Journée IREM/APMEP du 11 avril 2006Hasard et probabilités – Quelques problèmes historiques Les...

Journée IREM/APMEP du 11 avril 2006

Hasard et probabilités – Quelques problèmes historiques

Les quelques problèmes abordés

L’équiprobabilité :

- problème du Duc de Toscane résolu par Galilée

- article « Croix ou Pile » de d’Alembert

- définition de Laplace de la probabilité

Le problème des partis :

- correspondance entre Pascal et Fermat

- acte de naissance de la théorie des probabilités

Le paradoxe de Condorcet

Différentes conceptions du hasard 1



La “préhistoire”

Jeux avec des astragales et des dés en Mésopotamie et dans l’ancienne Egypte.

Réflexions sur le hasard chez plusieurs philosophes grecs : Aristote, Démocrite,…

Existence des rentes viagères depuis la Rome antique.

Création de Bourses aux XIIIème et XIVème siècles pour assurer le risque dans les transports maritimes.

Nombreux travaux sur le dénombrement chez les Chinois, les Arabes et à partir du XIVème siècle en Occident.

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Des débuts très tardifs

Le concept de probabilté n’apparaît qu’au XVIème siècle.

Pourquoi si tard ?

Les interdits religieux, les superstitions,…

Les mathématiques : science exacte, immobile et immuable.

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Les premiers écrits

Jérôme CARDAN (1501-1576) :De ludo aleae, traité écrit vers 1560,mais publié seulement en 1665.

GALILEE (1564-1642) :Sulla scoperta dei dadi, écrit vers 1620,mais publié seulement en 1656 ;ce petit mémoire contient une solution du célèbreproblème du Grand Duc de Toscane.

Document 1

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L’acte de naissance “officiel” :la correspondance entre Pascal et Fermat de 1654

Pierre de FERMAT (1601-1665) :sa correspondance avec Pascal n’est publiée qu’en 1679.

Blaise PASCAL (1623-1662) :son Traité du triangle arrithmétique n’est publié qu’en 1665.

La correspondance entre Pascal et Fermat porte sur

le problème des partis

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Le problème des partis

Deux joueurs s’engagent dans des parties successives d’un jeu, mais il y a interruption avant que l’un d’eux ait gagné le nombre de parties assigné pour la victoire.Le problème est de « faire le parti », c’est-à-dire le partage de l’argent misé.

En fait, il s’agit d’un habillage de problèmes juridiques de partage ou d’indemnisation : calcul de rentes, d’héritages, d’assurance…

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Avant Pascal et Fermat

Plusieurs mathématiciens italiens ont proposé des solutions :- Luca PACIOLI en 1494,- Nicolo TARTAGLIA en 1539,- Lorenzo FORESTANI en 1603.

Mais rien de satisfaisant : Pacioli, par exemple, propose de répartir les mises proportionnellement aux nombres de parties déjà gagnées !

Cardan critiquera Pacioli… et proposera une répartition proportionnelle aux nombres de parties restant à gagner !

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La version simplifiée de Pascal

Deux joueurs misent chacun 32 pistoles.Ils jouent une série de parties d’un jeu de hasard équitable.Le premier qui gagne trois parties emporte les 64 pistoles.

Mais le jeu est interrompu alors que le premier joueur a gagné deux parties et l’autre une.

Comment les 64 pistoles doivent-elles être réparties ?

Document 2

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Solution de Pascal

3 – 1 2 – 2

2 – 1 3 – 0

2 – 0 1 – 1

1 – 0

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Solution de Fermat

1 - 0

1 - 1

1 - 2

1 - 31 - 4

2 - 3

2 - 22 - 3

3 - 2

2 - 1

2 - 22 - 3

3 - 2

3 - 13 - 2

4 - 1

2 - 0

2 - 12 - 2

2 - 3

3 - 2

3 - 13 - 2

4 - 1

3 - 0

3 - 13 - 2

4 - 1

4 - 04 - 1

5 - 0

1/4 + 2/8 + 3/16 = 11/16

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Pascal et la récurrence

« Quoique cette proposition ait une infinité de cas, je la démontrerai néanmoins en peu de mots par le moyen de deux lemmes.Le 1er, que la seconde base contient les partis des joueurs auxquels il manque deux parties en tout.Le 2ème, que si une base quelconque contient les partis de ceux auxquels il manque autant de parties qu'elle a de cellules, la base suivante sera de même, c'est-à-dire qu'elle contiendra aussi les partis des joueurs auxquels il manque autant de partis qu'elle a de cellules.D'où je conclus en un mot que toutes les bases du Triangle arithmétique ont cette propriété ; car la seconde l'a par le premier lemme ; donc par le second lemme, la troisième l'a aussi, et par conséquent la quatrième ; et aussi à l'infini. »

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Le premier traité publié : Huygens

Christian HUYGENS (1629-1695) publie dès 1657 « De ratiocinis in ludo aleae » : on y trouve la notion d’espérance mathématique (du latin « expectatio »).

Huygens applique le calcul des probabilités à la résolution de problèmes de statistiques sociales.

Il utilise une table de mortalité pour calculer des probabilités conditionnelles et une espérance de vie.

Document 3

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Les doutes de d’Alembert

Jean LE ROND D’ALEMBERT (1717-1783)

D’Alembert ne conçoit pas l’indépendance dans une répétition de lancers de pièces : la sortie de plusieurs piles cosécutifs rendrait plus probable la sortie d’un face au coup suivant.

Il rédige (vers 1760) l’article « croix ou pile » pour l’Encyclopédie.

Document 4

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La définition de Laplace

Pierre-Simon LAPLACE (1749-1827)

Extraits de son Essai philosophique sur les probabilités :

« La probabilité est le rapport du nombre de cas favorables à celui de tous les cas possibles. »

« Mais cela suppose les différents cas également possibles. »

« S’ils ne le sont pas, on déterminera d’abord leurs possibilités respectives dont la juste appréciation est un des points les plus délicats de la théorie des hasards. »

« Alors la probabilité sera la somme des possibilités de chaque cas favorable. »

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Principe de Condorcet

1. On compare les candidats deux à deux.

2. On dit que a est « socialement meilleur » que b si une majorité de votants préfèrent a à b .

3. Si un des candidats est socialement meilleur que tous les autres, il est élu :

c’est le Vainqueur de Condorcet.

( S’il existe, il est unique ! )

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Remarques

1. Les systèmes électoraux anglais et français peuvent violer le principe de Condorcet.

2. Dans le système anglais, il est même possible que soit élu un « perdant de Condorcet »(candidat « socialement pire » que tous les autres).

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Exemple 1

3 candidats : a , b et c .100 votants dont les préférences sont :

- pour 45 votants : a P b P c- pour 30 votants : b P c P a- pour 25 votants : c P b P a

Quels sont les vainqueurs ?

Le vainqueur anglais est a . Le vainqueur français est b .

Le vainqueur de Condorcet est b : 75/100 sur c , 55/100 sur a .

Le vainqueur anglais, a , est le perdant de Condorcet :45/100 sur b , 45/100 sur c .

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Exemple 2

4 candidats : a , b , c et d .

100 votants dont les préférences sont :- pour 45 votants : b P a P c P d- pour 30 votants : c P a P d P b- pour 25 votants : a P d P b P c

Quels sont les vainqueurs ?

Le vainqueur anglais est b . Le vainqueur français est b .

Le vainqueur de Condorcet est a :55/100 sur b , 70/100 sur c , 100/100 sur d .

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Paradoxe de Condorcet

Le principe de Condorcet peut sembler attrayant…

MAIS…

Sa mise en œuvre est complexe.

Le vainqueur de Condorcet n’existe pas toujours !C’est le paradoxe de Condorcet : la relation de préférence sociale n’est pas transitive !

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Exemple 3

3 candidats : a , b et c .

3 votants dont les préférences sont :- pour le 1er : a P b P c- pour le 2ème : b P c P a- pour le 3ème : c P a P b

Il n’y a pas de vainqueur de Condorcet car…

a est préféré socialement à b ,b est préféré socialement à c ,c est préféré socialement à a .

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Quelques conceptions du hasard

- Le hasard-rencontre

- Le hasard-ignorance

- La hasard-complexité

- Le hasard microscopique

- Le hasard généré

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Le hasard-rencontre

Cette conception, présente chez Aristote, est reprise par Antoine-Augustin COURNOT (1801-1877) :

« Les événements amenés par la combinaison ou la rencontre d’autres événements qui appartiennent à des séries indépendantes les unes des autres, sont ce qu’on nomme des événements fortuits ou des résultats du hasard. »

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Exemple littéraire du hasard-rencontre

Extrait de L’insoutenable légèreté de l’être de Milan KUNDERA :

« Sept ans plus tôt, un cas difficile de méningite s’était déclaré par hasard à l’hôpital de la ville où habitait Teresa, et le chef de service où travaillait Thomas avait été appelé d’urgence en consultation. Mais, par hasard, le chef de service avait une sciatique, il ne pouvait pas bouger, et il avait envoyé Thomas à sa place dans cet hôpital de province. Il y avait cinq hôtels dans la ville, mais Thomas était descendu par hasard dans celui où travaillait Tereza. Par hasard, il avait un moment à perdre avant le départ du train et il était allé s’asseoir dans la brasserie. Tereza était de service par hasard et servait par hasard la table de Thomas.Il avait donc fallu une série de six hasards pour pousser Thomas jusqu’à Tereza, comme si, laissé à lui-même, rien de l’y eût conduit. »

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Le hasard-ignorance

C’est la conception déterministe.

Voltaire : « Ce que nous appelons hasard n’est et ne peut être que la cause ignorée d’un effet connu. »

Laplace : « Nous devons envisager l’état présent de l’Univers comme l’effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. »

Einstein : « Dieu ne joue pas aux dés avec l’Univers. »

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Le hasard-complexité

Henry POINCARE : « Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. »

Emile BOREL : « La caractéristique des phénomènes que nous appelons fortuits, ou dus au hasard, c’est de dépendre de causes trop complexes pour que nous puissions les connaître toutes et les étudier. »

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Le hasard microscopique

- En mécanique statistique : - dynamique des gaz

- désintégration radioactive

- En biologie : rôle du hasard dans les mutations de l’ADN

- En physique quantique : le hasard intrinsèque à la théorie

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Le hasard généré

Tables de nombres aléatoires

Générateurs arithmétiques : méthodes de congruence linéaire plus ou moins raffinées

Générateurs quantiques fondés sur :

- la mesure de la désintégration d’atomes radioactifs

- l’envoi de photons sur un miroir semi-réfléchissant

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