Introduction Au Calcul Stochastique, Lamberton Lapeyre

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  • Introduction au calcul stochastiqueappliqu la finance

    Damien Lamberton Bernard Lapeyre

  • Avant-ProposPour cette seconde dition, nous avons apport quelques modifications au texte primitif.

    Les premires concernent la correction derreurs plus ou moins importantes. Lerreur la plussrieuse tait une affirmation fausse concernant les intgrales stochastiques (voir le rsum desproprits de lintgrale stochastique la fin de la section 4.1 du chapitre 3 et lexercice 15, quinous a t inspir par Marc YOR).

    Nous avons ajout quelques sujets de problmes la fin du chapitre 4. Ces problmes per-mettent dintroduire et de traiter divers exemples doptions exotiques.

    Nous avons complt la bibliographie de quelques titres rcents, en particulier sur le thmedes marchs incomplets, le chapitre 7 ne faisant queffleurer le sujet.

    Enfin, nous avons rcrit les programmes de simulation et danalyse numrique dans le lan-gage C qui se rpand de plus en plus dans les banques.

    Nous remercions les collgues qui nous ont signal des erreurs ou des coquilles. Il en restehlas srement et nous esprons que les lecteurs de cette nouvelle dition voudront bien nousles signaler.

    Damien Lamberton et Bernard Lapeyre.

  • Table des matires

    Introduction 91 Le problme des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 La notion darbitrage et la relation de parit call-put . . . . . . . . . . . . . . . 103 Le modle de Black-Scholes et ses extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Plan du livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1 Modles discrets 131 Le formalisme des modles discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.1 Les actifs financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Les stratgies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Stratgies admissibles et arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2 Martingales et arbitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1 Martingales et transformes de martingales . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Marchs financiers viables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    3 Marchs complets et valuation des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1 Marchs complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Evaluation et couverture des actifs conditionnels dans les marchs com-

    plets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Premire approche des options amricaines . . . . . . . . . . . . . . . 22

    4 Problme corrig : le modle de Cox, Ross et Rubinstein . . . . . . . . . . . . 23

    2 Problme darrt optimal et options amricaines 271 Notion de temps darrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Enveloppe de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Dcomposition des surmartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Enveloppe de Snell et chanes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Application aux options amricaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    5.1 Exercice et couverture des options amricaines . . . . . . . . . . . . . 335.2 Options amricaines et options europennes . . . . . . . . . . . . . . . 34

    6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    3 Mouvement brownien et quations diffrentielles stochastiques 391 Gnralits sur les processus temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 Martingales temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 Intgrale stochastique et calcul dIt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    4.1 Construction de lintgrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Calcul dIt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    5

  • 6 TABLE DES MATIRES

    4.3 Exemples dutilisation de la formule dIt . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4 Formule dIt multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    5 Equations diffrentielles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1 Thorme dIt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2 Le processus dOrnstein-Ulhenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3 Equations diffrentielles stochastiques valeurs vectorielles . . . . . . 595.4 Proprit de Markov des solutions dquations diffrentielles stochas-

    tiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    4 Modle de Black et Scholes 671 Description du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    1.1 Lvolution des cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.2 Les stratgies autofinances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    2 Changement de probabilit. Thorme de reprsentation des martingales . . . . 692.1 Probabilits quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2 Thorme de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3 Thorme de reprsentation des martingales browniennes . . . . . . . . 70

    3 Evaluation et couverture des options dans le modle de Black et Scholes . . . . 713.1 Une probabilit sous laquelle

    (St)

    est une martingale . . . . . . . . . . 713.2 Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3 Couverture des calls et des puts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    4 Options amricaines dans le modle de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . 754.1 Evaluation des options amricaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2 Puts perptuels, prix critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    5 Evaluation des options et quations aux drives partielles 951 Calculs de prix doptions europennes pour les modles de diffusion . . . . . . 95

    1.1 Gnrateur infinitsimal dune diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 961.2 Calculs desprances et quations aux drives partielles . . . . . . . . 981.3 Le cas du modle de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001.4 Equation aux drives partielles sur un ouvert born et calcul desprance101

    2 Rsolution numrique des quations paraboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.1 Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.2 La mthode des diffrences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    3 Le problme des options amricaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.1 Formulation du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.2 Le put amricain dans le modle de Black et Scholes . . . . . . . . . . 1093.3 La mthode binomiale pour le calcul du put amricain . . . . . . . . . 113

    4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    6 Modles de taux dintrt 1171 Principes de la modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    1.1 Notion de courbe des taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171.2 Courbe des taux en avenir incertain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1181.3 Options sur obligations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    2 Quelques modles usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222.1 Le modle de Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

  • TABLE DES MATIRES 7

    2.2 Le modle de Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.3 Autres modles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    7 Modles dactifs avec sauts 1331 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332 Description de lvolution de lactif risqu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353 Evaluation et couverture des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

    3.1 Les stratgies admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.2 Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.3 Prix des calls et des puts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.4 Couverture des calls et des puts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

    4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    8 Simulation et alogrithmes pour les modles financiers 1491 Simulation et modles financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

    1.1 La mthode de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1491.2 Simulation dune loi uniforme sur [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . 1501.3 Simulation des variables alatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1501.4 Simulation de processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

    2 Quelques algorithmes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1552.1 Approximation de la fonction de rpartition dune gaussienne . . . . . 1552.2 Implmentation informatique de la mthode de Brennan et Schwartz . . 1562.3 Lalgorithme de Cox Ross pour le calcul du prix dune option amricaine 157

    3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

    Appendice 1611 Variables alatoires gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

    1.1 Gaussiennes relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.2 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

    2 Esprance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622.1 Exemples de sous-tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622.2 Proprits de lesprance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 1632.3 Calculs desprances conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

    3 Thorme de sparation des convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

    Bibliographie 167

  • Introduction

    Si, lgard de plusieurs questions traites dans cette tude,jai compar les rsultats de lobservation ceux de lathorie, ce ntait pas pour vrifier des formules tabliespar les mthodes mathmatiques, mais pour montrer seule-ment que le march, son insu, obit une loi qui le do-mine : la loi de la probabilit.

    L. BACHELIER, Thorie de la Spculation (1900)

    Le but de ce livre est de fournir une introduction aux techniques probabilistes ncessaires la comprhension des modles financiers les plus courants. Les spcialistes de la finance ont eneffet recours, depuis quelques annes, des outils mathmatiques de plus en plus sophistiqus(martingales, intgrale stochastique) pour la description des phnomnes et la mise au point demthodes de calcul.

    En ralit, lintervention du calcul des probabilits en modlisation financire nest pas r-cente : cest en tentant de btir une thorie de la spculation que Bachelier [Bac00] a dcou-vert, au dbut du sicle, lobjet mathmatique appel aujourdhui mouvement brownien. Maiselle a pris une dimension nouvelle partir de 1973, avec les travaux de Black-Scholes [BS73]et Merton [Mer73] sur lvaluation (pricing en anglais) et la couverture des options. Depuis,tandis que se dveloppaient les marchs doptions, les mthodes de Black-Scholes et Merton ontt perfectionnes, tant au niveau de la gnralit que de la clart et de la rigueur mathmatiqueet la thorie parat suffisamment avance pour tenter de la rendre accessible des tudiants.

    1 Le problme des optionsNotre expos est principalement centr sur le problme des options, qui a t le moteur de la

    thorie et reste lexemple le plus frappant de la pertinence des mthodes de calcul stochastiqueen finance. Une option est un titre donnant son dtenteur le droit, et non l obligation dacheterou de vendre (selon quil sagit dune option dachat ou de vente) une certaine quantit dunactif financier, une date convenue et un prix fix davance. La description prcise duneoption se fait partir des lments suivants :

    la nature de loption : on parle, suivant la terminologie anglo-saxonne, de call pour uneoption dachat et de put pour une option de vente.

    lactif sous-jacent, sur lequel porte loption : dans la pratique, il peut sagir dune action,dune obligation, dune devise etc.

    le montant, cest--dire la quantit dactif sous-jacent acheter ou vendre. lchance ou date dexpiration, qui limite la dure de vie de loption ; si loption peut

    tre exerce nimporte quel instant prcdant lchance, on parle doption amricaine,si loption ne peut tre exerce qu lchance, on parle doption europenne.

  • 10 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

    le prix dexercice, qui est le prix (fix davance) auquel se fait la transaction en cas dexer-cice de loption.

    Loption, elle mme, a un prix, appel la prime. Lorsque loption est cote sur un march or-ganis, la prime est donne par le march. En labsence de cotation, le problme du calcul dela prime se pose. Et, mme pour une option cote, il peut tre intressant de disposer duneformule ou dun modle permettant de dtecter dventuelles anomalies de march.

    Examinons, pour fixer les ides, le cas dun call europen, dchance T , sur une action, dontle cours la date t est donn par St. Soit K le prix dexercice. Il est clair que si, lchance T ,le prix K est suprieur au cours ST , le dtenteur de loption na pas intrt exercer. Par contre,si ST > K, lexercice de loption permet son dtenteur de raliser un profit gal ST K, enachetant laction au prixK et en la revendant sur le march au cours ST . On voit qu lchance,la valeur du call est donne par la quantit :

    (ST K)+ = max(ST K, 0).

    Pour le vendeur de loption, il sagit, en cas dexercice, dtre en mesure de fournir une action auprix K, et, par consquent de pouvoir produire lchance une richesse gale (ST K)+. Aumoment de la vente de loption, quon prendra pour origine des temps, le cours ST est inconnuet deux questions se posent :

    1. Combien faut-il faire payer lacheteur de loption, autrement dit comment valuer linstant t = 0 une richesse (ST K)+ disponible la date T ? Cest le problme dupricing.

    2. Comment le vendeur, qui touche la prime linstant 0, parviendra-t-il produire la ri-chesse (ST K)+ la date T ? Cest le problme de la couverture.

    2 La notion darbitrage et la relation de parit call-putLa rponse aux deux questions qui prcdent ne peut se faire qu partir dun minimum

    dhypothses de modlisation. Lhypothse de base, retenue dans tous les modles, est que,dans un march suffisamment fluide, il ny a pas dopportunit darbitrage, cest--dire quilest impossible de faire des profits sans prendre de risques. Nous traduirons cette hypothse entermes mathmatiques dans le chapitre 1. Pour linstant, nous nous contenterons de montrercomment, partir de cette simple hypothse, on peut tablir des relations entre les prix duncall et dun put europen de mme chance T et de mme prix dexercice K, sur une action decours St linstant t. Nous supposerons quil est possible demprunter ou de placer de largent un taux constant r.

    Dsignons par Ct et Pt les prix respectifs du call et du put linstant t. En labsence dop-portunit darbitrage, on a la relation suivante, valable tout instant t < T et appele relationde parit call-put :

    Ct Pt = St Ker(Tt).

    Pour faire comprendre la notion darbitrage, montrons comment on pourrait raliser un profitsans risque si on avait, par exemple :

    Ct Pt > St Ker(Tt).

    A linstant t, on achte une action et un put et on vend un call. Cette opration dgage, linstantt, un profit net gal

    Ct Pt St.

  • INTRODUCTION 11

    Si cette somme est positive, on la place au taux r jusqu la date T , sinon, on lemprunte aumme taux. A la date T , deux cas peuvent se prsenter :

    ST > K : alors, le call est exerc, on livre laction, on encaisse la somme K et on soldelemprunt ou le prt, de sorte quon se retrouve avec une richesse gale :K+er(Tt)(CtPt St) > 0.

    ST K : alors, on exerce son put et on solde comme prcdemment, de sorte quon seretrouve encore avec une richesse gale : K+ er(Tt)(Ct Pt St).

    Dans les deux cas, on a ralis un profit positif sans mise de fond initiale : cest un exempledarbitrage.

    On trouvera de nombreux exemples de relations darbitrage telles que la relation de paritci-dessus dans le livre de Cox et Rubinstein [CR85]. Nous ne passerons pas en revue toutes cesrelations darbitrage, mais nous montrerons comment on peut caractriser mathmatiquementles marchs o il ny a pas darbitrage.

    3 Le modle de Black-Scholes et ses extensionsSi les raisonnements par arbitrage fournissent de nombreuses relations intressantes, ils ne

    sont pas suffisants pour obtenir des formules de prix. Pour cela, on a besoin de modliser defaon plus prcise lvolution des cours. Black et Scholes ont t les premiers proposer unmodle conduisant une formule explicite pour le prix dun call europen sur une action nedonnant pas de dividendes et une stratgie de gestion qui, dans le cadre du modle, permetau vendeur de loption de se couvrir parfaitement, cestdire dliminer totalement le risque.Le prix du call est, dans le modle de Black-Scholes, la somme dargent dont on doit disposerinitialement pour pouvoir suivre la stratgie de couverture et produire ainsi exactement la ri-chesse (ST K)+ lchance. De plus, la formule obtenue ne dpend que dun paramtre nondirectement observable sur le march et appel volatilit par les praticiens.

    Cest le recours la notion dintgrale stochastique pour exprimer les gains et les pertesdans les stratgies de gestion de portefeuille qui permet dutiliser le calcul stochastique et, enparticulier, la formule dIt, et conduit des expressions calculables. De nombreuses exten-sions des mthodes de Black et Scholes ont t dveloppes ces dernires annes. Nous nousefforcerons, partir dune tude approfondie du modle de Black-Scholes sous sa forme la plussimple, de donner au lecteur les moyens de comprendre ces diverses extensions.

    4 Plan du livreLes deux premiers chapitres sont consacrs ltude des modles discrets. On y voit le lien

    entre la notion mathmatique de martingale et la notion conomique darbitrage, la notion demarch complet et l valuation des options dans le cadre des marchs complets. Le formalismeadopt est celui de Harrison et Pliska [HP81] et nous avons repris lessentiel des rsultats de[HP81] dans le chapitre 1 en prenant comme exemple le modle de Cox-Ross-Rubinstein. Lechapitre 2 traite des options amricaines laide de la thorie de larrt optimal temps discretqui relve de mthodes lmentaires et contient toutes les ides transposer dans le cas continu.

    Le chapitre 3 introduit le lecteur aux principales notions de calcul stochastique utilisesdans le modle de Black-Scholes, qui est tudi en dtail au chapitre 4. Ce modle donne, pourles options europennes, des formules explicites. Mais, pour traiter les options amricaines oufaire des calculs dans des modles plus sophistiqus, on doit avoir recours des mthodesnumriques fondes sur le lien entre valuation des options et quations aux drives partielles

  • 12 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

    : ces questions font lobjet du chapitre 5.Le chapitre 6 est une introduction assez succinte aux principaux modles de taux dintrt

    et le chapitre 7 examine les problmes dvaluation et de couverture des options dans le cadrede modles avec sauts trs simples. Dans ces modles, il ny a plus de couverture parfaite desoptions, mais seulement une couverture optimale, en un sens prciser. De tels modles, moinsoptimistes que le modle de Black-Scholes, semblent souvent rendre mieux compte de la ralitdes marchs.

    Enfin, pour permettre aux tudiants dappliquer la thorie de faon plus concrte, nous avonsinclu un chapitre sur la simulation des modles financiers et lusage quon peut faire de linfor-matique dans les questions dvaluation et de couverture des options. On trouvera galement,dans chaque chapitre un certain nombre dexercices ou de problmes.

    Ce livre nest quune introduction un domaine qui a dj suscit une abondante littrature.Les indications bibliographiques donnes la fin de certains chapitres suggrent au lecteur despistes de lectures complmentaires sur les sujets traits. Mais certains aspects importants desmathmatiques de la finance ne sont pas abords, notamment les questions doptimisation et lesproblmes dquilibre, pour lesquels on pourra se reporter [Duf88].

    Nous avons plac quelques rappels mathmatiques en appendice. La lecture de ce livresuppose de toute faon de bonnes connaissances en probabilits (correspondant essentiellementaux sept premiers chapitres de [Bou86]).

    5 RemerciementsCe livre est issu dun cours enseign lEcole Nationale des Ponts et Chausses depuis 1988.

    La mise en uvre de ce cours naurait pas t possible sans les encouragements de N. Bouleau.Sous son impulsion, le CERMA (centre de mathmatiques appliques de lE.N.P.C.) staitengag dans ltude des modles financiers ds 1987, avec le soutien de la Banque Indosuez,et, plus rcemment, de la Banque Internationale de Placement. Nous avons bnfici, depuis,de discussions nombreuses et stimulantes avec G. Pags, ainsi quavec dautres chercheurs duCERMA, en particulier O. Chateau et G. Caplain.

    Plusieurs personnes ont bien voulu lire les premires versions de notre travail et nous fairepart de leurs remarques : S. Cohen, O. Faure, C. Philoche, M. Picqu, X. Zhang. Enfin, nousremercions les collgues de luniversit ou de lI.N.R.I.A. qui nous ont aids de leurs conseilsou de leurs encouragements : N. El Karoui, T. Jeulin, J.F. Le Gall, D. Talay.

  • Chapitre 1Modles discrets

    Le but de ce chapitre est de prsenter les principales ides de la thorie des options dans lecadre mathmatiquement trs simple des modles discrets. Nous y reprenons essentiellement lapremire partie de [HP81]. Le modle de Cox-Ross-Rubinstein est prsent en fin de chapitresous forme de problme corrig, pour illustrer la thorie de faon plus concrte.

    1 Le formalisme des modles discrets1.1 Les actifs financiers

    Un modle de march financier discret est construit sur un espace probabilis fini (,F ,P),muni dune filtration, cest--dire dune suite croissante de sous-tribus de F : F0,F1, . . . ,FN ;Fn reprsente les informations disponibles linstant n et est appele, tribu des vnementsantrieurs linstantn. LhorizonN sera le plus souvent, dans la pratique, la date dchancedes options.

    On supposera dans la suite que F0 = {,}, FN = F = P() et P ({}) > 0.On suppose quil y a sur le march d + 1 actifs financiers, dont les prix linstant n sontdonns par des variables alatoires S0n, S1n, . . . , Sdn valeurs strictement positives, mesurablespar rapport la tribuFn (les investisseurs ont connaissance des cours actuels et passs, mais pasdes cours futurs). Le vecteur Sn = (S0n, S1n, . . . , Sdn) est le vecteur des prix linstant n. Lactifnumrot 0 reprsente les placements sans risque et on posera S00 = 1. Si le taux dintrtdes placements sans risque sur une priode est constant et gal r on aura S0n = (1+ r)

    n. Le

    coefficient n = 1/S0n apparat comme le coefficient dactualisation (de la date n la date 0) :cest la somme dargent qui, investie linstant 0 dans lactif sans risque, permet de disposerde 1 franc linstant n (si on compte les prix en francs). Les actifs numrots de 1 d serontappels actifs risques.

    1.2 Les stratgiesUne stratgie de gestion est dfinie par un processus (simplement une suite dans le cas dis-

    cret) alatoire =((0n,

    1n, . . . ,

    dn

    ))0nN valeurs dans R

    d+1, donnant chaque instant n

    les quantits0n, 1n, . . . , dn des divers actifs, dtenues en portefeuille. On impose au processus dtre prvisible au sens suivant :

    i {0, 1, . . . , d}i0 est F0-mesurableet, pour n 1 :in est Fn1-mesurable.

    La signification de cette hypothse est la suivante : le portefeuille la date n :(0n,

    1n, . . . ,

    dn

    ),

    est constitu au vu des informations disponibles la date (n1) et conserv tel quel au momentdes cotations la date n.

  • 14 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

    La valeur du portefeuille linstant n est donne par le produit scalaire :

    Vn() = n.Sn =

    di=0

    inSin,

    la valeur actualise est :Vn() = n (n.Sn) = n. Sn,

    o n = 1/S0n et Sn = (1, nS1n, . . . , nSdn) est le vecteur des prix actualiss.On dira quune stratgie est autofinance si la relation suivante est ralise pour tout n

    {0, 1, . . . , N 1} :

    n.Sn = n+1.Sn .

    Cette relation sinterprte de la faon suivante : linstant n, aprs avoir pris connaissance descours S0n,. . .,S

    dn, linvestisseur rajuste son portefeuille pour le faire passer de la composition

    n la composition n+1, le rajustement se faisant aux cours de la date n en rinvestissantla valeur totale du portefeuille et rien de plus. Il ny a donc ni apports, ni retraits de fonds (enparticulier, il ny a pas de consommation).Remarque 1.1 Lgalit n.Sn = n+1.Sn est videmment quivalente

    n+1.(Sn+1 Sn) = n+1.Sn+1 n.Sn,

    ou encore Vn+1() Vn() = n+1.(Sn+1 Sn).

    A linstant n+ 1, la valeur du portefeuille est n+1.Sn+1 et la diffrence n+1.Sn+1n+1.Snreprsente le gain (net) d la variation des cours entre les instants n et n + 1. Une stratgieautofinance est donc une stratgie pour laquelle les variations de valeur du portefeuille viennentuniquement des gains ds lagitation des cours.

    La proposition suivante permet de prciser cette remarque en termes de quantits actuali-ses.

    Proposition 1.2 Les conditions suivantes sont quivalentes :i) La stratgie est autofinance.ii) Pour tout n {1, . . . , N},

    Vn() = V0() +

    nj=1

    j Sj,

    o Sj est le vecteur Sj Sj1.iii) Pour tout n {1, . . . , N},

    Vn() = V0() +

    nj=1

    j Sj,

    o Sj est le vecteur Sj Sj1 = jSj j1Sj1.

    Dmonstration : Lquivalence entre i) et ii) rsulte de la remarque 1.1. Lquivalence entre i)et iii) sobtient en remarquant que n.Sn = n+1.Sn si et seulement si n. Sn = n+1. Sn.

  • Ch.1 MODLES DISCRETS 15

    Cette proposition montre que, pour une stratgie autofinance, la valeur actualise (et, donc,la valeur tout court) du portefeuille est compltement dtermine par la richesse initiale et leprocessus

    (1n, . . . ,

    dn

    )0nN des quantits dactifs risques dtenues (cela vient simplement

    du fait que S0j = 0). Plus prcisment, on peut noncer la proposition suivante :

    Proposition 1.3 Pour tout processus prvisible((1n, . . . ,

    dn

    ))0nN et pour toute variable

    V0 F0-mesurable, il existe un et un seul processus prvisible(0n

    )0nN tel que la stratgie

    =(0, 1, . . . , d

    )soit autofinance et de valeur initiale V0.

    Dmonstration : La condition dautofinancement entrane :

    Vn () = 0n +

    1n

    S1n + + dn Sdn= V0 +

    nj=1

    (1j

    S1j + + dj Sdj)

    Ce qui dtermine 0n. La seule chose vrifier est la prvisibilit de 0, qui est immdiate partir de lgalit :

    0n = V0 +

    n1j=1

    (1j

    S1j + + dj Sdj)

    +(1n

    ( S1n1

    )+ + dn

    ( Sdn1

    ))

    1.3 Stratgies admissibles et arbitrageNous navons pas impos de condition sur les signes des quantits in. Dire que 0n < 0,

    signifie que lon a emprunt la quantit |0n| sur le march des placements sans risques. Direque in < 0 pour un i 1, cest dire quon a des dettes libelles en actifs risques (par suitede ventes dcouvert). Les emprunts et les ventes dcouvert sont donc permis, mais nousimposerons la valeur du portefeuille dtre positive ou nulle tout instant.

    Dfinition 1.4 Une stratgie est dite admissible si elle est autofinance et si Vn() 0 pourtout n {0, 1, . . . , N}.

    Linvestisseur doit donc tre en mesure de rembourser ses emprunts tout instant.La notion darbitrage (ralisation dun profit sans prendre de risques) est alors formalise

    de la faon suivante :

    Dfinition 1.5 Une stratgie darbitrage est une stratgie admissible de valeur initiale nulle etde valeur finale non nulle.

    La plupart des modles excluent toute possibilit darbitrage et lobjet de la section suivante estde donner une caractrisation de ces modles grce la notion de martingale.

  • 16 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

    2 Martingales et arbitragesAfin dexaminer les liens entre martingales et arbitrage, nous allons tout dabord introduire

    la notion de martingale sur un espace de probabilit fini. Pour cela, lusage de lespranceconditionnelle est indispensable et nous renvoyons le lecteur lappendice pour un expos desprincipales proprits de cet outil.

    2.1 Martingales et transformes de martingalesDans ce paragraphe, on considre un espace de probabilit fini (,F ,P), avec F = P()

    et , P ({}) > 0, muni dune filtration (Fn)0nN (sans supposer FN = F , ni F0 ={,}). On dira quune suite (Xn)0nN de variables alatoires est adapte la filtration si pourtout n, Xn est Fn-mesurable.Dfinition 2.1 Une suite adapte (Mn)0nN de variables alatoires relles est :

    une martingale si E (Mn+1|Fn) = Mn pour tout n N 1. une surmartingale si E (Mn+1|Fn) Mn pour tout n N 1. une sousmartingale si E (Mn+1|Fn) Mn pour tout n N 1.

    Ces dfinitions stendent aux variables alatoires vectorielles : on dit par exemple quune suite(Mn)0nN de variables alatoires valeurs dans Rd est une martingale si chaque composantedu vecteurMn dfinit une martingale relle.

    Dans un modle financier, dire que le cours (Sin)0nN de lactif i est une martingale revient dire que, tout instant n, la meilleure estimation (au sens des moindres carrs) que lon puissefaire de Sin+1, partir des informations disponibles la date n, est donne par Sin.

    Les proprits suivantes, qui se dduisent aisment de la dfinition qui prcde, consti-tueront pour le lecteur de bons exercices de maniement de lesprance conditionnelle.

    1. (Mn)0nN est une martingale si et seulement si :

    E (Mn+j|Fn) = Mn j 0

    2. Si (Mn)n0 est une martingale, on a pour tout n : E (Mn) = E (M0).3. La somme de deux martingales est une martingale.4. On a videmment des proprits analogues pour les surmartingales et les sousmartingales.

    Dfinition 2.2 Une suite adapte (Hn)0nN de variables alatoires est prvisible si, pour toutn 1, Hn est Fn1 mesurable.

    Proposition 2.3 Soit (Mn)0nN une martingale et soit (Hn)0nN une suite prvisible parrapport la filtration (Fn)0nN. On pose Mn = Mn Mn1. La suite (Xn)0nN dfiniepar :

    X0 = H0M0

    Xn = H0M0 +H1M1 + +HnMn pour n 1est une martingale par rapport (Fn)0nN.

    (Xn) est parfois appele transforme de la martingale (Mn) par la suite (Hn). Une cons-quence de cette proposition et de la proposition 1.2 est que, dans les modles financiers o lesprix actualiss des actifs sont des martingales, toute stratgie autofinance conduit une valeur

  • Ch.1 MODLES DISCRETS 17

    finale actualise gale, en moyenne, la richesse initiale.Dmonstration : Il est clair que (Xn) est une suite adapte. De plus, pour n 0, on a :

    E (Xn+1 Xn|Fn)= E (Hn+1(Mn+1 Mn)|Fn)= Hn+1E (Mn+1 Mn|Fn) car Hn+1 est Fn-mesurable= 0.

    Do :E (Xn+1|Fn) = E (Xn|Fn) = Xn

    ce qui prouve que (Xn) est une martingale.

    La proposition suivante donne une caractrisation des martingales qui nous sera utile par lasuite.

    Proposition 2.4 Une suite adapte de variables alatoires relles (Mn) est une martingale siet seulement si pour toute suite prvisible (Hn), on a :

    E

    Nn=1

    HnMn

    = 0

    Dmonstration : Si (Mn) est une martingale, il en est de mme, par la proposition 2.3, de lasuite (Xn) dfinie par : X0 = 0 et, pour n 1, Xn =

    Nn=1HnMn, pour toute suite prvisible

    (Hn). On a donc E(XN) = E(X0) = 0. Rciproquement, on remarque que si j {1, . . . , N}, tout vnementFj-mesurableA, on peut associer la suite (Hn) dfinie parHn = 0 pour n 6= j+1 et Hj+1 = 1A. Il est clair que la suite (Hn) est prvisible et lgalit E

    (Nn=1HnMn

    )= 0

    donne :E (1A (Mj+1 Mj)) = 0

    et par consquent E (Mj+1|Fj) = Mj.

    2.2 Marchs financiers viablesNous revenons maintenant aux modles de marchs discrets introduits au paragraphe 1.

    Dfinition 2.5 On dit que le march est viable sil nexiste pas de stratgie darbitrage.

    Thorme 2.6 Le march est viable si, et seulement si, il existe une probabilit P quivalente1 P sous laquelle les prix actualiss des actifs sont des martingales.

    Dmonstration :a) Supposons quil existe une probabilit P quivalente P sous laquelle les actifs ac-

    tualiss sont des martingales. Alors, pour toute stratgie autofinance (n), on a, daprs laproposition 1.2 :

    Vn() = V0() +

    nj=1

    j. Sj.

    1Rappellons que deux probabilits P1 et P2 sont quivalentes si et seulement si, pour tout vnement A,P1 (A) = 0 P2 (A) = 0. Ici, P quivalente P signifie simplement que, pour tout , P ({}) > 0.

  • 18 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

    On en dduit, grce la proposition 2.3, que(

    Vn ())

    est une martingale sous P. Donc VN ()a mme esprance sous P que V0 () :

    E(

    VN ())

    = E(

    V0 ()).

    Si la stratgie est admissible et de valeur initiale nulle, on a donc E(

    VN())

    = 0, avec

    VN () 0. Do, VN () = 0 puisque P ({}) > 0, pour tout .b) La dmonstration de la rciproque est plus dlicate. Soit le cne convexe des variables

    alatoires positives et non nulles. Le march est viable si et seulement si pour toute stratgieadmissible on a : V0 () = 0 VN () / .

    b1) A tout processus prvisible (1n, . . . , dn), on associe le processus dfini par :

    Gn () =

    nj=1

    (1j

    S1j + + dj Sdj).

    Cest le processus des gains actualiss cumuls dans toute stratgie autofinance suivant lesquantits dactifs risqus 1n,. . ., dn. Daprs la proposition 1.3, il existe un (unique) processus(0n) tel que la stratgie ((0n, 1n, . . . , dn)) soit autofinance et de valeur initiale nulle. Gn ()est alors la valeur actualise linstant n de cette stratgie et lhypothse de viabilit du marchentrane que si cette valeur est positive tout instant, cest--dire si Gn() 0, pour toutn = 1, . . . , N, alors GN() = 0. Le lemme suivant montre que, mme sans lhypothse depositivit des Gn(), on a encore GN() / .Lemme 2.7 Si le march est viable, tout processus prvisible (1, . . . , d) vrifie :

    GN() / .

    Dmonstration : Supposons GN() . On a clairement une contradiction de la viabilitsi Gn() 0 pour tout n {0, . . . , N}. Si cette dernire proprit na pas lieu, introduisonslentier n = sup

    {k|P

    (Gk() < 0

    )> 0

    }. On a :

    n N 1, P(

    Gn() < 0)> 0 et m > n Gm() 0.

    On dfinit alors un nouveau processus en posant :

    j () =

    {0 si j n1A()j() si j > n

    o A est lvnement{

    Gn() < 0}

    . En utilisant la prvisibilit de et le fait que A est Fn-mesurable on voit que est aussi prvisible. Dautre part :

    Gj () =

    {0 si j n1A(

    Gj () Gn ())

    si j > n

    Alors, on voit que Gj () 0 pour tout j {0, . . . , N} et que GN () > 0 sur A ce quicontredit la viabilit et achve la dmonstration du lemme.

    b2) Il est clair que lensemble V des variables alatoires de la forme GN (), avec pr-visible valeurs dans Rd, est un sous-espace vectoriel de lespace R de toutes les variablesalatoires relles dfinies sur . Daprs le lemme 2.7, le sous-espace V ne rencontre pas , nile convexe compact K = {X | X() = 1}, qui est contenu dans . Il en rsulte, par lethorme de sparation des convexes (voir lappendice), quil existe ( ()) tel que :

  • Ch.1 MODLES DISCRETS 19

    1. X K,

    ()X() > 0

    2. Pour tout prvisible :

    () GN () () = 0

    De la proprit 1, on dduit que () > 0 pour tout , de sorte que la probabilit Pdfinie par :

    P ({}) = () (

    )

    est quivalente P.De plus, si on note E lesprance par rapport la probabilit P, la proprit 2 signifie que,

    pour tout processus prvisible (n) valeurs dans Rd :

    E Nj=1

    j Sj

    = 0.

    On en dduit immdiatement que pour tout indice i {1, . . . , d} et toute suite prvisible (in), valeurs relles, on a :

    E Nj=1

    ijSij

    = 0,

    ce qui entrane, grce la proposition 2.4 que, sous P, les prix actualiss ( S1n), . . . , ( Sdn) sontdes martingales.

    3 Marchs complets et valuation des options

    3.1 Marchs completsNous dfinirons une option2 europenne dchance N par la donne dune variable ala-

    toire h 0, FN-mesurable, reprsentant le profit que permet lexercice de loption. Ainsi,pour une option dachat ou call sur une unit dactif 1, au prix dexercice K, on a :h =

    (S1N K

    )+

    et, pour une option de vente ou put sur une unit dactif 1 au prix dexerciceK : h =

    (K S1N

    )+

    . Dans ces deux exemples (les plus importants dans la pratique), la variablealatoire h est une fonction de SN seulement. Il existe des options pour lesquelles h dpend detoutes les valeurs des cours jusqu lchance : S0, S1,. . ., SN. Cest le cas des options ditesasiatiques, dont le prix dexercice est gal la moyenne des cours observs sur une priodedonne, prcdant lchance.

    Dfinition 3.1 On dit que lactif conditionnel dfini par h est simulable (ou atteignable3) silexiste une stratgie admissible dont la valeur linstantN est gale h.

    2ou plus gnralement un bien contingent (contingent claim) ou actif conditionnel.3attainable dans certains articles amricains.

  • 20 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

    Remarque 3.2 Dans un march viable, pour que loption h soit simulable, il suffit quil existeune stratgie autofinance de valeur gale h linstant N. En effet, si est une stratgieautofinance et si P est une probabilit quivalente P sous laquelle les prix actualiss sont desmartingales, alors, sous P,

    (Vn()

    )est une martingale (en tant que transforme de martingale).

    On a donc, pour n {0, . . . , N} Vn() = E(

    VN()|Fn). Il est clair alors que, si VN() 0

    (en particulier si VN() = h), la stratgie est admissible.

    Dfinition 3.3 On dit que le march est complet si tout actif conditionnel est simulable.

    Supposer quun march financier est complet est une hypothse restrictive dont la justifica-tion conomique est moins claire que celle de lhypothse de viabilit. Lintrt des marchscomplets est quils se prtent une thorie trs simple de lvaluation et de la couverture desactifs conditionnels. Le modle de Cox-Ross-Rubinstein, que nous tudierons plus loin, fournitun exemple de modle de march complet dune grande simplicit. Le thorme suivant donneune caractrisation des marchs viables et complets.

    Thorme 3.4 Un march viable est complet si, et seulement si, il existe une seule probabilitP quivalente P sous laquelle les prix actualiss des actifs soient des martingales.La probabilit P apparatra dans la suite comme loutil de calcul des formules de prix et decouverture.Dmonstration :

    a) Supposons le march viable et complet. Alors, toute variable alatoire h FN-mesurableet positive peut scrire h = VN () o est une stratgie admissible, qui simule lactif condi-tionnel h. Puisque est une stratgie autofinance on a :

    h

    S0N= VN () = V0 () +

    Nj=1

    j. Sj.

    Alors, si P1 et P2 sont deux probabilits sous lesquelles les prix actualiss sont des martingales,(Vn ()

    )0nN est une martingale la fois sous P1 et sous P2. Do pour i = 1 ou 2 :

    Ei(

    VN ())

    = Ei (V0 ()) = V0 () ,

    la dernire galit venant du fait que F0 = {,}. On a donc :

    E1(h

    S0N

    )= E2

    (h

    S0N

    )

    et, comme h est arbitraire, P1 = P2 sur la tribu FN, que lon a suppose gale F .b) Supposons le march viable et non complet. Alors il existe une variable alatoire h 0

    non simulable. Notons V lespace des variables alatoires de la forme :

    U0 +

    Nn=1

    n. Sn, (1.1)

    avec U0 F0-mesurable et((1n, . . . ,

    dn

    ))0nN prvisible, valeurs dans R

    d. Il rsulte de la

    proposition 1.3 et de la remarque 3.2 que la variable alatoire h/S0n nappartient pas V . Vest donc un sous-espace strict de lespace de toutes les variables alatoires dfinies sur (,F).

  • Ch.1 MODLES DISCRETS 21

    Alors, si P est une probabilit quivalente P sous laquelle les prix actualiss sont des martin-gales et si lon munit lespace des variables alatoires du produit scalaire (X, Y) 7 E (XY), onvoit quil existe une variable alatoire X non nulle et orthogonale au sous-espace V .

    Posons alors :P ({}) =

    (1+

    X()

    2X)

    P ({})

    o X = sup |X()|. On dfinit ainsi une probabilit (car E (X) = 0) qui est quivalente P, et distincte de P. On a de plus

    E Nn=1

    n. Sn

    = 0

    pour tout processus prvisible((1n, . . . ,

    dn

    ))0nN, ce qui entrane, par la proposition 2.4,

    que ( Sn)0nN est une P-martingale.

    3.2 Evaluation et couverture des actifs conditionnels dans les marchscomplets

    On suppose le march viable et complet et on note P lunique probabilit sous laquelleles prix actualiss des actifs sont des martingales. Soit un actif conditionnel dfini par unevariable alatoire FN-mesurable h 0 et soit une stratgie admissible simulant h, cest--dire vrifiant :

    VN() = h.

    La suite(

    Vn)0nN est une martingale sous P

    et par consquent, V0() = E(

    VN())

    , do

    V0() = E(hS0N

    )et plus gnralement

    Vn() = S0nE

    (h

    S0N|Fn

    ), n = 0, 1, . . . , N.

    La valeur tout instant de toute stratgie admissible simulant h est donc compltement dter-mine par h. Il est naturel dappeler Vn() la valeur de loption : cest la richesse qui, dtenue linstant n, permet, en suivant la stratgie partir de linstant n, de produire exactement larichesse h linstantN.

    Si, linstant 0, un investisseur vend loption au prix

    E(h

    S0N

    ),

    il a la possibilit, en suivant une stratgie simulante , de restituer la richesse promise h linstantN ; cest dire quil peut se couvrir parfaitement.Remarque 3.5 Il est important de noter que le calcul du prix ncessite seulement la connais-sance de P (pas celle de P). On aurait pu se contenter de partir de lespace probabilisable(,F), muni de la filtration (Fn), cest--dire, concrtement, de dfinir tous les tats possibleset lvolution de linformation disponible au cours du temps. Ds que lespace (,F) et lafiltration sont spcifis, il est inutile, pour valuer des options par simulation, de dterminerles vraies probabilits des divers tats possibles (en utilisant notamment une approche sta-tistique). Ltude du modle de Cox-Ross-Rubinstein montrera comment, dans la pratique, lescalculs de prix et de couverture peuvent tre mens bien.

  • 22 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

    3.3 Premire approche des options amricainesUne option amricaine pouvant tre exerce nimporte quel instant entre 0 et N, nous la

    dfinirons comme une suite (Zn) positive et adapte la filtration (Fn), Zn reprsentant leprofit que permet lexercice de loption linstant n. Dans le cas dun call amricain sur uneunit dactif 1 au prix dexercice K, Zn =

    (S1n K

    )+

    ; dans le cas dun put amricain, Zn =(K S1n

    )+

    . Pour dfinir la valeur de loption amricaine associe au processus (Zn)0nN,nous allons raisonner par rcurrence en marche arrire partir de lchance N. Il est clair quela valeur de loption linstantN est UN = ZN. A quel prix vendre loption linstantN 1 ?Si lacheteur exerce immdiatement, il fera le profit ZN1, sinon il exercera (ventuellement) linstant N et le vendeur doit tre prt payer la richesse ZN linstant N. Le vendeur doitdonc encaisser linstantN 1 une somme au moins gale ZN1 et lui permettant de fournirla richesse ZN linstant N. La somme qui, disponible linstant N 1, permet dobtenir larichesse ZN linstantN, cest la valeur linstant N 1 dune stratgie admissible de valeurfinale ZN, cest--dire S0N1E

    (ZN|FN1

    ), avec ZN = ZN/S

    0N. Il est donc naturel de prendre

    pour valeur de loption amricaine linstantN 1 la quantit :

    UN1 = max(ZN1, S

    0N1E

    (ZNFN1)) .

    De proche en proche, on dfinit la valeur de loption amricaine linstant n par la relationde rcurrence suivante, valable pour n = 1, . . . , N :

    Un1 = max

    (Zn1, S

    0n1E

    (Un

    S0n

    Fn1)).

    Dans le cas dun taux dintrt constant gal r sur chaque priode,

    S0n = (1+ r)n

    et :

    Un1 = max

    (Zn1,

    1

    1+ rE (Un |Fn1 )

    ).

    Soit Un = UnS0n la valeur actualise de loption amricaine.

    Proposition 3.6 La suite(

    Un)0nN est une P

    -surmartingale. Cest la plus petite P-

    surmartingale majorant la suite(

    Zn)0nN.

    Noter que, contrairement au cas europen, la valeur actualise de loption amricaine ne dfinitpas ncessairement une martingale sous P.Dmonstration : De la relation :

    Un1 = max(

    Zn1,E(

    Un |Fn1)),

    on dduit que ( Un)0nN est une surmartingale majorant ( Zn)0nN. Soit maintenant une sur-martingale ( Tn)0nN majorant ( Zn)0nN. Alors TN UN et si Tn Un on a :

    Tn1 E(

    Tn |Fn1) E

    (Un |Fn1

    )et donc :

    Tn1 max(

    Zn1,E(

    Un |Fn1))

    = Un1.

    Ce qui dmontre que (Tn) majore ( Un), par rcurrence descendante sur n.

  • Ch.1 MODLES DISCRETS 23

    4 Problme corrig : le modle de Cox, Ross et RubinsteinLe modle de Cox-Ross-Rubinstein est une version discrtise du modle de Black-Scholes

    (qui sera tudi au chapitre 4), dans laquelle il y a un seul actif risque, de prix Sn linstant n,0 n N, et un actif sans risque de rendement certain r sur une priode, de sorte que, avecles notations des paragraphes prcdents : S0n = (1+ r)n

    On fait les hypothses suivantes sur lvolution du cours de lactif risqu : entre deux p-riodes conscutives, la variation relative des cours est soit a, soit b, avec 1 < a < b :

    Sn+1 =

    {Sn(1+ a)

    Sn(1+ b)

    Le cours initial S0 est donn. Lespace naturel des rsultats possibles est donc = {1+ a, 1+b}N, chaque N-uple reprsentant les valeurs successives de Sn+1/Sn, n = 0, 1, . . . , N 1. Onprend naturellement : F0 = {,}, et F = P(). La tribu Fn sera, pour n = 1, . . . , N, la tribu(S1, . . . , Sn) engendre par les variables alatoires S1,. . .,Sn. Lhypothse dfinissant P unequivalence prs est que tous les singletons de ont une probabilit non nulle.

    Introduisons les variables alatoires Tn = Sn/Sn1, pour n = 1, . . . , N. Si (x1, . . . , xN)est un lment de , on a P{(x1, . . . , xN)} = P(T1 = x1, . . . , TN = xN). La connaissance deP quivaut donc celle de la loi du N-uple (T1, T2, . . . , TN). Notons aussi que, pour n 1,Fn = (T1, . . . , Tn).

    1. Montrer que le prix actualis ( Sn) est une martingale sous P si et seulement siE(Tn+1|Fn) = 1+ r, n {0, 1, . . . , N 1}.La relation E( Sn+1|Fn) = Sn est quivalente E( Sn+1/Sn|Fn) = 1, puisque Sn est Fn-mesurable et cette dernire galit quivaut E(Tn+1|Fn) = 1 + r.

    2. En dduire que, pour que le march soit viable, il est ncessaire que r appartienne lintervalle ]a, b[.Si le march est viable, il existe une probabilit P quivalente P, sous laquelle ( Sn) est unemartingale. On a donc, daprs la question 1 :

    E(Tn+1|Fn) = 1 + r

    et par consquent E(Tn+1) = 1 + r. Comme Tn+1 est valeurs dans {1 + a, 1 + b} et prend cesdeux valeurs avec une probabilit non nulle, on a ncessairement : (1 + r) ]1+ a, 1 + b[.

    3. Donner des exemples darbitrages possibles si la condition ncessaire de viabilit obtenueen 2 nest pas vrifie.Supposons par exemple r a. En empruntant une somme S0 linstant 0, on peut acheter uneunit dactif risqu. A la date N, on rembourse lemprunt et on revend lactif risqu. Le profitralis SN S0(1 + r)N est toujours positif ou nul, puisque SN S0(1 + a)N, et strictementpositif avec une probabilit non nulle. On a donc bien un arbitrage. Quand r b, larbitragesobtient en vendant lactif risqu dcouvert.

    4. Pour toute la suite, on suppose que r ]a, b[ et on pose p = (b r)/(b a). Montrerque ( Sn) est une martingale sous P si et seulement et si les variables alatoires T1, T2,. . ., TN sont indpendantes quidistribues, leur loi commune tant donne par : P(T1 =1+ a) = p = 1 P(T1 = 1+ b). En dduire que le march est viable et complet.Si les Ti sont indpendantes et vrifient P(Ti = 1+ a) = p = 1 P(Ti = 1+ b), on a :

    E(Tn+1|Fn) = E(Tn+1) = p(1 + a) + (1 p)(1 + b) = 1 + ret ( Sn) est une martingale sous P, daprs la question 1.

  • 24 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

    Rciproquement, si, pour n = 0, 1, . . . ,N 1, E(Tn+1|Fn) = 1+ r, on peut crire :(1 + a)E

    (1{Tn+1=1+a}|Fn

    )+ (1 + b)E

    (1{Tn+1=1+b}|Fn

    )= 1+ r

    On en dduit, en utilisant lgalit

    E(

    1{Tn+1=1+a}|Fn)

    + E(

    1{Tn+1=1+b}|Fn)

    = 1

    que E(

    1{Tn+1=1+a}|Fn)

    = p et E(

    1{Tn+1=1+b}|Fn)

    = 1 p.On voit alors, en raisonnant parrcurrence sur n que, pour tous xi {1 + a, 1 + b},

    P (T1 = x1, . . . , Tn = xn) =ni=1

    pi

    o pi = p si xi = 1+ a et pi = 1 p si xi = 1+ b, ce qui prouve que les Ti sont indpendantesquidistribues sous P et vrifient P(Ti = 1+ a) = p.Ainsi, on voit que la condition que ( Sn) soit une martingale sous P dtermine la loi du N-uple(T1, T2, . . . , TN) sous P, et donc la probabilit P elle-mme, de faon unique. Le march est doncviable et complet.

    5. On note Cn (resp. Pn) la valeur, linstant n, dun call (resp. dun put) europen sur uneunit dactif risqu au prix dexercice K et dchance N.

    (a) Retrouver, partir des formules de prix sous forme desprances conditionnelles, larelation de parit call-put :

    Cn Pn = Sn K(1+ r)(Nn).

    Notant E lesprance par rapport lunique probabilit P sous laquelle ( Sn) est une mar-tingale, on a :

    Cn Pn = (1 + r)(Nn)E ((SN K)+ (K SN)+|Fn)

    = (1 + r)(Nn)E (SN K|Fn)= Sn K(1+ r)

    (Nn),

    la dernire galit rsultant du fait que ( Sn) est une martingale sous P.(b) Montrer que Cn peut scrire sous la forme : Cn = c(n, Sn), o c est une fonction

    que lon explicitera laide de K, a, b, r et p.En crivant SN = Sn

    Ni=n+1 Ti, on obtient :

    Cn = (1+ r)(Nn)E

    Sn

    Ni=n+1

    Ti K

    +

    Fn

    Comme, sous la probabilit P, la variable alatoireNi=n+1 Ti est indpendante de Fn et

    que Sn est Fn-mesurable, on peut crire, en utilisant la proposition 2.5 de lappendice :Cn = c(n, Sn), o c est la fonction dfinie par :

    c(n, x)

    (1 + r)(Nn)

    = Ex N

    i=n+1

    Ti K

    +

    =

    Nnj=0

    (N n)!

    (N n j)!j!pj(1 p)Nnj

    (x(1 + a)j(1 + b)Nnj K

    )+

  • Ch.1 MODLES DISCRETS 25

    6. Montrer que la stratgie de couverture parfaite dun call est dfinie par une quantit dactifrisquHn = (n, Sn1) dtenir linstant n, o est une fonction que lon exprimera partir de la fonction c.Notant H0n la quantit dactif sans risque dans le portefeuille simulant le call, on a :

    H0n(1 + r)n +HnSn = c(n, Sn)

    Puisque H0n et Hn sont Fn1-mesurables, ce sont des fonctions de S1, . . .,Sn1 seulement et, Sntant gal Sn1(1 + a) ou Sn1(1 + b), lgalit ci-dessus implique :

    H0n(1 + r)n +HnSn1(1 + a) = c(n, Sn1(1 + a))

    etH0n(1 + r)

    n +HnSn1(1 + b) = c(n, Sn1(1 + b))

    Do, par soustraction,

    (n, x) =c(n, x(1 + b)) c(n, x(1 + a))

    x(b a).

    7. On utilise maintenant le modle pour pricer un call ou un put dchance T sur uneaction. Pour cela, on fait tendre N vers linfini en imposant les relations suivantes :r = RT/N, log((1 + a)/(1 + r)) = /

    N et log((1 + b)/(1 + r)) = /

    N. Le

    rel R sinterprte comme le taux dintrt instantan entre les instants 0 et T , puisqueeRT = limN(1+ r)N, et 2 comme la variance limite, sous la probabilit P, de la va-riable alatoire log(SN), quand N tend vers linfini, SN reprsentant le cours de laction la date T .

    (a) Montrer que si (YN)N1 est une suite de variables alatoires de la forme :YN = X

    N1 + X

    N2 + . . .+ X

    NN

    o, pour chaque N, les variables alatoires XNi sont indpendantes quidistribues, valeurs dans :

    {N,N

    },

    et de moyenne N, avec limN(NN) = , alors la suite (YN) converge en loivers une gaussienne de moyenne et de variance 2.Il suffit dtudier la convergence de la fonction caractristique YN de YN. Le calcul donne :

    YN(u) = E(eiuYN

    )=

    Nj=1

    E(eiuXN

    j

    )

    =(

    E(eiuX

    N1

    ))N

    =

    (1+ iuN

    2u2

    2N+ o(1/N)

    )N.

    Do : limNYN(u) = exp(iu

    2u2

    2

    ), ce qui prouve la convergence demande.

    (b) Expliciter les valeurs limites du put, puis du call linstant 0.Pour N fix, le prix du put l instant 0 est donn par :

    P(N)0 = (1 + RT/N)

    NEK S0

    Nn=1

    Tn

    +

    = E((1 + RT/N)NK S0e

    YN))

    +

  • 26 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

    o YN =Nn=1 log(Tn/(1 + r)). Avec les hypothses de lnonc, les variables alatoires

    XNj = log(Tj/(1 + r)) sont valeurs dans {/N,/

    N}, et indpendantes quidistri-

    bues sous la probabilit P. On a de plus :

    E(XNj ) = (1 2p)N

    =2 e/

    N e/

    N

    e/N e/

    N

    N

    La suite (YN) est donc du type tudi dans la question 7a, avec = 2/2. Si on pose(y) = (KeRT S0e

    y)+, on peut crire :

    |P(N)0 E

    ((YN)) |

    =

    E((

    (1 + RT/N)NK S0eYN)

    )+

    (KeRT S0e

    YN)

    +

    ) K

    (1 + RT/N)N eRT Do, en utilisant la convergence en loi de (YN) et le fait que la fonction est continue bor-ne (cest prcisment pour avoir une fonction borne que nous avons tudi le put dabord) :

    limNP(N)0 = limN E ((YN)) =

    12pi

    + (Ke

    RT S0e2/2+y)+e

    y2/2dy.

    Lintgrale obtenue sexprime, aprs un calcul lmentaire, laide de la fonction de rpar-tition F de la loi normale centre rduite, de sorte que :

    limNP(N)0 = KeRTF(d2) S0F(d1),

    o d1 = (log(x/K) + RT + 2/2)/, d2 = d1 et

    F(d) =12pi

    d e

    x2/2dx.

    Pour le call, on obtient, en utilisant la relation de parit put-call : limNC(N)0 = S0F(d1)KeRTF(d2).

    Remarque 4.1 Dans les formules obtenues, le seul paramtre qui nest pas directement obser-vable sur le march est . Linterprtation de comme variance suggre de lestimer par desvoies statistiques. Nous reviendrons sur cette question dans le chapitre 4.

    Indications bibliographiques Nous avons suppos, dans ce chapitre, quil ny avait pas dedistribution de dividendes. En fait, on peut utiliser les mmes ides pour traiter les marchsavec dividendes (cf. [HL88], chapitre 8). Le thorme de caractrisation des marchs completspeut tre tendu des espaces de probabilit infinis (cf. [DMW90], [Mor89]). A temps continu,la formulation du problme est dlicate (cf. [HK79], [Str90] et [DS94]). La thorie des marchscomplets temps continu est dveloppe dans [HP81] et [HP83]. On trouvera une prsentationlmentaire du modle de Cox-Ross-Rubinstein dans [CR85].

  • Chapitre 2Problme darrt optimal et options amricaines

    Le but de ce chapitre est de traiter lvaluation et la couverture des options amricaines etde faire apparatre le lien entre ces questions et le problme darrt optimal. Pour cela, nousaurons besoin de la notion de temps darrt, qui permet de modliser les stratgies dexercicedune option amricaine, et de la notion denveloppe de Snell, qui est la cl de la rsolution duproblme darrt optimal. Lapplication de ces notions aux options amricaines sera prcisedans le paragraphe 5 de ce chapitre.

    1 Notion de temps darrtLe dtenteur dune option amricaine peut lexercer tout moment, jusqu la date

    dchance. La dcision dexercer ou de ne pas exercer linstant n se fera au vu des infor-mations disponibles linstant n. Si on se place dans un modle discret construit sur un espaceprobabilis filtr

    (,F , (Fn)0nN ,P

    )fini, on est conduit dcrire la date dexercice par une

    variable alatoire appele temps darrt :

    Dfinition 1.1 Une variable alatoire , valeurs dans {0, 1, 2, . . . , N} est un temps darrt si,pour tout n {0, 1, , N} :

    { = n} Fn.Remarque 1.2 Comme dans le chapitre prcdent, nous supposerons que F = P() etP({}) > 0, . Cette hypothse nest dailleurs pas essentielle : si elle nest pas v-rifie, les rsultats exposs dans ce chapitre restent vrais condition de prendre les galits ausens presque sr. Par contre, nous ne ferons pas les hypothses F0 = {,} et FN = F , saufdans le contexte purement financier du paragraphe 5.

    Remarque 1.3 On pourra vrifier, titre dexercice, que est un temps darrt si et seulementsi, pour tout n {0, 1, , N} :

    { n} Fn.Cette dfinition quivalente du temps darrt est celle qui se gnralise au temps continu.

    Introduisons maintenant la notion de suite arrte un temps darrt. Soit (Xn)0nN unesuite adapte la filtration (Fn)0nN et soit un temps darrt. La suite arrte linstant est dfinie par :

    Xn () = X()n ()

    cest dire que, sur lensemble { = j} on a :

    Xn =

    {Xj si j nXn si j > n.

    Noter que XN () = X()() (= Xj sur { = j}).Proposition 1.4 Soit (Xn) une suite adapte et soit un temps darrt. La suite arrte(Xn)0nN est adapte. Si, de plus, (Xn) est une martingale (resp. une surmartingale), alors(Xn) est une martingale (resp. une surmartingale).

  • 28 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

    Dmonstration : On remarque que, pour n 1, on a :

    Xn = X0 +

    nj=1

    j (Xj Xj1) ,

    o j = 1{j }. Puisque {j } est le complmentaire de lensemble { < j} = { j 1},le processus (n)0nN est prvisible.

    Il est clair alors que (Xn)0nN est adapte la filtration (Fn)0nN. De plus, si (Xn)est une martingale, (Xn) est aussi une martingale par rapport (Fn), en tant que transformede la martingale (Xn). On montre de mme que si la suite (Xn) est une surmartingale (resp.une sousmartingale), la suite arrte est encore une surmartingale (resp. une sousmartingale) enutilisant la prvisibilit et la positivit de (j)0jN.

    2 Enveloppe de SnellDans ce paragraphe, on se donne une suite (Zn)0nN adapte, et on se propose dtudier

    la suite (Un)0nN dfinie par les relations :{UN = ZNUn = max (Zn,E (Un+1|Fn)) n N 1.

    Cette tude est motive par notre premire approche des options amricaines (paragraphe 3.3du chapitre 1). Nous savons dj, par la proposition 3.6 du chapitre 1, que (Un)0nN est laplus petite surmartingale majorant la suite (Zn)0nN. On lappelle enveloppe de Snell de lasuite (Zn)0nN.

    La relation de rcurrence dfinissant (Un) montre qu chaque instant, Un est au dessus deZn (avec galit pour n = N) et que, tant que lingalit est stricte, Un = E(Un+1|Fn). Celasuggre quen arrtant convenablement la suite (Un), on puisse obtenir une martingale, commele montre la proposition suivante.

    Proposition 2.1 La variable alatoire dfinie par :0 = inf {n 0|Un = Zn}

    est un temps darrt et la suite arrte (Un0)0nN est une martingale.

    Dmonstration : Puisque UN = ZN, 0 dfinit bien un lment de {0, 1, , N} et lon a :{0 = 0} = {U0 = Z0} F0,

    et pour k 1 :{0 = k} = {U0 > Z0} {Uk1 > Zk1} {Uk = Zk} Fk.

    Pour montrer que (U0n ) est une martingale, on crit, comme dans la dmonstration de laproposition 1.4 :

    U0n = Un0 = U0 +

    nj=1

    jUj

  • Ch.2 PROBLME DARRT OPTIMAL ET OPTIONS AMRICAINES 29

    o j = 1{0 j}. Do, pour n {0, 1, , N 1} :

    U0n+1 U0n = n+1 (Un+1 Un)

    = 1{n+ 1 0} (Un+1 Un)

    On a, par dfinition, Un = max (Zn,E (Un+1|Fn)) et sur lensemble {n+ 1 0}, Un > Znet par consquent Un = E (Un+1|Fn). Do :

    U0n+1 U0n = 1{n+ 1 0} (Un+1 E (Un+1|Fn))

    et, en conditionnant :

    E((U0n+1 U

    0n

    )|Fn

    )= 1{n+ 1 0}E ((Un+1 E (Un+1|Fn))|Fn)

    car {n + 1 0} Fn (puisque le complmentaire de {n+ 1 0} est {0 n}.Do :

    E((U0n+1 U

    0n

    )|Fn

    ),= 0

    ce qui prouve que U0 est une martingale.

    Dans la suite, nous noterons Tn,N lensemble des temps darrt qui prennent leurs valeurs dans{n, n+ 1, , N}. Remarquons que, puisque est suppos fini, Tn,N est un ensemble fini. Laproprit de martingale de la suite U0 permet de montrer le rsultat suivant, qui fait le lienentre enveloppe de Snell et problme darrt optimal.

    Corollaire 2.2 Le temps darrt 0 vrifie :

    U0 = E (Z0 |F0) = supT0,N

    E (Z|F0) .

    Si Zn sinterprte comme la somme des gains dun joueur aprs n parties dun jeu de hasard,on voit que sarrter de jouer linstant 0 permet de maximiser le gain moyen sachant F0.Dmonstration : Puisque U0 est une martingale, on a :

    U0 = U00 = E (U

    0N |F0) = E (U0 |F0) = E (Z0 |F0) .

    Par ailleurs, si T0,N la suite arrte U est une surmartingale. Do :

    U0 E (UN|F0) = E (U|F0) E (Z|F0) ,

    ce qui donne le rsultat.

    Remarque 2.3 Une gnralisation immdiate du corollaire 2.2 donne :

    Un = supTn,N

    E (Z|Fn)= E (Zn |Fn) ,

    o n = inf {j n|Uj = Zj}.

  • 30 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

    Dfinition 2.4 On appelle temps darrt optimal pour la suite (Zn)0nN tout temps darrt tel que :

    E (Z|F0) = supT0,N

    E (Z|F0)

    Il rsulte de ce qui prcde que 0 est un temps darrt optimal. Le rsultat suivant donne unecaractrisation des temps darrt optimaux qui montre que 0 est le plus petit temps darrtoptimal.

    Thorme 2.5 Un temps darrt est optimal si et seulement si :{Z = Uet (Un)0nN est une martingale.

    (2.1)

    Dmonstration : Si la suite arrte U est une martingale, on a U0 = E(U|F0) et par cons-quent, si (2.1) est vrifi, U0 = E(Z|F0), ce qui, compte tenu du corollaire 2.2, entraneloptimalit de .

    Rciproquement, si est optimal, on a :

    U0 = E (Z|F0) E (U|F0) .Mais, puisque U est une surmartingale :

    E (U|F0) U0.Do :

    E (U|F0) = E (Z|F0)et puisque U Z, U = Z.

    De lgalit E (U|F0) = U0 et des ingalits :U0 E (Un|F0) E (U|F0)

    (qui rsultent du fait que (Un) est une surmartingale) on dduit aussi :E (Un|F0) = E (U|F0) = E (E (U|Fn)|F0) .

    Mais on a Un E (U|Fn), do Un = E (U|Fn), ce qui prouve que (Un) est unemartingale.

    3 Dcomposition des surmartingalesLa dcomposition suivante (classiquement appele dcomposition de Doob) permet, dans

    les modles de marchs viables et complets, dassocier toute surmartingale une stratgie degestion dans laquelle la consommation est autorise (voir ce sujet lexercice 5).Proposition 3.1 Toute surmartingale (Un)0nN peut scrire de faon unique sous la forme :

    Un = Mn An

    o (Mn) est une martingale et (An) un processus croissant, prvisible, nul en 0.

  • Ch.2 PROBLME DARRT OPTIMAL ET OPTIONS AMRICAINES 31

    Dmonstration : Il est clair que le seul choix possible pour n = 0 est M0 = U0 et A0 = 0.On doit ensuite avoir :

    Un+1 Un = Mn+1 Mn (An+1 An) .

    Do, en conditionnant par rapport Fn et en utilisant les proprits de M et A : (An+1 An) = E (Un+1|Fn) Un

    etMn+1 Mn = Un+1 E (Un+1|Fn) .

    (Mn) et (An) sont ainsi dtermins de manire unique et on voit que (Mn) est bien une mar-tingale et que (An) est bien prvisible et croissant (parce que (Un) est une surmartingale).

    Supposons maintenant que (Un) soit lenveloppe de Snell dune suite adapte (Zn). On peutalors caractriser le plus grand temps darrt optimal pour (Zn) laide du processus croissant(An) intervenant dans la dcomposition de Doob de (Un) :

    Proposition 3.2 Le plus grand temps darrt optimal pour (Zn) est donn par :

    max =

    {N si AN = 0inf {n, An+1 6= 0} si AN 6= 0.

    Dmonstration : On voit facilement que max est un temps darrt en utilisant le fait que(An)0nN est prvisible. De lgalit Un = Mn An et du fait que Aj = 0, pour j max, ondduit queUmax = Mmax ce qui entrane queUmax est une martingale. Pour avoir loptimalit, ilsuffit par consquent de montrer lgalit :

    Umax = Zmax.

    Or :

    Umax =

    N1j=0

    1{max = j}Uj + 1{max = N}UN

    =

    N1j=0

    1{max = j} max (Zj,E (Uj+1|Fj)) + 1{max = N}ZN,

    On a E (Uj+1|Fj) = Mj Aj+1 et, sur lensemble {max = j}, Aj = 0 et Aj+1 > 0, doncUj = Mj et E (Uj+1|Fj) = Mj Aj+1 < Uj. Par suiteUj = max (Zj,E (Uj+1|Fj)) = Zj. Dofinalement :

    Umax = Zmax.

    Il reste dmontrer que cest le plus grand temps darrt optimal. Cela rsulte du fait que si est un temps darrt vrifiant max et P( > max) > 0, alors

    E(U) = E(M) E(A) = E(U0) E(A) < E(U0)

    et par consquent U ne peut pas tre une martingale.

  • 32 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

    4 Enveloppe de Snell et chanes de MarkovLe but de ce paragraphe est de montrer comment, dans un cadre markovien, les calculs

    denveloppes de Snell peuvent tre mens bien. Une suite (Xn)n0 de variables alatoires valeurs dans un ensemble fini E est appele chane de Markov si, pour tout entier n 1 et pourtous lments x0, x1,. . ., xn1, x, y de E, on a :

    P (Xn+1 = y|X0 = x0, . . . , Xn1 = xn1, Xn = x) = P (Xn+1 = y|Xn = x)

    La chane est dite homogne si le nombre P(x, y) = P (Xn+1 = y|Xn = x) ne dpend pas de n.La matrice P = (P(x, y))(x,y)EE, indexe par E E, est alors appele matrice de transitionde la chane. La matrice P a des coefficients positifs ou nuls et vrifie :

    yE P(x, y) = 1,

    pour tout x E ; on dit que cest une matrice stochastique. Lorsquon travaille sur un espace deprobabilit filtr

    (,F , (Fn)0nN ,P

    ), on dfinit la notion de chane de Markov par rapport

    la filtration :

    Dfinition 4.1 Une suite (Xn)0nN de variables alatoires valeurs dans ensemble E est unechane de Markov homogne de matrice de transition P par rapport la filtration (Fn)0nNsi (Xn) est adapte et si pour toute fonction f de E dans R, on a :

    E (f (Xn+1) |Fn) = Pf (Xn)

    o Pf dsigne la fonction qui x E associe Pf(x) = yE P(x, y)f(y).Noter que si lon interprte les fonctions de E dans R comme des matrices unicolonnes indexespar E, Pf est bien le produit des deux matrices P et f. On vrifie failement quune chane deMarkov au sens lmentaire est une chane de Markov par rapport sa filtration naturelle, dfiniepar : Fn = (X0, . . . , Xn).

    La proposition suivante est une consquence immdiate de la dfinition prcdente et de ladfinition de lenveloppe de Snell.

    Proposition 4.2 Soit (Zn) une suite adapte dfinie par Zn = (n, Xn), o (Xn) est unechane de Markov homogne de matrice de transition P, valeurs dans E et une fonction deNE dans R. Alors, lenveloppe de Snell (Un) de la suite (Zn) est donne parUn = u(n, Xn),o la fonction u est dfinie par les relations suivantes :

    u(N, x) = (N, x) x E

    et, pour n N 1,u(n, ) = max ((n, ), Pu(n+ 1, )) .

    5 Application aux options amricainesNous nous plaons maintenant dans un modle de march viable et complet, construit sur

    lespace(,F , (Fn)0nN ,P

    )et, comme dans les paragraphes 3.1 et 3.3 du chapitre 1, nous

    noterons P lunique probabilit sous laquelle les actifs actualiss sont des martingales.

  • Ch.2 PROBLME DARRT OPTIMAL ET OPTIONS AMRICAINES 33

    5.1 Exercice et couverture des options amricainesDans le paragraphe 3.3 du chapitre 1, nous avons dfini la valeur (Un) dune option amri-

    caine dcrite par une suite (Zn), par les relations :{UN = ZN

    Un = max

    (Zn, S

    0nE

    (Un+1S0n+1

    |Fn))

    n N 1.

    La suite ( Un) dfinie par Un = Un/S0n (valeur actualise de loption) est donc lenveloppe deSnell sous P de la suite ( Zn). Il rsulte du paragraphe 2 ci-dessus que lon a :

    Un = supTn,N

    E(

    Z|Fn)

    et par consquent :

    Un = S0n supTn,N

    E(Z

    S0|Fn

    ).

    Daprs le paragraphe 3, on peut crire :

    Un = Mn An,

    o ( Mn) est une P martingale et ( An) est un processus croissant prvisible nul en 0. Puisquele march est complet, il existe une stratgie autofinance telle que :

    VN () = S0N

    MN,

    cest dire VN () = MN. Comme la suite(

    Vn ())

    est une P-martingale, on a :

    Vn() = E(

    VN()|Fn)

    = E(

    MN|Fn)

    = Mn,

    et, par consquent :Un = Vn() An.

    Do :Un = Vn() An,

    o An = S0n An. Il est clair sur cette expression que le vendeur de loption peut se couvrirparfaitement puisque, en encaissant la prime U0 = V0(), il peut produire une richesse gale linstant n Vn() qui majore Un donc Zn.

    Quelle est la date dexercice optimale pour lacheteur de loption ? La date dexercice est choisir parmi tous les temps darrt. Le dtenteur de loption na pas intrt exercer uninstant n o Un > Zn, car il perdrait un actif de valeur Un (loption) contre une richesse gale Zn (venant de lexercice de loption). Donc une date dexercice optimal vrifie U = Z.Par ailleurs, il na pas intrt exercer aprs linstant

    max = inf {j, Aj+1 6= 0}

    (qui est gal inf {j, Aj+1 6= 0}), car, cet instant, en vendant loption, il peut se constituerune richesse gale Umax = Vmax() et, en suivant partir de cet instant la stratgie , il se

  • 34 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

    constitue un portefeuille dont la valeur est strictement plus grande que celle de loption auxinstants max + 1, max + 2, , N. On impose donc, comme seconde condition max, ce quipermet de dire que U est une martingale. La conclusion de ce qui prcde est que les datesdexercice optimales sont les temps darrt optimaux pour la suite ( Zn), sous la probabilitP. Pour prciser ce point, reprenons le point de vue du vendeur de loption. Si celui-ci secouvre suivant la stratgie dfinie plus haut et si lacheteur exerce un instant qui nest pasoptimal, on aU > Z ouA > 0. Dans les deux cas, le vendeur ralise un profit V()Z =U +A Z, qui est strictement positif.

    5.2 Options amricaines et options europennesProposition 5.1 Soit Cn la valeur linstant n dune option amricaine dcrite par une suiteadapte (Zn)0nN et soit cn la valeur linstant n de loption europenne dfinie par lavariable alatoire FN-mesurable h = ZN. Alors, on a : Cn cn.

    De plus, si cn Zn, pour tout n, alors :

    cn = Cn n {0, 1, . . . , N}.

    Lingalit Cn cn est bien naturelle puisque loption amricaine donne plus de droits queloption europenne.Dmonstration : Puisque la valeur actualise

    (Cn)

    est une surmartingale sous P, on a :

    Cn E(

    CN|Fn)

    = E (cN|Fn) = cnDo, lingalit : Cn cn.

    Si on a cn Zn, pour tout n, alors la suite (cn), qui est une martingale sous P, apparatcomme une surmartingale (sous P) majorant la suite ( Zn) et par consquent :

    Cn cn n {0, 1, . . . , N}

    Do lgalit.

    Remarque 5.2 On vrifiera sans peine que si les relations de la proposition 5.1 ntaient pasvrifies, il y aurait des opportunits darbitrage par des transactions sur les options.

    Pour illustrer la proposition qui prcde, plaons-nous dans le cas dun march avec un seulactif risqu, de prix Sn linstant n et un taux dintrt sans risque constant, gal r 0 surchaque priode, de sorte que S0n = (1 + r)n. Alors si, avec les notations de la proposition 5.1,on prend Zn = (Sn K)+, cn est le prix, la date n, dun call europen dchance N et deprix dexercice K sur une unit dactif risqu et Cn est le prix du call amricain correspondant.On a :

    cn = (1+ r)NE ((SN K)+|Fn)

    E(

    SN K(1+ r)N|Fn

    )= Sn K(1+ r)

    N,

    en utilisant la proprit de martingale de ( Sn). Do : cn Sn K(1 + r)(Nn) Sn K,puisque r 0. Comme cn 0, on a aussi cn (Sn K)+ et par la proposition 5.1, Cn = cn.Il y a donc galit entre le prix du call europen et le prix du call amricain correspondant.

  • Ch.2 PROBLME DARRT OPTIMAL ET OPTIONS AMRICAINES 35

    Cette proprit nest pas vrifie dans le cas du put, ni dans le cas de calls sur devises ou suractions distribuant des dividendes.

    Remarque bibliographique : Pour des complments sur lenveloppe de Snell et larrt optimal,on pourra consulter [Nev72] (chapitre VI) et [DCD83] (chapitre 5, paragraphe 1). Pour la thoriede larrt optimal temps continu, voir [Kar81].

    6 ExercicesExercice 1 Soit un temps darrt par rapport une filtration (Fn)0nN. On note F len-semble des vnements A tels que A { = n} Fn, pour tout n {0, . . . , N}.

    1. Montrer que F est une sous-tribu de FN. F est souvent appele tribu des vnementsantrieurs .

    2. Montrer que la variable alatoire est F-mesurable.3. Soit X une variable alatoire relle. Montrer lgalit :

    E(X|F) =Nj=0

    1{ = j}E(X|Fj)

    4. Soit un temps darrt tel que . Montrer que F F.5. Sous les mmes hypothses, montrer que si (Mn) une martingale, on a

    M = E(M|F).(On pourra traiter le cas = N dabord.)

    Exercice 2 Soit (Un) lenveloppe de Snell dune suite adapte (Zn). Montrer, sans supposerF0 triviale que :

    E (U0) = supT0,N

    E (Z) ,

    et plus gnralement que :E (Un) = sup

    Tn,NE (Z) .

    Exercice 3 Montrer que est optimal au sens de la dfinition 2.4 si et seulement si :

    E (Z) = supT0,N

    E (Z) .

    Exercice 4 Lobjet de cet exercice est dtudier le put amricain dans le modle de Cox-Ross-Rubinstein. Les notations sont celles du chapitre 1.

    1. Montrer que le prix Pn, linstant n, du put amricain dchance N, de prix dexerciceK sur une action peut scrire :

    Pn = Pam(n, Sn)o Pam(n, x) est dfinie par Pam(N, x) = (K x)+ et, pour n N 1

    Pam(n, x) = max

    ((K x)+,

    f(n+ 1, x)

    1+ r

    ),

    avec f(n+ 1, x) = pPam(n+ 1, x(1+ a)) + (1 p)Pam(n+ 1, x(1+ b)) et p = brba .

  • 36 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

    2. Montrer que la fonction Pam(0, .) peut se mettre sous la forme :

    Pam(0, x) = supT0,N

    E ((1+ r)(K xV)+) ,

    o la suite de variables alatoires (Vn)0nN est dfinie par : V0 = 1 et, pour n 1,Vn =

    ni=1Ui, o les Ui sont des variables alatoires dont on prcisera la loi conjointe

    sous P.3. A partir de la formule de la question prcdente, montrer que la fonction x 7 Pam(0, x)

    est convexe et dcroissante.4. On suppose a < 0. Montrer quil existe un rel x [0, K] tel que, pour x x,Pam(0, x) = (K x)+ et, pour x ]x, K/(1+ a)N[, Pam(0, x) > (K x)+.

    5. Un agent dtient le put amricain linstant 0. Pour quelles valeurs du cours spot S0 a-t-ilintrt exercer immdiatement son option ?

    6. Montrer que la stratgie de couverture du put amricain est dfinie par une quantit dactifrisquHn = (n, Sn1) dtenir linstant n, o est une fonction que lon exprimera partir de la fonction Pam.

    Exercice 5 Stratgies de consommation. Les stratgies autofinances dfinies au chapitre 1excluent toute possibilit de consommation. On peut introduire des stratgies de consommationde la faon suivante : linstant n, aprs avoir pris connaissance des cours S0n,. . .,Sdn, linvestis-seur rajuste son portefeuille pour le faire passer de la composition n la composition n+1et dcide de la richesse n+1 qui sera consomme la date n + 1. Le rajustement se faisantaux cours de la date n, sil ny a pas dapports de fonds extrieurs, on doit avoir :

    n+1.Sn = n.Sn n+1. (2.2)Une stratgie de gestion avec consommation sera donc dfinie par un couple (, ), o estun processus prvisible valeurs dans Rd+1, reprsentant les quantits dactifs dtenues en por-tefeuille et = (n)1nN un processus prvisible valeurs dans R+, reprsentant la richesseconsomme chaque instant, les processus et tant lis par la relation (2.2), qui remplacela condition dautofinancement du chapitre 1.

    1. Soit un processus prvisible valeurs dans Rd+1 et soit un processus prvisible va-leurs dans R+. On pose Vn() = n.Sn et Vn() = n. Sn. Montrer que les conditionssuivantes sont quivalentes :

    (a) Le couple (, ) dfinit une stratgie de gestion avec consommation.(b) Pour tout n {1, . . . , N},

    Vn() = V0() +

    nj=1

    j.Sj

    nj=1

    j.

    (c) Pour tout n {1, . . . , N},

    Vn() = V0() +

    nj=1

    j. Sj

    nj=1

    j/S0j1.

    2. Dans toute la suite, on suppose le march viable et complet et on note P lunique pro-babilit sous laquelle les prix actualiss des actifs sont des martingales. Montrer que si lecouple (, ) dfinit une stratgie de gestion avec consommation, alors ( Vn()) est unesurmartingale sous P.

  • Ch.2 PROBLME DARRT OPTIMAL ET OPTIONS AMRICAINES 37

    3. Soit (Un) une suite adapte telle que ( Un) soit une surmartingale sous P. Montrer, enutilisant la dcomposition de Doob, quil existe une stratgie de gestion avec consomma-tion (, ) telle que Vn() = Un, pour tout n {0, . . . , N}.

    4. Soit (Zn), une suite adapte. On dit quune stratgie de gestion avec consommation (, )couvre loption amricaine dfinie par (Zn) si Vn() Zn, pour tout n {0, 1, . . . , N}.Montrer que la valeur (Un) de loption amricaine est la valeur dau moins une stratgiede gestion avec consommation qui couvre (Zn) et que toute stratgie de gestion avecconsommation (, ) qui couvre (Zn) vrifie Vn() Un, pour tout n {0, 1, . . . , N}.

    5. Soit x un nombre positif, reprsentant la richesse initiale dun investisseur et soit =(n)1nN une suite prvisible valeurs dans R+. On dira que le processus de consom-mation (n) est finanable partir de la richesse initiale x sil existe un processus pr-visible valeurs dans Rd+1 tel que le couple (, ) dfinisse une stratgie de gestionavec consommation, avec, de plus : V0() = x et Vn() 0, pour tout n {0, . . . , N}.Montrer que (n) est finanable partir de la richesse initiale x, si et seulement si :E(N

    j=1 j/S0j1

    ) x.

  • Chapitre 3Mouvement brownien et quations diffrentielles

    stochastiques

    Les deux premiers chapitres de ce livre ont t consacrs ltude de modles tempsdiscret. On a vu cette occasion limportance des notions de martingales, de stratgies au-tofinances. . . Nous allons tendre ces notions au cas du temps continu. En particulier, nousintroduirons les outils mathmatiques permettant de construire des modles dvolution dac-tif et de calculer les prix doptions. Les outils techniques sont plus dlicats utiliser en tempscontinu mais les ides essentielles diffrent peu de celles du temps discret.

    Pourquoi considre-t-on des modles temps continu ? La premire motivation vient desphnomnes que lon veut modliser : les variations des cotations sur les marchs organisssont en pratique tellement frquentes quun modle temps discret peut difficilement en rendrecompte. Dautre part les modles continus conduisent des mthodes de calcul plus explicitesque les modles discrets, mme sil faut parfois avoir recours des mthodes numriques. Ainsi,le modle le plus utilis dans la pratique (le modle de Black et Scholes) est un modle tempscontinu qui conduit une formule simple. Comme nous lavons signal dans lintroduction,les liens entre processus stochastiques et finance ne sont pas nouveaux : en 1901, Bachelier(voir [Bac00]) dans un mmoire intitul Thorie de la spculation est, non seulement lun despremiers sintresser mathmatiquement aux proprits du mouvement brownien, mais aussi donner des formules de calcul de prix pour certaines options.

    Nous donnons quelques lments mathmatiques ncessaires la comprhension des mo-dles temps continu. En particulier, nous introduirons le mouvement brownien, qui est lou-til majeur du modle de Black et Scholes et sert construire la plupart des modles dactifsen finance. Puis nous tendrons la notion de martingale au cas du temps continu, enfin nousconstruirons lintgrale stochastique dIt et nous introduirons le calcul diffrentiel qui lui estassoci : le calcul dIt.

    Certaines dmonstrations sont rdiges en petits caractres, ce sont des dmonstrations tech-niques quil est conseill de sauter lors dune premire lecture.

    1 Gnralits sur les processus temps continuCommencons par prciser ce que lon entend par processus temps continu.

    Dfinition 1.1 On appelle processus stochastique temps continu et valeurs dans un espaceE muni dune tribu E , une famille (Xt)tR+ de variables alatoires sur un espace de probabilit(,A,P) valeurs dans (E, E).

    Remarque 1.2 Dans la pratique lindice t reprsente le temps. Un processus peut aussi tre vu comme une fonction alatoire : chaque dans on

    associe la fonction de R+ dans E, t Xt(), appele trajectoire du processus. Un processus peut tre considr comme une application de R+ dans E, nous sup-

    poserons toujours que cette application est mesurable lorsque lon munit R+ de latribu B(R+)A et E de la tribu E .

    On considrera aussi des processus indexs par un intervalle de temps [0, T ] born.

  • 40 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

    Comme dans le cas discret, on introduit la notion de filtration.

    Dfinition 1.3 Soit (,A,P) un espace de probabilit, une filtration (Ft)t0 est une famillecroissante de sous tribus de A.

    Le tribu Ft reprsente linformation dont on dispose linstant t. On dit quun processus(Xt)t0 est adapt (Ft)t0, si pour chaque t, Xt est Ft-mesurable.

    Remarque 1.4 Dans la suite, les filtrations que lon considrera, auront la proprit suivante :

    Si A A et si P(A) = 0, alors pour tout t, A Ft.

    Ceci exprime que Ft contient tous les ensembles de mesure nulle de A. Le but de cette hypo-thse technique est de permettre daffirmer que si X = Y P p.s. et que Y est Ft-mesurablealors X est aussi Ft-mesurable.

    On peut construire une filtration partir dun processus (Xt)t0 en posant Ft = (Xs, s t). Cette filtration ne vrifie pas, en gnral, lhypothse prcdente. Cependant si on remplacela tribu Ft par la tribu Ft engendre par Ft etN , lensemble des ensembles de probabilit nulle(on dit aussi ngligeables) de A, on obtient une filtration vrifiant la condition souhaite. Onappelle cette filtration la filtration naturelle du processus (Xt)t0. Quand on parle de filtrationpour un processus sans autres prcisions, il sagit de sa filtration naturelle. Un processus estbien sr adapt sa filtration naturelle.

    La notion de temps darrt nous sera utile comme dans le cas discret. Un temps darrtmodlise un temps alatoire qui dpend du processus de facon non anticipante ( un instantdonn t on sait si un temps darrt est plus petit que t). Formellement, la dfinition est lasuivante :

    Dfinition 1.5 On appelle temps darrt par rapport une filtration (Ft)t0 une variable ala-toire valeurs dans R+ {+} telle que, pour tout t 0 :

    { t} Ft

    On associe un temps darrt une tribu que lon note F, dfinie par :

    F = {A A, pour tout t 0 ,A { t} Ft} .

    Cette tribu reprsente les informations disponibles avant linstant alatoire . On dmontre que(voir exercices 8,9,10, 11,14) :

    Proposition 1.6 Si S est un temps darrt, S est FS mesurable. Si S est un temps darrt, fini presque srement, et (Xt)t0 est un processus adapt

    continu, alors XS est FS mesurable. Si S et T sont deux temps darrt tels que S T P p.s., alors FS FT . Si S et T sont deux temps darrt alors S T = inf(S, T) est un temps darrt. En

    particulier si S est un temps darrt et t est un temps dterministe S t est un tempsdarrt.

  • Ch.3 MOUVEMENT BROWNIEN, QU. DIFF. STOCHASTIQUES 41

    2 Le mouvement brownienUn exemple particulirement important de processus stochastique est le mouvement brow-

    nien. Il servira de base pour la construction de la plupart des modles dactifs financiers et detaux dintrt.Dfinition 2.1 On appelle mouvement brownien un processus stochastique (Xt)t0 valeursrelles, qui est un processus accroissements indpendants et stationnaires dont les trajectoiressont continues. Ce qui signifie que :

    continuit : P p.s. la fonction s 7 Xs() est une fonction continue. indpendance des accroissements : Si s t, Xt Xs est indpendant de la tribu Fs =(Xu, u s).

    stationnarit des accroissements : si s t, la loi de Xt Xs est identique celle deXts X0.

    Cette dfinition permet de caractriser la loi de la variable alatoire Xt. Ce rsultat est dlicat tablir, nous renvoyons [GS80] pour sa dmonstration.Thorme 2.2 Si (Xt)t0 est un mouvement brownien, alors XtX0 est une variable alatoiregaussienne de moyenne rt et de variance 2t, r et tant des constantes relles.Remarque 2.3 Un mouvement brownien est dit standard si :

    X0 = 0 P p.s. E (Xt) = 0, E(X2t

    )= t.

    Dans la suite, lorsque lon parlera de mouvement brownien, sans autre prcision, il sagira dunmouvement brownien standard. Dans ce cas, la loi de Xt prend la forme :

    12pit

    ex2

    2t dx,

    dx tant la mesure de Lebesgue sur R.On peut dmontrer une proprit prcisant le caractre gaussien du mouvement brownien.

    On vient de voir que pour tout t, Xt est une variable alatoire gaussienne. On a une propritplus forte :Thorme 2.4 Si (Xt)t0 est un mouvement brownien, si 0 t1 < . . . < tn alors(Xt1, . . . , Xtn) est un vecteur gaussien.On pourra consulter lappendice page 161 pour des prcisions sur les vecteurs gaussiens.Dmonstration : Soit 0 t1 < . . . < tn, alors le vecteur alatoire (Xt1, Xt2 Xt1, , Xtn Xtn1) est compos de variables alatoires gaussiennes (daprs le thorme 2.2) et indpen-dantes (par dfinition du mouvement brownien), ce vecteur est donc un vecteur gaussien. Il enest donc de mme pour (Xt1, . . . , Xtn).

    On aura besoin dune dfinition lgrement plus prcise dun mouvement brownien par rapport une tribu Ft.Dfinition 2.5 On appellera Ftmouvement brownien un processus stochastique valeursrelles et trajectoires continues qui vrifie :

    Pour tout t 0, Xt est Ft-mesurable. Si s t, Xt Xs est indpendant de la tribu Fs. Si s t, la loi de Xt Xs est identique celle de Xts X0.

    Remarque 2.6 Le premier point de la dfinition prcdente prouve que (Xu, u t) Ft.De plus, il est facile de vrifier quun Ft-mouvement brownien est un mouvement brownien parrapport sa filtration naturelle.

  • 42 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

    3 Martingales temps continuComme dans le cas des modles temps discret, la notion de martingale est un outil essentiel

    pour expliciter la notion darbitrage. La dfinition suivante est une extension de celle du tempsdiscret.

    Dfinition 3.1 Soit (,A,P) un espace probabilis et (Ft)t0 une filtration de cet espace. Unefamille adapte (Mt)t0 de variables alatoires intgrables, (cest--dire vrifiant E(|Mt|) a

    }= Q+ sQ+,st {Xs > a } .

    Ce dernier ensemble est dans Ft, ce qui prouve le rsultat. On notera dans ce qui suit x y =inf(x, y).

    Nous allons appliquer le thorme darrt la martingale Mt = exp(Xt (

    2/2)t). On

    ne peut pas appliquer le thorme darrt Ta (qui nest pas born). Cependant, si n est unentier positif, Ta n est encore un temps darrt (voir proposition 1.6), qui est born, on peutdonc appliquer le thorme darrt. On obtient ainsi :

    E (MTan) = 1.

  • 44 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

    MaisMTan = eXTan2

    2(Tan) exp(a). De plus, si Ta < +, limn+MTan = MTa

    et si Ta = +, on a pour tout t, Xt a, do limn+MTan = 0. Le thorme de Lebesguedonne donc E(1{Ta < +}MTa) = 1, soit, comme XTa = a si Ta < + :

    E(

    1{Ta < +}e22 Ta) = ea.En faisant tendre vers 0 on obtient que P(Ta < +) = 1 (ce qui signifie que le mouvementbrownien atteint la valeur a presque srement) puis :

    E(e

    2

    2Ta

    )= ea.

    On traite le cas a < 0 en remarquant que :

    Ta = inf {s 0,Xs = a} ,avec (Xt)t0 qui est un Ft-mouvement brownien (car cest un processus continu accroisse-ments indpendants et stationnaires de moyenne nulle et de variance t).Le thorme darrt permet aussi dobtenir des estimations pour le maximum dune martingale.SiMt est une martingale, on peut borner le moment dordre 2 de sup0tT |Mt|. Cette ingalitest connue sous le nom dingalit de Doob.

    Thorme 3.7 (Ingalit de Doob) Si (Mt)0tT est une martingale continue, on a :

    E(

    sup0tT

    |Mt|2

    ) 4E(|MT |2).

    La dmonstration de ce rsultat est donne dans lexercice 13.

    4 Intgrale stochastique et calcul dItDans le cas des modles temps discret, la valeur actualise dun portefeuille de valeur

    initiale V0 et gr selon la stratgie autofinance = (Hn)0nN scrit :

    V0 +

    nj=1

    Hj( Sj Sj1).

    Cette valeur apparat comme une transforme de martingale sous une probabilit pour laquellele prix de lactif actualis ( Sn)0nN est une martingale. Dans le cas des modles tempscontinu, nous allons gnraliser cette formule laide dintgrales du type

    t0Hsd Ss.

    Cependant les modles utiliss couramment pour dcrire lactif sont obtenus partir dumouvement brownien. Or, une des proprits importantes du mouvement brownien est quepresque srement ses trajectoires sont nulle part diffrentiables. Autrement dit, si Xt est unmouvement brownien, il nexiste pas de points t de R+ tels que dXt

    dtait un sens. On ne peut

    donc pas dfinir lintgrale prcdent