La géométrie au cycle 2Troyes, le 28 novembre 2012

● Frédéric Castel,

Professeur à l'Université de Reims,

IUFM de Chaumont

● Avec l'appui précieux des travaux didactiques de Christelle Urbany, Jean-Luc Bregeon, Jean-Claude Duperret, Patrick Perrin et Claude Simonnot

Les origines de la géométrie 

● L'origine de la géométrie semble directement liée aux exigences de la vie pratique (fabrication et ornementation d'objets, construction d'habitations, de greniers, de monuments, repérage des parcelles de terrain (crues du Nil), calcul des aires des champs, volume des matériaux de construction…)

● La géométrie grecque intègre les connaissances antérieures mais rompt radicalement avec le pragmatisme des géométries babylonienne et égyptienne.

● Au sein de la cité grecque, dans laquelle le développement de la démocratie requiert le débat contradictoire et l'argumentation rationnelle, la géométrie substitue, à l'accumulation de résultats hétéroclites obtenus par des méthodes empiriques, la constitution d'une science abstraite et déductive.

« Le théorème du perroquet » (Denis Guedj)

Comme tous les élèves du monde, Jonathan avait croisé Thalès à plusieurs reprises. Chaque fois, le professeur leur avait parlé du théorème, jamais de l’homme. D’ailleurs, en cours de maths, on ne parlait jamais de personne. De temps en temps, un nom tombait, Thalès, Pythagore, Pascal, Descartes, mais c’était seulement un nom, comme celui d’un fromage ou d’une station de métro. On ne parlait pas non plus de où ni de quand ça s’était fait.

« Le théorème du perroquet » (Denis Guedj)

Les formules, les démonstrations, les théorèmes atterrissaient sur le tableau. Comme si personne ne les avait créés, comme s’ils avaient été là de tout temps, comme les montagnes ou les fleuves. Encore que les montagnes, elles, n’avaient pas été là de tout temps. Et l’on arrivait à ceci que les théorèmes avaient l’air plus intemporels que les montagnes ou les fleuves ! Les maths, ce n’était ni l’histoire, ni la géographie. C’était quoi au juste ? La question n’intéressait pas grand monde.

PLAN

A) RepérageB) Les différents niveaux de géométrieC) Les changements de points de vueD) La géométrie mentaleE) Les solides

PARTIE A

REPERAGE

- Repérage sur soi et par rapport à soi- Le repérage par rapport à une autre personne- Le repérage par rapport à un objet orienté / non orienté- Des problèmes liés au vocabulaire

Représentation plane des objets de l'espace

A l'école primaire l'enfant est confronté à trois modes de représentation plane de l'espace :

● la vue de dessus (plan)● la perspective centrale (photo)● la perspective cavalière (figures géométriques)

Analyse d'une activité tirée d'un manuel de CE1

Où est l'observateur ? (1)

Complète les phrases. Utilise les mots : à droite de, à gauche de, devant, derrière.

Le banc se trouve ……………la fontaine.Le bac à sable est ……………les rochers.Le dolmen est ………………le petit bois.La statue est ………………la balançoire.

Où est l'observateur ? (2)

L'exercice demande de repérer un objet par rapport à un autre objet.

La réponse dépend donc de celui qui regarde.

Où est l'observateur ? (3)

Mode de représentation -->Place de l'observateur

Plan ---> Vue de dessus

Photo ---> Face au point de fuite

Perspective cavalière ---> Rejeté à l'infini

Plan, Photo ou Figure ?L'image fait penser à une photo mais il n'y a pas de point de fuite

Perspectivecavalière

Plan (vue de dessus)

Où est l'observateur ? Je ne sais pas répondre !

Complète les phrases. Utilise les mots : à droite de, à gauche de, devant, derrière.

Le banc se trouve ……………la fontaine.Le bac à sable est ……………les rochers.Le dolmen est ………………le petit bois.La statue est ………………la balançoire.

PARTIE B

LES DIFFERENTS NIVEAUX DE GEOMETRIE

Approche de la géométrie en terme de « niveaux » d’action et de pensée

● Géométrie 1 (géométrie naturelle)● Géométrie 2 (géométrie axiomatique

naturelle)● Géométrie 3 (géométrie axiomatique formelle)

Géométrie 1 Géométrie 2

17

Géométrie de la perception Est vrai ce que je voisBoîte à outil géométrique : l’œil

École maternelle, cycle 2

Géométrie instrumentée Est vrai ce qui est contrôlé à l’aide d’instrumentsBoîte à outil géométrique : règle, compas, équerre, gabarit …

Fin du cycle 2, cycle 3

Géométrie déductive Est vrai ce que je démontre

Figure distinguée du dessinBoîte à outil géométrique : théorèmes, définitions, axiomes.

Collège

Géométrie 1

Géométrie 2

Les géométries 1 et 2 dans le cadre de la géométrie plane

La géométrie 1

C’est une approche physique des phénomènes qui utilise souvent comme support le « micro-espace » de la feuille de papier. Les objets sont des « objets matériels » (dessins…). Les instruments sont les instruments usuels de la géométrie (règle, équerre, compas…). C’est le lieu d’une approche heuristique expérimentale, où peut se développer des raisonnements dynamiques. On peut y trouver un premier niveau de validation souvent basé sur des constats physiques (ex : vérification avec des instruments (règles, équerre…)).

La géométrie 2

C’est une approche théorique des phénomènes qui utilise comme support le plan mathématique. Les objets sont des objets « idéaux » (figures…). Les « mouvements » sont traduits par des « transformations ». L’argumentation, de nature « hypothético-déductive » repose sur des propriétés, et la validation sur la démonstration.

Les programmes d’enseignementCycle 1

● Découvrir les formes et les grandeurs● En manipulant des objets variés, les enfants repèrent

d’abord des propriétés simples (petit/grand ; lourd/léger). Progressivement, ils parviennent à distinguer plusieurs critères, à comparer et à classer selon la forme, la taille, la masse, la contenance.

● compétences– se situer dans l’espace et situer les objets par rapport à soi – se repérer dans l’espace d’une page ;– comprendre et utiliser à bon escient le vocabulaire du repérage et

des relations dans le temps et dans l’espace.

Les programmes d’enseignementCycle 2

● Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière d’orientation et de repérage. Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides. […] Ils utilisent un vocabulaire spécifique.

● Compétences– situer un objet par rapport à soi ou à un autre objet, donner

sa position et décrire son déplacement ;– reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les

solides usuels ;

Les programmes d’enseignementCycle 3

● L’objectif principal de l’enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement d’une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure.

● Compétences● Les solides usuels : cube, pavé droit, cylindre, prismes droits,

pyramide.– reconnaissance de ces solides et étude de quelques patrons ;– vocabulaire spécifique relatif à ces solides : sommet, arête, face.

● Compétences de fin de cycle– reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels

Le problème du carreleur

Avec quels types de quadrilatère

peut-on paver le plan ?

Précisons : on choisit un quadrilatère ; en « reportant » ce quadrilatère copie conforme, peut-on paver le plan ?

Démarche expérimentale (démarche d’investigation)

par abandon de contraintes, de régularités (de propriétés)

Un carré

Un rectangle

Un losange

Un parallélogramme

Un trapèze

Et avec un quadrilatère quelconque ?

Pas possible !

Si !

Comment ?Utilisation de symétries centrales (demi-tours)

Pourquoi ?La somme des angles d’un quadrilatère est 360°

(ni « trous » ni « chevauchements »)

L’aller retour entre le monde physique et le monde mathématique

Géométrie 1 Géométrie 2Plan physique Plan mathématique

Gestes physiques (mouvements)

Gestes mathématiques (transformations)

Objets physiques (dessins) Objets mathématiques (figures)

Comment ? (heuristique) Pourquoi ? (validation : démonstration)

Expérience Certitude

Monde physique Monde mathématique

PARTIE C

CHANGEMENTS DE POINTS DE

VUE

Intérêt de l'enseignement de la géométrie

Une compétences essentielleà développer dans le domaine de la

géométrie

q Être capable de voir une figure selon plusieurs points de vue.

Pour passer d’une vision à 2 D à une vision à 1 D des objets géométriques

1ier point de vue

Une juxtaposition de formes géométriques aux contours fermés

Cap maths CM1 2010

Un assemblage de d’objets géométriques simples

3ième point de vue

Un second exemple

Un troisième exemple

La capacité à concevoir une figure géométrique comme un réseau de lignes (de droites) et de points permet de construire les notions de :

q alignementq perpendicularitéq Parallélismeq Égalité de longueurs

Quelques exemples de difficultés

L’acquisition de cette compétence est essentielle pour que les élèves réussissent :

q dans les activités de reproduction de figures

q dans les activités de construction de figuresq dans les activités de lecture et d’écriture de

scénarios

Des activités qui peuvent aider les élèves à changer de regard

PARTIE D

GEOMETRIE MENTALE

Extrait du site de Jean Luc BREGEON

Jean Luc BREGEON

Mise en œuvre

q Une fois par semaine, avant chaque séance de

géométrie.

q Sur ardoise : Avantage : rapidité, un ou deux scénarios

à chaque séance.

q Sur papier : Avantage : mémoire de travail

q Confrontation des productions en référence au scénario

dicté. Le scénario écrit n’est visible que lors de cette

phase. 

Quand, comment ?

1. Trace une ligne courbe ouverte.

2. Trace une ligne courbe fermée.

3. La figure est formée d’une ligne droite et d’un point placé sur la ligne.

4. La figure se compose d’une ligne droite et d’un point placé à l’extérieur de la ligne.

5. La figure se compose d'une ligne droite et de trois points, deux sur la droite et un à

l'extérieur de la droite.

6. La figure se compose d’un segment de droite et d’un point placé au milieu du segment.

7.  La figure se compose d’un segment de droite AB et d’un point placé en dehors du

segment.

8.  Tracer deux lignes droites qui se coupent au point O.

Des exemples

9.Tracer deux droites parallèles.

10.Tracer deux droites perpendiculaires.

11.Tracer deux droites parallèles et une autre droite qui les coupe.

12.Tracer deux droites parallèles et deux autres droites parallèles qui coupent

les deux premières.

13.Tracer deux droites parallèles et deux autres droites qui coupent les deux

premières.

14.Tracer deux droites perpendiculaires et marquer un point à l'extérieur des

deux droites.

15. Tracer un segment AB et un segment AC.

68. Dessiner un quadrilatère qui a deux côtés de même longueur et deux

seulement.

69. Dessiner un quadrilatère qui a deux côtés de même longueur et un angle

droit.

71. Trace un triangle rectangle et marque les milieux des trois côtés. Relie

ces milieux pour former un rectangle.

72. Cette figure est formée d'un carré et des deux segments qui relient les

milieux des côtés opposés. On a tracé le cercle qui a pour diamètres ces

deux segments.

73. Cette figure est formée d'un carré et des deux segments qui relient les

milieux des côtés opposés. On a tracé le carré qui a pour diagonales ces

deux segments.

q Donner aux élèves la possibilité d’envisager mentalement une figure, indépendamment des contraintes de tracé aux instruments.

q Faire utiliser le vocabulaire géométrique en situation et évaluer sa compréhension et sa mobilisation.

q Favoriser la liaison entre la description d’une figure et sa représentation graphique

q Permettre une prise de conscience des propriétés des figures et une approche de l’argumentation.

q Faire évoluer chez les élèves le statut de la figure géométrique, en dépassant le simple dessin géométrique aux instruments 

q Comprendre qu’il y a parfois plusieurs interprétations valides.

q Prendre conscience des propriétés et de la nécessité de leurs codages.

Ses objectifs

PARTIE E

ACTIVITES AUTOUR DES

SOLIDES

Bibliographie :Ermel CE1 CE2 Vivre les mathsLa tribu des mathsCAP maths CE1Activités de l’académie de CréteilDocuments COPIRELEMRevue « Grand N »« Donner du sens aux mathématiques » Tome 1 – Bordas pédagogie« Enseigner la géométrie » Cycle des approfondissements fondamentaux – Bordas« Enseigner les mathématiques à l’école primaire » Géométrie, grandeurs et mesures – Vuibert« Mathématiques – Nouveau concours » Vuibert Concours