La Construction Numérique

BILEOMBELE WA LUMONA

RésuméSavez-vous que dans chaque base de numération les nombres ne sont pas disposés au petit bonheur ? C’est ce que vous découvrirez en compulsant cette théorie. D’autre part il est aussi question d’une disposition des nombres ou structure numérique, pour utiliser le terme consacré, qui ne concerne pas les bases numérales.

1

Table des matièresI. Introduction........................................................................................................................................................................................................................... 3

II. Triangle naturel...................................................................................................................................................................................................................... 4

A. Présentation....................................................................................................................................................................................................................... 4

B. Iso-IDK................................................................................................................................................................................................................................ 7

1. Iso-IDK G ou iso-IDK gauche...........................................................................................................................................................................................8

2. Iso-IDK D ou iso-IDK droite............................................................................................................................................................................................8

C. Iso-IDP................................................................................................................................................................................................................................ 9

1. Iso-IDP H ou iso-IDP haut...............................................................................................................................................................................................9

2. Iso-IDP B ou iso-IDP bas..............................................................................................................................................................................................10

D. Bissectèque...................................................................................................................................................................................................................... 11

III. Structures numériques de base numérale......................................................................................................................................................................13

A. Système de numération de base 2..................................................................................................................................................................................13

1. Pyramide originelle...................................................................................................................................................................................................... 13

2. Pyramide parallèle....................................................................................................................................................................................................... 15

3. Demi-pyramide............................................................................................................................................................................................................ 15

4. Terrassade.................................................................................................................................................................................................................... 17

B. Système de numération de base 3..................................................................................................................................................................................19



3. Demi-pyramide............................................................................................................................................................................................................ 23

4. Terrassade.................................................................................................................................................................................................................... 25

2

C. Système de numération de base 4..................................................................................................................................................................................29



3. Demi-pyramide............................................................................................................................................................................................................ 33

4. Terrassade.................................................................................................................................................................................................................... 35

D. Système de numération de base N..................................................................................................................................................................................38



3. Demi-pyramide............................................................................................................................................................................................................ 97

4. Terrassade.................................................................................................................................................................................................................. 114

E. Autre méthode pour transcrire un nombre dans une base donnée.............................................................................................................................129

3

I. Introduction

Le terme construction numérique au sens de cette théorie c’est le fait de disposer des nombres entiers naturels de manière à former une figure et d’être en mesure de repérer chaque élément de cette figure à l’aide d’un système d’axes qui fait office de système de coordonnées.

La figure qui découle d’une construction numérique est appelée structure numérique. L’axe des IDK et l’axe des IDP constituent le système d’axes qui accompagnent la structure numérique. L’axe des IDK est vertical alors que l’axe des IDP de son côté est horizontal et surplombe la structure numérique.

L’ensemble de la structure numérique et de son système d’axes se présente sous forme d’un tableau quadrillé. Les éléments de la structure numérique qu’on sait déjà être des nombres sont appelés briques, une allusion évidente à la construction. Pour repérer une brique on se sert de l’axe des IDK et de l’axe des IDP. L’arrière-plan de la structure numérique forme ce qu’on va appeler l’horizon. C’est une zone qui ne comporte aucun nombre, c’est donc un espace vierge.

Les différentes structures numériques présentées dans cette théorie ne sont que des ébauches car il est humainement impossible de représenter une structure numérique dans toute sa plénitude. En effet le nombre de briques contenues dans une structure numérique est en principe infini.

Dans cette théorie nous allons traiter entre autres choses des structures numériques qui ont trait à un système de numération. Il serait donc on ne peut plus approprié de rappeler certaines notions relatives à cela.

Voici quelques définitions1 : Un système de numération est un ensemble de conventions à l’aide desquelles on peut nommer les nombres et les représenter par des caractères appelés chiffres. La base d’un système est le nombre des chiffres que l’on utilise dans ce système ; celle du système décimal est donc le nombre dix.

Les structures numériques liées à un système de numération seront nommées structures numériques de base numérale. Elles se présentent sous forme de pyramide, de demi-pyramide et de « terrassade ».

Au début de cette théorie sera abordée une structure numérique qui n’a rien à voir avec les systèmes de numération. La dite-structure a fait son apparition dans une autre théorie du même auteur et est complétée ici par d’autres notions nouvelles.

II. Triangle naturel

1 Voir Traité d’arithmétique (6e ÉDITION 1968) par N.-J.Schons .

4

A. Présentation

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⋯1 12 2 33 4 5 64 7 8 9 105 11 12 13 14 156 16 17 18 19 20 217 22 23 24 25 26 27 288 29 30 31 32 33 34 35 369 37 38 39 40 41 42 43 44 4510 46 47 48 49 50 51 52 53 54 5511 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 6612 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 7813 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 9114 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 10

3104 105

15 106 107

108 109 110 111 112 113

114 115 116 117

118 119 120

16 121 122

123 124 125 126 127 128

129 130 131 132

133 134 135 136

17 137 138

139 140 141 142 143 144

145 146 147 148

149 150 151 152

153

18 154 155

156 157 158 159 160 161

162 163 164 165

166 167 168 169

170 171

19 172 173

174 175 176 177 178 179

180 181 182 183

184 185 186 187

188 189 190

20 191 192

193 194 195 196 197 198

199 200 201 202

203 204 205 206

207 208 209 210

21 211 21 213 214 215 216 217 21 219 220 221 22 223 224 225 22 227 228 229 230 23

5

2 8 2 6 122 232 23

3234 235 236 237 238 23

9240 241 242 24

3244 245 246 24

7248 249 250 251 25

2253

23 254 255

256 257 258 259 260 261

262 263 264 265

266 267 268 269

270 271 272 273 274

275 276

⋮Triangle naturel

La première colonne de ce tableau est l’axe des IDK tandis que celui qui le surplombe est l’axe des IDP. Ces deux axes servent à repérer une brique. C’est ainsi qu’on appelle les nombres qui constituent le triangle naturel. Les briques sont disposées de façon à former un triangle rectangle. On localise aisément une brique sur ce triangle par le numéro de sa ligne et le numéro de sa colonne. Par exemple la brique 13 est repérée par l’intersection de la 5e ligne et de la 3e colonne. Par souci de simplicité on notera : (13) < 5; 3 >.

Le triangle naturel ou triangle des indices2 se trouve donc être un système de coordonnées. Dans ce système le premier nombre représente naturellement la brique, le second nombre est appelé son idadi ya kwanza3 (abrégé IDK) tandis que le dernier nombre est l’idadi ya pili4 (abrégé IDP) de la dite-brique. La brique, l’IDK et l’IDP sont tous des entiers naturels non nuls. D’autre part l’IDP n’excède jamais l’IDK.

Sur le triangle naturel pour (k )¿(lire « k d’IDK p et d’IDP q » ou « k de coordonnées p et q ») on a :

o k=p ( p−1 )

2+q ou k=Cp

2+qavec p≥2

o pa la même valeur que √2k arrondi au nombre entier le plus proche

o ( k (k+1 )2 )<k ;k>¿

o (k+ p )< p+1; q>¿

En effet soit (k )< p;q>et (k ' )< p+1; q>¿

2 C’est le nom donné au triangle naturel dans la Théorie des nombres composites du même auteur.3 Expression swahilie signifiant « premier nombre ».4 Expression swahilie signifiant « deuxième nombre ».

6

On aura : k=

p ( p−1 )2

+q

k '=( p+1 ) p

2+q}k '−k=

(p+1 ) p2

−p (p−1 )

2

⇒ k '−k=p

d'où k '=k+p .

o (k ± r )¿

En effet soit (k )< p;q>et (k ' )¿

On aura : k=

p ( p−1 )2

+q

k '=p ( p−1 )

2+q ±r}k '=k± r .

Déterminer ( x )<700;100> .

On a : x=C7002 +100¿244750.

Déterminer les coordonnées de la brique 2015 sur le triangle naturel.

On a : √2×2015≈63,482

donc (2015 )<63 ; x>¿

soit 2015=C632 +x

7

soit encore x=62

d'où (2015 )<63 ;62>.

Déduire du résultat qui précède les coordonnées des briques 2016 et 2000 sur le triangle naturel.

On a : (2015 )<63 ;62>¿

soit (2015+1 )<63 ;62+1>¿

d'où (2016 )<63 ;63> .

On a : (2015 )<63 ;62>¿

soit (2015−15 )<63 ;62−15>¿

d'où (2000 )<63 ;47>.

La configuration du triangle naturel présente une stratification des briques :

La première strate ou strate №1, encore appelée summum, contient des briques dont l’IDK est 1.

La deuxième strate ou strate №2 a quant à elle des briques dont l’IDK est 2.

La troisième strate ou strate №3 a pour sa part des briques dont l’IDK est 3.

Et ainsi de suite.

Nota :

Une strate autre que le summum est appelée soutrate.

8

Toute brique qui est au début d’une strate du triangle naturel est appelé un occidentèque tandis que toute brique qui termine une strate est un orientèque.

B. Iso-IDK

Les iso-IDK sont des briques ayant même IDK.

Exemple :

Les briques 46 ,52 et 55 sont des iso-IDK car on a : ( 46 )<10 ;1>, (52 )<10 ;7>et (55 )<10 ;10>.

1. Iso-IDK G ou iso-IDK gauche

Un iso-IDK gauche d’une brique est une brique située à gauche de celle-ci sur la même strate.

Soit (γ )< p;m>et (ε )

Si m<nalors la brique γ est un iso-IDK G de la brique ε .

Exemple :

Quel est le plus petit iso-IDK G de la brique 252 sur le triangle naturel ?

On a (252 )<22;21>.

Le plus petit iso-IDK G de la brique 252 aura pour IDP 1.

D'où (232 )<22;1> l' iso - IDKG cherché.

9

2. Iso-IDK D ou iso-IDK droite

Un iso-IDK droite d’une brique est une brique située à droite de celle-ci sur la même strate.

Soit (γ )< p;m>et (ε ).

Si m>nalors la brique γ est un iso-IDK D de la brique ε .

Exemple :

Quel est le plus grand iso-IDK D de la brique 417 sur le triangle naturel ?

On a (417 )<29 ;11> .

Le plus grand iso-IDK D de la brique 417 aura pour IDP 29.

D'où (435 )<29 ;29> l' iso - IDK D cherché.

C. Iso-IDP

On appelle iso-IDP des briques ayant même IDP.

Exemple :

Les briques 666 et 1261 sont des iso-IDP car on a : (666 )<36 ;36>et (1261 )<50 ;36> .

Nota :

Les iso-IDK sont nombrables tandis que les iso-IDP sont indénombrables.

1. Iso-IDP H ou iso-IDP haut

10

Un iso-IDP haut d’une brique est une brique située au-dessus de celle-ci sur le triangle naturel.

Soit (γ )<m;q>et (ε )<n;q>.

Si m<nalors la brique γ est un iso-IDP H de la brique ε .

Exemple :

Quel est le plus petit iso-IDP H de la brique 383158 sur le triangle naturel ?

On a (383158 )<875 ;783>.

Le plus petit iso-IDP H de la brique 383158 au vu des coordonnées de cette dernière doit inéluctablement avoir pour IDK 783.

Ainsi (306936 )<783 ;783>¿ est le plus petit iso-IDP H de la brique 383158.

Nota :

Lorsqu’une brique n’a pas d’iso-IDP H sur le triangle naturel alors on l’appelle frontèque. Un frontèque est situé à la périphérie du triangle naturel.

2. Iso-IDP B ou iso-IDP bas

Un iso-IDP bas d’une brique est une brique située au-dessous de celle-ci sur le triangle naturel.

Soit (γ )<m;q>et (ε )<n;q>.

Si m>nalors la brique γ est un iso-IDP B de la brique ε .

Exemple :

Trouver l’iso-IDP B de la brique 3731221 sur le triangle naturel ayant pour IDK 1000.

On a (3731221 )<2732;675> .

Ainsi (500175 )<1000 ;675>¿ est l’iso-IDP B cherché.

11

Soit (k )¿

⇒ ( k+p )< p+1 ;q>¿

⇒ ( k+2 p+1 )< p+2;q>¿

⇒ ( k+3 p+3 )< p+3 ;q>¿

⇒ ( k+4 p+6 )< p+4 ;q>¿

⇒ ( k+5 p+10 )< p+5 ;q>¿

⇒ ( k+6 p+15 )< p+6 ;q>¿

⇒ ( k+7 p+21 )< p+7 ;q>¿

⋮

d'où (k+np+Cn2 )< p+n; q>.

A-t-on (k+(n+1 ) p+Cn+12 )< p+n+1; q>?

De (k+np+Cn2 )< p+n;q>on a : (k+np+Cn

2+ p+n)< p+n+1;q>¿

⇒ (k+(n+1 ) p+Cn2+n)< p+n+1 ;q>or Cn

2+n=Cn2+Cn

1=Cn+12

d'où (k+ (n+1 ) p+Cn+12 )< p+n+1;q>.

Ainsi si on a (k )alors on a aussi (k+np+Cn2 )< p+n;q>et il serait superflu de préciser que n≥2.

D. Bissectèque

12

Déterminer la relation qui lie aet b sachant qu'on a : (ab )<a;b>.

De (ab )<a ;b>on a : ab=a (a−1 )

2+b

d'où a=2b .

k est unbissectèque si ona : ( k )<2n; n>.

Exemple :

Les briques 18, 50 et 72 sont des bissectèques sur le triangle naturel car on a : (18 )<6 ;3> , (50 )<10 ;5>et (72 )<12; 6>.

Nota :

Les bissectèques du triangle naturel appartiennent à une même ligne discontinue qui passe par les briques 2, 8, 18, 32, … Celle-ci porte le nom de bissectrice numérique.

Si l’on considère l’axe des IDK comme faisant partie du triangle naturel alors chaque bissectèque apparaît le cas échéant comme la brique médiane de chaque strate du triangle naturel. Cela est mis en relief sur le triangle naturel ci-dessus.

En utilisant le concept de bissectèque déterminer les coordonnées des briques 20, 100 et 1500 sur le triangle naturel.

Les coordonnées de la brique 20On a :

(2 )<2 ;1>; (8 )<4 ;2>; (18 )<6 ;3>et on peut déduire que (18+2 )<6 ;3+2>soit (20 )<6 ;5>.


(50 )<10 ;5>; (72 )<12 ;6>; (98 )<14 ;7>et on peut déduire que (98+2 )<14 ;7+2>soit (100 )<14 ;9> .

13


(1800 )<60 ;30> ; (1682 )<58 ;29> ; (1568 )<56 ;28>et on peut déduire que (1568−27 )<56 ;28−27>¿

soit (1541 )<56 ;1>; (1540 )<55 ;55>d'où (1540−40 )<55 ;55−40>soit (1500 )<55 ;15> .

14

III. Structures numériques de base numérale

A. Système de numération de base 2

1. Pyramide originelle

-2

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 …

00

11

102

113

1004

1015

1106

1117

10008

10019

101010

101111

110012

110113

111014

111115

1000016

1000117

1001018

1001119

1010020

1010121

1011022

1011123

⋯

10000032

10000133

10001034

10001135

10010036

10010137

10011038

10011139

⋯

100000064

100000165

100001066

100001167

100010068

100010169

100011070

100011171

⋯

10000000128

10000001129

10000010130

10000011131

10000100132

10000101133

10000110134

10000111135

⋯

100000000256

100000001257

100000010258

100000011259

100000100260

100000101261

100000110262

100000111263

⋯

1000000000512

1000000001513

1000000010514

1000000011515

1000000100516

1000000101517

1000000110518

1000000111519

⋯

100000000001024

100000000011025

100000000101026

100000000111027

100000001001028

100000001011029

100000001101030

100000001111031

⋯

15

⋮

-2 -1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

00

11

1 113

2 1015

1106

1117

3 10019

101010

101111

110012

110113

111014

111115

4 1000117

1001018

1001119

1010020

1010121

1011022

1011123

1100024

⋯

5 10000133

10001034

10001135

10010036

10010137

10011038

10011139

10100040

⋯

6 100000165

100001066

100001167

100010068

100010169

100011070

100011171

100100072

⋯

7 10000001129

10000010130

10000011131

10000100132

10000101133

10000110134

10000111135

10001000136

⋯

8 100000001257

100000010258

100000011259

100000100260

100000101261

100000110262

100000111263

100001000264

⋯

9 1000000001513

1000000010514

1000000011515

1000000100516

1000000101517

1000000110518

1000000111519

1000001000520

⋯

10 100000000011025

100000000101026

100000000111027

100000001001028

100000001011029

100000001101030

100000001111031

100000010001032

⋯

⋮PB2

16

2. Pyramide parallèle

Dans le système de numération binaire il n’y a pas de pyramide parallèle.

3. Demi-pyramide

… -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 000

11

102

113

1004

1015

1106

1117

10008

10019

101010

101111

110012

110113

111014

111115

⋯ 1011123

1100024

1100125

1101026

1101127

1110028

1110129

1111030

1111131

⋯ 11011157

11100058

11100159

11101060

11101161

11110062

11110163

11111062

11111163

⋯ 1110111119

1111000120

1111001121

1111010122

1111011123

1111100124

1111101125

1111110126

1111111127

⋯ 11110111247

11111000248

11111001249

11111010250

11111011251

11111100252

11111101253

11111110254

11111111255

⋯ 111110111

503

111111000504

111111001

505

111111010506

111111011507

111111100

508

111111101509

111111110

510

111111111511

⋮

17

… -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 01

102

2

1004

1015

1106

3

10008

10019

101010

101111

110012

110113

111014

4

⋯ 1011123

1100024

1100125

1101026

1101127

1110028

1110129

1111030

5

⋯ 11011157

11100058

11100159

11101060

11101161

11110062

11110163

11111062

6

⋯ 1110111119

1111000120

1111001121

1111010122

1111011123

1111100124

1111101125

1111110126

7

⋯ 11110111247

11111000248

11111001249

11111010250

11111011251

11111100252

11111101253

11111110254

8

⋯ 111110111503

111111000

504

111111001505

111111010506

111111011

507

111111100508

111111101509

111111110

510

9

⋮DB2

18

4. Terrassade

-1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

00

11

102

113

1004

1015

1106

1117

10008

10019

101010

101111

110012

110113

111014

111115

1000016

1000117

1001018

1001119

1010020

1010121

1011022

1011123

1100024

⋯

1111131

10000032

10000133

10001034

10001135

10010036

10010137

10011038

10011139

10100040

⋯

11111163

10000064

100000165

100001066

100001167

100010068

100010169

100011070

100011171

100100072

⋯

⋮

19

-1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

00

1 102

2 1004

1015

1106

3 10008

10019

101010

101111

110012

110113

111014

4 1000016

1000117

1001018

1001119

1010020

1010121

1011022

1011123

1100024

⋯

5 10000032

10000133

10001034

10001135

10010036

10010137

10011038

10011139

10100040

⋯

6 10000064

100000165

100001066

100001167

100010068

100010169

100011070

100011171

100100072

⋯

⋮TB21

20

B. Système de numération de base 3


… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 …00

11

22

103

114

125

206

217

228

1009

10110

10211

11012

11113

11214

12015

⋯

⋯ 20220

21021

21122

21223

22024

22125

22226

100027

100128

100229

101030

101131

101232

102033

⋯

⋯ 220274

221075

221176

221277

222078

222179

222280

1000081

1000182

1000283

1001084

1001185

1001286

1001087

⋯

⋯ 22202236

22210237

22211238

22212239

22220240

22221241

22222242

100000243

100001244

100002245

100010246

100011247

100012248

100010249

⋯

⋯ 222202722

222210723

222211724

222212725

222220726

222221727

222222728

1000000729

1000001730

1000002731

1000010732

1000011733

1000012734

1000010735

⋯

⋮

21

… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 …00

11

22

1 114

125

206

217

228

2 10110

10211

11012

11113

11214

12015

⋯

⋯ 20220

21021

21122

21223

22024

22125

22226

3 100128

100229

101030

101131

101232

102033

⋯

⋯ 220274

221075

221176

221277

222078

222179

222280

4 1000182

1000283

1001084

1001185

1001286

1001087

⋯

⋯ 22202236

22210237

22211238

22212239

22220240

22221241

22222242

5 100001244

100002245

100010246

100011247

100012248

100010249

⋯

⋯ 222202722

222210723

222211724

222212725

222220726

222221727

222222728

6 1000001730

1000002731

1000010732

1000011733

1000012734

1000010735

⋯

⋮PB3

22


… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 …00

11

22

103

114

125

206

217

228

1009

10110

10211

11012

11113

11214

12015

12116

12217

20018

20119

⋯

⋯ 102033

102134

102235

110036

110137

110238

111039

111140

111241

112042

112143

112244

120045

120146

⋯

⋯ 11020114

11021115

11022116

11100117

11101118

11102119

11110120

11111121

11112122

11120123

11121124

11122125

11200126

11201127

⋯

⋯ 111020357

111021358

111022359

111100360

111101361

111102362

111110363

111111364

111112365

111120366

111121367

111122368

111200369

111201370

⋯

⋮

23

… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 …00

1 22

103

2 125

206

217

228

1009

10110

10211

11012

3 11214

12015

12116

12217

20018

20119

⋯

⋯ 102033

102134

102235

110036

110137

110238

111039

4 111241

112042

112143

112244

120045

120146

⋯

⋯ 11020114

11021115

11022116

11100117

11101118

11102119

11110120

5 11112122

11120123

11121124

11122125

11200126

11201127

⋯

⋯ 111020357

111021358

111022359

111100360

111101361

111102362

111110363

6 111112365

111120366

111121367

111122368

111200369

111201370

⋯

⋮PB31

24

3. Demi-pyramide

… -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 000

11

22

103

114

125

206

217

228

⋯ 11012

11113

11214

12015

12116

12217

20018

20119

20220

21021

21122

21223

22024

22125

22226

⋯ 211066

211167

211268

212069

212170

212271

220072

220173

220274

221075

221176

221277

222078

222179

222280

⋯ 22110228

22111229

22112230

21220231

21221232

22122233

22200234

22201235

22202236

22210237

22211238

22212239

22220240

22221241

22222242

⋯ 222110715

222111716

222112717

221220718

221221719

222122720

222200721

222201722

222202723

222210724

222211725

222212727

222220726

222221727

222222728

⋮

25

… -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 000

11

1

103

114

125

206

217

2

⋯ 11012

11113

11214

12015

12116

12217

20018

20119

20220

21021

21122

21223

22024

22125

3

⋯ 211066

211167

211268

212069

212170

212271

220072

220173

220274

221075

221176

221277

222078

222179

4

⋯ 22110228

22111229

22112230

21220231

21221232

22122233

22200234

22201235

22202236

22210237

22211238

22212239

22220240

22221241

5

⋯ 222110715

222111716

222112717

221220718

221221719

222122720

222200721

222201722

222202723

222210724

222211725

222212727

222220726

222221727

6

⋮DB3

26

4. Terrassade

a) Passant par 1

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 …00 1

122

103

114

125

206

217

228

1009

10110

10211

11012

11113

11214

12015

12116

12217

20018

20119

20220

21021

21122

21223

22024

22125

22226

100027

⋯

111140

111241

112042

112143

112244

120045

120146

120247

121048

121149

121250

122051

122152

122253

200054

⋯

11111121

11112122

11120123

11121124

11122125

11200126

11201127

11202128

11210129

11211130

11212131

11220132

11221133

11222134

12000135

⋯

11111364

111112365

111120366

111121367

111122368

111200369

111201370

111202371

111210372

111211373

111212374

111220375

111221376

111222377

112000378

⋯

⋮

27

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 …00

1 22

103

2 125

206

217

228

1009

10110

10211

11012

3 11214

12015

12116

12217

20018

20119

20220

21021

21122

21223

22024

22125

22226

100027

⋯

4 111241

112042

112143

112244

120045

120146

120247

121048

121149

121250

122051

122152

122253

200054

⋯

5 11112122

11120123

11121124

11122125

11200126

11201127

11202128

11210129

11211130

11212131

11220132

11221133

11222134

12000135

⋯

6 111112365

111120366

111121367

111122368

111200369

111201370

111202371

111210372

111211373

111212374

111220375

111221376

111222377

112000378

⋯

⋮TB31

28

b) Passant par 2

-2

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

00

11

22

103

114

125

206

217

228

1009

10110

10211

20012

20113

20214

21015

21116

21217

…

22226

100027

100128

100229

200030

200131

200232

201033

201134

201235

…

222280

1000081

1000182

1000283

2000084

2000185

2000286

20010987

20011988

20012989

…

22222242

100000243

100001244

100002245

200000246

200001247

200002248

200010249

200011250

200012251

…

222222728

1000000729

1000001730

1000002731

2000000732

2000001733

2000002734

2000010735

2000011736

2000012737

…

22222222186

100000002187

100000012188

100000022189

200000002190

200000012191

200000022192

200000102193

200000112194

200000122195

…

⋮

29

-2

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

00

11

1 103

114

125

206

217

2 1009

10110

10211

20012

20113

20214

21015

21116

21217

…

3 100027

100128

100229

200030

200131

200232

201033

201134

201235

…

4 1000081

1000182

1000283

2000084

2000185

2000286

20010987

20011988

20012989

…

5 100000243

100001244

100002245

200000246

200001247

200002248

200010249

200011250

200012251

…

6 1000000729

1000001730

1000002731

2000000732

2000001733

2000002734

2000010735

2000011736

2000012737

…

⋮TB32

30

C. Système de numération de base 4


… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …00

11

22

33

104

115

126

137

⋯ 219

2210

2311

3012

3113

3214

3315

10016

10117

10218

10319

11020

11121

11222

11323

⋯

⋯ 32157

32258

32359

33060

33161

33262

33363

100064

100165

100266

100367

101068

101169

101270

101371

⋯

⋯ 3321249

3322250

3323251

3330252

3331253

3332254

3333255

10000256

10001257

10002258

10003259

10010260

10011261

10012262

10013263

⋯

⋯ 333211017

333221018

333231019

333301020

333311021

333321022

333331023

1000001024

1000011025

1000021026

1000031027

1000101028

1000111029

1000121030

1000131031

⋯

⋮

31

… -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …00

11

22

33

1 115

126

137

208

219

2210

2311

3012

3113

3214

3315

2 10117

10218

10319

11020

11121

11222

11323

⋯

⋯ 32056

32157

32258

32359

33060

33161

33262

33363

3 100165

100266

100367

101068

101169

101270

101371

⋯

⋯ 3320248

3321249

3322250

3323251

3330252

3331253

3332254

3333255

4 10001257

10002258

10003259

10010260

10011261

10012262

10013263

⋯

⋯ 333201016

333211017

333221018

333231019

333301020

333311021

333321022

333331023

5 1000011025

1000021026

1000031027

1000101028

1000111029

1000121030

1000131031

⋯

⋮PB4

32


a) Passant par 1

… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …00

11

22

33

104

105

126

137

208

219

2210

2311

3012

⋯

10016

10117

10218

10319

11020

11021

11222

11323

12024

12125

12226

12327

13028

⋯

⋯ 103278

103379

110080

110181

110282

110383

111084

111085

111286

111387

112088

112189

112290

112391

113092

⋯

⋯ 11032334

11033335

11100336

11101337

11102338

11103339

11110340

11110341

11112342

11113343

11120344

11121345

11122346

11123347

11130348

⋯

⋮

33

… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …00

1 22

33

104

2 126

137

208

219

2210

2311

3012

⋯

10016

10117

10218

10319

11020

3 11222

11323

12024

12125

12226

12327

13028

⋯

⋯ 103278

103379

110080

110181

110282

110383

111084

4 111286

111387

112088

112189

112290

112391

113092

⋯

⋯ 11032334

11033

335

11100336

11101337

11102

338

11103339

11110

340

5 11112342

11113343

11120344

11121345

11122346

11123347

11130348

⋯

⋮PB41

b) Passant par 2

… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …00

11

22

33

104

115

126

137

208

219

2210

2311

3012

3113

3214

3315

⋯ 20335

21036

21137

21238

21339

22040

22141

22242

22343

23044

23145

23246

23347

30048

30149

⋯

⋯ 2203165

2210166

2211167

2212168

2213169

2220168

2221169

2222170

2223171

2230172

2231173

2232174

2233175

2300176

2301177

⋯

⋯ 22203675

22210676

22211677

22212678

22213679

22220680

22221681

22222682

22223683

22230684

22231685

22232686

22233687

22300688

22301689

⋯

34

⋮

… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …00

11

1 33

104

115

126

137

208

219

2 2311

3012

3113

3214

3315

⋯ 20335

21036

21137

21238

21339

22040

22141

3 22343

23044

23145

23246

23347

30048

30149

⋯

⋯ 2203165

2210166

2211167

2212168

2213169

2220168

2221169

4 2223171

2230172

2231173

2232174

2233175

2300176

2301177

⋯

⋯ 22203675

22210

676

22211677

22212678

22213

679

22220680

22221

681

5 22223683

22230684

22231685

22232686

22233687

22300688

22301689

⋯

⋮PB4 2

3. Demi-pyramide

… -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 000

11

22

33

104

115

126

137

208

219

2210

2311

3012

3113

3214

3315

⋯ 30048

30149

30250

30351

31052

31153

31254

31355

32056

32157

32258

32359

33060

33161

33262

33363

⋯ 3300240

3301241

3302242

3303243

3310244

3311245

3312246

3313247

3320248

3321249

3322250

3323251

3330252

3331253

3332254

3333255

⋯ 333001009

33301

333021011

333031012

333101013

333111013

33312

333131015

333201016

333211017

333221018

33323

333301020

333311021

333321022

333331023

35

1010 1014 1019

⋮

… -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 000

11

22

1

104

115

126

137

208

219

2210

2311

3012

3113

3214

2

⋯ 30048

30149

30250

30351

31052

31153

31254

31355

32056

32157

32258

32359

33060

33161

33262

3

⋯ 3300240

3301241

3302242

3303243

3310244

3311245

3312246

3313247

3320248

3321249

3322250

3323251

3330252

3331253

3332254

4

⋯ 333001009

333011010

333021011

333031012

333101013

333111013

333121014

333131015

333201016

333211017

333221018

33323

1019

333301020

333311021

333321022

5

⋮DB4

36

4. Terrassade

a) Passant par 1

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …00

11

22

33

104

115

126

137

208

219

2210

2311

3012

3113

3214

3315

10016

10117

10218

10319

11020

11121

11222

11323

12024

12125

12226

12327

13028

13129

13230

13331

20032

20133

20234

20335

21036

⋯

111185

111286

111387

112088

112189

112290

112391

113092

113193

113294

113395

120096

120197

120298

120399

1210100

⋯

11111341

11112342

11113343

11120344

11121345

11122346

11123347

11130348

11131349

11132350

11133351

11200352

11201353

11202354

11203355

11210356

⋯

⋮

-1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …

00

1 22

33

104

2 126

137

208

219

2210

2311

3012

3113

3214

3315

10016

10117

10218

10319

11020

3 11222

11323

12024

12125

12226

12327

13028

13129

13230

13331

20032

20133

20234

20335

21036

⋯

4 111286

111387

112088

112189

112290

112391

113092

113193

113294

113395

120096

120197

120298

120399

1210100

⋯

5 11112342

11113343

11120344

11121345

11122346

11123347

11130348

11131349

11132350

11133351

11200352

11201353

11202354

11203355

11210356

⋯

37

⋮TB41

b) Passant par 2

-2

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …

00

11

22

33

104

115

126

137

208

219

2210

2311

3012

3113

3214

3315

10016

10117

10218

10319

11020

11121

11222

11323

…

22242

22343

23044

23145

23246

23347

30048

30149

30250

30351

31052

31153

31254

31355

…

2222170

2223171

2230172

2231173

2232174

2233175

2300176

2301177

2302178

2303179

2310180

2311181

2312182

2313183

…

22222682

22223683

22230684

22231685

22232686

22233687

22300688

22301689

22302690

22303691

22310692

22311693

22312694

22313695

…

⋮

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …00

11

1 33

104

115

126

137

208

219

2 2311

3012

3113

3214

3315

10016

10117

10218

10319

11020

11121

11222

11323

…

3 22343

23044

23145

23246

23347

30048

30149

30250

30351

31052

31153

31254

31355

…

4 2223171

2230172

2231173

2232174

2233175

2300176

2301177

2302178

2303179

2310180

2311181

2312182

2313183

…

5 22223683

22230684

22231685

22232686

22233

22300688

22301689

22302690

22303691

22310692

22311693

22312694

22313695

…

38

687

⋮TB42

39

c) Passant par 3

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …00

11

22

33

104

115

126

137

208

219

2210

2311

3012

3113

3214

3315

10016

10117

10218

10319

11020

11121

11222

11323

12024

12125

12226

12327

12428

…

33363

100064

100165

100266

100367

101068

101169

101270

101371

102072

102173

102274

102375

102476

…

3333255

10000256

10001257

10002258

10003259

10010260

10011261

10012262

10013263

10020264

10021265

10022266

10023267

10024268

…

333331023

1000001024

1000011025

1000021026

1000031027

1000101028

1000111029

1000121030

1000131031

1000201032

1000211033

1000221034

1000231035

1000241036

…

⋮

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …00

11

22

1 104

115

126

137

208

219

2210

2311

3012

3113

3214

2 10016

10117

10218

10319

11020

11121

11222

11323

12024

12125

12226

12327

12428

…

3 100064

100165

100266

100367

101068

101169

101270

101371

102072

102173

102274

102375

102476

…

4 10000256

10001257

10002258

10003259

10010260

10011261

10012262

10013263

10020264

10021265

10022266

10023267

10024268

…

5 1000001024

1000011025

1000021026

1000031027

1000101028

1000111029

1000121030

1000131031

1000201032

1000211033

1000221034

1000231035

1000241036

…

⋮TB43

40

D. Système de numération de base N


a) Présentation

PBN se lira tout simplement « pyramide originelle de base N ».

Soit [n]N tel que [n]N=N−1 avec N un entier naturel supérieur ou égal à 2.

… 2Nr-Nr+1 … 2Nr-1-Nr … … 2N3-N4 … 2N2-N3 … 2N-N2 … -N 1-N … 0 … N-1 … N2-1 … N3-1 … N4-1 … … Nr-1 … Nr+1-1 …00

11

… 10N

… 1n2N-1

202N

… 100N2

… 1nn2N2-1

2002N2

… 1000N3

… 1nnn2N3-1

20002N3

… 10000N4

… 1nnnn2N4-1

… … ⋮ … …

20…02Nr-1

10…0Nr

1n…n2Nr-1

200…02Nr

… 10…00Nr+1

… 1n…nn2Nr+1-1

41

… 2Nr-Nr+1 … 2Nr-1-Nr … … 2N3-N4 … 2N2-N3 … 2N-N2 … -N 1-N … 0 … N-1 … N2-1 … N3-1 … N4-1 … … Nr-1 … Nr+1-1 …00

11

… 1 … 1n2N-1

202N

… 2 … 1nn2N2-1

2002N2

… 3 … 1nnn2N3-1

20002N3

… 4 … 1nnnn2N4-1

… … ⋮ … …

20…02Nr-1

r 1n…n2Nr-1

20…002Nr

… r+1 … 1n…nn2Nr+1-1

PBN

Cette disposition des nombres ressemble fort à une pyramide. C’est donc à juste titre qu’on l’appelle pyramide. En réalité il s’agit d’une pyramide dissymétrique.

Nota :

Si N=2 alors la PBN devient :

-2 -1 … 0 … 1 … 3 … 7 … 15 … … 2r-1 … 2r+1-1 …00

11

… 1 … 113

2 … 1117

3 … 111115

4 … 1111131

⋮ … …

r 11…12Nr-1

r+1 … 11…112Nr+1-1

42

Ce tableau rappelle de façon dépouillée la PB2.

La colonne de la PBN renfermant les nombres soulignés constitue ce qu’on appelle l’axe des IDK tandis que la ligne qui la surplombe est l’axe des IDP. Ces deux axes servent à repérer une brique, c’est-à-dire un nombre, sur la PBN. C’est ainsi qu’on appelle les éléments qui constituent la pyramide.

Exemple :

La brique 20 sur la PB2, la PB3 et la PB4 est repérée comme suit :

PB2 : (20 ) [ 4 ; 4 ] PB3 : (20 ) [ 3 ;−7 ] PB4 : (20 ) [ 2; 4 ]

Nota :

Dans les décompositions qui précèdent le nombre souligné est appelé IDK5 tandis que celui qui le suit immédiatement est nommé IDP6.

Sur la PBN pour (k ) [ p ;q ] (lire « k d’IDK p sur piédestal et d’IDP q » ou « k de coordonnées p sur piédestal et q ») on a :

o k=N p+qo p=E ( logN (N k /2 ) )avec k>1

o (k ±k ' ) [ p ; q±k ' ] avec 2 N p−1−N p≤q±k ' ≤N p−1

Nota :

Si k<N alors on a ( k ) [ 1 ;q ] ;de là on déduit que k=N1+q soit q=k−N. Ainsi l'IDP q est négatif.

p indique un nombre transcrit dans la base N. Ce nombre est écrit comme suit : « 1 » suivi de p caractères « 0 ». Sa valeur en base décimale est : N p.

5 IDK : idadi ya kwanza (premier nombre en swahili).6 IDP : idadi ya pili (deuxième nombre en swahili).

44

Déterminer les coordonnées des briques 34, 454, 1511 et 269965 sur la PB2, la PB7, la PB10 et la PB298.

Sur la PB2

(34 ) [ 5 ;2 ] ; ( 454 ) [ 8 ;198 ] ; (1511 ) [10 ;487 ] et (269965 ) [18 ;7821 ] .

Sur la PB7

(34 ) [ 2 ;−15 ] ; ( 454 ) [ 3;111 ] ; (1511) [ 4 ;−890 ] et (269965 ) [ 7 ;−553578 ] .

Sur la PB10

(34 ) [ 2 ;−66 ] ; ( 454 ) [ 3 ;−546 ] ; (1511 ) [ 3 ;511 ] et (269965 ) [ 6 ;−730035 ] .

Sur la PB298

(34 ) [ 1 ;−264 ] ; (454 ) [ 1 ;156 ] ; (1511 ) [2 ;−87293 ] et (269965 ) [3 ;−26193627 ] .

Nota :

Si on est tenté de donner à p la même valeur que log Nk arrondi au nombre entier le plus proche, l’exemple qui suit devrait nous en dissuader.

Exemple :

Déterminer les coordonnées de la brique 180 sur la pyramide originelle de base 9.

On a :

ln( 9×1802 )

ln 9≈3,048 et on écrira alors (180 ) [3 ;−549 ] .

En revanche on a :

ln 180ln 9

≈2,36≈2 et on écrira alors (180 ) [2 ;99 ] .

45

Ce dernier résultat n’est point vrai. Il est donc hasardeux de donner à p la même valeur que log Nk arrondi au nombre entier le plus proche.

À quelle base de numération a-t-on affaire si on a : (32 ) [ 2;7 ] , (32 ) [2 ;−68 ] ou (32 ) [ 2;−112 ] ?

Désignons par x la base de numération de la pyramide originelle.

De (32 ) [2 ;7 ] on a : 32=x2+7 soit x2=25soit enfin x=5. Alors on a affaire à la base cinq.

De (32 ) [2 ;−68 ] on a : 32=x2−68soit x2=100soit enfin x=10. Alors on a affaire à la base décimale.

De (32 ) [2 ;−112 ] on a : 32=x2−112soit x2=144soit enfin x=12.Alors on a affaire à la base duodécimale.

Représenter la PB16 sur l’intervalle [ 5 ;10 ] sur l’axe des IDK et sur l’intervalle [-4 ; 4] sur l’axe des IDP.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4⋮

FFFFC1048572

FFFFD1048573

FFFFE1048574

FFFFF1048575

5 1000011048577

1000021048578

1000031048579

1000041048580

FFFFFC16777212

FFFFFD16777213

FFFFFE16777214

FFFFFF16777215

6 100000116777217

100000216777218

100000316777219

100000416777220

FFFFFFC268435452

FFFFFFD268435453

FFFFFFE268435454

FFFFFFF268435455

7 10000001268435457

10000002268435458

10000003268435459

10000004268435460

FFFFFFFC4294967292

FFFFFFFD4294967293

FFFFFFFE4294967294

FFFFFFFF4294967295

8 1000000014294967297

1000000024294967298

1000000034294967299

1000000044294967300

FFFFFFFFC68719476732

FFFFFFFFD68719476733

FFFFFFFFE68719476734

FFFFFFFFF68719476735

9 100000000168719476737

100000000268719476738

100000000368719476739

100000000468719476740

FFFFFFFFFC1099511627772

FFFFFFFFFD1099511627773

FFFFFFFFFE

1099511627774

FFFFFFFFFF

1099511627775

10 100000000011099511627777

100000000021099511627778

100000000031099511627779

100000000041099511627780

46

La configuration de la PBN présente une certaine stratification des briques :

La première strate ou strate №1, encore appelée summum, contient des briques dont l’IDK est 1.

La deuxième strate ou strate №2 a quant à lui des briques dont l’IDK est 2.

La troisième strate ou strate №3 a pour sa part des briques dont l’IDK est 3.

Et ainsi de suite.

Nota :

Les strates autres que le summum sont appelées soutrates.

La brique du summum par laquelle passe l’axe des IDK est appelée brique itineris7. Pour la PBN la brique itineris est N.

Toute brique qui est au début d’une strate d’une pyramide est appelé un occidentèque tandis que toute brique qui termine une strate est un orientèque. Au summum d’une pyramide l’occidentèque est zéro quelle que soit la base numérale.

Pour les soutrates l’occidentèque est de la forme 2 Nr−1avec N, un entier naturel supérieur ou égal à 2, comme base numérale et r∈N ¿. L’occidentèque en question appartient à la strate № r.

L’orientèque est de la forme 2 Nr−1 avec N, un entier naturel supérieur ou égal à 2, comme base numérale et r∈N ¿ quelle que soit la strate. Cet orientèque est de la strate № r.

7 Itineris : mot latin signifiant chemin.

47

b) Négatèque, positèque et axitèque

(1) Négatèque

Un négatèque est toute brique située à gauche de l’axe des IDK. Aussi son IDP est-il évidemment négatif.

Exemple :

Les briques 61, 507 et 32668 sont des négatèques sur la PB8. En effet on a : (61 ) [ 2;−3 ] , (507 ) [3 ;−5 ] et (32668 ) [5 ;−100 ] .

Nota :

Sur la PBN si a<N alors a est un négatèque.

En effet sur la PBN si a<N alors on a : (a ) [ 1 ; x ].

a est un négatèque si x<0.

De (a ) [ 1 ; x ] on a : a=N1+x soit x=a−N.

Or a<N c’est-à-dire a−N<0.

Ainsi on a bel et bien x<0.

Exemple :

La brique 9 est un négatèque sur la PB10, la PB11, la PB12, la PB26 et la PB1010.

En effet on a : (9 ) [ 1 ;−1 ] sur la PB10, (9 ) [ 1 ;−2 ] sur la PB11, (9 ) [1 ;−3 ] sur la PB12, (9 ) [ 1;−17 ] sur la PB26 et (9 ) [1 ;−1001 ] sur la PB1010.

48

Nota :

Sur la PB2 il n’existe que deux négatèques à savoir (0 ) [ 1;−2 ] et (1 ) [ 1 ;−1 ] .

Lorsqu’on transcrit un négatèque dans la base de numération de sa pyramide, le nombre de caractères de son écriture dans cette base est tout simplement égal à son IDK. En guise d’exemple les deux négatèques qui précèdent auront bel et bien un seul caractère dans la base binaire comme l’indique leur IDK respectif.

(a) Négatèque double

Soit aunnégatèque tel que (a ) [m;−b ] sur la PBN.

Si on a (b ) [m;−a ] ou E ( logN (bk /2 ) )=m avec b>1alors (a ;b)sera appelé n égat è que double .

Nota :

(a;b)et (b ;a)correspondent au même négatèque double.

(i) Négatèque double identique

Siavec≤négatèquedouble(a; b) on a : a=b alors on parle de n égat è que double identique.

Siaest unnégatèque telque (a ) [m;−a ] sur la PBN alors a=Nm−a soit a=Nm

2.

Conséquence :

Il ressort de cette égalité que l’existence d’un négatèque double sur la PBN est tributaire de la parité de N. Si N est impair on n’aura aucun négatèque double. En revanche si N est pair alors il y aura un négatèque double pour chaque valeur de l’exposant de N.

49

Exemple :

(1 ;1)est un négatèque double identique sur la PB2 car on a en effet : (1 ) [ 1 ;−1 ] .

(2 ;2)est un négatèque double identique sur la PB 4 car on a en effet : (2 ) [1 ;−2 ] .

(3 ;3)est un négatèque double identique sur la PB6 car on a en effet : (3 ) [ 1 ;−3 ] .

(ii) Négatèque double différencié

Siavec≤négatèquedouble(a; b) on a : a≠b alors on parle de n égat è que double différencié.

Exemple :

(13 ;7 ) est un né gat èque double différencié sur la PB20 car on a en effet : (13 ) [ 1 ;−7 ] et (7 ) [ 1;−13 ] .

(13 ;23 ) est un négat èque double différencié sur la PB6 car on a en effet : (13 ) [2 ;−23 ] et (23 ) [2 ;−13 ] .

(200 ;800 ) est un n égat èque double différencié sur la PB10 car on a en effet : (200 ) [3 ;−800 ] et (800 ) [ 3;−200 ] .

(19536 ;46000 )est un n égat èque différencié sur la PB16 car on a en effet : (19536 ) [ 4 ;−46000 ] et ( 46000 ) [ 4 ;−19536 ] .

(1036849 ;734712 ) est un n égat èque double différencié sur la PB11 car on a en effet : (1036849 ) [ 6 ;−734712 ] et (734712 ) [ 6;−1036849 ] .

Montrer que sur la PBN , (0 ;N ) est un n égat èque double différencié .

On a : (0 ) [ 1;−N ] .

On a aussi : (N ) [ 1;0 ] soit (N ) [ 1;−0 ] .

De plus on a : 0≠N .

D ’où (0 ;N )est un n égat èque double différencié .

50

(b) Détermination des négatèques doubles

Théorème 1. −Si on a (a ) [m;b ] avec a>1sur la PBN alors on aura aussi (a×Nr ) [m+r ;b×Nr ] avec r un entier naturel sur la même pyramide .

En effet de (a ) [m;b ] on a : a=Nm+b soit a×Nr=Nm+r+b×Nr

or ln(a×Nr×

N2 )

ln N=

ln( a×N2

×Nr)lnN

¿ln( a×N

2 )+r ln N

ln N¿

ln( a×N2 )

lnN+r or E( ln( a×N

2 )ln N )=men vertu de l'écriture (a ) [m;b ] .

Donc E( ln( a×N2 )

ln N+r)=m+r .

Alors E( ln(a×Nr×N2 )

ln N )=m+r .

D'où (a×Nr ) [m+r ;b×Nr ] .

Exemple :

Soit (50 ) [ 5 ;18 ] .

Déduire les coordonnées des briques 100 et 199 sur la même pyramide.

De (50 ) [5 ;18 ] on a 50=x5+18 soit x=2.

Les coordonnées de la brique 100

De (50 ) [5 ;18 ] on a (50×2 ) [5+1 ;18×2 ]

51

d'où (100 ) [6 ;36 ] .


De (50 ) [5 ;18 ] on a ( 50×22 ) [5+2;18×22 ]

soit (200 ) [ 7 ;72 ]

soit encore (200−1 ) [ 7 ;72−1 ]

d'où (199 ) [7 ;71 ] .

Soit (5 ) [ 1 ;−6 ] sur la PB11.

Déduire les coordonnées des briques 55 et 6660 sur la PB11 sachant que 6655=113×5.


De (5 ) [1 ;−6 ] on a (5×11 ) [1+1 ;−6×11 ]

d'où (55 ) [2 ;−66 ] .


De (5 ) [1 ;−6 ] on a (5×113 ) [1+3 ;−6×113 ]soit (6655 ) [ 4 ;−7986 ]

soit encore (6655+5 ) [ 4 ;−7986+5 ]

d'où (6660 ) [ 4 ;−7981 ] .

Corollaire −Si on a (a×Nr ) [m+r ;b×Nr ] sur la PBNalors on aura aussi (a ) [m;b ] sur la même pyramide .

Exemple :

52

Soit (700000 ) [ 6 ;−300000 ] sur la PB10.

Déduire les coordonnées des briques 7000 et 710 sur la PB10.

Les coordonnées de 7000

De (700000 ) [6 ;−300000 ] on a (7000×102 ) [4+2 ;−3000×102 ]

D'où (7000 ) [ 4 ;−3000 ] .

Les coordonnées de 710

De (700000 ) [6 ;−300000 ] on a (700×103 ) [3+3 ;−300×103 ]

soit (700 ) [ 3;−300 ]

soit encore (700+10 ) [3 ;−300+10 ]

D'où (710 ) [ 3 ;−290 ] .

Soit (1000 ) [ 9 ;488 ] sur la PB2.

Déduire les coordonnées de la brique 213 sur la PB2.

De (1000 ) [9 ; 488 ] on a (250×22 ) [7+2;122×22 ]

soit (250 ) [ 7 ;122 ]

soit encore (250−37 ) [ 7 ;122−37 ]

D'où (213 ) [ 7 ;85 ] .

Théorème 2. −Si(a; b)avec a>1et b>1est unnégatèque double sur la PBN alors (a×N r ;c ×N r )est aussiunnégatèque double sur≤PBN .

En vertu du théorème 1 si on a : (a ) [m;−b ] avec a>1sur la PBN alors on aura aussi (a×Nr ) [m+r ;−b×Nr ]sur la PBN .

53

Si du reste on a (b ) [m;−a ] avec b>1alors (b ) [m;−a ] sur la PBN donnera (b×Nr ) [m+r ;−a×Nr ]sur la PBN .

On a donc :

(a×Nr ) [m+r ;−b×Nr ] (b×Nr ) [m+r ;−a×Nr ]}⇒ (a×N r; b×Nr ) est un négatèque double.

(i) Les négatèques doubles du summum

Théorème 3. ─ Tous les négatèques du summum font partie d’un négatèque double.Sur la PBN ona :

On a : (0 ) [ 1;−N ] et (N ) [ 1;0 ] soit (N ) [1 ;−0 ] alors (0 ;N )est un n é gat èque double.

De (0 ) [1 ;−N ] on déduit (0+1 ) [ 1 ;−N+1 ] soit (1 ) [ 1 ;1−N ] .

De (N ) [1 ;0 ] on déduit ( N−1 ) [1 ;0−1 ] soit (N−1 ) [ 1;−1 ] .

On a donc : (1 ) [1 ;1−N ] (N−1 ) [1 ;−1 ]}⇒ (1 ;N−1 ) est un négatèque double.

Soit (a ) [1 ;−b ] avec a>1 sur la PBN et N>2.

De (a ) [ 1;−b ] on a : a=N−b soit b=N−a .

Si on suppose que b>1 ,on aura :

ln(b×N2 )

lnN=

ln(N×b2 )

ln N¿

ln N+lnb2

ln N¿1+

lnb2

ln N.

54

On a supposé que b>1alors on a : b≥2

⇒ ln b≥ ln2

⇒ ln b−ln2≥0

⇒ ln b−ln 2ln N

≥0car ln N>0 puisque N>2

D'où ln

b2

ln N≥0.¿

D'autre part l' égalit é a=N−b indique que b<2N.

En effet si b≥2 N alors on aura : N−b≤−N soit a≤−N ; or a>1 et donc a>0.

D'o ù b<2 N.

De là on a :

b2<N

⇒ lnb2< ln N

D'où ln

b2

ln N<1.¿

Somme toute ¿

On a donc : (a ) [ 1 ;−b ] (b ) [ 1 ;−a ]}⇒ (a ;b ) est un négatèque double.

Si on suppose maintenant que b=1,on aura :

55

(a ) [ 1 ;−1 ] soit a=N1−1 ; (a ) [ 1;−1 ] devient (N−1 ) [ 1 ;−1 ] ce qui ramène à un cas déjà traité à savoir le négatèque double (1 ;N−1 ) .

En définitive on peut affirmer sans l’ombre d’un doute que tout négatèque du summum d’une pyramide fait partie d’un négatèque double.

Exemple :

Ona: (4 ) [ 1 ;−3 ] sur la PB7 alors (4 ;3 )est un négatèque double.

Ona: (9 ) [1 ;−4 ] sur la PB13 alors (9 ; 4)est un négatèque double.

Ona: (10 ) [1 ;−12 ] sur la PB22 alors (10 ;12 ) est un négatèque double.

(ii) L’absence de négatèques doubles sur les soutrates de la PB3

Théorème 4. ─ Il n’existe pas de négatèques doubles sur une soutrate de la PB3.Soit (a ) [m;−b ] un négatèque sur la PB3 avec m>1.

Montrons qu'on a pas (b ) [m;−a ] ou que E ( log3 (3b/2 ) )≠mavec b>1.

Puisque m>1de (a ) [m;−b ] on a forcément E ( log3 (3a /2 ))=m

⇒m≤ln (a×3

2 )ln 3

<m+1

⇒m ln 3≤ ln(a×32 )<(m+1 ) ln3

⇒ ln3m≤ ln(a×32 )< ln3m+1

56

⇒3m≤a×32<3m+1

⇒2.3m−1≤a<2.3mor a=3m−bd'après (a ) [m;−b ]

⇒2.3m−1≤3m−b<2.3m

⇒2.3m−1−3m≤−b<3m

⇒−3m<b≤3m−2.3m−1

⇒0<b≤3m−2.3m−1

⇒0<b≤3m−1 (3−2 )

⇒0<b≤3m−1

⇒0<b×32≤

3m

2

⇒b×32≤

3m

2.

Supposons que b>1.

On a donc ln(b×3

2 )ln 3

≤ln

3m

2ln 3

E⇒ ( ln(b×32 )

ln 3 )≤E( ln3m

2ln 3 )

57

or ln

3m

2ln 3

=ln 3m+ ln

12

ln3¿ ln 3m−ln 2

ln 3¿m− ln 2

ln 3

d'autre part ln2ln3

≈0,63 et donc E(m− ln 2ln 3 )<msoit E( ln

3m

2ln3 )<m .

Alors E( ln(b×32 )

ln3 )≤E( ln3m

2ln 3 )<m

soit E (log3 (3b/2 ) )≠m .

Supposons maintenant que b=1.

On aura donc (a ) [m;−1 ] ;mais a-t-on (1 ) [m;−a ] avec m>1 ?

Sur la PB3 on a plutôt (1 ) [ 1;−2 ] avec un IDK égal à l'unité.

Ainsi on a pas (1 ) [m;−a ] avec m>1.

(iii) Les négatèques doubles d’une soutrate d’une pyramide originelle de base supérieure à 3

Théorème 5. −(2 Nm+k ;Nm+1−2 Nm−k )est unnégatèque double sur la PBN avec N≥4 ,m∈N ¿et k un entier naturel tel que k ≤Nm+1−4 Nm. Soit la PBN avec N≥ 4

Ona: (0 ) [1 ;−N ]

⇒ (0+2 ) [ 1 ;−N+2 ]

58

⇒ (2 ) [ 1;2−N ]

⇒ (2Nm ) [1+m;2 Nm−Nm+1 ] avec m∈N ¿

⇒ (2Nm+k ) [1+m;2Nm−Nm+1+k ] avec k un entier naturel tel que k ≤Nm+1−4 Nm .

Montrons que (2 Nm+k ;Nm+1−2 Nm−k ) est un n égat èque double.

Pour ce faire il suffit de montrer que E( ln [( Nm+1−2 Nm−k )×N2 ]

ln N )=1+m .

Avant tout montrons que Nm+1−2Nm−k>1.Ona: k ≤Nm+1−4 Nm

⇒2Nm≤Nm+1−2 Nm−k or N≥ 4

⇒2≤Nm+1−2Nm−k

alors Nm+1−2 Nm−k>1.

Maintenant calculons E( ln [ (Nm+1−2 Nm−k )×N2 ]

ln N ) .On a:

ln [ (Nm+1−2 Nm−k )×N2 ]

ln N=

ln N+ ln(Nm+1−2 Nm−k2 )

ln N¿1+

ln(Nm+1−2 Nm−k2 )

ln N.

Si k a la plus petite valeur c'est-à-dire que k=0 on aura :

1+ln(Nm+1−2 Nm−k

2 )ln N

=1+ln(Nm+1−2Nm

2 )ln N

¿1+ln [Nm (N−2 )

2 ]ln N

¿1+ln Nm+ ln(N−2

2 )ln N

¿1+m+ln(N−2

2 )ln N

.

59

Or N−2

2<N et donc ln(N−2

2 )< ln Nsoit ln(N−2

2 )ln N

<1.

D'autre part on a :

N≥4

N⇒ −2≥2

⇒N−22

≥1

⇒ ln(N−22 )≥0.

Ainsi 0≤ln(N−2

2 )lnN

<1 et donc E(1+m+ln(N−2

2 )ln N )=1+m.

AlorsE( ln [( Nm+1−2Nm−k )×N2 ]

ln N )=1+m .

Si k a la plus grande valeur c'est-à-dire que k=Nm+1−4Nmon aura :

1+ln(Nm+1−2 Nm−k

2 )ln N

=1+ln(2 Nm

2 )ln N

¿1+ ln Nm

ln N¿1+m

60

donc E(1+m+ln(N−2

2 )ln N )=1+m.

AlorsE( ln [( Nm+1−2Nm−k )×N2 ]

ln N )=1+m .

Il se trouve donc que pour k allant de 0àNm+1−4Nm on a : E( ln [ (Nm+1−2 Nm−k )×N2 ]

ln N )=1+m .

D'où ( 2Nm+k ;Nm+1−2 Nm−k ) est un négat èque double avec N≥4 et k un entier naturel tel que k ≤Nm+1−4 Nm .

Nota :

Pour la PB2 on rappelle qu’il n’y a que deux négatèques doubles à savoir (0 ;2 ) et (1 ;1 ).

Si k=0alors (2 Nm+k ) [1+m;2 Nm−Nm+1+k ]devient (2Nm ) [1+m;2 Nm−Nm+1 ] c'est-à-dire un occidentèque.

Théorème 6. −(2 Nm+k ;Nm+1−2 Nm−k )n' est pasunnégatèquedouble dans≤PBN avec N≥4 ,m∈N ¿et k un entier naturel tel que k>Nm+1−4 Nm. Soit la PBN avec N≥ 4.

Ona: (0 ) [1 ;−N ]

⇒ (0+2 ) [ 1 ;−N+2 ]

⇒ (2 ) [ 1;2−N ]

61

⇒ (2Nm ) [1+m;2 Nm−Nm+1 ] avec m∈N ¿

⇒ (2Nm+k ) [1+m;2Nm−Nm+1+k ] avec k un entier naturel tel que k ≤Nm+1−4 Nm .

Si k=Nm+1−4 Nm+k 'avec k '>0alors (2 Nm+k ) [1+m;2 Nm−Nm+1+k ] devient ( Nm+1−2Nm+k ' ) [1+m; k '−2 Nm ] .

Si 2Nm−k '>1.

Onaura :ln [ (2 Nm−k ' )×N

2 ]ln N

=ln N+ ln(2 Nm−k '

2 )ln N

¿1+ln(2 Nm−k '

2 )ln N

.

Si ln(2Nm−k '

2 )ln N

≥m

⇒ ln (2 Nm−k '

2 )≥m lnN

⇒ ln (2 Nm−k '

2 )≥ ln Nm

⇒ 2Nm−k '

2≥Nm

2⇒ Nm−k ' ≥2 Nm

⇒ k ' ≤0or k '>0.

Cette contradiction indique que (Nm+1−2Nm+k ' ;2 Nm−k ' ) ne constitue pas un n égat èque double .

62

Si ln(2Nm−k '

2 )ln N

<malorsE(1+ln (2Nm−k '

2 )ln N

)≠1+m.

Ainsi E( ln [ (2 Nm−k ' )×N2 ]

ln N )≠1+m et donc (Nm+1−2 Nm+k ' ;2Nm−k ' ) ne constitue pas un négat èque double .

Si 2Nm−k ' ≤1alors 2Nm−k '=1 ou 2 Nm−k '=0.

Si 2Nm−k '=1 alors (Nm+1−2Nm+k ' ) [1+m;k '−2 Nm ]devient (Nm+1−1 ) [ 1+m;−1 ] avec 1+m>1

or (1 ) [ 1;1−N ]

Ainsi (Nm+1−1 ;1 ) ne constitue pas un n égat èque double.

Si 2Nm−k '=0 alors ( Nm+1−2Nm+k ' ) [1+m;k '−2Nm ]devient ( Nm+1 ) [ 1+m;0 ] avec 1+m>1

or (0 ) [ 1 ;−N ]

Ainsi (Nm+1 ;0 ) ne constitue pas un n égat èque double.

(iv) Forme générale des négatèques doubles d’une soutrate

Corollaire 1. −En vertu des théorèmes 5 et 6 la forme générale d'un négatèques double d'une soutrate apparaît être:

(2Nm+k ;Nm+1−2Nm−k )avec N≥ 4 ,m∈N ¿et k un entier naturel tel que k ≤Nm+1−4 Nm .

Corollaire 2. ─ Sur une soutrate de la PB4 il n’y a qu’un seul négatèque double.

63

En effet la forme générale d’un négatèque double quelconque d’une soutrate de la PB4 en vertu du corollaire 1 est:(2× 4m+k ; 4m+1−2×4m−k ) avecm∈N ¿et k un entier naturel tel que k ≤0.

Soit ( 2×4m ;4m+1−2× 4m ) avecm∈N ¿ .

Soit encore ( 2× 4m ) [1+m;2×4m−4m+1 ]et ( 4m+1−2× 4m ) [1+m;−2× 4m ] avecm∈N ¿ .

Or chaque valeur de m est associée à une seule soutrate.

Donc (2×4m; 4m+1−2× 4m ) est unique par soutrate .

Corollaire 3. ─ Sur une soutrate de la PB4 le négatèque double qu’on y trouve est un négatèque double identique.On vient de voir que ce négatèque double est (2×4m; 4m+1−2× 4m ) .

Soit ( 2×4m ;4×4m−2×4m ) .

Soit enfin (2× 4m ;2× 4m ) .

Théorème 7. ─ La PB4 est un cas exceptionnel de pyramide originelle où l’on ne trouve qu’un seul le négatèque double par soutrate.Pour que le négatèque double (2Nm+k ;Nm+ 1−2Nm−k ) soit unique par soutrate il fautque k ait une valeur constante.

On sait que : 0≤k ≤Nm+1−4 Nm.

Pour que k ait une valeur constante il faut que ses valeurs extrêmes soit égales c'est-à-dire que Nm+1−4 Nm=0

⇒N−4=0 puisque N≥2 ;N étant une base de numération

⇒N=4

64

Il n’y a pas de pyramide originelle autre que la PB4 où on ne rencontre qu’un seul négatèque double par soutrate.

65

(v) Comment déterminer les négatèques doubles différents d’une soutrate

Soit (a ) [m;−b ] un occidentèque d'une soutrate d'une pyramide de base numérale supérieure à 3.

Si c est la valeur de |a−b|+1

2arrondie au nombre entier le plus proche alors cest aussi le nombre de négatèques doubles différents de la strate № m.

Les négatèques doubles différents de cette strate seront :

(a;b ) , (a+1;b−1 ) , (a+2 ;b−2 ) ,⋯ , (a+c−1; b−c+1 ) .

Exemple :

Déterminer tous les négatèques doubles différents des strates №2, №5 et №13 de la PB11.

Strate №2

Ona: (2 ) [ 1 ;−9 ]

⇒ (2×11 ) [ 1+1 ;−9×11]

⇒ (22 ) [ 2;−99 ]

Onaussi:|22−99|+1

2≈38.


(22 ;99 ) , (23 ;98 ) , (24 ;97 ) ,⋯ , (60 ;61 ) .

Strate №5

Ona: (2 ) [ 1 ;−9 ]

⇒ (2×114 ) [1+4 ;−9×114 ]

66

⇒ (29282 ) [ 5 ;−131769 ]

Onaaussi :|29282−131769|+1

2≈51244.


(29282 ;131769 ) , (29283 ;131768 ) , (29284 ;131767 ) ,⋯ , (80525 ;80526 ) .

Strate №13

Ona: (2 ) [ 1 ;−9 ]

⇒ (2×1112) [1+12 ;−9×1112 ]

⇒ (6276856753442 ) [ 13 ;−28245855390489 ]

Onaaussi :|6276856753442−28245855390489|+1

2=10984499318524.


(6276856753442 ;28245855390489 ) , (6276856753443;28245855390488 ) ,⋯ , (17261356071965;17261356071966 ) .

Nota :

Soit (a ) [m;−b ]est un occidentèque d’une soutrate d’une pyramide de base de numération supérieure à 3. En allant de la gauche vers la droite c’est à partir de la brique b+1qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur la strate №m.

Exemple :

En allant de la gauche vers la droite à partir de quelle brique ne rencontre-t-on plus de négatèques doubles sur les strates №3, №14 et №23 de la PB18 ?

Strate №3

67

Ona: (2 ) [ 1 ;−16 ]

⇒ (2×182 ) [1+2 ;−16×182 ]

⇒ (648 ) [ 3 ;−5184 ]

C’est à partir de la brique 5185 qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur cette strate.

Strate №14

Ona: (2 ) [ 1 ;−16 ]

⇒ (2×1813) [1+13 ;−16×1813 ]

⇒ (2×1813) [ 14 ;−333167437850738688 ]


Strate №23

Ona: (2 ) [ 1 ;−16 ]

⇒ (2×1822) [1+22 ;−16×1822 ]

⇒ (2×1822) [ 23 ;−66086856545797269256283357184 ]


(2) Positèque

Un positèque est une brique qui est située à droite de l’axe des IDK. Son IDP est nécessairement positif.

Exemple :

68

Les briques 293, 4919 et 83531 sont des positèques sur la PB17 car on a : (293 ) [ 2; 4 ] , (4919 ) [ 3 ;6 ] et (83531 ) [ 4 ;10 ] .

Nota :

Lorsqu’on écrit un positèque dans la base de numération d’une pyramide originelle, le nombre de caractères de son écriture dans cette base est tout simplement égal à son IDK augmenté de l’unité.

Sur la PBN si a>N il est impossible de savoir si a est un positèque ou un négatèque à moins de déterminer au préalable ses coordonnées.

Exemple :

On ne peut pas savoir si la brique 6 est un positèque ou un négatèque sur la PB3 ou la PB4. Toutefois en déterminant ses coordonnées dans ces structures numériques on a :

(6 ) [ 2 ;−3 ] sur la PB3 et (6 ) [ 1;2 ] sur la PB4.

Ainsi la brique 6 est un positèque sur la PB4 mais devient un négatèque sur la PB3.

Soit aun positèquetel que (a ) [m; b ] sur la PBN.

Est-il possible d'avoir (b ) [m; a ] sur la PBN ?

De (a ) [m;b ] on a : a=Nm+b .

Si on a (b ) [m;a ] alors : b=Nm+a .

En sommant ces égalités membre à membre on obtient :

a+b=2Nm+a+b

soit 0=2 Nm; or N est non nul.

69

Ainsi la conception de « positèque double » à l’instar de la notion de négatèque double n’est point envisageable sur la PBN.

(3) Axitèque

Une brique est un axitèque si sa position est celle de l’axe des IDK. Un axitèque a toujours un IDP nul.

Exemple :

Les briques 49, 343 et 16807 sont des axitèques sur la PB7 car on a : (49 ) [ 2 ;0 ] , (343 ) [ 3 ;0 ] et (16807 ) [ 5 ;0 ] .

Nota :

Lorsqu’on écrit un axitèque dans la base de numération d’une pyramide originelle, le nombre de caractères de son écriture dans cette base est tout simplement égal à son IDK augmenté de l’unité.

c) Iso-IDK, iso-IDP et IDP transitèque

(1) Iso-IDK


Exemple :

Les briques 14, 17 et 22 sont des iso-IDK sur la PB4 car on a : (14 ) [ 2 ;−2 ] , (17 ) [ 2;1 ] et (22 ) [ 2;6 ] .

Sur la PBN soit (k ) [ p ;r ].

Le plus petit iso-IDK de la brique k est [ 20⋯ 0 ]N ; après « 2 » il y a p−1 caractères « 0 ».

70

Le plus grand iso-IDK de la brique k est [ 1n⋯ n ]N ; après « 1 » il y a p caractères « n » avec [n ]N=N−1 .

Ainsi [ 20⋯ 0 ]N≤k≤ [ 1n⋯ n ]N .

Exemple :

Déterminer le plus petit et le plus grand iso-IDK de la brique 64 sur la PB16. Ensuite déterminer le nombre d’iso-IDK de la brique 64.

Ona: (64 ) [ 2;−192 ]

Le plus petit iso-IDK de la brique 64 est [ 20 ]16 soit 32.

Le plus grand iso-IDK de la brique 64 est [ 1FF ]16 soit 511.

Le nombre d’iso-IDK de la brique 64 est 511−32+1−1 soit 479.

Nota :

La brique 64 elle-même n’est pas comptée dans l’exemple précédent.

(a) Iso-IDK G ou iso-IDK gauche


Soit (γ ) [ p;m ] et ( ε ) [ p ;n ]


Exemple :

Quel est le plus petit iso-IDK G de la brique 252 sur la PB3 ?

On a (252 ) [ 5 ;9 ]

Le plus petit iso-IDK G de la brique 252 est 2×35−1 soit 162.

71

En effet on a : (162 ) [5 ;−81 ] et (161 ) [ 4 ;80 ] .

(b) Iso-IDK D ou iso-IDK droite


Soit (γ ) [ p;m ] et ( ε ) [ p ;n ]


Exemple :

Quel est le plus grand iso-IDK D de la brique 417 sur la PB8 ?

On a (417 ) [ 3 ;−95 ]

Le plus grand iso-IDK D de la brique 417 est 2 ×83−1soit 1023.

En effet on a : (1023 ) [ 3 ;511 ] et (1024 ) [ 4 ;−3072 ] .

(2) Iso-IDP


Exemple :

Les brique 46, 16804 et 1977326740 sont des iso-IDP sur la PB7 car on a : (46 ) [2 ;−3 ] , (16804 ) [7 ;−3 ] et (1977326740 ) [11 ;−3 ] .

72

Nota :

Certes les iso-IDK sont dénombrables, mais les iso-IDP ne sont pas dénombrables.

(a) Détermination des iso-IDP

Soit ( x ) [ y ;q ] sur la PBN (N>2).

Si q≥0

De ( x ) [ y ;q ] on a : q≤N y−1(Pour comprendre pourquoi voir PBN).

⇒N y≥q+1

soit y ≥ln (q+1 )

ln N.

Si q<0

De ( x ) [ y ;q ] on a : q≥2 N y−1−N y(Pour comprendre pourquoi voir PBN).

⇒N y−1 (2−N )≤q or N>2 soit 2−N<0

⇒ N y−1≤q

2−N

⇒ y−1≥ln( q

2−N )ln N

car q<0et 2−N<0 partant q

2−N>0

soit y ≥1+ln( q

2−N )ln N

.

73

Exemple :

Déterminer le plus petit iso-IDP de la brique 46663 sur la PB6.

On a :

(46663 ) [6 ;7 ] et ln (7+1 )

ln 6≈1,161.

Donc le plus petit iso-IDP la brique 46663 sur la PB6 est ( 43 ) [2 ;7 ].


On a :

(9904578032905935 ) [ 13 ;−2 ] et 1+ln( −2

2−17 )ln 17

≈0,289.

Donc le plus petit iso-IDP de la brique 9904578032905935 sur la PB17 est (15 ) [ 1;−2 ] .

Sur la PBN soit (k ) [ p ;r ] et ( [ ab ]N ) [ p ' ;r ] avec p≥ p’ (on suppose que a ne représente pas plus d’un chiffre ou pas plus d’un caractère).

o Si r ≥0

alors k=[ a0⋯0b ]N ; entre « a » et « b » il y a p−p ' caractères « 0 ».

o Si r<0

alors k=[ n⋯nab ]N ; devant «ab » il y a p−p ' caractères « n » avec [ n ]N=N−1 .

Application :

74

Sur la PB3 on a : ( [ 120 ]3 ) [ 2;6 ] . Déduire l’écriture de 1162261473 dans la base 3.

On a (1162261473 ) [ 19 ;6 ]sur la PB3 d’où 1162261473=[ 10000000000000000020 ]3.

Sur la PB5 on a : ( [ 440 ]5 ) [3 ;−5 ] . Déduire la transcription de 1220703120 dans la même base.

On a (1220703120 ) [ 13;−5 ]sur la PB 5d’où 1220703120= [ 4444444444440 ]5.

(b) Iso-IDP H ou iso-IDP haut

Un iso-IDP haut d’une brique est située au-dessus de celle-ci sur la PBN.

Soit (γ ) [m; q ] et ( ε ) [n; q ]


Exemple :

Quel est le plus petit iso-IDP H de la brique 383158 sur la PB619 ?

On a (383158 ) [ 2 ;−3 ]

Le plus iso-IDP H de la brique 383158 au vu des coordonnées de ce dernier sur la PB619 doit avoir pour IDK 1.

Ainsi (616 ) [ 1 ;−3 ] est le plus petit iso-IDP H de brique 383158.

Nota :

Lorsqu’une brique n’a pas d’iso-IDP H sur une pyramide alors on l’appelle frontèque. Un frontèque est situé à la périphérie de la pyramide.

75

(c) Iso-IDP B ou iso-IDP bas

Un iso-IDP bas d’une brique est située au-dessous de celle-ci sur la PBN.

Soit (γ ) [m; q ] et ( ε ) [n; q ]

Si m>nalors la brique γ est un iso-IDP H de la brique ε .

Exemple :

Trouver l’iso-IDP B de 233 sur la PB439 ayant pour IDK 3 .

On a (233 ) [1 ;−206 ] .

Ainsi (84604313 ) [ 3 ;−206 ] est l’iso-IDP B cherché.

(3) IDP transitèque

Une brique est dite IDP transitèque ou simplement transitèque sur la PBN et la PBN’ lorsque son IDP est le même sur ces pyramides originelles.

Soit (m ) [ pq ;r ] sur la PBN.

On a :

m=N pq+r¿ (N p )q+r soit (m) [q ;r ]sur la PB N p¿ (Nq )p+r soit (m) [ p ;r ] sur la PBN q¿ (N pq )+r soit (m ) [1 ;r ]sur la PB N pq .Il apparaît donc que la brique

m est transitèque sur la PB N p, la PBNq et la PBN pq.

Exemple :

On a :

(2405 ) [ 4 ; 4 ] ; (2405 ) [ 2; 4 ] ; (2405 ) [1 ;4 ] .

76

La brique 2405est donc transitèque sur la PB7, la PB49 et la PB2401.


a) Présentation

PBN i se lira tout simplement « pyramide parallèle de base N passant par i ».

Soient [i]N tel que [i]N=i avec N un entier naturel supérieur ou égal à 2 ; 0<i<N−1 et [n]N=N−1.

…

Nr−1−i (Nr−1 )N−1

…

N3−i (N4−1 )N−1

…

N2−i (N3−1 )N−1

…

N−i (N2−1 )N−1

… 0 …

N−1−i (N−1 )N−1

…

N2−1−i (N2−1 )N−1

…

N3−1−i (N3−1 )N−1

…

N 4−1−i ( N4−1 )N−1

…

Nr−1−i ( Nr−1 )N−1

…

… i

i (N1−1 )N−1

… nN-1

10N

ii

i (N2−1 )N−1

… nnN2-1

100N2

iii

i (N3−1 )N−1

… nnnN3-1

1000N3

iiii

i (N4−1 )N−1

… nnnnN4-1

⋮10…00Nr-1

ii…i

i (N r−1 )N−1

n…nnNr-1

78

…

Nr−1−i (Nr−1 )N−1

…

N3−i (N4−1 )N−1

…

N2−i (N3−1 )N−1

…

N−i (N2−1 )N−1

… 0 …

N−1−i (N−1 )N−1

…

N2−1−i (N2−1 )N−1

…

N3−1−i (N3−1 )N−1

…

N 4−1−i ( N4−1 )N−1

…

Nr−1−i ( Nr−1 )N−1

…

… 1 … nN-1

10N

2 … nnN2-1

100N2

3 … nnnN3-1

1000N3

4 … nnnnN4-1

⋮10…00Nr-1

r n…nnNr-1

PBN i

Nota :

Si i=N−1avec N≥2 alors la PBN i devient :

…

Nr−1−Nr+1…

N3−N4+1…

N2−N3+1…

N−N2+1… 0

… i

N−110N

ii

N2−1100N2

iii

N3−11000N3

iiii

N 4−1⋮

10…00Nr-1

ii…i

Nr−1

79

…

Nr−1−Nr+1…

N3−N4+1…

N2−N3+1…

N−N2+1… 0

… 110N

2

100N2

3

1000N3

4

⋮10…00Nr-1

r

Ces deux derniers tableaux ont l’allure d’une demi-pyramide. Ils font l’objet d’une étude spécifique dans une autre section (Voir page 103).

La colonne de la PBN i renfermant les nombres soulignés constitue ce qu’on appelle l’axe des IDK tandis que la ligne qui le surplombe est l’axe des IDP. Ces deux axes servent à repérer une brique, c’est-à-dire un nombre. C’est ainsi qu’on appelle les éléments qui constituent la pyramide.

Exemple :

La brique 11 sur la PB31, la PB41 et la PB4 2est repérée comme suit :

PB31 : (11 )1 [ 3 ;−2 ] PB41: (11 )1 [ 2;6 ] PB4 2: (11 )2 [ 2;1 ]

Nota :


Pour tout k de la PBN i si ona: k ≤Nr−1


80

⇒ k+1≤Nr

⇒ ln (k+1 )≤r ln N

soit r ≥ln (k+1 )

ln N.

Sur la PBN i pour (k )i [ p ;q ](lire « k d’IDK p sur piédestal et d’IDP q sur la PBN i » ou « k de coordonnées p sur piédestal et q ») on a :

o k=i (N p−1 )N−1

+q

o pest la plus petite valeur entière non nulle qui vérifie l'inéquation x ≥ln ( k+1 )

ln N

o (k ±k ' )i [ p ; q±k ' ] avec N p−1−i ( N p−1 )N−1

≤q±k '<N p−1−i ( N p−11 )N−1

Déterminer les coordonnées des briques 34, 454, 1511 et 269965 sur la PB51, la PB7 4, la PB108 et la PB29861.

Sur la PB51

(34 )1 [ 3 ;3 ] ; ( 454 )1 [ 4 ;298 ] ; (1511 )1 [ 5;1355 ] et (269965 )1 [ 8 ;172309 ] .

Sur la PB7 4

(34 )4 [ 2;2 ] ; (454 )4 [ 4 ;−1146 ] ; (1511 )4 [ 4 ;−89 ] et (269965 )4 [ 7 ;−279063 ] .

Sur la PB108

(34 )8 [ 2 ;−54 ] ; (454 )8 [ 3 ;366 ] ; (1511)8 [ 4 ;−7377 ] et (269965 )8 [ 6 ;−618923 ] .

Sur la PB29861

(34 )61 [ 1;−27 ] ; (454 )61 [ 2 ;−17785 ] ; (1511 )61 [2 ;−16728 ] et (269965 )61 [ 3 ;−5165318 ] .

81

Àquelle basede numérationa -t-on affaire si on a : (a )i [m;b ] ?

Désignons par x la base de numération de la pyramide parallèle.

De (a )i [m;b ] on a :

a=i (xm−1 )x−1

+b

⇒i (xm−1 )x−1

=a−b

⇒ xm−1x−1

=a−bi

.

x sera tel que : x=E(m−1√ a−bi )avec m−1>1.

À quelle base de numération a-t-on affaire si on a : (781 )3 [ 4 ;4 ] , (781 )11 [ 3 ;−1540 ] ou (781 )27 [2 ;−758 ] ?

Désignons par x la base de numération de la pyramide parallèle.

De (781 )3 [ 4 ;4 ] on a : x=E( 3√ 7773 ) soit x=6. Alors la base est six.

De (781 )11 [3 ;−1540 ] on a : x=E(√ 232111 ) soit x=14. Alors la base est quatorze.

De (781 )27 [ 2 ;−758 ] on a : 781=27 (x2−1 )

x−1−758=27 ( x+1 )−758 soit x=56. Alors la base est cinquante-six.

82

Nota :

Si l’IDK d’une brique est 1 il est pratiquement impossible de préciser la base de numération de la pyramide à laquelle elle appartient.

Eneffet si on a : (p )i [ 1 ;q ] et que nous désignons par x la base de numération de la pyramide .

On aura :

p=i ( x1−1 )x−1

+q

⇒ p=i+q .

Ainsila base denumération resteinconnue .Toutefoison la sait vérifiant larelation suivante :1≥ln ( p+1 )

ln xsoit x ≥ p+1.

La configuration d’une pyramide présente une stratification des briques :

La première strate ou strate № 1, encore appelée summum, contient des briques dont l’IDK est 1.

La deuxième strate ou strate № 2 a quant à lui des briques dont l’IDK est 2.

La troisième strate ou strate № 3 a pour sa part des briques dont l’IDK est 3.

Et ainsi de suite.

Nota :


La brique du summum par laquelle passe l’axe des IDK est nommée brique itineris10. Pour la PBN i la brique itineris est i.


83

Toute brique qui est au début d’une strate d’une pyramide est appelé un occidentèque tandis que toute briques qui termine une strate est un orientèque. Au summum d’une pyramide l’occidentèque est zéro quelle que soit la base numérale.

Pour une strate autre que le summum l’occidentèque est de la forme Nr−1avec N, un entier naturel supérieur à 2, comme base numérale et r∈N ¿. L’occidentèque en question appartient à la strate № r.

L’orientèque est de la forme Nr−1 avec N comme base numérale et r∈N ¿ quelle que soit la strate. Cet orientèque est de la strate № r .

b) Négatèque, positèque et axitèque

(1) Négatèque

Un négatèque est toute brique située à gauche de l’axe des IDK. Aussi son IDP est-il indubitablement négatif.

Exemple :

La brique 61 est un négatèque sur la PB1910. En effet on a : (61 )10 [2 ;−139 ] .

La brique 201791851 est un négatèque sur la PB335. En effet on a : (201791851 )5 [ 6 ;−19 ] .

La brique 64302800 est un négatèque sur la PB10260. En effet on a : (64302800 )60 [ 4 ;−100 ] .

Soit (k )i [ 1; q ] sur la PBN i .

Si k<i alors k est un négatèque sur la PBNi .

En effet si k est un négatèque on aura :

q<0 or k=i (N−1 )N−1

+q soit q=k−i

84

⇒ k−i<0

d'où k<i .


Soit aunnégatèque tel que (a )i [m;−b ] sur la PBNi .

Si on a : (b )i [m;−a ] ou m≥ logN (b+1 ) alors (a ; b)sera appelé négat èque double.

Nota :



Siavec≤négatèquedouble(a; b) on a : a=b alors on parle de négat è que double identique.

Siaest unnégatèque telque (a )i [m;−a ] sur la PBN i alors a=i (Nm−1 )N−1

−a soit a=i (Nm−1 )2 (N−1 )

.

Nota :

aexiste si l'une des conditions suivantes est remplie:

i est pair i est impair et différent de l'unité ;N est impair tandis que m est pair

Exemple :

(195 ;195)est un négatèque double identique sur la PB2515 car on a en effet : (195 )15 [ 2 ;−195 ] .

85

(208 ;208)est un négatèque double identique sur la PB2516 car on a en effet : (208 )16 [2 ;−208 ] .

(656410 ;656410 ) est un négatèque double identique sur la PB4020 car on a en effet : (656410 )20 [ 4 ;−656410 ] .

(45502613 ; 45502613 ) est un négatèque double identique sur la PB4326 car on a en effet : (45502613 )26 [ 5 ;−45502613 ] .

(3864028077 ;3864028077 )est un négatèque double identique sur la PB619 car on a en effet : (3864028077 )9 [6 ;−3864028077 ] .

(25627 ;25627 )est un négatèque double identique sur la PB6014 car on a en effet : (25627 )14 [3 ;−25627 ] .



Exemple :

(194 ;196 )est un négatèque double identique sur la PB2515 car on a en effet : (194 )15 [ 2 ;−196 ] et (196 )15 [ 2 ;−194 ] .

(207 ;209 ) est un négatèque double identique sur la PB2516 car on a en effet : (207 )16 [ 2 ;−209 ] et (209 )16 [ 2 ;−207 ] .

(45502612 ; 45502614 ) est un négatèque double identique sur la PB4326 car on a en effet : ( 45502612 )26 [ 5 ;−45502614 ] et (45502614 )26 [ 5 ;−45502612 ] .

(3864028076 ;3864028078 ) est un négatèque double identique sur la PB619 car on a en effet : (3864028076 )9 [ 6 ;−3864028078 ] et (3864028078 )9 [ 6 ;−3864028076 ] .

(26480 ;26482 ) est un négatèque double identique sur la PB6114 car on a en effet : (26480 )14 [ 3;−26482 ] et (26482 )14 [ 3 ;−26480 ] .

Montrer que sur toute PBNi , (0 ;i ) est un négat èque double différencié .

On a : (0 )i [ 1;−i ] .

On a aussi : (i )i [ 1 ;0 ] soit (i )i [1 ;−0 ] .

86

De plus on a : 0≠i .

D’où (0 ; i ) est un n égat èque double différencié.



Théorème 1. ─ Tous les négatèques du summum font partie d’un négatèque double.Sur laPBNiavec 0<i ≤N−1ona :

(0 )i [ 1;−i ] et ( i)i [ 1;0 ] soit (i )i [1 ;−0 ] alors (0 ; i ) est un n égat èque double.

De (0 )i [1 ;−i ] on déduit : (0+1 )i [ 1;−i+1 ] soit (1 )i [ 1;1−i ] .

De ( i )i [ 1;0 ] on déduit : ( i+1 )i [1 ;0+1 ] soit ( i−1 )i [1 ;−1 ] .

On a donc : (1 )i [1 ;1−i ] ( i−1 )i [ 1;−1 ]}⇒ (1 ; i−1 ) est un négatèque double.

Soit (a )i [1 ;−b ] avec a>1 sur la PBNi .

De (a )i [1 ;−b ] on a : a=i−b

De a>1 on a : i−b>1

⇒ i>b+1

⇒b+1<i⇒ ln (b+1 )<ln i⇒ln (b+1 )

ln N< ln i

ln Nor i ≤N−1c.-à -d.

ln iln N

<1d'où ln (b+1 )

ln N<1

On a donc : (a )i [ 1;−b ] et 1≥ logN (b+1 ) alors (a;b)est un négatèque double.

Exemple :

87

Ona: (2 )3 [ 1 ;−1 ] sur la PBN3 avec N>3 alors (2 ;1 ) est un négatèque double.

Ona: (9 )17 [1 ;−8 ] sur la PBN17 avec N>17 alors (9 ;8)est un négatèque double.

Ona: (10 )105 [ 1;−95 ] sur la PBN105 avec N>105 alors (10 ;95 ) est un négatèque double.

(ii) L’absence de négatèques doubles sur les soutrates de la PBN1

Théorème 2. ─ Il n’existe pas de négatèques doubles sur une soutrate de la PBN1.Soit (a )1 [m;−b ] un négatèque du PBN1 avec m>1.

Montrons que logN (b+1 )<mc.-à-d .qu'on a pas (b )1 [m;−a ].

Puisque m>1alors on a a>N−1 ; en effet la brique N−1 appartient au summum .

De (a )1 [m;−b ] on a : a=Nm−1N−1

−b .

Or a>N−1

⇒ Nm−1N−1

−b>N−1

⇒−b>N−1−Nm−1N−1

⇒b<Nm−1N−1

−(N−1 ) or Nm−1N−1

−(N−1 )<Nm−1

⇒b<Nm−1

⇒b+1<Nm

88

d'où logN (b+1 )<m .

(iii) Comment déterminer les négatèques doubles différents d’une soutrate

Soit (a )i [m;−b ] avec i ≠1un occidentèque d'une soutrate d'une pyramide parallèle.




(a;b ) , (a+1;b−1 ) , (a+2 ;b−2 ) ,⋯ , (a+c−1; b−c+1 ) .

Exemple :

Déterminer tous les négatèques doubles différents des strates №2, №5 et №13 de la PB112 et de la PB117 .

Strate №2

Pour la PB112 .

On a: (11 )2 [2 ;−13 ]

Onaussi:|11−13|+1

2≈2


(11;13 ) et (12 ;12 ) .

Pour la PB117 .

Ona: (11 )7 [2 ;−73 ]

89

Onaussi:|11−73|+1

2≈32


(11;73 ) , (12;72 ) , (13 ;71 ) ,⋯ , (42 ;42 ) .

Strate №5

Pour la PB112 .

Ona: (14641 )2 [ 5 ;−17569 ]

Onaussi:|14641−17569|+1

2≈1465


(14641 ;17569 ) , (14642 ;17568 ) , (14643 ;17567 ) ,⋯ , (16105;16105 ) .

Pour la PB117 .

On a: (14641 )7 [ 5 ;−98094 ]

Onaussi:|14641−98094|+1

2=41727


(14641 ;98094 ) , (14642 ;98095 ) , (14643 ;98096 ) ,⋯ , (56367 ;56368 ) .

Strate №13

Pour la PB112 .

90

Ona: (3138428376721 )2 [ 13 ;−3766114052065 ]

Onaussi:|3138428376721−3766114052065|+1

2≈313842837673


(3138428376721 ;3766114052065) , (3138428376722;3766114052064 ) , (3138428376723 ;3766114052063) ,⋯ , (3452271214393 ;3452271214393 ) .

Pour la PB117 .

Ona: (3138428376721 )7 [ 13 ;−21027470124030 ]

Onaussi:|3138428376721−21027470124030|+1

2=8944520873655


(3138428376721 ;21027470124030 ) , (3138428376722 ;21027470124029 ) , (3138428376723 ;21027470124028 ) ,⋯ , (12082949250375 ;12082949250376 ) .

Nota :

Soit (a )i [m;−b ] avec i ≠1un occidentèque d'une soutrate d'une pyramide. En allant de la gauche vers la droite c’est à partir de la brique b+1qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur la strate №m.

Exemple :

En allant de la gauche vers la droite à partir de quelle brique ne rencontre-t-on plus de négatèques doubles sur les strates №3, №14 et №23 de la PB1810 et de la PB1816?

Strate №3

91

Pour la PB1810

Ona: (324 )10 [3 ;−3106 ]


Pour la PB1816

Ona: (324 )16 [3 ;−5164 ]

C’est à partir la brique165 qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur cette strate.

Strate №14

Pour la PB1810

Ona: (20822964865671168)10 [14 ;−199655486653200022 ]


Pour la PB1816

Ona: (20822964865671168)16 [14 ;−331942557564522736 ]


Strate №23

Pour la PB1810

Ona: (4130428534112329328517709824 )10 [ 23 ;−39603520650606451796963923606 ]

92


Pour la PB1816

Ona: (4130428534112329328517709824 )16 [23 ;−65843890161437720472252903664 ]


(2) Positèque

Un positèque est une brique qui est située à droite de l’axe des IDK. Son IDP est indubitablement positif.

Exemple :

Les briques 220, 3690 et 62646sont des positèques sur la PB1712 car on a : (220 )12 [2 ;4 ] , (3690 )12 [ 3;6 ] et (62646 )12 [ 4 ;10 ] .

Sur la PBN i (N≥2) si a>N il est impossible de savoir si a est un positèque ou un négatèque à moins de déterminer au préalable ses coordonnées.

Exemple :

On ne peut pas savoir si 7 est un positèque ou un négatèque sur la PB31 ou la PB4 2. Toutefois en déterminant ses coordonnées sur ces structures numériques on a :

(7 )1 [ 2;3 ] sur la PB31 et (7 )2 [ 2 ;−3 ] sur la PB42 .

Ainsi 7 est un positèque sur la PB4 2 mais devient un négatèque sur la PB31.

Soit aun positèquetel que (a )i [m;b ] sur la PBNi .

Est-il possible d'avoir (b )i [m;a ] sur la PBNi ?

93

De (a )i [m;b ] on a: a=i ( Nm−1 )N−1

+b .

Si on a (b )i [m; a ] alors : b=i (Nm−1 )N−1

+a .

En sommant ces égalités membre à membre on obtient :

a+b=2i ( Nm−1 )N−1

+a+b

soit 0=2i ( Nm−1 )N−1

or i ( Nm−1 )N−1

≠0 car on a N >1 et i≠0 .

Ainsi la conception de « positèque double » à l’instar de la notion de négatèque double n’est point possible sur la PBN i.

(3) Axitèque

Une brique est un axitèque si sa position est celle de l’axe des IDK. Un axitèque a toujours un IDP nul.

Exemple :

Les briques 24, 171 et 8403 sont des axitèques sur la PB73 car on a : (24 )3 [ 2 ;0 ] , (171 )3 [ 3 ;0 ] et (8403 )3 [5 ;0 ] .

Nota :

Lorsqu’on écrit un axitèque dans la base de numération d’une pyramide, le nombre de caractères de son écriture dans cette base est tout simplement égal à son IDK.

Soit (k )i [ p ;q ] sur la PBN i avec0<i<N−1.

94

Sur quelles pyramides parallèles de même base de numération, k est-il un négatèque, un axitèque ou un positèque ?

De (k )i [ p ;q ] on a :

k=i (N p−1 )N−1

+q soit q=k−i (N p−1 )N−1

.

Si k est un négatèque alors on a : q<0

⇒ k−i ( N p−1 )N−1

<0

⇒i ( N p−1 )N−1

>k

⇒ i>k (N−1 )N p−1

or i<N−1

d'où k (N−1 )N p−1

<i<N−1.

Si k est un axitèque alors on a : q=0

⇒ k−i ( N p−1 )N−1

=0

⇒i ( N p−1 )N−1

=k

d'où i=k (N−1 )N p−1

.

Si k est un positèque alors on a : q>0

De ce qui précède il vient que k est un positèque si on a :

95

i∉ ¿

SoitŲ ( [ i ]N )= {[ i ]N; [ ii ]N ; [ iii ]N ;⋯; avec [ i ]N=[ i ]10et i<N }¿

C’est l’ensemble de nombres qui s’écrivent uniquement avec le caractère « i » dans la base N. Tous les axitèques de la PBN i appartiennent à cet ensemble.

Déterminer l’ensemble des axitèques de la PB108 et de la PB1614 .

Pour la PB108 cet ensemble est : Ų (8 )={8 ;88 ;888 ;⋯ }.

Pour la PB1614 cet ensemble est : Ų ( [ E ]16 )= {[ E ]16 ; [ EE ]16 ; [ EEE ]16;⋯ avec [ E ]16=14 }.

c) Iso-IDK et iso-IDP

(1) Iso-IDK


Exemple :

Les briques 339, 342 et 347 sont des iso-IDK sur la PB41 car on a : (339 )1 [5 ;−2 ] , (342 )1 [ 5;1 ] et (347 )1 [ 5; 6 ] .

Sur la PBN i (N>2) soit (k )i [ p ;r ].

Le plus petit iso-IDK de la brique k est [ 10⋯0 ]N ; après « 1 » il y a p−1 caractères « 0 ».

Le plus grand iso-IDK de la brique k est [nn⋯n ]N ; il y a p caractères « n » avec [n ]N=N−1 .

96

Ainsi [ 10⋯0 ]N≤k ≤ [nn⋯ n ]N

Exemple :

Déterminer le plus petit et le plus grand iso-IDK de la brique 64 sur la PB1611. Ensuite déterminer le nombre d’iso-IDK de la brique 64.

Ona: (64 )11 [ 2 ;−123 ]


Le plus grand iso-IDK de la brique 64 est [ FF ]16 soit 255.


Nota :




Soit (γ )i [ p ;m ] et (ε )i [ p; n ]


Exemple :

Quel est le plus petit iso-IDK G de la brique 252 sur la PB31 ?

On a (252 )1 [ 6 ;−112 ]

Le plus petit iso-IDK G de la brique 252 est 36−1 soit 243.

En effet on a : (243 )1 [ 6 ;−121 ] et (242 )1 [ 5 ;121 ] .

97



Soit (γ )i [ p ;m ] et (ε )i [ p ; n ]


Exemple :

Quel est le plus grand iso-IDK D de la brique 343 sur la PB86 ?

On a (343 )6 [3 ;−95 ]

Le plus grand iso-IDK D de la brique 343 est 83−1 soit 511.

En effet on a : (511 )6 [ 3 ;73 ] et (512 )6 [ 4 ;−2998 ] .

(2) Iso-IDP


Exemple :

Les briques 37, 686282 et 1647772282 sont des iso-IDP sur la PB75 car on a : (37 )5 [ 2;−3 ] , (686282 )5 [7 ;−3 ] et (1647772282 )5 [11;−3 ] .

Nota :

Certes les iso-IDK d’un nombre donné sont dénombrables, mais les iso-IDP de ce même nombre sont indénombrables.

98

(a) Détermination des iso-IDP d’une brique

Soit ( x )i [ y ;q ] sur la PBN i.

q<0

De ( x )i [ y ; q ] on a : q≥N y−1−i ( N y−1 )N−1

(Pour comprendre pourquoi voir )

⇒q ≥N y−1− iN y

N−1+ i

N−1

⇒q ≥N y−1(1− iNN−1 )+ i

N−1

⇒N y−1(1− iNN−1 )+ i

N−1≤q

⇒N y−1(1− iNN−1 )≤q− i

N−1

⇒N y−1≥q− i

N−1

1−iN

N−1

car 1−iN

N−1puisque iN>N−1 avec i≥1

⇒N y−1≥q (N−1 )−iN−1−iN

⇒ ( y−1 ) ln N≥ ln( q (N−1 )−iN−1−iN )

99

⇒ y−1≥

ln( q ( N−1 )−iN−1−iN )

ln N

soit y ≥1+ln( q (N−1 )−i

N−1−iN )ln N

.

q≥0

De ( x )i [ y ; q ] on a : q≤N y−1−i (N y−1 )N−1

(Pour comprendre pourquoi voir)

⇒q ≤ ( N y−1 )(1− iNN−1 )

⇒ ( N y−1 )(1− iNN−1 )≥q

⇒N y−1≥q

1−iN

N−1

⇒N y≥1+ q

1−iN

N−1

⇒ y ln N≥ ln(1+q ( N−1 )N−1−i )

soit y ≥

ln(1+q (N−1 )N−1−i )ln N

.

100

Exemple :


On a :

(28000 )3 [ 6 ;7 ] et

ln(1+7 (6−1 )6−1−3 )ln 6

≈1,628

donc le plus petit iso-IDP de la brique 28000 sur la PB63 est (28 )3 [ 2;7 ].


On a :

(6539772598 )15 [ 8;−2 ] et 1+ln(−2 (17−1 )−15

17−1−15×17 )ln17

≈0,426

donc le plus petit iso-IDP de la brique 6539772598 sur la PB1715 est (13 )15 [ 1 ;−2 ] .

Soit (k )i [ p ;q ] et ( [m ]N )i [ p ' ;r ] avec p≥ p’ sur la PBN i .

Alors k=[ ii⋯ im ]N ; devant m il y a p−p ' caractères i avec [ i ]N=i .

Application :

Sur la PB84 on a : ( [ 52 ]8 )4 [ 2 ;6 ] . Déduire l’écriture de 4908534058 dans la base 8.

101

Sur la PB84 on a : (4908534058 )4 [11 ;6 ] d’où 4908534058= [ 44444444452 ]8.

Sur la PB1511 on a : ( [ BB6 ]15 )11 [3 ;−5 ] . Déduire la transcription de 1529153267996646 dans la même base.

Sur la PB1511 on a : (1529153267996646 )11 [ 13 ;−5 ] d’où 1529153267996646=[ BBBBBBBBBBBB6 ]15.

Nota :

Lorsqu’on transcrit un nombre dans la base de numération d’une pyramide parallèle, le nombre de caractères de son écriture dans cette base est tout simplement égal à son IDK.


Un iso-IDP haut d’une brique est située au-dessus de celle-ci dans la PBN i.

Soit (γ )i [m;q ] et ( ε )i [n ;q ] .


Exemple :

Quel est le plus petit iso-IDP H de la brique 61997 sur la PB619100?

On a (61997 )100 [ 2 ;−3 ]

Le plus petit iso-IDP H de la brique 61997 au vu des coordonnées de ce dernier sur la PB619100 doit avoir pour IDK 1.

Ainsi (97 )100 [ 1;−3 ] est le plus petit iso-IDP H de la brique 61997.

Nota :

102

Lorsqu’une brique n’a pas d’iso-IDP H sur une pyramide alors on l’appelle frontèque. Un frontèque est situé à la périphérie de la pyramide.


Un iso-IDP bas d’une brique est située au-dessous de celle-ci sur la PBN i.

Soit (γ )i [m;q ] et ( ε )i [n ;q ] .


Exemple :

Trouver l’iso-IDP B de la brique 233 sur la PB439350ayant pour IDK 3 .

On a (233 )350 [ 1;−117 ]

Ainsi (67606233 )350 [3 ;−117 ] est l’iso-IDP B cherché.

103

3. Demi-pyramide

a) Présentation

La DBN se lit la « Demi-pyramide de base N ».

Soit [n]N tel que [n]N=N-1 et avec N≥2.

… Nr-1-Nr+1 … … N4-N3+1 … N3-N4+1 … N2-N3+1 … N-N2+1 … 1-N …00

… nN-1

… 10N

… nnN2-1

100N2

… nnnN3-1

1000N3

… nnnnN4-1

10000N4

… … nnnnN5-1

⋮10…00Nr-1

… … n…nnNr-1

…

104

… Nr-1-Nr+1 … … N4-N3+1 … N3-N4+1 … N2-N3+1 … N-N2+1 … 1-N …00

… 1

… 10N

… 2

100N2

… 3

1000N3

… 4

10000N4

… … 5

⋮10…00Nr-1

… … r

DBN

La colonne de la DBN renfermant les nombres soulignés constitue ce qu’on appelle l’axe des IDK tandis que celui qui le surplombe est l’axe des IDP. Ces deux axes servent à repérer une brique, c’est-à-dire un nombre. C’est ainsi qu’on appelle les éléments qui constituent la demi-pyramide.

Exemple :

La brique 240 sur la DB3 et la DB4 est repérée comme suit :

DB3 : (240 )«5 ;−2» DB4 : (240 )« 4 ;−15»

Nota :

Dans les décompositions qui précèdent le premier nombre est appelé IDK11 (nombre souligné) tandis que le second est nommé IDP12.

Pour tout k n'appartenant pas à l'axe des IDK si on a k<Nr−1:

⇒ k+1<Nr

105

⇒ ln (k+1 )<r ln N

soit r>ln (k+1 )

ln N

Dans la DBN pour (k )« p;q » (lire « k d’IDK p sur piédestal et d’IDP q » ou « k de coordonnées p sur piédestal et q ») n’appartenant pas à l’axe des IDK on a :

o k=N p−1+qo p=E ( logN (k+1 ))+1avec logN (k+1 )∉N

o (k ±k ' )« p ;q±k '» avec N p−1−N p+1≤q ±k '<0

Déterminer les coordonnées des briques 34, 454, 1511 et 269965 sur la DB2, la DB7, la DB10 et la DB298.

Sur la DB2

(34 )« 6 ;−29 »; (454 )« 4 ;−57 »; (1511 )« 4 ;−536 »et (269965 )« 7 ;−254322» .

Sur la DB7

(34 )« 2;−14 »; (454 )« 4 ;−1946 »; (1511 )« 4 ;−889 »et (269965 )« 7 ;−553577 » .

Sur la DB10

(34 )« 2;−65 »; ( 454 )«3 ;−545»; (1511)« 4 ;−8488»et (269965 )« 6 ;−730034 » .

Sur la DB298

(34 )« 1;−263 »; ( 454 )«2 ;−88349»; (1511)«2 ;−87292»et (269965 )«3 ;−26193626» .

À quelle base de numération a-t-on affaire si on a : (34 )« 2;−109» , (34 )« 1;−67 »ou (34 )« 4 ;−46 » ?

106

Soit x la base de numération de la demi-pyramide.

De (34 )«2 ;−109»on a : 34=x2−1−109 soit x2=144 soit enfin x=12. Alors la base est douze.

De (34 )«1 ;−67»on a : 34=x−1−67 soit x=102 .Alors la base est cent deux.

De (34 )« 4 ;−46 »on a : 34=x4−1−46 soit x4=81soit enfin x=3.Alors la base est trois.

Représenter la DB16 sur l’intervalle [5 ; 10] sur l’axe des IDK et sur l’intervalle [-4 ; -1] sur l’axe des IDP.

-4 -3 -2 -1⋮

FFFFB1048571

FFFFC1048572

FFFFD1048573

FFFFE1048574

5

FFFFFB16777211

FFFFFC16777212

FFFFFD16777213

FFFFFE16777214

6

FFFFFFB268435451

FFFFFC268435452

FFFFFFD268435453

FFFFFFE268435454

7

FFFFFFFB4294967291

FFFFFFC4294967292

FFFFFFFD4294967293

FFFFFFFE4294967294

8

FFFFFFFFB68719476731

FFFFFFFC68719476732

FFFFFFFFD68719476733

FFFFFFFFE68719476734

9

FFFFFFFFFB

1099511627771

FFFFFFFFC

1099511627772

FFFFFFFFFD1099511627773

FFFFFFFFFE1099511627774

10

La configuration d’une terrassade présente une stratification des briques :




107

Et ainsi de suite.

Nota :


La brique du summum par laquelle passe l’axe des IDK est dénommée brique itineris13. Pour la DBN la brique itineris est N−1.

Toute brique qui est au début d’une strate d’une terrassade est appelé un occidentèque tandis que toute brique qui termine une strate est un orientèque. Il est à noter que l’orientèque appartient toujours à l’axe des IDK. Au summum d’une terrassade l’occidentèque est zéro quelle que soit la base numérale.

Pour une strate autre que le summum l’occidentèque est de la forme Nr−1avec r∈N ¿. L’occidentèque en question appartient à la strate № r.

L’orientèque est de la forme Nr−1 avec N comme base numérale et r∈N ¿ quelle que soit la strate. Cet orientèque est de la strate № r .

b) Négatèque et axitèque

(1) Négatèque

Un négatèque est toute brique située à gauche de l’axe des IDK. Aussi son IDP est-il nécessairement négatif. Sur la DBN toutes les briques n’appartenant pas à l’axe des IDK sont des négatèques. La positèquie, c’est-à-dire le concept de positèque, est étrangère aux terrassades.


108


Soit aunnégatèque tel que (a )« m;−b» sur la DBN.

Si on a : (b )«m ;−a» ou E ( logN (b+1 ) )+1=malors (a ;b)sera appelé n égat èque double.

Nota :




Siaest unnégatèque telque (a )«m ;−a» sur la DBN alors a=Nm−1−a soit a=Nm−12

.

Conséquence :

Il ressort de cette égalité que l’existence d’un négatèque double sur la DBN dépend de la parité de N. Si N est impair alors on aura un négatèque double pour chaque valeur différente de l’exposant de N. Cependant si N est pair alors la DBN sera dépourvue de négatèque double.

Exemple :

(1 ;1 )est un négatèque double identique sur la DB3 car on a en effet : (1 )«1 ;−1».

(12;12 ) est un négatèque double identique sur la DB5 car on a en effet : (12 )« 2;−12».

(185646 ;185646 ) est un négatèque double identique sur la DB13 car on a en effet : (185646 )«5 ;−185646 ».

109



Exemple :

(13 ;6 ) est un n égat èque double différencié sur la DB20 car on a en effet : (13 )«1 ;−6 » et (6 )«1 ;−13 » .

(13 ;22 ) est un n égat èque double différencié sur la DB6 car on a en effet : (13 )«2 ;−22 » et (22 )« 2;−13 » .

(200 ;799 ) est un n égat èque double différencié sur la DB10 car on a en effet : (200 ) [ 3 ;−799 ] et (799 ) [ 3;−200 ] .

(19535 ;46000 )est un négat èque différencié sur la DB16 car on a en effet : (19535 ) [ 4 ;−46000 ] et (46000 ) [ 4 ;−19536 ] .

(1036849 ;734711) est un né gat èque double différencié sur la DB11 car on a en effet : (1036849 ) [ 6 ;−734711] et (734711 ) [6 ;−1036849 ] .



Théorème 1. ─ Tous les négatèques du summum font partie d’un négatèque double.Sur la DBN ona :

On a : (0 )«1 ;1−N» et (N−1 )« 1;0» soit (N−1 )«1 ;−0» alors (0 ;N−1 )est un n égat èque double .

De (0 )«1 ;1−N» on déduit : (0+1 )« 1 ;1−N+1 » soit (1 )« 1;2−N».

De (N−1 )«1 ;0»on déduit : (N−1−1 )«1 ;0−1» soit ( N−2 )«1 ;−1 » .

On a donc : (1 )«1 ;2−N» (N−2 )«1;−1 »}⇒ (1;N−2 ) est un négatèque double.

110

Soit (a )«1 ;−b » avec a>1 sur la DBN .

De (a )«1 ;−b» on a : a=N−1−b

De a>1 on a : N−1−b>1

⇒N−1>b+1

⇒b+1<N−1⇒ ln (b+1 )<ln (N−1 )⇒ ln (b+1 )ln N

<ln (N−1 )

ln Nor

ln (N−1 )lnN

<1d'où 0≤ln (b+1 )

ln N<1 car b≥0

alors E (log N (b+1 ) )+1=1On a donc : (a )«1 ;−b » et E ( logN (b+1 ) )+1=1alors (a;b)est un négatèque double.

Exemple :

Ona: (4 )« 1;−2» sur la DB7 alors ( 4 ;2 ) est un négatèque double.

Ona: (9 )«1 ;−3» sur la DB13 alors (9 ;3)est un négatèque double.

Ona: (10 )« 1;−11» sur la DB22 alors (10 ;11 )est un négatèque double.

(ii) Comment déterminer les négatèques doubles différents d’une soutrate

Soit (a )« m;−b »un occidentèque d'une soutrate d'une terrassade.




(a;b ) , (a+1;b−1 ) , (a+2 ;b−2 ) ,⋯ , (a+c−1; b−c+1 ) .

Exemple :

111

Déterminer tous les négatèques doubles différents des strates №2, №5 et №13 de la DB11.

Strate №2

Ona: (11 )−¿« 2;−109 »¿

Onaussi:|11−109|+1

2≈50


(11;109 ) , (12;108 ) , (13 ;107 ) ,⋯ , (60 ;60 ) .

Strate №5

Ona: (14641 )«5 ;−146409»

Onaaussi :|14641−146409|+1

2≈65885


(14641 ;146409 ) , (14642 ;146408 ) , (14643 ;146407 ) ,⋯ , (80525 ;80525 ) .

Strate №13

Ona: (3138428376721 )«13 ;−31384283767209»

Onaaussi :|3138428376721−31384283767209|+1

2≈14122927695245


(3138428376721 ;31384283767209 ) , (3138428376722 ;31384283767208 ) , (3138428376723 ;31384283767207 ) ,⋯ , (17261356071965 ;17261356071965 ) .

Nota :

112

Soit (a )« m;−b »un occidentèque d’une terrassade. En allant de la gauche vers la droite c’est à partir de la brique b+1qu’on ne rencontre plus de négatèques doubles sur la strate №m.

Exemple :

En allant de la gauche vers la droite à partir de quelle brique ne rencontre-t-on plus de négatèques doubles sur les strates №3, №14 et №23 du DB18 ?

Strate №3

Ona: (324 )«3 ;−5507»


Strate №14

Ona: (20822964865671168)«14 ;−353990402716409855 »


Strate №23

Ona: (4130428534112329328517709824 )«14 ;−70217285079909598584801067007»


(2) Axitèque

Une brique est un axitèque si elle est repérée sur l’axe des IDK. Un axitèque a toujours un IDP nul.

Pour tout k appartenant à l'axe des IDK si on a k=Nr−1:

⇒ k+1=Nr

⇒ ln (k+1 )=r lnN

113

soit r=ln (k+1 )

ln N

Sur la DBN pour (k )« p;0 » appartenant à l’axe des IDK on a :

o k=N p−1o p=logN (k+1 )o (k ±k ' )« p ;± k '» avec N p−1−N p+1≤±k ' ≤0

Exemple :

Les brique 48, 343 et 16807 sont des axitèques sur la DB7 car on a : (48 )« 2; 0» , (342 )«3 ;0 »et (16806 )«5 ;0 ».

SoitŲ ( [ i ]N )= {[ i ]N; [ ii ]N ; [ iii ]N ;⋯ ;avec [ i ]N=N−1}¿

C’est l’ensemble de nombres qui s’écrivent uniquement avec le caractère « i » dans la base N. Tous les axitèques de la DBN appartiennent à cet ensemble.


(1) Iso-IDK


Exemple :

Les briques 13, 11 et 10 sont des iso-IDK sur la DB4 car on a : (13 )«2 ;−2» , (11 )« 2;−4 »et (10 )« 2;−5» .

114

Sur la DBN soit (k )« p;r ».

Le plus petit iso-IDK de la brique k est [ 10⋯0 ]N ; après « 1 » il y a p−1 caractères « 0 ».

Le plus grand iso-IDK de la brique k est [nn⋯ n ]N ; il y a p caractères « n » avec [n ]N=N−1 .

Ainsi [ 10⋯0 ]N≤k ≤ [nn⋯ n ]N

Exemple :

Déterminer le plus petit et le plus grand iso-IDK de la brique 64 sur la DB16. Ensuite déterminer le nombre d’iso-IDK de la brique 64.

Ona: (64 )«2 ;−191»


Le plus grand iso-IDK de la brique 64 est[ FF ]16 soit 255.


Nota :




Soit (γ )« p ;m»et ( ε )« p;n » .


Exemple :

115

Quel est le plus petit iso-IDK G de la brique 252 sur la DB3 ?

On a (252 )« 6 ;−476»

Le plus petit iso-IDK G de la brique 252 est 36−1 soit 243.

En effet on a : (243 )«6 ;−485»et (242 )« 5 ;0» .



Soit (γ )« p ;m»et ( ε )« p;n » .


Nota :

Si m=0 alors la brique γ est le plus grand iso-IDK D de la brique ε .

(2) Iso-IDP


Exemple :

Les briques 45, 823539 et 1977326739 sont des iso-IDP sur la DB7 car on a : (45 )« 2;−3 », (823539 )«7 ;−3 »et (1977326739 )« 11;−3 » .

Nota :


116


Soit ( x )« y; q» sur la DBN.

De ( x )« y ;q »on a : q≥N y−1−N y+1(Pour comprendre pourquoi voir DBN)

⇒q ≥N y−1 (1−N )+1

⇒N y−1 (1−N )+1≤q

⇒N y−1 (N−1 )−1≥−q

⇒N y−1≥1−qN−1

⇒ ( y−1 ) ln N≥ ln( 1−qN−1 )

⇒ y−1≥ln( 1−q

N−1 )ln N

soit y ≥1+ln( 1−q

N−1 )ln N

.

Exemple :

Déterminer le plus petit iso-IDP de la brique 279928 sur la DB6.

On a :

117

(279928 )«7 ;−7 »et 1+ln( 1+7

6−1 )ln6

≈1,262.

Donc le plus petit iso-IDP de la brique 279928 sur la DB6 est (28 )« 2;−7 ».

Déterminer le plus petit iso-IDP de la brique 6975757438 sur la DB17.

On a :

(6975757438 )«8 ;−2»et 1+ln( 1+2

17−1 )ln 17

≈0,409.

Donc le plus petit iso-IDP de la brique 6975757438 sur la DB17 est (14 )«1 ;−2 ».

Soit (k )« p;r » et ( [ m ]N )« p' ;r » avec p≥ p’ sur la DBN.

Alors on aura k=[ nn⋯nm ]N ; devant m il y a p−p ' caractères n avec [ n ]N=N−1.

Application :

Dans la DB3 on a : ( [ 120 ]3 )«3 ;−11» . Déduire l’écriture de 1162261455 sur la base 3.

Sur la DB3 on a : (1162261455 )« 19;−11 »d'où 1162261455=[ 2222222222222222120 ]3.

Sur la DB15 on a : ( [ 4 A 0 ]5 )«3 ;−2324» . Déduire la transcription de 2562888300 sur la même base.

Sur la DB15 on a : (2562888300 )«8 ;−2324 »d’où 2562888300=[ EEEEE 4 A 0 ]15.

118

Nota :

Lorsqu’on transcrit un nombre dans la base d’une terrassade, le nombre de caractères de son écriture dans cette base est tout simplement égal à son IDK.


Un iso-IDP haut d’une brique est située au-dessus de celle-ci sur la DBN.

Soit (γ )« m;q »et (ε )«n ;q »


Exemple :

Quel est le plus petit iso-IDP H de la brique 383157 sur la DB619 ?

On a (383157 )« 2 ;−3 »

Le plus iso-IDP H de la brique 383157 au vu des coordonnées de ce dernier sur la DB619 doit avoir pour IDK 1.

Ainsi (615 )«1 ;−3» est le plus petit iso-IDP H de la brique 383157.

Nota :

Lorsqu’une brique n’a pas d’iso-IDP H sur une terrassade alors on l’appelle frontèque. Un frontèque est situé à la périphérie de la terrassade.


Un iso-IDP bas d’une brique est située au-dessous de celle-ci sur la DBN.

Soit (γ )« m;q »et (ε )«n ;q »

119


Exemple :

Trouver l’iso-IDP B de la brique 232 sur la DB439 ayant pour IDK 3 .

On a (232 )«1 ;−206»

Ainsi (84604312 )«3 ;−206» est l’iso-IDP B cherché.

120

4. Terrassade

a) Présentation

La TB Ni se lit la « terrassade de base N passant par i».

Soient [i]N tel que [i]N=i avec N un entier naturel supérieur ou égal à 2 ; 0<i ≤N−1.

−i … 0 …

i (N2−N1 )N−1

−1…

i (N3−N2 )N−1

−1…

i (N4−N3 )N−1

−1…

i (N5−N4 )N−1

−1…

i (N r+1−Nr )N−1

−1…

00

… i

i (N1−1 )N−1

… ii-1

i (N2−1 )N−1

−1

ii

i (N2−1 )N−1

… iii-1

i (N3−1 )N−1

−1

iii

i (N3−1 )N−1

… iiii-1

i (N4−1 )N−1

−1

iiii

i (N4−1 )N−1

… iiiii-1

i (N5−1 )N−1

−1

⋮ii…i

i (N r−1 )N−1

i…ii-1

i (N r+1−1 )N−1

−1

121

−i … 0 …

i (N2−N1 )N−1

−1…

i (N3−N2 )N−1

−1…

i (N4−N3 )N−1

−1…

i (N5−N4 )N−1

−1…

i (N r+1−Nr )N−1

−1…

00

… 1 … ii-1

i (N2−1 )N−1

−1

2 … iii-1

i (N3−1 )N−1

−1

3 … iiii-1

i (N4−1 )N−1

−1

4 … iiiii-1

i (N5−1 )N−1

−1

⋮r i…ii-1

i (N r+1−1 )N−1

−1

TB Ni

La colonne de la TB Ni renfermant les nombres soulignés constitue ce qu’on appelle l’axe des IDK tandis que celui qui le surplombe est l’axe des IDP. Ces deux axes servent à repérer une brique, c’est-à-dire un nombre. C’est ainsi qu’on appelle les éléments qui constituent la terrassade.

Exemple :

La brique 17 sur la TB 21, la TB 31, TB 32, la TB 41, la TB 42 et la TB 43 est repérée comme suit :

TB 21 : (17 )1« 4 ;2»

TB 31 : (17 )1«3 ;4 »

TB 32 : (17 )2«2 ;9 »

122

TB 41 : (17 )1«2 ;15»

TB 42 : (17 )2«2 ;7»

TB 43 : (17 )3«2 ;2»

123

Nota :


Sur la TB Ni pour (k )i« p ;q » (lire « k d’IDK p sur piédestal et d’IDP q » ou « k de coordonnées p sur piédestal et q ») on a :

o k=i (N p−1 )N−1

+q

o p=E(logN ( (N−1 ) ki

+1))o (k ±k ' )i« p;q±k '» avec 0≤q±k '≤

i ( N p+1−N p )N−1

−1 et q≥0

Nota :

Si k<i alors l'IDK de la brique k est 1.

Déterminer les coordonnées des briques 34, 454, 1511 et 269965 sur la TB51, TB7 4, TB108 et TB29861.

Sur la TB51

(34 )1«3 ;3 »; ( 454 )1« 4 ;298» ; (1511 )1«5 ;730»et (269965 )1« 8;172309 » .

Sur la TB7 4

(34 )4«2 ;2»; (454 )4«3 ;226 »; (1511 )4«3 ;1283»et (269965 )4« 6 ;191533» .

124

Sur la TB108

(34 )8« 1;26 » ; (454 )8« 2;366 »; (1511 )8«3 ;623»et (269965 )8«5 ;181077 » .

Sur la TB29861

(34 )61«1 ;−27»; (454 )61«1 ;393 »; (1511 )61«1 ;1450»et (269965 )61 «2 ;251726» .

Àquelle basede numérationa -t-on affaire si on a : (a )i«m ;b » ?

Désignons par x la base de numération de la terrassade.

De (a )i«m ;b»on a :

a=i (xm−1 )x−1

+b

⇒i (xm−1 )x−1

=a−b

⇒ xm−1x−1

=a−bi

.

x sera tel que : x=E(m−1√ a−bi )avec m−1>1.

À quelle base de numération a-t-on affaire si on a : (781 )3«4 ;4 » , (781 )2«3 ;235»ou (781 )6« 2 ;79» ?

Désignons par x la base de numération.

125

De (781 )3« 4 ; 4 »on a : x=E( 3√ 781−43 ) soit x=6. Alors la base est six.

De (781 )2« 3;235 »on a : x=E(√ 781−2352 ) soit x=16. Alors la base est seize.

De (781 )6« 2;79 »on a : 781=6 (x2−1 )x−1

+79=6 ( x+1 )+79 soit x=116.Alors la base est cent seize.

Nota :

Si l’IDK d’une brique est 1 il est pour ainsi dire impossible de préciser la base de numération de la terrassade à laquelle elle appartient.

Eneffet si on a : (p )i« 1;q » et que nous désignons par x la base de numération de la terrassade.

On aura :

p=i ( x1−1 )x−1

+q

⇒ p=i+q .

Ainsila base denumération demeureinconnue .

La configuration d’une terrassade présente une stratification des briques :




Et ainsi de suite.

Nota :

126


La brique du summum par laquelle passe l’axe des IDK est dénommée brique itineris16. Pour la TBN i la brique itineris est i.

Toute brique qui est au début d’une strate d’une terrassade est appelé un occidentèque tandis que toute brique qui termine une strate est un orientèque. Il est à noter que l’orientèque appartient toujours à l’axe des IDK. Au summum d’une terrassade l’occidentèque est zéro quelle que soit la base numérale.

Pour une strate autre que le summum l’occidentèque est de la forme i(N r−1 )

N−1 avec r∈N ¿. L’occidentèque en question appartient à la strate № r .

L’orientèque est de la forme i(N r+1−1 )

N−1−1avec N comme base numérale et r∈N ¿. Cet orientèque est de la strate № r.

b) Négatèque, Positèque et axitèque

(1) Négatèque

Un négatèque est toute brique située à gauche de l’axe des IDK. Aussi son IDP est-il évidemment négatif. Sur une terrassade il se trouve que seules les briques situées à gauche de la brique itineris sont des négatèques. Il devient manifeste que tous les négatèques d’une terrassade appartiennent au summum.

Exemple :

La brique 6 est un négatèque sur la TB1910. En effet on a : (6 )10 «1 ;−4 » .

La brique 19 est un négatèque sur la TB3325. En effet on a : (19 )25« 1 ;−6 » .


127

La brique 50 est un négatèque sur la TB10260. En effet on a : (50 )60 «1 ;−10 » .


Soit aunnégatèque tel que (a )i«1 ;−b» sur la TBNi .

Si on a : (b )i« 1 ;−a» alors (a ;b)sera appelé négat è que double .

Nota :


Théorème 1. ─ Tous les négatèques du summum font partie d’un négatèque double.Sur laTBNiavec 0<i ≤N−1ona :

On a : (0 )i«1 ;−i »et (i )i«1 ;0» soit (i )i« 1;−0 » alors (0 ; i )est un n égat èque double.

De (0 )i« 1;−i »on déduit (0+1 )i« 1;−i+1» soit (1 )i«1 ;1−i » .

De (i )i«1 ;0» on déduit (i−1 )i«1 ;0−1» soit (i−1 )i« 1;−1» .

On a donc : (1 )i« 1;1−i » ( i−1 )i«1 ;−1 »}⇒ (1 ; i−1 ) est un négatèque double.

Soit (a )i« 1;−b » avec a>1 sur la TBNi .

De (a )i«1 ;−b» on a : a=i−b

De a>1 on a : i−b>1

⇒ i>b+1

128

⇒ i>bdonc on a : (b )i«1 ; x »

De (b )i«1 ; x » on a : b=i+x

⇒ x=b−i or a=i−b⇒ x=−aOn a donc : (b )i«1 ;−a » et (a )i«1 ;−b »alors (a;b)est un négatèque double.

Exemple :

Ona: (2 )3«1 ;−1» sur la TBN3 avec N>3 alors (2;1)est un négatèque double.

Ona: (9 )17« 1;−8» sur la TBN17 avec N>17 alors (9 ;8)est un négatèque double.

Ona: (10 )105«1 ;−95» sur la TBN105 avec N>105 alors (10 ;95 ) est un négatèque double.



Siaest unnégatèque telque (a )i« 1;−a » sur la TBNi alors a=i−a soit a= i2

.

Nota :

aexiste si iest pair.

Exemple :

(7 ;7 )est un négatèque double identique sur la TBN14 avec N>14 car on a en effet : (7 )14« 1;−7 ».

(10 ;10 ) est un négatèque double identique sur la TBN20 avec N>20 car on a en effet : (10 )20«1 ;−10» .

(13 ;13 ) est un négatèque double identique sur la TBN26 avec N>26 car on a en effet : (13 )26« 1;−13 ».

129



Exemple :

(8 ;6 )est un négatèque double identique sur la TBN14 avec N>14 car on a en effet : (8 )14« 1;−6 ».

(15 ;5 ) est un négatèque double identique sur la TBN20 avec N>20 car on a en effet : (15 )20«1 ;−5» .

(23 ;3 ) est un négatèque double identique sur la TBN26 avec N>26 car on a en effet : (23 )26 «1 ;−3 ».

(b) Comment déterminer les négatèques doubles différents du summum

Soit (0 )i«1 ;−i ».

Si m est la valeur de i+12

arrondie au nombre entier le plus proche alors mest aussi le nombre de négatèques doubles différents du summum .

Les négatèques doubles différents du summum seront :

(0 ; i ) , (1 ; i−1 ) , (2; i−2 ) ,⋯ , (m−1; i−m+1 ) .

Exemple :

Déterminer tous les négatèques doubles différents de la TBN14 avec N>14, de la TBN21 avec N>21 et de la TBN226 avec N>226.

TBN14 avec N>14

Ona: (0 )14« 1;−14 »

Onaussi:14+1

2≈8

130

Les négatèques doubles différents seront :

(0 ;14 ) , (1 ;13 ) , (2 ;12 ) ,⋯ , (7 ;7 ) .

TBN21 avec N>21

Ona: (0 )21«1 ;−21»

Onaussi:21+1

2=11


(0 ;21 ) , (1 ;20 ) , (2 ;19 ) ,⋯ , (10 ;11 ) .

TBN226 avec N>226

Ona: (0 )226«1 ;−226»

Onaussi:226+1

2≈114


(0 ;226 ) , (1 ;225 ) , (2 ;224 ) ,⋯ , (113 ;113 ) .

(2) Positèque

Un positèque est une brique qui est située à droite de l’axe des IDK. Aussi son IDP est-il évidemment positif. Hormis les briques de l’axe des IDK, toutes les briques des soutrates sont des positèques.

131

(3) Axitèque

Une brique est un axitèque si elle est située sur l’axe des IDK. Un axitèque a toujours un IDP nul.

Exemple :

La brique 8 est un axitèque sur la TB 71 car on a : (8 )1«2 ;0» .

La brique 266223 est un axitèque sur la TB 173 car on a : (266223 )3«5 ;0 ».

La brique 11382824053467 est un axitèque sur la TB 229 car on a : (11382824053467 )9« 10 ;0» .

Nota :

Soit k est un entier naturel non nul.

Si on a : E(log N( (N−1 ) ki

+1))=logN( ( N−1 ) ki

+1)alors k est un axitèque d'IDK logN ( (N−1 ) ki

+1) .

SoitŲ ( [ i ]N )= {[ i ]N; [ ii ]N ; [ iii ]N ;⋯; avec [ i ]N=[ i ]10 }¿

C’est l’ensemble de nombres qui s’écrivent uniquement avec le caractère « i » sur la base N. Tous les axitèques de la TBN i appartiennent à cet ensemble.


(1) Iso-IDK


Exemple :

132

Les briques 7, 9 et 10 sont des iso-IDK sur la TB 41 car on a : (7 )1«2 ;2» , (9 )1« 2 ;4 »et (10 )1« 2;5 » .

Sur la TBN i (N>2) soit (k )i [ p ;r ] avec p>1.

Le plus petit iso-IDK de k est [ ii⋯ i ]N avec [i]N=i; [ ii⋯ i ]N a p caractères « i ».

Le plus grand iso-IDK de k est [ iii⋯ i ]N−1 avec [i]N=i ;[ iii⋯ i ]N a p+1 caractères « i ».

Ainsi [ ii⋯ i ]N≤k ≤ [iii⋯ i ]N−1

Exemple :

Déterminer le plus petit et le plus grand iso-IDK de la brique 234 sur la TB 1611. Ensuite déterminer le nombre d’iso-IDK de la brique 234.

Ona: (234 )11«2 ; 47»

Le plus petit iso-IDK de la brique 234 est [ BB ]16 soit 187.

Le plus grand iso-IDK de la brique 234 est [ BBA ]16 soit 3002.


Nota :




Soit (γ )i« p ;m»et (ε )i« p;n ».

Si m<n la brique γ est un iso-IDK G de la brique ε .

133

Nota :

Si m=0 sur une soutrate alors la brique γ est le plus petit iso-IDK G de la brique ε .



Soit (γ )i« p ;m»et (ε )i« p;n ».


Exemple :

Quel est le plus grand iso-IDK D de la brique 252 sur la TB 31 ?

On a (252 )1«5 ;131»

Le plus grand iso-IDK D de la brique 252 est 36−13−1

−1 soit 363.

En effet on a : (363 )1«5 ;242»et (364 )1«6 ;0 » .

(2) Iso-IDP


Exemple :

Les briques 43, 686288 et 1647772288 sont des iso-IDP sur la TB 75 car on a : (43 )5« 2;3 » , (686288 )5«7 ;3 »et (1647772288 )5«11;3» .

134

Nota :



Soit ( x )i« y; q» sur la TBN i.

De ( x )i« y ;q »on a : q≤i (N y +1−N y)N−1

−1 (Pour comprendre pourquoi voir ) .

⇒q+1≤iN y (N−1 )N−1

⇒q+1≤iN y

⇒ iN y ≥q+1

⇒ ln i+ y ln N≥ ln (q+1 )

soit y ≥ln (q+1 )−ln i

ln N.

Exemple :

Déterminer le plus petit iso-IDP de la brique 167983 sur la TB 63.

On a :

(167983 )3«7 ;22»et ln (22+1 )−ln 3

ln 6≈1,137.

Donc le plus petit iso-IDP de la brique 167983 sur la TB63 est (43 )3«2 ;22».

135

Déterminer le plus petit iso-IDP de la brique 4359848402 sur la TB 1710.

On a :

(4359848402 )10«8 ;2»et ln (2+1 )−ln 10

ln 17≈−0,425.

Donc le plus petit iso-IDP de la brique 435984842 sur la TB1710 est (12 )10«1 ;2» .


Un iso-IDP haut d’une brique est située au-dessus de celle-ci sur la TBN i.

Soit (γ )i«m ;q »et (ε )i«n ;q »


Exemple :

Quel est le plus petit iso-IDP H de la brique 63243 sur la TB 619102 ?

On a (63243 )102«2 ;3»

Le plus iso-IDP H de la brique 63243 au vu des coordonnées de ce dernier sur la TB 619102 doit avoir pour IDK 1.

Ainsi (4 )102«1 ;3» est le plus petit iso-IDP H de la brique 63243.

Nota :

Lorsqu’une brique n’a pas d’iso-IDP H sur une terrassade alors on l’appelle frontèque. Un frontèque est situé à la périphérie de la terrassade.

136


Un iso-IDP bas d’une brique est située au-dessous de celle-ci sur la TBN i.

Soit (γ )i«m ;q »et (ε )i«n;q »


Exemple :

Trouver l’iso-IDP B de la brique 207 sur la TB439350 ayant pour IDK 3 .

On a (207 )350«1 ;206 »

Ainsi (67606556 )350 «3 ;206» est l’iso-IDP B cherché.

E. Autre méthode pour transcrire un nombre dans une base donnée

a) Présentation de la méthode des coupoles

Il existe plus d’une méthode pour écrire un nombre dans une base donnée. En voici une autre qui présentera, à en pas douter, un certain intérêt.

On rappelle tout d’abord que dans un système numéral de base N, le nombre Nn a pour écriture le symbole « 1 » suivi de n caractères « o » et que cela est curieusement identique en écriture à la valeur de 10n.

Soit donc à mettre le nombre A dans le système de base N.

Dans un premier temps on écrit le nombre A ensuite on le divise par N autant de fois que cela est faisable jusqu’à tomber sur un nombre qui n’est pas divisible par N. Supposons que ce dernier nombre soit A’ et que A a été divisé r fois par N. On notera alors :

AA’ ×10r

137

Dans le cas où A n’est pas divisible par N, on retranche à A le plus petit nombre qui le rendrait divisible par N. Supposons que le nombre à retrancher soit a. On notera alors :

AA−a +a

Ensuite on divise A−a par autant de N que possible. Lorsqu’on arrive sur un nombre qui n’est pas multiple de N on retranche le plus petit nombre qui lui rendrait divisible par N et on recommence le processus.

On peut s’arrêter si on tombe sur un nombre dont on connait sa transcription dans le système de base N. Supposons que [ K ]N soit ce nombre.

En fin de compte on aura ce qui suit selon le premier cas ou le second cas :

ou

AA−a +aB’ ×10r '

⋮ ⋮[ K ]N [ K ]N

Dans la colonne de gauche en-dessous des puissances de dix on dessinera une coupole.

A écrit en base N est identique en écriture à la valeur de l’expression suivante :

AA’ ×10r

A−a' +a' ⋮ ⋮[ K ]N [ K ]N

138

( (⋯ (K+⋯ )×10⋯+⋯ )×10⋯+a ' )×10r si on a :

AA’ ×10r

A−a' +a' ⋮ ⋮[ K ]N [ K ]N

ou

( (⋯ (K+⋯ )×10⋯+⋯ )×10⋯+⋯+⋯ )×10r '+a si on a :

AA−a +aB’ ×10r '

⋮ ⋮[ K ]N [ K ]N

Nota :

Le nombre de parenthèses ouvertes correspond au nombre de coupoles placées en-dessous des puissances des dix.

Cette méthode s’avère particulièrement digne d’intérêt lorsque les caractères de divisibilité par N sont évidents.

b) Application

(1) Base 2

139

(a) Rappel sur la divisibilité par 2

Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.

(b) Application de la méthode

Écrire en base deux les nombres suivants : 281, 606 et 1200.

140

281

281280

+1

35 ×103

34 +117 ×1016 +11 ×10

On a donc : ( (1×10 )×10+1 )×103+1=100011001

Alors 281= [100011001 ]2

606

606303

×10

302

+1

151

×10

150

+1

75 ×1074 +137 ×1036 +19 ×102

141

8 +11 ×103

On a donc : ((( ((1×103+1 )×102+1)×10+1)×10+1)×10+1)×10=1001011110

Alors 606=[ 1001011110 ]2

1200

120075 ×104

De ce qui précède on peut déduire l’écriture de 75 en base binaire. Cette écriture est celle du résultat de : (( 1×103+1 )×102+1 )×10+1

Ainsi 75=[1001011 ]2

1200 écrit en base deux a la même écriture que le résultat de 1001011×104, c’est-à-dire que 1200=[10010110000 ]2 .

(2) Base 3


Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.


Écrire en base trois les nombres suivants : 351, 7820 et 175332.

143

351

35113 ×103

12 +14 ×103 +11 ×10

On a donc : ( (1×10+1 )×10+1 )×103=111000

Alors 351= [111000 ]3

7820

78207818 +22606 ×102604 +2868 ×10867 +1289 ×10288 +132 ×102

30 +210 ×109 +11 ×102

On a donc : ((( ((1×102+1 )×10+2)×102+1)×10+1)×10+2)×10+2=101201122

144

Alors 7820=[101201122 ]3

175332

17533258444 ×105844319481 +119479 ×106492 +22164 ×102163 +1721 ×10720 +180 ×102

78 +226 ×1024 +28 ×106 +22 ×10

On a donc : ((( (( (2×10+2 )×10+2 )×10+2 )×102+1)×10+1)×10+2)×10+1=22220111210

Alors 175332= [22220111210 ]3 .

Nota :

lorsque le résultat dépasse la limite d’affichage de certaines calculatrices scientifiques, l’astuce est donnée dans Calculatruc17peut se révéler d’une aide précieuse.

17 Du même auteur.

145

(3) Base 5


Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.


Écrire dans le système de base cinq les nombres suivants : 741, 73843 et 74665319.

741

741740

+1

148

×10

145

+3

29 ×1025 +41 ×104

On a donc : (( 1×104 )×10+3)×10+1=10431

Alors 741= [10431 ]5

147

73843

7384373840

+3

14768

×10

14765

+3

2953 ×102950 +3118 ×102

115 +323 ×1020 +34 ×10

On a donc : ( (( ( 4×10+3 )×10+3 )×102+3)×10+3)×10+3=4330333

Alors 73843=[ 4330333 ]5

148

74665319

7466531974665315 +414933063 ×1014933060 +32986612 ×102986610 +2597322 ×10597320 +2119464 ×10119460 +423892 ×1023890 +24778 ×104775 +3191 ×102

190 +138 ×1035 +37 ×105 +21 ×10

On a donc : (((((( (( (1×10+2 )×10+3 )×10+1 )×102+3)×10+2)×10+4)×10+2)×10+2)×10+3)×10+4=123103242234

Alors 74665319= [123103242234 ]5 .

La Construction Numérique

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