Intégrales Multiples

7/21/2019 Intégrales Multiples

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Chapitre 2

Intégrales multiples et applications

Contents2.1 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.2 Propriétés et changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Ce chapitre constitue une généralisation de la notion d’intégrales simples vue précéde-ment. Les propriétés énoncées pour les intégrales simples demeurent. On se contentera doncd’énoncer ici les règles pratiques de calcul.

2.1 Intégrales doubles

2.1.1 Généralités

Soit f une fonction de deux variables x et y définie et continue sur un domaine D compactde R2 vers R. On sait que lorsqu’on fait varier les coordonnées du point M (x, y) dans D etque l’on reporte sa côte f (M ) = f (x, y), on obtient la représentation graphique de f qui estune surface que l’on notera Σ.Entourons le point M (x, y) par une surface infinitésimale dS. Alors f (M )dS représente levolume du prisme infinitésimal dessiné ci dessous. Ce prisme a pour base dS et pour hauteur

1



2f (M ). Ce volume est compté algébriquement, c’est-à-dire positif si f (M ) est au dessus duplan xOy et négatif sinon. Soit l’intégrale double

I =

D

f (M )dS =

D

f (x, y)dxdy

Cette intégrale double représente mathématiquement le volume algébrique compris entre le

plan xOy délimité par le domaine D et la surface Σ. La notion I =

renvoie au fait que

le domaine d’intégration est une surface à 2 dimensions et donc que nous allons procéder àdeux intégrations successives.Lorsque l’on est en coordonnées cartésiennes, un pavé est un rectangle dont les côtés sontparallèles aux axes. On peut annocer le théorème de Fibuni 1 sous la version suivante :

Théorème 1. Si D = [a, b] × [c, d], on peut intégrer indifféremment par rapport à x puis à y, oul’inverse :

D f (x, y)dxdy =

ba

dc f (x, y)dy

dx =

dc

ba f (x, y)dx

dy

Si en plus sur ce pavé on a f (x, y) = g(x)h(y), on dit que f est à variables séparables, on aalors le théorème de Fubini suivant

Théorème 2. Si f (x, y) = g(x)h(y), alors

D

f (x, y)dxdy =

ba

dc

f (x, y)dxdy = b

a

g(x)dx d

c

h(y)dy

Exemple Calculer

D

f (x, y)dxdy où D est le pavé [a, b]× [c, d].

Dans un cadre plus général, si le domaine D =

(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b et φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x)

,

où φ1 et φ2 sont continues sur [a, b], alors

I =

D

f (x, y)dxdy =

ba

φ2(x)φ1(x)

f (x, y)dy

dx

(Théorème de Fubin, ou la sommation par tranche).Si D = (x, y) ∈ R

2/c ≤ y ≤ d et ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y), où ψ1 et ψ2 sont continues sur [c, d],

alorsI =

D

f (x, y)dxdy =

dc

φ2(y)ψ1(y)

f (x, y)dx

dy

(Théorème de Fubin, ou la sommation par tranche).

1. Guido Fubini (19 janvier 1879 - 6 juin 1943) est un mathématicien italien, célèbre notamment pour sestravaux sur les intégrales, en particulier le théorème de Fubini.



32.1.2 Propriétés

Ce sont les mêmes que pour une intégrale simple.– L’intégrale double est linéaire : quels que soient les réels α et β et les fonctions f et g

continues sur D : D

αf (x, y) + βg(x, y)

dxdy = α

D

f (x, y)dxdy + β

D

g(x, y)dxdy

– L’intégrale est positive : si f est une fonction continue positive surD, l’intégrale

D

f (x, y)dxdy

est positive.– L’intégrale est croissante : si f et g sont continues sur D, et si l’on a f (x, y) ≤ g(x, y) quel

que soit (x, y) dans D, on a

D

f (x, y)dxdy ≤ D

g(x, y)dxdy

En particulier, pour toute fonction f continue sur D :

D

f (x, y)dxdy ≤

D

|f (x, y)|dxdy

– Si D1 et D2 sont des compacts, et si f est continue sur D1 et D2, on a la relation de Chasles :

D1∪D2

f (x, y)dxdy =

D1

f (x, y)dxdy +

D2

f (x, y)dxdy −

D1∩D2

f (x, y)dxdy

et en particulier, si D1 et D2 sont des compacts ayant en commun au plus une courbe

D1∪D2

f (x, y)dxdy =

D1

f (x, y)dxdy +

D2

f (x, y)dxdy

– Si D1 est inclus dans D2,D1 ⊂ D2

et si f est continue positive sur D2,

D1

f (x, y)dxdy ≤

D2

f (x, y)dxdy

– Si f est continue positive sur D, et si

D

f (x, y)dxdy = 0, alors f = 0 sur D.

– Si f et g deux fonctions continues sur D, alors on a l’inégalité de Schwarz2

D

f (x, y)g(x, y)dxdy2≤

D

f 2(x, y)dxdy

D

g2(x, y)dxdy

2. Hermann Amandus Schwarz, né le 25 janvier 1843 à Hermsdorf, en Silésie (aujourd’hui la ville de Jerz-manowa (en), en Pologne) et mort le 30 novembre 1921 à Berlin, est un mathématicien allemand. Ses travauxsont marqués par une forte interaction entre l’analyse et la géométrie. Il a travaillé à Halle, Göttingen puis àBerlin, sur des sujets allant de la théorie des fonctions à la géométrie différentielle en passant par le calcul desvariations.



42.1.3 Changement de variables

Soit Φ : (u, v) −→ (x, y) un changement de variable bijectif de classe C 1, on rappelle qu’onappelle jacobien 3 de Φ le déterminant de la matrice jacobienne donné comme suit

det

J Φ(u, v)

=

∂x∂u

∂x∂v

∂y

∂u

∂y

∂v

On a alors

D

f (x, y)dxdy

Φ−1(D)

f ◦ Φ(u, v)|det

J Φ(u, v)|dudv

Cas du coordonnées polaires :Si Φ est le changement de variables (r, θ) −→ (x, y) = (r cos θ, r sin θ), on a

det

J Φ

=

∂x

∂r

∂x

∂θ∂y

∂r

∂y

∂θ

=

cos θ −r sin θsin θ r cos θ

= r(cos2 θ + sin2 θ) = r,

et on retrouve alors D

f (x, y)dxdy =

Φ−1(D)

f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ.

2.1.4 Applications

• Calcul de l’aire du domaine D :

On a vu que

D

f (x, y)dxdy mesure le volume sous Σ et au dessus de D. On a aussi

la possibilité d’utiliser I =

D

pour calculer tout simplement l’aire elle même du

domaine D. Il suffit pour cela de prendre f (x, y) = Constante en particulier on peutprendre f (x, y) = 1. Ainsi, l’aire du domaine D est

Aire(D) =

D

dxdy

et en coordonnées polaires

Aire(D) =

D

rdrdθ

Exemple Calculer l’aire de la région du plan xOy délimitée par les courbes 2y = 16−x2

et x + 2y = 4.

3. Ce nom vient du mathématicien Charles Gustave Jacob Jacobi, ou Carl Gustav Jakob Jacobi (10 décembre1804 à Potsdam - 18 février 1851 Berlin), est un mathématicien allemand surtout connu pour ses travaux surles intégrales elliptiques, les équations aux dérivées partielles et leur application à la mécanique analytique. Ilétait le frère du physicien Moritz von Jacobi, découvreur de la galvanoplastie.



5• Coordonnées du centre de gravité :Les coordonnées du centre de gravité d’un solide ou un domaine D est donnée par

xG = 1

aire(D)

D

xdxdy et yG = 1

aire(D)

D

ydxdy

• Masses et centres d’inertie :En physique, si on a σ(x, y) la densité surfacique d’une plaque ∆ alors sa masse estdonnée par la formule :

M =

∆

σ(x, y)dxdy

et son centre d’inertie G = (xG, yG) est tel que :

−→OG =

1

M

∆

−−→OM σ(x, y)dxdy

où le vecteur −−→OM = (x, y), c’est-à-dire que l’on a

xG = 1

M

∆

xσ(x, y)dxdy

yG = 1

M

∆

yσ(x, y)dxdy

• Calcul d’aire de surface :

2.2 Intégrales triples

2.2.1 Généralités

Soit f une fonction de trois variables x, y et z définie et continue sur un domaine D de R3,

c’est-à-dire de l’espace. Ainsi, la représentation graphique de f (M ) = f (x,y,z ) nécessiteraitque l’on puisse représenter en 4 dimensions car lorsqu’on fait varier les coordonnées dupoint M (x,y,z ) dans le domaine D et que l’on reporte sa quatrième composante (qu’on peutconsidérer commme le temps t) on obtient la représentation graphique de f qui est donc unehyper surface.Entourons le point M ∈ D par un volume infinitésimal dV. Alors f (M )dV représente l’yper-primse infinitésimal. Cet hyper-prisme a pour base dV et pour hauteur f (M ).Lorsqu’on fait la somme de tous les volumes des hyper-prismes f (M )dV pour tous les pointsM ∈ D, on obtient une intégrale triple :

I =

D

f (M )dV =

D

f (x,y,z )dxdydz



6Comme pour les intégrales doubles, cette intégrale triple représente mathématiquement unhyper-volume algèbrique. La notation

renvoie au fait que le domaine d’intégration est

un volume à 3 dimensions et donc que nous allons procéder à trois intégrations successives.

Remarque 1. En mécanique, l’intégrale triple est utilisée pour le calcul des moments d’inertie.

Exemple : Calculer I =

D

f (x,y,z )dxdydz où D = {(x,y,z ) ∈ R3/x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥

0; x + y + Z ≤ 2}.

2.2.2 Propriétés et changement de variables

Les propriétés de l’intégrale triple sont les mêmes que pour l’intégrale double. La formule de

changement de variables également. Cette fois le déterminant jacobien est un déterminantd’ordre 3. Voici deux autres changements de variables usuels :

•Les coordonnées cylindriques : Soit D un domaine compact de l’espace R3. Si l’on pose

(x,y,z ) = Φ(r,θ,z ) = (r cos θ, r sin θ, z )

Alors le jacobien dans ce cas est donné par

detJ Φ =

∂x

∂r

∂x

∂θ

∂x

∂z ∂y

∂r

∂y

∂θ

∂y

∂z ∂z ∂r

∂z ∂θ

∂z ∂z

=

cos θ −r sin θ 0sin θ r cos θ 0

0 0 1

= r(cos2 θ + sin2 θ) = r,

donc la formule de changement de variables en coordonnées cylindriques est la sui-vante :

D

f (x,y,z )dxdydz =

Φ−1

D)

f (r cos θ, r sin θ, z )rdrdθdz.

Exemple : Calculer du volume du cylindre de rayon R et de hauteur h.

•Les coordonnées sphériques : Soit D un domaine compact de l’espace R3. Si l’on pose

(x,y,z ) = Φ(r,θ,ϕ) = (r cos θ sin ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos ϕ)



7Alors le jacobien dans ce cas est donné par

detJ Φ =

∂x

∂r

∂x

∂θ

∂x

∂ϕ∂y

∂r

∂y

∂θ

∂y

∂ϕ∂z

∂r

∂z

∂θ

∂z

∂ϕ

=

cos θ sin ϕ −r sin θ sin ϕ r cos θ cos ϕsin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ

cos ϕ 0 −r sin ϕ

= cos ϕ

−r sin θ sin ϕ r cos θ cos ϕr cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ

− r sin ϕ

cos θ sin ϕ −r sin θ sin ϕsin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ

= r2 cos2 ϕ sin ϕ

− sin θ cos θcos θ sin θ

− r2 sin3 ϕ

cos θ − sin θsin θ cos θ

= −r2 cos2 ϕ sin ϕ− r2 sin3 ϕ = −r2 sin ϕ

cos2 ϕ + sin2 ϕ

= −r2 sin ϕ.

donc la formule de changement de variables en coordonnées sphériques est la sui-vante :

D

f (x,y,z )dxdydz =

Φ−1

D

f (r cos θ sin ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos ϕ)r2 sin ϕdrdθdϕ.

Exemple : Calculer

D

zdxdydz où D = {(x,y,z ) ∈ R3/x2 + y2 + z 2 ≤ R2; z ≥ 0}.

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