La loi des sinus
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La loi des sinus A B C c b a a sin A b sin B c sin C = = Remarque : Cette loi est utile dans les triangles quelconques.
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B. c. a. a. b. c. =. =. sin A. sin B. sin C. A. C. b. La loi des sinus. Remarque :. Cette loi est utile dans les triangles quelconques. B. h. C. A. D. sin A =. h. a sin C = h. c. c sin A = h. h. sin C =. a. c sin A. a. a sin C. c. =. =. sin A. sin A sin C. - PowerPoint PPT Presentation
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La loi des sinus
A
B
C
c
b
aa
sin A
b
sin B
c
sin C==
Remarque : Cette loi est utile dans les triangles quelconques.
Construisons un triangle quelconque et nommons-le ABC.
A
B
C
c
b
a
h
D
Dans le triangle ABC :
- posons c pour représenter le côté en face de l’angle C;
- posons a pour représenter le côté en face de l’angle A.
Traçons la hauteur BD (h).
Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle BDA et le triangle BDC.
Dans le triangle BDA, on a : sin A = hc
Isolons h : c sin A = h
Dans le triangle BDC, on a : sin C = h
aIsolons h : a sin C = h
a sin C = c sin A
Divisons les deux membres de l'équation par sin A sin C
a
sin A
c
sin C=
- posons b pour représenter le côté en face de l’angle B;
a sin C
sin A sin C
c sin A
sin A sin C=
En utilisant le méthode de comparaison, on obtient :
et simplifions.
Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle AEB et le triangle AEC.
Dans le triangle AEB, on a : sin B = k
c
Maintenant, traçons la hauteur AE (k).
a
A
B
C
c
b
k
E
Isolons k : c sin B = k
Dans le triangle AEC, on a : sin C = k
bIsolons k : b sin C = k
b sin C = c sin B
Divisons les deux membres de l'équation par sin B sin C
En utilisant le méthode de comparaison, on obtient :
b sin C=
sin B sin C
c sin B
sin B sin C
b
sin B
c
sin C=
Sia
sin A
c
sin C= et que
b
sin B
c
sin C= alors
a
sin A
c
sin C=
b
sin B=
et simplifions.
La loi des sinus s'utilise quand les trois conditions ci-dessous sont réunies :
- la mesure d’un angle; - la mesure du côté opposé à cet angle;- la mesure d’un autre élément du triangle.
Remarque
Pour établir la proportion, on associe l’angle avec le côté qui lui fait face.
A
B
C
a
Exemples
Remarque
On utilise seulement une partie de la relation en fonction de l’information fournie; ainsi, la proportion sélectionnée sert d’outil de travail.
b
sin B
c
sin C=
4
sin B
5
sin 760=
sin B5
4 X 0,9702 ≈
alors sin-1 0,7762 50,90
m B 510
sin B 0,77625
0,9702≈
4
sin B
x
A
B
C
5 m
4 m
760
4 X 0,9702 ≈ 5 X sin B
Détermine la mesure de l’angle B.
Alors, sin-1 0,7762 50,90
m B 510
0,7762
x
A
B
C
5 m
4 m
7602 )sin B sin C
=m AC m AB
On pourrait aussi procéder ainsi :
m AB=
m AC X sin Csin B
= 4 X sin 760
5
sin B
Avec la calculatrice : 4 sin760 ÷ 5
Détermine la mesure du coté BC.
1 ) m A = 530
4,1
m BC 4,1 m
2 )
510
A
B
C
5 m
4 m
760
La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800.
530
sin A sin B=
m BC m AC
sin 530
4
sin 510=
m BC
0,7986
4
0,7771
m BC
X 0,7771 4 X 0,7986m BC
0,79864 X 0,7771
=m BC
Détermine la mesure du coté BC.
1 ) m A = 530
m BC 4,1 m
2 )
510
A
B
C
5 m
4 m
760
La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800 .
530
sin A sin B=m BC m AC
On pourrait aussi procéder ainsi :
m BC = m AC X sin A
sin B
m BC = 4 X sin 530
sin 510
Avec la calculatrice : 4 sin 530 ÷ sin 510 4,1
400
D
F E85,5
125
Détermine la mesure de l’angle F.
85,5
sin 400
125
sin F=
sin F =125 sin 400
85,5=
125 X 0,6428
85,5≈ 0, 9398
sin F = 0,9398 m F ≈ 700 ?
?
L’angle F ne peut pas mesurer 700, car l’angle F est un angle obtus.
Il faut prendre son supplément soit 1100.
La calculatrice répond à la règle suivante : sin θ = sin (1800 – θ)
sin-1 0,9398 ≈ 700
Alors, regarde attentivement la sorte de triangle avant de répondre.
m FE
sin D
m DE
sin F=
