Introduction-à-la-physique-des-matériaux-chapitre-1-Les-réseaux-direct-et-réciproque.pdf

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LES RESEAUX DIRECT

ETRECIPROQUE

L PHYSIQUE DES M TERI UX

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Chapitre

Pr. A. Belayachi

Universit Mohammed V Agdal

Facult des Sciences Rabat

Dpartement de Physique L.P.M

[email protected]

www.9alami.com
mailto:[email protected]:[email protected]


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1.Le rseau directUn rseau de Bravais est un ensemble infini de

points discrets avec un arrangement et uneorientation qui apparat exactement la mmelorsquilest vu dunpoint quelconque. Les pointssont appels nudsou sites .

Dans un rseau de Bravais tridimensionnel, enchoisissant un nud du rseau comme origine,tout autre nuddu rseau est caractris par unvecteur position:

= + (1)

, ,

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= = =2

Alors que:

=

Les couples des vecteurs , , , et

, sont des vecteurs de translationfondamentaux alors que le couple , neconstitue pas un ensemble de vecteurs de

translation fondamentaux car le vecteur ne peuttre form par une combinaison linaire entire

des vecteurs , .

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Des vecteurs , et non fondamentauxpeuvent toute fois tre utiliss sils sont plus

pratiquesou plus simples. , et sont des vecteurs de translation nonfondamentaux alors que , et sont

fondamentauxou primitifs.

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Le volume construit sur les 3 vecteurs primitifs est

appel maille lmentaire. Cest le volume minimal

permettant de remplir lespace.

La maille primitive possdant la symtrie complte

du rseau est appele maille primitive de Weigner-

Seitz.

On peut remplir lespace avec des mailles nonprimitives appeles mailles conventionnelles (utilises

souvent pour des considrations de symtrie).

Les points dun rseau de Bravais qui sont les plusprs dun point sont appels plus proches voisins.

Chaque point possde le mme nombrede plus proches

voisins appel nombre de coordinationdu rseau.6


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2. Classification des rseaux de Bravais

Mathmatiquement, un rseau de Bravais est caractris par la

donne de trois vecteurs , et et trois angles a, bet g(3D),

, et f(2D) , et (1D) tel que:

On appelle groupe ponctuel, lensembledes oprations de symtrie

qui laissent le rseau invariant (Voir TP cours 1). Ces oprations de

symtrie sont:

a

b

g

f

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- toutes les translations dfinies par la relation (1);

- toutes les rotations autour dun axe dordre n(cest--

dire une rotation dangle

, n = 1, 2, 3, 4 et 6; 5 et 7

exclus);

- les symtries par rapport un plan passant par unnud;

- les symtries inverses qui sont le produit dunerotationdordre2 et dunesymtrie par rapport un plan.

Lensemblede toutes les oprations de symtrie sera donndans le manuel de correction des travaux pratiques.

En considrant toutes les oprations de symtrie quilaissent le rseau invariant, on aboutit lexistence de 7systmesenglobant 14 rseaux (3D), 4 systmes englobant 5rseaux (2D) (Voir TP cours 1).

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Systme Rseaux Longueurs Angles

Triclinique 1: P

a b g

Monoclinique 2: P C

a

=g

= b

Orthorhombique 4: P C I F

a =b =g = 90

Quadratique - Tetragonal 2: P I

= a =b =g = 90

hexagonal 1: P

= a =b = 90 ; g= 120

Trigonal - Rhombodrique 1: P

= = a =b =g < 120 90

Cubique 3: P I F

=

= a =b =g = 90

P: primitif C: bases centres I: corps centr F: faces centres

Systme Rseaux Longueurs Angles

Oblique 1: P

f 90

Carr 1: P

= f=

Hexagonal 1: P

= f = 120

Rectangulaire 2: P I

f= 90

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3. Plans rticulaires et indices de Miller

3.1 Position dans la maille

La position dunpoint dans un rseau est reprepar ses coordonnes u, v et w dans la base (,, ). Chaque coordonne est une fonction des

paramtres , , de la maille, loriginetantprise en un des nuds de la maille.

3.2 Range

La droite qui relie lorigine au nud du rseau(m, n, p)est appele range. Elle est note:

[mnp]

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- On calcule les inverses

,

,

.

- Les indices de Miller (hk)du plan sont les plus

petits entiers dans le mme rapport que cesinverses.

-Par exemple si u, vet wsont des entiers et mle pluspetit multiple commun de u, vet walors:

h =

k=

=

(3)

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u

v

w


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Quand le point dintersection est linfini,lindicede Miller correspondant est zro.

Quand le point dintersectionest du ct ngatifde laxe,on crit lindicede Miller correspondantavec une barre au dessus. Par exemple silintersection avec laxe vertical est ngative les

indices de Miller seront nots (hk).3.5 Exemples

Si , , = , , alors =()

Si , , = , , =

Si , , = ,

,

=

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Les plans et dfinis par les intersections , , = , , et , , =

,

,

ont pour

indices de Miller =()et sont parallles.

Ci-dessous sont dessins des plans dun rseaucubique avec leurs indices de Miller:

(010) (01) (111) Dans un rseau cubique, la range [h k] estperpendiculaire au plan (h k). Il nen est pas demme pour les autres rseaux.

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4. Le rseau rciproque4.1 Construction

Considrons un rseau direct de dimensions a1

, a2

eta3. Soient deux nuds du rseau lis par le vecteur

translation .

Ltat microscopique dune particule libre setrouvant sur le premier nud du rseau est dcritpar une onde plane monochromatique de vecteur

dondeet de fonction donde , .16


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Les conditions aux limites priodiques dun tel

tat scrivent:

+

=

Ce qui donne:

= (4)

Sachant que:

=

=

Lquation(4) nestvrifie que silexiste 3 entiers

relatifs , , appartenant lensemble telque:

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=

= =

= , ,

Par comparaison avec lquation (1) on voit que

lensemblede tous les vecteurs donde vrifiant(4)forment un rseau trois dimensions, non pas

dans lespacerel, mais dans lespacede Fourier.

Ce rseau est appel rseau rciproque. Le rseau

rciproque joue un rle fondamental dans les

tudes analytiques des structures priodiques.

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4.2 Gnralisation

Considrons un rseau dans lespace rel de vecteurs detranslation , et . On appelle rseau rciproqueassoci ce rseau le rseau dans lespacede Fourier dont

les vecteurs de translation sont dfinis par:

=

=

=

=

tant le volume de la maille construitesur les vecteurs , et .De cette dfinition on voit que le rseau rciproque durseau rciproque nestautre que le rseau direct original.

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4.3 Proprits

Si les vecteurs sont orthogonaux les vecteurs

le sont aussi.. = , est le symbole de Kronecker

i.e. =pour i = jet= 0 pour ij.

La maille primitive de Weigner-Seitz dans le

rseau rciproque est appelela premire zone de

Brillouin. Cest le plus petit volume entirement

compris entre les plans mdiateurs des vecteursdu rseau rciproque tracs partir de lorigine

(Voir TP cours 1).

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Voici quelques rseaux directs importants et

leurs rseaux rciproques.

Tout vecteur ,,

du rseau rciproque est

perpendiculaire au plan (h k) du rseau direct(Dmonstration en TD).

Rseau direct Rseau rciproque

Cubique simple Cubique simple

Cubique centr Cubique faces centres

Cubique faces centres Cubique centr

Orthorhombique Orthorhombique

Hexagonal Hexagonal

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