La multiplication des décimaux ne pose-telle qu’un problème de virgule ? Éric Roditi

La multiplication des décimaux ne pose-telle qu’un problème

de virgule ?

Éric RoditiIUFM Nord Pas-de-Calais

Équipe DIDIREM Université de Paris 7

Introduction

•Une régulière évolution des programmes à propos des techniques opératoires.

•La recherche a produit de nombreux travaux sur sur les nombres décimaux et leur multiplication. Quel intérêt et quel impact sur les pratiques ordinaires ?

•Comment enseigner cette technique opératoire et quelle formation proposer pour les enseignants ?

Introduction

•Une régulière évolution des programmes à propos des techniques opératoires.

•La recherche a produit de nombreux travaux sur sur les nombres décimaux et leur multiplication. Quel intérêt et quel impact sur les pratiques ordinaires ?

•Comment enseigner cette technique opératoire et quelle formation proposer pour les enseignants ?

PLAN

I. Des erreurs récurrentes aux difficultés d’apprentissage

II. Des propositions pour enseigner la multiplication

III. Des analyses de pratique à la formation

1. Il y a bien un problème de virgule...

a) Juste avant le changement de 1995 (6ème 1991/94)

• 11,4 x 5,3 Réussite : 58%

Chiffres exacts mais faute de virgule : 21,1%

• 7,46 x 3,1 Réussite : 52%


• 63,4 x 2,12 Réussite : 49,6%


I. Des erreurs aux difficultés d’apprentissage

Quelles « fautes de virgule » ?

• « Oubli » de la virgule

• Sens du comptage, confusion avant/après la virgule

• Alignement des virgules

1. Il y a bien un problème de virgule...

b) Et vingt ans plus tôt (CM2 - 6ème -5ème - 4ème 1978)

• 543 x 0,12 Réussite : 64,4 %

• 17,9 x 32 Réussite : 61,1 %

• 1246 x 2,5 Réussite : 62,7 %

• 2,6 x 0,25 Réussite : 47,2 %

• 912,4 x 5,123Réussite : 43,6 %

• 37,35 x 2,34 Réussite : 42,9 %

• 86,34 x 340 Réussite : 34,7 %


2. Des difficultés en lien avec la numération décimale

Multiplication/division par 10, 100… (6ème)

• 1994 2,3 x 10 Réussite 77,4 %

10,4 % répondent 20,3 ou 2,30

6,3 % répondent 230

1994 35,2 x 100 Réussite 59,5%

9,7% répondent 3500,2 ou 35,200

15,7% répondent 352

1991 325,6 ÷ 10 Réussite 62,1%

1992 38,45 ÷ 10 Réussite 63,8%

1993 0,1034 ÷ 10 Réussite 30,5%


3. D’autres variables jouent aussi

a) Le « format social » des nombres (6ème 1980 et 1997)

•Multiplication d’un décimal (non entier) par dix

Un ticket de cantine coûte 14,75 F.Quel est le prix d’un carnet de 10 tickets ?

6ème 1997 Réussite 82 % (7 % des élèves répondent 140,75 F)



a) Le « format social » des nombres (6ème 1980 et 1997)

•Multiplication d’un décimal (non entier) par dix

Un ticket de cantine coûte 14,75 F.Quel est le prix d’un carnet de 10 tickets ?

6ème 1997 Réussite 82 % (7 % des élèves répondent 140,75 F)


•Multiplication de deux décimaux (non-entiers)

J'achète 3,70 m de tissus à 9,50 F le mètre. Combien dois-je payer ?

En 1980 Réussite : 45,5% Recours à une démarche multiplicative : 77,5%

En 1993 Réussite : 35,2% Recours à une démarche multiplicative : 80,5%


b) Les propriétés de la multiplication (futurs PE)


BOEUF MERLAN CODE 135

SATISFAIT OU REMBOURSÉ

A consommer avant le 22 fev 86

Prix Unitaire Poids net Prix à payer69,90 F/kg 0,284 kg 19,85 F


c) La situation modélisée par la multiplication

Quelle est l’aire de ce triangle ?

…………… cm²

Réponses produites.

A : 108 cm²

B : 42 cm²

C : 93 cm²


9 cm

12 cm

15 cm

Avec des effets de transposition et de contrat didactique...

Bilan

Les « erreurs de virgule » révèlent des difficultés d’apprentissage et des obstacles didactiques :

• de la numération décimale et des écritures multiplicatives ;

• des propriétés de la multiplication et des techniques qui en découlent ;

• des situations que la multiplication modélisent.


Référence à la théorie des champs conceptuels

Et perspectives…

1904 “ Sur l’enseignement de l’arithmétique à l’école primaire ”

Le maître enseignera le mécanisme de la règle. Je ne suis nullement scandalisé à l’idée que l’enfant ne se rendra pas compte du pourquoi de ce mécanisme, et la confiance qu’il accordera à son maître ne me déplaît en aucune façon. (...) en arithmétique deux points importants : reconnaître quelles opérations on doit faire, c’est à dire au fond bien comprendre les définitions ; puis savoir faire correctement ces opérations : le premier point est affaire d’intelligence, le second de routine, ou, pour parler mieux, d’habitude.

II. Des propositions pour l’enseignement

Et perspectives…

1904 “ Manuel du Certificat d’Aptitude Pédagogique ”

On dit souvent : peu ou point de théorie. Que restera t il donc ? La routine, le calcul machinal de chiens savants ou des automates. Nous dirons, nous : sans doute, il faut accoutumer les enfants à opérer vite ; c’est un but matériel et pratique qu’il est désirable d’atteindre. Mais qu’on ne craigne pas non plus de les accoutumer à se rendre compte de leurs opérations. (...) des enfants du cours moyen ne peuvent-ils pas savoir utilement (...) pourquoi dans un produit, on doit reculer la virgule vers la gauche d’autant de chiffres qu’il y en a dans les deux facteurs réunis ?


Et perspectives…

2004 “ La rénovation des programmes de collège, consultation ”

La multiplication de deux décimaux est à mettre en place en sixième, aussi bien du point de vue du sens que du point de vue de la technique de calcul posé. Le sens de la multiplication de deux décimaux est en rupture avec celui de la multiplication de deux entiers notamment par le fait que, dans ce cas, ''une multiplication'' n'agrandit pas toujours.

Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n’est recherchée.


Référence à la théorie des champs conceptuels

1. Les situations multiplicatives (d’après G Vergnaud)

a) Les situations qui portent sur une seule grandeur

•Addition réitérée (composition additive) : Le périmètre P d’un carré de côté c est donné par la formule P = 4 x c.

•Transformation d’une grandeur : Claude a agrandi une photo en poster. La photo est un rectangle de 15 cm de longueur et de 10 cm de largeur. La longueur du poster est 1,2 m. Quelle est sa largeur ?

•Comparaison de mesures d’une grandeur : Le longueur du cercle est égale à π fois son diamètre.


Pas d’unité

Unité

U

Même unité

U


b) Les situations de proportionnalité

•Philippe a acheté 1,450 kg de fraises à 2,60 €/kg. Combien a t il payé ?

•Évelyne a roulé 45 min à 120 km/h. Quelle distance a t elle parcourue ?

•La densité de population française est 112 hab/km² et la superficie de la France est 544 000 km². Quelle est sa population ?


Grandeur 1

U

Grandeur quotient

V / U Grandeur 2

V




•Évelyne a roulé 45 min à 120 km/h. Quelle distance a t elle parcourue ?

•La densité de population française est 112 hab/km² et la superficie de la France est 544 000 km². Quelle est sa population ?


Quantité

kg

1,450

Prix unitaire

€ / kg

2,60

Prix

€

3,77





1 2,60

1,450

x 1,450kg

kg

€

3,77

x 1,450

€


c) Les situations de composition de deux grandeurs


•Combien de bateaux peut on former à l’aide de coques de 4 couleurs différentes et de voiles de 3 couleurs différentes ?

•Calculer l’aire d’un rectangle de longueur 3,4 cm et de largeur 2,3 cm.

•Quelle est la puissance électrique consommée par un radiateur électrique traversée par un courant de 220 V et 9,5 A ?

Grandeur 1

U

Grandeur produit

U.V

Grandeur 2

V

x

2. Des procédures de calcul fondées sur une situation

a) Sur une situation d’agrandissement (d’après G Brousseau)


•Situation du puzzle

Le segment qui mesure 4 cm sur le modèle devra mesurer 7 cm sur votre reproduction.

56

5

4 2

9

6

5

2

7

2


a) Sur une situation d’agrandissement (d’après G Brousseau)


•Situation du puzzle

Le segment qui mesure 4 cm sur le modèle devra mesurer 7 cm sur votre reproduction.

•Situation du pantographe

56

5

4 2

9

6

5

2

7

2

1,5

10 15

2,4

36

3,6


b) Sur une situation d’aire de rectangle (R Douady et MJ Perrin)

Calcul de l’aire d’un rectangle de longueur 3,4 et de largeur 2,3


3,4 x 2,3 = 6 + 9/10 + 8/10 + 12/100 = 7,82


c) Sur une situation de double - graduation (ERMEL 6e)

Compléter les deux graduations figurant sur la feuille, puis à l’aide de ces données, déterminer le prix d’un bâtard de 200 g et le prix d’un pain de campagne de 600 g.

Ce travail conduit au calcul de 0,2 x 16,50 et de 0,6 x 16,50


0 0,1 Masse en kg

Prix en F16,50

1


d) Sur une situation de conversion d’unités

Le rôti coûte 16,50 €/kg. Calculer le prix d’un rôti de 0,6 kg.

Conversions : 0,6 kg = 6 hg et 16,50 €/kg = 1,65 €/hg

Calcul : Prix (€) = 0,6 kg x 16,50 €/kg

= 6 hg x 1,65 €/hg

= 9,9 €


2. Des procédures non-contextualisées

a) Avec des fractions décimales

3,4 x 4,75 = 34 / 10 x 475 / 100

= 16 150 / 1 000

= 16,15

3,4 x 4,75 = (34 x 0,1) x (475 0,01)

= 16 150 x 0,001

= 16,15



b) Avec des opérateurs

3,4 x 4,75 = ?

x 10 x 100 x 1000 : 1000

34 x 475 = 16 150



c) Avec l’écriture décimale

4, 7 5

x 3, 4

1, 9 0 0

1 4, 2 5

1 6, 1 5 0



d) Avec des ordres de grandeurs

3,4 x 4,75 = 16 150

3 x 5 = 15


,


e) Et j’allais l’oublier...


3. Quelques constats sur cet enseignement en 6ème

•Un contenu très riche qui met en jeu de nombreuses situations, procédures (/propriétés) et représentations.

•Les programmes recommandent de travailler à la fois le sens et la technique et laissent toute latitude aux enseignants pour le choix des situations et des procédures.

•En trois heures environ !

•Les manuels scolaires proposent, au mieux, une activité sur le sens de la technique ne s’appuyant sur aucun contexte, la technique, puis la multiplication est appliquée, parfois interrogée mais le prolongement des entiers aux décimaux et la modélisation des situations ne sont pas abordés.


1. Quatre enseignements étudiés : les contenus

III. Des analyses de pratiques à la formation

Contenus mathématiques MmeGermain

M.Bombelli

MmeAgnesi

MmeTheano

Multiplication des décimauxTechnique opératoire (T.O.) x x x x« Démonstration » ou justification de la T.O. x x x xEstimation du produit x x xPropriétés algébriques de la multiplication x x xEffet de la multiplication sur l’ordre x xMultiplication par un facteur inférieur à un x x x xMultiplication par zéro ou par un

Écritures des nombresSignification de l’écriture décimale x x x xChangement d’unités du système décimal xMultiplication d’un décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001... x xAutres notations que l’écriture « à virgule » x

Situations multiplicativesDomaine numérique : isomorphisme (prix) x x x xGéométrie : produit de mesure (aire de rectangle)Géométrie : opérateur (agrandissement)Géométrie : composition d’opérateursGestion de données : opérateur (pourcentage)Gestion de données : opérateur (diagrammes)

2. Quatre enseignements étudiés : les tâches


Tâches prescrites MmeGermain

M.Bombelli

MmeAgnesi

MmeTheano

Introduction du nouveau savoirProposition de situation a-didactiqueCadres mobilisés Numérique Numérique Numérique NumériqueLa multiplication est un objet de savoir x x x xLa multiplication est un outil de résolution de problèmeProblèmes contextualisés x

Exercices proposés (niveau collège)Détermination d’un produit 75% 71% 50% 64% - Par application de la technique opératoire 17% 14% 17% 09% - Par un calcul mental ou raisonné 33% 43% 17% 00% - Par un calcul approché ou par un encadrement 25% 14% 16% 55%Questions théoriques 25% 29% 33% 18%Problèmes issus de situations multiplicatives 00% 00% 17% 18%

Les phases d’institutionnalisationMode d’intégration dans la séance Bilan Déclaration B + D B + ApportJustification de la technique opératoire x xLa présentation des propriétés comporte : - Un titre explicatif x

- Une règle d’action décontextualisé x x x - Un exemple générique x x x x

•Les activités des élèves

Mme Germain M. Bombelli Mme Agnesi Mme Theano

Application 26% 73% 37% 37%

Construction 74% 27% 63% 63%

3. Quatre enseignements étudiés : les déroulements






•Des interactions prof - élèves : La gestion des incidents didactiques

Tâche à la charge Mme Germain M. Bombelli Mme Agnesi Mme Theano

Des élèves 72% 21% 42% 50%

Du professeur 28% 79% 58% 50%

L’analyse statistique montre que l’effet professeur est significatif au seuil de : 0,000 1 %.







•Des interactions prof - élèves : La gestion des incidents didactiques


Gestion ouverte

Gestion fermée

1ère heure 2ème heure 3ème heure 4ème heure 5ème heure


•Des formations centrées sur les besoins, les objectifs et les moyens

4. Perspectives pour la formation


•Des formations centrées sur les besoins, les objectifs et les moyens

4. Perspectives pour la formation

•Des formations centrées sur pratiques :

- pour travailler simultanément la tâche et sa gestion en classe

- pour identifier les cohérences d’un enseignement

- pour rechercher des alternatives envisageables


•Cahier DIDIREM rouge n° 39 Sur la multiplication des décimaux

5. Une page de pub avant le débat !




•Des cahiers sur l’analyse de vidéo

- DIDIREM Bleu n° 2 (théorique)

- DIDIREM Bleu n° 3 (étude d’une séance)

- DIDIREM rouge n°45 (étude d’une séance)




•Des cahiers sur l’analyse de vidéo

- DIDIREM Bleu n° 2 (théorique)

- DIDIREM Bleu n° 3 (étude d’une séance)

- DIDIREM rouge n°45 (étude d’une séance)


•Des cahiers sur la formation 2nd degré

- des enseignants : DIDIREM Bleu n°4

- des formateurs (DU) : DIDIREM Bleu n°5

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