INTEGRALES IMPROPRES

1.Généralités• Définition :

– L’intégrale I est dite impropre si :

• (1) a et/ou b = ∞• (2) si f(x) n’est pas bornée en un ou plusieurs points de l’intervalle

[a,b]

– Selon la manière dont l’intégrale est impropre, elle porte la dénomination :

• (1) : intégrale impropre de première espèce• (2) : intégrale impropre de deuxième espèce• (1) et (2) : intégrale impropre de troisième espèce

( )∫=b

a

dxxfI

2. Intégrales de 1ère espèce

( ) ( )dxxfdxxfb

aba ∫∫ ∞→

∞= lim

• Définition :– Une intégrale impropre de première espèce s’écrit donc :

– L’intégrale est dite convergente ou divergente selon que la limite du membre de droite existe ou n’existe pas.

2. Intégrales de 1ère espèce

• Critères de convergence :– Intégrale géométrique ou exponentielle :

• Le comportement de cette intégrale dépend du facteur de t– converge si t > 0,

– diverge si t ≤ 0

– Intégrale puissance :

• Si a > 0, le comportement de cette intégrale dépend que de p– converge si p > 1

– diverge si p ≤ 1

( )dxtxa∫∞

−exp

∫∞

a px

dx

2. Intégrales de 1ère espèce

( ) ( )

( ) ( ) ( ) aussidivergedxxfalorsaxxgxfsi

divergedxxgaxsixg

a

a

∫

∫∞

∞

≥∀≥

≥≥

,

,0

– Critère par comparaison :• On déduit le comportement d’une intégrale impropre à partir

de celui déjà connu d’une autre :– Convergence :

– Divergence :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) aussiconvergedxxfalorsaxxgxfsi

convergedxxgaxsixg

a

a

∫

∫∞

∞

≥∀≤≤

≥≥

,0

,0

2. Intégrales de 1ère espèce

– Critère du quotient :• Le comportement du rapport de 2 fonctions permet de

caractériser leur comportement :

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) aussidivergedxxfalorsdivergedxxgsietAsi

aussiconvergedxxfalorsconvergedxxgsietAsi

convergentoudivergentdxxg

dxxfalors

AetAavecAxg

xfsietxgetxfSi

aa

aa

a

a

x

∫∫

∫∫

∫∫

∞∞

∞∞

∞

∞

∞→

∞=−

=−

∞≠≠=≥≥

0

0lim00

2. Intégrales de 1ère espèce

– Forme alternative du critère par comparaison :• Le critère par comparaison peut se formuler avec une

fonction puissance et devient alors :

( )( )

( )

≠≤

>

=

∫∫

∞

∞

∞→

a

a

px

Aetpsidivergexf

finiAetpsiconvergexf

alorsAxfxSi

01

1

lim

2. Intégrales de 1ère espèce

• Convergence absolue et semi-convergence :– L’intégrale impropre est dite absolument

convergente si :

– Si converge mais que diverge alors est dite semi-convergente

– Théorème : une intégrale absolument convergente est convergente

( ) convergedxxfa∫∞

( )dxxfIa∫∞

=

( )dxxfa∫∞ ( )dxxf

a∫∞

3. Intégrales de 2de espèce

• Définition :– Le point x0 où f(x) n’est pas bornée s’inclus de la manière

suivante dans l’écriture de l’intégrale :

( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxfb

x

x

a

b

a ∫∫∫ +→

−

→ ++ +=202

10

1 00limlim

εε

ε

ε

3. Intégrales de 2de espèce

• Critères de convergence :– Fonctions puissances :

• Le comportement de l’intégrale dépend de la puissance selon :

( ) 11 ≥<−∫ psidivergeetpsiconverge

ax

dxb

a p

( ) 11 ≥<−∫ psidivergeetpsiconverge

xb

dxb

a p

3. Intégrales de 2de espèce

– Critère par comparaison :• On déduit le comportement d’une intégrale impropre à partir

de celui déjà connu d’une autre :– Convergence :

– Divergence :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) aussiconvergedxxfalorsbxaxgxfsi

convergedxxgbxasixg

b

a

b

a

∫

∫≤<∀≤≤

≤<≥

,0

,0

( ) ( )

( ) ( ) ( ) aussidivergedxxfalorsbxaxgxfsi

divergedxxgbxasixg

b

a

b

a

∫

∫≤<∀≥

≤<≥

,

,0

3. Intégrales de 2de espèce

– Critère du quotient :• Le comportement du rapport de 2 fonctions permet de

caractériser leur comportement :

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) aussidivergedxxfalorsdivergedxxgsietAsi

aussiconvergedxxfalorsconvergedxxgsietAsi

naturemêmedesontdxxg

dxxfalors

AetAavecAxg

xfsietbxaxgetxfSi

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

ax

∫∫

∫∫

∫∫

∞=−

=−

∞≠≠=≤<∀≥≥ →

0

0lim00

3. Intégrales de 2de espèce

– Alternatives au critère par comparaison :• Le critère par comparaison peut se formuler avec une fonction

puissance et devient alors :

( ) ( )

( )( )

≠≥

<

=−

∫∫

∞

→ +

a

b

a

p

ax

Aetpsidivergexf

finiAetpsiconvergexf

alorsAxfaxSi

01

1

lim

( ) ( )

( )( )

≠≥

<

=−

∫∫

∞

→ −

a

b

a

p

bx

Betpsidivergexf

finiBetpsiconvergexf

alorsBxfxbSi

01

1

lim