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Gestion des stocks (GPO-1004)

La régression linéaire

La régression linéaire est une technique statistique qui permet de mettre en relation une ou plusieurs variables indépendantes (ou explicatives) avec une variable dépendante (ou expliquée). En tant que méthode de prévision, la régression linéaire est une méthode explicative. Le comportement de la variable à prévoir est, en effet, expliqué par le comportement des ou de la variable indépendante. Par exemple, les ventes de certains articles de Meublex pourraient dépendre des budgets en publicité, du nombre de vendeurs constituant l’équipe de vente, du temps de publicité à la télévision ou à la radio, etc.

Le principe d’une régression consiste à établir un lien quantitatif entre les données se rapportant aux variables indépendantes et celles se rapportant à la variable dépendante. Ce lien quantitatif prend la forme d’une droite (que l’on appelle droite de régression) qui suit le modèle suivant :

Yt = 0 + 1X1,t + 2X2,t + … + kXk,t + et

Cette droite de régression nous indique que la valeur de la variable dépendante Y à la période t (Yt) est déterminée en partie par un niveau moyen de base (0) et par les valeurs que prennent les différentes variables indépendantes pour cette même période t (Xi,t, i=1, …, k). De plus, les valeurs des coefficients i, i=1, …, k représentent la contribution marginale de chacune des variables indépendantes par rapport aux valeurs prises par Yt. On remarque également la présence du terme et; ce terme est appelé le terme d’erreur et représente la partie de Yt qui n’est pas expliquée par b0 et par les différentes valeurs des Xi,t. En effet, puisque Yt est une variable aléatoire, il en résulte que les différentes valeurs prises par cette variable sont expliquées non seulement par les valeurs correspondantes des variables dépendantes mais aussi par des fluctuations aléatoires qui sont inexplicables.

Le principal problème dans l’utilisation d’une régression linéaire consiste à estimer les meilleures valeurs possibles pour le niveau moyen de base 0 et pour les coefficients i, i=1, …, k.

La régression linéaire simple

La régression linéaire simple met en relation une variable dépendante avec une seule variable indépendante. Le modèle de la régression linéaire simple est donc :

Yt = 0 + 1Xt + et

En statistiques, il existe un résultat important concernant la régression linéaire simple qui peut être énoncé comme suit :

Chapitre 1 : La prévision de la demande 62


Si la relation entre la variable dépendante Y et la variable indépendante X est linéaire, alors il existe des estimateurs de 0 et 1 qui minimisent la somme des erreurs au carré.

Ces estimateurs sont notés b0 et b1 et se calculent comme suit :

b0 =Xi

2i = 1

n

Yii = 1

n

– Xii = 1

n

XiYii = 1

n

n Xi2

i = 1

n

– Xii = 1

n 2

b1 =n XiYi

i = 1

n

– Xii = 1

n

Yii = 1

n

n Xi2

i = 1

n

– Xii = 1

n 2

Les calculs peuvent toutefois être simplifiés; en effet la relation suivante demeure toujours vraie :

Y = b0 + b1X

Connaissant l’une des valeurs de b0 ou de b1, l’autre valeur peut donc être calculée à partir de la moyenne de la variable dépendante (Y ) et de la moyenne de la variable indépendante (X ) :

b0 = Y – b1X

b1 =Y – b0

X

À partir des valeurs de b0 et de b1, on peut formuler la droite de régression empirique :

Yi = b0 + b1Xi

Cette droite de régression stipule que pour chaque valeur de la variable indépendante X, il est possible de calculer une estimation de la valeur que prendra la variable dépendante Y.

Exemple 1.10Concernant les ventes d’étagères de rangement, modèle E-929 (voir exemple 1.6), une analyse doit être faite pour vérifier le lien existant entre le volume mensuel des ventes des 12 derniers mois et le budget mensuel en publicité. Le tableau suivant (tableau 1.19) présente les données pertinentes pour cette analyse. À partir de ces données, déterminez les valeurs de b0 et de b1 et spécifiez l’équation pour la droite de régression. Quelle interprétation donnez-vous à la droite de régression?



Tableau 1.19

Demande des 24 derniers mois pour les étagères E-929 et budget publicitaire mensuel

période demandebudget

publicitaire ($)1 1191 300002 1239 250003 1235 300004 1330 400005 1342 350006 1332 400007 1374 400008 1402 400009 1504 4500010 1502 3500011 1588 5000012 1607 45000

Solution, exemple 1.10 :

Pour travailler avec une régression linéaire, la première chose à faire est de déterminer quelle est la variable dépendante et quelle est la variable indépendante. La variable indépendante est toujours celle à partir de laquelle on cherche à expliquer le comportement de la variable dépendante. Dans ce cas-ci, puisque que l’on cherche à expliquer la demande à partir du budget publicitaire mensuel, il s’ensuit que la variable indépendante sera le montant du budget mensuel en publicité (X) et la variable dépendante sera la demande (Y). La figure 1.21 illustre la relation entre la variable indépendante X et la variable dépendante Y.



Figure 1.21

Graphique de la demande par rapport au budget publicitaire mensuel

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

25000 30000 35000 40000 45000 50000

budget publicitaire mensuel

dem

ande

Le tableau suivant (tableau 1.20) présente les différentes étapes des calculs pour b0 et b1

afin de déterminer la droite de régression. Il est à noter que pour simplifier les calculs, les valeurs de la variable indépendante X ont été divisées par 1 000. De telles simplifications sont possibles mais il faudra toutefois en tenir compte dans la formulation de l’équation de la droite de régression.

Tableau 1.20

Calculs pour détermine b0 et b1

i Xi (x 1 000) Yi Xi2 XiYi

1 30 1191 900 35 7302 25 1239 625 30 9753 30 1235 900 37 0504 40 1330 1600 53 2005 35 1342 1225 46 9706 40 1332 1600 53 2807 40 1374 1600 54 9608 40 1402 1600 56 0809 45 1504 2025 67 68010 35 1502 1225 52 57011 50 1588 2500 79 40012 45 1607 2025 72 315

sommes 455 16 646 17 825 640 210

b0 =Xi

2i = 1

n

Yii = 1

n

– Xii = 1

n

XiYii = 1

n

n Xi2

i = 1

n

– Xii = 1

n 2 = (17 825)(16 646) – (455)(640 210)12(17 825) – (455)2 = 788.276



b1 =n XiYi

i = 1

n

– Xii = 1

n

Yii = 1

n

n Xi2

i = 1

n

– Xii = 1

n 2 = 12(640 210) – (455)(16 646)12(17 825) – (455)2 = 15,795

Tel que mentionné précédemment, il aurait été possible de calculer une ou l’autre des valeurs de b0 ou de b1 en n’en connaissant qu’une seule et en connaissant la moyenne de X et de Y. Par exemple, après avoir calculé b0, il aurait été possible de calculer b1

comme suit :

b1 =Y – b0

X=

16 646 1216 646 12 – 788,276455 12455 12

= 15,795

De même, à partir de b1, il aurait été possible de calculer b0 de la façon suivante :

b0 = Y – b1X = 16 646 1216 646 12 – 15,795(455 12455 12) =788,27

À partir des valeurs de b0 et de b1, nous obtenons la droite de régression suivante :

Y = b0 + b1X = 788,27 + 0,015795X

Il est à noter que la valeur de b1 (la pente de la droite de régression) est divisée par 1 000 ; puisque les calculs ont été faits à partir du budget publicitaire mensuel divisé par 1 000, il faut appliquer le même facteur de conversion à b1. Par contre, la valeur de b0

demeure inchangée.

L’équation de la droite de régression s’interprète alors comme suit : pour chaque $ de budget publicitaire mensuel, la demande prévue augmente de 0,015795 unité à partir d’une demande de base de 788,27 unités (quand le budget est de 0).

Pour effectuer des prévisions à partir d’une régression linéaire simple, il est nécessaire de spécifier une valeur pour la variable indépendante. Une fois cette valeur spécifiée, celle de la variable dépendante peut être calculée à partir de l’équation de la droite de régression. Pour l’exemple précédent, si le budget publicitaire du prochain mois s’établit à 45 000 $, les ventes de ce mois (période 13) pourront être estimées à :

Y13 = 788,27 + 0,015795(45 000) = 1 499 unités

Coefficient de corrélation

Avec la régression linéaire simple se pose le problème d’évaluer dans quelle mesure la variable X contribue à expliquer les variations observées pour la variable dépendante Y. Puisque la régression linéaire constitue une modèle qui suppose une lien linéaire entre X



et Y, la mesure utilisée est une mesure de corrélation linéaire appelée coefficient de corrélation (r). Le coefficient de corrélation se calcule de la façon suivante :

r =Xi – X Yi – Y

i = 1

n

Xi – X 2i = 1

n

Yi – Y 2i = 1

n

La valeur de r est toujours un nombre compris entre –1 et 1; une valeur de r = -1 implique une corrélation linéaire négative parfaite entre X et Y et une valeur de r = 1 implique une corrélation linéaire positive parfaite entre X et Y. Plus la valeur de r est près de 0, plus la corrélation entre X et Y est faible.

Une propriété intéressante du coefficient de corrélation linéaire r est que si cette valeur est élevée au carré, la valeur de r2 ainsi obtenue (appelée coefficient de détermination) représente le pourcentage de variation de Y expliquée par les variations de X.

Le coefficient de corrélation r ou le coefficient de détermination r2 sont particulièrement utiles pour choisir, parmi un ensemble de variables explicatives possibles, celle qui constitue la meilleure variable X à utiliser dans un modèle de régression pour fins de prévisions.

La décomposition

L’élimination de la tendance

De façon générale, une série d’observations non stationnaires (mais sans effets saisonniers) peut être rendue stationnaire en effectuant ce que l’on appelle une différenciation de premier ordre. Pour des données ne comportant qu’une tendance (à la hausse ou à la baisse), sans variations saisonnières, il est donc possible de transformer la série des observations originales (notée Xt) en une série exempte de tendance (notée X’

t) par différenciation de la façon suivante :

X’t = Xt – Xt-1 , t = 2, …, T

Dans l’équation précédente, T est le nombre de périodes pour lequel des données historiques sont disponibles.

Si une première différenciation ne suffit pas à produire une nouvelle série X’t

stationnaire, une deuxième différenciation de premier ordre peut être faite sur la série X ’t

déjà différenciée pour produire une nouvelle série X’’t :

X’’t = X’

t – X’t-1 , t = 3, …, T

Ces deux différenciations successives constituent une différenciation de second ordre.



L’avantage de procéder à une décomposition par différenciation sur des données comportant une tendance est que les données de la série X ’

t ou X’’t sont des données

stationnaires et que des méthodes de prévision simples peuvent par la suite être utilisées pour obtenir des estimations de la demande pour des périodes futures. Rappelons que les méthodes de prévisions appropriées pour des séries d’observations stationnaires sont les méthodes basées sur une moyenne, le lissage exponentiel simple ou encore, le lissage exponentiel adaptatif.

Pour le cas de la différenciation de premier ordre, une fois les prévisions obtenues sur la série X’

t, il faut refaire l’inverse de la différenciation pour obtenir les prévisions de la demande des périodes futures. Puisque la série X’

t a été obtenue en prenant la différence entre deux observations consécutives, il s’ensuit que la dernière valeur de X’

t calculée est :

X’T = XT – XT-1

Les prévisions effectuées à partir de la série X’t sont donc pour les périodes T+1 et les

suivantes. Notons P’t une prévision pour la période t à partir de la série X’

t. Ainsi, P’T+1

est la prévision pour la période T+1 de la valeur X’T+1. Or :

X’T+1 = XT+1 - XT

Ne connaissant pas la valeur de X’T+1 mais disposant de sa prévision P’

T+1, on obtient :

P’T+1 = XT+1 - XT

De cette dernière équation, on trouve :

XT+1 = P’T+1 +XT

Mais puisque la demande réelle de la période T+1 n’est pas encore connue, la partie P’

T+1 + XT représente en fait la prévision, pour la série originale Xt, de la demande pour la période T+1 :

PT+1 = P’T+1 +XT

Exemple 1.11À partir des données de l’exemple 1.6 pour les étagères E-929, effectuez une différenciation des données pour obtenir une série stationnaire sur laquelle vous utiliserez le lissage exponentiel simple afin d’obtenir une prévision pour la demande de la période 25. Utilisez comme constante de lissage la valeur =0,2 et intialisez la méthode de prévision en prenant P’

2 = X’2.




Tableau 1.21

Différenciation et prévisions sur la série différenciée

période demande X't P'

t

1 1 0912 1 006 -85 -85,003 1 105 99 -85,004 1 034 -71 -48,205 1 095 61 -52,766 1 081 -14 -30,017 1 136 55 -26,818 1 116 -20 -10,459 1 109 -7 -12,3610 1 199 90 -11,2811 1 209 10 8,9712 1 232 23 9,1813 1 191 -41 11,9414 1 239 48 1,3515 1 235 -4 10,6816 1 330 95 7,7517 1 342 12 25,2018 1 332 -10 22,5619 1 374 42 16,0520 1 402 28 21,2421 1 504 102 22,5922 1 502 -2 38,4723 1 588 86 30,3824 1 607 19 41,5025 37,00

Pour les périodes t = 2 , …, 24, la série X’t est calculée comme suit :

X’2 = X2 – X1 = 1 006 – 1 091 = -85

X’3 = X3 – X2 = 1 105 – 1 006 = 99

…

X’24 = X24 – X23 = 1 607 – 1 588 = 19

À partir de la série X’t, il reste à faire les prévisions à l’aide du lissage exponentiel. La

quatrième colonne du tableau donne les résultats obtenus. Ainsi, la prévision pour la période 25 sur la série différenciée est P’

25 = 37,5. La prévision finale, pour la période 25 de la série originale sera alors :

P25 = P’25 + X24 = 37,0 + 1 607 = 1 644



Il faut noter que les valeurs de X’t représentent le taux de croissance (ou de décroissance)

des observations. Les valeurs de P’t représentent donc une estimation du taux moyen de

croissance de sorte que si une prévision est requise pour plus d’une période dans le futur, il faut ajouter autant de fois la dernière valeur de P’

t calculée. Ainsi, de façon générale :

PT+m = mP’T+1 + XT

où m représente le nombre de périodes, après la période de la dernière observation (période T), pour lequel une prévision est requise.

De la sorte, pour l’exemple 1.11, si une prévision pour la période 26 était requise, nous aurions :

P26 = P24+2 = 2P’25 + X24 = 2(37) + 1 607 = 1 681.

Avec la différenciation, il faut toutefois faire attention au type de tendance qui affecte les données. On se rappelle que la tendance peut être additive ou multiplicative (voir figures 1.7 a et b). Une tendance est additive si le taux moyen d’augmentation ou de diminution des observations est constant alors qu’une tendance est multiplicative si le taux moyen d’augmentation ou de diminution s’accentue ou diminue dans le temps. Pour les données de l’exemple 1.11 (voir figure 1.22), on peut constater qu’en fait, les observations ont une légère propension à augmenter de plus en plus avec les temps; la tendance serait donc multiplicative plutôt que additive.

Dans un tel cas, la différenciation simple (X’t = Xt – Xt-1) ne permet pas de prendre en

compte l’augmentation du taux moyen de croissance des observations. Pour ce faire, il faut avoir recours à une différenciation de second ordre, c’est-à-dire une deuxième différenciation des données différenciées. Cette deuxième différenciation permet d’obtenir une série X’’

t de la façon suivante :

X’’t = X’

t – X’t-1

Pour les données de l’exemple 1.11, les résultats des différenciations d’ordre 1 et d’ordre 2 sont présentées au tableau 1.22.



Figure 1.22

Demande pour les étagères E-929

950

1050

1150

1250

1350

1450

1550

1650

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

période

dem

and

e

Tableau 1.22

Différenciation d’ordre 1 et d’ordre 2 pour les données de l’exemple 1.11

période demande X't X''

t

1 1 0912 1 006 -853 1 105 99 1844 1 034 -71 -1705 1 095 61 1326 1 081 -14 -757 1 136 55 698 1 116 -20 -759 1 109 -7 1310 1 199 90 9711 1 209 10 -8012 1 232 23 1313 1 191 -41 -6414 1 239 48 8915 1 235 -4 -5216 1 330 95 9917 1 342 12 -8318 1 332 -10 -2219 1 374 42 5220 1 402 28 -1421 1 504 102 7422 1 502 -2 -10423 1 588 86 8824 1 607 19 -6725



Comme on peut le constater à la figure 1.23, une seule différenciation ne permet pas d’éliminer l’effet multiplicatif de la tendance. On constate en effet que le graphique de la série X’

t représente des valeurs qui, en moyenne, croissent encore. Cet effet de croissance, qui demeure malgré une différenciation de premier ordre, constitue l’indication que le taux de croissance n’est pas constant mais qu’il augmente dans le temps (la série X’

t n’est donc pas stationnaire).

Figure 1.23

Valeurs de X’t pour les données de l’exemple 1.11

-100

-50

0

50

100

150

1 6 11 16 21

périodes

X't

Figure 1.23

Valeurs de X’’t pour les données de l’exemple 1.11

-200

-150

-100-50

0

50100

150

200250

1 6 11 16 21

périodes

X''t



Une deuxième différenciation permet d’éliminer l’effet de l’augmentation du taux de croissance; la figure 1.23 montre bien que les valeurs de X ’’

t ne sont plus que des variations aléatoires autour d’un niveau moyen constant (la série X’’

t est donc stationnaire).

En présence de données qui comportent une tendance multiplicative, il faut donc effectuer une différenciation d’ordre 2 et utiliser une méthode de prévision pour données stationnaires afin d’obtenir une prévision à partir de la série X ’’

t. La prévision de la demande pour une période future sera alors obtenue de la façon suivante :

PT + m = m2PT + 1 + mXT

+ XT

À partir du tableau 1.22, on peut donc obtenir les prévisions pour les 4 prochaines périodes (périodes 25, 26, 27 et 28) de la façon suivante (la prévision P ’’

25 = -2,25 a été obtenue à partir d’une moyenne mobile d’ordre 4) :

P25 = P24 + 1 = m2P25 + 1X24

+ X24 = – 2,25 + 19 + 1607 = 1623,75

P26 = P24 + 2 = m2P25 + 2X24

+ X24 = –2,25(4) + (2)19 + 1607 = 1636

P27 = P24 + 3 = m2P25 + 3X24

+ X24 = –2,25(9) + (3)19 + 1607 = 1643,75

P28 = P24 + 4 = m2P25 + 4X24

+ X24 = –2,25(16) + (4)19 + 1607 = 1647

La désaisonnalisation

Pour des séries de consommation sans tendance mais avec des variations saisonnières, il est possible d’effectuer une transformation des données originales (Xt) en des données exemptes de variations saisonnières (X’

t). Cette transformation se fait à l’aide d’une moyenne mobile d’ordre L, où L est la longueur des cycles saisonniers.

Xt = 1

L Xt – i + 1i = 1

L , t = L, …, T

La nouvelle série X’t est ainsi constituée des observations désaisonnalisées à partir

desquelles des prévisions (P’t) peuvent être effectuées en utilisant une des méthodes pour

séries stationnaires. Pour obtenir les prévisions finales (pour la série X t), il faut par la suite corriger les prévisions sur la série X’

t en les multipliant par l’indice saisonnier de la période pour laquelle une prévision est requise. Le calcul des indices saisonniers s’effectue en 2 étapes :



1. Calcul du ratio saisonnier Rt pour les périodes t = L, …, T :Rt = Xt / X’

t , t = L, …, T

2. Calcul des indices saisonniers pour les L périodes constituant la longueur d’un cycle saisonnier :

Ii = Moyenne [Rt : (t mod L) = i, t = L, …, T] , i = 1, …, L-1IL = Moyenne [Rt : (t mod L) = 0, t = L, …, T]

Une fois que les indices saisonniers des L périodes constituant un cycle saisonnier sont calculés, une prévision pour une période future quelconque sera obtenue de la façon suivante :

PT+m = P’T+m I(T+m mod L), T+m mod L 0

PT+m = P’T+m IL, T+m mod L = 0

Ainsi, une prévision pour m périodes après la période T (période de la dernière observation disponible) est obtenue en multipliant la prévision de la demande désaisonnalisée (P’

T+m) par l’indice saisonnier correspondant à la position de cette période dans le cycle saisonnier.

Exemple 1.12Le tableau 1.23 reprend les données de l’exemple 1.8 pour le modèle de chaises C-848. Effectuez une décomposition par désaisonnalisation pour obtenir une prévision de la demande pour les 4 prochaines périodes. La longueur du cycle saisonnier est L=4 périodes. Pour prévoir la demande désaisonnalisée, utilisez la moyenne mobile d’ordre 2.

Tableau 1.23

Demande des 12 derniers mois pour les chaises C-848

période demande1 3622 3853 4324 3415 3826 4097 4458 3359 36010 37511 44012 355




La première chose à faire est de désaisonnaliser les données originales à partir d’une moyenne mobile d’ordre L ; puisque pour cet exemple, la longueur du cycle saisonnier est de 4 périodes, une moyenne mobile d’ordre 4 sera donc utilisée (voir tableau 1.24 et figure 1.24). Une fois la série désaisonnalisée X’

t obtenue, les ratios saisonniers Rt sont calculés en divisant, pour les périodes 4 à 12, la série originale Xt par la série désaisonnalisée X’

t.

Tableau 1.24

Désaisonnalisation des données et calcul des indices saisonniers

période demande X’t = MM(4) Rt Ii

1 3622 3853 4324 341 380,00 0,89745 382 385,00 0,99226 409 391,00 1,04607 445 394,25 1,12878 335 392,75 0,85309 360 387,25 0,9296 I1 = 0,960910 375 378,75 0,9901 I2 = 1,018111 440 377,50 1,1656 I3 = 1,147112 355 382,50 0,9281 I4 = 0,8928

C’est à partir des ratios Rt que les indices saisonniers sont par la suite calculés. Chaque indice saisonnier est la moyenne de tous les ratios saisonniers pour les périodes positionnées à la même place dans les cycles saisonniers. Ainsi, l’indice saisonnier I 1

sera la moyenne des ratios R5 et R9 :

I1 = (R5 + R9)/2 = (0,9922 + 0,9296)/2 = 0,9609

Les indices I2 et I3 sont calculés de la même façon :

I2 = (R6 + R10)/2 = (1,0460 + 0,9901)/2 = 1,0181I3 = (R7 + R11)/2 = (1,1287 + 1,1656)/2 = 1,1471

Pour ce qui est de I4, puisque 3 ratios saisonniers sont disponibles (R4, R8 et R12), sa valeur sera donc la moyenne de ces 3 ratios :

I4 = (R4 + R8 + R12)/3 = (0,8974 + 0,8530 + 0,9281)/3 = 0,8928



Figure 1.24

Données originales et désaisonnalisées pour l’exemple 1.12

200

250

300

350

400

450

500

1 3 5 7 9 11

périodes

dem

ande

série originalesérie désaisonnalisée

Une fois les indices saisonniers calculés, il faut effectuer une prévision sur les données désaisonnalisées. Avec la moyenne mobile d’ordre 2, cette prévision sera :

P’13 = (X’

11 + X’12)/2 = (377,5 + 382,5)/2 = 380

Puisque la série X’t est stationnaire, les prévisions P’

14, P’15 et P’

16 seront identiques à la prévision P’

13.

Pour obtenir les valeurs finales des prévisions, incluant la saisonnalité, il suffit de multiplier les prévisions désaisonnalisées par les indices saisonniers correspondant aux périodes 13, 14, 15 et 16. Ainsi :

P13 = P’13 I1 = 380 (0,9609) = 365,14

P14 = P’14 I2 = 380 (1,0181) = 386,88

P15 = P’15 I3 = 380 (1,1471) = 435,90

P16 = P’16 I4 = 380 (0,8928) = 339,26



Décomposition en présence d’une tendance et d’un effet saisonnier

Lorsque les données comportent à la fois une tendance et un effet saisonnier, la décomposition devient une démarche plus complexe. Le processus de prévision, dans ce cas, comporte les 7 étapes suivantes.

Étape 1 : Déterminer la longueur L du cycle saisonnier. Généralement, il s’agit de 12 mois ou de 52 semaines selon l’unité de temps utilisée. Il se peut toutefois que la longueur du cycle saisonnier ne soit pas un an; plus loin dans ce chapitre, une section est consacrée à l’analyse des données en vue de déterminer la longueur d’un cycle saisonnier.

Étape 2 : Éliminer les effets saisonniers en calculant une moyenne mobile d’ordre L à partir des données originales.

Une attention particulière doit être portée à cette étape. Puisque les observations originales comportent à la fois une tendance et des variations saisonnières, le calcul de la moyenne mobile aura pour effet d’éliminer les effets saisonniers mais pas la tendance. En présence d’une tendance, une moyenne mobile d’ordre L estime le niveau moyen des observations pour un moment dans le temps, situé à mi chemin entre la première et la dernière période incluse dans le calcul de la moyenne mobile. La figure 1.25 illustre le fait que la moyenne des 4 dernières observations procure une estimation de la demande moyenne pour la période 13,5, soit la position centrale entre la période 15 (dernière période incluse dans le calcul de la moyenne mobile) et la période 12 (première période incluse dans le calcul de la moyenne mobile).

Pour les calculs de la moyenne mobile d’ordre L permettant de désaisonnaliser les observations, deux situations se présentent selon que la longueur L de la saisonnalité est paire ou impaire.

Si L est impair :

Xt = MMt L = 1

L Xii = t – L – 1

2

t + L – 12

, t = L + 12 , ... , T – L – 1

2

Si L est pair :

MMta L = 1

L Xii = t – L

2 + 1

t + L2

, t = L2 , ... , T – L

2

MMtb L = 1

L Xii = t – L

2

t + L2 – 1

, t = L2 +1, ... , T – L

2 + 1



Xt = MMt

a(L) + MMtb(L)

2 , t = L2 + 1, ... , T – L

2

Figure 1.25

Position dans le temps de X’t calculé à partir d’une moyenne mobile d’ordre L sur

des observations comportant une tendance

L = 4

X ’t = (X 1 2 + X 1 3 + X 1 4 + X 1 5 ) /4

950

1000

1050

1100

1150

1200

1250

1300

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

période

dem

ande

Étape 3 : Calculer les ratios saisonniers :

Rt = Xt

Xt , t = L + 1

2 , ... , T – L – 12 si L est impair

Rt = Xt

Xt , t = L

2 + 1 , ... , T – L2 si L est pair

Étape 4 : Calculer les indices saisonniers :



Ii = Moyenne [Rt : (t mod L) = i, t = L, …, T] , i = 1, …, L-1IL = Moyenne [Rt : (t mod L) = 0, t = L, …, T]

Étape 5 : Déterminer la pente sur les données désaisonnalisées pour l’estimation de la tendance (taux d’accroissement de la demande par unité de temps).

Cette étape se réalise en effectuant une régression linéaire sur les données désaisonnalisées (X’

t). Pour ce faire, la variable indépendante est la période (t) et la variable dépendante est la demande désaisonnalisée (X’

t). Une fois les coefficients de régression calculés, la valeur de b1, la pente de la droite de régression, constituera une bonne estimation de la tendance (se référer à la section La régression linéaire pour les formules permettant de calculer les valeurs de b0 et de b1 pour une régression linéaire simple).

Étape 6 : À partir de la régression obtenue à l’étape 5, effectuer les prévisions de la demande désaisonnalisée. La droite de régression est de la forme :

Pt = Yt = b0 + b1t

Pour obtenir une prévision pour une période t donnée, il suffit de remplacer t, dans l’équation précédente, par la période pour laquelle une prévision est requise et d’effectuer le calcul à partir des valeurs de b0 et de b1 pour obtenir P’

t.

Étape 7 : Une fois les prévisions P’

t obtenues, il reste à les ajuster en fonction de l’indice saisonnier qui correspond à la position de la période t à l’intérieur du cycle saisonnier :

PT+m = P’T+m I(T+m mod L), T+m mod L 0

PT+m = P’T+m IL, T+m mod L = 0



Exemple 1.13À partir des données de l’exemple 1.9 pour le modèle de chaises C-949, appliquez la méthode de décomposition pour des séries avec tendance et saisonnalité afin d’obtenir des prévisions pour les 4 prochaines périodes.


À partir de la figure 1.26, on constate que la demande des chaises C-949 subit l’effet simultané d’une tendance et d’une saisonnalité. De plus, une analyse préliminaire des données nous indique que la longueur d’une cycle saisonnier est de 4 périodes. Pour éliminer cet effet saisonnier, il sera donc nécessaire de travailler avec une moyenne mobile d’ordre 4.

Figure 1.26

Graphique des données pour la demande du modèle de chaises C-949

200250300350400450500550600650

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

période

dem

ande

L = 4

Mais puisque que la longueur de la saisonnalité est paire (4 périodes), il faudra combiner deux moyennes mobiles afin d’obtenir les niveaux moyens avec tendance centrés à mi-chemin entre les périodes utilisées pour le calcul de la moyenne mobile. Le tableau 1.25 présente les résultats des calculs pour la décomposition.



Tableau 1.25

Résultats des calculs pour la décomposition

période demande MM ta(4) MM t

b(4) X't Rt It

1 3622 385 380,03 432 380,0 385,0 382,50 1,12944 341 385,0 391,0 388,00 0,87895 382 391,0 407,5 399,25 0,95686 409 407,5 419,0 413,25 0,98977 498 419,0 441,8 430,38 1,1571 1,14338 387 441,8 467,8 454,75 0,8510 0,86499 473 467,8 488,8 478,25 0,9890 0,972910 513 488,8 510,5 499,63 1,0268 1,008211 582 510,512 474

Une fois la désaisonnalisation effectuée, nous obtenons les valeurs X’t (série

désaisonnalisée) ainsi que les indices saisonniers : I3 = 1,1433 (puisque la période 7 correspond à la troisième période d’une cycle saisonnier), I4 = 0,8649, I1 = 0,9729 et I2 = 1,0082.

À partir de la série X’t, il faut maintenant effectuer une régression linéaire simple afin de

déterminer la pente, ce qui constituera l’estimation de la tendance. Le tableau 1.26 présente les étapes des calculs de b0 et de b1 pour l’estimation de la droite de régression. Dans les calculs, la période constitue la variable indépendante (X) et la demande désaisonnalisée constitue la variable dépendante (Y).

Tableau 1.26

Calculs pour b0 et b1

période (X) X't (Y) Xi

2 XiYi

3 382,50 9 1 147,5004 388,00 16 1 552,0005 399,25 25 1 996,2506 413,25 36 2 479,5007 430,38 49 3 012,6258 454,75 64 3 638,0009 478,25 81 4 304,25010 499,63 100 4 996,25052 3 446,00 380,00 23 126,38



b0 =Xi

2i = 1

n

Yii = 1

n

– Xii = 1

n

XiYii = 1

n

n Xi2

i = 1

n

– Xii = 1

n 2 = 380(3 446) – 52(23 126,38)8(380) – 52 2 = 318,18

b1 =n XiYi

i = 1

n

– Xii = 1

n

Yii = 1

n

n Xi2

i = 1

n

– Xii = 1

n 2 = 8(23 126,38) – 52(3 446)8(380) – 52 2 = 17,32

À partir de b0, on aurait également pu calculer b1 de la façon suivante :

b1 = Y – b0

X =3 446 83 446 8 – 318,18

52 852 8= 17,32

La régression linéaire simple, avec comme variable dépendante X’t et comme variable

indépendante t, nous a donc permis de déterminer que la tendance était d’environ 17,32 unités par période.

À partir de la droite de régression, on peut maintenant obtenir des prévisions désaisonnalisées pour les 4 prochaines périodes, soit les périodes 13, 14, 15 et 16 :

P’13 = 318,18 + 17,32(13) = 543,34

P’14 = 318,18 + 17,32(14) = 560,66

P’15 = 318,18 + 17,32(15) = 577,98

P’16 = 318,18 + 17,32(16) = 595,30

Pour obtenir les prévisions finales (pour la série originale), il suffit de multiplier les prévisions désaisonnalisées par l’indice saisonnier correspondant à leur position dans le cycle saisonnier :

P13 = P’13 I1 = 543,34(0,9729) = 528,61

P14 = P’14 I2 = 560,66(1,0082) = 565,26

P15 = P’15 I3 = 577,98(1,1433) = 660,80

P16 = P’16 I4 = 595,30(0,8649) = 514,87

Correction des donnéesIl arrive fréquemment que certaines des données à partir desquelles les prévisions doivent être obtenues ne soient pas directement utilisables. Les deux principales raisons rendant nécessaire la correction de certaines données sont que des valeurs aberrantes peuvent être observées ou enregistrées, ou que les données sont agrégées selon des unités de temps qui ne comportent pas le même nombre de sous-unités de base.



Les valeurs aberrantes

Une valeur est dite aberrante lorsque celle-ci est d’un ordre de grandeur disproportionné par rapport à l’ordre de grandeur habituel des observations. Les causes de cette disproportion sont généralement de deux types : il peut s’agir d’une erreur de saisie des données (par exemple 1 000 au lieu de 100) ou d’un événement exceptionnel qui a fait en sorte que l’observation réelle ne reflète pas le niveau habituel des données. Un exemple classique se rapportant à cette dernière situation concerne la demande des différentes pièces de rechange pour les installations de transport et de distribution d’électricité d’Hydro-Québec lors de la tempête de verglas de janvier 1998. La figure 1.27 présente le cas de la demande d’un transformateur utilisé sur les lignes de transport de l’électricité, modèle AMC 14,4 – 120/240. On y constate que la demande du mois de janvier 98 (période 25) est plus de 7 fois plus importante que la demande moyenne normale.

Figure 1.27

Demande mensuelle pour le transformateur AMC 14,4 – 120/240

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31mois

Consommation

Une donnée comme celle de la période 25 à la figure 1.27 ne peut être utilisée directement dans le processus normal de prévision. Si aucun ajustement n’était apporté, les prévisions de la demande pour les périodes suivantes seraient anormalement gonflées.

Pour corriger une telle situation, il existe plusieurs possibilités selon la nature de la série d’observations. Si la série chronologique ne comporte pas de saisonnalité, la valeur aberrante peut être remplacée par la moyenne de l’observation qui la précède et de celle



qui la suit. Si une saisonnalité est présente, comme c’est le cas à la figure 1.27, il faut en tenir compte en remplaçant la valeur aberrante par la moyenne de la demande des périodes qui occupent la même position dans le cycle saisonnier ou par toute autre valeur qui représente bien le niveau normal de la demande à cette période.

Les jours ouvrables

Généralement, les prévisions sont obtenues à partir de données historiques qui sont regroupées mensuellement ou hebdomadairement. Dans la réalité, les mois ne comportent pas tous le même nombre de jours et les semaines ne sont pas toujours constituées du même nombre de jours ouvrables. Il est donc nécessaire d’effectuer certains ajustements afin d’obtenir des prévisions qui tiennent compte du fait que l’unité de temps selon laquelle les données sont amassées ne se divise pas en un même nombre de sous-unités de base. Le tableau suivant (tableau 1.27) présente des données pour les mois de février 1998 à juillet 1998 avec, pour chaque mois, le nombre de jours correspondant.

Tableau 1.27

Demande pour les mois de février 1998 à juillet 1998

MoisNombre de

jours DemandeDemande corrigée

Février 1998 28 1 224 1 311,43Mars 1998 31 1 567 1 516,45Avril 1998 30 1 438 1 438,00Mai 1998 31 1 778 1 720,64Juin 1998 30 1 700 1 700,00Juillet 1998 31 1 692 1 637,42

Une façon de corriger la demande de chacun des mois pour tenir compte du nombre différent de jours est de choisir un nombre de jours de référence et d’exprimer la demande de tous les mois en fonction de ce nombre de jours. Supposons que ce nombre de jours de référence soit 30. La demande du mois de février 1998 étant de 1 224 pour 28 jours, nous avons donc une demande de 43,714 unités par jour qu’il suffit de multiplier par 30 pour obtenir la demande corrigée sur la base de 30 jours par mois :

Demande corrigée pour février 1998 = (1 224 / 28) x 30 = 1 311,43

La demande corrigée peut donc être calculée selon la formule suivante :

X’t = (Xt / nt) x nb

X’t représente la demande corrigée pour le mois t, Xt est la demande réelle du mois t, nt

est le nombre de jours dans le mois t et nb est le nombre de jours de base choisi.



Une fois la demande corrigée obtenue, les prévisions P’t sont effectuées sur la série

corrigée et la prévision finale, qui tient compte du nombre réel de jours dans le mois, sera obtenue en divisant P’

t par nb et multipliant par le nombre de jours dans le mois pour lequel une prévision est faite. Pour les données du tableau 1.27, une moyenne mobile d’ordre 4 nous donnerait, comme prévision pour la demande corrigée du mois d’août 1998 :

P’août 1998 = (1 438,00 + 1 720,64 + 1 700,00 + 1 637,42) / 4 = 1 624,01

Puisque le mois d’août comporte 31 jours, la prévision finale sera :

Paoût 1998 = (P’août 1998 / 30) x 31 = 1 678,14

La formule générale pour la prévision finale est donc :

Pt = (P’t / nb ) x nt

Les erreurs de prévisionLes erreurs de prévision sont une source utile d’information pour quatre raisons :

1. pour l’ajustement des modèles de prévision et de leurs paramètres;2. pour l’évaluation des prévisions;3. pour l’estimation de l’écart-type de la demande;4. pour la détermination du stock de sécurité.

En ce qui concerne l’ajustement des modèles de prévision et de leurs paramètres, il s’agit d’une étape importante du processus de prévision (voir figure 1.1). Pour effectuer des prévisions à partir d’une série de consommations, plusieurs méthodes peuvent être utilisées et pour la plupart des méthodes, un ou plusieurs paramètres (ordre de la moyenne mobile, constantes de lissage, …) doivent être choisis. Pour effectuer ces choix, l’approche la plus répandue consiste à tester les méthodes de prévisions et les paramètres envisagés sur les données historiques en effectuant des prévisions comme si la demande de la période suivante n’était pas encore connue. Différentes statistiques sur les erreurs de prévision peuvent alors être calculées. En testant différentes méthodes et différentes valeurs pour les paramètres, il est alors possibles de comparer les statistiques sur les erreurs de prévision et de choisir la méthode et les paramètres qui ont donné les meilleurs résultats sur les données historiques.

Pour l’évaluation des prévisions, les statistiques sur les erreurs de prévision vont permettre d’évaluer la performance de la méthode de prévision utilisée au fur et à mesure qu’elle génère de nouvelles prévisions pour les périodes futures.



Mentionnons également que les erreurs de prévision vont également fournir les informations nécessaires pour permettre d’estimer l’écart-type de la demande, qui est une mesure de la variabilité imprévisible de la demande, donc de l’incertitude qui se rattache aux prévisions. Plus cet écart-type est faible, moins la variabilité imprévisible de la demande est grande et plus cet écart-type est grand, plus la variabilité imprévisible de la demande est grande. Cette mesure de l’incertitude est importante car elle met en relation le processus de prévision avec la détermination du stock de sécurité dans le processus de gestion des stocks.

Dans les sections suivantes, plusieurs statistiques sur les erreurs de prévisions seront examinées. Chacune d’entre elle fournie une information particulière et souvent complémentaire à d’autres statistiques.

L’erreur moyenne (EM)

L’erreur moyenne est la moyenne périodique des erreurs de prévision. Il s’agit d’additionner tous les termes d’erreurs disponibles et de diviser par le nombre de termes additionnés :

EM = 1n ei

i = 1

n

avec

ei = Xi - Pi

L’erreur moyenne est essentiellement une mesure du biais dans les prévisions. Un biais est un écart systématique entre les objectifs visés et les résultats obtenus, de sorte que si les prévisions sousestiment systématiquement la demande, un biais positif sera observé (valeur de EM positive et significative) alors que si les prévisions surestiment systématiquement la demande, un biais négatif sera observé (valeur de EM négative et significative).

La figure 1.28 illustre ce à quoi peut ressembler une série d’erreurs de prévision non biaisée. Les caractéristiques pour des prévisions non biaisées sont les suivantes :

· il n’y pas d’allure distinctive dans les erreurs de prévision;· les erreurs sont centrées à 0;· il y a à peu près autant de termes d’erreur positifs que négatifs.



Figure 1.28

Erreurs de prévision non biaisées

-500

0

500

0 10 20 30 40

L’erreur moyenne absolue (EMA)

Un problème avec l’erreur moyenne est que cette statistique fait en sorte que les erreurs positives sont annulées par les erreurs négatives. Cette propriété est désirable pour mesurer le biais mais elle ne permet pas d’avoir une idée de la distance moyenne qui sépare une prévision pour une période donnée avec la demande réelle. L’erreur moyenne absolue permet de mesurer, sans égard au signe des erreurs de prévision, l’écart moyen entre la demande réelle d’une période et la prévision pour cette même période qui avait préalablement été faite :

EMA = 1n ei

i = 1

n

avec

ei : valeur absolue de ei.

Les deux statistiques, EM et EMA, sont donc complémentaires dans la mesure où elles fournissent deux informations différentes concernant les erreurs de prévision. La première donne une indication du biais et la seconde permet de se faire une idée de combien, en moyenne, on se trompe lorsqu’une prévision est générée.

L’erreur moyenne absolue lissée (EMAt)

Une statistique qui est fréquemment utilisée par les systèmes de gestion des ressources matérielles comme SAGEM est l’erreur moyenne absolue lissée. Cette statistique est calculée en effectuant un lissage exponentiel simple sur les erreurs de prévision, en valeur absolue, pour chaque période :



EMA t = et + 1 – EMA t – 1

avec

: constante de lissage (0 1).

L’avantage d’utiliser la statistique EMAt est double : elle permet d’effectuer une simple mise à jour, à chaque période, de l’erreur moyenne absolue et elle permet d’obtenir une estimation de l’écart moyen entre les prévisions et la demande réelle qui s’ajuste mieux à mesure que de nouveaux termes d’erreur sont observés. Comme dans le cas de n’importe quelle méthode basée sur un lissage exponentiel, une constante de lissage comprise entre 0 et 1 est utilisée et plus la valeur de cette constante est grande, plus les valeurs de EMAt vont varier rapidement en fonction des nouveaux termes d’erreur enregistrés.

Le pourcentage moyen d’erreur absolue (PMEA)

Un problème avec les statistiques sur les erreurs de prévision vues précédemment est qu’elles sont dépendantes de l’ordre de grandeur des observations pour lesquelles des prévisions ont été obtenues. Ainsi, une erreur moyenne EM = -23 ne signifie pas la même chose si l’ordre de grandeur des observations est dans les milliers d’unités ou dans les centaines. Une valeur de EM = -23 pour des données dans les milliers d’unités n’est pas très significative alors que pour des données dans les centaines, elle peut s’avérer très importante. Comme il est souvent difficile de se faire une idée de l’importance réelle que représente les valeurs de EM, EMA ou EMA t, il est justifié d’utiliser une méthode qui procure une mesure relative, c’est-à-dire indépendante de l’ordre de grandeur des observations. Le pourcentage moyen d’erreur absolue permet de mesurer, en pourcentage, l’écart moyen entre les prévisions et les observations correspondantes :

PMEA = 100n

ei

Xii = 1

n

Exemple 1.14À partir du tableau 1.9 se rapportant aux données de l’exemple 1.4, calculez les valeurs de EM, de EMA, de EMAt avec une constante de lissage =0,2 et de PMEA. Pour les calculs se rapportant à EMAt, utilisez EMA1 = |e1|.




Tableau 1.28

Calcul des valeurs de EM, EMA, EMAt et PMEA

moisDemande

(Xt)Prévisions

(Pt) et |et| |et|/Xt EMAt

1 75 80,0 -5,0 5,0 0,0667 5,002 86 79,0 7,0 7,0 0,0814 5,403 84 80,4 3,6 3,6 0,0429 5,044 78 81,1 -3,1 3,1 0,0397 4,655 83 80,5 2,5 2,5 0,0301 4,226 72 81,0 -9,0 9,0 0,1250 5,187 81 79,2 1,8 1,8 0,0222 4,508 79 79,6 -0,6 0,6 0,0076 3,729 75 79,4 -4,4 4,4 0,0587 3,8610 77 78,6 -1,6 1,6 0,0208 3,4111 77 78,2 -1,2 1,2 0,0156 2,9612 84 78,0 9,0 9,0 0,1071 4,17

Somme -1 48,8 0,6178

EM = 1n ei

i = 1

n

= –112 = –0,083

EMA = 1n ei

i = 1

n

= 48,812 = 4,07

PMEA = 100n

ei

Xi= 100

12 0,6178 = 5,15%i = 1

n

EMAt = |et| + (1-)EMAt-1

EMA2 = 0,2(7,0) + 0,8(5) = 5,40EMA3 = 0,2(3,6) + 0,8(5,40) = 5,04…EMA12 = 0,2(9,0) + 0,8(2,96) = 4,17

À la lumière de ces résultats, on constate que les prévisions sont à toute fin pratique non biaisées (EM = -0,0833 est très près de 0 et non significatif par rapport à l’ordre de grandeur des données) ; de plus, la valeur de EMA nous indique que en moyenne, l’écart entre une prévision et l’observation correspondante est d’environ 4, ce qui représente à peine 5% en terme de pourcentage d’écart absolu (PMEA = 5,15%). Finalement, la valeur EMA12 = 4,17 indique sensiblement la même chose que la statistique EMA.



Le PMEA ajusté (PMEAA)

La statistique PMEAA évalue les erreurs de prévision non pas par rapport à l’observations réelle des périodes correspondantes mais par rapport à la moyenne entre ce qui a été prévu et ce qui s’est réalisé. L’idée est de comparer l’erreur de prévision de chacune des périodes avec une estimation du niveau moyen de la demande qui élimine en partie les variations aléatoires non prévisibles :

PMEAA = 100n

ei

Xi + Pi2

Xi + Pi2

i = 1

n

En comparaison avec la statistique PMEA, le PMEAA fait en sorte qu’une sous-estimation de la demande aura un plus grand impact qu’une surestimation identique en valeur absolue. Cette mesure peut donc être avantageusement utilisée s’il existe de bonnes raisons de croire qu’une surestimation dans les prévisions est préférable à une sous-estimation.

Exemple 1.15Pour une période donnée, la demande observée a été de 100 unités. Calculez MPEA-A si pour cette même période une prévision Pt=50 unités avait été préalablement obtenue et refaire le calcul de MPEA-A si Pt=200 unités; commentez les résultats obtenus.


Pour Pt=50, nous avons:

PMEAA = 100n

ei

Xi + Pi

2

i = 1

n

= 1001

50100 + 50

2100 + 50

2

= 66,67%

Pour Pt=200, nous avons:

PMEAA = 100n

ei

Xi + Pi

2

i = 1

n

= 1001

100100 + 200

2100 + 200

2

= 66,67%

On constate dans ce cas-ci que lorsque la prévision est de 50 unités, nous avons une sous-estimation de la demande de 50 unités, ce qui conduit à une valeur de MPEA-A de 66.67%. Mais lorsque la prévision est de 200 unités, la demande est surestimée par 100 unités et la valeur de MPEA-A demeure à 66.67%. Il s’avère donc qu’une surestimation de la demande de l’ordre de 100% a le même impact sur la valeur de MPEA-A qu’une sous-estimation de l’ordre de 50%.



La statistique U de Theil (U)

La statistique U de Theil compare la variation relative quadratique prévue pour la prochaine période selon la méthode de prévision utilisée avec la variation relative quadratique qui aurait été prévue si, pour chaque période, la prévision avait été obtenue en prenant la demande réelle de la période précédente (dite méthode naïve).

U =ei + 1 Xiei + 1 Xi

2i = 1

n – 1

Xi + 1 – Xi XiXi + 1 – Xi Xi

2

i = 1

n – 1

L’interprétation de la statistique U se fait par rapport à une valeur U* = 1. Si la valeur de U calculée est égale à 1, cela signifie que la méthode naïve aurait donnée d’aussi bons résultats que la méthode de prévision utilisée. Pour une valeur de U < 1, on peut dire que la méthode de prévision utilisée a donné de meilleurs résultats que si l’on avait utilisé la méthode naïve et pour U > 1, la méthode naïve aurait donné de meilleurs résultats que la méthode utilisée.

Exemple 1.16À partir des prévisions du tableau 1.11 se rapportant à l’exemple 1.5, calculez la statistique U et interprétez le résultat obtenu.




Tableau 1.29

Calculs pour la statistique Ut Xt Pt et (et+1/Xt)2 [(Xt+1-Xt)/Xt]2

1 90 95,00 -5,00 0,0178 0,02782 105 93,00 12,00 0,0001 0,00913 95 96,00 -1,00 0,0226 0,02494 110 95,72 14,28 0,0014 0,01865 95 99,08 -4,08 0,0085 0,00286 90 98,75 -8,75 0,0078 0,02787 105 97,07 7,93 0,0453 0,02048 120 97,65 22,35 0,0094 0,00009 120 108,37 11,63 0,0000 0,001710 115 115,29 -0,29 0,0074 0,007611 125 115,12 9,88 0,0030 0,006412 115 121,82 -6,82 0,0013 0,000013 115 119,07 -4,07 0,0037 0,007614 125 118,04 6,96 0,0021 0,006415 115 120,77 -5,77 0,0000 0,001916 120 119,82 0,18 0,0000 0,000017 120 119,85 0,15 0,0154 0,015618 105 119,88 -14,88 0,0551 0,020419 90 114,65 -24,65 0,0013 0,003120 95 98,29 -3,29 0,0217 0,024921 110 96,02 13,98 0,0013 0,018622 95 98,97 -3,97 0,0057 0,011123 105 97,85 7,15 0,0062 0,020424 90 98,30 -8,30

Somme 0,2369 0,2770

U =ei + 1 Xiei + 1 Xi

2i = 1

n – 1

Xi + 1 – Xi XiXi + 1 – Xi Xi

2

i = 1

n – 1 = 0,23690,2770 = 0,9248

Puisque la valeur de U est légèrement inférieure à 1, la méthode de prévision utilisée a donné de meilleurs résultats que si l’on avait utilisé la méthode naïve.



L’erreur quadratique moyenne (EQM)

L’erreur quadratique moyenne est une statistique fréquemment utilisée en prévision car elle sert de point de départ au calcul de l’écart-type des erreurs de prévision. Si les prévisions sont non biaisées, l’erreur moyenne (EM) aura une valeur près de 0; dans ce cas, la valeur de EQM peut servir à estimer la variance des erreurs de prévision et c’est justement cette variance qui sert à calculer l’écart-type. EQM est tout simplement la moyenne des erreurs au carré :

EQM = 1n ei

2i = 1

n

L’erreur quadratique moyenne lissée (EQMt)

Tout comme dans le cas de l’erreur moyenne absolue (EMA), il est possible d’effectuer un lissage exponentiel simple pour mettre à jour, d’une période à l’autre, l’erreur quadratique moyenne. Les calculs de EQMt sont identiques à ceux de EMAt à l’exception que l’erreur quadratique est utilisée (plutôt que l’erreur absolue) :

EQMt = et2 + 1 – EQMt – 1

Estimation de l’écart-type (ET)

L’écart-type des erreurs de prévision est une statistique très importante. Elle sert directement à calculer, pour la gestion des stocks, la valeur du stock de sécurité faisant en sorte de maintenir un niveau désiré spécifié selon une mesure de service donnée. La valeur de ET se calcule directement à partir de EQM ou de EQMt :

ET = EQM nn – 1

ou

ETt = EQMt

Exemple 1.17À partir des données de l’exemple 1.16, calculez EQM, EQMt, ET et ETt. Pour les calculs de EQMt, utilisez la constante de lissage =0,1 et la valeur initiale EQM1 = e1

2.




Tableau 1.30

Calculs pour EQM et EQMt

t Xt Pt et et2 EQMt

1 90 95,00 -5,00 25,00 25,002 105 93,00 12,00 144,00 36,903 95 96,00 -1,00 1,00 33,314 110 95,72 14,28 203,92 50,375 95 99,08 -4,08 16,65 47,006 90 98,75 -8,75 76,56 49,957 105 97,07 7,93 62,88 51,258 120 97,65 22,35 499,52 96,089 120 108,37 11,63 135,26 99,9910 115 115,29 -0,29 0,08 90,0011 125 115,12 9,88 97,61 90,7612 115 121,82 -6,82 46,51 86,3413 115 119,07 -4,07 16,56 79,3614 125 118,04 6,96 48,44 76,2715 115 120,77 -5,77 33,29 71,9716 120 119,82 0,18 0,03 64,7817 120 119,85 0,15 0,02 58,3018 105 119,88 -14,88 221,41 74,6119 90 114,65 -24,65 607,62 127,9120 95 98,29 -3,29 10,82 116,2121 110 96,02 13,98 195,44 124,1322 95 98,97 -3,97 15,76 113,2923 105 97,85 7,15 51,12 107,0824 90 98,30 -8,30 68,89 103,26

Somme 2 578,43

Puisque la somme des erreurs au carré est de 2 578,43, on obtient :

EQM = 2 578,43 / 24 = 107,43

À partir de EQM, on peut calculer ET de la façon suivante :

ET = EQM nn – 1 = 107,43 24

23 = 10,59

Pour ce qui est de ETt, il suffit de prendre la racine carrée de la valeur de EQMt. Pour la période 24, nous aurons :

ET24 = 103,26 = 10,16



Le pourcentage de prévisions réussies (PPR)

La statistique PPR sert à évaluer dans quelle mesure un objectif ou un événement prédéfini est atteint dans le processus de prévision. Un tel objectif pourrait être, par exemple, d’obtenir des prévisions qui se situent à ± un certain pourcentage de la demande réelle (par exemple, des prévisions à ± 10% de la demande réelle). L’idée est donc de calculer le nombre de fois que cet objectif est atteint et d’exprimer ce résultat en pourcentage par rapport au nombre total de prévisions effectuées :

PPR = 100n ri

i = 1

n

avec

ri = 1 si E est vrai et ri = 0 si E est faux;E : un événement prédéfini.

Exemple 1.18À partir des prévisions présentées au tableau 1.30 de l’exemple précédent, calculez le pourcentage de prévisions réussies si le critère pour considérer qu’une prévision est réussie est qu’elle se situe à ± 8% de la demande réelle pour la période à laquelle elle se rapporte.




Tableau 1.31

Calcul de PPR

t Xt Pt et Xt – 8% Xt + 8% rt

1 90 95,00 -5,00 82,80 97,20 12 105 93,00 12,00 96,60 113,40 03 95 96,00 -1,00 87,40 102,60 14 110 95,72 14,28 101,20 118,80 05 95 99,08 -4,08 87,40 102,60 16 90 98,75 -8,75 82,80 97,20 07 105 97,07 7,93 96,60 113,40 18 120 97,65 22,35 110,40 129,60 09 120 108,37 11,63 110,40 129,60 010 115 115,29 -0,29 105,80 124,20 111 125 115,12 9,88 115,00 135,00 112 115 121,82 -6,82 105,80 124,20 113 115 119,07 -4,07 105,80 124,20 114 125 118,04 6,96 115,00 135,00 115 115 120,77 -5,77 105,80 124,20 116 120 119,82 0,18 110,40 129,60 117 120 119,85 0,15 110,40 129,60 118 105 119,88 -14,88 96,60 113,40 019 90 114,65 -24,65 82,80 97,20 020 95 98,29 -3,29 87,40 102,60 121 110 96,02 13,98 101,20 118,80 022 95 98,97 -3,97 87,40 102,60 123 105 97,85 7,15 96,60 113,40 124 90 98,30 -8,30 82,80 97,20 0

Somme 15

PPR = 100n ri

i = 1

n

= 100 x (15/24) = 62,5%

La détermination de la longueur d’un cycle saisonnier

Un problème important dans le domaine des prévisions consiste à déterminer la bonne méthode de prévision à utiliser selon le type de données qui constitue la série d’observations pour laquelle des prévisions doivent être obtenues. Dans le cas où cette série comporte des variations saisonnières, on sait déjà que des méthodes comme le lissage exponentiel à trois paramètres, ou la décomposition, seront des méthodes appropriées. Cependant, dans ces deux cas, il est essentiel de déterminer, avant d’effectuer des prévisions, la longueur du cycle saisonnier. Quelques fois, une analyse



visuelle du graphique des observations peut permettre d’identifier la longueur d’une saisonnalité mais cette approche a ses limites. La plus contraignante est qu’il peut s’avérer impossible d’inspecter visuellement toutes les séries de consommations pour déterminer la présence d’une saisonnalité et la longueur du cycle saisonnier. La plupart des entreprises ont à effectuer des prévisions sur une quantité telle de séries de consommation qu’un traitement aussi lent qu’une inspection visuelle rend la démarche inapplicable. Une autre limite de l’inspection visuelle est qu’il peut s’avérer difficile de détecter la présence et la longueur d’une saisonnalité car les variations saisonnières peuvent être de faible amplitude.

La plupart des systèmes permettant d’effectuer des prévisions, comme SAGEM, sont dotés d’outils d’analyse qui rendent possible une analyse statistique informatisée des données afin de détecter la présence d’un cycle saisonnier et la longueur de celui-ci. Les deux méthodes les plus souvent utilisées sont l’analyse des autocorrélations et la statistique de Durbin-Watson.

L’analyse des autocorrélations

L’autocorrélation est une mesure du degré de dépendance entre les observations d’une série chronologique et ces mêmes observations décalées d’un certain nombre de périodes :

rk =Xi – X Xi – k – X

i = k + 1

T

Xi – X 2i = 1

T

Dans l’équation précédente, k représente l’ordre de l’autocorrélation calculée, les Xi

représentent les observations originales et les Xi-k+1 représentent ces mêmes observations décalées de k prériodes. Il est à noter que la valeur de rk est un nombre qui est toujours compris entre –1 et 1. Plus la valeur de rk est près de 0, plus l’autocorréaltion est faible et plus elle est près de –1 ou de 1, plus elle est forte; une autocorrélation négative indique que les valeurs de la série originale varient en sens inverse des valeurs de la série décalée alors qu’une autocorrélation positive indique que les valeurs de la série originale varient dans le même sens que les valeurs de la série décalée. De plus, une autocorrélation de –1 ou de 1 est une autocorrélation parfaite, indiquant que les deux séries (originale et décalée) forment une droite sur le graphique qui les met en relation.

Le tableau 1.32 présente, pour les données de l’exemple 1.13, les données originales ainsi que ces mêmes données décalées pour des valeurs de k=1, k=2, k=3 et k=4. À partir de ces informations, il est alors possible de calculer, pour les quatre valeurs de k, les autocorrélations r1, r2, r3 et r4 (voir exemple 1.19).

L’autocorrélation est une statistique très importante en prévision car elle permet d’effectuer une analyse sur les données afin de déterminer la longueur d’un cycle saisonnier en identifiant l’ordre de l’autocorrélation la plus élevée. Le principe est que si



des observations sont affectées par la présence d’un cycle saisonnier, l’autocorrélation d’ordre L (la longueur du cycle saisonnier) sera, parmi toutes les autres autocorrélations d’ordre k, la plus importante. Pour déterminer la longueur d’un éventuel cycle saisonnier, il suffit donc de calculer les autocorrélations de différents ordres et de les comparer à l’aide d’un graphique ou de considérer directement les résultats numériques obtenus. Généralement, les autocorrélations d’ordre k = 1, …, 12 sont calculées puisque la plupart du temps, la longueur des cycles saisonniers est d’au plus 12 périodes si les données sont exprimées en mois.

Tableau 1.32

Demandes décalées pour les données de l’exemple 1.13

période demande k=1 k=2 k=3 k=4

1 3622 385 3623 432 385 3624 341 432 385 3625 382 341 432 385 3626 409 382 341 432 3857 445 409 382 341 4328 335 445 409 382 3419 360 335 445 409 38210 375 360 335 445 40911 440 375 360 335 44512 355 440 375 360 335

Exemple 1.19À partir des données du tableau 1.32, calculez les coefficients d’autocorrélation rk pour des valeurs de k=1, …, 4. Tracez le graphique des autocorrélations calculées et indiquez à quelle conclusion vous en arrivez.




Tableau 1.33

Calculs pour les autocorrélations d’ordre k=1, …, 4

période demande r1 r2 r3 r4 Xi – X 2

1 362 532,842 385 1,92 0,013 432 -3,91 -1 082,99 2 201,174 341 -2 068,24 3,67 1 017,59 1 943,345 382 135,92 -144,66 0,26 71,17 9,516 409 -73,74 -1 054,33 1 122,09 -1,99 572,017 445 1 433,01 -184,74 -2 641,33 2 811,09 3 590,018 335 -3 000,83 -1 197,83 154,42 2 207,84 2 508,349 360 1 256,26 -1 502,91 -599,91 77,34 629,1710 375 252,92 505,01 -604,16 -241,16 101,6711 440 -553,74 -1 377,49 -2 750,41 3 290,42 3 015,8412 355 -1 652,08 303,34 754,59 1 506,67 905,01

moyenne 385,08 -4 272,51 -5 732,93 -3 546,85 9 721,39 16 008,92

rk -0,2669 -0,3581 -0,2216 0,6072

Figure 1.29

Graphique des autocorrélations

-0,6000

-0,4000

-0,2000

0,0000

0,2000

0,4000

0,6000

0,8000

1 2 3 4

ordre k des autocorrélations

r k



Les résultats présentés au tableau 1.33 et à la figure 1.29 indiquent bien qu’une autocorrélation positive importante (plus de 0,6) se retrouve pour k = 4. Cette constatation permet de supporter l’hypothèse selon laquelle un cycle saisonnier de longueur L = 4 périodes contribue à expliquer les fluctuations observées dans les données. De plus, une autocorrélation négative d’ordre 2 de près de 0,4 indique la présence d’un lien inverse relativement important entre les observations comprises dans le creux des cycles et celles comprises dans le haut des cycles (voir figure 1.24).

L’analyse de l’autocorrélation peut également être utilisée pour détecter la présence d’une tendance dans les observations. Cette fois-ci, les autocorrélations d’ordre 1 seront plutôt considérées. En effet, si une tendance additive existe (taux d’augmentation ou de diminution constant), il existera un lien entre les observations de la série originale et celles de la série décalée d’une période; un coefficient d’autocorrélation d’ordre 1 élevé sera alors observé. Si la tendance est du type multiplicatif, une importante autocorrélation d’ordre 2 sera également observée si l’effet multiplicatif est significatif.

La statistique de Durbin-Watson (D-W)

Afin d’évaluer une méthode de prévision, il est important de s’assurer, entre autres choses, que les erreurs de prévision sont indépendantes les unes des autres. Une technique qui est fréquemment utilisée en ce sens est le test de Durbin-Watson. Ce test consiste à vérifier si l’autocorrélation des erreurs de prévision peut être considérée comme étant statistiquement nulle. Définissons la statistique D-W comme suit:

D–W =ei – ei – 1

2i = 2

n

ei2

i = 1

n

Si D-W<2, il y a une autocorrélation positive dans les erreurs de prévision et si D-W>2, il y a une autocorrélation négative dans les erreurs de prévision. La statisque D-W doit être près de 2 pour qu’il n’y ait pas d’autocorrélation. Mais la notion de près de 2 étant une notion floue, un test statistique est nécessaire pour déterminer si la valeur de D-W calculée est significativement différente de 2 ou non. La figure suivante (figure 1.30) illustre la distribution de la statistique de Durbin-Watson.



Figure 1.30

Distribution pour la statistique D-W

2dL 4-dL 40 dU 4-dU

Afin de déterminer si la statistique de Durbin-Watson est significativement différente de 2, il faut premièrement calculer D-W. Ensuite, il faut aller lire dans la table ci-dessous (tableau 1.33), les valeurs de dL et dU en fonction du nombre k de variables indépendantes et en fonction de T, le nombre d’observations. Dans le cas des méthodes de prévision de ce chapitre, le nombre de variables indépendantes est toujours k=1 puisque les prévisions sont obtenues à partir d’une seule variable, à savoir les observations passées. Une fois les valeurs de dL et dU trouvées, il faut calculer les valeurs 4-dU et 4-dL. La régle de décision pour déterminer si la statistique D est significativement différente de 2 sera alors:

· si dU < D-W < 4-dU, D-W n’est pas significativement différent de 2;· si D-W < dL ou D-W > 4-dL, D-W est significativement différent de 2;· si dL < D-W < dU ou 4-dU < D-W < 4-dL, on ne peut conclure.

Exemple 1.20Considérez les données suivantes qui présentent les erreurs de prévision pour les 16 dernières périodes et calculez la statistique de Durbin-Watson. Est-ce que ces erreurs de prévision dénotent une autocorrélation significative?

Tableau 1.32

Données pour l’exemple 1.20

t et t et

1 -63,82 9 -27,852 -56,44 10 -20,063 -14,79 11 -17,064 -9,31 12 -17,355 7,62 13 8,386 12,86 14 13,557 29,57 15 23,198 34,61 16 41,87



Tableau 1.33

Valeurs de dL et dU (à un seuil de 90% ) pour le test sur la statistique de Durbin-Watson

(pour k=1 variable indépendante)

T dL dU

12 1,00 1,3313 1,02 1,3414 1,05 1,3515 1,08 1,3616 1,10 1,3717 1,13 1,3818 1,16 1,3919 1,18 1,4020 1,20 1,4121 1,22 1,4222 1,24 1,4323 1,26 1,4424 1,27 1,4525 1,29 1,4526 1,30 1,4627 1,32 1,4728 1,33 1,4829 1,34 1,4830 1,35 1,4931 1,36 1,5032 1,37 1,5033 1,38 1,5134 1,39 1,5135 1,40 1,5236 1,41 1,5237 1,42 1,5338 1,43 1,5439 1,43 1,5440 1,44 1,5445 1,48 1,5750 1,50 1,5955 1,53 1,6060 1,55 1,6265 1,57 1,6370 1,58 1,6475 1,60 1,6580 1,61 1,6685 1,62 1,6790 1,63 1,6895 1,64 1,69100 1,65 1,69

Source: Durbin J. et Watson G.S., “Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression”, Biometrica, vol. 38, pp.159-177, 1951.



Solution, exemple 1.20Le tableau 1.34 présente les calculs pour la statistique D-W. La troisième colonne représente le carré de la différence entre les termes d’erreur de deux périodes consécutives et la quatrième colonne représente le carré des erreurs de chaque période.

Tableau 1.34

Calculs pour la statistique D-W

t et (et - et-1)2 (et)2

1 -63,82 4 072,992 -56,44 54,46 3 185,473 -14,79 1 734,72 218,744 -9,31 30,03 86,685 7,62 286,62 58,066 12,86 27,46 165,387 29,57 279,22 874,388 34,61 25,40 1 197,859 -27,85 3 901,25 775,62

10 -20,06 60,68 402,4011 -17,06 9,00 291,0412 -17,35 0,08 301,0213 8,38 662,03 70,2214 13,55 26,73 183,6015 23,19 92,93 537,7816 41,87 348,94 1 753,10

Somme 7 539,58 14 174,36

La statistique de Durbin-Watson est donc: D-W = 7 539,58÷14 174,36 = 0,5319.

Le tableau de la page précédente nous donne les valeurs de dL=1,10 et dU=1,37 pour T=16 observations. Puisque la valeur de D-W est plus petite que dL, on conclut que D-W=0,5319 est significativement plus petit que 2 et que les erreurs de prévision sont positivement corrélées entre elles.

Il est à noter que lorsque la présence d’autocorrélation dans les erreurs de prévision est détectée (D-W < dL ou D-W > 4-dL, D-W est significativement différent de 2), il faut effectuer une analyse des autocorrélations dans les observations pour déterminer s’il n’y a pas la présence d’une tendance ou d’une saisonnalité, principaux facteurs qui expliquent que les erreurs de prévisions sont elles aussi autocorrélées.



Signal d’alerteDans le processus de prévision, il se peut que le choix de la méthode de prévision soit à revoir si les nouvelles observations font en sorte que les données ne correspondent plus à la méthode initialement sélectionnée. Par exemple, une série stationnaire pour laquelle un lissage exponentiel simple avait été choisi peut se transformer, avec le temps, en une série avec une tendance ou avec des variations saisonnières. Il est important de pouvoir détecter de tels changements dans la structure des données afin, s’il y a lieu, de procéder à une modification de la méthode utilisée ou de la valeur de l’un ou plusieurs de ses paramètres. Le recours à un signal d’alerte permet d’effectuer un suivi sur les erreurs de prévision afin de détecter de tels changements structurels.

Un premier signal d’alerte consiste à comparer la somme des erreurs de prévision jusqu’à une période t avec la valeur de EMAt (pour la même période t) :

TSt =Xi – Pi

i = 1

t

EMA t

Normalement, si la bonne méthode de prévision est utilisée par rapport au type de données pour lesquelles des prévisions sont effectuées, les erreurs de prévisions devraient être non biaisées de sorte que la somme des erreurs de prévision sera près de 0. Dans ce cas, les valeurs de TSt seront elles aussi faibles, reflétant le fait que la méthode de prévision semble donner des résultats satisfaisants. Si, pour une raison quelconque, les données changent de comportement et deviennent incompatibles avec la méthode de prévision utilisée, des erreurs de prévision du même signe vont commencer à être observées d’une période à l’autre et la somme de ces erreurs s’éloignera de 0 (un biais positif ou négatif sera observé). La valeur de TSt augmentera alors et cette augmentation sera d’autant plus rapide et importante que les erreurs de même signe seront grandes (donc que la méthode de prévision sera inadéquate par rapport aux données.

Pour opérationnaliser l’utilisation du signal d’alerte TS t, il faut comparer les valeurs obtenues à chaque période avec une valeur critique à ne pas dépasser. Généralement, cette valeur est de TS* = 4. Ainsi, si |TSt| > TS*, l’utilisateur devra envisager une révision de la méthode de prévision utilisée (ou de l’un des paramètres) ou encore trouver la cause permettant d’expliquer le comportement des données qui fait en sorte que la valeur de TS* est excédée (par exemple, la présence d’une valeur aberrante dans une des nouvelles observations).

Un autre signal d’alerte qui est d’une grande utilité est le signal de Trigg :

SAt = |Et / Mt|

Et = et + (1-)Et-1



Mt = |et| + (1-)Mt-1

avec 0 < < 1.

Le signal de Trigg effectue le même travail que le signal TSt mais d’une façon différente. En fait, le signal de Trigg fonctionne de la même manière que le lissage exponentiel simple adaptatif pour le calcul des valeurs de t (voir exemple 1.5) et l’idée de base réside toujours dans la comparaison du biais avec l’erreur absolue. Toutefois, les valeurs de SAt sont calculées à partir d’un lissage exponentiel simple des erreurs de prévision (E t) et des erreurs absolues (Mt). C’est le ratio de ces deux valeurs qui donne, d’une période à l’autre, la valeur du signal d’alerte SAt (tout comme dans le cas du lissage exponentiel adaptatif, ce ratio fournissait la valeur de t).

Dans le cas du signal de Trigg, des valeurs de =0,1 ou =0,2 sont généralement utilisées. L’avantage d’utiliser le signal de Trigg tient au fait que des probabilités peuvent être associées à certaines valeurs de SAt calculées selon la constante de lissage utilisée. Ainsi, la valeur de SAt indique des erreurs de prévision non aléatoires avec :

· une probabilité de 95% si la valeur de SAt excède 0,51 pour une constante de lissage =0,1;

· une probabilité de 95% si la valeur de SAt excède 0,74 pour une constante de lissage =0,2.

Par conséquent, plus la valeur de SAt est grande pour une valeur de donnée, plus le seuil de confiance est élevé et pour une valeur de SAt donnée, plus la valeur de est grande, moins le seuil de confiance est élevé.

Exemple 1.21À partir des données de l’exemple 1.5, calculez les valeurs de TS t et de SAt pour toutes les périodes. Pour les calculs de EMAt, utilisez une constante de lissage =0,1 et une valeur initiale EMA1 = |e1|. Pour les calculs de SAt, utilisez =0,2 comme constante de lissage et les valeurs initiales E1 = e1 ainsi que M1 = |e1|.




Tableau 1.35

Calculs pour les signaux d’alerte TSt et SAt

t Xt Pt et |et| EMAt Et Mt et TSt SAt

1 90 95,00 -5,00 5 5,00 -5,00 5,00 -5 -1,00 1,002 105 93,00 12,00 12 5,70 -1,60 6,40 7 1,23 0,253 95 96,00 -1,00 1 5,23 -1,48 5,32 6 1,15 0,284 110 95,72 14,28 14,28 6,14 1,67 7,11 20,28 3,31 0,245 95 99,08 -4,08 4,08 5,93 0,52 6,51 16,2 2,73 0,086 90 98,75 -8,75 8,75 6,21 -1,33 6,95 7,45 1,20 0,197 105 97,07 7,93 7,93 6,38 0,52 7,15 15,38 2,41 0,078 120 97,65 22,35 22,35 7,98 4,89 10,19 37,73 4,73 0,489 120 108,37 11,63 11,63 8,35 6,23 10,48 49,36 5,91 0,60

10 115 115,29 -0,29 0,29 7,54 4,93 8,44 49,07 6,51 0,5811 125 115,12 9,88 9,88 7,77 5,92 8,73 58,95 7,58 0,6812 115 121,82 -6,82 6,82 7,68 3,37 8,35 52,13 6,79 0,4013 115 119,07 -4,07 4,07 7,32 1,88 7,49 48,06 6,57 0,2514 125 118,04 6,96 6,96 7,28 2,90 7,38 55,02 7,56 0,3915 115 120,77 -5,77 5,77 7,13 1,17 7,06 49,25 6,91 0,1616 120 119,82 0,18 0,18 6,44 0,97 5,69 49,43 7,68 0,1717 120 119,85 0,15 0,15 5,81 0,80 4,58 49,58 8,54 0,1818 105 119,88 -14,88 14,88 6,71 -2,33 6,64 34,7 5,17 0,3519 90 114,65 -24,65 24,65 8,51 -6,80 10,24 10,05 1,18 0,6620 95 98,29 -3,29 3,29 7,99 -6,09 8,85 6,76 0,85 0,6921 110 96,02 13,98 13,98 8,59 -2,08 9,88 20,74 2,42 0,2122 95 98,97 -3,97 3,97 8,12 -2,46 8,70 16,77 2,06 0,2823 105 97,85 7,15 7,15 8,03 -0,54 8,39 23,92 2,98 0,0624 90 98,30 -8,30 8,3 8,05 -2,09 8,37 15,62 1,94 0,25

Pour le signal d’alerte TSt, le tableau 1.35, avant-dernière colonne, montre bien qu’à partir de la période 8, la valeur critique TS* = 4 est excédée. En examinant la colonne des termes d’erreur (et), on constate effectivement qu’à partir de la période 8, de nombreuses erreurs de prévision sont positives et importantes, faisant en sorte que la valeur de TSt augmente. Pour ce qui est du signal de Trigg, on observe que pour ces mêmes périodes, les valeurs de SAt sont elles aussi importantes. Même si elles n’excèdent pas le seuil de 0,74 qui correspond à une probabilité de 95% que les erreurs de prévision ne soient pas aléatoires lorsque =0,2, on peut quand même penser que les valeurs de SAt sont suffisamment importantes pour constituer un avertissement quant à la présence de variations, dans les données, qui ne sont pas prises en compte par la méthode de prévision utilisée.



La sélection d’une méthode de prévision et de ses paramètres à partir des données historiques et des statistiques sur les erreurs de prévisionLa plupart des systèmes de gestion des ressources matérielles qui effectuent des prévisions se basent sur l’ajustement des prévisions aux données historiques pour déterminer la méthode à utiliser ainsi que la valeur des paramètres. L’approche est relativement simple mais nécessite le recours à un ordinateur pour effectuer la grande quantité de calculs requis.

En fait, la sélection d’une méthode de prévision et de ses paramètres basée sur l’ajustement des prévisions aux données historiques consiste à générer des prévisions à partir des observations passées pour un certain nombre de périodes dont la demande réelle est connue. Par exemple, si une série chronologique de 24 périodes est disponible, les 12 premières périodes peuvent servir à initialiser la méthode de prévision et à amorcer les calculs afin que les conditions initiales n’aient plus d’impact et les 12 dernières périodes peuvent être utilisées pour générer des prévisions une période en avant comme si, à chaque fois, la demande de cette période n’était pas encore connue. De cette façon, plusieurs méthodes de prévision peuvent être testées et des centaines de valeurs différentes, pour les paramètres, peuvent être essayées et combinées. En bout de ligne, la méthode de prévision et les paramètres qui seront retenus pour effectuer les vraies prévisions seront celles ayant procuré les meilleurs résultats, sur la base des différentes statistiques sur les erreurs de prévision.

Exemple 1.22Reprenons les données de l’exemple 1.21. À partir des statistiques EM, EMA et PMEA, quelle méthode de prévision, parmi celles énumérées ci-dessous, choisiriez-vous pour effectuer les prévisions pour les périodes 25 et suivantes :

· moyenne mobile d’ordre 3;· moyenne mobile d’ordre 4;· lissage exponentiel simple avec = 0,2;· lissage exponentiel simple avec = 0,3;· lissage exponentiel adaptatif avec = 0,1.

Pour les deux méthodes de lissage exponentiel simple, utilisez comme valeur initiale P1=X1. Pour le lissage exponentiel adaptatif, utilisez P1 = X1, E1=e1, M1=|e1| et 1 = 0,2.




Le tableau suivant (tableau 1.36) présente les prévisions obtenues sur les données historiques à partir des 5 méthodes à tester.

Tableau 1.36

Prévisions pour les cinq méthodes à analyser

t Xt MM(3) MM(4) LES(=0,2) LES(=0,3) LEA(=0,1)1 90 90,00 90,00 90,002 105 90,00 90,00 90,003 95 93,00 94,50 105,004 110 96,67 93,40 94,65 103,515 95 103,33 100,00 96,72 99,26 105,776 90 100,00 101,25 96,38 97,98 105,147 105 98,33 97,50 95,10 95,58 99,688 120 96,67 100,00 97,08 98,41 100,799 120 105,00 102,50 101,66 104,89 103,94

10 115 115,00 108,75 105,33 109,42 109,5611 125 118,33 115,00 107,27 111,09 111,7412 115 120,00 120,00 110,81 115,27 118,4313 115 118,33 118,75 111,65 115,19 116,9414 125 118,33 117,50 112,32 115,13 116,1815 115 118,33 120,00 114,86 118,09 120,3216 120 118,33 117,50 114,88 117,16 118,4417 120 120,00 118,75 115,91 118,01 119,0218 105 118,33 120,00 116,73 118,61 119,3919 90 115,00 115,00 114,38 114,53 118,2620 95 105,00 108,75 109,50 107,17 110,6321 110 96,67 102,50 106,60 103,52 104,5222 95 98,33 100,00 107,28 105,46 106,2023 105 100,00 97,50 104,83 102,32 101,8324 90 103,33 101,25 104,86 103,13 102,90

À partir de ce tableau, les statistiques sur les erreurs de prévision ont été calculées pour les 5 méthodes à partir de la période 13 jusqu’à la période 24. Les résultats obtenus sont les suivants :

MM(3) MM(4) LES(=0,2) LES(=0,3) LEA(=0,1)EM -3,75 -4,38 -4,07 -4,44 -5,80

EMA 8,19 8,75 8,89 8,42 9,14PMEA 8,23 8,75 8,92 8,49 9,27

On constate que pour les trois statistiques sur les erreurs de prévision, la méthode qui semble donner les meilleurs résultats est la moyenne mobile d’ordre 3.



Sélection d’une méthode de prévision pour un produit sans historiqueUn problème qui se pose fréquemment en prévision est celui de prévoir la demande pour des produits sans historique de consommation. De tels cas sont relativement fréquents et il n’existe pas de façon formelle de les traiter. Le gestionnaire confronté à une telle situation n’a qu’un choix limité d’approche. Une possibilité consiste à prévoir la demande des produits sans historique en se basant uniquement sur des études de marché. Il s’agit peut-être de la façon la plus efficace mais si de nombreux produits sont considérés, la démarche peut s’avérer fastidieuse. Ce pourrait être le cas, par exemple, d’une entreprise qui commence à effectuer des prévisions à l’aide d’un système de gestion des ressources matérielles nouvellement implanté alors que dans le passé, les données portant sur la demande des produits n’ont pas été amassées et sauvegardées.

Une autre possibilité consiste à utiliser, comme données historiques, une série d’observations pour un produit dont le niveau moyen de la demande et le comportement de celle-ci sont semblables à ceux du produit pour lequel il n’existe pas d’historique. Il faut toutefois demeurer prudent avec une telle approche car elle ne repose sur aucun principe scientifique et seule l’expérience et le jugement du gestionnaire chargé d’établir les prévisions sont garants de la qualité des résultats obtenus.

La troisième possibilité est de demander, si la situation rend possible cette approche, aux vendeurs des produits concernés de fournir leur propre prévisions des ventes qu’ils effectueront. Cette approche peut s’avérer valable si les estimations fournies par les vendeurs ne sont pas en conflit avec des objectifs personnels de ceux-ci comme, par exemple, une rémunération basée sur l’atteinte de certains quotas. Dans un tel cas, il se pourrait que les prévisions fournies par l’équipe de vente soient très conservatrices afin de faciliter l’atteinte des objectifs de vente.

Lien entre la distribution des erreurs de prévision et la distribution de la demandeAu début de la section portant sur les erreurs de prévision, il a été mentionné que celles-ci étaient une source utile d’information pour quatre raisons. Une de celles-ci est que les erreurs de prévision, sous certaine conditions, servent à estimer l’écart-type de la demande des produits correspondants. Nous allons donc examiner quelles sont ces conditions et comment, en général, les erreurs de prévision permettent d’estimer la distribution de la demande.



La première condition a déjà été mentionnée plus tôt dans ce chapitre. Pour que la distribution des erreurs de prévision constitue une bonne approximation à la distribution de la demande, il faut premièrement que les prévisions soient non biaisées, c’est-à-dire une valeur de EM près de 0 et non significativement différente de 0. Cette condition est relativement facile à vérifier : la valeur de EM permet d’évaluer directement la présence d’un biais dans les prévisions et pour déterminer si cette valeur est significativement différente de 0 ou non, il n’y a qu’à la comparer avec l’ordre de grandeur des données pour lesquelles des prévisions ont été effectuées et sur la base desquelles la statistique EM a été calculée. Par exemple, une valeur de EM = 20 représente un biais moyen de 2% pour des données dont l’ordre de grandeur est dans les milliers d’unités (ce qui est non significatif) alors que ce biais est de 20% pour des données dont l’ordre de grandeur est dans les centaines (ce qui est significatif). De façon générale, un biais inférieur à 10% pourrait être considéré comme non significatif.

La deuxième condition est que les erreurs de prévision doivent être distribuées aléatoirement alentour de 0 (si l’erreur moyenne indique un biais non significatif, on suppose que la valeur de EM n’est pas significativement différente de 0). Il existe des tests statistiques pour tester l’hypothèse selon laquelle cette deuxième condition est respectée mais généralement, une inspection visuelle du graphique des erreurs de prévision permet de voir rapidement si les erreurs de prévision sont réparties aléatoirement. Pour pouvoir dire, à partir d’une inspection visuelle, si les erreurs de prévision sont distribuées aléatoirement, il faut constater que celles-ci sont dispersées sans allure spécifique (répétitions cycliques, tendance, beaucoup plus d’erreurs d’un signe que de l’autre). La figure 1.31 illustre ce qui, typiquement, peut être considéré comme des erreurs de prévision distribuées aléatoirement alentour de 0.

Figure 1.31

Erreurs de prévision distribuées aléatoirement alentour de 0

-100,00-80,00-60,00-40,00-20,00

0,0020,0040,0060,0080,00

100,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

période

erre

urs d

e pr

évisi

on



Enfin, la troisième condition est que la meilleure méthode de prévision possible ait été utilisée. Cette condition est souvent difficile à vérifier car il n’existe pas de moyen de savoir dans quelle mesure de meilleures prévisions auraient pu être obtenues dans le passé et surtout si, pour les périodes futures, de meilleurs résultats pourraient être obtenus en utilisant une autre méthode de prévision; après tout, le futur est incertain et rien ne permet de savoir, a priori, si l’utilisation d’une méthode de prévision en particulier vaut mieux qu’une autre. Toutefois, il est possible de se faire une idée quant à l’adéquation entre la méthode de prévision utilisée et le type de données sur laquelle elle est utilisée en considérant le PMEA. En effet, plus le pourcentage moyen d’erreur absolue est bas, meilleure sont les chances que la méthode de prévision soit adéquate.

Si les trois conditions énumérées précédemment sont respectées (prévisions non biaisées, erreurs de prévision distribuées aléatoirement alentour de 0 et PMEA le plus petit possible), la distribution de la demande peut être caractérisée de la façon suivante :

Demande moyenne pour une période t : Pt

Écart-type de la demande pour une période t : ET = EQM nn – 1 ou ETt = EQMt

L’écart-type de la demande pour une période t peut aussi être estimé à partir de l’erreur moyenne absolue de la façon suivante si on suppose que les erreurs de prévision suivent une distribution normale :

ET = 1,25 EMA ou ETt = 1,25 EMAt

Il reste maintenant à spécifier la forme de la distribution des erreurs de prévision. Deux cas sont généralement considérés : la demande se rapporte à un produit à forte circulation (fast mover) ou la demande se rapporte à un produit à faible circulation (slow mover; demande moyenne par période inférieure ou égale à 10 unités).

Pour les produits à forte circulation, on suppose généralement que les erreurs de prévision suivent une distribution normale de moyenne 0 et de variance EQM (ou EQM t). Pour ce qui est de la distribution de la demande à une période t, elle suivra alors une distribution normale de moyenne Pt et de variance EQM (ou EQMt).

Pour les produits à faible circulation, on suppose généralement que la demande suit une distribution de Poisson de moyenne Pt (la distribution de Poisson étant caractérisée par le seul paramètre qu’est la moyenne).

Le chapitre portant sur la gestion des stocks reprend ces considérations pour permettre d’effectuer les calculs nécessaires à la détermination du stock de sécurité.

Intervalles de confiance pour les prévisions



Dans le processus de prévision, il est important de pouvoir disposer d’une estimation ponctuelle de la demande future (valeur prévue pour une période donnée). Pour des fins de gestion et d’analyse, il peut également s’avérer important de pouvoir spécifier, à un seuil de confiance donné, un intervalle qui, selon toute vraisemblance, contiendra la demande réelle de la période pour laquelle une prévision est effectuée. Pour établir de tels intervalles, trois cas sont considérés : le cas où la distribution des erreurs de prévision est connue, le cas où la distribution des erreurs de prévision est inconnue et le cas où la méthode de prévision utilisée est la régression linéaire simple.

Cas où la distribution des erreurs de prévision est connue

Lorsque la distribution des erreurs de prévision est connue, un intervalle de confiance pour la demande réelle d’une période t basée sur une prévision P t est obtenue de la façon suivante :

Pt – Z/2 Xt Pt + Z/2

Pt est la prévision effectuée pour la période t, Z/2 est une valeur lue dans la table de la distribution normale centrée-réduite, 1- est le seuil de confiance pour l’intervalle ( étant la probabilité que la demande réelle se situe à l’extérieur de l’intervalle) et est l’écart-type de la demande (voir section précédente). Le tableau suivant donne les valeurs de Z/2 pour différentes valeurs de pour d’autres valeurs de /2, voir la table de la distribution normale en annexe).

Tableau 1.37

Valeurs de z/2 pour différentes valeurs de

Z/2

0,001 3,1000,005 2,5750,010 2,3270,025 1,9600,050 1,6450,075 1,4390,100 1,281

Dans le cas où la demande se rapporte à des articles à faible circulation, il faut utiliser la distribution de Poisson pour établir un intervalle de confiance. Selon cette distribution, la probabilité d’observer une demande mensuelle Xt égale à une certaine valeur x étant donné que la demande mensuelle moyenne est de unités est donnée par l’expression (voir aussi les tables de la distribution de Poisson en annexe) :

P(Xt = x | ) = (e- x) / x!



Pour déterminer, à un seuil 1-, un intervalle de confiance avec la distribution de Poisson (connaissant ), il faut en premier déterminer la borne inférieure de l’intervalle en trouvant la plus grande valeur de xinf telle que :

P(Xt xinf | ) 1 - /2

Une fois la borne inférieure trouvée, il faut déterminer la borne supérieure en cherchant la plus petite valeur de xsup telle que :

P(Xt xsup | ) /2

L’intervalle de confiance sera alors :

xinf Xt xsup

Cas où la distribution des erreurs de prévision est inconnue

Lorsque la distribution des erreurs de prévision est inconnue et qu’il ne semble pas approprié de poser l’hypothèse qu’elles suivent la distribution normale ou la distribution de Poisson, il est quand même possible de déterminer un intervalle de confiance pour la demande réelle Xt :

Prob Pt – k Xt Pt + k 1 – 1k2

Dans cette expression, k est un multiple de l’écart-type et est l’écart-type de la demande. Connaissant Pt et , il est alors possible de définir un intervalle de confiance pour Xt à ± k écart-types de la prévision et la probabilité que la demande X t soit dans cet intervalle est d’au moins 1 – 1/k2.

Cette inégalité est connue sous le nom d’inégalité de Chebychev et elle est valide peu importe la distribution de la demande, pour autant que l’on dispose de la prévision et d’une estimation pour . L’intervalle de confiance ainsi obtenu n’est pas aussi précis que si l’on utilisait la vraie distribution de la demande mais puisque que dans certaines situations, cette distribution est inconnue, l’utilisation de l’inégalité de Chebychev permet au moins d’obtenir une approximation suffisante.

Dans le cas où la distribution exacte des erreurs de prévision demeure inconnue mais qu’une analyse de celles-ci permet de considérer comme plausible l’hypothèse qu’elles sont distribuées symétriquement alentour de 0, l’inégalité de Camp-Meidel permettra d’obtenir un intervalle de confiance plus précis :

Prob Pt – k Xt Pt + k 1 – 12,25 k2



Exemple 1.23Pour le modèle de chaises C-262 (voir exemple 1.1), Meublex a obtenu comme prévision pour la période 13 la valeur P13 = 575 chaises. Une analyse des erreurs de prévision a révélé que l’erreur quadratique moyenne est de EQM = 2 500 unités2 (calculée à partir de 10 prévisions).

a) En supposant qu’aucune autre information n’est disponible, déterminez un intervalle de confiance à 95% pour la demande de la période 13.

b) En supposant que la distribution des erreurs de prévision est symétrique alentour de 0, refaites une estimation de l’intervalle de confiance à 95% pour la demande de la période 13.

c) En supposant que les erreurs de prévision suivent une distribution normale, recalculez l’intervalle de confiance à 95% pour la demande de la période 13.

d) Le modèle de chaises C-262 peut aussi être fabriqué avec l’option de dossier inclinable. Toutefois la demande de cette option est relativement faible et se situe à environ 5 unités par mois. À partir de cette information, déterminez un intervalle de confiance à 90% pour la demande de cette option pour la période 13.


a) Pour la question a), puisque aucune information concernant la distribution des erreurs de prévision n’est disponible sauf la valeur de EQM, il faut utiliser l’inégalité de Chebychev pour calculer les bornes de l’intervalle de confiance.

Puisque l’on veut un intervalle de confiance à 95%, il s’ensuit que :

Prob Pt – k Xt Pt + k 1 – 1k2 = 0,95

De l’égalité 1 - 1/k2 = 0,95 on trouve k = 4,47.

De plus, puisque EQM = 2 500, on peut calculer l’écart-type ET (ou ) de la façon suivante :

ET = = EQM nn – 1 = 2 500 10

9 = 52,7

L’intervalle de confiance à 95% sera alors :

Pt – k Xt Pt + k

575 – 4,47(52,7) Xt 575 + 4,47(52,7)

339 Xt 811



b) Puisque l’on spécifie que la distribution des erreurs de prévision est symétrique, l’intervalle de confiance à 95% peut être déterminé en utilisant l’inégalité de Camp-Meidel.

Prob Pt – k Xt Pt + k 1 – 12,25 k2

De la même façon qu’en a), on trouve cette fois-ci une valeur de k = 2,98 et l’intervalle de confiance sera alors :

575 – 2,98(52,7) Xt 575 + 2,98(52,7)

418 Xt 732

c) Si les erreurs de prévision suivent une distribution normale, l’intervalle de confiance à 95% est :

Pt –Z/2 Xt Pt + Z/2

Puisque l’intervalle est à 95%, la valeur de sera de 5% et on aura /2 = 0,025. Pour /2 = 0,025, le tableau 1.37 nous donne une valeur de Z/2 = 1,96. L’intervalle de confiance est alors :

575 – 1,96(52,7) Xt 575 + 1,96(52,7)

472 Xt 678

d) Pour l’option de dossier inclinable, la demande mensuelle moyenne n’est que de = 5 unités. Il faut donc déterminer l’intervalle de confiance en utilisant la loi de Poisson pour la distribution de la demande de cette option. Ici aussi, = 0,05 d’où /2 = 0,025. Il faut premièrement déterminer la borne inférieure de l’intervalle de confiance de telle sorte que :

P(Xt xinf | ) 1 - /2

Pour = 5, la distribution de Poisson nous donne les probabilités suivantes que la demande soit supérieure ou égale à des valeurs allant de 1 à 14 :

x P(X x | = 5) x P(X x | = 5)1 0,993 8 0,1332 0,960 9 0,0683 0,875 10 0,0324 0,735 11 0,0145 0,560 12 0,0056 0,384 13 0,0027 0,238 14 0,001



À partir de ces probabilités, on trouve que la plus grande valeur de x qui fait en sorte que P(Xt xinf | ) 1 - /2 est xinf = 1. Pour la borne supérieure, on trouve que la plus petite valeur de x qui fait en sorte que P(Xt xsup | ) /2 est xsup = 11. L’intervalle de confiance sera alors :

1 Xt 11

Intervalles de confiance pour les prévisions à partir d’une régression linéaire simple

Lorsque la méthode de prévision est la régression linéaire simple, l’obtention d’un intervalle de confiance pour les prévisions nécessite le recours à des formules spécifiques à cette méthode. On se rappelle que dans le cas d’une régression linéaire simple, la droite de régression empirique est :

Yt = b0 + b1Xt

Dans cette expression, Y est la variable dépendante (variable pour laquelle des prévisions doivent être faites) et X est la variable indépendante (variable à partir de laquelle les prévisions seront obtenues).

Pour les intervalles de confiance à partir d’une régression, deux cas sont possibles; soit la prévision a été obtenue à partir d’une valeur déjà observée pour la variable indépendante (X), soit à partir d’une valeur de X qui n’a jamais été observée. Pour une valeur de X déjà observée, l’intervalle de confiance s’établit comme suit :

Yt – t 2 2;n – 2 s Yt Yt – t 2 2;n – 2 s

s = 1n +

Xt – X 2

Xi – X 2i = 1

n

Yt est la prévision de la variable dépendante Y pour la période t obtenue à partir de la droite de régression et de la valeur de la variable indépendante X pour la même période t :

Yt = b0 + b1Xt

s est l’écart-type de la prévision Yt et est obtenu à partir des n valeurs de X ayant servi à déterminer la droite régression et à partir de X , la moyenne de X.



La valeur t/2;n-2 est lue dans une table de la distribution de Student (voir en annexe) où n est le nombre d’observations et est la probabilité spécifiée que l’intervalle de confiance ne contienne pas la valeur réelle de Yt.

Pour une valeur de X jamais observée, l’intervalle de confiance s’établit comme suit :

Yt – t 2 2;n – 2 s Yt Yt – t 2 2;n – 2 s

s = 1 + 1n +

Xt – X2

Xi – X 2i = 1

n

La seule différence entre le cas d’une valeur de X déjà observée et une valeur de X jamais observée est que dans ce dernier cas, la droite de régression a été établie sans tenir compte de cette information (puisque la valeur de X servant à obtenir la prévision est une nouvelle observation), ce qui résulte en un écart-type de Yt (valeur de s) plus grand que dans le cas où la valeur de X a déjà été observée.

Exemple 1.24

À partir des données de l’exemple 1.10 concernant les vente d’étagères E-929, effectuez une prévision des ventes pour le prochain mois (période 13) si le budget publicitaire prévu est de 45 000 $ et déterminez un intervalle de confiance à 95% pour les ventes de la période 13. Refaites la même chose pour un budget publicitaire de 38 000 $.


L’équation de la droite de régression est :

Y = 788,27 + 0,0158 X

La variable Y représente les ventes et la variable X, le budget publicitaire. Si le budget publicitaire pour la période 13 est de 45 000 $, les ventes prévues seront alors :

Y13 = 788,27 + 0,0158(45 000) = 1 499 unités

Pour calculer un intervalle de confiance pour les ventes réelles de la période 13 (Y13), il faut en premier calculer l’écart-type des erreurs de prévision (voir tableau 1.38). Les erreurs de prévision se calculent en prenant la différence, pour chaque valeur de X, entre la valeur de Y correspondante et la valeur de Y calculée à l’aide de la droite de régression empirique pour la même valeur de X.



Tableau 1.38

Calcul de l’écart-type des erreurs de prévision

période Yt Xt Yt et et2 (Xi - X )2

1 1 191 30 000 1 262 -71 5 041 62 678 8892 1 239 25 000 1 183 56 3 136 166 848 8893 1 235 30 000 1 262 -27 729 62 678 8894 1 330 40 000 1 420 -90 8 100 4 338 8895 1 342 35 000 1 341 1 1 8 508 8896 1 332 40 000 1 420 -88 7 744 4 338 8897 1 374 40 000 1 420 -46 2 116 4 338 8898 1 402 40 000 1 420 -18 324 4 338 8899 1 504 45 000 1 499 5 25 50 168 889

10 1 502 35 000 1 341 161 25 921 8 508 88911 1 588 50 000 1 578 10 100 145 998 88912 1 607 45 000 1 499 108 11 664 50 168 889

Note : X = 37 917

L’écart-type des erreurs de prévision est la racine carrée de la variance des erreurs avec une erreur moyenne de 0:

2 =ei – e 2

i = 1

n

n – 2 =ei

2i = 1

n

n – 2 = 64 90110

= 6 490

Donc, = 80,56.

Une fois l’écart-type des erreurs de prévision calculé, on peut calculer l’écart-type s de Yt en utilisant la formule de s pour une valeur de X déjà observée :

s = 1n +

Xt – X 2

Xi – X 2i = 1

n = 80,56 112 +

45 000 – 37 9172

572 916 668 = 33,3

Pour un intervalle de confiance à 95%, on a = 0,05 et /2 = 0,025. Pour /2 = 0,025 et n-2 = 10, on peut lire, dans la table de la distribution de Student la valeur t 0,025;10 = 2,228. L’intervalle de confiance sera alors :

Yt – t 2 2;n – 2 s Yt Yt – t 2 2;n – 2 s

1 499 – 2,228(33,3) Y13 1 499 + 2,228(33,3)

1 425 Y13 1 573



Pour un budget publicitaire de 38 000 $, il faut utiliser s’ comme écart-type de Yt puisque cette valeur de X n’a jamais été observée :

s = 1 + 1n +

Xt – X2

Xi – X 2i = 1

n = 80,56 1 + 112 + 0,0876 = 87,2

L’intervalle de confiance sera alors :

Yt – t 2 2;n – 2 s Yt Yt – t 2 2;n – 2 s

1 499 - 2,228(87,2) Y13 1 499 + 2,228(87,2)

1 305 Y13 1 693

Questions et exercices1. Concernant la gestion des opérations, à quoi servent les prévisions?

2. Est-ce que les prévisions obtenues à partir de méthodes objectives sont toujours utilisables directement, sans tenir compte d’autres considérations?

3. En quoi le genre de données est-il un facteur important à considérer dans le choix d’une méthode de prévision?

4. Quels sont les effets de la surestimation et de la sous-estimation de la demande?

5. Quels sont les facteurs à considérer lors du choix d’une méthode de prévision?

6. Un des facteurs importants à considérer pour les prévisions est la structure de la demande. Qu’entend-t-on par structure de la demande? Quels sont les principaux éléments qui composent la demande (expliquez brièvement chacun d’eux)?

7. Généralement, est-il réaliste de faire des prévisions à long terme lorsqu’une tendance est observée sur les données passées? Pourquoi?



8. Quelle est la différence entre des méthodes de prévisions objectives et subjectives? Entre des méthodes d’extrapolation et des méthodes explicatives?

9. En quoi le niveau d’agrégation des données est-il un facteur qui influence la précision des prévisions?

10. Un des éléments de la structure de la demande est les variations aléatoires. Que sont ces variations et quel rôle joue une méthode de prévision par rapport à celles-ci?

11. Quelle est la différence entre une tendance additive et une tendance multiplicative? Entre des effets saisonniers additifs et des effets saisonniers multiplicatifs?

12. Quelle est la différence entre une méthode de prévision de séries chronologiques et une méthode causale?

13. Dans quelle catégorie de méthodes de prévision peut-on classer la régression linéaire simple?

14. Tracez le graphique se rapportant aux données du tableau suivant. Vous semble-t-il approprié d’utiliser les méthodes de prévisions basées sur les moyennes afin d’obtenir une prévision pour la période 13 (justifiez votre réponse)?

t Xt1 11 2802 10 7503 11 3404 11 0005 11 2406 10 9507 10 8508 10 9009 11 37010 11 20011 10 70012 11 100



15. À partir des données du problème précédent, effectuez une prévision pour la période 13 en utilisant:

a) la moyenne simple;b) les moyennes mobiles simples d’ordre 3 et 5;c) la moyenne mobile pondérée d’ordre 3 avec les poids w10=0,6, w11=0,2 et

w12=0,2;d) la moyenne mobile pondérée d’ordre 4 avec les poids w9=0,1, w10=0,1, w11=0,3

et w12=0,5.

16. À partir des données suivantes, effectuez une prévision pour la période 7 en utilisant un lissage exponentiel simple avec =0.2 et P1= 5 200 et un lissage exponentiel simple avec =0,4 et P1=5 220. Pour les deux valeurs de spécifiées, à partir de quelle période les prévisions obtenues sont-elles indépendantes des conditions initiales? Que pouvez-vous conclure?

t Xt1 5 2402 5 2003 5 2104 5 1905 5 2006 5 230

17. Avec les données de la question précédente, des prévisions de 5 206.45295 et de 5 213.51707 furent obtenues pour les périodes 6 et 7 respectivement à partir d’un lissage exponentiel simple. Quelle est la valeur de la constante de lissage utilisée pour obtenir ces prévisions?

18. À partir des données de la question 16, effectuez une prévision pour la période 7 avec le lissage exponentiel adaptatif. Utilisez la constante de lissage = 0,1 ainsi que les valeurs initiales P1 = X1, 1 = 0,2, E1 = e1 et M1 = |e1|.



19. Considérez les données suivantes:

t Xt1 10 0002 10 2503 10 2004 10 3505 10 5256 10 4757 10 8508 10 9009 11 24010 11 20011 11 35012 11 300

Tracez le graphique de ces observations. Peut-on utiliser les méthodes de prévision basées sur les moyennes ou le lissage exponentiel simple pour obtenir une prévision pour la période 13? Sinon, effectuez une transformation (décomposition) appropriée et utilisez la moyenne mobile simple d’ordre 3 pour obtenir la prévision de la période 13.

20. À partir des données de la question 19, effectuez des prévisions pour les périodes 13, 14 et 15 à l’aide du lissage exponentiel à deux paramètres pour une tendance. Utilisez les constantes de lissage = 0,2 et = 0,2; pour l’initialisation de la méthode de prévision, utilisez les valeurs S1 = X1 et b1 = X2 – X1.

21. À partir des données de la question 19, effectuez des prévisions pour les période 13, 14 et 15 à l’aide du lissage exponentiel double. Utilisez une constante de lissage = 0,15 ainsi que les valeurs initiales S’

1 = X1 et S’’1 = X1.



22. Tracez le graphique qui correspond aux observations suivantes (la longueur du cycle saisonnier est L=12) :

t Xt T Xt1 10 000 13 10 0252 10 250 14 10 2253 10 300 15 10 3254 10 225 16 10 2005 10 120 18 10 1456 9 990 18 9 9657 9 900 19 9 9258 9 750 20 9 7759 9 680 21 9 67510 9 850 22 9 87511 9 925 23 9 90012 10 100 24 10 125

a) Ces observations ont-elles une allure particulière? Effectuez la décomposition appropriée.

b) Quelle est, à l’aide d’une moyenne mobile pondérée d’ordre 3, la prévision pour la période 25 sur les données décomposées? Utilisez les poids w24=0,6, w23=0,25 et w22=0,15.

c) Effectuez les calculs appropriés pour obtenir les prévisions pour les 4 prochaines périodes à partir de la prévision sur la série décomposée obtenue en b).

23. À partir des données de la question 22, utilisez le lissage exponentiel à deux paramètres pour une saisonnalité afin d’obtenir une prévision pour les périodes 25, 26, 27 et 28. Utilisez les constantes de lissage = 0,15 et = 0,25.

24. Il arrive fréquemment que la demande de certains produits soit caractérisée à la fois par une tendance et à la fois par des variations saisonnières. C’est le cas des chaises C-747 de Meublex. Depuis quelques trimestres, la grande popularité de ces chaises fait en sorte que les ventes croissent régulièrement. De plus, la demande pour celles-ci suit un cycle saisonnier avec une hausse marquée de la demande au printemps et à l’automne et un ralentissement à l’été et à l’hiver. Le tableau suivant présente la demande des chaises pour les 12 derniers mois.



t Xt1 3902 4603 5104 4905 4506 4107 4508 5259 57010 55011 50012 480

a) Tracez le graphique de la demande pour les chaises C-747.

b) En vous basant sur une inspection visuelle des données, quelle est la longueur du cycle saisonnier?

c) Effectuez la décomposition appropriée pour permettre de faire des prévisions pour les quatre prochaines périodes en utilisant un lissage exponentiel simple avec =0,25 ; la valeur initiale pour le lissage exponentiel est la moyenne des trois premières périodes disponibles de la série différenciée et désaisonalisée.

25. À partir des données de la question 24, utilisez le lissage exponentiel à trois paramètres pour obtenir les prévisions des périodes 13, 14, 15 et 16. Les constantes de lissage à utiliser sont = 0,2, = 0,1 et = 0,2.

26. Meublex fabrique également des étagères vitrées (modèle E-V88). Depuis deux semestres, la demande de ce produit est stable et le directeur des ventes a remarqué qu’elle ne subissait pas l’effet de variations saisonnières. Il conclut donc que pour effectuer ses prévisions, il peut utiliser directement les méthodes basées sur la moyenne ou encore le lissage exponentiel simple. Toutefois, après avoir discuté avec un spécialiste de la gestion des stocks, il se demande comment déterminer la méthode la plus appropriée. Sachant que vous connaissez un peu le domaine des prévision, il vous confie la tâche d’analyser la situation et de lui faire une recommandation. Voici les données mises à votre disposition.



t Xt1 1 2302 1 1403 1 2104 1 1605 1 1906 1 2007 1 1708 1 1509 1 18010 1 19011 1 22012 1 170

Après réflexion, vous décidez d’évaluer trois méthodes de prévision: la moyenne mobile simple d’ordre 4, le lissage exponentiel simple avec =0,1 et le lissage exponentiel simple avec =0,8. En basant votre recommandation sur l’erreur moyenne (EM) et la moyenne du pourcentage d’erreur absolue (MPEA), quelle méthode recommandez-vous d’utiliser? Pour les lissages exponentiels simples, utilisez P1=1 185.

27. Meublex France veut essayer de déterminer l’impact du nombre de minutes de publicité par semaine à la radio sur ses ventes. N’ayant pas de données historiques concernant ses nouvelles opérations en France, la directrice adjointe au marketing et aux ventes, madame Ally Spruce, suggère d’analyser les données de l’usine de Vancouver. Le tableau suivant présente les données se rapportant aux 15 dernières semaines.

semainetemps hebdomadaire de publicité à la radio

ventes hebdomadaires

1 50 128 0002 64 159 0003 76 158 0004 64 119 0005 74 133 0006 60 112 0007 69 96 0008 68 126 0009 56 132 00010 48 118 00011 57 107 00012 59 106 00013 46 82 00014 45 103 00015 65 104 000

a) Quelle est la variable dépendante et la variable indépendante?



b) Déterminez les valeurs de b0 et de b1.

c) Quelle est l’estimation du coefficient de corrélation et du coefficient de détermination? Comment interprète-t-on le coefficient de détermination?

d) Si, pour la prochaine semaine, il est prévu de faire passer 50 minutes de publicité à la radio, quelle est l’estimation des ventes hebdomadaires qui en résulte?

e) Si pour la prochaine semaine, il est prévu de faire passer 70 minutes de publicité à la radio, quelle est l’estimation des ventes hebdomadaires qui en résulte?

f) À partir des résultats obtenus en d) et en e), établissez un intervalle de confiance à 90% pour les ventes de la prochaine semaine.

27. La directrice adjointe au marketing et aux ventes, madame Ally Spruce, croit que les ventes mensuelles des étagères E-929 sont liées aux ventes de deux autres produits : les bureaux B-444 et les classeurs K-555. Le tableau suivant présente la demande des 12 dernières semaines pour ces trois produits.

semaine étagères E-929 bureaux B-444 classeurs K-5551 412 220 5102 310 175 4903 405 235 5204 375 200 4805 420 235 5006 340 195 4807 438 260 5208 390 210 5109 450 265 49010 382 210 52011 350 195 48012 425 230 500

a) Quelle est la variable dépendante et quelles pourraient être les variables indépendantes?

b) À partir des données présentées au tableau précédent, quelle variable indépendante choisiriez-vous pour formuler le meilleur modèle de régression possible?

c) Déterminez, pour la variable indépendante choisie en b), la droite de régression empirique.

d) Pour la prochaine semaine, les ventes prévues pour les bureaux B-444 sont de 215 unités et pour les classeurs K-555, elles sont de 495 unités. Selon la variable indépendante retenue en b), quelle serait la prévision de la demande pour les étagères



E-929? Établissez un intervalle de confiance à 95% pour la demande de la prochaine semaine en étagères E-929.

27. Les classeurs K-303 sont des produits dorénavant fabriqués par Meublex France et qui proviennent du carnet de commande de Uni-Meubles. La demande des 24 derniers mois est présentée au tableau suivant.

t Xt t Xt

1 2 832 13 3 5922 2 938 14 3 7273 2 644 15 3 3544 2 569 16 3 2585 2 489 17 3 1576 2 298 18 2 9157 1 935 19 2 4558 2 308 20 2 9279 2 467 21 3 129

10 3 182 22 4 03611 3 246 23 4 11712 3 522 24 4 466

a) À partir d’une analyse des autocorrélations, déterminez si cette demande subit l’effet de variations saisonnières et d’une tendance. Quelle est, le cas échéant, la longueur du cycle saisonnier?

b) Effectuez la ou les décompositions appropriées pour obtenir une série transformée exempte de saisonnalité et de tendance.

c) À l’aide de la méthode de décomposition présentée aux pages 73 à 75, effectuez les calculs appropriés pour générer des prévisions de la demande pour les périodes 25 à 30 inclusivement.



30. Le tableau suivant présente la demande des 36 derniers mois pour les chaises C-111. Effectuez une analyse de ces données afin, s’il y a lieu, d’apporter des correctifs et d’effectuer les ajustements nécessaires pour tenir compte du nombre de jours ouvrables par mois.

année mois demandenombre de

jours ouvrables

année demandenombre de

jours ouvrables

année demandenombre de

jours ouvrables

1996 janvier 655 21 1997 643 21 1998 603 20février 679 21 711 20 654 20mars 538 21 574 21 533 22avril 529 20 592 18 576 20mai 552 21 175 21 487 21juin 467 20 452 20 937 21

juillet 400 22 368 22 368 22août 451 21 421 21 468 22

septembre 514 20 490 20 497 21octobre 550 22 554 22 613 21

novembre 609 21 632 21 555 21décembre 636 21 591 21 643 21

31. Considérez les données suivantes ainsi que les prévisions qui ont été obtenues à partir d’une méthode quelconque de prévision:

t Xt Pt1 5 540 5 6502 5 600 5 6063 5 700 5 6044 5 550 5 6425 5 530 5 6056 5 710 5 5757 5 650 5 6298 5 550 5 6379 5 670 5 602

10 5 580 5 62911 5 700 5 61012 5 670 5 646

Calculez les statistiques suivantes : EM, EMA, et PMEA.



32. Le tableau suivant reprend les données du problème précédent mais avec des prévisions différentes. Calculez l’erreur moyenne et commentez le résultat obtenu.

t Xt Pt1 5 540 5 8002 5 600 5 7973 5 700 5 7954 5 550 5 7945 5 530 5 7926 5 710 5 7897 5 650 5 7898 5 550 5 7879 5 670 5 78510 5 580 5 78411 5 700 5 78212 5 670 5 781

33. Le tableau suivant présente les prévisions obtenues à partir de deux méthodes différentes (M1 et M2). Évaluez, pour ces deux méthodes, la moyenne du pourcentage d’erreur absolue (PMEA). Quelle méthode choisiriez-vous pour obtenir des prévision pour la prochaine période et pourquoi?

t Xt Pt M1 Pt M21 11 280 11 000 11 5002 10 750 11 003 11 4983 11 340 11 000 11 4904 11 000 11 004 11 4895 11 240 11 004 11 4846 10 950 11 006 11 4817 10 850 11 005 11 4768 10 900 11 004 11 4709 11 370 11 003 11 46410 11 200 11 007 11 46311 10 700 11 008 11 46112 11 100 11 005 11 453

34. À partir des données de la question précédente, et pour les deux méthodes de prévision, calculez les statistiques suivantes : PMEAA, EMAt, U, EMQ, EMQt, l’écart-type à partir de EMQ et l’écart-type à la période 12 à partir de EMQ t. Pour EMAt et EMQt, utilisez la constante de lissage = 0,15 ainsi que les valeurs initiales EMA1 = |e1| et EMQ1 = e1

2.



35. À partir des données du tableau de la question 33, calculez PPR si l’événement E est l’obtention de prévisions à ±2% des valeurs observées. Laquelle des deux méthodes M1 et M2 vous semble préférable selon le PPR?

36. À partir des données de l’exemple 1.9, effectuez une analyse pour déterminer la longueur du cycle saisonnier à l’aide du graphique des autocorrélations.

37. À partir des données de l’exemple 1.6, vérifiez la présence d’une tendance multiplicative en recourant à l’analyse des autocorrélations.

38. À partir des observations (Xt) et des prévisions (Pt) du tableau 1.13 de l’exemple 1.6, calculez la valeur de la statistique de de Durbin-Watson. Que pouvez-vous conclure?

39. À partir des résultats de l’exemple 1.4 (tableau 1.9), effectuez les calculs nécessaires pour déterminer les valeurs des signaux d’alerte TSt et SAt pour les périodes1 à 12. Pour le signal TSt, calculez les valeurs de EMAt en utilisant une constante de lissage =0,1 et une valeur initiale EMA1 = |e1|. Pour le signal SAt, utilisez une constante de lissage =0,2 et les valeurs initiales E1 = e1 et M1 = |e1|.

Dans le cas du signal TSt, si la valeur critique TS* est de ± 4, à quelles périodes cette valeur est-elle excédée? Dans le cas du signal SAt, à quelles périodes semble-t-il que des erreurs de prévision non aléatoires sont enregistrées et à combien en estimez-vous la probabilité?

40. Comment l’erreur de prévision sert-elle à évaluer l’incertitude de la demande?

41. Pour le modèle de chaises C-262, la prévision de la demande pour la période 14 est de 600 unités. De plus, pour les 13 périodes précédentes, l’erreur quadratique moyenne a été estimée à EQM = 2 750 unités2. À partir de ces seules informations, quel serait un intervalle de confiance à 95% pour la demande de la période 14? Si une analyse des erreurs de prévision révélait que celles-ci sont symétriquement réparties autour de leur moyenne, quel serait l’intervalle de confiance à 95% pour la demande de la période 14 compte tenu de cette nouvelle information?

42. Pour les armoires de rangement A-888, la prévision de la demande pour la prochaine période est de 214 unités. À partir des données historiques, il a été estimé que les erreurs de prévision suivent une distribution normale de moyenne =0 et de variance



2 = 4 225 unités2. À partir de ces information, déterminez un intervalle de confiance à 90% pour la demande de la prochaine période.

43. Meublex va également fabriquer un repose-pieds en bois. La demande pour cet article devrait être relativement faible, soit de l’ordre de 10 unités par mois en moyenne. Il semble donc approprier d’utiliser la distribution de Poisson pour cette situation. A partir des probabilités apparaissant au tableau suivant, déterminez un intervalle de confiance à 90% pour la demande des repose-pieds.

x P(X=x | =10) x P(X=x | =10)1 0,001 12 0,0952 0,002 13 0,0723 0,007 14 0,0534 0,019 15 0,0345 0,038 16 0,0226 0,063 17 0,0137 0,090 18 0,0078 0,113 19 0,0049 0,125 20 0,00110 0,125 21 0,00111 0,114 22 0,001

44. Meublex France estime que la demande pour les armoires A-888 est liée à la demande des tables T-1001. Le tableau suivant présente la demande de ces deux produits pour les 12 derniers mois.

t A-888 T-10011 170 752 195 863 200 844 170 785 205 836 160 727 190 818 175 799 160 7510 175 7711 150 7712 210 84

a) À partir de ces données, déterminez les valeurs de b0 et de b1 et spécifiez l’équation de la droite de régression empirique.

b) Quelle est la valeur du coefficient de corrélation? Quelle interprétation en faites-vous?



c) Si la demande des tables T-1001 est estimée à 78 unités pour la prochaine période, quelle serait la prévision de la demande pour les armoires A-888 et quel serait un intervalle de confiance à 98% pour cette demande?

d) Si la demande des tables T-1001 est estimée à 80 unités pour la prochaine période, quelle serait la prévision de la demande pour les armoires A-888 et quel serait un intervalle de confiance à 98% pour cette demande?


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