Introduction à la supraconductivité

Louis Antognazza*, Michel Decroux* & Gilles Triscone#

* Ecole de Physique, Département de Physique de la Matière Condensée, 24 quai Ernest-Ansermet, 1211 Genève 4 # Ecole d'Ingénieurs de Genève, 4 rue de la Prairie, 1202 Genève

Ce cours d'introduction à la supraconductivité a été initié par la formation continue de l'Ecole d'Ingénieurs de Genève (EIG). Suite à une demande d'élargir l'audience de ce dernier, il a été décidé de faire une collaboration avec la section de Physique de l'Université de Genève; en particulier avec le Département de Physique de la Matière Condensée (DPMC). Le but de ce cours est de donner une vue générale sur le phénomène physique de la supraconductivité et de ses applications. Le traitement théorique microscopique de l'interaction attractive responsable du phénomène ne peut être abordé que dans un cadre académique1.

Ce cours d'introduction à la supraconductivité a été initié par la formation continue de l'Ecole d'Ingénieurs de Genève (EIG). Suite à une demande d'élargir l'audience de ce dernier, il a été décidé de faire une collaboration avec la section de Physique de l'Université de Genève; en particulier avec le Département de Physique de la Matière Condensée (DPMC). Le but de ce cours est de donner une vue générale sur le phénomène physique de la supraconductivité et de ses applications. Le traitement théorique microscopique de l'interaction attractive responsable du phénomène ne peut être abordé que dans un cadre académique1.

1 Pour les personnes que cela intéresse cf e.g. Problèmes à N-corps et champs quantiques, Cours élémentaire, P.A. Martin et F. Rothen, Presses polytechniques et universitaires romandes, CH-1015 Lausanne, 1990.

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1 Propriétés générales des supraconducteurs

1.1 Historique

La résistivité de certains échantillons chute à des valeurs infiniment petites en dessous

d'une température, appelée température critique Tc, qui dépend du matériau étudié.

Heike Kamerlingh Onnes

Figure originale de la mesure de la résistance R(T) du mercure; Kamerlingh Onnes (1991).

La supraconductivité a été découverte en 1911 par H. Kamerlingh Onnes2 à l'Université de Leiden en Hollande. H. Kamerlingh Onnes observa que la résistance électrique de certains métaux comme le mercure, le plomb ou l'étain disparaissait à basses températures; voir la Figure ci-contre et la partie gauche de la Figure 1-1. H. Kamerlingh Onnes (Nobel3 Prize in 1913) donna le nom de supraconductivité à ce nouvel état des propriétés électroniques de la matière4 et appela température critique Tc la température en dessous de laquelle la résistance devenait infiniment petite5. La question relative à la valeur de la résistance électrique dans cet état a été investiguée en effectuant des expériences où l'on induisait dans un anneau des courants supraconducteurs à l'aide d'un champ magnétique externe; voir Figure 1-2. En effet, la diminution du courant électrique avec le temps, déterminée à l'aide de la variation du champ magnétique induit, permet de calculer la résistance. A l'aide d'une mesure de champ des plus sensibles, la résonance magnétique nucléaire, les scientifiques on conclut qu'il faudrait attendre au moins 105 ans pour qu'une possible diminution soit détectable ! La conductibilité électrique parfaite de la matière dans l'état supraconducteur a donc été la première propriété associée à cet état. De fait, cette propriété est banale car si l'on suppose pouvoir obtenir e.g. un cristal de cuivre parfait, ce qui est impossible étant donné qu'il serait thermodynamiquement instable (terme associé à l'entropie des défauts), la résistance de ce dernier serait nulle à T=0. La Figure 1-1 (partie droite) montre la dépendance typique d'un métal normal en fonction de la température dans le cas des limites sales (avec défauts; libre parcours moyen≠∞) et propres (sans défauts; libre parcours moyen=∞). La conductibilité infinie de l'état supraconducteur n'est donc pas une propriété en soi mais la conséquence d'une autre beaucoup plus fondamentale: L'effet Meissner !

2 H. Kamerlingh Onnes, Leiden Comm. 120b, 122b, 12ac (1911). 3 http://www.nobel.se/ 4 Remarquons tout de même que durant 46 ans, de 1911 à 1957, le phénomène de supraconductivité fut inexpliqué. 5 Suite à cette découverte il s'est avéré que le phénomène de supraconductivité apparaissait dans beaucoup de matériaux conducteurs comme: Al: 1.19 K, Hg: 4.16 K, In: 3.4 K, Nb: 9.2 K, Pb: 7.2 K, Sn: 3.72 K, Ta: 4.4 K, Tc: 8.0 K, V: 5.3 K, Zn: 0.86 K, etc.

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Figure 1-1: A gauche: résistivité électrique en fonction de la température pour un matériel supraconducteur. A droite: résistivité électrique en fonction de la température pour un métal contenant des défauts (sale) et parfait (propre). A haute température R ∝ T (les interactions avec les phonons dominent) et à basse température R ∝ Ro + aT2 + bT5 où Ro est la résistance résiduelle qui provient des diffusions des électrons sur les impuretés-défauts`(si pas d'imputerés-défauts, Ro → 0).

Figure 1-2: Figure schématisant un anneau supraconducteur où circulent des courants supraconducteurs persistants. La mesure de l'induction magnétique B en fonction du temps permet d'estimer la valeur de conductibilité électrique du supraconducteur. Si au temps t=0 un courant i(t=0) circule dans un anneau d'induction mutuelle L et de résistance R, le courant diminue de façon exponentielle avec une constante de temps égale à L/R comme indiqué dans l'équation.

Avant de parler de l'effet Meissner, le fait de disposer d'un câble sans résistance électrique nous amène immédiatement à la conclusion que le flux magnétique à l'intérieur d'un anneau ne peut changer tant que l'anneau n'a pas de résistance. La loi de Lenz nous dit que toute variation de flux magnétique à l'intérieur d'un anneau induit un courant électrique tendant à s'opposer à cette variation; cf e.g.6. Toute variation de flux φ génère donc une tension induite Vind et on a:

Equation 1-1 dtdiL Ri

dtdBA

dtdVind +=−=φ

−=

où B est l'induction magnétique et A la surface frontale de l'anneau vue par le champ. Ainsi, dans le cas où R=0, on a AB + Li=constante; le flux total dans un circuit électrique dépourvu de résistance ne peut pas changer. Les applications sont nombreuses comme les aimants permanents, les écrans contre les perturbations magnétiques (l'équivalent d'une cage de Faraday pour les champs électriques), etc. 6 Physique générale, J. Rossel, Editions du Griffon, 1970, p 415.

Ro

Tc

Supraconducteur Métal "parfait"

ρ (Ω.cm) ρ (Ω.cm)

Métal "sale"

T (K) T (K)

i

Anneau supraconducteur refroidi en dessous de sa température critique Tc.

B

tLR

e )0t(i)t(i−

==

0dtdiL i R =+

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Figure 1-3: Figure schématisant le fonctionnement d'un aimant supraconducteur permanent. Une fois le courant circulant dans le solénoïde a été ajusté à la valeur voulue, l'interrupteur est abaissé et le circuit devient un anneau dépourvu de résistance où le flux total (AB + Li) ne peut donc pas changer.

1.2 Résistivité en fonctionnement dynamique Ce n'est pas parce que la résistance est nulle que l'on peut croire que l'on puisse transporter de l'énergie sans perte ! En effet, le fait d'avoir une résistance nulle implique aucune différence de potentielle entre les extrémités du câble et donc l'absence de perte ssi7 la valeur du courant est une constante. Par contre lorsque cette dernière varie, comme c'est le cas pour un courant alternatif par exemple, il s'avère que des pertes apparaissent. En effet, dans un supraconducteur, les porteurs de charges sont les "supers électrons" qui se déplacent sans résistance (ne subissent aucune collision dissipative; libre parcours moyen=∞) et les électrons normaux qui, eux, se déplacent avec résistance (subissent des collisions dissipatives; libre parcours moyen≠∞) comme dans un conducteur normal8. La proportion de ces deux "fluides" à l'intérieur du supraconducteur, qui dépend de la température, est traitée dans le modèle dit des deux fluides9. A T=0K, on peut quasiment considérer que tous les électrons participant à la conduction du courant se comportent comme des supers électrons mais lorsque la température augmente, la proportion de ces derniers diminue au profit des normaux et devient nulle à Tc où tous les porteurs sont alors normaux. Ainsi, dans le cas particulier où le courant est constant, il ne doit pas y avoir de champ électrique E dans le supraconducteur car autrement les supers électrons seraient continûment accélérés et le courant augmenterait infiniment. Si il n'y a pas de champ électrique, les électrons normaux sont donc au repos. On en conclut que seuls les supers électrons transportent le courant en régime stationnaire. Par contre, si l'on varie le courant à l'aide d'une alimentation par exemple, une différence de potentiel évidemment apparaît et le courant augmenterait à l'infini s'il n'était pas limité par la résistance interne de l'alimentation. On en déduit qu'un champ électrique existe à l'intérieur du supraconducteur lorsque la valeur du courant change. Ainsi, comme l'augmentation de courant n'est pas instantanée due à l'inertie de masse des porteurs de charge supraconducteur, les électrons normaux vont subir une force et se déplacer de façon dissipative. On en conclut qu'en mode dynamique (non dc), le courant est transporté par les deux types de porteurs de charge et que le processus est dissipatif. Les propriétés électriques d'un supraconducteur peuvent donc se représenter comme une inductance parfaite en parallèle avec une résistance. 7 si et seulement si. 8 De fait, c'est l'observation expérimentale de l'apparition de perte en régime dynamique qui a mis en évidence le fait que des électrons normaux participent à la conduction du courant. 9 voir e.g. Introduction to Superconductivity, M. Tinkham, 1975 McGraw-Hill Inc.

i R

Aimant supraconducteur permanent

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R

L

Figure 1-4: Schéma électrique équivalent d'un supraconducteur. Il est composé d'une résistance en parallèle avec une self pure.

Finalement, étant donné que l'état énergétique des supers électrons est plus bas que celui des électrons dits normaux, il existe une fréquence limite en mode ac (de l'ordre de 100 GHz) où les photons produits par les accélérations des électrons (Bremsstrahlung) peuvent exciter les supers électrons et les rendre normaux.

1.3 L'effet Meissner-Ochsenfeld10

1.3.1 Réponse d'un conducteur parfait soumis à un champ magnétique Comme vu précédemment, le flux magnétique dans un anneau composé d'un conducteur parfait ne change pas; c'est-à-dire: dB/dt=0. Il en est donc de même à l'intérieur d'un échantillon composé par une telle matière. Ainsi, lorsque on applique un champ magnétique Ha (créé par une source externe) sur un échantillon dépourvu de résistance électrique, des courants vont se mettre à circuler à sa périphérie de sorte à annuler l'induction B en son intérieur (B=µo(H+M); µo est la constante de perméabilité du vide et M est l'aimantation). La Figure 1-5 montre sur un échantillon de forme ellipsoïdale la réponse de ce dernier suite à l'application d'un champ externe Ba=µoHa. Les courants de surface engendrent un champ Bi tel que B=0 en son intérieur. Le profil du champ résultant (addition vectorielle de Ba avec Bi(r)) est donné sur la partie droite de la figure. Remarquer que la réponse diamagnétique de l'échantillon fait que le champ aux pôles de l'ellipsoïde est plus important que celui appliqué Ba (lignes de flux plus rapprochées). De même, le champ à l'équateur est nul. Ceci est dû à la réponse de l'échantillon à un champ externe (l'aimantation M) qui modifie le profil de flux. Ce phénomène est traité dans la littérature sous la dénomination de "facteur de désaimantation" (ou facteur de reconstruction). Si l'on coupe le champ magnétique externe, l'échantillon se retrouve dans son état original comme le montre la partie gauche de la Figure 1-6.

10 Cet effet fut découvert par W. Meissner et R. Ochsenfeld.

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Figure 1-5: Réponse d'un échantillon dépourvu de résistance électrique suite à l'application d'un champ magnétique externe Ba=µoHa; les courants de surface induisant la réponse Bi circulent à la périphérie de l'échantillon. Sur la partie droite de la figure est représentée la déformation des lignes de flux suite à la réponse diamagnétique de l'échantillon.

Figure 1-6: Partie de gauche: un échantillon est refroidi en champ nul (a→ b) puis soumis à un champ magnétique externe Ba (c). Le fait que l'échantillon soit dépourvu de résistance explique l'induction de courants de surface permanents produisant un champ qui s'oppose complètement au champ externe (diamagnétisme parfait). Au point (d) on coupe le champ externe et l'échantillon retrouve son état initial. La partie de droite montre le résultat que l'on aurait obtenu si l'opération avait débuté avec le champ externe Ba enclenché. Le fait que l'échantillon soit pénétré par des lignes de flux (e) dans son état résistif fait qu'il reste aimanté lorsque l'on coupe le champ au point (g); point où il est dans un état dépourvu de résistance.

Sur la partie de droite de la Figure 1-6 on voit le résultat que l'on aurait obtenu si l'opération avait débuté cette fois avec le champ externe Ba enclenché. Le fait que l'échantillon soit pénétré par des lignes de flux (e) dans son état résistif fait qu'il reste aimanté lorsque l'on coupe le champ au point (g); point où il est dans un état dépourvu de résistance. A noter que les conditions de température sont les mêmes entre le point (c) et (f) alors que l'état magnétique est complètement différent. Il est bon de rappeler encore que ceci représente l'histoire d'un échantillon normal ayant une conductibilité électrique infinie à basse température (cristal parfait de cuivre à T=0K) et non pas celle d'un échantillon présentant un état supraconducteur.

1.3.2 Réponse d'un supraconducteur soumis à un champ magnétique La Figure 1-7 montre la réponse d'un supraconducteur soumis au même jeu que celui décrit dans la Figure 1-6 pour un conducteur normal mais parfait. Cette fois une propriété nouvelle apparaît, qui ne peut pas être comprise dans le cadre de l'électromagnétisme conventionnel, soit l'expulsion des lignes

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de flux par l'échantillon lorsque ce dernier transite de l'état normal à l'état supraconducteur. C'est l'effet Meissner (e→ f).

Figure 1-7: Partie de gauche: un échantillon est refroidi en champ nul (a→ b) puis soumis à un champ magnétique externe Ba (c). Le fait que l'échantillon soit dépourvu de résistance explique l'induction de courants de surface permanents produisant un champ qui s'oppose complètement au champ externe (diamagnétisme parfait). Au point (d) on coupe le champ externe et l'échantillon retrouve son état initial. Idem que si l'échantillon était normal mais dépourvu de résistance. La partie de droite montre le résultat que l'on aurait obtenu si l'opération avait débuté avec le champ externe Ba enclenché. Les lignes de flux sont expulsées (e→ f) lorsque l'échantillon transite de l'état normal à l'état supraconducteur ! C'est l'effet Meissner.

On en conclut que l'état magnétique d'un conducteur parfait dépend de l'histoire (l'ordre de la variation de la température et du champ magnétique externe) alors que celui d'un échantillon supraconducteur ne dépend que de l'état actuel de la température et du champ magnétique externe; du moins si on est à l'équilibre thermodynamique (propriétés réversibles). L'échantillon supraconducteur est donc une substance diamagnétique parfaite; i.e.

Equation 1-2 ( ) ( )

( ) cgs) (système 41 0H4HM4HB

mKsA) (système 1 0HHMHB

vv

vvoo

π−=χ⇒=χπ+=π+=

−=χ⇒=χ+µ=+µ=

en cgs [B]=Gauss, [H]=Oe, [M]=emu/cm3, [4πM]=Gauss, [χv]=emu/cm3; cf. 11. en mKsA [B]=T, [H]=A/m, [M]=A/m et µo est la constante de perméabilité du vide et vaut 4π×10-7 V.s.A-1.m-1.

1.3.3 Longueur de pénétration Comme nous l'avons vu B=0 à l'intérieur d'un supraconducteur; c'est-à-dire que l'échantillon réagit à l'application d'un champ magnétique comme un diamagnétique parfait en générant des courants de surface. Par contre, ces courants ne peuvent être confinés juste à la surface du supraconducteur sinon leur densité j (en A/cm2) tendrait vers l'infini et l'on aurait une discontinuité du champ B; ce qui est

11 Physique générale, J. Rossel, Editions du Griffon, 1970, p 403.

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impossible. Les courants circulent donc sur une certaine profondeur et B pénètre légèrement le supraconducteur. Les équations de Maxwell12 nous donnent la relation entre champ magnétique et champ électrique13:

Equation 1-3 tBE

∂∂

−=×∇r

rr 0B =•∇

rr

Equation 1-4 ( )tDjPE

tjH o ∂

∂+=+ε

∂∂

+=×∇r

rrrrrr ( ) ρ=•∇=+ε•∇ DPEo

rrrrr

où j est égale, dans notre cas, à la densité de super courant js. js est égal au produit de la densité de supers porteurs ns fois leur charge e et leur vitesse vs (js=ns e vs). D=εoE+P est le vecteur de déplacement diélectrique, E est le vecteur du champ électrique, P est le vecteur du champ de polarisation et εo=107/(4πc2) est la permitivité du vide avec [εo]=A.s.V-1.m-1. js est relié évidemment au champ électrique E. En effet toutes charges électriques q dans un champ électrique subissent la force F=q E. Ainsi, l'augmentation de vitesse induit une augmentation de densité de courant et on a:

Equation 1-5 E men

tj E e

tj

enm E e

tvm

2sss

s

sr

rr

rrr

=∂∂

⇒=∂∂

⇒=∂

∂

et l'Equation 1-3 devient:

Equation 1-6 tj

enm

tB s

2s ∂

∂×∇−=

∂∂

rr

r

en remplaçant js de l'Equation 1-4 où l'on a introduit B/µo on a:

Equation 1-7 tB

enm

tB

2so ∂

∂×∇×∇

µ−=

∂∂

rrr

r

où le terme contenant le déplacement diélectrique a disparu car négligeable. Comme ∇×∇×=∇∇−∆ on a:

Equation 1-8 tB

enm

tB

tB

enm

tB

2so

2so ∂

∆∂µ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∆∂

−∂∇∂

∇µ

−=∂∂

rrrrr

12 Physique de l'état solide, C. Kittel, 5ième édition, Dunod, Paris 1983, p 400. 13 De fait ces équations font intervenir la notion de localité ce qui est faux (au second ordre). En effet, la réponse d'un gaz d'électron par exemple à un champ électrique est non locale. Par exemple: le courant électrique en un point dépend du champ électrique aux alentours de ce point.

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car la divergence de B est nulle (Equation 1-3). A une dimension, pour un champ magnétique appliqué parallèlement à la surface, on a:

Equation 1-9

2so

x

a

2so

2

2

enm avec

e B(x)B 0Bm

enxB

µ=λ

=⇒=µ

+∂∂ λ

−&&&&

Notez que la solution mathématique en exp(+x/λ) est rejetée car non physique. A remarquer que nous n'avons fait que supposer que la résistance électrique était nulle. En aucun cas ces équations n'expliquent l'expulsion du flux magnétique lorsque l'échantillon est refroidi en champ (effet Meissner).

1.4 Les équation de London L'effet Meissner n'étant pas expliqué par le simple fait que la résistance soit nulle a poussé F. & H. London14 à postuler qu'à l'état supraconducteur l'Equation 1-8 s'appliquait non seulement à la dérivée temporelle de B mais aussi à B lui même15.

Equation 1-10 B1B 2L

rr∆

λ=

et on a:

Equation 1-11 2so

L

x

a enm avec e BB(x) L

µ=λ= λ

−

λL est appelée la longueur de pénétration de London. La Figure 1-8 illustre la pénétration du champ dans le supraconducteur.

14 F. London and H. London, Proc. Roy. Soc. (London) A155 (1935) 71. 15 De fait, la réflexion était beaucoup plus profonde avec pour conséquence que l'équation s'appliquait non seulement à la dérivée temporelle de B mais aussi à B lui-même. Le fait que B dérive d'un potentiel vecteur A (∇• B=0 ⇒ B=∇×A) a incité London à postuler que le moment p=mv+eA/c de l'état fondamental en absence de champ est nul. Ainsi la vitesse moyenne autour d'un point <vs> est proportionnelle au potentiel vecteur A; i.e. <vs>=−eA/(mc) et donc js=nse<vs>=−nse2A/(mc). Le super courant js est proportionnel au potentiel vecteur A. Cette équation n'est pas invariante de Gauge et n'est valable que pour une Gauge particulière. La continuité du courant implique que la divergence de ce dernier (∇• j) doit être nulle et donc que la divergence du potentiel vecteur A l'est aussi (∇• A=0). Le choix de la Gauge V avec A'(r)=A(r)+∇V est donc telle que ∇•∇V=0; c'est-à-dire que V doit satisfaire l'équation de Laplace. Les conditions de continuité du courant aux bords déterminent la composante normale de A à la surface et donc la dérivée de V doit être nulle à la surface. La seule solution de ce problème de limite est le choix de V=constante (Gauge dite de London). Pour plus de détails cf Introduction to Superconductivity, M. Tinkham, 1975 McGraw-Hill Inc, p 5, 73.

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Figure 1-8: Pénétration du champ magnétique à l'intérieur du supraconducteur. Si l'on introduit la masse de l'électron, sa charge e, la constante de perméabilité du vide µo et une densité de porteur ns comparable à celle d'un métal (4x1028 m3) on obtient une longueur de pénétration λL≈10-8 m (=100 Ǻ).

Avec le même argument l'Equation 1-6 devient:

Equation 1-12 s2s

jen

mBrrr

×∇−=

Cette équation décrit le diamagnétisme parfait et l'Equation 1-5 le fait que la résistance est nulle (il n'y a pas de champ électrique dans un supraconducteur tant que le courant est constant). On peut aussi déterminer les supers courants de surface à l'aide de l'Equation 1-4 qui se réduit dans le cas où le champ appliqué est parallèle à la surface dans la direction z à:

)y(jxB

soµ=∂∂

−

et l'on trouve après avoir calculé la dérivée par rapport à x de la solution de l'Equation 1-10:

L

x

Lo

as e B)y(j λ

−

λµ=

qui vérifie que les courants supraconducteurs circulent bien proche de la surface sur une distance caractéristique λL. Les équations dites de London,

λLλLx

BaBa

supraconducteur

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Equation 1-13

B1j

E1 tj

2Lo

s

2Lo

s

rrr

rr

λµ−=×∇

λµ+=

∂∂

qui ne sont qu'une reformulation des Equation 1-5 et Equation 1-12, ne remplacent pas les équations de Maxwell qui sont, évidemment toujours valables, mais donnent des conditions supplémentaires que doit obéir la partie super courant du courant total. Dans la majorité des cas le courant total j est la somme du super courant avec le courant normal jn:

Equation 1-14 sn jjjrrr

+=

, courant normal qui obéit à la loi d'Ohm:

Equation 1-15 Ej nn

vrσ=

où σn est la conductibilité électrique associée au courant normal. Mais lorsque la situation est statique, seulement les supers courants entrent en jeu et c'est l'Equation 1-13 et l'Equation 1-10 qui rendent compte de la physique, du moins en première approximation ! En effet, London prédit bien qualitativement une pénétration du champ magnétique dans le supraconducteur mais la distance caractéristique est plus de deux fois plus petite que celle observée.

1.4.1 Dépendance en température de λL Comme nous l'avons déjà mentionné, les porteurs de charge sont composés des super porteurs et des porteurs normaux. La densité de supers porteurs est maximum à température nulle et diminue avec cette dernière pour valoir zéro à Tc. Ainsi, la longueur de pénétration dépend de la température car λL ∝ ns-1/2. Nous pouvons prédire que λL doit saturer vers une valeur λL0 lorsque T→0K et doit diverger lorsque T→Tc comme le montre la Figure 1-9.

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Figure 1-9: Dépendance en température prévisible de la longueur de pénétration λL.

1.5 Propriétés thermodynamiques16 Sous ce point nous ne discutons que des propriétés réversibles.

1.5.1 Rappel de thermodynamique

1.5.1.1 Energie interne d'un système Considérons un système homogène caractérisé par les variables p, V, T et S. Le premier et le deuxième principe nous donnent pour la dérivée de l'énergie interne dU: dU = TdS −pdV + Σyidxi La chaleur δQ↓ est représentée par le terme TdS et le travail δW↓ par le terme−pdV. Les termes ydx tiennent compte des travaux généralisés autres que le travail mécanique (par exemple d'origines magnétiques, électriques, etc.). Ici, l'énergie interne U dépend de S, V et des xi (U(S,V,xi)). U est un potentiel car les dérivées de U par rapport aux variables extensives donnent les forces généralisées. Si l'on désire travailler avec d'autres variables indépendantes (e.g. S et p, T et V ou T et p ou ...), les potentiels correspondants sont obtenus par des transformations dites de Legendre. Exemple: Soit une différentielle de Pfaff dφ(x,y)=Xdx+Ydy et une fonction ψ=φ−yY appelée transformation de Legendre de φ. On a: dψ = dφ − ydY − Ydy = Xdx − ydY

et donc ψ=ψ(x,Y) et yY

Xx

−=∂∂ψ

=∂∂ψ

en utilisant les deuxièmes dérivées, on obtient les relations de Maxwell:

16 Pour plus de renseignements voir e.g. Thermodynamique, Jean Muller, Université de Genève.

?

→constante

→∝

Tc

λL (m)

état supraconducteur état normal

T (K)

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Maxwell de Relations

YX

xy

xYYx

yX

xY+

xyyx

xY

22xy

22

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⇒∂∂ψ∂

=∂∂ψ∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⇒∂∂φ∂

=∂∂φ∂

et de même pour les autres transformations de Legendre.

1.5.1.2 Potentiels thermodynamiques et relations de Maxwell Les différents potentiels thermodynamiques sont:

Energie interne: U(S,V) dU=TdS−pdV → VS S

pVT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

Enthalpie: H(S,p) dH=TdS+Vdp → pS S

VpT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

transformation de Legendre H=U+pV

Energie libre F(T,V) dF=−SdT−pdV → VT T

pVS

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

(Energie libre d'Helmoltz) transformation de Legendre F=U−TS

Enthalpie libre G(T,p) dG=−SdT+Vdp → pT T

VpS

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

(Potentiel de Gibbs) transformation de Legendre G=U−TS+pV Finalement rappelons que le potentiel qui, minimalisé, donnera la bonne solution physique dans les variables T,S,p et V est: Min,...)V,T(F

0dTdV=

== pour un processus isochore-isotherme

Min,...)p,T(G 0dTdp ===

pour un processus isobar-isotherme

Min,...)V,S(U0dVdS

===

pour un processus isentrope-isochore Min,...)p,S(H 0dSdp =

== pour un processus isobar-isentrope

En général c'est l'énergie libre de Gibbs qui est utilisée car on peut maîtriser expérimentalement la température et la pression (dT=dp=0). Par exemple mesurer la chaleur spécifique à pression constante est "aisé" par contre à volume constant est quasiment impossible ! Heureusement, les relations thermodynamiques nous permettent de déterminer certaines variables grâce à la connaissance d'autres.

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1.5.1.3 Chaleur spécifique à pression constante La mesure de la chaleur spécifique à pression constante Cp(T) donne des informations fondamentales sur les changements de phase, leur ordre et les énergies mise en jeu. Cp(T) est définie comme:

Equation 1-16 p

p TQ)T(C ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

où Q est la chaleur. On peut aussi définir Cp(T) à l'aide de l'enthalpie H étant donné que dQ=TdS:

Equation 1-17 p

p TH)T(C ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

Les transitions de phase du 1er ordre sont caractérisées par une discontinuité des dérivées du potentiel concerné par rapport aux variables intensives comme par exemple S=−∂G/∂T, V=∂G/∂p. Ces discontinuités sont liées par l'équation de Clausius-Clapeyron:

Equation 1-18 V T

LVVSS

Tp 21

12

12

équilibre ∆=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ →

L1→2 étant la chaleur latente de la transformation de phase. En particulier elles sont caractérisées par une chaleur spécifique continue mais dont la pente présente une discontinuité à la température de transition. Les transitions du 2ième ordre sont caractérisées par la continuité des grandeurs extensives (S2=S1, V2=V1). Par contre les dérivées des variables extensives par rapport aux variables intensives sont discontinues (∂S/∂T, ∂S/∂p, ∂V/∂T, ∂V/∂p). Pour ces transitions, l'équation de Clausius-Clapeyron n'a pas de signification. Par contre, on peut appliquer la règle de Bernoulli-l'Hôpital:

Equation 1-19

p

1

p

2

1p2p

p

1

p

2

p

1

p

2

Transition

TV

TV

)CC(T1

TV

TV

TS

TS

Tp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

Equation 1-20

T

1

T

2

p

1

p

2

T

1

T

2

T

1

T

2

Transition

pV

pV

TV

TV

pV

pV

pS

pS

Tp

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

Ces équations s'appellent la première et la deuxième équation d'Ehrenfest. En particulier elles sont caractérisées par un saut de la chaleur spécifique à la température de transition mais pas de chaleur latente.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 1-14

1.5.1.4 Potentiels thermodynamiques en présence d'un champ magnétique La différentielle de l'énergie interne U(S,V,M) s'écrit dU=TdS−pdV+µoHd(MV)17 et l'énergie libre de Gibbs G(T,p,H), représentative de la physique (car il est possible entre autre de contrôler H mais difficilement M), se trouve par la transformation de Legendre G=U−TS+pV−µoH(MV) et l'on a: Enthalpie libre G(T,p,H) → dG=−SdT+Vdp−µo(MV)dH (Potentiel de Gibbs) transformation de Legendre: G=U−TS+pV−µoH(MV)

1.5.1.4.1 Energie libre de Gibbs à pression constante en présence d'un champ magnétique A pression constante (dp=0) on a: Equation 1-21 ( )dHMVSdTdG oµ−−=

avec pour relation de Maxwell:

Equation 1-22 p,H

2

2

o

p,Tp,H

op,T T

)MV(HT

C

T)MV(

HS

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂µ=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

µ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

qui permet de relier les propriétés thermiques à celles magnétiques18. Dans le cas magnétique, la première relation d'Ehrenfest (Equation 1-19) devient:

Equation 1-23

p

1

p

2

1p2pc

Transitiono

T)MV(

T)MV(

)CC(T1

TH

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

µ−

1.5.2 Chaleur spécifique à pression constante et champ nul L'entropie s'obtient facilement en prenant la dérivée:

Equation 1-24 H,pT

GS ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=

et la chaleur spécifique par:

17 Remplacement de −p → µoH et V → (MV) 18 La vérification des relations de Maxwell permet de s'assurer que les propriétés mesurées sont bien représentatives de l'état d'équilibre thermodynamique.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 1-15

Equation 1-25 H,p

p TST)T(C ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

La mesure de Cp(T) à champ nul montre un saut de la chaleur spécifique à la température critique Tc comme le montre la Figure 1-10. Ce saut est compatible avec une transition de phase du second ordre. Une telle transition est en effet caractérisée par la continuité des grandeurs extensives: en particulier Ss=Sn ou encore (∂G/∂T)s=(∂G/∂T)n avec comme indices s et n pour les phases supraconductrice et normale, respectivement. Par contre les dérivées des variables extensives par rapport aux variables intensives sont discontinues: en particulier (∂S/∂T)s≠(∂S/∂T)n ou encore (∂2G/∂T2)s≠(∂G2/∂T2)n.

Cp (J/(mole.K))

∆C Cs; superconducting

T (K)

Tc

Cn; normal

Figure 1-10: Chaleur spécifique à pression constante et champ magnétique nul en fonction de la température d'un échantillon présentant l'état supraconducteur en dessous de la température Tc.

Expérimentalement on trouve que:

2.5 à 1.3 C

CC

cTTn

ns ≅−

=

A remarquer que la chaleur spécifique d'un métal conventionnel suit, en général, une loi en19:

Equation 1-26 ( ) TTACCC3

Dnellattn γ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ

=+=

où Clatt est la partie phononique (due aux vibrations du réseau atomique ("lattice")) avec θD la température de Debye et (Cel)n est la partie due à la partie électronique normale avec γ la constante de Sommerfeld qui est proportionnelle à la densité d'état.

19 voir e.g. Physique de l'état solide, C. Kittel, 5ième édition, Dunod, Paris 1983.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 1-16

La composante "lattice" devant être la même dans l'état supraconducteur que dans l'état normal, la composante électronique supraconductrice (Cel)s peut en déduire en effectuant la soustraction à Cs de l'extrapolation à basse température de Clatt. L'analyse de la dépendance en température de (Cel)s montre une dépendance exponentielle qui suggère l'existence d'un gap dans le système électronique de la phase supraconductrice. On a donc:

Equation 1-27 ( ) Tk 3

sellattsBe BT ACCC∆

−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θ=+=

La mesure de la chaleur spécifique en fonction de la température nous permet de déterminer la variation en température de l'entropie par simple intégration (Equation 1-25) et de par là le potentiel de Gibbs.

S (J/mole.K)

Figure 1-11: Entropie à pression constante et champ magnétique nul en fonction de la température d'un échantillon présentant l'état supraconducteur en dessous de la température Tc.

Figure 1-12: Potentiel de Gibbs de la température Tc.

T (K)

G (J/mole)

Normal

Supraconducteur

Tc

T (K)

Ss=Sn

p

n

p

s

TS

TS

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

≠⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

G

Gn

Gs

Normal

GT, Version du 27.04.2003 09:5

Supraconducteur

en fonction de la température d'un échantillon présentant l'état supraconducteur en dessous

Tc

4 1-17

La différence d'énergie Gn−Gs qui dépend de la température s'appelle énergie de condensation.

La transition supraconductrice est donc une transition de phase du deuxième ordre à champ nul.

Par contre, la présence d'un champ magnétique modifie la transition en une de premier ordre caractérisée par une chaleur latente de transformation.

1.5.3 Propriétés magnétiques (réversibles) Les propriétés magnétiques sont, de fait, la réponse M d'un échantillon à un champ magnétique externe appliqué Ha avec M=χvHa. On a vu qu'un échantillon supraconducteur expulsait le flux magnétique; c'est-à-dire l'effet Meissner. Mais, l'induction de courant de surface coûte de l'énergie et on peut s'attendre à ce qu'à partir d'un champ magnétique, appelé champ critique thermodynamique Hc, le prix de l'écrantage du champ soit supérieur à celui gagné par l'échantillon en passant de l'état normal à celui de supraconducteur (l'énergie de condensation). Au delà de ce champ, l'échantillon aura meilleur temps de redevenir normal avec pour conséquence plus de courants d'écrantage mais par contre une pénétration du flux magnétique.

1.5.3.1 Supraconducteur de type I L'énergie magnétique est donnée par l'Equation 1-21 et l'on remarque immédiatement le terme −µo(MV)dH qui, sachant le diamagnétisme de l'échantillon supraconducteur (χv<0), va augmenter le potentiel de Gibbs. Pour un certain champ appelé champ critique thermodynamique Hc, l'augmentation d'énergie d'origine magnétique surpassera l'énergie de condensation Gn(T)−Gs(T) et l'échantillon transitera dans l'état normal. La Figure 1-13 montre la réponse d'un échantillon supraconducteur dit de type I (c'est-à-dire un échantillon présentant une susceptibilité magnétique χv ≡ −1 quel que soit 0 ≤ Ha ≤ Hc) ayant la forme d'une aiguille dont l'axe est parallèle au champ magnétique externe appliqué20. Tant que le champ appliqué Ha≤Hc(T), l'échantillon est dans l'état supraconducteur et expulse complètement le flux magnétique. L'énergie E(T) associée à cette expulsion est donnée par:

Equation 1-28 )T(VH21HdHVdH)MV()T(E 2

co

)T(H

0o

)T(H

0o

cc

µ+=µ+=µ−= ∫∫

Si l'on suppose que V dépend peu de la température; ce qui est généralement le cas21.

20 Ceci afin de s'affranchir des problèmes liés aux champs de désaimantation (ici le champ vu par l'échantillon Happarent est le champ appliqué Ha). 21 Cette énergie associée au changement de volume est moindre par rapport à celle d'origine magnétique et peut être négligée.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 1-18

M (A/m)

Figure 1-13: Réponse magnétique d'un échantillon supraconducteur dit de type I. Pour des valeurs de champ magnétique inférieures à Hc, l'échantillon présente un diamagnétisme parfait (χv ≡ −1).

Evidemment, E(T) est égale à l'énergie de condensation Gn(T)−Gs(T).

1.5.3.1.1 Distribution du flux dans l'état Meissner

Entre 0 ≤ Ha ≤ Hc on sait que l'échantillon est dans l'état Meissner et donc que la distribution du champ B est donnée par la Figure 1-8; c'est-à-dire que le flux pénètre l'échantillon en sa surface sur une longueur caractéristique λ et est strictement nulle en son intérieur.

1.5.3.2 Supraconducteur de type II La Figure 1-14 montre la réponse d'un échantillon supraconducteur dit de type II ayant la forme d'une aiguille dont l'axe est parallèle au champ magnétique externe appliqué. Jusqu'à un champ critique Hc1(T), l'expulsion du flux est totale comme pour le cas d'un supraconducteur de type I. Par contre, au-delà de Hc1(T) et jusqu'au champ critique Hc2(T), l'échantillon est dans un état appelé "mixte" car il trouve un état énergétique favorable en laissant des parties de son volume se faire pénétrer par le champ; elles sont à l'état normal. Dès Hc2(T) par contre la totalité du volume de l'échantillon est à l'état normal. Remarque: un supraconducteur de type I est donc un supraconducteur où Hc=Hc1=Hc2. La Figure 1-15 montre la réponse d'un échantillon supraconducteur "bas Tc" de type II (Nb77Zr23). On remarque bien sur cette figure que l'énergie associée à l'expulsion du flux magnétique E(T), qui est égale à l'énergie de condensation Gn(T)−Gs(T), augmente continûment lorsque la température diminue et vaut 0 à Tc(H=0)=Tc0.

état Meissner

Hc

H (A/m)

T=constante

M= −H

GT, Version du 27.04.2003 09:54 1-19

M (A/m)

Figure 1-14: Réponse magnétique d'un échantillon supraconducteur dit de type II. Pour des valeurs de champ magnétique inférieures à Hc1, l'échantillon présente un diamagnétisme parfait (χv ≡ −1); on parle alors d'état Meissner. Dès Hc1 et jusqu'à Hc2, l'échantillon se trouve dans l'état appelé mixte où coexistent des parties à l'état supraconducteur avec d'autres à l'état normal. Pour des valeurs de champ supérieures à Hc2, l'échantillon se trouve en son intégralité à l'état normal.

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 10000 20000 30000 40000 50000H (Oe)

M (e

mu/

cm³)

Nb77Zr23, Tc=10.5 K

T=10.5, 10, 9.5, … , 4.5 K

Figure 1-15: Mesure d'aimantation M(H)⎜T à température constante sur le supraconducteur Nb77Zr23, B. Revaz et al.

L'intégrale de −(1/2)µo(VM)dH de H=0 à Hc2(T) est égale aussi à l'énergie de condensation Gn(T)−Gs(T). Le champ critique thermodynamique est défini de la même façon que pour un supraconducteur de type I sauf que la borne d'intégration est cette fois Hc2(T):

Equation 1-29 ∫µ−=µ)T(H

0o

2co

2c

dH)T(MV)T(VH21

1.5.3.2.1 Distribution du flux dans l'état mixte

état Meissner

état mixte

Hc1 Hc2Hc

M = −H

H (A/m)

T=constante

GT, Version du 27.04.2003 09:54 1-20

Entre 0 ≤ Ha ≤ Hc1 on sait que l'échantillon est dans l'état Meissner et que la distribution du champ B est donnée par la Figure 1-8; c'est-à-dire que le flux pénètre l'échantillon en sa surface sur une longueur caractéristique λ et est strictement nulle en son intérieur. Par contre, dans l'état mixte où l'échantillon présente un diamagnétisme (χv<0) mais pas parfait (χv≠−1), le flux doit pénétrer l'échantillon mais comment ? L'expérience de U. Essmann et H. Träuble22 consiste à laisser tomber sur la surface de l'échantillon de fine particules magnétiques comme du fer. Si le supraconducteur se trouve dans l'état mixte avec des lignes de flux sortant perpendiculairement à sa surface alors les particules magnétiques vont venir se mettre à ces endroits et une photo en microscopie électronique permettra de visualiser l'état mixte. Dans l'état mixte ces lignes de flux sont appelées vortex. La Figure 1-16 montre les images obtenues pour un échantillon de Pb+6% étain et un de NbSe2.

Figure 1-16:A gauche: image du réseau de vortex de l'état mixte d'un échantillon de Pb+6% étain (U. Essmann et H. Träuble, 1966). A droite: image du réseau de vortex de l'état mixte obtenue par microscopie à effet tunnel d'un échantillon de NbSe2 (Harald Hess and R.B. Robinson, and J.V. Waszczak, Physica B 169 (1991) 422.

On remarque immédiatement que les parties normales sont de même taille et disposées, si il n'y a pas de défaut dans le supraconducteur (structurelles, impuretés, etc.), de façon triangulaire. La Figure 1-17 schématise le réseau triangulaire de vortex.

22 Scientific American, March 1971.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 1-21

Figure 1-17: Vue schématique du réseau de vortex de l'état mixte. Le champ magnétique est maximum au centre du vortex et diminue à l'intérieur du supraconducteur sur une distance caractéristique λ(T).

1.5.3.2.2 Distribution du flux dans l'état intermédiaire Dans le §1.3.1 nous avions soulevé le point que le champ réellement vu par l'échantillon présentant une aimantation M=χvH est autre que le champ magnétique externe appliqué Ha et que ce phénomène est traité dans la littérature sous la dénomination de "facteur de désaimantation". Calculons alors pour un cas simple le champ vu par un échantillon supraconducteur sphérique dans l'état Meissner comme montré dans la Figure 1-18.

Figure 1-18: Echantillon supraconducteur sphérique dans l'état Meissner placé au centre d'un solénoïde.

En l'absence de champ électrique, l'Equation 1-4 de Maxwell devient jHrrr

=×∇ . On a donc pour la surface S délimitée par le lasso ABCDEFA: l SdjdHSdH

SLaplace de Théorème

S

rrlrrrrr

l

•=•=•×∇ ∫∫∫

En absence d'échantillon, on a HaL=Ni où N est le nombre de spire du solénoïde, L sa longueur et i le courant électrique qui y circule. Evidemment lorsque l'on introduit l'échantillon le membre de droite de l'équation ne change pas et vaut toujours Ni. Par contre, comme on voit sur la Figure 1-18, la valeur du champ magnétique le long de FA et de BC est plus faible que Ha étant donné que le diamagnétisme de l'échantillon écarte les ligne de flux et donc diminue l'intensité du champ. On en conclut que la valeur du

GT, Version du 27.04.2003 09:54 1-22

champ à l'intérieur de la sphère est supérieure à Ha vu que l'intégrale de lrr

dH• le long de l est une constante. Le champ interne Hi réellement vu par l'échantillon est donné par: Equation 1-30 DMHH ai −=

où le facteur de désaimantation D ne dépend que de la géométrie de l'échantillon. Dans le cas d'un échantillon présentant un diamagnétisme parfait (χv=−1) on a M=−Hi (égal et opposé au champ interne) et donc:

Equation 1-31 D1

HH ai −=

On peut donc se poser la question sur l'état magnétique que va avoir un échantillon supraconducteur de type I plongé dans un champ magnétique Ha d'intensité inférieure à Hc mais dont la géométrie fait que le champ interne Hi est supérieure à Hc (Ha/(1−D) > Hc) ? L'échantillon n'a pas le choix et doit laisser des parties importantes de son volume se faire pénétrer par le champ. C'est l'état intermédiaire dont une image est donnée en Figure 1-19.

Figure 1-19: Etat intermédiaire mesuré sur une feuille d'aluminium. Le champ magnétique H=0.65Hc est appliqué perpendiculairement à la surface et la température était ajustée à T=0.92Tc0. Les parties noires correspondent aux régions supraconductrices.

1.5.3.3 Dépendance en température du champ critique thermodynamique La mesure de Hc(T) nous permet donc de déterminer la dépendance en température de l'énergie de condensation Gs(T)−Gn(T) et donc de pouvoir déterminer la différence d'entropie Ss(T)−Sn(T) vu que S=−(∂G/∂T) et la différence de chaleur spécifique Cs(T)−Cn(T) vu que C=δQ/T=(TdS)/T.

Equation 1-32 ( ))0H,T(G)0H,T(GV

2)T(H sno

c =−=µ

=

GT, Version du 27.04.2003 09:54 1-23

où

Equation 1-33 )0H,T(G)0H,T(G)T(VH21

sn2co =−==µ

La Figure 1-20 illustre le diagramme de phase dans le plan (H,T). En dessous de la ligne de champ critique thermodynamique, l'échantillon présente des propriétés supraconductrices. La Figure 1-21 montre la dépendance en température expérimentale de Hc(T) qui peut être approximée à quelques pourcents près pour tout matériel par une fonctionnelle du type:

Equation 1-34 ( )c0

20cc T

Tt avec t1 H)T(H =−=

où Tc0 et Hc0 sont la température critique et le champ critique thermodynamique à température nulle. t est la température réduite. Cette dépendance en température était prédite par la théorie phénoménologique deux fluides de Gorter-Casimir en 193423. Remarquons aussi que l'énergie de condensation étant proportionnelle à Hc2, elle doit suivre une dépendance en température proche de Tc en (1−t2)2.

Figure 1-20 Diagramme de phase dans le plan (H,T).

23 C.J. Gorter and H.B.G. Casimir, Physica 1 (1934) 306. C.J. Gorter and H.B.G. Casimir, Phys. Z 35 (1934) 963. C.J. Gorter and H.B.G. Casimir, Z Techn. Phys. 15 (1934) 539.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 1-24

Figure 1-21: Dépendance en température du champ critique thermodynamique pour le plomb, l'étain et l'aluminium.

Une telle dépendance en température de Hc donnée par l'Equation 1-34 est justifiée expérimentalement mais aussi par des considérations d'ordre thermodynamiques comme:

• Pour T→0, Sn→0 et Ss→0 et donc: TGS car 0T

TH2

TH

2c

0cc

∂∂

−=→−=∂∂

• Pour T=Tc, Sn=Ss. En calculant T∂∂ Equation 1-33 on a:

Equation 1-35 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

µ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=−THHV

TG

TGSS c

coSn

ns

Cette équation relie donc la pente du champ critique thermodynamique à la différence d'entropie. Comme expérimentalement il est observé que Hc(T) continûment diminue avec T (et donc que dHc/dT est toujours négatif), on en déduit que Ss < Sn et donc que la phase supraconductrice possède un plus grand degré d'ordre par rapport à la phase normale. Puis, à l'aide de l'Equation 1-34 on trouve bien que pour T=Tc on a Sn=Ss.

0 TH2)T(H2V

21

THH2V

21

c

c0cco

TT

cco

c

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−µ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

µ=

vu que Hc(Tc)=0.

• Pour T=Tc, un saut de chaleur spécifique ∆C = Cs−Cn est mesuré à Tc et on a selon Equation

1-25:

GT, Version du 27.04.2003 09:54 1-25

Equation 1-36

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

µ=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

µ∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=−=∆

2c

2

c

2c

o

cco

nsns

THH

THVT

THH2V

21

TT

TS

TSTCCC

où on retrouve une relation liant la différence de chaleur spécifique entre Cs (à champ nul) et Cn à la dépendance en température du champ critique thermodynamique. A T=Tc et en substituant Equation 1-34 on a:

Equation 1-37 2c

20c

o2c

0ccc2

c

20c

oT TH4VT

TH)T(H2

TH4VTC

cµ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−µ=∆

Cette relation est connue sous le nom de: relation Rutger. La pente du champ critique thermodynamique à Tc permet de déterminer la différence de chaleur spécifique et vice versa.

Remarquons que l'application d'un champ magnétique va modifier l'ordre du changement de phase (2ième → 1er) et donc il va y avoir cette fois une chaleur latente de transformation à la transition qui aura lieu à une température critique à Tc(Ha) inférieure à Tc(Ha=0)=Tc0. La relation de Clausius-Clapeyron (cf. Equation 1-18) dans le cas magnétique donne:

Equation 1-38 )MV(

LT1

)MV()MV(SS

dTdH ns

sn

sn

Transition

co ∆

=−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛µ− →

et la chaleur latente est donc donnée par:

Equation 1-39 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

µ−=−=THHVT)SS(TL c

cosn

On en conclut qu'en absence de champ magnétique externe la transition supraconductrice à lieu à Tc0 et Hc(T=Tc0)=0. Par contre, si ce n'est pas le cas, cette dernière apparaît à une température plus basse Tc(H) où Hc>0. Une chaleur latente de transformation est présente car entre T=0 et T=Tc0, l'entropie de l'état normal est supérieure à celle de l'état supraconducteur et donc, il faut apporter une certaine quantité de chaleur pour que la transition puisse avoir lieu.

1.5.3.3.1 Détermination de la composante électronique (Cel)s−Cel)n de la chaleur spécifique Etant donné qu'un champ magnétique peut être un outil pour faire transiter un échantillon supraconducteur à l'état normal, si l'on mesure la chaleur spécifique sous un champ magnétique appliqué tel que Ha > Hc(T) ∀ T alors on mesurera Cn(T)24. La Figure 1-22 montre dans le cas de l'aluminium la chaleur spécifique mesurée à champ nul et sous un champ Ha=300 Oe. Au dessus de Tc les deux mesures donnent des résultats identiques. Par contre en dessous de Tc, la mesure sous champ donne la composante Cn(T) alors que celle à champ nul donne Cs(T). La différence des deux nous donnera (Cel)s−(Cel)n. 24 Il faut toutefois se méfier que H ne soit pas trop grand et que l'échantillon ne présente pas des propriétés magnétiques à l'état normal "exotiques".

GT, Version du 27.04.2003 09:54 1-26

La différence d'entropie se trouve par simple intégration.

Figure 1-22: Chaleur spécifique à champ nulle et sous un champ faible de 300 Oe, mais suffisant à rendre l'état de l'échantillon d'aluminium normal.

1.5.3.4 Dépendance en température des champs critiques Hc1 et Hc2

Figure 1-23: Diagramme de phase dans le plan (H,T) d'un supraconducteur de type II.

1.6 Effet isotopique En 1950, L'effet isotopique est mis en évidence ce qui va "booster" la recherche de la compréhension théorique de la supraconductivité. La Figure 1-24 montre cet effet pour le supraconducteur Hg:

GT, Version du 27.04.2003 09:54 1-27

"l'adjonction à un échantillon de mercure naturel d'atome de même élément chimique mais ayant un nombre de neutrons différent (un autre isotope) modifie la température critique Tc. Une variation de Tc en un sur racine du nombre de masse A moyen est mis en évidence; ce qui implique directement les vibrations du réseau cristallin (les phonons) comme acteur du phénomène physique de la supraconductivité.

Equation 1-40 A

1 Tc ∝

Figure 1-24: Température critique Tc en fonction de la masse moyenne des atomes de mercure. Cette mesure met en évidence l'implication du réseau atomique (les phonons) dans le phénomène de supraconductivité. E. Maxwell, Phys. Rev. 78 (1950) 477. C.A. Reynolds et al., Phys. Rev. 78 (1950) 487.

De là, on pouvait imaginer qu'une interaction attractive entre deux électrons était possible via le réseau atomique comme le montre de façon très imagée la Figure 1-25. Un électron (N°1) se déplace dans le réseau cristallin avec comme conséquence une modification locale et temporaire de la position des ions positifs. Ainsi, un électron (N°2) qui suivrait le N°1 serait attiré par ce dernier via la modification du réseau cristallin; les phonons.

Figure 1-25: Schéma imagé d'une interaction attractive entre deux électrons via les vibrations du réseau atomique.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 1-28

2 Théorie

2.1 La théorie macroscopique de Ginzburg-Landau25

2.1.1 Introduction

L.D. Landau

La théorie microscopique de BCS (Bardeen, Schrieffer et Cooper) permet de bien décrire les propriétés des supraconducteurs homogènes, c-à-d dans des situations où les grandeurs décrivant l'état supraconducteur sont indépendantes de la position géométrique r (dans ce chapitre on notera les vecteurs en gras r). Lorsque la densité des électrons supraconducteurs ns et/ou le champ magnétique local h dépendent de r, la description microscopique devient très compliquée. En 1950, Ginzburg et Landau (G-L) ont présenté une théorie phénoménologique qui permet de décrire de telles situations. En 1960 le physicien-mathématicien russe Gorkov dérivera formellement cette théorie en partant de la théorie microscopique de John Bardeen, Leon Cooper et John Schreiffer, communément appelée BCS, démontrant ainsi que la théorie de Ginzburg-Landau, dans les limites que nous allons considérer, est une théorie "exacte" par rapport à la théorie microscopique. Cette théorie se base sur une approche thermodynamique d'un système physique subissant une transition du deuxième ordre. Lors d'une telle transition, il n'y a pas de discontinuité dans les potentiels thermodynamiques. Cela signifie que la différence d’énergie entre les deux états I et II s'annule lorsqu’on s'approche de la température de transition. Le problème consiste à exprimer la différence d'énergie fII−fI des phases II et I en fonction d'un paramètre physique que Ginzburg-Landau appelleront "paramètre d'ordre" de la transition. Ce paramètre d'ordre tendra de manière continue vers zéro lorsque la température T s'approche de la température de transition appelée température critique Tc. On peut donc formellement développer le potentiel thermodynamique en série de Taylor par rapport à ce paramètre. Pour illustrer ceci, prenons l'exemple d'une transition ferromagnétique. Nous savons qu'une telle transition est une transition du deuxième ordre. L'aimantation spontanée M, présente dans la phase ferromagnétique, disparaît au-dessus d'une certaine température critique Tc. On choisit M comme étant le paramètre physique décrivant le paramètre d'ordre.

Figure 2-1: Evolution de l'aimantation avec la température.

25 V.L. Ginzburg and L.D. Landau, Zh. Eksperim. i Teor. Tiz. 29 (1950) 1064.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-29

A la température de la transition de phase Tc, les énergies libres de Helmotz de la phase ferromagnétique et paramagnétique sont égales:

0)T(F)(TF cTTcparacferro →

→−

Au voisinage de cette température, on peut développer l'énergie libre de Helmotz en puissance de l'aimantation. Mais, en se bornant à ce développement, on oublie les contributions liées aux parois de Bloch où l'amplitude de l'aimantation reste constante mais pas son orientation. On doit alors ajouter des termes décrivant le gradient de l'aimantation pour tenir compte des énergies localisées aux parois des domaines; là où l'aimantation varie très rapidement avec la position.

Figure 2-2: Variation de l'aimantation au voisinage d'une paroi de Bloch.

( ) ( )22 3 4

ferro paraF (T,M) -F (T,0)= aM b M cM d M f M g M+ + + + + ∇ + ∇L Comme l'énergie libre du système ne doit pas dépendre de l'orientation de l'aimantation on en conclut que seuls les termes de puissance pair doivent subsister dans ce développement en série. L'énergie libre se résume alors aux termes suivants: ( )242

paraferro M g + M d + M b =(T,0)F- )M,T(F ∇+L D'une manière générale, G-L vont postuler que la thermodynamique d'une transition de phase du deuxième ordre entre une phase II et I est correctement décrite au voisinage de la température de transition par le formalisme suivant:

Equation 2-1 ( )22 4II IF (T, ) -F (T, =0) = + +

2β

φ φ α φ φ γ ∇ φ

Où φ est le paramètre d'ordre de la transition. Revenons à la supraconductivité. Nous savons que la transition est du deuxième ordre et que cette transition affecte les électrons qui vont s'appairer et se condenser dans un état formé de "paires supraconductrices". Il faut donc trouver un paramètre physique qui sera le paramètre d'ordre dans la théorie de G-L. Ce paramètre doit être nul dans l'état normal et croître continûment en dessous de la température de transition. Parmi les résultats expérimentaux, mentionnons celui de la dépendance de la densité du courant critique en fonction de la température. On observe immédiatement la similitude avec la dépendance en température de l'aimantation.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-30

Comme la densité de courant j est donnée par:

ssvn*ej = où e* est la charge électrique des porteurs, ns la densité des porteurs supraconducteurs et vs leurs vitesses, un bon choix pour le paramètre d'ordre pourrait être le nombre de porteurs.

Figure 2-3: Dépendance en température de la densité des électrons supraconducteurs.

En mécanique quantique, la densité de porteurs est donnée par la norme de la fonction d'onde décrivant l'état des porteurs. La grande intuition de G-L a été de postuler l'existence d'une fonction d'onde ψ(r) comme paramètre d'ordre de l'état supraconducteur et en conséquence de considérer que l'état supraconducteur était un état unique dans lequel on allait retrouver progressivement tous les électrons. Fin des années 1950, John Bardeen, Leon Cooper et John Schreiffer montreront la véracité de cette hypothèse en démontrant que l'état supraconducteur est un état collectif (donc unique) dans lequel vont venir progressivement se "condenser" les électrons normaux. On a:

0 )r(

0 = )r(

e )r( = )r(

)r()r(n

c

c

TT

TT

)r(i

2s

≥ψ

ψ

ψψ

ψ=

≤

≥

ϕ

∗

r

r

rr

rr

r

L'idée de base de cette théorie phénoménologique est d'écrire l'énergie libre Fs du système26 en fonction de ψ(r) et du champ magnétique local h(r) et de chercher les fonctions ψ(r) et h(r) qui minimisent Fs. On peut ainsi déterminer la dépendance en r de ns(r), h(r) et des courants j(r).

26 Ψ étant une fonction d'onde complexe, seulement la forme ΨΨ* peut entrer dans le développement en série de l'énergie.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-31

2.1.2 La densité d'énergie libre Considérons d'abord le cas sans champ magnétique. Les énergies libres Fs et Fn s’obtiennent à partir des densités volumiques d'énergie libre fs et fn comme: T)dV,(f=(T)F

Vss ∫ r

Pour simplifier, on va supposer que la densité volumique d'énergie libre normale est indépendante de r.

(T)dVf=(T)FV

nn ∫

Au voisinage de la transition supraconductrice (T≈Tc) où ψ(r) est petit, on développe fs en série de ψ(r)2 et ∇ψ(r)2:

Equation 2-2 242

ns )r( + + )r(2

+ )r( + f = )r(fr

Lrrr

ψ∇γψβ

ψα

Cette relation est similaire à l'Equation 2-1. Il reste à identifier le terme ∇ψ(r). En mécanique quantique, une particule est décrite par sa fonction d'onde ikr

o(r) eψ = ψrrr . Si l'on applique l'opérateur gradient

à cette fonction d'onde, on obtient l'impulsion p de l'état ψ(r). ( i )− ∇h )r(p)r()k(ekiei)r(i rki

o2rki

o

rrrvh

rhh

rh

rrrr

ψ=ψ=ψ−=ψ∇−=ψ∇−

En posant m2

2h=γ , le terme γ∇ψ(r)2 de L'Equation 2-2 peut s'identifier à la contribution cinétique

*m2p2

des électrons supraconducteurs.:

Equation 2-3 2

242

ns )r( *2m

+ + )r(2

+ )r( + f = )r(frh

Lrrr

ψ∇ψβ

ψα

En présence d'un champ magnétique, on doit modifier la contribution cinétique de l'Equation 2-3 en introduisant l'opérateur d'impulsion généralisée:

ie* A∇ → ∇ −rr r

h et donc ( ) A = h avec )r(A*eip o

rrvrvh

v×∇µ−∇−=

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-32

et en introduisant un terme lié à l'énergie du champ local )r(h 21 2

o

rrµ on a:

( ) 22 42s no o

1 1f (r) = f + h (r)+ (r) + (r) + + i e A(r) (r) 2 2 2m

∗∗

βµ α ψ ψ − ∇ − ψ

r rrr r r r rL h

r

où fno est la densité d'énergie libre de l'état normal en l'absence d'un champ magnétique. L'expérience montre que e*=2e, ce qui reflète l'existence des paires d'électrons appairés appelés paires de Cooper. Suivant la tradition, nous prenons m*=m=2mo; mo étant masse de l'électron. Cette dernière normalisation n'a cependant pas d'importance pour les résultats des prédictions, contrairement au cas de la charge où il est essentiel de prendre e*=2e. En résumé, nous pouvons écrire la densité d'énergie libre comme:

Equation 2-4 )r(h21 + )ru( + f = )r(f 2

onos

rrrµ

où u(r) est la densité d'énergie dite de condensation et ))(h( 2

o21 rµ la densité d'énergie du champ

magnétique local h(r).

242 )r(Ae)r(i

*2m1 + + )r(

2 + )r( = )r(u

rrrrhL

rrr ∗−ψ∇−ψβ

ψα

Considérons d'abord le cas homogène (∇ψ = 0) et sans champ magnétique (h = 0). Dans ce cas, ψ est une constante et la densité d'énergie libre supraconductrice fs(r) est donnée par:

(r)2

+ (r) + f = )r(f 42ns ψ

βψα

On cherche une valeur de ψ qui minimise la densité volumique d'énergie libre fs. Pour avoir ψo≠∞ il faut que β>0. Dans la Figure 2-4, nous portons fs-fn dans les cas où α>0 et α<0; β étant toujours positif.

α>0α>0α=0α<0α<0α<0

Ψ

Ψ0

Fs−Fn

Figure 2-4: Energie libre de G-L pour T>Tc (α > 0), T=Tc (α = 0) et T<Tc (α < 0); β > 0.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-33

Nous constatons immédiatement que ψo = 0 lorsque α > 0 et que pour α < 0, ψo ≠ 0. Comme l'état normal est identifié à ψo = 0 et l'état supraconducteur à ψo ≠ 0, nous trouvons que: α (T = Tc) = 0 α (T > Tc ) > 0 α (T < Tc ) < 0 Ainsi, proche de Tc on peut développer α en série de (T−Tc): α(T) = α(Tc) + α'(T−Tc) + . . d'où α(T) = α' (T−Tc). En l'absence de champ magnétique, la densité d'énergie libre fs n'est pas une fonction explicite de la position r mais plutôt une fonction implicite de r via le paramètre d'ordre ψ(r). Ainsi, la détermination du paramètre d'ordre ψo se fera en minimisant l'énergie libre fs par rapport à ψ.

0 = + 0ddf 2

0

0

s ψβα⇒=ψ=ψψ

On obtient alors:

βα

−ψ = 20

L'énergie de condensation u0, correspondante à ψ0, définie comme étant fs−fn s'écrit donc:

βα

−β

βαβ

α−=ψ

βψα

2 =

2 +

2 + = u

2

2

224

02

00

On peut alors définir un champ critique thermodynamique Bc=µoHc en posant:

Equation 2-5 β

α−µ

2 = u = H

21 2

02c0

βµα

−

βµα

oc

0

22c

= H

= H

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-34

Figure 2-5: Champ magnétique thermodynamique Bc(T) proche de Tc.

Proche de Tc, on observe expérimentalement que Bc(T) varie comme (T−Tc). Comme α varie aussi comme (T−Tc) on en déduit que la fonction β(T) ne dépend pas de la température au voisinage Tc.

β ≠ β(T) pour T ≅ Tc La théorie de G-L est, d'un point de vue strict, valable seulement proche de Tc. Avec la dépendance en température de α, nous obtenons la contribution dominante des dépendances en température de différentes grandeurs (comme Hc) proches de Tc. Il faut toutefois noter que pour de nombreuses propriétés, la théorie donne semi-quantitativement la bonne réponse sur un plus grand intervalle de température. Remarque: En toute rigueur, il faudrait introduire l'énergie libre de Gibbs. Pour ceci, il faut transformer f(T,M) en g(T,H) où H est le champ externe appliqué au supraconducteur (B est le champ interne dans le supraconducteur: B=µo(H+M)). Comme nous l'avons écrit pour la densité d'énergie f=f(T,B), nous devons d'abord soustraire l'énergie du champ extérieur pour obtenir f(T,M) :

Equation 2-6 20H2

1 B)f(T, = )M,T(f µ−

avec µoh=B=µo(H+M) et: H + HB f = HM f = g 2

00 µ−µ− On peut alors écrire (Equation 2-4 dans Equation 2-6):

( )2

ooo

n

2o

2oo

2ons

Hh2

1uf

H21HhHh

21ufg

µ−µµ

++=

µ−µ+µ−µ++=

Notre problème consiste à trouver le champ extérieur H=Hc pour lequel gs(T,Hc)=gn(T,Hc)≡gn(T) car on peut négliger la très petite aimantation de l'état normal. Ainsi on peut écrire:

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-35

nn

200ns

f = g

H21 + u + f = g µ

On observe qu'à Hc, gn et gs n'ont pas les mêmes pentes ce qui signifie que la transition est du premier ordre. A la transition nous avons ∆g= gs−gn =0 ce qui conduit au résultat obtenu précédemment (Equation 2-5).

Hc

gs(H=0)

gn

Ener

gie

libre

de

Gib

bs

Champ magnétique H

Figure 2-6: Energie de Gibbs en fonction du champ magnétique.

2.1.3 Les équations de Ginzburg-Landau L'énergie libre du système s'obtient en intégrant la densité volumique d'énergie libre sur le volume du supraconducteur V.

( ) dV)r()r(A*ei*m2

1)r(2

)r()r(h2

fdV)r(fFV

2422ono

Vss ∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ−∇−+Ψ

β+Ψα+

µ+==

rrrrh

rrrrr

L'hypothèse de base de la théorie G-L est que les courants j(r), le champ local h(r) et le paramètre d'ordre ψ(r) s'ajustent en chaque point pour minimiser l'énergie Fs. De fait, il existe des relations entre le super-courant j(r) et le champ interne h(r) et le potentiel vecteur A(r):

)r(B = )r(A

)r(B = )r(h

)r(j = )r(h

0rrrr

rrrr

rrrr

×∇

µ

×∇

Il ne reste donc que deux variables indépendantes: ψ(r) et A(r). En appliquant les principes du calcul variationnel, il est possible de dériver les équations permettant de déterminer ψ(r), h(r) (et ainsi j(r)). Plus précisément, en calculant la variation de Fs par rapport à ψ* (complexe conjugué de ψ) et A, nous allons obtenir deux équations: les équations dites de G-L. Le calcul conduisant à l'obtention de ces deux équations est donné en détail dans l'Appendice I.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-36

La variation par rapport à ψ(r) donne la première équation de G-L:

Equation 2-7 0)r())r(A*ei(*m2

1)r()r(+)r( 22=ψ−∇−+ψψβαψ

rrrrh

rr

ou en se rappelant que m*=2m et e*=2e (e=1.602 10-19 As):

Equation 2-8 0)r())r(Ae2i(m41)r()r(+)r( 22

=ψ−∇−+ψψβαψrrrr

hrr

tandis que la variation par rapport au potentiel vecteur A(r) donne la deuxième équation de G-L:

Equation 2-9 ( ) )r(A)r(m

4e )r()r(*)r(*)r(mei=)r(j 2

2 rrrrrrrrrhrrψ−ψ∇ψ−ψ∇ψ

Considérons le cas où l'amplitude de la fonction d'onde est constante; c-à-d ψ(r)=ψo eiϕ(r). L'expression pour le courant devient:

2ee* et n vn*e

v 2e mp e2) )r(Ae2 )r( (

me2

)r(A m

4e )r( m

2e = )r(j

20sss

s2

0

s20

202

0

22

0

=ψ≡⇒≡

ψ≡

ψ=−ϕ∇ψ

=ψ−ϕ∇ψ

r

v

vrrrr

hrrrrhrr

Le courant supraconducteur est donc relié à la variation de la phase ϕ de la fonction d'onde. Ceci sera primordial pour la compréhension des SQUIDs basés sur l'effet Josephson.

2.1.4 Longueur de pénétration magnétique λ La deuxième équation de G-L établit une relation entre le courant, ψ(r) et A(r). Dans le cas d'un supraconducteur homogène caractérisé par ψ=ψο=cte (∇ψ=0), nous obtenons une relation simple entre le courant et le potentiel vecteur:

)r(A m

4e =)r(j 2o

2 rrrrψ−

et en posant:

Equation 2-10 )(A1)(j 2L

0 rrrr

λ−=µ

on définit une longueur caractéristique appelée longueur de pénétration magnétique de London λL introduite en 1935 par les frères London (Fritz et Heinz) pour décrire l'état Meissner par l'intermédiaire

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-37

des deux fameuses équations de London qui relient le champ électrique E et l'induction magnétique B à la densité de courant j:

jdtd E 2

Lo

rvλµ=

j B 2Lo

rrr×∇λµ−=

La deuxième équation de London découle simplement de la définition du potentiel vecteur A et en insérant l’Equation 2-10:

j B AB 2Lo

rrrrrr×∇λµ−=→×∇≡

La première équation se dérive facilement à laide de l’Equation 2-10 en tenant compte de l'équation de Maxwell.

0tA E 0

tB E =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+×∇→=∂∂

+×∇r

rrr

rr

Figure 2-7: Décroissance des courants d'écrantage et du champ magnétique dans la phase supraconductrice.

αµβ

−ψµ

λ e 4

m = e 4

m = 20

2200

2L

Puisque nous connaissons la dépendance en température de α et β proche de Tc, on peut prédire celle de λL. On a:

T T1

cL −

÷λ

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-38

Tc

Lon

gueu

r de

péné

trat

ion

Température

Figure 2-8: Dépendance en température de la longueur de pénétration.

2.1.5 La distance de cohérence Considérons le cas où le paramètre d'ordre n'est pas une constante; cas qui se produit e.g. à un certain endroit où le supraconducteur contient une impureté qui n'est pas supraconductrice. On a loin de cette dernière:

0dxd

)x(

x

ox

±∞→

±∞→

→Ψ

Ψ→Ψ

ψο

ψ(x)

x

?

0

Figure 2-9: Variation du paramètre d'ordre au voisinage d'une impureté.

La question qui se pose est de savoir comment le supraconducteur va adapter le paramètre d'ordre pour satisfaire la condition ψ(0)=0 et quelle sera l'extension spatiale de cette perturbation. Nous allons nous limiter pour le moment au cas où A=0 et j=0 et en ne considérant que le problème à une dimension. Dans ce cas, la première équation de G-L donne:

0)x( m2

)x((x)+(x) 22

2=ψ∇−ψψβαψ

h

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-39

Comme A = h 0 = A o

rrrr×∇µ⇒

et donc 0 =j = h

rrr×∇

On obtient φ=cte≡0 et donc ψ est une fonction réelle. Calculons une nouvelle fonction f(x) définie comme étant le rapport de la fonction d'onde perturbée et de celle loin du défaut. Soit:

0

(x) = )x(fψ

ψ

et introduisons la dans la première équation de G-L avec: βα

−ψ = 20

0)x(m2

(x) (x) 22

30

320

0

=ψ∇α

−ψ

ψψ

αβ

+ψ

ψ h

Equation 2-11 0 = f 2m

f f 22

3 ∇α

−−h

Définissons une longueur caractéristique que nous appellerons longueur de cohérence de G-L:

α

−=ξ2m

2

2 h

et l'Equation 2-7 devient:

Equation 2-12 0 = f + f f 223 ∇ξ−

Nous voyons ici que la dépendance de f en x ne dépend que d'un seul paramètre: la distance de cohérence ξ. De manière générale, ceci veut dire que les changements sur f se feront sur une distance ξ. Pour obtenir la solution, il faut un peu manipuler l'Equation 2-8 pour la mettre sous la forme:

0f41f

21

2'f

dxd 42

22

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

ξ−

on en conclut que la quantité dans les crochets est une constante. Loin de l'impureté f'=0 et f2=1:

( )41ctef

41f

21'f 4222 −==+−ξ−

Donc on a: ( ) ( )2222 f121'f −=ξ

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-40

qui a pour solution ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ξ=

2xtanhf et donc:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ξ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β

α=Ψ

2xtanh)x(

2/1

où l'on voit que ξ représente la distance sur laquelle le paramètre d'ordre Ψ varie suite à une perturbation. Comme α(t)= α'(t−1) on a:

( ) ( ) 2/12/12

2/12

t1 '*m21t '*m2

)T( −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−α=ξ

hhoù t=T/Tc est la température réduite.

Tc

Lon

gueu

r de

cohé

renc

e

Température Figure 2-10: Dépendance en température de ξ.

Cette équation signifie que ξ(T) diverge comme 1/(Tc−T)1/2; qui est une propriété générale d'une transition de deuxième ordre traitée en théorie "champ moyen". Donc, si le paramètre d'ordre est réduit localement, ψ(x) se rétablit à sa valeur non perturbée ψo sur une distance ξ. Nous constatons que, tout comme la longueur de pénétration λL, ξ(T) diverge en 1/(1−T/Tc)1/2. Ayant maintenant trouvé des expressions pour les deux longueurs caractéristiques d'un supraconducteur ξ et λL, il est intéressant de remarquer que le champ critique thermodynamique Hc(T) peut être exprimé en fonction de ces deux grandeurs. En se rappelant que:

2 22 2

c L 2 20 0o o

m mH = = , = = et = = 4 e 4 e 2m 2m

αα β β− λ − ξ −

µ α µ α αµ β µ βh h

α

on peut exprimer α et β en fonction de λ L et ξ:

2 22 2

0 L2 2

2 e = et = 2m m

µ2

λα β

ξ ξhh

En insérant maintenant ces deux expressions dans celle de Hc on obtient:

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-41

L0L

220

2

2

2

0 c 2

1 e2

1 = e2

m m2

1 = Hλξµλ

ξµξµ

h

h

h

définissons le quantum de flux φo:

215-0 Tesla.m 102

2eh = ⋅≅φ

Nous obtenons:

L

0

0 c 2 2

1 = (T)Hλξπ

φµ

Exemple: pour le composé supraconducteur PbMo6S8 on trouve λ L(0)≈3400 Å et ξ(0)≈24 Å, le champ critique vaut alors µoHc≈0.4 Tesla.

2.1.6 Paramètre de Ginzburg-Landau κ Le paramètre de G-L κ est défini comme le rapport de λL avec ξ. Il est indépendant de la température étant donné que cette théorie prédit que et λL et ξ diverge comme 1/(1−T/Tc)1/2.

2/1

o

L

2em

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µβ

=ξ

λ≡κ

h

Comme nous le verrons plus loin, ce paramètre est essentiel pour différencier les supraconducteurs de type I ou type II.

2.1.7 Courant critique d'un fil mince Dans les deux derniers paragraphes, nous allons étudier deux exemples, simples et importants, d'application des équations de G-L. Le premier exemple concerne le problème du courant critique dans un fil mince. Par fil mince on considère la situation où l'épaisseur du fil d est petite par rapport à ξ (d<<ξ). Dans ce cas |ψ|=cte. Nous pouvons alors écrire:

j = )r( ψψ⇒ψ≠ψr

ψj étant l'amplitude de la fonction d'onde perturbée par le courant j qui s'écrit:

)r(ij e = )r(

rr ϕψψ le courant devient:

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-42

( ) )r(v 2e = )r(A2e )r(m2e = )r(j s

2j

2j

rrrrrrh

rψψ−ϕ∇

avec:

)r(Am2e )r(

m = )r(vs

rrrrhrr−ϕ∇

Dans ce cas, la première équation de G-L s'écrit:

0 = )r(mv

21+

0)r())r(Ae2i(m21)r(+)r(

2s

2j

22j

r

rrrrh

r

+ψβα

=ψ−∇−+ψψβαψ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡αβ

α−=

β

−α−ψ

2mv +1

mv21

= 2s

2s2

j

en se rappelant que:

=

2m =

2o

22

βα

−ψ

αξ

h

Rappel: ψο est l'amplitude de la fonction d'onde sans courant. on a:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ξ

−ψ−=ψ mv 1 2

s20

2j

h

Ce qui signifie que lorsque le courant j augmente, et donc vs, le paramètre d'ordre ψj diminue. D'autre part, le courant j s'écrit:

)r(v mv 1 2e

)r(v 2e = )r(j

s

2s2

0

s2

r

h

rrr

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ξ

−ψ=

ψ

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-43

0

1

(ψ/ψ

ο)2

vs

Cou

rant

j

vs

Figure 2-11: Variation de 2ψ et de la densité du courant j avec la vitesse vs.

Le courant maximum que peut supporter le supraconducteur est donné par le maximum de j en fonction de vs. On peut alors définir une vitesse critique vsc:

3m 2

= v 0 = mv 2

mv 1 0 = j= jv

j 2sc

2sc

2sc

cs

α⇒

α−

α−⇒

∂∂

Le courant critique s'écrit:

3m 2

32 e 2 = j 2

0c

αψ

Equation 2-13 23

c

cc23

c TT 1

)T()T(H0.54

)T()T(H

32 = (T)j ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−÷

λ≅

λ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Il est intéressant de comparer ce résultat avec une simple estimation de jc en supposant que le courant critique correspond au courant pour lequel l'énergie cinétique est égale à l'énergie de condensation.

)T()T(H = j H

men4 = j H = n

enj m

v2en = j et H2

= nmv21

cc

2c

2

s02c

2c0s

2

s

c

csc2c

0s

2c

λ⇒

λ

µ⇒µ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

µ

−

43421

Le résultat plus exact des équations G-L donne une valeur plus faible pour jc parce qu'il tient compte de la réduction de ψ par le courant. Notons que l’Equation 2-13 représente, pour un supraconducteur réel, une valeur idéale ou maximale. Prenons comme exemple numérique des valeurs caractéristiques du composé YBa2Cu3O7 (YBCO) avec µoHc ≈1 Tesla et λ≈1500 Å.

28212c A/cm103 = A/m103 j ××≅

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-44

2.1.8 Champ critique parallèle d'une couche mince Nous considérons ici le cas où l'épaisseur d d'une couche est beaucoup plus petite que les deux grandeurs critiques du supraconducteur, i.e. d << ξ et d << λ. Dans ce cas nous pouvons admettre que ψ est constant à travers la couche et le champ magnétique h(r) à l'intérieur est essentiellement constant et égal au champ extérieur H, comme illustré dans la Figure 2-12.

h(x) h(x)d ≅ λ d « λ

Figure 2-12: Pénétration du champ magnétique (parallèle) à l'intérieur d'une couche mince.

Dans ce cas, le mécanisme qui conduit au champ critique Hc d'un supraconducteur de type I n'intervient pas, mais le paramètre d'ordre ψ dépendra du champ et tendra vers zéro lorsque le champ H deviendra suffisamment grand. Pour calculer cette limite, c-à-d le champ critique parallèle Hc//, nous supposons que h(r)=const=(0,0,H) et donc que A=(0,µoHx;0). Comme d << ξ et que ψ ne peut varier que sur une distance de l'ordre de x cela signifie que: comme ψ(r)=const:

0)r(avec )r(Ame2)r(

mi = vs =ϕ∇⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −ϕ∇

− rrrrrrhr

et on a:

( )0,1,0m

Hx2e = )r(Ame2 = v 0

sµrrr

Nous devons calculer l'énergie libre dans l'état supraconducteur par unité de surface S

sF :

∫ ∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

+

−S

2/d

2/dV

dSfdxfdVF

∫+

−

=∂∂

=2/d

2/d

Ss fdx

SFF

et l'énergie libre par unité de surface de la couche s'écrit comme: S

sF

∫+

− ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

µ+Ψ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ µ

+Ψβ

+Ψα=2/d

2/d

2o

22

o42Ss dxH

21

mHxe2m

21

2F

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-45

2/d

2/d

2o

32

2o42 xH

21

3x

mHe2m

21x

2x

+

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

µ+Ψ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ µ

+Ψβ

+Ψα=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

µ+Ψ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ µ

+Ψβ

+Ψα= 2o

22

o42 H21

mHde2m

241

2d

Cherchons une valeur de ψ0(H) qui minimalise : S

sF

0)H(m

Hdem62)H(2)H(2 0F

0

2o3

00)H(o

=ψ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ µ

+Ψβ+Ψα⇒=Ψ∂

∂

Ψ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

αµ

+βα

−=ψ⇒m6

dHe1)H( 2222

o20

En se rappelant que 2

222

2 = m

2m =

ξ−α⇒

α−ξ

hh il vient:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ξµ

−ψψ 2

2222202

020 6

2dHe1 = (H)h

Le champ critique Hc// sera donc défini comme la champ externe qui annule )H(0ψ . Lorsque H→Hc,// on aura:

1 = 3

dHe2

222

//c22

0

h

ξµ ξµ

⇒ed3 = H

0//c

h

On peut finalement exprimer cette dernière expression avec les quantités Hc et λ

d

H 24 = H c//cλ

Une couche mince d'une substance avec µoHc≈1 Tesla et λ=150 nm ayant une épaisseur de 1.5 nm (≈1 couche atomique de YBCO) possèderait un champ critique µoHc// de 500 Tesla.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-46

2.2 Supraconducteur de type II

2.2.1 Energie libre d'interface métal normal/supra Nous savons déjà que les supraconducteurs se classent en deux catégories distinctes; les supraconducteurs de type I et de type II. Dans ce paragraphe, nous allons nous intéresser aux critères qui permettent de déterminer à quelle catégorie appartient un certain supraconducteur. Pour illustrer ceci, prenons le cas du plomb (Pb) et de l'alliage Pb1-xInx; le Pb est un supraconducteur de type I alors que l'alliage devient de type II lorsque x>0.02.

0

100

200

300

400

500

600

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

X=0X=0.02X=0.08X=0.2

AIM

AN

TA

TIO

N -M

(Gau

ss)

µoH (Gauss)

Figure 2-13: Aimantation du Pb1-xInx à T=4.2 K en fonction du champ magnétique.

Dans cet exemple, ni la température critique Tc, ni la densité d'électrons ns, ne varient de manière appréciable lorsque x augmente. Par contre, c'est le libre parcours moyen l dans l'état normal (c.à.d. la résistance électrique dans l'état normal) qui subit un changement important. Pour tenter d'expliquer pourquoi cette résistance dans l'état normal intervient dans la détermination du type de supraconducteur, considérerons l'interface entre un métal normal et un supraconducteur. On applique un champ magnétique parallèlement à cette interface. On sait que le champ magnétique pénètre sur une distance λ à l'intérieur du supraconducteur. Nous supposons que |ψ(x)|=0 partout dans le métal normal et que |ψ(x)|→0 lorsque x→0+. Remarquons que cette hypothèse n'est généralement pas vérifiée car on observe normalement une faible supraconductivité induite dans l'état normal, c-à-d |ψ(x)|>0 pour x<0. Cet effet est appelé effet de proximité. Il n'a toutefois pas d'importance pour les discussions qualitatives de ce paragraphe. Il faut cependant noter qu'il existe des cas, par exemple lorsque le métal normal contient des atomes magnétiques, où notre hypothèse est très bien vérifiée. Comme nous l'avons calculé au paragraphe 2.1.5, le paramètre d'ordre ψ varie sur une distance caractéristique ξ, i.e. la supraconductivité est rétablie seulement au delà de cette distance. Le supraconducteur perd donc une partie de son énergie de condensation puisque les électrons proches de l'interface seront dans l'état normal. Par contre, la pénétration du champ magnétique dans le supraconducteur évite que ce dernier consacre beaucoup d'énergie pour l'expulser comme illustré sur la Figure 2-14

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-47

x

ξ λ

Etat normal Etat supraconducteur

Figure 2-14: Variation qualitative de ψ (ligne discontinue) et h (ligne pleine) à l'interface métal normal-supraconducteur.

Essayons d'évaluer la contribution de chacun de ces termes. Commençons par la contribution magnétique. On sait que le champ magnétique pénètre dans le supraconducteur sur une distance typique de λ en suivant approximativement une loi exponentielle:

λ−

=x

oeH)x(H L'énergie gagnée sera donc donnée dans un calcul à 1 dimension:

λµ

−=λ

−µ

−=µ

−=µ

−≈∆ ∫∫∫∞∞∞

S4Hdx)x2exp(S

2HdxHS

2dVH

2 )H(G

2oo

o

2oo

o

2o

o

2oSm

D'autre part, le supraconducteur augmente l'énergie libre de Gibbs dans la région x< ξ par la perte d'énergie de condensation puisque |ψ(x)| < |ψo|. La variation de l'énergie de Gibbs Gc due à cette contribution peut s'écrire comme: s int erface sans int erface

c cg u u nE n E∆ = − = − s c

où ns est le nombre de paires de Cooper et Ec le gain en énergie pour chaque paire. A cause de l'interface, il y aura un nombre de paires de Cooper n inférieur à ns et donc une perte en énergie de condensation. L'énergie Ec peut facilement s'exprimer à l’aide du champ thermodynamique Hc:

s

2co

ccs2co n

H21

E EnH21)r(u

µ−=⇒=µ−=

2

s 2c o c

s 0

n 1 (r) 1g 1 H 1 Hn 2 2

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ⎜ ⎟∆ = − µ = − µ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Ψ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2o c

2

s 2 2c o c o c

s 00 0

1 n 1 (x)G H 1 dV H S 12 n 2

∞ ∞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ⎜ ⎟∆ ≈ µ − = µ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Ψ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ dx

comme le rapport 0

(x) 2xtanh⎛ ⎞⎛ ⎞Ψ

= ⎜⎜ ⎟ ⎜Ψ ξ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟⎟ on obtient

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-48

2 x 2 x 2 x

2 x 2 x x 0

(x) 2 e 2 e1 e2

e e

− −ξ ξ −

ξ

≤ξ+ −ξ ξ

⎛ ⎞Ψ− = → =⎜ ⎟Ψ⎝ ⎠

+

On va également remplacer le terme 2

0

(x)1⎛ ⎞Ψ

− ⎜ ⎟Ψ⎝ ⎠ par

2

0

(x)1⎡ ⎤⎛ ⎞Ψ

−⎢ ⎥⎜ ⎟Ψ⎝ ⎠⎣ ⎦ceci pour rendre ce calcul

qualitatif plus aisé

2s 2c o c

00

2 2 2x2 2

o c o c o c00 0

1 (x)G H S 1 dx2

1 (x) 1 1H S 1 dx H S e dx H S2 2 2 2 2

∞

∞ ∞ −ξ

⎛ ⎞⎛ ⎞Ψ⎜ ⎟∆ = µ − ⎜ ⎟⎜ ⎟Ψ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞Ψ ξ⎜ ⎟≈ µ − µ = µ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ψ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

∫ ∫ 2

Donc, par rapport au cas du supraconducteur homogène, l'énergie libre de Gibbs par unité de surface dans la région de l'interface (x ≥ 0) change de:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−λ

ξλ

µ+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

λ−ξµ

+=

ξµ+λ

µ−=

∆+∆=∆

1 2

SH4

2SH

4

2SH

4SH

4

G)H(G)H(G

2c

o

2c

o

2c

o2c

o

Scc

Smc

S

On constate que suivant le rapport de ξ/λ, le supraconducteur peut abaisser son énergie avant que H n'atteigne Hc. Ceci nous permet de prédire deux comportements différents des supraconducteurs suivant le rapport de ξ/λ. Pour une valeur 2 / <λξ , cette énergie est négative. Il est donc énergétiquement favorable pour le supraconducteur de posséder un maximum d'interfaces. Ceci est réalisé par l'introduction de lignes de flux appelées vortex; une ligne de flux est, comme nous allons en discuter plus en détail dans le paragraphe 2.2.4, une ligne parallèle au champ où ψ=0 et autour de laquelle circulent des courants tels que le champ est maximal sur la ligne ψ=0. Avec l'introduction d'une ligne de flux, le supraconducteur réalise une interface autour de la ligne ψ = 0, mais sans introduire une région normale étendue. Le critère pour avoir un supraconducteur de type I ou II est donc:

Equation 2-14

II type de cteursupracondu 21

I type de cteursupracondu 21

⇒>ξλ

=κ

⇒≤ξλ

=κ

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-49

Remarque: Avec notre estimation, nous ne pouvons pas déterminer exactement les différences d'énergies . Ce qui signifie que le critère numérique donné en l’Equation 2-14 ne peut pas, en principe, être déterminé par notre argumentation qualitative. Cependant un calcul exact de h(r), φ(r) et de G montre qu'effectivement ce critère est la relation correcte qui délimite les deux types de supraconducteurs.

S Sm cG et G ∆ ∆

Figure 2-15: Evaluation graphique du coût en énergie d'une interface normale pour un supra type I (gauche) et type II

(droite).

2.2.2 Le champ critique Hc2 Dans un supraconducteur de type II, l'expérience montre que la transition de l'état supraconducteur vers l'état normal en fonction du champ magnétique est une transition du deuxième ordre. Ainsi lorsque H→Hc2 on aura ψ(r)→0; ce qui permet d'utiliser la théorie de G-L pour modéliser cette transition. De plus, lorsque H → Hc2 on observe expérimentalement que:

h(r) → H M(H) → 0 en négligeant toujours la faible aimantation de l'état normal. Le champ critique Hc2 est défini comme le champ le plus élevé qui permet une solution non triviale des équations G-L. Comme ψ→0, nous négligeons le terme non linéaire de la première équation de G-L (Equation 2-7). Nous cherchons donc le plus haut champ permettant une solution non triviale de:

Equation 2-15 0)r())r(Ae2i(m21+)r( 2 =ψ−∇−αψ

rrrrh

r

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-50

et la solution est:

Equation 2-16 20

2co 2 = H

πξφ

µ

La dérivation de la solution de cette équation est donnée dans l'appendice II. Son obtention fait appel au traitement de l'oscillateur harmonique quantique. Néanmoins, la solution possède une interprétation triviale que nous développons ci-dessous. Le résultat (Equation 2-16) peut être interprété de la manière suivante: lorsqu'on augmente le champ magnétique dans un supraconducteur, la densité des lignes de flux augmente. Ce processus arrive à un terme quand les cœurs des vortex (régions où ψ tend vers zéro; c-à-d des régions quasi normales) recouvrent toute la surface du supraconducteur. Comme chaque vortex porte un quantum de flux φo, on imagine que l'état supraconducteur disparaîtra lorsque la surface S total du supra est remplie de cœurs de vortex contenant un quantum de flux. Le nombre n de quantum de flux est donné par:

H~Hc2H«H c2

2ξ diamètre du coeur du vortex

φο

Figure 2-16: Lorsqu’on approche Hc2 les vortex se "touchent".

2ootot

2co

otot

2o

Sn

SH :magnétique Champ

n :total Flux

S n : quanta de Nombre

πξφ

=φ

=φ

=µ

φ=φπξ

=φ

Ce résultat diffère "seulement" d'un facteur ½ du résultat exacte.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-51

2.2.3 Champ critique d'un supraconducteur anisotrope - Modèle des masses effectives

Considérons un supraconducteur qui possède une structure cristallographique en couches (structure lamellaire) comme les supraconducteurs à haute température critique; e.g. le composé YBCO.

bonne conduction dans le plan ρ// petit

mauvaise conduction dans perpendiculaireau plan : ρ⊥ grandx

y

z

Figure 2-17: Structure schématique d'un conducteur anisotrope.

Cette structure en couches va conduire à un faible recouvrement des fonctions d'onde des électrons de conduction entre les différents plans de la structure. En conséquence, la structure électronique aura seulement une faible dispersion dans la direction perpendiculaire aux couches comparées à la direction dans le plan. En d'autres termes, la masse effective perpendiculaire aux couches m ⊥ est beaucoup plus grande que celle parallèle aux couches m//. Ceci conduit à une anisotropie de la résistance électrique puisque:

τ÷ρ

nem

n étant la densité de porteur de charge et τ le temps moyen entre deux collisions. Dans le cas anisotrope à 3 dimensions, on peut en toute généralité introduire un tenseur de masse effective:

[ ]x

y

z

m 0 0m 0 m 0

0 0 m

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Nous pouvons inclure l'anisotropie dans le terme cinétique de l’énergie libre qui s’écrit:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) dV)rrA*ez

im21 rrA*e

yi

m21

rrA*ex

im21...r

2rrh

2f(rF

2

zz

2

yy

2

xx

422onos

vvh

vvh

vvh

vvvrv

ψ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

−+ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

−+

ψ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

−++ψβ

+ψ+α+µ

+= ∫

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-52

On effectue un calcul identique à celui fait précédemment pour le cas isotrope. On obtient alors une première équation de G-L qui changera uniquement pour la partie cinétique de cette équation.

0)r())r(eA2z

i(m21

)r())r(eA2y

i(m21

)r())r(eA2x

i(m21 + )r()r()r(

2z

z

2y

y

2x

x

2

=ψ−∂∂

−+

ψ−∂∂

−+

ψ−∂∂

−ψψβ+αψ

rrh

rrh

rrh

rrr

On peut résoudre cette équation d’une manière similaire à ce que l’on a fait dans le cas isotrope en négligeant le terme cubique en ψ. On peut alors deviner la solution:

αξ

2m = h et définir trois longueurs de cohérence ξx, ξy et ξz.

Le champ critique sera donc fonction des deux longueurs de cohérence situées dans le plan perpendiculaire au champ magnétique extérieur.

yx

02co 2

= H z ξπξφ

µ

πξxξy représente la surface de l'ellipse formée par le vortex dans le plan perpendiculaire au champ magnétique. Suivant le même raisonnement on peut deviner que les champs critiques dans les deux autres directions seront:

x y

0 0o c2 o c2

y z x z

H = et H = 2 2

φ φµ µ

πξ ξ πξ ξ

Dans le cas des supraconducteurs à hautes températures critiques, la structure en couche permet en première approximation de négliger l’anisotropie dans le plan xy et donc d’écrire:

x y a z et ξ ≅ ξ = ξ ξ = ξc

⊥⊥

⊥

ξπξφ

=ξπξ

φ=µ=µ

πξφ

=πξφ

=µ=µ

//

o

ca

oc2co//2co

2//

o2a

oc//2co2co

22HH

22HH

r

r

a

ac

Figure 2-18: Structure en couche d'un supraconducteur anisotrope.

Ces résultats ont une interprétation simple: quand H // z, ce sont les courants (c-à-d l'énergie cinétique) dans le plan (a, a) qui interviennent et ainsi la masse perpendiculaire aux couches n'intervient pas dans

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-53

la détermination de Hc2. Par contre quand H // x (ou H // y) le courant circule dans un plan contenant y et z ce qui explique que deux masses effectives distinctes interviennent dans le résultat du champ critique. Considérons maintenant le cas général où le champ H fait un angle θ avec l'axe z suite à une rotation autour de l’axe x.

y

x

z

θ

ξ(θ)

plan ⊥ x

θ

H

Figure 2-19: Configuration d'application du champ magnétique.

Dans ce cas le champ critique sera donné par:

)(2

)(Ha

o2co θξπξ

φ=θµ

Il faut donc calculer ξ(θ) sachant que H est toujours ⊥ à x. Introduisons l'ellipsoïde d’énergie E(k):

z

2z

y

2y

x

2x

m2k

m2k

m2k)k(E hhhv

++=

Nous avons une ellipse avec pour axes principaux zyx m et m ,m . Le calcul s'effectue sans

difficulté en introduisant les relations pour les ellipses:

y

mz =1ξz

my =1ξy

m(θ) =1ξ(θ)

Figure 2-20: Ellipsoïde des masses effectives.

2222

22

222

222

2

2

2

222

2222

a)cossinba(

b)cosabcos1(

ab1

abae

b)cos1(

=θ+θρ⇒

=θ+θ−ρ⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=−

=

=θε−ρ

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-54

et en faisant la substitution:

c

a////

22

11mb

11ma

1)(

ξ=

ξ==

ξ=

ξ==

ρ=θξ

⊥⊥

puis en introduisant le rapport d'anisotropie ε:

c

a//

//mm

ξξ

=ξξ

==ε⊥

⊥

on obtient l'expression suivante: θε+θξ=θξ 222

c cossin)( ce qui permet de définir une anisotropie ε(θ) comme: θ+θε=θε 222 cossin)( Dans le cadre de ce modèle des masses effectives, le champ critique varie comme:

Equation 2-17 )(2

)(H 2a

o2co θεπξ

φ=θµ

c

a

a

c

2c

2c

2c

//2c

mm

HH

HH

c

a =ξξ

==⊥

Par exemple, des mesures de Hc2 sur le supraconducteur YBa2Cu3O7 permettent, après les avoir extrapolées en T=0, d'estimer la valeur (très élevée) de ce rapport:

Tesla 900700H et Tesla 140H //2c2c −≈≈⊥ qui correspond à:

nm 3.02.0)0()0( et nm 5.1)0()0( ca// −≅ξ=ξ≅ξ=ξ ⊥ Ceci donne lieu à une anisotropie de l'ordre de:

5025mm

mm et 75

a

c

//c

a// −==−=ξξ

=ξξ ⊥

⊥

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-55

Autre exemple: le composé Tl2Mo6Se6, dérivé des phases de Chevrel, contient des triangles Mo orientés dans le plan <x,y> et empilés dans la direction z formant ainsi des chaînes linéaires. La Figure 2-21 montre une projection de cette structure dont la masse effective est petite (normale) dans la direction z et grande dans le plan <x,y>. Ceci donne une forte anisotropie du champ critique (ε≈26). La dépendance angulaire du champ critique est montrée dans la Figure 2-22. Le trait plein représente le modèle de masse effective (Equation 2-17).

Figure 2-21: Représentation de la structure du composé Tl2Mo6Se6.

Figure 2-22: Anisotropie du champ critique du composé Tl2Mo6Se6.

2.2.4 L'état vortex d'Abrikosov La solution de l'équation G-L linéarisée (Equation 2-15) pour un champ magnétique proche du champ critique Hc2 , correspond à l'état fondamental de l'oscillateur harmonique c.à.d.:

( )

He2k

x avec e e f)z,y,x(o

yo

2xx

yiko

2

2o

y

µ==ψ ξ

−− h

Cette solution, valable pour H≅Hc2, décrit la variation du paramètre d'ordre dans l'espace lorsqu’on passe de H>Hc2 (i.e. ψ=0) à H<Hc2.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-56

Figure 2-23: Représentation schématique de ψ selon (2.27.).

Comme ky n'intervient pas dans la détermination de Hc2, on peut formuler une solution beaucoup plus générale avec une superposition de solutions de ky. Néanmoins on verra plus tard que la solution suivante y doit aussi être périodique et cela ce traduit par la condition:

He2

qnx

nqk

on

y

µ=

=

h

et une solution possible sera alors:

( )

∑ ξ−

−

=ψn

2xx

yikn

2

2n

y e eC)y,x(

Si Cn=C, cette solution est périodique en x et en y avec pour périodes:

q2y

He2qxxx

o1nn

π=∆

µ=−=∆ −

h

et doit donc passer par des maxima et minima. Les maxima apparaissent lorsque:

qyy =m2π et lorsque ( )

e2

2n

2xx ξ

−−

est maximum.

c-à-d pour x=xn. On a: o

2 qy m m y et x n n xq 2eπ

= = ∆ = =µh

H∆

les maxima apparaissent aux coordonnées (± n∆x, ± m∆y) (m, n entier) et les minima sont situés aux points (½(n+1)∆x, ½(2m + 1)∆y). Les maxima ou les zéros forment un réseau rectangulaire.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-57

Figure 2-24: Représentation schématique de ψ pour un réseau rectangulaire.

Pour montrer que |ψ| tombe à zéro on considère le cas traité par Abrikosov qui est celui du réseau carré.

2

2o

o

o

o

o

oon nq

22

qnH2

qnH2

qe2h

nHe2

qnx ξ=

πξφ

πµ

φ=

πµφ

=πµ

=µ

=h

On peut alors calculer la fonction d’onde pour le réseau carré en posant:

2x= 2 , y= 2 et q= πα πξ β πξ

ξ

on a:

( )∑

∑−απ−βπ

ξ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ξξπ

−ξπα

−βπ

=

=ψ

n

nn2i

n

2

2n2

n2i

2

2

22

ee

ee

Pour β entier ⇒ et donc ⇒ maxima pour α entier. 1=e ni2 βπ

Pour β demi entier, c-à-d pour β=1/2, regardons ce qui se passe pour α=1/2. Dans ce cas on constate que l’exponentielle de (−π(α−n)2) est symétrique autour de α=1/2 et donc ce facteur sera identique pour les contributions avec n =0,1; −1,2; −2, …

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-58

( )

( )

( )

0= . . . . . .. . .... . . . . . . . . . . . .

eee

eee

eee

2

2

2

)35.0(

0

3i2i

)25.0(

0

2i1i

)15.0(

0

1i0i

++

++

++

−π−ππ−

−π−ππ−

−π−ππ

43421

43421

43421

La variation du paramètre d’ordre détermine un réseau. On peut définir une maille élémentaire et calculer le flux traversant la surface ∆x∆y de cette maille.

ooo

0 e2hH

q2

He2qHyx φ==µ

πµ

=µ∆∆h

Ainsi chaque maille élémentaire contient exactement un quantum de flux. Le courant peut être calculé à l'aide de la seconde équation de G-L. Le résultat montre que le courant circule autour de chaque zéro de ψ, qui représente donc chacun une ligne de flux. Comme chaque maille élémentaire contient une ligne de flux (un zéro de ψ), on peut associer un quantum de flux à chaque ligne de flux.

Notez que ce réseau est carré pour le choix0

oH2qφ

µπ= ; c-à-d que dans le réseau carré, la distance

entre les lignes de flux est H

ao

o µ

φ=

Figure 2-25: Réseau carré de lignes de flux.

Figure 2-26: Réseau triangulaire de lignes de flux.

On peut aussi construire d'autres solutions, par exemple la solution avec C2n+1=i C2n et Cn+2=Cn, qui représentera un réseau triangulaire (Figure 2-26):

( )

∑ ξ−

∆ =ψn

2x-x

yikn

2

2n

n e eC)y,x(

La distance entre les lignes de flux dans le réseau triangulaire est:H3

4ao

o4 µ

φ=

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-59

En principe, exactement à H=Hc2 toutes ces solutions sont équivalentes. Cependant, dès que H<Hc2 il faut tenir compte du terme 1/2 βψ4 dans l'énergie libre. Ce terme fait que les différentes solutions correspondent à des énergies libres différentes. Abrikosov a montré que la valeur minimale du paramètre βA est:

22

4

A >ψ<>ψ<

=β

détermine la solution la plus favorable. On trouve que:

βA = 1.18 réseau carré βA = 1.16 réseau triangulaire C'est donc le réseau triangulaire qui est le plus favorable et qui est normalement observé. La Figure 2-26 montre les lignes de contour de |ψ| calculées.

Figure 2-27: Courbes à |ψ| constante.

Figure 2-28. Réseau de lignes de flux observé par STM à la

surface d'un échantillon de NbSe2 à T = 1.3 K et H = 0.3 Tesla (d'après Ch. Renner et al.).

2.2.4.1 Observation du réseau de lignes de flux Le réseau de lignes de flux a été mis en évidence pour la première fois en observant la concentration de lignes de champ à la surface d'un échantillon aux endroits où sortent les lignes de flux. Pour observer ces points, on laisse une vapeur de fines particules de fer se déposer lentement sur la surface du supraconducteur. Comme ces particules suivent les lignes de champ magnétique, elles vont se déposer aux endroits où le champ magnétique est le plus grand, c-à-d à l'endroit où le cœur des vortex sort du supraconducteur. Cette mesure donne donc une image de la distribution du champ. Il est aussi possible de faire une mesure qui reflète (indirectement) le paramètre d'ordre et ceci grâce à une mesure de Scanning Tunneling Microscopy (STM) à basse température. Quand la pointe du STM est placée en face d'une région supraconductrice, la caractéristique I−V est fortement non-ohmique tandis qu'elle est essentiellement ohmique quand la pointe est au-dessus du cœur d'une ligne de flux. Il est donc possible

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-60

de distinguer les régions de différentes valeurs de ψ. La Figure 2-28 montre les lignes de flux observées dans le composé NbSe2.

2.2.5 Le champ critique Hc1 Nous allons maintenant considérer la situation où l'on dépasse de peu le champ critique Hc1. Nous pouvons relier Hc1 à l'énergie associée à une ligne de flux par unité de longueur ∈1. A H=Hc1, les énergies libres de Gibbs GH du système sans ligne de flux (état Meissner H≤Hc1) et GM+1 vortex correspondant à un état possédant une seule ligne de flux sont égaux: GMeissner(Hc1) = G1 vortex(Hc1) Comme:

rd)r(hV1B 3

o∫µ=

nous avons : rd)r(hHFG 3

o∫µ−=

et donc à H ≈ Hc1 rd)r(hHFG 3

1coMeissnerMeissner ∫µ−=

LHLG

rd)r(hHLGG

o1c1Meissner

3o

vortex11c1Meissnervortex1

φ−ε+=

µ−ε+= ∫

Ici ∈1 est l'énergie du vortex par unité de longueur et L la longueur du vortex considéré. Nous avons en plus utilisé le fait que le flux associé au vortex est quantifié: rd)r(h 2

ovortex1

o µ=φ ∫ Nous trouvons donc:

o

11cH

φε

=

L'énergie ∈1 est l'énergie liée à la perte d'énergie de condensation dans le cœur du vortex plus l'énergie due aux champs et aux courants. Nous prenons ici la limite κ >> 1 i.e. ξ << λ et, dans ce cas, nous pouvons négliger les contributions dues aux cœurs. L'expression de l'énergie ∈1 est donc essentiellement celle obtenue dans la théorie de London:

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-61

( )[ ] rd)r(h)r(h2

rd)r(j)r(h2

2222

vortex1

o

2

Courant

22

Champ

2

vortex1

o1

×∇λ+µ

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡λ+

µ=ε

∫

∫ 321

Utilisant l'identité ( ) baabba

rrrrrr×∇−×∇=×∇ nous pouvons écrire:

( )[ ] rd)r(h)r(hh)r(h2

2222

vortex1

o1 ×∇×∇∇λ−×∇×∇λ+

µ=ε ∫

( )

( )dr)r(hh2

rd)r(h2

dr)r(hh2

rhd)r(h)r(h2

vortex1

2o

vortex1

2o

vortex1

2o2

aliséeondongénérEquatioonL

2

vortex1

o1

∫∫

∫∫

×∇×λµ

++φδµ

=

×∇×λµ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×∇×∇λ+

µ=ε 444 3444 21

Le deuxième terme encercle le vortex à une distance r >> λ et ne donne aucune contribution tandis que le premier terme donne:

)ln(42

)o(hrd)r(h21

o2

2o

ovortex1

21 κ

µπλφ

=φ=φδ=ε ∫

En utilisant:

0

oc 22

Hξλµπ

φ=

Nous trouvons finalement:

)ln(2

HcH 1c κκ

=

Nous avons donc réussi à décrire les trois champs critiques Hc, Hc1 et Hc2 en fonction des paramètres fondamentaux λ et ξ:

ξλπ

φ=µ

22H o

co

)ln(4

H 2o

1co κπλφ

=µ

2o

2co 2H

πξφ

=µ

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-62

2.2.6 Interaction entre deux lignes de vortex Considérons deux lignes de flux, une à r=r1 et l'autre à r=r2. Chaque vortex contribue au point r au champ h(r): 1 2 1h(r) h (r) h (r) h(r r ) h(r r )= + = − + −

r r r r rr r r r r r2r

L'énergie de chaque vortex augmente en raison de la contribution de l'autre vortex au champ. Donc, l'énergie libre totale ∆F des deux vortex est donée par:

( )0 1 1 1 2 2 1 2 2

0 1 1 0 1 2

1F h (r ) h (r ) h (r ) h (r )2

h (r ) h (r )

∆ = φ + + +

= φ + φ

Le premier terme représente l'énergie du vortex 1 tandis que le deuxième terme donne l'énergie d'interaction entre les deux vortex. Cette énergie est positive et donc correspond à une répulsion entre les lignes de flux. Calculons par exemple la force par unité de longueur sur la ligne de flux 2 dans la direction x:

12 1 22x o o 1y 2

2 2

F h (r )f jx x

∂∆ ∂= − = −φ = φ

∂ ∂(r )

φ

où j1y(r2) est la composante y du courant qui est associé à la ligne 1. En calculant les autres composantes, on trouve que: 2 2 1 2 of (r ) j (r )= ×

r rv où z0o φ=φr

D'une manière générale, la force par unité de longueur sur un vortex à l'endroit r est: os2 )r(j)r(f φ×=

rvr

où js(r) est la somme de tous les (super) courants à la position r. Dans un réseau de vortex, la somme de toutes les forces dues aux autres vortex s'annule. Par contre, la présence d'un courant extérieur (i.e. de transport) provoque une force: otransport2 )r(j)r(f φ×=

rvr

Cette force est perpendiculaire au courant et au champ.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-63

2.3 Apparition de résistance dans un supraconducteur

2.3.1 Dissipation par mouvements des lignes de flux Considérons un supraconducteur contenant une seule ligne de flux. Supposons que cet échantillon soit traversé par un courant uniforme et perpendiculaire à la ligne de flux. Comme nous l'avons vu, l'interaction entre le courant et la ligne de flux conduit à une force de Lorentz par unité de longueur:

[ ] [ ] [ ]mNf Vs = et Amj

jf

o2

o

=⇒φ=

φ×=

−rrr

rrr

orientée perpendiculairement à j

v et au champ B

r.

f

j

B

Figure 2-29: Représentation de la force sur un vortex.

Si ce vortex se trouve dans un supraconducteur uniforme et qu'il est libre, cette force va provoquer un mouvement dans la direction perpendiculaire au courant et au champ. Dans le cas d'un réseau de vortex, le même phénomène a lieu: tout le réseau se déplace perpendiculairement au courant sous l'action d'une force F donnée par:

fnfF s

vortex lestous sur

rrr== ∑

avec ns le nombre de vortex par unité de surface. On peut alors exprimer cette force F à l'aide de la force élémentaire f:

[ ] 3

B

os

os

s

mNF nj

j n

fnF

=φ×=

φ×=

=

rrr

rr

rr

r

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-64

Cependant, le déplacement du réseau de vortex nsφo≈B à une vitesse v va conduire à l'apparition d'un champ électrique E dans la direction du courant:

vBErrr

×=

B

E

v

j

Figure 2-30: Origine de la dissipation dans l'état mixte.

Puisque le champ électrique E est parallèle au courant j, il y aura donc une dissipation. On simule ceci en introduisant une résistivité équivalente ρf:

j

Ef r

r

=ρ

Expérimentalement on observe bien cette mise en mouvement des lignes de flux, mais le réseau se déplace à une vitesse constante. Pour expliquer cette observation on introduit une force de frottement: vf

rfrr

η−= dans l'état stationnaire on obtient un mouvement uniforme lorsque:

vj

ff

o

frLorentzrrr

rr

η=φ×

=

d'où:

ηφ

=

φη

=ρ o

o

fB

vBv

La physique du problème est donc maintenant cachée dans le terme de la viscosité. Bardeen-Stephen prédisent la forme suivante pour la viscosité:

n

o2coHρ

φµ=η

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-65

ρn est la résistivité dans l’état normal et la résistance liée au "flow" des vortex ρf devient:

2co

nf HB

µρ=ρ

On observe ainsi dans l'état mixte que lorsque le supraconducteur est traversé par un courant, il y a apparition d'une résistance comme le montre schématiquement la Figure 2-31.

05

10152025303540

0 1 2 3 4 5

Tens

ion

V

Courant I

ρn I

6

Figure 2-31: Caractéristiques V−I d'un supraconducteur de type II.

L'origine microscopique des pertes ohmiques, lorsqu'une ligne de flux se déplace, provient du fait que le courant de transport est forcé de passer partiellement dans la région du cœur du vortex, c-à-d la région "normale", d'où la présence d'une dissipation. Pour visualiser ceci considérons le cas de la Figure 2-32.

B

E

v

j

∆B

∆B

Figure 2-32: Modification de la distribution des courants lors du mouvement d'une ligne de flux.

Lorsque la ligne de flux se met en mouvement, le champ magnétique en aval (amont) va augmenter (diminuer) et puisque dB/dt=0, il y aura création d'un courant tel que la variation totale du flux soit nulle. On constate avec ce modèle simplifié, que le mouvement de la ligne de flux force des courants à circuler dans le cœur du vortex qui est une région normale. La Figure 2-33 montre la distribution de courant en fonction de la vitesse. Plus la vitesse est grande, plus importante sera la dissipation thermique induite par les courants traversant les régions normales.

Figure 2-33: Distribution du courant en fonction de la vitesse.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-66

Lorsque la vitesse correspond à une distribution homogène du courant on atteint la vitesse limite. Sous cette hypothèse on peut alors facilement calculer la résistivité équivalente:

2Conf

2Coos

os

ns

s

t

nnf

HB

H(max)n)B(nB

(max)n)B(n

SS

µρ=ρ⇒

⎭⎬⎫

µ=φ

φ=

ρ=ρ=ρ

2.3.2 Le courant critique d'un supraconducteur de type II Dans le paragraphe précédent, nous avons trouvé que le courant critique d'un supraconducteur de type II dans l'état mixte (Hc1<H<Hc2) est nul puisque le mouvement des vortex génère une dissipation. Cette conclusion est valable pour un supraconducteur parfait pour lequel le paramètre d'ordre serait constant dans tout le volume du supraconducteur (l'état Meissner) mais dans l'état mixte, il y a des variations du paramètre d'ordre liées aux vortex. Dès que l'on considère un supraconducteur inhomogène, cette conclusion n'est plus valable. Prenons le cas d'un supraconducteur où l'on aurait introduit un défaut en xo capable de détruire localement la supraconductivité. On aura donc un paramètre d'ordre ψ qui variera sur une distance ξ autour de xo avant de retrouver sa valeur "normale". Si l'on introduit une ligne de flux on peut avoir deux situations comme le montre la Figure 2-34:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2 4 6 8 10

Ener

gie

de C

onde

nsat

ion

Position xo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2 4 6 8 10

Ener

gie

de C

onde

nsat

ion

Position xo

Figure 2-34: Variation de l'énergie de condensation autour d'une perturbation centrée en xo.

1) la ligne de flux ne se positionne pas à l'endroit du défaut. Dans ce cas le bilan d'énergie sera: magnoncondensationcondensatiooncondensati G)vortex(G)défaut(GUG ∆+∆−∆−∆=∆ 2) la ligne de flux se positionne sur le défaut et le bilan d'énergie devient: magnoncondensatiooncondensati G)défaut(GUG ∆+∆−∆=∆ On observe donc que la ligne de flux va "gagner" de l'énergie, c-à-d diminuer son potentiel de Gibbs en se plaçant en xo. La raison est que pour "profiter" d'un abaissement de G par la pénétration du champ

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-67

magnétique (autour de la ligne de flux), il est nécessaire de créer une région "normale" dans le cœur du vortex. Restaurer l'état normal coûte de "l'énergie" et va donc contribuer à une augmentation de G. Si par contre la ligne de flux se place à un endroit où le paramètre d'ordre est déjà réduit, cet accroissement de G par rapport à la situation sans vortex sera moins importante. L'abaissement de l'énergie de condensation autour de xo constitue donc un puits de potentiel Uv(x) pour la ligne de flux et il faut alors appliquer au moins une force fp pour libérer le vortex.

max

p dxdUf ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=

On dit que le vortex est ancré par une force d'ancrage; on parle de "pinning force".

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

2 3 4 5 6 7 8 9

Ener

gie

de C

onde

nsat

ion

Position

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

2 3 4 5 6 7 8 9

Forc

e d'

ancr

age

Position

0

Figure 2-35: Représentation schématique de l'ancrage d'un vortex.

Ceci signifie que pour mettre en mouvement une seule ligne de flux, il faut un courant d’au moins:

o

pc

fj

φ=

Pour un réseau de lignes de flux, la situation est plus complexe. Comme les lignes de flux interagissent entre elles, il faut considérer la force totale sur le réseau et donc additionner toutes les forces fp sur toutes les lignes de flux. Cependant, si l'on considère une situation où les inhomogénéités (centres d'ancrage) sont distribuées de manière aléatoire, on voit facilement que toutes ces forces s'annulent sur un réseau de vortex régulier et rigide. Pour obtenir une force totale non nulle, il est essentiel de tenir compte de la déformation élastique du réseau des lignes de flux. En effet, les lignes de flux peuvent s'adapter aux centres d'ancrage et, dans ce cas, une force non-nulle apparaît. Le problème de sommation de toutes les forces d'ancrage fp pour obtenir la force totale est un problème encore non résolu dans le cas général. Pour traiter les cas pratiques, on introduit souvent la force totale par unité de volume Fp. Considérons n vortex occupant une surface S. On a:

∑=i

pip fS1F

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-68

Si F excède Fp, les lignes de flux seront mises en mouvement. Ainsi F=Fp définit une valeur critique de courant appelée courant critique ic ou densité de courant critique jc.

B jFB

nS

jF

cp

os

i

ocp

=

φ

φ= ∑

321

321

Cette formule relie donc la densité de courant critique aux forces d'ancrage Fp qui est une densité volumique de force [N/m3] Pour les applications pratiques des supraconducteurs, tels que les fils ou câbles utilisés pour le transport d'énergie ou l'obtention de champs magnétiques intenses, il est évidemment souhaitable d'avoir un courant critique maximum. Pour arriver à cela, il faut introduire un nombre optimal d'inhomogénéités (dislocations, limites de grains, impuretés, etc.) pouvant agir comme centre d'ancrage. La Figure 2-36 montre la densité de courant critique jc en fonction du champ magnétique pour plusieurs supraconducteurs intéressants du point de vue des applications. On constate que le courant critique n'est pas une grandeur intrinsèque du matériau. Cependant, on ne peut pas espérer dépasser le courant critique calculé dans le paragraphe 2.1.7 pour un fil mince. Ce courant critique représente une limite ultime. En pratique, on reste à deux ordres de grandeurs en dessous de cette limite pour des fils optimalisés.

10 4

10 5

10 6

0 5 10 15 2 0 25

Den

sité

de

dour

ant c

ritiq

ue (

A/c

m2 )

C h am p m agn é tiq ue (tes la )

N b3S n

P bM o6S

8 B i(2 223 )

Figure 2-36: Densité de courant critique de quelques supraconducteurs; Nb3Sn qui existe commercialement et les composés

PMS et Bi-2223 qui sont à l'étude.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-69

2.3.3 L'état critique; pénétration de flux dans une plaque Considérons une plaque d'épaisseur d >> λ et appliquons un champ magnétique parallèle à sa surface. Pour H<Hc1 (état Meissner), le champ ne pénètre à l'intérieur de l'échantillon que sur une distance λ. Cependant, dès que l'on dépasse Hc1, des lignes de flux vont se former à la surface. Dans un supraconducteur homogène, ces lignes de flux vont se repousser, c-à-d se distribuer de manière homogène à l'intérieur. Dans ce qui suit, nous allons considérer le champ magnétique moyenné sur une distance de l'ordre de la distance entre les lignes de flux, c-à-d que nous négligerons les variations du champ dues aux vortex, mais nous tiendrons compte des variations plus "lentes" sur des distances plus grandes. Avec cette convention, nous montrons le champ à l'intérieur d'une plaque homogène dans la Figure 2-37.

distanceCha

mp

moy

en h

0 d

a) H<Hc1

distanceCha

mp

moy

en h

0 d

b) H>Hc1

Figure 2-37: Champ magnétique h moyenné sur une distance ~ a (= distance moyenne entre les vortex) pour un

supraconducteur sans centre d'ancrage.

Dans le cas où des centres d'ancrage existeraient dans la plaque, les lignes de flux seraient ancrées près de la surface au fur et à mesure qu'ils pénètreraient à l'intérieur de la plaque. Il y aurait donc un fort gradient du champ, ce qui correspondrait à un courant jy dans la direction parallèle à la plaque.

distanceCha

mp

moy

en h

0 d

a) sans ancrage : j c=0

Cha

mp

moy

en h

distance0 d

b) avec ancrage : j c>0

cour

ant c

ritiq

ue

distance0 d

cour

ant c

ritiq

ue

distance0 d

xmax

xmax

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-70

Figure 2-38: Distributions du champ et des courants d’un supraconducteur avec et sans ancrage.

( )

dxdh)x(j

yh

xh;

xh

zh;

zh

yhh;0;0

z;

y;

x

hj

y −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

=

×∇=rv

Tant que Jy(x) < jc, les lignes de flux restent en place. Si à un certain endroit jy(x) > jc, les lignes de flux vont se mettre en mouvement de manière à réduire le gradient dh/dx à cet endroit. La conséquence est évidemment une réduction du courant. Ainsi, il va s'établir un gradient de champ constant équivalent au courant critique. Calculons maintenant la courbe d'aimantation pour une plaque contenant des centres d'ancrage. Au fur et à mesure que le champ augmente, on voit que le champ pénètre de plus en plus vers le centre de la plaque. Lorsque xmax atteint le centre de l'échantillon (xmax=d/2) chaque augmentation de champ s'ajoute à chaque endroit, c-à-d la distribution en V se déplace vers le haut, comme illustré dans la Figure 2-39.

0 d

cham

p m

oyen

h

H1

H2

H3

H4

H1/jc Figure 2-39: Distribution du champ dans une plaque pour différents champs externes.

Considérons d'abord la situation où xmax<d/2. Dans ce cas nous pouvons écrire pour l'intervalle [0,x] (H étant le champ extérieur):

cmax

c

jHx

xjH)x(h

=

−=

L'induction moyenne B dans l'échantillon est donnée par:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −µ=

µ= ∫2maxcmaxo

x

0 o

x j 21x H

d2

dx)x(hd2B max

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-71

c

2o

j dHB µ

=

et l'aimantation devient en se rappelant que ( )MHB 0 +µ= :

Hj d

HMc

2

−=

Dans le cas particulier où xmax=d/2, cela définit un champ particulier H' où la pénétration du champ atteint le centre de l'échantillon.

2dj'H c=

Pour ce champ particulier, l'aimantation est donc donnée par:

4dj)'H(M c−=

Pour H>H' nous voyons sur la Figure 2-40 que l'aimantation reste constante, puisqu'il n'y a plus d'expulsion additionnelle:

4dj)'H(M c

'HH−=

>

Ceci donne la courbe d'aimantation suivante:

Champ appliqué H

-M

H’=j c d/2

Figure 2-40: Courbe d'aimantation dans l'état critique et pour jc = const.

Considérons maintenant la situation où, arrivé au champ H4, on réduit à nouveau le champ. Dans ce cas, les lignes de flux proches de la surface vont sortir de la plaque. Ceci va diminuer la densité de vortex proche de la surface et donc établir un gradient dans l'autre sens. Cette situation est décrite sur la Error! Reference source not found.. Partant de H4, on diminue le champ et on crée un gradient opposé. Ce "zig-zag survit" jusqu'au champ H7. Remarquons au passage que pour un champ externe nul (H6) l'aimantation du supra n'est pas nulle. Finalement pour H>H8 on diminue progressivement le champ au centre de l'échantillon sans modifier l'aimantation.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-72

0 d

cham

p m

oyen

h

H6

H5

H4

H7

0

H8

Figure 2-41: Variation du champ h(x) pour des champs

dégressifs: H4 > H5 > H6 > H7 > H8.

0 d

Cou

rant

crr

itiqu

e j

c

H=H6

0

Figure 2-42: Distribution de courant j(x) pour H = H6=0 .

Par le même raisonnement que celui que nous avons tenu précédemment, ce gradient sera égal à jc. Quand le champ extérieur diminue, cette zone de gradient renversée va pénétrer graduellement la plaque et atteindre le milieu (x=d/2) quand H= H4−2H'. On voit facilement que ceci conduit à la courbe d'aimantation indiquée dans la Figure 2-43.

Champ appliqué H

H’=j c d/2

Figure 2-43: Hystérésis de l'aimantation.

Nous voyons donc que l'aimantation montre une hystérésis. Dans la région où M+ et M− sont constantes (c-à-d pénétration de la variation du champ jusqu'au centre de la plaque) nous observons que la différence M+−M− nous donne directement le courant critique

Equation 2-18 2d jMM c=− −+

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-73

Pour obtenir l'aimantation montrée dans la Figure 2-43 , nous avons supposé que jc est indépendant de H. En réalité, jc diminue (normalement) quand H augmente et tend vers zéro à H = Hc2. Si l'on tient compte de cette variation, notre calcul (dans les limites du modèle) reste valable. La Figure 2-44 montre un résultat typique de la mesure d'une courbe d'aimantation d'un supraconducteur de type II:

-600

-400

-200

0

200

400

600

-55000 -35000 -15000 5000 25000 45000

H (Oe)

M (e

mu/

cm³)

T=4.5 K

Figure 2-44: Hystérèse d'aimantation isotherme en fonction du champ magnétique d'un échantillon de phase PbMoS27

(phase de Chevrel); l'irréversibilité ∆M(H) est liée à la densité de courant critique; cf. modèle de Bean.

En prenant la différence M+(H)−M−(H) on peut, par l’Equation 2-18, obtenir jc(H). Ceci constitue une méthode (modèle de Bean) fréquemment utilisée pour déterminer le courant critique.

27 M. Decroux, unpublished data.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-74

2.4 L'effet Josephson DC

2.4.1 Tunneling de paires de Cooper Un des bouleversements fondamentaux que la mécanique quantique a apporté est incontestablement la probabilité non nulle qu'a une particule de passer au travers d'une barrière de potentiel, ceci quelle que soit la température. Ce phénomène appelé "tunnelling" a une probabilité importante de se produire pour autant que la masse de la particule soit petite (de l'ordre de la masse de l'électron). En 1962, B.D. Josephson a prédit qu'il devait être possible d'observer un effet de tunnel d'une paire de Cooper. Le "tunneling" des quasiparticules issues de paires de Cooper cassées donne un comportement fortement non-ohmique dans la caractéristique I−V. La Figure 2-45 montre un exemple de caractéristique I−V pour une jonction Supra-Isolant-Normal (SIN). L'absence de courant pour des tensions inférieures à une certaine tension ∆/e, est la manifestation du gap supraconducteur.

Tension V

Cou

rant

I

∆ /e

jonction N-I-N

jonction S-I-N

Figure 2-45: Caractéristique I−V d'une jonction Supra-Isolant-Normal.

En plus du courant de quasiparticules, Josephson a prédit qu'il devait exister comme illustré sur la Figure 2-46, un courant de paires qui représente le supracourant au travers de la jonction à la condition que cette dernière soit composée de deux supraconducteurs.

Tension V

Cou

rant

I

(∆ 1+∆ 2)/e

courant de quasiparticulede la jonction S-I-S

courant de pairesde la jonction S-I-S

Ic

Figure 2-46: Caractéristique I−V d'une jonction S-I-S.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-75

2.4.2 Relation phase-courant dans une jonction S-I-S Pour dériver la relation qui détermine le courant de Josephson, considérons tout d'abord une jonction constituée de deux supraconducteurs S1 et S2 séparée par une mince couche isolante comme illustré sur la Figure 2-47.

S1 I S2

d

x

Figure 2-47: Jonction S-I-S.

On va faire l'hypothèse que la couche isolante est une couche supraconductrice très mince (d→0) pour laquelle ψ→0. Ceci décrit l'isolant que dans l'optique du courant de paires et non pour celui de quasiparticules. Ainsi dans la couche d'épaisseur d on peut écrire: )x(ie)x( ϕψ=ψ La variation du paramètre d'ordre est associée à la variation de la phase φ(x) provenant du supracourant jx. La deuxième équation de G-L impose:

( )2

2e 4j * * Aim m

= ψ ∇ψ − ψ∇ψ − ψrrv vh e

et donc:

Equation 2-19 2

o

A2me2j ψ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

φπ

−ϕ∇=r

vhr

en x:

2

o

xx A2

dxd

me2j ψ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φπ

−ϕ

=h

Si l'on suppose que 2

ψ est indépendant de x on peut écrire:

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-76

dxA2(0)(d)

mde2=

dxA2dxd

mde2dxj

d1j

d

0x

o

2

d

0 o

x2d

0xx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

φπ

−ϕ−ϕψ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φπ

−ϕ

ψ==

∫

∫∫

h

h

On peut alors écrire cette équation sous la forme:

Equation 2-20 x o

d2

o xo 0

j j

2e 2avec j et = (d) (0) A dxmd

= γ

π= ψ γ ϕ − ϕ −

φ ∫h

γ est la différence de phase entre les deux côtés de la jonction. Le troisième terme assure que cette différence de phase est invariante par rapport à un changement de jauge. En prenant la limite d→0 mais avec la restriction que ψ2/d=cte, on voit qu'il persiste un courant supraconducteur à travers la jonction. Cette relation stipule que le courant jx à travers la jonction est proportionnel à la différence de phase γ apparaissant aux bornes de cette dernière. Les approximations qui ont été faites dans ce calcul font que cette dérivation n'est valable que dans la limite γ<<2π. Comme la différence de phase n'est définie que modulo 2π, on doit avoir ϕ(γ)=j(γ+n2π). La relation la plus simple en accord avec l'Equation 2-20 pour γ<<2π est: Equation 2-21 γ= sinjj ox

Pour jx <jo => γ<π/2 => tunneling de paires et pas de tension aux bornes de la jonction jx>jo tunneling de paires et de quasiparticules et apparition d'une tension jo est le courant critique de la jonction, c-à-d le courant maximal que la jonction peut supporter sans apparition de différence de potentiel à ses bornes. La théorie microscopique donne une évaluation de ce courant critique en fonction des paramètres intrinsèques d'une jonction formée de deux supraconducteurs identiques:

Tk2)T(tanh

eR2)T(j

Bno

∆∆π=

Rn est la résistance de la jonction dans l'état normal.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-77

2.4.3 Influence d'un champ magnétique sur le courant critique d'une jonction Regardons maintenant l'effet du champ magnétique sur une jonction Josephson. Appliquons un champ magnétique parallèlement à la jonction et supposons dans un premier temps que jx est nul.

z

y

x

S2S1

-d/2 d/2 Figure 2-48: Géométrie de la jonction étudiée.

dxdh)x(j

2d<x si 2

dxExpH

2d>x si 2

dxExpH

)x(hh

)h,0,0(H

zy

o

o

zz

z

−=

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ

−+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ

−−

==

=r

hz(x)y

x

d/2 d/2 Figure 2-49: Distribution des courants d'écrantage.

Le champ magnétique va pénétrer dans la jonction mais sera écranté à l'intérieur des deux supraconducteurs. Les courants d'écrantage seront parallèles à la jonction dans la direction y comme indiqué sur la Figure 2-49.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-78

Prenons pour A=(0,Ay(x),0) et donc dx

dAh AH y

zoo =µ⇒×∇=µrr

x

-d/2 d/2

hz(x)jy(x)

x

-d/2 d/2

Ay(x)

Figure 2-50: Distributions de h, j et A suivant la position x.

Il faut maintenant calculer la différence de phase γ(y). γ dépend de y car il y des supercourants circulant le long de l'axe y.

2

o

12x

xox

A2me2j

)y()y()y()y(sinjj

ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

π−ϕ∇=

ϕ−ϕ=γ

γ=

rrhr

Faisons l'hypothèse que jx<<jy et jz=0. On peut exprimer φ en fonction de j et A. Ainsi l'Equation 2-19 devient:

A2 + je2m

o2

rr

h

r

φπ

ψ=ϕ∇

Si l'on néglige le petit courant jx qui passe au travers de la jonction, le potentiel vecteur n'aura qu'une composante suivant y. ( ) ( ) ( )0),x(A,0=A 0,j,00,j,jj yyyx

rr⇒≅=

Ainsi ceci montre que φ ne dépendra que de y ceci dans le cadre des hypothèses que nous avons formulées.

Equation 2-22 ( ) yo

y2y A2 + je2m

φπ

ψ=ϕ∇

h

r

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-79

Pour calculer la différence de phase nous devons intégrer l'Equation 2-22 sur un contour Γ1 pour la partie gauche de la jonction et Γ2 pour la partie droite de la jonction.

Hjj

AB

C D

A’ B’

C’D’

φ1(0) φ2(0)

φ2(y)φ1(y)

Γ1 Γ2

x

λ2λ1

y

jonction

Figure 2-51: Chemin d'intégration pour le calcul de la différence de phase.

yBC

y1o

y12

o2

11

dA2 + je2m

dA2 + je2m

d)0()y(

1

1

lh

lvrr

h

lvr

⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

φπ

ψ=

⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

φπ

ψ=

⋅ϕ∇=ϕ−ϕ

∫

∫

∫

Γ

Γ

Les contributions suivantes AB et CD sont nulles car j1y et A1y sont perpendiculaires au segment AB et CD. En choisissant BC très loin de la jonction on a j1y=0 ce qui revient à imposer que lAB=lCD » λ. Avec cette condition d'écrantage total on a A1y=A1(−∝)=cte.

y )(A2)0()y( 1o

11 −∞φπ

=ϕ−ϕ

On réalise un calcul identique pour la différence de phase dans le supraconducteur 2 et on obtient:

y )(A2)0()y( 2o

22 +∞φπ

=ϕ−ϕ

Ainsi la différence de phase au travers de la jonction est:

( ) y )(A)(A2)0()0(

)y()y()y(

12o

12

12

−∞−+∞φπ

+ϕ−ϕ=

ϕ−ϕ=γ

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-80

Pour terminer, évaluons le terme A2(∝)−A1(−∝)

dA

SdA

Sdh

S

So

S

lrr

rrr

rr

⋅=

⋅×∇=

⋅µ=φ

∫

∫

∫

Γ

→→→→→→→→=ΓS h à parallèle soit Sd que pour sens ce choisit on'AABCD'D'C'B'A avecrr

( )ydH Sdh plus De

y)(Ay)(A

dAdA=

21oS

o

12

B

C

'C

'B

+λ+λµ≅⋅µ

−∞−+∞=

⋅+⋅

∫

∫∫

rr

lrr

lrr

Dans le cas où les deux supraconducteurs sont identiques (λ1=λ2) on a: ( )yd2H Sdh o

So +λµ≅⋅µ∫

rr

(2λ+d) est la largeur effective de la jonction et (2λ+d)y est sa section effective. Notre approximation consiste à supposer que tout le flux est concentré dans cette région. Ainsi la différence de phase γ devient:

( )

y)d2(H2)0(

y )(A)(A2

)0()0()0()y(

oo

12o

12

+λµφπ

+γ=

φ

−∞−+∞φπ

+

γ

ϕ−ϕ=γ444 3444 214434421

Prenons maintenant le cas jx≠0. Sous la condition que le courant jx est beaucoup plus petit que jy, nous pouvons utiliser le résultat obtenu sous ?? pour calculer la densité de courant Josephson: Equation 2-23 )y(sinj)y(j ox γ=

On voit que la variation de phase le long de la direction "y" conduit à une modulation de la densité de courant Josephson le long de cette direction. Pour calculer le courant total qui traverse la jonction, il faut intégrer la densité de courant donnée par Equation 2-23 sur toute la section de la jonction.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-81

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+λ

φπ

γ+λπ

φ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ++λ

φπ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ++λ

φπ

−+λπ

φ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ++λ

φπ

+λπφ

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ++λ

φπ

=

γ=

=

−

−

−

−

∫

∫

∫ ∫

2Wd2H2sin)0(sin2

d2H2Zj

)0(2Wd2H2cos)0(

2Wd2H2cos

d2H2Zj

)0(yd2H2cosd2H2

Zj

dy)0(yd2H2sinZj

dy)y(sinZj

dydz)y(jI

o

oo

oo

oo

2/W

2/Wo

oo

2/W

2/W oo

2/W

2/Wo

Z

0

2/W

2/Wx

d'où finalement:

oo

o

max

sinI( ) j ZW sin (0)

I ( )

⎛ ⎞φπ⎜ ⎟φ⎝ ⎠φ = γφ

πφ

φ1442443

Equation 2-24 maxI( ) I ( )sin (0)φ = φ γ

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

I max

(φ)/I

max

(0)

Flux magnétique dans la jonction φ/φο

Figure 2-52: Dépendance du courant en fonction du flux magnétique dans la jonction.

Quand le courant à travers la jonction augmente, la phase γ(0) va s'ajuster suivant l'Equation 2-24 jusqu'à ce qu'elle atteigne π/2. A ce moment le courant de paires I=Imax(φ) que peut supporter la jonction est maximal et si le courant est augmenté au delà de cette limite il sera transporté par un "tunneling" de quasiparticules normales et une tension apparaîtra aux bornes de la jonction.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-82

Il est intéressant de regarder la distribution de courant dans le plan "xy" de la jonction en fonction du champ H. Introduisons la densité linéaire de courant. Nous pouvons calculer cette densité linéaire de courant en fonction de la position y dans la jonction:

( ) ( )

ZLx x o o

o o0

oo

2 H 2 H yj j (y)dz Zj sin 2 d y (0) Zj sin 2 d W (0)W

2 yZj sin (0)W

⎛ ⎞ ⎛π π= = λ + + γ = λ + + γ⎜ ⎟ ⎜φ φ⎝ ⎠ ⎝

⎛ ⎞φ π= + γ⎜ ⎟φ⎝ ⎠

∫⎞⎟⎠

γ(0)=0.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ πφφ

=W

y2sinZjjo

oLx

γ(0)=π/2.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ πφφ

=W

y2cosZjjo

oLx

Pour H=0, la densité de courant de transport jx est homogène (Figure 2-53a) et aucun courant jy ne circule. Dans cette situation la condition jx<<jy n'est évidemment pas vérifiée, mais notre calcul reste valable tant que cette densité de courant est très faible. Lorsque H=Ho/2 (φ=φo/2), où Ho est le champ qui produit un quantum de flux au travers de la section Wd. On voit que le courant de transport n'est pas homogène et que l'on atteint le courant maximal au centre de la jonction (Figure 2-53b). En ne considérant que les courants d'écrantage, on voit apparaître des courants de surface qui rappelle l'écrantage dans l'état Meissner mais avec une distance de pénétration beaucoup plus grande.

a) H=0 b) H=Ho/2 c)H=Ho

γ(0)=π/2

γ(0)=0

d) H=0 e) H=Ho/2 f)H=Ho

=

Figure 2-53: Distribution locale des courants de transport et d'écrantage dans la jonction.

Lorsque le champ atteint Ho (φ=φo), on voit sur la Figure 2-52 que si le courant moyen à travers la jonction est nul, le courant local montré sur la Figure 2-53c n'est pas nul, mais le courant global est nul. En ne considérant que les courants d'écrantage (Figure 2-53f),on peut relier les extrémités des lignes de courants et on voit apparaître un vortex. Pour ce champ toute la capacité de transport de la jonction est utilisée pour écranter le champ Ho et donc aucun courant de transport supplémentaire ne peut être supporté par la jonction.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-83

2.4.4 Electrodynamique d'une jonction Josephson Nous allons maintenant établir l'équation fondamentale d'une jonction Josephson plongée dans un champ magnétique H=(0,Hy,Hz) perpendiculaire au courant jx. Pour calculer la différence de phase nous pouvons généraliser le calcul fait sous 4.11.

1 1 1

1 1 2o oS

m 2 2(y dy) (y) j d A d A dS2e

0 si loin de la jonctionΓ Γ

π πϕ + − ϕ = ⋅ + ⋅ = ∇× ⋅

φ φψ

=

∫ ∫ ∫r r r rrv v

l lh

1442443

2 2 2

2 2 2o oS

m 2 2(y dy) (y) j d A d A dS2e

0 si loin de la jonctionΓ Γ

π πϕ + − ϕ = ⋅ + ⋅ = ∇× ⋅

φ φψ

=

∫ ∫ ∫r r r rrv v

l lh

1442443

( )1 1 2 2 o z 1 2o

2(y dy) (y) (y dy) (y) (y dy) (y) H ( d)dyπϕ + − ϕ − ϕ + − ϕ = γ + − γ = µ λ + λ +

φ

d'où finalement:

Equation 2-25 effzoo

21zoo

dH2)d(H2y

µφπ

=+λ+λµφπ

=∂∂γ

En faisant un calcul similaire pour la variation de la phase par rapport à z, on obtient:

Equation 2-26 effyoo

21yoo

dH2)d(H2z

µφπ

−=+λ+λµφπ

−=∂∂γ

il y a un signe moins car le sens de rotation de z+dz à z entoure une surface qui pointe vers −y. En utilisant l'équation de Maxwell:

tEjH ro ∂

∂εε+=×∇

rrrr

on peut écrire pour la composante de la densité de courant jx:

t

Ejz

Hy

H xrox

yz

∂∂

εε+=∂

∂−

∂∂

En insérant Equation 2-25 et Equation 2-26 on obtient:

Equation 2-27 2 2

o o rxo o r o2 2

o eff

E Vj sin j sin C avec C=2 d y z t t d

⎛ ⎞φ ε∂ γ ∂ γ ∂ ∂+ = γ + ε ε = γ +⎜ ⎟πµ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

ε

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-84

Nous verrons dans le prochain chapitre que la tension V aux bornes de la jonction est donnée par la dérivée par rapport au temps de la phase:

Equation 2-28 Ve2t h

=∂∂γ

En insérant Equation 2-28 dans Equation 2-27 on a:

γφ

πµ=

∂γ∂

φπµεε

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

γ∂+

∂γ∂ sind2j

tdd2

e2zy o

effoo2

2

o

efforo2

2

2

2 h

que l'on peut écrire sous la forme:

Equation 2-29

2 2 2

2 2 2 2 2J

2 2 2 oJ

o o r eff r eff o o eff

1 1 siny z v t

1 d davec v c et d d j 2

∂ γ ∂ γ ∂ γ+ − = γ

∂ ∂ ∂ λφ

= = λ =ε µ ε ε πµ d

Valeurs typiques de λJ et v:

Prenons:

2 2o

-7o

-7eff

J-15

o

r

j =1mA/cm =10A/m ,

=4 10 Vs/(Am),

d =2 =200nm=2 10 m100 m et v=0.0

=2 10 Vs

d=0.2nm10

1c

µ π

λ⇒ λ = µ

φ

ε =

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭

Considérons maintenant le cas simple où φ≠φ(y,z). L'Equation 2-29 s'écrit alors comme:

0sinvt 2

J

2

2

2

=γλ

+∂

γ∂

On reconnaît l'équation différentielle du pendule. Dans la limite des petites oscillations on a:

Cj2v avec 0

to

oJJ

2J2

2

φπ

=λ

=ω=γω+∂

γ∂

Calculons la fréquence associée à ces excitations: Hz10102

119 −≅π

ω=ν . Ces excitations

proviennent d'un transfert continu d'énergie entre l'énergie magnétique provenant de l'écrantage du champ magnétique et l'énergie électrostatique emmagasinée dans la capacité. Ces nouvelles excitations électroniques appelées plasmons d'Anderson ont été observées pour la première fois par Dahm en 1968.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-85

2.4.5 Interféromètre Josephson (Superconducting Quantum Interference Device SQUID)

Nous avons vu que la modulation du courant critique d'une jonction Josephson par le champ magnétique est similaire à la modulation de l'intensité lumineuse par un réseau. Cette capacité de moduler le courant devrait en principe ouvrir la voie à la réalisation de susceptomètre extrêmement sensible puisque l'on peut espérer détecter des fractions de quanta de flux élémentaire. La sensibilité au champ magnétique sera d'autant plus élevée que la largeur de la jonction sera grande (l'épaisseur de la jonction ne pouvant guère varier pour assurer un courant de "tunneling" suffisant). Mais la réalisation de jonctions très longues est technologiquement difficile. Pour contourner cette difficulté on va créer une boucle supraconductrice de grande dimension dans laquelle on insère une ou deux jonctions Josephson. En principe on peut réaliser un tel détecteur avec une seule jonction (SQUID RF) mais les systèmes les plus sensibles sont dotés de deux jonctions dont les phases respectives vont interférer et donner naissance à l'interféromètre de Josephson. La Figure 2-54 montre le principe d'un interféromètre à deux jonctions.

I

A

B

φI

Figure 2-54: Principe de construction d'un SQUID.

L'anneau supraconducteur est coupé par deux jonctions A et B supposées identiques. Le courant injecté à l'entrée de l'anneau se divise en deux parties et en tenant compte de la relation de Josephson on peut écrire:

( )BAo

BA

sinsinIIII

γ+γ=

+=

γA et γB sont les différences de phases qui apparaissent aux bornes de chaque jonction.

)B()B()A()A(

12B

12A

ϕ−ϕ=γ

ϕ−ϕ=γ

Le SQUID utilise le fait que le courant I dépend fortement du champ magnétique et plus particulièrement du flux traversant la boucle supraconductrice et non le champ dans la jonction comme précédemment vu. Pour illustrer ceci, il faut établir la relation entre les différences de phases et le champ magnétique H. D'une manière similaire du traitement du cas d'une seule jonction on peut écrire:

A2je2

mo

2

rr

h

r

φπ

+ψ

=ϕ∇

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-86

On choisit alors un chemin d'intégration qui passe par les deux jonctions (Figure 2-55)

oo

2dA2d2121

φφ

π=⋅φ

π=⋅ϕ∇ ∫∫

Γ+ΓΓ+Γ

lrv

lrr

)A()B(d

)A()B(d

22

11

2

1

ϕ−ϕ=⋅ϕ∇

ϕ−ϕ=⋅ϕ∇

∫

∫

Γ

Γ

lrr

lrr

A

B

φΓ1 Γ2

1 2

1 2

Figure 2-55: Chemin d'intégration passant par les deux jonctions.

( ) BA1212o

)B()B()A()A(2 γ−γ=ϕ−ϕ−ϕ−ϕ=φφ

π

Cette relation montre que le flux impose une différence de phase fixe entre les deux jonctions. L'indétermination initiale sur le courant est ainsi levée. Le courant total s'écrit donc comme:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φφ

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ γ+γ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φφ

π−γ+γ=

γ+γ=

o

BAo

oAAo

BAo

cos2

sinI2

2sinsinI

sinsinII

Le courant est maximal lorsque π+=γ+γ )21n(BA . Dans ce cas Imax(φ) s'écrit:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φφ

π=φo

omax cosI2)(I

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-87

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

I max

(φ)/

I o

F lux m agnétique dans laboucle du SQ U ID φ /φο

Figure 2-56: Courant critique du SQUID en fonction du flux dans la boucle.

Exemple: Considérons un SQUID où la surface de l'anneau fait 10mm2. Un quanta de flux correspond donc à:

10oB 2 10 TeS

−φ= = × sla

Si l'on admet que l'on peut mesurer 10−3 φo, on arrive à une résolution de 10−13 Tesla.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-88

2.5 Appendices

2.5.1 Appendice I Considérant d'abord la variation par rapport à ψ (en prenant ψ constant; en réalité, ψ a deux

composantes (ψ;ψ*) et en principe il faut effectuer le calcul par rapport à chacune des composantes. Les deux premiers termes de l'équation ?? ne dépendent pas de ψ*, les deux suivants sont triviaux, par contre le troisième est un peu plus délicat à minimiser. Pour ce calcul on oublie la position r.

( ) [ ][ ]

[ ][ ][ ] [ ] * )A2ei(

2m2eA (r)*i )A2ei(

2m1

*)A2ei( )A2ei( 2m1

*)A2ei( )A*ei( 2m1 = A2ei

2m1

2

δψψ−∇−−δψ∇ψ−∇−=

δψ−∇ψ−∇−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ψ−∇ψ−∇−δ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ψ−∇−δ

rrh

rh

rrh

rrh

rrh

rrh

rrh

rrh

En se rappelant que λ∇⋅⋅∇λλ⋅∇

rrrra + a = )a( et après avoir posé ψ−∇−δψλ )A2ei( = a et * =

rrh

r

on a:

( ) [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] *)Ae2i( 2m1)Ae2i(*

2mi

*)Ae2i( 2meA2

*)Ae2i( 2mi)Ae2i(*

2mi = )r(A2ei

2m1

2

2

Ψδψ−∇−+ψ−∇−Ψδ∇=

Ψδψ−∇−−

Ψδψ−∇−∇−ψ−∇−Ψδ∇⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ψ−∇−δ

hhh

h

hh

hhrr

h

En intégrant par partie le troisième terme sur le volume et en utilisant ∫ ∫∇ Sd a = dV a

rrr on obtient:

[ ] ( )[ ] ( )[ ]∫∫ ∫ ΨδΨ−∇−+Ψ−∇−Ψδ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −∇−δ

V

2

V S

2dV*Ae2i

m2idSAe2i*

m2idVAe2i

m21 vr

hhvr

hhvr

h

On fait l'hypothèse qu'aucun courant ne sort de la surface S. Cela signifie que la composante normale de l'impulsion doit être nulle.

0 Sd)Ae2i( 0 = )Ae2i(n

=⋅ψ−∇−⇒ψ−∇−rrr

hrr

h

Il ne nous reste donc que le deuxième terme et δF devient:

dV )r(* )r())r(Ae2i(m21)r()r(+)r( = F

V

22 rrrrrh

rrrδψ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ψ−∇−+ψψβαψδ ∫

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-89

On utilise maintenant l'argumentation habituelle du calcul variationnel en imposant que δF = 0 pour un choix arbitraire de δψ*. L'expression entre parenthèse doit être nulle partout, c-à-d que:

0)r())r(Ae2i(m21)r()r(+)r( 22

=ψ−∇−+ψψβαψrrrr

hrr

Ceci est la première équation G-L. La 2ème équation de G-L est obtenue en calculant la variation de F par rapport à A. Pour réaliser ce calcul, il est utile d'abord de transformer le dernier terme de Fs.

( )

∫

∫∫

δ×∇⋅×∇µ

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

×∇µ

δ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧µ

δ

V0

V

2

0V

20

dV )r(A )r(A1

dV)r(A21 dV)r(h

2rrrrrr

rrrr

En utilisant les relations mathématiques suivantes:

( ) ba ab = barrrrrr

×∇⋅−×∇⋅×⋅∇ On obtient en posant a = b et a = a

rrrr×∇δ :

( )[ ] ( )

( )[ ]

( )[ ] ∫∫

∫∫

∫∫∫

δ⋅µµ

+δ××∇µ

−=

δ⋅µ×∇µ

+δ××∇∇µ

−=

δ⋅×∇×∇µ

+δ××∇∇µ

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧µ

δ

V0

0S0

V0

0V0

V0V0V

20

dV )r(A)r(j1 dS )r(A)r(A 1

dV )r(A)r(h1 dV )r(A)r(A 1

dV )r(A)r(A1 dV )r(A)r(A 1 dV)r(h2

rrrrrrrr

rrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrr

Le terme de surface est nul puisque nous fixons le champ à la surface (déterminé par le champ extérieur), c-à-d δA = 0 à la surface. En variant Fs par rapport à A nous obtenons donc:

∫∫ δ⋅µµ

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧µ

δV

00V

20 dV )r(A)r(j1dV )r(h2

rrrr

Nous pouvons alors écrire la variation de Fs par rapport à Α:

( ) dV )r(A (r)j + )r(A)r(m

4e+ )r()r(*)r(*)r(mei = F

V

22

srrrrrrrrrrrrh

δ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ψψ∇ψ−ψ∇ψ

−δ ∫

La deuxième équation G-L s'écrit donc:

( ) )r(A)r(m

4e )r()r(*)r(*)r(mei=)r(j 2

2 rrrrrrrrrhrrψ−ψ∇ψ−ψ∇ψ

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-90

2.5.2 Appendice II Comme proche de la transition l’aimantation tend vers zéro, nous pouvons supposer que:

H )r(hAx B

oo

rrrrr

≅=µ

∇=

µ

où H est le champ extérieur. On écrit alors :

( )( )Hx,00, = A

H0,0, = H

oµr

r

Avec ce choix de jauge pour A nous avons 0 = Aii∇ et l’opérateur impulsion de l'équation ?? devient:

)r()xH4e+ y

Hxi

4e (m21

)r()A4e+ Ai

4e (m21 )r()Ae2i)(Ae2i(

m21

222o

2o

22

2222

rhh

rrhh

rrrh

rrh

ψµ∂∂

⋅µ−∇−=

ψ∇⋅−∇−=ψ−∇−−∇−

L’équation ?? s’écrit alors comme:

0 = )r()xH4e+ y

Hxi

4e (m21 + )r( 222

o2

o22 rh

hr

ψµ∂∂

⋅µ−∇−αψ

avec 2eh = oφ et la définition de la distance de cohérence

α−ξ

2m =

22 h on obtient:

Equation 2-30 )r( 1 )r(2m = )r(x)H2(+ y

Hxi4 + 2222

o

oo

o

2 rr

h

rψ

ξ=ψ

α−ψ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

φπµ

∂∂

⋅µφπ

∇−

On cherche alors une solution de la forme:

Equation 2-31 f(x) e e = )r( zikyik zyr

ψ

Les différentes dérivées de l’Equation 2-31 sont:

Equation 2-32

)r()x(f)x(f + k k = )r(

)r(ik = )r(z

et )r(ik = )r(y

''2z

2y

2

zy

vv

vvvv

ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−ψ∇

ψψ∂∂

ψψ∂∂

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-91

En insérant l'Equation 2-32 dans l'Equation 2-30, on obtient:

22

2

o

oy

o

o''

2z

2y

1 = xHe4 +kHx22 f(x)

)x(f k + kξ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

µπ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

πµ−−

C-à-d:

2

2

yo

o2z

'' f(x) = )x(fkxH2 + k+ )x(fξ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

φπµ

−

et en posant:

H2

kx

o

oyo πµ

φ=

on arrive finalement à l'expression suivante:

Equation 2-33 ( ) )x(fk1 = )x(fxxH2 + )x(f 2z2o

2

o

o''⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ξ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

πµ−

En comparant l'Equation 2-33 avec l'équation de Schrödinger pour un oscillateur harmonique

)x(f E)x(fkx21)x(f

m22''

2

=+−h

nous voyons qu'elle est équivalente à celle d'un oscillateur harmonique centré en xo avec la constante k et les valeurs propres E données par:

m

e4HH2m

k222

o

2

o

o2 µ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

πµ→

h

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ξ→ 2

z2

2

k 12m

E h

Nous savons que les valeurs propres de l’équation de l’oscillateur harmonique sont:

mk =

21+n = E

ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ωh

nous obtenons:

m

H2e = oµω

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-92

et donc finalement la solution de notre problème s'écrit:

21+n

1k 14

= H

21+n

mH2e = k 1

m2

21+n = E

2z2

oo

o2z2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ξπφ

µ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛µ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ξ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ω

hh

h

La valeur la plus élevée de H est obtenue pour la solution correspondante à l'état fondamental de l'oscillateur kz=0 et n=0, c-à-d:

20

2co 2 = H

πξφ

µ

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-93

2.6 Théorie microscopique BCS

John Bardeen, Leon Cooper et John Schrieffer

La première compréhension théorique largement acceptée de la supraconductivité a été avancée en 1957 par des physiciens américains John Bardeen, Leon Cooper et John Schrieffer. Leurs théories concernant le phénomène de la supraconductivité sont devenues la théorie BCS - tirée de la première lettre du nom de famille de chaque homme. Ils ont reçu pour ce travail un prix Nobel28 en 1972. La théorie mathématique dans l'espace complexe BCS a expliqué la supraconductivité aux températures près du zéro absolu pour des éléments et des alliages simples. Cependant, aux températures plus hautes et avec des systèmes de supraconducteur différents, la théorie BCS est par la suite devenue inadéquate dans l'explication complète du phénomène de la supraconductivité.

Cette théorie sort du cadre de ce cours de sensibilisation. Nous pouvons tout de même dire que cette théorie a mis en évidence qu'une interaction entre des électrons appareillés via les vibrations du réseau (les phonons) pouvait être attractive. De fait, ils ont montré qu'il existait des états électroniques (états BCS), ou disposition électronique, qui augmentaient l'énergie cinétique mais diminuaient la potentielle suffisamment pour que, globalement, l'énergie de système soit inférieure à celle qui consiste en un remplissage normal des états électroniques jusqu'au niveau de Fermi.

28 http://www.nobel.se/

GT, Version du 27.04.2003 09:54 2-94

3 Propriétés hors équilibre - Courants critiques Dès le début les expérimentateurs virent qu'un matériau supraconducteur permettait de transporter un courant sans dissipation mais jusqu'à une certaine valeur, valeur qui dépendait de l'échantillon !?

GT, Version du 27.04.2003 09:54 3-95

4 Méthodes de mesures Nous ne désirons pas ici entrer dans les détails des particularités de chaque expérience permettant de déterminer les mesurandes physiques reliées à la supraconductivité. Nous désirons simplement lister de façon non exhaustive les différentes méthodes de mesures sachant bien, que la plus basic sur le papier, peut vite devenir cauchemardesque pour l'expérimentateur29.

4.1 Résistivité R(T,H) L'échantillon est placé sur un support isolant électriquement mais excellent conducteur thermiquement (e.g. saphir). 4 fils sont ensuite soudés d'une manière ou d'une autre sur l'échantillon comme le montre la Figure 4-1; deux pour le courant et deux pour la mesure de la tension. Mesure dc: dans ce cas on génère un courant positif et on mesure V+ puis on change le signe du courant pour mesurer V−. R est alors trouvé en calculant R=½(V+−V−)/i. Cette méthode permet de s'affranchir des problèmes liés aux différences de potentiels électriques d'origine autre que celles qu'on génère (thermocouple, etc.). Mesure ac: dans ce cas on génère un courant alternatif et la différence de potentiel est déterminée à l'aide d'un "lock-In" où l'on se "cale" sur le signal en phase avec le courant.

i

V

Figure 4-1: Un courant i dc ou ac, de faible intensité, traverse l'échantillon. La résistance est déterminée par la mesure de la tension V aux bornes de deux contacts séparés des amenées de courant.

La Figure 4-2 montre la mesure de la résistance en fonction de la température sur un échantillon céramique de phase TlBa2Ca2Cu3Ox.

29 Expériences vécues !

GT, Version du 27.04.2003 09:54 4-96

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 50 100 150 200 250 300

Temperature (K)

R/R

(300

K)

Figure 4-2: Résistance normalisée en fonction de la température d'un échantillon de phase Tl-122330. Le courant utilisé lors de la mesure est très petit (quelques dizaines de µA).

Le même genre de mesure, mais sous contrainte (pression hydrostatique), peut donner de précieuses indications. La montre l'effet de ce paramètre physique sur la même phase Tl-1223.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

115 120 125 130 135Temperature (K)

R/R

(290

K)

P = 0 GPa 2.2 GPa 5.9 GPa 10.7 GPa 16.1 GPa

116116.5

117117.5

118118.5

119

0 10 20P (GPa)

T c (K

)

Figure 4-3: Résistance normalisée en fonction de la température d'un échantillon de phase Tl-1223 soumis à différentes pressions hydrostatiques31.

30 G. Triscone, unpublished data. 31 G. Triscone, R.E. Gladyshevskii, S.H. Han, J. Herrmann and M.B. Maple, Physica C 272 (1996) 21.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 4-97

4.2 Aimantation M(T,H)

Figure 4-4: Système de mesure de l'aimantation M(T,H). L'échantillon se balade de bas en haut entre deux bobines de détection (A et B) identiques mais bobinées en sens inverse. Le champ magnétique externe Ha est appliqué à l'aide d'un aimant normal ou supraconducteur (S). La température est régulée par l'intermédiaire d'un flux de gaz d'hélium circulant de bas en haut dans le tube contenant l'échantillon.

Dans cette expérience présentée en Figure 4-4 l'échantillon est placé au centre d'une bobine S produisant un champ magnétique H homogène. L'échantillon est alors déplacé de haut en bas à travers deux bobines identiques (A et B) mais l'une est bobinée dans le sens des aiguilles d'une montre, l'autre dans le sens contraire. L'échantillon, d'aimantation M(H,T), induit un courant dont l'amplitude est proportionnelle à l'aimantation. Généralement le courant est mesuré de façon extrêmement précise via la mesure d'un champ magnétique par un SQUID (Superconducting QUantum Interference Device); on parle alors de magnétomètre à SQUID. On peut aussi faire osciller l'échantillon au centre de la bobine. Dans ce cas on recueille une tension induite proportionnelle l'aimantation M; on parle alors de VSM (Vibrating Sample Magnetometer). D'autres méthodes déterminent l'aimantation M par la mesure de la force que subit l'échantillon lorsqu'il est plongé dans un gradient de champ magnétique ∇H. Cette force est proportionnelle au produit M∇H. On parlait alors de balance de Faraday. Remarque: Il faut faire attention dans l'utilisation de ces expériences où l'échantillon est mobile que le champ magnétique appliqué est extrêmement homogène sur tout le parcours de l'échantillon. Autrement, par exemple dans le cas d'un échantillon supraconducteur, des courants d'écrantage seraient induits et fausseraient gravement la mesure.

4.2.1 Détermination de la température critique - volume spuraconducteur La mesure de l'aimantation en fonction de la température à très bas champ externe permet facilement de déterminer la température critique Tc et la quantité de volume supraconducteur de l'échantillon. Un exemple est donné dans la Figure 4-5.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 4-98

Figure 4-5: Mesures de susceptibilité dc χv(T) = M(T)/H sur des échantillons du composé Bi-2212 (Bi2Sr2Ca1Cu2O8-δ)32.

4.2.2 Détermination de diagramme de phase dans le plan (H,T) - courants critiques Un exemple de mesure d'aimantation M(H)⎜T à température constante sur le composé supraconducteur (Tl,Pb,Bi)1(SrBa)2Ca2Cu3O8+δ "Tl-1223" est donné dans la figure ci après. Ce type de mesure permet de déterminer la région irréversible dans le plan (H;T) et d'estimer la densité de courant critique jc(H,T).

32 G. Triscone & al, Physica C 176 (1990) 247.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 4-99

Figure 4-6: Aimantation isotherme en fonction du champ magnétique d'un échantillon de phase Tl-1223 (Tc=116 K); le champ d'irréversibilité Hirr(T) correspond à l'endroit où les courbes M(H) se séparent33.

Figure 4-7: Aimantation réversible en fonction du champ magnétique externe pour différentes températures (T=60, 65, ..., 100, 102, 103, 104, ..., 121 K); l'échantillon est une céramique de phase Tl-1223 (Tc=116 K).

En ne gardant que le quart inférieur droit de la Figure 4-6, on obtient la Figure 4-7, qui permet de déterminer facilement la ligne d'irréversibilité Hirr(T); connaissance indispensable pour les applications. La Figure 4-8 schématise dans le plan (H;T) le diagramme de phase pour les supraconducteurs classique et les nouveaux supraconducteurs à hautes températures critiques.

Figure 4-8: Le domaine d'utilisation des supraconducteurs dans la majorité des applications se situe dans le domaine irréversible, c'est-à-dire à gauche de la ligne bleu appelée ligne d'irréversibilité. Dans la région de droite, les vortex (ligne de flux magnétique) sont quasiment libres de se mouvoir avec pour conséquence l'apparition une dissipation thermique si l'on fait circuler un courant électrique à travers le supraconducteur.

33 G. Triscone, unpublished data.

GT, Version du 27.04.2003 09:54 4-100

4.3 Susceptibilité alternative La mesure de susceptibilité alternative consiste à déterminer la réponse magnétique d’un échantillon soumis à un champ magnétique dc auquel on ajoute une composante alternative (ac) de faible intensité. Il faut bien noter la différence d'une telle expérience où l'on mesure effectivement la pente dM/dH en fonction de H et T par rapport à la mesure d'aimantation où l'on détermine la mesurande M(T,H). Le schéma d'une telle expérience est donné en Figure 4-9. Le champ appliqué est du type: ti

acdc eHHH ω+= Remarque: pour des champs Hdc=Hac constants on a:

Equation 4-1

dteHi

dttHdH

HHdH

HHdH

tiac

acac

dcdc

ωω=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

Bobine génératrice du champ dc Hdc.

Bobine génératrice du champ ac Hac exp(iωt).

Bobines de détection; montées en série et bobinées en sens inverse l'une de l'autre.

Figure 4-9: Schéma d'une expérience de susceptibilité magnétique alternative.

La réponse de l’échantillon à un champ H est M(H,T)=χv(H,T) H et on a: ( )ti

acdcvv eHHHM ω+χ=χ= Remarque: la susceptibilité χv est la pente de la droite reliant l'origine au point M(H) et non dM/dH. Cette réponse est enregistrée à l’aide de la mesure de la tension induite dans deux bobines de détections montées en série mais bobinées en sens opposé où l'on dispose à l'intérieur d'une des deux l'échantillon à analyser. En absence d'échantillon les tensions induites des deux bobines sont égales mais de signe opposé et on mesure une réponse globale nulle. Par contre lorsqu'un échantillon est présent on a:

( ) ( )dtdMA

dtdHA

dt)MH(dA

dtBAd

dtdV oo

o µ−µ−=+µ

−=−=φ

−=

GT, Version du 27.04.2003 09:54 4-101

où A est la surface des bobines de détection. Sachant que le premier terme est nul vu que les deux bobines de détections montées en série sont bobinées en sens opposé l'une de l'autre on obtient après avoir remplacé dt (Equation 4-1):

Equation 4-2 ( )

dHdMeHA

dHdMeHiAV 2/ti

acoti

acoπ−ωω ωµ+=ωµ−=

Dans le cas d'analyses sur des échantillons supraconducteurs, la mesure des parties réelle et imaginaire de V donne de précieux renseignements sur la transition de phase supraconductrice, sur la qualité des jonctions électriques entre les grains de phase supraconductrice, sur les phénomènes dissipatifs, sur les courants critiques, etc. Un exemple d'une telle mesure à très bas champ oscillant et champ dc nul est donné dans la Figure 4-10. Ce type de mesure est très souvent employé lors de mesure de la température critique.

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0 20 40 60 80 100 120

Temperature (K)

ac m

agne

tic s

usce

ptib

ility

(arb

. uni

ts)

χac''

χac'

Hrms = 0.1 Oe

Figure 4-10: Mesure de susceptibilité alternative à bas champ alternatif et champ dc nul en fonction de la température sur un échantillon de phase supraconductrice Tl-1223, G. Triscone, unpublished data..

4.4 Courant critique

GT, Version du 27.04.2003 09:54 4-102

5 Différents types de supraconducteur La Figure 5-1 illustre depuis la découverte de la supraconductivité l'évolution de la température critique avec le temps.

Figure 5-1: Evolution de la température critique avec le temps; symboles remplis en noir: les phases étudiées au département de physique de la matière condensée de l'université de Genève.

5.1 Supraconducteurs à basses températures critiques

5.1.1 Supraconducteurs à structures cristallines type A15 La Table 5-1 indique quelques composés supraconducteurs classiques de structure cristalline cubique type A15. Table 5-1: Composés supraconducteurs type A15.

A15 Tc (K) A15 Tc (K) V3Os 5.15 Nb3Os 0.94 V3Rh 0.38 Nb3Rh 2.5 V3Ir 1.39 Nb3Pt 10.0 V3Ga 15.4 Nb3Sn 18.3 V3In 13.9 Nb3Ge 23.0 V3Si 17.1 Nb3Al 18.9

5.1.2 Phases de Chevrel La Table 5-2 indique quelques composés supraconducteurs type phase de Chevrel de formule chimique MxMo6X8 où M est un métal et X=Se où S. Malgré que ces composés ont des températures critiques inférieures à celles de certains composés A15, ils sont très intéressants du point de vue applications potentielles à cause de leurs très grandes valeurs de champ critique Hc2(T=0). Table 5-2: Composés supraconducteurs type phase de Chevrel.

Formule Tc (K) Formule Tc (K) Mo6S8 1.7 Mo6Se8 6.3 PbMo6S8 12.5-14.7 PbMo6Se8 3.6 AgMo6S8 8.5 AgMo6Se8 5.8 LaMo6S8 7.0 LaMo6Se8 11.2 NdMo6S8 3.5 NdMo6Se8 8.0 YbMo6S8 8.5 YbMo6Se8 5.2

GT, Version du 27.04.2003 09:54 5-103

5.2 Supraconducteurs à hautes températures critiques

5.2.1 La découverte de la supraconductivité à haute température critique

Alex Müller et Georg Bednorz

En 1986, une découverte inimaginable a été faite dans le domaine de la supraconductivité. Alex Müller et George Bednorz, chercheurs au laboratoire de recherches IBM à Rüschlikon en Suisse, ont fabriqué un matériau de type céramique qui présente des signes de supraconductivités à la température la plus haute alors connue; soit 30 Kelvin. Ce qui a rendu cette découverte remarquable était que la phase étudiée est normalement un isolant électrique. Le composé contenait du lanthane, du baryum, du cuivre et de l'oxygène. Ils ont reçu pour ce travail le prix Nobel34 l'année suivante.

Figure 5-2: Découverte de la supraconductivité d'un oxyde métallique (LaBa)3CuO4 par Alex Müller et Georg Bednorz en 1986 (G. Bednorz, and A. Müller. Zeitschrift, Physik. Condensed Matter, April 1986).

5.2.2 Les différentes familles d'oxydes supraconducteurs LaSrCuO:

• La2-xSrxCuO4-y (Tcmax=30 K) (trous)

NdCeCuO:

• Nd1.85Ce0.15CuO4-y (Tcmax=24 K) (électrons)

YBaCuO:

• Y1Ba2Cu3O7-δ "Y-123" (Tcmax=92 K) (trous) • Y1Ba2Cu4O8 "Y-124" (Tc=82 K) (trous) • Y2Ba4Cu7O15-δ "Y-247" (Tcmax=95 K) (trous)

BSCCO:

• Bi2Sr2Cu1O6-δ "Bi-2201" (Tcmax=30 K) (trous) • Bi2Sr2Ca1Cu2O8-δ "Bi-2212" (Tcmax=95 K) (trous) • Bi2Sr2Ca2Cu3O10-δ "Bi-2223" (Tcmax=110 K) (trous)

TlBaCaCuO: 34 http://www.nobel.se/

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• Tl2Ba2Cu1O6-δ "Tl-2201" (Tcmax=90 K) (trous) • Tl2Ba2Ca1Cu2O8-δ "Tl-2212" (Tcmax=112 K) (trous) • Tl2Ba2Ca2Cu3O10-δ "Tl-2223" (Tcmax=125 K) (trous) • (Tl,Pb,Bi)1(SrBa)2Ca2Cu3O8+δ "Tl-1223" (Tcmax=116 K) (trous)

HgBaCaCuO:

• Hg1Ba2Ca2Cu3O8+δ "Hg-1223" (Tcmax=133 K) (trous) • etc.

etc.

5.3 Découverte récente - Magnésium borocarbide MgB2 En 2001 un équipe Japonaise35 découvrit un nouveau supraconducteur composé d'un métal ordinaire avec une température de 39 K; alors que les théoriciens prédisaient qu'il était impossible que des métaux conventionnels puissent présenter de la supraconductivité au-dessus de 20 K ! Evidemment que cette température est bien plus petite que les 140 K des meilleurs supraconducteurs à hautes températures critiques mais ce matériau est simple et bon marché à fabriquer. Mais son grand atout est que les nouveaux cryoréfrigérateurs36 arrivent facilement à 20 K; température où le MgB2 est utilisable. De plus la grande longueur de cohérence de 50 Ǻ par rapport à la taille de 3 Ǻ d'une cellule cristalline fait que les défauts n'affecterons pas ou peu la supraconductivité. Actuellement les meilleures valeurs de courants critiques atteignent les 50 kA/cm2 ce qui est très proche de la limite de 100 kA/cm2 requise par les premières applications.

35 On January 10, Prof. J. Akimitsu (Aoyama Gakuin University) announced at a symposium on "Transition Metal Oxides" in Sendai, Japan, that MgB2 is a binary intermetallic superconductor with Tc = 39 K. The x-ray pattern of his sample showed almost single-phase MgB2. 36 Système de refroidissement en circuit fermé fonctionnant à l'électricité.

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6 Applications Dès la découverte des nouvelles phases supraconductrices en 1986, les nouvelles possibilités offertes par la perspective de travailler à 77 K plutôt qu'à 4.2 K ont suscité des perspectives d'applications à très court terme. Il est facile maintenant de critiquer cette attitude trop béatement optimiste mais, probablement plus intéressant, de constater que la principale erreur d'appréciation vient de ce que le schéma de développement des oxydes à hautes températures a été calqué sur celui suivi par les supraconducteurs métalliques classiques. Ces derniers n'ont pas été utilisés dans des applications avant la découverte dans les années 60 des supraconducteurs de type II A15 résistant à l'application de champs magnétiques de plusieurs teslas. Ensuite, très rapidement, des progrès ont permis de fabriquer des aimants capables de produire des champs magnétiques dépassant les 10 Teslas. Depuis, grâce à une élaboration métallurgique des alliages supraconducteurs de mieux en mieux contrôlée sur des brins progressivement plus fins (quelques dizaines de microns), la qualité des fils permet aujourd'hui d'atteindre 20 Teslas (Oxford Instrument). Le développement des supraconducteurs classiques pour l'électronique et la mesure, principalement pour des jonctions type Josephson et des SQUID (Superconducting QUantum Interference Device), a été plus lent. La technologie supraconductrice à base de plomb, développée à IBM jusqu'au début des années 80, a été arrêtée avant de lui permettre de déboucher sur la magnétométrie à SQUID qui a commencé à se développer commercialement sur le marché de la recherche principalement. Il est frappant alors de constater que les applications des oxydes à hautes températures critiques suivent un développement exactement opposé: ce sont les applications en électronique et plus généralement en "courants faibles" qui existent à l'heure actuelle alors que les ingrédients nécessaires pour les applications courants forts ont eu un développement beaucoup plus lent que prévu à l'origine. La raison pour ce cheminement inverse est sans aucun doute à mettre sur le compte de la méconnaissance des matériaux à l'origine des phases à hautes températures critiques et surtout de la grande difficulté de les maîtriser à grande échelle. Par opposition, les succès initiaux rapides ont permis de réaliser des films à hautes températures critiques de bonne qualité ayant des pertes à haute fréquence moindres que les conducteurs métalliques normaux à la même température37.

6.1 Prospective pour les matériaux HTSC futurs et leurs applications Comme le soulignent les différents responsables des développements de la supraconductivité aux USA, en accord qualitatif avec leurs homologues japonais, l'utilisation des oxydes va être liée au développement de cryoréfrigérateurs de petite taille et de haute performance (par exemple fonctionnant sur le un cycle de Stirling). On peut donc anticiper que les progrès actuels des performances des composants électroniques supraconducteurs pourront être bientôt limités, dans leur utilisation, par celle des cryoréfrigérateurs. Un exemple de ce type est déjà présent dans le projet spatial USA "HTSSE-II" où, sur la douzaine de circuits pour tests électroniques proposés, seule la moitié est programmée pour être intégrée au satellite, la limitation étant la capacité de refroidissement du générateur38.

37 Tiré du rapport de Phillippe Monod, Ecole normale supérieur, LPMC, Paris. 38 IEEE Transactions on microwave theory and techniques, 44 (1996) 1198.

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6.2 Caractéristiques nécessaires en fonction du type d'application Par contraste aux applications électroniques qui débouchent actuellement sur leur commercialisation, actuellement peu d'applications courant "fort" ont vu le jour. Le principal problème n'est pas trop la valeur du courant critique mais d'arriver à produire un câble de grande longueur dont les caractéristiques supraconductrices et mécaniques soient homogènes. Mais chaque jour des progrès important se réalisent qui rapproche l'apparition commerciale de ces futures technologies. La Figure 6-1 donne les caractéristiques que doit avoir un supraconducteur pour pouvoir être utilisé dans certaines applications.

Figure 6-1: Propriétés requises d'un supraconducteur dans le plan (Jc,H) en fonction des applications.

Il est à remarquer que:

• le supraconducteur à basse température Nb-Ti peut être utilisé dans pratiquement toutes les applications,

• le coût d'un système utilisant des matériaux supraconducteurs, y compris les systèmes de réfrigérations, est compétitif par rapport à un dit "conventionnel"; surtout avec l'apparition des HTcS qui diminue considérablement le coût de la partie cryogénie.

6.3 Câbles de transmission de puissance En partant des constations suivantes,

• il y a plus de 140'000 km de tubes souterrains contenant des câbles à travers le monde, • la demande en puissance augmente, • la place disponible souterraine diminue (e.g. Tokyo). • les câbles de cuivre perdent 7% de la puissance transmise.

On conçoit facilement qu’il devient intéressant d’utiliser des câbles supraconducteurs car, d’une part, ils occupent moins de place dans ces gaines ; et donc pour un même volume ils peuvent fournir de 3 à 5 fois plus de puissance. D’autre part, il n’y a pas besoin d'amener de la puissance à haut voltage et de créer de nouvelles stations transformatrices. Un bon exemple est donné par la compagnie Detroit

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Figure 6-2: Détail d’un câble supraconducteur.

Edison. A Detroit, ils ont enlevé 9 gaines souterraines contenant chacune un câble de cuivre, d’un poids total de 18'000 livres, et les ont remplacées par seulement 3 câbles supraconducteurs qui fournissent la même puissance. ; il reste donc 6 gaines libres pour d’autres câbles ou pour des lignes de télécommunication. Économiquement, les câbles supraconducteurs ne semblent viables que dans un milieu citadin. En effet, un mètre de ce câble de 1000A coûte actuellement environ 200 $ contre seulement 5 $ pour le même câble en cuivre (à noter cependant qu’en 1995, ce câble supraconducteur coûtait 1000 $/mètre). Dans un proche avenir, les estimations donnent un prix minimum de 50 $/mètre. Il est donc évident que le grand bénéfice de ces câbles supraconducteurs soit, pour une même puissance fournie, le gain de place qu’ils génèrent dans les gaines souterraines

Figure 6-3: Ligne de test de 3 câbles aériens HTcS (30m) à Carrollton (Georgia, USA). Chaque câble transmet 1'250 A sous 12.4 kV. Cette ligne a été testée en continu pendant 14’000 heures.

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Les premières lignes de puissance commencent à être installées pour des besoins bien spécifiques aux US. Par exemple, Detroit Edison Co, en collaboration avec Pirelli Energy Cable, a installé dans la sous station de Frisbie trois câbles supraconducteur souterrains chacun d’une longueur de 120m. Ces câbles supraconducteurs n’occupent que 3 des 9 passages souterrains utilisés par les câbles en cuivre pour fournir la même puissance. Avec l’installation actuelle, il reste donc 6 passages pour transmettre encore plus d’énergie. Malheureusement, lors de la mise en service, une fuite dans le système d’isolation thermique (cryostat) a condamné deux des trois phases ; le problème se situe donc au niveau du packaging et non au niveau du câble supra. Les tests vont cependant se poursuivrent sur la 3ème phase.

Detroit Edison is replacing some of its electrical lines with high-temperature superconductor cables. Nathan Kelley, above, feeds a test cable through an existing passageway at one of the company's substations. Andrew Sacks for The New York Times, May 29, 2001

L’Europe n’est pas en reste ; en effet, en mai 2002, a été mis en service à Copenhague, par NKT câbles, 3x30m de câbles supraconducteurs souterrains permettant d’alimenter environ 150'000 ménages. Les diverses données techniques de ces câbles sont indiquées ci-dessous:

• 3 phases: 3x30 m, • 30 kV / 2 kA, • poids = 13 kg/m/phase, • température de fonctionnement = 80 K, • flux d’azote liquide = 800 kg/h, • pertes AC = 1-2 W/m à 2000 A, • pertes thermiques = 0.5 W/m.

Des études sont en cours pour diminuer les pertes Ac et les pertes thermiques.

6.4 Générateurs HTcS Estimations: • dans les prochains 10 ans, on estime que le marché des générateurs équivaudra à environ 25

milliards de $; correspondant à une puissance totale de 1'000 GW. Des générateurs utilisant des HTcS pour produire le champ magnétique seront naturellement produits car:

• même si les générateurs conventionnels ont un excellent rendement (≈98.6%), les pertes seront encore réduites de 50% (cela correspond tout de même à une économie de qq millions de $ par an pour un générateur de 1'000 MW (centrale nucléaire),

• ils sont beaucoup plus petits et plus légers (1/3 du volume d'un générateur conventionnel) ⇒ ils coûteront moins cher malgré le changement de technologie, ⇒ l'infrastructure du bâtiment sera réduite, • plus de limitation de champ imposé par la saturation du fer dans les anciens générateurs.

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Figure 6-3: The superconducting MW a.c. generator prototype, Westinghouse Company.

Les études actuelles portent sur des générateurs a.c. synchrones (50 à 60 Hz) de deux types: • toutes les bobines (rotor et stator) seraient construites à l'aide de matériaux supraconducteurs, • seules celles du rotor le seraient.

Figure 6-4: Générateur supraconducteur, produit à Grenoble, sur un banc de test.

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6.5 Transformateurs HTcS Comme dans le cas des générateurs utilisant des HTcS: • les pertes sont réduites de 25 à 50% par rapport à un

transformateur conventionnel (cela correspond à une économie de 100'000 $ par an pour un transformateur de 100 MW),

• beaucoup plus petits et plus légers (1/2 du volume d'un transformateur conventionnel)

⇒ ils coûteront moins cher malgré le changement de technologie,

⇒ l'azote liquide utilisé pour le refroidissement et le diélectrique est propre et inflammable par rapport à l'huile utilisée dans les transformateurs conventionnels.

• plus de limitation de champ imposé par la saturation du fer dans les anciens générateurs.

ABB-EDF-ASC ont démontré en 1997 la faisabilité d'un transformateur triphasé de 630 kW à Genève. La construction d'un prototype de 10 MW est prévu cette année.

Figure 6-5: Premier transformateur (3-phases 630 kVA, 18.7 kV/420 V) à avoir été testé dans un réseau électrique, celui de Genève (collaboration AB, ASC et EDF, W. Paul et al., ABB).

Finalement ces transformateurs devraient intéresser fortement les fabricants de trains à haute vitesse étant donné que l'un des problèmes majeurs qu'ils ont à résoudre est le refroidissement des locomotives.

6.6 Limiteurs de courants - "Fault Current Limiters (FCL)" Le limiteur de courant est, par définition, un dispositif permettant de limiter le courant dans une ligne électrique lors d’un court-circuit et donc de protéger les équipements électriques en amont. Actuellement, lors d'un court circuit d'une ligne de puissance, le courant est coupé grâce à des disjoncteurs mécaniques ; ils sont généralement constitués de deux parties mobiles qui se séparent lors du court-circuit, interrompant le circuit électrique. Une décharge électrique peut cependant se produire

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entre ces deux parties et doit être soufflée par un système d’huile ou de gaz sous pression. De ce fait, ces disjoncteurs interrompent le courant que 2 à trois périodes (40 à 60 milisecondes) après le début du court-circuit. Pendant ce laps de temps, le courant peut atteindre des valeurs jusqu’à 100 fois le courant nominal de la ligne. Ceci provoque des contraintes thermiques et mécaniques (proportionnelles au carré du courant !) sur les installations. Il faut donc que tous les équipements électriques soient dimensionnés pour supporter de tels courant pour environ 60 ms. Le limiteur de courant introduit une impédance supplémentaire dans la ligne lors du début d’un court-circuit, ce qui a pour effet de limiter le courant (le court-circuit se faisant en source de tension). Comme le courant est limité à une valeur proche de sa valeur nominale, les équipements électriques peuvent être dimensionnés pour supporter des courants 100 fois plus petits, d’où un gain de volume et surtout de prix. De même, le disjoncteur ne doit plus couper qu’un courant nettement plus petit. Il faut noter que les limiteurs de courant supraconducteur est un dispositif qui n’a pas de contrepartie en technologie classique. Les principaux avantages des limiteurs de courant supraconducteurs sont: • peu de pertes en utilisation normale (pertes ac), • temps de réponse (limitation du courant) extrêmement courts, de l’ordre de quelques

microsecondes, dans le cas de limiteurs résistifs, • après la coupure du courant par le disjoncteur, le limiteur de courant est près à re-fonctionner après

seulement quelques secondes. Les estimations d’un marché économique pour les limiteurs de courant sont, pour l’instant, difficile car il faut noter qu’il s’agit d’une nouvelle technologie n’ayant aucune contrepartie en technologie classique. Il semble toutefois, à l’instar des autres applications de la supraconductivité, que les coûts de fabrication soient le problème crucial à résoudre. Il existe actuellement trois types de limiteur de courant qui utilisent le passage de l’état supraconducteur à l’état normal pour introduire une impédance supplémentaire dans la ligne; le limiteur inductif, le limiteur résistif et celui hybride. Cette transition supra-normal est possible grâce au dépassement du courant critique dans le supraconducteur.

6.6.1 Limiteur de courant inductif Un tel limiteur de courant, d’une puissance nominale de 1.2 MVA (70A, 6kV), a été produit par la compagnie suisse ABB. Ce prototype, installé en 1996 dans la centrale hydroélectrique "Kraftwerk am Löntsch" (près de Glaris), a fonctionné pendant une année. Le refroidissement des trois cryostats est assuré, de manière automatique, par un réservoir d’azote liquide de 2000 litres. La consommation journalière d’azote est ~ 80 litres (avec un coût d’environ 20 centimes le litre).

Ce limiteur est le premier dispositif de puissance supraconducteur a avoir été mis en service dans un réseau électrique. Ce dispositif, appelé "shielded iron core", est schématisé par la Figure 6-6:

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Figure 6-6. Schéma du limiteur de courant inductif développé par ABB (figure de gauche). Anneaux de BiSCCO formant ce limiteur (figure de droite).

Ce limiteur de courant inductif comprend quatre éléments concentriques: un noyau en fer (iron core), un cryostat, un tube supraconducteur et une bobine normale (cuivre). C’est essentiellement un transformateur dans lequel le bobinage secondaire est le tube supraconducteur (qui est la seule partie a être refroidie à 77 K). Ce tube est constitué d’une superposition d’anneau de BiSCCO, d’un diamètre de 38cm et d’une épaisseur de 2 mm, obtenu par un processus de fusion partielle (cf. Figure 6-6). Le bobinage du primaire est connecté en série avec la ligne électrique à protéger. En régime normal, le tube supraconducteur écrante le champ créé par le bobine primaire ; dans ce cas le noyau de fer est " invisible" pour cette bobine. En cas de court-circuit, le champ de la bobine primaire augmente et les courants d’écrantage dans le tube de BiSCCO dépassent le courant critique ce qui provoque sa transition dans l’état normal. Dès ce moment, la bobine primaire "voit" le noyau de fer ce qui introduit dans le circuit une inductance supplémentaire qui limite le courant. Un exemple de la limitation du courant mesurée lors d’un court-circuit est représenté sur la Figure 6-7. Le courant nominal est de In=80 A, lors du court-circuit on constate que le courant est limité a environ 200 A (2.5In) après une alternance et que le pic de courant atteint 900 A (11 In) et ceci après 800 µs.

time[s]0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

with limiter

without limiter( x 5 )

Figure 6-7. Courant (en ampère) durant un court-circuit avec ou sans FCL.

L’avantage d’un ce type de limiteur de courant est qu’il ne nécessite aucune amenée de courant dans le supraconducteur. Par contre, le passage à des puissances plus importantes (10 MVA) augmente très fortement le poids et la taille de ce dispositif; ceci est une des raisons qui a poussé ABB à se tourner vers les limiteurs de courants résistifs.

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6.6.2 Limiteur de courant résistif. Un limiteur de courant supraconducteur résistif utilise la caractéristique du passage à l'état normal (état dissipatif) lorsque la densité de courant est supérieure à une certaine valeur critique Jc(H,T). Ainsi, positionné en série dans le circuit, il permet d'induire dès que la condition J>Jc une résistance supplémentaire qui limite le courant. Concernant la conception d’un limiteur de courant résistif, il est intéressant de noter que très peu de paramètres rentrent en ligne de compte. En effet, la puissance nominale du limiteur est donnée par Pn=Un·In où Un est la tension nominale, In le courant nominal. Généralement on choisit In égal au courant critique du supraconducteur Ic, Ic=In (les valeurs de tension et de courant mentionnées ici sont les valeurs de crête et non les valeurs efficaces). Prenons un supraconducteur de longueur l, d’épaisseur e, de largeur w et avec une résistivité dans l’état normal (juste au dessus de la transition) ρn. Le courant critique est donc donné par:

Equation 6-1 cc c

c

II J e w e wJ

= ⋅ ⋅ → ⋅ =

où Jc est la densité de courant critique. On constate que la section e·w est fixée par le choix de In. L’efficacité d’un limiteur de courant est donnée par le facteur de limitation α, qui est le rapport du courant limité Icc et du courant nominal Ic, i.e. Icc=α·Ic. Dans ce cas on a:

Equation 6-2 n n n ncc c

n nn

U U U e w U II I lc

n cR l le wα

ρ ρρ J⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ = = = =⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

où Rn est la résistance du limiteur après sa transition. La longueur l du supraconducteur est exprimée par:

Equation 6-3 n n

n c c

U UlJ Eα ρ

= =⋅ ⋅

On constate que les dimensions du supraconducteur sont fixées par le choix de Un, In et du courant de court circuit Icc (i.e. α). Ec= α.ρn.Jc est le champ électrique dans le limiteur après la transition. Un autre paramètre important, pouvant amener à une dégradation du dispositif, est la puissance supportée par le limiteur ; celle-ci est donnée par

Equation 6-4 2 2( )n cc n c n clP R I J e w l e w J

e wρ α ρ α= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅2 2

ce qui représente une densité de puissance par unité de volume de:

Equation 6-5 2 2V n c

Pc cp J E

l w eρ α α= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅J

Il y a principalement deux catégories de limiteurs de courant résistifs: les limiteurs sous formes massives et ceux sous formes de couches minces.

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6.6.3 Limiteurs résistifs massifs Il existe plusieurs projets, en Europe, concernant ce type de limiteur ( Byfault, Superpoli). On peut citer, par exemple, le projet Byfault qui a pour objectif final la construction d’un FCL de 17 MVA. La solution adoptée est celle de méandres d’YBCO obtenus à partir d’un barreau mono-domaine (φ= 45 mm, hauteur 3 cm). Ces pistes ont un courant critique (à T=77 K) de l’ordre de 1 104 A/cm2. Un limiteur d’une puissance de 0.1 MVA (1 kV, 100 A), composé 43 méandres, a déjà été testé à Grenoble. Dans ce cas le courant est limité, quelques ms après le début du court-circuit, à environ 730 A (=7.3 In). Le projet le plus prometteur, concernant ces limiteurs massifs, est cependant celui développé par l’entreprise suisse ABB. Il s’agit de poudre de BiSCCO compactée et mises sous forme de méandres sur des plaques d’acier (Figure 6-8).

Figure 6-8. Assemblage de plaques contenant les méandres de BiSCCO.

Un limiteur de courant de 6.4 MVA a déjà été testé avec succès. Il se compose de 4 plaques, connectées en parallèle, ayant un courant nominal de 200 Arms, une tension nominale de 8.3 kVrms et la longueur des méandres varie de 5 à 15 mètres avec des largeurs de pistes de quelques cm. Le courant critique des pistes de BiSCCO varie entre 2 et 5 103 A/cm2. Le comportement d’un tel limiteur de courant (800 A, 8.3 kV) en court-circuit est montré dans la

Figure 6-9. Au début du court-circuit, le courant atteint un pic de 10.6 kA (=9.5In), 3.2 kA (=4In) après 20 ms et finalement 2.7 kA après 100 ms. Les limiteurs de courant massifs ont l’avantage d’être relativement facile à construire et ils ont donc des coût de fabrication plus bas que les limiteurs sous formes de couches minces. Par contre ils ont plusieurs désavantages: le premier d’entre eux est relié aux faibles densités de courant critique obtenus dans ces pistes massives. En effet, si l’on se réfère à l’Equation 6-2, une faible densité de courant a pour effet d’augmenter le facteur de limitation α, on obtient des courants de court-circuit, après

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quelques millisecondes, qui varie entre 7 et 10 fois le courant nominal. Ils sont donc plus appropriés à des applications où les installations peuvent supporter de tels courants de court-circuit. Les compagnies de distribution électrique demandent en général des courants de court-circuit plus petit que 5In. L’autre désavantage des limiteurs massifs est la possibilité d’apparition de hot spots. Ces désavantages sont nettement réduits dans le cas de limiteurs résistif sous formes de couches minces.

Figure 6-9. Courant et tension dans le limiteur de courant résistif développé par ABB lors d’un court circuit.

6.6.4 Limiteurs résistifs sous formes de couches minces Ces limiteurs sont essentiellement réalisés avec des couches minces d’YBCO, recouverte d’une couche protectrice d’or, déposées sur un substrat mono-cristallin de saphir ( Al2O3); on trouve actuellement ces substrats jusqu'à des tailles de 8 pouces ( disque de 20cm de diamètre). Ces couches d’YBCO , d’une épaisseur allant jusqu’à 3000 Å, ont une densité de courant critique aussi élevée que Jc~3 106 A/cm2. Par un procédé lithographique standard, un méandre d’YBCO est gravé sur ce substrat; on obtient par exemple le méandre, représenté sur la Figure 6-10, qui est actuellement étudié à l’université de Genève.

Figure 6-10. Limiteur de courant sous forme de couche mince d’YBCO sur un substrat de saphir. Le méandre d’YBCO (en noir) ainsi que son design sont réalisés à l’université de Genève.

Ces types de limiteurs sont surtout étudiés en Allemagne (Siemens), en Corée (Korea Electric Power) mais également en Suisse grâce à une collaboration ABB- Université de Genève.

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Les avantages de ce type de limiteur sont visibles sur la Figure 6-11, qui illustre le comportement initial ( t~25 µs) d’une piste d’YBCO (largeur 1mm, épaisseur 3000Å) soumise à un pulse de tension constante. On constate que le courant est limité seulement 1-2 µs après le début du pulse (=début du court-circuit). Le pic de courant se situe, quelque soit la tension à laquelle apparaît le court-circuit, à 3 fois le courant critique (courant nominal). D’autre part, sur des mesures à des temps plus long, on observe que le courant tombe rapidement en dessous du courant nominal ( généralement en 1-2 ms) ; le facteur de limitation α est donc plus petit que l’unité ce qui est nettement mieux que celui obtenu avec des limiteurs résistif massifs.

0

2

4

6

8

10

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25

Res

ista

nce

(Ω)

Cou

rant

(A)

Time (µs)

U=50V → Icc

=100A

Courant

RésistanceDébut

Ic=10A

Figure 6-11. Comportement du courant et de la résistance dans une piste d’YBCO soumis à un pulse de tension.

Siemens a produit et testé un limiteur de courant de 1MVA (330 kVA par phase); chaque phase se compose de x substrats (de 4 pouces) mis en série et parallèle. D’un point de vue comportement, les limiteurs de courant sous formes de couches minces sont plus performants. Malheureusement, c’est leur prix de revient qui est un frein à leur application; en effet, ce prix, pour une wafer de 2 pouces qui tient une puissance de 5kW, revient a environ 800 Frs. Il est évident que ce prix devient prohibitif lors de la construction d’un FCL de 10 MW ! Une partie de prix de revient provient du fait que l’on utilise des substrats mono cristallin de saphir; c’est pour cette raison qu’une partie du projet FCl de Genève est consacrée à la recherche de nouveau substrat.

Figure 6-12. Limiteur de courant à couches minces réalisé chez Siemens AG

6.6.5 "The saturated iron core concept" Ce type de limiteur de courant supraconducteur n'utilise pas la caractéristique du passage à l'état normal (état dissipatif) du matériau. Ici, le supraconducteur est utilisé pour saturer l'aimantation d'un cœur de fer comme le montre la Figure 6-13 où le supraconducteur joue le rôle de "secondaire".

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En utilisation normale, le champ B est quasiment indépendant de H (zone entre A et A' de la Figure 6-13) à cause de la saturation de l'aimantation induite par la bobine supraconductrice sur le noyau de fer. Ainsi le potentiel induit est très petit étant donné que B ne varie quasiment pas et que:

Equation 6-6 dtdiL

dt)BNS(d

dtdV −==φ

−=

où φ est le flux, B l'induction magnétique, N le nombre de spires, S la surface d'une spire, L le coefficient de self induction, i le courant et t le temps. On a donc un coefficient de self induction apparent très petit

Figure 6-13: Principe de fonctionnement d'un limiteur de courant de type «saturated ion core»

Par contre, en cas de surcharge, la zone augmente entre B et B' et dans la partie BS l'induction magnétique B varie cette fois fortement avec H. La conséquence est une augmentation brusque du coefficient de self induction L, c'est-à-dire de l'impédance et donc une limitation du courant.

6.7 Stockage d'énergie Les systèmes de production d'énergie sont tous interconnectés ensemble avec pour conséquence des problèmes de plus en plus aigus concernant la propreté du produit vendu au consommateur (voltage, fréquence, etc.). Le stockage de l’énergie et sa restitution au réseau électrique pour compenser des coupures de courte durée peut être réalisé grâce à la production de champs magnétiques avec des bobines fonctionnant à des températures supérieures à 4.2 K ou grâce à l’énergie cinétique de rotation de roues d’inertie en lévitation sur des paliers magnétiques et supraconducteurs autostables. Ainsi, les systèmes de stockage d'énergie vont être naturellement intégrés dans les systèmes de distribution énergétique parce que l'énergie emmagasinée est importante et accessible en quelques milisecondes. Les SMES (Superconducting Magnetic Energy Storage) ont des efficacités de l'ordre de 95% entre une charge et une décharge. L'énergie emmagasinée vaut:

Equation 6-7 2

V

Li21dV H BW == ∫

où B et H sont respectivement l'induction et le champ magnétique, L et i étant le coefficient de self induction et le courant, respectivement.

6.8 Moteurs supraconducteurs Dans le marché mondial des moteurs électriques, environ 1.2 milliards de $ sont dépensés annuellement pour des moteurs puissants (>1000hp), domaine où les moteurs HTcS vont être utilisés.

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Citons par exemple, le cas des moteurs pour bateaux ; de plus en plus de gros bateaux (navires de croisières, paquebots, navire militaires) seront équipés de moteurs électriques. Ces navires nécessitent des moteurs d’une puissance de 25'000 à 30'000 hp. Des bateaux tels que les ferries emploient des moteurs de 6500hp. Il est à noter que American Superconductor a déjà construit et testé un moteur supraconducteur de 5’000hp, un moteur de 6’500hp sera livré à l’US Navy à la fin 2003 et la commercialisation de ces moteurs est prévue pour 2004. Quels sont les avantages des moteurs supraconducteurs ?

1. Gain de place et de poids: comme les câbles supraconducteurs peuvent conduire des courants beaucoup plus importants que les câbles en cuivre, on peut donc générer des champs magnétiques plus élevés pour un volume donné. Par exemple, le volume du moteur supraconducteur de 5’000hp est de 7.5m3 ce qui représente 1/3 du volume d’un moteur conventionnel. Ce rapport est estimé à 1/5 pour la prochaine génération de moteurs supra.

2. Prix moins élevés: la diminution du poids et du volume de ces moteurs diminue les coûts de fabrication.

3. Diminution des pertes: l’emploi de câbles supraconducteurs diminue les pertes ; l’efficacité passe de 95-96% pour un moteur conventionnel à 97.7% pour un moteur supraconducteur (en incluant le système de réfrigération). Cela peut sembler insignifiant, mais un gain de 1% représente, pour un moteur de 5’000hp tournant 7 jours sur 7, permet une économie de 430’000kWh par année.

4. Diminution des vibrations et du bruit 5. Augmentation de la stabilité: les moteurs supraconducteurs sont plus électriquement plus stable

durant les régimes transitoires que les moteurs conventionnels. En effet, ils travaillent avec des angles de charges plus petits (15° par rapport à 70°) et ont un couple maximum plus élevé ( de ≈ 300%) que les moteurs standard. Ceci permet à ces moteurs de supporter des variations de régime ou de couple plus importants, sans pour autant perdre la vitesse synchrone pour les moteurs ac.

Moteur d.c. Certains prototypes sont construits avec le stator supraconducteur afin de s'affranchir des problèmes de transmission d'un fort couple entre la basse et la haute température. De plus on n'a pas de cryostat tournant. Ces moteurs sont avantageux lorsque les besoins sont des forts couples et des faibles vitesses de rotation; par exemple le moteur d'un bateau. Ces prototypes utilisent le "homopolar principle" qui est basé sur un disque de Faraday tournant dans une induction magnétique générée par une bobine supra-

conductrice. Le courant radial et le champ axial engendrent la rotation du disque. L'avantage d'un moteur basé sur ce principe est qu'il n'engendre aucune variation de flux dans la bobine supraconductrice et aucun couple de réaction. Moteur a.c. La dernière génération de moteur supraconducteur est de type AC synchrone; les caractéristiques discutées ici sont celles du moteur supraconducteur de 5'000 hp produit par American Superconductors.

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Figure 6-14. Moteur supraconducteur produit chez American Superconductors.

Ce moteur a été testé à 7'000 hp en transitoire et 5’900hp en continu. Le rotor est bobiné avec le composé supraconducteur du type BiSCCO-2223. Ces bobinages sont refroidis à 30K par un réfrigérateur cryogénique (cryo-cooler) de type Gifford-McMahon (circulation interne d’hélium gazeux). Le champ magnétique créé par le rotor est de 4 teslas ( environ deux fois plus élevé que celui utilisé dans les moteurs conventionnels). En régime permanent, le rotor tourne de manière synchrone avec le champ tournant créé par les courants triphasé du stator; le bobinage supraconducteur ne voit ainsi qu’un champ magnétique

6.9 Séparation magnétique Avec un marché de 150 millions par année, la séparation magnétique de particules ayant des susceptibilités différentes est utilisée par l'industrie minérale. L'introduction de ces nouveaux matériaux va permettre d'obtenir des systèmes plus performants (à cause des champs intenses disponibles), plus économiques en consommation d'énergie et moins encombrants. Ainsi, d'autres secteurs d'activités devront être intéressés par ces nouveaux séparateurs. Le principe physique est basé sur la force qui s'exerce sur une particule de susceptibilité χ plongée dans un champ magnétique dirigé selon l'axe y et un gradient de champ magnétique aussi dirigé selon y. On a:

Equation 6-8 dydBB VF yvχ=

où F est la force magnétique exercée sur une particule de volume V et de susceptibilité magnétique χ plongée dans une induction magnétique Bz et gradient de champ dB/dy. F est donc proportionnelle au produit scalaire B× B)(∇

r.

Les particules passant dans une telle zone de champ sont déflectées différemment selon leur susceptibilité magnétique et sont donc séparées.

6.10 MagLev - MAGnetic LEVitation train

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Les trains à lévitations magnétiques sont en test depuis de nombreuses années au Japon. 500 km/h sont des vitesses couramment obtenues lors de ces

tests. Actuellement le gouvernement allemand a donné sont accord pour construire un tel train entre Berlin et Hambourg; soit une distance de plus de 300 kms qui sera effectuée en moins d'une heure. Il est prévu son ouverture pour 2005. Des études sur une ligne entre Las Vegas et la Californie du sud est en étude chez General Atomics en partenariat avec Siemens, ADtranz, Thyssen. Les trains à lévitation consommeront approximativement la moitié de l'énergie par passager qu'un avion. Deux types de MagLev ont été considérés:

• EMS pour Electromagnetic suspension qui utilise des aimants conventionnels qui sont montés sous le train et qui entourent les voie de guidage; ce système a été rapidement éliminé à cause de son instabilité inhérente à sa conception même qui force le système à continuellement contrôler et ajuster la distance entre les aimants et la voie de guidage,

• EDS pour Electrodynamic suspension qui utilise des aimants supraconducteurs sur le véhicule et des conventionnels sur les voies de guidage.

Figure 6-15: Maglev train.

6.11 Composants Josephson Si la technologie des jonctions Josephson à basse température critique est bien stabilisée depuis plus d'une décennie, il n'en est pas de même pour les dispositifs fonctionnant à la température de l'azote liquide. En pratique, ce sont les joints de grains qui compliquent la tâche technologique car ils se comportent comme des jonctions Josephson dites "natives" qui altèrent profondément les propriétés de transport des couches d'YBaCuO. Ces difficultés technologiques ont largement influencé les procédés d'élaboration des jonctions Josephson à haute température critique et les structures dérivées que sont les SQUIDs dc. Ces jonctions sur joints de grains ont d'abord été très largement exploitées dans le cadre de développements de dispositifs simples tels que les magnétomètres à SQUID dc réalisés sur substrats bicristallins. La réalisation de jonctions sur joints de grain n'est qu'une étape intermédiaire dans le développement de dispositifs à jonctions Josephson à haute température critique puisqu'elle n'autorise pas une intégration bidimensionnelle. Aussi les leaders industriels mondiaux du domaine (Conductus39, Northrop Grumman40, TRW41) se sont associés pour développer une technologie commune et standardisée "la jonction sur rampe avec plan de masse" permettant une forte intégration de jonctions Josephson. La dispersion des caractéristiques obtenues est en constante réduction, grâce à la stratégie de développement concertée de ces trois grands groupes. Ces études sont d'une importance capitale car elles laissent présager un développement rapide de dispositifs et fonctions 39 http://www.conductus.com/ 40 http://www.northgrum.com/ 41 http://www.trw.com/

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logiques de type RSFQ (Rapid Single Flux Quantum Logic), technologie proposée il y quelques années par Likharev.

6.11.1 Magnétométrie à SQUID Comme nous l’avons vu dans la partie théorique de ce cours, les SQUIDs sont des dispositifs supraconducteur qui peuvent détecter des champs magnétique extrêmement faibles, de l’ordre de 10-15 T/Hz1/2, seuls des phénomènes quantiques limitent leur sensibilité. Ces SQUIDs se présentent généralement sous formes de couches minces avec une aire de détection de quelques dizaines de µm2 ( cf Figure 6-16).

Figure 6-16: Image au microscope optique d’un SQUID. On peut obtenir des sensibilités très basses à l’aide d’un montage que l’on nomme magnétomètre ; pour cela, on augmente la surface de détection du champ, comme le montre la Figure 6-17.

Figure 6-17. Schéma de principe d’un magnétomètre à SQUID.

Le magnétomètre est constitué d’une bobine d’induction primaire connectée à la bobine d’entrée du SQUID; quand un champ magnétique est appliqué, un courant électrique apparaît dans la boucle et produit ainsi un flux magnétique supérieur dans le SQUID. Actuellement, les SQUIDs avec des supraconducteur à bas Tc (principalement du niobium) ont une sensibilité 10-100x meilleure que les SQUIDs HTS ( principalement fait en YBCO). Bien qu’ils aient été inventés il y a plus de 40 ans, c’est l’avènement des HTS qui a permis la réalisation d’une nouvelle génération de SQUIDs fonctionnant à 77K et qui a développé des applications hors laboratoire. Certaines applications des SQUIDs sont énumérées dans le tableau ci dessous.

Applications Mesures électriques • Pico-ampèremètre, Pico-voltmètre, Pico-ohmmètre

Biomagnétisme • Magnéto-cardiographie (arythmie) et Magnéto-cardiographie fétale.

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• Magnéto-encephalographie pour l’épilepsie, cortical mapping et les maladies prénatales.

• Mesure du taux de fer dans le foie. • Magnéto-pneumographie.

Mesures non-destructives • Détection de défauts dans des structures par la mesure des courants d’écrantage ou Foucault ( eddy currents).

• Cartographie des tensions, des corrosions dans des structures métalliques ( ex : aile d’avions).

Détection de particules • Monopoles magnétiques, quarks, neutrinos Géophysique • Magnéto-tellurgie

• Tecto-,piezo,-and seismo-magnétisme • Magnétisme des roches • Exploration pétrolière

Militaire et sous-marines • Détection sous-marines d’anomalies magnétiques • Détection de mines sous-marines • Communication sous-marine.

6.11.1.1 Mesures électriques Une des applications de laboratoire de ces SQUIDS est la mesure de courants, tensions et résistances de très faibles valeurs. Les schémas de principe sont représentés sur la Figure 6-18:

Mesure d’un courant ac ou dc

Mesure d’une tension dc

Mesure de la résistance

Figure 6-18: Schémas de principe pour la mesure de résistance, tensions et courant en utilisant des SQUIDs.

Avec ces montages, on obtient des sensibilités de 1 pA/Hz1/2 pour le courant, 10-14 V pour la tension et 1 pΩ pour la résistance.

6.11.2 Biomagnétisme-médecine En médecine, les SQUIDs sont utilisés pour la mesure des gradients magnétiques produit par les courants électriques circulant dans le corps humain. Ces faibles signaux magnétiques ont une

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amplitude comprise entre quelques femtoteslas (1fT=10-15 Tesla) pour le cerveau à environ 50'000 fT pour le cœur, comme le montre la Figure 6-19. Avant la mise au point des SQUIDs, ces signaux étaient trop faibles pour être étudiés. De surcroît, ils étaient noyés par les fluctuations du champ magnétique terrestre (~2 10-5 T) et par les bruits urbains (ascenseurs, voiture, champ magnétique alternatif du secteur à 50Hz).

1

100

104

106

108

1010

1012

0.1 1 10 100 1000

Cha

mp

mag

nétiq

ue (f

T)

Fréquence (Hz)

Champ terrestre

Bruit urbain

Traceur magnétique

Cardiogramme

Cardiogramme foetusencephalogramme

activité du cerveau

sensibilité SQUID (bas Tc)

Figure 6-19. Champ magnétique nécessaire pour des mesures en médecine. La sensibilité des SQUIDs bas Tc est suffisante pour la plupart des examens cliniques.

Pour éliminer ces bruits de fonds, on réalise un montage appelé gradiomètre, représenté sur la Figure 6-20.

Figure 6-20. Schéma de principe du gradiomètre à SQUID. Le montage en opposition des deux bobines permet d’éliminer les effets du champ magnétique terrestre.

Dans les gradiomètres, deux boucles primaires, bobinées dans des sens opposés, mesurent simultanément le champ magnétique à deux endroits différents. Un flux n’apparaît dans le SQUID que si le champ magnétique diffère entre les deux endroits, supprimant ainsi la contribution des champs magnétiques ambiants.

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En pratique, on construit un réseau de gradiomètre à SQUID (~100-200) ce qui permet de dresser une carte des variations spatiales des champs magnétiques produit par le corps du patient (le cerveau dans le cas de la Figure 6-21).

Figure 6-21. Installation de magneto-encephalographie. La présence de centaine de gradiomètre permet de dresser la cartographie des champs magnétiques produit par le cerveau.

De tels instruments sont utilisés dans le cas de patients souffrant d’épilepsie à foyer localisé ou de dyslexie, comme montré sur la Figure 6-22. Cette figure montre la localisation des parties actives du cerveau lors de la lecture et de la prose. On peut donc constater que la partie droite du cerveau travaille plus dans le cas du dyslexique.

Figure 6-22. Réponse du cerveau à une activité de lecture ou de prose, pour un patient atteint de dyslexie et un patient sain.

Ces SQUIDs sont également utilisés en cardiologie où ils permettent de localiser le «court-circuit» électrique dans le cœur qui est à l’origine de l’arythmie cardiaque. Un autre domaine d'application en voie de développement est celui de la microscopie magnétique à SQUID ; l'usage de systèmes fonctionnant à l'azote liquide permet de diminuer très notablement la distance entre l'objet sous test et la boucle de capture du SQUID, ce qui conduit à une résolution spatiale de quelques µm. La société Neocera (http://www.neocera.com) commercialise un microscope à SQUID destiné principalement à l’industrie des semi-conducteurs; ils permet de faire une cartographie

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des champs magnétiques générés dans les puces électroniques et ainsi de détecte des éventuels défauts. Une synthèse récente des applications et perspectives des dispositifs à jonctions Josephson a été éditée par H. Weinstock dans le cadre des instituts des sciences avancées de l'OTAN (1996)

6.11.3 Bolomètres La détection bolométrique des rayonnements infrarouges lointains offre un intérêt pour l'observation de raies d'émissions spécifiques de molécules. Par exemple, le radical OH, qui joue un rôle important dans la destruction de l'ozone atmosphérique, présente des raies d'émission thermique significatives à 85 µm. Les HTcS sont les détecteurs les plus performants au-delà de 20 µm quand ils opèrent aux alentours de 85 K. D'autres solutions sont envisageables (détecteurs semi-conducteurs, bolomètres utilisant des supraconducteurs à basse Tc) mais nécessitent de fonctionner à 4.2 K, pour dépasser les performances des HTcS. Or, la masse embarquée dans un satellite est strictement limitée, il est donc nécessaire d'opérer à des températures supérieures à environ 65 K.

6.11.4 Télécommunications - téléphonie mobile Le marché des télécommunications, et spécialement la téléphonie mobile, est toujours en expansion et ceci requiert des récepteurs dans les stations relais (station de bases) qui soient à la fois très sensibles, pour améliorer la qualité de réception, et très sélectifs en fréquence dans les bandes GSM 900 Mhz et DCS 1800 Mhz. La sensibilité permet de capter des signaux provenant de sources (téléphone portable) plus lointaines et donc de diminuer le nombre de stations dans les zones rurales. La sélectivité en fréquence permet d’augmenter le nombre de canaux reçus, ce qui semble devenir crucial en milieu urbain. Pour être très sensible, les stations de base devraient être équipée avec des filtres ayant les pertes d’insertion les plus basses possibles. D’un autre coté, pour améliorer la sélectivité en fréquence, il faudrait augmenter le nombre de pôles dans ces filtres, ce qui augmentent évidemment les pertes. Ces problèmes peuvent être résolus en employant des filtres supraconducteur ; en effet, les pertes ac de ces filtres sont très basses (~100 fois plus faibles que les pertes dans le cuivre à la même température et a 2GHz). Un filtre 5 pôles, réalisés sous forme de couches minces épitaxiales d’YBCO déposées sur un substrat de 2 pouces de LaAlO3, est présenté sur la Figure 6-23. Chaque pôle est une self et la capacité est fournie par le couplage entre les pôles, ce qui donne un circuit RLC et donc un filtre.

Figure 6-23. Filtre 5 pôles réalisé chez Conductus à partir d’une couche mince d’YBCO déposée sur un substrat 2 pouces.

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Figure 6-24: Unité contenant le filtre supraconducteur. Cette unité sera placée dans une station relais, le refroidissement est assuré par un cryocooler.

On arrive maintenant à fabriquer des filtres ayant jusqu’à 9 pôles. Conductus et STI, deux compagnies américaines (qui vont d’ailleurs fusionner d’ici quelques mois), commercialisent ces filtres supraconducteurs pour les stations de base. Une de ces unités est présentée dans la Figure 6-24. Le filtre, qui se situe dans la partie noire au centre, est refroidit à une température de entre 60 et 77K par un cryocooler de type Gifford- MacMahon (cylindre au centre de l’image) ; il n’y a donc pas besoin d’amener de l’azote liquide depuis l’extérieur. De plus l’électronique standard d’amplification est aussi refroidie, ce qui diminue son bruit. Des tests de filtres supraconducteurs, dans des stations de base en service, ont déjà été effectués, avec succès, sur des durées de plusieurs mois. Le résultat dans l’emploi de ces filtres, en région urbaine, est illustré dans la Figure 6-25.

AA--band (Carrier) BB-band (Competitor)band (Competitor)

Original base station filter

Frequency (MHz)

-80

-60

-40

-20

0

20

800 810 820 830 840 850 860 870 880

Sign

al P

ower

(dB

m)

ClearSite (HTs filter)

Figure 6-25. Comportement en fréquence de filtres standard et supraconducteur en zone urbaine. Ce dernier permet d’exclure complètement les fréquences utilisées par d’autres compagnies de téléphonie.

Sur ce graphique, la réponse d’un filtre conventionnel est indiquée par la ligne traitillée bleu ( ce filtre a été choisi pour ces faibles pertes, il a cependant une sélectivité plus faible). On voit que ce filtre est inefficace pour rejeter les fréquences d’un autre opérateur (B-band). Par contre le filtre supraconducteur permet de complètement supprimer ces fréquences grâce à sa grande sélectivité, tout en gardant de très faibles pertes. Ces filtres ont également été testé en zone rurale, une mesure de la couverture

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spatiale dans une telle zone, présentée dans la Figure 6-26, montre clairement la diminution des zones inatteignables lors de l’emploi de filtres supraconducteurs.

ClearSite ® Deployed

Before ClearSite ®

28 Miles Between Cell Sites

Figure 6-26. Amélioration de la surface couverte par une station de base, dans un milieu rural, grâce à l’emploi du filtre supraconducteur (mesures effectuées en Amérique).

La diminution du nombre de stations de base (principalement en zone rurale) et l'amélioration de la qualité de communication (en zone urbaine) sont censées compenser largement le coût des composants supraconducteurs et de la cryogénie associée. Les marchés en jeu sont considérables au niveau mondial puisque les stations de base (toutes catégories confondues) nécessaires à la couverture des différents pays se chiffrent par centaines de milliers. A titre d'exemple, un millier de stations de base est nécessaire à un seul opérateur pour couvrir la région parisienne. Parmi ces installations il est estimé que plus de 10 % devraient, à court terme, bénéficier des avantages apportés par les HTcS. Cependant, la vente de ces filtres n’a pas vraiment décollé, la faute au prix encore trop élevé (environ 30’000$) et au conservatisme des entreprises de téléphonie.

6.11.5 Radar et contre mesures La relative simplicité de dessin et de fabrication des composants planaires supraconducteurs, ainsi que leur qualité et leur compacité, permet d'envisager des systèmes de réception et de pré traitement analogique du signal qui étaient auparavant tout à fait concevables mais pratiquement irréalisables tels que des bancs de filtres passe bande pour récepteur canalisés comportant un grand nombre de voies (typiquement supérieurs à 30), ou des bancs de filtres réjecteurs pour l'élimination de brouilleurs multiples (intentionnels ou fortuits). Les supraconducteurs sont alors utilisés non seulement pour la réalisation de filtres étroits à faibles pertes, mais aussi pour l'interconnexion de ces filtres qui doit être étudiée en tant que système global.

6.11.6 Antennes et imagerie par résonance magnétique Les HTcS sont également des matériaux potentiels pour la réalisation des réseaux d'antennes très directifs et pour l'adaptation d'antennes miniatures. L'imagerie RMN (Résonance Magnétique Nucléaire), qui est en plein développement, est considérée comme le marché principal pour les bobines classiques supraconductrices de champ. L'application des composés HTcS se fait pour les sondes captrices de la RMN (Bobines haute fréquence émettrices et réceptrices). On peut en effet montrer que le rapport Signal/Bruit d'un récepteur optimisé ne dépend que du facteur de qualité Q du circuit oscillant et de la température. L'utilisation d'une bobine captrice HTcS permet un gain Signal/Bruit d'un facteur 2 environ, ce qui diminue d'un facteur 4 le temps d'acquisition des images. Ce gain est très appréciable pour optimiser l'utilisation des machines MRI (Magnetic Resonance Imaging).

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6.11.7 Divers Enfin nombre d'autres applications voient le jour comme:

• des étalons primaires du volt (Josephson voltage standard proposed by the National Institute of Standard and Technology NIST)),

• des amplificateurs large bande, • des détecteurs thermiques, • des "devices" pour la future électronique quantique (transistors à flux de vortex, transistors à

flux de vortex Josephson), • mais aussi des roulements à billes supraconducteurs (gyroscopes, machines haute vitesse,

micro-machines, etc.), • ...

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7 Bibliographie recommandée Introduction to Superconductivity M. Tinkham 1975 McGraw-Hill Inc. ISBN 0-89874-049-5 Superfluidity and Superconductivity Third Edition D.R. Tilley and J. Tilley Adam Hilger, Bristol and New York 1990 IOP Publishing Ltd. ISBN 0-75030-033-7 Superconductivity J.B. Ketterson and S.N. Song Cambridge University Press 1999 ISBN 0 521 56562 3 Introduction to Superconductivity Second Edition A.C. Rose-Innes and E.H. Rhoderick International Series in Solid State Physics, Volume 6 1978 Pergamon Press Publisher. ISBN 0-08-021652-8 Superconductivity of Metals and Alloys P.G. de Gennes 1994 Addison-Wesley Publishing Company ISBN 0-201-51007-3 Handbook of Applied Superconductivity Edited by Bernd Seeber, University of Geneva, Switzerland 1998 ISBN: 0 7503 0377 8 Solid State Physics N.W. Ashcroft and N.D. Mermin Library of Congress Cataloging in Publication Data ISBN 0-03-049346-3 Physique de l'état solide 5ième édition C. Kittel Dunod, Paris 1983. ISBN 2-04-010611-1

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8 Table des matières 1 Propriétés générales des supraconducteurs ................................................................................ 1-2

1.1 Historique ............................................................................................................................ 1-2 1.2 Résistivité en fonctionnement dynamique ........................................................................... 1-4 1.3 L'effet Meissner-Ochsenfeld ................................................................................................ 1-5

1.3.1 Réponse d'un conducteur parfait soumis à un champ magnétique ................................. 1-5 1.3.2 Réponse d'un supraconducteur soumis à un champ magnétique ................................... 1-6 1.3.3 Longueur de pénétration ................................................................................................. 1-7

1.4 Les équation de London ...................................................................................................... 1-9 1.4.1 Dépendance en température de λL ............................................................................... 1-11

1.5 Propriétés thermodynamiques........................................................................................... 1-12 1.5.1 Rappel de thermodynamique ........................................................................................ 1-12 1.5.2 Chaleur spécifique à pression constante et champ nul ................................................. 1-15 1.5.3 Propriétés magnétiques (réversibles)............................................................................ 1-18

1.6 Effet isotopique.................................................................................................................. 1-27 2 Théorie ....................................................................................................................................... 2-29

2.1 La théorie macroscopique de Ginzburg-Landau................................................................ 2-29 2.1.1 Introduction ................................................................................................................... 2-29 2.1.2 La densité d'énergie libre .............................................................................................. 2-32 2.1.3 Les équations de Ginzburg-Landau .............................................................................. 2-36 2.1.4 Longueur de pénétration magnétique λ ........................................................................ 2-37 2.1.5 La distance de cohérence ............................................................................................. 2-39 2.1.6 Paramètre de Ginzburg-Landau κ................................................................................. 2-42 2.1.7 Courant critique d'un fil mince ....................................................................................... 2-42 2.1.8 Champ critique parallèle d'une couche mince ............................................................... 2-45

2.2 Supraconducteur de type II................................................................................................ 2-47 2.2.1 Energie libre d'interface métal normal/supra ................................................................. 2-47 2.2.2 Le champ critique Hc2.................................................................................................... 2-50 2.2.3 Champ critique d'un supraconducteur anisotrope - Modèle des masses effectives ...... 2-52 2.2.4 L'état vortex d'Abrikosov ............................................................................................... 2-56 2.2.5 Le champ critique Hc1.................................................................................................... 2-61 2.2.6 Interaction entre deux lignes de vortex.......................................................................... 2-63

2.3 Apparition de résistance dans un supraconducteur ........................................................... 2-64 2.3.1 Dissipation par mouvements des lignes de flux............................................................. 2-64 2.3.2 Le courant critique d'un supraconducteur de type II ...................................................... 2-67 2.3.3 L'état critique; pénétration de flux dans une plaque ...................................................... 2-70

2.4 L'effet Josephson DC ........................................................................................................ 2-75 2.4.1 Tunneling de paires de Cooper ..................................................................................... 2-75 2.4.2 Relation phase-courant dans une jonction S-I-S ........................................................... 2-76 2.4.3 Influence d'un champ magnétique sur le courant critique d'une jonction....................... 2-78 2.4.4 Electrodynamique d'une jonction Josephson ................................................................ 2-84 2.4.5 Interféromètre Josephson (Superconducting Quantum Interference Device SQUID) ... 2-86

2.5 Appendices........................................................................................................................ 2-89 2.5.1 Appendice I ................................................................................................................... 2-89 2.5.2 Appendice II .................................................................................................................. 2-91

2.6 Théorie microscopique BCS .............................................................................................. 2-94 3 Propriétés hors équilibre - Courants critiques............................................................................. 3-95 4 Méthodes de mesures................................................................................................................ 4-96

4.1 Résistivité R(T,H) .............................................................................................................. 4-96

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4.2 Aimantation M(T,H)............................................................................................................ 4-98 4.2.1 Détermination de la température critique - volume spuraconducteur ............................ 4-98 4.2.2 Détermination de diagramme de phase dans le plan (H,T) - courants critiques ............ 4-99

4.3 Susceptibilité alternative .................................................................................................. 4-101 4.4 Courant critique ............................................................................................................... 4-102

5 Différents types de supraconducteur........................................................................................ 5-103 5.1 Supraconducteurs à basses températures critiques ........................................................ 5-103

5.1.1 Supraconducteurs à structures cristallines type A15................................................... 5-103 5.1.2 Phases de Chevrel ...................................................................................................... 5-103

5.2 Supraconducteurs à hautes températures critiques......................................................... 5-104 5.2.1 La découverte de la supraconductivité à haute température critique .......................... 5-104 5.2.2 Les différentes familles d'oxydes supraconducteurs ................................................... 5-104

5.3 Découverte récente - Magnésium borocarbide MgB2 ...................................................... 5-105 6 Applications .............................................................................................................................. 6-106

6.1 Prospective pour les matériaux HTSC futurs et leurs applications .................................. 6-106 6.2 Caractéristiques nécessaires en fonction du type d'application....................................... 6-107 6.3 Câbles de transmission de puissance ............................................................................. 6-107 6.4 Générateurs HTcS ........................................................................................................... 6-109 6.5 Transformateurs HTcS..................................................................................................... 6-111 6.6 Limiteurs de courants - "Fault Current Limiters (FCL)" .................................................... 6-111

6.6.1 Limiteur de courant inductif ......................................................................................... 6-112 6.6.2 Limiteur de courant résistif. ......................................................................................... 6-114 6.6.3 Limiteurs résistifs massifs ........................................................................................... 6-115 6.6.4 Limiteurs résistifs sous formes de couches minces..................................................... 6-116 6.6.5 "The saturated iron core concept" ............................................................................... 6-117

6.7 Stockage d'énergie .......................................................................................................... 6-118 6.8 Moteurs supraconducteurs .............................................................................................. 6-118 6.9 Séparation magnétique.................................................................................................... 6-120 6.10 MagLev - MAGnetic LEVitation train................................................................................ 6-120 6.11 Composants Josephson .................................................................................................. 6-121

6.11.1 Magnétométrie à SQUID......................................................................................... 6-122 6.11.2 Biomagnétisme-médecine ...................................................................................... 6-123 6.11.3 Bolomètres.............................................................................................................. 6-126 6.11.4 Télécommunications - téléphonie mobile ................................................................ 6-126 6.11.5 Radar et contre mesures ........................................................................................ 6-128 6.11.6 Antennes et imagerie par résonance magnétique................................................... 6-128 6.11.7 Divers...................................................................................................................... 6-129

7 Bibliographie recommandée..................................................................................................... 7-130 8 Table des matières................................................................................................................... 8-131

GT, Version du 27.04.2003 09:54 8-132