L2 2016-2017 Paul-Antoine Hervieux Unistra/IPCMS · 24 Systèmes dynamiques Section de Poincaré a)...

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Mécanique Analytique

Paul-Antoine Hervieux

Unistra/IPCMS

7) Systèmes dynamiquesPartie I: Introduction

L2 2016-2017

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Systèmes dynamiques A) Introduction

• Mathématiques Equations différentielles

Théorie des catastrophes (Thom)

• Physique Mécanique-Vibration (états liés: pendule amorti forcé;

états de diffusion: billards…)

Mécanique des fluides, turbulence (Landau, Ruelle),

rouleaux de Rayleigh-Bénard

Astronomie, problème des trois corps (Poincaré),

Hénon-Heiles

Mécanique quantique, approche semi-classique (Gutzwiller)

Physique statistique: transitions de phase; groupe de renormalisation

Acoustique: les vibrations des instruments à percussion (cymbales)

• Chimie Dynamique des réactions chimiques (Prigogine)

• Ecologie Dynamique des populations; carte logistique; Vito Volterra

• Climatologie Lorenz, effet papillon

• Economie Evolution des cours boursiers

(1860-1940)

(1923-2002)

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Systèmes dynamiques Chaos déterministe

Tirage aléatoire, loto, jeux de dés

Beaucoup de phénomènes physiques ont leur origine dans la coexistence ou

la succession d’un grand nombre d’actions élémentaires, c’est-à-dire sans

rapport les unes avec les autres.

Exemple: le mouvement brownien

Errance très irrégulière et aléatoire de particules microscopiques en suspens-

-ion dans un fluide. Il est dû à la multitude de chocs que ces particules

reçoivent en tous sens, de la part des molécules du fluide.

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Le botaniste Robert Brown en 1827

…connu aussi pour sa découverte des noyaux des cellules végétales

Systèmes dynamiques

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Champ du microscope

Observe le mouvement erratique des grains

de pollen à la surface de l’eau


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http://www.dailymotion.com/video/x8x1dn_le-mouvement-brownien_tech

Palais de la découverte: Billes microscopique de latex dispersées dans une goutte

d’eau

http://www.dailymotion.com/video/x560u4_01-mouvement-brownien_tech

Sites web avec des vidéos intéressantes !!!

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Einstein 1905Un peu de polémique…

A la fin de sa vie Einstein

racontera qu’il n’avait

jamais entendu parler du

mouvement brownien et

qu’il avait ignoré les

travaux de Gibbs et de

Boltzmann (pères de la

mécanique statistique)…

un peu exagéré …


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Systèmes dynamiquesLe mouvement brownien

1905

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l’hypothèse moléculaire

cinétique

• Objectif: Trouver une preuve expérimentalement

vérifiable de l’existence de molécules de taille bien

définie.

• Les particules sont suffisamment petites pour subir

l’agitation thermique.

• Les particules sont suffisamment grosses pour être

observées au microscope.

• Il identifie « la bonne variable »: non pas la vitesse

instantanée, mais la distance moyenne parcourue

pendant un temps fini donné.


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Particules browniennes subissant

des collisions des atomes


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Observation de la trajectoire

d’une particule brownienne


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Le grain « ne se souvient plus » pendant le deuxième intervalle de

temps de ce qu’il a fait pendant le premier.

C’est une marche aléatoire

C’est la marche de l’ivrogne

C’est une chaîne de Markov…


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Prédictions d’Einstein

moyenne du carré des positions

coefficient de diffusion

Nombre d’Avogadro

T: température

a: rayon du grain

h: viscosité du liquide

a: constante


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Jean Perrin 1909

Jean Perrin (1870-1942), physicien

français, prix Nobel de physique en 1926

pour ses travaux sur l'atome.


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Mouvement brownien observé

par Jean Perrin en 1909


16LES ATOMES

Détermination du nombre d’Avogadro

Jean Perrin est un partisan de la théorie

atomiste.

On est (~1905) en plein dans la période

de la controverse Mach-Boltzmann.

Il va mesurer la constante d’Avogadro

et par là-même démontrer le bien fondé

des hypothèses atomiques et moléculaires.


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Comme dira Max Born:

« ce travail a contribué, plus qu’aucun autre, à convaincre les

physiciens de la réalité des atomes et des molécules, de la théorie de

la chaleur, et du rôle fondamental joué par les probabilités dans les

lois de la nature »

« Il devient difficile de nier la réalité objective des molécules »

Jean Perrin:


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Question: Tout tirage au hasard peut-il être assimilé à un mécanisme

de loterie dont tous les résultats possibles seraient mélangés par suite de

multiples actions élémentaires indépendantes (mouvement brownien) ?

Réponse: NON

Exemple 1: la transformation de Bernoulli

évolution déterministe !!!

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sensibilité aux CI

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sensibilité aux CIExemple 2: Modèle de Lorenz (Edward)

Mécanique des fluides(Équation de Navier-Stockes)

s : nombre de Prandtl

r : nombre de Rayleigh

(1917-2008)

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Systèmes dynamiquessensibilité aux CIExemple 3: billard (états de diffusion)

rég

ulie

r

ch

ao

tiqu

e

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Les travaux de Poincaré l'ont d'abord amené à considérer trois corps: les équations de Newton

appliquées à ces trois corps conduisent à une équation différentielle impossible à résoudre. En

effet, il manque des intégrales premières, c'est à dire des fonctions gardant une valeur constante le

long de chaque trajectoire, et la seule connaissance de l'Energie, de la Quantité de mouvement, et

du Moment cinétique ne suffisent pas pour résoudre l'équation: le problème n'a pas de solution

exacte.

Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons

que cet effet est dû au hasard... Mais, lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons

connaître la situation initiale qu’approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même

approximation, c’est tout ce qu’il nous faut, nous dirons que le phénomène a été prévu, qu’il est régi par des lois ; mais il n’en est pas

toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les

phénomènes finaux; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient

impossible.Henri Poincaré (Science et méthode 1908).

Problème restreint

2dl

(1854-1912)

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Systèmes dynamiquesB) Chaos dans les systèmes hamiltoniens

Section de Poincaré

- Pour des systèmes hamiltoniens ayant deux degrés de liberté, l’espace des

phases a quatre dimensions (x,y,px,py).

-Si le système est conservatif, la couche d’énergie

a trois dimensions.

(une surface – dim=2 - dans R3 est définie par g(x,y,z)=a)

- Cela reste difficile à visualiser cet espace (surtout sur une feuille de papier !)

- Il existe une méthode pour simplifier le problème due à Poincaré (1892) et

Birkhoff (1932) section de Poincaré (surface of section in english)

- Cette technique est aussi applicable à des systèmes

ayant plus de deux degrés de liberté (ex: chaîne de Toda).

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a) Système hamiltonien à deux degrés de liberté

L’étude des orbites de ce système peut se réduire à un problème à 2 dimensions

Recette: sur une couche d’énergie E on prend une tranche de l’espace des phases en un

certain point, disons y = 0. Ensuite on suit une orbite donnée obtenue numériquement et

chaque fois que celle-ci passe par le point y = 0 on note les valeurs correspondantes de x et

de px. Si le potentiel V(x,y) admet des déplacements dans un domaine fini de l’espace, alors

l’orbite repassera de manière répétitive au travers de la tranche y = 0 de l’espace des phases.

De cette façon on peut construire une carte des valeurs successives de (x,px). L’ensemble de

ces points constitue la section de Poincaré à un signe près. En effet:

La section est en général construite en gardant un signe de py, disons py > 0

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Ces points sont les éléments d’une application discrète du plan.

py > 0

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Exemple 1: Modèle de Hénon-Heiles (1964)

Modèle simple pour décrire: (i) le déplacement d’une étoile dans le champ

gravitationnel cylindrique symétrique de la galaxie; (ii) le couplage non-linéaire

de liaisons moléculaires.

V(x,y) = Const. V(x,y)

Domaine fini de l’espace

EH

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V(x,y) = Constante V(x,y)

trajectoires typiques avec x(0) = 0

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Systèmes dynamiquesSection de Poincaré

x = 0, px > 0

CI:

Système régulier

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E augmente chaos augmente

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1/8 < 0.14 < 1/6

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Exemple 2: le pendule élastique vertical

pesanteur élastique

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Systèmes dynamiquesÉquation de Lagrange

- E = const. car le système est conservatif

- Espace des phases à quatre dimensions

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x=const., px > 0

E/m = -20 J/kg E/m = 20 J/kg

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x=const., px > 0

E/m = 20 J/kg E/m = 40 J/kg

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Exemple 3: le double pendule vertical q1

q2

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Exemple 4: chaîne de Toda

(q2,p2)

(q3,p3)

(q1,p1)

- Système hamiltonien à 3 degrés de liberté

- l’EdP a 6 dimensions

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Exemple 4: chaîne de Toda

- Exemple classique qui montre qu’il peut être très difficile de déterminer si un

problème est intégrable (autant d’intégrales premières que de DL) ou non.

- Toutes les conditions sont requises pour que le système soit non-intégrable

(3DL, NL). Cependant, les simulations numériques ne montrent que des

solutions régulières !!!!

- L’énergie est invariante H = E

- La quantité p1+ p2 + p3 est invariante (cf. TD)

Ceci nous permet de séparer les variables Q = q1+ q2 + q3 et P = p1+ p2 + p3

Le problème est ramené à l’étude d’un système possédant deux degrés de

liberté équivalent à une bille se déplaçant dans un potentiel à deux dimensions

vérifiant

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Ce système est encore non-linéaire et possède suffisamment de DL pour être

chaotique…et pourtant les simulations numériques ne conduisent qu’à des

solutions régulières !!!

Ce qu’il faut retenir: Si le système étudié est non-linéaire et possède un

espace des phases de plus de deux dimensions, nous avons là les

conditions nécessaires pour avoir un comportement chaotique mais ces

conditions ne sont pas suffisantes.

On peut montrer qu’il existe une troisième intégrale première:

Pour x et y petits on obtient le hamiltonien (HH) suivant:

Ce dernier amène à une dynamique qui est toujours chaotique !

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Système à un degré de liberté dépendant du temps

On considère des systèmes ayant 1 DL et soumis à une excitation périodique

(de période TD). Le hamiltonien de ces systèmes vérifie H(p,q,t+TD) = H(p,q,t)

Exemple 1: pendule simple amorti forcé

L’espace des phases est de dimension trois

On peut avoir des régimes chaotiques

Autre exemple:

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a) Portrait de phases

Quand la trajectoire dans l’espace des phases est projetée sur le plan (w,q )

on obtient ce que l’on appelle un portrait de phase

1) si la trajectoire est périodique on obtient des courbes fermées

2) si la trajectoire est chaotique on obtient un ensemble de points

complètement dispersés dans le plan (w,q )

b) Section de Poincaré

C’est une image stroboscopique des trajectoires ensemble des points

Les orbites périodiques sont représentées par un ensemble fini de points

Les orbites chaotiques sont représentées par un ensemble infini de points

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43


Mouvement périodique: h = 1.07; q = 2; wD = 0.6667

Portrait de phases Section de Poincaré

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Mouvement chaotique: h = 1.15 (avant 1.07); q = 2; wD = 0.6667

Portrait de phases Section de Poincaré

Attracteur étrange !!!

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Systèmes dynamiquesAttracteur étrange !!!

- Ensemble de Cantor

- Dimension fractale…

(Carte itérative de Hénon)

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Exemple 2: trois corps en interaction dans la configuration de Sitnikov

z

T = 2p, w = 1

m1 = m2= m/2 =1/2

orbite « plane » de Kepler d’excentricité e

m1 m2

Planétoïde de

masse

négligeable

m1 et m2 sont deux étoiles massives

intégrable perturbation

Hamiltonien périodique

Rappels: j

r

2a = 1équation de la trajectoire

Mouvement

le long de z

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e = 0.002

Situation très proche du système intégrable les orbites sont fermées

Point d’équilibre stable

à l’origine E = -2

Séparation entre orbites

liées et orbites non-liées

à E = 0

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e = 0.07

Situation moins proche du système intégrable

remplissage

de l’EdP Chaos

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e = 0.07

Situation chaotique

remplissage

de l’EdP Chaos

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e = 0.07

Trajectoire chaotique

Situation chaotique

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Systèmes dynamiquesExemple 3: Double puits

frottement forçageconfinement

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La dynamique est contrôlée par trois paramètres ( d, f, w )

d = 0.15

w

f

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