•1

INTRODUCTION

• MATrix LABoratory

• Logiciel qui permet, de manière interactive :– de faire des calculs matriciels ;– d ’analyser les données ;– de visualiser les résultats en 2D et 3D ...

• Langage de programmation

• Toolboxes : ensemble de fonctions (fichiers .M) développées pour des domaines d ’applications spécifiques

• SIMULINK : interface graphique interactive de MATLAB

Introduction (2)

Fonctionnement

• Mode interactif :Les instructions sont exécutées au fur et à mesure qu ’elles sont entrées par l ’utilisateur

• Mode programme : MATLAB exécute, ligne par ligne, les instructions d ’un fichier .M

• Type de variables :unique : la matrice

L ’espace de travail :le Workspace (1)

Espace de travailDonnées

Historique

•2

L ’espace de travail (2)

• Déclarer des variables :>> x =12.5 ; y = [1 -5 0 2] ;

– définies et dimensionnées automatiquement au fur et à mesure de leur déclaration

– stockées dans l ’espace de travail

• S ’informer sur les variables :>> whoYour variables are:x y >> whosName Size Bytes Classx 1x1 8 double arrayy 1x4 32 double arrayGrand total is 5 elements using 40 bytes

L ’espace de travail (3)• Supprimer une (ou toutes les) variable(s) :>> clear x>> clear all

• Entrer une valeur au clavier :>> x = input(‘Valeur de x =’) Valeur de x =12x =

12

• Afficher un texte à l ’écran :>> disp(‘ Ceci est un test ’) Ceci est un test

>> disp([‘ x vaut ’, num2str(x)]) x vaut 12

L ’espace de travail (4)

• Gérer les accès aux répertoires / fichiers>> pathtool

• Editer les commandes : ou lettre +(ou double clic dans l’historique)

L ’aide sous MATLAB>> helpdesk

>> help nom de commande fournit de l ’aide sur l ’utilisation de la commande (et les rubriques connexes).

>> lookfor mot-clé fournit la liste des fonctions contenant le mot-clé.

•3

Plan

1. Vecteurs et matrices

2. La programmation MATLAB

3. Les graphiques

4. Les polynômes et l ’analyse numérique

5. L’import/export de données

•4

VECTEURS ET MATRICES

• Scalaires et opérations scalaires

• Vecteurs et opérations vectorielles

• Matrices et opérations matricielles

• Tableaux multidimensionnels

• Structures

Les scalaires (1)

• Le scalaire : une matrice 1x1>> s =2.5 ;>> size(s)ans =

1 1ou>> [i,j] = size(s)i =

1j =

1• Les format d ’affichage

format short 0.0333format long 0.033333333333format short e 3.3333E-002format long e 3.333333333334E-002 format rat 1/30format bank 0.03

Les scalaires (2)

• Les complexes :>> x=1+jx =

1.0000 + 1.0000i

• Les constantes prédéfinies : >> pians =

3.1416

>> epsans =

2.2204e-016

>> 1/0Warning : Divide by zero

Inf

>> 0/0Warning : Divide by zero

NaN

Les scalaires (3)

• Les opérations arithmétiques>> 3 +7 - 2 * 9ans =

-8

divisions droite (/) et gauche (\)élévation à une puissance (^)

• Quelques fonctions– fonctions trigo : cos acos cosh– exponentielle : exp– log népérien : log– log décimal : log10– racine : sqrt– |x|ou ||x||: abs– Re & Im : real imag– arrondis : round ceil floor fix

•5

Créer un vecteur (1)

• Vecteur ligne>> v1= [1 2 -5] ;ou>> v1(1) =1; v1(2) =2;v1(3)=-5;ou>> v1(1) = [1, 2 ,-5] ;

• Vecteur colonne>> v2=[-7;3];

• Transposition : >> v3=v2 ’v3 =

-7 3

Créer un vecteur (2)

• Le vecteur : une matrice 1xn>> size(v1)ans =

1 3

longueur d ’un vecteur>> long_v1 = length(v1)long_v1 =

3

• Concaténation >> v4 =[v1 v3]v4 =

1 2 -5 -7 3• Vecteur vide >> v =[ ] ;

Créer un vecteur (3)

• Génération automatiquecomposantes espacées d ’un pas constant

syntaxe : v =debut : pas : fin

>> v5=1:0.5:3v5=

1.000 1.500 2.000 2.500 3.000

⇔ v =linspace(1, 3, 5)

par défaut (pas = 1) v =debut : fin

espacement logarithmique de 10debut à 10fin

syntaxe : v =logspace(debut, fin, N)

• Extraction>> v4(3) ans =

-5>> v4(2:4) ans =

2 -5 -7

• Extraction selon un critère>> i =find(v4 > v4(i) ans =

-5 -7

Sous MATLAB, le premier indice d ’un tableau est 1

Opérations vectorielles (1)

!

•6

Opérations vectorielles (2)• opérations élémentaires

– somme de vecteurs de même dimensions>> s = [2 1 -1]+ [1 -3 5]s =

3 -2 4– ajout d ’un scalaire

>> s + 2ans =

5 0 6– produit de vecteurs de même dimensions

>> p = [2 1 -1] * [1 -3 5] ’p =

- 6– produit élément par élément

>> [2 1 -1] .* [1 -3 5]ans =

2 -3 -5

Opérations vectorielles (3)

>> v = [1 2 -5 -7 3]– somme des éléments d ’un vecteur

>> sum(v)ans =

-6

– produit des éléments d ’un vecteur>> prod(v)ans =

210

– moyenne : mean(v)– médiane : median(v)– écart-type : std(v)– minimum : min(v)– maximum : max(v)

Créer une matrice (1)

• Saisie d ’une matrice– lignes séparées par un point virgule>> M1=[1 0 3;2 5 1]M1 =

1 0 32 5 1

– lignes séparées par un retour chariot>> M1=[1 0 3

2 5 1]M1 =

1 0 32 5 1

• Dimensions>> size(M1) ans =

2 3

Créer une matrice (2)• par concaténation >> M2= [0 7 12]; >> M3 = [M1 ; M2] M3 =

1 0 32 5 10 7 12

• par transformation >> reshape(M3, 1,9)ans =1 2 0 0 5 7 3 1 12

• par extraction : triu tril

matrices triangulaires supérieures et infé-rieures

•7

Les matrices spéciales (1)

• Matrices identité, nulle et unité>> IDENTITE = eye( 2,3)IDENTITE =

1 0 00 1 0

– ones (m,n) : matrice m x n dont tous les éléments valent 1

– zeros(m,n) : matrice m x n dont tous les éléments valent 0

Si m=n, spécifier une seule dimension>> UNITE = ones( 2)UNITE =

1 11 1

Les matrices spéciales (2)

• Matrices aléatoires– Distribution normale (m = 0 , σ = 1) :

>> y = randn(10000,1) ;

– Distribution uniforme (m = 1/2 , σ = 1/12) :>> y = rand(10000,1) ;

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

200

400

600

800

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

150

200

250

Opérations matricielles (1)

• Extraction– d ’un élément :

>> M3(3,2) >> M3(6)ans = ans =

7 7

– d ’une ligne :>> M3(2, : )ans =

2 5 1

– d ’une colonne :>> M3( : ,2)ans =

05

– d ’une sous-matrice : ??

Opérations matricielles (2)

• Comparaison>> M3 = [1 0 3 ; 2 5 1 ; 0 7 12] ;>> M4 = ones(3) ;>> M3 > M4 %find(M3 > 1)ans =

0 0 11 1 00 1 1

• Extension des instruction min, max ...>> max(M3) %maximum par colonnesans =

2 7 12

>> max(M3(:)) %max(max(M3))ans =

12

•8

Opérations matricielles (3)

• Produit classique Rappel : le produit de A(mxn) par B(pxq) n ’est possible que si n = p et le résultat est de dimension mxq

• Produit de Hadamard ou produit élément par élément de deux matrices de mêmes dimensions

>> A = [1 2 ; 3 4]

>> A * A >> A .* Aans = ans =

7 10 1 415 22 9 16

Opérations matricielles (4)

• Transformations>> M = [1 2 ; 3 4] >> fliplr(M) %retournement gauche/droiteans =

2 14 3

>> flipud(M) %retournement haut/basans =

3 41 2

>> rot90(M) %transposition + flipudans =

2 41 3

Opérations matricielles (5)

• Fonctions diverses– déterminant :

>> det(M)– norme

>> norm(M)– rang

>> rank(M)– inverse (et pseudo-inverse)

>> inv(M) >> pinv(M)– conditionnement

>> cond(M)– exponentielle

expm : vecteurs et valeurs propresexpm1 : approximation de Padéexpm2 : série de Taylor

Vecteurs et valeurs propres

>> M = [2 1 ; 1 2] ;

• Polynôme caractéristique : |λI - M| = 0>> poly(M)ans =

1 -4 3

• Vecteurs et valeurs propres>> [vec val] = eig(M)vec =

0.7071 0.7071- 0.7071 0.7071

val =1 00 3

•9

Les tableaux multidimensionnels

• Extension à n dimensions :– vecteur (1D) : 1 indice– matrice (2D) : 2 indices, ligne et colonne– tableau tridimensionnel : 3 indices, ligne,

colonne et page– ...exemple :>> M1 =ones(3) ;>> M2 =zeros(3) ;>> M3 =cat(3,M1,M2) ;M3( : , : , 1) =

1 1 11 1 11 1 1

M3( : , : , 2) =0 0 00 0 00 0 0

Les structures (1)Structure = regroupement de variables (champs) de type différents (chaînes, entiers ...) dans une même variable.exemple : fichier des élèves d’un établissement scolaire :

nomnotesadresse ...

nom=struct(‘ch1’,{v1,v2...}, ’ch2 ’,{v1,v2 ...})

>>eleve=struct(‘nom’,{‘paul’,’eve’,’jean’}, ’note1’,{12,8,11}, ’note2’,{14,15,3})

eleve =1x3 struct array with fields :nomnote1note2

Les structures (2)• Liste des champs

>> fieldnames(eleve)ans =

‘nom’‘note1’‘note2’

• Extraction : on utilise l ’opérateur ‘.‘>> eleve(2).nomans =

eve

• Affectation directe>> eleve(4).nom = ‘toto’;eleve =

1x4 struct array with fields :...

Les structures (3)Manipulation indirecte

nécessite de créer des vecteurs de données tampons

>> liste1 = cat(1,eleve.note1)liste1 =

125

17>> liste2 = cat(1,eleve.note2) ;>> moy=mean(mean([ liste1 liste2 ])moy =

13.1250

•10

LA PROGRAMMATION MATLAB

• Les opérateurs logiques

• Les chaînes de caractères

• Les commandes structurées

• Les scripts et les fonctions

• La programmation

Opérateurs logiques• == égalité• ~ = différence• =) supérieur (ou égal)• & ET logique (AND)• ~ NON logique (NOT)• | OU logique (OR)• xor OU exclusif (XOR)

Exemple :

>> a = [1 0 0 1] ;>> b = [1 1 0 1] ;>> a | bans =

1 1 0 1

Chaînes de caractères (1)• Généralités

– chaîne = vecteur ligne– nombre de composantes = longueur de

la chaîne

• Affectation>> ch = ‘ bonjour monsieur ’>> size(ch)ans =

1 16

• Conversionsnum2str : nombre chaînemat2str : matrice chaînestr2num : chaîne nombre

Chaînes de caractères (2)

• Ecriture de chaînes formatées syntaxe :text=sprintf(‘ format1 format2... ’, data1, data2 ...)exemple :>> pi2 = pi^2pi2 =

9.8696>> text = sprintf(‘ le carré de pi vaut %3.2f ’, pi2)text =

le carré de pi vaut 9.87

• Exécution d’une chaîne :exemple :>> name = ‘c:/bin/data’>> eval([‘load’, name]); %load(name)

•11

L ’instruction FOR (1)• parcours d'un intervalle

syntaxe :for variable =debut : fin

instructions .......... instructions

end exemple : créer le vecteur [1 2 22 24 .... 210] >> x=[ ]x =

[ ]>> for n=0:10 ; x =[x 2^n] ; end ou directement

>> for n=0:10; x(n +1) =2^n; end

programmation matricielle ??

L ’instruction FOR (2)

• On peut utiliser un incrément (pas) autre que 1 (valeur par défaut). syntaxe :

for variable =debut:pas:fin

• Les bornes ne sont pas nécessairement des entiers.

• Le pas peut être négatif.

• Il est possible d ’imbriquer les boucles

Penser à l ’indentation !!bouton droit smart indent!

La boucle WHILE

• tant que . . . faire syntaxe :

while expression instructions .......... instructions

end exemple: calculer le plus petit entier n tel que 2n soit supérieur à un réel a donné. >> max =2002 ; n=1;>> while (2^n > n

n = 11

Les ruptures de boucle• Il est possible de provoquer une sortie

prématurée d'une boucle de contrôle.

break termine l ’exécution d ’une boucle.

for variable1 = debut1 : fin1instructions .......... for variable2 = debut2 : fin2

instructions .......... breakinstructions

endinstructions

end

return provoque un retour au programme appelant (ou au workspace).

•12

L ’instruction IF (1)

• La séquence d ’instructions intérieure est exécutée si expression est vrai (=1 logique).syntaxe

if expression instruction. . . . . . . . instruction

end

• expression peut être simple ou composée.exemple

if (a

•13

Script• Fichier (trouvenom.m par exemple)

contenant une suite d ’instructions matlab.

• Exécuté séquentiellement dans l ’espace de travail, il accède aux variables (locales) qui s ’y trouvent.

• Pour écrire un script, utiliser l’éditeur :>> edit

>> lettre = ‘d’ ;>> trouvenom

‘didier’

%trouvenom.m%trouve les noms commençant par %lettre

liste(find(liste(:,1) == lettre),:)

Fonctions (1)

• Fichier (trouve.m par exemple) contenant une suite d ’instructions matlab.

• Commence par le mot réservé function.

• Reçoit un (ou plusieurs) paramètre(s) d ’entrée.

• Peut renvoyer un (ou plusieurs) paramètre(s) en sortie ou n ’en renvoyer aucun.

Nom du fichier = nom de la fonction!

Fonctions (2)

>> clear all>> help trouveretourne la liste des noms …>> nom = trouve(liste,‘c’) ;>> nomnom =

‘catherine’

syntaxes : s = f(e1, e2, …)[s1, s2, …] = f(e1, e2, …)

function noms = trouve (liste,lettre)%retourne l’ensemble des noms %commençant par lettre%IN liste, lettre %OUT nomsnoms=liste(find(liste(:,1) == lettre),:);

Fonctions (3)

• Evaluation d ’une fonction définie dans un fichier (f1.m)

>> x = -10:0.1:10;>> y =feval(‘ f1 ’, x) ;>> plot(x,y)

-10 -5 0 5 10-50

0

50

100

150

200

250

300

function y = f1(x)y = 2*x.^2 - 5*x +1

•14

Fonctions (4)

• Fonctions privées– placées dans un répertoire private– seuls les fichiers .M du répertoire parent

peuvent y accéder

M-files11M-files12M-files13

M-files21M-files22

Fonction privée

REP2

REP1

private

Fonctions (5)• Sous fonctions

– un fichier .M peut contenir plusieurs fonctions

– la première est la fonction primaire– les suivantes sont des sous fonctions – accessible à la fonction primaire et aux

autres sous fonctions du fichier .M – l ’aide ne peut accéder qu’aux lignes de

commentaires de la fonction primaire

function foncprim( ... )%help foncinstructionsx = sous_fonc( ... )instructions

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function x =sousfonc( ... )%help sous_foncinstructions

Les variables :locales ou globales ?

• Les variables des scripts sont locales à l ’espace de travail

• Les variables des fonctions sont locales à la fonction

• Une variable définie comme globale à l ’espace de travail (ou à un script) sera modifiable par toutes les fonctions l ’ayant déclarée globale

>> global A B C >> A = 1 ; B = 3 ; C = -1 ; >> x = -10:0.1:10;>> y = f2(x) ;

function y = f2(x)global A B Cy = A*x.^2 + B*x + C

Programmation (1)

Forme générale d ’une application MATLAB

Fonction 1 Fonction 2 Fonction 3

Fonction 21

Fonction 22

SCRIPT

Fonctions privéeset/ou

sous fonctions

•15

Programmation (2)

• Quelques recommandations

– Choisir des noms significatifs pour les variables et les fonctions

– Documenter les fonctions (help)

– Vérifier le nombre d ’arguments d ’entrée (nargin) et de sortie (nargout) des fonctions

– Eviter (autant que possible !) les boucles for et while

– Dimensionner les variables

Programmation (3)• Mesure de complexité algorithmique

– temps d ’exécution (en secondes) : >> A = rand(200);>> tic ; inv(A ’*A) ; tocelapsed_time =

12.4100

• Le profiler ( >> help profile )>> profile reporttemps d ’exécution total (en secondes)>> profile report NN lignes demandant le plus de temps d ’exécution (en % du temps total)

• Les messages d’erreur :

??? Index exceeds matrix dimensions.Error in ==> C:\MATLAB\bin\test.mOn line 2 ==> x(4)

Programmation (4)

• Boucles et programmation matricielle>> A = rand(200) ;>> x = 0 ;>> tic>> for i = 1 : 200

for j = 1 : 200x = x + A(i,j) ;

endend

>> tocelapsed_time =

4.5000

>> tic ; sum(A(:)) ; tocelapsed_time =

0.0600

Programmation (5)

• Le débogage permet de corriger :– les erreurs de programmation (nombre

d’arguments d’entrée et de sortie, syntaxe des commandes ...)

– les erreurs logiques (bugs)

• Utiliser :– le point virgule ;– le mode clavier : keyboard

K>>– le debugger

>> help debugDebugging command ...

•16

LES GRAPHIQUES

• Les graphes en 2D

• Les graphes en 3D

• L ’exportation de graphes

Tracer une courbes 2D (1)

• La commande plot(x,y,s) affiche le vecteur y en fonction du vecteur xavec les attributs (facultatifs) s.

>> x =[-10:0.1:10];>> y1 =x.^2;>> plot(x, y1, ’r’)

-10 -5 0 5 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tracer une courbes 2D (2)• plot(y) permet de tracer directement le

vecteur y en fonction de ses indices.

• plot(x,y1,s1,x,y2,s2,...) trace y1, y2 ... en fonction de x sur le même graphe avec les attributs s1, s2 ...>> y2 =0.5*x.^2 - x + 1 ;>> plot(x, y1, ’r’, x, y2, ’b’)

-10 -5 0 5 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Légender une courbe (1)

• Insérer un titre>> title(‘Tracé de x^2 et 0.5x^2-x+1’)

• Légender l ’axe des abscisses>> xlabel(‘x : axe des abscisses)

• Légender l ’axe des ordonnées>> ylabel(‘y : axe des ordonnées’)

• Insérer du texte>> gtext(‘x^2’)>> gtext(‘0.5x^2 - x + 1’)

• Ajouter un quadrillage>> grid

•17

Légender une courbe (2)

-10 -5 0 5 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

x : axe des absisses

y : a

xe d

es o

rdon

nées

Tracé de x2 et 0.5x2-x+1

x2

0.5x2 - x + 1

Manipuler un graphique (1)

• La commande zoom (2D seulement) permet de ‘ zoomer ‘ sur une partie de courbe avec le bouton gauche de la souris (le bouton droit annule le zoom)

• La commande axis permet de changer les bornes de visualisation

syntaxe:axis([xmin xmax ymin ymax])

• Dans les deux cas :– focalisation sur une partie ‘ intéressante ’

de la courbe– Lecture précise du point d ’intersection

entre deux courbes

Manipuler un graphique (2)

Manipulation interactive du graphique

Tracer plusieurs courbes• Sur un même graphique>> plot(x, y1, ’r’)>> hold on>> plot(x, y2, ’b’)

• Sur plusieurs graphiques différents>> subplot(211), plot(x, y1, ’r’)>> subplot(212), plot(x, y2, ’r’)

(Nb écrans vertical, Nb écrans horizontal, N° écran)

-10 -5 0 5 100

50

100

-10 -5 0 5 100

20

40

60

80

•18

Tracer le graphe d ’une fonction

• La commande fplot(‘ f ’,x) permet d ’afficher les variations de la fonction f1 (enregistrée dans le fichier f1.m) sur l ’intervalle x.

>> x =0:0.1:4*pi;>> fplot (‘sin’, x)

0 2 4 6 8 10 12-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Histogrammes

• Tracés à l ’aide de la commande hist>> y = randn(1000,1) ;>> hist (y, 50) >> title(‘ distribution normale : répartition en 50 classes ’)

(par défaut N_classe = 10)

-3 -2 -1 0 1 2 30

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50distribution normale : répatition en 50 classes

Courbes paramétrées

• Exprimer x et y en fonction de t

exemple : courbe de Lissajous>> t =0:0.1:2*pi;>> x = cos(3*t) ;>> y = sin(t) ;>> plot(x, y)

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x(t) = cos(3t) y(t) = sin(t)

Tracer une courbe 3D

Syntaxe : plot3(x, y, z, s)

>> t =0:0.1:25;>> x = exp(-0.05*t).*cos(t) ;>> y = exp(-0.05*t).*sin(t) ;>> z = t ;>> plot3(x, y,z)

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

10

5

10

15

20

25

•19

Tracer une surface (1)>> x = -pi/2 : pi/30 : pi/2 ;>> y = x ;>> [X,Y] = meshgrid(x,y) ;>> Z =sinc(X.^2 + Y.^2) ;>> mesh(X, Y, Z)

• meshc meshz : idem avec contours

Tracer une surface (2)>> colormap(‘ cool ’)>> surf (X, Y, Z)

• surfc : avec contours• surfl : avec jeu d ’ombres

Orienter un graphe 3D

rotate3D + bouton gauche

ou view(azimut, élévation)exemple :

>>subplot(121), surf(X,Y,Z), view(0,0)>>subplot(122), surf(X,Y,Z), view(0,90)

Gérer un graphique

• Gestion des fenêtres– ouvrir une nouvelle fenêtre : figure

– fermer une fenêtre : close

– fermer toutes les fenêtres : close all

• Exportation– créer un fichier postcript (qu’il est

possible d’importer dans un traitement de texte). Son nom est alors fig.ps :

print -deps fig– sous Windows, utiliser

edit copy figurepuis coller (sous Word, Powerpoint ...)

•20

LES POLYNOMES ET L ’ANALYSE NUMERIQUE

• Polynômes

• Opérations polynomiales

• Interpolation et régression

• Résolution d’équations non linéaires

• Recherche de minima

Les polynômes

• Vecteur ligne ensemble de données

• Vecteur ligne polynôme de degré np(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0>> p =[an an-1 ... a1 a0] ;>> length(p)ans =

n + 1

>> p1 =[1 0 2] ; %p1(x) = x2 + 2>> p2 =[2 4 0] ; %p2(x) = 2x2 +4x

coefficients disposés suivant les puissances décroissantes de x!

Opérations polynomiales • Multiplication de 2 polynômes>> p3 =conv(p1, p2)p3 =

2 4 4 8 0

p3(x) = 2x4 + 4x3 + 4x2 + 8x

• Extension à n polynômes

p4(x) = x(x + 2)(2x - 3)>> p4 =conv([1 0],conv([1 2],[2 -3]))p4 =

2 1 -6 0

• Division de polynômes>> p1 = deconv(p3, p2)p1 =

1 0 2

Fonctions polynomiales

• L ’instruction polyval permet d ’éva-luer les variations d ’une fonction polynomiale sur un intervalle x.>> f =[-1 -5 1 0] ; %f(x)=- x3 - 5x2 +x>> x =-10 :10 ;>> y =polyval(f, x) ;>> plot(x,y)

-10 -5 0 5 10-1500

-1000

-500

0

500graphe de f(x) = -x3 - 5x2 + x

x

y

•21

Interpolation (1)• Interpolation polynomiale au sens des

moindres carrés :>> p=polyfit(x, y, ordre) ;

• Importance de l ’ordre du polynôme d ’interpolation :

%fonction sigmoïde bruitéex = -5:0.1:5 ;mes=1./(1+exp(-x))+0.05*randn(1,length(x)) ;

%interpolation d'ordre 1p = polyfit(x, mes, 1) ;res = polyval(p,x) ;plot(x,mes,'b+',x, res,'r',x,mes - res, 'g')

%interpolation d'ordre 5p = polyfit(x, mes, 5) res = polyval(p,x) ;plot(x,mes,'b+',x, res,'r',x,mes -_res, 'g')

Interpolation (2)• Ordre 1 : erreur σ = 0.0113

• Ordre 5 : erreur σ = 0.0023

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.5

0

0.5

1

1.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.5

0

0.5

1

1.5

Interpolation (3)

• Relier des points (ensemble de données) expérimentaux par une courbe formée de segments de droite ou de courbes polynomiales

syntaxe : interp1(x,y,z, ’type’)

type : ‘ linear ’ interpolation linéaire‘ spline ’ interpolation par splines‘ cubic ’ interpolation cubique

>> x =0:10 ; >> y = cos(x) ; >> z = 0:0.1:10 ; %pas de z < pas de x>> f =interp1(x,y,z) ; %par défaut : linear>> plot(x,y, ’bo ’,z,f, ’r+ ’)

Interpolation (4)

• De même :

interp2 interpolation dans l ’espace 3Dinterp3interpn

0 2 4 6 8 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

.

.

.

•22

Régression linéaire• Détermination du modèle linéaire

y=f(x) reliant deux séries de mesure x et y.

yi = axi + b

vecteur optimal (au sens des moindres carrés)

construction de la matrice Φ :>> phi =[x’ ones(length(x),1)] ;

détermination de θ :>> teta =nnls(phi,y’) ;

yy

y

xx

x

11

1

ab

y

1

2

n

1

2

n

T T

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

= −y

( )Φ

Φ Φ Φ

θ

θ 1

.

.

.

.

.

.

Résolution d ’équations non linéaires

• Détermination des racines d’une fonction non linéaire par la méthode de Newton-Raphson

enregistrer l’expression littérale de la fonction dans un fichier (foncnl.m)

utiliser la fonction fzero pour déterminer une racine de l’équation au voisinage de x0

fzero(‘ fonc_nl ’, x0)

utiliser la fonction fsolve pour déter-minerl’ensemble des racines de l’équation dans l ’intervalle (xd, xf)

fsolve(‘ fonc_nl ’, xd : xf)

>> x =-3:3 ; >> plot(x,foncnl(x)), grid

>> fzero(‘foncnl ’,0.5)ans =

0.2826>> fsolve(‘foncnl ’,0 : 2)ans =

0.2826 0.9505

function f_nl = foncnl =(x)%fonction non linéairef_nl = cos(x).*exp(-0.1*x).*sin(-2*x).+5 ;

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Recherche de minima (1)

• Fonctions à une variable : la valeur qui minimise localement une fonction (enregistrée dans fonc.m) dans l’intervalle (xd, xf) s ’obtient par :

fminbnd(‘ fonc ’, xd, xf) exemple :>> xmin= fminbnd(‘foncnl ’,0,2)xmin =

0.5989

• Fonctions à plusieurs variables : même principe mais l ’argument d’appel est un vecteur :

fminsearch(‘ fonc ’, [x0 y0])

•23

Recherche de minima (2)

exemple :

>> minxy =fminsearch(‘fonc2 ’,[0 0])minxy =

0.2500 -0.5000

>> minf =fonc2(minxy)minf =

7.5053valeur minimale de la fonction

function f2 =fonc2(X)

f2 = 2*X(1)^2 +X(2)^2 - X(1) +X(2) +1

•24

IMPORT/EXPORT DE DONNEES

• Fichiers .mat

• Fichiers externes

• Formats spécifiques

Fichiers .mat (1)

• Sauvegarde et restitution des données de l’espace de travailsyntaxe : save nom var1 var2 ... varN>> x1 =ones(2) ; x2 =[4.5; 2.1; -6.2] ;>> save nom

Sauvegarde de toutes les variables de l’espace de travail dans le fichier nom.mat

>> save nom x1Sauvegarde de la variable x1 dans le fichier nom.mat

>> clear all>> load nom>> whoYour variables are :x1

Fichiers .mat (2)

• Si le nom du fichier de sauvegarde est généré par programme

>> nomfich = ‘ nom1 ’>> save(nomfich, ‘ x1 ’)

>> clear x1>> load(nomfich)>> whoYour variables are :nomfich x1

• Sauvegarde dans un fichier texte >> save nom2 x1 - ascii>> type nom21.0000000e+000 1.0000000e+0001.0000000e+000 1.0000000e+000

Fichiers externes (1)

1. Ouverture de fichiers

FID =fopen(nomfich, attribut)

nomfich : chaîne de caractères

attribut : chaîne de caractères précisant le mode d ’ouverture du fichier :– r ouverture en lecture seule– w création en écriture seule– a ouverture et placement en fin de

fichier en écriture seule– r+ ouverture pour mise à jour ou w+

création (lecture et écriture)– a+ ouverture pour mise à jour et

placement en fin de fichier (lecture et écriture)

•25

Fichiers externes (2)

• Par défaut : ouverture des fichiers en binaire.

Pour ouvrir un fichier texte ajouter la lettre t (‘rt’, ‘wt’ ...)

2. Lecture/ecriture : fread fwrite fscanf...

3. Fermeture

fclose(FID)ferme le fichier ayant pour identificateur FID

fclose(‘ all ’)ferme tous les fichiers

Fichiers textes

• Lecture et écriture formatées

[data, compt]=fscanf(FID, format, taille)

data : vecteur colonne représentant les valeurs lues

compt : nombre d’éléments lus (facultatif)format : format (‘%d’, ‘%c’, ‘%3.2f ’ ...) et

séparateurs (‘\n’ ‘\t’ ...)

compt=fprintf(FID, format, data)

ligne=fgetl(FID)

ligne : chaîne de caractères contenant la ligne courante du fichier FID

Fichiers binaires (1)

• Lecture

[data, compt] =fread(FID,taille,type,saut)

data : matrice de stockage des données lues (réels double)

compt : nombre d ’éléments lus avec succèsFID : identificateur du fichiertaille : nombre d ’éléments à lire (facultatif)type : type (nombre d ’octets) de l ’élément

à lire (‘char’, ‘int’, ‘long’ ...)saut : nombre d ’octets à ignorer après

chaque lecture (facultatif)

intéressant pour l ’extraction de champs non contigus mais de longueur fixe

Fichiers binaires (2)

• Ecriture

compt=fwrite(FID,data,type,saut)

compt : nombre d ’éléments lus avec succèsFID : identificateur du fichierdata : matrice des données à écriretype : type (nombre d ’octets) de l ’élément

à écriresaut : nombre d ’octets à ignorer avant

chaque écriture (facultatif)

•26

Fichiers binaires (3)• Positionnement

statut =fseek(FID,offset,origine)

statut : 0 en cas de succès,-1 encas d’échecoffset : nombre d’octets au-delà de origine

(positif ou négatif) origine : position

‘ bof ’ début de fichier‘ cof ’ position courante du pointeur‘ eof ’ fin de fichier

statut =feof(FID)

statut : 1 si la fin du fichier est atteinte, 0autrement

frewind(FID)positionne le pointeur sur le premier octet

Formats spécifiques• ASCII : fichiers textes manipulables par

un éditeur de textes et contenant des données présentées sous formes de matrice

load nom

• ASCII délimité (DLM = ‘ ‘, ‘,’, ’;’ ...)data =dlmread(nom, DLM)dlmwrite(nom, data,)

• CSV : ASCII délimité per une virgulecsvread(nom)csvwrite(nom, data)

• WK1 : fichiers Lotus 123wk1read(nom)wk1write(nom, data)