

(x) s (y)

Yp

soit un repSre de g'v(V), d'orientation positive s'il s'agit de r~aliser 8=--~-I, n6gative s'il s'agit de r6aliser ~--=-- I. On v6rifiera sans difficult6 que, sous chacune des hypotheses

ci-dessus, Fun et l 'autre sont possibles.

~o Chacune des hypotheses (b) entraine (sl) , et par cons6quent la surjectivitd de %. On va ici d~montrer Finjectiv~t~ avee l'hypoth~se suppl6mentaire que le fibr6 normal ~ X admet une section (hypoth~se qui est vdrifi~e dans toutes les applications que nous avons en vue). Soit y un lacet relatif de (~, y-0), d'origine f0; d'apr~.s le 2 ~ du corollaire du

lemme I, on peut d~former y de fagon que l 'application X • associ~e soit un plongement; soit Z l 'image de ce plongement; si on suppose en plus que %(~')=o, alors le nombre alg6brique d'intersection de Z et de Y est zdro; chacune des conditions (b) est suffisante pour permettre dans ces conditions l 'application du procddd de Whitney (cf. [Io], th4or~me (6.6), p. 7I), dont l 'application r4p~t~e fournit une isotopic de (Z, OZ) sur (V, V--Y) qui aboutit ~ disjoindre Z de Y. Ceci, d'apr~s la proprifitd 3)

ci-dessus, suffit k fitablir l'injectivit4 de %.

Remarques. - - I. On peut s'affranchir de la condition sur le fibr6 normal ~ X (qui est d'ailleurs automatiquement remplie si 2 i < n § par un argument de dualit6 dfi

~t L. Siebenmann. 2. On peut montrer directement l'injectivit6 de ~ en utilisant seulement le to

du corollaire du lemme i, et en montrant que tout chemin 616mentaire est caract6ris6,

212


homotopie pros, par son invar iant ; cette mfithode, un peu plus Iongue, a l 'avantage

de ne pas utiliser le procddfi de Whi tney, ce qui permet de montrer que le ~o de la

proposition est encore vrai pour n = 5.

w 5. P L O N G E M E N T S D ' U N E VARII~T]~ DE D I M E N S I O N i D A N S LINE VARI~T]~ M U N I E D ' U N E SOUS-VARII~T~ DE C O D I M E N S I O N

Dans ce paragraphe, V ddsigne une varidtfi de dimension m, X une sous-varidtd compacte de dimension i de V, Y une sous-varifitd fermfie de codimension i de V. On

suppose que toutes ces vari~t6s sont sans bord. Lorsqu 'on en aura besoin, on notera (x~, . . . , x~) des coordonndes locales darts X, et (y~, . . . ,y,,) des coordonn~es locales dans V

adaptdes ~ Y, c'est-~-dire telles que les ~quations locales de Y soient y~ . . . . . y ~ = o.

On note ~ l'espace des plongements de X dans V.

5. x. F o r m e g~n~r ique d 'un c h e m l n ~ v a l e u r s d ~ - s ~c : c h e m l n s ~ e x c e l l e n t s ~.

On identifie tout chemin ~ valeurs dans ~ ~ l 'application f : X x I ~V qu'i l

d~termine; l ' image rdciproque de Y p a r f est appelde indicatrice du chemin; on la dfisigne

par F. s i r est transversale sur V, alors F est une sous-vari~td de dimension i de X x I.

Les << sommets >> de F (c'est-~-dire les points ~ tangente horizontale) sont alors exactement

les points (x, t) de F tels que la restriction f t de f ~ X x {t) ne soit pas transversale sur Y en (x, t) ; ils sont caractdrisds en coordonndes locales (adaptdes) par la condition :

(x)

os 3t, ddsigne le ddtcrminant fonctionncl de ( y l ( x , t ) , . . . , y~ (x , t ) ) par rapport

(xl , . . . , x,). On dit qu 'un sommet (x, t) de F est un sommet de Morse si te]o, I [ et si la compos6e

des applications naturelles F c - + X x I ~ I a en (x, t) un point crit ique du type de Morse.

En coordonn~es locales adaptdes, les sommets de Morse de F sont caractdrisds par la

condit ion :

(2) t) , o

off ~ t d~signe le d~terminant fonctionnel dc (y~(x, t ) , . . . , y~(x , t), 3t,(x)) par rapport (xx, . . . , x~, t). Il en rdsuhe en part iculier que si (x, t) est un sommet de Morse de

l ' indicatrice de f , et si on pose f = h , lc point x vdrifie rclat ivement ~ h (outrc h(x)eV) les conditions

(i') (2') La ddriv~e premiere de (Yt,Y2, . . . ,Y~,~k) par rappor t ~ (xl, . . . ,x~) est de

rang i en x.

213 5

34 J E A N C E R F

On dit qu'une application diffErentiable h : (X, x)-+ (V, Y) qui v6rifie les conditions (I') et (2') a au point x un contact d'ordre I avec Y. On montre sans diffieultd le lemme de forme canonique suivant :

Lemme 1. - - Si un plongement h : (X, x) -+ (V, Y) a en x un contact d'ordre I avec Y ,

alors il existe des coordonndes locales au voisinage de x et des coordonn~es locales adaptIes ~ Y au

voisinage de h(x) par rapport auxquelles h prend la forme :

(3) h(x , . . . , x , ) = ( 4 , . . . , x , , o , . . . , o ,

Ddfinition 1. - - On dit qu 'un chemin y ~ valeurs dans ~ est excellent si l 'application f : X X I -+V associSe est diffSrentiable, transversale sur Y, et si l'indicatrice F c X x I est une courbe excellente pour la projection P2 : X x I - + I (c'est-~-dire telle que tousles sommets sont de Morse et situSs ~ des niveaux diff~rents).

Lemme 2. - - Tout chemin ?, valeurs dans Rs peut gtre approchd arbitrairement pros (au sens C ~ par un chemin excellent.

Dgmonstration. - - Tout chemin dans Y" peut fitre approchE arbitrairement pr6s

par un chemin ( f ) tel que l 'application f : X x I -+V correspondante soit transversale sur Y. Soit F l'indicatrice de f ; il existe un petit diff~omorphisme g de X x I tel que g-~(F) soit une courbe excellente; puisque g est petit, le ehemin ddfini par f o g est proehe de ( f ) ; il est done ~ valeurs dans Y'; son indicatriee ~tant g- t (F) , c'est un ehemin excellent.

5 .2 . S tra t i f i ca t ion de A r d~f in le p a r Y : c h e m l n s de W h i t n e y .

Soit ( f ) un chemin excellent ~ valeurs dans s Pour les valeurs de t telles que X x { t } n'est pas tangent ~ l'indicatrice, f , est transversal sur Y; soit f 0 la partie de d6finie par la condition de transversalit6 sur Y; f 0 est ouvert et dense dans f . Pour les

autres valeurs de t , f appartient au sous-espace .~1 de Y" d6fini par les conditions suivantes : transversalit6 sur Y saufen un point exaetement, off il y a contact d'ordre I. Pour montrer que (Y "~ ~1) est une stratification de codimension I de s176 y-l, il est commode de d6finir d 'abord les << ehemins de Whitney >> qui sont appel6s ~ jouer le r61e de chemins 616mentaires pour cette stratification.

Le chemin standard de suppression. - - Soit ~ une fonction en cloche R~-+I, h support contenu darts D I x D i-a, 6gale h t au voisinage de l'origine; soit ~ o . On d6finit,

pour tout teI , u n p l o n g e m e n t d e D ~ x D ~-1 dans Dt• ~-XxDI e n p o s a n t :

(4) , , ( x x , . . . , x , ) = ( ~ + ~ ( x ) ( t - - ~ ) ; x 2 , . . . , x,; o , . . . , o; x~).

Sur le compl~mentaire du support de ~, It coincide avec h (ddfini par (3)), et par consdquent son image ne rencontre pas {o} x {oJx D ' ~ - ' - l • Dr; cette derni~re propri~td

a lieu 6galement sur ~ - t ( ]o , I[), pourvu que r soit assez petit. Sur m-t(I ) , on a :

~t,(x~, . . . , x 3 = 2x~ ;

~ t (x~ , �9 . . , x~, t) = 2~.

214


Le point., o, . . . , o, - est done l 'unique sommet de l'indicatrice de ((t) ; c'est un sommet \ 2/

de Morse. Pour t < ~ , l 'image de t, coupe { o ) x ( o } x D = - ' - t x D 1 aux deux points

i\o, . . ., o, 4- r ; pour - - 2 ' l'origine est le seul point d'intersection, et c'est

un point de contact d 'ordre I; pour t > ~ , il n 'y a aucun point d'intersection.

Chemins de Whitney. - - Soient V, X, Y comme ci-dessus; on d~signe dans la suite par t t le plongement DI• D i--1 __~ DlX D i - t x D1 canoniquement d~fini par la formule (4).

D~finition 2. - - Un chemin (ft) dans l'espace ~ des plongements X ~ V est appel~ therein de Whitney de suppression s'il existe un plongement 9 : D~ x Di-t---~X et un plongement 9 ' : D t x D ' - l x D ~ V , adapt~ ~ Y (ce qui signifie Yn( image 9')----9'({o}•215 tels que pour tout teI le couple (9, 9') d6termine un isomorphisme de

(D I • D ~-1, D 1 • D ~-1 • D 1, It)

sur (image 9, image 9', f t I image 9), et si en plus ft est inddpendant de t sur lc compldmentaire de l'imagc de 9. La r5union (pour te I ) des f tog(Dlx{o}) est appelde dine du chemin de Whitney (die contient la rdunion des intersections des f t(X) avec Y).

Un chemin (f,) est appel5 ch~min de Whitney d'apparition si le chemin oppos6 (f~-t) est un chemin de suppression; Fame de (fj) est par d~finition celle de ( f l - t ) .

Lemme 3. - - Soient 2Z "~ et ~1 les parties de ~ d~finies au ddbut de ce numdro.

i o (~eo, 9s est une stratification de codimension I de ~ o ~a (en fait, ~.1 est une sous-

vari~tg de codimension i de 9s ~ u ~ ) . 2 ~ Pour tout h ~ "~ tout chemin de traverste de 9s 1 d'origine h est homotope (dans l'espace

des chemins de traversge) g* un chemin de Whitney (d'apparition ou de suppression).

Dgmonstrat ion. - I ~ Soit h e ~ ; d'apr~s le lemme I, il existe un chemin de Whitney (ft) tel que fx/2=h; soit (9, 9') un couple de plongements d~finissant ( f ) et soit A l'image de ?. L'application naturelle : ~-+(espace des plongements de A dans V) est une fibration localement triviale (el. [3], thEor~me I, p. 114) ; et, au voisinage de h, la stratification de .~ (d~finie par l'intersection avec Y) est l 'image r~ciproque de celle de cet espace de plongements. On est done ramen~ au cas off X = D~-~• D a, V----R", et o~ ( f ) est le chemin standard (4). Soit alors ~r un voisinage assez petit de h dans ira; on pose, pour (h', t ) ~ / ' x I :

e~(h', t ) = h ' - - h + 6 .

Soit h" assez voisin de h dans Y'; d'apr~s la linEarit~ par rapport ~ t de la formule (4), le chemin (h"+h--t~) est voisin du therein (g~_~); son indicatrice a donc un sommet unique, dependant contin0ment de h"; l'Equation :

h" + h- - t~3s 1

215

36 J E A N C E R F

a donc une solution unique, ddpendant continflment de h"; �9 dffinit done un hom6o- morphisme de Y/'• sur un voisinage de h dans W, tel que, pour tout h ' ~ ' ,

�9 h', = h ' et pour t + ~ ,

2 ~ Soit N le groupe produit de D i f f X et du groupe des diff~omorphismes de V laissant stable Y. Le groupe N op~re ~ gauche de fa~on natureUe dans ~Y en laissant ~ et ~ stables, et en vdrifiant la condition (a0) de 2.2 (ee dernier point r~sulte du th~or~me classique de fibration). La famille des chemins de Whitney est visiblement invariante par les operations de N; et comme on l'a remarqu~ au io ci-dessus, le lemme i entraine que par tout point de ~1 il passe un chemin de Whitney dans chaque sens; on peut donc appliquer le lemme des chemins ~l~mentaires (cf. 2.2).

Corollaire. - - On suppose m>>. 5 et m--i>>3; on suppose en plus que le f ibrg normal gl X

dans V admet une section. Alors tout lacet relatif y de ( ~ , y-o) est homotope (avee origine fixe et extr~mit~ restant dans .~e0) a un chemin tel que l'application f : X • I -+V associge soit

un plongement.

DOnonstration. - - Comme pour le corollaire du lemme I de 4.1, on se borne consid~rer les bons lacets, et on raisonne par r~currence sur le nombre k de points off "r

coupe y-1 :

x o Gas k = i. - - On peut alors, d'apr~s le 2 o du lemme 3, supposer que "rest un chemin de Whitney, e'est-~-dire (cf. d~finition 2) que -( est ddfini par un couple (% q~') de plongements de (Da• ~-~, D a • 2 1 5 dans (X, V). Soient C l'image de ?, C' celle de q~'. Le champ des droites orient~es parall~les ?a Ou, se transporte par q~', ce qui d~finit un voisinage tubulaire trivialis6 de C dans C'; d'apr~s l'hypoth~se faite sur le fibr6 normal ~ X, ce voisinage tubulaire peut se prolonger en un tube trivialis~ d'~me X, de fb re R, que l'on note T. Pour tout t eR , suffisamment petit, on peut d~finir au voisinage de X dans T la translation -r~ le long des fibres de T. Soit ~z une fonction X ~ R ,

dont le support soit un voisinage assez petit de X - - C et qui soit strictement positive (resp. nfigative) ~ l'int~rieur de ce support si "rest un chemin de suppression (resp.

apparition). On pose :

f , ' = ;

le chemin ainsi ddfini a l e s propri~tds voulues d~s que la fonction Ex est assez petite.

2 ~ Supposons la propri~t~ d~montrde jusqu'~ l'entier k - - I , et soit "r traversant

k fois .~rl. Soit f l 'application assoei~e ~ y ; on note f _ la restriction d e f / ~ X • k ~.1

ic on ' / ; on o pos r eta+ son,

f~ dtant associd ~ un chemin de Whitney Tk, modifi6 par le procdd6 du I ~ ci-dessus.

On peut en plus supposer que f est diff~rentiable (on s'y ram~ne en modifiant f . par

i oto. vois . ge : cest possible d pr s le thdor6me

216


d'isotopie locale, cf. [~], corollaire ~, p. 33 I) et transversale sur Y. On proc~de alors en deux temps :

a) O n s ~ p a r e l ' ~ m e A d e y k (cf. d6finition 2) de f _ ( X • Lorsque m--i~>4,

il suffit pour cela de mettre A, qui est de dimension 2, en position g~n~rale par rapport /

- J g

stable Y. Lorsque m - - i = 3, apr~s mise en position g6n~rale, l'intersection consiste en un nombre fini de points dx, . . . , dq, que l'on supprime par un proc6d6 analogue ~ celui utilisE pour prouver le corollaire du lemme I de 4. i : puisqu'on a m~> 5, on a ici i + x >/3 ; on peut done joindre d 1, . . . , dq ~ X dans l'image de f _ au moyen d'arcs 31, . . . , ~q disjoints deux ~ deux et disjoints de Y; on relive chaque 3~ en une isotopic de V laissant fixe Y, ce qui permet de supprimer successivement dl, . . . , dq.

b) On termine en composan t f ~ droite avec une isotopie de X > I dans lui-m~me,

laissant fixe X x [ o , ~ ] , et t ransformantf_ enunp longemen tdon t l ' imagees t eon t enue : , . , \

dans un voisinage arbitrairement petit de A u f _ [ X x { ~ } | .

5.3" Application.

Proposition 3. - Soit V une vari~t~ orientable, compacte, de dimension m. Soient X et Y

deux s~us-vari~t~s de V r~spectivement diffgomorphes ~ S" :t ~ S";-~; on suppose que X et Y se coupent

transversalement et en un seul point. On d~signe par ~ l'injection de X dans V , par ~s I' espace des

plongements de X clans V, et par .q~a la partie de ~s formge des plongements dont l'image rencontre Y

transversalement et en un seul point. Si i = o , ou si m>~5, 1<~i~m--3, ~ l ( V ) = o ets i le fibrgnormal ~ X dans V admet

une section, alors ~a(Y', 5~1; ~)----o. D~monstration. - - Le eas i = o est trivial, car alors les espaces ~F et ~ sont confondus;

on dcarte d6sormais ee cas. Soit y un lacet relatif de (~, ~ ) , d'origine ~; so i t f l 'application X x I ~ V associEe.

D'apr~s le corollaire du lemme 3 (cf. 5.2), on peut supposer q u e f est un plongement;

F1

Fo

•

Fig.

217

3 8 J E A N C E R F

on peut en plus supposer que y est excellent (cf. 5. I) ; son indicatrice F est alors la r6union

disjointe d 'un arc sans point double F 0 joignant X x { o } ~t X x { I } , et d 'un hombre fini de courbes ferm6es simples F1, . . . , F~ (cf. fig. z).

Soit ~ le groupe des diff6omorphismes de X x I laissant X x {o} fixe. Pour tout gef~, f o g est un plongement de X x I dans V qui d6finit encore un lacet relatifde (~, ~F~) d'origine ~, dont l'indicatrice est g- l (F) . On en d6duit la propri6td suivante :

(*) Ei l'application f associ~e ~ y est un plongement, on peut, en conservant cette propri6tg, et sans changer la classe de y, modifier l'indicatrice F par l'effet d'une isotopie arbitraire de X • I,

laissantfixe X x {o}. Dans la suite, on choisit une orientation sur V (qui est simplement connexe) et on

oriente X et Y de fa~on que leur hombre alg6brique d'intersection sur V soit + i. L'indicatrice F de y est alors munie d'une orientation naturelle. Supposons d6montr6e la

propri6t6 suivante : (**) Si l'application f associge ~ y est un plongement, on peut, en conservant cette proprigt~,

et sans changer la classe de y, modifier l' indicatrice F par l' effet de n' importe quelle chirurgie plong~e orient& d' indice I .

[Si on choisit D t x D 1 comme support du module de la chirurgie d'indice x des

varidt6s de dimension i (cf. fig. 2), alors toute ~ chirurgie plong6e orient6e d'indice I - de F est d~finie par un plongement + : D~x D ~-+X x I, tel que F n (image +) = ~(D~x ~D~), et que d?] (D 1X 0D l) soit compatible avec l 'orientation induite par 0(DI• D x) sur D~X 0D t et l 'orientation de F. L'image par + de {o} x D ~ cst appel6e dine de la chirurgie.]

Fig. 2

I I I I

I /

i /

/ /

/

I I |

k \

La proposition d6coule comme suit des propri6t6s (*) et (**); on joint F 0 ~t F 1 dans le compl6mentaire de F par une courbe sans point double A1 (transversale ~ F en ses deux extr6mitfs); d'apr~s (**), on peut r6aliser une chirurgie plongde orient6e d'indice I de F, d'gtme A1, ce qui diminue d'une unit6 le hombre de composantes connexes de F; en itfrant le proc6d6, on rend F connexe. Si i . ~ , F est alors fg-isotope ~ une g6ndratrice de X XI ; d'apr6s (*), ceci termine la d6monstration dans ce cas. Lorsque i = 2 , la dimension de XXI est 3; F peut alors ~tre nou6e. D'apr~s un rfsultat 616mentaire de la th6orie classique des noeuds, tout noeud de S 2 x I peut ~.tre dfnou6 par une suite

finie de croisements; or tout croisement peut &re r6alis6 par deux chirurgies plongdes

orient~es; la propridt6 (**) montre donc qu'on peut d6nouer F; on termine comme

ci-dessus ~t l 'aide de (*).

218

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~.OR~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 39

Preuve de la proprigtr (**). - - D'apres la propri~t6 (.), pour montrer qu 'on peut r~aliser la chirurgie ddfinie par un certain plongement + : D X x D X ~ X x I , on peut commencer par modifier F et + par l'effet de n ' importe queUe ~-isotopie. On peut done supposer qu 'on s'est ramend ~t la situation suivante : il existe t0eI et ~ > o tels qu 'en ddsignant par J l 'intervalle [ t0I~, t0+~] on air :

(i) F n (X • = (F n (X x {to})) x J ;

(2) il existe e :D1- - -X, tel que, pour tout (u, v)eD1xD 1,

to+V ).

Notons ft o~ ( I )=y+ et f t o0 t ( - - I )=y_ . La compatibilitd de + avec l 'orientation de F entrafne que les coefficients d'intersection de f . ( X ) et de Y en y+ et y_ sont respectivement + I et - - I . I1 est connu (of. par exemple [i], thdoreme (6.6), p. 7 I) que dans ces conditions, et vu les hypotheses faites sur m e t i, on peut << supprimer y+ e t y _ le long de f t o,t par le procddd de Whitney >>; d 'une maniere prdcise, il existe des plongements ? et q~' tels qu'il y ait eommutativitd du diagramme :

DX• Di_ 1 t,> D X • _1• i

X tt, , V

c t q u e , pour ue -- ~, , o n a i t :

Une construction facile (ndcessitant seulemcnt l 'hypothese rn~>i-~ 2) fournit alors un plongement ( I ) : D ~ x D i - - l x D 1 x J - - > V , adaptd ~ Y et ~ f l ( X x J ) , c'est-~-dire

tel que Y n image r (1)({o} x {o} x D l x J )

que ftocp--:-(I)tot0 pour tout teJ,

et que, en particulier, q)t. = ~'.

Soit z une fonction en cloche de support J, tellc que x(t0) : I ; soit ~ le plongc- ment X--~V ddfini p a r :

9~(x)=tf t (x ) des que tCJ ou que x r r ) pour teJ et xe(imageq~).

L'intersection de l ' indicatriee F de (9~) avec l ' image de + est d'apr~s (i), (2) et (3)

l 'ensemble des points (a(+WzI--2z(t)) , t), o~ t ddcrit J ; F est done la transformde de F par la chirurgie d~finie par d?.

219

CHAPITRE II

~ T U D E SEMI-LOCALE DE LA S T R A T I F I C A T I O N DE ~"

I. C L A S S I F I C A T I O N DES C H E M I N S DE C R O I S E M E N T

Dans tout ce chapitre, (W, V, V') ddsigne une triade compacte de dimension n et o~- l'espace des fonctions de classe C ~~ : (W, V, V') -~ (I, o, i) sans point critique sur le bord. Le but du chapitre est la classification des chemins de o~" issus d'une fonction de Morse f , qui r6alisent, toutes les valeurs critiques 6gales le restant, le croisement d'une valeur critique simple avec les p valeurs critiques immddiatement inf6rieures. Le but des trois premiers paragraphes est de montrer que cette classification revient h celle de

certains objets g6om6triques, les (( nappes descendantes )~; en fait, on est conduit ~ montrer davantage : les espaces de chemins de croisement ont mfime type d'homotopie faible que les espaces de nappes correspondants. Au w I, on d6finit ces nappes, ainsi que les (( chemins 616mentaires )~; au w 2, on compare les espaces de chemins 616mentaires aux espaces de nappes, et on les compare aux espaces de chemins de croisement au w 3. I1 reste ~ classifier les nappes, ce qui est fait au w 4 dans un certain nombre de cas parti- curlers; on en d6duit l'unicitd ~ homotopie pros des croisements de mise en ordre (proposition 3), la classification des croisements ~ indices 6gaux (proposition 4), et l'unicit6

homotopie prbs du (( double croisement )), c'est-~-dire du croisement d'une valeur critique avec celles d 'un couple de points critiques en position de destruction mutuelle

(proposition 5).

w x. CHEMINS ~LI~.MENTAIRES ASCENDANTS ET DESCENDANTS

[ . L Le module de M o r s e d' indlce i et le chemln s tandard (cf. [5], chap. II,

w 2 et chap. I I I , w i).

Soit i un entier tel que o<.i<~n; soit x = ( x l , . . . , x,) un point de R". On pose :

h(x) + . . . + . . .

On d6signe par M~ ((( module de Morse d'indice i )~) la partie de R" ddfinie par :

i lh(x)l<~ ~

220

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E E T T H ~ O R I ~ M E D E L A P S E U D O - I S O T O P I E 41

L'intersection de M i avec le / -plan {xi+ x . . . . . x,-= o} est appelde nappe descen-

dante standard de Mi; elle est diffdomorphe au disque D ~. L'intersection de M~ avec le (n--/)-plan {x 1 . . . . . xi = o} est appelde nappe ascendante standard; elle est difffomorphe ~t D "- i . La rdunion de ces deux nappes est appelde binappe standard de Mi.

On choisit nne fonction ~ : R " ~ [ o , i], ~ support darts Mi, telle que 6(o)=-I , ct que les ddrivdes premidre et seconde de ~ soient nulles en o. [On sera amend au w 2 ~t imposer ~t ~ des conditions plus restrictives.]

Soit r un nombre positif, qu'on choisira dans la suite aussi petit qu'il sera nfcessaire; on pose pour xEM~ et XeI :

hx(x) = h(x) - - Xr (x).

L'origine est point critique de h x pour tout XeI; si r est assez petit (ce qu'on suppose), c'est l'unique point critique de h x. La valeur critique correspondante est --)~r qui est fonction ddcroissante de X.

Le chemin (hx) s'appelle le chemin descendant standard. On d~finit de faqon analogue le chemin ascendant standard.

Du corollaire 2 des propositions I e t I' de l 'Appendice rdsulte le Lemme 1. - - Il existe une application continue :

I~X ~ (+x, +~)eDi f fM,• + i ]

teUe que hx= q~-%hoqJx pour tout XsI. On peut en plus imposer ~ tousles ~x la condition de

laisser stable la binappe standard.

I �9 2 e Plongements adapt6s, nappes, chemlns ~16mentaires ascenrl~nts et descendants (cf. [5], chap. II, w 3 et chap. I I I , w I).

et s'il existe un plongement croissant q~' : [ - - I , + I ] ~ I

Soit feo~" (cf. I, 3) et soit c u n point critique de Morse de f , d'indice i. On dit qu 'un plongement ~? : Mi->W est un plongement adaptd ~ f en c si ~ ( o ) - c

tel que le diagramme

M~. ~ ~ W

e o ' [ - - I , -~-I ] > I

soit commutatif. On notera que q~' est bien ddtermind par la donnde de @. L'image de q~ s'appelle le voisinage de Morse de c ddfini par q~. L'image par ? de la

nappe ascendante (resp. de la nappe descendante, resp. de la binappe) standard de M~ s'appelle la nappe ascendante (resp. la nappe descendante, resp. la binappe) de c d~finie par ~.

On notera que le bord d'une nappe ascendante ou descendante est toujours contenu

dans une varidt6 de niveau de f .

221 6

4~ J E A N C E R F

On dEfinit de fa~on analogue (pour tout ke I ) un plongement adaptg g~ h x e t f enc

(la condit ion est h x = ? ' - a ofo ~?).

Lemme 2. - - Quels que soient f e . ~ , le point critique de Morse c de f et XeI, il existe

(i d~signant l ' indice de c) un plongement ~ de M i dans W adaptg ~ h x et f en c, dont l'image soit

un voisinage arbitrairement petit de c dans W. L',mage par ~ de la binappe standard est une

binappe de c.

D~monstration. - - Dans le cas off X--o, le lemme se d6duit facilement du th~or~me classique de Y[. Morse, d'apr~s lequel f s'dcrit au voisinage de c, dans des coordonn~es

locales convenables, sous la forme f ( x ) = f ( o ) + h ( x ) . On passe de 1~ au cas g~n~ral l 'aide du lemme I.

Lemme 3 [m~mes notations]. - - Soit ~ x l'espace des plongements M i - ~ W adapt~s

gz h x et f en c, et soit ~ I la rgunion (pour XeI) de tousles ~ x . Les applications t;aturelles

~ x -~ P lg t ( [ - - I, -t- i], I) et ~ I ~ Plg t ( [ - - I, + I], I) sont des fibrations localement triviales.

Ce lemme est ddmontr6 au w I de l 'Appendice (corollaire 3 des propositions i e t i ' ) .

Ddfinition. - - Soient f et c comme ci-dessus. U n there in (fx) d'origine f dans .~- est appel~ chemin dldmentaire descendant defrelati fgt c s'il existe un plongement ? : M~.--*W,

adapts ~ f e n c, tel que, pour tout XeI :

a) f x = f sur le eompldmentaire de l ' image de ~0; b) il y ait commutat ivi t~ du d iagramme �9

1 ~ ~0 > W

l--x, +I] ~', I

O n notera que le chemin (fx) est bien ddfini par la donn6e de q~; ceci d6finit l 'applicat ion naturelle n : (plongements adapt~s ~ f ) -+ (chemins 616mentaires descendants

d 'origine f ) . D~finition analogue d 'un chemin gltmentaire ascendant.

Le lemme suivant est de ddmonstra t ion immddiate (cf. [5], chap. I I I , w i, proposi t ion I) :

Lemme 4 [m~mes notations]. - - Soit D u n e nappe descendante de c; soit ~ la valeur

de f sur le bord de D ; il existe un plongement adaptg ~? : N[c-+W v~rifiant les conditions

suivantes :

I ~ la nappe descendante d~finie par e? est D; 2 ~ l'image de ~ est contenue dans un voisinage arbitrairement petit de D;

3 ~ le chemin gIgmentaire (fx) dgfini par ~? est tel que fl(c) soit un point arbitraire de

l'intervalle ouvert ]3,.f(c) [.

222

STRATIFICATION NATURELLE ET THt~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 43

w ~. CHEMINS I~.LI~.MENTAIRES ET NAPPES

~.x. Choix particuller de la fonction ~ d~finlssant le chemln standard (cf. I I , I . I).

Dans toute la suite, on choisit une fonction en cloche r : R ~ [o, x], satisfaisant aux

conditions suivantes :

dr d~o~ ~ ( O ) = : I ; ~ - (0) : - ~ - (0) : O ;

le support de o3 est [ - - I , + I ] ;

r est invariante par la sym6trie tw , - - t ;

do3 - - est strictement ndgatif sur ]o, i [. dt

Les fonctions h et k dtant celles ddfinies en i . i, on pose pour tout xeR" �9

=

La fonction ~ ainsi dfifinie satisfait aux conditions de x . I , en particulier ~ ( o ) = I , et les d~riv~es d 'ordre I e t 2 de ~ sont nulles h l 'origine. En plus, le support de ~ est exactement

le modkle de Morse ~ . . I1 en rfisulte en part iculier que, pour tout plongement adapt~

de M~, le chemin dl~mentaire correspondant a pour support r

2.2. Structure d'espace fibr6 principal d6finle par le m o r p h i s m e :

(plongements adapt~s) -* (chemins Gl~mentaires).

Soit f e ~ ; soit c o un point crit ique de Morse de f ; soient p et p' deux entiers positifs ou nuls; soit ~e[o, i]. On note ~ l 'espace des plongements q~ : (:V[~, o) -+(W, Co) adaptds ~ h~ et ~ f (cf. I I , i . 2), ayan t en o une or ientat ion donnde, tels en plus que

q~'(]--i, + I [ ) contienne p' valeurs critiques supdrieures ~ f(Co) et p valeurs critiques

inf6rieures kf(Co), respectivement not~es, par ordre d6croissant, ~_p,, . . . , a_ 1 et at, . . . , %.

A tout ~ e ~ correspond, par image de la binappe standard, une binappe de f issue de c o (cf. I I , i . 2, lemme 2) ; on note ~ l'espace des binappes ainsi obtenues, muni de la topologie habituelle des espaces de sous-vari~tfis, c'est-~-dire la topologie quotient

de celle des espaces de plongements. A tout ~ e ~ correspond aussi un chemin dldmentaire descendant ~ (tel que ~ ( a ) = f ) ; on note g"t l 'espace des chemins fil~mentaires ainsi

obtenus.

Pour tout intervalle ferm6 H contenu dans I, on note g"tn l 'espace des << arcs

filfimentaires >~ obtenus par restriction k H des filaments de Ng.

223

JEAN CERF

Lemme 1. - - Il existe une application ggH-+ Plgt ( [ - - i , + I ] , I) diagramme :

a, ~.,tt.

Plgt([--x, + i ] , I)

rendant commutatif le

(dans lequel la fl~che horizontale et la fl~che verticale ddsignent ]es applications naturelles d~finies en II, 1.2).

Ddmonstration. - - Soient ~ et ~ deux ~ldments de ~ ddfinissant le m~me fil~ment de gT~; ~ et ~ ont m6me image dans W (puisque cette image est le support du chemin dldmentaire correspondant); donc ]es plongements q~' et ~' respectivement associds ~ q~ et ~ ont aussi m~me image. Posons :

~-1o~p --__ +; ~ ' - I o 9 ' = + ' ;

est un diff6omorphisme de ~ conservant o, +' est un diff6omorphisme de [ - - I , + I ] ; on a :

(~) (h--tr pour tout t~H.

On en ddduit en lZaisant x-----o :

(3) -- t~ = + '(-- te) pour tout t~H.

Autrement dit, +' induit l'identitd sur - - ,H . Plus gdn~ralement, il r~sulte de (2) que +' est lin6aire affine sur l'intervalle H ~ = h ( x ) - - e ~ ( x ) H , quel que soit xeM~. Or, pour

tout [z'eI, l 'image de 1Vii par h~, est ] - - I , + I [ ; donc la r~union (pour x e ~ . ) de

tous les intervalles I2I~ est ] - - I, + I [. II existe donc pour tout compact K c ] - - I, + I [ un recouvrement fini de K par des intervalles ouverts sur chacun desquels ~b' est lin6aire affine. Donc, compte tenu de (3), +' est l'identit~ sur K; donc +' est l'identit6 sur ] - - I , + I [ , et par consequent sur [ - - I , + I ] . Donc ~'----q~', ce qui ach~ve la d6monstration.

On pose dans la suite : ~+. . . +~---rl;

2 -r x~ = r 2. X i + l " ~ - " �9 �9

Lemme 2 [les notations sont ce]les du ddbut de ce numdro; en outre, on d6signe par ~x,2 le groupe des diffdomorphismes de M~ qui laissent fixes r~ et r2] �9

I ~ Pour que deux tldments ~ et ~ de ~ aient mgme image dans ggii, i l faut et il suffit qu'il existe ge~ l , 2 tel que ~?=?og.

2 ~ Soit ~ le sous-complexe du complexe singulier X(Oaglt) dffini comme image (par

l'application naturelle n) du complexe singulier X(~) ; ~ I est un complexe de Ix'an et ~es t une

Jibration de Kan.

224

STRATIFICATION NATURELLE ET T H ~ O R ~ M E DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 45

3 ~ Il existe une application X : S t i i - + ~ qui rende commutatif le diagramme :

1/ (dans lequel la fl~che horizontale et la fl~che verticale dEsignent les applications

naturelles); X dgtermine un morphisme gtn-+ Y.(g~). Dtmonstration. - - i o On a :

h------q+r2, et k = q r ~ .

Done tout g ~ x , 2 laisse invariants h et k; done d'apr~s (I) il laisse invariant ~; il laisse

done invariant h~,----h--~'e~, pour tout ~'~I. Done pour tout ~ e ~ , q~og et ~ deft- nissent le mEme chemin E1Ementaire.

REciproquement, soient c? et ~ dEfinissant le m~me chemin 61Ementaire. I1 rEsulte du lemme i que ~ ' -~0 ' ; la formule (2) ci-dessus donne done :

(2') (h - - t e~)o+=h- - t e : s pour tout t e l l .

En Ecrivant successivement (2') pour deux valeurs distinctes de t, on obtient :

(4)

et

(5) I1 rdsulte de (I), (4) et (5) que :

ho+=h.

(k o +) = (k);

puisque o~ dEcroit strictement sur [o, I], il en rEsulte :

(6) ko+ = k .

II est immEdiat que (5) et (6) entralnent :

h~o + = hi,

et hzod ? =h2,

ce qui termine la preuve du I ~ 2 ~ I1 rdsuhe du I ~ que le complexe singulicr X(fr op~re de faqon simplemcnt

transitive sur chaque fibre de l 'application naturelle Y.(~)-->Z(@IH). C'est un rEsuhat classique (et tr~s dlEmentaire) que, dans cette situation, on a les deux propridt6s annoncdes (cf. par exemple [i4] , expose i, proposition 2, p. IO).

3 o Tout diffdomorphisme de M i qui laisse fixes r~ et r~ laisse stable la binappe standard; d'ofl l'existence de 1'application Z; clle dEfinit un morphismc de complexes

~ H - + Z ( ~ ) puisque, par definition de d'~n, tout ElEment de ~ i [ se rel&ve dans E ( ~ ) .

225

46 J E A N C E R F

2 . 3 . C h e m l n s ~ 1 6 m e n t a i r e s e t n a p p e s .

Proposition 1. - - Soit f ~ ; soit c o un point critique de Morse de f ; soient p e t p' deux entiers positifs ou nuls ; soit ~e[o, I]. Soit oat l'espace des chemins glgmentaires descendants passant

par f pour la valeur ~ du paramktre, et dont le support a pour image un intervalle contenant (toutes

son intdrieur) p ' valeurs critiques de f supgrieures ~ f(co) et p valeurs critiques infgrieures. Pour

tout H c I, on note oat H l'espace des restrictions ~ H des glgments de oat. Soit ,ffg~ le sous-complexe

de Y'(oaglt) ddfini en II, e .e . Pour tout ~eoat H le morphisme X dgfini en II, e .e d~termine un isomorphisme :

z. : Z pour tout j> o.

( ~ d6signe l'espace de binappes correspondant ~ oat).

Complgments. - - i. Le rdsultat de la proposition I est valable ~galement pour d'autres sous-espaces de oat, par exemple celui des chemins ~ ayant p + p ' croisements. [Soit en effet q~' l'61~ment de Plgt ( [ - - I , + I ] , I) associd ~ ~ par le lemme i de II, 2.2; les conditions pour que ~ ait p + p ' croisements s'dcrivent q~'(o)>a_ v e t 9 ' ( - -~)<%;

il r6sulte du lemme 3 de II, 1.2 que la partie de oat ainsi d6finie a m~mes groupes

d'homotopie que o~.] 2. Dans le cas particulier off p ' = o, ~ a m~me type d'homotopie que l'espace

des nappes descendantes rencontrant (~t leur int6rieur) p niveaux critiques inf6rieurs f(c0); on a donc pour tout j>~o un isomorphisme :

- +

Dgmonstration. - - On rapelle que, pour o<~i<<, n, on d6signe classiquement par SO(i, n--i) le sous-groupe de SL(n) d6fini par la condition de laisser invariante la forme quadratique standard d'indice i, d6not~e ici par h. Le groupe SO(i, n-- i ) est connexe si i = o ou i-----n; dans les autres cas, SO(i, n-- i ) a deux composantes connexes; celle qui contient l'fil6ment neutre est d~sign~e par SO + (i, n- - i ) .

Soit ~ l'espace d~fini au d~but de II, 2.2. On sait (cf. Appendice, w 3, proposition 3) que l'espace J ~ des I-jets en o des 61dments de ~ est hom~omorphe

SO(i, n-- i )• oo[. D o n c J ~ est connexe si i = o ou i = n , c t a deux composantes connexes dans le cas contraire. Soient c ? ~ , @) l'image de q~ dans J ~ ; on note ~+ la partie de ~ formic des plongements dont le I-jet en o est dans la m~me composante connexe de J ~ que @). L'involution :

(xl, . . . , x,) ( - x l , x2, . . . , x +2, . . . , x,)

de ~ (d~finie lorsque i est diff6rent de o e t n) est un dlfiment du groupe fit.2 (d~fini au lemme 2); on peut donc remplacer ~ par ~ + dans le lemme 2; en particulier, le

complexe ~r i est l 'image par ~z]~ + du complexe singulier de ~+ .

226

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~ORI~,ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 47

Soit ~a la partie de ~+ form6e des plongements qui ont en o m~me i-jet que % La d6monstration consiste ~ 6tablir successivement les isomorphismes suivants :

~j(~j; q~)~ ~j(~H; ~) pour tout j~>o (~ d6signant l ' image de q~);

et r~j(~j; ~) ~,- ~j (~; ~) pour tout j~>o (en posant Z(~)=v) .

a) L'application ~-~-+J~+ est une fibration localement triviale d'apr~s le thdor~me de fibration sur les jets (cf. Appendice, w 3, proposition 3); sa fibre est ~ j . L'application ~ + - > g t a d6finit d'apr6s lc ~o du lemme ~ une fibration de Kan :

Y.(~+)-+o~a, de fibre E(ff+2) (off if+ est le sous-groupe de fix,2 form6 des diff~omor- , 1 ,2

phismes dont le ~-jet en o est dans la composante connexe du jet de l'identit6). On a donc les suites exactes :

:~+ �9 e) j \ 1,2~

. . . ~ ~ + , ( J . ~ + ; ~ ) ~ = j (~ j ; ~) -+ ~ ( ~ + ; , ) -+ ~ ( j ~ + ; @') ~ . . .

D'apr6s ce diagramme, il suffit de montrer que l 'application composde

est un isomorphisme pour tout j > o , et que =0(Na+2; e ) = % ( J ~ + ; @1)=o. Or on a le d iagramme commuta t i f :

G =~(SO(i)• , . j (SO+(i, n--i)).

L'application C) est un isomorphisme pour tout j~> o d'apr~s les propositions 3 (fibration) et 4 (acyclicit6) de l 'Appendice. D'apr~s la m~me proposition 3, les applications (~) et (~) sont des isomorphismes pour tout j>~o. Enfin l 'application (~)est ~galement un isomorphisme pour tout j~>o, car SO+(/, n--i)/(SO(i)• s'identifie ~t l'espace des i-plans de R" sur lesquels la restriction de la forme quadrat ique h e s t d~finie n6gative.

227

4 8 J E A N C E R F

b) L'application ~ + - - ~ est une fibration localement triviale d'apr~s le corollaire i de la proposition 2 de l 'Appendice; on note 9 ~+ la fibre situ~e au-dessus de ,~. On proc~de comme au a) ci-dessus, ~t ceci pros qu'on consid~re la fibration ~+ ~ au lieu de la

fibration Z ( ~ )~d~tn. On est donc ramend ~t montrer que l'application compos~e :

@))

est un isomorphisme pour tout j > o , et que n0 (~+)=n0( J .~+)=o . Or d'apr~s le tMor~me d'acyclicit~ (cf. Appendice, w 4, proposition 4), et le th~or~me de fibration sur les jets, on a pour tout j~> o un isomorphisme

e ~ t

~ ( ~ + ; ~) ~% ~ ( J ~ + ; @)).

L'espace J ~ + s'identifie (au produit pros par ]o, oo[) au sous-groupe de SO+(i, n--i) formd des dldments qui laissent stables les varidt~s q = o et r~=o (c'est-~t-dire {x 1 = x~ . . . . . x~= o} et {x~+~ == x,+~ . . . . . x, = o}); on salt que de tels ~l~ments laissent n6cessairement r I et rz fixes, de sorte que le sous-groupe considdrd est isomorphe

SO( i ) xSO(n - - i ) . L'isomorphisme @ du a) ach~ve la d6monstration.

w 3. CHEMINS DE MULTICROISElVIENT

3 x. D6t~nltlons et r6su l ta ts ; p lan de la d 6 m o n s t r a t i o n .

Soit f e ~ " une fonction de Morse (1) ; soit C o un point critique d e f t e l que la valeur critique correspondante % soit simple; soient 0 % . . . , % les p valeurs critiques de f immddiatement inf~rieures ~t a0 (P>~ i). On note c~p; t l'espace des chemins d ' o r i g i n e f de o~- qui rdalisent, routes les valeurs critiques dgales le restant, le croisement successif de % avec 0% . . . , %. On note "~'p;t la rdunion des images de tousles dl~ments de ffp;t; ~'p;r est rdunion de cocellules de o q~-, et la stratification naturelle de o~-p; t e s t de codimension i d'apr~s I, 3. Les ~l~ments de c~p; t sont de bons chemins ~ p croisements relativement ~t la stratification de o~'p;t; on note ~p le saturd de ~p;r pour la relation de connexion par arcs dans l'espace de ces bons chemins (de sorte que ~p;t est la partie de ~p obtenue en fixant l'origine en f ) . Les ~l~ments de ~fp sont appelds chemins de p-croisement relatifs aux donndes f , c 0.

On note ~'tp la partie de ~p form6e des chemins qui sont Nfimentaires descendants par rapport ~t leur origine, et dont le support rencontre ( p + i ) niveaux critiques de cette origine; on note d'lp; r la partie de o~gp obtenue en fixant l'origine en f . Les ~l~ments de o~tp sont appel~s chemins glgmentaires descendants de p-croisement relatifs aux donn~es f , c o.

Soit fie la composante connexe de l'~l~ment neutre dans le groupe Di f fW • Diff I;

fie op~re dans o~-~; t e n respectant la stratification; ff, op~re dans cr en laissant

(I) Voir au d~but du chapitre la d6finition de l'espace o~.

228

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~,ORI~ME DE LA PSEUD()-ISOTOPIE 49

stable ~t~. On note d~p le sous-complexe du complexe singulier de d'tp d~fini par ces

op6rations (un simplexe singulier de ~[p est un 61~ment de o~p s'il existe une projection ~ § du type g ~ g . ' ~ pour laquelle il se relive en un simplexe singulier de ~r

Le complexe o~p est un complexc de Kan; pour tout sous-cspace o~l~; r, de d~tp (obtenu

en fixant l 'origine en an p o i n t f ' ) ]e complexe ~p;r ' induit par o~p sur o~tp; r, est identique l ' image canonique du complcxe singulier de l'espace de tousles plongements adapt~s

~ f tels que le chemin ~l~mentaire correspondant soit un ~l~ment de @'~;l' ; il r~sulte en effet du th~or~me de fibration des espaces de plongements (cf. [3], th~or~me t, p. I I4) que tout simplexe singulier de gtp qui se relive duns l'espace des plongements adapt~s se relive duns ~ , . Le m6me r~sultat a lieu pour les sous-espaces de gtp d~finis par la condition de Passer par un point donn~ pour une valeur donn~e du param~tre.

Proposition 2. - - Soit f e ~ une fonction de Morse; soit c o un point critique clef tel que la valeur critique ~0=f(c0) soit simple; soit p ~ i ; soit %; t (resp. gg~;r) l'espace des chemins de p-croisement (resp. des chemins {l{mentaires descendants de p-croisement) d'origine f relatif g~ ces donnges. L'injection de d{~;t duns ~ ; t d{termine des isomorphismes

et n~(d~;t; ~) '~ n J ( ~ ; t ; ~) pour tout ~egr t et tout j>~ ,.

Corollaire. - - Soit ~ l'espace des nappes descendantes de c o qui rencontrent (tous h leur int{rieur) exactement p niveaux critiques infgrieurs ?~ e0; soit Z l' application d't~;~ ~ ~ dgfinie au w 2. On a pour tout ~gg~; t et pour tout j>~o un isomorphisme canonique :

[Le corollaire est une consequence immfidiate de la proposition 2 et des complfi- ments I e t 2 de la proposition ~.]

Plan de la d{monstration de la proposition 2. - - On raisonne par r~currence sur p; le casp--- ~ est dtudifi en 3.2 ; en 3.3 on d~montre (~ l'aide de deux lemmes pr61iminaires) le lemme z, qui est utilisfi en 3.4, pour la ddmonstration de r~eurrence.

3.2 . Le cas d'un seul c r o i s e m e n t ( p = I).

On applique le corollaire de la proposition i de I, : . 2 dans les conditions suivantes. Le r61e de E est jou6 par o~-r; [ muni des op6rations du groupe N, (composante connexe de e duns D i f f W • lesquelles v6rifient les conditions (a0) et (aa). Pour cg, on prend l'cspace ~p des chemins de i-croisement, et pour c~,, l'espace Ntp des chemins

616mentaires descendants de [-croisement, muni du complexe d~p d6fini ci-dessus. Soit f'~o~'x~;t; soit c~p; t, la partie de cg~ form6e des chemins qui o n t f ' pour point

de travers6e. Pour tout yecgp;t, , il existe un point critique unique d e f t qui, le long de y, ett~ctue en f ' un croisement descendant; on d6signe ce point critique par c'.

229

5 ~ J E A N C E R F

D'aprEs le lemme 2 de II , I .2, il existe un plongement @ : M~.-+W, adapt6 ~t hxr a et ~ t f ' " le chemin 616mentaire descendant d6fini par q~ traverse ,~'~; t e n f ' dans le m~me e n c ~

sens que y. Le coroUaire de la proposit ion I de I, 2 .2 donne donc les isomorphismes :

~0(~p; 1' ~/r; t) = o,

~j(%;r,~gp.t;~)~-~rcj._t(~v;~;~) pour tout ~e~t~. t et tout j / > I .

Soit )'1 le pa ram&re de travers6e de ~, et soit g"tp; ~; x, la part ie de ~tp; ~ ddfmie par la valeur ),~ du pa ram&re de t ravers&; Srtv;~; x. est la fibre situ6e au-dessus de ~x pour l 'applieation compos6e :

(x) @tv;~ ~ P l g t ( [ - - i , -~- i], I) -+ I

oi~ l 'appl ieat ion de gauche est ddfinie ~t l 'aide du lemme i de II, ~. ~, et celle de droite est t I . @ ~@ ( - - ) ,~ ) , il r6sulte du lemme 3 de II, i ~ que l 'applieat ion (~) d6termine une fibration

de Kan : g"~v; ~ -+ Y,(I) ; on a done pour tout j~> I un isomorphisme canonique :

D ' ap r& la proposi t ion i de ~.3 (appliqu6e avec ~(),~), k~, o, o, I dans les r61es respectifs de f , ~,p ,p ' , H), il y a pour tout j~> i un isomorphisme canonique :

d6signe un espace de binappes qui, dans le cas pr6sent, est acyclique d'aprEs la proposi t ion 4 de l 'Appendice ; ceci achEve la d6monstration.

3.3" D 6 m o n s t r a t l o n d 'un l e m m e .

Lemme prgliminaire 1. - - Soit h la forme quadratique - - ~ . . . - - ~ + ~+ t + . . . + ~ , et soit M i le mo~le de Morse correspondant ; pour tout ~EI, on note comme d'habitude h - -~ t~ =h~ (ef. II , I. I) et on note . ~ l'espace des plongements [ - - i , + i ] - + R qui coincident avec l'identitg au voisinage de - - ~ . Soit k la fonction dffinie en II , i . i, et soit fr le groupe des diffgomorphismes de Mi qui laissent k invariant. 1l existe une application continue :

telle que : h~o+=qb'oh~.

D6monstration. - - O n rappelle qu 'on a choisi ~ de fagon que ses d6riv&s premiere et seconde soient nulles ~t l 'origine, et que r peut &re choisi arbi t ra i rement petit. S i r est assez petit, le produi t scalaire (grad h, grad h~,) est diff6rent de o sur le complEmentaire de l 'origine. O n pose alors qb(o) = o, et pour tout x~M~.--{o}, on dEfinit +(x) comme 6tant le point unique o~ la ligne de gradient de h passant par x coupe la vari&6 de niveau +'oh~,(x) de h~,.

Lemme prlliminaire 2 [les notat ions sont celles du lemme pr61iminaire x]. - - Tout diffgomorphisrae de M~ qui laisse invariantes les fonctions h~ et k laisse aussi h invariant.

230

STRATIFICATION NATURELLE ET TH]~OR]~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 5t

Ddmonstration. - - Soient x et y deux points de Me en lesquels h~ ct k prennent respectivement la m6me valeur. Ceci s'dcrit :

t h ( y ) - - s ~ ( h ( y ) ) c o ( k ( y ) ) = h ( x ) - - ~ ( h ( x ) ) co(k(x)) ;

k ( y ) = k ( x ) .

La premiere ligne s'dcrit compte tenu de la seconde :

h(y)- -h(x) =- r ) (o~(h(x) )--o)(h(y) ) ) ;

do~ cec i en tra lne : I h ( y ) - - h ( x ) ] < , l h ( y ) - h ( x ) l s u p ,

et ceci (pourvu qu 'on ait choisi ~ assez petit) entralne h(y )=h(x ) .

Lemme 1. - - Soit f ~ une fonction de Morse; soient

~ ' - - p ' , f f ' - - p ' + l , �9 " " , q ' - - l , OCO, ~ 1 , �9 " " , O~p

des valeurs critiques conslcutives de f , ordonnles de fa~on dIcroissante ; on suppose que % est simple et on note c o le point critique correspondant. Soient Xl, ~2 et ~ tels que o < X l < ~ < X 2 < I. On note ~ (resp. ~2) l'espace des plongements ~ : (M~, o) -+ (W, Co) adaptds ~ h et gz f , tels que l'image du plongement associd ~' contienne gz l'exclusion de routes autres (et toutes ~ son intdrieur) les valeurs critiques ~_p,, . . . , % (resp. ~, p,, . . . , %), et qu'on ait en plus, pour O e ~ t :

(2)

(3) =

et pour ~ e ~ 2, les relations (2) et (3) ci-dessus et, en plus :

(3') v ' =

On note ~ , l'espace des arcs ([o, V], ~ ) ~ ( S z ' , f ) dont l'opposg rdalise, toutes les valeurs critiques igales le restant, le croisement successif de :% avec a_~, . . . , :~_~, ; pour i = I, ~, on note gt~ l'image

canonique de ~ dans ~ , et ~g~ le complexe image du complexe singulier de ~ . Enfin on note x /

l'espace des nappes ascendantes de f issues de c o. Il existe alors sur (d~ une dgformation de gt~ dans dT~, qui d~finit un morphisme ~ t ~ - ~ t x ,

et qui est compatible avec les applications canoniques g t~ -~s / et #g~--~.~. Dgmonstration. - - Soit +' un diffdomorphisme de [ - - i , + i ] qui vdrifie les deux

conditions suivantes :

(4) +' coincide avec l ' identitd au voisinage de [ - - ~ , i ] ;

(5) O n pose, pour tout t e l : ( ( i - - t ) •

Le lemme prdliminaire I associe k +; un diffdomorphisme +, de M~., ddpendant continfi-

ment de t, et vdrifiant quel que soit t :

(6) k o ~ , = k

(7) h~,o u = ~ o h~,.

231

5 ~ JEAN CERF

Consid6rons l 'application qui & tout ~ e . ~ associe ~+~, Soient ~? et ~ deux 41~ments de ~ ayant m~me image dans @~'2; il rEsuhe du io du lemme 2 de II , 2.2 que ~ - t o ~ laisse invariants h et k, et par consequent h~. On a alors compte tenu de (6) et (7) :

~o+V ~ o $ - ~ o~o$,, x = k o ~ - ~o~o+~. x = ko+~. x = k. x,

h v . o + t - l o ~ - l o q ~ o t ~ t . x = + ~ - l o h l ~ o ~ - l o q ~ o + l . x = + ~ - l o h t x o + / . x = h l ~ , x ,

pour tout xeM d ainsi (~po+~) -lo(q~o+~) laisse invariants k et h~; donc d'aprEs le lemme prdliminaire 2, il laisse aussi h invariant; donc, pour tout teI, ~o+~ et ~o+~ dEfinissent le m~me chemin Eldmentaire. D'apr~s (5), ~~ est un Element de ~a. On obtient donc par passage au quotient une deformation de ~[z sur (g~ qui aboutit dans @Ix ct dEfinit

un morphisme 6 ~ *e'~; la compatibilitd avec les applications canoniques oagt-+.~ et gog_._,.~r rdsulte de (4).

3 .4 . D ~ a o n s t r a t l o n de la p r o p o s i t i o n 2 p o u r p>~ 2.

On suppose ia propriEtd d~montrEe lorsqu'il y a au plus p - - I croisements. D'apr~s la proprldtE (**) de I, 2.2, il suffit de montrer que l 'inclusion de o~tp dans Wp

induit un isomorphisme de tous los groupes d 'homotopie de g~p dans ceux de cg~. Pour ! 0 t tous los )'t, k~, ~ tels que Xx< Vt< X~, et pour tout f e#'~; r, notons %a; (au lieu de ~p; x,. x,, ,; r)

la partie de ~p form6e des chemins dont les deux premiers param~tres de traversEe sont )̀ a et Z2, et qui passent par f ' pour la valour ~z; et notons gC~ t'espace de chemins EIEmentaires descendants correspondant. D'apr~s la propriEt6 (**), il suffit de montrer

que pour tous los )'1, ;%, tx,f ' , l 'inelusion de o~'~ darts cg, induit un isomorphisme de tous les groupes d'hornotopie.

Soit '~'p.1 (resp. c#;;2) l'espace des restrictions ~ [o, Vt] (resp. [~z, I]) des Elements i i t . i de ~ ; on a un homeomorphisme canonique ~ '~%;1•162 pour tout V e ~ , on

note Yx et Y2 los images respectives de y dans cg~: x et %;2. On note oag~;~ (resp. gt~;2) l ' image de gg; dans c~.~ (resp. ode; .,). On note .@' (resp. ~r resp. ~ ' ) l'espace des binappes (resp. des nappes aseendantes, resp. des nappes descendantes) de f ' ddfinies par los 41Ements de ode; on a un d iagramme commuta t i f :

l l

, t , 2 ( -~ p ; 1 ; 2 - - >

t Soit 6'I~i x Ia partie de c~p; t formic des arcs dlEmentaires dont l ' image (pa r f ' ) du support contient ~t l'exclusion de toute autre (et toutes deux ~t son int6rieur) los deux valeurs critiques ~ et ~ d e f ' qui correspondent k ~0 et u... D'aprEs le lemme i, it existe sur ~r

232

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~,ORI~,ME DE I,A PSEUDO-ISOTOPIE 53

t i t ~ i ~ t r une dfiformation de gt~; t dans gt~;x, qui dfifinit un morphisme gt~;~-+gtr , ~ et qui est compatible avec les applications gl~; ~-+,~' et gg~] a -+~ ' . D'ofl, pour tout j~> o et pour tout ~egt~ (pour j----o, on prend des ensembles sans point de base), le diagramme commutat if :

1 ~ t

dans lequel ~x est l'isomorphisme ddfini par le chemin d6crit par ~1 au cours de la d6for- marion, et [~'1' l'extrdmit6 de ce chemin; v 1 est l 'image de [~ dans ~/' . On d6finit de fa~on

i t analogue o~ et on lui applique de mfime le lemme I. D'ofl pour tout j~> o (pour j=-o, on prend des ensembles sans point de base) le diagramme commutatif :

- ' , . , ~ ( ~ ; v) ,~j(~;; ~) , . ,~ j (~ t~ , ~) ~ '

,~(~;;~x~;;~.; (I3, 13,.)) , ,~(r (~, 13~.)) ,~ j ( .~ 'x~ (.,, ~))

. . . . " , Y t " v Y t , " �9 , ' ~j(*',:.~x%.~; (t3,, I3;')) < , : , ;~ . .~ ;~ , (t3~, g.')) 0

Dans ce diagramme, ~ est l'isomorphisme d6fini par l 'hom6omorphisme t ~ ! t �9 ~ ~ ~ ' p ; 1 X ~ ; ~ , ~ est l 'isomorphisme d6fini par ~1 et ~2; ~ et 0 sont des isomorphismes

d'apr~s la proposition I e t ses compl6ments i et 2; ~ est un isomorphisme d'apr~s la remarque du w 2 de l 'Appendice; enfin, O est un isomorphisme d'apr6s l'hypoth6se de

~ , , ~ , . ~.j(% rfcurrence. Les morphismes ~0(~r et ~j(o~gp, ~) ' ; ~) (j~> x) sont donc tous des isomorphismes, ce qui ach~ve la preuve de la proposition 2.

w 4- LEMMES DE CLASSIFICATION DE NAPPES

4. �9 R6sul tats .

Dans tout ce paragraphe, on consid~re une fonction de Morse f e ~ - , un point

critique co, d'indice i, de f tel que la valeur critique ~0 correspondante soit simple, et

233

54 J E A N C E R F

les q valeurs critiques immddiatement infdrieures ~t %, not~es al, *q, . . . , 0t~ dans l'ordre d~croissant. On choisit, pour k = o , I, . . . , q une varidtd de niveau V k de f s i t ude imm~- diatement en dessous def- l (ak) . On ddsigne par Wkt (pour k<g) la partie de W comprise entre V k et V t. On note ~ l'espace des nappes descendantes de c o jusqu'~t Vq; on suppose (ce sera le cas dans toutes les hypoth&ses considdrdes) que N n'est pas vide; on choisit D ~ et on note Dr~V 0 = X . On note ,~ l'espace des syst~mes disjoints de nappes ascendantes des points critiques d e f l Wo~, limit~es ~ Vo; on suppose (ee sera le cas dans toutes les hypotheses consid~r~es) que ~ n'est pas vide; on choisit A e ~ , et on note

A n V 0 = Y .

Vo

Woql

Vq

r X

r

On d~signe par ~t l'espace des chemins d'origine f rdalisant (toutes les valeurs critiques figales par ailleurs le restant) le croisement successif de % avec a t , . . . , 0cq.

On rappelle que la dimension de W e s t notde n; celle de V o est done n-- I .

Proposition 3 (Unicitg des croisements de mise en ordre). - - Si les indices des points critiques de f [ Woq sont tous strictement plus petits que l'indice i de co, alors % ( % ) = o .

Proposition 4 (Classification des croisements a indices ggaux). - Si tousles points critiques de f l W o q sont d'indice dgal ~ l'indice i de Co, si n>~6, %(V0)=~a(V0)-=o, et si l'une des trois conditions suivantes est remplie :

(b~) 3~<i~<n--3;

(b2) i = 2 , et ~l (V0- -Y)=o ou Y borde un disque de Vo;

(bs) i = n - - 2 , et ~ l ( V 0 - - X ) = o ou X borde un disque de V o ; -

alors le choix d'une orientation de D dgtermine une b~ection :

8: %(~'t) --* n,(Woq, V,)

telle que la dasse du chemin 6llmentaire dgfini par D ait pour iraage o. Si on remplace D par un dl~ment D' de ~ , muni d'une orientation coMrente avec celle de D, la b~jection ~' obtenue est

composde de a e t d'une translation de H~(Woq, Vq).

284

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~,OR~.ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 55

(,)

(2)

alors ~gt est connexe.

Proposition 5 (Unieitg du double croisemen O. - - Si l'ensemble critique de f sur Woq se compose de deux points critiques q (d'indice j + i ) et c2 (d'indice j) en position de destruction mutuelle, et si l'une des trois conditions suivantes est remplie :

i+j<~n--~;

i<j;

i = j ; 3~<i~<n--3; ~0(V0) = ~(V0)---- o; - -

Principe de la dhnonstration. - - Le corollaire de la proposition 2 de II, 3. I ram~ne la d~monstration de chacune de ces propositions ~ la ddtermination de l'espace ~0(~) correspondant. D'une fa~on prdcise, les rdsultats qu'on va ddmontrer dans chaque cas sont les suivants :

Proposition 3'. - - Sous les hypotheses de la proposition 3, ~ o ( ~ ) = o. Proposition 4'. - - Sous les hypothkses de la proposition 4, le choix d'une orientation de D

d~termine une bijection to : ~o(~) -+ H,(Woq, Vq)

teUe que ~ (~ ) )= o. Si on remplace D par D ' ~ , muni d'une orientation coMrente avec celle de D, la bijection ~ obtenue est compos~e de ~o et d'une translation de H~(W0q, Vq).

Proposition 5'. - - Sous les hypothkses de la proposition 5, = 0 ( ~ ) = o.

4 .2 . Le m o r p h l s m e ~j.

Les notations dtant ccllcs du ddbut de II, 4. I, on choisit un dldment D dc ~ ct on oriente D; on note 9 0 lc sous-espace de ~ formd des nappes qui coincident avec D

au-dessus de V 0 ; il rdsulte des propositions 3 et 4 de l 'Appendice que l'injection ~ 0 - + ~ est une dquivalencc d'homotopic faible. II est commode, au lieu d'dtudier directement ~0, d'dtudier un cspace de plongements qui lui est homotopiquement dquivalent.

D~finition 1. - - Un plongement ~ : S ~-1 • o, I) -+ (W0q, V0, Vq) est dit lin~airement adaptg ~ f s'il y a commutativit~ du diagramme :

S~-'• ~ Woq

I - - ~ 11

off 9' ddsigne l 'application lindaire affine d~croissante de I sur l'intervalle f(W0q ).

On notera que cette d~finition implique que l'image de ~ ne contient aucun point critique de f .

235

5 6 J E A N C E R F

On note s , et, quand il n 'y a pas de confusion possible, simplement s l'espace des plongements linEairement adaptEs S~-a• o, ~) ~ (W0q, V0, Vq) dont l 'image orientde se raccorde le long de V0 avec D orientEe.

On a une application naturelle 1 ~ 9 ; c'est une Equivalence d'homotopie faible; on choisit darts Y" un point de base ~ au-dessus de D.

D~inition 2. - - On dit qu'un plongement de S ~- ~ dans Wes t horizontal si son image est contenue dans une varidt~ de niveau de f et ne contient aucun point critique

de f .

On note 5~0~ , et, quand il n 'y a pas de confusion possible, simplement 5, ~ l'espace des plongements horizontaux de S ~-x dans W0q. On note 5g0 (resp. 5g~) l'espace des plongements horizontaux de S ~-t dans V 0 (resp. Vq). On note ~ (resp. ~) l'EIEment de 5g o (resp. 5gq) dEfini par ~.

Soit ~(sg, 5g~ ; ~) l'espace des chemins dans 5g, d'origine ~0, d'extrEmitE dans 5gq ; on a une application canonique :

et par consequent, pour tout j>~o, un morphisme canonique :

(~) ~ ( ~ ; ~) -~ ~j+~(sg, 5g~; ~).

Soit ~e=j+ 1(5g, 5gq; ~q); soit Z un reprEsentant de ~ : c'est une application de (D ~+ ~, S ~) dans (sg, 5gq); Z dEfinit canoniquement une application de (D j+~, SJ)• ~-x dans (W0q, Vq) ; l 'image de la classe fondamentale de D J + I • ~-~ par cette derni~re application est un ElEment de Hi+j(W0q , Vq) qui ne depend que de ~; ceci dEfinit l 'application :

(2) (sg, 5g, ; - + H +j(Wo ,

Par composition de (x) et (2), on obtient une application :

: H +j(W0,,

dont l'Etude constitue l'essentiel de ce paragraphe.

Premieres propritt~s de l'application ~ . - - i. Si on remplace D par une nappe D' co~ncidant avec D au-dessus de V 0 et orientEe de fa~on cohErente avec l'orientation de D, I'application t0 obtenue est la composEe de ~ et d 'une translation de I-~(W0~, V~).

2. Soient k, g, m des entiers tels que o<~k<g<m<~q; on dEfinit comme en II, 4. i les variEtEs de niveau Vk, Vt, V,, et les triades Wkt, etc.; on d~finit comme ci-dessus ]es

espaces de plongements lin~airement adapt~s ~kt, etc.; on note ~ , l'~l~ment de Y'kt canoniquement dEfini par ~; on note ~;kt l'application analogue ~ ~j, relative ~t Wkt. L'application canonique Y'k,,~.~kt est une fibration localement triviale d'apr~s le

236

STRATIFICATION NATURELLE ET THt~OR~ME DE I,A PSEUDO-ISOTOPIF: 57

thdorEme de fibration des espaces de plongements (cf. [3], thdorEme I, p. I I4); la fibre situde au-dessus de ~kt est &rt, .. I1 y a commutativitd dans le diagramme :

, j(ert.; > > > . . . ,

--d H,+~(Wt,,, Vm) ~ Hi.+~(W~,,, V,,) -§ H,+j(W~t , Vt) -+ ni+~_x(Wtm , V,,) - > . . . ~ ni(w~.t, Vt)

darts lequel la suite du haut est la suite exacte d'homotopie de la fibration qu'on vient de considdrer; la suite du has se dEduit de la suite exacte d'homologie du triple (W~,,, Wtm , V,,) en rempla~ant l 'opdrateur bord par son opposE, et en rempla~ant

HI+j(Wem , Wtm ) par le groupe isomorphe Hi+j (Wkt , Vt) .

4 3 . C a s o/1 i l y a u n e m ~ t r i q u e r i e m ~ n n l e n n e a d a p t ~ e : l e s a p p l i c a t i o n s ~j, ~j, y e t l e l e m m e d e c o m m u t a t / v i t 6 .

Le principe de l'dtude de ~j consiste tt dEfinir trois autres applications ~j, ~j et y~ telles que ~jo,3j=yjo~j, et ~t Etudier sEparEment ~j, ~j et ~'j. La definition de ces applications utilise une (( mdtrique riemannienne adaptEe >>.

DEfinitions. - - Soit 9J~ une mEtrique riemannienne sur W0q ; on dit qu'un plongement linEairement adapt6 q~ : S ' - I • o, I) ~ (W0q , V0, Vq) est degradient si q~({x}• est une ligne de gradient de 93/pour tout xeS ~-1. On dit que 932 est adaptge "~fe t ~t si les nappes descendantes de gradient des points critiques de f sur W0q peuvent tomes 6tre prolongEes jusqu'~ Vq, et si en l~lus ~ est de gradient.

On rappelle qu e les conditions ci-dessus entratnent que toutes ces nappes de gradient et l 'image de ~ sont deux tt deux disjointes; en plus les nappes ascendantes de gradient des points critiques de f sur Woe peuvent alors ~tre prolongdes jusqu'~t V0, et sont toutes disjointes deux ~ deux, ainsi que de l'image de ~ et de toutes les nappes de gradient

deseendantes. On rappelle d 'autre part le rEsultat suivant (utilis6 en thEorie de Smale) : si tousles

points critiques de f sur Woq ont mgme indice i', et si i <~ i', alors l' espace ~ et par conseCquent l' espace f ,font non vides; et pour tout ~5~', il existe sur Woq une mgtrique riemannienne ~ adaptge d f et ?z ~.

Notations. - - On note A la reunion des nappes de gradient ascendantes de tousles points critiques de f sur W0q ; on note Y l'interseetion de A avec V 0. On note 5~ le sous-espace de 5a 0 (espace des plongements S i - l~V0) formd des plongements dont l 'image ne rencontre pas A.

On choisit une varidt6 de niveau V 0, situEe un peu au-dessous de V0; ~ d~finit un diffEomorphisme : Vo• o, I) --+ (Woo, , Vo, Vo, ). On note 5~ le sous-espace de f form6 des plongements qui sont de gradient en dessous de V0,.

237 8

5 8 J E A N C E R F

D/ f in i t ion de aj. - - C'est l ' appl ica t ion naturel le (cf. I, 4-2) :

~j+l(Seo, ~ ; ~o) ~ H,+Av0, Vo-Y).

D ~ i n i t i o n de ~j. - - L'espace R "~ a m6me type d ' homotop i e que l 'espace ~e.oo, : espace des p longements l in6ai rement adapt6s S ~--1 • (I, o, I) ~ (Woo,, V0, Vo,) don t l ' image ne rencontre pas A n V o , . La project ion de Woo, sur V o d6finit une appl ica t ion de ~ooo, sur l 'espace ~(SPo, Y'o~ ~) : espace des chemins dans Y'o, d 'or igine t0, d 'extr6mit6 dans S~o ; cette appl ica t ion est une 6quivalence d ' homotop i e ; on a done une bijection

( canon iquement d6finie par 9J~) : nj+l(Y'o, S~0; ~o) ~ =~(2Y'; 4). L 'appl ica t ion ~j est l ' appl icat ion : ~j+ 1(5ao, S~o ; ~) -~ ~j(.~; ~) ob tenue en composan t la bijection ci-dessus avec l ' appl ica t ion rrj(~V*; 4) ~ rrj(W; 4) d6finie par l ' inclusion.

D/f in i t ion de yj. - - Consid6rons les deux applicat ions naturelles :

H,+~(Vo, Vo--Y ) "A H,+j(Woq , Woq--A ) vJL Hi+j(Woq , Vq).

L 'appl ica t ion Tj' est bijective pour tout j~>o, car Wo~--A peut se rdtracter sur Vq le long des lignes de gradient de ~JJ~; on pose :

~j'-lo.rj=~j. Lemme 1. - - Le diagramme :

~+ l(~eo, ~o;~o) % H,+AVo, Vo-V)

est commuta t i f pour tout j >~ o.

De'monstration. - - Soit 6 ~'

H~§ j(Woq , Vq)

l 'espace des p longements hor izon taux de S i-~ dans Woq--A. O n compl&e le d i a g r a m m e ci-dessus en le d i a g r a m m e :

,~j(~; ~) , ~j~ ~(~ , ~ ; ~)

off toutes les commuta t iv i t4s se v6rifient sans difficultC

, H,+j(Vo, Vo--Y)

, H,+~(Woq, Woq--A)

, n , , A W o ~, V,)

238

STRATIFICATION NATURFLLE ET THI~ORI~IvIE DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 59

4.4. Etude de l 'appl icat ion ~i dans que lques cas part icuUers .

let cas particulier. - - Tous les points critiques de f sur Wt~ sont d'indice strictement plus grand que i; alors chaque composante eonnexe de Y est de dimension strictement plus petite que n - - i - - l ; done, d'apr~s le th6or~me de s6paration de Whitney, r~l(Sg0, 5~0 ; ~ ) = o ; l 'application % est nulle dans ce cas.

2 e cas particulier.

Lemme 2. - - On suppose que les points critiques de f sur Woq sont tous d'indice i et que V o

est connexe. Alors l'application % est surjective si l'une des trois conditions suivantes est remplie :

(sl) 2<~i<~n--2;

(s2) i = t et V0--X est connexe;

(s~) i = n - - r et Vo--Y est connexe.

L'application % est bijective si r~0(V0)= r~l(V0)= o et si l'une des trois conditions (bo) ,

(bl) , (b2) de la proposition 4 est remplie.

D~monstration. - Cf. la proposition 2 de I, 4.2.

3 e cas particulier.

Lemme 3. - - On suppose que q~- I , que f a un seul point critique sur W01 , et que l'indice

de ce point critique est i + i. Si, en plus, i <<.i<~n~2, alors l'application o~ est surjective.

Dgmonstration. - Le fibr6 normal h X dans V0 ayant une section, il e• un plongement ~o : S~- ~ • I ~V~, dont la restriction ~ S i-1 • {o} s'identifie ~ ~ . On note Z l'image de ~0 et ~ l'espace des plongements Si-~• qui coincident avec r,o sur S ~- x • 0I ; soit ~oo la partie de -o~f o form~.e des plongements dont l 'image ne rencontre

pas Y. On a un morphisme naturel :

qui, compos6 avec %, donne un morphisme :

~0 : rh(2Y0, .~o; ~0) -+ H,+,(V0, Vo--Y).

D'apr~s la condition (st) de la proposition 2 de I, 4-2, ~o est surjectifpour 2~<i k i~<n--2, i.e. i<~i<~n--3; et d'apr~s la condition (s3) de la mfme proposition, ~o est surjectif pour i = n - - 2 (car Vo--Z est connexe). Ceci ach~ve la preuve du Iernme, car la

surjectivit6 de ~o entratne celle de %.

4.5" Etude de l 'appl icat ion ~j.

Lemme 4. - - I ~ L'application ~ est b~ective quel que soit j>~o lorsque q - - r et que f a un

seul point critique sur Wo~. 2 ~ L'application ~o est surjective si (i' dgsignant le plus petit des indices des points critiques

de f sur W0q ) on a r<~i<.i'<~n--2.

239

6o J E A N C E R F

Corollaire. - - Soit f~ .~ : une fonction de Morse: soient q, cz, q trois points critiques cons~-

cutifs de f , de rafme indice i, tels que f(cl)>f(c2)~>f(c3). Soit V 3 une vari~t~ de niveau de f situde

immgdiatement en dessous de c 3. Soit D 1 (resp. D2) une nappe descendante de q (resp. cz) limitde

V 3. Si 1<~i<~n--2, alors D 1 peut gtre ddformde (dans l'espace des nappes descendantes de q

limitdes g~ V~) en une nappe D~ disjointe de D2.

Ddmonstration du corollaire. - - O n choisit une varidtE de niveau V t d e f s i t u 6 e entre c, et c2, et une mEtrique r iemannienne 9Jr pour laquelle D2 soit de gradient. D'apr6s le 2 o du lemme 4, D1 peut 6tre dEformEe en une nappe D~ qui soit de gradient pour 0Jr

en dessous de Va; ])'t ne rencontre pas 1)2.

Dgmonstration du lemme 4. - - i ~ Soit cl l 'unique point cri t ique de f sur W01. Pour tout compac t ~ de 5Y0q, il existe une variEtE de niveau V0,, situEe au-dessus de ct, teIle que pour tout point x situ6 sur l ' intersection avec W0,, x de l ' image d 'un E16ment quelconque de .Yd, la ligne de gradient descendante de x ne rencontre pas ct. I1 existe donc

une sous-variEt6 ~ bord C(o,, de Vo,, , de codimension zero, telle que le cylindre W0"l

engendrE par les lignes de gradient descendantes issues de V0,, et limitEes k V~, contienne son int6rieur les intersections avec W0,, 1 des images de tous les 61~ments de .Yg-. I1 existe

donc une deformat ion de ~ sur le sous-espace Y'** de f formE des plongements qui sont de gradient en dessous de Vo, ; ..it** peut ~tre dEformd dans Y'" au moyen d 'une isotopie adapt~e k f , dfifinie par les lignes de gradient de 9R, amenan t Vo,, sur V 0. et induisant l ' identit~ sur un voisinage arbi t ra i rement petit de Wo,~,,; par composit ion, on obtient une d6formation de ;r dans 5F*; ceci prouve le 1 ~

2 ~ La demonstra t ion se fait par recurrence sur q; le cas q = I a 6t6 trait4 au I o. Soit q > i ; soit Vq _ ~ un(: varidtd de niveau non cri t ique telle qu'i] y ait exactement une valeur cri t ique de f entre Vq_ x et Vq; soit V(q_ w une variEtE de niveau situ4e immediate- ment en dessous de Vq_~. Soit ~ 'eY'; d 'aprhs la surjectivit4 de ~0 dans ]e cas q = 1 , et l 'hypoth~se de rdcurrence, on peut supposer que ~' est de gradient sur W0, ,q_x et sur W(q_w, q. D'apr6s le lemme I de I, 4. I, on peut supposer que la project ion (le long des lignes de gradient) de ~'q_x,(q_~), sur Vq_~ a son image contenue dans un voisinage

t arbi t ra i rement petit de la reunion de ~q_ 1 et d 'un nombre tint de sous-varidt4s de dimension I de Vq_~ ; d 'aprhs la condi t ion de l'EnoncE, le thEorhme de separation de Whi tney permet de s6parer toutes ces sous-varidt4s de toutes les nappes de gradient descendantes

des points critiques de f sur W0, q_~; ~' peut alors 4tre dEformE en un ElEment de 5F*, ce qui achhve la preuve du ~o.

4.6. Etude de yi.

Lemme 5. - - Le morphisrae .fj est surjectif quel que soit j>_.o; il est bijectiJsi i t j ~ - n - - x .

Ddmonstration. - L'appl ica t ion ~,~' Etant bijective pour tout j>_.o, l 'Etude de T~

est ramenEe ~ celle du morphisme -(~ :

H~+~(V0, V0- -Y ) --* H~+~i.W0~, W~q--A).

240

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 6t

Soient q , c2, . . . , ck les points critiques de f sur W0q et soient i~, ix, . . . , ik leurs indices respectifs; soient Y~, . . . , Y*k les nappes de gradient ascendantes de ces points, limit~es

tt V0; soit (pour tout h = I, 2, . . . , k) T,~ un voisinage tubulaire de Y,~; on suppose que

ces tubes sont deux ~t deux disjoints, et on note T leur r6union. O n rappelle que Y~n

est diffdomorphe tt 1) " -~ , de sorte que T~ est diff6omorphe tt D"-~^x D i~. On a done le d iagramme commuta t i f suivant :

Hi+j(g0, V0--Y) I~-+j(TNVo, 0(TNVo)) - + . . . -+ @ H,/.+j(Sn-':h-lX D*:h, S , - ' ;h- IX S':~, -~t) h= l , . . . , k

H,+~(Woq, Woq--A) -+ H,~_s(T , 0 T - - ( T n V o ) ) - + . . . -+ @ I-~.+j(D"-ih X D ih , D"- i^ X Sih -~) h = l , . . . , k

Toutes les fl~ches horizontales de ce d iagramme sont des bijections (celles de gauche par excision); d'ofi le lemme.

4-7. D 6 m o n s t r a t i o n des p r o p o s i t i o n s 3', 4' et 5'.

Dgmonstration de la proposition 3' . - - O n a vu en II, 4 . 4 ( let cas particulier) que

lorsque tous les points crit iques de f sur W0q sont d ' indice sup6rieur ?~ i, no(SP0, 5~o; ~0) a un seul 616ment. D'apr&s le 2 o du lemme 4, l 'appl icat ion ~0 est surjective sous les m~mes hypoth6ses; done ~ est connexe, done ~ est connexe.

Dgmonstration de la proposition 4'. - - Sous les hypotheses de cette proposition, % est bijectif d 'aprSs le lemme 2, Y0 est bijectif d'apr&s le lemme 5, et ~0 est bijectif d 'apr~s le 2 ~ du lemme 4. Comme, d'aprSs le lemme I, on a : ~oo~0=70o0%, ceci entralne la bijectivit6 de ~ ; d'ofi la proposit ion.

Ddmonstration de la proposition 5'. - - Dans le cas (2), il s 'agit d ' un simple cas part iculier de la proposi t ion 3' (le fair que c a e t c 2 se tuent est superflu dans ce

cas).

Cas (I). - - Soit D Ounc nappe descendante de Co, limit~e k V2, et soit D une nappe

descendante satur~e de c 1 (cf. ci-dessous, I I I , 2. i) limit6e k V2 ; Do et D sont de dimension

respective i et j + t ; la condi t ion (I) pe rmet done de s6parer D o de ~ par une petite

isotopie. Soit V t une vari5t6 de niveau sdparant q et c2; soit D la partie de D situde

au-dessus de V1; si le niveau de V 1 est assez proche de celui de c2, il existe une nappe ascendante A de c2, en bonne position par rappor t k D, telle que A n D O = 0 . O n choisit

alors une m6tr ique r iemannienne 9Jr, adap t fe k D, A et Do; on construit k 1'aide de 9X

241

62 J E A N C E R F

un satur5 ~. de A qui est disjoint de Do. II existe alors d'apr~s III , 2. z, propridtd 3, un

voisinage double satur~ ~ de {ca, c~}, disjoint de D 0. On sait qu'on peut modi f ie r f sur [~

de fa~on que la fonction f ' obtenue n'y ait aucun point critique; ~ est un cylindre de gradient pour f ' ; il suffit done de montrer que l'espace des nappes descendantes de c o

Vl

CO

p o u r f ' , limitdes & V2, et dvitant une ligne de gradient, est connexe. I1 suffit pour cela que i<~n--2, ce qui ddcoule de (x).

Cas (3). - - On choisit les varidtds de niveau V0, V 1, V 2, on note f02 l'espace pr~cddemment notd ~ , ~2 le plongement ~, et on introduit de m~me ~0t, f l2 , ~01, ~t2. La fibration localement triviale R'e2-+Y'01 , de fibre fa2, donne lieu & la suite exacte :

W02

.Co(i)

W01 �9 c1(/+1)

W~2 �9 c2(i}

Vo

V1

V2

D'apr~s le Ier cas particulier de 4.4, %(5Fol; ~0t)=o. Tout revient done & montrer que la fl~che de gauche est surjective. D'apr~s la propridt~ 2 de II, 4.2, il y a commu-

tativit~ dans le diagramme :

I ~1;01 :

I +

H,+ 1(Wol , V,) , I~.(W=, %)

2 4 2

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~OR]~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 63

La fl~che du bas est surjectivc, car elle cst la compos6e des fl~ches :

I~.+ l(Woi , V,) -+ H~+ 1(Wo2, W~2 ) -+ H,(W~2 , V~)

(la fl+che de gauche est bijective par excision; celle de droite est surjective d'apr~s la suite exacte du triple (Wo2, Wxz, Vz), puisque H~.(Wo., , Vz) est nul d'apr~s l 'hypoth~se de destructibilit6 de c a par q). L'applieation ~o;12 est bijeetive d'apr~s le lemme 2 (la condition (bo) est remplie). L'applieation ~1;ol vfrifie d'apr~s le lemme i :

~1;01 ~ ~1;01 ='~1;01~ ;

or otl;ol est surjectif d'apr~s le lemme 3, et 71;ol est surjectif d'apr~s le lemme 5; donc ~1~ol est surjeetive. Done l 'applieation nl(s ~ol) -+ no(s ;~12) est surjective, ce qu'il faUait d6montrer.

24,3

CI-IAPITRE III

I~TUDE S E M I - L O C A L E DE LA S T R A T I F I C A T I O N DE o~-

II . UNICITI~ DES NAISSANCES ET DES M O R T S

~" 6tant l 'espace des fonctions de classe C ~ : (W, V, V') ~ (I, o, I) sans point

crit ique sur le bord muni de sa stratification naturelle (cf. I, 3), on se donne pour but

dans ce chapitre de classifier k homotopie pros les ehemins d 'origine fLXe fEo~ -~ traversant une fois la partie o~-~ de o~'1 qui est relative (suivant le sens de travers6e) "~ la naissance ou ~ la suppression d ' un couple de points critiques. Au w i, on classifie ceux de ces

chemins qui sont relatifs aux composantes de o~'~ qui tournent vers . f leur c6t6 << naissance >) ; le rfisultat est le << lemme d'unicit6 des naissances >> (1.3, corollaire 2) dont la d6mons-

t rat ion est une application facile du lemme des chemins 616mentaires. Au w 2, on dtudie le probl~me de la classification des << chemins de mort >>; en 2. I et 2 .2 on rappelle la

d6finition des << voisinages doubles >> des couples de points critiques en position de destruction mutuelle, on en profite pour donner une ddmonstrat ion rapide du << cancella-

tion l emma >> de Smale et de sa r6ciproque (2.3, proposit ion 3). Le lemme des chemins 616mentaires ram~ne alors la question ~ un probl6me g6om6trique non trivial qui a

dt6 trait6 en I, 5, ce qui condui t au << lemme d'unicit6 des morts >> (2.4, proposition 4)

qui est le principal r6sultat du chapitre.

w x. U N I C I T ~ DES NAISSANCES

x.x . La n a i s s a n c e s tandard dans R".

Soit i un entier tel que o~<i<n- - I ; soit XsI et soit ~>o. On pose, pour x ~ R n :

t (x) + + . . . +

I1 est immddia t que la fonction t x poss6de :

z6ro point crit ique pour X< I

I I point critique (l'origine) pour k-----~;

2 points critiques pour X> I : les points 2

2 ~

o, . . . ,o , s,, ~ I "

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E E T THt~ORI~ME DE LA P S E U D O - I S O T O P I E 6 5

En particulier, les points critiques de tl sont ]es points ( O , . . . , 0 , - ) - / ~ ) . Pour

tout X ~ ] ~ , I ] , lespointscri t iquesde~'xsontsurl ' intervalle [ - - J i ' + ~ duni~m'axe

( de coordonn&s. Le point % . . . , o , - - , v 3 / est un point critique de Morse

d'indice i + I de lx; le point sym&rique est de Morse d'indice i. Le chemin (ix) est , un chemin de naissance d'indice i >>; on va maintenant le modifier afin d'obtenir un

chemin ~ support compact. Soit ~ une fonction en cloche (de classe C ~) R"->I, c'est-~-dire une fonction ~

support compact ~gale ~ I au voisinage de o, dont on suppose en plus qu'elle ne dgpend

que de la distance (euclidienne) ~ l'origine. On pose :

t~ ;~ (x) = - ~ ) . . . - ~ , + xL~ + 4 - , + ~ - ( 2 x ~ (x)-~ )~..

Sur supp ~, ]es fonctions g0 et g~; x coincident pour tout kEI. Sur le compact ~-*(]o, i D, t o n'a aueun point critique; il suffit donc de choisir r assez petit pour que t~; x n'ait, quel que soit ~ I , aucun point critique sur ce compact. Sur ~-1(I) , /x et tin; x coincident; sir est assez petit, cet ensemble contient tousles points critiques de tous les g x. En r&umd : si r est assez petit, gr~; x et gx ont les rrdmes points critiques et coincident au voisinage de ces points

critiques; g~,0 et go cofncident sur R".

Soit + le diff6omorphisme de R" d~fini par :

On a :

On pose pour tout XeI :

+ ( x ) = ( x , , . . . , , ._ , , to(X)).

toO+ -I =x, , .

/~;xo+ - l = b x.

Le chemin (bx) ainsi d6fini s'appelle le chemin standard de naissance d'indice i darts R".

Puisque gm;x est k support compact, il en est de m6me de b z. Soit B • un cylindre de la forme [~D"-I• ~D1; on choisit ~ assez grand pour que B • contienne

son int6rieur le support de (bx) ; ce cylindre B • est appel6 rnodkle de naissance d'indice i.

Proprigtgs du chemin standard de naissance.

x. Pour tout xER", bo(x )=x , ; pour tout x~R"- - (B• b x ( x ) = b o ( x ) = x .

2. bx a zero point critique pour Xe o ,~ ;

I I point critique (l'origine) pour X = ~ ;

2 points critiques pour ke]~ , I ] .

pour tout XeI.

246

66 J E A N C E R F

Les points critiques de bl sont les points o, . . . , o, + ; la forme quadra-

tique bitangente ~ bx en Pun et l 'autre de ces points est respectivement :

(i) _ ~ . . . _ ~ , + ~ , + ~ + . . . + ~ ~ V ~ ~. . 4

3. On suppose i + o et i#n- - z ; on pose :

~(~)=(-~ , , x~, . . . , ~,, - x , ~ , , ~,+~, . . . , ~,,). AIors on a :

(2) bxoa-~b x pour tout keI .

[En effet, on a d'une part : +Zo a = a o + - l ; d 'autre part l'hypoth~se faite sur ~ entralne ~ o a = ~ , et par consequent : g~;xoa=g~;x.]

�9 .2. C h e m l n s ~ l ~ m e n t a i r e s de n a i s s a n c e

Soit feo~-. Un plongement 9 : B• est dit adaptd ~fs ' i l existe un plongement croissant 9' de J -+I - - ( ensemble des valeurs critiques de f ) , tel que le diagramme :

soit commutatif.

B X J * , W

,l l, J , I

Un chemin (fx) d ' o r ig ine f dans ~ est appel~ chemin dltmentaire de naissance d'indice i s'il existe un plongement 9 : B • adaptE ~ f , tel que pour tout XeI :

a) f x = f sur le complEmentaire de l 'image de 9; b) il y ait commutativit~ du diagramme :

B • 'P, W

l J ~ I

x .3. Un ic i t6 des n a i s s a n c e s .

On consid6re l'espace .~'~ (cf. I, 3.1) muni de sa stratification naturelle et des opdrations du groupe D i f fW • DiffI , lesquelles vdrifient les conditions (a0) et (ax)

de I, 2.2. Chaque composante connexe de o~'~ a deux c6tds distincts; un chemin de

traversde de ~-~ s'appelle chemin de naissance ou chemin de mort suivant que le nombre de points critiques augmente ou diminue le long de ce chemin.

246


A tout f 'a~-~ ' , on peut attacher deux entiers :

- - l'indice i : c'est l 'entier tel que, lorsqu'on traverse o ~ en f ' , i] apparalt (ou disparaft) un couple de points critiques d'indices i et i + I .

- - la hauteur k : c'est la hauteur de la variEtE de niveau d e f ' qui contient le point critique de codimension I de f ' [autrement dit, k est le nombre de points critiques de Morse qui sont au-dessous de cette variEtE de niveau].

I1 est clair que i et k ne dependent que de la composante connexe par arcs de f ' dans o.~"= t.

Ddsignons par cg, l'espace des chemins de naissance; ~ ' est reunion de composantes connexes par arcs de l'espace des chemins de traversEe. II rEsulte du lemme de forme eanonique des points critiques de naissanee (cf. [3], II, proposition 5) que par tout point de o~-~ passe un chemin EIEmentaire de naissanee. I1 rEsulte done du lemme des chemins ElEmentaires (cf. I, 2.2) la

Proposition 1. - - Soit f E ~ "~ Toute composante connexe par arcs de l'espace des chemins

de naissance d'origine f contient au moins un chemin gl#aentaire de naissance.

Corollaire 1. - - Soit fEo~'o. Tout chemin de naissance d'origine f est homotope (avec orQine

f ixe) ~ un chemin de support arbitrairement petit.

Dgmonstration. - D'apr~s la proposition I, on peut se borner au eas d 'un ehemin EMmentaire ~. Soit ~ un plongement adaptE dEfinissant ~; ~ est isotope (dans l'espace des plongements adaptEs) ~ un plongement dont l 'image est arbitrairement petite; on prend l'image de eette isotopic dans l'espace des chemins ElEmentaires.

CoroUaire 2 (Lemme d'unicitd des naissances). - - Soit feo~-~ soit q le hombre de points

critiques de f ; soit k un entier tel que o <~ k <~ q. On suppose que les varigt~s de niveau de hauteur k

de f sont connexes. Alors l'espace des chemins de naissance d'origine f , de hauteur k et d'indice i,

est connexe quel que soit i tel que o~<i~<dim W.

Dgmonstration. - - I1 suffit, d'apr~s la proposition i, de montrer que l'espace des ehemins E1Ementaires d'origine f , de hauteur k et d'indiee i, est connexe. Soit V~ une variEtE de niveau de hauteur k; la reunion W k de ces variEtEs est diffEomorphe ~ un eylindre de base V k. L'espaee des plongements B • k adaptEs ~ f a done m~me type d'homotopie que l'espace ~ des plongements de B dans V k. On sait (ef. [2], II, proposition 7) que cet espace est connexe si V~ est non orientable. Si V k est orientEe, la partie ~ + de ~ , d~finie par la condition de respecter l'orientation, est eonnexe; soit p la symEtrie de B par rapport ~ son Equateur; pour tout plongement adaptd ~, ~ et q~o (p • identitE) dEfinissent le m~me therein 61Ementaire; done ~ et ~+ ont m(:me image

dans l'espace de ces chemins : ceci achkve la demonstration.

247

J E A N C E R F

w 2. C H E M I N S ET C H E M I N S ~LI~.MENTAIRES DE M O R T

C R I T ~ R E DE S M A L E ; UNICITI~ DES M O R T S

2. I. Coup le s de n a p p e s en b o n n e p o s i t i o n ; v o i s i n a g e s d o u b l e s et v o i s i n a g e s d o u b l e s sa tur~s (el. [5], III, w 4).

S o i t f : W--~R une fonction de Morse ; soit (cl, cz) un couple de points critiques consdcutifs de f , d ' indices respectifs i + I et i, tels que f ( q ) ~ ' f ( c 2 ) . Soit D une nappe descendante de c 1 et soit A une nappe ascendante de c 2. O n dit que D et A sont en bonne

position si (voir fig. i) :

i o elles sont limitdes A une m~me varidt6 de niveau (notde V, ) ; 2 ~ 0D et 0A se coupent t ransversalement et en un seul point.

Soit (D, A) un couple de nappes en bonne posit ion; il existe toujours une m6trique r iemannienne sur W, admet tan t D et A pour nappes de gradient. Soit 9X une telle m~trique; soit V 0 (rcsp. V2) une varlet6 de niveau situfe imm6dia tement au-dessus de q

(resp. imm6dia temcnt en dessous de q). Soit .~ l 'adh6rence de la r6union des lignes de

gradient ascendantes de q limit~es ~ Vo; A est appelde nappe ascendante satur~e de c 2

(d6finie par gJ~ et V0); elle est diff6omorphe au demi-disque D,-~+ - t ; l 'une des faces de &~

est la nappe de gradient ascendante de q limit6e ~ V 0 (cf. fig. i). O n d6finit de m~me D,

nappe descendante satur6e de c t ddfinie par 9X et Vz ; on dit que (D, A) est un couple de

nappes saturdes en bonne position; elles se coupent t ransversalement suivant une ligne jo ignant c 1 ~ c z, dont l ' intdrieur est une ligne de gradient.

Soient (D, A) et ~ comme ci-dessus, et soit T 1 (resp. T2) un voisinage tubulaire

de 01) (resp. 0A) dans V 1 ; on suppose que T 1 et T 2 s o n t , en bonne position >,, c'est-~-dire (cf. fig. 2) que T l n T 2 est saturd pour la f ibrat ion de T 1 et pour celle de T2, et qu'i l

existe un diff6omorphisme : D i • ] ) " - ~ - ' -+ T~ n T 2 d6finissant une carte de chacune de ces fibrations. Soit M 1 (resp. Mz) l 'adhdrence de la rdunion des lignes de gradient ascendantes issues de T t (resp. descendantes issues de T.~) limitdes "~ V 0 (resp. V2) ; soit U la r~union M~ u M2 ; U est appeld voisinage double de {q, c2} dffini par ~J~, Ta, T~,

V0, V 2. On appelle voisinage double saturd ddfini par les m~mes donndes l 'adh6rence

de la r6union des lignes de gradient rencontrant T~ u T2, limit6es a V 0 et V2; U est la r6union de Mr, M2 et de deux cylindres H l e t I-I2; par exemple, H t e s t la r6union des

lignes de gradient descendantes issues de T t - - ( T x n T2), limitdes A Vz (cf. fig. 3).

Proprigtgs. - - ~) Le bord sup6rieur d 'un voisinage double satur6 (c'est-~-dire son

intersection avec la surface de niveau V0) est diff6omorphe k la vari6t6 $ ar~tes rentrantes obtenue en recollant D " - ~ - t • i ~ S " - ~ - ~ • i+t le long de S " - i - - ~ • i et

S " - ~ - ~ • i �9 l 'arrondie de cette vari6t6 est diff6omorphe ~ D " - t

248

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E E T THI~.OR]~ME D E L A P S E U D O - I S O T O P I E 6 9

2) Soit U un voisinage double de {cl, ca} et soit 15 un satur~ de U. Dans toute dasse d'homo-

topie de l'espace des bons chemins d'origine f , de support contenu dans l'int&ieur de U, il existe un ~lgment dont le support soit contenu dans un voisinage arbitrairement petit de U.

Fig. I Fig. 2

H2

tdl

I'A 2

Fig. 3. - - Voisinage double et son satur~ (traits fins)

[Dgmonstration. - - Soit 9J/une m6trique riemannienne adaptde ~t U et U; soient MI, M2, H1, H2 eomme ci-dessus. On note J1 l'image de f[ Ma et L~ un voisinage tubulaire de la surface lat~rale de M 1 dans M1, engendr~ par des lignes de gradient de 93/; ees lignes de gradient permettent d'identifier H a u L~ ~t ((H 2 u L~) ca V0) x Jl.

Soit 3' un bon chemin d'origine f , de support contenu dans l'int~rieur de U;

249

7 ~ J E A N C E R F

soit (g;,) une isotopic de R 5. support dans l'int6rieur de J~, et soit (gz) une isotopic de M~u Hz, 5. support dans l'intdrieur de cette varidtd, telle que, pour tout ?,eI, on ait :

gx(x, t)----(x,g'x(t)) pour tout (x, t )e((H~uL~)nV0)• (i)

Posons : g'x~176 I = ~x ;

ceci ddfinit dans l'espace des fonctions excellentes sur M a u H~ un chemin ~ d'origine f [ ( M t u H2) , de support contenu dans l'int6rieur de Mr. La restriction de T ~ M~u H.~ est homotope au compos6 u de ~ et du chemin g[oyogi-X dont le support est ga(supp y). II rdsulte done de (r) qu'il suffit de choisir (g~,) convenablement pour que le support de T' rencontre H 2 darts un voisinage arbitrairement petit de H2 n M 2. Une modification analogue des restrictions ~ M 2 u H 1 aeh~ve la ddmonstration.]

3) Soient W,.f, q, q, M1, M2, U, U, . . . comme ci-dessus, et soient de m~me W', f ' , c[ et c~ tels que c'~ et c~ aient respectivement mfme indite que q et cz. On d6signe par .~

l'espace des plongements q~ : (U, q, cz) -+ (W', q, c2) adaptds ~ f e t f ' .

a) Pour tout ? ~ , q0(D, A) est un couple de nappes en bonne position, q~(D, A) est un couple de nappes saturdes en bonne position, q0(U) est un voisinage double adaptd

~(D, A) et ~(U) est un saturd de ~o(U).

b) Pour tout voisinage double U' de {c'~, c~} et tout saturd IJ' de U', il existe q 0 ~

tel que q~(U, U)=( I~ ' , U'). c) Pour que ,~ soit non vide, il suffit (et d'apr6s a), il faut) que le couple (c'1, c~)

poss~de un couple de nappes en bonne position. Pour tout tel couple (D', A') la partie ~ ' de ~ ddfinie par la condition q~(D, A)----(D', A') est connexe. En plus, pour tout

couple (D', A') de nappes saturdes en bonne position contenant (D', A'), il existe q~e~'

tel que r soit contenu dans un voisinage arbitrairement petit de D ' u A ' , et q~(U)

dans un voisinage arbitrairement petit de D ' o A ' .

2 .2 . Le v o i s i n a g e d o u b l e s t a n d a r d et s o n sa tur6 .

Lemme 1. - - Dgsignons par (q, q) le couple de points critiques de la fonction bx, extr~mit~ du chemin standard de naissance (cf. III , x. I). Le couple (q, c2) posskde des voisinages doubles sature's arbitrairement grands.

Dgmonstration. - - Considdrons d 'abord la fonction g~;1 ddfinie (cf. III , i. i) par : / ~ ; l ( x ) = - - ~ - . . - - - ~ + ~ 1 - . . q-x~- lq -~- - (2~(x ) - - I )eX , , ; soient c~ et c~ ses points critiques; c[ a une nappe descendante D' (de gradient pour la mdtrique euclidienne) situde dans la varidtd lindaire d'dquation {xi+ x . . . . . x,_ 1 =o} ; de m5me c~ a une nappe de gradient ascendante A' situde dans la varidtd {xl . . . . . xi = o}. Ces deux nappes, limitdes

la varidtd de niveau zdro de t~;1, sont en bonne position. On rappelle qu'il existe un q - - ] . . diffdomorphisme + de R" tel que b~=/~;~ou , onno te + ( D ' ) = D , + ( A ' ) = A . SoitgJ~

260

S T R A T I F I C A T I O N NATURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 71

une m~trique riemannienne sur R" qui coincide avec l'image par + de la m~trique euclidienne au voisinage de D uA, et avec la m~trique euclidienne sur le compld-

mentaire d 'un compact. Soit U un voisinage saturd de {cx, q} ddfini par 9J~ et limitd aux surfaces de niveau V 0 et V2, d'dquations respectives x, = + ~ et x , = - - ~ , off ~ est

tr~s grand. Soit T u n voisinage tubulaire de 0(UnV0) dans V0; il existe un diffdomorphisme X de Vo, ~ support dans un voisinage arbitrairement petit de T, tel que

x ( U n V o ) = ( U n V 0 ) u T . La rdunion des lignes de gradient descendantes issues de

(U nV0)u T et limit~es ~ V 2 est donc un voisinage double saturd U' de (ca, q). D'apr~s

la propridtd i de III , 2. I, T peut 8tre choisi de fa~on que (U nV0) u T soit arbitraire-

ment grand dans V 0 ; U' est alors arbitrairement grand dans la partie {[x,[~< ~} de R ".

Choix d'un m o d k l e . - Le lemme i montre en particulier qu'il existe des voisinages doubles satur~s de {q, c2) pour la fonction b~, assez grands pour contenir le support du chemin standard (bx). On en choisit un une fois pour toutes, qu'on appelle le voisinage

double saturt standard, et qu'on note ~s ; on modifie au besoin le choix du module de

naissance B • (cf. III , i. i) de fa~on que U s c B • on note Us le voisinage double

dont Us est le satur&

2. 3. C h e m i n s 6 1 G m e n t a i r e s d e m o r t .

DIfinition 1. - - On appelle chemin /ltmentaire de mort d'indice i tout chemin dans o*- dont l'oppos~ est un chemin ~l~mentaire de naissance d'indice i.

II r~sulte du choix particulier fair en III , 2.2 du voisinage double satur~ standard et du module de naissance que la d~finition qui precede est gquivalente ~ la

Dgfinition 1'. - - Soit f e~ -0 ; un chemin (fx) d 'o r ig inefes t appel~ chemin glgmentaire

de mort d'indice i s'il existe un plongement ~ : L!s-+W , adapt~ ~ b x et ~ f , tel que, pour tout XeI, fx soit ~gal ~ f s u r le compl~mentaire de l 'image de % et qu'il y ait commutativit~ du diagramme :

~ s ) W co

9' J , R

En proc6dant comme en III , 1.3, on ddduit du corollaire du lemme des chemins 616mentaires la

Proposition 2. - - Soit f e ~ "~ Toute composante connexe par arcs de l'espace des chemins

de mort d'origine f contient au moins un chemin ~lkraentaire.

251

72 J E A N C E R F

Corollaire. - - Soit f e ~ - o . Soit (fx) un chemin de mort d'origine f relatif g~ un couple (cl, c2) de points critiques.

a) Il existe un couple (D, A) de nappes en bonne position relatives tl (cl, c2) tel que (fx) soit homotope avec origine f ixe ~ un chemin dont le support est contenu dans un voisinage arbitrairement petit de D u A .

b) Il existe une nappe descendante prolongde issue de cl, notge ~Jo (de bord situg dans la varidtd de niveau de c2) telle que (fz) soit homotope avec origine f ixe g~ un chemin de support contenu dans un

voisinage arbitrairement petit de Do. De me"rae, il existe une nappe ascendante prolongge issue de c2 a~ant cette propri~tL

Dgmonstration. - - D'aprSs ]a proposition 2, on peut supposer que (fz) est dlEmentaire, dEfini par un plongement adaptE ~ du module double saturd standard. Soit (D, A) l'image par q~ du couple standard de nappes en bonne position. D'apr~s la propriEtE 2 de III , 2. I, (fx) est homotope ~t un chemin dont le support est contenu dans un voisinage arbitrairement petit de r ; et d'apr~s le c) de la propriEtd 3 de I[I , 2. I, on peut supposer que a)(U,) est eontenu dans un voisinage arbitrairement petit de D u A; ceci prouve lea) .

Pour prouver le b), on consid~re une mEtrique riemannienne adaptEe ~ (D, A)

et on prend pour D o l'adhErenee de la reunion des lignes de gradient descendantes de cl, limitEes au niveau de c 2. Soit V~ une variEtE de niveau sdparant c I e t c2 ; soit D' (resp. A') la partie de D (resp. A) limitEe ~ V' 1 ; (D', A') est un couple de nappes en bonne position, isotope ~ (D, A) par une isotopie adaptEe ~ f ; (D', A') a done la propriEt~ du a); il suffit de ehoisir V' t assez proche du niveau de c a pour que D' u A' soit dans un voisinage

arbitrairement petit de D 0.

Proposition 3 (Critkre de Smale). - - Soit f~o~'0; soit (cl, c~.) un couple de points critiques consgcutifs def . Pour qu'il existe un chemin de mort issu de f , relatif au couple (c~, c2), il faut et il suffit qu'iI existe un couple de nappes en bonne position issues de ces points.

Dgmonstration. - - a) Condition rdcessaire. - - D'apr~s la proposition 2, s'il existe un chemin de mort de (ct, cz) issu de f , il en existe un qui soit EIEmentaire; il existe done un plongement r du module double standard adapt6 ~ f e n (el, c2) ; l 'image du couple standard par r est un couple de nappes en bonne position.

b) Condition suffisante. - - S'il existe un couple de nappes en bonne position relatif (c~, c~.), il existe, d'apr~s le c) de la propriEtE 3 de 2. I, un plongement du modSIe

double saturE standard adaptE ~ f e n (q, c~); il existe done un ehemin ElEmentaire de mort de (cl, c~).

2.4. Le l e m m e d'unicit6 des m o r t s .

Lemme 2. - - Soit f e~ -o . Soit (q, c2) un couple de points critiques consgcutifs de f possgdant un couple (D, A) de nappes en bonne position; on pose 0D -=X, 0A = Y ; on note V1 la varittg de niveau qui contient X et Y. Soit ,4" l' espace des couples de nappes en bonne position issues de (cl, c2) ; soit .~ l'espace des plongements X ~ V 1 ; soit Ys le sous-espace de Yf forrM des plongements dont

252

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E ET THI~ORI~ME DE LA P S E U D O - I S O T O P I E 73

l'image rencontre Y transversalement et en un seul point; soit ~ l'injection de X dans V:; soient

de mgme ~/, Y/a, 7q, obtenus en r les r61es de X et Y . Pour tout j>>. o, on a des isomorphismes :

=j(Mr; (D, A))-- , : j+~(a ~, ~ ; ~)--=j+~(*', *'~; ~).

Dr - Lorsqu'on r e m p l a e e f par - - f , les r61es de (s s et de (~, ~tl) s'Echangent, alors que l'espace M r correspond h lui-mSme; il suffit done d'Etablir le premier isomorphisme. Soit ~ ]'espace des nappes ascendantes de c 2 ; Mr est fibre sur d , de fibre l'espace, note ~v, formE des nappes descendantes de cx limitEes h V~ dont l'interseetion avec V~ coupe Y transversalement et en un seul point; d'apr~s la proposition 4 de l'Appendice, .~ est acyclique; done Mr a m~me type d'homotopie faible que ~u" Soit V~ une surface de niveau de f situEe entre c~ et V1. Soit ~ la partie de c~, formEe des nappes qui coincident avee D~ au-dessus de V~ ; il rEsulte du corollaire 2 de la propo-

6, ' sition 2 de l'Appendice, et de la proposition 4 de l'Appendice, que 6~ u a m~.me type d'homotopie faible que ~u" Soit 93t une mEtrique riemannienne sur W pour laquelle D et A soient de gradient; ~ dEfinit un diffEomorphisme de V~• sur la partie W~ de W comprise entre V~ et V~, ainsi qu 'un prolongement note A' de A jusqu'~ V[; on note : DnV'~----X', 0A ' - -Y ' . L'espace ~'v a m~me type d'homotopie que I'espace -9~ des plongements ~0 : X ' • ~) -~ (W~, V~) qui vErifient q~(x, o)----x pour tout xeX' , et qui sont ~< linEairement adaptEs ~f , , , ce qui signifie qu'il y a commutativitE du diagramme :

X ' • ~, W i

I~r' i ~ f I > R

dans lequel q~' est l 'application linEaire affine dEcroissante de I sur f (Wl) . La projection de W t sur V 1 ddfinit un homEomorphisme de .LP sur l'espace des chemins dans d'origine 4, d'extrEmitE dans ~1; l'isomorphisme annoneE en rdsuhe.

Lemme 3 [Notations du 1creme ~]. - - Soit i l'indice du point critique c2; soit V 2 une

vari~td de niveau de f situ~e immgdiatement en dessous de c2. Si i----o ou i = n - - i , ou si n>~6,

I<~i<<.n--2 et =l(V,,)=o, alors ~I(Y', ~1; 4)----o.

Dgmonstration. - - Lorsque i < n - - 4 , e'est le rEsultat de la proposition 3 de I, 5; les autres cas s'en dEduisent par cbangement de f e n --f , compte tenu de l'isomorphisme

du lemme 2.

Proposition 4 ( Lemrae d'unicitd des morts). - - Soit f ~ " une fonction excellente. Soit (c~, c~) un couple de points critiques cons&utifs de f en position de destruction mutuelle, tels que f(c ,) > f(c2).

Si dim W i> 6, et si les surfaces de niveau de f situdes imm~diatement au-dessus de c t [ou encore,

ce qui revient au mgme, celles situges immgdiatement au-dessous de c2] sont siraplement connexes,

alors I'espace des chemins de mort de (ci, c2), d'origine f , est connexe.

2.~3 10

74 JEAN CERF

Dgmonstration. - - D'apr~s la proposition 2 (cf. III , 2.3), il suffit de montrer que l'espace d~t des chemins dldmentaires de mort de (cl, c2), d'origine f , est connexe. Or soit ~ l'espace des p]ongements du module double saturd standard dans W, adaptds

f e n (q, ca) ; et soit./V l'espace des couples de nappes en bonne position issues de (ct, ca). L'application naturelle ~-§ est une fibration localement triviale, dont la fibre est connexe (cf. III , 2. i, propri~td 3, c)); d'apr~s les lemmes 2 et 3, X est connexe; donc est connexe; d'apr&s la ddfinition i ' des chemins ~lfimentaires de mort (cf. III , 2.3), il existe une surjection ~ d " l ; donc d~l est connexe.

Corollaire. - - Soit (W, V, V') un h-cobordisme compact; on suppose dim W>~6 et

~l (V)=o . Soit f e ~ (espace des fonctions ordonnges excellentes (W, V , V ' ) - + ( I , o , i ) ; ef. V, I. i) ; soit (cl, ca) un couple de points critiques consdcutifs de f , d'indices respectifs i + I

et i, en position de destruction mutuelle. Si i est difflrent de i et de n--2 , ou si i = I et c2 est

l'unique point critique d'indice I de f , ou si i = n- -2 et cl est l'unique point critique d'indice n - - i

de f , alors l'espace des chemins de mort de (cl, ca) , d'origine f , est connexe. [La condition de simple connexit6 de la proposition 4 est en cffet remplie dans

chacun de ces cas.]

254

CHAPITRE IV

I~,TUDE SEMI-LOCALE DE LA S T R A T I F I C A T I O N DE ~"

III . TRAVERSI~E DES SINGULARITIES DE C O D I M E N S I O N

Dans tout ce chapitre, (W, V, V') d6signe une triade compacte et o~- l'espace des fonctions C ~ : (W, V , V ' ) ~ (I, o, I) sans point critique sur le bord, muni de sa stratification naturelle. Les rdsultats sont le lemme des singularit6s ind6pendantes (w I, proposition i), le lemme du triangle (2.2, proposition 2), les lemmes d'apparition et de suppression des becs (3.2, proposition 3 et 3.3, proposition 4) et le lemme de la queue d'aronde (4.3, proposition 5). Tous concernent la possibilit6 de d~former certains chemins de mani~re ~ leur taaire traverser une composante de o ~2.

w L LEM_ME DES SINGULARIT~S IND~.PENDANTES

Ddfinition 1. - - Soit f e ~ ' . On dit que deux singularit6s de f sont inddpendantes

si elles sont ~ des niveaux diffdrents.

On s'int6resse au cas off ces deux singularitds sont de codimension I; trois cas sont alors possibles (cf. I, 3) : deux points critiques de naissance; un point critique de naissance et une valeur critique double (les deux points critiques correspondants dtant de Morse); deux valeurs critiques doubles (les quatre points critiques correspondants 6tant de Morse).

Ddfinition 2. - - Soit f e ~ " une fonction excellente. Deux chemins de traversfie de o ~'~, d'origine f , sont dits indgpendants si leurs supports sont disjoints, et si les images par f de ces supports sont disjointes.

Remarque. - - Deux chemins de naissance d'origine f peuvent ~tre ind~pendants tout en ~tant relatifs ~t la m~me cocellule de ~-1.

Lemme 1. - - Soit f e o ~ ~ et soient Yt et Y2 deux chemins de traversge de ~,~ d'origine f ;

on suppose que le paramktre de #avers& est dans chaque cas i /2 . Si "h et "(2 sont inddpendants,

il existe f ' e ~ , ~'2 (ayant deux singularit~s de codimension i indfipendantes), et une

application Y : I • telle que :

y(t, o) = y l ( t ) et y(o, t ) = y2(t)

255

7 6 J E A N C E R F

pour tout teI , et que, si I • Ies t muni de la stratification produit par elle-ragme de la stratification de

codimension x d~finie par I t = { I } , 7 soit une carte transverse de . ,~ en f ' .

Dgmonstration. - - Il suffit de poser, pour (t, u)eI • I :

71(t) sur le support de 71;

7(t, u)=lT2(u) sur le support de 72;

I f partout ailleurs. f

"r 1

Application. - - I1 r~sulte du lemme I que, dans tousles cas off l'application du lemme des chemins 61~mentaires permet de montrer qu'un bon ehemin ayant deux points de traversde est homotope (dans l'espace des bons chemins) au composd de deux chemins de travers~e dont les supports d 'une part, et les images des supports d'autre part, sont disjoints, on obtient un lemme de traversde de o~ . Ces diffdrents cas sont rassemblds dans la proposition suivante (ou s'y ramSnent en changeant f en --f , ou en inversant le sens des chemins) :

Proposition 1 (Lemme des singularitgs inddpendantes). - - Tout chemin dans ~ ayant un

graphique du type I (resp. 2, 3, 4, I', 2', 3', 4') ci-contre, peut gtre ddformg avec extr~mitgs f ixes en un chemin ayant un graphique du type I' (resp. 2', 3', 4', i, 2, 3, 4). Darts tousles cas, le nombre k de valeurs critiques sgparant les singularitgs inddpendantes est arbitraire; dans

le cas du type 4, lorsque le nombre k est nul, on peut obtenir indiffgremment le graphique 4', ou le t graphique 4b.

[En plus, dans tous les cas, la ddformation peut se faire de fa~on que tousles chemins intermddiaires soient bons, ~ l'exception d 'un seul, dont l 'unique accident est le passage par un point de .~-2 ayant deux singularitds de codimension x inddpendantes.]

w 2. T R A V E R S ~ E D'UN POINT TRIPLE

LEMME D U TRIANGLE

2. x. La s ingulari t~ po int triple .

Dgfinition. - - On dit qu'une fonction de Morse fE~- , est un point triple de o*- si toutes ses valeurs critiques sont simples, ~ l'exception d'une seule, a, qui est triple, c'est-?~-dire telle qu'il existe exactement trois points critiques de f dansf-X(a) .

L'ensemble des points triples de o~" est une partie ouverte et ferm~e de ~-2, strate de codimension 2 de la stratification naturelle de o~'. En un point triple f , cette strati-

256


I r

I

3'

4'

4(h=o) 4; 4;

257

78 J E A N C E R F

fication admet pour modNe transverse l'~toile ouverte du centre ~ dans la premiere subdivision barycent r ique du 2-simplexe s tandard (cf. fig. I).

A\ / II I "~

l II I X~k

, ,4 . / ) , , / ~ "'1 ~ ',

Fig. I

2.2 . Le l e m m e d u tr iangle .

DLfinition. - - Soit f E ~ " une fonction excellente. Soient cl, c2, c 3 trois points critiques consdcutifs de f tels que f ( q ) > f ( @ ~>f(cs). On dit qu 'un bon chemin d ' o r i g i n e f a pour graphique un triangle de premikre (resp. deuxi~me) esp~ce relatif ~ g , ca, c~, s'il a exactement trois points exceptionnels qui sont, dans cet ordre, des croisements (% cs) , (% q) et (fi, c,)

(resp. (q, c2) , (% cl) et (c2, c3)).

Dans le premier cas, le << triangle >> a sa pointe vers le haut (fig. 2), dans le second, il l 'a vers le bas (fig. 2').

Cl r

c3

Fig. 2 Fig. 2 '

Proposition 2 (Lemme du triangle). - - Soit f E ~ une fonction excellente, soient q , cz, c 3 trois points critiques consgcutifs de f , d'indices respectifs i,, i2, i3, tels que f ( g ) > f ( @ > f ( @ .

I o Soit "~ un chemin d'origine f , dont le graphique soit un triangle de premiere espkce relatif ,~ ca, c2, Ca; si l'une au moins des conditions suivantes est remplie :

(x) it + i3<<.n--x,

(~) inf(ix, ia) ~ ~ - - I,

(3) i~ = i 2 = i3~< n--2,

288

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E ET THI~ORI~ME DE I.A P S E U D O - I S O T O P I E 79

alors 7 peut gtre dgform2 avec origine et extrgmitg fixe, en un chemin dont le graphique est un triangle de deuxikme espkce relatif aux rMmes points critiques. [En plus, la dgformation peut se

faire de fafon que tous les chemins intermgdiaires aient des graphiques en triangle, ~ l'exception d'un seul, dont l'unique accident est le passage par un point triple.]

~o Si y a pour graphique un triangle de seconde espkce, on a des conclusions analogues sous l'une quelconque des hypothkses :

( I ' ) i 1 -]- i3>/ n -]- I ]

(2') sup(ix, is)~>i2-? I ;

(3') i~ =/2 =/3>/~.

Dgmonstration. - - On se borne a u I O, le 2 ~ s'en d6duisant par passage de f

Soit t ' e I une valeur du param&re t de Y interm6diaire entre le premier et le second croisement; on pose g ( t ' ) = f ' . On note "(1 le chemin opposd de celui ddfini par la restriction de Y ~t [o, t'], et 72 celui d~fini par la restriction de Y ~t [t', r]. La d~monstration se fait en deux temps :

a) Sous les hypothkses de l'dnoncg, u (resp. Y2) est homotope dans l'espace des bons chemins d'origine f ' ~ un chemin gldmentaire ~x (resp. ~2), les supports de ~1 et ~2 pouvant en plus gtre supposgs disjoints.

Soient en effet c[, c~, c~ les points critiques de f ' qui correspondent respectivement

~t ca, c~, c 3 ; on a : f ' ( c [ ) > f ' (c'3)>f'(c~). On note V~ une surface de niveau de f ' situ6e immddiatement en dessous de c~. D'apr& la proposition 2 de II, 3. I, "(1 est homotope k un therein ~1, ~16mentaire descendant relativement ~t c~, dont le support est contenu dans un voisinage arbitrairement petit d 'une nappe descendante D~ de c~, limit& ~t V~. De m~me, 7z est homotope ~t un chemin ~2, chemin 61~mentaire descendant de 2-croisement relatif ~t c[, dont le support est contenu dans un voisinage arbitrairement petit d 'une nappe descendante D' 1 de c'1, limit& ~t V~. Si la condition (I) est satisfaite, le thdor6me de s~paration de Whitney permet de supposer que D[ et D~, et par cons6quent les supports de ~1 et ~ sont disjoints. Si c'est la condition (3) qui est satisfaite, c'est le corollaire du lemme 4 de II, 4-5 qui permet de s~parer D' 1 de D~, et par cons6quent les supports.

Cas de la condition (2). - - Toujours d 'apr& la proposition 2 de II, 3. I, on peut aussi ddformer Yl en un chemin 61dmentaire ascendant relatif k c'2, dont le support est contenu dans un voisinage arbitrairement petit d 'une nappe ascendante A~ de c'2; la dimension de A~ est n--J2; le th6or6me de Whitney donne donc, pour la sdparation de A~ et D'a, la condition (n--i2)+il<~n--I , c'est-~t-dire i1<<.i2--i; cette condition &ant suffisante, la condition (( sym&rique )) i3<<.i2--I l'est aussi, ce qui ach6ve l 'examen du cas (2).

259

b) Fin de bons chemins

J E A N C E R F

la dgmonstration. - - Le chemin ~, est homotope dans l 'espace des ~i-1. [52. Posons, pour (t, u ) e I • :

l ~x(t) sur le support de ~i;

~(t, u ) = 1 ~2(u) sur le support de ~.~;

[ f ' ailleurs.

u= l

u 0 /

0 to ~I �9 t= l

Soit ~l(t) (resp. ~(u) ) la valeur de ~a(t) (resp. [52(u)) au point critique qui correspond ~t c~ (resp. c'1); les fonctions ~x et ~ sont lindaires affines; soient t o et u o les valeurs des param~tres respect ivement ddfinies : par ~t(to)=f'(c~) , et ~(u0)=f ' (c~) . La restriction de ~ ~t l ' intdrieur de I • stratifid par l ' intersection avec les droites :

t = to; u = u0; ~l(t) = ~ ( ~ )

est une carte transverse du point triple ~(t0, u0). Posons :

~(t, ~)=~'~(t); ~ ( ~ , , , ) = ~ ; ( u ) ;

~i -1 . ~.~ est homotope ~t ~ . ~,-a, et l 'homotopie peut ~trc choisie de fa~on ~t rencontrer

une seule fois le point triple; ceci termine la ddmonstrat ion.

w 3. LES LEMMES DU BEC

3. x. La s ingulari t6 bec ; 6tude locale dans l ' espace fonct ionnel .

D~finition. - - O n dit qu 'une fonction f~o~- est un point bec de o~" si tous les points critiques de f sont du type de Morse, ~t l 'exception d 'un seul, co, qui est un point de naissance (of. I, 3. i ) ; et si toutes les valeurs critiques sont simples, ~t l 'exception de f(co) ,

qui est double [c'est-~t-dire qu'il existe exac tement un point crit ique de Morse c x tel que f(ca)=f(Co); en d 'autres termes, f prdsente une naissance ~t un niveau critique].

Lemme 1. - - L'ensemble des points bees de oq ~ forme une partie ouverte et fermge de la

strate o~2 de la stratification naturelle de o~. En un point bec f , cette stratification admet pour

260

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E ET THI~ORI~ME DE LA P S E U D O - I S O T O P I E 8t

medOle transverse le cone ouvert, de sommet le centre o de D 2, de la stratification de S ~ dgfinie par

quatre points a~, a~, a~, a~ Ices points constituant la I-strafe de S a, et le compldmentaire la o-strate].

(t): Remarque. - - Si l 'on tient compte de la structure diff~rentiable de o~', on doit en

plus supposer que aa e t a 4 sont diam~tralement opposes, et a 2 et a3 d 'un m~me c6t~ de

ce diam&tre.

Dgmonstration. - - Soient f u n point bec, c 0 et q , comme ci-dessus, ses points critiques de m~me niveau. L'dtude locale des points critiques de naissance (cf. [3], PP. 32-34) montre qu'il existe une fonction G0, dont le support est un voisinagc arbitrairement petit de co, une sous-vari6td r de codimension i de #" passant par f , et un intervalle J0 de centre o tels que l 'application ( f ' , x) ~ f ' 4 - x ~ 0 d~finisse un hom~o- morphisme de r sur un voisinage d e f d a n s o~, de fa~on que ( f ' , ~,) ait, au voisinage de Co, zOro point critique si X<o, un point critique de naissance si ~,= o, et deux points critiques de Morse si X;>o; les valeurs critiques correspondantes dOfinissent pour f 'Ezr

et X~>o, deux fonctions continues a ( f ' , X) et ~ ( f ' , X) telles que :

a ( f ' , X);> ~(f ' , X)

~( f ' , o ) = ~ ( f ' , o).

pour X>o

Soit 61 une fonction en cloche ~ support disjoint de celui de 6~0, 6gale ~ I au voisinage de q. Pour tout f ' c ~t/', suffisamment voisin de f , il existe un nombre [z et un seul, proche

de zOro, tel que i f - t - ~ t soit un point bec. I1 existe done un voisinage q/ de f dans l'ensemble des points bees, et un intervalle J1 de centre o, tels que l'aptflication : ( f ' , [ x ) ~ f ' + ~z~ 1 ddfinisse un homdomorphisme de d//• sur un voisinage d e f d a n s ~'.

L'apl~lication q~ :

( f ' , X, ix) ~ f ' + X ~ o + V.~t

ddfinit done un hom6omorphisme de ~ X J o • sur un voisinage #" de f dans .~'.

Si ag est assez petit, le point critique c' t de f ' qui correspond ~ ct est tel que ~t(c't) = ~ ; le point c' tes t done critique aussi pour la fonction r X, ~), et la valeur correspondante

est f '~q)-b~z;' or, pu i sque f ' est un point bee, on a f'(c.~:" = ~ f , : ' o). Les 616ments de ~r

261

|1

82 J E A N C E R F

ayant une valeur critique double sont done caractdrisds (dans les coordonndes ( f ' , k, ~))

par l 'une ou l'autre des dquations :

tx = a ( f ' , X)--~(f ' , o)

tx = ~ ( f ' , X)--~(f ' , o).

I1 suffit done de composer ~ avee un homdomorphisme convenable de q / • (conservantf ' et x), pour obtenir une carte locale de la stratification au voisinage de .~"

dont la restriction ~t { f}•215 soit une carte transverse du module ddsird.

3.2. Le l e m m e d'apparition d'un bec.

Dgfinition. - - On dit qu 'un bon chemin y dans .~- a un graphique en bec si y (ou y-x)

a pour accidents une naissance suivie du double croisement, avec les deux valeurs

critiques nouvellement apparues, de la valeur critique situde immddiatement au-dessus

(ou au-dessous).

Il y a done les quatre types suivants de chemins ~ graphique en bee :

J type I type II type I ' type II '

(naissance-descente) (aaissance-mont~e) (mont~:'e-mor t) (descente-mort)

On passe du type I au type I ' et du type II au type I I ' par changement de sens; on passe du type I au type II par << dualitd ~) (c'est-~-dire remplaeement de f par - - f ) .

Lemme 2. - - Soit f ~ o ~ une fonction excellente ~ ceci prks qu' elle a un point de naissance c o

(autrement dit, f E o ~ ) . Si le point critique q de f situg immgdiatement au-dessous (resp. au-dessus)

de c o est d'indice diffgrent de o (resp. diffgrent de n), alors la composante connexe par arcs de f

dans o ~ 1 contient dans son adMrence des points bees relatifs ~ l'ggalitg des valeurs critiques

correspondant gz c o et c~. Dgmonstration. - - Supposons par exemple fi situs immddiatement au-dessous de c o

et d'indice :~o; soit V0 une surface de niveau sdparant c o de q. II existe un voisinage

eylindrique C o de co, dont le bord infdrieur est un disque de V o. Puisque l'indice de cl n'est pas zdro, il existe une nappe ascendante A~ de c~ limitde ~ V0, qui ne rencontre

pas ConV0; A 1 peut done ~tre prolongde jusqu'au-dessus du niveau de Co; il existe done un chemin dldmentaire ascendant relatif ~ q, rdalisant l'dgalitd des valeurs eorrespondant

~ c0 et q .

262

STRATIFICATION NATUREI.LE ET THI~'ORI~ME DE I.A PSEUDO-ISOTOPIE 8 3

Proposition 3 (Lemme d'apparition d'un bec). - - Soit u un chemin de naissance; soit f ' le

point oi, y traverse o ~ ; si le point critique de f ' situd immldiatement au-dessous du niveau de

naissance est d'indice 4= o, y peut gtre ddformd, avec origine et extrdmitd fixes, en un chemin g~ graphique

en bec du type naissance-descente (cf. fig. I). Si le point critique situd imm~diatement en dessus du

niveau de naissance est d'indice 4= n, y peut de mgme gtre ddformd en un chemin ~ graphique en bec

J

Fig. i Fig.

du type naissance-montde (cf. fig. 2). [En plus, la ddformation peut se faire de fa~on que les chemins intermddiaires soient bons ~ l'exception d'un seul, dont l 'unique accident

est le passage par un point bec.] Ddmonstration. - - Soient f0 et f~ l'origine et l'extrdmitd de y; soit fo' un point de

l'image de y situd un peu avant le point de traversde f ' ; soit de m~me f~', situd un peu

apr&sf ' . Soient Yt, Y2, Ya les arcs f0f0', J0'ft', f t ' f l de y. D'apr~s le lemme 2, il existe un

Fig. 3

chemin ~ j o i g n a n t f ' k un point b e c f " , et dont l 'image (& l'exception de son extrdmitd) est dans ~'~ ; donc d'apr~s le lemme I, Y2 est homotope avec extrdmitds fixes k un chemin y~,

graphique en bec, tournant autour de f " ; y est homotope ~t Ya*Y~*Y3, qui a l e s

propridtds voulues.

3.3. Lemtne de suppress ion d'un bee.

On se borne ~ dtudier les chemins avec bec de naissance (cas I e t II de IV, 2.2);

les cas I ' et I I ' se ddduisant respectivement des cas I e t II par changement de sens

du chemin, les conditions de suppression du bec seront respectivement les m~mes.

263

84 J E A N C E R F

Proposition 4. - - Soit "fun chemin en bec du type naissance; soit f ' le point oa 7 traverse o ~ ,

et soit V 0 la varigtg de niveau du point critique de naissance de f ' ; soit j l'indice de la naissance (ee qui signifie qu'il apparaft un couple de points critiques d'indiees j e t j-k-I); soit i

l'indice du point critique qui effectue le double croisement. I o On suppose que T est du type I

est remplie :

( ' )

(2)

(3)

(4)

(naissance-descente). Si l'une des conditions suivantes

i +j<<.n--2,

i< j ,

i = L 3<~i<<.n--3, ~l(V0)---o,

i = j + I , 3<~i~n--3, ~l(V0)=o,

alors 7 peut gtre ddformd avec extrdmitds f ixes en un chemin de naissance. [En plus, la deformation peut se faire de fa~on que les chemins interm~diaires soient boris ~ l'exception d 'un seul, dont l 'unique accident est le passage par un point bee.]

2 ~ On suppose que "fest du type II (naissance-montde). Alors les mgmes conclusions subsistent

pourvu que soit Mrifige la condition (3) ou la condition (4) du io, ou encore l'une des deux conditions suivantes :

( i ' ) i + j > _ . n + l ;

(2') i> j+I .

Dgmonstration. - - Le 2 ~ se d~duit du I ~ par passage de la fonction f ~ la fonction - - f ; aux conditions (I), (2), (3), (4) correspondent ainsi respeetivement les conditions (I'), (2'), (4), (3); on se borne done au I ~

Gas ( i ) , (2) et (3). - - Soit f0 l'origine de T, soit f2 son extrfimit~, et soitf~ un point

situ~ entre la naissanee et le premier croisement; on note T1 l'arc f0f l de T et T2 l ' a r c f f2. Chacune des conditions (i), (2), (3) entralne en particulier i+n; il r~sulte donc de la

proposition 3 que Ttest homotope ~ un chemin T' ~ graphique en bec, du type naissance-

montEe; soit f~' un point situE entre la naissance et le premier croisement de V'; on decompose T' comme ci-dessus y, en T[ (d'extrEmitfi fl') et T'2 (d'origine f~'). D'apr6s le lemme d'unicitfi du double croisement (of. II, 4 . I , proposition 5), T'2 - t et T2 sont

264


homotopes en tant que chemins de double croisement d ' o r i g i n e f ; donc y est homotope

(en tant que bon chemin d 'or iginefo) & ya*y~-a, lequel est homotope & y[.

Cas (4). - - Soient f 0 , f t , f 2 , Y1, Y2 comme ci-dessus; soient c2 (d' indice i) et c 3 (d'indice i - - I ) les points critiques d e f t apparus en f ' , et soit cl (d ' indice i) le point

t cri t ique situ~ imm~dia tement au-dessus de c 2 ; soient cs c~, c l l e s points critiques correspondants de ~ (de sorte que f2(c'2):>f~(c~);>f~(r ). Supposons d~montr~ que cs et c~ sont

t c ~

t ;

f l

"1"3 f2

en position de destruct ion mutuel le ; il existe alors un chemin de mor t Y3 d'origine f2 ' " note f0' l 'extr~mit6 de Y3. Le chemin y~-t ,y~l est ~ graphique en forme relatif 5. c 2 et c3, on

de bee, du type naissance-mont6e; par ~ dualit~ )> (passage de f k - - f ) il lui correspond un chemin du type naissance-descente vfirifiant la condit ion (3); il est done homotope avec extr~mit~s fixes 5. un chemin de naissance y[. D'aprSs le lemme d'unieit6 des

morts, y't -1 et y~-I sont homotopes ; done yt est homotope au compos~ Y0*'Y'x, oll Y0 est un chemin jo ignant f0 &f0' dans l 'espaee des fonctions excellentes. Done y est homotope

5. Y0*Y'I*Ya, puis ~ y0*y~ -x, qui est du type voulu. ! t t I1 reste ~ prouver que cz et c 3 sont en position de destruction mutuelle. Soient V o,

t s t t t V3, Vt des surfaces de niveau de f2 situ~es imm~dia tement en dessous de c2, c3, c~ respec-

%, t WO3 �9 c' 3(i-1)

w~ �9 ci (i)

v;

v~

v;

v~

tivement, et soit V 0 situde immddia tement au-dessus de c~. O n note Wit la partie de W comprise entre V' k et V} (si V;, est au-dessus de V)). D'apr~s le ~ cancellat ion lemma 7,

de Smale (cf. [IO], thdor~me (6.4) , p. 69), il suffit de montrer que H,(W03, V ~ ) = o ;

v u l e s indices de c2 et c~, il suffit pour cela de montrer que les groupes Hi_t(W;3, V~) et

265

86 J E A N C E R F

, , ~ HI_t(W01, W3t); H,(W03 , V'3) sont nuls. Or on a par excision : I~_a(W03 , V'8)~ ' '

le triple (W0t , W~a , V~) donne la suite exacte :

i i #

H,_~(Wol, V;) -+ H,_,(Wo~, W31 ) --+ H,_~(W~I, V;);

le terme de gauche est nul puisque c~ tue c 3 ; le terme de droite est nul vu l ' indice de c~ ;

on a done H i_ I (W~ , V ~ ) = o . La suite exaete du triple (W03, W~, V~) donne alors :

I

o - + H , . ( W o , , V ; ) - § z - + z ~ o .

Done H~(W03, V'3)=o , ce qui ach~ve la d~monstration.

w 4" L E L E M M E D E L A Q U E U E D ' A R O N D E

4. I. L a q u e u e d ' a r o n d e s t a n d a r d e t l ' e x l s t e n c e d e l a c e t s e n q u e u e d ' a r o n d e .

Soit W une vari~t~ de dimension n. Un point critique du type queue d'aronde d 'une

fonetion f : W--+R est un point crit ique c au voisinage d u q u e l f s ' ~ c r i t , dans des coor-

donnfies locales convenables, sous la forme :

- ~ , - . . . - ~ , + ~+, + . . . + ~._,-~.';

i s 'appelle l ' indice du point crit ique c. D 'au t re part, un chemin y dans l 'espace des fonctions W--+R, tel que y(t) soit

une fonction exeellente, sauf pour trois valeurs tl, t2, t3 du param~tre (o<tt<tz<t3< ~), est appel~ chemin en queue d'aronde (d'indice i) si :

i) y(tt) est un point de naissanee d ' indice i;

2) y(t2) est un point de croisement du point critique ca d ' indice ( i+ I ) apparu

en t 1 avec le point crit ique c t situ~ imm~dia tement au-dessus;

3) y(t~) est un point de mort , off c I se d~truit avec le point critique c~ d ' indice i

apparu en t 1 (ce qui suppose : i nd i ce q = i + i ) .

Le graphique d ' un chemin en queue d 'a ronde est du type de la figure I.

266

I I | " "

0 t 1 t 2 t 3

F i g . i


Lemme 1. - - Soit i tel que o<<,i<<,n--I. Soit hi+ t la fonction standard d'indice i + I

dans R" et soit Mi+ t le modkle de Morse correspondant. I l existe dans l'espace des fonctions

Mi.+l-+ [ - - i , + i ] cogncidant avec hi+ 1 au voisinage du bord, un lacet en queue d'aronde,

d'origine h i+ 1, d'indice i.

Ddmonstration. - - Posons :

. . . , +

Soient ~ et ~ d e u x param~t rcs r e d s ; posons :

r~, ~ (x,) = x~ + ~ + :qx,

et : f~, , , (x , , . . . , x , ) = q ( x , , . . . , x ,_ t ) - - r~ ,~(x , ) .

Les points critiques de f~,~ sont les points (o, . . . , o, x,) tels que x, soit un zero de la

dErivde de r~,~, c'est-~-dire tels que :

( I ) 4X~ + 2~Xn -J- ~ = O.

Les valeurs de (~, ~) pour lesquelles l '~quation (i) a une racine double sont donn~es

par :

(2) 8~ 3 + 2 7~ 2 = o.

(~,0

Fig. 2

1(~,o) ~-

La courbe (2) partage le plan des (~, ~) en dcux parties (cf. fig. 2); dans celle de droite, (i) a une seule racine rdelle; dans celle de gauche (I) a trois racines r~elles; pour ~ < o

et ~ = o (et seulement dans ce cas)f~, n a deux extrema distincts situ~s au m~me niveau.

I1 r~sulte de ceci que, pour tout d~crit [o, x] et qu 'on pose :

(s)

est un lacet en qucue d 'aronde.

~>o, le lacet d 'originc f, ,0 ddcrit par f~ ,~ lorsque X

l ~ = r COS 2X,x

= r sin 2X~,

267

88 J E A N C E R F

Soit ~ une fonction en cloche R"--+[o, I], dgale ~t I sur le disque D t de centre o et de rayon i, de suppor t contenu dans le disque D 2 de centre o e t de rayon 2. O n choisit assez petit pour que, pour tout (~, ~) tel que ~2+-~2~<e~, les racines de l 'dquation (I) soient toutes contenues dans l ' intdrieur de D 1. On pose :

~..o (,,~, . . . , ,,.) = ~' + ~ + ~ (x) ((~-- ~-)~ + ~ . )

et : J~, ~(xl, . . . , x , ) = q(xl, . . . , x,_1)--7~. ~(x).

La fonctionJ~, ~ coincide sur R " - - D e avecf , ,0 ; elle n 'a done aucun point crit ique dans

cette r~gion. Sur le compac t D 2 - D ~ , d~s que r est assez petit et que ~2+~2=e2 ,

~ , ~ est voisin de q ( x l , . . . , x , _ l ) - - x 4 , , et par consdquent n 'a aueun point critique.

Enfin, sur Dx, a~,, coincide avec f~ , , . Done le lacet ddcrit par .~, ~ lorsque (~, ~) d~crit le lacet ddfini par (3) a m~me graphique que celui ddcrit par f~, ~, ; c'est done un lacet en queue d 'a ronde .

Soit q~ le diffdomorphisme de 11" ddfini par :

. . . , x , ) = (Xl, . . . , x , + +

O n a : f ~ . 0 = k o +

a v e c . . . , . - . ,

Done l 'origine, unique point cri t ique de f~,0, a des voisinages de Morse arbitrairement grands. O n en choisit un, notd M~+~.,0 , qui contienne D~. ~ son intdrieur. O n choisit un diffdomorphisme q~ de Mi+ 1 sur Mi+l ;0 , adapt~ ~ hi+ ae t af , ,0 ; on note comme

d 'hab i tude ? ' ]e p longement : [ - - I + I] ~ 1 1 associ~ ~ q~; le lacet ddcrit par q~' ~oJ~, o?, lorsque (~, "~) ddcrit le lacet d~fini par (3), a l e s propridtds voulues.

Corollaire. - - Soit W une vari/t~ diffgrentiable; soit f une fonction exceIlente : W ~ I t ; soit c~

un point critique d'indice i -t- ~ def . II existe un lacet en queue d'aronde, d'origine J; d'indice i, relatif

q [c'est-~-dire dont le niveau de naissance soit situd immddia tement en dessous de q] . D/monstration. --- II suffit de t ransporter le la ter donnd par le lemme x, au moyen

d 'un p longement qo : M~.+~-+W, adaptd ~ f e n q .

Remarque 1. - - Le later donnd par le coroUaire a la propri~td suppldmentaire d 'e tre homotope ~ zdro par une homotopie au cours de laquelle la strate de codimension de l 'espace des fonctions r~elles est reneontrde en un seul point [fonction ayant un point

cri t ique du type queue d 'a ronde] . Remarque 2. --- Dans le cas part iculier oia i = o, et o~ les nappes descendantes

de q rencontrent deux composantes connexes distinctes d 'une varidtd de niveau Vt situde immddia tement en dessous de q , il existe pour chacune de ces composantes un lacet en queue d ' a ronde dont la naissance a lieu dans cette composante : il suffit de

t ransporter le lacet du lemme ~ par un p longement adaptd q~t d 'une part , et, d ' au t re part ,

par le compos~ ~ de '0~ avec la symdtrie (xt, . . . , x,,_~, x,) ~ (x~, . . . , x~_~, - - x , ) de R". Les deux lacets obtenus ne sont pas homotopes en tant que bons chemins d 'origine f .

268

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~ORI~ME DE I.A PSEUDO-ISOTOPIE 8 9

4.2 . E tude d e s c h e m i n s en q u e u e d ' a r o n d e d 'or ig ine donn~e .

Lemme 2. - - Soit f ~ " une fonction excellente; soit c t un point critique d'indice i + ~ def .

On note V 0 [resp. Vl) une surjace de niveau de f situge immgdiatement au-dessus (resp. au-dessous)

de q . On suppose n >16.

Si o<~i<~n-- 4 et ~l(V1) = o,

ou si i = n - - 3 et ~l(V0) = o,

alors l'espace Q. des chemins en queue d'aronde d'origine f relatifs g~ e 1 a au plus deux eomposantes

connexes. En plus :

a) Si i = o et si les nappes descendantes de c i rencontrent deux composantes connexes

distinctes de V1, alors l'espace Q a exactement deux composantes conru'xes.

b) Sinon, pour tout u le sous-espace Qv de Q (formg des chemins qui ont

avec "~ un arc de naissance en commun) a exactement deux composantes connexes, et tout

glgment de Q. est homotope d un ggment de Qy.

Dimonstration. - - Elle se partage en trois parties :

I. Classification des naissances admissibles :

Les seules naissances qui peuvent conduire ~ un chemin en queue d 'aronde sont eelles qui ont lieu dans une composante connexe de V 1 qui est effectivement rencontr~e par les nappes descendantes de q . Done d 'aprts le lemme d'unicit~ des naissances (cf. I I I , 1.3, proposition i) il y a, a priori, dans le cas a) deux chemins de naissance admissibles (k homotopie pros) et dans le cas b), un seul.

[I. Classification des croisements admissibles d'origine fix& :

Plagons-nous maintenant en l 'extr6mitdf~ d 'un tel chemin de naissance; appelons encore c t i e point qui correspond ~t q ; soient c2 (d'indicc i-t-I) et q (d'indice i) les points critiques nouveau-n6s. On choisit comme d 'habi tude des surfaces de niveau qu 'on note Vo, V~, V2, V~, et on note W~ la partie de W situfe entre V~ et Vj (cf. fig. 3)-

Vo

C!

V!

W12 {

V2

W23 /

v3

D

Fig. 3

269

12

9 ~ J E A N C E R F

Soit ~ I 'espace des nappes descendantes de q limit~es ~ Va, et soit D e ~ . Soit

l 'application n0(g ) ~H~+~(Wa, , V~) d6finie par une orientat ion de D (cf. II , 4 .~ ; on identifie ici n0 (g ) avec n0(K')). I1 s 'agit de d~terminer les ~l~ments D' de ~ tels que le there in ~16mentaire correspondant aboutisse ~ une fonct ionf~, telle que les points c; et c~ (qui correspondent h q et cs) soient en position de destruction mutuelle. II r~suhe du << cancellation l emma >> de Smale (sous la forme forte qu 'on t rouvera par exemple en [ io] , p. 7 o, r emarque 2) qu'il est n~cessaire et suffisant, pour qu' i l en soit ainsi,

que ~(b ' ) soit un gdndratcur dc H~+~(Wa~, V~). Soit Ar une nappe ascendante de c~, limit6e

que la composante connexe de V, qui rencontrc supposer que V~n DoA~----O. Il faut main tenant

x O i4=o. - - A l o r s , dans toutes les hypotheses

V x ; par construct ion de f~, on sait A~ rencontre 6galement D; on peut envisager les diffdrents cas possibles :

faites ci-dessus, ~ est bijectif (de sorte

qu'i l y a exactement deux dldments de n0 (g ) qui conviennent) ; en effet :

- - pour 2<~i<~n-- 4, l 'hypoth~se (bl) de la proposit ion 4 de II , 4 - I , est satisfaite; - - pour i----I, c'est l 'hypoth~se (b2) de la m~me proposit ion qui est satisfaite,

car A 2caV t borde u n d i s q u e de V 1 (parce que G e t c 3se tuent) ; - - pour i = n - - 3, c'est l 'hypoth~se (bs) qui est vdrifide, car V t - - ( D n V ) est

diff~omorphe k V 0 privfi d 'une [-sph~re plongde; cette vari6td est s implement connexe

puisque par hypoth~se nl(V0)-----o et d im V0>~ 4. 2 ~ i ---- o. - - Reprenons dans ce cas le d iagramme c o m m u t a t i f d u lemme I de II , 4- 3,

qui s'6crit ici :

n,(,~', 5~, ;~,) => H ,+ t (V t , V t - - ( A ~ n V , ) )

I t I i

4 no(.~; D) . . . . . . --+ H,+,(W,2 , V.,)

Les fl6ches verticalcs sont des bijections d'apr~s les lemmes 4 et 5 de II , 4; on est done ramen6 $ l '6tude de a. Or A 2 n V, s4pare V 1 en deux composantes connexes, dont l 'une

est l ' intersection avec V1 d 'une nappe ascendante satur~e de G; on peut supposer que D ne rencontre pas cette composante . I1 y a deux possibi]it6s :

- - ou bien D n V 1 se compose d 'un seul point x (c'est le cas a)); alors n1(9~ 5~;~x). .~n~(Vt, V l - - ( A 2 n V ~ ) ; x ) ; cet ensemble a deux 616ments, dont des

repr6sentants respectifs sont :

A2 I'lV~

V:

A2 NVl

270

STRATIFICATION NATURELLE ET TH~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 91

Le premier a pour image o, le second un g6n6rateur de H~+I(V1, Vl - - (A2oVi) ). On trouve done un seul croisement admissible.

- - ou bien D n V 1 se compose de deux points distincts x ety, l 'un affect6 du signe + ,

l 'autre du signe - - ; on a dans ce cas :

~l( 5~i, S~t ; ~t) m ~ l (~ r, ~ - - X ; (x, y) )

off V---- (Vt • V,) -- diagonale, et .~ = (((A~ n V1) • Vt) o (Vt • (A~ n Vt))) n V. De sorte que, d6s que n>~4, na(SPl, 5~a; ~a)

sentants respectifs sont :

a quatre figments, dont des repr6-

Les deux premiers ont pour image o, les deux derniers ont pour image respective chacun des deux g6n6rateurs de H~§ VI--(VxnA~) ). On trouve done deux eroisements

admissibles.

III . Classification des morts :

Dans tousles cas considErEs, le lemme d'unicit6 des morts s'applique au couple (c~, c'3) (qui correspond ~ (q, q)). Ceei termine la demonstration du lemme 2.

4.3 . Le l e m m e de la queue d'aronde.

Lemme 3. - - Soit i un entier tel que I <~i<~n--2. Soit (bx) le chemin standard de naissance

d'indice i sur le module cylindrique C----B• de R" (cf. III , i . i ). On note V~ la sous-vari~tg { bl = o} de C; on note C + et C - les parties fermges en lesquelles V 2 dgcoupe C. Il existe une isotopic (g~)

de C telle que :

I) le support de (gt) soit contenu dans l'intgrieur de C;

2) boog t = b o pour tout t~I; 3) bx~ pour tout ;~eI; 4) gl renverse l'orientation des nappes descendantes de chacun des points critiques de bl;

mgme proprieCtg pour les nappes ascendantes. 5) L'application g~.: H~+I(C +, Vz) -+ H~+x(C +, V2) induite par g~ est la multiplication

par - - I. Mgme r~sultat pour H , _ I ( C - , V2). Dgmonstration. - - On suppose (en modifiant au besoin le choix de B • qu'il

existe une fonction en cloche 0c:R"-~I, telle que :

a) ~(x) ne d~pend que de la distance de x ~ l'origine;

b) supp ~ C ; c) ~ est Egal ~ I sur ]e support de (bz).

271

92 J E A N C E R F

Soit gt l 'applicat ion R " - + R " d~finie pour t e l pax les ~quations :

I X x = x 1 cos(tn~(x))--xi+ t sin(tn0~(x))

i X~.+ 1 = xl sin(tn0t(x)) + xi+ 1 cos ( t~ (x ) )

X~ =x~ p o u r j + I , i + I .

En premier lieu, gt cst un diff6omorphisme pour tout t~I (on le v6rifie pour la restriction de gt a chaque plan obtenu en fixant les coordonn6es autres que x 1 et x~+l). Les conditions i) et 2) se vdrifient imm~dia tement (on notera que les conditions i + o et i+n

interviennent pour la d~finition mfime de (gt); la condit ion i=~n--i intervient pour la

v6riiication de 2)).

Vgrification de 3). - - Sur a - t (1 ) , gx coincide avec l 'appl icat ion a d~finie en I I I , I. i,

propri~tfi 3; donc d'apr~s ]a formule (2) de I I I , i . I, on a : bxog t=bz dans cette r~gion. Sur le compl~mentaire de a -1( I ) , on a : b~ = b 0 d'apr~s la proprifit6 c) ci-dessus; il suffit donc d 'appl iquer la propri6t6 2). ( Vgrification de 4). - - Gonsidfirons par exemple le point cri t ique o, . . . , 3 \ 3 / /

de b 1 ; d 'apr~s la proprifitfi ~ de I I I , I . i, la direction {xi+ x . . . . . x,_ t = o} est tangente une nappe descendante de ce point ; or, au voisinage de ce point, gt coincide avec (r.

La proprifitfi 5) est une consequence immfidiate de 4)-

Corollaire. - - Soit W une varidtd diff~rentiable; soit f une fonction excellente : W--+R, et soient c ae t c 3 deux points critiques cons&utifs de f , d'indices respectifs i- j- i et i, en position

de se tuer l'un l'autre. Soit V 1 (resp. V~) une varigtg de niveau situge immgdiatement au-dessus (resp. au-clessous) de c~. Soit Wt., la pattie de W comprise entre V t et V~. Soit C un voisinage

cylindrique de c~ et c~.

Si I~<i~<dim W - - e , il existe une isotopic (gt) de W telle que :

i) le support de (g~) soit contenu dans l'intgrieur de C;

) fo& =f ; 3) gl renverse l'orientation des nappes descendantes de c~ et c~ ; mgme propridtd pour les nappes

ascend.antes;

4) &* : I~.+~(W12, V2) -~ I-I~. ~(WI~, V2) est la multiplication par - - I .

Dgraonstration. - O n remplace au besoin C par un voisinage cylindrique C' contenu dans C n Wt~; on transporte l ' isotopie (gt) du lemme 3 par un plongement adapt6 : B • et on prolonge par l 'identitd. On a I), 2) et 3); 4) rdsulte du fait que le morphisme naturel : H , (C ' , C' nV2) --~ H.(W12, V2) est un isomorphisme.

Remarque. - - II r~sulte de 4) que le lacet (fogt) n'est pas homotope ~ zdro dans la

cocellule d e f . Par contre, s o i t f ' l 'extr~mit6 d 'un chemin d ' o r i g i n e f r~alisant la destruction de c~ et r le facet consid~rd est le bord d 'un ~< c6ne ~ engendr~ par des chemins

de naissance d ' o r i g i n e f ' .

272

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~.ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 93

Proposition 5 (Lemme de la queue d'aronde). - - Soit f e ~ une fonction excellente. Soit c

un point critique d'indice i q-x de f ; soit V0 (resp. V1) une varigtg de niveau situge immgdiatement au-dessus (resp. au-dessous) de Cl. On suppose n>~ 6.

Si o<<.i<~n-- 4 et ~l(V1) ----- o,

ou s i i = n - - 3 et ~1 (V0) = o,

alors tout chemin en queue d'aronde y, d'origine f , reIatif ~ ca, est homotope (en tant que bon chemin

d' origine f ) ~ un lacet; autrement d i t f e t l' extr~mit~ f ' de y sont clans la rMme composante connexe

de respace des fonctions excellentes. [En plus, y peut fitre ddformd avec extrdmitds fixes en un chemin dans l'espace

des fonctions excellentes par une homotopie au cours de laquelle la seule fonction de

codimension 2 rencontrEe est une fonction ayant un point critique du type queue

d 'aronde.]

Dgmonstration. - - Dans le cas a) du lemme 2, la remarque 2 de IV, 4. i montre que chacune des deux classes d 'homotopie de chemins en queue d 'a ronde d'origine f relatifs

t tc 1 a un repr6sentant qui soit un lacet ; ceci prouve la proposition dans ce cas. Dans le eas b) du lemme 2, il suffit de construire deux lacets en queue d 'a ronde

relatifs t~ c 1 ayant un arc de naissaneeff l en commun, et deux arcs de c r o i s e m e n t f l ~ e t f l f2 ' non-homotopes (en tant que chemins de croisement d 'origine f~).

Cas o~ i = o . - - On utilise un proc~d~ analogue ti celui du a). Soient 91 et 9z

comme dans la remarque 2 de IV, 4. I ; ddformons le lacet s tandard fourni par le lemme I en un lacet, note ~, dont la naissance soit dldmentaire, donc d~finie par un plongement

adapt6 + : B• (dont l ' image se trouve ndcessairement dans la partie {x,>~ o} de M~+ 1) ; et soient Tx et ~2 les lacets transportEs de ~ par 91 et 92 respeetivement. I1 existe une

Fig. 4

273

94 J E A N C E R F

isotopie (g~) de W, laissant free un voisinage de q, telle q ue gao 91o qb= q~2o ~bo (O X identit6),

off p e s t la symEtrie de B par rappor t ~t son 6quateur, de sorte que glo?lo~b et ~ot~

dEfinissent le m~me chemin de naissance. Donc glo~1 et ~ coincident jusqu'~t un certain point fx , situE entre la naissance et le croisement. Les croisements de g~o~l et ~ ne sont

pas homotopes cn tant que chemins d 'origine f~, car les nappes desccndantes de c 1 qui leur correspondent ont des invariants opposes [ce sont les deux branches opposdes qui,

suivant le cas, descendent jusqu'~t q ; cf. fig. 4].

Gas oft i4=o. - - Soit Y un lacet en queue d 'a ronde d 'o r ig inef , donne par le lemme I.

On ddcomposc T e n Y0* Yt* Y2 de fa~on que l'extrEmitE f~ de 70 soit apr~s la naissance,

3,,

f l ~1 f2

w f

Fig. 5

et c e l l e~ de Y1 apr~s le croisemcnt (cf. fig. 5). On utilisc pour f~ toutes les notations q , q , q , V0, . . . , ~ , D, . . . du I I de la demonstrat ion du lemme 2; on choisit un voisinage

cylindrique G de v 2 et r limitd ~ V 1 et Vs, de fa~on que C ne rencontre pas D. On note v

l 'dldment D de n0(~) et v I celui qui est associd i Y1. On sait que ~(vl) est un gdndrateur

de Hi+ 1(W12, V2) ; on le note e 1. Soit (gt) l 'isotopie de support (3 fournic par le corollaire

du lemme 3; on note y~ le transform6 de Y1 par gl ; l 'extrdmitd f~' de T~ est jointe ~ f2 par l 'arc (f2ogt) ; soit v' 1 l 'dldment de n0(~) associE k 7'1 ; tout revient ~ montrer qu 'on a :

~(v'l) = - - e l . Soit 0 l 'applicat ion n0(~) -+ I-~.+i(W02 , V,) obtenue en choisissant sur chaque ElEment de ~ l 'orientat ion cohdrente avec celle de D; et soit B le morphisme d' inclusion :

H,+l(Wo , O n :

=

Puisque gl induit l ' identitd au voisinage de q, gl.vl est un ElEment de ~o(~), et on a :

(v'i) = ~]- 1( 0 (gl" vl) -- 0 (v)) = ~q- 1(0 (gl" v,) -- 0 (g~. v))

= gl. (~1- l(0(vl)--0(v))) = el. (fi) = --el-

274

CHAPITRE V

I.

ETUDE GLOBALE DE L'ESPACE o~"

CONNEXITI~ DE L'ESPACE DES FONCTIONS ORDONNI~ES

ET DE L'ESPACE o~i

Dans ce chapitre, (W, V, V') ddsigne une triade compacte et o~" l'espace des fonctions C | : (W, V, V') -~- (I, o, i). Les principaux rdsultats sont le th6or~me i (cf. I. I) et le thdor6me 2 (cf. 2. i) qui constituent les deux premieres 6tapes de la d6monstration du thdor6me de pseudo-isotopie (cf. Introduction); tous deux concernent la connexit6 de certains sous-espaces de o~" qui s'introduisent naturellement dans la thdorie de Smale; le premier est valable sans aucune hypoth6se sur W; le second est relatif au cas off W est un cylindre.

w x. C O N N E X I T ~ D E L ' E S P A C E D E S F O N C T I O N S O R D O N N ] ~ E S

x. �9 R ~ s u l t a t .

Dgfinition 1. - - Soit leon' ; soient q et c a deux points critiques de Morse de f ; on dit que l'ensemble {q, q} constitue une inversion de f si :

( f ( q ) - - f ( q ) ) (indice q - - indite c2) < o.

Dgfinition 2. - - Soit f une fonction exceUente (feo~ "~ ; on dit que f est ordonnge

si son nombre d'inversions est z~ro. Soit plus g6n6ralement fzo~-, on dit que f est ordonnge si toute fonction excellente suffisamment voisine est ordonn6e.

On note 0 la partie de o~" formde des fonctions ordonndes; c'est un ouvert de o~'. On note 0 ~ 01, ~2, Or, d~ les intersections respectives de �9 avec ~-0, ~-1, ~-~, ~-~, ~-~

(cf. I, 3. I). II est facile de caract~riser explicitement ces ensembles, par exemple :

- - f~O~ si f est ordonnde excellente k ceci pros qu'il y a un point critique de naissance c et que (si i ddsigne l'indice de c) la varidt6 de niveau de c sdpare les points critiques d'indice ~<i de ceux d'indice ~>i+I ;

- - fEO~ si f est ordonn6e excellente A ceci pr6s qu'il y a exactement deux points critiques (n6cessairement de m~me indice) situ6s au m6me niveau;

- - s i f e s t de Morse, f e s t ordonn6e si son nombre d'inversions est z6ro, et s'il n'y a aucun couple de points critiques d'indices diff6rents situ6s au mSme niveau.

275

9 6 J E A N C E R F

Thdorkme 1. - - Quelle que soit la triade compacte (W, V, V'), le sous-espace ~ de ~" formd

des fonctions ordonn~es est connexe par arcs.

Get 6nonc6 est visiblement fiquivalent au suivant :

TMor~me 1'. - - Quelle que soit la triade compacte (W, V, V'), tout couple d'dlgments de �9 ~

(fonctions ordonn~es excellentes) peut gtre joint par un bon chemin ~ valeurs dans O~ ~)1.

I. 2, P r l n c i p e de la d 6 m o n s t r a t i o n ,

t . On ddmontre le thdor6me I , on utilise pour ccla la filtration de o ~-~ d~finie par le nombre d'inversions : pour tout v>~o, on note ~'i~ l 'espace des fonctions excellentes

dont le hombre d'inversions est au plus dgal & v, et on d6montre le Lemme O. Quel que soit v>~ o, tout bon lacet relatif de - o o - - (~'(~+,), ~(~)) est homotope

�9 " �9 " - - 0 s u r o~, avec extrem,tes fixes, a un bon chemin de o~(, I.

Ddmonstration du thdorkme 1' ~ partir du lemme O. - - S o i e n t f e t f ' deux points de 0~

puisque o~" est connexe, f et f ' peuvent ~tre joints par un bon chemin y de o ~-~ u o~ "t ; 0 il existe un entier v tel que l ' image de 3' soit contenue dans un certain ~-h+tl ; Y est alors

- - 0 (~(~-~ ~), .~"(~)) ; compos~ d ' un nombre fini de chemins de o~z'(~) et de lacets relatifs de - 0 0

on applique le lemme o & chacun de ees derniers; on a ainsi ddform~ 3' en un bon chemin - - 0 - - 0 de ~'(~), et on continue ainsi de proche en proche jusqu '~ obtenir un bon chemin de o~-(01,

c'est-&-dire un bon there in de 6~ (P 1.

--0 0 x. 3. U n s y s t ~ m e de g 6 n ~ r a t e u r s p o u r ~I(~-(~+I), ~-(~)).

D~finition. - - Soit y un chcmin de travers~c de ~-t [on rappe]]e que cela signifie qu'il y a un seu] point de traversde, cf. I, 2. i, ddfinition 2]; soient f0 ct fl l'origine et l'extr~mit~ de 3'. On dit que y est croissant (resp. dgcroissant, resp. stationnaire) si ]e nombre

d'inversions de f l est sup~rieur (resp. inf~rieur, resp. ~gal) & celui de f0-

On va utiliser dans la suite le r~sultat suivant, utilis~ en tMorie de Smale (et qui

est d'ailleurs impliqu~ par la proposition 3 de II , 4 - i ) : (*) Soit aore~ si le nombre d'inversions de fo est positif, alors fo est origine d'un chemin

de croisement ddcroissant.

Lemme 1. - - Les lacets relatifs des trois types suivants constituent un syst~me de ggn~rateurs de o o ~a(o~ (~+ ll, o~'(~ I) :

1 er type. - - y est de la forme 3't* 3'2, o/x 3'1 est un chemin de croisement croissant,

et 3'2 un chemin de croisement dficroissant.

/ \ / \ Croisements

276

STRATIFICATION NATURELLE ET TH#,ORi~,ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE 97

2 e type. - - Y o u 7 - ~ est de la forme Y~* Y~, off y~ est un chemin de naissance croissant

et u un chemin de croisement d6eroissant.

IX Naissance Croisement

3 e type. - - Y est de la forme 7~*Y~*Ya, off "fi et 75 sont des chemins de croisement,

et off 72 est stationnaire. Naissance ou

~

Croisements

Ddmonstration. - - On sait que les bons lacets relatifs consti tuent un syst~me de

g~nfirateurs; soit y l 'un d 'eux; soit q le hombre de points de traversfie de y; on

dficompose Y par le choix de q - - i points interm6diaires f l , �9 . . , fq-1 en Y1 * 73 * . . �9 * Yq, de sorte que chaque Yk soit un chemin de travers6e (cf. fig. I). D'apr~s la propridtfi ( . ) ,

chaque fk ( k = I , . . . , q - - I ) est origine d ' u n there in de croisement d6croissant 3k,

dont l 'extr~mit6 est n~cessairement dans ~'~1 ; Y est homotope au compos~ :

(v l �9 , . . . * * vq),

dont chacun des 61fiments appart ient ?t l 'un des trois types considfir~s.

I "4" D ~ m o n s t r a t i o n d u l e m m e o .

Le lemme I ram~ne ~t montrer successivement que chaque gdndrateur des Ie r , 2 e, --0 3 e types est homotope k un chemin de ~-(~1"

i . Gdndrateurs du le t type. - - Soit Y='f i*Y2 un tel g6ndrateur; on note f0 l 'origine

de 7, f~ l 'extrdmit6 de y~ (i = I, 2). On distingue trois cas :

l e t cas. - - Y1 et Y2 sont relatifs au croisement du mgme couple de points critiques de fo :

il r~sulte alors de la proposit ion 3 de I I , 4. I, que yi - t et Y2 sont homotopes en tant que bons chemins d 'origine f~; d'ofl le r6sultat (of. fig. 2).

2 e cas. - - Y1 et Y2 sont relatifs au croisement de deux couples de points critiques de fo ayant

un dldment commun. Supposons par exemple qu' i l existe trois points critiques cons~cutifs cl,

c2, c3 de f0 tels que f (c l )>f ' , c3)>f(c3) et que y1 soit relat if au croisement de c3 et c~, et Y3 au croisement des points critiques def~ qui correspondent ~t q et q ; on a nficessaire-

ment : indi te q < indi te c~ < indice c~. II existe donc un chemin Y3 d'origine f2 rfialisant

277

13

98 J E A N C E R F

le croisement des points critiques def~ qui correspondent ~ cz et c~. Le chemin YI*Y~*'(~ a pour graphique un triangle de premi6re esp~ce auquel s 'applique le io du lemme du triangle (cf. IV, ~. 2 ; c'est la condit ion (2) qui est satisfaite) ; le chemin 71 �9 -fz* % est done homotope ~ un chemin 7~. y~. 7~ (ef. fig. 3) dont le graphique est un triangle de seconde esp6ee; le hombre d'inversions ~t l 'extr6mit6 de 7~ (resp. y~, resp. u est v- -x

I t t - - 0 (resp. v - -~ , resp. v - -x) , de sorte que l ' image de 7n*u est contenue dans ~-I~/"

3e cas. - - .~ et u sont relatifs au croisement de deux couples disjoints de points critiques de f .

II suffit alors d ' appl iquer le lemme des singularitds inddpendantes (IV, ~, proposit ion ~),

c a s I .

2. Ggngrateurs du 2 e type. - - On conserve les notat ions Y1, Y2,f0 , f l , fz ; "h esl cette lois un chemin de naissance; on note ct et c2 les points critiques nouveau-n~s de ~ , i q-i et i

leurs indices respectifs; 72 ne peut ~tre relat if au croisement de ct et c2, car d'apr~s le crit~re de Smale (cf: I I I , 2 .3 , proposi t ion 3), il n'existe aucune nappe de q descendant ju squ ' en dessous de c 2. Deux eas sont done possibles :

/ o r cas. - - 72 est relatif au croiseraent d'un couple de points critiques disjoint de (ct, c2). I1 suffit d ' appl iquer la proposit ion I de IV, I, cas ~.

2 e cas. - - 72 est relatif au croisement d'un couple de points critiques ayant avec (ct, c2) un

tlgment commun. Supposons par exemple que ~,~ soit relat if au croisement avec c~ du point cri t ique Co de f~ situd immddia tement au-dessus de q ; on note j l ' indice de co; n~cessairement j~<i. D'apr~s le lemme &appar i t ion des bees (cf. IV, 3 .2 , proposit ion 3), 7t est homotope ~ un chemin -f~.-(~.-f~, ~t graphique en bec (el. fig. 4). A l 'extrdmitd de "f~, le nombre d' inversions est v; 7 est homotope au compos6 (~'~*'(~)*(7'~'7z);

t t , - - 0 7s*Tz est du x er type; l ' image de -fi*-f2 est dans ~-(~1, car le nombre d'inversions l 'extrdmitd de Y'a est v ou v - - I suivant que j = i ou j < i.

3. Ggngrateurs du 3 e type.--- Soit y =~'a* 72* 73 un tel gdndrateur; on note f0 l 'origine de 7, et f l , f~, f3 les extrdmit~s respectives de Y1, 72, 73. O n note f le point de traversde de ~'~. J e dis que f a au moins un couple de points crit iques (de Morse) consdcutifs en inversion; c'est clair si J ' e~ '~ . Si la singularitd de codimension x d e f e s t une naissance, cela rdsulte du fair que, 72 ~tant stationnaire, le niveau de cette naissance ne peut ~tre compris entre ceux de deux points critiques de Morse en inversion. I1 y a done deux cas

~t consid~rer :

le t cas. - - f a une inversion {cl, c2} telle que c a et c 2 soient cons&utifs et les valeurs critiques f (c l )

etf(c2) simples. O n peut supposer "(2 dldmentaire. II existe alors un chemin dl~mentaire ~,

d 'origine f , de suppor t disjoint de celui de ~'2, rdalisant le croisement de c 1 et c 2. O n en d~duit (voir fig. 5) que 72 est homotope ~t un chemin Yt* 2"~* "(~, tel que le

nombre d' inversions aux extr~mitds de ~(~ soit v; -( est done homotope au composd r l l l ! l

(7t* 7t) * 72" ('(3" 73) ; 7~* 7t et 73" 73 sont du Ier type, et l ' image de 72 est contenue

dans o ~ i .

278


2 e cas. - - f est un point de croisement, et les deux points critiques c et c' de f qui sont au

mgme niveau sont en inversion avec le point critique situd immddiatement au-dessus (ou au-dessous).

Supposons par exemple que le point cri t ique c o de f situfi imm6dia tement au-dessus de c et c' soit en inversion avec eux; so i t j l ' indice de co, soit i celui de c et c', on a j < i. II existe un chemin Y'l issu def~ rfialisant le croisement de c o et c, et un chemin y~ issu de f2 r~alisant le croisement de c o et c'. D'apr~s le I ~ du lemme du triangle (cf. IV, 2.2, proposition 2; c'est la condit ion (2) qui est r6alis~e), le chemin y ' l - l , - h , y j est homotope ~ un

('Y§ 1) ' I ' ~

Fig. i

~fqq-1 f ~ -1 Tq /~q-1 X'~ ('v-l) f ~'2"LlJ'L'L'~m'2///lll'\\\\\

Fig. 2

('~+I)

(.-~ [~'~

!

Y2 /

" r ~ _ 0

(-~- 2)

Fig. 3

"]r

Fig. 4

f~ f t2

"

Fig. 5

% /3

v~

Fig. 6

279

too J E A N C E R F

~,l t s chemin v'~'. v~' . v3 (voir fig. 6), tel que le nombre d'inversions aux extr~mitds de y2

soit v-- I ; Y est homotope ~ (Y~ * u * (Y~' * Y~' * Y~') * (Y~- ~ * Y~) ; Yx * Y~ et y'~-~, y~ sont

. . . . . . -0 . la ddmonstrat ion est donc d u Ier type, l ' image de yx , Y2 * Y~ est contenue dans #-(~),

achev6e.

w 2. C O N N E X I T ~ DE L'ESPACE

On suppose dans tout ce paragraphe que (W, V, V') est le cylindre V • (I, o, i) dans lequel on a identifid V • A V. De sorte que ~- est ]'espace des fonctions

C ~ : V • o, ~)-~ (I,o,

~. I. R 6 s u l t a t .

Ddfinition des espaces ~,~. q et o~ . - - Pour tout i tel que o ~< i~< n-- I, et pour tout q>~ o, on note ~-i, q le sous-espace de .~" form~ des fonctions de Morse ordonn~es qui ont en tout

2q points critiques, dont q sont d ' indice i et q d ' indice i + I. [On notera que, d'apr~s la

d~finition 2 de V, i . I, si fe.~ ' i , q, il peut y avoir figalit~ entre valeurs critiques d ' indice i, ~galitd entre valeurs critiques d' indice i-k-I; mais toute valeur critique d ' indice i est

strictement plus petite que route valeur critique d ' indice i + I.] On note o*-i,q;~ le sous-espace de codimension i de ~" sdparant ~'i,q de #'i ,q+~;

les 6Mments de ~-~, q; ~ sont les fonctions ordonn6es dont l 'ensemble critique se compose

d ' u n point de naissance c, d ' indice i, et de 2q points critiques du type de Morse, parmi

lesquels q sont d ' indice i et sont situds en dessous du niveau de c, et q d ' indice i + I et

situ~s au-dessus du niveau de c.

On pose : U (.-~, quo~-, q;,)=,~ '~. q~>O ' '

I1 est clair que ~' i est un ouvert non vide dc l 'espace 0 des fonctions ordonn~es (lui-m~me

ouvert dans ~ ' , et connexe d'apr~s le thdorSme I).

Thtor~me 2. - - Soit V une varidt~ difftrentiable compacte connexe, de dimension n - - i ,

et soit W = V • $oit .~'~ dgfini ci-dessus. Si n>~6, ~x(V)----o, et si 2<<.i<n-- 3, alors ~

est connexe par arcs.

Cet dnonc6 est visiblement dquivalent au suivant :

Thdorkme 2'. - - Sous les hypotheses du thdorkme 2, tout couple d' gldments de ~ o (c'est-~-dire

de .~-~ n .~-0) peut gtre joint par un bon chemin tt valeurs dans ~ u ~ .

2 .2 . P r l n c l p e de la d ~ m o n s t r a t l o n .

On d6montrc le th6or~me 2'. On utilise pour cela la filtration de l'espace des

fonctions ordonn~es ddfinie par 1' << intervalle des indices ~. Pour o~< i<j<~ n, on note ~-~,Jl

l 'espace des fonctions ordonn~es excellentes dont les indices des points critiques sont tous

280

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E ET THI~,ORI~ME DE LA P S E U D O - I S O T O P I E zox

0 compris entre i et j ; et pour tout entier k~>o, on note ~-~.~];~ la part ie de ~-~o,i] formde des fonctions dont le nombre de points critiques d ' indice i est inf~rieur ou ~gal ~ k.

Lemme O. - - S i n>~6 et = l ( V ) = o , s ienplus i<~n--4, j>~ i+2 et k>~I, alorstout

bon lacet relatif de o o extr/mit/s fixes, ?t un bon chemin (o~'[~.j]; k, homotope sur ~ k- x) est ~ , avec --0 de ~'[~.j]; ~-1.

D/monstration du tMorkme 2' ?~ partir du lemme O. - - On a la filtration :

0 0 0 0 0 = o c 1 c . . . c c c . . . c j l .

Tout bon lacet de -0 .~o - o . (~'[i,j], [i+l,j]) a son image contenue dans un certain ~-[~,j];k, de sorte que, par application rdpdtde du lemme o, on obtient le rdsultat suivant :

(I) Si i<~n- 4 et j>~i+~, alors tout bon lacet de - o (~,~-[,.j], ~-~0+ 1.j]) peut gtre d/formd --0 avec extr~mitgs fixes en un bon chemin de ~-[i+x.~]-

On en d~duit par dualitE :

(~') Si j >>. 4 et j >i i + ~, alors tout bon lacet de o o (~-[i;~], ~-ii,~- 1]) peut gtre d/form/ avec --0 extrgmitgs fixes en un bon chemin de ~'[i.~-x].

Soient a l o r s f e t f ' deux points de ~ ; d'apr~s le thdor~me x (cf. V, z. ~ ) f e t f ' peuvent

- 0 �9 si i<<.n--3, l 'application rdpdtEe de (z) permet dtre joints par un bon chemin T de ~-[0.,1, --0 de ddformer T, avec extr6mitds fixes, en un bon chemin T' de ~-[i.,]. Si en plus i>~2,

l 'application rdpdt~e de ( ~ ') permet de d~former T', avec extr~mitds fixes, en un bon chemin

de ~[~ c'est-~-dire de -3 ~~

--o .~0 2. 3 U n s y s t ~ m e de g~n~rateurs p o u r ~l(~-[~,j];k, [~,~];k-x).

Dgfinition. - - Soit 0 f ~ ' ! ~ . , ] ; on appelle chemin de Smale d ' o r i g i n e f t o u t bon chemin

dont le graphique est du type ci-dessous.

~i+2 ---...,

i+1 { "~' "-,,,...,. ; {

Aut rement dit, les accidents successifs de 8 sont : une naissance d ' indice i + i ~t un niveau intermfidiaire entre les points critiques d ' indice i + r et ceux d ' indice i + 2 de f ; le eroisement successif du point d ' indice i + i nouveau-n~ avec tous les points critiques d ' indice i + I de f i et enfin la destruction de ce point cri t ique avec le point

crit ique d ' indice i le plus 61ev~ de f .

281

to2 J E A N C E R F

Si 0 0 f~-i i ,~J;k, l 'extr6mit6 de tout chemin de Smale d 'or igine 3 est dans

On d6mont re en th6orie de Smale la propri6tfi suivante :

o origine d'un chemin de (**) Sous les hypothkses du lemme O, tout point de o~[~,j]; k est

Smale.

Lemme 1. - - Sous les hypothOses du lemme O, les lacets relatifs dont les graphiques appartiennent

l'un des cinq types suivants constituent un sys#me de ggngrateurs de - o o~o ~l('~'[i,j];k, [i, jl;k--1) :

i§

i+1

i+2 / i.+2 {

{ ; { , I e r type ~e type

{ 3 e type (k1>2)

4 e type 5 e type

Dgmonstration. - - C o m m e pour le lemme i de V, x. 3, on se ram~ne ~ considSrer un

bon lacet re la t i f Y, a q croisements; il est commode de supposer T (( i rrdductible >>

(c'est-&-dire tel que, s au faux extr~mitds, il ne soi t jamais dans ,~'~,jj;~ _ 1). Comme en V, i . 3,

on obt ient une homotopie entre T et un compos6 (YI* 81) * (8~- 1 , Y2* ~2) * - . - * (~q--tl * Tq),

off ~ 1 , - . . , ~q-1 sont cette lois des chemins de Smale donn6s pa r la propridt6 (**).

Les lacets relatifs tels que Yl* ~t sont du 5 e type. Pour un lacet re la t i f t e l que 8~-x* yz , 82

les diverses possibilit6s sont les suivantes :

I) Y2 est un chemin de croisement :

a) le croisement se fait entre points cri t iques d ' indice ~>i+2, ou entre points

crit iques d ' indice i autres que les deux plus 61ev6s : le lemme des singularit6s ind6-

pendantes (cf. IV, I, proposi t ion i) ram~ne immddia tement ~ un lacet du l er type;

b) le croisement se fait entre points crit iques d ' indice i-]-I : on obt ient un lacet

du 2 e type;

c) le croisement se fait entre les deux points crit iques d ' indice i les plus 6lev6s :

on obt ient un lacet du 3 e type.

282

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE ~o3

2) u est un chemin de naissance (ou de mort). - - Le cas off cette naissance est d'indice i

est 6cart6 puisqu'on a suppos6 T irr6ductible :

a) l'indice de la naissance est i + I : on obtient un later du 4 e type; b) pour toutes les autres valeurs de l'indice de naissance, le lemme des singularit6s

ind6pendantes ram~ne au I er type.

2 . 4 . D ~ m o u s t r a t l o n d u l e m m e o ; I re ~ t a p e : r ~ d u c t i o n i l a q u e u e d ' a r o n d e .

On va montrer que sous les hypotheses du lemme o, tout lacet relatif appartenant & l 'un quelconque des 5 types ci-dessus est homotope sur ~- & un compos6 de lacets

relatifs en queue d'aronde (cf. IV, 4. I) et de lacets dont l'imagc est dans ~E~ l- Pour les lacets du 5 e type, c'est une cons6quence imm6diate du lemme des singu-

larit~s ind6pendantes.

Cas des lacets du ler type. ~ Voici traduites sur les graphiques les d~formations

successiw~,s qu'on fait subir au lacet :

i 42 i §

I"

(I) (2) (3)

i+2

i + ~ + I

i+2 +2

i+2

t i I

(4) (5) (6)

Passages de i & 9, de 3 & 4 et de 5 & 6 par le lemme des singularit6s ind6pendantes.

Passage de 2 & 3 par une apparition de bee (IV, 3.2, proposition 3). Passage de 4 ~t 5 par le lemme da triangle (IV, 2.2, proposition 2 : c'est la condi-

tion (3) de cette proposition qui est r6alis~e, puisque i 4 n - - 4 ) .

C~z~ des lace# du 2e type. --- Le lemme du triangle (utilis6 dans le mSmc casque prdc~- demment) permet de se ramencr ~t un lacet du Ier type.

Cas des facets du 3 e type. - - De tels lacets n'existent que lorsque k>_. 2. Soit T u n tel

lacet, d'origine not6e f ; soit ~ un chemin de Smale d'origine f (son extr6rnit6 est dans 0 �9 ~-[~.j];k-z). On d6formc le lacet relatif ~-1 , y (avec extr6mitds fixes) de fa~on que

283

zo 4 J E A N C E R F

son graphique, initialement de la forme I ci-dessous, prenne successivement les formes suivantes :

i+2

, ,

i (I) (2) (3)

,.§ i+2 { i+2 {

i i i i

(4) (5) (6)

Passage de i & 2 par le lemme d'unicit6 des naissances (III, 1.3, corollaire 2); la surf:ace de niveau sdparant les points critiques d'indice i + i de ceux d'indice i est

en effet connexe d6s que o<~i<~n-- 3. Passage de 2 A 3 par le lemme des singularit6s inddpendantes et le lemme d'appa-

rition d 'un bee. Passage de 3 ~ 4 par le lemme du triangle, cas (3), utilis6 deux fois. Passage de 4 A 5 par suppression d 'un bec du type naissance-descente (cf. IV, 3.2,

proposition 4, io); pour 3<~i~n- -3 , on peut en effet appliquer le cas (3) de cette proposition, car la surface de niveau s6parant les points critiques d'indice i de ceux

d'indice i + I est simplement connexe pourvu que 2<<.i<~n--3; et pour i = o , I, 2, c'est le cas (I) de cette proposition qui s'applique puisque n>_-6.

Cas des lacets du 4 e type. - - Par une apparition de bec, et par le lemme des singularitds inddpendantes, on se ram~nc ~t un lacet relatif ayant le graphique ci-dessous.

i+2

i+1 i

On est donc ramen~ k un lacet du Ier type par une suppression de bec (et le lemme

des singularitds inddpendantes); c'est le cas (3) du lemme de suppression des becs qui

s 'appl iquepour 2<~i<~n-- 4, e t l e c a s ( I ) pour i = o et i = I .

284

STRATIFICATION NATURELLE ET THIf, O R g M E DE LA PSEUDO-ISOTOPIE IO 5

2 . 5 . D ~ m o n s t r a t l o n d u l e m m e o ; 2 e ~ t a p e : r ~ d u c t i o n d e l a q u e u e d ' a r o n d e .

Soit T u n gfndra teur en queue d 'aronde, d 'origine f , d 'ext r fmit6 f ' . Si T e s t homotope en tant que bon chemin k un lacet absolu, il est homotope sur ~- b. un chcmin

de ~-[].j];*-I (puisque ~ est acyclique). Or le lemme de la queue d 'a ronde (IV, 4.3, proposition 5) montre qu'i l e n e s t ainsi (puisqu'on a suppos6 i<<.n--4) d~s que la surface

de niveau d e f s f p a r a n t les points critiques d ' indice i dc ccux d ' indice i + I e s t s implement

connexe. Ceci se produi t dans deux circonstances : a) si k = I ; b) si 2<~i<~n-- 3. I1 ne

reste done ~ examiner quc le cas off i = o ou i = I , avec k>~2. Soit alors ~ un chemin

i+2{ i+2{

,{ "-. ,{ Y ~ . . i +1

i

(1) (2)

de Smale d'origine f ' ; le graphique de T. ~ est du type (I) ci-dessus; on le dfforme, avec extr6mit6s fixes, jusqu 'h ce que son graphique soit du type (2), on utilise pour cela, outre

le lemme des singularit6s ind6pendantes, une appari t ion de bec, un triangle (dont les

trois << c6t6s >> ont l ' indice i + z ) ct une suppression de bec du type naissance d'indJce i - -descen te d ' indice i q - I ; le cas (i) du lemme de suppression des becs est

applicable, puisque, pour i - - o et i = i, on a : 2J-q- i ~< n - - 2.

285 1 4

CI-IAPITRE VI

PRP~LIMINAIRES ALGP~BRIQUES

A LA DI~TERMINATION DU NERF DE . ~

Ce chapitre, enti~rement ind6pendant de ce qui pr6c~de, fournit les modules alg6briques qui seront utilisds au chapitre suivant. Au w I, on rappelle la dffinition (classique) du complexe ~q assoei6e au groupe sym6trique Sq; puis on d6finit le complexe (gq; on en donne quelques propridtds dont la principale est la proposition 2. Le w 2 est une description d6taill6e du 2-squelette de ~q; les points les plus importants pour la suite sont la proposition 2', off l'on montre que les ar~tes issues d 'un sommet de ~q sont en correspondance bijective (et canonique ~ isomorphisme affine pros) avec les entiers; et le n ~ 2 .4 .2 off l'on associe h tout sommet de Cq• un invariant entier notd ]aq, q 1. Le w 3 est enti~rement consacr6 au lemme fondamental; celui-ci est 6nonc6

la fin de 3. I et d6montr6 en 3.2 et 3.3; la d6monstration se fait par rdcurrence sur q; elle utilise une filtration assez compliqu6e, d6finie par l 'invariant l aq, q] et d'autres invariants; le lemme 7 de 3.3 constitue la clef de cette d6monstration.

w x. LE COMPLEXE ALG~BRIQUE ~q

I . I . Prt~llmlnaires : propri6t6s 61~mentaires de quelques sous-groupes de GL(q, Z).

Notat ions . - - Soit q un entier positif. On ddsigne par Gq le groupe GL(q, Z) des matrices inversibles d'ordre q sur Z. On note Tq le sous-groupe de Gq form~ des matrices triangulaires infdrieures.

Pour tout J c { I , 2, . . . , q - l } , on note Tj le sous-groupe de Tq form~ par les matrices (ask) telles que les ajk non diagonaux soient nuls pour ( j - - l , k )~J • Pour tout J ' c J , on a Tj, DTj ; en particulier, To=Tq, et T{1,2 ..... q--l) est le sous-groupe de Gq formd des matrices diagonales; on le note Diagq. Pour tout J c { I, 2, . . . , q - I } , on note T~ le sous-groupe de Tq form~ des matrices (a~,) telles que les ask non diagonaux soient nuls pour ( j - - I , k ) r 2 1 5 Pour tout J ' c J , on a T ] , c T ] . En particulier, To=Diagq, et T~1,2 ..... q__l)=Tq. On n o t e :

T~, n T~ = Tj,, ~.

286

STRATIFICATION NATUREI.LE ET THI~ORP.ME DE I.A PSEUDO-ISOTOPIE io 7

On note T~ le noyau du projecteur canonique : T(§ notations analogues :

Ta, T] , Tj, a. Pour tout j~{ i , 2, . . . , q-- I} , on note sj la transposition de matrice :

liii: j , . . 0 I

Q I O I

O " ' . ~/

Pour tout .J c ( I , 2, . . . , q - i } , on note Sa le sous-groupe de Gq engendrd par les s~, pour j~J . En particulier, So----{e } et S(1,2 ..... q_l) est le groupe symdtrique Sq.

Lemme 1. - - i) Pour tout couple ( J , J ' ) de parties de { I, 2, . . . , q - - I } telles que J ' c J, on a une dgcomposition avec unicit~ :

Ta, = ~a', s. Ta. Diag,.

2) La composge des applications canoniques T a,, a -~" T a' ~ T a, ]Ts est une b~ection.

D3monstration. - - ~) Le morphisme T q ~ T ] obtenu en rempla~ant par z~,ro les ajk non diagonaux tels que ( j - - I , k ) r 2 1 5 est un projecteur; par restriction, on obtient un

t c �9 projecteur Ta,~Ta, ,a , dont le noyau est Ts (puisque J J ) , &off la d&omposition en produit semi-direct :

D'autre part, le projecteur naturel Ta,-~-Diag q d~finit une d&omposition en produit

semi-direct : Ta, = ~a'- Diagq,

d'o0 la d&omposition annoncde, et son unicitd. 2) Du I) on d~duit aussit6t une d&omposition en produit semi-direct :

Ta, = ~a',a. Ta ;

la bijection annoncde en rdsulte.

Lemme 2. - - l) Pour tout J c { I, 2, . . . , q - i }, T a est stable pour les automorphismes

int~rieurs de Gq d~finis par les dldments de S a. 2) Pour tout J ' c J , on a :

T a. S j, = Sa,. Tj = sous-groupe de Gq engendrg par T ae t S.r,.

3) Soient g e t g' deux gUments de Gq; pour que gSj et g 'S a aient nffme image dans Gq/Tq,

il faut et il suffit que g ' - t g z T a . S a. Ddmonstration. - Le I) r&ulte du fait que pour tout j e J , T a est stable pour l'auto-

morphisme int6rieur ddfini par sj. Le 2) est une consequence immddiate du i).

287

Io8 J E A N C E R F

Preuve du 3)- - - [Pour route partie A de Gq, on note ./t i 'image canonique de A /-:_. ..a.

dans GJTq.] I1 r6sulte du i) que pour teTa et sESj, on a t s S j = t S a = S a . K~cipro- 1-2--. ..-:.-.

quement, supposons que gSj = Sj; cela entraine en particulier g - l e S j , autrement dit, ...X.

il existe seS s e t teTq tels que g = t s ; on dolt alors avoir t S j = S j ; et ceci entralne tETj. [On montre en effet sans difficult6 que si une matrice triangulaire t n'est pas un dl~ment de T j, alors tSj n'est pas contenu dans Sj.T~.]

Lemme 8. - - L'application naturelle :

Sq-+ Tq\Gq/Tq

est injective. [ T q \ G J T q dfisigne l'espace des doubles classes de Gq /~ droite et ~ gauche modulo Tq.]

D~monstration. - - Soit T(q, R) le sous-groupe de GL(q, R) form6 des matrices triangulaires inf6rieures. II r6sulte d 'un th6or6me de Bruhat (cf. [i], p. 187) que l'application naturelle :

Sq -+ T(q, R)\GL(q, R) /T(q , R)

est bijective; le lemme en r6suhe aussit6t. (Le lemme 3 peut ~galement se d~montrer sans difficuh( par un calcul direct.)

x .2. Representation g~om6trique du groupe sym6trique Sq; le complexe ~q.

On ddsigne par Sq le groupe symdtrique de q variables (groupe des permutations de l'ensemble {I, 2, . . . , q}.

On ddsigne par Aq_ 1 ou simplement A le simplexe-type de dimension q--I ddfini dans l'espace euclidien R q par les conditions :

l x > o ( j = I , 2 , . . . , q/

On fait opdrer le groupe Sq ~ gauche dans R q en posant, pour tout seSq :

(~) s. (xl, x2, . . . , x ~ ) = ( x s - v l , x,-,(2~, . . . , x,_,(~>).

L'~ldment s de GL(q, R) d~fini par (I) laisse A stable; on note encore s sa restriction ~ A. On ddsigne par f~ le barycentre de A, et par ~(A) la premiere subdivision bary-

centrique de A; c'est la subdivision de A ddtermin6e par la famille d'hyperplans de R q

d'dquations : xj=xy (I<~j<j'<~q).

On appelle simplexe fondamental de ~(A) celui qui est ddfini par les indgalit6s :

( 2 ) x~ >~ x2>~ . . . >~ xq.

288

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~OR~'ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE io9

Soit ~2(A) la seconde subdivision barycentrique de A. On note ] K] l'dtoile de f~ dans ~ ( A ) ; on note K le complexe simplicial abstrait ordonn~ sous-jacent ~t ]K I : les ~ldments de K sont les sommets de I K], c'est-~-dire les barycentres des simplexes de ~(A) qui contiennent f~; la relation d 'ordre sur K (notre b'>-b") est : << le simplexe correspondant ~t b" est une face de celui qui correspond ~ b' -. On d~signe par [K] la structure naturelle de CW-complexe de I K I, dont les cellules sont les ~toiles descendantes des sommets de I K[ ; cf. pour tout ceci, au chap. VII, nO ~.2, l '6tude du neff de la stratification naturelle d 'une vari6t6 combinatoirement triangulde.

Pour tout J c{ I , 2, . . . , q - I } on note F a la face du simplexe fondamental de ,~(A) qui est ddfinie par le syst~me d'~quations :

(3) xj=xj+ 1 pour tout jEJ.

On note bj le barycentre de F s (le barycentre b o du simplexe fondamental est notd simplement b); on note F.j l'~toile descendante de bs dans K, et IF.s] la cellule correspondante de [K].

On a immddiatement le Lemme 4. - - L'application J I * Fj (resp. J ~ [F.j]) est une b~]ection de l'ensemble des

parties de {i, 2, . . . , q - - i} sur celui des faces du simplexe fondamental qui r f~ (resp. celui des cellules de [K] qui contiennent b).

Pour tout J c { I , 2 , . . . , q - I } , on rappelle qu 'on a not6 Sj le sous-groupe de Sq engendrd par les transpositions sj pour jEJ.

Proposition 1. - - Soit ~ l'application S q ~ A dgfinie par

f~(s)=s(b) pour tout seSq.

i) ~ est une b~iection de S~ sur le o-squelette [K]0 de [K]. 2) Pour tout J c { I , 2, . . . , q - i } et tout seSq, [~(s.Ss)

cellule s. [F,s ] de [K]. En particulier, on a

(4) [~(Sj) = [F.j] n [K]o.

est le o-squelette de la

Ceci dgfinit une bOection entre l'ensemble des classes s. S se t celui des cellules de [K] (lui-m~me isomorphe ~ celui des sommets de K); en particulier l'ensemble des sous-groupes Sj correspond par cette bOection gz celui des cellules de [K] qui contiennent b (lui-mfime isomorphe ~ celui des faces du simplexe fondamental qui contiennent f~).

DLmonstration. - - I) Tout simplexe de dimcnsion q--1 de A cst caractdrisd par dcs indgalitds du t y p c :

x,(1)>~ x 8 ( 2 ) > / . . . > / x s ( q ) ,

et ces indgalitds sont strictes au barycentre. Ceci ddfinit une application [K]o-+S q rdciproque de }.

289

~xo J E A N CERF

2) Les sommets de F.j qui sont barycentres de faces de dimension q--I de ..~(A) sont les symdtriques itdrds de b par rapport aux hyperplans (3) ; ceci traduit exactement (4). On en d~duit :

s , ) = = [ s ( F . j ) ] n [ K ] 0 .

Commc chaque cellule de [K] est bien ddtcrmin6c par son o-squelette (cf. chap. VII , n ~ i . 2, propri~t6 3), ceci ddfmit une application de l 'ensemble des classes s. Sa dans cclui des cellules de [K] ; cette application est injective puisque ~ cst injective ; elle est surjective d'apr~s le lcmme 4 et la surjectivit~ de ~.

Application : d~finition du complexe ~q. - - Soit J u n e partie de {~, 2, . . . , q--~}; on dit qu 'une partie de Sq est une partie distingude de type J si elle est de la forme s. S j, avec seSq. On note ~q l 'ensemble des parties distingudes de Sq, muni de la structure de complexe simplicial ordonn~ ddfinie par l 'inclusion; en particulier, l 'ensemble des parties distingu~es de type 0 s'identifie canoniquement ~ Sq.

Le complexe ~ a l e s propri6tds suivantes :

I) Pour tout J c { t, q , . . . , q - I } , la famille des parties distingudes de type J est stable par route translation k gauche de Sq. I1 en rdsulte que pour tout seSq, la translation a gauche de Sq dgfinie par s se prolonge de fafon naturelle en un isomorphism, de ~q (respectant le type de chaque dlgment) qu'on appeUe translation ~t gauche de ~q ddfinie par s.

2) I1 r~sulte de la proposition i) ci-dessus, et de la propridt~ 3 du chap. VII , n o I. 2, que l 'application [~ : Sq~ [K]0 se prolonge de fagon naturelle en un isomorphisme (encore not6 ~) de ~q sur K, muni de sa structure de complexe simplicial ordonnd; pour tout J c { ~ , 2 , . . . , q - ~ } , on a :

~(Sj) = F,j .

3) La r~alisation g~om6trique 1 ~ [ de ~q a une structure de CIW-complexe, not6e [ ~ ] dont les cellules sont les ~toiles descendantes des sommets de 1~1 ; en particulier, le o-squelette [~]0 de [ ~ ] s'identifie ~ Sq; [3 dfifinit un isomorphisme de [ ~ ] sur [K].

�9 .3- Le c o m p l e x e ~q.

On ddsigne par Gq le groupe GL(q, Z) et par Tq le sous-groupe de Gq formd par les matrices triangulaires infdrieures. Dans ce numdro, on construit un complexe [(~e] dont le o-squelette s'identifie ~ l'espace homog&ne Gq/Tq.

Pour tout gvGq, on note 7~ l 'application s ~ de Sq dans Gq/Tq.

Lemme 5. - - Quel que soit geGq, l'application 74 est injective. Dgmonstration. - - Soient seSq, s'eSq et teTq; l'dgalitd gs=gs't s'~crit s ' - l s = t ;

ceci entra[ne s=s ' , puisquc SqnTq={e} .

Z90

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUD()-ISOTOPIE ~

Lemme 6. - - Soient g~ et g2eGq. L'application Z;*oXo, cofncide sur son ensemble de de'Jb~ition avec une translation ~ gauche de Sq.

Dgmonstration. - - L'~nonc~ dtant trivial lorsque l'ensemble de d~finition de ~ 1 o X0, est vide, on suppose qu'il existe sleSq, s2eS q et t~Tq tels que :

(5) gls, t=g2s2 �9

Comparons d'abord X0,,, et Xo.,, ; l'~galit6

=

dquivaut ~t : il cxiste t 'eTq tel que

gls~ st' = g~s2s'.

Cette derni~re dgalit~ s'~erit d'apr~s (5)

st' = ts'

--10 ce qui entralne, d'apr~s le th~or~me de Bruhat (cf. VI, I. I, lemme 3), s-~ s'. Done 7~,,, ~,,, est l'application identique de son ensemble de dfifinition, et celui-ci coincide avec l'ensemble de definition de ~ 1 oX,,, ,. Or on a, en ddsignant par ~, la translation ~ gauche de Sq ddfinie par s, Zg?j=X0iov~i(j=i , 2). Done 7~Io7~, coincide sur tout son ensemble de definition avec z .... .

Corollaire. - - Soit A une partie de Gq/Tq; s'il existe J c { x , 2 , . . . , q -~} , et geGq tels que A soit l'image par X~ d'une partie distinguge de type J de Sq, alors, pour tout g' eG tel que l'image de Zg, contienne A, A est l'image par Xo' d'une partie de type J de S~.

(C'est une consdquence imm6diate du lemme 6 et de l 'invariance par translation gauche du type des sous-ensembles s. Sj de Sq.)

Difinitions. - - Une partie de Gq/Tq qui a la propridtd de l'r du corollaire

ci-dessus est dite partie distinguge de type J de Gg/T~. On note ~q l'ensemble des parties distingu6es de Gg/T,, muni de la structure de

complexc simplicial ordonn6 d6finie par l'inclusion; en paxticulier, l'ensemble des parties distingu6es de type O s'identifie canoniquement ~ Gq/Tq.

Proprigt~s du complexe ~q. - - i) Pour tout J c { l , ~ , . . . , q - I } l'ensemble des parties distingudes de type J de Gq/Tq est stable par toute translation ~ gauche de Gq/T~. I1 en r6sulte que pour tout geG~, la translation ~ gauche de G~/T~ ddfinie par g se prolonge de faqon naturelle en un isomorphisme de Cg (respectant le type de chaque 616ment), qu'on appelle translation ~ gauche de ~q d~finie par g.

~) Chaque Xr se prolonge de fagon naturelle en une application (encore notde X,) de ~q dans r qui ddtermine un isomorphism, entre ~q et son image, nmnic de la structure de complexe simplicial ordonn6 induite par celle de ~ .

3) L'dtoile descendante de tout dl6ment de ~ est d~finie par une partie distingu6e de GJT~ et tous ses sous-ensembles distinguds; elle est done contenue dans l'image d'un certain Z~; elle est done (d'apr6s la propridtd ~) isomorphe ~ son image rdciproque par X~.

291

~ J E A N C E R F

Donc l'6toile descendante de tout sommet de type J de la r6alisation g6om6trique [ Eel de Eq est isomorphe au c6ne d 'une sph6re combinatoirement triangul6e, laquelle est de dimension j - - I si card J = j . Ceci ddtermine sur [ Eq I une structure de CW-complexe, not6e [~q] ; la cellule de [Eq] ddfinie par une partie distingu6e A de Gq/Tq est not6e [A] ; l'ensemble des cellules de [(~q] est en correspondance bijeetive avec ~q; cette correspondance est un isomorphisme pour les structures d'ordre respectivement dgfinies par l'inelusion des cellules et ceUe des parties de G~/Tq. En particulier, le o-squelette [Eq]0 de [Eq] s'identifie ~ Gq/Tq. Chaque Zg d6termine un isomorphisme entre [~q] et son image dans [~q]. Chaque cellule de [E~] est dgtermin~e par l'ensemble des o-cellules qu'eUe contient; a fortiori, chaque cellule est dgterminge par son bord.

4) Soient ~ = [gSj] et 3' = [g'Sa] deux cellules de type J de [E~] ; pour que ~ = ~', il faut et il suffit que g ' - ~ g e T a . S ~.

(C'est darts un langage diff6rent le rdsultat du 3) du lemme ~, n ~ i . t . )

5) Etude de l'ensemble des eellules de [~q] qui contiennent une cellule donn&. - - Les notations T j , Ta,,j , etc., sont celles de VI, x.I .

Proposition 2. - Soit 3 une cellule de [~q]; soit J' le type de 3; soit J une partie de { i , ~ , . . . , q - - ~ } .

i) Pour qu'il existe une ceUule de type J contenant 3, il faut et il suffit que J DJ'; pour toute telle cellule y, il existe gEGq tel que

~, = [gSa]

2 ) On suppose que JDJ ' .

1-:.... et 3 ---~ [gSa, ].

Pour tout g~Gq tel que 3----[gSj,], l'application ~o :

T j,, j~ t ~ [gtSj]

est une bijection de T j, a sur l' ensemble des cellules de type J de [~q] contenant 3. 3) Soient y et "(' deux cellules de type J de [~q] contenant S; on note ~.~l(y)=u et

~ -~(y ' )=u ' . L'orbite de u ' - l . u pour les opgrations de Sa,.Diag q (opgrant dans Ta',a par les automorphismes intgrieurs) est un invariant du triple (y, ~', 3). Get invariant est conserv~ par toute translation ~ gauche de [~q].

Dgmons t ra t ion . - I ) Si J ~ J ' , et si 3~=[gSa,], alors [gSa] contient 3. P,.~eiproque- ment, supposons qu'il existe ~, de type J contenant 3; soit ~ un ~16ment de Gq tel que

~,---- [~Sa]. D'apr~s le corollaire du lemme 6, il existe s~Sq tel que ~ ~- [~S~,]. D'apr~s le lemme 5, l 'inclusion 3c~" entra~ne sSs, cS~; ceci entralne s~S a et J ' r on pose ~ s - - g ; g a la propri~tfi voulue.

2) D'apr~s le I) et la propri6t6 4 ci-dessus, toute cellule de type J contenant ...a...

est du type [g'Ss], avec g'EgTa,.Ss, . L'application

Ta,~ t ~ [gtSa]

292


est donc une surjcction de T j, sur l'ensemble des cellules de type J contenant 8. Soient t ....a.,. I.=..

et t' deux ElEments de Ta, ; d'apr~s la propridtE 4 ci-dessus, pour que [gt'Ss]=[gtSs] , il faut et il suffit que t ' - t t e T j ; on en ddduit, par passage au quotient, une bijection de Ts,[T J sur l'ensemble des cellules de t y p e J passant par 3; on obtient ~g en composant

cette bijection avec la bijection ] 's , , s~Ts, /Ts donn~e par le 2) du lemme I (cf. I. I).

3) L'Eldment g (astreint ~ la condition [gSa,] = 3) est bien ddfini ~ multiplication pros, ~ droite, par un ElEment arbitraire de Sa,.Ta,. Or il est clair qu'on a, pour tout

sESj, et tout te~ra,,s :

(6) ~g~(t) = ~g(sts).

Soit d'autre part t ' eT j , ; ct soit t'=t'lt~d' la dScomposition de t' dans lc produit

T~.Tj .Diagq (cf. VI, I. I, lemmc I). La d~composition de t't dans le produit ~ . T s est

t' t=(t~d' td '- t)(d' t-~ d'-tt~d' t). t ~ a

II en rdsulte qu'on a (pour tout t'ETj, et tout t~Tj, , j)

(7) Fg,, (t) = Fg(t',d' td'-~).

Des formules (6) et (7) on dEduit

(6') ,a~l(~ ") = s . ~-t(T ) .s pour tout saSa, ;

(7') ~ ( y ) = d ' - tt[-t.V,21(y).d' pour tout teTs,.

De la formule (6') rEsulte que si on remplace g par gs, u' - tu est remplacd par s(u'-tu)s; de la formule (7') rdsulte que si on remplace g par gt', u ' - tu est remplacd par d' - t (u ' - tu)d ' ; d'ofi le rdsultat annoncE, puisque d'aprEs le 2) du lemme ~ de VI, i . i, applique avec J = { t , ~ , . . . , q - I } , le sous-groupe de Gq engendrd par S j, et Diagq est S a,.Diagq. L'invariance par translation ~ gauche est immediate.

6) Le complexe ~q est connexe : c'est une consequence immediate du fait que le

groupe Gq est engendrE par ses sous-groupes Sq et Tq.

x. 4. Les c o m p l e x e s ~q , [~q] et ~q.

Notations�9 - - On dEsigne par ~q le produit ~qX~q, muni de sa structure naturellc de complexe simplicial ordonnE. La rdalisation gdomEtrique de ~3q est munie de la

structure de CW-complexe [~q]• [~q] (of. VI, 1.3, propriEtE 3)); ce CW-complexe est note [~q].

Opgrations de Gq darts ~q. - - Elles sont ddfinies par la formule :

(8) g . (x , y )=(g .x , ~.y), pour tout (x,y)e~q

293 15

~t4 J E A N C E R F

dans laquelle g.x d~signe t'effet sur x de la translation 5 gauche de ~q d~finie par g (cf. VI, ~.3, propri~td ~)); et ~ ddsigne la matrice ,g-a.

Le quotient Sq[G~ est muni naturellement d 'une structure de complexe simplicial ordonn~; ce complexe sera notd 9I~.

Remarque. - - l.es opfirations de Gq respectent la structure de CW-complexe [~3q]; n6anmoins il n'existe pas de structure naturelle de CW-complexe sur le quotient.

Filtration de ~ , ~B~ et 9I~. - - On ddfinit un morphisme injectif a~ : G~_a~Gq en posant, pour tout g~G, ~ : (o)

a~(g) = (g) �9 O

O , . , o I

Lemme 7. - - ~ ) L'injection % dgfinit naturellement un morphisme injectif ~ ~ : ~ _ ~ ~ ~ ;

envoie la classe neutre i de ~ _ x sur celle de ~q, et transforme tout gHment en un gHment de mZane ~q type; + q est compatible avec les structures de CW-complexe [~q--1] et [~q].

2) +q• est un morphisme injectif ~3q_a---~3q, compatible avec les structures de

CW-complexe [~3q_ t] et [~q]. 3) +q• +q dgfinit naturellement un morphisme injectif ~q :~I~_t-+~/q.

Dgmonstration. - - ~) Le morphisme d'espaces homog~nes +q : Gq/T~ ~ Gq/Tq ddfini par % est injectif, puisque

il d~finit un morphisme ~_,->(s car l 'image de toute partie distinguee de type J de Gq_a/T~_, est une partie distinguee de type J de Gq/T~.

Le 2) est immddiat. Preuve du 3). - - Les opdrations respectives de G~_, et Gq dans ~B~_, et ~Sq donnent

-'~' ~q • ~q

Gq~q ...... ~ ~q

lieu au diagramme

dont la commutativit~ permet de d~finir le morphisme ~q. Soient (x~, x~) (pour i = o , I) deux dldments de ~Bq_l. On introduit (pour la suite

de cette ddmonstration) les notations Sj; q, Sj; q_ ~, Tj; q, etc., qui prdcisent celles ddfinies en VI, i . I .

I1 existe, par d~finition de ~3q_1, des parties J~ et J; de ( ~ , . . . , q--2} et des dldments gi, g~ de G~_I tels que

' ~ --~g~ Ji;q-!, g~Sji~q-1/ (z=o , I). ~9: (x~, x ~ ) - : S ' ~

294

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE I I 5

II r6sulte de (I o) que

Supposons qu'i l existe geGq tel que les images de (Xo, Xo) et (xl, x~) dans ~Bq soient 6quivalentes par l 'action de g. I1 en rdsulte en premier lieu (puisque les translations de ffq

conservent le type des ~16ments), que Jo =J1 et J0 =J~ ; on les notera d6sormais J e t J ' . I1 r6sulte alors du 3) du lemme 2 de VI , i . i qu'i l existe des 616ments s e t s' de Sj;~, et des 616ments t et t' de Tj;q tels que

i g" Crq(g0) = ~rq(gl)' st;

t g . eq(go) = ~rq(g;). s ' t ' .

et par consequent (puisque tsT~;q), t e s t d e l a f o r m e r 7 e T j ; q _ 1 et c = + I

ou r = - - I. O n en d~duit d'apr~s (Io) que g est de la forme r et t' de la forme caq(~')

avec 7 ' eTa , ;q_ 1. C o m m e s e t s' sont respect ivement de la forme aq(T) et r avec sESj;q_ 1 et s 'ESj , ;q_l , il r6sulte de ( io) qu 'on a

g'.go = g l y T , t t ~ t ' ~ a r

g . g o = g ~ s t , ce qui entralne d'apr~s (9) :

x;)=(xl,

Application. - - Les injections ~1, a2, . - . , 8q ddfinissent une filtration de 9/q; on en ddduit par image r~ciproque une filtration de fl3q ; ces filtrations jouen t un r61e essentiel dans la suite de ce chapitre.

w 2. f'.TUDE PARTICULI~RE DU 2-SQUELETTE DES COMPLEXES [(~q] ET [~q]

2, I. Le 2-squelette du c o m p l e x e [ ~ ] .

Le complexe ~q et le CW-complexe [~q] ont 6t~ ddfinis en 1.2; en particulier, le o-squelette [~q]0 s'identifie au groupe sym6trique Sq. Le I-squelette peut 6tre ddcrit comme suit. Pour tout entier i tel que i,<i~<q--I, on rappelle qu 'on d6signe par s~ la

transposition

/I 1 / , O

i . . . . . . . . . . . . . . o . . i I 0 / i

0 " I

Soient s e t s' deux ~16ments de Sq ; on les jo int par une ar~te (unique) si et seulement

si il existe i e { i , . . . , q - - l } tel que s ' = s s i .

295

xx6 J E A N C E R F

Description du 2-squelette. - - Les faces de dimension 2 (on dira d6sormais simplement << faces >>) correspondent aux parties sSs de Sq pour lesquelles J est une partie de { i, . . . , q-- i } ayant deux 616ments; les groupes Sj correspondants sont de deux esp~ces :

~) J e s t de la forme { i , j } avec l i - - j l>~2. On a alors la relation :

(sisj)2=e,

de sorte que S j={e , s~, s~sj, sj}; c'est un groupe ~ 4 616ments. La face correspondant ~t sSj a pour sommets s, ssi, ssisj, ssj ; on peut la d6finir par l 'at tachement d'un disque le

long du i-cycle Is, ssl, ssisj, ssj, s].

Les faces de cette esp~ce seront appel6es les quadrilatkres. ~) J est de la forme {i, i + i } avec I<~i<<,q--2. On a alors la relation

(s i s i+ 1) 3 = e,

de sorte que Sj ={e, si, sisi+l, sisi+lsi, s~+lsi, si+l} ; c'est un groupe ~ 6 61dments. La face correspondant ~t sSj a pour sommets s, ssi, ssis~+x, ssisi+~si, ssi+ts~, ss~+t; on peut la ddfinir par l 'at tachement d 'un disque le long du I-cycle

[s, ssi, ssisi+ ~, ssisi+ lSi, ss~+ ~si, ssi+ l, s].

Les faces de cette esp~ce seront appeldes les hexagones.

2 . 2 . L e 2 - s q u e l e t t e d u c o m p l e x e [(~q].

Le complexe ~q et le CW-complexe [~q] ont 6t6 d6finis en VI, I . 3; en particulier, le o-squelette [~q]0 s'identifie ~t l'espace homog~ne Gq/Tq.

Description du i-squelette. - - Les couples de points de Gq/Tq qui sont joints par une ar~te de [~q] sont ceux qui sont l 'image des extrfmit6s d 'une ar&e de [~q] par une

application ~ : s~-}g~; ce sont done les couples de la forme { ~ , ~ } (pour tout ie{I, . . . , q - - I } et tout geGq).

Description du 2-squelette. - - Les I-cycles auxquels est attach6e une face sont de deux esp~ces :

I) les cycles

[ ~ , ~ , ~ , ~ , ~ ] pour tout (i,j) tel que li--jl>~2 et tout geGq;

2) les cycles : �9 ~ �9 f_: . ._ . ~..

[~, ~ , gsis~+ t, ~ , , gsi+lsi, gsi+t,~] pour tou t i e { I , . . . , q--2} e t tou t geGq.

Les proprift6s suivantes (aisles k vdrifier directement) sont des cas particuliers de celles 6tablies en VI, 1.3 :

I) Chaque aff:te a un type qui cst un entier i tel que i ~< i~< q-- I. De m~me chaque face a un type qui est une partie {i, j} de {I, . . . , q--I} ayant deux 6Iements.

296

STRATIFICATION NATUREI,LE ET THI~,ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE [~7

2) Tout couple de sommets auquel est attach6e une ar&te est form6 de points distincts. De m~me les faces de premiere esp6ce d6finies ci-dessus ont 4 sommets distincts; on les appelle des quadrilatkres. Les faces de deuxi6me esp~ce ont 6 sommets distincts; on les appelle des hexagones. Une face est un hexagone ou un quadrilat6re suivant que son type est ou n'est pas formd de deux entiers cons6cutifs.

3) Chaque ar~te de [(gq] est bien d~termin6e par ses deux extrfmitds, l)e mSme, chaque face est bien dfiterminde par son intersection avec le o-squelette.

4) Chaque translation ~ gauche de Gq/Tq se prolonge naturellement en un isomorphisme de [Eq] laissant invariant le type des ar6tes et des faces.

5) Etude de l'ensemble des argtes issues d'un sommet donnL

Notation. - - Soit i e{ I, . . . , q--I}. On note t i la (( matrice 616mentaire ~ classiquement not6e e~+;, ~, c'est-~-dire la somme de la matrice unit6 et de la matrice (a~,k) d6finie par :

aj .~=o pour ( j , k ) ~ : ( i + 1 , i),

~a~+~,~=~.

Proposition 2'. - - Soit ceGq/Tq ; soit g un reprgsentant de c dans Gq ; soit i~{ ~, . . . , q - - ~ }. ) L'application ~ :

Z~) , ~ [gt {, gt~'si]

est une bijection de Z sur l'ensemble des argtes de type i de [~q] issues de c. 2) La seule donnge de c d~termine ~ gt composition prks avec un isomorphisme arbitraire de

la stnlcture affine de Z. 3) Soient ~. et or' deux ar~tes de type i de [%] issues de c; on pose ~x-x(~)-=)` et ~-1(~') =X'.

L' entier IX--), '[ est un invariant de l' ensemble {~, ~'}. Cet invariant est conservg par toute translation

gauche de [~q].

Dgrnonstration. - Le i) de la proposition 2' traduit le 2) de la proposition 2 de VI, I. 3 dans le cas particulier off J = { i } et J ' = O . Le 2) r6sulte imm6diatement de la formule (7) 6tablie au cours de la ddmonstration du 3) de la proposition 2 de VI, 1.3. Le 3) de la proposition 2' est la traduction, dans le cas particulier considdrd, du 3) de la proposition 2; c'est par ailleurs un corollaire imm6diat du 2) de la proposition 2'.

Voici trois applications importantes de la proposition 2' :

CoroUaire 1 (Lemme du quadrilatkre). - - Soient c, c', c" trois sommets de [~q]. On suppose que c et c' sont joints par une ardte de type i, et que c' et c" sont joints par une ardte de type j .

Si l i--j[>~ 2, il existe un sommet "~' et un seul de [Eq] tel que

c et ~g' soient joints par une ar~te de type j ;

? ' et c" soient joints par une argte de type i;

le I-cycle [c, c', c", 7 ' , c] borde un quadrilatkre de [Eq].

297

~x8 J E A N C E R F

Dg'monstration. - - On se ram6ne par translation au cas off c = J .

la proposition ~', il existe des entiers X et X' tels que c'----t~si et

t~t~'=g; on a gs,=t s,tr

gs, s~=t~s,t~'s~, ~

de sorte qu 'on peut prendre c ' = ~ .

L'unicit~ rfisulte du fait suivant : tout teTq qui v~rifie

s~ts~Tq et slsitsis~eT q

verifie aussi (lorsque l i - j l ~ ) s~ts~Tq.

D'apr6s le x) de

c"= t*s i tX l s~ . On pose

Corollaire 2 (Lemme de l'hexagone). - - Soient c, c', c", c'", quatre sommets de [Eq]. On suppose que c et c' (resp. c' et c'", resp. c" et c"') sontjoints par une argte de type i (resp. i -t- i,

resp. i). Il existe alors deux sommets bien ddterminds ~ ' et ~ " de [~q] tels que :

c et "{' (resp. ~ ' et "{", resp. "~" et c'") soient joints par une argte de type i + I (resp. i,

resp. i + I ) ; l I t l i t " ~ " t l " ~ t t le x-cycle [c, c , c , c , c , c , c] borde un hexagone de [~q].

Dgmonstration. - - On se ram&ne par translation au cas off c = g. I1 existe des entiers X,

X', X" tels que c . . . . t~s,, c" - t {s i t {+ls i+l , et c . . . . . t~sit~'+lsi+lt~"s ~. On pose :

t{sd{+ l S~ + l t~"s~ + l s~ - - g.

Puisque : s~t~'+lsieTq et s&+It~"si+~s~Tq,

on a aussi : geTq.

..:.. ~ On v~rifie que [~, gs~, gs~s~_~ 1, ~ ] -= [c, c', c", c"q , , de sorte qu 'on peut prendre c-=gs~+ 1 et ~{"=gsi+~s~.

L'unici td rSsulte du fait suivant : tout teTq qui vdrifie

sits~eTq,

si + ls~ts~s~+ l~Tq,

et s~si + l s~tsi si + l siE Tq,

v~rifie aussi si + 1 tsi + 1 ~ Tq,

et s~s~+ x ts~+ tsi~ Tq.

Corollaire 2 (Lemme des trois ar~tes). - - So i en t c, c', c" trois sommets de [~q]. On suppose

que c et c', ainsi que c' et c", sont joints par une ar~te de type i et que ces deux ar~tes sont << consL

cutives >>, c' est-&dire que l'invariant d~fini au 3) de la proposition 2' est ~gal ~ ~. Alors c et c" sont

joints par une argte de type i, consgcutive gz [c, c'] ainsi qu'~ [c', c"].

o98

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E ET THI~,OR]~ME DE I,A P S E U D O - I S O T O P I E II 9

Remarque. - - On notera que cont ra i rement aux cas du quadri lat~re et de l 'hexagone, le I-cycle dont on 6tablit ici 1'existence (c'est-h-dire [c, c', c", c]) ne borde aucune face de [r

Dgmonstration du corollaire 3. - - D'apr~s le 2) de la proposition 2', il existe gEGq tel que [c, c', c"] = I ' ~ , g, ~J~i]. On se ram~ne par translation au ,:as o0 g --- e. On a

s~tis~C tsi = tt~t~- ~s~,

et on v6rifie que le terme de droite est un 616ment de Tq; done

t~s~t~s~=s~ (mod Tq)

de sorte que (c, c") ==(tis~tF ~, t~s~t~s~) ;

done c et c" sont joints par une arfite de type i. Calculons par exemple l ' invariant ] k ' - -k " I du couple ([c, c'], [c', c"]), en prenant tisi comme repr6sentant de c; puisque

tisisi~ e (mod Tq), cet invariant est 6gal ~t I.

2.3. Le 2-squelette du complexe [~q].

On rappelle (cf. VI, 1.4) que [~3q] ~ [~q] • [~q] ; un certain hombre de propridt6s de [~q] ddcoulent imm6dia tement de cette ddfinition et des propridtgs de [~q] :

i) Le o-squelette de [~q] s'identifie h (Gq/Tq)X(Gq/Tq).

2) Une ar~te de [~3~] est dite de premiere ou de seconde esp~ce suivant que sa seconde ou sa premiere projection sur [~q] est ponctuelle.

3) Toute ar6te de [fl3q] a un type (qui est un entier i tel que i~<i~<q--I); c'est le type de sa projection non ponctuelle sur [~q].

4) A tout couple d'ar~tes de m~me esp6ce et de m6me type ayant une extr6mit6 commun e est associ6 un invariant [X--k ' [ .

5) Lemme des trois argtes. - - M~me 6nonc6 que le corollaire 3 de VI, 2.2, ~ ceci pr6s qu'il faut prdciscr que toutes les ar6tes considdrdcs sont de m~me esp6ce.

6) Les faces de [~q] sont d 'une part les produits face • point (ou point x face) qui se r6partissent en quadrilat6res et hexagones; et d 'au t re par t les produits a r6 te• qui sont une nouvelle sorte de quadrilat6res.

7) Lemme du quadrilat~re. - - Soient b, b', b" trois sommets de [~q]. On suppose que be t b' sont joints par une argte de type i, et que b ' et b" sont joints par une argte de type j . Si ces deux argtes

sont d'esp~ces diffirentes, ou si I i - - j l >>" 2, il existe un sommet b ' et un seul de [~q] tel que :

b et ~ ' soient joints par une argte de mgme espkce et mgme type que [b', b"];

b" et b" soient joints par une argte de mgme espkce et mgme type que [b, b'];

le I-cycle [b, b', b", b ' , b] borde un quadrilatkre de [~Bq].

299

120 J E A N CERF

8) Lemme de l'hexagone. - - M~me 6nonc6 que le corollaire 2 de VI, 2.2, k ceci pros que toutes les ar~tes considfr6es doivent ~tre de m~me esp~ce.

9) [~3q] est connexe : cela r6sulte de la connexit6 de Eq (cf. VI, 1.3, proposition 6).

2.4. Operat ions de Gq dans le � 9 de [~q] et f i l trat ion de ce x-squelette .

2 .4 . x. O l ~ r a t i o n s de Gq dams [~q]0.

La formule (8) de VI, I ,4 dffinissant les op6rations de Gq dans ~3q donne dans le cas particulier de [~3q]0 :

(I) g. ( k , . } )=(g .k , ~.~) pour tout (x,.y)E(Gq/Tq)X(Gq/Tq).

Ces op~rations ont les propri6t6s suivantes :

I) On ddsigne par Tq le sous-groupe de Gq form6 des matrices triangulaires

sup6rieures et par ff2q\Gq/Tq l'ensemble des doubles classes de Gq ~ gauche modulo Tq

et k droite modulo Tq. Soit le diagramme

~ t

Gq • Gq . . . . . . ---+ Gq

(2)

(Gr215 a ~' , \Gq/Tq

off les applications verticales sont les applications canoniques, et off ~ et & sont respectivement ddfinis par

~(x, y) = Ix .y

e ( f , ~ ) = t f . ~ pour tout (x,y)eGq•

Ce diagramme est commutatif, et l'application & d/finit dans (Gq/Tq)• (Gq/Tq) la mgme relation d'/quivalence que les op/rations de Gq. Comme & est surjective, il en r~sulte que [~q]0/Gq

v

est naturellement isomorphe g~ l'ensemble Te\Gq/Tq.

2) Le sous-groupe de Gq formd des /lgments qui laissent fixe (d, i) est Diagq. (En effet, le fait pour g de laisser fixe (i, d) fiquivaut k :

gETq et ~eTq,

ce qui s'dcrit encore geTqn~Fq; or on a Tqn~i'q=Diagq.)

2 .4 .2 . L' invarlant ] aq, q l et la f i l trat ion de [$q].

Le terme aq, q de la matrice g=(a~,j) est invariant en valeur absolue si on multiplie g ~ droite par un dl~ment arbitraire de Tq ct ~. gauche par un 61dment arbitraire

300

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E ET THI~ORI~ME DE LA P S E U D O - I S O T O P I E i2i

de q'q. Ceci permet d'associer k tout 616ment de [~3q]0 un entier positif ou nul qu'on appelle son invariant l aq, q[, et qui ne ddpend que de son image dans [~Bq]o/Gq; d'apr~s la commutativit6 du diagramme (2), l ' invariant [aa, q[ de l'616ment ( k , ) ) de [~3q]0 est Egal ~ la valeur absolue du terme de la derni6re ligne et de la derni6re colonne de tx.y.

Lemme 1. - - Pour qu'un gUment de [~3j0/G~ soit dans l'image de ~i~ (cf. VI, I .4) il faut et il suffit que son invariant laq. q i soit ~gal gz I. (Autrement dit, pour qu'un ~Ument (k, ) ) de [~3~] 0 soit ~quivalent modulo les op#ations de Gq gz un 3l~ment qui soit dans l'image de + q• +q, il faut

et il suffit que son invariant [aq, q I soit igal g~ I.) D~monstration. - - II est immEdiat que la condition est n&essaire. REciproquement,

soit g une matrice telle que laq, q l = I ; on peut alors choisir tETq et t'ETq de fa~on que t 'g te%(Gq_l) . (I1 est possible de choisir t (resp. t') de faqon que tousles termes non diagonaux soient nuls ~ l'exception de ceux de la premi6re ligne (resp. colonne).)

Lemme 2. - - I) L'invariant l aq, q l prend la mgme valeur aux extrgmitgs de route argte de [ ~ ] dont le type est diffirent de q - -x .

2) Pour qu'une argte de [~3q] soit dans l'image de 6q• +q([~3~_ t]), il faut et il suffit que l' invariant [ aq, ~ [ prenne la valeur ~ en l' une de ses extrgmitgs, et que son type soit diff&ent de q-- x .

D~monstration. - - Le ~) est immEdiat, ainsi que la nEcessit6 de la condition du ~). Preuve de la suffisance de cette condition : soit (k, ) ) e[~3q]0, tel que l 'invariant l a~,q[ de ~xy soit ~; il existe alors d'apr~s le lemme i, des reprEsentants respectifs x' et y ' de k e t ) tels que ~x~y'~(G~_~); soit alors ~ une ar&e de [~3q] d'origine ( k , ) ) ; supposons par exemple ~ de seconde esp~ce (cf. VI, 2.3, propriEt6 ~); alors l'ar6te x '-~. ~ a pour seconde projection sur [~.q] une ar&e ~q d'origine ~x'y'; d'apr~s le ~) de la proposition 2',

l 'ar&e ~ est du type ('x'y', *x'y't~s~); si le type i est different de q - - I , 'x'y't~ est dans aq(Gq_~), donc Best dans l'image de +q([~q_~]).

Corollaire. - - Tout point de [~3q] 0 qui est dans l'image de + q • ~ q peut ~tre joint ~ un point de l'orbite de (i , i ) par un chemin dont toutes les argtes soient de premiere esp~ce et de type diffgrent de (q - - l ) .

(M~me r&ultat en remplaqant ~ premiere esp&e )) par ~ seconde esp&e )).) Dgmonstration. - - C'est une consequence immediate du 2) du lemme 2 et de la

connexitE de [~q_~].

w 3. LE LEMME FONDAMENTAL

3-L Arttes de [~q] i s sues de (i, i ) ; 6nonc6 du l e m m e fondarnental.

Soit ie{ i , 2, . . . , q-- i} . D'apr& le i) de la proposition 2' (cf. VI, 2.2), les ar&es

de premiere esp&e de type i de [~3q] issues de (i, ~) sont les ar&es [i, t~s~] • ~, off k d&rit Z. On rappelle d'autre part que le sous-groupe de Gq laissant fixe (~, ~) est Diagq (el. VI, 2.4.1) .

301

16

i~2 J E A N C E R F

Lemme 1. - - Pour que les argtes [i , t~s~] • d et [~, t{'si] • d de [~3e] soient ~quivalentes

par une opgration de Diag v il faut et il suffit que I X [= [ X' [. Si t ~ I+ IX'l, les extrgmitds des argtes correspondantes ne sont pas gquivalentes par les opgrations de G~.

Dhnonstration. - - Pour que (t{s~, ~) et (t~'s~, ~) soient ~quivalentes par une opfiration de Ge, il faut et il suffit qu'il existe tsT~ tel que

( tX s,)- a t( t'~'s,) ~T~;

ceci entrMne t6T~. Ceci prouve la seconde assertion, laquelle entrMne une partie de la premiere : la n&essit~ de la condition IX I=[ X' I- Rdciproquement, posons

I .

[ "I

i . . . . . . . . . . . . . - - I

l~ on a

e t

on en d~duit

O

I

~tx~ = t7 x ~ ,

"~d~ = si v~ + ~ ;

,..a,, et ceci prouve que lcs ar&es [i, t~si] X ~ et [i, ti- Xsi] • g sont 6quivalcntes par l 'op6ration de ~i.

Lemme 2. - - Pour que le point (t)si, ~) de [~3q]0 soit dquivalent a (~, i) par une optration

de % , iZ faut et il suffit que I xl ---- ~.

Ddmonstration. - - Un calcul immddiat montre que

t & - 'ti (mod Tq);

done 't,. ( i , / ) = (t,s,, tUx)=(t ,s , , i ) .

Ceci prouve que la valeur ] X l = I convient; c'est la seulc d'apr~s le lemme I.

Lemme 3. - - Pour tout XeZ , l'extrlmit6 (t~s~, ~) de l'ar~te de seconde espkce tZisi • [d, si] est dquivalente ~ (~, ~) par une opdration de Gq.

Ddmonstration. - - La matrice t~s~ est sym&rique; il en r&ulte que

tX s, = ( t~ s ,)- t = s , t ( x ;

t : . . .M. . . . ..:... e t p a r c o r , ~ e q u e n t Cs,. (~, ~ ) = ( t , ~ s , , s, tC~)=(t?~,, 4).

Notations. - - On d&igne d&ormais par Cq l'orbite de (i, i ) pour les operations de Gq. Les lemmes qui pr&6dent mettent en 6vidence certains lacets relatifs de [~Bq] modulo ~q :

302

STRATIFICATION NATURELLE ET THI";OR~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE ~3

- - d'apr~s le lernme 3, le chemin composd de l'arfite de premii:re esp~ce

[e, tXsi] • F et de l'ar~te de seconde esp~ce t*s i • [~, ~i] est un [acet relatifde [~3~] modulo ~q; on le note "l'~.x; on note u (pour tout geG~) le transformd de ,,,,x par l'opdration de g;

- - d'apr~s le lemme ~, l'ar~te [~, t~s~]• est un lacet relatif de [~3~] modulo ~ ; on le note ~i; on note ~i;o le transformd de 8i par l'opdration de geG~;

- - d'apr~s le lemme des trois ar6tes (cf. VI, ~-3, propridtd 5) les points (fi, i) et

(t~s~, d), extrdmitds de deux arfites << consdcutives >> issues de (i, i) , sont joints par une

arfite de premiere esp~ce, de type i. Le chemin [i, ~/i, t~si] • ~ est un laeet relatif de [~q] modulo ~ ; on le note ~.; on note ~;~ son transformd par l'opdration de geG~.

On note "(~, x, 3~, ~ , etc., les lacets relatifs transformds des prdc~dents par la symdtrie naturelle de [ ~ ] ; par exemple

= (;,, t M ) ] ,

On vdrifie qu'on a les relations suivantes :

Lemmefondamental. - - Les lacets relatifs yi, x; 0, ~i;, et ~i, o (pour tout ie { i, ~, . . . , q -- I } tout XeZ et tout geGq) constituent un systkme de ggngrateurs de ~([~Bq], ~q).

(Autrement dit, tout lacet relatif de [~3q] modulo ~q est homotope avec extrdmitds fixes i un composd des prdcddents et de leurs opposds.)

3 . 2 . T r o i s l e m m e s d e d G f o r m a t i o n .

D~flnition. - - On appelle chemin de premibre (resp. seconde) espbce tout chemin composd d'ar~tes de premiere (resp. seconde) esp~ce.

Lemme 4. - - Tout chemin ~ de [~3q], d'origine dans ~q, est homotope a un composd "f* ~,

u x;g) et o~ "~ est de seconde (resp. premiere) oi~ "rest fomposF de chemins de type "~i,x;g (resp. -1 esp~ce.

DFmonstration. - - Ddmontrons par exemple l'dnoncd dans lequel ~ est de seconde esp~cc. 11 rdsuhe du lemme du quadrilat~re que tout chcmin de [23q] cst homotope au compos(, d 'un chemin de premiere et d 'un chemin de secondc csp~ce. On est donc ramend

au eas o/l ~ est de premifire espAee, c'est-~-dire du type

308

t2 4 J E A N C E R F

o~ 91, ~ , - - . , ~, sont dEfinis par des ar~tes de premiere esp~ce. D'aprEs le temme 3, il existe un chemin ~; dEfini par une arEte de seeonde esp~ce d'origine l'extr~mitE de ~ , tel que 91" ~;, soit un Yi, x;g. Le chemin ~ est homotope ~t

(~1.9;) �9 (~;-~ * ~ * . . . * 9,);

il rEsulte du lemme du quadrilatEre (applique r - - I fois) que le ehemin ~'1-1. ~ . * . . . * 9, est homotope h u n ehemin du type 9' * ~'l', o~ 9' est dEfini par r - - i ar~tes de premiere espEce, et off ~'l' est de seeonde espEee; eeci, par recurrence, aehEve la demonstration.

(Pour l'Enonc6 dans lequel "~ est de premiere espEee, la demonstration est analogue ~t ceci prEs qu'on utilise la formule (I) de VI, 3. I.)

Lemme ,5. - - Soit ~ = [b, b', b", b] un lacet de [~3q] d~fini par trois argtes o~ient&s de

rMme type qui sont deux ?z deux cons~cutives. Soit o~ un chemin d'origine dans @~, d'extrhnitd en b.

Le lacet o~ * ~ * ~- i est homotope ~ un compost des lacets relatifs Yi, X;g, Si; g, ~-i;g, et de leurs opposes.

Dgmonstration. - - On suppose par exemple que ~ est de premiere esp~ce. D'apr~s le lemme 4, e est homotope ~t un ehemin de type T*~', off Test compose de ehemins du type T~. x;~, et oi~ E est de seconde esp~ce; on est done ramenE au eas of~ e est de seeonde esp~ce. Dans ee eas l'applieation rEpdtEe du lemme du quadrilat~re montre que e . ~* e - t

est homotope ~t un laeet ~ du m~me type que ~, dont l'origine b" est dans @~. Puisque la famiile des lacets relatifs y~, x;~, etc., est stable par les opEratlons de G~, on peut se ramener

au moyen d 'une telle operation au cas oft b = ( d , d).

(t i s , . , e ) ( t i s . , t i s i)

( t i s i , e) ~,+1

Ce, e ) ( ~ , t i si)

I1 existe alors d'apr~s la proposition 2' (cf. VI, 2.2) un entier X tel que

t s,,

On posc [i, tXsi, t~ +is,, ; 3 •

Le lacet ~' cst homotope ~ 8~ * [~', 3~-1; donc d'apr~s la formulc (2) de VI, 3. r, il est

dquivalent de montrer le rdsultat chcrchd pour ~ ou pour ~'. Or lc transform6 de ~' par l'opdration de t i e s t ....:...

[~, t~+ls~, t~+~s~, ~ ] x ~

(car ' ~ i = ~ ) ; c'est un facet du m8me type que "~, mais dam lequel l'entier >, est remplacE

par x + i. On peut donc, de proche en proche, se ramener au eas o~t ~" correspond ~t la

valeur Z = o; dans ce cas, "~ n'est autre que te compose ~i* ~-i.

304

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE x~5

Lemme 6. - - Soit o~ un chemin de [$q] ddfini par une argte orientge dont les deux extrgmit~s b

et b' soient dans l'image de 6 q• + q, et qui ne soit pas elle-mgme contenue dans cette image; alors ot

est homotope g~ un compos~ ~*3q_~;g*~ 0t) ~ et "~ sont composgs d'argtes de bq• ([$q_~]). Dgmonstration. - - D'apr6s le 2) du lemme 2 de VI, 2.4.2, l'ar~te considdr6e est de

type q - - i ; supposons-la de premi6re esp6ce. D'apr~s la connexit6 de [Eq_~], il existe un chemin de seconde esp6ce ~, d'origine b, tel que l'extr6mitd de ~ soit un point (notd b") de ~q, et que toutes les ar~tes de ~ soient dans l'image de ~rq• +q ; toutes les ar~tes de ~ sont done de type 4:q--i . Soit ~' le chemin ~ translatd de ~ par ~ ~ (c'est-~-dire le chemin d'origine b' obtenu ~ partir de ~ par | 'application r6pdt6e du lemme du quadrilat6re); soit b'" l'extr6mit6 de ~'. Toutes les ar6tes de ~' sont de seeonde esp~ce et de type 4: q-- i ; elles sont done toutes dans l'image de +q • ~ (cf. 2) du lemme 2 de VI, 2.4.2). D'apr6s le i) du m6me lemme, l ' invariant [aq. q[ prend en b"' la m~me valeur qu'en b', c'est-~-dire I; de ceci et du lemme 2 de VI, 3. i r6sulte que l'ar~te ~' qui joint b" ~ b'" est du type 8q_a;g ; le compos6 ~ * 0d * ~'- a convient done.

3 . 3 . D ~ m o n s t r a t i o n d u l e m m e f o n d a m e n t a l .

Le principe de la d~monstration est le suivant : les lemmes 8, 9 et IO ci-dessous montrent que tout lacet relatif ~ de [!3q] modulo ~q est homotope au compos6 d 'un certain nombre de Y~,x;g, 8i:g et ~i;g, et d 'un lacet relatif qui se trouve dans l'image de bq• ~rq; ceci, par rfcurrence, d6montre le th6or6me. Le lemme 7 sert ~ d~montrer le lemme 8.

Ddfinition. - - On dit qu'une ar~te orientde [b, b'] de [!3q] est constante (resp. dgcrois-

sante, etc.) suivant que la valeur en b' de l ' invariant l aq, q[ est ~gale (resp. strictement infdrieure, etc.) ~ la valeur de cet invariant en b.

Lemme 7. - - Soit b un sommet de [~q] en lequel on air [ aq, q[ >12 :

I) I l existe une argte de premikre esp~ce dgcroissante d'origine b; toute telle affte est de

type q-- I.

2) Tout couple

l'autre non croissante,

Ddraonstration.

de premi6re esp6ce que toute ar~te de de l 'invariant [aq, q

d' argtes de premiere esp~ce de type q-- i issues de b, dont l' une est dkroissante,

est consdcutif.

- - Soient x et y deux dldments de Gq tels que b---- (k,_~) ; les ar~tes 2. . .

issues de b sont les [k, xt~s~] • On sait (cf. VI, 2.4.2, lemme 2) type diff6rent de q--I est constante; si i----q--I, la valeur en b'

[ est ]bq_l,q+)~bq, ql,

(off l'on a notd (bk, t) la matricc txy). I1 y a deux cas ~ distinguer :

a) bq_l, q est un multiple de bq, ~.

Soit X0 l'entier d6fini par :

bq_x,q + ),obq, q = o .

305

~6 J E A N C E R F

L'arSte correspondant k X = X 0 est ddcroissante; celles qui correspondent 5. X=X 0 + I et ~,=)~0--x sont eonstantes; toutes les autres sont eroissantes.

b) be_x, e n'est pax un multiple de be, ~.

Dans ee cas le r~seau {b~_a.~+Xb~.~} ne contient pas le point z6ro, de sorte qu'il existe deux valeurs eonsdcutives de X donnan t chaeune une ar~te ddcroissante; toutes les autres valeurs de X donnent lieu 5. des ar~tes eroissantes.

Lemme 8. - - Tout lacet relatif ~ de [~3e] modulo ~r est homotope ~ un compos~ de lacets

du type .(~, x; ~, etc., et de lacets en tousles sommets desquels l'invariant I % q l ne prend que les

valeurs o et i .

D~monstration. --- D'apr~s le l emme 4, on peut se borner au eas off ~ est de premiere

espkce.

Soit ~ le m a x i m u m des valeurs prises par l ' invariant l a e. el aux difffirents sommets de [3. O n va mont rer que si ~>~2, ~ est homotope 5. un composd de laeets du type Yi, z;~, ~;~, etc., et d 'un laeet de premikre espkce en t o u s l e s sommets duquel l ' invar iant l ae,~l est ~<~--I; ce qui d~montrera le lemme par r~currence sur ~.

/re grape. - - Suppression des argtes de ~ aux deux extrgmitds desquelles I a~, q I - : ~.

Soit [b, b'] une telle arSte; il faut dist inguer trois cas suivant le type i de cette ar~te.

Premier cas. - - i < q - - 2 . D'apr~s le I) du lemme 7, il existe une ar~te de premiere esp~ee [b', b"] qui soit d~croissante; son type est q - - I . L 'appl icat ion du lemme du

quadrilat~re 5. [b, b', b"] fournit un point b ' ; le chemin [b, b'] est homotope 5. [b, b', b", b'],

done 5. [b, b", b", b']. En b", la valeur de l ' invariant [aq. r est la m~me qu 'en b", elle est done ~< ~-- I ; on a done remplaefi [b, b'] par un ehemin homotope qui ne contient aueune arCte du type considdr&

Deuxikme cas. - i = q - -2 . On prend deux ar~tes de premieres esp~ee d6eroissantes, issues l 'une de b, l 'autre de b', et on applique le l emme de l 'hexagone.

Troisi~me tax. - - i = q - - I . Soit b" eomme pour le premier cas ei-dessus; d'apr~s le 2) du lemme 7, les arr [b, b'] et [b', b"] sont eons~cutives. O n d6compose {3 comme

suit : [3 ---= [3, * [b, b'] * ~2-

Le chemin ~ est homotope au compos6 des deux chemins suivants :

~t* [b, b', b", b]* ~F 1 qui, d'apr6s le l emme 5, est homotope 5. un composd des

lacets Yi, x;g, ~;g et ~i;g;

~1" [b, b", b']* ~2, dont le nombre d'arStes du type eonsid~r~ est inf~rieur d 'une

unit6 5. celui de ~.

306

Lemme 8

I re d t a p e

3 e cas

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E E T T H I ~ , O R ~ M E D E L A P S E U D O - I S O T O P I E

b b '

b n

(21 ~ OI 2

2 e d t a p e

b t

b "

O( 2

127

Lemme 9

2)

3 c)

~ n

b > b"

b'

b

'!1 l I I

I t I

3 a e t b) ,. 1 b ' >

L e m m e 1 0

bl 0~I> b~

"! i ~g o o~

I re 6 t ape , a)

b~

bl ~T~

b'2 I re ~ t ape , b)

b I

~ b

b t~

~o

~e 6 t a p e , b)

Y

307

~8 J E A N C E R F

2e dtape. - - Suppression des sommets (( isolds >> o~ [ aq, q [ = ~.

Soit b' un tel sommet ; ~ admet une decomposi t ion :

[~ = ~1 * [b, b', b"] * ~2,

oO les valeurs de ] aq. q l en b e t b" sont ~< ~-- I. D'apr~s le ~) du lemme 7, les ar~tes [b', b] et [b', b"] sont consdcutives; b e t b" sont donc joints par une ar~te, et ~ est homotope au compose des deux chemins suivants :

~ * [b, b', b", b] * ~-~, auquel s 'applique le lemme 5; ~ * [b, b"] * ~2, dont le nombre de sommets du type considErE est infErieur d 'une

unite ~ celui de [~.

Dgfinit ion: l'invariant]aq_a,q I . - Soit g = (ai, i) un dldment de Gq tel que l aq, q ] = o. U n calcul imm~diat montre que l aq_l, q l reste invar iant quand on multiplie g k droite

par un ElEment arbitraire de Tq et ~ gauche par un dlEment arbitraire de ~i'q. II rdsulte de ceci que pour tout dldment b = ( k , . ~ ) de [~3q] 0 en lequel laq, ql--o, l 'entier correspondant ~ %y est indEpendant du choix des reprdsentants x et y ; on l 'appelle l'invariant [aq_t.q[ de b; il est invariant par les operat ions de Gq dans [~3q].

Remarque. - - Dans les m&mes conditions, on peut aussi dEfinir l ' invariant 1% q- 1 [.

Lemme 9. - - Soit [!Bq] 0 la partie de [~3q]oformge des dlIments qui vbifient soit ]aq, q[ = i,

soit I aq, q I = o et I aq 1,q i = i. Tout lacet relatif ~ de [!~q] modulo ~q sur les sommets duquel [ aq, q I

ne prend que les valeurs o et I est homotope ~ un lacet relatif dont tousles sommets sont dans [!Bq] 0.

Dgmonstration. ~ Le lemme est trivial si q = 2 ; on suppose q~> 3. Soit b u n sommet de [!Bq] en lequel ]aq, ql soit dgal A o ou I ; on utilisera les deux ddfinitions suivantes :

Chemin standard de premikre espkce issu de b. - - Chemin de premiere esp~ce, dont les

types des ar~tes sont tous diffErents de q - - I , et qui about i t ~ un point de [!Bq] 0.

Chemin standard de seconde espkce issu de b. - - Chemin de seconde esp~ce, dont les types des ar~tes sont diffdrents de q - - I sauf dventuellement celui de la dernibre arfite,

et qui about i t ~ un point off ] % q l = I . (On notera que le nombre d'arfites composant un chemin s tandard peut ~ventuelle-

ment ~tre nul.) Ceci posd, on montre successivement les trois rEsultats suivants, &off le lemme

d~coule immSdia tement :

I) Tout point b du type ci-dessus est origine d'un chemin standard de premikre espkce et d'un

chemin standard de seconde espkce.

Preuve. - - O n choisit dans la double classe dEfinie par b une matrice qu 'on note (bj, ~) ;

(aut rement dit, (bj, k) est la matr ice txy relative ~ un couple ( x , y ) tel que b - ( J r

a) Chemin standard de premikre espkce. - - Soit b' l 'extrdmitE d 'une ar5te de type i,

308

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E E T T H I ~ O R t ~ M E D E L A P S E U D ( ) - I S O T O P I E x2 9

de premiere esp~ce, issue de b; il existe dans la double classe de b' une matrice (b~,k) dont les dl~ments de la derni~re colonne soient :

hi, q, . . . , bi_l ,q, bi+l ,q , bi, q-Ji-~Di+l,q, bi+2, q, . . . , Dq, q (avec X~Z).

O n peut, par une suite de telles opdrations correspondant toutes A des types diffdrents de q - - t , remplacer bq_l, q soit par o, soit par I.

b) Chemin standard de second, esp&e. - - Les dldments de la derni6re ligne de (bj,~) :

bq,1, 3q,2, . . . , bq, q

sont premiers entre eux dans leur ensemble; par une suite d'ar&tes de type I choisie de t mani&re "~ appl iquer ~ bq, 1 et b~. 2 l 'a lgori thme d 'Eucl ide, on remplace bq, 1 et bq, 2 par bq. 1

t ! t et bq. 2 tels que b~,l soit un multiple de bq,~; il existe alors des entiers ~2, . . . , Xq tels que :

b'q, t + X~ b~,,, + X3 bq, 3 + . �9 �9 + Xq b~, q = x ;

il existe done une suite d'ar~tes de types successifs I, 2, . . . , q - - l , telle qu'5. l 'extrdmit6 de la derni~re ar6te, la valeur de l ' invariant [aq, q[ soit i.

2) Soient ~' et ~" d*ux chemins standard issus d'un mgme point b ; le chemin ~ ' - t * ~"

est homotope (avec extrdmitds fixes) ~ un chemin dont tousles sommets sont clans [~3q]0. Preuve. - - O n note b' et b" les extrdmitds respeetives de [3' et [3". D'apr6s le I),

on peut se borner au cas o0 [3' et [3" sont respeet ivement de premi6re et de seconde

esp6ce. L 'appl ica t ion rEpEtEe du lemme du quadri la t6re fournJt deux chemins ~' et ~" , respect ivement ~ translat6s ~ de ~3' par ~" et de ~3" par ~'. Les chemins ~,.-1.[3,, et

~ " * ~ ' - ~ sont homotopes. Or l ' invariant [a~,q[ est 6gal ~t I en tous l e s sommets de ~' (car les ar~tes de "~' sont de marne type que les ar6tes correspondantes de [3'; elles sont done de type 4=q--I , done l ' invariant [aq, q[ a m~me valeur en chacun des sommets

de ~ ' ; or cette valeur est I ~t l 'origine de "~' puisque celle-ci coincide avec l 'extrdmit6 du

chemin s tandard de seconde esp6ce [3"). De m6me l 'origine de ~ " est dans [ ~ ] 0 ; et les

arates de ~" , autres que la derni6re, 6tant de types diffErents de q- -i, ne font pas sortir

de [~q]0.

3) Soit ~ un chemin ddfini par une argte de [~q] aux d*ux extrdmitds b e t b' de laquelle la

valeur de l'invariant [ %, q[ soit o ou i. Il existe d*ux chemins standard [3 et ~', respectivement issus de b e t b', tels que le chemin [3- t . o~ * [3' soit homotope ,t un chemin dont tousles sommets soient

dam [~ql0- Preuve. - - O n examine les diffdrcnts cas.

a) 0: est de type 4 :q - - I . - - Supposons par exemple ~ de premiSre esp~ce; on choisit a!ors pour [3 un chcmin de seconde esp&ce, ct on prend pour fY le chemin d'origine b'

ddduit de ~ par applicat ion rdpdt6e du lemme du quadrilat&re. L'extrdmitd de ~ et

celle de [3' sont jointes par une ardte ~', homotope ~ ~- ~ * 0~* ~'; l ' invariant [ % q I prend la valeur ~ aux deux extrgmitds de ~. Ddmonstra t ion analogue si ~ est de seconde esp&ce.

309 17

t 3 o J E A N C E R F

b) ~ est de premikre esp~ce et de type q-- i. - - Si ] a~, q I = i ~ l 'une des extr6mitds de 0~,

l 'autre extrdmit6 est dans [~q]0, de sorte que l 'on peut prendre [~ et ~' constants. Le

seul cas non trivial est done celui off [aq, q [ = o aux deux extr6mitds de ~.

On peut supposer (en t ransformant au besoin e par une opdration de Gq) que best

de la forme (~,);) ; b' est alors de la forme (tqX_tsq_l, ~) ; il en r6sulte que la valeur de [ % q]

en b' est 6gale ~t celle de [a~_l,~l en b; donc la~_,,~[-=o aux deux extr6mitds de o~.

On va montrer qu' i l existe un ehemin s tandard de seconde esp~ce issu de b dont le ~ translat6 par e >> soit encore un chemin s tandard; on va pour cela prouver qu'il existe

un 61dment y'=(b~.~) de G~ de la forme

(I) ~ t ~ ~ t ~ s t~" s~,, . / i 1 0~,1~'~2 i ~ " ' "

(avec ix, i2, . . . , / , _ , , q - - l ) tel que l ' invariant laa, q] de (d,.~') ct cclui de (tqx ts~_~,_y ')

aient tous deux la valeur I ; ceci s'dcrit

(~) ilb'~,~ I=~ ! I b'~_a,~+xb;,~l----I.

Ces conditions sont rdalisdes en particulier si on a

t (~) b~, ~ = t b~_~,~----- I - - t .

Pour rdaliser (3), on d~termine d ' abord une m a t r i e e y " de la forme (I) dont les deux

derni~res lignes soient 0 . . . 0 I 0 0

0 . . . 0 0 I O~

t t 1- -X puis on pose Y =fl Sq--2tq-2Sq--.2Sq-l"

e) e est de seconde esp~ce et de type q - - i . - - Si l ' invariant I%. q] prend la valeur I en l 'une des extrdmitds de 0~, par exemple b, le cas est trivial (on prend ~ constant et ~,____~,-1).

Si l ' invariant l aq, ql est nul aux deux extr~mit~s de e, il en est de m f m e pour

l ' invariant ]aq_,.q[ (c'est le rdsultat dual de celui dtabli au d~but d u b ) ) . I I e n rdsulte qu'il existe un chemin s tandard de seconde esp~ee issu de b, notd ~, ayant les propri6tds suivantes : toutes ses ar~tes sont de type ~< q-- 3, saufl 'avant-derni~re qui est de type q -- 2,

et la derni~re, qui est de type q - - I . Soient ~a, [~, . - . , [~, les ar~tes qui composent [~;

l 'applieation r6p~tde du lemme du quadrilat~re donne ~', [3[, ~s . . . , ~;__2 tels que les

compos~s ~ - ' * ~ , * ~ * . . . * ~ r - ~

et ~ ; , s ~ , . . . , ~ ; _ . ~ , , - 1

310

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIIt; ~3~

soient homotopes. Pals l 'application du lemme de l'hexagone donne les ar~tes ~; ~, ~;, e",

de types respectifs q - - ~ , q - - ~ , q - - ~ telles que les chemins 0t' ~ ,~ , ~ , ~ et ~ ; _ a , ~',* ot"-~ soient homotopes. Puisque e" est de type q-- ~, la valeur de l'invariant l aq.~l ~ l'extrdmitfi de e; est la m~me qu'?~ celle de [3~, c'est-~-dire ~.

Lemme 10. - - Tout lacet relatif de [ ~ ] o modulo ~ dont tousles sommets sont dans [ ~ ] o est homotope ~ un compos~ des lacets relatifs Yi. x; ~, ~i;o, ~i;o et de leurs opposgs, et de lacets relatifs

dont toutes les argtes sont dans l'image de ~ ~ • ~ ~.

Dgmonstration. - - D'apr~s le lemme 6, il suffit de montrer que tout lacet relatif du type consid~rfi dans l'~nonc~ est homotope ~ un composfi des facets relatifs -(~, x: ~, etc., et de lacets relatifs dont tousles sommets sont dans l'image de +~ • ~ . La d6monstration se fait en deux ~tapes; elle utilise la propri~t~ suivante (de vfirification immddiate) :

(*) Soit b un sommet de [!8q] en lequel [a~,ql=o et Youte arEte I de premiere esp6ce de type q-- ~ issue de best telle qu'en son extr6mit6 l 'invariant I aq, q I

soit ~gal ~ I.

Premiere dtape. - - Dgformation de ~ en un lacet relatif ne contenant aucune ar$te aux deux

extrgmitgs de laquelle ] aq, q I ----- o.

Soit 0c une telle arEte; soient b Let b 2 les extrdmitds de ~; soient ~ et ~ deux arfites de premiere esp6ce de type q - - I issues respectivement de b 1 et b2; il suffit d'apr~s la propri~td (*) de montrer que, pour un choix convenable de ~l et :c~, ~ - 1 . ~ , ~ est homotope ~ un chemin en tousles sommets duquel 1% q] = I. On examine les diff~rents cas possibles; celui ofa a est de premiere esp6ce et de type q - - I est exclu (cf. 3), b)

de la d~monstration du lemme 9)- On note b'~ l'extr~mit~ de 0~, b~ celle de ~_~.

a) o~ est soit de seconde esp6ce, soit de premiere espEce et de type < q - ~ . On choisit alors ~a arbitrairement, et on prend pour ~.~ la translatfie de 0~ par ~.

b) ~ est de premi6re espEce et de type q- -2 . On choisit alors ~ et % arbitrairement. D'aprEs le lemme de l'hexagone, b'l et b~ sont joints par un chemin ~a ~ * ~ * ~ , homotope k 0q-~*~*~, o0 "Y~, "~ et ~ sont des arEtes de premi6re esp6ce et de types respectifs q--~, q - I et q- -~ . L'invariant ]a~.~] ayant la m~me valeur aux deux extr~mit~s de toute ar~te de type q- -~ , le chemin ~ - ~ * ~ * ~ z a les proprifitds voulues.

Seconde dtape. - Suppression des sommets ~ isolgs ~ de ~ oil ] % q [ = o.

Soit b u n tel sommet; soit x,-1 (resp. ~") le chemin d~fini par l'ar~te de ~ qui a son extr6mitd (resp. son origine) en b; on ddcompose ~ comme suit :

~ = ~ , ~'-1, ~" , ~.

I1 y a deux c a s ~ distinguer :

a) ~' et o~" sont de m$me espkce. - - S'il existe une ar~te de seconde esp~ce issue de b en l'extrdmitd de laquelle l 'invariant ]a~,q] est 6gal ~ I, alors la valeur en b de

l 'invariant !.aq, q_~! est I; il en rdsulte que le cas of~ x' et a" sont de seconde espEce est

311

i3 2 J E A N C E R F

dual de celui off elles sont de premiere esp6ce; on peut donc se borner ~ ce dernier

c a s .

Soit alors p l ' invariant du couple (~', 0d') ; il existe des ar~tes dc prcmi6rc csp6ce, dc type q--I , qu 'on note ~i, �9 - . , a~- l , telles que les couples (0d, ~x), (al, 0~), . . . , (%-1 , a") soient cons6cutifs. O n note b', b i , . . . , b~_l, b" les extr6mit6s respectives des ar~tes ~', 0~, . . . , ~ _ ~ , ~" ; il r6sulte de la propri6t6 (*) que l ' invariant [a~,q[ de chacun de ces points est dgal ~ ~, et il rdsulte du lemme des trois ar~tes que chacun des couples (b', bl) , (b~, bz), . . . , (b~_l, b") est jo in t par une ar~te. Le lacet relatif ~ est homotope au compos6 des deux lacets relatifs suivants :

~tl* 0d- 1 * ~" * [b", b~_l, . . . , hi, b']* ~- l, lui-m~me homotope au compos6 de p

lacets relatifs du type considdr6 au lemme 5; ~l*[b ' , b l , . . . , b~_a, b " ] * ~ , dont le nombre de sommets en lesquels [aq,~]----o

est infdrieur d 'une unit6 ~ celui de ~t.

b) ~ est de premikre et ~' de seconde espkce. - - Toute matrice g repr~sentant la double classe d6finie par b v6rifie dans ce cas (d'apr6s la r emarque du d6but du a)) ]aq, q[=o ,

[aq_x,q [ = l aq, q- t [ = I. U n calcul imm6dia t montre alors qu'i l existe teTq (resp. t'e~'q) qu 'on peut en plus choisir de faqon que tous les termes non d iagonaux des q - - ~ premieres lignes (resp. colonnes) soient nuls, de fa~on que t'gt soit du type : ()oo

o o

0 . . . 0 0 I

0 . . . 0 I O /

I1 existe done un chemin de premiere esp~ce ~0 issu de b dont toutes les ar6tes sont de

type ~<q--3, et dont l 'extr6mit6 b soit telle que la double classe qu'elle d6finit soit

celle de sq_ 1. Soient It 0 et It 0' les translat6s respectifs de ~t 0 par a' et 0d'; soient b' et b"

leurs extr6mit6s respectives; on note [b, b'V]=~ ' et [b, b"]-----~". Le lacet relat if ~t est homotope au compos6 :

* * p.o).

Le nombre de sommets de ~1" ~t0 en lesquels l ' invariant l aq. e l prend la valeur o est s tr ictement inf6rieur ~ celui de ~; de m6me en ce qui concerne [ t0 ' - I . ~2. Tou t revient done ~i montrer que ~ , - 1 . ~ , , est homotope ~ un compos6 de Y~,x;g, etc. O n peut,

par l 'op6ration d 'un 616ment convenable de Gq, se ramener au cas off ~----(i, i ) ; alors

b = ( i ~ , i ) ; soit ~ ' " l 'ardte de seconde esp~ce ~ • ~ , - 1 . ~ , , est homotope au compos6 de ~ ' - ~ * ~ ' " et de "Y . . . . a*E '" ; le premier de ces lacets relatifs n'est autre que "rq-~,0, et le second est du type considdr6 au a) ci-dessus.

312

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~OR~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE x33

3.4. Un c o m p l ~ m e n t au l e m m e f o n d a m e n t a l .

Toute homotopie entre chemins compos~s d'ar~tes de [~3q] est compos~e d 'un nombre fini d'op6rations appartenant ~ l 'un des types suivants :

a) insertion d 'un lacet compos6 d'une ar~te et de son opposde;

b) suppression d 'un lacet compos6 d'une ar~te et de son opposde; c) insertion d 'un lacet d6fini par le bord d'une face.

Toute op6ration du type c) peut 6tre ddcomposde en un nombre fini d'opdrations

du type a) et en une op6ration appartenant ~ l 'un des deux types suivants :

c'1) remplacement du chemin d6fini par deux ar~tes orient6es adjacentes d 'un

quadrilat6re par le chemin de m6me origine et extrdmit6 d6fini par les deux autres

ar6tes ;

c~) remplacement du chemin d6fini par trois ar~tes orient6es deux ~ deux adjacentes d 'un hexagone par le chemin de m6me origine et extr6mit6 d6fini par les trois

autres ar6tes.

I1 r6sulte done du lemme fondamental que tout lacet relatif de [~3q] modulo (~ peut ~tre d~formd en un compos~ des lacets relatifs Y~,x;g, etc., par une suite finie

d'opdrations des types a), b), c'1) et c~). Ce r6sultat peut 6tre prdcisd comme suit :

CompUment au lemme fondamental. - - Tout lacet relatif de [~3~] modulo ~q peut gtre d~form~ en un composr des lacets relatifs y~, z; g, 3~; g et ~.; g et de leurs opposls par une suite finie d'optrations appartenant ~ l'un des types suivants : a), c~), c~) et :

b2) suppression d'un lacet composg d'une ante de seconde espkce et de son opposge.

Dgmonstration. - - Soit ~ un lacet relatif de [~q] modulo ~q qui admette une

ddcomposition de la forme ~ = ~l* ~* ~- ~* ~ , off ~ est une ar~te de premiSre esp~ce.

On peut transformer ~ par une suite d'op~rations du type a) en le chemin

(~ * a* ~- ~ * ~i- ~) * ( ~ * ~2). Le chemin ~ * ~ est celui qu'on obtient ~ partir de ~ en

supprimant le lacet a* ~-~; on pourra done r6aliser toute telle operation ~ l'aide des opfirations permises, pourvu que la proprifitfi de l'finoncfi soit vraie dans le cas particulier des lacets du type ~x* ~ * a - t * ~{t. Toutes les ddformations utilis~es au cours de la

dfimonstration du lemme 4 sont du type a) ou du type c'~); on peut donc se borner au cas off ~ est de seconde esp~cc. Par des operations du type c~) et b~), on se ramSne au cas de "~*~-a, off ~ est une ar~te de premiSre esp$ce d'origine dans r162 c'est-?~-dire

du type [i, t{s~]• En procfidant comme dans la d~monstration du lemme 5, on montre

qu'il est ~quivalent de dfimontrer le rfisultat cherchd pour la valeur k oa pour la valeur k + i. On peut donc se ramener au cas off ~---- i ; d a n s ce cas ~* ~- t = ~* ~- a.

313

CHAPITRE VII

t~TUDE GLOBALE DE L'ESPACE ~-

II. S T R U C T U R E DU NERF DE L'ESPACE

Le w i est de caract~re g~n~ral : on d6finit le nerf d 'une stratification et on donne quelques propri6t6s simples de cette notion. Au w 2, ces propri6t~s sont appliqu~es au cas particulier des nerfs ~ , q et ~i des espaces ~,~-~, q et o~-i d6finis au chapitre V, ainsi qu'~ celui du nerf ~M de l'espace ~-~ obtenu ~ partir de ~'i, q en fixant une varidt6 interm~diaire. Au w 3, on d~finit une fl~che : ~M--+(~qX~ (off ~ est le complexe ddfini au chapitre VI), et on montre en utilisant essentiellement le lemme des croisements indices ~gaux que, sous certaines conditions, c'est un rev6tement. Au w 4, on d6montre sous les hypoth6ses n>~6, r~x(V)=o, le th6or6me de connexitd de l'espace des fonctions sans point critique (th6or6me 3); la d6monstration utilise la plupart des r6sultats semi- locaux des chapitres II, I I I , IV, la connexit6 de ~'~ (chap. V) et le lemme alg6brique fondamental (chap. VI). Au w 5, on en d6duit (~ l'aide d 'un lemme sur la ~< presque isotopie>>) que la fl~che ~ r 1 6 2 est un isomorphisme, ce qui donne ~galement la structure de q)i,g et celle de q)i (thdor6me 4; l'hypoth6se de dimension est ici n>~ 7).

w x. NERF D'UNE STRATIFICATION

I . I . D6f ini t ion et propri6t6s du nerf .

Soit E un espace stratifid (cf. I, I . I ) ; pour tout i~>o, on note l~i l'ensemble (classiquement not6 %(Ei)) des eomposantes connexes par arcs de E ~. On note

g0uEiu.., uL, u . . . . g .

Soient A e t B deux 616ments de I~; la relation i~.3 B est une relation de pr~ordre sur I~ (en general, elle n'est pas antisymetrique), on la note A>-B.

D'une fa~on g6n~rale, soit 1~ un ensemble muni d'une relation de pr6ordre >-, on appelle complexe simplicial prgordonnd (ordonnd si >- est une relation d'ordre) dtfini par la relation >-, l'ensemble 1~ muni simultan6ment de la structure de pr~ordre >- et de la structure simplieiale qu'elle ddfinit naturellement (un q-simplexe est une partie

de I~ form6e de q 616ments qu'on peut ranger en une suite A 1 , . . . , A~ telle que >-%).

314

STRATIFICATION NATUREI,I ,E ET TH~2OR~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE ~35

Dgfinition 1. - - On appelle nerf de l'espace stratifiE E et on note 91(E) !e complexe

simplicial prEordonnE dEfini par la relation ~- sur l'ensemble I~.

Proprigt/s du nerf. - - i. Soit E un espace stratifiE dont toutes les strates sont

loealement connexes par ares; soient A et B deux ElEments distincts de 1~; si A~I~;

et Bel~k, la relation A~-B entraine j < k . I1 en rEsulte que la relation ~- est une relation d'ordre. Done d'apr~s la remarque 2 de I, I. 2 : Si E est un espace stratifi/localement trivial et localement connexe par arcs, la relation >- est une relation d'ordre.

2. Soit E' un espace stratifiE localement trivial; soient A et B deux ElEments de 1~'; s'il existe un point x de B qui soit adherent ~ A, alors A~-B. De ceci rEsulte que si E

est un espace stratifiE arbitraire, e t f : E ~ E ' un morphisme, alors l'application J:: I~-~F,' dEfinie de fa~on naturelle par f est un morphisme : ~R(E)--*~I(E'). En partieulier : Le nerf d/finit un foncteur covariant de la catggorie des espaces stratifigs localement triviaux dans

celle des complexes simpliciaux prgordonn/s.

3. Soient E et E' deux espaces stratifi/s ; ~II(E • E') est naturellement isomorphe au complexe

d/fini sur E x E ' par la relation de prgordre produit de celles dgfinissant respectivement ~R(E) et 91(E').

(En effet les deux relations A x A ' ~ B x B ' et (A~B et A '~B' ) se correspondent

par l'isomorphisme naturel E x E' ~ 1~ xl~'.)

4- Soit E un espace stratifiE localement trivial; toute famille (~j) de cartes

transverses de E dEfinit une structure simpliciale sur 1~, celle dont les simplexes sont

les parties de I~ qui sont images d 'un simplexe pour l 'une au moins des applications

~j :~(Xj) --~ 1~; c'est la structure simpliciale la moins fine qui rende simpliciales toutes

les applications t~j (on a nots X~ la source de ~). Soit E un espace stratifig localement trivial et localement connexe par arcs. Soit (~j) une

famille de cartes transverses de E; si pour tout A e E il existe un indice j tel que l'origine de d/~

soit dans A, alors la structure simpliciale d/finie sur E par la famiUe (+j) est celle de 91(E).

(En effet, route application +jest un morphisme d'aprSs la propriEtE 2 ci-dessus; il reste done h montrer que pour tout simplexe ~ de Tt(E), il existe un indiee j tel que

soit l 'image par s d 'un simplexe de 9I(X~). Soient Ax, . . . , Aq les sommets de ~ rang6s dans l'ordre dEeroissant (i.e. Aq >-Aq_ 1 > - . . . N A1). I1 existe un indieej tel que l'origine x~ de +j soit dans Aa; soit ~?~: 2g~xY->E une carte locale eorrespondant ~ +i; soit U l'image de q0;. D'aprSs la remarque 2 de I, I .2, A~, . . . , Aq sont localement eonnexes par arcs; done A a ~ U , . . . , Aq ~ U le sont aussi; il existe done une composante connexe par arcs bien dEterminEe de A ~ n U ~ laquelle x~ soit adherent, notons-la A'~; soient de m~me A~, . . . , A'q; pour la stratification induite par E sur U, A'~, A~, . . . , A'q sont

des Elements de l~I, et l 'on a A'qN-A'q_~N. . . ~-A'~, de sorte que ~r est dans l'image du morphisme ~R(U) -+~R(E). Or d'apr~s la remarque ~ de I, ~. 2, on peut ehoisir Y connexe

315

i36 J E A N C E R F

par arcs; dans ce cas, (b~ induit (d'apr6s la propriEtE 3 ci-dessus) un isomorphisme ~(Xj)-+~R(U); ceci ach6ve la demonstration.)

5. Si E est loealement connexe par arcs et muni d 'une stratification conique (cf. I, 1.3, definition 4), le neff d 'un mod6le conique (ouvert) transverse en un point x est un invariant de la cocellule de x; d 'une fa~on precise :

Soit E un espace localement connexe par arcs muni d'une stratification conique. Soient x et x'

deux points situds dans la ragme composante connexe d'une strate de E; soient + et d/' deux cartes

transverses de E respectivement en x et x', dont les modkles respectifs X et X ' sont des c6nes ouverts.

a) II existe un isomorphisme X : ~ ( X ) ~ R ( X ' ) tel que + = + ' o Z. (• dEsigne le morphisme : gt(X)-~R(E) dEfini par +.)

b) Si X = X ' , s i x = x', et si + et +' sont deux sections d'une mgme projection locale sur

un modEe transverse, alors ~ = ~'.

Dgmonstration. - - a) On peut se borner au cas off x = x ' . Soit, pour Xe]o, I], +x la carte transverse composEe de d/et de l'homothEtie de rapport X de X; on a visiblement

~b x = ~b. D'autre part, E Etant localement connexe par arcs, on peut choisir pour tout X une carte locale q~x associEe ~ d/x, de faw que les images U x des q~x forment un systEme fondamental de voisinages connexes de x. On ddfinit de m~me une famille de cartes q~[, d'images U[ . I1 est clair que si UxcUx, , le morphisme naturel Tt(Ux) -+ 9l(Ux,) est un isomorphisme, et que les U~ ont la mEme propriEtE. On en dEduit (k l'aide d'une suite d'ensembles embottEs appartenant alternativement ~ l 'une et l 'autre famille) que si UxcU~,,, le morphisme naturel ~(Ux)~gt(U~, , ) est un isomorphisme; on prend pour X le compose des isomorphismes :

~t(X) -+ ~t(Ux) ~ ~(Ui,) --" ~t(X').

b) Dans ce cas particulier, le Z obtenu au a) est associd k l'homothdtie de rapport X/X' de X; c'est done l'identitE.

x .2. Le n e f f de la s t r a t i f i c a t i o n n a t u r e l l e d 'u n e vari6t~ c o m b i n a t o i r e m e n t triangul~e.

Soit V une variEtE combinatoirement triangulEe de dimension n; on a dEfini en I, [. I la stratification naturelle de V; c'est une stratifcation combinatoire dont le nerf ill(V) a l e s propriEtEs particuli~res suivantes :

I. La rgalisation gdonfftrique deTt(V) est naturelleraent isomorphe ~ ~(V) , premikre subdivision

barycentrique de V . (L'application qui ~ tout ElEment de V associe son barycentre dEfinit en effet un

isomorphisme de ~(V) sur le complexe simplicial abstrait sous-jacent ~ M(V).)

2. Soit B~r~; soit b le barycentre de B; l'ensemble des ElEments A de V tels que A>-B s'appelle dtoile descendante de B dans ~R(V); le sous-complexe correspondant

316

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E E T TH]~ORI~ME DE LA P S E U D O - I S O T O P I E ~37

de ~ ( V ) s'appelle ~toile descendante de b dans ~ ( V ) ; il est isomorphe au c6ne d'une (i-- i)-sph~re combinatoirement triangulEe.

On note [M(V)] i (pour o<.<i<~n) la reunion de toutes les Etoiles descendantes de dimension ~<i. Les Etoiles descendantes de dimension i + I ont leurs intErieurs deux

deux disjoints; le bord de chacune d'entre elles est un sous-complexe de [M(V)] i isomorphe k une i-sphere combinatoirement triangulEe. Ceci dEfinit sur ~ (V) une structure naturelle de CW-complexe; ce complexe est classiquement appeld complexe dual de la triangulation de V; on le notera [~g(V)]; il a d'apr~s ce qui precede la propridtE

suivante :

L'application qui g~ tout glgment B de "V associe l'gtoile descendante dans M(V) du barycentre

de B est une b~]ection de V sur l'ensemble des cellules de [~(V)] ; si Be'Q~, la cellule correspondante est de dimension i.

3. ConsidErons l 'application ~ : V ~ ( e n s e m b l e des parties de V0), qui ~ tout

ElEment B de "Q associe l'intersection de V0 avec l'Etoile descendante de B; soit

l 'image de ~r i par ~ (on particulier, ~o s'identifie ~ "Q0); on pose ~ 0u Y~ u . . . u ~ ---- f ' .

L'application v d2finit un isomorphisrae de 9~(V) sur le complexe simplicial ordonn~ dgfini

sur f " par la relation d'inclusion.

On notera que ~ s'identifie k l'ensemble des intersections du o-squelette [~(V)] 0 avec les i-cellules de [.~(V)], donc chaque cellule de [~(V)] est bien dEterrainge par l'ensemble des o-cellules qu'elle contient; afor t ior i , chaque cellule est bien dgterminge par son bord.

x. 3. N e r f d 'un e s p a c e s trat i f i6 m u n i d 'u n e f i b r a t i o n c o m p a t i b l e avec la s t ra t i f i ca t ion .

D~finition 2. - - Soit E un espace topologique stratifi6; soit B u n espace topologique; soit p : E ~ B une fibration localement triviale; pour tout x eB, l'image rEciproque p-l(x) , munie de la stratification induite par E, est notEe F z. On dit que p est compatible avec la stratification de E si pour tout xeB il existe un voisinage ouw;rt U de x dans B e t une

trivialisation -:. : U • F z -+ p - 1 (U)

qui soit un isomorphisme (pour la stratification produit sur U x F x et la stratification

induite par E sur p - l (U) ) . On peut choisir alors ~: de fa~on que "~(x,y)=y pour tout y e F z.

PropoSition 1. - - Soit E un espace topologique stratifig; soit B un espace topologique; soit p : E-+B une fibration localement triviale compatible avec la stratification de E; soit xeB.

Le groupe =I(B; x) op~re gl droite de fafon naturelle dansfft(Fz), et on a un morphisme injeetif

naturel :

317 18

i38 J E A N C E R F

Le morphisme (x) est surjectif si B est connexe; c'est un isomorphisme si les conditions suivantes

sont en plus satisfaites :

(i) B est localement connexe par arcs;

(ii) la stratification de F x est localement triviale;

(iii) tout point de F, n'est adMrent qu'~ un hombre f i n i de coceUules de F x.

D~monstration. - - Soit 7 un chemin dans B, d'extrEmitEs x et x'. Si y est contenu dans un ouvert U au-dessus duquel E est trivial, le choix d'une trivialisation (compatible avec la stratification) de E au-dessus de U dEfinit un isomorphisme F ~ F x , . Cet isomorphisme ne depend en fair ni du choix de U, ni de celui de la trivialisation au-dessus de U, car il peut ~tre dEfini ~ l'aide des relSvements de -( dans les strates de E. On note cet isomorphisme hv; il a visiblement les deux propriEtEs suivantes :

a) Si y = y l * y 2 est une decomposition arbitraire de y, alors

h v = hv, o hv, ;

b) Si y e t y' ont m~mes extrdmitEs et si leurs images sont contenues dans un ouvert U de B au-dessus duquel E est trivial, alors h v=hv, .

Soit maintenant T u n ehemin arbitraire dans B; route subdivision de [o, i] en un nombre fini q d'intervalles eonsEcutifs Ix, . . . , Iq dEfinit une ddcomposition "(=YI*. . �9 * Yq de "t'. Si la subdivision est assez fine, hva, . . . , hvq existent ; le compose hvq o . . . o hv~ est (d'apr~s a) ei-dessus) invariant par raffinement de la subdivision, il est done inddpendant du choix de la subdivision, pourvu qu'elle soit assez fine; on note ee compose h r. I1 est clair que la propriEtd a) est encore satisfaite; et, d'aprSs la propriEtE b), h v ne depend que de la elasse d'homotopie (avec extrEmitEs fixes) de y. Ceei dEfinit les operations de ~x(B; x) dans Tt(F~).

On a d 'autre part (sans hypoth+se suppMmentaire sur la stratification de E) un morphisme naturel Tt(F,) ~Tt (E) , lequel dEfinit dans Tt(F,) la m~me relation d'Equi- valence que les operations de nl(B; x). D'ofl le morphisme injeetif (I), qui est visiblement surjectif lorsque B est connexe. C'est un isomorphisme si, en plus, la structure de prEordre sur Tt(E) est l 'image de celle de Tt(Fx)/nl(B; x). Or soit (A, A') un couple d'Eldments de Tt(E) tels que A 3 A ' ; soit y E A ' n F , ; la condition (i) entralne que y est adherent $ A n F,; ceei, compte tenu de la condition (iii), entralne qu'il existe au moins une composante connexe par arcs de A n Fx, notde Au, ~ laquelley soit adherent; soit A~ la composante eonnexe par arcs de y dans A ' n F , ; la condition (ii) entralne A~3A~, et ceci achEve la demonstration.

w 2. LES ESPACES STRATIFIs ~.q, ~ , ,~M +, ~ - , ~ ; RELATIONS ENTRE LES NERFS DE CES ESPACES

Dans toute la suite, W e s t le eylindre V • dans lequel on identifie V x { o } ~ V;

on dEsigne par n la dimension de W. ._~- est l'espace des fonctions de classe C OO : V x ( I , o, I ) -+ (I, o, I), sans point

318

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~OR]~ME DE I,A PSEUDO-ISOTOPIE ~39

critique sur le bord. Les espaces ~'i,q et ~'i (o~<i~<n--t, q>~o) sont les sous-espaces de 5 z" d6fmis en V, 2. I. Ces espaces et les autres sous-espaces de ~- qu'on introduira sont munis de la stratification induite par la stratification naturelle de ~- (of. I, 3).

2. x. D ~ c o m p o s l t l o n d e l ' e s p a c e f , q et d e s o n n e f f .

Notation. - - Pour tout f ~ 5 z', et pour toute vari~t~ de niveau M de f , on note W/i L (resp. Wff) l 'adhdrence de la partie de W comprise entre V • {i } (resp. V • {o}) et M.

D~finition 1. - - Soit lEon'i, q; soit M une vari~t~ de niveau de f . On dit que M est une varigtg interm~diaire pour f si tous les points critiques d'indice i + i de f sont l'intdrieur de W~, et tous ceux d'indice i k l'int~rieur de W~.

Lemme i . - - Soit ~ i ,q le sous-espace de ~',,q formd des fonctions f pour lesquelles f t ( 2 ) I

est une varidtd intermgdiaire. Il existe un isomorphisme ~ , C--~ o~ i, q homotope ~ l' injection naturelle (tout ceci dans la categoric des espaces stratifies).

Dgmonstration. - - Soit A la partie de I • formic des couples (y ,y ' ) tels que o < y ' < y < I . Le groupe Diff I op~re dans A de fa~on que pour tout ( y , y ' ) e A l'application g ~ g . ( y , y ' ) admette une section au-dessus de A. Le groupe Dif f I op~re aussi dans ~z-q par la formule habituelle : ( g , f ) ~ g o f ; les operations de Dif f I dans ~'i,q et dans A sont compatibles avec l'application x:~-~,~-+A, qui ~ tout f associe le couple (y ,y ' ) oi ly est la plus petite valeur critique d'indice i § I de f , e ty ' la plus grande valeur critique d'indice i. I1 en rdsulte (en raisonnant comme dans la d~monstration du lemme i de I, 3.2) que x est une fibration qui admet une trivialisation compatible

avec la stratification de o~'~.q. Or ~i ,q n'est autre que ~ - t ( , ) , off * est la partie de A

I < y < I; A et A sont contractiles et homdomorphes. ddfinie par o < y ' < ~

D~finition 1'. - - On dit qu'une sous-vari~td M de W e s t (i, q)-intermddiaire (ou simplement intermgdiaire) s'il existe feo~i, q telle que M soit intermddiaire pou r f .

On ddsigne par ~ l'espace des sous-varidtds intermddiaires de W, muni de la topologie habituelle des espaces de sous-varidtds (c'est-~-dire la topologie quotient de la topologie C ~~ des espaces de plongements).

Lemme 2. - - I) L'application .~.q---~J[ d~finie en associant ~ tout f~ '~i ,q la varidtl

de niveau f - l ( ~ ) est une fibration localement triviale compatible avec la stratification de ~@ ~,q.

2) Soit ME. t [ et soit o~" M la fibre de ~ , q situge au-dessus de M. Soit ~ + (resp. o~-~i ) l'espace des fonctions de Morse :

319

4 o J E A N C E R F

ayant en tout q points critiques, tous d' indice i + ~ (resp. i). Soit f e ~ et soient respectivement ~ , t , " ~ t et ~'~,t les sous-espaces de ~'~, ~ + et ~ formgs des fonctions qui sont tangentes d'ordre infini e l f le long de M. Dan~ le diagramme commutatif :

olt toutes les fl~ches sont les morphismes naturels, la fl~che verticale de gauche est un isomorphisme ; ~-~ (resp. ~-+, resp. o~'~-) est isomorphe au produit de ~ , t (resp. ~-~t, resp. ~ , t ) et d'un espace stratifig trivial.

Dgmonstration. - - i) Le groupe Dif fW opSre & gauche dans .@~,q et dans ~ de

fa~on compatible avec la stratification de .~.q et avec l'application ~ , q-+.//l. D'autre part il rdsulte de [3], Appendice, thEor~me 3, P. II4, que pour tout M e Jr' l'application g ~ g . M de Di f fW dans ~ admet des sections locales. On en ddduit le rEsultat en raisonnant comme dans la demonstration du lemme I de I, 3.2-

2) L'isomorphisme o ~ ' ~ , l ~ t x ~ , ~ t est clair. On dEfinit une fibration de 5~-~ en associant ~ tout f'e~z-M son jet d 'ordre infini le long de M; la base est un espace topologique contractile; on montre que la fibration est triviale et compatible avec la stratification par le m~me procddE que ci-dessus, le groupe & considErer Etant ici le sous-groupe de Di f fW formd des diff~omorphismes qui laissent M stable; il est clair que . ~ , tes t la fibre de o~'~ situ5e au-dessus du jet de f . Mfime demonstration pour la decomposition de ~ '+ et celle de .~'~.

GoroUaire. - - L a stratification naturelle des espaces ~ t , ~'~it, ~ i~ , ~M, "~'~, ~ , q est combinatoire.

Dhnonstration. - - Dans le cas de ~-~,q, ,~+, o~'~, cela rEsulte du corollaire du lemme I de I, 3.~; dans le cas de o~-~t et 5z-~t , cela rEsulte de la remarque finale de I, 3.2. On passe de 1~ ~ ~-~,t, puis & ~',~, par le lemme ci-dessus.

Application aux nerfs.

Notations. - - Soit Me~r on conserve les notations ~-~, ~-+, ~z'M-, etc., introduites dans l'Enoncd du lemme 2; on note (I)i.q, (DM, (D +, (I)~ les nerfs respectifs des espaces

stratifies ~'~,q, 5z'~, o~'~-, ~,~-~. On notc ~z le sous-groupe de Diff W formE des diffEomorphismes qui sont dans

la composantc connexe de l'identitE ct qui laissent stable M; on pose ~0(~M)=II.

Proposition 2. - - I) /2 morphisme e),~-->O + x ~ dgfini par le morphisme naturel o ~ ~- .~+ X ~ '~ est un isomorphisme.

320

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~OR~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE ~4 ~

2) Le groupe II op~re ~ gauche de fafon naturelle dans ~,~; de m~me le groupe ~0(DiffW +) (resp. n0(DiffW~)) opkre ~ gauche dans ~+ (resp. (1)~); ces opgrations sont compatibles avec les morphismes naturels ~,~ ~ + • ~ et II -+7:0(Diff W +) • n0(Diff W~).

3) Soit J4o la composante connexe de M dans..r soit ~'~,q;0 la partie de ~ ,q fo rmge des s dont les varigtts intermgdiaires appartiennent g~-~r (I)M[II est naturellement isomorphe

au nerf (1)~, q; o de ~'~, q; o.

Dgmonstration. - - i) C'cst une cons6quence imm6diate du 2) du lemme 2 et du fait quc le foncteur ncrf est compatible avec lcs produits (cf. VI I , i . i, propri6t6 3).

~) Les groupes &M, DiffW+, Di f fW~ op~rent ~ gauche (de la fa~on habituelle) respectivement dans ~'~, o ~'+, o~'~- de fa~on compatible avec les morphismes naturels o~'~->Sz-+• et ~ - - - ~ D i f f W + • D'ofl, par passage au quotient, les operations et la propridt~ de compatibilit6 annonc~es.

3) L'espace ~ est localement connexe par arcs, et, d'apr~s le corollaire du lemme ~, la stratification de ~'~ est combinatoire; il rdsulte donc de la proposition I de VII , ~.3 que n~(.~; M) op~re k droite dans (1)~ et qu 'on a un isomorphisme naturel :

Soit ff~ la composante connexe de e dans DiffW; soit f e~-~ ; l 'application g ~ g ( M ) est une fibration localement triviale de fr sur ..~t'; la fibre situ6e au-dessus de M est fCM.

Cette fibration peut se factoriser par l 'application g ~ f o g -~ de if, dans ~i,q;O, et la

fibration de ~i,q;0 sur ~ (on a posg ~-i,q;0o~.~i,q=~i,q;0). II en rgsulte que les operations de ~x(.#t'; M) dans ~ sont composdes de l 'ant imorphisme ~x(.~r M)-+I I d~fini par la fibration ~.-->~r et des opdrations ~i gauche de II dans ~II~. On a donc le d iagramme commuta t i f

% I ~ , ( ~ ; M) ~> ~,.~;0

d)~/II > (I)i, q; 0

La tl~che verticale de gauche est un isomorphisme, car la suite exacte d 'homotopie

de la fibration ~,~.//r montre que l 'ant imorphisme 7 : I ( J / ( ; M ) ~ I I est surjectif. La fl~che vcrticale de droite est un isomorphismc d'apr&s le lemme i. Ceci ach~ve la d6monstration.

Corollaire. - - Pour que le morphisme naturel (I)~/I!-+~, q soit bo'ecti f , il faut et il sufft que l'espace .~4 des varigt~s intermgdiaires soit connexe.

321

~4 ~ J E A N C E R F

De'monstration. - - D'apr~s le 3) de la proposition ~, la bijectivitE du morphisme naturel q)~/II -+~i. q 6quivaut ~t q)i, ~; 0 = q)i, e ; ceci 6quivaut ~t o~-~, q: o =o~-~, ~, c'est-~-dire ~t la connexit6 de ~r

La proposition suivante donne une condition suffisante pour que ,r connexe, et par consequent pour que ~ , , / I I ~ i , q. Elle est utilisEe pour la demonstration du th6or~me 4 du w 4 (structure de ~,q) mais non pour celle du thEor~me 3 (connexit6 de l'espace des fonctions sans point critique).

Proposition 3. - - Si rq(V)=-o, n~>6 et 2 < ~ i ~ n - - 3 , l'espace ,r des variltLs

(i, q)-intermgdiaires est connexe pour tout q>~o. [On rappelle que n = d i m W.]

Dhnonstration. - - Soit fEo~'~, q; toutes les vari6tEs interm6diaires de f s o n t isotopes, et il rEsulte du lemme des chemins EIdmentaires de croisement (cf. II, 3. i, proposition 2) que l'616ment de n0(M( ) ainsi dEterminE ne depend que de la classe d'homotopie de f dans ~-i, q. Ceci dEfinit une application =0(.,~'i, q)~r~0(.//) qui est visiblement surjective; il suftit done de montrer que deux ElEments quelconques de rc0(~-~.q) ont m~me image dans r~0(Mt') ; on proc~de par recurrence sur q :

a) q = o . Les variEtfs << intermEdiaires >> d'une fonction ayant zero point critique sont les variEtEs de niveau autres que V • {o} et V • {t}. Soient f et f ' deux telles fonctions; on peut d6former f ' par isotopie pour qu'elle coincide avec f au voisinage de V • {o} (cf. VII , 5.2, demonstration de la proposition 8); done f e t f ' ont m~me image dans r%(~r

b) Soit q>~ i ; supposons la propriftE dfmontrfe pour l'entier q-- i. Soient a et a' deux ElEments de r~0(~'~,q). D'apr~s le lemme de la base (cf. [Io], thEor~me (7.6), p. 9 2) et le << cancellation lemma >> (of. [xo], thdor~me (6.4) , p. 69), les conditions de l'Enonc6 permettent de choisir dans a (resp. a') un reprEsentantf (resp.f ' ) qui appartienne ~ o~'9 1, q

et qui soit origine d 'un chemin de mort a, d'extrEmit6 notEe ./F (resp. ~', d'extrEmit6

notEe .~). Soit M (resp. M') une variEt6 intermEdiaire de j7 (resp. f ) . Par l'hypoth~se

de recurrence, M e t M' sont isotopes; on peut done supposer, en modifiant au besoin./~'

par une isotopic, que M ' = M, et quea~ etgYeoincident sur un voisinage ouvert U de M.

Soit ~ un chemin 6lEmentaire de naissanee d'origine J~ ~ support contenu dans U;

dEfmit de fa~on naturelle un chemin ~' d'origine ~ ; on note f~ (resp. ft') l'extrEmit6 de ~ (resp. ~'). Les fonctionsf~ etf~' ont une variEt6 intermEdiaire commune; or d'apr~s le lemme d'unicit6 des naissances, f~ est isotope ~tf, etf~' est isotope h f ' ; d o n c f e t f ' ont mfime image dans ~0(.gt').

2 . 2 L e n e f f d e r e s p a c e . ~ c o m m e << H m l t e ~ d e s n e r f s d e s e s p a c e s ~ , q.

On rappelle que l'espace o~-~ a dtE dffini en V, 2. z comme reunion des ~176 q et des ~-~,~;=, of~ ~-~,q;~ est la sous-varidtd de codimension x de ~ qui sdpare ~z-i, q

322

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E E T T H I ~ O R I ~ M E D E LA P S E U D O - I S O T O P I E ~43

de o~-i,q~ 1. La codimension d 'un ~lfiment f de ~'~ est d~finie par la formule (5)

de I, 3. I : codimension f = '6 ( f ) A- ~2(f) ;

iei ~ l ( f ) est dgal ~t i ou o suivant q u e f a ou non un point de naissance, et v2(f) cst dgal au nornbre de points critiques de Morse de f , diminud du nombre correspondant de valeurs critiques. La stratification de "~-i est ddfinie de la mani~re habituelle : f appar t ient ~t la

strate ~'{ si et seulement si v t ( f ) + v z ( f ) = j .

D~'nition 2. - - On dfisigne par Y le complexe simpliciaI ordonnfi d~fini sur l 'ensemble { - - i , o , I} par la relation { - - x > - o , i>-o} .

Soit Z : r 1 6 2 un morphisme de complexes simpliciaux o rdonn&; on appelle mapping cylinder de Z le quot ient de la r~union disjointe de �9 • Y e t de ~ ' par la relation

d '6quivalence : (x, I ) ' ~ a Z ( X ) pour tout x e ~ .

Soit x.0 •

( I ) (1)0 ~ (I)1 --) '" "" - '~ (I)q --+ (~)q + 1 --+" " "

une suite de morphismes de complexes simpliciaux ordonn6s; on note ~Fq le mapping cylinder de 7.a. O n appelle limite t~lescopique de la suite (I) le quot ient de la rdunion disjointe

des q~q par la relation d '6quivalence suivante :

x . -~ (x , - -1 ) pour tout xEOPq+lc~F ~ et tout q>~o.

Proposition 4. - - Soit, pour tout q>~ o, e~;, q le nerf de ~ , q et soit ~r le neff de ~ i . Si ~l(V)-----o, si n>~6, et si I <<.i~n--I, il existe une suite d'injections naturelles

Xq (~) O~,0 ~ 0~,~ ~ . . . ~ 0~,qr Oi, q+i ~ . . .

et �9 i est naturellement isomorphe ~ la limite t~lescopique de la suite (2).

Dgmonstration. - - Pour tout q~>o, on note o~-i,q+t; ~ la partie de ~-i,q+~ fo rm& des fonctions qui sont extr~mit~ d 'un chemin de naissance issu de o~'i, q. Soit A une coceUule de la stratification d~finie sur o~-i, ~ ~'i, ~; ~u ~'.,,~+~;o par la fonction ~t valeurs enti~res v2. II r6sulte du lemme des chemins 61dmentaires de croisement que A rencontre o~'i, q; ~ transversalement, de sorte que A n ,~-i, q; ~ est de codimension x dans A. II en rdsulte que le lemme des chemins dldmentaires de naissance s 'applique dans A aux chemins de t ravers& de A ~ ~-i, ~; ~ dont l 'origine est dans ~-i, ~- Le lemme d'unicit6 des naissances s 'applique done dans toute v2-strate A, ce qui permet de d6finir un

morphisme

(3) r q• de la stratification naturelle de ( ~,q~ , ,~+~,

prolongeant l ' isomorphisme naturel r a • {- - x} ~ ~ , ~. De m~me, sous les conditions

de l'dnonc~, le lemme d'unici td des morts s 'applique dans toute v~-strate A, ce qui permet de ddfinir un morphisme r&ip roque de (3), de sorte que (3) est un isomorphisme et

ddfinit, par restriction ~ O~,q• un isomorphisme 2q de r sur le nerf O~,q~;o

323

~ JEAN CERF

de o~'i,~+ ~;o. Comme o~-~.q+~;~ est rfiunion de coccllules de ~-i,~, le morphisme naturel ~xq de ~.~+~;o dans ~i,o+a est injectif, et le neff de la stratification naturelle de ~'i, qu ~-i. e;, u o~'i. q+ a est naturellement isomorphe au mapping cylinder de l'injection ~ = ~ o ~ de ~i.~ dans q)i.~+~. Ceci d~finit la suite (2), et montre que pour tout q, le nerf de ~'i. 0 u o~-~, 0;, u . . . u ~-i. e est isomorphe ~ la limite tfilescopique de la suite (~) limit~e ~ ~ .~ ; d'ofi le rfisultat.

�9 3- C o m p l 6 m e n t s s u r Ix <~ s t r u c t u r e l o c a l e ~ d u n e r f ~ d e P ' ~ ,

Conformfiment aux notations de VI, i ."), on appelle A le (q--x)-simplexe type de Re; on appelle ~ le centre de A e t ,~(A) la premiere subdivision barycentrique de A. La stratification sym~trique de R q est canoniquement isomorphe au produit de R (trivialement stratifi~) et de la stratification induite sur A--0A par la stratification naturelle de ~(A). 11 rfisulte done de VII, ~ .2, proprifit6 I, que le neff de la stratification symgtrique de R~ est canoniquement isomorphe au complexe simplicial ordonn~ K, sous-jacent g~ l'gtoile de f~ darts la seconde subdivision barycentrique de A.

On va appliquer la description de K faite en VI, x. 2, ~ l'fitude ~* locale ~, du nerf de o~'+; le rdsultat obtenu sera utilisd au paragraphe suivant (ddmonstration du

lemme ~ de VII, 3-~).

Dgfinition 3. - Soit fe~-~+ ; on dit qu 'un ordre ~ de l'ensemble critique de f e s t

d~croissant si f(c~) >>. f(c~) >>.... ~ f(e~).

Soit ~eq)~ + ; s o i t f u n repr6sentant de a et soit ~x un ordre d~croissant de l'ensemble critique d e f . Soit J la partie de {~, 2, . . . , q--x) d6finie par

j e J ~.f(c~) =f(cj + 1).

L'ensemble J ne d~pend ni du choix de f , ni de celui de ~, ce qui justifie la : D~finition 3'. - L'ensemble J est appelg type de a.

Lemme 3. - - Pour tout J c { I, ~ , . . . , q - I } , on note Fj la face correspondante du simplexe fondamental de ~(A) (cf. VI, 1.2), ba le barycentre de Fj, et F,j l'~toile descendante de bj clans K.

I) Soit as~-~, de type J ; le choix d'un reprgsentant f de c et d'un ordre dgcroissant ~ de

l'ensemble critique de f dgtermine un morphisme +t, ~ de F.j sur l'gtoile descendante de ~ clans ~+.

~) Toute famille (+t.,) obtenue par le proddg pr&ldent, en faisant dgcrire a ~ tout l'ensemble q~+, d~finit la structure simpliciale de ~+.

3) L' glgment ~ et son reprgsentant f gtant donMs, l' ordre d&roissant ~ est d~fini gz composition

pros avec un glOnent arbitraire du groupe S s (sous-groupe de Sq engendr~ par les transpositions s~, pour j e J ) ; les opgrations de Ss dans R ~ laissent stables F se t F.j, et on a :

(4) ~t, ~o, = t~t, ~os pour tout s~S~.

324

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L I . E ET THI~ORI~ME DE LA P S E U D O - I S O T O P I E ~45

Ddmonstration. - - I) Choisissons un c6ne ouvert X j, normal ~. F: dans A, de

sommet bj (de dimension card J). Les points bj et vl~(f) appartiennent ~ la marne cocellule de la stratification symdtrique de R q. Soit -: une carte transverse en ~ ( f ) , de source Xa, d6finie par composition d'une homoth&ie de rapport assez petit de Xa par rapport son centre, et de la translation de R ~ qui transporte b s e n ~ ( f ) . D'apr& le lemme i de I, 3.2, l 'application -~ admet une section p au-dessus d 'un voisinage de ~ ( f ) ; et

d 'apr& le b) de la propri&6 5 de VII , i . I , le morphisme 9l (Xs) -+ q)+ d6fini par 9ov est ind6pendant du choix de p; d'autre part il est visiblement inddpendant du choix de ":; on prend pour t~t, ~, le compos6 de ce morphisme et du morphisme canonique F.j-->~f~(X,I ).

2) C'est une cons6quence imm6diate de la propri&6 4 de VII , I . I . 3) I1 est clair que si ~z est un ordre d6croissant, tous les autres sont les dldments

de vtoSa. II rdsulte de la ddfinition des opdrations de S~ dans R q (cf. VI, ~. 2, formule (I)), qu'on a pour tout s~S a

"rico s ---~ s - to ~ ;

la formule (4) ci-dessus en ddcoule imm~diatement.

w 3. REV~TEMENT DE ~q x ~ PAR OM; INVARIANT ALGI~BRIQUE D'UN I~L~MENT DE q)~,q

3. I. Le morphisme ~+.

Les notations de ce num6ro sont celles de VII , 2. i ci-dessus et du w I du chapitre VI. Soit M une vari6td intermddiaire de W; soit, conformdment aux notations de

VII, 2.~, W~ + l 'adhdrence de la partie de W comprise entre V• et M. On salt que Hi+I(W +, iV[) est isomorphe k Zq; une base de Hi+I(W~, M) (on dira

simplement : une base) est un isomorphisme ? de Z q sur Hi+I(W~, M).

Ddfinition 1. -- Soit f ~ ' + (cf. v i i , 2. i, lemme 2). Une base ~? est dite adaptde

~ f s'il existe un ordre d6croissant q, c2, . . . , cq de l'ensemble critique d e f (cf. v n , 2.3, ddfinition 3) et un syst~me de nappes descendantes orientdes DI, D2, . . . , Dq de f , issues respectivement de cl, c~, . . . , cq tels que (en d6signant par (st, ~, . . . , %) la base canonique de Zq), r162 soit, pour tout j e { I , . . . , q}, l ' image dans H,+t(W,~ +, M) de la classe

fondamentale de Dj.

On notera qu'A toute base r adapt6e A f est associ6 un ordre bien d&ermind de l'ensemble critique de f ; on note cet ordre ~(q~). Si on fait opdrer le groupe symdtrique Sq dans Z q de la mani~re habituelle (cf. VI, 1.2, formule (i)), on a

(I) V,(,pos)=~(~)os pour tout seSq.

Lemme 1. - - Soit f so~+ ; si o 0 est une base adaptge ~ f , alors ~ est aussi adaptge a tout

dldment f de o. ~+ suffisamment voisin de f , et situg dans Ia strate de f (pour la stratification

naturelle de o*-+) .

3,25 19

i46 JEAN CERF

Dgmonstration. - - Si l e s t assez voisin de f , alors d'apr~s la proprifit6 2 de I, 3.2,

il existe (~, ~ ' ) e D i f f W • proche de l'filfiment neutre, tel que Y = ~ ' o f o ~ -1. On

pose ~ ( c j ) = ~ ; il r~sulte du I) du lemme i de I, 3.2 que ae point ( f ( q ) , . . . , f f ( ~ ) )

est dans la m~me strate de la stratification sym~trique de R q que le point ( f (q ) , . . . , f (%)) .

En particulier on a , ~ , ~ . . . > ~ , ~ ,

f ( q ) >>.f(q)>~ ~.f(cq)

autrement dit, l 'ordrc (~, . . . , ~q) de l 'cnscmblc critique de f c s t ddcroissant. D'autrc part, ~(Dj) est une nappc descendante orientde de.Tissue dc ~ ; puisquc ~ est prochc dc l'dldment ncutre, l ' image dans H~.+I(W +, M) de la classe fondamentale de ~(Dj) est Ia mSmc quc cc]Ic dc Dj, c'est-k-dirc q0(,~).

Le lemmc 1 justific la Dtfinition 1'. - - Soit a un dldmcnt de (I) + (neff de ~-~-). On dit qu 'une base q~ cst

adaptde ~ ~ s'il cxistc un r c p r d s e n t a n t f d c ~ auqucl q~ soit adaptde (? cst alors adaptdc tout rcprdsentant dc a).

Lemme 2. - - Soit ae(I)+ ; soit J le type de ~ (cf. VII , 2.3, ddfinition 3'). Soit ~ une base

adaptde ~ ~.

i) L'ensemble de toutes les bases adapt~es ~ ~ est contenu dans l'ensemble q~o(Ta. Sj); ces deux ensembles cofncident si I<~i<~n-- 3. (Pour la ddfinition de T j , cf. VI, I . i . )

2) ~ d~finit un morphisme ?. : F,j -~-q)+, dont l'image est lYtoile descendante de ~; pour

tout seSs , on a

( 2 ) - - o s .

3) Soit ~ F . z ; si ~ est un point du simplexe fondamental, alors ~ est adaptde ~ ~.(~).

Dhnonstration. - - i) Soit f un rcprdscntant dc a; soicnt q, c z , . . . , cq lcs points critiques d e f r a n g d s dans un ordre ddcroissant; soit D1, D~, . . . , Oq un systSme dc nappcs desccndantes oricntdcs issues rcspcctivement dc el, q , . . . , cq, reprdsentant ~. Soit M' une varidt5 de niveau non critique situde imm~diatcment en dcssous dc ci (c'est-~-dire de fa~on qu'il n 'y ait aucun point critique entre M' ct la varidt5 de niveau dc c~); soit W' la pattie dc W + situde entre M c t 5/['; on note H ' l ' image du morphisme :

I~+ t (W' , M) -+ H,+~(W, +, M).

Soit ~ij une nappe descendante arbitraire issue de c~, orientSe de faw cohSrentc avec ] 'orientation de D~ en 5; soient a et ~ les dlSments de H~+i(W +, M) respectivement

, . , , a

reprdsentds par Die t Di ; la classe a-- '~ est dans H'. Il en rdsulte que toute base adapt6e ~ f (et par consequent toute base adaptde ~ a) est de la forme ?og, off g appartient au sous-groupe de GL(q, Z) engendr6 par Sa et Ta ; or ce sous-groupe est identique ~ Ta. S s (ainsi d'ailleurs qu'~ Ss .Ta ; cf. VI, i . i, ~) du lemme ~).

Si la condition i<~i<<.n-- 3 est r6alis~e, on sait d'apr&s le lemme de la base

(cf. [IO], p. 9 ~) que l 'on peut choisir Di de fa~on que a - - ~ soit un dldment arbitraire

326

STRATIFICATION NATURELLE ET THt~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE t47

de H'; on peut donc choisir D1, D~, . - . , D~ de fa~on ~ representer un dldment arbitraire de q~o (Tj. S j).

2) On a vu que, pour tout r ep rdsen tan t fde a, q~ d~finit un ordre d~croissant ~(~)

de l'ensemble critique de f ; le morphisme ~bt. ~/,I d~fini par le i) du lemme 3 de VII, 2.3,

est inddpendant du choix de f (puisqu'il garde la m~me valeur si on remplace f par f suffisamment voisin de f ) . On pose :

On a d'apr~s (i) ci-dessus et d'apr~s le 3) du lemme 3 de VII, 2.3 :

ceci prouve (2). 3) S o i t f un reprdsentant de a. Soient q, q, . . . , cq les points critiques de f dans

l'ordre ddfini par ?. Soit ~eF.a; si ~ appartient au simplexe fondamental, ses coordonnfies

vdrifient ~1 >I ~/> �9 �9 �9 ~q ;

soit J ' la partie de J ddfinie par

J~J ' "~" ~ = ~+1"

Par une petite modification de f au voisinage des points critiques q (pour j e J - J ' ) ,

on peut obtenir une fonction 3~ ayant mfime ensemble critique q u e f , telle que

et que j e J ' ~ f ( c j ) =f(c j+~) .

Une telle fonc t ionfes t un reprdsentant de %(~), et admet q0 comme base adaptde.

Choix d'une base. - - On choisit une fois pour toutes une base % : Z q ~ Hi+ I(W +, M). A toute base q~ on associe la matrice q~o~Oq~.

Soit aeq)+; on dit qu 'un Element g e G L ( q , Z ) est adaptg ~ ~ s'il cst de la

forme q~o%q0, off q~ est une base adapt~e ~ ~.

On utilise la notation Gq pour GL(q, Z) ainsi quc los notations Tq, T j , S j , d~finies

en VI, I . I . Proposition 5. - - ~) Soit ace9 + , de type j ; soit g une matrice adapt& g~ ~; la partie gSj

de Gq/T~ est indgpendante du choix particulier de g. ~) L'application ~+ qui ~ tout a e r associe l'gldment de ~ ainsi dgfini est un

morphisme r + ~ ~ . 3) La rgalisation ge'ome'trique 1r de a une structure naturelle de CW-complexe,

notge [q)+], dont les cellules sont les gtoiles descendantes de [q~[ ; ~+ d~finit un mor-

phisme [q)+] -+ [ ~ ] bo'ectif sur chaque cellule. ( [ ~ ] est la structure naturelle de

CW-complexe de fie (eft VI, ~-3, propridtd 3)). 4) Le morphisme ~+ est surjectif si ~<<.i<~n-- 3.

5) Si ~<-.i<n 4 et si z , ( V ) = o , le morphisme ~ - fai t de [r un revgtement de [ff~].

327

t48 J E A N C E R F

Ddmonstration. - - I) I1 rfsulte du I) du lemme 2 que l 'ensemble des matrices adapt fes "~ a est contenu dans g . T j . S j ; la propri6td annonc6e r6sulte donc du 3) du lemme 2 de VI, I .x .

2) Pour montrer que ~+ est un morphisme, il suffit d'apr~s la propri6t6 4 de VI I , I. I, de montrer que toutes les applications compos6es

[:54

sont des morphismes. Soit ~ l ' isomorphisme de ~q sur K dffini en VI, 1.2; on sait (loc. cit., propri f t6 2) que ~ ( ~ a ) = F . s ; il suffit donc, pour montrer que ~ + o % est un morphisme, de montrer que pour tout a de type J e t toute base q~ adapt6e ~ a, il y a commutat iv i td dans le d iagramme suivant (dans lequel g = % ~o?, et Z~ d6signc

le morphisme d6fini au ddbut de VI, 1.3) :

(3)

F , j - - ~ 1

! j r I x, [~j I

r _ _ _ + r

Or tout sommet de F. a est de la forme s.4, off sES a e t off 4 est un sommet de F. s appartenant au simplexe fondamental . Soit J ' le type de 4; on a

7~ o ~ - l ( s . 4) = gsSa,.

D'aut re part , d 'apr~s le 2) du lemme 2, on a

~.(s. 4) = (~os).(4) ;

done, d'aprSs le 3) du mdme lemme, q~os est adaptfie ~ %(s~). II rdsulte donc du i) du m~me lemme et de la ddfinition de a+ que

t-:--. ~+ o ~.(s. ~) -~ gsSj, ;

ceei prouve la commutat iv i t6 du d iagramme (3). 3) C'est une cons6quence immddiate de la eommutat iv i t6 du d iagramme (3) :

l 'applieation 7~ 6tant injective (ef. VI, i .3, propridtd 2), ehaque % est injeetif, et la restriction de ~+ ~ l'dtoile descendante de u est une bijection sur l'6toile deseendante de ~+ (~).

La ddmonstrat ion dcs propridt6s 4) ct 5) utilise lc lcmme suivant :

Lemme 3. - - I ) Pour tout couple (g, 8) de cellules de [~q] telles que 8 c y, et tout relkvement -~

de 8 dans [~+] , il existe un relkvement a de ~, tel que v c ~.

2) Si ~ ( V ) = o et 2<~i<~n--4, le relOvement donnd par le I) est unique (lorsque Y, 8 et ~-

sont donnds).

328

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E E T THI~,ORI~ME DE LA P S E U D O - I S O T O P I E ~49

Dgmonstration du lemme 3. - - x) Soient J et J ' les types respectifs de y e t 8. D'apr~s le i) de la proposit ion 2 de VI , 1.3, il existe geGq tel que :

�9 ~

y = [gSj] et ~ = [gSj,].

S o i t f u n reprfisentant de v; g est adaptd ~ z, done il existe une base ~ adapt~e ~ f t e l l e

que % 1 o ? = g. Soit d 7 une fonction de type J obtenue t~ part ir de f par une ddformation qui conserve un syst~me de nappes descendantes donnd, reprdsentant ~; soit ~ la cellule

de [q)+] d~finie par J~ a contient ~-, et g est adapt~ k a; l 'ensemble des matrices adapt~es

~ est done gSj ; done ~ + ( a ) = ' ( . 2) O n va donner la ddmonstrat ion de ce rfisultat dans le cas particulier suivant

(le seul qui sera utilisfi dans la suite) : J ' = J - i ' j l } , oflj~ est le plus petit dl6ment de J . Soit { i , . . . , g } la plus grande suite d 'entiers cons&utifs tels que j ~ § appar t iennent tous t~ J . Soient g, f , ? comme ci-dessus; soient cl, c2, . . . , cq les points critiques de f dams l 'ordre ddfini par ~. Soient M ' et M " les vari~tds de niveau de f relatives aux valeurs f (c j ,+ l ) - - ~ et f(c~,+~)-~-~, off le nombre positif ~ est choisi assez petit pour que c~.+1, . . . , c~,+t soient les seuls points critiques d e f s i t u d s dans la partie X de W + d~limitde par M ' et M " . Considdrons le d iagramme suivant :

H~§ M') > (ensemble des J-cellules de [~+] contenant v) J

(4) g ~+,

T j , , j ~ (ensemble des J-cellules de [~q] contenant 3)

off Tj,. s est ddfini en VI, I. i, et off les morphismes considdrds sont les suivants :

- - la fl~che verticale de gauche est la composde de l ' isomorphisme H~+x(X, M ) ~ Z t

ddfini par q~ et de l ' isomorphisme (ka, k~, . . . , k t )~ t~ , off :

i \

O " I

kl "

(5) tz -- O " . . k t " - .

0 " ,

o I

- - la fl~ehe horizontale du bas est ddfinie par t ~ [gtSj] ; c'est une bijection d'apr~s

le 2) de la proposit ion 2 de VI, ~.3;

329

~5 o J E A N C E R F

- - la fl~che horizontale du haut est ddfinie comme suit. Soit ~ t l 'espace des chemins issus de f , r~alisant le croisement de cj, avec l 'ensemble de points critiques {cjl + 1, �9 �9 c~,+ t} (toutes les valeurs critiques ~galent par ailleurs le restant). Puisque r h ( V ) = o et

3~<i-t-I~<n--4, le lemme des croisements k indices figaux (cf. II, 4. I, proposit ion 4) donne un isomorphisme : H i + t ( X , M ' )~%(c~t ) . D 'au t re par t il est clair qu 'on a une surjection naturelle :

n0(cgt) ~ (ensemble des J-cellules de [~+] contenant "~).

D'ofl par composi t ion la fl~che du d iagramme; c'est une surjection. Pour achever de prouver le 2) du lemme 5, il reste k mont rer la commutat iv i td du

d iagramme (4). Or l '~ldment de Hi. + t(X, M') dont les coordonnfies dans la base d~finie par q~ sont (kl, X2, �9 �9 Xt) donne un 61~ment de ~t dont le point de croisement a dmet ? o t z pour base adapt~e, et par Consequent gt x pour matr iee adapt~e (t x 6tant dfifinie par (5)).

DLmonstration du 4) de la proposition 5. - - Dans l 'hypothSse faite sur i, le thfior~me de la base est applicable k W ~ ; l ' image de ~+ contient donc le o-squelette de [~q]; il r6sulte donc du I) du lemme 3 que ~+ est surjectif.

Dgmonstration du 5) de la proposition 5. - - Elle se fait en gr impant sur le squelette de [Eq], en commen~ant au i-squelette.

Soit y une i-cellule de [E~], soient ~ et ~' ses extr6mit~s. D'apr~s le i) et le ~) du lemme 3, la relation << Stre joints par une ar~te de [q)+] >> ddfinit une bijection entre les images rdciproques de ~ et ~' par ~+ ; la restriction de ~+ au I-squelette de [@+]

est donc un revfitement. Supposons d~montrfi que la restriction de ~+ au j -squelet te (j~> ~) soit un revfite-

ment ; soit y une (j- l-~)-cellule de [Ee], s o i t J le type de y, soit J ' l 'ensemble ob tenu en privant J de son premier ~l~ment; on choisit une cellule ~, de type J ' , contenue dans y; d'apr~s le i) et le ~) du lemme 3, ~ ~ est un rev~tement (produit) au-dessus de y; donc a~' est un revfitement au-dessus du ( jA-~)-squelet te de [q)+] ; ceci ach~ve la ddmonstrat ion

par r6currence.

3-2. Le m o r p h l s m e ~ et l ' invariant alg~brique d'une fonction de ~-oq.

O n conserve les notat ions du numdro precedent ; on rappelle qu 'on a posd :

d im W = n.

3 . 2 . i. O n a vu ci-dessus en VI I , 3- I que pour tout Me. / / ' , le choix d 'une base % de H i + t ( W +, M) d6termine un morphisme ~+ : ~ + ~ r De m~me, le choix d 'une

base ?0 de H , _ i ( W ~ , M) ddtermine un morphisme ~ - : ~ - + ~ q ; d 'apr6s le 4) de la proposit ion 5 de VI I , 3. i, ~ - est surjectif si

1<~n-- i - - i<~n--3 , c'est-'~-dire si

(6) e<~i<~n--2.

330

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE ~5~

De m~me, d'apr~s le 5) de la m~me proposition, ~ - est un rev~tement si na(V)= o e t si

(7) 3<~i~n--3 �9

Done, eompte tenu de la d6eomposition q ) ~ ~+ x ~ (ef. VII , 2. i, I) de la proposition 2) le choix d'un couple (%, %) de bases respectives de I'~.+x(W +, M) et de I-~_~(W~, M) d~termine

un morphisme m de r dans r 2 1 5 ~ est surjectif si la condition 2<~i<<.n-- 3 est v&ifi&;

c'est un revgtement si la condition 3~<i~<n--4 est vgrifi& et si =~(V)=o.

D~finition 2. - - Soit (%, r un couple de bases respectives de I-~.+~(W +, M) et de H,_x(W~, M). On dit que ~'0 est la base duale de % s'il y a eompatibilitd dans le diagramme suivant :

H,+,(W+, M)

I I Z ~ ~;, H,_~(W~-, M)

la dualit6 de Z q avec lui-m6me 6tant celle d6finie par le produit scalaire usucl, et la dualit6 entre H~+I(V~]~ , M) et H , _ i ( ~ - , M) dtant la dualit6 de Poinear6.

Le couple formd par une base de H~+I(W +, M) et la base duale de H,_~(W~-, M) sera appel6 simplement <~ couple de bases duales ~>. Les propridtds suivantes sont immddiates :

I) Si (%, %) est un couple de bases duales relatives ~t IV[, alors l'ensemble de tous les autres couples de bases duales relatives k la m~me vari6t6 iV[ est celui des couples (%og, %o~), off g dderit Gq, et ~ =(tg)-~.

2) Gonsiddrons les opdrations de Gq dans ~q ddfinies par la formule

(8) g. (x, y ) = ( g . x , ~ .y).

Soit ~ le morphisme r ddfini par le couple (%, %) de bases duales; le morphisme ddfini par le couple (%og, ~'0o~) est alors g-~.~.

Lemme 4. - - Soit Me. / / ; soit % une base de H~+~(W +, M), et soit ~'o la base duale de H,_i(WM-, M); soit ~ le morphisme r dgfini par (%, %). Il y a commutativitg dans

le diagramme : H • r M �9 ~

!

p+ X ~a" , I~ I

Gq• �9 ~q

oil les op&ations de H =- ~o(~r sont celles d~finies en VII, 2. x, proposition 2, ot~ ~+ est le compos~ du morphisme naturel H--> ~0(DiffW +) et du morphisme :

~0(DiffW+)~g ~ ~o%g.o %eGq,

et oh les op&ations de Gq dans ~q sont d~finies par la formule (8).

331

x52 J E A N C E R F

Remarque. - - Les op6rations de H dans (1)e sont compatibles avcc la structure de complexe simplicial ordonnd de (I)~, elles d6finissent done de fa~on naturelle des opdrations dans la rdalisation gdomdtrique I%1 de (I)~, et dans le CW-complexe associ6 [(I)M]. De m~me les op6rations de Gq dans ~q s'dtendent de fa~on naturelle ~ ]!Bql et [~q]. Le lemme de commutativitd ci-dessus est dvidemment encore valable pour ces op6rations.

Dgmonstration du lemme 4. - - O n a vu (cf. VII , 2. i, ~) de la proposition 2) que les opdrations de II dans q),A se font par l'interm6diaire du morphisme :

II~ g ~ (g+, g-) e%(DiffW~ ) • %(DiffW~),

et des opdrations respectives de rc0(DiffW +) dans (I) + et de 7:o(DiffWff) dans (I)ff. Or le diagramme

I I x O + > (D +

Gq • ~q > ~q

est commutatif; cela traduit le fait que, pour tout leon'+ et tout geDif fW~, si q0 est une base adapt~e k f , alors g.o? est adaptfie ~ fog -1. La mSme propridtd a lieu relativement ~. q~, p- et ~ - . II suffit done, pour achever la d6monstration, de montrer que

p- (g) --= p+ (g) pour tout geII .

Or cela r6sulte de la compatibilit6 du diagramme suivant :

Z q )'> H,+~(W~ +, M) ';> H,+~(W~ +, hi) <~' Z q

I I I I zq "> H._,(WGM) % H._,(WGM) <'; Z'

(La compatibilit5 du carr6 central exprime que g+ et g, , provenant d 'un m~me diffdomorphisme de W, sont compatibles avec la dualit6 de Poincar6; la compatibilitd des carr6s latdraux traduit l'hypoth&se : q~'0 est duale de %.)

3 .2 .2 . Appl icat ion : invar iant d'une fonct ion de ~-0 q"

Le lemme 4 montre que le morphisme ~ d~finit par passage au quotient un morphisme

o , , / H =

382

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE t53

et la propri~t~ 2 dcs couples de bases duales (cf. VII , 3.2.~) montre que ce dernier morphisme est inddpendant du couple de bases duales choisi. Soit ./It o la composante connexe de M dans Jr ' ; d'apr~s VII , ~. i, 3) de la proposition ~, (1)M/H est canoniquement isomorphe au neff q~i.q;0 de la pattie de o~'i. q formfie des fonetions dont les varidt~s intermddiaires appartiennent $-/~r Le morphisme

(I)i, q;O -)" ~[q

obtenu par composition ne d6pend que de ..r 0 (on le voit en remplaw M par une vari6t6 voisine). En procddant de m~me pour chaque composante connexe de -~, on obtient un morphisme canonique :

�9 ~, ~-+9i~. L'invariant ainsi attachd (par l 'interm6diaire de son image dans ~i,q) 5. un ~16ment de o~'.0 (c'est-~-dirc ?a une fonction dont toutes les valeurs critiques sont distinctes) 1,, q

appartient 5. ((Gq/Tq)• (Gq/Tq))/Gq, c'est-~-dire, compte tenu de VI, 2 .4 - i , propridtd i),

~'~\G~/'r~. Dgfinition 3. - - Soit feo~ -~ q ; on dit q u e f e s t homologiquement primitive si son invariant

dans "Fq\Gq/Tq est l'image ~ de l'fildment neutre e de Gq.

Voici quelques propri~t~s immddiates des fonctions homologiquement primitives :

I. Soit feO~~ soit (~ son image dans (I)i,q; pour que f soit homologiquement primitive, il suflit qu'il existe une varidt~ interm~diaire M de f et un couple (%, %) de bases duales relatives ~ M, telles que (~ d~signant le morphisme q~--+Eqx~q d~fini par le couple (%, %) et ~ lfimage dans Gq/Tq de l'~16ment neutre de G~), ~(e;) soit de la forme g. (i, i) , avec gaGq. Ceci est alors vrai pour n'importe quel choix de M e t du couple (%, %) ; par un choix convenable de (%, %) on peut obtenir pour ~(~) n'importe queUe valeur de la forme g. (i, i) ; en particulier (i, i ) . Done, pour quef soit homologiquement primitive, il faut et il suffit que pour toute varigtr intermr M clef, il existe un couple de bases duales relatives ~ M qui soient adaptdes a f .

Si (%, %) est un tel couple, t o u s l e s autres sont les (%og, 90o~) tels que g . ( i , i ) = ( / , i) , c'cst-~-dire tels que gzDiagq (cf. VI, 2. 4. i, propri~td 2).

2. Rappelons qu'une fonction feo~'oq est dite primitive si elle est l'origine d 'un chemin dans l'espace des fonctions de Morse, ayant eomme seuls points exceptionnels q points de mort, et aboutissant par consequent ~ une fonction sans aueun point critique. (En d'autres termes, tousles points critiques de f peuvent se d~truire successivement par couples.) On montre en th~orie de Smale :

a) Toute fonction primitive est homologiquement primitive. b) Si ~ t (V)=o , n~>6, et ~<<.i<<.n--3, alors toute fonction homologiquement primitive

est primitive (el. par exemple [i o], th~or~me (6. i) et corollaire (6.5), P. 69-7o).

333 2O

~54 J E A N C E R F

w 4" LA CONNEXIT~ DE L'ESPACE DES FONCTIONS SANS POINT CRITIQUE

4.1. Le re l~vement des g6n6rateurs de ~ z ( ~ , ~q).

On rappelle qu 'on a ddfini des opdrations de Gq dans ~3q par la formule :

g. (x, y) = (g. x, ~ .y) ;

~q est la classe de (~, ~) pour ces opSrations. On a pour tout Me,'/t ' un d iagramme

commuta t i f @,~ > @,.ill

: 1 4

Proposition 6 . - On suppose r~l(V)=o, n~>6 et 2<~i<~n-- 3. Alors tout relOvement

dans ~,~ d'un quelconque des ggn&ateurs TS. x; g, 3j; q et ~; g de r~( ~q, ~q) a ses extrgmitgs gquivalentes

par une opgration de II.

Dgmonstration. - - D'apr~s le 3) de la proposition 2 de VII , 2. i, il suffit de montrer que

les extr6mit6s de tout rel6vement dans r d ' un quelconque des gdn6rateurs ont la m~me

image dans q)~,q, au t rement dit, peuvent ~tre repr6sent6s par deux fonctions qui sont

dans la m6me composante de o ~-9 On se borne ~ faire les vdrifications dans le cas j = q-- I ; % q"

les autres cas s'y ram6nent sans difficult~ par le << cancellation lemma >> et le lemme

d'unicit6 des naissances.

a) Relkvement de Tq_~. z; g. - - Le graphique d 'un bon chemin e qui est un rel~vement

de Tq-~.X;g dans o~-~ est du type i ci-dessous. On ddforme ~ avec extr~mit~s fixes de

fa~on que son graphique prenne successivement les formes 2, 3, 4, 5, 6 ci-dessous :

i+1 ~ i+1

11 * , }1 i 11 X ; '

(~)

u

(3) O)

i+1 i+1

, j

334

(4) (5) (6)

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE I55

Passage de I a 2 par le lemme des singularit6s indfpendantes (IV, t, propo-

sition I).

Passage de 2 ~t 3 : soit 0~' le chemin correspondant au graphique 2, et so i t f ' un point de l'image de a' qui soit situ6 entre les deux points de croisement; il existe un couple de bases duales relatives h f ' (cf. VII , 3.2.2) dont la matrice d'intersections est sq_ 1; soient cq_ t et cq (dans l 'ordre dfcroissant) les deux points critiques d'indice i q- I les plus bas de f ' , et soit c'q le plus 61ev6 des points critiques d'indice i d e f ' ; il existe des nappes descendantes disjointes Dq_~ et Dq relatives ~t cq_ 1 et cq, et une nappe ascendante A~ relative ~t c'~ (toutes trois limitdes t~ la vari6t6 interm6diaire 1V~) telles que le nombre d'intersection de 1VInAq avec 1V[nDq_ 1 (resp. 1VlODq) soit -i-I (resp. z6ro). Le procdd6 de Whitney (cf. [IO], thdor6me (6.6), p. 7 r) permet donc de ddformer A~ de fa~on que M n A q rencontre iVInD~_~ transversalement et en un seul point, et ne rencontre pas M oDq; on peut alors prolonger Aqjusqu'au-dessus du niveau de c~, et par cons6quent d6finir un chemin a" d 'o r ig inef ' r6alisant le croisement de cq et c~, de fa~on qu'en l 'extrfmit6 de ~", les points critiques qui correspondent ~t cq_a et c~ soient en position de destruction mutuelle; le chemin correspondant au graphique 3 est ocl. a" * ~" - 1. ~ (off ~'1 * ~ d6signe la ddcomposition de a' d6finie par f ' ) .

Passage de 3 h 4 : par le cancellation lemma.

Passage de 4 h 5 : le bec de droite peut ~tre supprim6 d'apr6s le lemme de suppression des bees (IV, 3.3, proposition 4; le bec est du type II et c'est la condition (4) qui est vfrifide). Le bec de gauche est dual du pr6cddent.

Passage de 5 ~t 6 : par le lemme d'unicit6 des naissances (cf. III , I "3)"

b) Rel~vement de 3q-1;g. - - Le graphique d 'un bon rel6vement est ici du type i ci-dessous; on le d6forme en un chemin ~ graphique du type 2 par le cancellation lemma; puis en un chemin ~ graphique du type 3 par le lemme de la queue d'aronde (IV, 4.3,

proposition 5)-

(~) (~) (a)

On termine comme au a) par le lemme d'unicit6 des naissances.

c) Relkvement de ~q-x;g. - - Le graphique d 'un bon rel~vement est du type I. On le d~forme successivement en chemins dont le graphique est du type 2, 3, 4.

33,'~

[56 J E A N C E R F

f j o",,

(i)

(2) (3) (4)

Le passage de I ~t 2 est analogue au passage de 2 ~ 3 dans le cas a); le passage de 2 ~ 3 se fait par le cancellation lemma; le passage de 3 ~t 4 se fait par le lemme de suppression des becs (applique dans les m~mes conditions qu'au a)).

On termine comme prEeEdemment par le lemme d'unicitE des naissances.

Corol la ire . - On suppose dimV>~ 5 (i.e. n>_-6), ~ t ( V ) = o , et 3<~i<~n---3 . Alors tout rel~vement dans (1)~ d'un quelconque lacet relatif de ~q modulo ~q a ses extrg'mitgs gquivalentes

par H. Ddmonstration. - - D'apr&s le lemme fondamental du ehapitre VI (ef. VI, 3-x) tout

lacet relatif [~ de !~q modulo ~q est homotope ~t un compose des gEnErateurs ~,i. x;g, etc. II suffit done, d'aprSs la proposition 6, de montrer que pour tout rel~vement q~ de dans (I)M, l 'homotopie de [~ donnde par le lemme algdbrique fondamental peut se relever en une homotopie de ~. Cela est clair lorsque 3<~i<<.n--4, car alors (1)~ est un rev~tc- ment surjeetif de !~q (ef. VII , 3.2. i). Lorsque 3<~i<~n--3 (done en paxticulier dans le cas n----6, i = 3 ) , le morphisme ~ est surjeetif, et le morphisme ~ - : (I)~-+~q est un morphisme de rev~tement (surjectif). D'apr~s le complement au lemme alg~brique fondamental (el. VI, 3.4), l 'homotopie de ~ peut ~tre dEeomposEe en homotopies ~lEmentaires des types (a), (b2) , (c~) et (c~). Les operations du type (a) se rel6vent d'apr~s le I) du lemme 3 de. VII, 3. I ; celles du type (b2) se rel~vent puisque ~ - est un rev(~tement ; celles des types (c]) et (cs se rel~vent d'apr~s le lemme des singularitds indEpen- dantes (IV, I) et le lemme du triangle (IV, 2.2).

4 . 2 . Le t h ~ o r t m e de c o n n e x i t ~ .

Ttdorkme 3. - - On suppose ~x(V) -- o et dim V >/5. Alors l'espace des fonctions C ~~ : Vx( I , o, I) --, (I, o, I) ayant zgro point critique est connexe.

(On sait (cf. Introduction) que ceci entratne que dans le groupe Diff V, les relations

d'isotopie et de pseudo-isotopic sont les m~mes.)

336

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE x57

D(monstration. - Soient f et f ' deux fonctions ayant z6ro point critique. On sait (el. V, 2. i, th6or~me 2) que l'espace o~'~ est connexe; il existe done dans ~'~ un bon chemin [3 joignant f ~ f ' ; le chemin ~ ne rencontre .~-i qu'en un nombre fini de points, donc en particulier il n'a qu'un hombre fini de points de naissance; il existe done un entier q tel que l'image de ~ soit eontenue d a n s :

u u u . . . u u u .F,,

Soient ~ et ~' deux chemins de .~'~, d'origine respective f e t f ' , compos~s ]'un et l 'autre

de q chemins de naissance, de sorte que f e t f ' , extr6mit6s respectives de ~ e t a ' , appartiennent ~ ~'~. ,. Je dis que le chemin o~ -1 * ~ * ~' peut gtre dgform( (avec extrhnitgs f i xe s )

en un chemin ~" de 5ri. q. (Soient en effet fp,fp+ 1, . . . , fp+ , -1 , fp+~ des points exeeptionnels consdeutifs de ~ - x . ~ . ~,, tels que f~ soit une mort, f~+, une naissance, f~+~, . . . , f~+ ,_~ des croisements; le lemme des singularitds inddpendantes permet de faire passer f~+, suceessivement avant f~+,_~, . . . , f ~ + t ; on peut alors appliquer le lemme d'unicitd des naissanees, ce qui permet de supprimerf~ etf~+, ; on continue ainsi de proche en proche tant qu'il existe au moins un point du chemin en lequel le hombre de points critiques est strictement plus petit que ~q.)

Soit alors 1V[ une varidtd intermddiaire de 3~ tout chemin de croisement de deux

points critiques d'indice i (ou de deux points critiques d'indice i + x) issu de3~est homotope un ehemin 61dmentaire dont le support ne rencontre pas M. I1 en r~sulte que, de proche

en proche, "~ peut ~tre ddform~ avec origine f i x e en un bon chemin {~' contenu dans .~'~,

de telle fa~on que le chemin a" d~erit par l'extr~mitd de ~" au cours de la d6formation reste dans ~-o ~" Le chemin ~' d6finit un chemin r compos~ d'ar~tes de (1)~ ; les extr~mit~s de ~' sont des fonctions primitives, elles sont donc homologiquement primitives (cf. VII, 3. ~. ~), leur invariant dans 2I~ est done k'. Donc d'apr~s la commutativit~ du diagramme :

(~)M ) (I)i, q

+ i

l 'image de cp' dans ~q est un lacet relatif de ~q modulo ~q. I1 r6sulte donc du corollaire de la proposition 6 que l'image de ~p' dans (I)i, q est un facet; autrement dit, les deux

extr6mitds de (3' sont dans la m~me composante eonnexe de o~-9,, q ; done f e t a~ sont dans la m6me composante connexe de ~'P On en d6duit, par q applications successives du ~, q"

lemme d'unieit6 des morts, q u e f e t f ' sont dans la m~me composante connexe de l'espace des fonctions ayant zdro point critique.

Remarque. - - On peut donner ~ cette d6monstration une forme diff6rente, dans laquelle les lemmes d'unicit6 des naissances et des morts interviennent par l'interm6diaire

de la proposition 4 de VII , 2.2. Soit ~ eomme ci-dessus, et soit cp le chemin eompos6

337

i58 JEAN CERF

d'ar~tes de (I) i qui lui correspond; 6tant donn6 que (I)i est isomorphe ~ la << limite t61escopique >> des q)i.,, il est dquivalent de montrer que qo est un lacet, ou de montrer que sa projection q0' sur (I)i.q, dNinie pour q assez grand, est un lacet.

w 5. STRUCTURE DU NERF DES ESPACES ~ q ET ,~

5. I. Surjectivit~ du m o r p h i s m e p+.

Proposition 7. - - On suppose n>~6, ~ l ( V ) = o et 2<~i<~n--3. Soit M E . A / et soit %

une base de I~-+I(W +, M); le morphisrae p+ : l I ~ G q d~fini par ces donn/es (cf. VII , 3.2,

lemme 4) est surjectif.

D/monstration. - - Le groupe Gq est engendrd par la r~union de Diagq, des transpositions sj et des matrices ~16mentaires ttj ( j = I , 2 , . . . , q - - I ) .

a) Tout gl/ment de Diagq se relkve dans II. - - Le groupe Diagq est engendrd par les matrices ~j ( j = i , 2 , . . . , q) off ~qj est la matrice diagonale ddfinie par

ak, k--~ (-- I)a/.k ;

il suffit donc de montrer que chaque matrice ~j se relSve. Soit ~ le morphisme q ) M ~ q , ddfini par ?0 et la base duale %. Soit e e ~ - l ( i , i)

et soit feo~'o un reprfsentant de e. Soient q, c2, . . . , cq les points critiques d'indice iq-i de f , mis dans l'ordre d6croissant; soient c~, c ~ , . . . , c~ les points critiques d'indice i mis dans l'ordre croissant. La fonction f est homologiquement primitive; elle est donc primitive (cf. VII , 3.2.2, propri6td 2b). I1 existe donc une famille C~, C~, . . . , Cq de (~ cylindres >> (i.e. de sous-vari6tds de W diff~omorphes /~ D " - ' • deux ~ deux disjoints, situ6s dans l'intdrieur de W, tels que, pour tout j , Cj contienne cj et c~, et qu'il existe un chemin de mort d'origine f dont le support soit contenu dans Cj. On note, pour tout j , M n q = Mj, et on ddsigne par C + et C T les adhdrences des deux parties en lesquelles M~ coupe q . Soit ?0 une base de H~+~(W +, M) dont le j~m~ dldment soit l 'image d 'un g6ndrateur de Hi+,(C +, 1VI~) ; soit ~0 la base duale. Le couple (?0, ?0) est un couple de bases duales adapt6es ~ f ; donc, d'apr~s VII , 3.2.2, propri6td I, ?0-1 o ?0eDiagq; on peut m6me supposer, par un choix convenable du signe de chaque gdn6rateur de

H , ~ ( C +, Mj), que ~0=?0- Or l 'un des rdsultats que l'on ddmontre cn m~me tcmps que le lemmc de la queue

d'aronde (cf. IV, 4.3, lemmc 3) est le suivant : il existc dans le groupe des diffdomorphismes de Cj tangents d'ordre infini ~t l'identitd le long du bord, un dldment g~, situd dans la composante connexe de l'616ment neutre, laissant f (et par consdquent iV[~)

( + stables, et tel que l 'automorphisme gj. de Hi+~C ~ , 1VIi) ddfini par gj soit la multiplication par - - I . Notons gj lc diffdomorphisme de W obtenu en prolongeant gi par l'identit6,

ct ir son effet sur Hi+~(W +, M). I1 cst clair que :

~otOgj, o~0 = ~ .

338

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~OR]~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE ~59

b) Tout sj (j----I, . . . , q - - I ) se relkve. - - Les extr6mit6s du chemin Y~.0 sont (i, i) et (s~, J~); on a

6). La proposition 6 montre qu'il existe gjE]-I tel qu'on ait :

p+(gj). (i, ~)----(~j, ~j).

I1 en rdsuhe que s~. (?+(gj)) laisse fixe (/, i) , et par consequent appartient ~ Diagq; done compte tenu du a), s~ se rel6ve dans II.

c) Tout ~t~ ( j - ~ , . . . , q - - I ) se relive. - - Les extrdmitds du chemins ~ sont (~, ~)

et . , , on a .~. .- . e) = )

On termine comme au b) ci-dessus.

5.2. Presque isotopie.

On d~montre dans ce num~ro un r~sultat ind6pendant de cc qui pr6c~de, relatif aux triades compactes sur lesquelles il existe une fonction ayant q points critiques tous

de m~me indice.

(W, V, V ) une triade compacte de dimension n. On suppose (sans Proposition 8. - - Soit ~ ~ ~'

quoi I'6nonc6 qui suit est vide) qu'il existe deux entiers i et q tels que H~(W, V)----o pour j 4 i

et t'Ii.(~W, ~r) gzq . On note o~i.q l'espace des fonctions de Morse (~g, ~r, ~,) _+ (I, o, x) ayant exactement q points critiques, tous d'indice i. On suppose :

(2)

Alors pour tout couple ( f , f ' ) de points de . ~ , ~ tels qu'il existe une base de I-I~.(W, ~r) adaptde

a lafois ~ f e t a f t , etpour tout voisinage U de V ' dans ~V, il existe un chemin (f[) d'originef'

dans ~'~,q, tel que f t ' cofncide avec f sur "~7(--U. [On dit que f et f ' sont presque isotopes

d a n s

Remarque. - - I1 rdsulte du thdor6me 3 que si ~t(V)-----o et n>_.6, alors la presque

isotopic de deux agraents de ~ . q entrMne leur isotopie.

Dgmonstration. - - On d6montre, par rdcurrence sur q, que la propridtd est vraie pour l 'entier q et pour toute triade compacte.

a) Gas q--o. - Le seul cas off l'6none6 n'est pas vide est celui off West diffdomorphe

au cylindre ~ • Soit f~ le groupe des diffdomorphismes de "~ induisant l'identit6

sur V; on salt (cf. Introduction) que pour tout couple ( f , f ' ) de fonctions sans point

critique, il existe g E g tel que f----flog. Le procdd6 de la << r6traction d'Alexander >~

339

z6o J E A N CERF

fournit, pour tout voisinagc U de "~' dans "vV, un chemin (g~) dans f~, d'origine g, tel que g~ induise l 'identitd sur le compl6mentaire de U; on pose fog[ ~ = f ' .

b) Cas q>~ ~. - - Supposons la propridt6 ddmontr6e pour l 'entier q--~. Soient f e t f ' comme dans l'6nonc6; soit c (resp. c') le point critique de niveau le plus bas d e f ( resp.f ' ) . On modi f i e f ' par l'efi~t d 'une isotopic du but [o, ~] de fa~on que f(c) =f ' ( c ' ) ;

soit X cette valeur commune. Soit + un plongement : (D i, S ~-~) ~ (~/, V), tel que si on ddsigne par p la fonction distance euclidienne au centre dans D i, il y ait eommutativit~ du diagramme

D ~ + >

~(1- ~,)~ / [O~ I ]

L'image de + est alors une nappe descendante d e f r e l a t i v e ~ c; n6cessaircment, + (o )= c,

~(S ~-1) c V. On d6finit de m~me le plongement +', relatif ~ f ' et c'. D'apr~s l 'hypoth~se faite sur le couple ( f , f ' ) , l ' image de la classe fondamentale de (D i, S i- ' ) par le morphisme

+; : Ili(D i, S i-1) -+ H i (~ r, V) est au signe pros la m~me que par le morphisme +.; on modifie au besoin +' par une sym6trie de fa~on que ces deux images soient les m~mes.

Les conditions (I) et (2) de l'6nonc6 entra[nent r h ( W ) = o ; il r6sulte donc du th6or~me de Hurewicz relatif que d/et d / son t homotopes. La condition (2) et le th6or~me d'isotopie de Hudson (6none6 en [7], thdor~me (Io. 2), p. I99, dans la catdgorie PL, mais valable 6galement dans la cat6gorie DIFF) entrMnent que + et +' sont isotopes. II existe alors

une isotopic (y,) de W telle que ytod?'= t~, de sorte que f ' o y i -1 e t f co inc iden t sur ~(D i) ; on est done ramend au cas o~ f et f ' ont en commun une nappe descendante N de leur point critique de plus bas niveau, et coincident sur cette nappe, et o~ on a choisi ~b'

6gal ~ t~. I1 existe alors une isotopie (y~) de ~r telle que f ' o y;-1 coincide a v e c f au voisinage

de N. (En effet, + peut se prolonger en un plongement q~ : M ~ W du module standard de Morse, adapt6 ~ f e t ~ la fonction quadrat ique standard h sur Mi, ce qui signifie qu'il existe un plongement ~ : [-- I, -1- i] ~ [o, I] rendant commuta t i f le d iagramme

M i - . - ~ - . ---~

I I

h ' . f

[--,, +,] > [o, ,]

De m~me + peut se prolonger en q~', adapt6e ~tf ' et ~t h; le plongement ~' correspondant ~t r coincide avee ~ sur [ - - i , o], et d'apr6s le lemme 3 de II, i .2, on peut modifier 9' de fa~on que ~' coincide avec ~ au voisinage de [-- x, o]. I1 rdsulte du th6or6me d'unicit6

340

S T R A T I F I C A T I O N N A T U R E L L E E T THI~ORI~ME DE LA P S E U D O - I S O T O P I E ~6t

des voisinages tubulaires, appliqu6 ~t un voisinage tubulaire de D ~ dans .'Vii, qu'iI existe

une isotopie (y~) de ~r telle que y~o(q~'o~ -~) induise l'identit6 au voisinage de N. La comparaison du diagramme ci-dessus et du diagramme

- ~ W

I h i f, ov,_ ~

l + [o,

montre que f'o~-[- a coincide a v e c f au voisinage de N.) On se trouve donc ramend au cas o6 f ct f ' coincident sur un voisinage U de N;

soit T u n voisinage de Morse de c, contenu dans U, dbfinissant la nappc descendante N; soit a la borne sup(rieure de f sur T. Le compldmentaire de T dans f - l ( [ _ i, a]) est diffbomorphe ~t un cylindre; par la mbthode du a) ci-dessus, on ddfo rmef ' de t~a~on que

sa restriction 5. T reste invariable, et que sa restriction ~t ~ ' - - T coincide avec f , sauf sur un pctit voisinage d e f - t ( a ) . On a ainsi dbfo rmbf ' en une fonction qui coincide a v e c f

entre V e t une varidt6 de niveau Vt, sitube au-dessus du niveau de c; on est done ramen6 au mbme probl~me pour le cas q - - I , ce qui ach~ve la dbmonstration de rdcurrence.

Corollaire. - - Soit W la triade compacte V x ( I , o, I), de dimension n. Soit Me./ /[ et

soit ~'~ le sous-espace correspondant de o~i. q (el. 2. I). On suppose :

(2') 3<<.i<~n--4 (ce qui entrahze n~>7).

Alors pour tout couple ( f , f ' ) de points de ~ o tel qu'il existe une base de t~.+~(W +, M) et une

base de H._~(W~, M) qui soient adapt&s ?z la fois ?z f et ?z f ' , il existe un chemin ( f{) d' origine f ' dans ~ o tel que fa' cofncide avec f sauf sur un voisinage arbitrairement petit de 0W. [On dit q u e f et f ' sont presque isotopes dans o~'~

Dgmonstration. - - On applique le lemme r successivement ~ W + et Wff; on trouve

les conditions I<<.i<<.n-- 4 et 3<,.i<<.n--2.

5 .3 . S t r u c t u r e du n e r f de ~ , q et de ~ .

The'or~me 4. - - Soit V une varidtg compacte sans bord et soit W le cylindre V • I ; on ddsigne

par n la dimension de W. Les espaces fonctionnels o~. q, o~'~ et o~ M sont ceux ddfinis en V , 2. et en VII , 2. I ; on de'signe par @i. q, ~i et @M leurs nerfs respectifs. Les complexes ~q et 92~ sont

d~finis en VI, t .4 . On suppose r q ( V ) = o , n>~7, 3 ~ i ~ n - - 4 . Alors

i o Le morphisme ~ : q ~ q d~fini en VII , 3.2 est un isomorphismepour tout M e d f et

pour tout choix de la base d'homologie % d~finissant ~.

341

21

~6~ J E A N C E R F

~o Le morphisme dpi,~-~9.Ie dgfini par passage au quotient de ~ est un isomorphisme.

3 ~ q)i est isomorphe ~ la limite tglescopique de la suite

9.1o ~ ~I~ ' - + . . . r 9I~ ~ 2t~ + ~ ' - + . . .

(ddfinie en VI, ~.4, lemme 7)-

Dgmonstration. - ~ o I1 rdsulte de la proposit ion 5 de VI I , 3. ~ que, sous les hypotheses du th~or~me 4, ~ est un morphisme de rev~tement (surjectif). Soient ~ et e ' deux dldments de O~ situds au-dessus de (i, i ) ; s o i e n t f e t f ' des reprdsentants respectifs de ~ et ~' darts ~'~. D'apr~s le corollaire c i - d e s s u s , f e t f ' sont presque isotopes dans ~-o. D'apr~s le thdor~me 3, ]a presque isotopie dans ~-~ entra~ne l ' isotopie dans le mfime espace, au t rement dit,

f et f ' sont dans la m~me composante connexe de ~-0; donc ~ ==~'. Done @~ est le rev~tement identique de ~3q.

~o O n a l e d iagramme commuta t i f

I i

G ~ X ~ > ~3~ > 9/e

D'apr~s la proposit ion 3 de VI I , 2. I (et le corollaire de la proposit ion 2 de VI I , 2. I) q~/1-I est na ture l lement isomorphe ~ ~ ,q . Or d'apr~s le I ~ ei-dessus et la surjectivit~ de p+ (el. proposit ion 7), le morphisme naturel q)M/H-+2Iq est un isomorphisme.

3 ~ Notons ~q le morphisme d~sign6 ci-dessus par ~ ; on a l e d iagramme commuta t i f :

�9 .- ~ qli,~ ~ q}i,q+~ ~ - . .

r~q t~q + 1

. . . ,-+ 9iq ~ 9lq+~ ~ . . .

oh toutes les fl6ches verticales sont des isomorphismes d 'apr6s le 2 ~ ci-dessus; il suffit donc d 'appl iquer la proposit ion 4 de VI I , 2 .4 , d 'apr6s laquelle ~i est i somorphe ~ la limite

t61escopique des q)~, q.

Corollaire. - - Sous les hypotheses du tMorkme 4, les gl6ments de o ~ ~ [fonctions ~ de ), q

type (i, q) ~ ayant toutes leurs valeurs critiques distinctes] sont classifigs a isotopic pros par leur

invariant dans ~i 'q \GJTq. Dgmonstration. - - La restriction de l ' isomorphisme r donn6 par le 2)

du thdor~me 4, au o-squelette de [q),, q], est un isomorphisme : ~0(o~-~ --* ~'~\G~/Tq.

Remarques. - - x. I1 r6sulte de sa d6finition m~me (cf. VI I , 3.2) que 1' << invariant >>

d 'un 616ment de o~-~ q est invariant par tout diffdomorphisme de V • (I, o, I). Le corollaire

342

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE t6 3

ci-dessus a donc la consdquence suivante : si deux glgments de o~9 sont transform~s l'un de l'autre par diffgomorphisme, alors ils sont isotopes. Ceci est la gdndralisation ~ ,~-o du rdsuhat

du thdor$me 3, concernant les fonctions sans point critique. 2. On peut donner d 'autres applications du thdor6me 4 du m6me type que le

corollaire prdcddent, par exemple la classification des fonctions de type (i, q) ayant

toutes leurs valeurs critiques d ' indice i et toutes leurs valeurs critiques d' indice i + i

respectivement dgales. 3- I1 est possible de ddmontrer directement le thdor6me 4, et d 'en ddduire ensuite

le thdor6me 3 comme cas particulier (q = o ) . Mais la ddmonstrat ion est rendue difficile

par le fait que rien ne permet d 'affirmer a priori que q~i, q est un rev6tement de 9.Iq.

D 'aut re part la ddmonstrat ion directe du thdor$me 3 est la seule applicable au cas n = 6.

343

APPENDICE

LEMMES DE FIBRATION ET D'ACYCLICI'I 'I~

On a rassembl6 ici, avec des indications sur leur d~monstration, divers 6noncds de ~ topologie diff6rentielle ~l~mentaire )~; il s'agit essentiellement de g6n6raliser les thdor~mes classiques de fibration et d'acyclicitd des espaces de plongements (cf. par exemple [2] ou l 'appendice de [3]) aux espaces de plongements qui sont adapt6s ~ une fonction de Morse, ou qui la laissent invariante.

w x. C O M P L ~ M E N T S AU TH~ORI~ME DE FIBRATION DE MATHER

Proposition 1. - - Soit W une varigtg a bord compacte. Soit f une fonction de Morse W - + R (ce qui implique en particulier que f n 'a pas de point critique sur 0W).

io Soit d ~ l'espace des fonctions de Morse W ~ R qui ont mgmes points et valeurs critiques

que f et qui sont tangentes d'ordre infini ~ f le long de OW. Soit fr le groupe des diffgomorphismes de W qui laissent f ixes tousles points critiques de f et qui sont tangents d'ordre infini ~ l'identitg le long de OW. Les opgrations naturelles de fr dans d' admettent des sections locales continues.

2 ~ Soit X une sous-varigt~ferrMe de W; on suppose que pour tout coX qui est un point critique de f , l'espace tangent ~ X en c ne rencontre pas (en dehors de l'or~gine) le c6ne f}21= o

[f~2/est la forme quadratique bitangente ~ f e n c]. Soit @x (resp. fgx) le sous-espace de @ (resp. fr dgfini par la condition de coincider avec f (resp. avec l'identit~) sur X . Les opgrations

de (gx dans '~x admettent des sections locales continues.

Dgmonstration. - - x o Elle se [kit par recollement ~ l'aide du lemme local suivant : Soit aeW; il existe un voisinage U de a dans W , un voisinage ~l de f dans o~" et une application

continue f ' ~ O t ' de ~ll dans l'espace des plongements de U dans W, tels que J 'o? t , coincide avec f

sur U, et que ~Pt soit l'injection de U dans W. Le lemme local se dEmontre comme suit : si a est non critique, on choisit au voisi-

nage de a des coordonn~es locales (xl, . . . , x,) dans lesquelles f ( x ) --=x,. On pose p o u r f ' voisin de f :

+r,(x) = ( x l , . . . , x . _ , f ' ( ,q , . . . , x.));

le thdorbme des fonctions implicites uniforme montre qu'on peut inverser ddt, sur un voisinage U de a, valable pour tous l e s f ' assez voisins de f ; on pose d?~711V= q~t" Si a

344

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~ORI~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE i6 5

est un point critique de Morse, on choisit des coordonn~es locales dans lesquelles on a

f (x ) =u(x) , off u est une forme quadra t ique ; on applique alors ~t t o u t f ' assez voisin d e f le proc~d~ s tandard de raise sous forme canonique au voisinage de a (utilisant la formule

de Taylor avee reste sous forme d' int~grale); on met a ins i f ' (x ) sous la forme ut, o)~t,(x), off u t, est une forme quadra t ique et ?Q, un diffdomorphisme local, d~pendant Pun et

l 'autre continflment de f ' , tels que u t = u et ?Q==identit~; done i f ( x ) est de la forme uotr, o?(t,, off ft' est un dl~ment de SL(n) d~pendant continflment d e f t ; on pose

lt, oXt,=de t, et on termine eomme dans le cas non critique. 2 o II suffit d 'appor ter au lemme local le compldment suivant : si X est une sous-

varidtd passant par a e t satisfaisant ~t la condit ion de l'~nonc~, on peut imposer ~t q0 t,

d 'etre l ' identit~ sur X l o r s q u e f ' coincide a v e e f s u r X. I1 n 'y a aucune diffieult~ lorsque a

est non critique. Lorsque a est un point critique de Morse, on ehoisit une ddcomposition locale x = ( y , z ) telle que l 'dquation locale de X soit y = o , et que f soit de la forme v(x) ~-w(y), off v et w sont deux formes quadrat iques. Le lemme local du io

montre alors que toute f o n c t i o n f ' assez voisine d e f e s t localement de la forme v(~) q-w(~), off B s 'annule avec y, et off ~ = x l o r s q u e f ' et f coincident pour y = o.

Proposition 1'. - - Soit W une varigtg h bord compacte; soit A un fermd de W - - O W .

Soit f une fonction de Morse W ~ I I ; soit J un ouvert de 11 tel que, pour tout re-J, f - t ( t ) soit transversal ?z OW. Alors ?z tout g ' e D i f f c j R (groupe des diffdomorphismes de R induisant

l ' identitd sur le eompl~mentaire de J) , proche de l'dlgment neutre, on peut contin~ment associer geDiffAW tel que, sur tout un voisinage de OW, on ait :

g' o f = f o g .

La ddmonstrat ion de la proposition I ' est immddiate ; voici quelques consequences

des propositions z et I ' :

Corollaire 1. - - Soit W une varidtd ~ bord compacte; soit J un ouvert de l l ; soit f une fonction de Morse W - + R telle que :

a) les valeurs critiques de f appartiennent (t J ; b) les vari~tgs de niveau critiques de f coupent transversalement OW.

Soit # l'espace des fonctions de Morse : W ~ l l qui vgrifient a) et b) et qui sont tangentes

d'ordre infini a f le long de e w n f - l ( J ) . Il existe alors, au-dessus d'un voisinage de f dans~, une section pour l' application (g, g') --,'. g' o f o g - 1 de Diff W • Diffr.aR dans l' espace des fonctions

de Morse : W - + R .

Corollaire 2. - - Soit Mile module de Morse d'indice i de R" et soit h la forme quadratique correspondante (cf. II , z. i). A toute fonction h' suffisamment voisine de he t tangente d'ordre infini

a h le long de bW~ on peut associer defafon continue un dlgment (de, de') de Diff ~ x Di f f [ - - i, + i]

tel que : de'- ohode =h'.

345

166 J E A N C E R F

Corollaire 3. - - Soient M~ le modkle de Morse d'indice i de R", h la forme quadratique

correspondante, et (hx) le chemin descendant standard (cf. II, I. x). Soit W une varigtd compacte

de dimension n, soit f une fonction : W - + R , et soit c un point critique de Morse def. Pour tout X d , on note ~ x l'espace des plongements M~.-+W adapt& a hx et f e n c, et on note ~ la r&nion (pour XeI) de tousles ~x . Les applications naturelles :

(i) ~ -+ I (dont les fibres sont les ~ ) ;

(9) ~ x - + Plgt([--x, + i ] , I);

(3) ~ ~ P l g t ( [ - - ~ , + t ] , I);

sont des fibrations triviales.

Ddmonstrations. - - Celle du corollaire I est immddiate, et le corollaire 2 en est un cas particulier. Voici la ddmonstration du corollaire 3.

Cas de (I). - - Soit r l 'adaptation de q~ ~t h x et f signifie qu'il existe 9 ' e P l g t ( [ - - i , + i ] , I) tel que q~'ohx=foq~; en particulier (puisque hx(o)=--X~) on a :

~'(- x~) =f(c)

ce qui montre la continuitd de (I). D'autre part le corollaire ~ donne un chemin continu (d/x , qb~) dans DiffM~.• + I ] tel que pour tout ),eI

+~-'oho+x=&.

L'application (X, q~) -+ (~0O+x, q~'o+~) de I • 0 dans ~ est une trivialisation de

au-dcssus de I. Cas de (2). - - La trivialit6 de la fibration (2) est une consdquence imm&tiate de

celle de la fibration

(2') Diff~M~-+ Di f f [ - - I , + I ] ,

oh ])iff~M~. est le groupe dcs diffdomorphismes de ~ adaptds h h. Pour montrer la trivialitd de (2'), il suffit de montrer l'existence de sections an voisinage de e. Soit T un voisinage tubulaire du bord de M; ~t tout d/ '~Diff[-- i , + I ] , proche de e, la propo-

sition I' permet d'associer "~DiffM~., laissant fixe un voisinage de o, tel que +'oh

et ho'~ coincident sur T; on termine en appliquant la proposition i ~t +'ohod e~-~, qui a m~me point ct valeur critique que h et qui coincide avec h au voisinage de 0M~..

Cas de (3). - - La trivialit6 est une consdquence imm&tiate de celles de (i) ct (2).

w 2. F I B R A T I O N DES ESPACES DE P L O N G E M E N T S A D A P T ~ S S U R LES ESPACES DE N A P P E S

Soit W une varidt6 compacte; soit f : W ~ R une fonction de Morse, et soit c un point critique de f . On note .~1 (resp. ~ , resp. ~ ) l'espace des nappes ascendantes (resp. des nappcs descendantes, resp. des binappes) de f issues de c. On rappelle la

ad6

STRa~,TIFICATION N A T U R E L L E E T T H ~ O R I ~ M E DE I,A P S E U D O - I S O T O P I E i6 7

definition de la topologie de ces espaces : ~r et ~ sont munis de la topologie habituelle des espaces de sous-varidtds, c'est-~-dire la topologie quotient de la topologie C ~ des espaees de plongements correspondants; ~ s'identifie au sous-espace de ~ f • ddfini par la condition de eonjugaison des varidtds tangentes en c.

Remarque. - - II rdsulte immddiatement de la contractilitd de l'espace des sous- varidtds tangentes en c aux nappes ascendantes (ou deseendantes) que M a mfme type d'homotopie que .~' • 9 .

Proposition 2. - Soient W, f , c, ~t , 9 , ~ comme ci-dessus. Soit fCt le groupe des diff~o- morphismes de W qui laissent f invariante. Les opgrations ,~ gauche de fgt dans z], 9 et ~ admettent des sections locales continues.

Dgmonstration. -- Ddmontrons-le par exemple pour d . Soit AE~r et soit A' voisine de A. D'apr~s le thdor~me de fibration des espaces de plongements sur les espaces

de sous-varidtds (cf. [3], P. 114, thdorEme 3), il existe dans le groupe D i f f W un ElEment g~, dependant continfiment de A', tel que g I ( A ) = A ' ; les restrictions ~t A des fonctions f et fog~ ont chacune le point c pour unique point critique, et coincident sur le bord; ii existe donc d'apr/:s le I o de la proposition I, un diffdomorphisme g2 de A, laissant fixe c, dependant continfiment de gl, tel que fog log 2 coincide avec f sur A; on peut prolonger g2 en un diffdomorphisme g2 de W dependant continfiment de g2. D'apr~s le 2 ~ de la proposition I, il existe un diffdomorphisme g3 de W laissant fixe A, dependant continfiment de g~o22, tel que fogao22og3=f; ceci achEve la demonstration, puisque

gt ~ 22 ~ (A) = gl (A)= A'.

Corollaire 1 [Notations de la proposition 2]. - - Soit ~ l'espace des plongements de M i (mod61e de Morse d'indice i) dans W qui sont adaptgs ~ f et ~ la forme quadratique standard h. Les applications naturelles : ~ - + d , ~ - + 9 , ~ - + ~ sont des fibrations localement triviales.

Corollaire 2. - - Soient V 0 et V ' o deux varigtgs de niveau de f situ&s au-dessus de c, V 0 ~tant au-dessns de V' o ; soit ,;go (resp. zJ0) la partie de d formge des nappes dont le bord est dans V o (resp. V0). L'application naturelle : ~to--->~r o est une fibration localement triviale. [Rdsultat analogue pour les nappes descendantes et les binappes.]

Les deux corollaires sont des consequences immddiates de la proposition 2.

w 3. FIBRATION DES ESPACES DE PLONGEMENTS ADAPT~S SUR LEURS ESPACES DE JETS

Lemme. - - Soient W une varigt~ de dimension n , f : W - + R une fonction de Morse, et c

un point critique d'indice i de f Si un plongement ~ : M~.-+R" est adaptg ~ h et f en c, alors l'application R"-+g'~.(W) tangente ~ ~ en o est adaptge gz he t gl la forme quadratique bitangente

g, f e n c.

347

i68 JEAN CERF

Dgmonstration. - - On rappelle que << ~0 adaptd ~ h e t f ~ signifie qu'il existe un plongement q~': [ - - I , + I ] - + R tel que ~o'oh=foq~. On se ram~ne, en choisissant des eoordonn~es locales dfifinies par un prolongement de ~p ~ It" entier, au eas o~ W-=R" et f = h . Alors ho?(1)--@l"oh est le terme du second ordre dans le d~veloppement ho?--? 'oh, c'est donc zdro.

Proposition 3. - - Soient W, f , c, n, i comme dans le lemme ci-dessus. Soit 9 ~ l'espace des plongements du module de Morse M~. dans W qui sont adaptgs gl f e n c et dont l'orientation en o est donne'e. L'application naturelle ~ - + J ~ de 9 ~ sur l'espace des I-jets en o de ses glgments est une fibration localement triviale.

Mgme r~sultat pour les espaces suivants : ~ , (sous-espace de ~ formg des plongements pour lesquels l'application q0': [ - - I , + I ] ~ R correspondante est donnge); fgh (groupe des diff~o- morphismes de 1V[ i. qui laissent le bord f ixe et h invariant) ; fr ~ (groupe des diffgomorphismes de M~ qui laissent invariantes les fonctions x ~ + . . . + ~ et x~+~+. . . + ~ ) . En plus on a des

isomorphismes canoniques : J0t~ ~ S O ( i , n - i ) x ] o , co[;

J ~ , ~J~(fgh)~SO(i, n - - i ) ;

J~ N,,= ~-, O(i )• O ( n - i ) .

Dlmonstration. - - D~montrons par exemple les rdsultats qui concernent Nh. Soit .2~ le sous-groupe de SL(n) formd des applications qui sont adaptdes ~ la forme quadratique h; le groupe .2~h est eanoniquement isomorphe g SO(i, n - - i ) • +. D'apr&s le lemme ci-dessus, il existe une application naturelle ~h-+.~e~, qui se factorise par l ' intermddiaire de J0XNh; il suffit done de montrer l'existence de sections locales -~n--*Nn au voisinage de tout point de .~qo. Le thdor&me elassique de fibration des espaees de plongements sur les espaces de jets (cf. [3], thdor~me ~, p. i i4) donne des rel&vements locaux ~ valeurs dans le groupe de tous les diffdomorphismes de M i. qui laissent fixe le bord; on modifie ce relevement de fa~on qu'il prenne ses valeurs dans Nn (c'est le procddd ddj'X utilisd ci-dessus au w ~, ~ ceci pros qu 'on doit ici utiliser la proposition I compl~tde par la remarque suivante : soit ff, c N (resp. ~2c~) ddfini par la condition qu 'en tous les points critiques de f le ~-jet est celui de l'identit~ (resp. le 2-jet est celui de f ) ; ~, opbre dans N= et ces op~rations admet tent des sections locales continues).

Le cas de N~,= est plus simple, ear O ( i ) • s'identifie /~ un sous-groupe de ~ , 2 . Le cas des espaces de plongements adaptds se ram~ne ~ celui des groupes de diff~omorphismes adaptds par le proc~d~ habituel (cf. [3], P. ~ I5, lemme i).

w 4. ACYCLICIT~ DE CERTAINS ESPACES DE PLONGEMENTS ADAPT~S OU DE NAPPES

Proposition 4. - - Soit W une vari~td de dimension n; soit f : W - + R une fonction de Morse; soit c un point critique d'indice i def. Soient V 0 et V1 deux varidtgs de niveau de f situ~es la premiere

348

STRATIFICATION NATURELLE ET THI~OR~ME DE LA PSEUDO-ISOTOPIE ~6 9

au-dessus, la seconde au-dessous de c, telles que c soit l'unique point critique de la partie ferrrde W0t

de W ddlimitde par V0 et Va. i o Soit Mi le module de Morse d'indice i; soit ~a l'espace des plongements de

(/vii. , bord supfirieur de M~., bord inf6rieur de Mi. )dans (W0~ , V0, V~)

qui sont adapt6s ~ f en c, et dont le I-jet en o est donnL L'espace ~ est acyclique. Mgme rLsultat pour le sous-espace ~ j, ~ de ~ j formd des plongements pour lesquels l'image de la binappe standard de Mi est donnge.

2 ~ Soit dd (resp. ~ , resp. ~ ) l'espace des nappes ascendantes (resp. des nappes descendantes, resp. des binappes) de f issues de c, limitdes ~ V 0 et V 1. Les espaces ~ , .~, ~ sont acycliques. Mgme rdsultat pour les espaces ~r ~s , ~a obtenus en fixant la vari~t~ tangente (ou le couple de varidtds tangentes) en o.

Ddmonstration. - - L'acyclicit~ de ~ j et celle de ~ a entrainent celle de .r ~ d'apr~s le corollaire I de la proposition 2 (cf. w 2). L'acyclicit~ de Mj entralne celle de ~/, puisque l'espace des vari~tds lin~aires tangentes en o aux ~l~ments de ~r est acyclique; de m~me l'acyclicitd de ~ s entralne celle de ~ , celle de .~j entralne celle de ~ , et on sait que ~ a ~ a • On est done ramenfi ~ d~montrer l'acyclicitd de ~ et celle de ~r les deux ddmonstrations sont analogues; voici la d6monstration de l'acyclicitd de ~a . Soit ~ ] l'espace des plongements M~.~W0~ qui sont adaptds /~ f e n c et dont le t-jet en o est donnd; d'apr~s le corollaire 3 du w i, l'acyclicitd de a~] entraine celle de ~ . Soit U un voisinage de Morse de c dans l'int~rieur de W0~; soit ~ un compact de ,~] ; par composition avec une r~traction de 1V[~ laissant fixe un voisinage de l'origine, on peut ddformer ~ff jusque dans t~]nPlgt(M~., U), de fa~on que les 6ldments de ~g/'nPlgt(M.i, U) restent dans Plgt(Mi, U) au cours de la d6formation. On est ainsi ramen6 au cas off W = R " , f = h et c = o ; d'apr6s le corollaire 3 de la proposition 2, il suffit de montrer l'acyclicit~ du sous-espace ~ j ;h de ~a form~ des plongements qui laissent h invariant. La mdthode classique de r~traction par << transmutation par les homothdties ~, utilisde pour d~montrer l'acyclicitd de l'espace des plongements avec l-jet fixe en o de M i dans IR ", donne ~galement l'acyclicitd de ~s;~, car cet espace reste stable au cours de ia r~traction; en effet, si hoq~ = h , alors pour tout X2>o, on a :

h (zx)

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M a n u s c r i t re fu le l e t f r 1 9 7 0 .

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La stratification naturelle des espaces de fonctions différentiables réelles et le théorème de...

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