V F&SOC? S>OS<j 1 Université Scientifique et Médicale de Grenoble

INSTITUT DES SCIENCES NUCLÉAIRES DE GRENOBLE

53. «venue des Martyrs - GRENOBLE

I.S.N 79.31

QUELQUES UTILISATIONS DES

PHONONS COMME ENTITES DE

BASE DANS LA CONSTRUCTION

DES ETATS NUCLEAIRES

•traarj SILVESTIE -MAC

Tho$* d Etat soutsnu* l« 22 mai 1979

Laboratoire associé à l'Institut National de Physique Nucléaire et de Physique des Particules.

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ptiicntie

A L'UNIVERSITE SCIENTIFIQUE ET MEDICALE DE GRENOBLE

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LE GRADE DE DOCTEUR ES-SCIENCES PHYSIQUES

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BERNARD SILVESTRE-BRAC

QUELQUES UTILISATIONS DES PHONONS COWE ENTITES DE BASE

DANS LA CONSTRUCTION DES ETATS NUCLEAIRES

Soutenue te. 22 Uai 1979 devout ta ComUiion d'Examu!

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INSTITUT NATIONAL POLYTCrwTQUE DE PREWOOLC

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M. Philippe TRAYNARD M. Georges LESPI.NARD M. Rene PAUTHENET

Année Universitaire 1973-1979

PROFESSEURS TITULAIRES MM BENOIT Jean

BKSSON Jeon BLCCH Doniol BONNETAIN Lucien BONNIER Etienne •BOUDOURIS Georges BBISSCNNEAU Pierre DUYLE-BODIN.Maurice COUKES AncY* DURAND Francis FELICI Noel FOULARD Claude LANCIA Roland LONGECUEUE Jean-Pierre LESPINARD George» MOREAU René PARIAUD Jean-Charles PAUTHUNET René PERRET René POLOUJADOFF Michel TRAYNARD Philippe VEILLON Gérard *en congé pour ôtudos,

PROFESSEURS SANS CHAIRE MM BLXKAN Samuel

BOUVARD Maurice COHEN Joseph GUYOT Pierre JOUBERT Jean-Claude LACOUME Jean-Louis ROBERT André ROBERT François SABONNAOIERE Jean-Claude ZADWOWY François

MAITRES DE CONFERENCES MM ANCEAU François

CHARTIER Germain Mme CHERUY Ariette

CHIAVERINA Jean IVANES Marcel LESIEUR Marcel MPRET Rager PIAU Jean-Michel PIERPARO Jean-Marie

Mme SAUCIER Gabrielle SOHM Jean-Claude

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Informatique fondamentale et appliquée Electronique - Automatique Automatique Biologie, 1'.ochimie, agronomie Electronique - Automatique Mécanique Physique nucléaire - corpusculaire Mécanique Mécanique Informatique fondamentale et appliquée Chimie Physique

INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE

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Personnalités habilitées a diriger Conseil Scientifique)

E.N.S.E.E.G.

MM BISCONDI Michel

BOOS Jeon-Yves DRIVER Julian KODYLANSKI André LE COZE Joan LESDATS Pierre RIEU Jean SAINFORT SOUCUET Jean-Louis

CAILLET Marcel COULON Michel GUILHOT Bernard LALAUZE René LANCELOT Francis SARRAZIN Pierre SOUSTELLE Michel THEVENOT François THOMAS Gérard TOUZAIN Philippe TRAN MINH Canh

E.N.S.E.R.G.

MM BOREL Joseph KAKARINOS Georges

E.N.S.E.G.P.

MM BCRHARD Guy DAVID René DESCHIZEAUX Piarre

E.N.S.I.M.A.G.

KM COURTIN Jacques LATOMBE Jean-Claude LUCAS Michel

et Mottros de Recherche) Directeur de Rechercho

Maître de Recherche Maître de Rechercho Maître de Recherche Maître de Recherche Moître de Recherche Maître do '(«cherche Maître de Recherche Maître de Recherche Maître do Rechercho

des travaux de recherche (Décision du

Ecole des Mines ST ETIENNE (déçt^Métol-

Ecole des Mines ST ETIENNE (Métallurgie! Ecole des Mines ST ETIENNE (r-ictallurgiej Ecole des Kinos ST ETIENNE (Métallurgie) Ecole des Mines ST ETIENNE (Métallurgie' Ecolo dos Minos ST ETIENNE (Métallurgie; Ecole des Mines ST ETIENNE (Métallurgie) C.E.N.Gronoblo (Métallurgio) U.S.M.fi.

E.N.S.E.E.G. (Chimie Minérale Physique) E.N.S.E.E.G. (Chimie Minérale Physiquo) Ecole des Mines ST ETIENNE (Chim.Min.Ph) Ecole des Mines ST ETIENNE (Chim.Min.Ph! Ecole des Minos ST ETIENNE (Chim.Min.Ph) E.N.S.E.E.G. (Chimio Minérale Physiquo) Ecole dos Mines ST ETIENNE (Chim.Min.Ph) Ecole des Mines ST ETIENNE (Chim.Min.Ph) Ecole des Mines 5T ETIENNE (Chim.Min.Ph) E.N.S.E.E >. (Chimie Minérale Physique' Ecole des lines 5T ETIENNE (Chim.Min.Ph)

Centre d'Etudes Nucléaires de GRENOBLE Centre National Recherche Scientifique

Centre National Recherche Scientifique Centre Notional Recherche Scientifique Centre National Recherche Scientifique

Université des Sciences Sociales Institut National Polytechnique GRENOBLE Université Scientique et Médicale GRENOBLr

r REMERCIEKNTS

Un travail de thèse est rarement le seul fait de son

auteur, le mien moins que tcut autre. Conscient de tout ce que

je dois à de nombreuses personnes, je tiens a leur adresser

mes remerciements les plus profonds. Que chacun s'y reconnaisse.

T.S.V.P.

Jo sais que de nombreuses personnes visées par ce touchant

éloge sont modestes et n'acceptent pas de s'y reconnaître. Je

vais donc ébranler leur modestie.

Mr Piepenbring m'a constamment suivi sur la dure route

qui m'a conduit 3 mener à bien les travaux exposés dans ce mé­

moire. Combien d'heures avons nous passées ensemble à essayer

de faire converger vers le même résultat la même formule atta­

quée initialement chacun de notre côté ? Combien de fois suis-

je entré dans son bureau assailli par le triste sentiment de

stagnation de mon travail et en suis-je ressorti le coeur un

peu plus léger ? Je ne puis exprimer ici toute la gratitude

que je lui témoigne.

Mr Arvieu s'est toujours intéressé à mon domaine de 'recher­

ches. Mous avons eu très souvent l'occasion d'échanger nos

points de vue et sa large vision de Id physique m'a quelquefois

permis de mettre au clair mes idées. Il a accepté de présider

mon jury, qu'il en soit remercié.

J'ai pu apprécier le savoir et la disponibilité de

Mr Szymanski lors de sa visite à l'Institut des Sciences Nu­

cléaires. Toujours prêt 3 la discussion, il m'a, par son sens

aigu de la physique, permis de comprendre certains points fonda­

mentaux qui restaient encore vagues alors dans mon esprit. Sa

présence au sein de mon jury est la preuve de son intérêt pour

mon travail et m'honore particulièrement.

Mr Abgrall a bien voulu accepter de faire partie de mon

jury. Il a lu cette thèse avec beaucoup de soin et de conviction

montrant par là même tout l'intérêt qu'il porte à l'ensemble

de mon travail. Je lui en suis très reconnaissant.

Au cours des discussions que j'ai eues avec Mr Zuker,

j'ai pu me rendre compte de sa haute compétence en ce qui concer­

ne les domaines variés abordés dans ce mémoire. Il a accepté de

siéger parmi le jury et je l'en remercie vivement.

Je n'aurai garde d'oublier d'associer Mr Liotta â cette

these. Je lui dois énormément en ce qui concerne l'apprentissa­

ge de la théorie du champ nucléaire. Toute la premiere partie

de ce mémoire n'aurait pu voir le jour sans son impulsion ini­

tiale et ses encouragements constants. Je déplore profondément

que des règlements tatillons ne m'aient pas permis de le choisir

comme membre du jury. Qu'il conserve néanmoins toute mon estime

et ma sympathie.

Mr Lombard a porté un intérêt constant à Mes travaux de

recherches. Il a lu avec beaucoup de soin et de patience le

manuscrit de cette thèse. Ses commentaires et critiques judi­

cieux ont été très appréciés.

Mr Boisson m'a beaucoup aidé en ce qui concerne l'aspect

numérique de la seconde partie de ce mémoire. Sa longue expé­

rience en programmation m'a été d'un secours inestimable . Qu'il

en soit fortement remercié.

Je me dois d'associer à ces noms la longue liste de mes

camarades du groupe de physique théorique et du service calcul

de l'Institut des Sciences Nucléaires. Je les ai toujours trou­

vés prêts à résoudre les points techniques délicats qui se sont

présentés â moi. A tous je leur adresse ma profonde gratitude.

Enfin, je tiens â remercier Mme Dimitrieff pour avoir

réalisé une partie des figures et Mr Larruat pour les tirages

photographiques correspondants. Mme Guglielmini a fait preuve

de beaucoup de patience et de gentillesse pour la frappe de ce

manuscrit ; c'était un gros travail qu'elle a mené à bien.

Qu'elle trouve ici exprimés mes plus vifs remerciements.

TABLE DES MATIERES

MROWCTÎON 1

PREMIERE PARTIE s LA THEORIE VU CHAMP NUCLEAIRE 7

CHAPITRE I - JUSTIFICATION THEORIQUE DE LA THEORIE OU CHAKP 9 NUCLEAIRE

CHAPITRE I I - FORMALISME POUR LE SYSTEME A TROIS PARTICULES... 23

H a Introduction 23

l i b Energies 30 I l e Normes et relations d'orthogonal ité 37 II d Facteurs spectroscopiques de transfert d'une 41

particule I I e Probabilités de transition êlectromgnétique 42 I I f Théorie du champ nucléaire pour le système à 50

t r o i s trous

CHAPITRE I I I - APPLICATION A UN MODELE A UNE SEULE COUCHE.... 52

CHAPITRE I V - UN CAS "REALISTE" EXACT : LE 9 1 N b 6 1

CHAPITRE V - UN CAS REALISTE APPROCHE : Le 2 U P b 7 5

CHAPITRE V I - CONCLUSIONS 9 1

DEUXIEME PARTIE .- LE M0PELE EN COUCHES A VEUX ETAPES 9 3

CHAPITRE I - EXPOSE GENERAL DE NOTRE METHODE 9 9

I a Le pr inc ipe général 99 I b U t i l i s a t i o n d'une base tronquée 1 0 2

I c Ut i l i sa t ion des Ham)ltoniens aoprochês 103 I d Méthode MCM 107 I e Comparaison de notre méthode avec le HCH e t le 108

WCM

I f Calcul des observables 110

CHAPITRE I I - SYSTEMES A TROIS PARTICULES IDENTIQUES : THEORIE » «

l i a Calcul des matrices A et û 114 II b Techniques de calcul 118 II c Facteurs spectroscopiques de transfert d'une 121

particule II d Probabilités de transition électromagnétique . . . . 122 II e Application au modèle de l'Appendice C 123

CHAPITRE I I I - SYSTEMES A TROIS PARTICULES IDENTIQUES : 129 APPLICATIONS

III a Le 2 0 5 P b 129 III b Le Z U A t 133 III c Le 2 U P b 136 III d Etude de convergence 141

CHAPITRE IV - SYSTEMES A TROIS PARTICULES HON IDENTIQUES : 1 6 ° THEORIE

IV a Choix de la base 160

IV b Calcul des matrices A e t A 162

IV c Facteurs spectroscopiques de transfert d'une 165 parti cule

IV d Probabilités de transit ions électromagnétiques 165

CHAPITRE V - SYSTEMES A TROIS PARTICULES NON IDENTIQUES :

APPLICATIONS 160

V a Le Z 0 5 H g 168

V b Le 2 0 5 T 1 n o

V c Le " Po 172 2 1 1 B 1 V d Le "*B1 175

TROISIEME PARUt i LES ETATS WLTJPHOHOHS COLLECTlfS K" • 0

VANS LES HOVAUX PEFORf'ES 181

CHAPITRE I - L ES ETATS K " = 0 + C0LLECTIF5 : THEORIE 186

I a Définitions 186

I b Calcul de la norme 188

I c Calcul de <k |T | p > dans 3? 192

I d Approximation bosonique d'Holzwarth 202

CHAPITRE I I - LES ETATS K * » 0 + COLLECTIFS : MODELE SIMPLE . . . 207

I I a Ftudp de la norme 208

I I b Etude dynamique dans l'espace de fermions 215

I I c Etude dynamique dans l'espace de bosons 221

CHAPITRE I I I - CAS REALISTES 224

III a Choix du modèle 224

I I I b Diagonalisation "exacte" dans l'espace col lect i f . . 232

I I I c Méthode de «arumori modifiée (MM) 246

I I I d Méthode de Kishimoto et Tamura 2 50

CONCLUSIONS 259

APPENDICES 262

APPENDICE A - Développement perturbatif de Brillouin-Wigner

appliqué i la NFT 262

I

A P P E N D I C E B - Etude détaillée des propagateurs F et G a>9

APPENDICE C - L'état U , I =• 3j - 3 > dans le modèle en couches. 276

APPENDICE D - Queloues éléments sur les développements bosoniques >A?

a - Généralités d2

b - Variante du BE de Beiyaev-Zelevinski .337

c - Variante du BE de Marumori -29s

APPENDICE E - Orthogonaiisatlon canonique 304

REFERENCES 308

1

INTRODUCTION

Tout noyau atomique est composé de protons et de neu­

trons en interaction. C'est un animal fascinant que le physicien

nucléaire rêve de connaître et de domestiquer; mais c'est aussi

un animal farouche qui se laisse difficilement approcher et qui

se joue le plus souvent des pièges qu'on lui tend. Pour réussir

dans son entreprise, le physicien doit réunir trois conditions

absolument indispensables:

- connaissance du terrain où erre l'animal

- connaissance intime de ses habitudes et de son mode

de vie

- mise au point d'une arme efficace pour capturer la

bête, si possible avec un minimum d'effort.

Le terrain d'adoption a été cerné assez précisemment

depuis les années 1925 : il s'appelle mécanique quantique. Si

par malheur l'animal a élu domicile autre part l'état actuel

de nos connaissances ne nous permet pas de décider dans quelle

direction porter nos regards. Plus précisemment, nous croyons

même pouvoir restreindre notre activité investigatrice 3 un

domaine plus limité qui a pour nom mécanique quantique non rela-

tiviste; mais sait-on jamais l'animal est si rusé et présente

tant de faces nouvelles chaque jour. C'est vraisemblablement

derrière une équation de SchrSdinger que nous avons le plus de

chance de rencontrer notre fortune. Nais des équations de

SchrSdinger il y en a légion; derrière lesquelles se trouve

l'animal particulier que nous recherchons. La réponse suppose

une connaissance parfaite et sans faille de ses habitudes, mode

de vie, et autre moeurs,en un mot de son Hamiltonien.

Tout d'abord, nous sommes incapables de dire si oui

ou non il existe des forces 3 nombreux corps. Si par le plus

2

grand des hasards la nature n'avait voulu retenir que des forces

â deux corps, encore faudrait-il les connaître de façon détaillée.

Or bien que des années de dur labeur aient été consacrées â cet­

te étude, il nous faut bien reconnaître que nous n'en sommes pas

encore au point d'écrire l'expression unique et sans bavure du

potentiel nucléon-nucléon.

Admettons pour un instant- il n'est pas interdit de

rêver - que nous connaissions sur le bout des doigts tout cela.

La phase d'approche peut être considérée comme terminée, il nous

faut à présent bondir sur notre proie et la saisir, en d'autres

termes résoudre l'équation de Schrôdinger. Hais avec quelle ar­

me ? Il semble bien que la meilleure sur le marché actuellement

soit les techniques du problème a nombreux corps (appelé N-corps

par la suite) et la seconde quantification qui en découle.

Dans ce domaine également, de multiples progrès ont été accom­

plis mais on doit admettre malgré tout que la technique n'est

pas sûre a cent pour cent. Si, malgré un tableau aussi pessimis­

te, notre ardeur est la plus forte, partons tout de même â la

chasse et à défaut de jouer les nemrod , nourrissons nous du

secret espoir de pouvoir approcher notre béte d'assez près, de

la caresser du regard et de saisir en un éclair quelque facette

inconnue de sa personnalité.

Plaçons nous immédiatement dans l'optique d'améliorer

l'arme - pour certains buts uniquement - en supposant une fois

pour toute réalisées les deux premières conditions, c'est-â-dire

cherchons â résoudre l'équation de SchrSdinger avec un Hamilto-

nien donné dés le départ. Le principe est connu en théorie :

on commence par effectuer un calcul Hartree-Fock avec notre po­

tentiel pour trouver la meilleure base d'états individuels, puis

on diagonalise l'Hamiltonien H dans la base appropriée au no­

yau pris en considération. Même en passant sous silence certains

points techniques comme l'élimination des états parasites du

centre de masse, qu'il est long le chemin entre la théorie et

l'application ! Le nombre d'états individuels est a priori

infini; la base choisie pour tenir compte du principe de Pauli-

ou base du modèle en couches- n'est pas très agréable â mani­

puler et est encore "plus infinie" si l'on peut dire.

3

On se simplifie en général la vie en prenant comme

état de référence/ l'état où Z protons et N neutrons supposés

sans interaction sont empilés danB leurs orbites respectives les

plus basses. Cet état est appelé le "vide", ou encore le "coeur"

et on le note |o >. Il faut alors raisonner en termes de parti­

cules et de trous et si on a pris soin de choisir pour z et N

des "nombres magiques" on a coutume de penser qu'un petit nombre

de couches est suffisant pour fournir les principales configura­

tions du noyau. Dans certains noyaux où la force d'appariement

joue un rSle préoondérant, il est plus utile d'utiliser un au-

tre état de référence noté |0 > qui prend beaucoup mieux en

compte les corrélations de paires mais qui possède la triste

propriété de ne pas se référera un bon nombre de particules.

Quoiqu'il en soit il est toujours possible de "faire du modèle

en couches" à partir de cet état de référence; a la limite où

l'on inclut un très grand nombre de couches (tant particules que

trous)f on doit retrouver toutes les propriétés du système nu­

cléaire. En faitt des nécessités d'ordre physique et d'ordre nu­

mérique nous interdisent d'effectuer ce calcul complet; on doit

avoir recours a des approximations.

ta nature de ces approximations dépend bien évidemment

de la nature des phénomènes qu'on veut expliquer. En particulier,

le spectroscopiste nucléaire voudrait bien avoir une bonne des­

cription des états liés les plus bas en énergie d'un noyau donné.

Dans ce cas l'approximation consiste à rechercher des états pro­

pres aussi voisins que possible des vrais états les plus bas en

énergie . Ce façon plus mathématique si G désigne l'espace

de dimension n de tous les états physiques, on cherche une ap­

proximation dans un espace £ > de dimension n' et qui soit

quasiment l'espace engendré par les vecteurs propres de j?

les plus bas en énergie. Une première idée pourrait être de

"faire du modèle en couches" dans un espace restreint 5 un petit

nooibre de couches qui soit maniable numériquement. Ce serait

faire un mauvais choix. La raison de cela réside dans le fait

que les états les plus bas en énergie, du moins une bonne par­

tie d'entre eux, sont très corrélês (on dit dans ce cas collec­

tifs) dans le sens où ils font appel à un grand nombre de

4

configurations élémentaires du modèle en couches. Cela signifie

entre autres que la base du modèle en couches n'est pas bien

adaptée puisque les états physiques nécessitent la diagonalisa-

tion d'une très grosse matrice et qu'en conséquence leurs fonc­

tions d'onde s'expriment par un grand nombre de composantes ca­

chant par là même leurs vraies structures.

Il est bien plus astucieux de profiter au maximum des

corrélations et de considérer les états eux mêmes comme des

entités à part entière; ainsi est né le concept de phonons.

A partir de là, se sont développées un grand nombre de théories

qui digèrent dans leur mode d'application mais qui révèlent la

même essence. Certaines sont phénoménologiques et macroscopiques,

d'autres semi-microscopiques, d'autres se disent entièrement

microscopiques s on peut citer entre autres le modèle de la

goutte liquide f Bo 37 J, le modèle unifié de Bohr et Mottelson

TBO 52, 53 J >la méthode des équations du mouvement

Tke 63, DOD 64 , Ro 66 J , la méthode de la coordonnée

génératrice [*Hi 53 J , le modèle du couplage particule-vibra­

tion [AI 69, Sip 72 J , le modèle du couplage faible

[ha 57, D Sh 61, Ch 54, 66, 67 J , du couplage de modes

[Ri 74 J. D'autres, profitant d'une certaine analogie des pho­

nons avec des bosons purs, préfèrent changer d'espace et faire

une incursion dans un espace collectif de bosons où les calculs

sont plus simples : elles ont pour nom théorie du champ nuclé­

aire T B O 7*.'J, approximation des bosons en interaction fhr 75J ,

méthodes de développements bosoniques [Be 62, Ma 64 a, bj .

Ces listes ne prétendent en aucun cas être exhaustives.

Le but ultime est de prendre en compte le maximum d'informations

physiques dans une base de dimension aussi faible que possible.

Par rapport au modèle en couches, la base utilisée a non seule­

ment l'avantage d'être moins grande, mais encore d'être plus

physique c'est à dire plus suggestive. L'inspection de la fonc­

tion d'onde permet de prévoir grosso modo une partie des pro­

priétés de l'état correspondant. Toutes ces méthodes semblent

très alléchantes par bien des côtés. Mais elles souffrent éga­

lement de maladies bien connues des théoriciens; les plus

courantes étant : introduction d'états parasites, redondance

5

des bases, non hermiticitê des matrices, etc Au vu de toutes

les méthodes déjà utilisées, il est loisible soit d'en chercher

de nouvelles, soit d'améliorer une partie des aspects négatifs

inhérents à certaines.

Ce mémoire se compose de trois parties distinctes

gui se réfèrent 3 trois méthodes différentes mais qui possèdent

néanmoins bien des analogies :

- La première s'engage à fond dans la théorie du

champ nucléaire. Après un bref rappel de l'origine et du fonde­

ment de cette théorie, nous développons en détail le formalisme

permettant de décrire un système nucléaire constitué de trois

particules en dehors d'un coeur. L'accent est surtout perte

sur la comparaison avec des approches un peu plus simplistes

relevant de cette théorie.

- La deuxième, appelée modèle en couches â deux

étapes, reformule la méthode du couplage faible de façon a la

rendre très performante du point de vue numérique. Nous avons

insisté particulièrement sur les problèmes de troncation de

la base.Nous avons également analysé la structure nucléaire de

quelques noyaux comportant trois particules en dehors du coeur

de 2 0 8Pb.

- La troisième, ou théorie des multiphonons, est

dans une certaine mesure le prolongement de la partie précédente

au cas d'un noyau déformé superfluide. L'absence de couplage â

un bon moment angulaire facilite en un sens la théorie. D'un

autre coté, l'utilisation des fonctions d'onde du type B.C.S.

introduit des états parasites très gênants pour la comparaison

avec les données expérimentales. Cette approche, qui tient comp­

te proprement du principe de Pauli, permet d'utiles comparaisons

avec d'autres méthodes en vogue â l'heure actuelle.

Cette thèse comporte également des appendices assez

fournis. Ceux-ci ont bien entendu rapport avec des points précis

abordés dans les divers chapitres. Leur lecture peut être omise

pour un premier examen de ce mémoire. Ils ont pour but de préci­

ser certains détails techniques qui alourdiraient démesurément

6

la partie correspondante du texte. Ils présentent surtout un

intérêt personnel; ils nouB ont permis de mettre au clair cer­

taines idées confuses et de transcrire proprement nombreuses

formules écrites a la hate dans un coin d'un vieux cahier oublié

dans quelque tiroir.

|

7

PREMIERE PARTIE

LA THEORIE OU CHAMP NUCLEAIRE

L'origine de la théorie du champ nucléaire que nous

désignerons souvent par la suite sous l'abréviation consacrée

NFT ( Nuclear Field Theory en anglais ) est h rechercher

dans l'analogie avec 1'électrodynamique quantique. Pour décrire

les interactions électromagnétiques entre leptons chargés - di­

sons électrons ou positrons - la théorie quantique des champs

a mis au point tout un arsenal mathématique qui entre dans le

cadre plus général de ce qu'on nomme "seconde quantification".

Les électrons libres (et les positrons car dans la théorie des

champs particule et antiparticule vont de pair et sont insépara­

bles) sont décrits par un champ de fermions régi par les opéra­

teurs de création et d'annihilation **(r,t), »(r,t) et un Ha-

miltonien libre H f. Le champ électromagnétique libre déduit de

la quantification des équations de Maxwell pour le potentiel

vecteur est un champ de particules de type boson - les photons -

rëgi par les opérateurs a (r,t) et a(r,t) et par un Hamiltonien

libre Hfa. En fait, dans la plupart des problèmes physiques inté­

ressants, les électrons interagissent entre eux sous l'action

de la force électromagnétique. Cela se traduit par l'adjonction

â H f + H h d'un terme supplémentaire, l'Hamiltonien d'interaction

H i n. • - e z /j (r,t) A (r,t) df où l'on exprime le courant

électronique j en terme-; d'opérateurs T et y et le potentiel

vecteur A en termes des a et a. v La charge électrique e joue le rôle d'une constante

de couplage. On a l'habitude de représenter les processus phy­

siques 3 l'aide de "diagrammes" (diagrammes de Feynman).

Ainsi, si le temps court de bas en haut de la page

un électron libre nu qui se propage est noté par la ligne 1

affecté d'un certain nombre quantique (en général son cuadri -

8

vecteur impulsion), un positron par la ligne T et un photon

par la ligne | . L'interaction des fermions avec le champ

électromagnétique est symbolisée par des diagrammes du genre

(création de paire) ou i (destruction de paire).

On dit de façon imagée que, lorsqu' ils interagissent â l'aide

de la force électromagnétique, les électrons "échangent des

photons virtuels".

De même/ dans la HFT nous considérons l'interaction de

deux degrés de liberté différents, deux champs; un champ de

fermions et un champ de bosons dont les opérateurs de créa­

tion et d'annihilation sort notés Cn ,c et r , r

respectivement . L'Hamiltonien d'interaction mélange ces

deux degrés de liberté et comporte une constante de couplage A.

Dans l'étude des noyaux, les fermions sont Évi­

demment les nucléons. Dans la pratique, l'indice

p représente tous les nombres quantlques nécessaires pour dé­

finir de façon univoque les états i une particule; ce sont les nombres quantlques qu'on utilise dans le modèle en couches par

exemple. L'interprétation des bosons est moins évidente. Les

corrélations entre les nucléons peuvent jouer de façon plus

ou moins cohérente pour donner naissance â des entités nouvel­

les propres aux systèmes 3 N-corps : les phonons. Ces phonons

correspondent 3 de nouveaux degrés de liberté où les nucléons

se comportent de façon collective. Les bosons de la HFT sont 3

relier précisément 3 ce type de degrés de liberté. Le fait

qu'ils vérifient la statistique deBose-Einstein sera analysé

de façon plus détaillée dans les chapitres qui suivent.

Dans cette partie consacrée 3 la théorie du champ nu­

cléaire, nous indiquerons brièvement les fondements de la thé­

orie puis nous insisterons sur une application de la

théorie au cas de trois particules en dehors d'un coeur et aux

exemples qui l'illustrent.

Y

CHAPITRE I

FONDEMENT THEORIQUE DE LA THEORIE DU CHAMP NUCLEAIRE

Le but de ce chapitre e s t de montrer, sans entrer dans des d é t a i l s trop techniques , l ' équ iva lence de deux appro­ches des systèmes â N-corps : l ' u t i l i s a t i o n de diagrammes de Feynman dans un traitement perturbat i f e t la formulation o r i ­g i n a l e ue l a NFT. Cela permettra en outre de dégager la p h i l o ­sophie de l a théor ie e t de rendre un peu plus c l a i r e la notion de boson u t i l i s é e dans l ' i n t r o d u c t i o n de c e t t e p a r t i e . Nous resterons volontairement succ in t s en ce qui concerne l e s t ech­niques propres au problème a N-corps. Nous chercherons davanta­ge a montrer d'où proviennent l e s d ivers ingrédients qui sont

â l a base de l a théor ie du champ nuc léa i re . En ce qui

concerne ce chapitre p a r t i c u l i e r , on pourra s e ré férer avec p r o f i t aux a r t i c l e s su ivants ^Be 76c, Bo 77, Re 75j .

Considérons un système de fermions identiques se déplaçant sur des o r b i t e s â une p a r t i c u l e e t i n t e r a g i s s a n t

v ia une force r é s i d u e l l e â deux corps . Le système e s t gou­verné par un Hamiltonien du genre H » H + V

sp " ? e j C j C j <I,1> OÛ H

v - ± E < j . j 2 | v Ij j.> c* c* c. c. J 3

On peut résoudre l ' équat ion de SchrSdinger s o i t en d iagonal i sant 1'Hamiltonien dans une base ccrplête du modèle en coutil*, s o i t en e f f ec tuant un développement perturbat i f i n f i ­ni â l ' a i d e des diagrammes de Feynman.Dans l'un eu l'autre cas, on uti l ise ccnme état de référence le "coeur" formé par l'enpilanent des par­ticules sur les orbites les plus basses. Ce coeur est noté | 0 >. Les or­bites occupées appelées états de trou sont affectées des indices i , alors que les orbites inoccupêes-les états de particule -sont indicées par k.

10

Lorsque la distinction entre les deux n'est pas nécessaire, c'est

l'Indice j qui est adopte. Du point de vue diagrammatique un

fermion dens un état de particule est noté â l'aide d'une

flèche dirigée vers le haut Ak, (analogie avec l'électron), un

fermion absent de l'état- de trou est noté par une flèche diri­

gée vers le bas Yi, (analogie avec le positron). Nous distin­

guons ainsi plusieurs sortes de "diagrammes d'interaction" (un

diagramme représentant une interaction à deux corps est appe­

lé four point vertex en anglais) suivant le genre des états

impliqués dans la diffusion. Les règles concernant l'écriture

des diagrammes se trouvent dans tous les traités relatifs au

problème â N-corps |~No 63, Fe 71 J et leur exposé dépasse

largement le cadre de ce chapitre. N'est donné ici que le

strict nécessaire â la compréhension de l'origine de la NFT.

Les différents diagrammes d'interaction sont écrits ci-dessous

(les complexes conjugués sont obtenus par symétrie par rapport

a la ligne horizontale passant par le sommet ou noeud

d'interaction).

• V' "=V *\4 ^ *• "H

<k aijv|i 1k 2> ^ k J ^ V <i 3iJA 2i 1> « V ^ l V

(a) 0» (c) (d)

< i 1 k j * 2 k

(e)

(1,2)

Y < i l i 2 ^ 3 k 3 >

(f)

Nous supposons que l e s o r b i t e s sont obtenues par un traitement Hartree-Fock (HF) e t donc que l e s contr ibut ions HF sont déjà i n c l u s e s l ' é n e r g i e i n d i v i d u e l l e e . . Cela s i g n i f i e que des diagrammes du genre

.v ldue l le e . . Cela sign

(1,3)

doivent être écartés car leur contribution est nulle poux des

orbites HF. Le formalisme adéquat pour introduire la NFT est

celui des fonctions de Green. La définition de la fonction de

11

de Green (ou propagateur) à quatre temps est

o H 1 t l , j a t 2 , j j t 3 . j 4 t 4 ) -< i - i T { c ; i ( t 1 ) c J 2 ( t 2 ) c ; 3 ( t 3 ) c J 4 t t 4 ) } i ï > (1,4)

où |ï> est le vecteur d'état du vrai fondamental,

C*(t) = exp (iHt)cî exp (-iHt) (1,5)

l'operateur de création d'une particule dans l'état j en représentation d'Heisenberg et T l'opérateur chronologique ordonnant les temps de gauche 3 droite par ordre décroissant (nous faisons dans ce chapitre le choix ft * 1 pour simplifier l'écriture), La connaissance de cette fonction est suffisante pour obtenir les propriétés de toutes les observables du système, d'où son utilité. En fait, dans la pratique, le calcul de G est le plus souvent impossible et on se contente de diverses approximations.

Avec cette idée introduisons l'approximation HF pour la fonction de Green

G H P ( J , t 2 ' t l ) " < 0 lT M (t2> cj ( tl'}l ° * ( I , 6 )

Si H est indépendant du temps, elle ne dépend que de la diffé­

rence t.-t, e t A 1 e 3 t f a c l l e d e calculer son expression -ie.(t,-t,) -ieH(t,-t.)

Gjjptj.tg-tj) = (l-n..) e •" eftj-tjj-n.-e ] ' W

(1,7) où 6 (t) e s t la fonct ion de Heaviside e t n.= l e nombre d'occupa­t ion de l ' é t a t j (i^ = 0, nt = 1).

On développe habituel lement l e prot d a ­teur G en puissancesde l ' i n t e r a c t i o n r é s i d u e l l e V, chaque ordre n donnant l i e u â une s é r i e de diagrammes c a r a c t é r i s é s par "n temps intermédiaires".

Considérons l e cas des corré la t i ons par t i cu le - t rou qui interviennent fréquenment en physique nucléaire. Cela signifie que l ' o n d o i t prendre un ordre sur l e s temps t , > t 2 > t 3 > t 4 e t que parmi l e s couples ( j j ^ j j ) e t ( J 3 , j . ) l 'un des deux é t a t s e s t un é t a t t rou , l ' a u t r e un é t a t p a r t i c u l e . Pour l e s i l l u s t r a ­t i ons su ivantes j , e t j . sont des é t a t s t r o u , j - e t j , des

fol é t a t s p a r t i c u l e . Les contr ibut ions d'ordre zéro G e t d'ordre

12

un G valent respectivement (nous omettons les arguments

des propagateurs lorsque cela ne crée aucune confusion)

:<0> - 6 j.j. sj,j, O H F ' V W W ' ^ ' W ( I- 8» 'lJ4 J 2 J 3 +««

G ( 1 ) = " i < 3 2 3 4 | v l 5 1 j 3 >/dTG H p(J 2,t 2-T)G H F(J I,T-t 1) x -aa

G H p ( J 3 , T-tj) G H F (J 4,t 4-T) ( I 9 )

et sont représentées par les diagrammes suivants s

"-1

*••! j ' 1 h

. ' . ,-i\ / '

H 2î 3V

, j < V 4

(1.10)

Parmi les contributions d'ordre deux, nous ne retenons que

celles où les sommets ont une paire particule-trou en commun.

Un exemple de diagrammes pris en compte et son expression ma­

thématique correspondante sont donnés ci-dessous

• - 1 " G ( 2 U ( - i ) 2 £ < J 2 i | v | J 1 k i . k +•> +•»

< k J 4 |V | i J 3 >/<iT fà-1

(1,12)

(1,11) G^Oj , t 2 - T ' ) G H F ( J 1 , T ' - t 1 ) X

G H F ( J C , T ' - T ) G H F ( Î , T - T " ) x

G H F ( J 3 . î - t 3 ) G g p ^ . ^ - T ) *

13

I l faut néanmoins se rappeler que dans ce cas l e

propagateur G d'ordre deux n ' e s t qu'une approximation au

propagateur exact .

On r e t i e n t également toutes l e s contr ibut ions d'ordre plus é levées dans l e s q u e l l e s une paire par t i cu le - t rou est crée au temps T / et une paire particule-trou est détruite au temps \' après un nombre arb i t ra i re d ' in t erac t ions â travers des d i a ­grammes d i t s i r r é d u c t i b l e s . Mathématiquement c e l a s e t radui t par l e remplacement dans (1,12) du propagateur l i b r e -G„ F (k ,T' - T ) G™ ( i , t - T ' ) par la fonct ion de Green t o t a l e avec t , = t , = T ' , t j = t^ = T-

Finalement, nous pouvons écrire toutes les contri­

butions d'ordre supérieur a un,à notre approximation particule-

trou du propagateur â quatre temps comme :

53«s ( n ) (j lt 1,j 2t 2.j 3t 3.j / It 4) «<-u2 2 ^ < 3 2

j ! v i ^ j ' :

n>2 jj'j"j'" +«» *» (I,

< j"J4:V|j'" J s ^ d T / d T ' G ^ V ^ - T M G ^ l j j . T ' -tj) X

G p t<JT,.j ,T ,,j"T,j'"T) G H F(J 3,T-t 3)G H F(J 4,t 4-T )

Dans (1,13) chaque couple d'indice (j,j') et (j",j''')

contient une particule et un trou. L'indire v-t

affecté â la fonction de Green â 2 temps signifie qu'elle a

été calculée dans l'approximation particule-trou définie plus

haut. Si finalement nous introduisons un ensemble complet de

vecteurs propres ||j> de H d'énergie u dans la définition de

la fonction de Green G .(JT'#J'T'j,j'*T,j''' T )

G p t ( j T',j'T ,.j"T.j"*T)=2 :*|C* C j > | M > c u | C j t . C j . , . | y > X

" (1,14)

-iu (T'-T) iu (T'-T)

e M e(i'-T)+<ï|cj,,cjll,!i.><ui cTc j,|f>e * e(T-T')

l'expression (1,13) prend la forme définitive qui sert de base

â la SFT

14

*J* 2G < n )(j Jt 1,J 2t 2,J 3t 3.J 4t 4) - -J d T J d T'G H F(J 2.t 2- TM x

GHF < : il' "'l 1 2^ir^2^1''^ A ( j 3 j 4 ; "* e O(T'-T)

u » ill (T"-T) I

+ A (J4J3îli)A (JJJ2--II) e " e<T-T')|GHF(J3,T-t3)<^F(J4,t4-T)

(1,15)

A<J aVU> =2<i a3|V|J bJ'> <Y|C* C^iy > (1,16)

jj'

A partir de la formule (1,15) il est facile de voir que le

terme entre accolades représente la propagation libre entre

T et T' d'un boson pur caractérisé par les nombres quantlquesu

Un tel boson est représenté par une ligne ondulée su.(analo­

gie avec le photon). Les facteurs /<JaJbfu> et*

A (j,Jb;u) sont les amplitudes pour la création et l'annihila­

tion d'un boson 3 partir de deux états à une particule; ils

symbolisent la force du couplage de l'interaction particule-

boson (analogie avec la charge électrique e). En d'autres

termes, l'expression (1,8),(1,9) et (1,15) de notre propaga­

teur approché est exactement celle du propagateur d'un système

constitué de fermions {opérateurs C.,C.) et de bosons purs + J

(opérateurs r ,r ) soumis a un Haniltonien total H H F T

HNPT " H S P

+ V + V V

où H = ),Ei C. C. (propagateur â un corps G„_) (1,17)

V = j ]C < 3l j2 ' v b 3 3 4 > et c* C j Cj (propagateur G'

H S~V, .+ p (propagateur libre du boson) b * ' u 'u lu

»>)

15

v - £ E|*"iV»> rP ci 2 v A ( J l J 2 i w , r ^ i ^ U >132

(interaction particule-boson)

Cette équivalence entre les deux propagateurs ex­

primés soit complètement dans la base de fermions (diagrammes

de Feyninan), soit en termes de fermions et de bosons (diagram­

mes de la théorie du champ nucléaire) se traduit très simple­

ment de façon diagrammatique

( 1 , 1 8 )

J l i in h

+ fv+Ei k . i

+ -=, V^n

•ta:

J 3 J 3 /

24 VA_ '* Vi j4

La constante de couplage A(ki,u) obtenue dans cet

exemple est associée au sommet d'interaction,

elle vaut ;ion, k \ j S ±

16

A(kifu) - <0 |C* Ck H p v r p

+ | 0 >- £ < k i'lVli k'xflC^.lu > k'i'

+ < k k'|V|i i'x<?|C*. C i ( |u >

(1,19)

Nous avons choisi dans cet exemple un ordre donné sur les

temps (t,>t2> t, >t.). Dans le calcul des observables il ap­

paraît également une intégration sur les temps et il est né­

cessaire de tenir compte des autres possibilités d'ordonner

les temps. Cela s'accomplit de façon analogue«les seules

différences étant l'apparition de constantes de couplage

diagrammatiquement différentes, telles que

*\s Atik.u) - A<i'i,u> A (k'k,u)

Comme nous l'avons déjà souligné, le propagateur G fc de

(1,14) correspond â la propagation libre d'un boson pur.

Une conséquence de cela est que le degré de liberté qui lui

est associé r doit être complètement indépendant des v r + +1 " r +1

degrés de liberté des fermions! r , C. I = 0 et Ir , C•1= 0

(1,20)

Néanmoins, il ne faut pas oublier que si l'état r + |0 >

est du point de vue cinématique un boson pur, ses caractéris­

tiques dynamiques sont obtenues sur la base d'une étude en

termes de fermions. L'état |0> doit être considéré comme

le vide de fermions mais aussi comme le vide de bosons. Les

expressions (1,16) et (1,17) sont tout a fait générales et

correspondent â la propagation d'une paire particule-trou qui

interagit un nombre arbitraire de fois à travers des diagram­

mes irréductibles. Dans la pratique, deux sous-ensembles de

diagrammes sont couramment employés.

La TDA (Tamm-Dancoff approximation) qui ne renient que

17

les bulles vers le haut, c'est-à-dire des chaînes du genre

• La RPA (Random phase approximation) qui prend en compte les bulles vers le haut et vers le bas, c'est-à-dire des chaînes du genre .y X jt

5 + $ + Q ^ + I j + H +

Bien entendu dans la NFT, si l'on considère l'une ou l'autre de ces approximations, il faut prendre les energies u et les amplitudes <<r |c, C. lu > tirées de l'approximation correspondante.

Il est possible d'effectuer un travail tout à fait analogue pour le traitement diagraramatique d'un operateur â un corps

ii' Dans le formalisme de la NFT l'operateur comporte a présent un terme de boson et s'écrit

<tar sZ/ i|Q|J'> et c^ +2}ul Q|v> r+ +<*|Q|u>rll (1,21) j i ' y

Nous avons considéré jusqu'à présent les bosons de type particule-trou c'est-à-dire correspondant â la propaga­tion d'un paire particule-trou interagissant un nombre arbi­traire de fois. Ces bosons décrivent des vibrations dites de surface dans le noyau identique â celui du coeur (ce sont les "excitations du coeur"). Il existe aussi des vibrations d'un autre type dites d'appariement ou de "pairing" qui concernent les noyaux différant du coeur par deux nucléons. Dans la théorie du champ nucléaire, on associe à ces excitations des bosons qui proviennent de la propagation d'un paire particule-particule ou trou-trou ayant interagi un nombre arbitraire de fois. Ainsi, il s'introduit naturellement deux nouveaux

18

types de bosons:

- les bosons de pairing-particule créés par les opéra­

teurs r et symbolisés par les diagrammes

- les bosons de pairing-trou crées par les

opérateurs r k , et symbolisés par ~ wlJ SU

le t par les t"

son

On traite ce nouveau genre de boson de manière identique

à celle exposée au début du chapitre . On réordonne la fonc­

tion de Green(1,4) pour faire apparaître l'ordre C +C C C.

L'ensemble complet des vecteurs propres \u> d'énergie a se réfère maintenant au noyau différant de 2 nucléons et pour

un ordre sur les temps donnés il apparaît dans les diagrammes

de Feynman la propagation de paires particule-particule ou

trou-trou. Cela correspond à une autre approximation pour

le propagateur et l'égalité formelle suivante montrant l'équi­

valence des diagrammes de Feynman et ceux de la NFT s'obtient

aisément (l'ordre des temps est ici t. >t, >tj > t. )

^G ( n )(j 1t 1,j 2t 2,j 3t 3.j 4t 4) - - Jài jâj' GHF(J4,t4-T> x

n>2 "• -»

GHP (32' t2" t ) x

^JApCJ^lli) Ap(j4j2;p)e p'" 8(T'-T) (1,22)

U iut U(T- i) )

• A* lUh>»"t<W»>e ett-T-jJG^tj^r'-v x

GHF(J3,T'-t3)

avec les constantes de couplage A définies par

A p <5a jb !»° " ^t^i^MiJ'^^CyC^p, M > d,23)

A t ( j a j b î u ) = S ^ J J'|V|JaJ0><ï|C+ C+Jt; u >

Les différents sommets d'interaction particule-boson sont transcrits ci-aprës.

19

(1,24)

Y* *& V V ¥ IT A < k t k 2 ; J A ( i j i j j u ) A <ki;u) A ^ i ^ : » ) A ^ k j i u ) A t (ki;n)

(a) (b) (c) (d) (e) (£)

Là encore, l'expression (1,22) correspond à la fonction de Green d'un

système composé de fermions {C-, C J e t de bosons purs + + J J

( r p u ' : p / ; t | j , r t u' . i n t e r a g i s s a n t â l ' a i d e de l 'Hami l ton ien

HNPT " H s p + V + H b + H

P b (1,25)

H b " Ç r p . u r p . u r P . u + " t . M C r t J

u j ^ j j l J 2 1

+ [ A p « l V « > r p , u + A * t « ^ 2 " " r + t , J C Î 1 %

L'équivalence des propagateurs exprimés par les diagrammes

de Feynman et ceux de la théorie du champ nucléaire est il­

lustrée par l'exemple ci-après

20

(1,26) Les caractéristiques dynamique» des bosons de pairing (éner­

gie et amplitudes) s'obtiennent également en pratique par l'approximation TDA ou de façon plus sophistiquée par la RPA.

Indiquons brièvement que dans le formalisme de la NFT il faut remplacer un opérateur de type pairing

p + - Z2 <J3'|P +|0> C* C*, par l'expression j > j ' (1,27)

î , - L < " ' | P + | O > c t C j T + 5 i P , u |P + i ï>r +

p > i j + <ï |P + | t / U >r t / l l

j>j' H I 1

p = NFT

Dans les pages précédentes, nous avons essayé de faire ressortir de façon aussi simple que possible l'origine des bo­sons inhérents â la NFT. Les ingrédients de base des diagramme utilisés par la suite ont été exposés aussi brièvement; nous aurons l'occasion de revenir sur ces points si la nécessité s'en fait sentir. 11 est à remarquer que les bosons ont été introduits de façon naturelle en tant "qu'états

21

intermédiaires" c'est-à-dire reliant deux noeuds d'

interaction à des temps intermédiaires. La théorie du champ nu­

cléaire étend la notion de boson a des états de base et pos­

tule en contrepartie quatre règles qui régissent les calculs A

effectuer dans ce formalisme. Ces règles ont été énoncOos »Ji"

Bes et al. fee 74J et démontrées par Reinhardt [tte 75 J

Elles sont sous-jacentes à tous les développements de cette

théorie qu'on trouve dans la littérature. Nous énonçons et il­

lustrons ces règles ci-dessous.

Règle Enoncé Illustration

Dans les états initial ou final, les diagrammes pro­pres contiennent des modes collectifs (bosons) ou in­dividuels mais aucune confi­guration de particules qui puissent être remplacée par une combinaison linéaire de bosons.'

Itwlfil s

états de base permis.

sont pas permis connu l'-tavs de base (ils peuvent par contre intervenir comme é-tats intermédiaires.)

ri Pour obtenir l'équivalence avec les diagrammes de Feynman, il est nécessaire de sommer tous les diagram­mes de la NFT permis pos­sibles

pour obtenir les états â particules

m Les l i g n e s in ternes des diagrammes ne doivent pas former des parties déjà incluse ; dans la définition du boson,

(Bulles dans la RFA ou la TEA) •

e s t permis

e s t i n t e r d i t

IV Les énergies des p a r t i ­c u l e s e t des bosons sont respectivement données par HF e t l ' équat ion dynamique du boson.Les contr ibut ions de tous l e s diagrammes permis sont évaluées à l ' a i d e des règles usuelles de la théorie des perturbations.

s i "I = A + v * 2 , _ a l o r s

1 A f t o>;j= u ^

N*r; sLul=Y*t\*lMI, -alors

22

La raison intuitive de la règle III est que les contributions

de type bulle ont déjà été prises en compte dans la construc­

tion du boscnet que les considérer de nouveau provoquerait "un

double comptage". Ces règles sont fondamentales, elles doivent

être ajoutées au formalisme permettant de travailler dans le

cadre de la NFT et qui est rappelé ci-dessous en comparaison

avec la méthode perturbative habituelle.

Théorie perturbative de Feynman Théorie du champ nucléaire

H = H.„ + V sp H - H s p + V + H b • H p b

V ht ' 1 Hsp- { S } 'i

•v^Y'VV'V-^ états de base (3 particules)

Ht états de base (3 particules)

H états intermédiaires

w\> m u , - états intermédiaires

Nous voilà â présent armés pour traiter une application

intéressante de la théorie du champ nucléaire â savoir l'étude

des noyaux possédant trois particules en dehors d'un coeur

fermé. Ce cas fait l'objet des quatre prochains chapitres.

23

CHAPITRE II

FORMALISME POUR LE SYSTEME A TROIS PARTICULES

II - a - I n t r o d u c t i o n

Nous supposons donnée une base d'états 3 une particule caractérisés par un ensemble de nombres quantigues désignés globalement par a e t plus précisément par (ngj)m %îP mm* , m est la projection sur l'axe z du moment angulaire j (m * - j , . . . , j ) et % la projection du spin isotopique (mT * 1/2 pour un neutron, mT • -1/2 pour un proton). A chaque état a est associé un opérateur de création C * B C _ _ _ et

a p m m T

de destruction C * C„ _ _ ainsi qu'une énergie e 5c < o p m mt o p

obtenus en principe par une procédure Hartree-Fock. L'État

qui sert de référence est le coeur inerte noté I 0 >consistant

en A nucléons remplissant les Z orbites les plus basses en pro­

tons et N orbites les plus basses en neutrons, N et Z étant

des nombres magiques.

L'objet des prochains chapitres est l'étude des noyaux

A+3 où trois particules ont été aioutées au coeur.

Nous établirons la théorie du couplage de trois par­

ticules en tenant compte de l'isospin nar souci de géné­

ralité. Nous nous limiterons par la suite à une apolication

au cas de trois particules identiques. En toute rigueur, N—Z

l'isospin du coeur est -y- et les états de base devraient cou­

pler l'isospin des trois particules â l'isospin du coeur pour

donner un état de bon isospin. Nous ne ferons pas cet ultime

couplage qui alourdirait le formalisme inutilement pour notre

propos. Les résultats présentés ici s'appliquent donc soit à

trois particules identiques, soit â trois particules en dehors

d'un coeur d"isospin zéro. Nous supposerons enfin que le coeur

reste inerte c'est-à-dire que nous nous restreignons à des

24

corrélations entre les trois particules en dehors du coeur. En d'autres termes, nous négligeons les excitations 4p-lt, 5p-2t,... ou encore nous ne prenons en compte que les états de particule. Cette approximation demande évidemment à être vérifiée mais au voisinage d'une couche magique elle est sensée donner de bons résultats au moins pour les états bas en éner­gie. Pour cette raison, nous ne retenons que les sommets d'in­teraction de type TDA c'est-à-dire (I,2,b) pour les sommets d'interaction et(1,24,a) pour les sommets de couplage particu-le-boson.On peut trouver une première ébauche d'une telle ap­proche dans la référence [ L ± 78a] et une analyse plus complè­te dans notre travail paru dans f Li 78b J.

L'énergie et les amplitudes des bosons sont obtenues à partir de l'équation TDA du système â 2 particules (règle IV) Soient les opérateurs de création élémentaires

+ * - l / 2 r + J™T * ~ l / 2

P +(pq;JM,T M T) -(1 +«„) | c ; C , ^ * -(!+«„>

£ «VWql™ > < 1 / 2 »P 1 / 2 «q l™T > C P V p

C q +

V „

p q

qui vérifient la propriété s P (pq.-JM.TM ,) =(-1) P q P+(qp;JM,THj,) ( I I' Z )

(en particulier si p s q nous retrouvons la règle usuelle J+T impair). La relation (11,2) permet de définir un ordre sur les indices p et q conduisant â l'orthogonalité de ces excita­tions élémentaires

<0|P(rs;J'M',T'«TI)P+(pq;JM,T.V|0 >=^ S^i^, S m , S B , ^ (J ^

(11,3) L'invariance par rotation ijrplique que les énergies individuelles c sont indépendantes des nombres quantiques magnétiques m e t y e t la pa r t i e â un corps de l'Hamiltonien s ' é c r i t :

25

H S P - £ E P C P V P

C P V P <«•«> p , n P ' 1 J P

Utilisant aussi l'invariance par rotation de l'interaction

résiduelle à deux corps il est facile de calculer V en base

couplée

v > 2 ^ X r f < p q ? + JT|V|rs}JT >P lpq;3H,1MT)P{rB;JH,'m,l;)

- 1 / 2 - 1 / 2

J,M,T,M,, p<q (11,5) r<3 E - l / 2 - 1 / 2

(i+Spq) < i + « r s > < jpVq m ql J M >

<Jr™r JJ1,1JM> < l / 2 U p l / 2 M q | n V < l / 2 u r l / a ^ j T M ^

<pnip|jp«q « i q M q |V |nn r u r siti By a >

j u+j_+J+T <pq;JT|V|rs;JT>« <-i; v H <qp;JT|V|rs;JT>

j +i +J+T 3 o + i > + 3 r + J s - (-1) <pq»JT|V|sr;JT> « ( - D * " ^qp»JT|V|sr;JT>

I l e s t u t i l e pour résoudre l ' équat ion TDA du sytême a deux p a r t i c u l e s de f a i r e in terven ir l e s phonons c o r r é l é s d é f i n i s par

P - ^ (JM,TH,,) -^<0 |P (pq;JH,TM T ) |u >P+<pq;JM,TK,,)

PS5 (11,6)

L'équation TOA e s t simplement l ' équat ion aux va leurs propres de H + V dans l ' e s p a c e des é t a t s P + (JH,THJ,1 | 0 >

E l l e prend l a forme b ien connue

[ U y (JT) - E p - E ^ ^ C p q ^ M , ! ^ |0> = ( I I / 7 ,

V + ^ ^ <rs;JT|V|pq;JT> <y |P (rs;JH rTH r) | 0 > r<s

26

Connaissant les energies a une particule et les Ele­

ments de matrice de l'interaction, on tire u UT) et

<u|P (pq: JM TMT)| 0 > qui sont les ingrédients dynamiques des

bosons de la NFT. Rappelons au passage que ceux-ci notés

r (JM,TM_)| o > sont des bosons purs par conséquent différents

du point de vue cinématique des phonons TDA;P (JM,TML) |0> .

A strictement parler, les amplitudes ne sont définies que pour

des indices p et q ordonnés p 4g. Néanmoins on peut les

" prolonger " a l'aide de la propriété (11,2). Enfin,

en couplant â des bons moments angulaires les opérateurs in­

tervenant dans l'Hamiltonien de couplage H p b défini dans

(1,25) on arrive â

Hpb * 2 3 £ A „ <P<J^T)rw(JM,TMr)P+<pq!JM/l**r> » h c

«"tu, *** (11,8)

avec A^lpqjJT) *J*< pq;JT |V |rs;JT> < M | P*** (rs; JM/THp) |0> r<s

En faisant usage de (11,7) on voit qu'il est possible d'écri­

re la constante de couplage A de façon beaucoup plus simple

A^pqsJT) - [*> u <J T >-e p - e q ]<w| P +(pq.-JM,T« r) [O > (11,9)

On peut encore é c r i r e l a propriété de symétrie

V - i a

+ J + T

A^pqjJT) = (-) p 4 A (qp.JT) (11,10) L'Hamiltonien de bosons libres, quant 3 lui, s'exprime comme

H b = 2 u w < J T ) r^UM.THp) r (JM, THy) (11,11)

JM'TMJ

Comme nous l'avons souligné dans l'introduction, il

est astucieux de prendre en compte une partie des corrélations

des trois particules grâce â l'introduction des bosons dans

les états de base. Par conséquent, nous choisissons comme

états de base les vecteurs

27

| B i * ' r p ' V ' i ^ ^ 1 " 1 ^ I / 2 " P T U T P*P>

+ p-pH? ^ V ™ ^ !°> ( I I ' 1 2 )

représentés de façon diagrammatique par 1 A ) T

(règle I) . " I II u

Nous avons aussi besoin des états du nodèle en couches

TM,. |mJ> = ic„aj[c.. c = | |0 > représentés par (11,13)

t'Ifc (la barre horizontale entre les

PA t * » s deux lignes de fermions indique

que ces 2 états sont couplés à >

et T ) .

Notons que les états |m.,> et|g,> engendrent des espaces

disjoints du fait que lea degrés de liberté de bosons sont

indépendants de ceux de fermions. Les états physiques â

trois particules rf expriment sur la base des I m. •-

uniquement.

La NFT postule que la base des |g.> fournit une repré­

sentation efficace des états physiques en ce sens qu'un petit

nombre d'états de base est suffisant pour décrire

avec précision les propriétés physiques des systèmes nuclé­

aires (Ce n'est pas le cas avec la base |m.> ).

Il arrivera que le terme "fonction d'onde en base |g,>soit

employé; c'est un abus de langage, car la vraie fonction s'ex­

prime dans une base de fermions et non dans la base |6.>

composée de fermions et de bosons. Il est plus rigoureux

de dire que le vecteur propre correspondant à un état physi­

que déduit de la théorie NFT s'exprime â l'aide de la base

10^ i» , cette représentation étant plus commode pour notre

problème. Il ne faut donc pas attacher trop d'importance a la

notion de fonction d'onde; par contre les observables ont une

réalité physique que la NFT doit respecter. Les états

!e±> sont fonctions propres de l'Hamiltonien non perturbé

28

H = H + t f en tient caipte de l'interaction résiduelle V â l'aide d'une théorie de perturbation adéquate. S'offrent a nous deux possibilités :

- un développement de type Rayleigh-SchrSdinger (RS) in­

dépendant de l'énergie mais faisant appel a de nombreux

diagrammes et présentant une ambiguïté dans le choix de l'éner­

gie non perturbée dans le cas ou les niveaux ne sont pas isolés.

- un développement de type Brillouin-Wigner (BW) de

structure beaucoup plus simple mais présentant une dépendance

en énergie qui est gênante du point de vue technique.

Notre optique dans ce travail est de trouver une métho­

de qui permette de résoudre exactement le problème dans le ca­

dre de la NFT. Nous devons donc sommer tous les diagrammes

perturbatifs et par conséquent le choix du développement

BW s'impose. Ce développement est ronpelfi et appli­

qué au formalisme NFT dans l'appendice A. Notre but est le

calcul des éléments de matrice effectifs W (E) exprimés

dans la base |e 1>qui redonne les valeurs propres de l'équation

de SchrBdinger originale. Il faut avoir en vue qu'en ce qui

concerne les états physiques du modèle en couches, la base|0,i

est redondante parce qu'elle viole le principe de Pauli. On

peut le voir sur un exemple très simple. Considérons le

modèle décrit dans l'Appendice C et consistant en trois parti­

cules dans une couche j.

Le schéma m prévoit entre autres

- 1 état 3j-3

- 0 état 3j-l

L'équation TDA fournit des phonons r . + , r , + avec X, = 2j-l, 1 1 2 2 = 2j-3 et par conséquent il existe

- 1 état |B>

- 2 états|R,>

C<W ' j "" X 1 J

e***T\

3j-l 1° >

3 . _ 3 | o > J 6 2 - [ c 3 * 4 lo> J3j-3

d'où violation du principe de Pauli

29

Ce phénomène provoque l'apparition d'états dits parasites ou

spurieux qui sont des états de théoriciens et qu'on doit élimi­

ner lors de la comparaison a 1'experience. Nous reviendrons

sur ce point nar la suite.

L'élément de matrice effectif W g B (E) «<e2 |H e f f (E)| g x >

s'exprime à l'aide d'une somme infinie de diagrammes (règle II)

w s s ( E >

B 2 S 1 1 . 0 2 & l

(E)

B, B ( E ) - A

2 B l . ™- .W- (-1)

(11,14)

avec n • J x +X j + »/2 + T J - I-T

Le facteur de phase n intervenant dans les diagrammes d'ordre

impair provient du fait qu'apparaît dans ceux-ci non pas l'é-

t a t de base | g

W^> (E) e s t

,;-[^."-C 10> mais l ' é t a t

0>« (-1) n 18j > . Le diagramme

I qui est topologiquement équivalent à celui décrit dans

(IX, 14) â un "croisement près", croisement, provoquant le fac­

teur de phase (-1) n . Il est facile de se convaincre que

(11,14) donne tous les diagrammes BW permis compte tenu des

contraintes : noeuds d'interaction TDA seuls et absence de

bulle (rSale III). Réécrivons (11,14) de façon un peu plus

symbolique :

30

Wfl . (B) S 2 B 1

i-i "+£ m

= ik

t*l

X 61

£1 (11,15)

Pour effectuer le calcul des diagrammes il est nécessaire

de connaître l'expression des sommets :

X "Y Dans les lignes internes des diagrammes, il n'est pas

nécessaire de norroer les états a condition d'éviter la répéti­

tion des indices. Par conséquent

-<o| [tc*cl)l]\tc*c*)l |o

- N(M) N(pq) <r«;Vr |V|pq;AT >

avec NCpq) - n+6m)1/2 (11,16)

De même.

Y <o [ , C r C s ' î ] H pbC U T l l ° " N(rs)A (rs;XT) U (11,17)

I I - b - Energies

Nous allons introduire dans ce chapitre des propagateurs

qui seront très importants pour la suite.

Partons sirplement de (11,15)

31

* 2 B 1 (E) - W, (0)

«2»l r.s

En utilisant la valeur du sommet (11,17) on voit qu'on

peut écrire

W„ o (E> " w i ° i " £ N(rs)A (rs;A,T.) F„ (q ,rs,A T , ; E ) 62&i M l rTS w l 1 1 B 2 1 i l

(11,18)

avec la definition symbolique du propagateur F

XSL F. (q,re,AT;B) - (11,19)

La signification et les propriétés de ce propagateur

sont examinées dans l'appendice B. Il est évident d'après

(11,18) que le calcul de H se ramène a celui de F. La techni­

que du calcul de F est tout â fait analogue â celle qu'on uti­

lise dans le problème â N-corps pour effectuer des "sommations

partielles" (équation de Bethe-Salpeter ,.... ) . Pour le mon­

trer, nous déshabillons par le bas la contribution du 1+ 1 m e

ordre au propagateur F IU prop:

F„ t t + l ) (q.rs.AT;£)

r r\s',V,T'

jfl+l/2+Jr.+Js.-I-T

(11,20)

32

La phase devant le terme F provient du fait que

F < 4 ) (s,r's', X' T'(E) serait défini avec un état intermédiaire

du bas égal a

[<£•«£ ^'X'T^ 1° > alors que celui qui inter­

vient dans ce diagramme est

|™T

llM

r V |0 >

qui en diffère justement par le facteur de phase J s+J r.+J f i.+l/2 -I-T

(-) . 1 1 faut calculer le reste du diagramme

de droite de (11,20). Il y a tout d'abord un dénominateur

d'énergietlE -c -e " esl * P o u r *• calcul du sommet d'in­

teraction il faut coupler q et r a A' T'. Pour cela, utili­

sons la formule de découplage classique

L JIM X.. T..

t= ( 2 X + 1 ) 1 / 2

L'interaction étant invariante par rotation, nous avons seule­

ment le terme X" T' * - V V qui intervient et la contribu­

tion du noeud d'interaction est

j |l/2 T , j

N(r's')N(rq) < s'r'.-X'-r' |V | qr;X * T ' >

Regroupant tout cela et utilisant la propriété de symétrie

des éléments de matrice (11,5) nous obtenons enfin :

r 33

I**1' <q,rs,XT;E) - Yj F I * * 1 ' (q,rs ,Xt;E) - > J K q ( r s ) X t j q * < r ' 3 ' ) X ' T ' x 6 1

r ' . s ' . X ' . t 4

:.(*) F 6 2 <q'r's',X',T';E) (JI.21)

oû l e noyau K vaut

K4ra)\rt q ' C r ' s ' U ' T * « - 6 q , 8 N t r ' e ' W r q m ' ^ T ' X

(11,22)

q r " J , I X ( l / 2 T T <r•s•^X ,T'|V|Iq,X ,T , >

, , * A U / 2 1/2 t -\£lj T T > }i/9 T T { - S . Ce fac teur prend l e s valeurs

Le couplage 1 un bon l s o s p i n se t r a d u i t par l e

U/2 1/2 t

(1/2 T T suivantes

T . T' . i T - 3/2 S - -1

T - 1/2 S - 1/2 T - l ou T - O T-l/2 S - /î/2 T'- 0 T'- 1

T - T'- 0 T-l/2 S - -1/2

Le cas particulier de trois particules identiques cor­

respond 3 i» T'« 1, I • 3/2 donc dans toutes les formules uti­

lisées pour le calcul avec trois particules identiques on fera

simplement S - - 1.

L'équation qui donne F s'obtient aisément 3 partir de

(11,21) que l'on écrit sous forme matricielle condensée, l'in­

dice étant l'état intermédiaire (q,rs,Xi),

34

2 M ^ ^ «-1 * t-1 2 2

- pi 1' + K F„

L'équation qui donne le propagateur exact devient finalement :

(4- K(E)) P. (B) - Fll} (E) (11,23) • 8 2 6 2

C'est une des équations les plus importantes de la NFT.

C'est un système linéaire inhomogène dépendant de l'énergie.

L'état final ^ n'intervient que par le terme inhomogène

pi1'(E) qu'il nous faut calculer 4 2 B2 I

F'1'(q,re,XtiB) - H ) q

•g

En découplant s et r pour recoupler r et q, nous obtenons

le résultat définitif

F^1'(q,rs,XT;E) - - 6 s q H(rq) A* (rqjXjTj) îx^ x

calculer "»2

. i r x j | i / 2 1/2 Tlr f , I X a||l/2 T T 2 ) L « * -J

(11,24)

Il ne nous manque plus que l'élément de matrice d'ordre zéro

qui est fort simple

W B 2 6 X "[eq x

+ % ( X1 T1] *B2 B x (11,25)

La demarche pour l'obtention de la matrice effective est clai­

re : calculs du noyau K par (11,22) et du terme inhomogène

35

F. ' grâce â (11,24), resolution du système linéaire (11,23);

â î"aide de F ainsi obtenu et de W i 0 ) tiré de (11,25)

l'élément W 2 découle de (11,18). 2 1

B2 B1

Il est possible d'obtenir également W . â l'aide d'un

"déshabillage par le haut". Cette approche permet la défini­

tion d'un nouveau propagateur G qui aura aussi son utilité

par la suite. La technique du processus étant en tout point

analogue au cas précédent nous ne donnons ici que les étapes

principales

W - W ( 0 )

%2 8j, B 2 Bj

y-

s <-Un ^MCqtfAjj (qr;X2t2) 1*

y^f n- 1/2^-I-T ^J en découplant q, r pour recouplei r et q 2 et en tenant compte

des symétries des /1 il vient

», B 2 8 X 4°\ B» 6 2 Bl

N(rq) A (rq»X2 T 2> XX2 T T 2 X

Pq ' »all

q,r,x,T

1/2 1/2 T

1/2 T T, 6 (q,rq2,XT}E) (11,26)

avec la définition symbolique du propagateur G.

G- (q,rs,X-r;E) 1

* #0 La r e l a t i o n de récurrence entre G* ' e t G s'exprime

de façon diagramnatique :

36

g, > \ f , .B > XT

q's'A'T*

xv jy^txt'

N G' 1 + 1 ) <q,rs,A T ;E)

B l q's'A'T* 3 o ' (q'.r'q.J'T^E)

B 1

t e i IT

q's'A'T*

1 «x tt

(11,27)

Traduite en termes mathématiques, cette égalité devient

/ , Kq(rs),-AT iqMr'»')»' f <E) x G <* + 1 )(q,rs,A T;E)

q'.r's', X-T

G ( ** tq',r' s',* • ,',-E) Si

ri

avec la définition suivante du noyau K (ce n'est pas le no­

yau symétrique de K)

A* K q (rs)XT ;qMr'B«) x' T'<E) - - 6 q s.H(rs)N(r»q*) AA' TT [E-eq-er-<:a ^[••^-J 3 q j r . X * 1/2 1/2 Vl

1/2 T TI }< rs; Ar|V|r'q'; A T >

(11,28)

De là, découle immédiatement le système linéaire donnant le

propagateur G â savoir

H-.£ (E) I G = G ( 1 )

L J % Bi (11,29)

Le terme inhomogène qui représente la contribution du premier

ordre au propagateur G f i est fort simple

g

AT =6 6 „ S "(rajA^Ors; AT) qq, AA T T ^ — —

G ( 1 )(q,rs, AT) =

h

r\ F3

H: q r sj

(11,30)

Les propriétés du propagateur G sont analysées dans l'appendice

B ou il est également montré pourquoi la démarche utilisant

G est employée en pratique. De ces propriétés, découle aussi

l'hermiticité de W„ „ (E) qui est loin d'être évidente. La 2 1

diagona Usât ion de l'équation de SchrSdinqer W(E}|ï>= E |t>

fournit les énergies du système et "sa fonction d'onde en

base Bj". C'est l'objet du paraaraphe suivant.

II - c - Normes et relations d'orthogonalité

La résolution Ou problême aux valeurs propres cité

précédemment fournit une énergie E n et un état propre

I» „> = £f. { nil?i '' (H.31)

Du fait de l'interaction entre la baseltf,;. et | m->

la métrique pour le produit scalaire de deux vecteurs I H1 > n

n'est plus cartésienne mais doit être modifiée de la façon

suivante (voir références fBe 77 , Br 76, Be 76 a]

et appendice A)

<V T > - S m ' n mn E L + N ( m , n ) l <ra>#- <n> 6ij V BJ Ç i ç j (11,32)

i , j L 1 ]

avec la matrice H définie par

notons que si m - n la matrice métrique est très simple

N»"-"' = - — conduisant 3 la relation usuelle donnant les

38

aw, ij

£i£i (n> 3E

JE=E_

: (n) (11,34)

Comme la métrique n'est plus cartésienne du fait de

l'introduction du terme au ¥= , il peut arriver que certaines

:(n) composantes j »»' aient un module supérieur â l'unité. C'est

un trait caractéristique de la théorie du champ nucléaire,qui

peut être toléré, car, comme nous l'avons déjà souli'-

gné, la fonction d'onde n'est pas physiquement accessible.

On pei<t bien entendu évaluer N (IUI) en effectuant numérique­

ment l e c a l c u l de la dér ivée de W par rapport à l ' é n e r g i e pour

la valeur E = E n mais cette méthode n'est pas astucieuse car a'

une part elle est longue, d'autre part elle ne permet d'at­

teindre que N' 1*"' et non pas N1"*"'. Restons donc dans la

généralité. Comme toutes les quantités â évaluer dans la NFT,

N(mn) s' 0btient â l'aide de diagrammes (renie II) sans bulles

(règle III). Appliquant ces principes â (11,33) il vient

£3.

„(m,n)

Vj q,r,s,X,T

sans bulle

= E «j'\j • sans bulle ( 1 1 , 3 5 )

sans bulle

Les boîtes carrées symbolisent une série infinie Je diagram­

mes sans bulle qui propage un état intermédiaire

39

[c + tf(C* C*),,r T lo> vers un état de base|B.> (ou vice versa) q r s * TJIM x

Cela correspond exactement aux définitions diagrammatigues

(11,19) et (11,26) des propagateurs F et G, ce qui fait que

la matrice métrique s'écrit sans difficulté

(njn) 8. B. i 3

2 L F B <

( < 3 ' r S , X T f E m ) V ( q ' r S ' X x î E n !rr,s,x, T

1 3

) (11,36)

On comprend à présent pourquoi il fut utile dans le

paragraphe précédent de calculer W . de deux façons dif­

férentes de manière à faire apparaître les deux propagateurs

différents F et G. Après un examen rapide de (11,33) on pour­

rait se demander pourquoi N "* n'est pas tout simplement

F. (E ) Fg < E

n>• La réponse est simple : puisque

Fg (q,rs,At;E m) est 3 l«C

qt r u M le complexe conjugué est (voir Appendice B)

Fg* (q frs,XT SE n) "tyfl

rar et par conséquent l'expression intuitive F. (E ) F . (E )

PJ m p. n serait représentée par les diagrammes suivants J

q,£sî*,T

±jdt ^t

'<

Or ces diagrammes présen­

tent tous une bulle (q,r)

et par suite doivent être

écartés en vertu de la

règle III.

W

40

Insistons un peu sur un point purement technique qui aura son

importance par la suite. Les programmes de diagonalisation

standard d'une matrice hermitique ne fournissent pas directe­

ment le vecteur I* > donné par (11.31) et (11,32) mais plu­

tôt un vecteur qui lui est proportionnel

l»V = Ç n' 'lBi > 2

avec une norme cartésienne^en general ^ | n : | = 1

1

La démarche â suivre pour obtenir le vecteur |? > correctement

norme est triviale. On pose

ç i n ) - ;jjr'J"' <"•«>

et le facteur de normalisation je s'obtient a partir de (11,34)

/ , Vf, _ liifll n <n>* (n )

Il pourra arriver que le calcul de (11,38) conduise

à une valeur nulle.fi = 0 auquel cas l'expression (11,37) de Ç

diverge, ce qui veut dire que le vecteur ]<r > n'est pas nor-

malisable. En fait, si (11,38) vaut zéro, pour le jeu de

composantes ru obtenu après diagonalisation standard, il

vaut aussi zéro pour n'importe quel jeu proportionnel (avec

un coefficient de proportionnalité finiîà celui-ci en particu­

lier pour le jeu des ç: . Cela veut dire que le vecteur|f > a une norme nulle < v | ç > = 0 et que par conséquent c ' est

le vecteur nul. Nous verrons prochainement que les états pro­

pres qui jouissent de cette propriété sont les états parasites

annoncés dans l'introduction. Le processus numérique de norma­

lisation traduit par les formules (11,37) et (11,38) ne peut

donc s'appliquer qu'aux états physiques.

41

Possédant la fonction d'onde dans le formalisme de la

NFT on peut s'attaquer-toujours dans ce cadre - au calcul de

n'importe quelle observable. Dans les deux paragraphes sui­

vants, nous étudions successivement le facteur spectroscopique

de transfert d'une particule et les probabilités de transi­

tions électromagnétiques.

II - d - Facteur spectroscopique de transfert d'une particule

Nous nous intéressons ici au transfert d'une particule

du noyau A+2 (le noyau A représente le coeur inerte) vers le

noyau A+3 par une réaction de transfert direct d'une particu­

le. La cible A+2 est préparée dans un état de fonction d'onde

\t. > en général le fondamental; on la bombarde par un projec­tile a et on d'intéressé â la réaction où il ressort la

particule b (b = a-1 proton ou a-l neutron). On peut peupler

de cette façon plusieurs états | y. > du noyau résiduel A+3

avec des probabilités qui se mesurent en terme de section

efficace OJ, . Moyennant certaines conditions on peut écri­

re o. f comme le produit de deux termes F Au 70 j dont

l'un dépend du mécanisme de la réaction et l'autre de la

structure nucléaire des états initial et final et de la

particule transférée.

2 °if = c s t e (mécanisme réactionnel) x | S. (i->f) |

(11,39)

L'information concernant la structure nucléaire est

toute entière contenue dans le facteur spectroscopique 2

|S. (i -• f ) | où S. est l'amplitude spectroscopique

S k(iH.f) =c f f| C*|ï ^ > (11,40)

|Vi> est la fonction d'onde du système â deux particules et

conformément à la règle I c'est un état à un boson

|ï1>= I\ (*iJi> 1 ° >• Quant à l'P^c'est un des états du sys­

tème â 3 particules et il provient de la diagonalisation de

la matrice effective; il est de le forme (11,31) soit,

i ' f > = E « i ( f > i B i >

42

Suivant la théorie BW il faut aussi remplacer C. car un opéra-

teur effectif C. qui donne naissance a la série diagrammati-

que (Voir Appendice A)

s k ( i *f> = E «p

(f><3 t i c* r ; , V i > i o> =

£ç< f )t<e 4, k.y 1 A 1 T 1 ) ( 1 1 , 4 1 )

Dans notre cas particulier, l'opérateur effect i f vaut

K - Ck + Hpb [Ef-«sp-V] ' Ck [ Ei-Hsp-V] H

P b <«•«>

Le premier terme du membre de droite est la contribution

d'ordre 0; elle est très simple 6„

s<°>. » k * IVi " k,q„ N><T (» U.>.T,

l 1 i z s tll,43)

Le deuxième terme quant a lui engendre une série infinie de

la forme suivante

où n est le facteur de phase traditionnel n = j . +X,+l/2+r.-I-T

Symboliquement, on peut écrire cette série sous la forme sui­

vante

=EN ( r s ) -èv V <»» V±>

tfii

kni,

43

Or, la bot te carrée e s t simplement l e propagateur

F„ ( k , r s , ) . t , ; E . ) , ce qui f a i t que l 'amplitude de t r a n s i t i o n t l i a forme suivante ;

N(r , s ) 1 x x s

r - r ( 1 1 , 4 4 )

[ u i - E r ~ Es]

(11,44) et (11,41) sont suffisantes pour determiner le facteur

spectroscopique de transfert d'une particule. Sur cet exemple

encore nous nous rendons bien compte de l'importance des propa­

gateurs F introduits plus haut.

II - e - Probabilités de transition électromaonétioue

Nous admettons dès le départ les formules classiques qui

donnent les probabilités de transitions électromagnétiques

entre deux états de spin I, et I.. Il existe quelques bonnes

références sur ce sujet L Bl .De Sh 63, OP. Sh 14 Bo 69 I . La probabilité de transition par l'unité de

temps entre un état initial de spin 1^ et un état final de

spin l f qrSce â un processus de multipolarlté h est égale â

T 5 E. pour les transitions électriques\

= M_ pour les magnétiques ;

T(0L, I -i ) = B 1,(1*1) I f Ei Ef| B , 0 x T , i f ' F V * 1 B { Q L ' I i I f )

L |(2L+l)!!r * L * C J

Lv ' J (11,45)

L'information nucléaire est toute entière contenue dans le facteur B(Q ) qui vaut

44

BIO,^ - If) - 2 I* Xf Mf I QLMj Xi "t»l ("' 4 6 )

Q,„ est l'opérateur de transition électromagnétique de mul-

tipolarité L, projection M, • Le théorème de Wigner-Eckart

s'écrit dans ce cas :

< Jf«f ! «LU

L'opérateur Q.

x i Mi> ' 2Ïpr-< h \ " t I V f » < I I I !OL! I I I>

(11,47)

faisant jouer un rôle différent aux LM L

neutrons et aux protons n'est pas un scalaire dans l'espace

d'isospin. En fait, on peut montrer que Q t M est formé de

deux termes : un terme isoscalaire qui const.,, vc l'isospin,

un terme isovecteur qui peut chancer l'isospin d'une unité.

Comme nous n'appliquerons dans ce mémoire la NFT qu'au cas de

trois particules identiques, la séparation de Q,„ en deux

termes n ' e s t pas uti le . Nous ne parlerons nius d ' i s o s p i n pour l e r e s t e de ce c h a n i t r e . Moyennant ( 1 1 , 4 7 ) , l 'expremtion (11,46) du B(QL) dev ient :

BlQL.tt*Xt) 5ïJ+ri< ^ I I O L I I V I ( I I ' 4 8 )

Tout le problème réside dans le calcul de l'élément

de matrice réduit à l'aide du formalisme «le la IJFT.

L'opérateur Qj„ est un opérateur â un corps et par

conséquent il ne peut agir que sur une seule ligne de fer­

mions, les deux autres se propageant librement. En d'autres

termes, le diagramme d'interaction de Q-u est toujours : r

* f *

™L

f l> dont l ' e x p r e s s i o n mathématique e s t :

•°'fc»[«]»]^fc»[c;4] | 0 > I.M,

45

étant entendu que Q.„ n ' a g i t que sur l e s o r b i t e s C v e t C. . L'évaluat ion de c e t t e quant i té ne présente aucune d i f ­f i c u l t é .

^ _ _ < ! . M i L ML | I f M f >

« L X ^ i 1 ! * ^ *f> (11,49)

h , « l * i . * > i x i L I f

avec Qj^O^ I t * k f I f ) - (-1) * & L l k(<kf lPLll K i

l Kf X ^ I

(11,50) Nous avons f a i t apparaître dans (11,49) l e même c o e f f i c i e n t de recouplage que dans (11 ,47 ) ; a i n s i , l o r s de l ' é v a l u a t i o n de l 'é lément de matrice rédui t s e u l e la quant i té Q, (k. I.-» k- I . ) e s t n é c e s s a i r e . Notons au passage q u ' i l existe une phase différente pour l e diagram» suivant :

ih

L'état initial |Ij M.> est défini par ses composantes dans

la base |6 ±> ; de même, pour l'état final | I. M->

j j Ainsi

(*>*" ,(i) < I :" QlJI Ii > = S C'k' C < 8 k ll^ll»t> <"' 5 1> k,*

où Q L est l'opérateur effectif introduit par BW (voir appen­dice A)

46

v • H + H PbiV H «p- v ] * °"t [ w - v r Hpb

a i ' s 2 >

Le premier terme Q,„ donne la contribution d'ordre zéro symbo­

lisée par le diagramme

K dont la valeur est

°L» <9 ï

I i*«k V « .

(11,53)

Ut i £,Vk

Quant au second terme de (11,52), il engendre une série infinie

de diagrammes gui peuvent être groupés en quatre sous-séries

que nous examinerons les unes après les autres

sous-série (a) I t ­

ou plus brièvement

L'interaction électromagnétique donne le terme

"LA (q.i I±-. 3 f I f) • La boite carrée du haut est la définition

symbolique (11,19) de F (q f, rs,*;E.) tandis que la boite

carrée du bas correspond au propagateur G (q.,rs,A;E.). Ain-

si donc la somme de tous les diagrammes de la sous-série (a)

vaut

47

< B k l l Q j | e £ > < a ) - ^ F 6 t ( q f , r s , x : E f ) x

sous-série (b)

ou encore

(11,54)

-* +

»-tft

L' in terac t ion électromagnétique contribue pour V V I i _ I r

(-D ^A.'**!1! * q f I f ' t a n d i s 1 u e l e propagateur du haut est

(-1) £ Gg (q £,rs,X;E f) et le propagateur du bas

j„ +j„+J«+I< (-1) '

qi J r J 8'* i FB* (q^rs.X^).

< e k l | Q L H B e > ( b , = 2 ^ _GB* ( ,«'™'X'B f > °« ( q i l l ' * "f 1 #

F" (q^rs.X.-E^) 8»

sous-série (c)

q^#qj»r,s,X

(I*,C5)

M

48

soit

L'évaluation de ces diagram­mes réclame un peu d'attention L'état intermédiaire du bas est [^•«SOAJÏ ' 0 >

a l o r s que c e l u i du haut es

[ C q E ® l C r CS>>]X '°--- te!

mat d'interaction électromagnéti­que donne sans problème < W W ^ If)

Le propagateur du haut s'obtient en découplant r,s et en recou plant q £ et r â À, ce qui fait apparaître le propagateur G p (s,rq«,X-;E,) puis en utilisant la relation(B,13) entre

les propaqateurs F et G. Le résultat est F, (q^rs,* ;E.). La boite carrée du bas s'obient par le mémo procédé soit

J r+J s

+X+1 * (~i) F (qit sr,X;B t). En résumé

i. * « • tr-\ k"** j _ + j „ + > * l

< £ k l ' V ! V • 2 r f « - » * * F ( q f . r . . X f B f ) K q , . q f , r , s , X

Q L X ( q i J i * 9f I f ) F6* t V " r , X , E i ) (11.56)

sous - sér i e (d ) ( k " * - J - , ,> * + '~

49

ou encore

Ce genre de diagrammes était

interdit dans le calcul de

1 "énergie ou de la norme

car il impliquait des

bulles, mais dans notre cas

un sommet d'interaction de

l'opérateur électromagnéti­

que existe dans la bulle

nue et par conséquent

on ne peut plus parler de

bulles. De tels diaaramraes

sont tout à fait permis.

L'interaction donne le facteur Qj (q, I. • q, I f) alors que

le prapaaateur du haut est F <qf,ru, • :£,) et celui du bas

F* <qi(i- ,',-Ej) d'o-i K

• \ " \ ' '

<d) lq,,r.î, ;!:rl C.

q. .q..i,s. h V I r>x

F 3 , ( q i ' r , ' " E l ' (11,57)

Finalement, en regroupant toutes ces s é r i e s p a r t i e l l e s , i l v ient

, i !Q,. i ! (q. i i ^ v ï f )

• Z ^ Q Î ( < M i " q f ^ M r « l 'q f . rs»' ( sE f )

( q ^ r s ^ . - E ^ - M - l ) 1 • j +-. + 1

( q , , s r , ) : E . ) 3 ( 1 1 , 5 8 )

( q f , r s , . ; E f ) + F„ 1 * ! q f , r s , > ; E f ) F, ( g ^ r s , ) ; E i

Cette formule associée S (II,V;; perjnet d'avoir accès à l'élé­

ment de matrice réduit qui donne les probabilités de transi­

tions électromagnétiques. Nous remarquons encore dans (11,58)

la nécessité d'introdt.re les deux propagateurs différents

50

11 - f - Théorie du chano nucléaire pour le système à trois trous

Considérons a présent l e système c o n s i s t a n t en t r o i s trous dans l e coeur r i g i d e . Comment la théorie développée précédem­ment s 'appl ique t - e l l e dans ce cas ?

On a coutume d ' in troduire des opérateurs de créat ion de trou de la façon suivante TBO 6»1

W 1 / 2

P «p " p ' " "P-«p-lT = < - D J p " P "'" + W p C (11,59)

On définit des opérateurs d'excitation élémentaire de

façon tout â fait équivalente â (11,1) â savoir

R b i T ! , T

P* (ijij; JH THj.) * L__L_M£f' (11,60)

Ces opérateurs possèdent les nômes propriétés de symétrie

et relations d'orthogonal!té que les opërat-ours correspondante

pour les orbites de particules. De la même façon, l'inter­

action résiduelle - qui ne prend en compte que les diagrammes

TDA c'est-â-dire trou-trou < ,jf a exactement LyÇ2 la même forme que (11,5) (pour avoir l'identité dans l'élément

de matrice en base couplée, il faut cependant supposer que V

est invariant par renversement du temps et cela est â l'origine

du facteur de phase apparaissant dans (11,59)). Prenant comme

référence d'énergie le fondamental du coeur inerte; E_(A)= 0»

les énergies individuelles sont données par :

E(A+1) = c k et E(A-l) = -£,. Avec cette convention H est mo­

difié en ce sens que les énergies individuelles changent de

signe ^ ^ H=„ = " 5" 1 <M bÎ n, b< m . (11,61) sp £^ i i m.p. i m,!*

Ce changement affecte l'équation TDA qui fournit les

quantités dynamiques de la NFT u (JT) et < u]P I 0 >dans le

sens suivant

51

fuyWT) + e i + c i j < w | P + ( i 1 i 2 ; JMTMj)! 0> -

V * < i 3 i ^ J T | V | i j i 2 ; J T > < u | P * ( i 3 i 4 f JM THj. |0> (11,62)

^ 4

Les Hamlltoniens de bosons purs H. et d'interaction particule-boson H . sont identiques au cas précédent mais la constante de couplage A (i.i-îJT) qui est associée au sommet

^\r^ ^ vaut a présent Y-• il #.

A^djij.-JT) - L (JT> + e j + e 1 l < u | P * ( i 1 i 2 ' J M ™T>I ° * (11,63)

Enfin, lors du calcul des diagrammes provenant de la théorie BW les dénominateurs d'énergie, qui correspondent a l'action de fii! - H„"r sur les état» intermédiaires

b, ®(b, b, ) I |0 > ont maintenant la forme . xl 2 13 xJlT

E « ^ +e ± i +e 1J"1

Nous avons succintement étudié les répercussions d'un traitement en termes de trous sur tous les ingrédients néces­saires à la théorie du champ nucléaire et il ressort que le seul changement consiste 3 remplacer e en -e . c'est la règle que nous adoptons.

Le traitement du système consistant en trois trous en dehors du coeur est formellement identique â celui consis­tant en trois particules à condition de remplacer de partout

52

CHAPITRE III

APPLICATION A UN MODELE A UNE SEULE COUCHE

Jusqu'à présent, la théorie est restée très formelle

et il est bon de chercher â la relier à une approche de type

modèle en couches puisqu'à la limite où les calculs sont menés

jusqu'au bout sans approximation, les deux traitements doivent

fournir des résultats identiques. Diverses tentatives dans ce

sens ont été abordées dans le cadre de modèles plus ou moins

sophistiqués. Le plus couramment utilisé fait appel à une in­

teraction monopolaire entre particules se déplaçant sur une ou

deux couches TBe 74, 76a , 76 b , Br 76 1

Dans ce cas, il n'existe qu'.un seul élément de matrice et il

est possible de sommer les diagrammes sous forme de séries

géométriques. On retrouve alors les résultats du modèle en cou­

ches pour les états physiques, tandis que les états parasites

sont isolés â des énergies qui sont celles des états intermé­

diaires non perturbés. Dans ce travail, nous avons développé

un formalisme qui permet de traiter le problème de trois parti­

cules dans un nombre quelconque de couches interagissant par une

force quelconque mais nous restreigant par contre aux dia­

grammes n'incluant que des sommets d'interaction de type TDA.

Cette approche semble prometteuse et demande à être analysée dans

des modèles où le résultat exact analytique ou numérique est

accessible. Dans ce chapitre, nous nous intéressons â un cas

soluble analytlquement. Considérons trois particules identiques

dans une couche j et interagissant à l'aide d'une force quel­

conque dont les éléments de matrice sont notés

V ± = <jj;Ai|v|jjfA. > . Le traitement dans le cadre du modèle

en couches a fait l'objet de l'appendice C et nous reprenons

ic:. les mêmes notations pour examiner le problême avec le for­

malisme de la NFT. La force donne naissance à j+1/2 phonons de

53

moment angulaire pair X< « 2j+l-2i i « X,...j+l/2. Comme

il n'y a qu'un seul phonon pour un X. donné l'équation TDA

est triviale

u x i " 2 e - v i

< A i l P + ( j j , X i ) | 0 > - 1 (111,1)

d'oa l'on déduit immédiatement d'après (11,9) la valeur de

la constante de couplage

A^ = A(jj;Xt) = V t (111,2)

Mettons trois particules dans cette couche et occupons nous

des états I » 3j-l ou 3j-2. Ces états sont interdits par le

principe de Pauli, il existe néanmoins un état de ce type

dans le cadre de la NFT â savoir

|8> -[Cjlprj* 1 |0 > (111,3) I L , 1 JIM

1 j x l 21? . il est facile de calculer la valeur

j I X L j

de ce ej 3 l'aide des formules de Bacah. Pour les deux valeurs

de I citées précédemment, nous avons la relation

A = 1 + C 2 0 (111,4)

Dans ce cas, les matrices K et K se réduisent à un nombre

et on peut vérifier que

n = E - 3e

K = K = C Vj n lt (111,5)

Les propagateurs du premier ordre sont tout aussi simples

à calculer.

Fu> = | G(D . c / T V i „-1 ( I I I , 6 )

d'où on déduit immédiatement les propagateurs exacts

F = £f = C ~ V 1 [n-C v j (111,7)

54

Tenant compte du fait que W «£+u. * 3 e + Vj

nous avons accès A W grâce â (II,18)

W « 3 e+n Vl n- C v j (111,8)

L'équation de Schrôdinger W = E dans ce cas simple prend la

forme

n [n- v xû 1 = o (Hi,9)

Une solution est n= O mais elle est d'origine mathématique

car en calculant (111,7) nous avons multiplié deux membres

par n. L'autre solution n = V,fi correspond effectivement à la

solution provenant de la NFT. Comme A est rigoureusement nul

pour les deux valeurs de I étudiées, il ressort que la solu­

tion NFT est n= 0 ou encore E = 3c . Cet état viole le prin­

cipe de Pauli et le fait que son énergie soit égale â l'éner­

gie des états intermédiaires est une des signatures d'un

état parasite. Mais ce n'est pas la seule. La matrice métrique

(11,36) prend la valeur suivante (avec n= 0)

N » F x G = C*1 (111,10)

et par conséquent^ l'équation CII ,,32) qui donne la norme

est :. .»" ,;, .-.,;.

1 s* §.f ! - J ' (111,11)

Puisque A= 0 nous nous jruuwona. ;iJj*ns l ' h y p o t h è s e évoquée dans l e paragraphe C du rnatil^:roi!tij0^in Gtat non n o r m a l i s a b l e . Ce n ' e s t pas «ous.- Qf.::siat>r<sxs 1« f au t eu r spec t roscop ique dé t r a n s f e r t d'ur.o j.art'»ru!'.<?" 3» ï>t-tiL •.• * du noyau A+Z ve r s

.-.i t r è s s i r o l e j i 'aprÊs. . 411,44) en . v ~• • "

» 1 - T~SO (111,12) "1

et par suite le î.ictfji goeitrcscopsq^o S. est rigoureuse­

ment nul, et ceci ind*-pendarr»nt de la valeur de la fonction

d'onde £. (voir 11,41) cui rappelons le n'est pas normalisable.

De même, considérons le moment statique d'ordre L sur

l'état |3> autrement dit cherchons < g| jQ. | |B>- Il n'y a que

l'état I = 3j-« •->„ :-." L'amplitude ». (:,*,•

faisant. •*•= 0 i }

t i.-v;. V

55

le terme Q » Q. , (jl-»jl) qui intervient et l'expression de «*1

l'élément de matrice réduit (II,58) où on pose P = -Si/2 et G = -/~2/C donne

<6||QIi!|6> = 2 Q £ = O (111,13)

Là encore, le moment statique est nul indépendamment de la

valeur de la fonction d'onde . On pourrait montrer que les

transitions entre l'état |B> et d'autres états physiques sont

également nulles mais cela nécessite la connaissance de la

fonction d'onde de l'état physique ce qui n'est possible ana-

lytiquement que dans un nombre de cas fort restreint. Nous

venons d'examiner les propriétés d'un état qui existe dans

le cadre de la NFT mais qui viole le principe de Pauli.Regar­

dons maintenant ce qu'il advient lorsque la base est redondan­

te mais qu* un état physique existe néanmoins. Un exemple

approprié pour un telle étude concerne l'état I = 3j-3 obtenu

a l'aide du petit modèle introduit au début de ce chapitre.

Le schéma m nous indique qu'il existe un seul état physique

dont les propriétés obtenues a l'aide du modèle en couches

font l'objet de l'appendice C. La base NFT comprend deux

états

iv - [ C K ] I M

| 0 > l62> = [ C K L 1 0 > ( I I I ' 1 4 )

elle est donc surcomplète. Il y a de même deux états intermé­

diaires noté I1> et I 2> . introduisons la matrice C défi­

nie par les éléments de matrice ^ A I j j X. '

C,A - 2 X A J a

-ij i.j = 1,2 (111,15) 1 J I

Ij I A. Le calcul des noyaux K et K est très simple

K i j = « " l c i j vj ; *± j = " " l c i j v i « " • " >

Dans ce cas particulier, K est la matrice transposée de X mais

ce n'est pas une règle générale. Notons D = n det(l-K); de

façon développée

D - n 2 -n WjC^+VjC^) + V ^ j det C (III, 17)

Il n' y a aucune difficulté particulière S déduire les propa­

gateurs au premier ordre

F

B " i -n _ 1 c ij vi ' * °i" j - «ij ^ v i " ' l " " . « >

L'équation fondamentale de la NFT donne accès aux propagateurs

exacts F

B . ( j '% [•> v i c i j " fii j v i v 2 d e t c ] < I I I ' 1 9 )

\,i mJ% [" vi 6ij • V a d e t c « c _ 1> t j ]

L'expression des éléments de matrice de l'Hamiltonien effectif

n'est pas reproduite ici car elle n'est d'aucune utilité par

la suite. Beaucoup plus important est le résultat de l'équa­

tion de Schrcdinger det |W - El| « 0 qui se met sous la forme

5 n - Bn + A « o 2

avec B - £ vi ûii à ij " sij * cij 1«I»»>

Idet C + Tr C + 1 " V1 V2 f*

A l'aide des formules de Racah il est facile de déduire la

matrice C. Explicitement, pour la valeur du spin étudié I=3j-3

C U - !£§ C12 * T5=3 [(3l-2) «"»] U 2 = C21 C 2 2 = -4^=3 («1,21)

De la, on tire immédiatement Tr C — 1 et det C — — 2 , ce

qui annule identiquement le terme A. Les d«ux solutions de

(111,20) sont alors triviales.

n = 0 ec n = B (111,22)

Etudions successivement les propriétés de ces deux états ; oc­

cupons nous d'abord de l'état 1=0. L'énergie de cet état est

donc E = 3e c'est-à-dire l'énergie des états intermédiaires;

57

nous avons vu précédemment que c'était là une des caractéristi­

ques de l'état spurieux. Voyons si les autres propriétés sont

aussi valables pour ce cas un peu plus sophistiqué. En portant

la valeur n « 0 dans (111,19) on trouve que les propagateurs

pour l'état spurieux sont très simples (écriture matricielle).

F = - I G = -/2C~* (111,23)

L'équation aux valeurs propres qui détermine les amplitudes

£, et ç, pour l'état en question a une forme matricielle très

attrayante

(I + C _ 1 K = 0 (111,24)

Cette équation n'est pas suffisante pour déterminer les ampli­

tudes; il faut lui adjoindre la condition de normalisation

(11,32) qui s'écrit dans le cas présent

1 = Ç + U + C " V (111,25)

Cette relation est incompatible avec (111,24) ce qui

signifie que l'état n'est pas noimalisable ou encore qu'il

est de norme nulle. En ce qui concerne le facteur spectroscopi-

que de transfert d'une particule, on ne peut peupler l'état

I » 3 j - 3 qu'en partant des états d'énergie u, et m, * 1 2 et il n'existe que deux facteurs non nuls a priori dont

les amplitudes t s'expriment très simplement

t<g,.j,u. > = « , . , + F. . /Z (111,26)

1 AJ ij B^#J

Four l'état caractérisé par n= 0, le propagateur F est donné

par (111,23) e t de (111 ,26) , i l en découle inpiëdlatement que t(S <j,u. ) est rigoureusement nul et qu'en conséquence les

i Aj facteurs spectroscopiques correspondants s'annulent quelle oue

soit la valeur prise pour la fonction d'onde Ç . Dans le cal­

cul du moment statique d'ordre L n'interviennent que les deux

quantités Cj = 0 L X 'i1 -O 1) e t Q 2

= QL\ 'J1"* J1'- L'élément

de matrice réduit< ||Q^||B£ > est simplement

58

+ \ n V » l t I I I , 2 7 )

Les propagateurs F et 6 pour l'état n » 0 sont fournis par

(111,23) si bien que pour l'état spurieux

<Bk||QL||8t> = tQt+Qfc) <I+C_1) k t (III.28)

A l'aide de cela, l'élément de matrice réduit< I||Q.||I >

s'obtient sans peine grâce a (11,51)

< I||QL||I> - C+(I+C _ 1) Qç + K* Qd+C" l)ç (111,29)

où Q est une matrice diagonale d'éléments Q.et Q,. Mais d'aprôs

l'équation de SchrBdinger (111,24) cette quantité est nulle

indépendamment de la valeur prise pour la norme. Nous venons

d'examiner les propriétés de l'état dit parasite, voyons ce

qu'il advient de l'autre état. Nous avons déjà souligné que

son énergie est :

E » 3c + B (111,30)

en parfait accord avec l'expression (C,6) du modèle en couches.

L'équation aux valeurs propres qui fournit les amplitudes ç,

etç , e s t également très simple

vx *nq^ ç2 + v2 rr^ ç t - o (IH,3D A cette équation, il faut adjoindre la condition de normalisa­

tion (11,32) qu'on écrit sous forme matricielle

Ç + (I + F G)Ç - 1 (111,32)

Il suffit de remplacer F et G par leurs valeurs (111,19) en

portant n= B pour avoir accès aux amplitudes. Le calcul est

assez long mais ne présente pas de difficultés majeures. Le

résultat final s'écrit simplement

«i • -ir /~sn « 2 - ~ r "^M ( I I I > 3 3 )

Notons que les composantes dépendent des éléments de matrice

de l'interaction et que si par hasard B est voisin de zéro, les

amplitudes peuvent dépasser notablement l'unité.

59

Passons â présent â l'étude des facteurs spectro-scopigues . Il en existe deux non nuls dans le cas prisent

2

2 S s H S j < V f ) l * ' l ' 2 (111,34)

Sj<V f) - £ Si fc fB tO.X t)

Les amplitudes spectroscopiques élémentaires découlent de (111,26) . On obtient sans peine

S i = ûii * = 1 ' 2 (111,35)

ce qui est le résultat du modelé en couches (voir C,7). Changeons d'observable et voyons ce qui se passe dans le cas d'une transition électromagnétique de l'état physique vers l'état parasite traité un peu plus haut ; les quantités se rapportant â l'état parasite sont affectées d'un indice supé­rieur (P), les autres se rapportent * l'état physique. Sous forme matricielle l'élément de matrice réduit (11,51) prend la forme

<i ( p )||Q L||i> - ç( p ) Od- G>Ç - n ç t P' d+c" 1) orç

(111,36)

(nous avons utilisé le fait que F ( p'. - I et G I P ) = -/~2C" Compte tenu de ce que (l+c" ) ç' ' « O et que pour l'état physique (I - ~ G)ç » O , il s'ensuit que <l' P'|!0 | 11> »0. Il est impossible d'exciter (ou de désexciter) l'état para­site à partir (ou vers) un état physique. Enfin, occupons nous du moment statique d'ordre L pour l'état physique

< I | | Q L | | I > = Ç + r Q + F Q G + 2 F Q F + G Q F l ç (111,37)

On calcul un peu long utilisant (III,X9) avec r, = B et <III,33) nous conduit au résultat

< I l ! û L l lI > = Û U Ql + â22 °2 (HI,38)

expression qui coincide avec la valeur exacte du modèle en couches (C,11).

Ce modèle soluble analytiquement a le mérite de nous

1

60

•..ontrer les traits saillants du traitement NFT considéré ici:

les états parasites sont aisément isolés de par leurs carac­

téristiques en énergies, norires et diverses probabilités de

transition; les états physiques possèdent toutes les proprié­

tés des états correspondants du modèle en couches.

Il semble bon de résumer les principales conclusions de

ce chapitre concernant les états obtenus dans le cadre de la

NFT.

Sous la condition que les calculs soient menés sans

approximation c'est-â-dire en incluant tous les états

de base possibles et tous les états intermédiaires

correspondants, la théorie du champ nucléaire fournit

deux types d'état

Etats Caractéristiques

physiques Toutes les caractéristiques du modèle en couches

parasites E • E_+e_ +e_ énergies situées exacte-p q ment aux énergies des

états intermédiaires

<B|B> » 0 norme nulle et par consé­quent état propre corres­pondant au vecteur nul

< S|TJ 4>>« 0 impossibilité d'exciter (ou de désexciter) un état parasite 3 partir d'un état quelconque (parasite ou physique) â l'aide d'un opérateur de transition physique

(<r'|T|l'> doit être un observable)

Nous verrons dans le prochain chapitre que ces conclu­

sions restent valables dans des exemples beaucoup plus géné­

raux que celui considéré dans ce chapitre. Dans le chapitre V,

nous examinerons ce qui se passe dans des cas où des approxima­

tions sont nécessaires pour mener 3 bien les calculs.

61

CHAPITRE IV

UN MS "REALISTE" EXACT : LE J «b5Q

Dans le précédent chapitre, nous avons examiné en

détail un cas analytique qui a permis de trouver les critères

sélectionnant les états parasites d'une part, d'autre part de

montrer que les états physiques de la NFT sont caractérisés par

des observables identiques A celles du modèle en couches. Ici,

nous étudions un cas encore suffisamment simple pour être trai­

té de façon exacte numériquement, mais déjà trop complexe pour

être résolu analytiquement par la NFT. Cela permettra de vali­

der les résultats obtenus précédemment, mais aussi de tester

la sensibilité de la méthode aux diverses approximations. Depuis

le travail de Ford ] Fo 55Ion considère généralement que le 88

noyau de Sr (Z '38, N • 50) constitue un "bon coeur" , le 91

Nb présentant alors trois protons en dehors du coeur. Quatre

ans plus tard, les premiers calculs de modèle en couches appa­

rurent qui prenaient en compte uniquement les deux couches 2 p 1/2 e t ' 5 Q/->; l e spectre obtenu était assez bon |_Ba 59 J

Depuis lors, les noyaux de cette région ont été étudiés de fa­

çon intensive tant expérimentalement que théoriquement f Ta 60,

Bro 76, Kn 70 J;on s'est aperçu que des interactions effec­

tives tiries directement des spectres expérimentaux étaient ca­

pables de reproduire de façon tout â fait satisfaisante une gam­

me assez étendue de noyaux de cette région. De plus, la couche

1 9 g/2 permet d'apprécier l'importance du mélange de configura­

tions dans le cas où la séniorité n'est pas tout â fait conser­

vée. Le récent travail de Gloeckner- Serduke GS IG1 74 J

montre qu'il est possible de rendre compte des niveaux bas en

énergie des isotones N = 50 3 l'aide des configurations protons

(2 P 1 / 2

) 2 t l 9 9/2 , n~ 2 e t ( 1 99/2 ) n seulement.

62

TABLEAU I

Paramètres du modelé en couches utilisés wvir le calcul

du. Nb dans le cadre de la NFT.

QUANTITES VALEURS(HeV)

< < P 1 / 2 )2 ; O + | V | < P 1 / 2 )

2 ; o*> - 0.542

<(P 1 / 2)2;o +lv|(g 9 / 2)

2; o*> 0.653

* Pl/2 99/2 î 4" l v |Pl/2 99/2' 4 _ > 0.714

< Pi / 2 99/2*5"lVIPl/2 99/2 , 5 _ > 0.195

< ( g 9 / 2 )2 ; o +|V|(g 9 / 2)

2» o +> - 1.707

<(g 9 / 2)2> 2 +|v|(g 9 / 2)

2j 2+> - 0.616

< ( g 9 / 2 )2 ; 4 +|v|(g 9 / 2)

2, 4+> 0.144

< ( g 9 / 2 )2 ; 6 +|v|(g 9 / 2)

2» 6+> 0.4S0

< ( g 9 / 2 )2 ; 8 +|v|(g 9 / 2)

2; 8+> 0.565

ePi/2 - 7.125

g9/2 - 6.247

63

Dans cet article, les auteurs ont ajusté 45 états de différents

noyaux en utilisant les onze paramétres a leur disposition

(soit deux énergies individuelles et neuf éléments de matrice

de l'interaction). Le but de ce chapitre n'est pas d'amélio-

rer la description du Nb mais simplement de comparer les

résultats de la NFT et ceux du modèle en couches. Aussi ,

nous contentons nous d'effectuer les calculs avec l'ensemble

des paramétres nommé "énergie totale" par GS. Ces paramètres

sont rappelés dans le tableau I. Les éléments de matrice en­

gendrent deux phonons 0 et un phonon 2 ,4 ,6 ,8 ,4~,5 . Les

constantes de couplage employées dans la HFT sont égales aux

éléments de matrice pour les bosons *. J M i alors que pour

les bosons de J • 0, elles valent respectivement (en MeV)

A (P l / 2 P !/2» °î > "-0.936 A «S 9 / 2 g 9/2,- O*) = 1.684

A <P 1 / 2 P l / 2 ; 0* ) - 0.380 A (g 9 , 2 g 9 / 2 ; 0*) --0.896

(IV,1)

Dans le tableau II, nous construisons la base exhausti­

ve de la HFT et nous la comparons a la base correspondante

du modèle en couches. Nous avons ainsi une vue globale de

la redondance de la base NFT dans cet exenDle très sim­

ple. Notons que parmi tous les états, certains relèvent

déjà de l'étude du chapitre précédent ( les 25-t et 23 ,t cor-3 ' + ' 3

respondent â (g g, 2) avec I = 3j-l et 3j-2, le 21 / 2 S <T 9y2>

avec I = 3j-3) . D'autres états peuvent se traiter encore de façon analytique simple (par exemple le I9 / 2*

1 9 / 2 ' î/2' 3/2 ' â l a

rigueur le 17/ 2 , 15,, , 5 , , ) . Tous les autres requièrent un

traitement numérique complet. Deux spins présentent néanmoins

un intérêt particulier : le 9 ,2 parce que la base NFT est

très surcomplête et parce que c'est le seul spin qui admette

plusieurs états physiques ; le l,.~ Pa*ce que la couche

2 Pj/2 joue un grand rôle, que le principe de Pauli interdit

d'y mettre trois particules et que paramètre de convergence

j + -j utilisé très souvent dans la NFT TBe 76 a] vaut dans

ce cas 1 (et que par conséquent un développement â un ordre

limité risque de ne pas converger).

TABLEAU I I

qi

Base comparative du modèle en couches e t de la t*T pour l e K> . n : noirbies d'états du modèle en couches.

N marbre d'états de la WT.

Etats n Base du modèle e n couches

N Base d e l a NET

25/2* 0 1 |9/2*#>8*>

23/2* 0 1 |9 /2*«8*>

21/2* 1 I (9/2*) 3 > 2 ' 9 / 2 + » 8 * > , | 9 / 2 * » 6 * >

19/2* 0 2 | 9 / 2 + » 8 * N , | 9 / 2 * « 6 * >

17/2* |<9/2*) 3 > 3 ! 9 / 2 * » 8 * > , | 9 / 2 * » 6 * > , |9/2*f>4*>

15/2* | (9/2*) 3 > 3 | 9 / 2 + » 8 + » , |9/2*»56*> , | 9 / 2 * » 4 * >

13/2* | (9 /2> 3 > 4 | 9 / 2 + 0 > 8 + > , ! 9 / 2 + « 6 + > , | 9 / 2 * 0 4 * > , | 9 / 2 * » 2 + >

11/2* | ( 9 / 2 ) 3 > 5 | 9 / 2 * « 8 * > . ! 9 / 2 + # > 6 + > , | 9 / 2 + » 4 * > , | 9 / 2 * » 2 * > . | l / 2 " » 5 " >

9/2* | ! l / 2 ) 2 9 / 2 * > . K 9 / 2 * ) 3 v l >

|(9/2*) 2i v « 3>

8 | 9 / 2 + 0 J 8 + > . ! 9 / 2 * C 6 * > , | 9 / 2 * » 4 * > , | 9 / 2 * » 2 * >

| 9 / 2 + © 0 * > . l 9 / 2 * » 0 * > , | l / 2 ~ » 4 " > , | l / 2 _ » 5 " >

| 9 / 2 * » 8 * > . ! 9 / 2 + t > 6 * > ,|9/2*#>4*> ,t9/2 + #>2*> , 7/2* | ( 9 / 2 * ) 3 > 5

| 9 / 2 + 0 J 8 + > . ! 9 / 2 * C 6 * > , | 9 / 2 * » 4 * > , | 9 / 2 * » 2 * >

| 9 / 2 + © 0 * > . l 9 / 2 * » 0 * > , | l / 2 ~ » 4 " > , | l / 2 _ » 5 " >

| 9 / 2 * » 8 * > . ! 9 / 2 + t > 6 * > ,|9/2*#>4*> ,t9/2 + #>2*> , | l /2"é»4" >

5/2* |(9/2*>3> 3 |9 /2 + ©6*>. |9 /2 + «P4' 1 ' > , |9 /2*«>2 + >

3/2* |<9/2) 3 > 2 | 9 / 2 * « 6 * > . | 9 / 2 + » 4 + >

1/2* 0 1 < 9 / 2 + » 4 * >

.../...

TRBUEfiU II (Suits)

Etats n Base du modèle en coudes

» ! Base de la NFT

19/2" 0 î |9/2 +®5~ > 17/2" î (9 /2) 2 1/2 > 3 |9/2+|»5"> , | 9 / 2 + » 4 " >, | l /2"®8 + > 15/2" | (9 /2 ) 2 1/2 > 3 |9/2*»5~> , | 9 / 2 + « 4 " > f | l / 2 " « 8 + > 13/2" | (9 /2 ) 2 1/2 > 3 |9/2 +»5"> , | 9 / 2 + » 4 " > r | l / 2 ~ « 6 + > 11/2" |(9/2> 2 1/2 > 3 \9/2*0S~> , |9/2*»4" > , | l / 2 ~ » 6 + > 9/2" | (9 /2) 2 1/2 > 3 19/2 +» 5"> . 19/2 +» 4" >, 11/2"» 4 + > 7/2" |<9/2) 2 1/2 > . 3 |9/2+4f5~> , |9/2*»4~ > , | l / 2 ' » 4 + > 5/2" |(9/2» 2 1/2 > 3 |9/2*»5~> , l9 /2 + «4~ > , | l / 2 ~ » 2 + > 3/2" | (9 /2 ) 2 1/2 > 3 l9/2*»5~> , !9 /2 + «4~ > , | l / 2 ~ » 2 + > 1/2" |(9/2> 2 1/2 > 4 ! 9/2*»5~> , 19/2*®4" >, | l / 2"«o | - , l /2Vo* >

66

Nous effectuons tout d'abord les calculs exactement

c'est-a-dire avec tous les états de base |6 i>=[C* 9 r 1 |0>

et avec tous les états intermédiaires [*C*»(C* C„ +hl loV? L 4 r s AJTJI

La procédure utilisée pour évaluer les éléments de matrice

effectifs W (E) a été abondamment commentée dans le cha­

pitre II et l'appendice B. Comme nous l'avons déjà sou­

ligné, nous devons chercher les valeurs propres de W

qui soient égales 3 la valeur du paramétre utilisé dans l'ex­

pression de W lui-même. Dans la pratique nous choisissons un

certain nombre de valeurs de E dans une gamine d'énergie où

nous nous attendons â trouver l'état physique. Pour chaque

énergie E la diagonalisation de w fournit un jeu de N valeurs

propres E . Nous traçons ensuite la courbe

«(E) - E Q - E (IV,2)

C'est une courbe multiforme au sens où S chaque valeur de E correspondent N valeurs de <5. Nous at te ignons une s o l u t i o n E lorsque l 'une des branches s 'annule .

«(E n ) - 0 (IV,3)

Une fois déterminées les énergies E . nous calculons les pro­

pagateurs F(E n), G < E

n ) e t cherchons la fonction d'onde â l'ai­

de de la condition de normalisation (II,38). Il est possible

ensuite d'avoir accès aux diverses observables décrites plus

haut. Nous avons représenté sur la figure (la) la courbe 6(E)

pour le spin 9,_ . Il y a huit branches (certaines semblent

manquer mais en fait elles sont hors de l'échelle) qui donnent

naissance â cinq racines : deux d'entre elles sont exactement

aux énergies des états intermédiaires à savoir 2 e,y2 + £g/2

= - 20.497 MeV et 3 e 9 / 2 = - 18.741 MeV, les trois autres

coincident avec les valeurs tirées du modèle en couches

Ej = - 20-654 MeV, E 2 = - 18.953 MeV , E, = - 17.870 MeV.

La figure (2a) montre la courbe analogue pour le spin l/2~ ;

dans ce cas, il existe quatre branches donnant deux racines

parasites 3 ^ 1 / 2 = - 21.375 MeV et 2 e + e = - 19.619 Mev

et une racine physique exactement égale à celle du modèle en

couches E = - 20.468 MeV. Tous les autres spins exhibent des

regTCE la Courbe S(E) (Voir XV,2) pour les éLats 9/2+ du tfc avec les paramètres GS.

La HFT est menée â tous les ordres de perturbation.

FIGURE lb

téne étude pour un traitement de la NTT au 1 ordre.

68

courbes l (E) du même genre qui conduisent aux conclusions énoncées précédemment â propos des énergies des états physiques et spurieux.

Dans tous les cas, les états parasites sont également caractérisés par une norme nulle c'est-à-dire un terme de normalisation^ O (formule il.38). L'expression (11,32) per­met également de tester les relations d'orthogonalité entre états; il s'avère que les états parasites sont orthogonaux entre eux et orthogonaux aux états physiques. De même, les facteurs spectroscopiques de transfert vers un état parasite et les décroissances électromagnétiques vers un état spurieux sont nuls S la précision de l'ordinateur près. Quant aux ob­servables des états physiques elles coincident toutes avec les valeurs obtenues dans le cadre du modèle en couches. Ces résultats confirment de façon éclatante dans un cas non trivial les conclusions du chapitre précédent.

Cea résultats sont importants du point de vue théorique et donnent confiance, si besoin est, dans toutes les formules transcrites au chapitre II. Les fonctions d'onde pour tous les états sont explicitées dans le tableau III et méritent quelques commentaires. Comme déjà mentionné plus haut, les fonctions d'onde ne sont pas des observables et nous ne de­vons y attacher qu'une importance relative. De plus, la base comporte plus de composantes que celle du modèle en couches et on peut se demander la raison de son utilitê.Ba fait, cette base est très bien adaptée au calcul des réactions de transfert a une parti­cule car de façon générale, un état physique qui a une grosse

r + + i T t \ composantel C 0 r (AT)| |0 > est très facilement peuplé

L H V Jiu par le transfert sur l'orbite q à partir de l'état r (XT)| O >; ainsi une simple inspection de la fonction d'on­de fournit de précieuses indications sur les réactions de transfert possibles. Une première constatation qui ressort de l'examen global des fonctions d'onde c'est que plus un état est voisin d'une solution snurieuse plus son facteur de norma­lisation est faible. C est particulièrement évident

TABI£MJ III Energies (en MeV) e t fonctions d'onde complètes obtenues par un traitement NET à tous les ordres pour

le noyau

Etat énergie JC %/2»°î V2*°2 *V2 # * + V 2 * 4 + % / 2 * 6 ' * 9 / 2 e 8 + P l / 2 » 4 " P l / 2 * 5 ~

3 / 2 + -18.059 2.207 - 0 .31 0 .60

5 / 2 + -18.458 0.124 1.98 0 .39 2 .00

7 / 2 + -19.080 0.125 2.27 - 0 .27 - 0 .10 1.66 0.00

9 / 2 + -20.650

-18.953

-17.870

0.019

0.042

1.829

-5 .23

-2.11

-0 .02

- 2 . 7 0

3.36

0.02

- 0 . 0 9

- 1 . 1 9

- 0 . 2 3

0 .03

0 .39

- 0 .18

0 .10

1.39

0 .63

0.15

2.08

-0 .25

- 3.91

- 0.23

+ 0.00

1.18

0.07

- 0 .00

U/2' 1' -18.192 0.508 - 0 . 8 0 - 0 .29 - 0 .48 1.00 0 .00

1 3 / 2 + -18.285 0.241 1.28 O . U 0.87 1.32

1 5 / 2 + -17.433 2.776 - 0 .07 0.47 - 0.36

1 7 / 2 + -17.474 2.525 i - 0 .11 0.26 0.56

2 1 / 2 + -17.127 2.976 1 |

! i !

! - 0 .23 0.53

~l TABLEAU I I I (Suits)

Etat Enercie JC pl/2*°l V2*°2 V 2 » 2 + "1/2 » 4 + P 1 / 2 » 6 +

V 2 ® 8 + g 9 / 2 » 4 " % / 2 W 5 "

1/2" -20.468 0.178 - 0.40 2.18 0.80 0.24

3/2" -19.219 0.157 1.53 1.96 - 0.44

5/2" -19.480 0.025 4.46 4.33 1.61

7/2" -18.358 2.098 - 0.11 0.67 - 0.12

9/2" -18.826 1.893 - 0.18 0.64 0.30

11/2" -17.949 2.700 - 0.27 0.54 - 0.07

13/2" -18.623 2.360 0.45 - 0 . 3 9 - 0.26

15/2" -17.730 2.868 - 0.30 0.51 - 0 . 0 5

17/2" -18.612 2.291 -

0.56 - 0.22 - 0.27

I

71

pour les niveaux (9/2)t, (9/2)j. 5/2". Dans ce cas, les compo­

santes des fonctions d'onde peuvent être notablement supérieu­

res a l'unité. Cet effet provient de l'influence très grande

des états intermédiaires sur les états de base. Un traitement

HFT au premier ordre est sensé donner un très mauvais résultat

dans ce cas 13 â cause du très petit dénominateur d'énergie;

il est absolument nécessaire d'effectuer un développement à

tous les ordres pour recouvrer le bon résultat (le cas est

analogue 3 une série géométrique dont la raison est voisine

de 1). Une autre conclusion qui ressort est que l'im­

portance des états intermédiaires est d'autant plus grande

qu'ils sont proches en énergie de la solution physique. Ce

détail est capital lorsqu'il s'agira de résoudre le système

(11,29) pour des cas réalistes comportant un grand nombre

d'états intermédiaires. Il apparaît une conclusion similaire

en ce qui concerne les états de base \& ^ » s plus l'énergie non perturbée e+ u de l'état de base est proche de la solu­tion physique) plus cet état a de l'importance. On peut s'en

convaincre, par exemple, en considérant la composante '

I g 9/2® °i > P o u r les trois niveaux 9/2 . Ces remarques ne

doivent pas être prises comme des règles absolues mais elles

indiquent des tendances car,bien entendu, l'expression de

l'élément de matrice ei d'un terme en énergie.

Considérons la courbe 5(E) relative au spin 9/2*; il

existe trois racines physiques de l'équation de SchrSdinger

S(Ei) = O, i = 1,2,3. Le simple examen de la courbe permet

de savoir si ces racines sont stables vis â vis des paramètres

et des différentes troncatures (nombre d'états intermédiaires,

d'états de base, ordre du développement de la NFT). Les solu­

tions Ej et E. proviennent de branches de 6(E) qui coupent

l'axe des abscisses avec une tangente presque horizontale et par consé­

quent un petit changement de données peut modifier sensible­

ment la position de ces racines Î par contre la solution E,

doit être beaucoup plus stable car « (E) coupe l'axe de fa­

çon beaucoup plus abrupte.

l'élément de matrice effectif W . „ dépend d'autre chose que

72

Les figures (lb) et (2b) sont les analogues de (la) et

(2a) S la différence que la théorie du champ nucléaire n'a

été menée qu'au premier ordre des perturbations; cela signi­

fie que nous avons employé les propagateurs F et G au

lieu de F et G dans toutes les expressions ou ils intervien­

nent . La courbe 6 (E) présente dans ce cas des singularités

pour les valeurs E = e +c_ +E_ alors oue Drécédemment les sin-p q r gularités étaient localisées aux valeurs de l'énergie annu­

lant det (i-K(E)). La figure (lb) nous montre six racines

dans la plage considérée et il n'est pas facile de déterminer les trois

solutions physiques. En fait, nous voyons que

la solution E, qui a dérivé de quelques 100 fcev vers la droi­

te ressent la troncature de la NFT de façon beaucoup moins

drastique que les deux autres. Il semble que les états para­

sites soient très mélangés avec les états physiques c ° <3ui

n'est pas surprenant car les solutions exactes E, et E, sont

très voisines des solutions spurieuses. Les mêmes remarques

s'appliquent pour le 1/2" de la figure (2b) oC deux racines

existent alors qu'un seul état physique est présent . Le

calcul des facteurs de normalisation JT ne rassure pas plus car dans aucun des cas il n'est nul, bien que les relations

d'orthogonalité entre toutes les solutions soient approxima­

tivement vérifiées. Voyons du côté des facteurs spectroscopi-

ques ce qui se passe ; pour la solution E, exacte nous avions 2 90

la valeur S - 0.93 (â partir du fondamental du Zr ), alors 2

qu'au premier ordre S = 0.88. Ce résultat est un peu surpre­nant si on considère que l'énergie est passée de - 20.654 MeV à - 21.674 MeV , soit 1 MeV de différence 1. En fait, cela confirme ce qui a déjà été dit, â savoir que l'énergie dans ce cas est très instable vis à vis des divers changements d'appro­ximations; le facteur spectroscopique l'est beaucoup moins. Si par contre, on s'intéresse au niveau l/2~ le traitement exact

2 fournit S =0.34 alors que les deux racines de (2b) donnent

2 — 3 2 —4 respectivement S, s 10 et S-~7.10 ; le premier ordre est tout â fait inadéquat, la raison en est que le paramètre de

convergence (j+1/2) "vaut l'unité (c'est la couche V\n qui joue un rôle prépondérant pour le l/2~). Il est alors très

difficile, voire impossible de déterminer quel est l'état parasile.

Tï

FIGURE 2a 9»„ Court-e é(E) (Voir IV,2) nour les états 1/2" du " * avec les raramStres GS La NTT est menée a tous les ordres de nerturbation.

FIGURE Vb

Même étude pour un traitement de la NFT au 1 ordre.

74

Ce chapitre confirme les conclusions tirées précédemment

S propos des propriétés des états parasites et des états phy­

siques (11 semble que cela soit général bien qu'une démonstra­

tion rigoureuse ne puisse en être donnée). Un traitement NFT

au premier ordre peut se révéler fort utile (il évite tout de

même la résolution du système 11,29) mais reste inadéquat

si les solutions physiques sont proches des états intermé­

diaires (petit dénominateur d'énergie) ou si une couche

j - 1/2 joue un rôle primordial (le paramétre de convergence (j+1/2)"1 valant l'unité) .

Dans ce chapitre, nous avons étudié la comparaison entre

un traitement NFT mené â tous les ordres et l'approximation qui

consiste â ne retenir aue les diagrammes du nremier ordre. Par

contre, nous avons pris en ccmDte tous les états de base et

tous les états intermédiaires. Dans des aoplications réalistes-

comme celles traitées dans le chapitre suivant - il s'avère

nécessaire d'effectuer une truncation sur ces deux Lynes

d'états. C'est une approximation autre de la théorie. Dans

ce cas, les états parasites n'ont aucune raison d'être aussi

bien isolés même dans le cas où tous les diagrammes ont été 91

sommés. L'étude faite sur le Nb a permis toutefois d'indi­quer sur quels critères devait se faire une telle troncation: sur un critère d'énergie S la fois pour les états de base et les états intermédiaires. Si les phonons pris en compte sont très corrélês l'approximation qui consiste a n'utiliser qu'un petit nombre d'états de base devrait être justifiée. Il est possible de rajouter par dessus l'approximation qui consiste â se limiter aux diagrammes du premier ordre. Nous étudions précisëmment ces problêmes dans le chapitre suivant.

75

CHAPITRE V

UN CAS REALISTE APPROCHE : LE 2 1 1 P b 82 129

L'intérêt de la NFT ne devient vraiment perceptible

que si les calculs dans le modèle en couchess•avèrent diffici­

les, voire impossibles. Il est évident que la théorie du champ

nucléaire exacte est aussi hors de portée mais il n'est pas

stupide de penser —j'un traitement approché puisse fournir une

base beaucoup mieux adaptée pour résoudre un tel problème. Les 20B

noyaux voisins du Pb constituent une bonne région d'étude.

On pense en effet qu'il est nécessaire de tenir

compte de sept couches de particules en neutrons, de six

couches en protons. De plus, les états & deux particules en dehors du coeur présentent une collectivité certaine, facteur

favorable a une base de type NFT. C'est pourquoi, nous nous

intéresserons ici au Pb dont l'étude expérimentale ne re­

monte guère qu'à 1976 grace â une réaction de transfert d'un

neutron sur le fondamental du Pb F El 76 j .

Expérimentalement, nous n'avons â notre disposition

que le spectre et les facteurs spectroscopiques S.(0 Pb —~I) .

L'étude théorique dans le cadre de la NFT a été abordée par

Civitarese et al f Ci 77 1. Les résultats sont assez encoura­

geants mais souffrent de deux points faibles : d'une part les

calculs n'ont été faits qu'avec les phonons vus expérimentale­

ment; d'autre part, seuls étaient pris en compte les diagram­

mes du premier ordre. Il est intéressant de voir comment évo­

luent les prédictions lorsqu ' on lève ces deux contraintes.

Une première question pour cette étude est le choix

de l'interaction.

Civitarese et al I ci 77 j utilisent une force d'appa-

riement multipolaire qui peut se justifier dans le cas de

76

particules identiques. Celle-ci s'écrit

* » (V.I)

Q, - - 2 < 2 X + 1 ) " 1 / 2 5 3 < r | | r X Y | j s> P + (rs,-Mi) * u r<s *

et ne peut.engendrer que des phonons de parité naturelle. Les

forces G, sont ajustées S' l'aide dés énergies expérimentales les plus basses. Cette interaction sera notée désormais MP;

elle est sensée décrire de façon correcte les états les plus

bas en énergie mais laisse planer un doute sur les niveaux

dits "non collectifs". Pour tester ce point nous uti­

liserons également l'interaction effective de Kuo et Herling

décrite dans la référence f Ku 71J . Ces auteurs introdui­

sent trois approximations différentes : l'approximation 1 in­

clut seulement la matrice de réaction nue, l'approximation 2

inclut en plus la polarisation du coeur c'est-a-dire des

excitations 3p-Jt dans les états intermédiaires tandis que

l'approximation 3 contient en plus las excitations 4p-2t.

Les approximations 2 et 3 donnent des résultats tout â fait

semblables tant pour les énergies que les fonctions d'onde

pour les états de J différant de O. Par contre, l'énergie

du fondamental du Pb est très bonne avec l'approximation

2 alors qu'elle est trop basse de 240 keV avec l'approxima­

tion 3. Cette différence peut provenir d'une surestimation

de la polarisation du coeur ou d'une sous-estimation de la

matrice de réaction nue ou des deux IBer 75 J .Quoiqu'il

en soit, il est frappant de noter que la fonction d'onde du

fondamental du Pb calculée avec l'approximation 2 et avec

l'interaction MP est pratiquement identique comme on le voit

dans le tableau IV. C'est pourquoi, nous limiterons notre

étude â l'approximation 2 de Kuo et Herling que nous symboli­

serons désormais par le sigle KH. Les états â une particule

utilisés sont ceux de Kuo et Herling ; ils sont rappelés dans

le tableau V . Avec toutes ces couches, il est possible de

construire 141 phonons (à comparer aux 85 phonons obtenus avec

MP où seuls sont présents les niveaux de parité naturelle)

r 77

TABLEAU IV

Fonctions d'onde du fondamental du Fb" " calculées avec les interactions KH et •*

( 2 g 9 / 2 ) 2 ( l l U / 2 » : d J 1 5 / 2 ? ( 3 d 5 / 2 ) 2 ( 4 s 1 / 2 ) 2 ( 2 g 7 / 2 ) 2 ( 3 d 3 / 2 ) 2

KH 0.82 0.42 - 0.31 0.13 0.06 0.17 0.08

MP 0.82 0.40 - 0.32 0.18 0.09 0.15 0.10

TABLEAU V

Etats individuels utilisés pour le calcul du spectre du Fb' .211

état 2 «9/2 1 i l l / 2 1 J 15/2 3 Hn 4 8 l / 2 2<>7/2 3 d 3 / 2

énergie (fteV)

- 3.94 - 3.15 - 2.53 - 2.36 - 1.91 - 1.4C - 1.42

78

tant collectifs que non collectifs. Le nombre d'états de base

\f,,> pour un spin donné du système a trois particules dépasse

généralement la centaine et un traitement complet n'est pas

envisageable. Que fait-on dans la pratique pour simplifier le

problême ? On tronque bien sûr. Nous avons malgré tout quel­

ques jalons pour limiter la base, car comme nous l'avons déjà

souligné a propos du Nb*, sont surtout importants les états de

base et les états intermédiaires proches en énergie de l'état

physique. Ainsi, nous nous fixons une fenêtre d'énergie centrée

sur le niveau que nous analysons et nous calculons les obser­

vables â l'aide des états de base contenus dans cette fenêtre.

Nous agrandissons peu à peu la fenêtre jusqu'à atteindre la

stabilité des observables. La figure[31 illustre ce procédé

dans le cas de l'état 0/2 avec MP. Les autres états ont dos

comportements tout â fait analogues : une dizaine d'états de

base est largement suffisante pour décrire correctement le

noyau. Nous adoptons une attitude similaire pour les états

intermédiaires; c'est un point crucial car le système linéaire

fondamental de la NFT (11,29) a pour dimension le nombre

d'états intermédiaires considérés. Même pour une fenêtre

étroite, ce nombre peut être grand car les états

le* |P (C C*).1 10 > sont dégénérés en énergie pour les

différentes valeurs de X compatibles avec les règles d'addi­tion vectorielle. Nous avons ainsi été amenés S. faire une trun­cation supplémentaire tout à fait empirique : si la base

contient les états

C "fcr +(Xj)j 0 > ,... C„"«>r + (A£>| O > alors on se

restreint aux états intermédiaires de la fenêtre

Cq* • (C* C g \ |0>avec q ± £ |q x q j et ^

Ç ixj \ l • x l n'y a pas de justification théorique

rigoureuse pour un telle troncation ; contentons nous de dire

qu'il existe une tendance â ce que les éléments de matrice

diagonaux <rs;A | V| rs;A > soient plus importants que les non

diagonaux, or ce sont ceux qui sont privilégiés avec ce type

de troncatien . Nous avons illustré la convergence en fonction

r 79

E f S

9/2* Pb 2 " force MP

énergie

facteur spectroscopique

nans 3

Etude de la convergence de 1* énergie e t du facteur spectroscopique S = |<9/2j(g g _ 0*>|pour 1" état fondaiœntal 9 /2 + du 2 1 1 P b en fonction du ncnbre n d* états de base pris en ccnpte. Les calculs sont effectués avec une interaction â deux corps de type pairing multipolaire, pour un ncnbre d' états intermédiaires N = 50 (troncation en énergie seulement).

80

du nombre d'états intermédiaires sur la figurej_4Jet nous

constatons qu'effectivement la troncation sur les q et les X

a pour effet de diminuer le nombre d'états nécessaires pour

atteindre la convergence. Dans les calculs reportés ici,

nous avons adopté ce type de troncation (en plus de la fenêtre

en énergie). Nous remarquons aussi que la stabilité nécessite

tout de même une cinquantaine d'états et donc si la convergen­

ce en fonction de la base est rapide, celle en fonction des

états intermédiaires est plutôt lente. Cela est dû au fait que

les bosons contiennent les corrélations, ce qui n'est pas le

cas des états intermédiaires - qui sont aussi une base possi­

ble du modèle en couches - qui peuvent avoir de l'importance

même s'ils sont relativement distants les uns des autres.

Dans le tableau VI , nous présentons les énergies, les

fonctions d'onde et le facteur spectroscopique depuis le fon­

damental du Pb pour tous les états physiques obtenus avec

l'interaction MP. Nous n'avons reporté que les composantes

supérieures à 0.01 en valeur absolue. L'énergie expérimentale

du 9/2 fondamental a - 12.935 MeV est prise comme référence.

Notons que l'énergie non perturbée £.,, + "0+ vaut -0.125MeV.

Lorsqu'on permet s.ax couplages d'agir â tous les ordres, l'énergie théorique retombe à - ." 06; l'amélioration est nette

et va dans le bon Sun:, En ce qui concerne les états excités,

n'apparaissent que les plus bas en énergie et ceux dont les

facteurs spectroscopiques S sont supérieurs à 0.01 ceci afin

de permettre une identification plus aisée des niveaux expé­

rimentaux. Le spectre obtenu avec la force MP est relativement

bon bien crue certains états soient absents en théorie ou ex­

périmente..! •• f.'ent (des états 9/2 . 7/2 et 5/2 manquent en

théorie alors que des 11/2 et 15/2~ ne sont pas vus expéri­

mentalement) . De façon grossière on peut dire que les niveaux + + + +

9/2 , 11/2 , 5/2 et 1/2 sont bien décrits alors que les

7/2+ et 3/2+ sont plutôt médiocres. L'état 15/2~ n'est pas

très bien reproduit mais cela est dû au fait que la détermina­

tion de l'orbite individuelle J15/2 souffre d'une certaine

ambiguïté f Ig 69 J. En général, les facteurs de normalisatic. .

«ff sont voisins de l'unité et il est remarquable que les

81

S

0842

0.841

0840

0839

0.838

fenêtre sur E fenêtre SUP E+ tronca­ture sur q et X

9/2* P b force MP

(n.16)

X X X X N

X - . 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

FIGURE 4

Etude de la convergence du facteur spectroscopique S =l<9/2jta 9 / 2ot H

pour le fondamental 9/2 + du £t> en fonction du ncnbre H d a états

intermédiaires pris en compte. Les calculs sont effectués avec une

interaction à deux corps de type pairing iniltipolaire et 16 états de base.

Pour les deux possibilités de troncation voir le texte.

Le Pb avec l ' interaction MP;les données expérimentales sont t i rées de^El 76

J * Expérience E( S j ) E( S j )

Théorie Fonctions d'onde

9/2* 0.(0.69) - 0.055(0.84) 0.98| 9/2*»0*> + 0.171 9/2*®2*> - 0.071 9/2*«4* >

U/2* 0.639(0.81) 0.699(0.91) 0.97|ll/2*»0*> +0.14] 9/2*flD2*> + 0.13| 9/2*»4* >+ 0.08| l l /2 + ©2* >

11/2* - 0.73 (0.06) -0.24| l l /2*»0 + > + 0.83| 9/2*«2*> + 0.37| 9/2**4* >

15/2" 1.303(0.47) 1.219(0.86) 0.85] 15/2"«0*> - 0.05115/2~»2*> + 0.35] 9/2*«3~ >

5/2* 1.412(0.76) 1.387(0.89) 0.911 5/2+®oj> - 0.28I 9/2*»2*>

+0.12| 9/2 +»2*> +0.241 9/2*«>2*>

+ 0.18] 9/2**4* >- O.OBl 9/2*06^ >

- 0.071 9/2* ©4* >

15/2~ . 1.655(0.13) -0.52] 15/2~»0*> - 0.36|l5/2~*2*>

+0.69] 9/2*»3~>

+ 0.08115/2"© 4* >- 0.07' 15/2 - ^2* >

9/2* 1.681(0.03) - -1/2* 1.722(0.31) 1.767(0.32) -0.51| l/2*0pO+> +0.491 9/2*(P4*>

-0.14] 9/2*0 4*> + 0.07I 5/2*»2*>

+ 0.26| l l /2*»6* >+ 0.221 9/2*#4* >

5/2* 1.899(0.18) 1.814(0.01) 0.7l|ll/2*©6*> - 0.33! 9/2*02*^ - 0.19| 9/2*C6* >+ 0.13| 5/2*«0* >

.../...

TABLEAU VI (Suite)

V Expérience Théorie J , E( S J ) Boy F-mctions d'oncle

1/2* 2.043(0.26) 1.891(0.27) - 0.71 9/2*<P4* •» 0.54 | 11/2* » 6* > - 0.51 | 1/2* » o | >

+ 0.13 9/2*» 4* >-O.06 | 9/2*© 4* =>

3/2* 2.280(0.32) 2.160(0.01) 0.77 5/2*» 2* >-0.36 1 9/2* • 4* > + 0.10 | 9 /2*» 4* >

- 0.06 3/2*«0* >+0.07 1 5/2*» 2* yK).47 j

5/2*» 4* > 9/2*® 2* >

- 0.08 1 1/2* 9 2* >+0.06|9/2*»4*> + 0.18 | 5/2*» 4^ >-O.OB\7/2têo\> 7/2 + 2.230(0.17) 2.268(0.01) 0.85

3/2*«0* >+0.07 1 5/2*» 2* yK).47 j

5/2*» 4* > 9/2*® 2* >

- 0.08 1 1/2* 9 2* >+0.06|9/2*»4*> + 0.18 | 5/2*» 4^ >-O.OB\7/2têo\>

- 0.09 9/2*» 4* >+0.07 1 9/2* • 2* > - 0.07 | 9/2* • 4* >

1/2* - 2.217(0.04) 0.80 5/2*» 2* >+0.36 ! 9/2* V 4* > + 0.28 | 1/2* » 0 * >-0.06|9/2*#42>

7/2* 2.380(0.69) 2.357(0.98) 0.99 7/2*t»0* >*0.09 1 9/2*» 2* > + 0.05 1 5/2*«M* > 1

3/2* 2.512(0.32) 2.433(0.49) - 0.71

0.14

3/2*«0* No.40 1

1/2*» 2\ >

5/2* • 2* > + 0.40 1 9/2* • 4* >-0.37|5/2"S»4*>

7/2* 2.561(0.09) -

3/2* 2.629(0.16) - -

84

fonctions d'onde s'expriment en aussi peu de composantes. Ce

sont les phonons collectifs qui interviennent le plus souvent

mais il convient de noter que des phonons non collectifs tels

le 2, , 2,, 4-, 4, peuvent jouer un rôle important. Ces phonons

ayant une structure assez différente avec les deux types de

force envisagés, on comprend que la même étude avec KH soit

elle aussi très instructive. Le tableau VII présente les

résultats analogues avec l'interaction KH; dans ce cas, les

fonctions d'onde demandent un peu plus de composantes et nous

n'avons fait figurer que celles dont la valeur absolue dépasse

0.05. L'énergie du fondamental est maintenant parfaite bien

que Sj et la fonction d'onde soient pratiquement identiques au

cas précédent ; cela est du â de meilleurs éléments de matrice

utilisés dans les propagateurs F et G. Oans l'ensemble, le

spectre est un peu meilleur avec KH : les niveaux U/2 , 5/2

et 15/2" ont peu bougé mais oar contre la description des 7/2

et 3/2+ est nettement améliorée alors que les 1/2 sont moins

bons. Ces différences proviennent toutes des propriétés des

bosons dits "non collectifs" et il semble que certains soient

mal décrits et avec MP e t avec KH. En particulier, le phonon 5 , - qui est absent pour MP - est le grand resnonsable du l 4.

mauvais comportement des 1/2 .

Nous venons de voir que les phonons non collectifs

ont une importance non négligeable dans la description de

certains niveaux observés expérimentalement. Cela répond 3

la première question que nous nous sommes posés en début

de chapitre. Abordons â présent la deuxième et pour tenter

d'y voir plus clair, nous avons repris les calculs MP en

n'effectuant la NFT qu'au premier ordre. Les résultats sont

représentés dans le tableau VIII. Le spectre obtenu, est encore

en bon accord avec l'expérience et apparaît à peine moins bon

que celui engendré par un traitement S tous les ordres; cer­

tains niveaux sont légèrement meilleurs (c'est le cas en

particulier du fondamental), d'autres sont moins bons. Le

désaccord le plus flagrant concerne les états 1/2 où les

fonctions d'onde et les facteurs spectroscopiques diffèrent

largement dans les deux cas. A vrai dire, ce phénomène était

TABI£,\U Vil 211 he Hi awe 1 * interaction Kll

, TI Expérience 0

Théorie

E(Sj) E ( S j ) Fonctions d'onde

9/2*; 0(0.69) 0(0.85) 0.98 | 9/2*«0*> +0.15| 9/2*«2*> - 0.07| 9/2*®4* >

11/2*: 0.639(0.81) 0.724 (0.85) 0.89 | l l /2*»oj> - 0.21J 9/2*«2*> + 0.12| 9 / 2 + « o j >- 0.08ill/2*»2*>

11/2* 0.789(0.04) 0.81 [ 9/2*»2j> + 0.45| 9/2**4*> + 0 . 2 0 | l l / 2 + « 0 + >+ 0.03! 9/2 +»6*>

15/2" 1.303(0.47) 1.375(0.99) 1.027|l5/2~«0*> - 0.10J 9/2*«3j> - 0.08| 9/2*»2~ >

5/2* 1.412(0.76) 1.396(0.89) 0.86 | S/2*»0*> - 0.30| 9/2*® 2+> - 0.26| 9/2*«2* >

+ 0.17 | 9/2*«4*> + 0.12| 9/2*«6*> - 0.08| 9/2*«4j >+ 0.08| 9/2*«>2* >

9/2* 1.661(0.03) - -1/2* 1.722(0.31) 1.796(0.81) 0.79 | l/2*»0*> + 0.27| 9/2*«S*> - 0.26| 9 /2 + «4j >+ 0.38| 9/2*®4*, >

- 0.15 | 5/2*©2*> + 0.14| 9/2**&4*> + 0.07| 9/2**4^ >- 0.06| 11/2**6* >

5/2* 1.899(0.18) - -

1/2* 1.929(0.04) 0.76 | 9/2*»5*> + 0.75| 9/2*<P4*> - 0.19] l / 2 + » 0 + >+ 0.13| 9/2+aM* >

+ 0.11 | l l / 2 + © 6 +>

TABLEAU VII (Suite)

1 J " Experience ThSorie

E ( S j ) E ( S j ) Ponctions d'onde

1/2* - 1.958(0.02) 0 .70 |11/2*96^> - 0 . 6 2 | 9 / 2 * 9 4 * > + 0 . 1 5 | 1/2 *(B0*> +0.10 | 9 /2*®5* >

1/2* 2.043(0.27) 2.330(0.14) 0 .92 | 5 / 2 * 9 2^> + 0 . 5 5 | 1/2*9 0* > + 0 .36 | 9/2*6» 4*>

3/2* 2.280(0.32) 2.236(0.34) 0.57 | 9/2*®4*>

- 0 . 1 8 | 5 / 2 * 9 4|>

+ 0 .49 | 3 / 2 * » o | > - 0 .24 | 5/2* 9 2*> +0.19' 9 / 2 * 9 6 * >

+ 0 . 1 0 | 9 / 2 + © 4 * > + 0 .10 | 9/2*4>6*> +O.06| 9/2*tP3* >

7/2* 2.280(0.17) 2.246(0.26) 0 .64 | 5 / 2 * 9 2 +>

40.11 1 9 /2*9 8*>

- 0 . 4 5 | 7 / 2 * 9 0 * > - 0 .38 | 9 /2* • 2*> - 0 . 2 5 | 9/2*«>2* >

- 0 .12 | 9/2*t»6* > - 0 .10 | 9 / 2 * » 4 * > -O.OBl 9/2*4662 >

7/2* 2.380(0.69) 2.340(0.60) 0.72 | 7/2*9oJ> •K). 10 ! 9 /2*9 2*>

+ 0 .45 | 5 / 2 * 9 2 * > - 0 .32 | 9 / 2 * ® 2*> -tO.201 5/2*«54* >

- O.K>! 9 /2*9 4* » - O.lOl 9 /2* » 8 * >

3/2* 2.512(0.32) 2.477(0.45) 0.68 1 3 /2*0 0*>

-0 .54 ! 5 /2*9 2|>

+ 0 .45 | 5 / 2 * 9 4 * > - 0.271 9/2* 8 4*,> +0.211 9/2*«?6* >

- 0.18" 9/2*4» 3*. > + 0.081 9/2* «P4*>

7/2* 2.561(0.09) 2.418(0.08) 0 .67 | 9 / 2 * 9 2*> + 0.41 ! 9 / 2 * 9 2 * > + 0.34! 5/2*4» 4*> - 0 . 2 9 | 9/2*4P6* "•

3/2* 2.629(0.16) --0 .29 | 7/2*90*> - O.OBI 9 / 2 * » 4* > - 0.06! 9 /2*® 6*>

TABLEAU VIII

Le Pb" ! 1 1 avec interaction MP et NTT au 1er ordre

J 1 ' Expérience TTiêorie

E(Sj) EtSj) fonction d'onde

9 / 2 + 0 (0.69) 0.015 (0.81) 1.02| 9 / 2 * » o J -, + 0 . 2 2 | 9 / 2 + » 2 | > - 0.C8I 9/2* ® 4 J >

11/2* ; 0.639 (0.81) 0.716 (0.96) 1 . 0 0 | l l / 2 + ® o | - - 0.091 9 / 2 + ® 2 ^ + 0.091 l l / 2 + ® 2 * >

15/2" | 1.303 (0.47) 1.260 (0.87) 0 .89 | 15 /2"»0* > + 0 .35 ' 9 / 2 + » 3 ~ >

S / 2 f ': 1.412 (0.76) 1.445 (0.93) 0.971 5 / 2 * « o | -

H O . 0 8 | 9 / 2 + « 2 * >

- 0 .15I 9 / 2 + « 2 { > + 0 . 1 5 | 9 / 2 + « 2 3 >

- 0 .05! 9/2 + ©6*> - 0 .05 | 9 /2*©4* >

+ O . U | 9 / 2 » 4 + >

9 / 2 + 1.68 (0.03) - -

l / 2 + ' 1.722 (0.31) 1.815 (0.10) 0 . 6 2 | 9 / 2 + » 4 * >

-0.081 9 / 2 * » 4 * >

• 0.491 l l / 2 + » 6 * * - 0 .30 | l/2+CJ0*> + 0 . 1 5 | 9/2ÎI43 >

15/2" ~ 1.73J (0.09) 0 . 7 2 | 9 / 2 * » 3 7 >

- 0 . 0 8 | l 5 / 2 " » 2 j >

- 0 .47) 15/2"®0*'. - 0 .47! 15/2"©2*.. + O.lOl 15/2*4)4* >

5 / 2 + 1.899 (0.18) -l / 2 + 2.043 (0.26) 1.916 (0.64) G.81| l / 2 * « 0 j -

i-HD.08| 9/2 +<P4J •>

!

- G.20I 9 / 2 + * 4 ^ + 0.57 | 9 / 2 * 0 4 * > - 0 .10' l l / 2 t f t*>

—/•—

TABLEAU VIII (Suite)

J * Experience Théorie E ( S j ) E ( S j ) fonction d'onde

3 /2* 2.280(0.32) 2.197 (0.01) 0.83

+0.06

[ 5 / 2 * » 2* >

! 9 / 2 * » 4* >

- 0.411 9 / 2 * « 4 * >

- 0 . 0 5 | 1/2*» 2* >

+ 0.06 19/2*» 4j> -0 .08 |3 /2*»0*>

1/2* - 2.235 (0.02) 0.81 I 5 / 2 * » 2* > + 0.43] 9/2*© 4* > + 0.20 | l /2*©0*> -0 .06 !9/2*»4*>

7/2* 2.280(0.17) - -7/2* 2.380(0.69) 2.356 (0.80) 0.89 ! 7/2*© 0* > - 0.511 5 / 2 + « 2 * > - 0.24 |9/2*®2*> -0 .19 |5/2*»4*>

3/2* 2.512(0.32) 2.4S2 (0.34) 0.61

-0 .17

1 3 /2*» O* »

1 l / 2 * » 2 * >

+ 0.56! 5 /2*» 4* > + 0.40 l9 /2*»43> -0 .38 l5/2*«2*--

7/2* 2.561(0.09) 2.411 (0.19) 0.90 1 5 / 2 * * 2 * - + 0.641 5/2*»4* > + 0.47 | 9 / 2 * « 2 j MO.46 | 7 / 2 * » 0 + >

+0.11 1 9 / 2 + » 2 * - - 0 . 1 1 | 9/2*»4* > - 0.10 | 9 / 2 * » 4 * >+0.10 |9/2*»2*>

3/2* 2.629(0.16)

89

{0 13')

L£22L (032) " ! 069J__

tQJZL. (032)

(026)

1018)

to??).

<003~

FIGURE 5 SPECTRE du 2 1 1Pb

.3/2*

. - ' 2 * ,3/2*

-in*

W.45) 1ÏÏ6W

10-60)

3/2*

1/2*

5/2*

1/2* 9/2*

10-26)

. 3 / 2 *

. 7 /2 * _7/2 +

~V2* ,7/2*

10.49)

7 3 3 3 3/2*

(30?)

(00*)

• f g ^ L

-V2* -1 /2*

-1/2*

TOST JûBIL

(0.27)

JCCZi. 10321 1013)

- 3 / 2

- 7 / 2

- 7 / 2 * - 1 / 2 * - 3 / 2 *

(03£>3/*» • =MF±

. 1 /2* «5 /2* -1 /2*

-1S/2'

toon

'gff> 'ggy

.1 /2* 3/2*

JO££L-1/2*

.1 /2*

-15/2"

W M *

( 0 ^ ) fl5/2-

(0gg» "* + ( Ù89) ...+ (099) « « "

<ggP' 15/2*

(Q.9J) c /-, «

«fly» 16/2-

toa;) 1V2*

(004) i0.85)

-11/2+ -11/2*- (QQg) -n/2* (Q95)

(09/) ti/2* . t l /2*

(Off*) 9/2* J O » ) " 9 / 2 * _JOf l<L

KH2 . 9 / 2 *

toan -9 /2+

MP'oi/5 /es ordres M P 1'rordre

90

attendu^puisque pour ces états la couche Sj^ ? est tr6s in­

fluente et nous avons vu précédemment que la convergence de la

NFT pour des orbites j = 1/2 était médiocre.

Néanmoins, on peut conclure que dans lo cas du Pu où les

couches prépondérantes sont de j élevé un calcul NFT mené au

premier ordre des perturbations est assez satisfaisant.

Cela évite en particulier la fastidieuse résolution du

système linéaire l'ondamental; par contre, l'élimination des

états parasites pose un problème plus délicat. Nous venons de

répondre â la deuxième question s si les résultats de Civi-

tarese et al l" Ci 77Jne cadraient pas toujours, c'est moins

â cause du problème de converaence que par l 'omiss ion des n i -2)1

veaux non collectifs, au moins dans le cas spécifique du Pb

Il semble également que dans ce cas, l'effet des états inter­

médiaires proches de l'énergie étudiée, soit de moindre impor­

tance que l'influence néfaste pour la convergence des cou­

ches de j = 1/2. La figure I 5 jorâBontc les spectres obtenus

dans les différents cas expliqués précédemment & titre de

comparasse ->.

Dans le passé, les premiers calculs entrepris dans le

le cadre de la NFT, [MO 67, Ha 74J , souffraient d'une certai­

ne ambiguité puisque seuls étaient pris en compte les diagrammes

d'ordres les plus bas. Dans ces conditions, il était difficile,

pour expliquer un mauvais comportement, d'incriminer tel ou tel

effet alors que l'importance des diagrammes négligés n'avait

jamais pu être testée dans des cas réalistes. La technique de

sommation de tous les diagrammes permis décrite et illustrée

en détail dans les chapitres précédents a le mérite de lever

cette ambiguité.

91

CHAPITRE VI

CONCLUSIONS

La théorie du champ nucléaire, en tant que descrip­

tion microscopique des états du noyau, se caractérise par

plusieurs traits particuliers dont certains se retrouvent dans

d'autres théories analogues. Elle fait appel â la notion

d'états correlés comme entités fondamentales; en fait, c'est la

philosophie même de cette approche du problème à N-corps.

Nous avons pu nous rendre compte dans le chapitre précédent

combien puissante est cette notion ,puisqu'un nombre très

restreint d'états de base est suffisant pour décrire avec une

bonne précision les états physiques. Dans la NFT, ces entités

sont assimilées a des bosons purs ,ce qui constitue une des orirji'

nalité d° cette approche. Les couplages entre les divers degrés

de liberté s'expriment facilement S l'aide de diagrammes,

chaque diagramme illustrant un phénomène particulier; en ce

sens, on a une visualisation symbolique des diverses inter­

actions physiques. C est tout â fait général. En ce qui

concerne l'application traitée dans cette première partie - à

savoir l'étude de trois particules en dehors d'un coeur,nous

avons restreint un peu plus la théorie puisque nous avons né­

gligé explicitement les excitations du coeur.Gette restriction nous a per­

mis par contre **faire la somme de tous les diagrammes permettant

ainsi l'élimination des états parasites et une coniparaison

très instructive avec un développement mené â un ordre plus

bas. Bien sûr, la NFT est capable de décrire des systèmes plus

complexes comprenant par exemple de nombreux phonons ou des

excitations du coeur ou les deux. Pourtant, dans de tels cas,

le traitement à des ordres de perturbation peu élevés n'est

déjà pas trivial et il semble qu'un traitement global â tous

les ordres soit hors de question actuellement du point de vue

numérique en admettant encore qu'on parvienne 3 résoudre le

92

problême théoriquement,ce lui n'est pas le cas pour le moment.

De plus, la dépendance en énergie des équations de la NfT -

inhérente â la théorie de Brillouin-Wigner - quoique non

gênante du point de vue conceptuel-constitué néanmoins un

frein à une étude exhaustive. D'une part/ elle coûte cher en

temps de calculs puisque c'est un problème hautement non li­

néaire, d'autre part, elle nécessite un traitement individuel

pour chaque niveau d'énergie. Une approche de type Rayleigh-

SchrBdinger se libère de cette contrainte ; par contre, elle

introduit des diagrammes supplémentaires et conduit à des

ambiguités déjà mentionnées. Dans le cas ou la collectavite

des phonons est importante, il semble que les diagrammes

au premier ordre soient suffisants pour donner une bonne

description au moins .si les couches ont un j élevé. Aussi,

les gens travaillant avec cette théorie évoluent-ils de plus

en plus vers une approche similitiée du problème : NFT aux

premiers ordres + perturbation du type RJ.

93

DEUXIEME PARTIE

LE MODELE EN COUCHES A DEUX ETAPES

Dans la partie précédente, nous avons vu qu'il était pos­

sible de traiter exactement dans le cadre de la théorie du

champ nucléaire un système de trois particules identiques en

tant que constitué de deux sous systèmes : une particule plus

deux particules corrélées. Nous avons insisté sur le fait que

la description exacte de systèmes plus compliqués -quoique

formellement possible dans cette théorie - nécessite des déve­

loppements théoriques et numériques extrêmement lourds. Mous

avons donc cherché une approche analogue qui respecte la philo­

sophie même de la NFT mais qui soit plus souple du point de vue

formalisme. L'originalité de la NET est que les excitations a

deux particules sont considérées comme des bosons purs. En tait, il est bien connu que les paires de fermions ne sont pas équiva­

lentes S des bosons du point de vue cinématique. Or, nous avons

affaire a un système - le noyau - composé exclusivement de fer­

mions. Par conséquent, il n'apparaît nulle part des excitations

qui correspondent à des degrés de liberté de bosons purs. Les

"bosons" de la NFT ne sont en réalité qu'un artifice permettant

une approche différente du problème à N corps. Le terme d'in­

teraction H , et les constantes de couplage A sont là pour

nous rappeler que la structure de ces bosons est étroitement

reliée aux états de fermions. Dans l'approche que nous propo­

sons, nous travaillons constamment dans un espace de fermions.

Les quantités corrélées utilisées correspondent â des phonons

qui sont des excitations collectives d'un certain nombre d'

états élémentaires de fermions. Ces phonons comportant déjà les

corrélations d'une partie des particules mises en jeu, on

9-1

conçoit sans peine qu'une base formée par des empilements de

tels phonons soit dynamiquement bien adaptée pour l'étude de

notre système. Soyons un peu plus précis du point de vue phy­

sique et mathématique. Considérons un système de g particules

identiques (q>2) en interaction gouvernée par un Hamiltonien

du genre H = H 0 + V où

H° = £ h (i) est le champ moyen â un corps

V = -| ^p v(i,j) est l'interaction résiduelle â deux

i,j=l

i/ j

corps. Pour pouvoir effectuer les calculs numériques, il est

nécessaire de se restreindre â un nombre fini de couches acti­

ves, ce qui donne une dimension finie à tous les espaces

considérés ci-dessous . Si | u (i) > est un état propre â

une particule de h[i), les états naturels du modèle en couches

sont .

IV v-V 1' 2"" 1 ) > " ^ ^ a » ® ! " (2)>«...®!u (q)>] aa<«2<-< aq j.

Le symbole <8 signifie produit tensoriel et vt> est un opéra­

teur qui projette un vecteur de l'espace produit sur l'espace

des états physiques satisfaisant au principe de Pauli. Ici

est simplement l'antisymmétriseur total sur toutes les particu­

les. Les états | x> utilisés dans le modèle en couches sont

états propres de H Q mais V introduit des couplages entre ces

états. Pour tenir compte de façon plus efficace des corréla­

tions entre particules nous pouvons par exemple considérer une

partition du système en deux sous systèmes

q = q, + q,

et réécrire l 'Hamiltonien H = H x + H 2 + V 1 2

où H x = S i . i q_i

22 h U ) + 2 TT v ( i - i > « T?j=l

£ h ( i ) + i £ v( i-H 2 = £ h ( i ) + i £ v( i-i -q +1 i/j=n,+l

1 i^j l i -q +1 i/j=n,+l

1 i^j l

j)

95

12

q, q v(i,j)

5-ql+J

Soient maintenant |0 (1,2,..^) > les nl vecteurs pro­

pres physiques de H, et |U (q,+l,q,+2,...q)> les n, vec­

teurs propres physiques de H,. Il est loisible d'utiliser

comme base pour notre problème les N = n.n, vecteurs

|*a o (1,2, ...q)> = i M " a (l,2,...,qi)> ® j U f t < q i + l,...q)>J

La base |* > e s t bien mieux adaptée pour notre problème que la base ix > puisqu'une par t ie des correlat ions a été in­cluse de façon dynamique dans la défini t ion des phonons | U-. Les éléments de matrice du terme de couplage V,„ entre les é ta t s de base sont beaucoup plus faibles que les éléments correspondants de V pour le modèle en couches. C'est ce que l 'on appelle l'hypotheBe du couplage faible ou WC-ll Mo '1,72 Ko 73 Néanmoins i l apparaît une légère ombre à ce tableau i d y l l i ­que : la base |$ » est en général "surcomp.lête" en ce

a l a2 sens que les N vecteurs |$ > engendrent un espace physi­que de dimension n inférieures N. Nous aurons l 'occasion de revenir longuement sur ce point . Cela s igni f ie que cer ta ins vecteurs sont le vecteur nul ou sont des combinaisons l iné ­a i res d 'autres vecteurs. En langage de la théorie des grou­pes, disons qu'à |Ua ( l , 2 , . . . q 1 ) > correspond le tableau d'Young à q t cases verticales, qu'àjo^ (q,+l,...,q) >correspond le tableau d'Young â q, cases verticales. Le produit tensoriel de ces deux vecteurs se traduit en ternes de produit extérieur

®

? <• à

1

96

Les vecteurs de l'espace physique correspondent à l'état complè­

tement antisymmétrisë constitue de q cases verticales. Mais

parmi les n.n, vecteurs de l'espace tensoriel il existe égale­

ment des "combinaisons de symétrie mixte" : c'est la raison

profonde de la redondance de la base. On sait depuis trc>s long­

temps I Ch 54,6t,De Sh 61|que la base U > est bien mieux adap-L J il «2

tée â l'étude spectroscopique des noyaux que la base |\> du

modèle en couches mais paradoxalement elle a été fort peu uti­

lisée d'une part â cause de sa redondance, d'autre part parce

que l'on croyait les calculs difficiles avec ce type de base.

Le but de cette deuxième partie est de "réhabiliter" la métho­

de du couplage faible.

Dans tout calcul physique, on essaie de trouver un compro­

mis optimal entre la précision du résultat et l'effort fourni

pour l'obtenir. Ce fait lié â une capacité limitée des ordina­

teurs impose une troncation de la base. Pour ce faire, encore

faut-il que la base de diagonalisation soit bonne. Précisons

un peu ce que nous entendons par bonne. Le choix de la base

et la façon de la tronquer sont fonction dos propriétés que

l'on cherche a expliquer. Pour les spectroscopistes, le but

ultime est de proposer une bonne description des états les plus

bas en énergie d'un noyau donné. Supposons que notre espace de

Hilbert total S soit de dimension n et que nous soyons inté­

ressés seulement par les p' vecteurs d'états d'énergies les

plus basses (p'<<n) que nous notons |i ,> ,|<|i _> ,...|iji D>>>

Il est clair que l'espace G_. engendré par ces vecteurs est

le meilleur espace de diagonalisation possible : l'Hamiltonien

ne crée aucun couplage avec l'espace complémentaire, les va­

leurs et vecteurs propres sont les solutions "exactes". On peut

présenter cela d'une autre manière:en termes de projecteurs.

Si P (Sli) est le projecteur de l'espace g sur le sous-

espace £ . alors

< * l p'"V>« ' I *•!* = 1 Vata=l«"-P') ! le vecteur propre exact de

H se projette exactement dans le sous espace choisi pour la

diagonalisation. En disant encore les choses sous une autre

forme; soit j^ > les vecteurs propres de

97

îï(ff,) = P(âfi) H P(Çi) - restriction de H 3 notre sous espace -

d'énergie 3^ ; alors u^ = u a, \$a> = |*Q> Va <ci=l,...p')

ou encore ' iF'Itl » = 1 Va(a=l,2,...p'). Il est évident que

la base décrite ci-dessus n'est d'aucune utilité pratique

puisque sa construction nécessite d'abord la diagonalisation

de H dans tout espace G.C'est une base"a posteriori". En

nous fondant sur cela, nous dirons que nous avons affaire à

une bonne base de diagonalisation si nous avons DU définit" "a

priori" (c'est à dire avant la diagonalisation donnant des

vecteurs propres) un choix de p vecteurs la pp') notés

I* , >» \<$2

> »•••;* -> tels que l'espace Ç qu'ils engendrent

contient dans une large mesure le sous espace Ç ,•

Cela veut dire que les p 1 vecteurs propres exacts ] > font

presque entièrement contenus dans ce sous espacer si P(op)

est le projecteur sur fc alors <* I P(f_)l'|.„> a 1 .i p a p ci Va(a«i,2,,. .p' ) . corrélativement le recouvrement du vecteur

A/ d'onde exact | <i > et du vecteur propre ii > de la restric­

tion de H a C_ est voisin de 1

'''cJ a * * X ' V a(a»l,2,...p'). Le choix est d'autant

meilleur que ces conditions sont remplies et que p est voi­

sin de p' .

Pour un système composé de o particules non Identiques

toutes ces conclusions restent valables â condition d'appeler

t7b l'antisymmétriseur sur les deux espèces de particules sépa­

rément Un choix naturel de partition

q = q x + q 2

consiste â prendre les q, particules de la première espèce

et les q, particules de la deuxième espèce comme sous-systèmes

corrélês. Dans ce cas la base le > est complète et l'opê-

* l " 2

rateur v*3 se réduit à l'opérateur unité. Cependant, rien ne

nous empêche de considérer deux autres sous-systèmes r. et r-

mixtes composé respectivement de s et t particules 1 et s,

et t. particules 2.

98

q = r, • r 2

avec r.= s. + s 2 et q = s, + tj

r2= t, + t2 q 2 - S 2 + t 2

La base corréléeassociée est dans ce cas surcomplète.

Dans les prochains chapitres» nous allons étudier le for­

malisme général de notre méthode puis dans quelle mesure la

base du couplage faible |<t> > constitue une bonne base.

Plusieurs applications â des noyaux de la région des plombs

seront abordées.

99

CHAPITRE I

EXPOSE GENEPAL DE NOTRE METHODE

1 - a Le principe général

La majorité des problèmes que nous rencontrons en physique

fait largement appel â la notion mathématique d'espace vectoriel

et de base.

Dans ce sens, le mot base est pris dans son acception base

complète c'est à dire un ensemble de vecteurs linéairement

indépendants qui engendrent tout l'espace, le nombre de ces

vecteurs constituant la dimension n de l'espace total. A cause

de notre confrontation constante avec cette notion de baso, nous

avons acquis certains automatismes de pensée et de calcul. Il

n'est sans doute pas inutile de réorganiser notre état d'esprit

de façon 3 pouvoir raisonner en termes de "bases surcomplotes".

Dans ce chapitre, nous nous maintiendrons volontairement dans

un axe mathématique de manière à conserver toute la généralité;

les applications physiques intéressantes se feront jour d'elles

mêmes par la suite.

A cause de cette généralité même, certaines assertions sem­

blent parachutées ou anticipées; nous en sommes conscients.

Nous prions le lecteur d'admettre nos conclusions en première

lecture, de se faire une idée plus claire du formalisme â la

lumière des prochains chapitres, puis de revenir en seconde lec­

ture sur cette section pour être parfaitement convaincu. C'est

du moins notre espoir.

Considérons N vecteurs l< •> engendrant un espace de Hilbert de dimension n et noté Sn. Si S est suoérieur â n, nécessaire­

ment les vecteurs |e , > sont linéairement dépendants s nous

disons que nous avons affaire à une base surcomplëte (ou redon­

dante) . Deux remarques particulièrement importantes s'imposent

100

d'cmbK'C clans ce cas.

Remarque I : Un vecteur quelconque u>se développe d'une infi­

ni t<; de façons dans la base I : ,>• Comme les | : > engendrent

tout l'espace il est toujours possible de trouver une façon

: r i re jus = ^ f-i h i : d'écr i re sus - y, !t '•< • • D e P lus , comme l e s vecteurs 1=]

de base sont linéairement dépendants on peut toujours trouver

un jeu de composantes a. non toutes nulles telles que

Sx V'-i* =°-Par conséquent, on peut encore écrire,* désignant une constan­

te arbitraire,

N N N N lu = £ .'.jhr + a E a,| :,, = £(.-.«••. a.)':,-= £ •-'';1.

i=i x * i=i l x i-1 l J x 1=1 * l

Kemirgue II : Il est toujours possible de sélectionner parmi

l'ensemble des H vecteurs '• ,•> , un ensemble complot de n vec­teurs I m - mutuellement orthogonaux.Une démonstration possible de cette

assertion fournit également un algorithme pour la construction

des vecteurs ]m -> : c'est la célèbre méthode d'orthogonalisa-

tion de Schmidt. En pratique, pour des raisons techniques, cette

méthode n'est guère employée dans le cas des bases redondantes.

11 existe d'autres algorithmes possibles pour résoudre ce pro­

blème. Lowdin | Low 67 1 dans un article remarquablement

pédagogique en décrit deux : l'orthogonalisation canonique et

l'orthogonalisation symétrique. Récemment Sau et alf S au 78 J

cnt proposé une nouvelle approche qui est très efficace dans le

cas où N est très grand. Toutes ces méthodes ont besoin 3 un

moment ou à un autre des données géométriques de la base que

constitue la matrice de recouvrement A. . =<«> . |t .>.

Dans l'appendice E, nous formulons la procédure utilisée dans

nos applications pratiques.

Pour l'instant, il suffit de considérer une base complète

de vecteurs orthonormês

101

ITL > = X , ' L |*i> P = 1.2...,n 1 iBl

tl.l)

rap I V • *pq

Une fois détermine le jeu des |m > , nous pouvons appliquer

avec sûreté les résultats standard de la mécanique quantique.

La base initiale s'exprime de façon unique en termes des |m„> n P

!*.> = 2 ^ < m J V lBo> 1-1.2»...N (1,2) 1 p=l p p

De même, les énergies propres se calculent à partir des

éléments de matrice de l'opérateur Hamiltonien H N

<mp I H lmq > = **i Cpi f>qj '*l'"! *'l ' P,q-1.2...n (1,3)

On peut bien entendu calculer directement 'î.iHU.^ à l'ai­

de de l'expression de H et des j$,> en termes des opérateurs

élémentaires C_ et C_. Néanmoins, nous proposons une autre P P

façon de faire. Supposons connu un développement du vecteur

H |<j>.> dans l a base o r i g i n a l e

H U ^ = X , A j k | « k > j = 1 , 2 , . . . N (1,4)

N

<«i |H |*3> = g A j k i , j = 1 , 2 , . . . N ( 1 , 5 )

A première vue, cette façon d'opérer peut sembler bien étran­

ge et a priori, plus compliquée. Pourtant, d'après la remarque

I, on peut profiter de la liberté relative laissée au choix

des coefficients A., de (1,4) peur rendre le calcul très rapi­

de et très aisé. Nous préciserons ce point important sur les

cas concrets que nous étudierons par la suite.

L'utilisation d'une base complète orthonormée réalise un

double but :

- elle permet de nous "raccrocher" à nos concepts usuels

et facilite l'emploi des algorithmes standard et bien rodés

des programmes numériques concernant l'algèbre linéaire.

102

- elle permet l'élimination des états parasites. L'espa­

ce physique Q possède la dimension n : les diverses obser­

vables sont décrites par des matrices carrées n x n et possè­

dent n valeurs propres et vecteurs propres. Nous aurions pu

utiliser également seulement la base !o » mais dans ce cas les

matrices rencontrées sont de dimension N x K et font donc appa

raître N-n valeurs et vecteurs propres supplémentaires non

physiques - dits parasites- qu'il convient d'éliminer correc­

tement.

I-b Utilisation d'une base tronquée

Les méthodes classiques - telles le modèle en couches -

utilisent dés le départ une base complète. L'utilisation de la

base surcomplète |*.> dans l'espace complet S ne neut se

concevoir que si elle facilite ou accélère les calculs. En

fait, comme nous avons essayé de le montrer dans l'introduc­

tion, le choix d'une bonne base l*t.,> ne trouve sa réelle

justification physique que si elle est bien adaptée pour une

troncation.

Parmi les N vecteurs |$.> , nous nous restreignons donc

à un sous-ensemble de N' vecteurs qui engendrent un sous-espace

<f_, de dimension n'. Le choix de ce sous-ensemble dépend du

cas concret envisagé et sera discuté plus en détail dans le

chapitre des applications. Dans ce cas, les formules (1,1) et

(1,2) et (1,3) deviennent respectivement

jmp> = V * C p i |*i> P = 1,2,...n'

'V = £ <RP '• i* 'V * = 1'2'"-"' <I,6)

-% !"l V = 2 3 ?pi ?qj <*il Hl*j > P»q=1.2,...n' i,j=l

Nous affectons du symbole ~ les quantités qui dépendent du

sous-ensemble choisi. Pour le calcul des éléments de matrice,

nous pourrions changer H de (1,4) en H avec un indice de sommation

limité à N' et une nouvelle matrice À., . En fait, à cause de

son extreme maniabilité, nous préférerons garder la même

matrice A.. , donc garder la sommation sur N quantités. La for-

103

:mila fondamentale finale est donc :

•V'V" £ ?

Pt ^ E AJH *lk TTj = i TZl

p,q=l,2,...n'

Cette formule constitue l'essence même du modèle du couplage

faible (WCM) tel qu'on le trouve exprimé par exemple par Ko

et alf Ko 73 1. 11 existe néanmoins une différence de

taille entre les deux approches : elle réside dans le calcul

des éléments de matrice -:ÎTT ! H ' m > . Nous avons utilisé la P q

formule (1,7) que nous pouvons réécrire de façon matricielle dans la base orthonormée

»• T T

H = ( ÛA ; C'est un simple produit de matrice - opération très rapide

sur un ordinateur.

Los techniques traditionnelles du W CM procèdent d'une-

autre façon. Elles décomposent simultanément H et !?,> en

termes des opérateurs élémentaires C et C puis appliquent le

théorème de Wick pour la valeur moyenne sur le vide. Formelle­

ment, H se met encore sous la forme d'un produit de matrices

mais le nombre d'opérations nécessaires pour obtenir ses élé­

ments de matrice devient assez grand. L'avantage de notre mé­

thode repose donc uniquement sur l'existence du développement

(1,4) qui permet de se libérer de l'usage de la base du mo­

dèle en couches comme étape intermédiaire. Cet avantage se

traduit par un gain de temps appréciable dans les calculs nu­

mériques.

1 - c Utilisation des Hamiltoniens approchés

L'Hamiltonien oriainal agit dans l'esDace complet S et n

c'est la raison pour laquelle la sommation de la formule (1,4) s'effectue sur tous les états intermédiaires !*,> • En cas de

troncation de la base, la restriction de H au sous espace

considéré comporte néanmoins une sommation sur N état intermé­

diaires pour le calcul exact de < <t. |H I i* . > . C'est transparent sur la formule (1,7). Dans tous les cas pratiques, N est

104

largement supérieur â N' et en conséquence la calcul de

(1,5) peut être assez long. Si cela devient nécessaire, on pour­

ra être amené â limiter la sommation dans (1,5) a un nombre

<ie termes N* ' inférieur â N mais supérieur ou égal â N'. Lors­

que les N' vecteurs de base sont linéairement indépendants

(n1 • N") cette nouvelle restriction définit un opérateur ap­

proché H.(N") de l'Hamlltonien H

i i H i < N , , ) U j > = V A

j k <!,!H,l»"!]j.>= > A ^ A i k (I,B)

i,j = 1,2,...N' = n"

Lorsque les vecteurs sont linéairement dépendants (n'<N")

la donnée des éléments de matrice (1,8) ne définit pas un

opérateur. Le résultat de l'action de H.tN*') sur un vecteur

|u> quelconque de l'espace G , n'est oas un vecteur détermi­

né mais dépend de la définition explicite de | u > en fonction

des | *', > (en vertu de la remarque I il existe une infinité

de développements possibles). Par conséquent, les approxima­

tions a l'Hamlltonien H présentées ici n'ont de sens que si

les vecteurs de base sont indépendants. Nous nous plaçons

dans ce cas de figure pour la suite.

Un point ambigu apparaît néanmoins du fait de l'hermiticité

de H. Dans ce cas, nous avons les relations formelles

N N N

S Ajk ^ i k = £ A i k û j k = l X [Ajk Aik + Aik A*k] k=l k = l k = l J

( 1 , 9 )

On voit alors que H,(N'') est une forme possible d'opérateur

approché mais il est tout aussi loisible d'en définir deux

autres, â savoir :

N " * * < î 1 | H 2 ( N " ) |$j> = J2 A i | ç A j ] { (1,10)

k=l

105

N' '

<*L |H3(N'MU j>-£ S [Ajk A i k + A^ i*] ( I' U )

Aucune des trois approximations ne peut se prétendre meilleure

que les autres puisqu'à la limite N''-> N elles sont toutes

équivalentes.

Hj(N) = H2(N) = Hj{N) (1,12)

Far contre, de façon générale HjdJ") et H 2(N") perdent

l'hermiticité originale de H alors que H, (M") la conserve :

C'est pourquoi - dans la pratique - si une approximation â

l'Hamiltonien H s'avère indispensable c'est H, qui semble

s'imposer naturellement.

Le lecteur aura peut-être du mal â mémoriser en cours

de lecture la zoologie des divers ensembles de vecteurs

utilisés. A son intention, voici résumée ci-après cette

zoologie.

106

Juantité Définition et explications

N

nombre de tous les vecteurs de base |<t>.> constitués

comme produits tensoriels de sous-systèmes corrélés

donnés. Ces vecteurs engendrent l'espace complet du

modèle en couches S et sont en général linëairemert

dépendants.

! n i

Dimension de l'espace complet ç du modèle en cou­

ches. C'est l'espace engendré par les N vecteurs de

base | * i > (n .< N) . La base complète orthonormëe de

cet espace est notée | m > P

i N'

nombre de vecteurs |* .> choisis pour définir l'es­

pace de diagonalisation tronqué. Ces vecteurs peuvent

ou non être linéairement dépendants N' £ N

n'

Dimension de l'espace S , engendre par les N' vec­

teurs |<j>i >définis précédemment (n' i N ' ) . Cet

espace < ? . est un sous-espace de l'espace complet

S et une base orthonormëe de cet espace est notée

IniL > (n* .$ n)

N"

Nombre de vecteurs \$.> utilisés pour définir le

Hamiltonien approché H^N") devant êtrt- diagonalisé

dans G _, n

H1(N")|<|>j>=yj A j k |*k> (M'^N"<N)

j=l,..,H' ™ »' = N >

107

I - d Méthode H C M

A ce stade, il semble bon de décrire une autre approche du

couplage faible Introduite par Schuck et al [se 76a,b,Ri 74,77 J

et connue sous le non de node coupling mode (MCM).

Multiplions (1,4) par le bra <u,J , vecteur propre de H

d'énergie ui ,

r2 ^ « • J * * ( I , 1 3 )

j=l,...N

C'est une équation aux valeurs propres classique qui donne les

énergies du système o> ainsi que les fonctions d'onde en base

| $. > â savoir < ty | cj> 4 > • Cette forme est particulièrement

agréable puisque la matrice A est très simple, néanmoins il

convient d'en souligner les désagréments les plus importants.

- La matrice A n'est pas hermitique. C'est le prix qu'on paie

pour sa simplicité. Les programmes numériques conduisent tou­

jours â des calculs plus longs dans ce cas.

- Les programmes standard normalisent la fonction d'onde a

\ " I^^JJU i

> l • 1. Cela ne correspond pas a une normalisa­

it

tion correcte du vecteur propre |^a> puisque la base n'est

pas orthogonale. Néanmoins, dans tous les cas où l'on rësoud

exactement (1,13) il n'est cependant pas difficile de trou­

ver la bonne normalisation.

- En raison de la redondance de la base, l'équation (1,13)

n'est pas équivalente â l'équation de Schrodinger originale.

Plus précisément, toutes les solutions physiques u sont

solutions de (1,13) mais il existe également N-n solutions

parasites correspondant à des vecteurs |i|i > nuls.

Ces inconvénients ne portent pas â conséquence lorsqu'on

rësoud exactement (1,13) puisque l'équation de Schrodinger

y est intégralement incluse. Par contre, ils deviennent très

gênants lorsqu'on est amené â tronquer la base pour résoudre

seulement

108

k=l

j =1,...N' N'< N

Comme la matrice A n'est pas hermitique, il peut apparaître

des valeurs propres complexes. De plus, dans tous les cas, les

vecteurs propres 13? > ne sont pas orthogonaux.

La condition de normalisation qui existe dans le cas complet

est inapplicable â présent , ce qui signifie qu'il est absolu­

ment impossible de normaliser correctement le vecteur propre

! 5" > • Cela est très gênant pour le calcul d'observables

autres que l'énergie.

Il n'existe aucun critère sur pour éliminer les états para­

sites qui se mêlent alors aux états physiques.

Il n'est pas difficile de montrer que l'équation de Schre­

diriger originale correspondant au MCM de (1,14) est gouvernée

par l'Hamiltonien HjtN') tant que n' » N'(voir 1-10)

I - e Comparaison de notre méthode avec le WCM et le MCM

Nous avons montré qu'en un certain sens notre méthode

présente certaines analogies avec le MCM et le WCM. Il convient

de résumer brièvement les données de base de ces approches

et de comparer leurs mérites respectifs. C'est le but du ta­

bleau ci-après.

109

W C M Notre nétbode NEM

Existence du développerait H|* >« £ , Ajfcl*k *

Diagonalisation de

N'

i , j=l (1,15)

Résolution de

fftt < * a l -j > =

' • J H l*< >calculé

par l e théorème de Wick

i

k=l

5 Jjfftjk Ûik+Aik ûjk ]

Résolution de

fftt < * a l -j > =

Equivalence s i N" - N Dans ce cas H-H, « H, « H,

Résolution de

fftt < * a l -j > =

Equivalence s i H =» H 2 e t n' = u • " N " <N

Méthode or ig ina le avec

H«« 3 e t n' B H ' < H " < N

longueur e t lourdeui des calculs

Rapidité e t s i m p l i c i t é des raili*nic

Matrice hermi tique Pas d'états parasites Ncrnalisation correcte des fonctions d'onde

Matrice non henmi-tique Etats paras i tes Mauvaise normalisa­

t ion des fonctions

110

I-f Calcul des observables

Une fois diagonalisêe la matrice (1,15), les fonctions

d'onde sont à notre disposition. La matrice étant hermitique

et la baae complète nous avons éliminé les états parasites et

obtenu les vecteurs propres mutuellement orthogonaux et normes

correctement par les programmes standard

n'

i?a> = 22 <ff ipl*o> l V u * l 6 )

a- = l,...,n"

(Nous avons utilisé ici le même symbole que dans (1,14) mais

si H(N") ? H2(N') les vecteurs propres \Z > sont diffé­

rents dans les deux cas; nous conservons néanmoins cette nota­

tion puisqu'il n'y a aucune ambiguïté).

En remplaçant | m > par sa valeur (1,6) nous obtenons le développement de la fonction d'onde en base |* .>

'V " Y. *ai 1*1 » Tffi

(1,17) X - £ <srp i v ? p l

pSl ai _

P'

Notons que l'expression de la composante X" est celle qui

est la plus naturelle mais on peut imaginer également d'autres

expressions dans le cas où la base est redondante (N'>n').

Plus important est le produit scalaire <JjT |$.> qui, lui, est

indépendant des méthodes d'orthogonalisation, puisque son

carré est une observable. Il est relié très simplement â la

composante par

<?„ I * ! > • > ' *«J Aji ( I' l 8> -t Les expressions (1,17) et (1,18) des composantes sont suffi­

santes pour calculer n'importe quelle observable.

à à *BJ v<v *k < ï a i i « " ) i v r v x^ B^ÏJ *„ > a,») j=l k=l

I l l

Les indices a e t B désignent tous l e s nombres quantiques né­c e s s a i r e s pour d é f i n i r l e s systèmes en présence . Ins i s tons sur l e f a i t que l e s fonct ions de base |$ ,> u t i l i s é e s pour ! S" > e t |iFft> ne sont pas forcément ident iques ( l e s 2 systèmes peu­vent d i f f é r e r par l e nombre de p a r t i c u l e s par exemole).La matri­ce S est l'analogue de la matrice A (formule 1,4) peur le développaient do

T|* .j >• J Dans tous les cas pratiques étudiés, nous pouvons écrire une "rela­

tion de fermeture" du type

T J D I i»i> **ii - fl6 ( i ' 2 o > i ï i ffn

Les D. étant des nombres géométriques simples toujours compris

entre 0 et 1. 0 <D ± 1.

De là découle une première règle de somme :

N

y ] D1I <?ai * t> | 2 - i (1,21) i-1

Cette relation n'est exacte que si l'on effectue la somma­

tion sur tous les vecteurs de la base redondante. C'est préci­

sément cette condition qui permet une normalisation correcte

de la fonction d'onde dans le cas de l'approche exacte du HCM.

A l'aide de la même relation, nous pouvons également obtenir

une relation simple entre X . et <<\> |$,> â savoir :

x ai = VU*! * (I'22)

Dans le cas où nous sommes amenés 3 tronquer la base l'égalité

(1,21) n'est plus vraie mais se transforme en une inégalité

£ D 1l<* a I *±>l 2 < 1 (1,23)

i=l

On dit que la règle de somme n'est que partiellement épuisée.

Dans ce cas, il n'existe pas de relation simple entre X et

<$" | $ > autre que (1,18)

On peut définir également une autre règle de somme plus

utile aux expérimentateurs : elle est basée sur la relation de

fermeture

112

n'

- 1 * . . V ^a I " l e n " ( I , 2 4 )

La seconde regie s'en déduit immédiatement

n'

E L L i (1,25)

a = l i=-i,...,N'

Il convient de souligner ici un point très important. Bien

que notre méthode soit spécialement adaptée au cas où une

troncature substantielle de la base est mise en oeuvre, elle

n'interdit pas de retrouver exactement les résultats du modèle

en couches dans S . Pour cela, il n'est pas nécessaire de

prendre en compte la totalité de la base redondante. Il suffit

d'orthonormaliser une base telle qu'elle engendre S c'est-à-

dire un nombre de vecteurs N' tel que n' » n. Par contre, on

devra utiliser l'Hamiltonien exact H(N). En ce sens, notre

méthode constitue une nouvelle approche du modèle en couches et

s'avère extrêmement rentable car le calcul des éléments de ma­

trice est très rapide. Nous aurons l'occasion de reparler de

cela par la suite.

Puisque les fonctions d'onde exactes |* > dans & sont

à notre disposition, notre schéma est bien adapté pour vérifier

si notre base |4>. > est une bonne base restreinte au sens où

nous l'avons défini dans l'introduction. Pour cela, il suffit

suffit de calculer le projecteur P ( G , > sur l'espace de

diagonalisation S_i

n' n' H*

p<sn.>=£iiy<\i = £ J2 Si ^ i ^ j i P"1 p=l i,j=l

Nous obtenons alors facilement : n' H"

V èa.) =<„JP< ê n.)| V =2J V^PJ^a'V^a I V»'*! p=l i,]=l

Si l'espace G n > est bien choisi, cette quantité doit être voisine de 1 pour un certain nombre d'états physiques. Dans le

r I 113

même esprit, le recouvrement entre la fonction d'onde

exacte ]V > et la fonction d'onde approchée |$ >

N

Ra <*n'> " «•JV " 2 *« **•'•!* U , 2 7 )

i-1

doit être proche de l'unité.

Dans les prochains chapitres, nous avons appliqué cette

méthode générale aux systèmes constitués de trois nucléons

en dehors d'un coeur.

114

CHAPITRE II

SYSTEMES A TROIS PARTICULES IDENTIQUES : THEORIE

II - a Calcul des matrices A et A

Nous nous plaçons ici dans le même cadre physique que celui

décrit en détail dans la partie I.

Notre méthode présente un intérêt certain surtout lorsque

les calculs du modèle en couches s'avèrent pénibles voire impos­

sibles; nous allons être amenés 3 nous intéresser essentielle­

ment aux noyaux de la région des plombs pour lesquels les orbi­

tes actives protons et neutrons different d'une couche majeure.

Dans ce cas, la notion d'isospin devient caduque. Nous avons

donc préféré dans cette partie examiner séparément le cas où

les trois particules sont identiques et non identiques. Ce

chapitre est consacré a l'étude des noyaux comportant trois par­

ticules identiques en dehors d'un coeur. Les notations utili­

sées sont les mêmes que dans la première partie. Les phonons

corrélés de type TDA & deux particules s'écrivent

P ; (JW = \ E < « t J | p q t J * £ £ C * | J M

<.-, ;J |pq;J> = <01 P0(JM) h* C*\ J M | 0 > (11,1)

« • Ç . , ' 1 - "*>«'« |JM> °î* c \ Désormais, nous réserverons les indices a,B,r,S,e,,-aux états

possédant respectivement 2,3,4,5,6... particules en dehors du

coeur. Les amplitudes TDA obéissent aux propriétés de symétrie

j +j +J+1 <a ; jl pq;J> = (-1) P * <o,. J |qp ; J > (11,2)

et vérifient les relations d•orthogonalité

115

y ' - ' c i ' ;JJmn;J> < a ; J |mnr J >« 2 5 , £% a a ai; 3)

* j +j •J+l

Celles - c l permettent d ' inverser la formule (11,1) pour obtenir

| C + C + | = y < a f J |mn; J> Pa (JM) (11,4) l ra "•> JM V

L'équation dynamique pour l e système â 2 particules est re­transcrite directement de (A,ll,7)

<* aW>- cm- c B K a , J | mn, J> = U I 5 )

7 S t l+« m _) 1 / 2 t l + < 5 _ a ) l / 2 < pq;J 1 Virons J><a ; J lpq ; J>

1 p ,q m "

Par la suite nous aurons besoin

i) des commutateurs cinëmatiques

'jp'-p 3 q %,!•»'> <«;J!pq;J> c q ^

ai ,6)

X

[c . P*«(JM)] = Ç

J 2 ^ < a » J |qn;J 5 ' : o 1 ' ;J , |n P ;J , x j q mq j n mJjMX j n m,, j p mp|J'M'>l

ii) des commutateurs dynamiques

[' CP J - EP CP *p

+ * S; t ^ | V H « V ^ Cqmq

Crmr <"'7> "i

Pour être fidèle à notre philosophie fondamentale nous intro­

duisons les quantités corrélées toutes les fois où cela est

possible. Ici on peut écrire les éléments de matrice en base

couplée, coupler C C à des bons moments angulaires, utiliser

la relation d'inversion (11,4) puis l'équation TDA (11,5) pour

obtenir l'expression équivalente

116

[ » < , ] • <p c

P m / g [V J ' - V •»] ^ «p 3n •»„ I* > « 'ftf

•a;J |pn;J > P a<JM) C n (".8)

En u t i l i s a n t des techniques tout 3 f a i t analogues, on peut c a l ­

culer auss i .

[H, £W>] -*au>£«i+ S [< P «' ( J , ) ] m cn «v, x

J L f a 1 ^ ' ' - ^ n P ^ J jg I P J * î J ' l^" J , > < a »JlPll *j <nm JK|IM>

(11,9)

Mous pouvons maintenant mener â bien l ' é t u d e du système 3 t r o i s p a r t i c u l e s . La base a employer s'impose d ' e l l e même dans ce cas

•'ntaU) iIM> =|mct(J);IM> » [c* PJ (J) l I M ]0> (11,10)

Le calcul de la matrice de recouvrement Û n e consistue qu'

une simple application des commutateurs(II,6). Le résultat

est fort simple (nous devrions faire apparaître le spin I

dans toute." les quantités mais nous le négligerons afin d'al­

léger l'écriture toutes les fois ou cela est possible)

m'a' J' maj * T + + "1 F + + 1 û m a J « A m'a'J- = °\J^f <• ^ 'J lM [Cn < ( J> D J | ° >

" & mf « « ' S JJ' • Ç ^ 0 " ' 0 ' J , ' m » J ) « ' * «

m P !<a ,;J'|pn;J'><a;J|im ,;J> (11,12)

Pour déterminer le phonon corrélé à trois particules

P B ( I M ) = S *"** [C» P« ( J )]lM (II'13>

il suffit de suivre le plan tracé dans le premier chapitre. Mais

pour cela nous avons besoin de la matrice A.. . Pour l'obtenir,

laissons agir H sur un état de base et jouons avec les commuta-

117

teurs (11,7) et (11,8) (nous prenons comme référence d'énergie

le vide |0 >si bien que H |0> = 0 ) . L'équation dynamique

du MC.M est alors triviale

L ( I ) . e r a-uaU)]<B ;I|im(J)»I> « S B j ' j ' / ^ . I l m ' u'J';I >

a v e c =££ J'=Lf'„'< j ,'-=m- cp] y*'*' *••"**> < r r-1 5 i

Nous voyons clairement ci-dessus l'hypothèse du couplage fai­

ble. Si l'Hamiltonien n'induit que des couplages négligeables

entre les modes élémentaires (11,10) la matrice B est négli­

geable et on a par conséquent

<<0'(l)=efn + u„ (J) (II.16)

Ce type de schéma de couplage se prête mieux 3 des calculs de

type perturbatif avec (11,16) comme énergie a l'ordre zéro

plutôt que

" 6 < 0 ) ( I ) a t £ m + £ P + e q < " ' , 7 )

qui est l'expression correspondante du modèle en couches.

La matrice A introduite dans le chapitre précédent vaut

simplement

m a J J_ m a J mm' aa JJ" m a J

Arrêtons nous quelque temps sur cette matrice pour justifier

l'utilité de la méthode exposée au premier chapitre. On remar­

que directement de sa définition que A n'est pas hermitique :

la résolution directe de (11,14) avec une base restreinte peut

donc poser des problèmes. Par contre, cette matrice prend une

forme très simple et très attrayante.

DTout d'abord elle ne contient plus les éléments de

matrice de l'interaction. Evidemment le jeu de tous les

u (J) avec les <a;J|mn;J> est équivalent au jeu de tous les

<mn,J|V|pg;J> . Néanmoins l'introduction des quantités eorré-

lêes se prête beaucoup mieux à une troncation correcte de

l'espace; â la limite on peut même tirer certaines informa-

118

tions de données expérimentales (pour l'énergie des phonons par

exemple).

ii) Ensuite le calcul de la matrice A ne nécessite qu'une

sommation sur un seul indice de couche et par conséquent la

programmation en est rapide et aisée. Cela est â rapprocher

des autres approches du h'CM Mo 71,72,Ko73Jou les éléments

de matrice nécessitent des sommations sur de nombreux indices.

En fait, il ne faut pas se leurrer! les indices de sommation

n'ont pas disparu par enchantement, ils ont été simplement

absorbés dans l'utilisation des quantités corrélées.

Contrairement au modèle en couches classique qui fait

usage des cfp la matrice A ne fait appel qu'a des (6j).

Dans le cas d'un système à 3 particules les simples cfp sont

reliés de façon étroite aux (6j) (voir appendice C) mais le

temps de calcul d'un (6j) est toutefois plus rapide que celui

d'un cfp. C'est un avantage technique important que notre

méthode partage d'ailleurs avec beaucoup d'autres.

Notons enfin - et c'est peut-être le point le plus impor­

tant - l'étroite ressemblance entre la matrice A et la matri­

ce A . Les quantités dynamiques de A n'apparaissent que comme

facteurs multiplicatifs des quantités cinëmatiques de à

Autrement dit, on calcule aisément en une seule étape les

matrices A et A . Comme la matrice û sert à l'orthogonalisa-

tion de la base, on peut dire grosso modo que notre méthode

permet l'élimination des désavantages de la MCM tout en conser­

vant sa simplicité originelle et sans de plus entraîner des

dépenses supplémentaires en temps de calcul.

II - b Techniques de calcul

Les éléments de matrice de l'interaction

<«,(J)5I|H|.'«- ( J , ' - I > = ] n ^ J 1 .

ûm^a"J" €'fà'J" <*•»>

s'obtiennent comme un produit de matrice , ce qui est particu­

lièrement rapide du point de vue numérique. Lorsqu'on tronque

la base à ta' vecteurs il faut faire un choix sur les états

|ma'J);I> et !m'a '(J');I> pris en compte. Cela fera l'objet

119

du prochain chapitre. Par contre la sommation (11,19) doit

s'effectuer sur tous les états si possible ou en tout cas sur

un nombre N 1 ' assez grand de vecteurs | « " a ' ' (J 1 ') il > •

Dans la pratique, nous aurons toujours N' <; N' ' et nous

nous restreindrons par conséquent â une partie rectangulaire

N ' x N 1 1 des matrices A et 4 . Signalons encore un point de

technique très important pour la performance des algorithmes

de calculs. Une partie importante du temps de calcul est

consacrée â l'évaluation des (6j). Or nous constatons que

dans l'expression de tLdn' tt ' J',ir>r) les (6j) dépendent des

moments angulaires de p,m',m,J,J' mais pas des nombres quanti-

ques a et ci ' . Par conséquent, une façon astucieuse du classer

les états consiste à les grouper par "bandes" ou par "blocs"

ceux-ci étant définis comme l'ensemble des états de m et J

donnés différant uniquement par les nombres a . Si la bande

(m,J) contient k états et la bande (m',J'l contient k' états,

il suffit d'un seul (6j)

*.l <6J)

a-j

m ft]J ' " ""'«'jJ'

pour calculer kk' valeurs des M (m'a' J',m a J ) . Par suite, le

calcul de kk' éléments de matrice de A ou de A ne nécessite

que le calcul d'au maximum S. (6j) ou l est le nombre de valeurs

de p dans (11,11) et (11,15), c'est à dire le nombre de ni­

veaux individuels. Dans les cas réalistes traités les valeurs

de k sont typiquement de l'ordre de la dizaine et 1 au

maximum 7.

On peut donc dire que la méthode de classement par blocs

permet le calcul d'environ 100 éléments de matrice A et A avec

au maximum 7 appels à un (6j) . Il existe aussi une particula­

rité intéressante dans le cas où les vecteurs intermédiaires

m' 1 •x" J 1 ' de la formule (11,19) interviennent par "blocs

12C

entiers" (c'est à dire en incluant tous les phonons a." d'un J1' donné). Nous avons vu précédemment que si B " est dif­

férent de N l'expression (11,19) qui correspond S 1'approxima­

tion notée HjfN1') n'a plus aucune raison de rester hermitique.

Examinons l'écart à l'hermiticitë.

* ai = <m' a'(J');l[H1lN"î|m a(J);I>-< ma(J) .-IjHjW"! jm'a' (J');I>

En utilisant (11,19) puis les définitions (11,11) et (11,15)

des matrices A et A nous obtenons en définitive

m = H [(Em'"Sn>+(V£pî| %. .. ,.= Vr'" a" J"' I n a J' \Wn' J'' m" i , J">

(11,20)

Nous pouvons réécrire la sommation sur m'' a*' J1' en rempla­

çant les quantités M par leurs expressions détaillées (IX,12)

ce qui conduit a

M_(m" o"J",moJ)M (m'a'J',m" a"J") = P "

^ . 2 j J m V " M v V l ( I I, 2 1 )

N"

W*t a ' / J " = l

*?H | v - I J j jv-<arJ|pm";Jxa ' ,J' |qm",J , >y\a , , ;J"|pn;J , , xa' , ;J"! < λ';J"> f

i?> J Supposons que bien que nous ayons H"•< N nous avons conservé

des blocs entiers. Cela veut dire que nous nous sommes res­

treints dans le choix des bandes (m'1 J'') mais que par contre

pour un bloc donné (m,,J'*) nous avons pris en compte tous

les phonons a''. Dans ce cas, la sommation sur tous les a''

de l'expression précédente est simplement la deuxième rela­

tion d'orthogonalité (11,3) qui fournit le facteur

5pq «mm'*'-1» ? * V 6q»'

Ce facteur annule le terme \cm,+ £_ - e - E j de (11,20)

et dans ce cas

AH = 0 (11,22)

121

L'expression approchée HjHJ") r e s t e hermitique e t par conséquent égale a H, (N") e t H - ( N " ) . Comme nous l 'avons déjà d i t , dans l e chapitre précédent, lorsque nous ne t r a v a i l l o n s pas avec des b locs e n t i e r s , nous aurons toujours avantage à considérer l ' express ion approchée H , ( N " ) .

I l - c Facteurs spectroscopigues de transfert d'une particule

I l n'est pas d i f f i c i l e de montrer que l a r e l a t i o n de ferme­ture (1,20) s ' é c r i t dans ce cas p a r t i c u l i e r

• V V W * ' • • « « l ' I M > ' W J J ' ™ l = 1 ( I I » 2 3 >

ou sous l a forme un peu s i m p l i f i é e

JLt i |m a(J);IM> <ma(J);IM| = P r M (11,24)

où p est le projecteur dans S sur le sous-espace des

vecteurs de I et M donnés.

Les règles de sommes qui découlent de ces relations sont

particulièrement intéressantes. En effet, le produit scalaire

<î:i | « ,.,;I > représente l'amplitude spectroscopique de m a(J) .

transfert de l'état |a(J)> du noyau A+2, vers l'état |g ;I>

du noyau A+3 par une particule dans l'orbite m.

Le facteur spectroscopique est le carré de l'amplitude

Sm(aJ -B.I) =|<6;lima(J) ;I> |2 (11,25)

Les règles de somme générales (1,21) et (1,25) régissent donc

les facteurs spectroscopiques de transfert d'une particule

JLJL i S (aJ-B ïl) (11,26)

2-, Sm <aJ*B .1) ~ *2*J m ( I I ' 2 7 >

Cette dernière règle est particulièrement utile à l'expérimen­

tateur qui peut alimenter plusieurs niveaux g I du noyau final

à partir du niveau a J (en général le fondamental) du noyau initial.

122

11 -d Probabilités de transition électromagnétique

Les formules générales ont é t é présentées dans l e para­graphe (A I I , e ) de l a première p a r t i e ; 11 s u f f i t d' indiquer i c i l e c a l c u l de <&'f I ' | | Q L | |g ; I > .

Nous supposons donnés une f o i s pour toutes l e s éléments de matrice ind iv idue l s <m']|Q, | |m >. I l n ' e s t pas d i f f i c i l e a lors de ca l cu ler l e s éléments de matrice rédui t s pour l e s vecteurs d'onde du système à deux p a r t i c u l e s .

< r f ; J ' | | Q.||a;J> = ( - l ) J 4 J ' + w l ^2 $ ^ I X j j ^ p ! |Ol | m >x m , n , p t p •• »•

<a ;J\ rni;Jxtx,t3,\rtptJ' > (11,28)

De là on déduit faci lement l e commutateur

[Q L M ,PÎ(JK)J - 2 « < I J*"1<JKIML|J'K ,X(/ ,,J ,||CLl!a!J> P*,(J'K') L a ' J ' K ' (11,29)

Pour obtenir <B'; l1 |Qj \&tl> i l s u f f i t de développer!» ;I > dans l a base l c* P^(J)1 Jo >et d ' introduire l e commutateur (11,29) Ce c a l c u l ne présente aucune d i f f i c u l t é .

m,m ,ct,J

(11,30) <m||Ç^||m ><e';I ' |m'aJ;l '>

S j_+L+J+I' majlL J fi (-1P X BiPm 1 ' $«* 'J 'IIOLUBJ xB' î l ' Ima' J',I'>

Cette formule semble disymëtrique dans l 'échange 8 I-»8' I ' mais i l s u f f i t d ' introduire l a r e l a t i o n (1,18) entre X e t

< BI|ma J> pour retrouver une formule symétrique . Signalons auss i que dans l e cas où l a base e s t tronquée |a ;I> n ' e s t maintenant que l e vecteur approché développé sur l e s N ' T v ec ­teurs |m a ( J ) ; I> • Par contre , i l faut conduire l a somme sur l e s Njt vecteurs |m* a' ( J ' ) ; I ' > . Ce n ' e s t que dans ce cas que |<g ' ; I ' j | Q | ]B ; I >| = ]<B;l | |Q | | B ' I ' > | . Dans l e sens

123

£;I - 6';!' le nombre d'opérations vaut Ni x K,, dans le sens

inverse $' I'->S'I le nombre vaut N',x N-. Comme le résultat

est identique nous choisissons toujours en pratique le sens

qui minimise le nombre d'opérations On pourrait définir pour

les probabilités de transition électromagnétique une approxima­

tion Q. (N'') de la même façon que pour H (H'') mais nous ne

l'utiliserons jamais par la suite.

Il- e Application au modèle de l'Appendice c

Il est nécessaire d'illustrer la théorie sur un petit

exemple simple pour voir comment elle fonctionne. Nous choisis­

sons le même modelé analytique que dans le cadre de la NFT afin

d'effectuer d'utiles comparaisons.

Soient donc nos trois particules dans la couche j; les

éta ts de base |<j>, > ou simplement |i> sont le., P r ( J !0- . i l

n 'exis te qu'un seul état de base pour décrire les é ta ts de spir. l = 3j-l ou 3j-2t le phonon correspondant a J Q " 2j-l • >,.

Dais ce cas ^ t a ' a' J ' .mctJJ^lJ a t . j a x) - ^ L j 2 i _ j j A A - C

Nous utilisons les mêmes notations que dans (A,III). La matrice

de recouvrement vaut

A

u = l + C = û = o (11,31) d'après (A,III,4)

Cela veut dire qu'il n'y a pas d'état physique puisque la norme

du vecteur de base est nulle donc le vecteur lui même est nul.

Pour toutes nos applications nous avons utilisé la méthode d'or-

thogonalisation canonique de LÔwdin I" LOW 67 1 rappelée dans

L'Appendice E.

Intéressons nous a l'état physique I = 3j-3 où les deux

états de base sont

!*2> " l 2> » t Cj % + 2 ] ' 0 > J«2 * 2 j _ 3

(11,32)

La matrice de recouvrement est

Aij = «Ij + C i j t"' 3 3'

124

Nous avons déjà vu que Tr C • 1 et det C = - 2 par conséquent

det A= det C + Tr C t 1 » O et Tr 4 • 2 + Tr C • 3

L'équation aux valeurs propres de A est

X2- XTrfi + det û « O (11,34)

elle se réduit donc à

X (X-3) = O (11.35)

d 'où l e s deux s o l u t i o n s l « O e t X» 3 .

Nous r e t rouvons l e f a i t q u ' i l n ' e x i s t e qu 'un s e u l é t a t physique

Ira >

|m>= — |4> j>= - — | * 2 "2 ' J l l ' " 2 2

5jf- ' V ( A U A 22 " û?2» ( I I < 3 6 >

Si on cherche de façon standard l e s vecteurs propres

f j |1> + L ]2> ave v a l e u r s p ropres on t rouve

*Nr 9 2

j |1> + £, |2> avec |" f + X% • 1 associés aux deux

«v*? r2-v-# pour x - o e, - n-f* ç, - t - ^ le vecteur propre associé

d'après (11,36). C'est le vecteur nul en accord avec la

théorie générale

* Pour X = 3 Xl = V ^ P ç2 = -^PjL D'après la théorie générale pour obtenir un vecteur correc­

tement normalisé il faut diviser les_composantes parVI = \ 3

22 c'esL à dire Ç, = —j

. faut diviser lesc

\*Tl c #22 ' 3 ç2 3

On v é r i f i e sans pe ine que Çj |* 1 >+ C21 « 2

> = | l > ^ i i ! *i="~ V^22 1*2^

= 3 - |A 1 1 |m> + A 2 2 | m > | = | m>qui e s t b i e n l e v e c t e u r u n i t a i r e .

125

Il est intéressant de voir ce qui se passe dans la méthode

originale de la HCM. Dans ce but, nous calculons la matrice A

définie par (11,18). Apres quelques manipulations, elle se

met sous la forme

Aij " 3 E Sij + Vj * ij ( I I ' 3 7 )

La diagonalisatlon de A qui n'est pas hermitique amène l'équa­

tion aux valeurs propres

n 2 - n(vx A n + v 2 A 2 2 ) + VjV 2 det a = o

n = E - 3 e. (11,38)

Comme det à - 0 une première solution est

n = E - 3c = Vj A u + V 2 A 2 2 - B (H,39)

qui est la solution physique (C,6)

la deuxième solution est

n = E - 3r • 0 c'est une solution parasite.

Il est amusant de constater que les énergies des états parasi­

tes obtenues dans la NFT et la MCH sont identiques. Les vec­

teurs propres de A sont en principe les facteurs spectrosco-

piques <B,|*. > à la très grosse différence que si on utilise

les programmes standard de normalisation

Ç =I<BÏVI 2 = i

l'état |ÉT> n'est pas normalisé. Dans le cas où l'on ne

tronque pas la base/la normalisation est très simple puisque

la règle de somme donne

Ç I < B I * ± > I 2

donc <B|cj>-> = /ï <W| • • >

Par contre, lorsqu'on est amené â tronquer la base la procédure

de normalisation n'est plus simple du tout et fait appel aux

vecteurs indépendants engendrés par les |$.> -d'où la nécessi­

té d'emploi d'une procédure d'orthogonalisation. Cela nous

conduit tout droit â notre méthode. Poussons néanmoins la

méthode du MCM dans ce cas très simple.

Pour la solution physique n » B les vecteurs propres correcte­

ment normalisés sont

<6 Uj> " vSJ-! <B| *2> * ~ Va7 2 '".40)

Les carrés de ces expressions donnent les facteurs spectrosco-

piques en accord avec (C,7). Four calculer les probabilités

de transition il est nécessaire d'avoir un jeu de composantes

Xg . Dans ce cas encore, il n'est pas évident de choisir un tel

jeu si l'on tronque la base. Si en garde la base complète on

peut toujours prendre X* = <6|<)i> /3 d'après (1,22).

En reportant ces valeurs dans (II,30) on parvient après un

calcul pénible â s

<B ; I||QL||S Si > » A n Q, + A 22 Q 2 ("#«»>

expression identique h (C,ll) Notons que si on prend le* composantes (A,III,33) du vecteur

propre obtenu par la NFT sur la base fCj rajl j 1 0 > et

que l'on transcrit cela dans la base |$i>B Icî ?

a < \ j l0''

(les deux bases sont différentes rappelons le) on obtient le

vecteur *

rV-„ IV T l*2> - — — | j U "*]* — |^f'J

- V ^ " + V 2 ^ | m > . | m >

B

Le vecteur obtenu est le vecteur physique correctement normali­

sé. Autrement dit,les jeux des ç, obtenus dans le cadre d'un

traitement complet de la NFT avec la procédure de normalisation,

adéquate est aussi un jeu de composantes X de la MCM.

Ce résultat devrait être tout â fait général bien que nous ne

puissions fournir aucune démonstration â ce sujet. Les deux

jeux n'ont rien à voir l'un avec l'autre. En fait, le jeu de

la NFT dépend des éléments de matrice V. alors que le jeu de la

MCM n'en dépend pas (c'est le jeu de la NFT où l'on fait

v i = V •

r 127

La solution parasite correspondant â n = O demande de

résoudre le système dynamique

(<£!*! >Vl/T^1 - <?.|*2> V 2 /A 2 2

( <t\*t > 2

+ <?!* 2 >2 » i U I ' 4 2 )

Il est facile de voir que ce système est incompatible avec

le système cinématique (11,36).

Si op. remplace \i> -> par son expression en fonction de |0j> dans (11,42) on obtient <S|*,> B = O

d'où <ffj<j>, >= 0 et par suite <ï |cj>2> = O ce qui veut

dire que |B> est le vecteur nul et par conséquent la condi­

tion de normalisation (11,42) est impossible â réaliser.

En tournant cela en d'autres termes, on peut dire que si on

cherche la solution de (11,42) - et on la trouvera toujours -

celle-ci donnera des résultats complètement erronés par le

fait qu'ils seront incompatibles avec la cinématique du sys­

tème. Le seul critère pour éliminer l'état spurieux reste le

critère d'énergie. On conçoit que cette façon d'agir soit ris­

quée dans le cas ou la base doit être tronquée.

Avec notre reformulation correcte du problême, tous ces désa­

gréments tombent d'eux même. On commence par chercher le

vecteur indépendant, ce qui a été fait plus haut

v2T> ^^22

|m> = —±f Uj> - -^flV

A présent on calcule <<t> . | H|* .>d'après (1,5)

<ïi |H 1*^= (3e+B) A ± j (11,43)

Puis l a ma t r i c e < m | H | m>décou le d 'e l le-même (vo ir 1,3)

<m |H| m> = 3e + B (11,44)

Comme la matrice n'a qu'une dimension cette valeur moyenne

est l'énergie du système. Le vecteur propre |e> étant tout

simplement jm> les composantes du vecteur propre sur la

base |(j,i> sont donc d'après (1.17)

xl = r JEL - x2 = Ç - - » A6 S 3 ' *8 2 3

1 '

128

et les facteurs spectroscopiques se calculent à l'aide de

(1,18)

•=0|* 1> - 3 Xg

Tous les désagréments cités auparavant ont disparu avec

cette nouvelle formulation. Ce modèle nous a permis de dégager

les principales caractéristiques de la méthode. Par la suite,

nous appliquons celle-ci & des cas beaucoup plus réalistes.

129

CHAPITRE III

SYSTEMES A TROIS PARTICULES IOENTIQUESrAPPLICATIONS

La méthode précédente est très bien adaptée au cas de no­

yaux comprenant beaucoup de couches de valence; les méthodes

classiques sont difficiles â mettre en oeuvre. Si de plus la

notion de phonon corrélé prend tout son sens, la base utilisée

dans notre cas permet d'effectuer d'importantes troncations. Les 208 noyaux voisins du Pb constituent une bonne région d'étude de

ce point de vue. Il existe quatre noyaux pouvant être êtudifis 211

avec le formalisme du chapitre II a savoir lo Pb (3 neutrons),

l , 2 n A t (3 protons), le 2 0 5Pb (3 trous de neutrons), le 2 0 SAu

(3 trous de protons). En fait, il n'existe aucune donnée expéri­

mentale concernant le Au; nous laisserons donc de cote ce

noyau. L'interaction â deux corps utilisée pour les autres noyaux

est celle de Kuo et Herling |Ku 71 1 déjà citée dans la pre­

mière partie, c'est à l'heure actuelle la meilleure sur le mar­

ché. Les énergies individuelles sont également tirées de cette

référence et sont indiquées dans le tableau X. A l'aide de

notre méthode, nous avons effectué le calcul "exact" du modèle en

couches pour les trois noyaux restants.

III - a - le 2 0 5Pb

Des trois noyaux cités, c'est sans doute celui qui a méri­

té la plus abondante littérature. Expérimentalement, on connâit

très bien le spectre d'énergie V Ha 72, Bi 67, Ju 67, Ca 73

Lin 76, Ber 73 1 mais également des facteurs spectroscopi-

ques de transfert d'une particule T La 75 [ . On

certain nombre de propriétés électromagnétiques (probabilités

de transition, facteurs gyromagnétiques, moments statiques, du­

rée de vie) a également fait l'objet de travaux Ha 71 , 72

130

TABLEAU I

.x|i<.'rii-ni'o Théorie . Kxpcrienco Tbi'ori * . •

.! I. S j " E S . I 7 1 K S .1" S

Ml ci.002 0.3b 1/2" 0 . 0.467 7 /2" 1.776 111 1 .900 0.006

5 /2" <i. 0 .86 5 / 2 " 0.068 0.887 5 /2" i .904 1 I0" ' '

3 / 2 _ 0.203 0.82 3 / 2 " 0.213 0 .840 H / 2 " 1.907

3 / 2 " 0.576 0.02 3 /2" 0.747 0.013 5 / 2 " 1.933

1/2" 0.«03 0.01 1/2" 0.797 0.007 9 / 2 " 2 . 0 3 . 3 l O - 5 .

5 /2" 0.761 0.023 5 / 2 " 0.872 0.037 1.1/2* 2.203 11 /2* 2.041

7 /2" 0.703 p . 002 7 / 2 "

5 /2"

0.914

1.007

9 1 0 _ <

0.002

;.3/2*

1

1.842 0.020 . 3 / 2 *

7 /2"

2.081

2.087

1 0.040

0.0O2

J/2" 0.998 (1.045 3 /?" 1.012 0.059 1

: 9 / 2 " 0.98B 9 / 2 " 1.063 0.001

3 / 2 * ' l . 0 | 4 11.907 13/2* 1.124 0.945

7 / : " 1 . o n (1 .(IStl ",r" 1.132 0.044

3/2" 1 . 174 0.002 J/2" 1.352 0.004 19/2* 2.020 19/2* 2.176 ! 5/?." 1.382 0.001 2 1 / : * 2.757 1

1/2" 1.510 0.005 9 / 2 " 2.692 0.734 9 / 2 " 2.909 0.61 i

5 / 2 " 1.510 . io-« 9 / 2 " 2.903 0 .216 9 / 2 " 3.031 0 .191

9 / 2 " 1.499 9 / 2 " 1.544 . . 0 " ' 9 / 2 " 3.157 0 . l ' 7

7 /2" 1.614 0.105 7 / 2 " 1.581 0.117 21/2~ 3.168 2 1 / 2 " 3.412

3 / 2 " 1.632 O.OOI 25 /2" 3.196 2 5 / 2 " 3.417

in 1.764 0.825 7 / 2 " 1.757 0.79O 29/2" 3.626 2 9 / 2 " 3.826

3 / 2 " 1.771 2 I 0 _ <

!7 /2~ 3.910 2 7 / 2 " 4.158

5 / 2 " 1.774 D.001 33/2 5.161 3 3 / 2 * 5.314

9 / 2 * 1.593 9 / 2 *

9 / 2 "

3 / 2 "

1.762

1.812

1.835

3 lu" ;

4 I0~"

2 9 / 2 * 5.064 2 9 / 2 * 5.397

17/2* 1.697 17/2* 1.864

Energie E en MeV e t facteurs spactroscopiques S i Ï |CT Pb(0+)--j' 205 dans le cas du Eb.La force u t i l i sée e s t décrite dans le texte.

Nous donnons tous les niveaux jusqu'à 2 MeV d' excitation ainsi que quelques niveaux yrast de spin ëlevé.L' énergie du fondamental expé­rimental es t 22.19 îfeV.l' énergie calculée es t 21.858 IteV.

r 131

TABLEAU II

J7 i

• j

K. 1

1

1 *

i ' K f Expti-ii-nci- , « ' s c i l i a u - i i r '

harm» uiqui-

! E 3 2 5 / 2 " 3 .417 j j 1 9 / 2 * 2 . 1 7 6

i 220 , 1- . 9 5

I " 3 3 / 2 * j 5 .314 ! 27/2*" 4 . 1 5 8 370 : 7 - , 4 6

E3 3 3 / 2 + j 5 .314 ! 2 9 / : " 3 . 8 : 6 ..2(i i 50.2(1 1 1

! E2 3 3 / 2 * ! 5 . 3 / 4 ! 2 9 / 2 * 5 .397 1 45 .1 ! - . . 7 :

| E2 2 5 / 2 " 3 . 4 1 7 ! 2 1 / 2 " 3 . 4 1 2 ' 4 4 . 7 - .1 .69

1 E2 5 / 2 " 0 . 0 6 8 1/2" 0 . .'.112

1 E2 3 / 2 " 0 . 2 1 3 1/2" 0 . i (1.7I9

1 F.2 ! 5 / 2 " (1.068 1 25.5: .

i E2 3 / 2 ~ 0 . 7 4 7 i 1 /2" 0 . 0 ] 56.Kb

! " O.06B ! . ' . I . i r

1 = I / . '" o . / T

i .' .• , , , j !.. !

E2 < 3 /2" 0 . 2 11 I .Md.M

E2 j 3 / 2 *

E2 5 / 2 " 0 . 8 7 2 1/2" 0 . j i 137.1.9 ,

E2 5 / 2 " 0 . 0 6 8 i | 101 .60 |

E2 j / 2 " 0 . 2 1 3 j j 3.'.. 20

E2 1 3 / 2 " 0 . 7 4 7 f 2 0 . 4 8

E2 1 /2" 0 . 7 9 7 ! 31 .33

E.' 7 / 2 " j 0 . 9 1 4 5 / 2 " 0 . 0 6 8 j 2 8 3 . 5 3

E2 3 / 2 " 0 . 2 1 3 1 1 6 . 1 5

E2 3 / 2 * 0 . 7 i 7 ! 143.21

2 2-Quelques probabilités de transition B(E. ) en e an ' calculées à 1' aide d' une fonction d' onde radiale d' oscillateur harnonique de constan­te b= 0.86 A ' -Le noyau étudié est le Pb et la charge effective utilisée e_ = 1.0 e.

132

Il n'est donc pas étonnant que ce noyau ait été étudié aussi

du point de vue théorique sous plusieurs approches I Me G 75,

Va 77 j. Néanmoins le calcul le plus complet est sans aucun

doute celui do Me Grory et Kuo T M C C 75 J . Ces auteurs

ont effectué un calcul de modèle en couches en permettant

trois trous dans les six sous couches de neutrons. Nous avons

repris leurs calculs avec notre méthode pour un plus grand

nombro de niveaux car de nouvelles données expérimentales

sont apparues depais lors. De plus,la comparaison de nos résul­

tats avec les leurs nous a permis de tester nos programmes

numériques. Il s'avère qu'aucune des trois approximations

Kuo-Herling [Ku 71 J n'est vraiment bonne pour les systè­

mes comportant des troux de neutrons. Comme interaction, nous

avons choisi après Mc-Grory un compromis bâtard entre l'appro­

ximation 1 et 2 à savoir 754 d'approximation 2 T 25* d'approxi­

mation lj il se trouve que cette force est bien meilleure.

La méthode c! ' ortnoqonal isation dans tous nos calculs- est et lie

décrire par Ltwriin sous le nom d'orthogonalisalion canonique

(voir appendice fc). Dans le tableau i, est présenté l'ensemble

du spectre pour les spins les plus représentatifs jusqu'à une

énergie d'excitation de 2 MeV ainsi que quelques niveaux

yrast de haut spin. Nous avons mis en regard les données expé­

rimentales qui cadrent le mieux avec nos résultats. Dans l'en­

semble, l'accord est bon surtout en ce qui concerne les fac­

teurs spectroscopiques S =*\<ê |C_ P»iO >| et l'ordre pour

les niveaux de haut spin. Par contre, il subsiste quelques

points noirs.

Il y a une inversion du fondamental mais il est vrai que

les niveaux 5/2 et 1/2 ne sont guère séparés que de 2 keV.

Théoriquement, le même fondamental se trouve à +21.858 MeV

alors que la valeur tirée de l'expérience est 22.19 MeV: il

est donc trop lié d'environ 30O fcaV.

Un nombre assez grand de niveaux vus expérimentalement

ne sont pas décrits dans notre approche; les excitations du

coeur jouent probablement un rôle important dans ces cas-là.

Nous présentons également dans le tableauII quelques probabili-

133

et avec des fonctions d'onde radiales d'oscillateur harmonique

de constante b = 0.86 A ' (correspondant à des valeurs

hij«48 A - qui ont cours dans ces régions fDa 69 ] ) .

En ce qui concerne les transitions E2 il semble que la valeur

adoptée pour la charge effective soit convenable; pour les E3

elle est beaucoup trop faible puisque dans ce cas la bonne va­

leur serait e = 2.5 e. Cependant l'importance des vibrations ^ 208

octupolaires dans le coeur de Pb a été négligée et c'est

sans doute la raison profonde de l'introduction de charges

effectives aussi grandes pour les transitions E3. Néanmoins, on peut dire de façon globale que le modèle

205 en couches donne une bonne description des propriétés du Pb.

Ill - b - le 2 1 1 A t

Ce noyau est aussi très bien connu tant expérimentalement

I Ber 70, a,b, Ma 71, Ast 72 a,b, c J que théoriquement

fAr 70, McG 75 , Ing 75 ] .

Dans ce cas aussi, le modèle en couches a été mené â bien

avec six couches de valence par Me Groryet Kuo f McG 75 J . Les

calculs que nous avons repris n'ont donc rien d'original si ce

n'est pour les probabilités de transition qui ont été évaluées

avec des fonctions d'onde de l'oscillateur harmonique. En fait,

comme nous le verrons par la suite, ce noyau a surtout servi

de test aux diverses méthodes de troncation. L'interaction uti­

lisée est cette fois-ci l'approximation 2 de Kuo et Herling. Le

spectre est présenté dans le tableau HI et semble assez bon mal­

gré quelques inversions de niveaux. Dans ce noyau encore le

fondamental est trop lié de quelques 130keV; il est possi­

ble qu'une partie de cette différence provienne d'un mauvais

traitement du terme coulombien. Dans le tableauIV, nous avons

porté les probabilités de transition électromagnétique obser­

vées expérimentalement. Les calculs ont été faits avec des

fonctions d'onde de l'oscillateur harmonique déjà décrites dans

le Pb et aussi avec des fonctions radiales d'un potentiel

de Saxon-Woods. Le potentiel utilisé dans je cas est le suivant

134

TABl£AU III

Expérience Théorie ' Experience Théorie

J~ E S J~ E S j J~ E S J * E

! S

9/2" 0. 9/2~ 0 . 0.862 11/2" 2.220

7/2" 0.674 7/2" 0.713 0.957 15/2* 2.259

1 7/2" 0.866 7/2" 0.994 8 10"* 13/2" 2.269

5/2" 0.947 5/2" 1.151 0. 3/2" 2.109 3/2" 2.288

13/2" 1.067 13/2" 1.201 1/2" 2.063 1/2" 2.336 0.001

11/2" 1.123 11/2" 1.299 5/2" 2.352 0.001

I 3 / 2 + I.3S5 13/2* 1.334 0.962 ! t

5/2" 2.629 0.878

3/2* 1.116 3/2" 1.369 0. 1 i

3/2" 2.891 0.948

9/2* 1.381 8 10"*

15/2" 1.270 15/2" 1.452

9/2" 1.792 .0"* 17/2" 1.320 17/2" 1.482

7/2" 1.824 5 10" 3 21/2" 1.416 2 1 / : " I.V.3

11/2" 1.844 23/2" 1.928 23/2" 1.933

3/2" 1.801 3/2" 1.970 0.011 29/2* 2.641 29/2* 2.468

5/2" 1.992 5/2*

15/2"

13/2"

9/2"

U/2~

7/2"

9/2"

1.972

2.031

2.057

2.171

2.144

2.199

2.208

0.003

4 l O - 4

-4 2 10

0.

25/2* 2.617 25/2* 2.522

5/2" 2.129 5/2" 2.210 0.008

_

Identique au tableau I pour 1' At.Le fondamental expérimental est à -11.761 Ms y, la valeur calculés est -11.891 MsV.

TSBLENJ Vf

h 'ï E i J ï ï

E f Expérience Osci l lateur

harmonique Saxon-Woods e e f f

E3 2 9 / 2 + 2.468 23/2 1.933 S10OO 5566 3.03

E2 29/2* 2.468 25/2'' 2.522 93 38.10 38.22 1.56

E2 21/2" 1.534 17/2 1.482 131 61.38 61.11 1.46

E2 15/2" 1.452 13/2 1.201 40 15.72 15.82 1.60

E2 15/2 1.452 M/2 1.299 127 53.84 53.92 1.54

E2 3/2" 1.369 5/2 1.151 920 237.81 234.18 1.97

E2 3/2 1.369 7/2 0.994 135 42.39 40.18 1.78

E2 3/2 1.369 7/2 0.713 34 0.23 0.182 12.16

Quelques probabilités de transition électromagnétique B(E,) en e 2fm 2 calculées dans 1' 2 1 lAt.

Les éléments de matrice réduits individuels ont été calculés soit â 1' aide de fonctions d' onde radiales

d 1 oscillateur hnrnenique.soit de type Saxon-Woods (c.f texte) .La charge effective utilisée est e • 1.0 e

et la charge effective e „ nécessaire pour reproduire les données expérimentales est aussi indiquée.

11

136

w s w ( r > • - v 0 [f (D -A t ^ ' 2 h 4 ? f ( r ) ] + c o u l O B , b

r r -r A l ' 3 1 "I

|_l + exp< — £ - )J avec les paramètres usuels dans c e t t e région :

a = 0 .67 Fm r = 1.25 Fm A = 33 n

V est ajusté pour chaque niveau individuel sur l'énergie du 209

proton célibataire dans le Bi. Quant au niveau P,/2 3 u i

n'est pas lié, nous avons arbitrairement choisi e , ,- =-0.53MeV Les valeurs de V obtenues oscillent autour de 62 MeV avec o des petites fluctuations qui font que les fonctions individuel­

les ne sont pas tout a fait orthogonales . 11 est frappant

que les résultats obtenus avec l'oscillateur harmonique et le

puits de Saxon-Woods diffèrent très peu l'un de l'autre ce

qui justifie a posteriori le choix de la constante b-0.86 A ' .

Les charges effectives nécessaires fluctuent entre e • 1.5 e

et e * 2.0 e (a part la dernière transition qui est très mal

décrite); elles sont inférieures à celles indispensables au

calcul avec une seule sous-couche de Blomqvlst ce qui signifie

que les corrélations entre les sous couches sont importantes.

Néanmoins, la valeur de e_ est encore assez grande indiquant

par là une polarisation du coeur certaine.

III - c - le 2 1 1Pb

Nous avons déjà étudié ce noyau dans l'application de

la première partie. Les références des travaux expérimentaux

y sont déjà mentionnées. Aucun calcul exact n'a encore été

fait : Me Grory et Kuo ont certes effectué des calculs de modè­

les en couches mais avec cinq couches de valence uniquement.

Dans le cadre de la NFT, nous avons tenu compte des sept cou­

ches de valence; par contre, nous avons effectué des trunca­

tions au niveau des états de base et des états intermédiaires.

Civitarese et al fci 77J ont été encore moins complets puiqu'

ils se sont limités en outre aux seuls graphes du premier or­

dre. Notre méthode étant particulièrement bien adaptée à un

•A3H S96*ZÏ- WBîa s^UEpuodsaxico agrnoteo jns[E& ei'Aaw S£6*ZT - "tsa -[BpuauEguog reami tip ar&rau? ,*i '«H.-- at Jnod I nestqe} ne anErçvrapi

EOO'O »6»*Z • * " | - a 0 ' 0

158*1 •**/•

98»*0 S9VZ + Z / £ Z£*0 Z IS 'Z

tz/4_oi*z « 8 * 1 + Z / S

100-0 I 9 V Z + Z / I I -_OI *Z Z08* l

+ Z / £

£00*0 9 W Z _Z /S I 85* *0 £6£*1 + Z / 1 ( l £ * 0 ) Z Z i ' l + Z / I

L-01 9

oso-o i ( * * Z

86£*Z

+ z/s

fr-01'»

191-1

0 8 i - l

+ Z / 6

+ Z / I I

,.<» s »8E*Z + Z / I I £00*0 6S£' l + Z / E

260*0 90£*Z , Z / £ ^ . O f S tti'l + Z / S

zvro 10E*Z + Z / I (9Z*0J ETO'Z + Z / I ZOO'O I K ' I JIL

, . 0 > ' S £8Z*Z _Z/SI EOO'O 589-1 + Z / S

£89 ' 0 98Z-Z • « ' « 69*0 08E-Z • « « 100-0

ZOO'O

ZS9*I + z / u , . 0 1 ' I SSZ'Z + Z / I I

100-0

ZOO'O SZ9*I • * " -100-0 SSZ'Z • l ' s - 01*6

100*0

609*1 + Z / 6

100-0 « Z * Z + Z / 6

- 01*6

100*0 8 6 » ' l + Z / 6

czo-o ZOZ'Z + Z / i i l ' O oaz'z + Z / < » I 0 * 0 « » * l + e / i

E6C-0 K l 1 " + Z / E zro 08Z-Z + Z / E wo 9 I » * I + Z / 6 (60*0) 189*1 f Z / 6

100*0 E i l ' Z + Z / 6 6 » 6 ' 0 I8E* I + Z / S 9 i * 0 z i n *.«« OS 0*0 I80*Z

+ Z / E [ * u * z ] OZ6*0 *«•! . Z / S I U V O ) E0£*l . Z / S I

,.<" » 8Z0'Z _Z/SI S60'0 ZOE'l + Z / I I Ctic-i)

£10*0 996*1 + Z / < (196*1) s_oi:» W 8 * 0 + Z / 6

100-0 816*1 + Z / 6 I izo-o ESZ-0 + Z / 1 I

610-0 916-1 + Z / S (81*0 ) ; 668*1 , Z / S ^.OI.-Ï ZSi 'O +z/e s _ 0 1 £ W)6*l + Z / I I : EÏB*0 Z89*0

+ Z / I I 18*0 6E9*0 f Z / l l

s - o i s

568*1

168*1

+ Z / <

+ Z / 6 ZOO'O

665*0

0Z»*O

+z/s .m :6£<**0)

, .oi•< « 8 * 1 + Z / 1 I 1 158*0 0£0*0 - + Z / 6 W O •o , .2/6

S u f 1 i

s u t s ' I s 3 \ r

a i i o j m | sou9Tajdx3 I a?J0j iu asusTjjdxa

A (nsnsvx

i£T

38BU3RU V (Suits)

Théorie I Théorie

j " E .1* | i

F. 1

21/2* 1.083 M / 2 " 2.796 27/2* 1.650 33/2" 2.863 23/2* 1.686 35/2" 2.878 25/2* 1.793 33/2* 3.991 29/2* 2.528 31/2* 4.097 27/2" 2.537 39/2* 4.098 25/2 2.614 35/2* 4.141 31/2 2.749 37/2* 4.259

| 39/2 5.443

l>

139

TABLEAU VI

J? 1

E. 1 J? Ef

1 B(E2) oscillateur harmonique

11/2* 0.682 9/2* - 0.030 1.0 |0~* 11/2* 0.753 9/2* - 0.030 19.15 5/2* 1.381 9/2* - 0.030 38.88 1/2* 1.783 5/2* 1.381 120.05 1/2* 2.301 5/2* 1.916 12.18 5/2* 1.916 1/2* 1.783 5.2 10"* 7/2* 2.202 5/2* 1.916 1.79 7/2* 2.202 5/2* 1.381 10.42 7/2* 2.286 5/2* 1.916 0.33

5/2* I.3BI 0.75 3/2* 2.174 S/2* 1.381 10.45

5/2* 1.916 5.83 1/2* 1.783 45.75 1/2* 2.301 5.95

7/2* 2.286 7/2* 2.202 13.72 3/2* 2.174 13.00

7/2* 2.306 7/2* 2.286 3.95 7/2* 2.202 2.05 3/2* 2.465 6.42

3/2* 2.465 7/2* 2.286 35.16 7/2* 2.202 0.33 J

Qaelçpies crobabi.u.tes de transition électromagnétique B(E,) en e fin s i ! *

calculées dans le Fb avec des fonctions d' onde radiales d' oscillateur harmonique e t une charge effective e = 1.0 e.

140

traitement numérique, nous avons pu traiter "exactement" ce

noyau» Par "exactement", nous entendons dans le cadre du modèle

en couches avec les sept couches de valence. L'approximation 2

de Kuo et Her ling [Ku 71J que nous avons utilisée ayant été

établie de façon effective dans l'espace engendre par ces sept

couches, nous n'avonB pas eu besoin de renormaliser l'interaction,

contrairement â Hc Grory et Kuo. Le fondamental obtenu théorique­

ment est â - 12.965 MeV très proche de la valeur expérimentale

- 12.935 MeV. Pour cette raison, nous avons rapporte toutes les

énergies du tableau V au fondamental expérimental. Les rares

données expérimentales s'insèrent bien dans le cadre de cette

étude. Nous avons fait figurer aussi certains niveaux yrast de

haut spin qui n'ont pas encore été observés expérimentalement.

A ce propos, il est possible que, certains d'entre eux,

possèdent une longue durée de vie. Par exemple, d'après nos

résultats, il semble que le niveau 27/2* soit assez bas en

énergie (1.650 MeV) et ne puisse se désintégrer que vers le

21/2 c'est-à-dire par une transition M3 ou E4. Néanmoins,

cette conclusion n'est pas définitive car l'ordre des niveaux

27/2+ et 23/2+ devrait être assez sensible a la force utilisée.

Si on compare les résultats présents avec ceux décrits

dans la première partie, S l'aide de la NFT, on ne constate

que de faibles différences. Ces petites fluctuations provien­

nent d'ailleurs essentiellement de la troncation des états in­

termédiaires plutôt que de la troncation des états de base. Ce­

ci confirme que la NFT est une bonne approche du problème â N

corps.

De même, une comparaison de nos résultats avec ceux

de Hc-Grory obtenus dans un espace restreint montre que cer­

tains de leurs résultats sont valables alors que d'autres souf­

frent d'une grande incertitude. Il ne semble pas que la procé­

dure de renormalisation de la force utilisée par ces auteurs

soit parfaite. Néanmoins une analyse critique plus poussée et

des conclusions plus définitives ne sont pas permises étant

donné le faible nombre de points de comparaison fournis par

ces auteurs.

141

Enfin, nous donnons dans le tableau VI des probabilités

de transition B(E2) calculée avec une charge effective e » 1.0e

et des fonctions radiales de l'oscillateur harmonique. La

plupart des transitions calculées ont lieu entre niveaux obser­

vés de façon expérimentale. Par contre, nous n'avons encore

aucune information sur les valeurs expérimentales de ces B(E2).

L'ensemble des résultats présentés pour ce noyau a néces­

sité environ quinze minutes de calcul sur un ordinateur CDC 6600

ce qui prouve - si besoin en est - la performance numérique

de notre méthode.

III - d-Etude de convergence

Les noyaux précédents ont pu être traités dans l'espace

complet $_ du modèle en couches. Les dimensions des matrices

(il existe 152 états 9/2* dans le P b 2 u - cas le plus long)

sont encore maniables. Pour des noyaux plus compliqués, cela

ne sera plus possible. Puisque nous avons la chance de connaître

la fonction d'onde "exacte" dans un cas réaliste, il nous a

paru utile d'étudier les effets des diverses troncations de

la base.

Nous avons défini dans l'introduction de cette partie

deux quantités qui peuvent servir de test a l'étude de la

troncation de la base. Ce sont

«a <£„,) -<*« iPlSn'»'*» * qui indique dans quelle mesure la fonction d'onde "exacte"

|t|i > se projette dans le sous espace de diagonalisation S , ;

R ( S .) = <* I* > a » w ni » va' a

qui mesure le recouvrement de la fonction d'onde "exacte" !ti> >

avec la fonction |y > calculée dans le sous espace ff ,. Ces quantités sont calculées effectivement d'après les formules

(1,26) et (1,27).

Nous avons déjà souligné que la base du modèle en couches

n'est pas bien adaptée pour une troncation; dans les meilleurs 2

cas pour obtenir une valeur de 0^ de l'ordre de 0.95 il est

nécessaire d'utiliser la moitié de la base totale (n* = j),

142

9

pour atteindre Q » 0.99 il faut prendre pratiquement la tota­lité de la base n'sîn [ Br 77 J. Avec la base du couplage fai­ble les choses se présentent sous de meilleurs ausDices. Ainsi,

- 211 par exemple, le fondamental 9/2 de l'At est pratiquement

l'état de base |$ ,> « lno/2 ° * puisque nous avons dans ce

cas 0,( V]) - 0.9965. Pour faire une étude plus exhaustive,

nous considérons un cas beaucoup moins favorable, a vrai dire

peu favorable, â savoir le quatrième état excité 9/2~ de l'At

Sur quels critères se baser pour effectuer la troncation?

On peut imaginer trois éléments principaux : l'énergie, la

collectivité et le spin.

Le critère d'énergie est a la base même des méthodes de

perturbation; de façon simpliste on peut dire que si on s'in­

téresse à une région d'énergie centrée autour de E , les

vecteurs importants pour cette étude sont ceux qui ont une

énergie d'ordre 0 ou d'ordre 1 voisine de E.. Dans le cas

particulier de 3 particules identiques

"i«'j • em + *>a(J> e t - ( i )

a J - < « a J |H| B B J »

La collectivité peut avoir une certaine importance si un

phonon de spin donné (en général le plus bas en énergie)

épuise une "certaine règle de somme". On pense que l'espace

formé â l'aide de tels phonons est assez bien découplé du

reste, ce qui permet une troncation plus facile.

Enfin, le spin, il est bien connu que les forces d'appa-

riement qui couplent des particules I J » 0 sont intenses

dans les noyaux; après tout, c'est la philosophie même du

schéma de seniorité. De même, un mode de vibration de première

importance est le mode quadrupolaire caractérisé par un

moment angulaire J™ = 2 . De ce fait, on peut donc penser a

priori que les phonons 0 et 2 jouent les premiers rôles

dans les excitations nucléaires. L*interacting boson model

(IBM) de lachello-Ariroa les considère même comme les pierres

maîtresses de l'édifice.

Pour tester ces divers critères, nous avons analysé la

quantité Q^ ( 2» n.)2 pour le (9/2~).de l , 2 1 1At en choisissant de

&. TABLEAU Vil a

Etude de la projection de la fonction d'onde exacte |tfi> - 19/2, At 211 > dans un sous espace donné Q * < ^ 1^1^ > * es ci-n9 choix du sous espace fs correspondent aux cinq colonnes notées A,B,C,D,E et ont été explicités dans le texte.La dimension de l'espace n' a été augoentée unité par unité en ajoutant à chaque fois le vecteur correspondant. La force utilisée est KH2 et le nombre total d'états 9/2 est n » 80 dans ce cas.

A < B 1 0" a

C 9* 1 D < E «É rt'

»V2~ , + 0.1678 | 9 / 2 " . • > 0.3272 1 9 / 2 " A> 0.1678 | 9 / 2 _ >;> 0.1678 J 7 / 2 " «> 0.0139 1

P/2" •î> 0.4448 |7/2~ *+> 0.3500 | 9 / 2 _ •;» 0.5515 |9/2 < 2 > 0.2075 |7/2" 6 * > 0.1553 2

|9/2~ *î> 0.4450 19/2~ 3 + > 0.3504 )7/2~ i\> 0.5623 17/2" «î> 0.3465 (7/2* «V 0.4553 3

f/2- *î> 0.4586 1«/2" 7 % 0.3855 \9/2" >> 0.6662 I 7'-"" *î> 0.5248 |7 /2" 2 + > 0.4571 4

19/2" >î> 0.5131 \7/2" 6 + > 0.3905 |7/2" »;> 0.6712 |9/2" «5> 0.5397 19/2" **> 0.5007 5

f»/2" »;> 0.5166 l«/2" 5> 0.3949 19/2" »;> 0.6740 J7/2" «;> 0.5406 |9 /2" 6 % 0.5644 6

i' <•;> 0.5616 J 7/2- 8% 0.5591 (9 /2- »;> 0.6740 Y>!2~ o;> 0.8867 19/2* 2 + > 0.6820 7

p/2" <;> 0.5714 | 7 / 2 " 2+> 0.6)7) | 7 / r *;> 0.6752 ]9/ 2" <> 0.9162 | 9 / 2 * «*> 0.7142 8

9/2" >;> 0.5718 t'/2" -+> 0.6833 |V2" *;> 0.6765 |7/2" *î> 0.9239 \ 5 / 2 _

2 % 0.7142 9

P/r • ; > 0.6302 |7 /2" »> 0.7593 [9/2" »;> 0.6778 17/2" •:> 0.9474 \5 /2" •*> 0.7150 , 0

f/2~ °2> 0.9039 |7 /2" 3% 0.7617 |9/2~ >;> 0.6799 |9/î" >;> 0.9680 \5 /2" **> 0.7171 II

r»/2 - •;> 0.9167 19/2" *+> 0.8040 19/?" °;> 0.6823 |7/2" «;> 0.9831 19/2" o+> 0.8936 12

fn~ A> 0.9256 | 7 / 2 " 5+> 0.8498 \\in" »;> 0.6841 |7/2" t> 0.9834 13/2" «> 0.8938 1 13

L.

1 I

TABl.FAIJ V\ \ .î ( s u i t * '

A Q 2

ci B

| 9 / 2 " 6 + >

1__ 0.9121

C

l«/2* 2fe>

2 1 D < 1 E *> « Ç

n'

i<'/2" 8 *> 0.9607

B

| 9 / 2 " 6 + >

1__ 0.9121

C

l«/2* 2fe> 0.6847 | 9 / 2 ~ 4 * > 0.9853 | 3 / 2 " 6 % 0.8939 14

l " / 2 " 2 + > 0.9771 \ 9 / 2 " 2 * > 0.9548 \W~ 2 > 0.6855 | 9 / 2 " 4 ; > 0 .9926 l ' / 2 " 4 + > 0.8940 IS

17/2" l *> 0.9852 \ 9 / 2 " 8* > 0.9660 19/2" 2*7> 0.6856 [ 7 / 2 - 4 ; > 0.9927 16

l ' / 2 " 6 > 0.9867 j ! 3 / 2 + H > 0.9799 IVï" 2*> 0.6856 l»/2" «>* > 0.9949 * 17

Un' ?{> ;i.J922 |13 /2 + 2 " > 0.9800 |V~ 2*> 0.6861 | 9 / 2 ~ 6 * > l 0.9949 18

! 7 /2~ 3 + > 0.9926 | 5 / 2 " 2 * > 0.9812 17/'- 2 j ? 0.6863 J9/2" 2 * > j 0.9949 19

17/2" 2*2y 0.9943 |i3/2+ r > 0.9831 |9/.?~ 8* ^ ! 0.9956 20

|9/2~ +*> 0.9956 | 5 / 2 _ 6 +

? 0.9832 1

| 9 / 2 ~ 2* > i 0.9959 21

l? /2" 5 + > 0.9959 | l3 /2* 3 ~ > 0.9844 v-«" 4 > 0.9959 22

l*/2" *J> 0.9963 13/2* 1 0 " > 0.9844 P«" 2*J> 0.9963 23

î»/»"*;? 0.9964 13/2* 8 " > 0.9845 ! ' / 2 ~ * * > 0.9968 24

l 9 / 2 _ * + > 0.9982 l5/2" 4 V 0.9845 P/2- - > o . 99 7(1 25

145

cinq manières différentes l'espace 6 ,. Les résultats sont re­

portés sur le tableauVIIaLa signification de ce tableau est la

suivante; dans les cinq colonnes nous avons adopté un critère

d'énergie. L'énergie de l'état considéré étant E Q = - 9.720 Mev

nous avons sélectionné les états de base dont l'énergie au

premier ordre u , est la plus voisine de E_ (nous aurions (01 m r i J °

pris u , comme critère, cela aurait changé très peu de m a"

choses). Nous avons donc élargi la dimension n' de la base unité par unité en ajoutant a chaque fois le vecteur d'énergie

|E - u) | immédiatement supérieure. Nous nous sommes arrêtés

S une dimension n' égale â 25. C'est le seul critère utilisé

dans la colonne A.

En ce qui concerne les quatre autres colonnes nous avons

imposé des contraintes supplémentaires

- colonne B : les phonons P*(J)utilisés pour les états

de base I* T > sont seulement les phonons collectifs.

Arbitrairement! nous avons défini un phonon collectif comme

le phonon d'énergie la plus basse pour un spin donné. Cela a

pour but d'étudier l'influence de la collectivité sur la façon

de tronquer.

- colonne C : nous n'avons retenu que des phonons P (J)

avec JT' = 0 ou 2 +. Cela a pour but de tester l'influence de

spins et la validité de l'IBM dans ce cas.

- colonne D : nous n'avons pris en compte que les phonons

P +(J) avec J11 = 0+,2+,4+,6+,8+.Ceci afin de vérifier si d'au-a + + très spins que 0 et 2 sont importants.

- colonne E : seuls sont retenus les phonons P Q (J)

collectifs avec J* = 0+,2 ,4+,6 ,8 +. Ce cas permet de faire le

joint entre B et D.

On peut bien sûr imaginer nombre de façons autres pour

choisir le sous espace B , mais nous pensons que ces cinq

cas forment déjà un échantillon très représentatif. Les vec­

teurs de base ajoutés successivement ont été aussi indiqués.

Plusieurs conclusions intéressantes ressortent de cete

étude. L'inspection de la colcnne C montre clairement que les

TABLEAU VII b

Même signification que le tableau VII a pour \<ji > - |3/ 2 ; Fb > . La force utilisée est KH2 et le nombre

total d'états est n - 94 dans ce cas .

A < B < C 1

D % E < n'

\5/2*2*> 0.0119 | 5 / 2 * 2 * > 0.0119 ! */2 + **J O.OI19 | 5/2 2*> 0.0119 j 5/2* 2*> 0.011?

1 9/2***> 0.4676 (3/2* 0*> 0.4068 1 V2 + 0*> 0.4068 1 9/2* 4*>' 0.4676 3 \

| 3/2* 0* > 0.4068 ! 2 1

|9 /2 + &;> 0.5451 \ 5/2* 4*> 0.7318 i / 2 +

2 ; > 0.5668 ] 9/2* 6^> 0.54 51 | 5 / 2 * 4 * > 0.7318 ! 3

| 9/2 + 3*> 0.5727 J9/2* 3 + > 0.7496 17/2+ 2 I> 0.5700 | 3/2* 0*>| 0.8444 |M/2* 6 * > 0.7441 * | 3/2*0*> 0.8789 | 9 / 2 + 5*> 0.7560 | 3 / 2 * 2 * > 0.5792 , 5 / 2 * 4 ; > O.B787 | l l / 2 * 4 * > 0.7521 5

| 9/2*5*> 0.9049 | l l / 2 * 6 * > 0.7567 | 5 / 2 +

2 ; > 0.5793 Vn S> 0.8853 l ' / 2 * 2*> 0.9158 I 6

| 5/2*4*> 0.9163 | l l / 2 * 4*> 0.7622 | 5/2* 2*3> 0.5821 | 9 / 2 * 6 * 2 > 0.8861 \ 7 / 2 * 2*> 0.9191 7

| 9 /2*3*s 0.9228 | 1/2+ 2 * > 0.9211 \V2> 2*.> 0.5824 | . . / 2 * 6 ; > | 0,9007 | 3 / 2 * 2*> 0.9289 1 8

1»«**î> 0.9250 I» 1/2* 7*> 0.9524 i »***;> 0.58Î2 1 ' /Î* *:> 0.9395 | ? / 2 * 4 * > 0.9294 1 9

| 9 / 2 +

5 ; > 0.9391 | . . / 2 * 5 * > 0.9528 | 5 / 2 + 2 > 0.58M pi/2* *;> 0.9454 | 9 / ? * 6 * > 0.9416 H 10

u

~i TABLEAU VII b (Suite)

A o~ •a

B 9

C < B . —

F. n'

j9/2 + 6*> 0.9392 I 7/2* 2+> 0.9566 1 V2 + „; , 0.5913 1 1/2* 2*> 0.9791 | 9/?* 4*> 0.9684 11

| l l / 2 + 6 ; > 0.9439 | 3 /2 + 2 + > 0.9656 1 3/2+ 2 > 0.5914 1 ^ <> 0.9885 1 12

1 9/2+*I> 0.9523 1 vf >+> 0.9659 | 7 / 2 + 2 * > 0.5922 | n / : + 4 ; > 0.988R 13

| l l / 2 + 4 ; > 0.9590 | ?/2 + 4 % 0.9671 \^<> 0.5926 | l l / 2 * 6*> 0.9889 14

1 l/2+2*> 0.9866 | 9 /2 + 6 + > 0.9788 13/2 +

2 ;> 0.5930 1 9 / 2 + 4*) 0.9889 15

19/ 2*6;> 0.9911 | 1/2* 1*> 0.9788 1 7 / ? + 0 0.5945 I 9/2* &5> 0.9894 16

| l l / 2 + 7 ; > 0.9914 | 9 / 2 + 4 + > 0.9889 I *;> 0.5945 1 " 2 * 2l> 0.9901 17

i n / 2 + 5 > 0.9915 | 15/2" 9"> 0.9892 [ 3 ' 1 * ^ 0.9934 18

| 9/2 + 53> 0.9916 J15/2" 7"> 0.9925 i »/2* *;> 0.9935 19

J11/2*4* > 0.9918 | l 5 / 2 " é"> 0.9925 i •«/'-* *î> 0.9937 20

n

148

spins O et 2 ne sont pas suffisants pour décrire l'état

considéré.Le sous espace est saturé dès n' • 4 et le .tait de

rajouter d'autres vecteurs ne change rien à l'affaire. Cela

laisse penser que l'IBM ne peut être adapté que pour certains

types d'état .

De même la colonne E quoique meilleure arrive aussi

rapidement â saturation.

Les trois autres colonnes A,B,D sont également bonnes

pour n' = 25. Toutefois, la colonne D montre une convergence

plus rapide mais cela tient un peu à la nature de l'état

considéré (le vecteur de base )9/2~ oî>est très important). 2 n

Notons que nous parvenons â Q =0.95 pour n" • # (et non n 2

n' = = comme dans le modèle en couches) et à Q « 0.99 pour

n' « J» (et non n'tf n) . Ce simple fait prouve que la base

utilisée est très bien adaptée pour une truncation importante.

La comparaison de C et D montre clairement que les spins

4 ,6 et 8 peuvent aussi être trCs importants dans certaines

excitations nucléaires. De la même façon, la comparaison de

D et E prouve sans ambiguïté l'influence non négligeable des

phonons non collectifs. 211 Afin de ne pas laisser croire que 1' At se prête

spécialement bien à ce genre de troncation, nous avons répété dans le tableau Vllb les mêmes calculs pour l'état (3/2T), â

211 2.174 MeV du Pb (c'est un état qui a été observé expérimen­talement) . Les conclusions tirées précédemment restent valables; on peut

même considérer la colonne E comme bonne dans ce cas.

Nous venons de montrer qu'avec la base utilisée dans

notre méthode il est possible de faire facilement des choix

de sous espace très restreints dans lesquels la fonction

d'onde "exacte" se projette pratiquement toute entière.

En présentant les choses de cette façon, on pourrait croire que

le sous espace à utiliser dépend de l'état physique considéré

et qu'il faille par conséquent changer d'espace pour chaque

état étudié. Cela est certainement vrai à la limite où nous

cherchons le meilleur sous espace; mais nous avons des

149

TABLEAU VIII a

Etude de la convergence de certaines observables concernant l es 6 premiers

niveaux exc i t é s de r A t 2 " c a l c u l é s avec la force KH2 en fonction du sous-

espace de diagonalisation.Les observables sont l 'énergie E • E a , l e s ampli­

tudes spectroscopiques SI - <^a\ 9/2" 0*>, S2 *<~a I 9/2" 2* > ,S3 - < * a i 7 / 2 " 2 ^

e t la probabil ité de transit ion BE2 - B ( E 2 , * a * l3/2~).Nous avons considéré

des sous espaces de dimension n' » 15 (1ère case) e t n' » 25 (2ème case) s u i ­

vant l e s cr i tères déf in is dans la colonne A du tableau VII. _ + _ ^

Explicitement,les vecteurs pris en compte sont i 19/2 0,>j9/2. 2>,l»/2_ 4>,

19/2" 6 ^ / 2 " 8\|7/2" 2*>j9/2\*f, |9/2 T;»j9/2 6 ^ / 2 2*<\9/2 7,^7/2 4,»! +

J7/2- 6^9/2" 3^9/2" 5>i.Ï7/2" B^j9/2" 0^ |9 / 2 " 2^17/2" 8>|7/2" tfbn*2>

7/2" 6 ^ 17/2- l\\ |7/2" Yfi |7/2 3 ^

J P = I 5 | ^ >j 1* , > 1* 2 > 1* 3 > I * 4 > 1*5 > 1* 6 *

4

E

SI

S2

S3

BE2

0.9994

0.9994

-11.8888

0.9286

0.4085

0.0090

130.16

0.9986

0.9984

-10.5056

- 0.0282

0.3144

0.0C50

1.560

0.9980

0.9977

-10.0932

- 0.0106

- 0.0247

0.9454

0.732

0.8986

0.3939

- 9.6332

- 0.0083

0.0993

0.1352

0.0043

0.9871

0.7644

- 9.6856

0.0083

- 0.0110

0.2654

0.1448

0.9773

0.5799

- 9.5645

0.0071

- 0.0879

0.0620

0.0120

P =25 U j >

E

SI

S2

S3

BE2

0.9999

0.9998

-11.8903

0.9286

0.4072

0.0090

129.91

0.9993

0.9991

-10.5072

- 0.0278

0.3173

0.0031

1.559

0.9992

0.9990

-10.0958

- 0.0112

- 0.0251

0.9433

0.810

0.9987

0.9962

- 9.7160

- 0.0208

+ 0.2157

- 0.0560

3.347

0.9997

0.9970

- 9.6820

- 0.0012

0.1001

0.2908

1.079

0.9991

0.9989

- 9.5912

0.0077

- 0.0924

0.0911

1.857

TABLEAU VIII b

Identique au tableau VIII a pour le cr i tère de la colonne B du tableau VU Vecteurs cho i s i s :

19/2" 0>.)9/2~ 2**|9/2~ 4 > , | 9 / 2 _ 6>, | 9/2~ 8>j7 /2 _ 2 ^ 9 / 2 * l*>\9/2~7+*

| 7 /2" 4>,|7/2" 6>49/2" 3>,|9/2" 5>.|7/2~ 8* . , | 7 /2 - l;j|7/2~ 7>,j|7/2~ 3>,

|7/2~ 5 + > , | 5 / 2 " 2*>>|!3/2* ll>^5/2~ 6 * | l 3 / 2 * 2*. 113/2*9~*°

113/2* 3>, 113/2* 8>,) l3/2 + IO_>

P= )5|$ . > 1* , > i * 2 > 1 * 3 > 1 * 4 > l » s > ' • * »

0

*>

K E

SI

S2

83

BE2

0.9992

0,9991

-11.8876

0.9289

0.4072

0.0081

128.01

0.9955

0.9954

-10.498

- 0.0261

0.3194

0.0030

1.163

0.9974

0.9972

-10.092

- 0.0095

- 0.0244

0.9457

0.580

0.9731

0.44R2

- 9.658

- 0.0118

0.1823

0.1837

1.825

0.9953

0.5062

- 9,688

0.0122

- 0,0794

0.2282

0.0219

0.9884

0.9265

- 9.576

0.0095

- 0.1031

0.0796

1.690

PS 25|*j>

<

t

51

S2

S3

BE2

0.998

0.9998

-11.8903

0.9286

0.4070

0.0091

129.24

0.9984

0.9983

-10.5045

- 0.0268

0.3176

- 0.014

1.332

0.9995

0.9994

-10.098

- 0.0116

- 0.0239

0.9419

0.587

0.9975

0.9915

- 9.712

- 0.0205

0.2127

- 0.0630

3.030

0.9995

0.9936

- 9.681

- 0.0014

0.1038

0.2919

1.350

0.9977

0.9974

- 9.588

0.0083

- 0.0906

0.0932

1.840

151

TABLEAU VIII c

Identique au tableau V'iII a pour le critère de la colonne C du tableau VII.

Le cinquième état excité ett inpossible à décrire avec ces sous espaces

Vecteurs choisis : _

19/2" 0M9/2" 2pt |7/2" 2>|9/2" 2j|J9/2 0^9/2 2£ |7 /2 2^/2~2^

|9/2" 2** [5/2" 2 A19/2" Oi(9/2" 2>,\7/2 _ 2*%|9/2~ 2**15/2" 2** |

|9/2" 2>|7/2" 25t|5/2" 2**1 7/2" 2**|7/2 - 2f,\ 5/2" 24>,|9/2~ o ^ '

|9/2" 2g>,|5/2" 25SiJ9/2"0*>

P=15|*i> 1* ,» 1 * 2 > !* 3 > ' 1* é > 1* s > ! * 6 >

< < E

SI

S2

S3

BE2

0.9992

0.9991

-11.887

0.9288

0.4081

0.0087

129.31

0.9755

0.9743

-10.421

- 0.0331

0.3274

- 0.0165

1.401

0.9248

0.9233

- 10.055

- 0.0100

- 0.0215

0.9831

0.981

0.6853

0.6166

- 9.681

- 0.0134

0.2:35

0.1301

3.891

0.4870 0.1713

0.1531

- 9.522

0.0176

- 0.1579 :

0.0806

9.745

P=25 |*j>

<

E

SI

S2

S3

BE2

0.9993

0.9993

-11.8881

0.9289

0.4075

0.0087

129.19

0.9819

0.9812

-10.455

- 0.0308

0.3258

- 0.0I5B

1.500

0.9250

0.9234

-10.055

- 0.0099

- 0.0219

C.9829

0.984

0.6867

0.6150

- 9.6825

- 0.0137

0.2243

0.1307

3.862

0.4891 0.1729

0.1537

- 9.5272

0.0175

- 0.1595

0.0809

9.823 |

152

TABLEAU VIII d

Identique au tableau VIII a pour le critère de la colonne D du tableau VII

Vecteurs choisis :

19/2" 6r.\9/2~ 2/J9/2" 4**19/2" 6*^9/2" 8*». 7/2_ 2*j9/2" 8*»49/2" b*>.

|9/2" 2^|7/2" A | 7/2" 6**| 7/2" 8**19/2" 4+>,|9/2~ 0,t>,

19/2" 2l||7/2" 8>,|9/2" 4*^7/2" 6*>. j9/2~ 6^(7/2" 2*».|7/2" 4*%

|7/2" ^"|9/2" 2^|7/2" 4^|7/2" 6*>

PH15 1 * £> k ,> 1 * 2* 1* 3* 1*4 s ! !" s"1 1 !«• b'-

< < E

S.

S2

S3

BE2

0.9996

0.9996

-11.8897

0.9286

0.4074

0.0088

129.64

0.9984

0.99B4

-10.5052

- 0.0277

0.3171

0.0029

1.461

0.9975

0.9973

- 10.0927

- 0.0105

- 0.0267

0.9446

0.694

0.9926 0.9979

0.9695 0.9759

- 9.7075 • 9.6778

- 0.0200 - 0.0034

0.2008 0.1200

- 0.0762 0.2824

2.439 1.753

0.9979

0.9962

'• - 9.5889

0.0078

- 0.0945

0.0905

1.755

P =25|*.>

< E

SI

S2

S3

BE2

0.9998

0.9998

-11.8904

0.9286

0.4073

0.0091

128.64

0.9996

0.9995

-10.5083

- 0.0282

0.3167

0.0030

1.330

0.9993

0.9992

- 10.0967

- 0.0113

- 0.0250

0.9428

0.716

0.9976

0.9916

- 9.7146

- 0.0209

0.2123

- 0.0656

3.249

0.9990

0.9927

- 9.6804

- 0.0021

0.1068

0.2898

1.507

0.9992

0.9990

- 9.5913

0.0078

- 0.0936

0.0921

1.832 1

153

TABLEAU Vlll e

Identique au tableau Vlll a pour le critère de la colonne E du tableau

VU.

Vecteurs cho i s i s :

| 9 / 2 " 0> . | 9 /2~ 2>. |9 /2~ 4 > , j 9 / 2 _ 6> , | 9 /2~ 8> . ]7 /2* 2>, l7/2~ 4*>,|7/2~ 6>,

| 7 / 2 " 8>, |5 /2~ 2> , |5 /2" 4X15/2" 6> , |3 /2~ 4+>,| 3 /2* 6 > , | l / 2 " 4* >

p-isl*^ 1* ,> !* 2* !« 3* 1*4» !*s> • 1

'• 6> !

j ;

< 0.9991 0.9952 0.9970 0.8940 0.9856 0.9737

•> R a

0.9990 0.9950 0.9968 0.3861 0.7535 0.5771

E - 11.8872 -10.4975 -10.0916 - 9.6276 - 9.6856 - 9.5646

SI 0.9268 - 0.0267 - 0.0094 - 0.0060 0.0077 0.0063

S2 0.4062 0.3151 - 0.0245 0.0995 - 0.0153 - 0.0877

S3 0.0082 0.0047 0.9459 0.1347 0.2641 0.0557

BE2 129.76 1.332 0.670 0.0077 0.1025 0.0737

CAS EXACT (pour l e s probabil i tés de trans i t ion . 0.H avec b - 5 .12- 0.86 A>/3 )

E - 11.8915 -10.5100 - 10.0994 - 9.7209 - 9.6836 - 9.5935

SI 0.9285 - 0.0282 - 0.0119 - 0.0204 0.O0O3 0.0075

S2 0.4071 0.3170 - 0.0251 0.2208 0.0899 - 0.0900

S3 0.0093 0.0011 0.9413 - 0.0419 0.2967 0.0931

BE2 129.60 1.414 0.648 3.485 1.029 I.8Z7

154

ambitions plus modestes et a dire vrai, plus pratiques. Nous cherchons simplement un sous-espace de diagonalisation qui convienne pour un certain nonbre d'états, bien que ce ne soit pas le meilleur pour chaque âtat pris individuellement. Pour mener 8 bien cette étude, nous avons considéré les six premiers niveaux 9/2" de l' 2 1 1At. Le choix du sous espace £ , s'est effectué selon les mêmes critères que précédemment avec une fenêtre en énergie qui part du niveau le plus bas et qui s'agrandit vers les énergies supérieures. Nous retrou­vons les cinq cas A,B,C,D,E pour deux valeurs de n' a savoir

n' = 15 et n' = 25. Dans lœtableau*Vin nous avons fait figurer 2

non seulement la projection de la fonction d'onde exacte Q a

mais également le recouvrement

* i • l**al * ' ê n«' >|2 ainsi que le» observables sui­

vantes s l'énergie E, les amplitudes spectroscopiques

Si -<îa (6 n.) 19/2' 0* >,S2 -< v l n . ) l 9 / 2 " 2+>,

s 3 " <t < !„•> I'^2" 2 + * ' l a Probabilité de transition l** Ai —

électromagnétique BE2 » B (E 2, IJ, (£„•) * 13/2 )• Les trois premiers niveaux sont bien décrits quels que soient les choix de troncation effectués; par contre, les trois der­niers présentent des fluctuations importantes selon les cas. Il apparaît que les choix C et E sont incapables de reproduire ces trois niveaux. Cela rejoint ce qui a été dit précédemment. Pour un espace de dimension 25, les autres choix A,B,D sont également bons avec toutefois un point de bonification pour le choix A. Si par contre nous ne retenons qu'une dimension 15, seul le choix D est acceptable ce qui prouve à nouveau qu'il converge plus vite.

L'ensemble de ces résultats montre que notre base est bien adaptée pour une troncation, en vue de décrire non seule­ment un état, mais une série d'étatsphysiques.

C'est là la conclusion fondamentale de toute la seconde partie.

155

TABLEAU IX

Etude de U convergence des observables définit dans les tableaux VIII pour le sous-espace n' - 25 correspondant au critère 0 du tableau VII en fonction de la dimension N " utilisée dans le calcul des éléments de matrice de II (voir formule 1,11 ) . Dans un premier cas (pas par blocs) le seul critère pour sélectionner les N " vecteurs est un critère d'énergie; dans le second cas (par blocs) on ajoute en plus la contrainte de prendre des blocs entiers (voir discussion dans le texte). Dans ce cas le nombre d'états de base est N - 242.

observables 1* , > 1* 2

>

. : i

E

SI

S2

S3

BE2

- 11.8904

0.9286

0.4073

0.0091

128.64

- 10.5083

- 0.0282

0.3167

0.0030

1.330

- 10.0967

- 0.0013

- 0.0250

0.9427

0.716

- 9.7146

- 0.0209

0.2123

- 0.0656

3.249

- 9.6804 - 9.5913

- 0.0021 0.0078 j

O.lObB - 0.093f> 1 j

0.2896 1 0.0921 1

1.507 | 1.832 j

N " • 94 pas par blocs

i: - 11.9155 - 10.5117 - 10.1126 - 9.9753 - 9.6908 - 9.597f.

SI 0.9284 - 0.0266 - 0.0060 - 0.0207;- 0.0152 0.0032

S2 0.4040 0.3185 - 0.0287 0.02641 0.2389 0.0658

S3 0.0084 0.0053 0.9265 0-18521- 0.0185 0.2903

8E2 127.79 1.382 1.053 0.610 4.716 0.648

K** » 126 pas par blocs

E - 11.9141 - 10.5098 - 10.1002 - 9.7305 - 9.6858 - 9.5943

SI 0.9286 - 0.0273 - 0.0110 - 0.0153 0.0022 0.0045

S2 0.4039 0.3179 - 0.0269 0.2397 0.0770 - 0.0912

S3 0.0090 0.0028 0.9419 - 0.0175 0.2982 0.0910

BE2 127.89 1.343 0.715 4.409 0.837 2.032

N " - 194 pas par blocs

E - 11.8924 - 10.5085 - 10.0975 - 9.7158 - 9.6814 i - 9.5914

SI 0.9286 - 0.0282 - 0.0112 - 0.0209 - 0.0016 0.0077

S2 0.4072 0.3169 - 0.0250 0.2156 0.1017 ! - 0.0933

S3 0.0091 0.0028 0.942S - 0.058C 0.2915 > 0.0924

BE2 128.54 1.329 0.719 3.362 1.386 1.831

156

TABLEAU IX (Suite)

N " • 94 par blocs

observables l« , > 1* 2 * 1* j> !* 4 > 1* 5 > K> E - 12.0169 - 10.5202 - 10.1105 - 9.8087 - 9.7010 - 9.6221

SI 0.9274 - 0.0249 - 0.0032 - 0.0014 - 0.0078 - 0.0268 52 0.3939 0.3229 - 0.0175 0.2672 0.0121 - 0.1047 : S3 0.0059 0.0059 0.9412 0.0109 0.3026 0.0412 !

BE2 122.90 1.385 1.224 7.920 0.170 9.749 |

N " • 126 par blocs

£ - 11.9732 - 10.5156 - 10.1083 : - 0.7288 - 9.6928 - 9.5959

SI 0.9283 - 0.0261 - 0.0072 - 0.0183 0 . 0.0039 S2 0.4006 0.3198 - 0.0214 ' 0.236« 0.0548 - 0.0944 S3 0.0072 0.0056 0.9435 . • - 0.0079 0.2950 0.0890

BE2 125.65 1.329 0.948 j 4.049 0.234 2.025

H " • 194 par blocs 1

E - 11.9037 - 10.5098 - 10.0981 - 9.7236 - 9.6831 - 9.5928

SI 0.9287 - 0.0277 - 0.0110 - 0.0183 0.000? 0.0062 S2 0.4055 0.3175 - 0.0251 0.2275 0.0902 - 0.0909 S3 0.0089 0.0037 0.9429 - 0.0423 0.291B 0.0921

BE2 128.22 1.318 0.723 4.118 1.161 1.905

157

Il convient néanmoins d'attirer l'attention sur certaines

conclusions hâtives t ce n'est pas parce que nous avons un o

recouvrement R de l'ordre de 0.99 que les observables seront

a

automatiquement reproduites a quelque» pour cent. Nous n'en pre­

nons pour preuve que le cinquième ét-it. (9/2"). pour la dimension

n' = 25 du choix D. Dans ce cas, nous avons un recouvrement

R = 0.9927 et néanmoins la probabilité de transition B E2

obtenue avec ce sous espace diffère de la valeur exacte de plus

de 30% ! Cela prouve à merveille , dans ce cas tout au moins,

l'influence "des petites composantes". En effet, l'angle

entre | I)I > et \:j) > est très petit (5°); par contre ce qui est important pour le calcul de BE2 , c'est l'angle et la

norme de E2 |ty > et de E2| >par rapport â liti > . Si E2|i> >

est presque perpendiculaire S |ty > , la partie de l'opérateur

E2 qui agit sur la partie de \<i> >perpendiculaire a |IJI > peut

avoir une influence non négligeable dans le produit scalaire

Dans l'étude précédente, la base a été tronquée mais les

éléments de matrice calculés exactement selon la

formule (1,5). Nous avons été amenés S introduire des approxima­

tions HjfN"), H 2(N") et H 3(N") dans les cas ou les calculs

s'avéreraient trop longs. Le reste de ce chapitre est consacré

à 1'étude de la convergence des observables en fonction de N''.

Elle est résumée dans le tableau IX. Nous avons choisi trois •

valeurs de N " caractéristiques N " - 94,126,194 (pour les

états 9/2 il existe N • 242 vecteurs de base). Dans un premier

cas, la sélection de ces N " vecteurs s'est effectuée unique­

ment sur un critère d'énergie et nous avons choisi la version

hermitique H3(N'') de l'Hamiltonien; dans un deuxième cas, nous

avons imposé aux états de base de contenir des "blocs" entiers

de phonons : dans ces conditions l'approximation est automati­

quement hermitique (voir formule 11,22). Les n' = H' = 25

états de base sont ceux discutés dans le cas D précédemment.

Une première constatation est que pour obtenir une bonne

précision des résultats il est nécessaire de prendre de nom­

breux états intermédiaires; c'est une conclusion analogue que

1S8

TABLEAU X

Couches Individuelles util'sees pour les noyaux de la région des

Plenbs. Ce sont les paramètres de Kuo et Kerllno [KU71j. Les énergies

sont données en MeV.

protons

0.53 . 3 p , / 2

-0.67 3 p J / 2

-0.96 •• 2fj / 2

-2.17 - li

-3.77

13/2

f I I I I I

3/2

-9.70 •2d 5 / 2

B7/2

neutrons

-..« 3 d J / 2

-,.45 2 g 7 / 2

•1.9. 4 . W ï

-2.36 3d

-2.53

•2.89 2 t m . 3 > 9 4

-9.37 " l h H / 2 *•"' nM3/2 -9.01

-9.72

5/2

IJ>5/2

-3.15 li|| / 3

2 8 9 / 2

-7.38 3p)/2

-8.03 3s, / 2 -1-95 "S«

-8.38 M "••» 3" 3/2

-,..43 lg 7„ - , 0' 8 5 , h9/2

159

nous avions tirée dans le formalisme de la HPT.

Deuxièmement, le fait de travailler avec des blocs entiers

de phonons ne présente pas d'avantage a part de fournir une

matrice hermltique. A nombre d'états intermédiaires égal la

mëtttode par bloc est la plus mauvaise. Cela est au au fait

que ces états vérifient moins bien le critère d'énergie. Nous

avons aussi remarqué qu'en travaillant par blocs entiers les

vecteurs de base ont davantage tendance â être linéairement

dépendants. De façon générale, il ressort que la troncation

sur les états intermédiaires doit être évitée dans la mesure

du possible. En fait, l'utilité de la troncation sur N " ne

prend tout son sens que si de sérieux problèmes de stockage

des matrices A et A se posent. Ce n'est pas le cas pour les

noyaux relativement simples étudiés dans ce mémoire.

160

CHAPITRE IV

SYSTEMES A TROIS PARTICULES NON IDENTIQUES:THEORIE

IV a Choix de la base

Nous considérons un noyau composé de trois nucléons non

identiques en dehors d'un coeur inerte. Les deux nucléons

identiques sont désignés comme particules de la première espèce

et leurs opérateurs élémentaires sont notés C et C . Le nu­

cléon unique est la particule de deuxième espèce possédant les

opérateurs élémentaires d et d . Le coeur fermé est le vide

des deux espèces de nucléons. D'après les principes généraux

de la mécanique quantique, nous avons le choix entre le commu­

tateur et 1'anticommutateur pour les operateurs de type dif­

férent. Pour toute la suite/ nous ferons usage de l'anticoin-

mutateur.

C p i = 0 - {d,, Ci. UV,1) ) = ° - K- <} Comme dans le cas de trois particules identiques, nous ne

considérons pas les excitations du coeur. Une base possible

pour l'étude du système est

IX(mn)Ja ! I M > = l[< C»]j < U >0> (IV'2)

m 4n C'est la base standard du modèle en couches. Conformément

â l'optique adoptée tout au long de ce travail nous préférons faire apparaître les phonons corrélés. Ils sont de deux types

'* <JM> " I E ^ ' J i m n ; J*[ Cm < ] m.n ^_ -

£ < 0 'Jl»a'- J > [< daJ JM

Q ; i™) = ^ - - - ' — ~ ' ~ + - + " ( I V ' 3 )

m7a

161

le phonon P conduit au noyau A + 2 pair-pair, le phonon Q

conduit au noyau A + 2 impair-impair. Le phonon Q est défini + +

une fois pour toutes avec l'ordre c d . Les propriétés des

phonons P ont été examinées déjà dans le chapitre II. Voici

résumées brièvement les propriétés des phonons Q

- relation d'orthogonalité

E<Pî Jim a ; J> < p ' ; Jim a; J > = s oc m,a

V* * / .< p ; J |m a; J> < p ; J ! m ' a ' ; J > = { , 5

(IV,4)

aa' - i n v e r s i o n

l cm <C = 7 j < p ; J | m a; J> Qp (JM) (IV,5) L m a J jM p

- équa t ion dynamique

( J ) - e -E , )<p;J |m a ; J > = ><nb , - J IV |ma ; J><o ; J lnb ; J> (IV,6) m a ^^^

n,b

Pour l'étude du système, deux types de base s'offrent à nous. ,

Base A ! j$ aa(J);IM> = |*aiJ);lM>=

Base B : \i mp(J);IM >= |mp(J);IM>=

i* PÎ (J)l a J: 3p(J)

dl Pà (J)| j0> IM

(IV,7) |0>

JM

La base A est particulièrement intéressante. La transformation

unitaire d'éléments de matrice <a ; J|mn; J> (m $n) permet de

casser de la base |x , , T . ; IM » à la base |<Ja<x(J);IM > . imnj J a

La conséquence immédiate est que la base A est complète et

orthonormée . Son utilisation évite ainsi toute la procédure

d"orthonormalisation. De plus les états P+a(JM) |o> sont

un peu plus bas en énergie que les états Q p(JM) |0> comme

le montrent les différences de masses des noyaux pair-pair et

impair-impair; un argument d'énergie semble montrer que la ba­

se A a une importance relative plus grande pour la partie

basse du spectre.

La base B est surcomplète et non orthogonale. Elle peut

avoir néanmoins quelque importance si une réaction de transfert

162

d'une particule 3 partir du noyau impair-impair vers un niveau

du système étudié est forte. Cela signifie que le recouvrement

de la fonction d'onde de ce niveau et d'un état de la base B

est particulièrement grand.

On pourra aussi être amené, à considérer une base consti­

tuée d'éléments de la base A et d'éléments de la base B.

C'est sans doute sur un critère d'énergie qu'il faut faire

ce choix.

Toutes ces possibilités demandement à être testées dans

des cas réalistes concrets.

IV - b Calcul des matrices A et A

La déduction de ces matrices est en tout point analogue

à celle du chapitre (II,a). Il convient néanmoins d'utiliser

des commutateurs supplémentaires

i) commutateurs cinématiques

d a m , P «(JK)

C p m , Q ptJK)

= 0

= 2 j < J P "V 3 a "a | J K > < « 5 ' J ! ? a " J > d a

* + a m |JK> < p ; J | p a ; J > C [dama,Qi$(JK)]= - £ < j p m p j

P / m p

Pa<JK) ,Q + p (LR)j = ^ J < j p Bip j g m q | JK>< j q m q j g m a |LR> <a:J|pq;J>x

P»q»a m.

<p ;L|q a ; L> d a m p P ( I V , 8 )

p , a , b , m i

< jp m p j a m a | J ' K'> <p;J|pb;J> <p' ,J' |parj '>*d+ n ^ a "b

P7q7a mi

<j p % j a ma|j'K'> <j g m q j a ma|JK> <p; j|qa;J><p';J' |pa;J'>

P "V; q mn

163

ii) commutateurs dynamiques

[H'CpmJ = E P C p \ £ < J p V * m

q

| J K > £ a

t J , - C P _ e < J * a /J/K»c»m

< a;J |pg;J> P+a UK) C g m ^ < j p mp j f a m | J K > | ^ (J) - E p - z J x

<p , J |pb ; J> Q+p(JK) d b m

b

[ H ' d am a ] = e a < m a " £ * J P "p j * "a P*>[«p <J> "e p " e j *

p,J,K,p,in

<P ; J | pa;J > Q+p(JK) C + ternes en d + d + d

L ' o b t e n t i o n des matrices d e t A dficoule immédiatement de ces formules e t d 'un peu d'algèbre de Racah.

Matr ices A

A a " a ' J ' = S , « . « T T . a a J » aa' J J '

(IV, 10) a a J m p L ^ ^ -^

A = A = y* M p ( a a J , m p L) m p L a o J

m'p ' L' m p L * û = A • « - • V 6LL' + 2 } ' a ( ^ , ' p ' L ' • , n p L ,

m p L m ' p ' L '

. (a~T.m nl. l ='.Y'T." J '" P l f « - T . Ira.T. avec MD (aoJ.mpL) ='J 'L j m P |<p;L |pa;L; < a ; J | p m;J> (IV, U)

« a (m'p' L'. m « - (-» ^ ^ + L + L ' + 1 ï ^ > ' ^ M

< p; L|m'a; L> <p*-L' |ma; L' >

164

Matrices A

a' a' J'

a a J A

m p Ii

• Te +«) (J) 1 « , i , i , „ j La a J aa' oa* JJ'

» 7 ,tu> (L)-e - e ) *L(a « J , m pL) j p " P a P

^^(ui 0 CJ)-e - e m ) M (a a J , m p L)

m p ' imr pp LL' £ ^ p' m a m'p' L'

m p L

N. (m'p ' L 1 , m p L) a

Toutes les remarques du chapitre II relatives aux matrices

A et A (simplicité, ressemblance...) s'appliquent de la même

façon dans ce cas-ci*

De manière analogue, les techniques de calcul développées

au chapitre II se transposent immédiatement â ce cas un peu

plus compliqué. En particulier, le groupement des états de base

par "bandes" reste d'une importance capitale pour les applica­

tions numériques. Si nous travaillons avec des "blocs entiers"

d'états intermédiaires (pris dans la base A et dans la base B)

les approximations H (N") et H ( N " ) 3 l'Hamiltonien (voir i,set

1, 10 ) sont encore hermitiques dans ce cas. Le calcul de la

fonction d'onde du système

^ - * a a J ^-^ m p ij

Pg(IM) |0>= y . X 6 ;I I* a o ( J > » I M > + y ^ x

8 ; Il«mp(L);IM> a r a f J TU* p* L

(IV, 13)

s'opère selon les formules tout â fait générales du

chapitre I.

165

IV - c Facteurs spectroscopies de transfert d'une particule

Notre formalisme e t le choix des états de base permet d 'obtenir t r ès facilement les facteurs spectroscoplques de t ransfer t d'une par t icule pour deux types de réaction qui conduisent à notre système

S (PJ> 8, I) = |<6 ;IM|«mp (J)?IM> | 2 (IV,14) m

S <ou +B, I) = |<8;IM|*a o(J);IM>| 2 (IV, 15) a

La première réaction (111,14) représente le transfert sur

l'ëtat \D; J> du noyau impair-impair d'une particule de première espèce dans l'orbite m pour exciter le niveau|B; I > du noyau

étudié.

La deuxième réaction (IV,15) représente le transfert sur

l ' ë ta t | c t j j •> du noyau pair-pair d'une par t icule de seconde espèce dans l'orbite a pour exciter le même niveau.

Le calcul des règles de somme ne présente aucune

difficulté

Premières règles :

y ^ s (oj-* B,D - 1 &,*.J (IV,16)

m, pi J

Deuxièmes règles :

/] S (aj * 8,1) » 1 V a,a, J

£ • P J t I V ' 1 7 ' y ^ s ( P j - B,i) - A tu *g* m m p J

IV - d Probabilités de transition électromagnétique

Le calcul de l 'élément de matrice rédui t de l 'opérateur de t rans i t ion électromagnétique entre deux é ta t s du noyau â t ro i s part icules nécessite l'emploi des elements de matrice

166

individuels des deux types de particule < m | |QJ | n > pour la

premiere espèce, <a||Q ||b> pour la seconde espèce. Il est

également très utile d'avoir les éléments de inatrice correspon­

dants aux systëmes â deux particules. Pour le système pair-

pair, il suffit de se reporter â la formule (11,28). Pour le

système impair-impair, nous écrivons le résultat ci-dessous

<P';J'I!Q LI|P;J>=(-D 2 ^ < - I > ^ j j j j f•"!°L''n>x

m,n,a

<p;j|na ; J > <p"; J" Ima ; J' > ( w 1 8 )

J-hJ'+W-l + (-1)

a, ,b,m ''a Jm -W u

< p;J|i*i J > <p';J'|ma; J'>

Oe la, on déduit facilement le commutateur analogue a (11,29)

p „. . Q +P (JK) I - ^ $ _ 1 < J K IMjJj'K'* <P';J'|tOLi|p;J >Q*rf(J'K')

(IV, 19)

On obtient l'élément de inatrice réduit pour le système

a trois particules en développant le phonon P ,IIH) I 0>

de (IV,13) sur les états de base de type A et B et en faisant

usage des commutateurs (11,29) et (IV,19). Le résultat prend

la forme suivante

167

^^^•• .r i f t l l e . !»- 2 x r i < - 1 ) J b W + L f I j ï b r î l b,a,a,J

<b||<y|a»<rfii'|baw>»r>+ £ x e a i \J' J . L . [* a,a,J.a',J' f 1 * W

j +J+WI' <a ' ;J'|I< II<» } J > < 6 ''l'I a<*' W)»i'> (-D a

+

m,n,(j,J

(IV.20)

2 J X ^ ( - D " Pn'm^nllO^llrnxg-.-I'lnoW)! I-> n,(j,J

+ 2 XBPI ( _ 1 ) 3 , n + l \t I'j | < P' f J'llQL

l|P!J><BM,|niP,(J,),-I'> m,p,u,p',j

Bien entendu si on utilise la base A seule, il faudra prendre X m p _=Odans cette formule et la condition équivalente dans le cas où seule la base B est utilisée. En ce qui concerne la symétrie de l'élément de matrice, les remarques développées a la fin du chapitre (II,d) restent valables encore dans ce cas.

168

CHAPITRE V

SYSTEMES A TROIS PARTICULES NON IDENTIQUES : APPLICATIONS

Nous avons vu dans le chapitre III que les noyaux de la

région des plombs constituaient un bon test d'applicabilité de

notre méthode car la notion de phonon y est tout â fait justi­

fiée. A l'inverse du modèle en couches, notre méthode est très

bien adaptée a l'étude des noyaux comportant peu de nucléons

mais beaucoup de couches de valence. Nous avons donc utilisé la

théorie du chapitre IV pour calculer les caractéristiques spec­

troscopiques des noyaux comportant trois particules non identi-208

ques en dehors d'un coeur de Pb. Nous avons fait cette étude

d'autant plus volontiers que des calculs de modèle en couches

complets n'ont jamais été effectués pour ces noyaux. On peut

même ajouter de façon générale que très peu de travaux théoriques

ont été consacrés à ce type de noyaux.

Nous nous sommes contentes ici de traiter exactement

(c'est-à-dire sans troncation) quatre noyaux en utilisant la ba­

se de type A uniquement. La force utilisée est encore l'approxi­

mation 2 de Xuo et HerlingJ Ku 71 J pour tous les éléments de

matrice sauf pour les éléments trou-trou de neutrons ou nous

avons employé l'approximation bâtarde (75% approximation 2+25% 205

approximation 1) déjà signalée à propos du Pb. Nous présen­tons donc successivement les spectres d'énergie ainsi que quel­ques facteurs spectroscopiques de transfert d'une particule pour le 2 0 5Hg (2p-1, in- 1), le 2 0 5 T 1 (2n _ 1,lp _ 1) le 2 I 1 P o (2p,ln) et le 2 1 1Bi (2n, lp).

V - a Le 2 0 5Hg

Des quatre noyaux cités, c'est celui qui est le moins bien

connu du point âe vue expérimental. Les données les plus

169

TABLEAU XI

Energie E en MeV et facteur «pectroiropiquc S •|<1'J d. 2 0 6 Hg (0*)>| 2

205 a i i dam le cal du Hg.La force utilisée eat décrite dans le texte. L'énergie du fondamental expérimental est 22.111 MeV,l'énergie calculée 21.806 MeV.

EXPERIENCE THEORIE EXPERIENCE .THEORIE J* E S E S J* E 1 S J* E S

1/2 0. 1/2" 0- 0 .90 (9/h 2.591 9/2*| 2.869i (Vf) 9.381 3 /2" 0.497 0.72 11/2" 2.994 (5/f) 0.469 5/2" 0.606 0.72 19/2* 3.110

1/2" 1.127 O.OI 3/2* 3.119 3/2" 1.205 0.13 13/2" 3.236

1.352 5/2" 1.240 0.16 '5/2*) 3.332 5/2* 3.271 7 /2 ' 1.471 0.18 G/2*. 3.488 5/2* 3.674 3/2" 1.4 72 0.04 (5/2*. 3.593 5/2* 3.743 1/2" 1.567 0.05 i

23/2" 3.793 9/2" 1.670 0.01 15/2" 3.934 5/2" i .703 0.01 19/2" 3.969 ! 1/2" 1.714 3 l O - 5

27/2* 4.013 13/2* 1.814 0.76 25/2" 4.084 1

3/2" 1.815 5 I0" 5 21/2" 4.087 i 1/2" 3/2" 5/2"

1.836 1.885 1.914

0.02 0.02 3 10" 4

1/2* 3.838 1/2* 17/2" 21/2*

4.091 4.105 4.178

1

3/2" 1.933 2 10~ 4 1/2* 4.037 1/2* 5.009 7/2" 5/2"

2.028 2.045

3 10" 3

0.02 33/2* 29/2*

5.256 5.454

O/?*) 1.855 9/2* 11/2* 15/2*

2.277 2.3S0 2.570

25/2* 23/2* 27/2*

5.492 5.493 5.549

(5/2*) 2.920 5/2* 2.693 29/2~ 5.620 7/2* 2.714 31/2* 5.643

(9/2*) 2.566 9/2* 2.728 31/2" 6.6C2 17/2* 2.744 L_ 1

170

récenteEi sont résumées dans les Nuclear data sheet I Sen 78 J

et réferrent essentiellement aux articles (_An 70, Mo 72, Ro 75j.

Ce petit nombre de résultats expérimentaux explique sans doute

le désintérêt total des théoriciens pour ce noyau. C'est pour­

tant un noyau Intéressant car il permet de tester sur le systè­

me â trois trous l'interaction proton-proton (l'autre noyau pos-

sible pour ce genre d'études serait 1' Au mais il n'est pas

connu pour 1'instant). Nous avons fait figurer sur le tableau

XI, les énergies et les facteurs spectroscopiques de pick-up

d'un neutron correspondant a la rëation Hg (a, a+n) Hg.

Tous les états d'énergie inférieure â 2 Mev d'excitation ont été

reportés ainsi que bon nombre de niveaux yrast de haut spin. Le

fondamental 1/2" a été calculé a 21.806 HeV soJt quelques 300 keV

plus bas quo la valeur expérimentale 22.111 Me v. cet écart pro­

vient sans doute d'une mauvaise connaissance de la force proton-

proton. Le peu de données expérimentales n'autorise pas à des

conclusions définitives sauf peut-être pour fixer effectivement

le spin des deux premiers niveaux excités(bien que les valeurs

des énergies calculées soient trop basses). Pour les autres

niveaux de spin présumé les choses sont beaucoup plus aléatoires

en particulier pour le niveau de parité positive observé â

1.6SS MeV. L'état de parité positive d'énergie la plus basse est

un état 9/2+ calculé â 2.277 MeV! D'après nos calculs, il

semblerait que deux états au moins présentent une grande durée

de vie("yrast traps"); ce sont l'état 23/2" à 3.793 i!eV - qui

ne peut se désexciter que vers le 19/2* a 3.110 MeV par une

transition M2 ou E3 - et surtout l'état 33/2+ a 5.256 rie V qui

ne peut décroître que vers le niveau 27/2" â 4.013 'leV par une

transition E3. Ces conclusions devraient être assez insensibles

â la force étant donnée la grande profondeur "du piège".

Ce noyau demanderait d'autres études expérimentales mais

il faut avouer qu'il n'est pas facile â obtenir si ce n'est 204 par une réaction de transfert d'un neutron sur le Hg.

V - b Le 2 0 5T1

A l'inverse du précédent, ce noyau a, par contre, été le

fruit de plusieurs travaux expérimentaux; le fait que ce soit

171

TABLEAU XII

Identique au tableau XI pour le 2 0 5 T 1 avec S «Ut^ | dj Pb{0 ( )> |".

Le fondamental expérimental e s t a 21.364 He¥, la valeur calculée e s t

21.117 Mev.

—nmoscz rHEORIE EXPERIENCE THEORIE

J r E «S f E ! s'

0.856

J* | E ) S J - j E S

1/2* 0 . 0.7 m* 0 .

s'

0.856

J*

1 11/2* 2.162

3/2* 0.204 0.43 3/2* 0.333 0.656 • 13/2* 3.163

5/2* 0.619 0.067 5/2* 0.766 0.083 i i , 5 / 2 + 3.57P

3/2* 1.141 0.2 3/2* 1.094 0.186 |25/2* 3.634

7/2* 0.924 7/2* 1.175 0.011 (23/2^ 3 .13* 23/2* 3.719

1/2* 1.219 0.12 . / 2 * 1.186 0.043 29/2* 3.969

5/2* 1.160 5/2* 1.279 0.079 19/2* 3.990

3/2* 1.340. 0.10 3/2* I.32S 0.017 21/2* 4.058

(1/2*. 1.434 (0.15) 1/2*

5/2*

3/2*

7/2*

1.423

1.442

1.563

1.598

0.040

0.016

0 .

0 .

17/2*

27/2*

31/2*

33/2*

4.HB7

4.429

6.001

6.430

[M/2: 1.463 (0.44) 11/2" 1.616 0.779 15/2") 2.223 15/2" 2.259

5/2*

3/2*

9/2*

3/2*

1.622

1.625

1.638

1.704

0.108

0.057

0.014

7/2") 2.487

-

7/2"

13/2"

9/2"

17/2"

2.269

2.440

2.641

2.660

1/2* 1.731 0.004 (5/2") 2.623 5/2" 2.688 1/2*

1/2*

9/2*

1.739

1.813

1.825

0.001

0.005

19/?") 2.563 19/2"

3/2"

21/2"

2.869

3.058

3.236

[5/2*) 1.866 5/2*

7/2*

3/2*

5/2*

1.854

1.861

1.864

1.937

0.157

0.

0.001

D.084

23/2"

1/2"

35/2"

31/2"

27/2"

25/2"

29/2"

4.269

4.412

5.308

5.503

5.553

5.?67

5.639

33/2" 5.781

172

un noyau stable n'est pas étranger à l'intérêt qui lui est

porté. On trouvera encore dans la référence f Sch 78 J une

abondante littérature. Ce sont principalement les réactions

nucléaires qui ont servi â étudier ce noyau f Ch 72, Kr 73,

Gla 74, Ah 75, FI 77b 1 . Paradoxalement, les seuls travaux

théoriques consacrés 3 ce sujet sont plutôt rares et sont déjà

assez anciens fco 67, Al 67, Az 68', Lo I 69J . Il est inté­

ressant de souligner que toutes ces études ont été effectuées

dans le cadre du modèle particule-vibration c'est-à-dire avec

une base tout à fait analogue à la notre. Par contre, ces au­

teurs' ont pris un nombre de couches moindre et ont considéré

les phonons de façon macroscopique. Il nous a paru justifié de

faire un calcul de modèle en couches complet dans ce cas (la

matrice la plus grosse S diagonaliBer est de dimension 191

correspondant a l'état 7/2 ). Lea résultats sont reportés sur

le tableau XII. Comme d'habitude, nous avons fait figurer tous

les niveaux jusqu'à 2 MeV d'excitation ainsi que les niveaux

yrast de haut spin. Le facteur spectroscopique S correspond à

la réaction de pick-up d'un proton 2 0 6 P b (a, a+p) 2 0 5Tl. L'état

fondamental l/2+ a été calculé à 21.117 MeV; c'est la encore

trop bas puisque la valeur expérimentale est de 21.364 MeV. Les

résultats obtenus sont satisfaisants tant du point de vue éner­

gie que du point de vue facteurs spectroscopiques. Il existe

néanmoins quelques inversions de niveaux. De plus, l'état iso-

mérique à 3.152 MeV a été affecté du spin 23/2+ d'après des

calculs de modèle en couches limités â une seule couche. Il

semble d'après nos résultats que ce soit plutôt un état 25/2 .

Néanmoins, dans ce cas particulier, la force utilisée peut

avoir quelque influence sur l'ordre des niveaux.

D'autres données expérimentales - en particulier des

probabilités de transtion électromagnétique - sont souhaitables

pour ce noyau.

Nous possédons quelques renseignements expérimentaux sur

ce noyau mais si le nombre de niveaux connus est assez importait

l'affectation de spin et de parité est loin d'être complète.

r TABLEAU X I I I

EXPERIENCE THEORIE THEORIE

j " E J * E SI S2 j " K 1 S l S2

9 / 2 * 0 . 9 / 2 * 0 . 0 .91 0.11 11/2* 1.773 ; 0 . .0

; 11 /2* 0.687 11 /2 * 0.754 0 .85 0 .01 9 / 2 * 1.779 ! °- 0 .

• 9 / 2 * 1.153 0 .06 0 .30 13 /2* 1.781 i (5/2*) i .049 5 /2 * 1.154 0.29 . 7 / 2 * 1.802 I

7 /2 * 1.159 0.02 0.89 11/2* 1.803 io. 0 .

11 /2* 1.159 0 . 0 .37 7 / 2 * I.80S 0 . 0 . 0 .

;i5/2i 1.065 15/2" 1.193 0.77 3 /2 * 1.810 0 .

13 /2* 1.278 19 /2* 1.835

9 / 2 * 1.358 0 . 0 .08 5 / 2 * 1.875 0 .53

M / 2 * 1.438 0 . 0 .55 9 / 2 * 1.882 0 . 0 .

7 /2 * 1.478 0 . 0 . 9 / 2 * 1.936 0 . 0 .

1/2* 1.509 0.17 1 1 / ' * 1.037

3 /2 *

7 /2*

15/2*

17/2*

1.510

I.S25

1.542

1.548

0 .05

0 . 0.04

17/2*

2 7 / 2 *

1.985

2.016

9 / 2 * 1.568 0 . 0 .19 11/2^ 1.263

( ï 9 / 2 ) i l .463 2 5 / 2 * 1.591 1 7 / 2 - 2.325

7 / 2 *

2 1 / 2 *

19 /2*

1.594

1.594

1.632

0 . 0 .08 i l / 2 "

9 / 2 *

7 / 2 "

2.356

2.390

2.394

5 /2 * 1.641 0.01 19/2" 2.455

5 /2 *

13 /2*

1.670

1.690

0 . 1/2"

5 / 2 " 2.463

2.463

7 / 2 *

. 3 / 2 *

2 3 / 2 *

1.701

1.274

1.729

0 . 0 . 3 / 2 "

2 1 / 2 "

2 7 / 2 "

r>.486

' . .633

' . 6 4 9

1

I . / 2 *

15/2*

1.742

1.745

0 . 0 . 2 3 / 2 "

25 /2"

29 /2"

2.660

2.683 ' . .706

33 /2"

3 7 / 2 *

2.928

3.541 ]

TSVP

r 174

TABLEAU X I n ( S u i t e )

Identique au tableau XI pour le Po avec S. »|<(j! | d* Po(0*)v |" et S2 -|< 1J1 | cT„,, Bi(l")> | . Le fondamental experimental est a - 13.336 MeV, la valeur calculée est - 13.284 MeV

THEORIE THEORIE

J * . E . 8 , , S , J n

E 1 ' « *2 ! [

35/2 + , 4.072 f

33/2* 4.084 39/2" 5.786 31/2* 4.209 35/2" 6.076

29/2 4.212 i 37/2 6.318

173

Les références expérimentales â consulter sont I Ya 70, Ja 75,

Oa 76, Ha 76, Ma 78 1. Dans ce cas encore il existe très peu

de travaux théoriques â notre connaissance. Dans le tableau

XIII nous avons fait apparaître le spectre d'énergie, le fac­

teur spectroscopigue de stripping d'un neutron Si correspondant 210 211

à la réaction Po (a, a-n) Po ainsi que le facteur spectro-scopique de stripping d'un proton S2 dans l'orbite h „,- à par-

— 210 tir du fondamental 1 du Bi.Du point de vue experiment, 1 seuls sont donnés les niveaux ayant un spin présumé. Aucune don­

née expérimentale concernant les réactions décrites n'est dis­

ponible. On constate que certains niveaux ont tendance à être

peuplés fortement par un type de réaction et peu par l'autre

et inversement. Cela veut dire que les deux réactions suggérées

sont complémentaires pour l'étude de ce noyau. Cela signifie

aussi qu'en cas de troncatlon de la base il faille certainement

envisager les deux types de base A et B. Le fondamental 9/2 a

été calculé a - 13.284 Me.A'en très bon accord avec la valeur

expérimentale - 13.336 MeV . Pour ce noyau, la matrice la

plus grosse â diagonaliser est de dimension 296 correspondant

aux états 9/2 . En ce gui concerne l'état isomërique observé S

1.463 Mev (J } 19/2), le candidat le plus probable est un ni­

veau 25/2+calculé à 1.591 Me V (ou encore le 21/2+ â 1.594 Mey ) .

Il est vraisemblable qu'un autre état de haut spin soit aussi

isomërique; l'état 37/2+ â 3.541 Me Vest tout à fait désigné

pour jouer ce rOle.

D'autres études sur ce noyau sont souhaitables.

V - • Le 2 1 1Bi

Nous possédons également quelques données expérimentales

intéressantes concernant ce noyau [GO 68, FI 76, 77a, Ma 78, J 211

, mais de même que dans le cas du Po très peu de

spins ont pu être affectés aux niveaux observés dans les diver­

ses réactions nucléaires. Quelques calculs théoriques ont été

entrepris dans le cadre du modèle particule-vibration [ Rao 71,

Ba 73 1, Nous présentons dans le tableau XIV les résultats d'un

calcul de modèle en couches complet pour lequel la dimension

EXl'F.RIKNC.K TIIEOPIE EXPL»IESCh TUEUR!F 1 . ] " E S J ï ï F. SI S2 S . f 1 r. 1 s .1" 1 r SI S2 s

9 / 2 " 0 . 44. 9 / 2 " 0 . 0 . 8 0 0 . 1 7 5 .57 ; 1 .170 j 21 l « / 2 ~ ' . 1 .240 1 8 . 6

7 / 2 " 0 . 4 0 5 7 / 2 " 0 . 6 3 7 0 . 4 4 0 . 3 4 1 5/?~! 1.257 0 .

( M / 2 ) " 0 . 7 6 6 9 l l / 2 ~ 0 . 7 3 6 0 . 3 5 10 .6 7/2* [ 1.283 0 . 0 . 0 1

9 / 2 " 0 . 8 3 2 14 9 / 2 * 0 . 7 7 0 0 . 1 6 0 . 2 5 2 . 7 0 1 1 / 2 " 1 . 3 0 3 0 . 0 . 0 6 ;

0 . 7 3 9 1 3 / 2 " 0 . 8 1 4 10 .1 9 / 2 * 1 .312 0 . 0 . 0 . 0 2

5 / 2 * 0 . 8 4 3 0 . 0 1 1 3 / 2 " 1 .33' . ; 0 . 0 1

7 / 2 * 0 . 8 7 4 0 . 2 3 0 . 6 3 1 1 / 2 * 1 .349 i 0 . 0 . 1 4

9 / 2 * 0 . 9 5 6 0 . 0 . 0 7 0 . 1 5 1.389 21 2 3 / 2 * ' 1 . 3 5 0 ' 1 7 . 7

1 1 / 2 " 1 .046 0 . 5 7 0 . 6 6 , 1 5 / 2 " 1.356 I 0 . 1 0

7 / 2 " 1 .075 0 . 0 . 0 1 1 3/2" 1 .379 0 .

1 .118 20 1 7 / 2 * 1 .107 j , 6 . . 1 1 / 2 " 1 .390 0 . 0 .

7 / 2 " 1.112 0 . 0 . 0 3 l 3 / 2 ~ 1 .390 0 .

1 .136 18 1 5 / 2 " 1.114 15 .2 1 7 / 2 " 1 .415 0 . 8 5

3/2" 1.115 0 . 1 7 / 2 " 1.449 0 . 1 9 0 .

/ 2 * 1 .125 0 . 1 9 / 2 " 1 .457 0 . 0 2

9 / 2 " 1 .155 0 . 0 . 2 0 . 0 . 0 9 9 / 2 " 1 .473 I 0 . 0 . 0 .

1.217 25 2 1 / 2 * 1.197 y y 9 2 9 / 2 * 1 .493 !

1 .257 42 2 5 / 2 "

1 1 / 2 "

1.199

1 .242 0 .

3 7 . 5

0 . 0 1

. 3 / 2 *

1 3 / 2 *

1 .539

1.541

0 . 6 P

0 . 1 4

5 / 2 " 1.244

1 3 / 2 " II . 245

0 .

2 . 4 6

3 / 2 *

1 1 / 2 * 1 .573

1 .579 0 . 0 . 0 2

1 1 . i 5 / 2 " 1 .583 1 0 . 1 0

r 177

« c - ï

Ô S « o O O a c O O

CI

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w M or C O V , •

THE C C

e>.

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C

THE

c if> *n S m o» e>.

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1 1 1 i 1 1 , 1 1 1 1 1 4- + + • + + + i- <s M M M

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* •n "i r- r * r». i * . 00 00 CO

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| 1 1 1 i 1 + + 1 1 1 N M OJ M (M <* CM ( S M « M C«J r i C I « s 1 • ^ • * - -. "5 «r» «n t n <n i n en «n r* r»

~ " ™ "" ™" "" "~ "™ *~ ** • •

TABLEAU XIV (Su i t e )

Identique ou tableau XI pour le 2 l l B i avec SI - l<ù | d * 2 , 0 P b ( O*) ^ 2 S2 - |<* | C „ , , 2 , 0 B i ( r ) > i 2

+ 210 ~ 2 u l \ ' 'x g? /_ e t S - (2J f+l)|<iJi | c „ , , Bi(9 ) >| .Le fondamental expérinental e s t a - 13.529 MeV»la valeur calculée â - 13.406 He/.

1 THEORIE | THEORIE

j " E SI S2 S ] J' r. SI S? S

21/2* 2.379 33/2" 3.691

27/2* 2.401 3I/2 - 3.821

35/2* 2.464 35/2~ 3.828 1

25/2* 2.466 39/2 3.929 ! 29/2* 2.486 41/2* 5.264

37/2 3.591 37/2* 5.553

39/2* 5.844

i

179

maximum des matrices a diagonaliser est 371 (états 9/2 ). Nous

avons porte tous les niveaux jusqu'à 2 Mev d'excitation ainsi

que les niveaux de haut spin. SI représente le facteur spectro-

scopique de Btrlpping d'un proton correspondant â la réaction

Pb (a, a-p) Bi et S2 le facteur spectroscopique de strip­

ping d'un neutron dans l'orbite g a /- a partir du fondamental 210

1 du Bi. Ces quantités n'ont pas été mesurées expérimenta­lement. Par contre, l'étude de la réaction 2 1 0Bi m(d,p) 2 1 1Bi â 20 Mev | Han 78 J a permis de mesurer les facteurs spectro-scopiques de transfert du neutron dans l'orbite g a /, 8 partir

- 210 '

du niveau isomerique 9 â 271 kev du Bi. Ce que nous avons

fait figurer dans le tableau XIII c'est ce facteur multiplie

par (2Jf+I) de façon â pouvoir comparer aux valeurs expérimen­

tales. t

L'énergie du fondamental calculé est trop grande d'une

centaine de kev par rapport S la valeur expérimentale

(-13.406 MeV contre - 13.529 MeV) ce qui est malgré tout un

bon résultat. Il a été écrit que le niveau 7/2" & 0.405 Mev ne pouvait être reproduit dans le cadre du modèle en couches

[Ba 73 J. Nous montrons qu'avec un traitement complet de tou­

tes les couches nous obtenons cet état malgré tout. Par contre,

il est vrai que l'énergie calculée est trop élevée; il est pos­

sible que l'excitation octupolaire du coeur s'avère indispensa­

ble pour décrire correctement cet état [Ba 73 J. L'examen des

énergies et surtout du facteur spectroscopique S permet de fixer

sans trop d'ambiguïté les spins des niveaux observés 3

1.118 MeV (17/2"), 1136 MeV (15/2"), 1.217 MeV (21/2"),

1.257 MeV (25/2"), 1.270 MeV (19/2"), 1.389 MeV (23/2-). Par

contre, il reste un problême pour les niveaux expérimentaux â

0.793 MeV et 0.832 MeV. A ce dernier avec un S égal â 14 a été

affecté le spin 9/2~, le premier étant de spin inconnu et ayant

une valeur de S inférieure â 4. D'après nos calculs, le niveau

9/2~ correspondrait plutôt â l'état observé à 0.793 Mev, i e

niveau â 0.832 Mev étant alors un 13/2". Ce ne serait d'ailleurs

pas en contradiction avec l'interprétation de la référence

| Han 78 J . Ou point de vue des états isomériques de haut

spin, l'état 33/2 à 2.335 Me v serait un bon candidat pour un

180

tel rfile mais dans ce noyau aussi l'ordre des niveaux devrait

dépendre de façon assez sensible de la force utilisée.

De façon générale, on a pu voir que le modèle en couches

traité avec la force de Kuo - Herling donne de très bons résul­

tats dans la région des plombs.

181

TROISIEME PARTIE

LES ETATS MULTIPHONONS COLLECTIFS

K1"» 0*DANS LES NOYAUX DEFORMES

Lorsqu'on entreprend l ' é tude microscopique des noyaux déformés; 150 < A £. 180(ou 220 < A) i l faut bien gar­der â l ' e s p r i t deux c a r a c t é r i s t i q u e s :

- i l s sont é lo ignés des couches magiques - l e s corré la t i ons de pa ires y jouent un rô le important .

On pourrait bien entendu jouer l e jeu des chapitres précédents e t chercher une descr ip t ion raisonnable de ces no­yaux en empilant l e s uns sur l e s autres des phonons c a l c u l é s dans une base sphérique. Cette approche s e r a i t de l o i n l a plus s a t i s f a i s a n t e car e l l e permettrai t une compréhension plus ne t t e de l a t r a n s i t i o n forme sphérique-forme déformée sur un fonde­ment complètement microscopique. Malheureusement, l e nombre de phonons élémentaires â deux p a r t i c u l e s e s t typiquement de l ' o r ­dre de la d i z a i n e ; outre des développements théoriques poussés , i l s e r a i t absolument nécessa ire d'avoir une descr ip t ion p a r f a i ­t e de ces phonons de base , ce qui sous-entend un t r è s bonne connaissance des in t erac t ions nucléa ires dans c e s rég ions . Ce n ' e s t pas l e c a s .

Une approche phénoménologique plus ou moins équivalente â cette façon de fai­re a été appliquée avec un succès certain:c'est l e modèle des bosons. en in terac t ion d'Arima e t Iachello[_Ar 75,Ar 76a,b,Ar 77,1a 74a,b j A t e l point que bon nombre d'auteurs t r a v a i l l e n t sur une descr ipt ion microscopique de l ' I B A d n t e r a c t i n g boson approxima­t i o n ) . La vo i e la p lus couramment u t i l i s é e r e s t e t o u t e f o i s l 'emploi d'une base i n d i v i d u e l l e déformée. C e l l e - c i peut prove­nir d'un traitement Hartree-Fock, d'un Hamiltonien de type Woods-Saxon ou plus sdsplenent àe type N i l s s o n . Quoiqu'i l en s o i t ces bases v i o l e n t une symétrie e s s e n t i e l l e de l 'Hamilto-

182

nien ! l'invariance par rotation. On ne la recouvre qu'après

certains procédés mathématiques qui ont pour nom méthode

de projection (coordonnée génératrice ou Pelorls-Yoccoz et leurs

variantes), multiplicateurs de Lagrange (cranking et variantes)

ou modèle unifié de Bohr-Mottelson. Dans toute cette partie,

nous emploierons l'approche de Bohr et Mottelson mais ce

n'est pas notre propos essentiel. Il suffit de considérer un

Hamiltonien intrinsèque qui n'est pas invariant par rotation

mais qui conserve tout de même la symétrie axiale et l'inva­

riance par renversement du temps. Dans ces conditions, la

fonction d'onde intrinsèque est caractérisée par le nombre

quantique K qui indique la projection sur l'axe z lié au

noyau du moment angulaire. Les états |(jiK> sont dégénérés

avec |*_K> â cause du renversement du temps. L'abolition

de la contrainte d'un bon moment angulaire évite l'emploi

de l'algèbre de Racah qui était un frein important pour

l'étude des états a nombreux phonons dans l'optique des

chapitres précédents.

L'autre aspect évoqué au début est relatif aux corré­

lations de paires i une certaine prépondérance des forces

couplant deux particules S X » 0. On sait que celle-ci joue

un rôle de premier ordre dans les noyaux de la région considé­

rée. La prise en compte correcte de telles forces fait appel

a la transformation canonique de Bogoluybov-Valatin|Bo58,Va58|

Il ne faut plus traiter avec les opérateurs de particules

C R (n désignant j ainsi que tous les autres nombres quanti-

ques nécessaires) mais avec des opérateurs de quasi-particu­

les a définis par

a + = D C -o V „ C „ "= + 1 ou - 1 o n n an n —an

Il'opérateur C est le renversé dans le temps de C |

L'état de référence ou fondamental |o> pour un noyau pair-

pair est _ ___ i5> = [XT °°"J |0> = ^ V V n C-n> l°>

183

Cet é t a t b r i s e une nouvel le symétrie de l 'Hamiltonien â savo ir la conservation du nombre de p a r t i c u l e s . La méthode h a b i t u e l l e pour recouvrer (en part ie ) c e t t e symétrie e s t l 'analogue de la méthode du cranking c i t é e plus haut. On minimise l ' é n e r g i e de p&ti- X N avec la contra inte que le nombre de particules soit conservé en moyenne • L e s é t a t s e x c i t é s du noyau obtenus de c e t t e façon sont l e s é t a t s â 2q-p, 4 q - ç . . . ( a n a l o g u e s aux é t a t s l p - l t , 2 p - 2 t , . . . des noyaux non superf luides ) notés a + a * |o>, a* a+ a + o* |o*> . . . A pr i o r i i l faudrait r e -

n l n 2 "l n 2 n 3 n 4 commencer la procédure de minimisation pour déterminer l e p o t e n t i e l chimique * afiférant à chaque é t a t (problème du blocage) mais dans la pratique on garde l e même p o t e n t i e l que c e l u i obtenu pour l e fondamental. De p l u s , on considère tou­jours l e s fonctions propres de H -> N en arguant du f a i t que s i l e s énergies propres correspondantes sont cer t e s d i f f é ­rentes de c e l l e s de H, l e s d i f f érences d'éneroie (ou spectre) sont pratiquement identicrues.Néanmoins,ce traitement partiel de la non conservation du nombre de particule:» n'élirire nns les états nara-jltes ré­s u l t a n t s de c e t t e br i sure de •ymétrie , e t i l faut s 'entourer de beaucoup de précaution avant d'affirmer qu'un é t a t théor i ­que représente un é t a t physique.

Dans l e s noyaux pa ir - p a i r déformés i l e s t d'usage d'appeler selon Bohr-Mottelson l e s é t a t s intr insèques (ou t ê t e sde bande) de K* = 0*vibrations 8 e t K" = 2 + v ibrat ions y (dégénérés avec K = - 2 ) . Dans l 'ancienne vers ion macroscopi­

que de Bohr l e s v ibrat ions S conservent l a symétrie a x i a l e de la déformation d ' é q u i l i b r e , l e s v ibrat ions y l a d é t r u i ­sent tout en conservant au noyau une forme quadrupolaire ( e l ­l i p s o ï d e t r i a x i a l ) . Dans l e s vers ions p lus modernes e t micros­copiques ces é t a t s sont des superpos i t ions cohérentes d ' é t a t s â 2 q-particules ; en d'autres termes, ce sont des phonons

ïii<n Dans tous les cas connus expërimentalenent les niveaux g et y sont situés en

dessous des énergies des é t a t s à 2 q u a s i - p a r t i c u l e s . La s e u l e façon d'expl iquer c e l a e s t de supposer des é t a t s t r è s c o l l e c ­t i f s ,1a force r é s i d u e l l e - de type quadrupole-quadrupole gêné-

184

raletnent - permettant à de tels états de descendre sensible­

ment en Énergie. A partir de ce fait, la philosophie adoptée

dans les deux premières parties subsiste ; il vaut mieux gar­

der les opérateurs P„ comme entités fondamentales et chercher

des états qui soient des empilements de phonons. La grande

différence c'est que maintenant les états â n phonons sont des

états 3 2 n quasi-particules et décrivent (en partie tout au

moins) des niveaux du même noyau que les états â O ou 1

phonon.

Les secondes têtes de bandes K* = O et K = 2 du 1 5 4Gd sont situées à une énergie plus basse que deux

fois l'énergie du gap'. Ces états se désintè­

grent plus spontanément vers les bandes g et y 1 ue vers le

fondamental, ce qui suggère une struc­

ture proche d'état a deux phonons, en tous cas collectifs. Dans

un modèle purement harmonique, ou les phonons P„ seraient des

bosons purs, sans interaction, de quanta u „ > on aurait le

schéma suivant

Y-Y

S fi

éta ts â 2 phonons

é ta ts à l phonon

iondamantal K=C K=2

D'autre par t , les relations u . . » 2<u PB P

confirment

K = 4 T

Y ' "YY " " Y c e t t e i n t e r p r é t a t i o n . On a cherché à e x p l i ­

quer les déviations par racnort 3 l'harmonicité de nombreuses façons. Les

r . n plus courantes étant la. HRPA (Higher Random Phase Approximation) et les développements bosoniques BE (boson expansions).

Dans ce qui suit, nous allons examiner quelques aspects concernant ce sujet. Afin d'alléger l'écriture, nous emploie-rons volontairement la notation 10 > au lle-i de|0 > pour désigner le fondamental superfluide du noyau étudié.

186

CHAPITRE I

LES ETATS k"= 0+COLLECTIFS:THE0RIE

I-a Définitions

Comme dans l e cas d'un noyau normal, on peut appliquer le modèle en couches à un noyau superf luide • E n p a r t i c u l i e r , pour étudier l e s é t a t s K • 0 on peut prendre comme base l e vide | 0> , l e s é t a t s à 2q-p couples â K » O, l e s é t a t s à 4q-p cou­

p l é s à K = 0 , . . . , l e s é t a t s a 2nq-p couplés a K = O.Nêanroins cette base est , de par ses dimensions, peu adaptée à notre problems. Canne nous l 'avons déjà remarqué l e s é t a t s a un phonon sont souvent t r è s c o l l e c t i f s e t nous pouvons e x p l o i t e r c e t argument pour réduire la dimension de notre base de d i a g o n a l i s a t i o n .

+ Soient P„(i) l e s operateurs de type TDA qui créent l e s pho-

nons corrë l ê s

* » - £ • £ [ • £ • £ ] „ - * £ « S [*•£], (i,D

avec la propriété de symétrie

mn nm

Nous avons supposé une seule espèce de particule? dans le

but de simplifier l'écriture mais la généralisation â deux

espèces est triviale : il suffit de sommer les quantités rela­

tives aux deux espèces. La signification de K a été déjà ex­

plicitée, i désigne l'ensemble des autres nombres quantiques.

Le phonon noté par 1=1 est par définition celui d'énergie la

plus basse, en général le plus collectif, et ainsi de suite

par ordre d'énergie croissante. Une autre base possible

pour les états K - O est

187

P* (i.) P* (i,)... PÎ (in) |0> L K « 0 (1,3) Kl i K2 2 Kn n i»l i

De façon générale, cette base n'est ni orthogonale, ni norraée;

de plus, elle est surcomplète. Nous avons examiné en détail

les propriétés de ces bases dans la partie précédente. Dans

ce chapitre, nous considérerons uniquement les états collec­

tifs i = 1 et couplés à K = O; nous simplifierons donc l'écri­

ture en posant P = P„ _ (i»l). La prépondérance des états

collectifs explique la première contrainte; la deuxième est

purement arbitraire et suppose un couplage faible entre les 154

états K = 2 et K = O. Dans le Gd le niveau g est très

en-dessous du niveau y et c'est sans doute dans ce noyau

que cette hypothèse est la plus justifiée. De toutes façons,

il est possible d'améliorer la œscription pour tenir conple des

phonons K « 2 ou -2. La simplicité relative de ce modèle est

aussi pédagogique. Dans ce cas, la base utilisée pour le pro­

blème aux valeurs propres se réduit i (P*)* |0 > k - 0,1,...N (1,4)

Il est facile de voir que c'est une base orthogonale donc com­

plète dans l'espace qu'elle engendre. Par contre, elle n'est

pis normée S cause de l'importance du principe de Pauli. Nous

désignerons par |k > le vecteur norme et pa- N k le coeffi­

cient de normalisation

k>= N k ( P+ ) k lo >

(I, 5)

Si P +

< était

k'!k>= «j*. un opérateur de boson pur le calcul de la norme

serait très simple

]" 1/2 II ,6)

Le principe de Pauli agit de façon beaucoup plus subtile et rend le

calcul de la norme plus ardu. One méthode directe

consisterait à appliquer crûment le théorème de Wick. C

est possible pojr k = 1,2 ou 3; le travail se complique de fa­

çon exponentielle lorsque la valeur de k auamente. on peut

tenir un raisonnement analogue pour le calcul des éléments de

186

matrice d'un opérateur quelconque < k'ITIIC» . Nous allons cal­

culer ces quantités de façon originale par une méthode de ré­

currence, il est a noter que toute la physique est entièrement

contenue dans les amplitudes X . Bien qu'en principe on dé­

duise celles-ci des équations TDA pour les états a 2q-p la

suite du raisonnement s'applique pour n'importe quelle matrice an­

tisymétrique (nous supposons sans perte de généralité que X

est réelle,ce qui est toujours le cas dans la pratique). Les

seuls ingrédients mathématiques sont les relations d'anticom­

mutation des a d'où nous déduisons

{a a ,a a + I = 6 6 —6 6 -S a a +6 a a . n m ' p q J pm qn qm pn pm q n pn q m

+6 a a -6 a a qm p n qn p m

'm an ' ap aqJ - 6pn a m aq " Sqn am ap

K °£ '"» "n] * ° (I'7' Les puissances respectives de la matrice X s'introduiront

d'elles-mêmes : elles sont définies de façon standard

{ X 'an " 2 * «Pi XPiP 2 "" XPk-l n

Nous allons d'abord calculer la norme puis les éléments de

matrice de n'importe quel opérateur â deux corpsT Si 11b?8J

I-b Calcul de la norme

Notre but est l'évaluation de l'expression :

N k 2 = < 0 l p k< p +> k! ° * «.9) Pour cela, nous généralisons la méthode suggérée par Holz-

warth et al. £ HO 76 J

Définissons l'opérateur R, par

puis par récurrence

«2P= [; •[-• ; r Jl R 2 P + l= [ [ R

2 p' P ] ' P J

189

Un simple exerc ice de mathématique donne leurs ex­press ions fermées

R

2 P = 2 2 P " 1 E ( x 4 P + 1 ' - « n « m ( I ' U )

m.n 22*> £ (X4 2p+l A_^ mn m n

r m,n On vérifie a lors facilement l e s propr ié tés su ivantes

< 0 | R , n + . T| 0> =< 0 | T R, | 0> = 0 Ï T , VP

[ K 2 p . X ' P + ] = [ P ' R 2 p J O

< ° ! p R 2 P + i ! 0 > = " 2 2 P T r « x 4 p * 4 » ( i . i 2 )

< 0 | R 2 p P + | 0> = - 2 2 P" l Tr ( X 4 p + 2 )

Alors N~ 2 =< O | P k ( P l k |0> - *0 | P k _ 1 rP,P +j(P +) k" 1jO>

+< O | P k ~ l P* P ( P * ) k - 1 |0 >

En introduisant a nouveau le commutateur dans le 2ôme membre,

on arrive â déplacer l'opérateur P jusqu'à l'extrême droite,

où agissant sur |0> ,11 donne O. Nous pouvons donc réécrire

N V - E < 0 l p < p > p > P J ( p > '° > B 2 - h<M K i«0 l i*>

Notons tout de suite une propriété très importante des L. k-l + k _ i _ 1 + i _ l

L^k) = <0 |P K *(P ) RjlP*) |0> +

,0 IP11"1^*) ™ [r.P^pV^iO >

Comme | R 1 . p 1 = 0 d'après(1,12) l e premier terme vaut

A1<k) = <0| P k _ 1 RjtP*) k " 2 |0> s i b ien que

LjOO = Lj.jjk) + Aj(k)

En reportant cette valeur dans N. on en déduit

\ 2 = c k N k - i + c k A i < k ) c i . " ) p

où l e s CT sont l e s coefficients du binfce usuels p k '

C k = pi (k-p) !' * N o u s avons u t i l i s é la propriété que

190

Lo(k) ~<0 jP^^P*)* 1" 1 [p,P*l|0>-<0 i P ^ t p V " 1 |0> -Nfc_,.

Cette norme est supposée connue et tout le problème se reporte

dans le calcul de A,(k). De façon plus générale, nous définis­

sons les quantités

A W R ) . < 0 | P""2»-1 H 2 p + 1 < P V - 2 » - 2 ! 0 >

(1,14)

A 2 p(k) -«O. P"-^" 1 B 2 p ( P + ) k ' 2 p |0 »

Par une technique de commutateurs analogue â celle que nous

venons d'exposer il est facile de déduire que

A p(k)= - 2P-1 C>. p Tr (X

2P + 2) N - f p . l + C 2 _ p A p + , ( k , ( I # 1 5 )

Ainsi, on calcule A. â partir de A 2 ,A, à partir de A, et ain­

si de suite. Quel est le dernier A que l'on calcule ? Si k est

pair k = 2p on voit que A, D (k) = O; el k est imoair k=2p0+l<

alors A;>o+i"<> * °- D a n s t o u s i e s c a s » Aif ( k' = o et le

dernier A non nul est

A k - l ( k ) " " 2 k " 2 T r < î c 2 k ) ( I ' l 6 )

Ces relations sont suffisantes pour calculer la norme : on

applique les relations de récurrence (1,13) et (1,15) avec

la condition initiale (1,16). Malgré tout cette formulation

n'est pas très attrayante ; on peut facilement enlever les

quantités A_(k). Dans ce but, i. est commode de faire apparaî­

tre une norme réduite %rT. définie par

K - ^ - [k ! 4 2 «•»» La formule finale qui donne la norme prend alors la forme

trës simple

- 4 £ 1r<xn+2)JlT_„_, avec JÇ = 1 par définition

Jt l (1,18)

191

Cette formule de récurrence se prête très bien 3 un calcul nu­

mérique puisque toutes les factorielles ont été blo­

quées dans la nouvelle quantité •"*• L e deuxième terme du

membre de droite est un terme d'échange qui traduit le prin­

cipe de Pauli et qui mesure la différence entre la norme

N. et la norme d'un boson pur. Si on néglige ce terme, alorr.

* ° [ k ! ] - 1 e t P*r suite Nk = N k = [ k '] "1/2 ' ° n a p p e l l e

"quasi boson" cette approximation; elle est équivalente â

ne retenir que les termes en 66 du premier commutateur (1,7)

Ce pourrait être l'approximation d'ordre 1 d'une série d'ap­

proximations d'ordre plus êlevë qu'il nous reste â définir.

Les quantités physiques sont les traces des puissances de

matrice. Celles-ci demandent des temps de calcul qui croissent

très vite en fonction de la puissance considérée. Si nous dé­

sirons faire le calcul exact de N. il est nécessaire de cal-2k

culer leB diverses puissances paires jusqu'à X . Nous pou­vons définir une expression approchée d'ordre p à l'aide des prescriptions suivantes

R 2 diffuse dans tous les états ( p à 2 )

R , diffuse seulement dans les états collectifs

Cela signifie que le jeu joué précédemment,au lieu de se ter­

miner par A k - 1(k), s'achève sur A l ( k ) »-2p"2Tr(X2p)N^f ,

Dans ce cas l'expression approchée de la norme s'écrit

k jflPi - _ I Ë Tr(X 2* + 2l l/V*'*' " 5 (K-P+D Tr(X2plx K "k " 2 f=0 r l ' ' k-i-1 l

^ k ? p + 1 P * 2 { I ' 1 9 >

Les normes ont été remplacées par leurs expressions appro­

chées et en comparant avec (1,18) on s'aperçoit que les ter­

mes les plus longs â calculer

x-^ 2 Î.+2 ifi y Tr(X ) «'•]c_jl_1 se réduisent maintenant a un

seul terme (k-p+1) Tr(X2p)ifl'P' . La puissance la plus éle-k-p+1

2P> vée à calculer reste à présent Tr{X p ) . Il est facile de se

convaincre que l'approximation d'ordre p donne exactement les

192

p premières normes et ne commence à s'écarter du cas exact

que pour N_+, . C'est a partir de ce moment aussi que le prin­

cipe de Pauli est violé. L'approximation d'Holzwarth et al.

r Ho 76 J correspond simplement a notre approxima­

tion d'ordre 2. Nous examinerons un peu plus bas les consé­

quences numériques de ces diverses approximations; intéres­

sons nous plutôt au calcul des éléments de matrice d'un opé­

rateur quelconque â deux corps sur l'espace S" engendré

par nos vecteurs I k> .

I-c - Calcul de <k Ifjp > dans

La première chose â faire est d'exprime.r l'opérateur à

l'aide des opérateurs de quasi-particules

T = T 0+ T u + T 2 Q + T 4 0 + T 3 1 + T 2 2

lll JLd mn am an

T 2 0 " \f Fmn [ a m a n + a n a m i Inn

T 4 0 * ] £ pmnoq [ am a n a p \ % a p °n a m l mnpq

V „ T+ + + + 1 T 3 1 - jfa Rmnpq | > ttn <*p «q + «q *p a n amJ

E r + + * • • i mnpq ^ p L m n p q q p n m j

T22 mnpq

Pour simplifier l'opérateur a été supposé hermitique

mais ce n'est pas une condition nécessaire pour notre théorie

(il suffit de traiter séparément T.- et T 0 4 #etc...). Dans le

cas où T est l'Hamiltonien H on suppose le plus souvent que

H, 0 est nul comme conséquence du théorème de Thouless .

L'évaluation des éléments de matrice de T., et T,- qui sont

des opérateurs â un corps ne présente pas de difficultés et

se mène de façon tout â fait analogue à celle qui a conduit

au calcul de la norme. Nous n'insistons donc pas sur les

193

détails et donnons directement les résultats exacts et les approximations d'ordre p fc

wp)<*\«:«n\*>lp) - - § « " > « *, 4-1

(P) k-i

( k - P + i ) ( x 2 p ) i n n . r ^

[•«.il <M.:O ~ > w -(p) k-p+l

Les approximations d'ordre p fournissent les valeurs exactes des éléments de matrice jusqu'à k « p. Dans ce cas encore, on tient compte des termes négligés dans la sommation à l'ai­de d'un terme supplémentaire qui viole néanmoins le principe de Pauli.

Comme prototype d'éléments de matrice d'un opérateur à deux corps, étudions en détail la partie T.-

Soit donc le calcul de

A l(k) - <0 | P k + 2 a * a* a* a* (P +) k |0 > (1,22)

Nous allons utiliser une technique de commutateurs multiples un peu plus compliquée mais en tout point analogue 3 celle utilisée pour la norme Soit R, • o_ a„ a- a- et par récurrence

^ -[». [ 4 - [p- R

2p-J]]] 1 (1,23)

194

Nous aurons également besoin des opérateurs d'engloutissement partiels

R ( 1 > K 2 p +

1 -(iJ^b ^J-B ** 44<i^ + J 1 opérateuaP i opérateur P

<I.2<> i-1.2,3 En s 'armant d'un peu de patience e t de beaucoup de papier nous pouvons déduire les propriétés suivantes :

R ^ - M O ^ S .x2*-1)^ (x2*-^ a*"1)

a 2 * " 1 )

pt rstu

a a a a 'qu r s t u

p . M M 2 * ^ (X2p> (X2p» (X 2 pl (X2p> a + o + a + a* R2p+1 , 4 - ' Li {* 'mr l* ' n s 1 * ' p t , x 'qu r s t u rstu

< 0 l R 2 p + l T| 0> -< 0 | R^plj T|0> -< 0|T R< p V-<0 |T R 2 p |0>- 0

[R2p+1' P + ] " ° * [ P ' R2p] «'«M»

« x 4 p + 1 ) n D " « 4 p + 1 » m w 4 p + 1 ) m 1 np mp nq J

< 0 | R » » P + | 0 > - 2 ( 4 . ' ) 2 p " 1 { ( X 4 p - 1 ) m n ( X 4 p - 1 ) p ( 3 ^ p - 1 ) r o q X

np mp nq j

Dans le cours de la démonstration nous verrons aussi apparaî­tre des quantités fondamentales

A-(k) = <0| P k - 4 p + 2 R , 0 ( P + ) k + 4 - 4 p IO> p p (1,26)

A 2 p + 1 ( k ) ^ 0 | P k - 4 p + 2 R 2 p + 1 ( P + ) k - 4 p | o >

L«» (2p+l.k> =<0 p 1 n g ^ p k - 4 P + 2 - i - j ( p + ) k - 4 p ( Q > ^

Lp> <2P,k) - < 0 | P k - 4 p « ( P + ) k + 4 - " 5 - l - j R ( 5 ) ( p + ) i | 0 >

j = 1 ' 2 ' 3

19S

On peut montrer facilement la relation de recurrence sur les L.

L t J ) " Li-V + ^ î * " i m 1'2'3 ( I' 2 7> En partant de ( 1,22) A^k) -< P k + 2 R 1(P

+) k> et en faisant remonter R. vers la gauche i l'aide des commutateurs nous pouvons écrire

A l < l t ) * ^ ^UM ( I' 2 8 )

Laissons tomber provisoirement les arguments des L, et intro­duisons formellement

m=o En tenant compte de la propriété (1,2 7) et du fait que L Q 1 ' = 0 d'après <IÏ?.5) il vient

V k ) * s < k l i " s k l l h s k 2 > t I ' 2 9 )

•i" » • L'élimination de s} de cette formule de récurrence conduit a

(1) _ ** s (2) ._ _ k+l " 2-_ s i «.*»

En effectuant le même genre de manipulations sur les quantités (21

L nous arrivons i ^

•{ a ) - «=i« tf' «*>+ S s

t

( 3 ) « ^ et

S i 3 1 * Ct+1 L " > C 1 ' k > + Ct+1 A 2 ( k ) 0.3» En remontant en sens inverse et en utilisant l'identité combi-natoire suivante

t 3+1 " <$2 ( I' 3 3 )

il est trivial d'obtenir l'expression de A,

A l { k ) = 4*2 L ô 2 > U ' k ) + Ck+2 L ô 3 > «'*> + 4+2 V k )

(1,34) Il est loisible de répéter les mêmes sortes de calculs sur A (k) pour obtenir la loi de récurrence plus générale

A p ( k > - C k + 4 - 2 P ^2 ) <P'k> + Ck+4-2p V k > + 4 + 4 . 2 p A p + 1(k)

(1.35)

196

D'après les définitions des A (k) il est facile de se convain­

cre que le dernier A â calculer est :

V W 0 * L Ô 2 > («k/^l.W S i k •" ' *** (1,36)

} « > [J£+I f l t] + L Q < 3 ) [ k + L r k ] s i k e s t impair (k+l)/Zl~ O

La formule de récurrence (1,35 ) avec la condition aux limites

(1,36) est suffisante pour déterminer A.(k) une fois que les

L ' 2 > et L ' 3 ) sont connus. A partir de sa définition on tire (2)

aisément la valeur de L 0

L< 2> <p,k) = 2 ( 4 ! ) P _ 1 i ( X 2 p " 1 ) m n ( X2 P " 1 ) n „ + (X

2P _ 1) (X 2^ 1) 0 ( mn pq mj np

- ( X 2 p _ 1 l fX 2P" ll I N - 2 (1.37) ( X 'mp ( X 'nq ( Nk+2-2p

Le calcul de L 0 est un oeu plus lonn car il

nécessite le calcul de quantités comme •-P n + a a ( P + ) n >

qui fort heureusement découlent de (1,11 ).Enfin :

k-«^2p

L^ 3 ) <p,k) = 6<4I) p _ 1<k+2-2p)! (k+l-2p)i / ]

2p-l 1

'iter np nq np irp nq

- (X2?"1) (X 2P* , r t t) i P.»)

mp nq j

A ce stade le problème est entièrement résolu, néanmoins nous

aurons avantage 5 éliminer comme nrécédemment les quan­

tités A du formalisme. Après toute cette petite cuisine, le

résultat final est plus sympathique

r 11/2 C k / 2 ^

[ < « <] <*«!«: % *; °qi*> - s <-2* K + 1 , - ' x 2 £ + l ' + ( x 2 t + 1 ) m ( x 2 £ + 1 , - ( x 2 £ + 1 ) ( x 2 1 + 1 ,

mq np 'mp ' n q

« C l - 2 D - I l t x 2 P + 1 + " > m n « ^ " ' ' o a + W 2 P _ I > n < X 2 P + 1 + 2 * > M K+l -^p - fc i mn pq nn pq

197

[ik-n/îl k-l-21

S E / H , , , !<*2£+3+2J>mn «"*'»„ • t-0 j -0

+ ( x 2 Z + . ^ ( x 2 « + 2 J v . ( x 2 , . + 3 + 2 J v ( x 2 J + 1 ) r e j . ( x 2 , H ) n p ( x 2 ^ 3 + 2 j ) n ( i j

(1,39)

Dans la borne de sommation le symbole [x] veut dire l'entier

le plus grand inférieur ou égal à x ( [x] = m m<x<m+l ).

On peut vérifier d'un coup d'oeil que les règles de symétrie

de a _<* ta *a * sont entièrement satisfaites par l'expression m n p q complète. Il est 3 remarquer également que les normes réduites

<IT introduites primitivement pour le calcul de la norme sont

les ingrédients de base de la formule générale. Ces normes ré­

duites sont donc un outil très pratique pour tous ces genres

de problème . Pour des raisons similaires 3 celles exposées

dans le calcul de la norme on peut se mettre en quête d'appro­

ximations. Pour cela, nous demandons 3 nouveau que R 1 diffuse

dans tous les états mais H_ seulement dans les états collectifs. P

Nous préciserons l'ordre d'approximation a posteriori. Juste à titre d'exemple prenons p = 2p. Dans ce cas

k-4p>2 . k+4-4p^ A 2 P o

< k ) = < 0 l R 2 p P ( P > l 0 > " <° lR2pl 2 * * k-4p +2 . k+4-2p„

<r2 |P ° (P+) V° ]0 >

N 2 \À-l» <°! B 2 P ' ***»- «I N k ' 4 - 4 P n

L o ^ 2 P o ' 4 P o - 2 >

Un raisonnement identique pour p = 2p +1 conduit 3 la formule

plus générale

2 , ( 2 )

Ap(k) = N^ N"2 4_ 2 p L Q <p,2p-2) {I,40)

Ainsi, la récurrence s'arrête sur cette valeur. Nous voyons

d'après (I, 36) que si 2 p = k+2 la valeur approchée (1,40) est

égale à la valeur exacte (1,36). Cela signifie que cette appro­

ximation calcule les éléments de matrice <k'la a a' a |K/-2 >

198

exactement jusqu'à k = 2p; nous l 'appelerons donc approximation d'ordre 2p. En fa i t ,nous ne pouvons d é f i n i r que des approxima­t ions d 'ordre pair à cause du caractère â deux coros de l'opé­rateur. On pourrait d é f i n i r par prolongement analytique une approximation d'ordre impair mais c e l l e - c i s e r a i t une condition ad hoc sans r é e l l e j u s t i f i c a t i o n . Nous préférons nous en t e ­nir â des approximations d'ordre pair . Pour res ter cohérents nous devrons également remplacer dans l ' express ion obtenue l e s JCet l e s L par des quant i tés approchées qui permettent t o u t e f o i s l e ca lcu l exact jusqu'à< 2n| T 4 Q i 2p-2 > . Le r é s u l t a t e s t l e suivant

+ 1 l „ ' i i 2 W ) m • < x 2 î + 1 > m 3 < x 2 i + 1 ) 1 1 D - < x 2 - + 1 ) < x 2 l + 1 ) ] mn pq mg np mp nq_y

( X 2

p-2 20-2J-4

LJ Z~> k-2 4-j-l f lx W * 'pq l 'mn

( x 2 U 3 + 2 j > p q + ( x 2 « + 3 + 2 j ) i K j ( x 2 ; * 1 ) n p + ( x 2 C + l ) m ( j ( x 2 , . + 3 + 2 j ) n p

-« 2 £ + 3 + 2 J >mp<" 2 i + ï » n q -^ 2 t + 1 > m p «2^*2\q }

+ ( k + 3 - 2 p ) ^^*£v^2'-*>mt**hvq*#'»*>mt x

- < x 4 P " 2 ' " 3 ' m P « 2 î + l ) n q - « 2 S + V X ^ 2 M ) J ( I ' 4 1 )

+ C2 Jr _ 1 i^ 2 P» i(x 2 P - 1 i fx2P-'> +rv2P-li + c k + 4 - 2 p " 2 OTk+4-2p f l X >mn ( X ' p q * ' 5 5 ' m q * ( X2 P-1 2p-l 2p-l j

np mp ' nq) Dans ce cas-là, la plus grande puissance â calculer est 4p—3 2k+l

x au lieu de X dans le cas complet d'où un gain appré­ciable en temps de calcul.

Nous avons conscience d'avoir été un peu long sur cet

exemple; nous ferons grâce au lecteur courageux qui a pu sur­

monter cet obstacle des démonstrations similaires relatives à

199

T., e t T , - . Contentons-nous d'exposer l e r é s u l t a t 3 1 2 2 pc+ll

-[K*l K]l/2< k + 1 1° ma n° p* q I k > ° V *d-2t S - 1

n-i j=o ' .

np nq np np m itp nq

(1.42)

+ perm, y p-1 2p-2-2i J

* i ^ > „ » 4 p ' 2 l " 1 i „ t « 4 p ' 2 l i f f l l x a ' 1 i „ - ^ W L « 4 p " 2 t ) 1 „ nq np nq np mp nq

mn pq

. ( x 4 p - 2 l - l ^ | np n q }

^+3-2?

La puissance la plus grande e s t dans ce cas X ^~ au l i e u de 2k X dans l e cas complet. L'approximation d'ordre 2 p donne

l e s éléments de matrice exacts jusqu'à <2p |T , |2p- l> . A présent l e T , -

k-1

" 4 * 1 4 4 «o «, I* >*£ Xpq!x2"+1»mn «Ci-i

+ Ê «Va, K l " , ) - ( , , a t + V * a i > * « a i U - " 2 t ) - a *

200

+

[ f J k - £- 1 JT^-I-J {»*+l+2\„^ pq mn

» =1 j=0

. 2 1 - 2 + 2 j , . „ » ) 2 1 , 2Î+2+2J )

( 3 ! ' m q l x np , x 'm 'npj

2p-2 (I/43>

L p-l c =0

k m n p V * Z-( pq l 'mn^k-f-l p-l c=0

+ £ Y ^ W - J 1 «" + , + 2 J »™> « * " > - • Potat ions 1 M j-0 t, m J

+(k+i-2P, «r<^ 2 p j g ( x 2 l - 1 ) i m ( x ^ 2 ^ i ) P 3 + ( x ^ ^ - ' , m n « x 2 ^ ' ) p ï

<2-2p / f 1 / ^ j ^ W ^ V ^ V ^ W ^ V ^ ' n p f 4p-l

Dans ce cas la plus grande puissance à calculer est X r au 2k—1 lieu de X dans le cas complet. L'approximation d'ordre 2p

donne les éléments de matrice exacts jusqu'à <2p | T 2 2 '2 p > '

Nous ne donnons ci-dessous que les résultats exacts de

ces éléments de matrice de T; les approximations d'ordre 2p en

découlent trivialement. Pour les parties à un corps de T

nous pouvons écrire de façon symbolique

«4T<k !T,,| k> = - y , JV - TrlE X21) k " fel k _* (1.44)

201

Pour simplifier l'écriture des parties à deux corps, nous

supposerons que les coefficients P,R,S, de (I, 20) possèdent

toutes les propriétés de symétrie des a ; par exemple

Pmnpq Pnmpq ** qpmn "" Il suffit alors d'introduire quelques quantités nouvelles

»fi(i,j> = 2 ^ mnpq 'Wq'^'mn^'pq ( M 5 )

Cf.u.i) = JLJ

•ïi(i-j)=£

pour obtenir défi

E^T j-0

- 2 4

+ 6

1/2 Ek+D/ 2 ]

[•Cl"C] <k +l |T 3 1 |k>.-3 2 P<«-1'"' «Vx-24

^ lt-2i-j P*<2ï+l+2j /2£) +3}j2W,2Ji+2+2j)j

C^<k|T 2 2 |k>= ' ^ < f x ( 2 * * 1 . D I * ^ W

( I ' 4 6 )

- 2 ^ . ^ jj£<2l-l»2ll+l)+ 2 t / r E (2£,2t) | £=1

|(k-l)/2j k-2*-l " £ J j k-2*-l-j p (2£+l+2j,2£+l)

+ «7j.(2fc-l,2£+3+2j) + *<f (2Jt+2+2j,2Jt)j

202

I - d - Approximation bosonlque d'Holzwarth

Les expressions exactes des éléments de matrices de T tien­

nent compte parfaitement du principe de Pauli. Néanmoins, si

on considère un grand nombre de phonons elles deviennent vite

coQteuses en temps de calcul . Nous avons par conséquent établi

des formules approchées pour pallier cet inconvénient. Evidem­

ment ces formules violent le principe de Pauli dans l'espace

de fermions considéré. Si on considère des approximations d'or­

dre élevé, elles sont elles aussi lourdes â manipuler ; de plus

la violation du principe de Pauli provient de deux sources :

remplacement de certains termes par d'autres et utilisation

d'une norme approchée. Ces deux sources peuvent avoir des effets

conjugués qui font boule de neige et rendent rapidement ino­

pérante cette méthode. Nous introduisons ici une autre technique

permettant d'effectuer des calculs approchés . Nous avons vu

qu'à l'approximation d'ordre 1 les phonons P + peuvent être

considérés comme des bosons purs dont les règles de commuta -

tion sont bien plus simples que celles régissant les phonons

véritables. L'idée consiste alors â changer d'espace, a se

placer dans un espace de bosons en s'efforçant au maximum de

respecter le principe de Pauli. C'est la philosophie inhérente

â tous les développements botaniques (BE). Nous considérons

ici un type de BE initialement suggéré par KleberTiu 69

puis dëvelopoë par la suite par Lie et Holzwarth^Li 75

sous le nom de développement bosonique de Marumori modifié.

Il est particulièrement adapté au cas ou les phonons sont

très collectifs. Nous établissons une correspondance univoque entre un état

+ le phonon |k> = N k (P ) |o> et un état boson

|kD= [k !] ~ 1 / 2 (B +) k |0>oû B + est un opérateur de boson pur

à l'aide d'un opérateur U. U+l k = - I* > (1.47) 0 |k> = Jk 3

Evidemment 0+ = S '|k> ck | U = S | k o < k | (1,48)

k k

203

(B)

Nous cherchons l'expression d'un opérateur T' en base boson

qui vérifie les propriétés suivantes <k|T|)t ,> - ck| T ( B ) | k'3 (1,49)

I l n ' e s t pfcs d i f f i c i l e de montrer que

T < B ) - Z^ <k| T|k '> [ (k l ) tk ' !> | {B+)k|ODCD| B k ' ( I , 50 ) k ,k ' -0 L J

lOJest le vide de boson. Dans l'article de Harumori et al.

T Ma 64 3 o n trouve une démonstration (pas complète

â notre avis) de l'égalité suivante

| 0 D C 0 | = = exp - £ B + B : i * *

où l a notation : : signifie produit normal e t les B i sont tous les opérateurs de bosons e x i s t a n t s (e t non plus seulement l e s opérateurs c o l l e c t i f s B ) . Comme de toutes façons nous n'effec­tuerons des c a l c u l s que dans un espace engendré par l e s B s eu l s i l s u f f i t de prendre la r e s t r i c t i o n d e | 0 3 C 0 | a c e t espace i savoir

| 0 ^ C 0 | - : exp - B+B : - J ] j ^ ^ B * <I»51)

e t par conséquent

T( B) . £ ) < t- • - r i-^ ,_*.J«**'+» k,k',e-o

= k| T| k'> (k!)(k'l) TT-(Pl » L J ! (1,52)

Pour qui possède quelque technique dans l'ait du calcul combi-

natoire il n'est pas difficile de montrer que cette expression

vérifie bien la condition (I, 49) ce qui justifie (I, 51 )

a posteriori.

Bien entendu l'expression exacte (1,52) n'est d'aucun

intérêt pratique puisqu'elle nécessite le calcul de <k| T |k*>

pour tous les k et k* et par conséquent le problême est aussi

difficile que dans l'espace des fermions.L'approximation que

nous suggérons .après Holzwarth,c'est de ne retenir dans la

somme que les termes où k-t-k' i N (N étant un nombre quelcon­

que pas trop grand) et une truncation sur £ de façon cohérente;

par façon cohérente, nous entendons telle qu'elle ne modifie

pas les éléments calculés exactement dans le cadre de cette

approximation. Contrairement aux approximations dans 3* il

204

est tout a fait naturel d'introduire i c i des formules approchées d'ordre impair. Nous n'insistons pas sur les détails techniques pour nous arrêter plutôt sur l'expression approchée d'ordre p de l'opérateur a deux corps T.

, ( B ) ( p ) B Y <JilT^- Ï # V > k + * Bk + t

* * S ^ > (1,53)

• y 1 < fc*i|T|"> p y ~ k J = I * [ ' ( B + i k + m B , t H 4 B V + * * f 2 f ' k4b ki/E+r- ^ *•

+ £ <k+2|T|k > J j f i £ r ( B + ) k + 2 + ' B k + l

+ ( B + ) k + t B k + 2 + i ] p-2 p-2-k y <k+2iTik > y k=(> k!V(k+2)(k+1) l =0

Cette formule donne exactementCk| T l Tp) | k ' > =<k| T| k'> jusqu'à Max (k,k") • p . Cette méthode a l 'avantage d ' ê t re t rè s simple e t de ne plus contenir la norme, évitant l ' e f f e t boule de neige s i g n a l é plus haut. Si l ' o n d é s i r e connaître

C k | T t B ) (p) |k 'o avec k,k'>>p i l s u f f i t de c a l c u l e r tous l e s éléments de matrice exactB <z\T\l'> avec Max U , i ' ) S p e t des c o e f f i c i e n t s géométriques t rè s simples comme c k | B + p B q | k ' 3 . Cette méthode semble part icul ièrement attrayante mais nécessite d ' e t re t e s t é e auparavant. C'es t l ' o b l e t des prochains c h a o i t m s . Nous verrons. q u ' i l s ' i n t r o d u i t une valeur c r i t i ­que N du nonbre de phonons permis lorsqu'on travaille avec des expressions apporchées. Dans le cas où l'on uti l ise les développements boaoniques, Janssen e t a l j Ja 74 Jont tenté de donner une interpretation de l'origine de ce nonbre critique. Nous proposons une approche complètement différente e t peut-être plus générale.

Or. peut voir de façon un peu plus rigoureuse d'où vient le facteur de cut-off dans le cas du développement bosoraque.Pour cela,nous allons rechercher la relation directe entre les éléments de matrice dans l'espa­ce âstbosoiset les éléments correspondants dans l'espace datfermionvDans ce but.nous écrivons l'Hamiltonien d'ordre p sous la forme

? ( B b > - £ T U . I X B + W + f T ( t . i - l ) k ^ B 1 " 1 ^ * " 1 B*] J.=0 S&i L

Jt=0 «51 ,

1{l, 1-2) [(B^^B*-2 H - p y - 2 B lJ + £ 1 Kl, 1-2) |_(0 B* " + (BT B*-J (i,54) Les coefficients T('i# j) proviennent du rearrangement de (1,53 )

t T (l Jl - 5! < - ) 1 - n i < I"l Tl l n >

n m! U-m) !

T U , l - l > = £ (-)"'"' < m | T | ' n ' J ^ - (1.55) m»l U-m)! /ml (m- l ) !

TOM-2) - r <-) f t " m ) <"|T|m-2> ~ 1 , ( i-m)l/ml(m-2) ! m«2 p

Calculons par exemple c n | T* ( p ) | n D « - , £TU f fc)x

CO ^ " ( B ^ B * ^ |Or.

Faisant usage de la relation B 9 B »n!q! £ r! (q-r) ! (n-q+r) ! X

( B

+ ) ( " - q + r , B r " *

finalement p

C n | T ( B » (p)| o - n l £ -£li*ii-1=0 <n-S)i

Il suffit de reporter la valeur de T U,«.) en fonction de

<m| T| m>pour obtenir le résultat. Pour cela, nous utilisons

la formule suivante obtenue par récurrence

r C* C m t-)1'" - < - ) p _ m *n. IUO " * (n-mjinl (p-m) !

Nous donnons sans plus de détail les formules pour tous les

éléments de matrice nécessaires

(Ap est le coefficient de rearrangement usuel n(n-l) (n-2)

. . .Cn-p+1) )

e n l T ( B ) ( p ) ! n " > = A p + 1 £ ( - ) p " m < m | T | m " e n \i i p ) i m A n £ 1 j ( n-m)m!(p-m)! (1,56)

m=0 e n | T t B , ( p ) | n - l O = f T A » , f ( - ) p - m ? m <T< * » >

n l f i (n-m)(p-m)!/mi(m-l)!

P - l i <m |T lm-2 > i-iP-*1

m=2*

r B , P - U <m |T lm-2 > . . Cn |T<B> (p) Jn-23 - /nïïFTT A n _ 2 £ ( p _ m , t v , m l < m _ 2 ) 1 ' >

On peut se convaincre aisément que ces éléments sont des fonc­t i o n s de type "polynomial" «•» n dont les coefficients sont des combinaisons l i n é a i r e s des éléments <m| T| m*> . Suivant l e s valeurs de c e l l e s - c i l a fonct ion peut présenter des extrema mais finalement pour n -"», e l l e diverge vers ± <=.

r 206

Cependant, â cause du principe de Poali, les éléments exacts

<n | T |n*> tendent vers 0 lorsque n tend vers •» -On v o i t donc, q u e l l e que s o i t l 'approximation u t i l i s é c q u ' i l existe une

valeur H de n a p a r t i r de l a q u e l l e c e t t e approximation ne peut donner satisfaction.

207

CHAPITRE I I

LES ETATS i f - 0*COLLECTIFS : MODELE SIMPLE

Nous avons donné dans le chapitre précédent tous les elements néces­saires â la oonpréhension,dans notre modèle,des états K O très collec­t i f s e t présentant de plus un couplage f a i b l e avec l e s é t a t s Kr= 2 . Comme dans un cas r é a l i s t e l ' a p p l i c a t i o n des formules exactes peut s 'avérer t r è s longue l e but de ce chapitre e s t de t e s t e r l e s d i f f é r e n t e s approximations en fonction des d i f ­férents paramètres. Dans ce but, nous avons b i t i un modèle simple» où l e ca l cu l exact ne présente pas de d i f f i c u l t é s «et qui s o i t suffisamment r é a l i s t e pour donner l e s informations l e s plus c a r a c t é r i s t i q u e s .

Nous considérons 2 M p a r t i c u l e s remplissant 2 M niveaux doublement dégénérés , chaque niveau ayant un j d i f f é r e n t . L'écart en énergie entre deux niveaux consécut i f s e s t 2D e t on suppose que l ' i n t e r a c t i o n r é s i d u e l l e e s t de type pairing monopolaire de constante G. Nous ef fectuons l a transformation de Bogoluyhov-Valatin sur ce système e t notre espace de ferraion e s t l ' e space engendré par l e s q u a s i - p a r t i c u l e s a i n s i créées. Bien sûr, i l existe des solutions parasites dues a la non conservation du nombre de particules,nais nous les passons sous silence car ncus désirons seulement étudier i c i la qualité des diffCrentes approches en fonction du caractère

— collectif du phenon. La syjnétrle du problSne implique un potentiel cMrdque X équi-

d i s tan t des couches extrêmes. Nous le prenons comme référence d'éner-

X=0_ m gie X = O. Lorsque l'on rësoud les

équations TDA on se rend compte

v* qu'elles se séparent en deux grou-•*»*• pes complètement disjoints de symé­trie différente.

206

Le planter groupe noté I est te l que X 2 M ( . 1 _ i , _ ( 3 w - i ) = X. . ( 1 - 1 , . . . H ) e t l ' équat ion de d i spers ion correspondante e s t

M r 1-1 1/G - £ 2 E, - «I (11,1)

i - 1 L X

Le deuxième groupe noté II est te l que Xgwi.i -(2-+i-i) « - X._. (i»l,...M ) avec l'équation de dispersion

l/G £ e 2 E2 2 [2 E ± - u,]"1 (11,2) i-i

La solution la plus basse de I se situe bien en dessous

du gap 2 A et présente tous les caractères collectifs. La

solution la plus basse de II est voisine de 2& et

n'est jamais collective. Comme l'étude des différentes appro­

ximations en fonction de la collectivité est un de nos princi­

paux objectifs nous retiendrons dans nos calculs uniquement

La solution collective de I. On varie le caractère collectif

de façon très simple en changeant le rapport i ou 7 n u û

Plus petit est r , plus grande est la collectivité. Comme

nous nous intéressons aux niveaux 0 et que par hypothèse

nos couches individuelles possèdent toutes des jzdifférents,

la matrice X ne possède que les éléments "diagonaux" X m,-m

donc P + " £ Xn. -n1 "m"*--, <"»3) m m'

C'est cette simplicité de la matrice qui rend tous les cal­

culs très rapides. Dans des cas plus réalistes les élé­

ments "diagonaux" sont toujours prépondérants, ce jui don­

ne un sens à ce modèle simple.

II - a - Etude de la norme

Il est facile de se convaincre que les quantités dyna-2K. miques Tr" (X ) valent

Tr (X2£> = M 4 2 £ (X^p) 2* ( I I # 4 )

Considérées comme fonction de t. , ces nombres forment une série alternée. De plus, la condition de normalisation de

l'état P + ! 0> qui est Tr(X2 ) = -2 entraîne que les X

209

EXACTES

ORDRE 2

8 9 10n

FIGURE 1

Normes réduites exactes VL)n et d' ordre deux (<Og pour

quelques valeurs du paramètre de collectivité D/A.Dans ce cas,le

noniire de niveaux êguldistants est 2M=10.

210

sont tous Inférieurs a un, ce qui conduit a la de-

croissance de la série, décroissance d'autant plus rapide que

l'état est plus collectif. Plutôt que d'étudier (Venous

avons préféré, après Holzwarth, prendre le rapport plus parlant

<^ H=&|l k l< k'H • "3" " *' "k a i ' 5 )

™k + k

qui mesure l'écart du phonon (P ) | 0 > par rapport au boson (B +) k10D.

Nous avons fait l'étude de i\K\,)a et de diverses approxi-Ifl (ni D

mations ( W K ! H

e n fonct ion du rapport * e t du nombre de couches 2 M. L'approximation d'ordre 1 ou quasi-boson donne toujours ( >*v)H * ! • L'approximation d'ordre 2 e s t c e l l e suggé­rée in i t i a l ement par Holzwarth. Sur la f igure [ ljnous avons représenté l a s o l u t i o n exacte e t l 'approximation d'ordre deux pour d i f f é r e n t e s c o l l e c t i v i t é s de l a s o l u t i o n TDA e t 2 M « 10. Nous voyons que lorsque l e nombre de phonons c r o i t , l 'appro­ximation s ' é c a r t e de p lus en plus de la valeur exacte .Toute­fois,plus la collectivité est grande,plus l'approximation est bonne,mais ce n'est pas une surprise puisque l'origine de l'approximation réside dans le fait que R, diffuse seulement dans les étnts collectifs et que ce­la devient de plus en plus vrai lorsque la collectivité augmente. I l est clair égalèrent que lorsque -^ -ilmlnue, l es courbe--, exactes sont de plus en plus étalées;cela signifie que le terme d ' échange de (1,18) e s t de p lus en p lus f a i b l e . Autrement d i t , p lus l a c o l l e c t i v i t é augmente, plus l e phonon se comporte comme un boson. Enfin, nous voyons apparaître un nombre de phonons c r i t i q u e N au-delà duquel l 'approximation perd son sens car l i f ) „ devient négat i f c e qui e s t absurde pour une norme. On peut avoir une idée de ce nombre a p a r t i r de l ' e x p r e s s i o n e x p l i ­c i t e de < « * £ > H 2 ) .

Tant que l e terme entre crochets r e s t e p o s i t i f l e s normes r e s t e n t p o s i t i v e s , puis ,dës que k a t t e i n t une valeur N qui rend ce terme négat i f , l e s normes o s c i l l e n t al ternativement

r 211

FIGURE 2

ordreJ:guas[-bosoni

Comparaison entre différentes approximations <J>nf^ pour la norma réduite.Les paramètres uti l isés sont D/A« 0.2 e t 2»«10 .Mise en évidence du rorbre critique

7 8 9 10

Valeurs exactes e t approchées des normes (<\)H four l e phononlP ) |0>; les cases sans chiffre représentent la valeur exacte . 2M = 10; D/A = 0.2 .

ncttbre de phonons Exact ordre 2 ordre 3 ordre 4 ordre 5 ordre 6

1 1

2 0.8274 3 0.5562 0.5418

4 0.2979 0.2613 0.3112

5 0.1244 0.8092X1O'1 0.1739 O.H03

6 0.3944X10"1 0.1109X10"1 0.1353 - 0.2252X10-1 0.5764x10"'

7 0.9136X10 -2 -O.3943X10-3 O.1480 - 0.1136 0.1007 - 0.1857xlO_1

8 0.1456xlO~2 0.8186x10"* 0.1946 - 0.1142 0.2054 - 0.1562

9 0.1428X10 -3 -0.3115X10 - 4 0.2965 0.6105X10-1 0.2598 -0.3905

10 0.6504X1O-5 0.1723xlO~4 O.5120 0.4282 0.3204 - O.S465

TABLEAU I

213

entre une valeur négative et une valeur positive. Ainsi, le

paramètre

„ . iroçli = Trjxli ( I I , 7 )

* Tr(X'')

fournit une bonne approximation du nombre critique

N 0 *[n _ 1 ] (H.8)

Lorsque l ' é t a t e s t un é t a t pur 3deux q - p a r t i c u l e s , un X - 1 / 2 1

vaut 2 ' l e s autres va lent O e t n = -s donnent N = 2 +5

(c'est aussi la valeur exacte puisque dans ce cas P |0 > = 0 }

Lorsque l'état est complètement collectif tous les X sont

égaux et n - (2M' conduisant à N_ = 2M (c'est aussi la va-+ 2M4-1 leur exacte car nous avons toujours (P ) |O >*0 ). Existe-

t-il des N pour les autres approximations ? Sur la figuref2 J

nous avons tracé la valeur de ("Ijjj pour plusieurs appro­

ximations dans le cas 2 M » 10 et S = 0.2 (collectivité h

moyenne correspondant à un cas réaliste). Nous pouvons tirer plusieurs enseignement» remarquables.

Les approximations d'ordre pair conduisent a des va­

leurs de la norme négative, ce qui est absurde. Les approxima­

tions d 'ordre impair passent par un minimum puis divergent.

Il est intéressant de noter que les ennuis commencent de fa­

çon qualitative pour une valeur unique N du nombre de phonons,

( soit que la norme devienne négative, soit

qu'elle s'écarte de plus de 50% de la valeur exacte). Ce

résultat reste valable quels que soient les paramètres mis en jeu.

Four chaque ensemble de valeurs T- ou M ,il existe un nombre

critique N pour lequel toutes les approximations d'ordre p

avec p <N deviennent erronées. Si p > N les normes sont

exactes jusqu'à Iff puis sont complètement fausses dés

t/fl+1- Le tableau I correspond aux mêmes données que la figure [2]

mais permet une vision plus quantitative de toutes ces choses.

Ces considérations signifient que le principe de Pauli

veut bien se laisser approcher jusqu'à un certain point mais

qu'ensuite il faut mettre le prix. L'origine de ce nombre H

n'est pas clarifiée à l'heure actuelle; il pourrait être

rélië au facteur de coupure d'un schéma SU(6) pour un déve­

loppement bosonique. Pour décrire les propriétés physiques

Valeurs exactes e t approchées de <k|H|k'> en Mev. D = 0.2,A =1.0, 2M = 10. Les valours affectées aux cases blanches sont égales â la valeur exacte.

~ > > * " \ k

< k | H | V > ^ V i ^ 1 2 , 4 5 6 7 8 9 10

< k | H n | k > ordre 2 ordre 4 ordre 6

2.390 4.873 7.471 7 .526

10.198 10.530

13.066 14.469 13.446

16.080 22.879

6.637

19.241 -29 .512

15.048 11.796

22.540 8 .608

18.591 16.736

25.971 14.121 15.207 19.504

29.519 17.544 21.329 22.408

< k | H 2 2 | k > ordre 2 ordre 4 ordre 6

-1 .145 -2 .065 -2 .771 -2 ,836

- 3 .267 - 3.639

- 3 .560 - 3.649 - 5.059 -10.630 - 3.277 -11.521

- 3.536 44.918

- 6.835 -10.241

- 3.222 10.273

- 3.936 - 8.604

- 2.707 8.553

-29.535 - 8.833

- 2.001 9.243

-12.816 - 8.913

< klH^lk > ordre 2 ordre 4 onîre 6

1.245 2.606 4.700 4.690

6.931 6.891

9.507 9.410

10.169

12.431 12.248

- 4.883

15.704 15.405 8.212 1.555

19.318 18.881 14.655 8.131

23.264 22.675

-14.328 10.670

27.518 26.788

8.513 13.495

< k | H 4 0 | k - 2 > ordre 2 ordre 4 ordre 6

0 . 0.807 1.253 1.131

1.568 1.221

1.762 1.084 1.914

1.836 0.708

*

1.788 * * *

1.614 0.403

- 5.166 *

1.309 - 1.498

#• 0.035

0.858 2.730

* -1.295

TABLEAU I I

n

215

d'un système de fermions dans un espace de bosons possédant

la symétrie SU(6), il n'est pas fondé de considérer un espace

qui contient plus de N bosons. Le rapport avec SU(6) dans

notre cas vient peut-être du fait que nous n'avons jamais

considéré plus de 2 M = 20 niveaux . Quoiqu'il en soit, il est

nécessaire d'avoir une idée de N avant d'entreprendre des

calculs dynamiques. L'estimation (11,8) est assez bonne pour

cela. Pour k < N les approximations d'ordre pair sont situées

en-dessous de la valeur exacte, alors que le contraire est

vrai pour les approximations d'ordre impair. Cela provient du 2»

fait que Tr (X ) est une série alternée. Ces termes alternés

assurent aussi la convergence du reste de la norme

alors que l'expression approchée £f Tr U * - ) ^

lk-p+1) Tr (X p) •'V-D n e c o n v e r 9 e P a s lorsque k croît et conduit aux ennuis déjà évoqués.

L'ordre des approximations â utiliser dans un calcul

réaliste dépend de ce qu1 on cherche. Si le phonon est très

collectif et si nous désirons une approximation d'ensemble

pour les normes tfl. 1 * apt "..imation d'ordre 2 est certaine­

ment la meilleure. Si le phonon est peu collectif et si nous

avons besoin d'une bonne précision sur les t*. avec de fai­

bles k(c'est le cas dans les B E) il est alors préférable

d'utiliser une formule plus sophistiquée.

II - D - Etude dynamique dans l'espace de fermions

Nous avons calculé les différents éléments de matrice

<k I H |k'> ainsi que plusieurs approximations. Dans le tableau u

nous avons résumé les résultats obtenus dans le cas 2M = 10

et D = 0.2 MeV / 4 = 1 MeV. Avec ces paramètres N est égal â

6 et te tableau peut être divisé en deux régions : k < H et

kàN . Dans le cadre de ce petit modèle, les symétries sont tel­

les que l'on a toujours <k + 1 |H 3 1|k^= o, aussi nous avons

calculé seulement les éléments de matrice H,.,H.,,

HTDA = Hll + H22 e t H40' E n c e q u i c o n c e r n e l e s approximations d'ordre 2 p nous avons appliqué les formules données au cha­pitre précédent â la différence toutefois que les L' au

216

E

6.

5.5-

35

3.

1.5 «F

.N

FIGURE 3

Etude de la convergence en énergie des trois premiers niveaux

excités en fonction de la dimension H4-1 de la base de diagonalisation.

Plusieures approximations dans 1* espace de fermions sont reportées,

lies paramètres des calculs sont D/A = 0.3 et 2M=8 .L' énergie est

en unités de D.

217

lieu d'être approchés de façon cohérente, ont été calculés

exactement (cette modification est plutôt mineure et ne modi­

fie pas les conclusions). Pour certaines approximations la

norme Jlfi , devient négative et par conséquent le facteur

I 1/2

+ 2 > ^ k 2 P ' J d e < K + 2 ! H 4 o ' k > P e r d s o n s e n s - D a n s c e

cas, nous avons marqué la case par un astérisque . Nous remar­

quons que les approximations sont d'autant meilleures que leur

ordre est élevé tant que le nombre de phonon n'excède

pas N • Ensuite, toutes sont également erronées. Même du

point de vue dynamique, N joue un r61e important mais il ne

faut pas perdre de vue que les normes interviennent directe­

ment dans le calcul des éléments de matrice et ceci implique

cela. Il y a tout de même une exception de taille; bien que

< k | H. ,| k -> ( 2 ) et< k | H,, j k > ( 2 ) soient séparément fausses (21

pour k > N , leur somme < k | H_D.| k > est remarquable­

ment bonne quel que soit k. Ce phénomène n'est vrai que pour

la seconde approximation. Nous n'avons pas d'explication défi­

nitive de ce comportement mais il est probablement dû a la

symétrie particulière de notre modèle. Dans tous les cas,

l'accord avec la valeur exacte est d* autant r.eilleur que la

collectivité est grande.

Occupons nous maintenant de diagonaliser la matrice H

ainsi obtenue. La figuref3J montre le spectre des trois

premiers niveaux excités lorsqu'on augmente la dimension de

la matrice. On voit que la stabilité est obtenue d'autant

plus vite que l'état est bas en énergie. Dans ce cas, nous

avons pris 2M = 8 et D/A = 0.3,pour accentuer la différence

entre les diverses approximations. Comme c'était le cas pour

les éléments de matrice, la précision est d'autant meilleure

que l'ordre et la collectivité sont plus forts.

Néanmoins, il convient de souligner un point important qui ne

figure pas sur la courbe. Lorsque la dimension de la base est

supérieure â N c, il apparaît des états dangereux dans la

4ème et la 6ème approximation; ces états

sont composés surtout d'un grand nombre de phonons (et

devraient donc être d'énergie élevée) et,de fait,doaeonc2cnt

K

Spectres obtenus car diagonalisation dans deux escaces différents et pour 2 valeurs extraies de D-'A ici 2H = 6

Etats

rentre de phonons

Espace collectif 3 ^ , esoace couplet CPT Etats

rentre de phonons "ira H BPA

H I4l» "RPA H

1

D/7KJ.1 2

3

4

5

6

1.0497

2.4483

4.195

6.289

8.729

11.512

0.955

2.547

4.467

6.674

9.127

11.796

0.955

2.547

4.467

6.674

9.127

11.796

1.0497

2.4478

4.194

6.288

8.728

11.512

0.956

2.549

4.469

6.677

9.131

11.800

0.924

2.521

4.428

6.718

9.406

12.470

1

2

3

D/VO.5 4

. 5

6

1.3505

3.3515

6.351

10.086

14.689

19.842

1.266

3.503

6.668

10.503

15.134

20.177

1.266

3.503

6.668

1O.503

15.134

20.177

1.3505

3.281

6.238

9.636

14.614

19.842

1.317

3.561

6.736

10.206

15.279

20.434

1.085

2.981

6.468

10.377

16.246

22.232

TABI£AU III

i i

r très bas en énergie,au point de devenir parfois le fondamental.

Ce genre d'intrus n'apparaît pas dans la seconde approxima­

tion ce qui est compréhensible car ces états proviennent

essentiellement d' un mauvais conditionnement de

la matrice : pour la seconde approximatioijUj^.qui constitue la

partie prépondérante de l'Hamiltonien, ne présente pas d'en­

nuis sérieux. Ajoutons que nous avons fixé arbitrairement

â zéro les éléments incalculables de H,Q (cases marquées

d ' un astërisTue ). Dans la figure F 3 1 nous avons éliminé ces

états non désirables.

Nous avions introduit l'espace 3" c engendré par tous les

états collectifs |k > de façon 3 prendre «n compte la majeure

partie de l'information physique tout en évitant de trop

grosses matrices. Cette simplification néglige évidemment

le couplage entre les degrés de liberté collectifs et non col­

lectifs. Nous avons voulu étudier cet effet dans cet modèle

simple où cela est possible. Dans ce but, nous avons considé­

ré aussi l'espace j'T(dont j'_ est un aoua-espace] engendré

par les états de séniorité zéro

|m1m2...mk> - „* 0_^ ^ a!^..*^ a X n J 0 > '

La dimension iejf est 2^" alors que celle de wP est seu­

lement 2M+1. Pour rendre la comparaison plus claire il est

indispensable de retenir- parmi tous les états propres dans

y - ceux dont le recouvrement avec les états de J*_ est

le plus proche de l'unité. La différence en énergie entre

deux états correspondants représente les effets du couplage

entre les phonons collectifs et non collectifs. Le tableau III

exhibe cet effet ainsi que la contribution de chaque partie

de l'Hamiltonien dans deux cas extrêmes de collectivité

- = 0.1 et — = 0.5 ,pour un modèle â 2 M = 6. On voit sur A A

le spectre complet que l'influence de H., est d'abaisser le

premier état et de remonter les autres; l'effet de H,, est

faible sur les états â peu de phonons mais il prend de l'im­

portance sur les états d'énergie élevée. L'effet de H,, est

moindre que celui de H. sur les états très collectifs, par

contre, il devient prépondérant dans le cas contraire. Comme

Hemes calculs que le tableau limais dans l'espace de bosonS

^ - s . k aslHik'a^v^

1 2 3 4 5 G 7 8 9 10

C M C l^ 4 )

1.245 2.808 4.700

4.691

6.931

6.891

9.507

9 .410

9.506

12.431

12.248

12.431

15.704

15.405

15.711

19.318

18.881

19.347

23.264

22.675

23.339

27.518

26.788

27.686

Ck |H^ |k-2 3

£k|H*0 |k- 2J 2>

« k ^ |k-2|>4)

0 0.807 1.252

1.397

1.568

1.976

1.762

2.551

1.764

1.836

3.124

1.814

1.788

3.697

1.804

1.614

4.269

1.652

1.309

4.841

1.387

0.858

5.412

1.010

TABLEAU IV

221

dans J? la contribution de H., est nulle pour des raisons

de symétrie inhérentes au problème, il vaut mieux comparer

H„„. = H__, + H,,, dans les deux espaces. Pour D/t =0.) la RPA TDA 40 troncature de la base n'a pratiquement aucune Influence sur

les états collectifs, le couplage entre les branches collec­

tives et non collectives étant de l'ordre de 10 . Pour

D'i s o.5, la base tronquée reste néanmoins très raisonnable

puisque le couplage est de l'ordre d'une dizaine de pour

cent. Toutefois, il ne faudrait pas se hâter de conclure que

les mènes ordres de grandeur s'appliquent dans un cas plus

réaliste : la svmttrie simplificatrice n'existe plus et

les états parasites (dûs à la non conservation du nombre de

particules) sont probablement plus cachés. La majeure partie

de l'interaction est contenue dans H_ D f t et ceci explique que

le. choix d'un phonon TOA soit un bon point de départ. Il est évident qu'a cause du principe de Pauli, le spectre

n'est plus harmonique. Notons que l'énergie u-n est tou-+ 2

jours supérieure à 2 « ce qui est contraire & la situation expérimentale. Cela suggère qu'il soit nécessaire d'adopter

un autre type de force dans ce cas (quadrupole -quadrupole,

pairinq quadruBOlaire).

L'étude de ce modèle a permis de montrer que dans certai­

nes circonstances la diagonalisation de H dans une base res­

treinte aux états collectifs donne une bonne description des

niveaux collectifs les plus bas en énergie. II - c - Etude dynamique dans l'espace de bosons

Nous avons vu que les diverses approximations étudiées

précédemment, excepté peut-être la seconde,présente des mau­

vais comportements des que k > N . Nous espérons tourner cette

difficulté en travaillant dans un espace de bosons collectifs

*» . Dans ce cas, l'approximation d'ordre 2 p (qui donne B B

exactementck |H |k'D jusqu'à (2p |H |p') est un développe­

ment d'ordre 4p en termes d'opérateurs de bosons en ce sens

que l'Hamiltonien contient des opérateurs de bosons jusqu'à

(B +) 2 p(B 2 p). Là, nous n'étudions que H^ 2 > et H^ 4 >. Le tableau

IV est l'analogue exact du tableau II . Tous les paramètres

222

FIGURE 4

Etude du spectre pour différentes approximations traitées dans

le texte.L' énergie est en unité de D et les paramètres utilises

sont D/A = 0.3 et 2M-6 .

A : Oiagonalisation dans 1' espace complet 3^ des q-parti< >iles.

B : Diaqonalisation dans 1' espace collectif { T des q-p.

C s Approximation d* ordre deux dans Vl. D : Diagonalisation dans 1' espace collectif Ja, des bosons.

Approximation d' ordre 2.Dimension de 1' espace 2MH.

E s Identique â D avec une dimension N c.

F : Identique à D avec 1' approximation d' ordre 4.

G : Identique 3 E avec 1' approximation d' ordre 4.

223

sont identiques. Le premier point à noter c'est qu'il n'existe

pas de discontinuité formelle pour k - N . De plus

Ck | H^ k 3 < 2 ) est rigoureusement égal a<k | H | k > < 2 ) pour des

raisons qui ne nous sont pas claires mais qui sont a rapprocher

du bon comportement de cette approximation.

Par contre ck | H^ Jc-23 ' est raisonnable jusqu'à k » 6 puis

diverge de plus en plus. Par contre, l'approximation d'ordre 4

est excellente puisque ck |H | kD est exact à 10 quel­

que soit k etck |H | k-2 3est exact î moins de 20%. En parti­culier, le maximum observé pour la valeur exacte <k| H| k-2 >

2 k = 6 est très bien reproduit dans le cadre de cette appro­

ximation. En ce sens le développement bosonique est rapidement

convergent et bien mieux adapté pour les calculs nécessitant

d'aller au-delà de la seconde approximation.

Toutes ces sortes d'approximations sont résumées sur

la figure synoptique [<11 . On peut tirer quelques conclusions.

La seconde approximation est plus valable dans 3? que dans

,ft ; de plus pour obtenir un spectre correct dans J9 il est

nécessaire de diagonaliser H ( 'dans un espace contenant moins de

N c boson* (comparer les spectres D et E i A). Cela justifie

en partie l'interprétation de N c comme facteur de coupure d'un

schéma SU(6). L'approximation d'ordre 4 est sans aucune doute

meilleure dans l'espace des.bosonsque dans l'espace des fer­

mions.La méthode du développement de Marumori modifié est

très convergente dans Jo_. Cela suggère que l'approximation

d'ordre 3 que nous n'avons pas considérée ici, car elle n'a

pas d'équivalent dans £Jf_.est suffisante pour donner une bon­

ne description des propriétés collectives.

224

CHAPITRE III

CAS REALISTES

HI - a Choix du modèle

Le modèle académique décrit dans le précédent chapitre nous a

permis, â peu de frais, de nous faire une idée générale de l'ap­

plicabilité de la théorie, de tirer des premières conclusions

quant aux diverses approximations envisageables et de vérifier

le comportement des observables vis â vis des divers paramètres

à notre disposition. Trois conclusions importantes émergeaient de

cette étude :

- k'anharmonicité des états se traduisait toujours par le

fait que l'énergie du deuxième état excité E(0,) était

supérieure â deux fois l'énergie du premier état excité E(0.)

E<0*> > 2 E<0*)

Cette tendance était générale quels que soient les paramètres

utilisés. Notons que cet état de fait est contraire aux observa­

tions expérimentales de la région des terres rares.

- Les diverses approximations mettaient en évidence l'exis­

tence d'un nombre de phonons critiques N . Pour les approxima­

tions dans l'espace des fermions, N apparaissait comme une

coupure dans le "bon comportement" des normes jf? et des élé­

ments de matrice <k |H |k'> . En ce qui concerne les approxima­

tions bosoniques, N c était plutôt la dimension "optimale" de

l'espace de diagonalisation.

- Dans le cadre de certaines approximations, des états

"dangereux" ou "indésirables" comportant un grand nombre de pho­

nons se manifestaient dans la partie basse du spectre. Ces états

étaient systématiquement exclus de notre étude.

225

Le modèle souffrait néanmoins de trois caractéristiques

simplificatrices : une seule espèce de particules interagissant

par une force de pairing pur, une symétrie telle que la partie

H,, de l'Hamilconlen est identiquement nulle. Le but de ce

chapitre est de se libérer de ces trois contraintes afin de

voir si les conclusions précédentes restent valables et si

l'accord avec l'expérience nécessite des développements plus

poussés ou non.

Nous considérons ici un système composé de neutrons et

de protons se déplaçant dans un champ moyen déformé de type

Nilsson et interagissant grSce à une force de courte portée

de type pairing et une force de longue portée de type quadru-

pole-quadrupole

H H s P

+ t * HQ0

avec " » p -

o , n , *

C o n + on c l on OÙ

"00= - Ï O - Q

ti L TT

= rl

(III.1)

(X est en unité énergie x longueur . Nous utiliserons abusive­

ment la notation y P°ur la quantité réduite x(- -l que mu

nous exprimerons en Mev). Dans ces formules, l'indice u se réferre à l'espèce de particules et les opérateurs L et Q

sont liés aux excitations de pairing (transfert de deux nu­

cléons identiques) et multipolaires (résonances géantes).

, + = Y " c'+ cir+ T i-J vn -n (111,2)

* n,0n,o'n'

+ ï 2 0| o'n-„ > c;

Ce type d'Hamiltonien décrit assez bien les données expérimen­

tales . Il est d'un usage courant dans l'étude des noyaux dé­

formés. Pour tenir compte correctement des corrélations de

paires, il est nécessaire d'introduire la transformation de

226

Bogolyubov-Valatin définie dans l'introduction de cette par­tie. La fonction d'onde BCS | 0 > ou vide de quasi-particules (o |0 > « O) n'est plus fonction propre du nombre de parti­cules et la méthode classique pour retrouver en moyenne un bon nombre de particules consiste à introduire un multiplicateur de Lagrange A (potentiel cbimique) associe à l'opérateur nom­bre de particules.

on A

On minimise alors la fonctionnelle < o| H- V>. (J 10 > avec fm^ 11 71 '

la contra inte <0 | NT |0 > = Kv . Les équations obtenues s ' appe l l en t équations BCS. Avant de l e s é c r i r e i l e s t instruc­t i f de t ranscr ire l 'Hamiltonien en termes de q u a s i - p a r t i c u l e s . Etant donné que

C C K v + (u -v )a a +o u v (a a +a a ï on nn n n n 'cm on n n an -on -an Jnn

L ï ï

+ = L^fO) • L f f (U> + Lïï

+(20) - 2 k < -S»» v > V n O '

+ 2 ^ t a n a n a - n vn «-„ a rj n (111,4)

Q„ = O, (O) + 0,(11) + Q, (20) = ^ v*?<p n;n|r 2 Y20Jjn;Tr> vn

<rn, ff'n _ , + +

on, 3 n 1

•w a a • •)

où 9„„. = u* u \ - v" v \ ; if . nn' n n' n n im'

il suffit de remplacer ces opérateurs dans l'expression (111,1) de l'Hamiltonien pour obtenir la relation cherchée .

H " £ * A = Hoo+ H„ + B 2 0 + H 2 2 + H 3 1 + H (111,5)

221

Dans cette façon d'écrire H,. désigne la partie de H conte­

nant i opérateurs a+ et j opérateurs a ainsi que sa partie

hermitique conjuguée. Le théorème de Thouless fTh 60 J

nous enseigne que la minimisation de H Q 0 est équivalente à

l'annulation de H, Q

S HÛ0 = ° ** H20 " °

Dans notre cas précis, la transformation de EV spéciale

introduite précédemment ne permet pas de réaliser ce théorème!

il est nécessaire d'introduire une transformation de BV géné­

rale. Plutôt que de compliquer démesurément la théorie, on

préfère en général conserver la transformation spéciale mais

n'appliquer la procédure de minimisation qu'a la partie

H + H., de l'Hamiltonien. On peut justifier de façon qualita­

tive cette façon d'agir. La déformation du champ moyen pro­

vient en fait de l'effet de la force 0-0 sur les particules.

Les parties (HQ Q),, et (HQQIOQ n e s o n t ° i u , u n e renormalisa­

tion du champ moyen; on suppose que les energies c et les

orbites C |0 > contiennent déjà l'effet de ces renormalisa­

tions (une procédure Hartree-Fock -Bogolyubov réaliserait

exactement ces conditions). On suppose donc que les valeurs

empiriques du champ moyen contiennent déjà les effets renor-

malisateurs de la force 3 longue portée; il est par consé­

quent interdit de les faire apparaître â nouveau dans l'Hamil­

tonien.

En clair , cela veut dire qu'il est nécessaire d'annuler

la partie Q„(0) de l'opérateur Q T . Moyennant ces conditions,

l'Hamiltonien prend la forme (III,S) avec

( 0 ) 2 H00 - S vn << -*'» - I X \ an, ii T P

H i l " E (En~^> { u n 2 ' V n 2 , C "on " T. % V ° > V " > an,-a (111,6)

«20 " S 2le>M < < [ ^ a~n + < °"n] " 5 X L» < °»K"°»*H

228

H 40 + H22 " - £ G * L , 2 ( U ) Ç G * V 2 0 1 V 2 0 » " ! « « » - t « ( 2 0 > 2

H 3 1 = - / , G J L * (20) 1, (11) +L„(1D V 2 0 ) ] - | [Q(20)Q(11)-K!(11)Q(20)J

Cette formulation e s t c e l l e de Hôgaasen-Feldman T H8 61 1 I l e s t â noter que l 'Hamlltonien n ' e s t pas sous forme normale Néanmoins, c e t t e écr i ture se révélera t r è s pratique dans c e r ­ta ins c a s . Le théorème de Thouless e s t s a t i s f a i t dans ce cas e t l e s condi t ions de minimisation - ou équation BCS - s ' é c r i v e n t

E n

ir n n a v e c 4_ » G_ > . u* v '

TT TT ^^^ n n n

H 2 0 vaut zéro e t H u devient H u - E B* a £ «* n

^n Une procédure plus rigoureuse consiste â mettre H sous forme

normale et a faire la minimisation seulement a la fin. Nous

obtenons alors la formulation de Belyaev j Be 5 9 1

les équations BCS sont tout â fait identiques â celles écrites

plus haut avec toutefois une nouvelle définition de e* â

savoir

r„* =£* -x„ -G v» 2

n n ir n

Nous donnons la transcription de l'Hamlltonien simplement pour

mémoire + n

i7, on u " •FT, on

/PI K"* 2 _ + + + + I P ' s X 1" M 7 1" u ï ï 1~ ' I T 7T TT TT .L TT TT TT TM H 4 0 4 - » J GTT u n v n ' K «-n a n' » - n ' h<*-n'<* S' <*-£ <*+£

U(P) _ 1 7 r - _ 1 r ,*. r n + + i r + ir , i r + i T i t irT H 31 " 2 . A - î - n - » 9 « n f n n " Lan a - n V n ' V n ' H V n ' V n ' a - n c l nj

2 2 9

(P) X T ' - , i t 2 IT . IT it . it* ir + tt i H ' = - 7 G (u u_i + v v ,)a a a , a • "22 Z_/ i' n Tr»' n n " n -n -n* n' rt,n,n'

(111,6)

„ (P) . 1 > _ -11 , It It 4 - Tt+ It Tt «22 " " 7 ^ , , GTt fnn fn*n' "o n V n ' V n ' a on

H i r f = " * £ «* fnn- ' « • < " ' « ' ^ l r 2 ^ l ™ ; , > * i t .n ' .on.a 'n ' + + + +

* * < » • • • <ow„.|A a o|«-'»[^ l («4 r f . pV «g.

^ * • it ' it it 1

« I f ' - f S 0 f™' £ • <•• n-H Ajol-w. » x , , , , i 2 , i t f " it it' it ' it,it',on o'n'

an, p'm'

. I t ' I t ' 7f Tf I + a „ a J , , a__ ot i_il pm pm' -on j ' n ' J

H 22 4 n,it",an,o'n' r IT" rm rt'n*

, I • i I 2 , , I , It If Tt' I t ' <p'm57T* r"Y„Jpm;ir'> oi 1 %,,a a _ , . , a / i jQif / *- o n -on " p u pn

22 2 ^ ^ nn ran ' 20' tr . i T i n n _rf ' » ' iTfTr'ionfa'n' pm pm1

<p'm', it , |r 2Y 2 nlpm;7r > <A , o ' ! , </" c? ^u o n p m pm an

Nous avons vo lon ta i rement sépa ré l e s p a r t i e s provenant de H p

e t c e l l e s provenant de H--.. Nous avons également d i s j o i n t

J

230

TABLEAU V

Noyau E(oJ> E(0*) Ap *n

64 C d90 680.64 1214.6 1020. 1110.

68Kr96 1246. 1698-1766. 2172. 2185.

900. 940.

70Yb102 1042.9 1404-1794. IR96.

830. 700.

182 U 74 108 1137. 2239.S 830- 660.

Energies expérimentales et valeurs des gaps pour les no­yaux étudiés dans cette partie. Pour Er et T b l'état â deux pho-nons n'est pas déterminé de façon certaine. Nous avons fait figurer les candidats possibles.

231

deux contributions dans H,,. Le terme H-, est pris en compte

dans un traitement TDA ou RPA alors que le terme H-, est systé­

matiquement négligé : ce dernier n'est pas un opérateur "natu­

rel" car les opérateurs ci a ne sont pas forcément couplés â

K = 0; de plus, il est nécessaire de l'éliminer pour trouver

l'état parasite â énergie zéro dans le cadre de la RPA.

Nous avons restreint notre étude â quatre noyaux spécifi­

ques qui donnent une idée d'ensemble pour la région des terres 1QJ 1 fi A 1 *79 1 ft?

rares s Gd, Er, Yb, et Wj ces noyaux ont des densi­

tés de niveaux individuels autour de la mer de Ferrai très

variées et les gaps de pairing sont ausci diversifés. De plus,

les énergies des premiers niveaux collectifs 0 varient considé­

rablement d'un noyau 3 l'autre et les caractères anharmoniques

sont plus ou moins marqués. Nous avons résumé ces différentes

données sur le tableau V . Les paramètres de Nilsson utilisés sont ceux de Lamm

[La 69 J ; la déformation a été fixée uniformément â c , « 0.25 qui est une valeur moyenne raisonnable et les élé-* 2

ments de matrice de l'opérateur r Y, 0 sur une base déformée

ont été calculés d'après les prescriptions de Boisson et

Piepenbring T B O 71 j . Les intensités des forces de pairing

G sont extraites des équations BCS où les gaps expérimentaux

sont introduits comme données. Nous avons fait tous nos calculs

avec 30 niveaux actifs ; 15 en dessus de la mer de Fermi et 15

en dessous ce qui constitue un choix acceptable. L'intensité

de la force quadrupole-quadrupole x est gardée comme paramètre

libre. Toutefois, ce domaine de variation de x est restreint

à des valeurs qui donnent des énergies TDA collectives proches

des énergies des premiers niveaux observés. Le but de ce chapitre est double:

- Etude détaillée des états O dans le cadre de la méthode

des multiphonons exposée précédemment. Ce traitement est exact

dans le sens où le principe de Pauli est entièrement respecté.

Nous nous attacherons plus particulièrement aux positions rela­

tives des deux premiers niveaux excités. De plus, ce cas servi­

ra de référence pour diverses approximations.

232

- Test et applicabilité de deux méthodes de développements

bosoniques en vogue actuellement pour l'étude de ce genre de

problême. Dans ces deux méthodes, â savoir Marumori modifiée

[LI 75 1 et Kishimoto et Tamura [KI 72.76 1- le

principe de Pauli eat partiellement violé.

Nous allons étudier ces trois approches l'une après l'autre

en supposant que les fluctuations sur le nombre de particules

introduisent des effets analogues dans ces différents cas.

I I I - b Diagonalisation "exacte" dans l'espace collectif

L'opérateur qui crée le phonon col lect i f couplé à K = o s ' é c r i t :

P = 2 ;£-?, (**' „„. """h ° " <"»' (111,9)

avec fi = Sî , où U est le nombre quantique correspondant

a la projection j sur l'axe de symécrie du noyau.

On impose seulement & la matrice X de donner une "certaine

collectivité au phonon P , de vérifier Les relations d'anti-

symêtrie (X„) » - (X„) et les relations de on,"On' "on',on

normalisation E <X,) 2 > 2 _ _ _ „• on,-on'

En pratique, nous choisirons toujours la matrice X comme

résultant de la résolution d'une équation TDA. La cohérence

veut que l'on choisisse pour X la solution TDA obtenue avec

l'Hamiltonien original. En fait, la théorie est beaucoup plus

générale; nous aurons l'occasion d'utiliser les amplitudes X TDA calculées 3 l'aide d'un Hamiltonien H<X ) alors que nous dia-

II gonaliserons un Hamiltonien H (x ) . Nous reviendrons sur ce point dans les exemples concrets.

Nantis de (111,9) nous pouvons appliquer la théorie dévelop­

pée dans le premier chapitre. On prendra soin toutefois de rem­

placer partout (X1) par (X4 ) S et de sommer sur les mn r

TT . mn n v TT deux espèces de particules. m m n

Avant d'expliciter les divers éléments de matrice, il

convient d'introduire des quantités dynamiques qui serviront à

r 233

plusieurs reprises .

n net) - 2 ES «* >0 n # 0 i i

"2X ,M) = y U « , x 2*- l V2 X La „ 2 it n,-n

n v n

2 _ 2 U»C<p,q,»> = £ £ £ ( ^ , n f . n . O ^ , , ,

n,n'

wte,,) - £ < v* « f > o l l f ( J l l (iii.io) a,n

Ml<p.q,.> - | £ ^ . ^ «?>,„. ( ^ l ) . n / n . n,n'

P22<p.q„> - g (u* 2 u", 2

+ v ; 2 ^ 2 ) ( ^ ) m , flÇ*I, _ n _ n >

o,n,n*

Q40W = J2 Q40<l.ir) - ± £ ° f m ' < « ' i « | A a o l o n « » < O o „ -

I.

' - o n ' , "n

, -on IlsOn,!! 1

Q4OC(p,q>^Q40C<p,q, 1r) = ± ^ <rp r"^, < o n , ; i i | r 2 ï a o | o n ; ir 7t,on,n'

pm,ra' <P

( X 2 9 - 1 )

v >x • ! • • JIMU ^ U '

7t,an,n' pnwn1 _ ^ ^

< p m , ; i r | r T f - r . l p m f i r > ( X * " 1 ) ,

2 0 " ^ ' ir 'an',-pm

234

Q31C(p,q) - 2 031C(p,q,it) « V ° fnn' ^ "irni1

iT/Onn «turn

<o n';ir|r 2 v

2 o l o n j 1 , > < ^ ' ! * , r \ > l ' ^ ' n : < X n P , o n , , < * i ( > * Ï—«

'«*" " -on.p*-

Q22C(p.q) - £ Q22C<p,q,*) « - ± £ op ' f j^ . « ^ . « m ' l i r l r ^ l o n n ^ IT n.onn', pirn'

< p « * > w | r 2 ^ 0 | ( a n i > < 5 C * W , - p m ' < x 2 q W p m

Q22I(p,q). £Q22I(p,q,ii> " " S 9nn' 3 J,»' <on'|r2V2olonii. > Tr^n'tt'ipnm'

^ ' " l ^ ^ ^ ^ ^ ' o n ' ^ ' ^ ' ^ n

Q22P(p,q) - y^ Q22P(p,q,Tt) « ^ g j ^ , g j ^ , < a n ' ; i r | r a i r 2 o l o n s " *

ir irtcmn'fpam'

<p • • w l A j p » . >!-?>„. # p B O^p..^,

Le lecteur courageux qui a pu avaler cette longue liste de formu­

les peut et doit s'arrêter un moment, reprendre un second souf­

fle pour continuer le banquet. Au menu, les valeurs des normes

et des éléments de matrice de l'Hamiltonien

Normes réduites

k-1

^k = 4-1 - S SFU+1) tf. , 1=1 K l 1

r 235

<klHlk> k

</([ <k|Hn|k>- - 2 S i m ) ^k-t 1-1

I t - * 1

- i^<k |H 2 2

( P , | k> « 2 Z l*k-R-lfc < v [ u 2 x « m ' 1 , » 0 2 x ( 1 ' , r ) * V 2 x W + 1 ' , , > V 2 x ( 1 ^

[k/2]

/ A - ^ J y i Gff fu2X(l,ii)U2X<l+l,7r)+V2X{l,ir) \'2X(e+l,-ir)+P22(£,Z,iT)J| +

1=1 ' n

[¥] «-* +

l«l j*>

+V2X(i+j+l,u) V2X(1+1.TT) 4U2X(l,n)U2X(l+j+2,ir)-W2X(£,ii) V2X(l+j+2,fl)

+P22(i+j+l,l,7r)+P22tt,«+j«,ir)]>

k-1

L 2 J "

2 Zrf^l- l - j jÇ 0 * [œx<t+J*l'"> IW(«*1.«)

[k/2] + £ ^ k - 2 ê | £ Gir [P22<a»*+l»*)-P22P<l,l,ii)-KJV<l,ir)2]>

[ ^ i ] k-21-1

^ ] / A _ 2 1 - l - i j £ G n [»22I(*tlH.Ml.«)-t»22I(».l+j+2,»)

1=1 jK)

-2 P22P(£+j+l,l,ir) +2 tW(l+j+l,ir)OV(t,ir)jJ

r 236

-<^<k|H^'|k>- x ¥ J < ^ M jjMOU) Q40(fcH)]

0/2] + x 2 ^fc-2 i f 0 4 0 ' 1 ' <> 4 0 < t + l> + Q22C<*»*)]

J-l

[*=i] k-2i-i + X i C S ^ 2 ^ - 1 - 1 [0 4 o « i l + 1 + 3' Q«0(M-«-iQ«D(O Q40U+2+J)

J-l 3=0

•f022C ( «+1+j,« ) -KK2C (i ^ + l+j )J

k-1 -

-<^k|H^» ' |k> - \ 2 V H Q 2 2 I « 1 + »-»

[k/2] + 2 Z ) "C-24 [Q22I«.W-1)-Q22P(1,1) + 031 W 2 ]

«•1

[JEi] « ^ | ^ » J* (^.2t_l.j[Q22I(t+l+J.t+l)'HJ22I<t.i+2+j)

t - l yC

-2 Q22PU+l+j,Jl)+2Q3î(*.+l+j) Q31tt)J (111,11)

k+2lHlk >

Ml

•KWX(î+l,i+l,iê|J+Y' 2 J£-1_a_jEGlir02XU+j+2»ir)V2XU+lfir)

}Wj+2,TT)]|

j-o

+V2X(A+l,ir)V2X(l+j+2,T) •HNXtt+j+2,J!.+l,iT) -HJVXU+l

237

K+2 ^ J 1 7 2 « « • • S 8 ' k > " 2 ££ t^.2)lfî4o(wn2+2xQ4oc(i+i.mi|

g ] k-1-2* y * 5 ^ <^k-l-2i-j [Q4O(4+j+2)Q4O(t+l)+2C40CU+j+2,4+l)J + X

<k+llHlk>

[fcrt]

4-1 +2 P31 (

M k-21 . + X S «l •» * ) 2 6.fwU,n)(u2XU+j+l,ii)-V2X(J.+j+l,ii))

+ UV(!*j+l,n) (ÎBXU.IT) - V2X (!•,*>)

+2 P31 (J*j+l,fc,n) +2 P31 <!,î+j+l,it)J

c Sr ]

JKT+I JT k l1 / 2 <"+lIHJ? 0 * |k> - | £ ^ + j _ 2 £ [ « W W Q31 U)+2Q31CU,2)]

[k/2j k-2*

+ * S W w L _ . . T2 Q40a+Uj)C31(t)+2 04O(»)031 U+l+j)

+2 Q31C(l+l+j,l)+2 Q31COM+l,j)J

On obtient l e s é t a t s propres de H en d lagona l l sant c e t t e matrice jusqu'à une valeur maximum du nombre de phonons. Nous avons t e s t é la s t a b i l i t é des t r o i s valeurs propres l e s plus basses en é l a r g i s s a n t la base uni té par u n i t é . I l s 'avère q u ' i l n ' e s t pas u t i l e de dépasser une base comprenant plus de 10 phonons, dans l e s exemples t r a i t é s .

P lus ieurs conclusions générales peuvent ê t r e t i r é e s de c e t ­te étude .

, 5 4 Gd X ™ - X M - 0.035 Tr(X*) - 0 . 1 1 5

k 1 2 3 4 5 j 6 t

7 8 9

(k| l l |k) ( 2 )

(k|H|k) ( 3 )

(k |H|H ( 4 >

<k|H|k>

0.6596

0.6596

0.6596

0.6596

1.595

1.595

1.595

1.595

0,2110

t i . î i t û

0.2110

0.2110

2.806

2.785

2.785

2.785

0.5169

0 .48U

0.4810

0.4810

4.293

4.209

4.215

4.215

0.8953

0.7708

0.7709

0.7709

6.056 | 8.094

5.846 ' 7.675

5.877 7.766

5.878 i 7.771

10.41

9.675

9.889

9.897

13.00

11.82

12.25

12.25

15.86

14.10

14.R7

14.85

( k | H | k - 1 ) < 2 )

< k | n | k - l ) ( 3 )

< k | H | k - l ) < 4 )

<k|H|k-l>

0.

0.

0.

0.

1.595

1.595

1.595

1.595

0,2110

t i . î i t û

0.2110

0.2110

2.806

2.785

2.785

2.785

0.5169

0 .48U

0.4810

0.4810

4.293

4.209

4.215

4.215

0.8953

0.7708

0.7709

0.7709

1.335

1.056

1.057

1.061

1.827

1.319

1.321

1.340

2.363

1.545

1.549

1.599

2.954

1.721

1.728

1.832

3.581

1.838

1.850

2.032

<k |H|k -2 ) C 2 )

( k | H | k - 2 ) ( 3 )

( k | H | k - 2 ) ( 4 >

<k|H|k-2>

•0.1724

-0.1724

-0.1724

-0.1724

-0.2985

-0.1754

-0.1754

-0.1754

-0.4222

-0.0738

-0.0985

-0.0985

-0.5451

0.1296

0.0341

0.0384

•0.6675

0.4340

0.2003

0.2224

-0.7899

0.8394

0.3786

0.4445

-0.9120

1.346

0.5473

0.6973

-1.034

1.952

0.6852

0.9742

TABLEAU VI

Eléments tie matrice exacts <k|tt|k>et valeurs approchées ( k | H l k ) p obtenues a l 'a ide d'un dévelop­

pement bosonique MM.

239

Les éléments de matrice <k |H,,| k> sont toujours positifs

et croissent régulièrement avec k; par contre, la contribution

<k|H--lk>est toujours négative et contrebalance quelque peu

l'influence de <k |H n|k> . Toutefois, le terme à un corps

est largement dominant et les éléments de matrice diagonaux

vérifient toujours l'inégalité

<k|H|k>> fc«<l |H| 1 >

L'écart de l'harmonicité s'accroît avec k et seul, dans les

exej

ble

exemples traités, le W présente un écart relativement fai-

En ce qui concerne les éléments non diagonaux H., et H. 0,

il est a noter que les contributions des forces pairing et

quadrupoles sont toujours opposées• Par consequent, pour une

valeur fixée du terme de pairing G„ , on peut changer considé­

rablement les termes non diagonaux en faisant varier le

paramètre X * Sur le tableau VI nous présentons quelques va-154

leurs typiques des éléments de matrice dans le cas du Gd

pour x T D A - x" - 0.035 MeV.

Nous avons déjà mentionné le fait que l'anharmonicité ob­

servée expérimentalement est telle que E(oJ) <2E(0*). Il est

instructif de voir dans quelles conditions notre modèle per­

met de rendre compte de ce phénomène. Deux éléments sont

de première importance ; la nature de l'Hamiltonien et la col­

lectivité du phonon de départ. Nous jouons sur ces deux états

grâce aux deux paramètres X et X - Nous imposons malgré

tout une condition de cohérence assez sévère â savoir que :

°- 8 * - £ B Sl-2

Sur les figures I5a-d I nous avons représenté les deux premiers L J TDA H

niveaux excités comme fonction de x e t X pour les quatre noyaux étudiés. Nous constatons que certains noyaux ne veulent absolument pas se plier "â la réalité expérimentale" ( Er, 172 182

Yb) alors que d'autres y con'-o.-itent de temps en temps ( T», 154

Gd). Comme nous avons toujour? <k|H|k> >k <1|H| 1> , il

est nécessaire afin d'aboutir â la situation expérimentale que

les éléments non diagonaux jouent, un rôle important pour sur­

monter ce handicap de départ. Lorsque l'anharmonicité des

r 240

XroA = 0.025

•o

1 5 4 Gd IDA

Y =0.040 /

Fig. 5 a

Etude des énergies des 2 premiers niveaux excités E(0.) et E(0,) TDA H

pour quatre valeurs de x en fonction de x" • Sur la figure K ipni TnA v sont comprises entre 0.8x et 1.2 XI . Les o + + o o

énergies calculées E(0 ) et Eto,) sont tracées avec un trait . . l +. * . . . ..

les valeurs de

continu, l'énergie ui 2 E(0.) avec un trait une fois pointillé.

Les valeurs expérimentales sont données par les lignes horizon-1S4 taies. Le cas traité est le Gd avec les paramètres décrits

dans le texte.

r 241

164.

, IDA

X„ = ° 0 3 0

2.

X IDA=0.035 X™=0.040

>._

v I O A

A =0.045

1 . •

Fig . 5 b

164,. Même légende que la figure 5 a pour le Er

242

172 Yb

2.-

«.IDA

X 0 =0.025 X =0.030 . TDA

X =0.035 - I D A

X o=0.040

Fig . 5 c

172 Même légende que la f igure 5 a pour l e Yb

I r

o.-i

Fig. 5 d

182 Même légende que la figure 5 a pour le W.

244

éléments diagonaux est trop importante, les éléments non dia­

gonaux ne sont pas capables de rétablir la situation et nous

nous trouvons en face de cas comme Er et Y. Au contraire,

lorsque l'anharmonicité des éléments diagonaux est relative­

ment faible, les éléments non diagonaux peuvent dans certaines

conditions ramener le spectre a la situation expérimentale :

c'est le cas de W et Gd. Empiriquement, il semble que

les conditions favorables soient

<k | H| k-l> < k|H|k-2> <0

e t J<k |H |k-l> |>|<k| Hj k-2 >|

Dans tous les cas, la partie H 3 1 de l'Harailtonien s'avère in­

dispensable (cf limites du modèle académique du chapitre II).

Pourtant, c'est une partie que de nombreux auteurs ont tendance

â négliger.

Malgré tout, 11 semble assez difficile au noyau de se confor­

mer â l'image expérimentale et le role du principe de Pauli

n'est pas étranger a ce comportement. Nous voyons par là mSme

les limites du modelé traité ici. Pour améliorer la formula­

tion théorique, on peut envisager trois directions prioritaires

qu'il est d'ailleurs possible d'inclure dans le cadre de notre

formalisme.

- choix d'une force plus sophistiquée (adjonction de pai­

ring quadrupolaire par exemple)

- couplage des états K = 0 collectifs et non collectifs

- couplage des états K = 0 collectifs et K = + 2 collectifs.

Ces objectifs constituent un projet de longue haleine

qui sort largement du cadre de ce mémoire.

Tr(X 4) - 0.239

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9

< k | H | k > ( 2 >

(k|H|k) < 3 )

(k|H|k) < 4 )

<k|H|k>

1.049

1.049

1.049

1.049

2.200

2.200

2.200

2.200

3.455

3.456

3.456

3.456

4.812

4.818

4.819

4.819

6.271

6.287

6.295

6.293

7.834

7.864

7.889

7.880

9.499

9.553

9.611

9.581

11.267

11.353

11.468

11.400

13.138

13.266

13.474

13.337

( k | H | k - | ) ( 2 )

( k | H | k - l ) ( 3 )

( k | H | k - I > ( 4 )

<k|H|k- l>

0 .

0 .

0 .

0,

0 . 0 6 0

0 . 0 6 0

0 . 0 6 0

0 . 0 6 0

1 . 481

0 . 0 8 1

0 . 0 8 1

O.ORI

0 . 2 5 7

0 . 0 2 3

0 . 0 6 7

0.0J.7

n .3R?

- n . 140

0.051»

0 . 0 1 7

0 . 524

- 0 . 4 30

0 . 107

- 0 . 0 7 1

0 . 6 7 9

- 0 . 8 6 6

0 . 2 9 3

- 0 . 2 0 2

0 .847

-1 . 466

0 . 7 0 4

- 0 . 3 7 4

1 . 0 2 6

•2 .244

1 .438

0 . 5 8 8

( k | H | k - 2 ) ( 2 >

( k | H | k - 2 ) < 3 )

( k | l l | k - 2 ) ( 4 )

<k|!l |k-2>

0 . 5S1

n.Sl>1

0 . ï 5 1

0 . 5 5 1

0 . 9 5 3

0 . 9 0 7

0 . 9 0 7

0 .0O7

1.34»

1.217

1.240

1 . ? 4 0

1 . 7 4 0

1 . 4.° ft

1 . 5 7 5

1.551

2 . 1 3 1

1.71ft

1 . 9 3 4

1 . M40

2 .5TI

1 . 9 0 9

2 . 3 3 7

2 . 1 0 7

2 .911

2 .061

2.B07

2 . 3 5 3

3 .301

? . 177

3 . 3 6 1

2 . 5 7 8

TABLEAU VII

18** Identique au tableau VI pour le noyau "W.

246

III - c Méthode de Marumori modifiée (MM)

Nous ne reviendrons pas sur cette méthode qui a été décrite

en détail dans le premier chapitre et qui a été reliée à la BE

de Marumori traditionnelle dans l'appendice D.

Nous avons calculé 1'Hamiltonien pour des approximations d'or­

dre 2, 3 et 4 et nous l'avons diagonalisé dans une base dont

la dimension varie de 3 â 10 de façon â détecter l'existence

d'un nombre critique N . Cette étude est très intéressante â

plusieurs points de vue.

- Comparaison des solutions approchées â la solution exacte

Dans les tableaux VI et vil nous comparons les valeurs

des éléments de matrice pour les solutions MM d'ordre 2, 3 et

4 par rapport aux valeurs exactes. Nous avons tenu â présenter

un cas oû l'accord est bon s le l54fîd avec > T 0 A = > H =0.035MeV

dans le tableauviet un cas oû l'accord laisse plutôt a dési-i o 2 TDA H

rer s le K avec y • >• = 0.030 MeV correspondant au tableau VII .

Dans le premier exemple/ on voit que les éléments diaqo-

naux sont bien reproduits quelle que soit l'approximation mise

en jeu (l'écart maximum est environ de 7%). Par contre, il

en va tout autrement en ce qui concerne les éléments non dia­

gonaux : l'approximation d'ordre deux est très vite mauvaise

tant en ordre de grandeur qu'en signe alors que l'approxima­

tion d'ordre trois est raisonnable et celle d'ordre quatre est

bonne. Ces conclusions sont encore plus frappantes si on

examine le tableau VIII où le spectre des trois premiers états

excités est reporté en fonction de la dimension de la base. La

convergence est atteinte dans tous les cas mais d'autant plus

rapidement que l'énergie étudiée est basse. Néanmoins, la

seconde approximation converge vers une valeur trop faible

alors que les approximations d'ordre trois et quatre sont

parfaites de ce point de vue. Il est également instructif de

comparer entre eux les différents coefficients H(i,j) de

1'Hamiltonien (cf eq. I 52 ) qui valent dans ce cas

particulier

154 Gd > ;

T D A = yH = 0.H3-, Tr(X*) - 0. 135

dimens ion 3 1

' 1 ' h 7 ! R ; 1 ! 10 i 11 i

1 i

> ( 2 > «>;>

F.<4> (o;>

F. (0*)

6 3 5 , 4

6 3 5 . 4

6 3 5 . 4

5 6 2 . 6

6 0 1 . 5

6 0 1 . 5

5 3 9 . 9

5 9 7 . 4

5 9 7 . 0

5 2 8 . 4

5 9 7 . 3

5 9 6 . 8

5 2 4 . 3

5 9 7 . 3

5 9 6 . 8

5 2 2 . 9

5 9 7 . 3

5 9 6 . 8

5 2 2 . 5

5 9 7 . 3

5 9 6 . 8

5 2 2 . 4

5 9 7 . 3

5 9 6 . 8

5 9 6 . 8 S 9 6 . 8

E

( 2 ' («:>

K ( 0 * )

1677 .

1677.

1677.

1 5 4 5 .

1540 .

1540.

1397 .

1502 .

1497.

1 3 3 6 .

1 5 0 0 .

1 4 9 3 .

1 3 0 6 .

l iOO.

i - 9 J .

1 2 9 5 .

1500 .

1493.

1 2 9 1 .

1 5 0 0 .

1 4 9 3 .

1 2 9 0 .

1 5 0 0 -

1 4 9 3 -

1 4 9 3 . 1 4 9 3 .

1. <0*> _ - . . ' . , „ . .

3038 .

2 9 8 1 .

2 9 8 1 .

27PO.

2 6 7 9 .

2 6 8 6 .

2 5 4 1 .

2b4A.

263<>-

?«>44.

. •634.

I

2 3 7 1 .

2 6 4 2 .

2 6 3 4 .

2 3 4 9 .

2 6 4 2 .

2 6 3 4 .

21' . 1 .

2 6 4 2 .

2 6 3 4 .

2 6 3 5 . 2 6 3 5 .

, . A : AH: u v v u : t

Spiictrr .l'i'iH'r>;ii' tilt *Y-d <»(->U-mi ;i I'.'.i.le «i V.n i Ï ••:; .-;-•.-::; ".'.v.icl" !<0jt »-t p.ir in1, di'-vr l.>p:>vr.t':iL h» voniqiu' >£: à l ' o r d r e (p) K P'(i*-t>. l.,i .omviYfnr . '. s i . x ù î . i t s <>st to*t .V i*n fou.-l i.'-i tit !•• .li:->i n-sion de l ' espace dc diagonal i s . t i ion .

~i

248

(1 (1 ,1) = 0 . 6 5 9 6 ; H ( 2 , 2 ) = 0 . 1 3 7 9 : 1 1 ( 3 , 3 ) = -COOS'; . - !! ( 4 , 4 ) = 0 . 0 0 0 2 b

11(2,1) = 0 . 1 4 9 2 : 1 1 ( 3 , 2 ) = - 0 . 0104 ,11 (4 , BJ-O.OUOOia

11(2,0) = - 0 . 1 2 1 8 : 1 1 ( 3 , 1 ) = 0 . 0 5 0 3 : 1 1 ( 4 , 2 '=-0.0036

Mous constatons une cer ta ine converijence du développeront dans l e sens où

!H ( i + l , j +1) ! - - : H ( i , j ) '

Dans le second exemple, les éléments diagonaux sont encore

bien décrits dans les trois approximations. Pour les 0 laments

non diagonaux, il se passe un phénomène différent: les trois

approximations envisagées sont mauvaises mais pour les états

a grand nombre de phonons c'est )'approximation d'ordre 3

qui semble la moins mauvaise. En ce qui concerne le spectre

des trois premiers niveaux, reporté sur le tableau ix ,

toutes les approximations convergent vers une valeur qui est

trop basse. On volt qu'ici aussi, l'approximation d'ojvlrc S

est la pJus proche du résultat exact ot le spectre global

est assez bon. Dans ce cas, les coefficients de l'liamilionicr,

sont

H(l,l)=1.409 H(2,2)= 0.051 H(3,3)= 0.00025 11(4,4)= 0.000069

H(2,l)=0.043 H(3,2) =-0.019 H(4,3)= Oj0036

H(2,0)= 0.389 H(3,l> =-0.019 (1(4,2)= O.0O33

ce qui montre encore une certaine convergence.

- Discussion sur le facteur de coupure N

Nous avons vu dans les parties précédentes que lorsqu'on

utilise des approximations il apparait un terme de coupure

N au-delà duquel ces approximations deviennent mauvaises.

Dans le cas des approximations de Marumori modifiées N re­

présentait plutôt la dimension de l'espace optimale pour la

diagonalisation . Nous avions sugoéré que N est de l'ordre 2

de grandeur de j— . Reprenons les exemples illustrés Tr(X*)

ci-dessus. 154 Pour le Gd il n'apoaraît aucun facteur de coupure

X

T D A - x" - 0.030 Tr(X ) ' 0.239

dimension 3 1

4 1 5 6 ! 7 1 • »

8 9 1 10 II

E < 2 > » ; >

E < 3 > < 0 ;>

E < 4 > «>;>

E (0*)

1176.

1176.

1176.

847.3

875.1

875.1

867.0

892.7

893.1

800.3

847.6

842.2

802.0

849.2

844.2

791.0

845.2

837.1

790.9

845.2

837.2

789.6

845.0

836.4

840.0 840.0

E<2> (O*)

E«> (Op

B«*> (Op

E (Op

2463.

2463.

2463.

2444.

2455.

2455.

1926.

2008.

1995.

1914.

2008.

1993.

1793.

1935.

1893.

1787.

1934.

1897.

1765.

1928.

1881.

1763.

1928.

1880.

1898. 1897.

E<2> (Op

E<3> (Op

E«> (Op

1 E (0]}

3933.

9896.

3B96.

3891.

3909.

3904.

3I5S.

3291.

3237.

3122.

3291.

3234.

2937.

3191.

3075.

2920.

3187.

3071.

2884.

3180.

3038.

3109. 3109.

TABLEAU IX

Même étude que dans 1c tableau VIII pour le ""V*.

250

dans notre spectre puisque le spectre obtenu avec 10 états

de base est parfait dans le cadre des approximations 3 et 4 ;

un rapide calcul de r nous fournit la valeur N = IS c\ TciX )

par conséquent le facteur de coupure est supérieur a notre

dimension maximum. 182 Pour l e W, par contre , on s ' a p e r ç o i t que l e spectre

obtenu parla d iagona l i sa t ion dans un espace à 6 ou 7 dimensions e s t b ien mei l leur que c e l u i obtenu avec ur. escace do

dimension finale à » ! c e l a suggère une valeur N égale à 2

6 ou 7 en accord qualitatif avec y = 8 dans ;e cas

particulier. T r < X '

Ces constatations étayent encore les conclusions MrScs

précédemment â propos de l'existence d'un facteur de coupure

dont la justification théorique a été fournie â la fin du

premier chapitre.

- Observation des états indésirables

En examinant le spectre des états obtenus dans l'approche

MM pour différents noyaux et plusieurs valeurs des oarametres,

nous avons détecté la présence de certains états dangereux.

Comme d'habitude ces états sont composés d'un grand nombrede

phonons et apparaissent assez bas en énergie. Par exemple, pour

le 1 8 2 W avec X T D A = X H - 0.040 MeV, l'approximation d'ordre

3 nous fournit un tel état entre ot et 0* si la dimension de la + +

base est 9, entre C1 et 0, si elle est ÎO. Ces états provien­nent également du fait que les éléments de matrice non diagonaux sont plus importants qu'ils ne devraient â cause de l'approxima­

tion envisagée; ce phénomène est en relation étroite avec l'e-

' xistence du facteur de coupure.

111 - d Méthode de Kishimoto et Tanura

Les développements bosoniques de type Kishimoto et Tamura

(KT) ont été appliqués avec succès dans les noyaux sphérigues

et de transition F Ki 76 j. Il a semblé intéressant de tes­

ter dans quelles mesures ils s'appliquent encore au cas d'une

base déformée.

Le point de départ est le développement (D,13) et (D,14)

251

+ + +

des opérateurs élémentaires a, a, e t a i ftp o n f o n c t i û n

des bosons élémentaires B.,- Suivant la valeur du paramétre

x on peut pousser ce développement au 4eme ordre IKT4) ou

au 6eme ordre (KT6) ; on peut également définir des exprt-ssions

approchées au 4eme ordre (A4) et au 6ême ordre (A6) selon les

critères définis dans l'appendice D. Les notations des coef­

ficients du développement sont identiques â celles utilisées

dans l'appendice D. Possédant l'expression de H en termes

d'opérateursde q-particules a et a, on peut l'exprimer en

termes de bosons élémentaires Bj- et B l 2> puis finalement en

termes de bosons corrêlës. B + = i 7,*? a B * (III, 12)

Suivant notre philosophie générale, nous ne retiendrons que la

partie collective de 1'Hamiltonien H ,(B ,B> . Il existe

pourtant une grande ambiguïté lors du passage 5 l'espace de

bosons : un terme comme i, a, a, a, peut se traduire comme

ut a,) U , a.)' maie tout aussi bien comme U^ »t) ' ( ijj

ou U ? nt/B>(at at) < B ) . Si le BE était mené a l'infini 1 3 4 2 p -I

cela ne porterait pas a conséquence I Ma 71 I ; pourtant des

que l'on tronque le développement les diverses expressions ob­

tenues ne sont pas équivalentes. Afin d'éviter ce genre d'in­

convénients, nous avons fait la transcription dans l'espace

de bosonsà partir de l'Hamiltonien écrit sous la forme "na­

turelle* (111,6); dans ce cas les opérateurs L et Q ne pré­

sentent aucune ambiguïté et l'Hamiltonien cherché en découle par

une mise sous forme normale des divers produits d'opérateurs.

On peut montrer que lorsqu'on passe d'un BE d'ordre 4 â un

BE d'ordre 6 les coefficients des parties de l'Hamiltonien

comprenant moins de 4 bosons restent inchangés. Par consé­

quent, l'approche KT4 correspond â un Hamiltonien calculé +2 +2 jusqu'aux termes (B B, B B ); de même KT6 permet un dë-+3 2 *-2 3 veloppement jusqu'à (B B + B B ). Même recette pour A4

et A6. Il n'est pas facile de comparer les diverses approxi­

mations KT avec les MM correspondantes car un terme linéaire

H(1,0) (B +B) existe dans KT alors qu'il est absent dans MM

et les approximations d'ordre p de MM contiennent des

252

termes en (p / B a lors que la même approximation dans KT cont ient des termes jusqu'en (B " fr ~' . Nous dé f in i s sons 1'Hamiltonien u t i l i s é dans nos c a l c u l s a l ' a i d e des quant i tés dynamiques d é f i n i e s précédemment (111,10)

H = £ H(i , j> [ B

+ i B> + B

+ 3 B 1 ]

i < j

H(0,0) = x „ SH(0)-4 X 2 5 2 A 2 G " l - K 2 V c V2X(1,-)2-2x 2 y i O O * - * n TT ~* IT O

-* x 2 Q40(i) 2

H(1,0) = 2XQ x2u r[o2X(l,Ti)-V2Xa.7 1J t x £ c . WO.r) V2X(1. r)

- 2x 0 x \ Y Q40(l> + -j' x C3I (1) 040(1)

11(1,1) = - SH(1) + 4xQ 2 \ UV(1,«) -T\ G.. UV(1,")2

" £ % ["2 U2XU.1)2 +x 2 V2XH.7:) + 4x V2XU,-.) # ^ ( 2 . 1 ) + 2 ^ ( 2 , 1 ^

+ 2 x 0\1f Q3K1)- | Q31U) 2- XXQ40 (1) [xQ40(U + 2 P ( 2 , 1 ) ] - X f ( 2 , l > 2

H(2,0) = X 5 2 GnV2X<l,n) [x U2XU,n)+^* (2,1)] - | x 040(1) »

[x 040(1) + p(2,l)J (111,13)

H(2,l) = 2 x o 5 3 \ ^ ( 2 . 1 ) - ^ (2.1)] - £ G, W(l.ir) [xU2X(l,n) T IT

- x V2X(l,ti) + (?*{2,l)-2 iP£<2,1)] -2x o XYP<2,1) * * Q31(l)«

f2x Q40(l) + 3 p(2,l)]

H(2,2) = -52 G n|w(l ,T) 2 +2xU2X(l,Tr) tf*(2.1) + 2x V2XU,*) ^ ( 2 , 1 )

+g>,t (2.1) 2+ 6x V2X( l . i r ) ^ (3,2) + «& (2 ,1) 2

+ 12 8^(2,1) ^(3 ,2 ) + 6 g » ; ( 3 , 2 ï 2 J - | Q3l(l)2

-x ïQ40( ! ) [?r(r.l)+3P<3,2)] - | 0(2,1) [5o(2,l)+12p<3,2)]- 3 X P ( 3 , ) 2

253

H(3.1) »^G„ jxV2X (1,T) ff ut2.D + X 02 X(l.i>){P*(2,l)

+ 2x V2X(l,f) 5*^(3,2) +2 0*^2.1) ^ (2,1) + 2^^(2,1 jfl'^a,2)J

- X [x 040(1) + 0(2.1^ [p(2.D + 0(3,2)]

H(3,2) = 2 x ^ ^ , ^ ( 3 , 2 ) -ff*<3,2)] - £ G OVH.v) [8^(2,1)

-^<2,1>+2<P*(3,2> - 3 # * (3,2)] - 2 xQ yYD (3,2)

+ | Q31(l) [2 0(2,1) + Sp (3,2)]

avec la définition suivante des nouvelles quantités : «—» r 2 2 1 2 •>

Y = 2 ^ [ u n - v n J < n " , r Y 2 0 > n " ' ",n

£ u (2,1) = - 2a y2X ( l f l t ) s p u , . , ) - fa^ ( 2 , , ) v

g>* (3,2) = 4 p v|x(l."> SP(l,*) 2+2q S P d . n ) " ^ ( 2 '*> v

+ 2s UIH (l,ir) SP(2,-JT) + r " ^ O . » ) «II .14)

p(2,l) = - 2a X} Q40(1,TT) SP(i.n) - b £ Q40(2,ir)

p (3,2) = 4p J^ Q40(l,ir) SP( l ,n) 2 + 2q £ SP (1 ,n) Q40 <2,TT) ir •»

+ 2s J2 040(1,u) SP(2,n) + r Q40(3> T

En faisant varier x de 0 â - 0.6 par pas de - 0.1 nous avons

étudié les diverses approximations A4,KT4,A6,KT6. Plus préci­

sément, ces approximations correspondent aux conditions

suivantes .

A4 : prise en compte de H(l,l), H(2,0), H(2,l) avec a,b

donnés par (D,44)

KT4 : prise en compte de H(1,1), H(2,0), H(2,1) avec a,b

donnes par (D,24)

J

254

i_

xo KT4 KT6 A4 A6

0 I 2IS8.

4275. j

2165.

5192.

1039.

?o50.

2166.

524J.

- 0.1 1579.

3150.

1613.

4162.

88',.

1745.

161'j.

4349.

- 0.2 I36B.

••71'.,

1490.

3PI4.

717.

m:1. tio.>.

3970,

- 0.3 1221. 1522.

1731.

5)0.

K<;'..

111?.

V'."(\

- 0.4 1107- 1655.

3S53.

308. 1703.

4O08.

- 0.5 1007.

2014.

2493.

5150.

81.

V.O.

1906.

- 0.6 912.

IB58.

2546.

5602.

503.

1402.

2128. :

4641.

exact 80S. 1786.

TABLEAU X 164

Spectre d énergie de Er obtenu â l'aide de développements bosoniques de type KT. Les diverses variantes sont expliquées dans le texte. Variation des résultats en fonction du paramètre de convergence

255

A6 s prise en. compte de Htl.l)... H<3,2> avec p,q,r,s

donnés par (D,45)

KT6 : prise en compte de H(1,1)...H(3,2) avec p,q,r,s

donnés par <D,37)

En toute rigueur KT6 n'est défini que pour x < -0.5. Nous

avons néanmoins "prolongé" cette approximation pour la région

O ^ x < - 0.5 en prenant les valeurs p = q = r = s = 0 . Cela

nous permet d'apprécier l'influence des parties de H(2,2),

H (3,1) et H(3,2) qui ne contiennent que les terir.es en x, a, b;

c"tte approximation doit donc plutôt Stre appelée KT4'.

- Comparaison des différents développements

Sur le tableau X nous avons fait figurer les deux pre­

miers états excités d'un cas typique 1' Er avec > - X

= 0.040 MeV pour lequel un certain nombre de conclusions géné­

rales peuvent être tirées. Tout d'abord, 11 est apnarenl. quo

pour une même valeur du paramétre de convergence y. , les

différentes approximations donnent des résultats complètement

différents. Seules les approximations d'ordre le plus bas

KT4 et A4 peuvent prétendre donner un spectre voisin de 1*

valeur "exacte" tirée de l'approche multiphonon. Le calcul

approché A4 donne un bon accord pour une petite valeur

x ( x s 0.1) et il est intéressant de noter que c'est préci­

sément cette approximation et cet ordre de grandeur de x

que Kishiraoto et Tamura utilisent dans leurs calculs. Une

autre possibilité pour obtenir un accord raisonnable consiste

à prendre KT4 avec x - - 0.7. Pourtant,une simple inspection

de la fonction d'onde montre clairement qu'on a un fort mé­

lange d'états multiphonons même si le spectre en énergie n'est

pas trop éloigné d'un schéma harmonique. Cette propriété n'est

d'ailleurs vraie que pour les approximations d'ordre quatre,

elle disparaît pour les ordres supérieurs. Dans quelques cas on

peut obtenir l'inégalité expérimentale E{0_) < 2E(0 ).

Pour O < x < -0.5 la comparaison de KT6 (en fait KT4') et

A6 montre que les valeurs de p,q,r,s dans A6 sont suffisamment

faibles pour n'introduire que de faibles différences dans KT6

I6Û_ TDA H n A/n

X

o li<0,0) H(1,0)

i i

11(1,1) H ( 2 , l ) H(2,0) H(2,2) 11(3,2) H<3,1)

0 KT

A

- 1.007 - 0.158 2.141

1.046

O . I W

0.0864

0.0713

0.137

0.450

0.476

-0 .0267

-0 .0227

-0 .0611

-0 .0713

- 0 . 1 KT

A

- 38.9 0.144 1.618

0.979

- 0.0535 0.130

- 0 .0780 J0.164

0.457

0.547

-0 .0141 i -0.0535

-0 .0204 1-0.0575

- 0 . 2 KT

A

- 77.7 0.498 1.429

0.911

0 .0216 0.164

0.0714 0.141

0.415

0.481

- 0 . 0 1 1 0

-0 .0186

- 0 . 0 4 7 0

-0 .0493

- 0 . 3 KT

A

- 1 1 7 . 0.899 1.286

0.843

0.00183>0.196

0 . 0 6 6 0.218 i

0.381

0.431

-0 .0091

-0 .0167

-0 .0421

-0 .0436

- 0 . 4 KT

A

-158 . 1.3t2 1.165

n.774

-0 .0116 io.226 i

0.0615 0.246

0.352

0.392

-0.00787

-0 .0151

-0 .0382

-0 .0392

- 0 . 5 KT

A

-200 . 1.823 1.056

0.706

- 0 .0213 0.255

-0 .0577 0.273

0.843

0.361

-0 .108

-0 .0138

- 0 . 0 6 7

-0 .0358

- 0 . 6 KT f-24 2. 2.342 0.956

1 0.638 1

-0 .0285 |o.284

0.054 3 kl. 300

0.522

0.336

-0 ,0515

-0 .0127

-0 .0444

-0 .0331

Valeurs des coefficients de l'Hamiltonien bosomquo de type KT pour le noyau Er. Les appro­ximations KT4 et A4 s'arrêtent à H(2,0), les approximations KT6 et A6 s'arrêtent .i H(3,l)

257

où ces mêmes quantités ont été arbitrairement posées égales

â 0. Un autre point important résulte de la comparaison de KT4

et KT4'; les spectres respectifs sont tout à fait différents

ce qui prouve que les parties d 'ordre supérieur à 3 de l'Hamil-

tonien (termes H(2,2), H(3,l), H(3,2)) provenant de produits

d'opérateurs d'ordre inférieur à 4 du BE (termes en x,a,b)

ont des effets non négligeables. On peut penser que le même

genre de raisonnement mené â un ordre supérieur s'applique

également. Cela montre clairement que ce genre de développement

bosonique n'est absolument pas convergent dans ies cas traités

ici. Cela est d'autant plus vrai que pour x < - 0.5 - où l'on

s'attend à ce que KT6 soit la meilleure solution - les calculs

montrent que c'est en fait la plus mauvaise. Une comparaison

entre A 4 et A6 conduit aux mêmes conclusions quant â la conver­

gence de ce type de BE. Cela confirme les résultats de Stfrensen

So 70 a,b,73a | dans les noyaux sphériques qui montrent que

la convergence est d'autant meilleure que les couches individuel­

les sont fortement dégénérée».Travaillât avec des bases déformées, les

couches ne sont que doublement dégénérées et c'est le pire

des cas pour assurer la convergence.

Dans le tableau XI nous avons reporté les coefficients

H(i»j) pour différentes approximations et valeurs de x .

On voit que le développement est convergent dans le sens

où |H (i+l,j+l)| <\<H (i,j)l •

La présente étude prouve clairement que ce n'est pas suffisant

pour assurer une bonne convergence des observables. En effet

ces coefficients sont à multiplier par des coefficients géo­

métriques du type |k(k-l)| ' pour l'obtention des éléments

de matrice <k |H|k-l> .... et cela peut modifier beaucoup de

choses; on remarque en effet que les coefficients H(i,j) cor­

respondant à des approximations élevées comme H (2,2) ,H (3,2) ...

sont beaucoup plus forts dans le cas KT que dans le cas MM.

- Quelques remarques sur les états indésirables

Dans les deux premières approches, l'analyse du spectre

d'énergie ne présentait pas de difficultés et nous n'avions

observé que quelques rares états indésirables. Dans le cas

258

présent, ceux-ci sont si nombreux qu'il n'est pas facile de

sélectionner les trois états propres physiques d'énergie la

plus basse. De nombreux états dangereux correspondent à la si­

gnature signalée auparavant : état a grand nombre de phonons

bas en énergie. Pourtant, dans cette approche, nous avons

également aperçu des intrus d'un autre style. Par exemple, 154 TDA H

nous avons trouvé que - pour le Gd avec % = x =

0.036 MeV et x =-0.2 le développement KT4 conduit à un

fondamental d'une nature collective très curieuse : 8 des 10

composantes de sa fonction d'onde sont de l'ordre de 0.3.

La nature de cet intrus est certainement autre que celle des

intrus déjà rencontrés ; il pourrait s'agir d'états parasites

provenant de la violation du principe de Pauli.

L'ensemble de ces résultats - allié au fait que nov.s

n'avons pas de critère sérieux pour fixer x - nous force

â conclure que les BE de type KT ne sont pas convergents et

pas adaptés au cas d'une base individuelle déformée. Ils

conduisent de plus a une interprétation très délicate des

résultats obtenus.

259

CONCLUSIONS

Au terme des quelques études menées à bien tout au

long de ce mémoire, qu'avons-nous appris *

- Tout d'abord les systèmes nucléaires sont effective­

ment très complexes. La bête évoquée dans l'introduction n'est

pas encore sur le point d'être capturée. Il semble que ni les

forces effectives utilisées, ni les techniques de calculs emplo­

yées ne soient vraiment au point. Ces deux éléments ne peuvent

d'ailleurs être disjoints et l'amélioration de l'un doit aller

de pair avec l'amélioration de l'autre. En effet, les méthodes

numériques nécessitent l'emploi d'un espace modelé; le choix

de la force effective - même tirée d'une force réaliste par un

calcul de type Brueckner - doit se plier A cet espace modèle. De

plus l'interaction effective est fonction des configurations

mises en ;,eu dans la description du noyau. Il est évident qu'une

bonne force effective utilisée dans un calcul TDA par exemple

n'est plus aussi bonne pour un calcul RPA et vice et versa. Or

il serait étonnant que les états nucléaires possèdent des struc­

tures aussi simples que celles utilisées dans les formalismes

TDA ou RPA. L'introduction de configurations plus compliquées

nécessite automatiquement la renormalisation des forces â emplo­

yer. Cette conclusion n'est pas originale et le présent travail

n'est de ce point de vue qu'une modeste pièce â inclure au mo­

numental dossier du problème 3 N corps.

- Ensuite, l'emploi de quantités corrélées comme sous-

systèmes du système étudié est sans aucun doute une bonne chose

et une voie dans laquelle on doit s'engager plus 3 fond. Le

choix du type et du nombre de phonons 3 prendre en compte ainsi

que les méthodes destinées 3 les utiliser ont été évoquées lon­

guement dans ce mëmoire et méritent certainement des études encore

plus approfondies et - pourquoi pas nouvelles . Il est vrai que

260

ce genre d'approche pose des problèmes théoriques et numériques

que nous avons rappelés souvent. Cela explique une certaine

désaffection entourant les calculs de ce type. Nous avons voulu

essentiellement démystifier ce point de vue et ouvrir quelques

portes Bur l'avenir de telles méthodes. Après tout nous avons

prouvé - au moins dans les noyaux étudiés - que ces approches

permettaient de tronquer substantiellement les bases de diagona-

lisation sans pour autant perdre la précision des résultats.

La conséquence est double : gain de temps numérique appréciable

et surtout interprétation physique plus facile de la structure

nucléaire.

- Dans les noyaux sphériques de la région des

plombs, deux approches différentes du problème â N corps se sont

révélées équivalentes du point de vue résultats. Ce n'est pas

étonnant puisque la philosophie sous-jacente est la même. Du

point de vue numérique, par contre, il est certain que la théorie

du champ nucléaire est beaucoup plus lourde et difficile â mettre

en oeuvre que le modèle en couches A deux étapes. Cependant,

nouB avons délimité sérieusement la validité d'approches plus

succintes. Il s'avère que les noyaux de cette région sont assez

bien décrits dans le cadre du modèle en couches - au moins pour

la partie basse du spectre ou pour les états de spin élevé.

- Dans les noyaux déformés, il semble que la théorie

que nous avons développée dans la troisième partie ne soit pas

encore assez sophistiquée pour reproduire correctement l'expé­

rience. Néanmoins elle a le mérite de traiter correctement le

principe de Pauli ce qui n'est pas toujours chose facile. De

ce fait, elle a permis d'utiles comparaisons avec d'autres mé­

thodes en vogue à l'heure actuelle et qui transgressent ce

principe fondamental.

- Dans les deux cas évoqués ci-dessus il est très

difficile d'imputer les désaccords avec l'expérience soit â la

force utilisée, soit aux configurations mises en jeu. Probable­

ment aux deux comme nous l'avons dit un peu plus haut.

- En ce qui concerne les améliorations futures de

la théorie des multiohonons nous en avons suggéré trois gui

261

semblent être du domaine du possible : introduction d'une force

rf'appariement quadrupolaire, prise en compte des couplages avec

les états non collectifs, ainsi que les couplages avec les

vibrations de type K* = »2+. C'est essentiellement au niveau

du traitement numérique que se situent les difficultés.

En ce qui concerne les approches traitées dans les

deux premières parties, nous n'avons tenu compte que des vertex

TDA. C'est sans aucun doute dans la levée de cette hypothèse

que doit être repris le formalisme. Les excitations du coeur

qui sont essentiellement des phonons corrélés 1 particule -

1 trou peuvent facilement être introduites dans notre théorie.

De la même façon, on peut imaginer la prise en compte de

phonons constitués de trois ou même quatre particules corrêlêes.

Le problème délicat dans ces cas-lâ est le calcul de la matrice

de recouvrement et l'orthogonalisation de la base ; par contre,

la troncation substantielle de la base permise de cette façon

constitue un avantage déterminant.

Décidemment, les méthodes de couplage faible

semblent promises â un bel avenir.

262

APPENDICE A

DEVELOPPEMENT PERTURBATIF DE BRILLOUIN-UIGNER APPLIQUE

A LA NFT

Considérons un système gouverné par un Hamiltonien

H = H Q + v (A.,1)

où H est un opérateur à un corps dont les états propres sont

connus et V l'Interaction résiduelle â deux corps. La résolu­

tion de l'équation de SchrSdinger demande la diagonalisation

de H dans un certain espace de Hilbert noté Ç (appelé espace

des états) qui est généralement de dimension infinie. L'idée

de base est de séparer C arbitrairement en deux sous-espaces

disjoints

- un espace noté 9* engendré par un système de base

| <i. > dans lequel on fait tous les calculs

- 1'espace complémentaire «f «= w - » engendré par le

le système de base |ra. >

La base de C est supposée orthonormée donc

^jjgj >= « ^ = <n>,- |n> > ^ i r 3 (A,2)

«Silm.j >= O

Soit p le projecteur sur l'espace u , Q le projecteur sur l'es­

pace % . Nous avons les propriétés bien connues des projec­

teurs

P + = P; Q + = Q; P 2 = P, Q 2 = Q, PQ = QP = 0 (A,3)

0<J = P + Q (relation de fermeture)

On a aussi d'après la définition du projecteur

p|Bi >- ie±> V ± Q| 6 i> = o

P|m^ >=• 0 y^ Q| m.> = |m

<A,4>

"3 »j "' j' ' j

Puisque la base est supposée orthonormée l'expression des

projecteurs en notation bra-ket est triviale

263

P = 53 !»1> <& L\ Q * S I"1!* * m j ' ( A , 5 )

Le problôme consiste â traduire l'équation de Schrodinger

originale

H! V " Enl¥ „ > (A,6)

avec | V = Ç ç ( f | 6 i>+ £ Jn\ l«j> = »|TB» + Q|¥n>

(A,7)

dans l'espace de calcul P .

Notons comme de coutume

H p p = PHP; H p 0 = PHQ; H Q p = QHP, H ^ = QHQ (A.8)

soit sous forme matricielle

L'équation de SchrSdinger a donc la forme

(A, 9) H P P

_<n) . „ v ( n ) _ _ , (n )

HQP r <n> x H v l n > - v Y ( n ' î + H Q Q X - E n X

De la dernière ligne, nous tirons

x ( n ) = M (En) ç( n > (A,lû)

M ( En' = [En " H Q Q ] " 1 H0 En reportant cette égalité dans la première ligne de (A,9)

nous obtenons l'équation de SchrSdinger dans l'espace vP.

W (En) £( n ) = E n Ç ( n ) <A,11)

avec K (E) = H p p + H p Q [ E - B J " * H Q p

L'opérateur W(E) est appelé Hamiltonien effectif ; il dépend

de l'énergie par l'intermédiaire du terme IE - H_-| .

L'équation de SchrSdinger demande que la valeur prdpre de cet

264

Hamiltonion effectif coincide avec le paramètre d'énergie qui

a servi a calculer 1'Hamiltonien effectif lui-même. Cette dé­

pendance en énergie constitue un problème hautement non liné­

aire et donne des propriétés assez déroutantes pour qui rai­

sonne avec l'habitude des problèmes linéaires. En particulier,

supposons que la dimension de o soit N et celle de S3, n

avec n << N. Bien que la matrice W(E) soit une matrice carrée

n x n dans la base |B,> # ses valeurs oropres au sens de

(A,11) sont, elles, au nombre de N. C'est évident puisque

(A,11) est complètement équivalent à (A,6). Cela se comprend

également car bien que W(E] soit une matrice n x n l'équation

caractéristique det; W(E) - El! = O, n'est plus une équation

du n e degré a cause des dénominateurs d'énergie apparaissant

dans W(E). Dans le même ordre d'idée, bien que W soit hermi-

tique, ses vecteurs propres au sens de (A.11) ne sont plus

orthogonaux puisque K dépond de la valour propre ellp-méme.

Cette propriété est à l'origine de la métrique un peu parti­

culière imposée par la NFT ot décrite par l'équation (11,32).

Mous reviendrons là-dessus. Quoique les •' ne soient pas

orthogonaux dans l'espace 0^ , les vecteurs

eux, sont orthogonaux dans l'es-/f.tn) \

l v = W n , ;(n1/ pace <?puisque ce sont les vecteurs propres ds l'équation originale.Avant

de résoudre (A, 11),il est nécessaire de calculer les éléments de matrice

K V 2 ( E ' = \*2 + SVi < m i ! W ' ^ S *2 ° U 2 )

En général, on connaît bien l'action de H sur lm.> (souvent les |m. > sont choisis en conséquence)par contre l'évaluation <m. | p-H-J |m.> est moins aisée.La procédure classique consiste à développer là résolvante P-HUQ| =|E-(H ) - \ f J e n puissances ds l'interaction.Pour cela,on uti l ise Ta fornule nathénâtique bien connue (A-B) =A + A~ B(A-B) qui,réitérée donne eA-B)~X« A " 1 - * » " 1 » " " 1 - » " 1 » " 1 » " ' +...=*~1Jl+BA~1+<BA~1> . . . I . En posant A = E-(H l et B = V— dans cette formule nous obtenons

°QQ w

265

H Q J " f - " v Q Q r g | V Q Q [E" ( H O >OQTJ i A , i 3 i

Dans ces conditions, on peut mettre les éléments de matrice

effectifs sous forme d'une série infinie Pou 71J

[E ' '""J"1 VQQ

pSÔ

P

K Q p !P.2> (A,)4)

On peut traduire chaque terme de la série sous forme de

diagrammes. N'entrons pas dans les détails nais disons qu'un

diagramme correspond a un système de contractions donné. En

effet, en remplaçant V par son exDression en seconde quantifi­

cation, on enqendro une quantité qui est la valeur moyenne

sur le fide d'un produit compliqué d'opérateurs.

Le théorème de Wick nous enseigne que le résultat est la somme

de toutes les contractions possibles. A chaque contraction

correspond un diagramme, et le problème est déplacé dans xe

sens de la recherche de tous les diagrammes.

Une fois déterminé W et calculées les valeurs propres E . ,_» n

il reste à déterminer la fonction d'onde t qui n'est con­

nue jusqu'alors qu'à un facteur multiplicatif prés. C'est la

condition de normalisation qui fixe celui-ci.

La relation d'orthogonalitë des vecteurs propres se développe

comme <5 no

y (n) r(p> l o _ - V 1 x<n> v(»)^„ I-, -i.j

En faisant usage de (A,2)

6 np

266

et en remplaçant X par sa valeur en fonction de j nous obte­

nons la formule fondamentale donnant la norme

n,P ft . ( n ^ . ' p ) j < i j + ( M + ( E n > M « B p ) ) J (A,15)

En particulier pour n = r, » + « E

n > M < E

n > = " P Q l E

n ""QQJ H Q P

En dérivant l'expression W(E) de (A,11) par rapport â E et en

posant E = E , nous voyons que M M = - -,-s et la condition

de normalisation prend la forme

.<">' .<n) (A.lfe)

La métrique n'est plus cartésienne; c'est le prix qu'il f.ut

payer pour rendre les vecteurs propres orthogonaux dar."= l'es­

pace complet alors que les vecteurs propres de K(E) dans l'es­

pace ne le sont pas.

Possédant & présent la fonction propre, il est possi­

ble de calculer n'importe quelle observable. Soit T un opérateur

quelconque dans l'espace complet qui agit sur des fonctions

i v - E c1?» i 8 i >+ Ç x i | B j> i 3

Nous allons chercher l'opérateur effectif T qui possède dans

(5^1es mêmes éléments de matrice que T dans Ç . Autrement dit

cherchons T qui réalise la condition

•|ï .(n) (P) C i <• j <6il Tl h>

Il suffit pour cela de remplacer ,> et

(A,17)

en termes des

B<> |m.> 'P' - l'n

de remplacer X par sa valeur en fonction de £ "i' i'3 et d'identifier. Le résultat découle de lui-même

T = T

+ HPQ [ En " H Q 0 j T [ V H Q Q ] H Q p ^ 18)

Il est â remarquer que l'opérateur effectif T dépend en fait

des fonctions d'onde sur lesquelles il agit par l'intermédiai­

re des dénominateurs d'énergie qui sont fixés une fois

267

déterminées les fonctions propres j« > et i •? ^. Il serait

donc plus rigoureux d'écrire T p au lieu de T. Los éléments

de matrice de T s'obtiennent également a l'aide de séries

diagranunatiques.

Voila résumée en quelques pages la théorie de Brillouin-

Wigner sous forme classique. Comment s'insère dans ce cadre

la théorie du champ nucléaire pour trois particules. Les

degrés de liberté bosonique T étant coraolétement indépendants

des degrés fermioniquos C les deux espaces engendrés par

[c+ » (cV) ] C • r |0 >= \BL-- et par [C 8 IC C ) I '0> = |m,-

sont disjoints et correspondent respectivement aux espaces

<P et <Z. L'Hamiltonien total pris en considération est

» " "NFT = Hsp + Hb + Hpb + v

Comme < •}.. Ii_, + V '?.,:• ~ 0 l e terme noté H„n e s t simplement i pr. j PP Il + II. r c ' e s t lu i qui e s t responsable du terme d'ordre zéro e x p l i c i t é dans (11 ,25 ) . H™ représente la par t i e on A C C r de H fc e t H_Q = H Q [ )

la par t i e en A CC I' de H . .

De p l u s , comme < m. | H, + H ^ | m - > £ 0 l e terme l l Q 0 r e s t e simplement H + V e t l ' on a anoliaué le développement perturbat i f en prenant V comme i n t e r a c t i o n r é s i d u e l l e , c ' e s t -à-dire que l ' on f a i t la correspondance 'H

0)<v> = H

S D

v = v QQ

Le dictionnaire qui permet de faire le lien entre la théorie

BW usuelle et son application à la HFT est ainsi achevé et tou­

tes les formules citées dans cet appendice ont été traduites

par ce biais dans les chapitres de ce mémoire. Notons que

la base

i m . -«T

C_ 9 <C„ C ), I I o> est état propre de H f H r AT |jjj Sp :* 9 < cV T

et que par conséquent on peut remplacer |E-(H ) I I m. >

r î - i L ° QOJ ' 3

paç I E- c- r - I | m.> . C'est de là que provient le ter­

me "dénominateur d'énergie" utilisé lors du calcul des diagram­

mes. Notons également que dans l'expression (11,42) de

268

l'operateur effectif C. deux terires ont été omis; la raison

en est simple __j

- le terme H p o I E.-H-J C. donne une contribution

nulle car en agissant sur T (X, r.) |o > l'état

ck®' - + f i'fi' |0 > est un état de l'espace tS donc

I E, - H„ 0 I agissant dessus donne O.

+ r I - 1

- le terme C lEi~HoQl H O P d o n n e aussi une contribution nulle car H o p agissant sur r + <>**.) donne des

+ + **i

états C C / donc le terme total est tout entier dans 1'espace

C£et lorsqu'on fait le produit scalaire de cela avec un état

de base |f|

1

> on trouve 0 Le même genre d'argument s'applique pour l'opérateur effectif électromagnétique C,„ •

L

269

APPENDICE B

ETUDE DETAILLEE DES PROPAGATEURS F ET G

Cet appendice a pour but de résoudre c e r t a i n s points ou d i f f i c u l t é s techniques l i é s aux propagateurs de l a HFT i n t r o ­dui ts dans l e chapitre I I . i l ne peut ê t r e compris qu'après une l ec ture d é t a i l l é e de ce c h a p i H e a i n s i que de l'Appendice A.

Le problème fondamental de la NFT c o n s i s t e 3 évaluer

Vi ( E ) " " $ i " p 2 ' H p Q [ E " v T H o p l ? i > ( B ' n

• 12 • - f i

2 ' H p Q [ E - H Q Q ] l c « « { c t c - * )

i L q , r , s , > , T

•0 > x

< 0 ! c* a (c+ c + ) q ** l t r ^ 'XT

TM_

IH "QP TV

c* r + O. .T .I io>

Considérons le système de contractions où c se contracte

avec C c'est-â-dire se propage librement pour H o p , autrement

dit regardons la valeur du sommet

où la ligne horizontale indique une contraction qui fournit

le facteur 6 q q - I l reste < <C+ C * ) , ^ | H Q p | r u

+ l \ 1 T ^ »

dont la valeur (11,17) est 6, , N(rs),1 AT, A 1 T j u,

(rs;AlTl )

En conséquence (B,l) peut se mettre sous la forme :

"2" l ' $ 1 (rs)A (rs;A 1T 1) E.

r,s

0> (B,2)

270

qui comparée â (11,16) fournit immédiatement la valeur du

propagateur F

F B (q,rs,>. T ; E > - < B | H p Q [E-HQQ]" 1 [ = * • « * <\]m 10 > TMr

l< (B,3)

En d'autres termes, on peut dire que F„ (q,rs,XT;E) est le

propagateur de l'état intermédiaire

| 0 >vers l ' é t a t de base ]S> . E n

fait la simplicité apparente de (B,3) est quelque peu abusive.

Pour être plus rigoureux il faudrait dire exactement-

[c*«M<c s

+) l™* le [ q r s >i J I M

le

Eau

Fg(q,rs,>T!E) est la contribution S <S|H R 5 E-HgJ C q » ( C r C S ' > T •°">

de t.ous les diagrammes liés, ne comprenant pas de bulles et

tels que dans les états intermédiaires les états couplés sont

ceux qui sortent du sommet d'interaction.

En clair, cela veut dire que si on développe F. en

série de puissances de V ; F •= 7 . Fg ' n o u s a v o n s P o u r

( i\ K c l

F g le schéma de contractions suivant

Xi'Ti

< 0 | < ® ( C + C. + ) | V M | C + ®(C+ C + , | 0 > x

< <9%i ^ / h T ' ^ p ^ i ' V l

> x (B ,4 )

< c s ® < (* ) I v [ E - H 0 ] I c+*c+ c s

+ ) |o > i l x * i T i L L

Traduit en termes de diagrammes le propagateur F admet le déve­

loppement suivant

^ V

271

~

F <q,rs,Vr;E)

x(-l>"

(B,5)

xf-l)"

avec * = j q+J r+J s+l/2+l+T

Cette écriture symbolique est particulièrement adaptée pour

calculer le complexe conjugué du propagateur

F„ (q,rs,At;E) -

(B,6)

x(-l)''

272

En partant de la même expression (B,l) et en introduisant

l'état intermédiaire après H p Q n o u s obtenons de la même

façon le propagateur G. Néanmoins, si on introduit l'état

) . tome de contraction

r

et qu'on prend comme précédemment le sys-

+

'U2 C > , on voit qu'on reste

V ^ 2 '"P0! "q v ' r ~s' te avec la convention de couplage qu'il faut définir une fois

pour toute, en 1'occurence les états couplés sont î la sortie

du sommet d'interaction -

«r,

•0 qui n'est pas permis. Introduisons plutôt l'état intermédiaire

(E) - W (0)

!c

q o, r,r,

<5

q,r,r,X,T

2 I H P Q l ( C q C r > > T ® C s

!B

Le système de con t rac t ion r

< ; 2 i 2 ) "PQl (C+ C + ) © C +

q r 'x T s

(qra 2 T 2 )

fourni t à présent la valeur j +1/2+X.+ W - T

s q? A T Ai U 0

' 2 2' z

Quant à l ' a u t r e terme, i l se ca lcu le en remettant l ' é t a t in ter­

médiaire sous forme convent ionnel le !

tuant l e découplage adéquat; i l donne

2Z * ci «rVvM^iv'-» j„+j +j„ +3/2+I-KT 'q Jr Jq.

X A-, T T Q

1/2

1/2

1/2

T

273

En groupant ensemble les deux morceaux e t en u t i l i s a n t la

p r o p r i é t é de symétrie (11,12) des constantes de couplage i l

v i en t

Z . r , s , x . T " ' 2 " 2

\ir S , 1 / 2 ^ T

j q * *» 1 1/2 T T 2

(B,7)

qui comparé â (11 ,26 ) f o u r n i t immédia tement l ' e x p r e s s i o n du p r o

p a g a t e u r G à s a v o i r

•fTWp G fl ( q . r . , * T , E ) =< | c ; < g ) ( C r

T C s ' ) X T | l | E - H o 0 | H Q p IE > ( 3 , 8 ) [^•«rV»»!,,»^]'1

On doit comprendre cette expression dans le sens rigoureux

qui a servi à définir Fft . En particulier, le système de

contractions s'appliquant au terme d'ordre l s'tcrit

G<'-><q.rs,H;E) = £ < < £ • < O Ax I [ ^ VK2 ' ^ C J V l ' ?i'!i I

< 2 9*^ c \ h [**]~l vi <*;•«£ c

r;> (B,9)

V 2

X-" , W Pjl-2 ^ - 2 V ? ' E - H J V|C+®(C C_ ) I T >

^c, >Vi v v ^ j H"1 le

Donnons également le développement diagrammatique de G„ et

274

G g (q,rs,>T)E)

(B,10)

I B j G Ë (q,rs,>-T ;E)

x(-n"

(B,ll)

+ —

On peut déduire de oes relations une propriété très importante concernant

le propagateur G.

275

Si on permute les états s et r l'état intermédiaires TM,.

IM |0>. La d i f ­f e r c:>XTpV e S t C h a n * ê a n [ C > C « C r \ r ]

fërence entre ces deux états est simplement la phase j+j.+X+T

(-1) . Ce résultat peut se montrer directement. Cette

propriété étant vraie pour le 1er ordre G„ d'après (11,30) et

(11,10) et pour Kq (rs)X-rî q'Cr's'JA'i' d'après (11,28) et

(II,5),elle est généralement vraie pour G,d'aprês (11,29) J r+J s+X+x

P

G?(q,sr,ATîE) = (-1) r Gg (q,rs,At;E) (B,12)

liuî t-2lle propriété n'est plus valable pour le propagateur F

comme on peut s'en convaincre en examinant (B,5). Par contre,

ncus allons montrer une propriété tout aussi importante qui lie

les propagateurs F et G. On pourrait croire en comparant (B,3)

et !B,8) que F = G. Ce serait oublier le sens très rigoureux

que nous avons imposé dans la définition de (B,3) et (B,8);en

particulier il faut choisir comme états intermédiaires des

états qui sont couplés en sortant d'un sommet d'interaction.

En partant de (B,5) et en recouplant q et r a X' -'

nous obtenons

F,(q,rs,XT ;E) =2j M) j q + J r + J s + 3 / 2 + I ^ A A A ( j q j r X' 1/2 1/2 T '

1/2 T T

+ »•,

Or synfooliquement , l e diagramme m u l t i p l i é p a r l a p h a s e v a u t

- G* ( s ^ q . X ' i ' î E )

Par conséquent, nous obtenons immédiatement la relation

très importante

276

F_(q,rs,)TfE) -A(rs,»T)

T 1! 1 3= I

(1/2 1/2

1/2 T G*(s,rq,>.

(B,13)

Le facteur Mrs.Xt) vaut zero si r = s et si A+T est pair,

autrement il vaut l'unité. En effet, pour faire la démonstra­

tion précédente nous avions implicitement sous entendu que

Cq®[ ( C +r_ C:\j IM l'état <v,®|(c' C ) I 10 > était permis mais si ce q L r s AT J JJJ

n'est pas le cas F vaut zéro/alors que le membre de droite

(sans le facteur A) pourrait fort bien être non nul. C'est le

même facteur A qui interdit d'inverser la relation (B,13) pour

donner G ei: fonction de F de façon aussi simple. Une autre

dûmonstration possible de (B,13) s'obtient par récurrence. Il

est facile à partir de (11,24) et de (11,30) de vérifier la

relation pour les propagateurs du premier ordre. Une fois

admise la propriété pour les propagateurs d'ordre l , on la

montre pour les propagateurs d'ordre (t+1 grâce à (11,21)

et (11,28). L'équation (B,13) revêt une importance fondamentale

3 un double point de vue : théorique et numérique. L'aspect

théorique concerne l'hermiticitê de la matrice W,

n'est pas évidente d'après (11,18) ou (11,26). Coi imme

(E) qui 2 en vertu

de (11,25) W (0) B 2 B 1

l'hermiticitê sur W

est hermitique il suffit de montrer (0)

Partant de (11,18) 3 2 ^ " B ^ -

. i -2_» N ( r ' s ) A trs;>,T7) F (q,,rs;x T ; ;1 B2 "rTs "2 2 2 2 2 2 2 „(0)

:" 1; 2

utilisons à présent (B,13)

* , AAA<^ \ \ J r

,s) A , r s ' * 2 T 2 ' * * 2 T T 2 ) . '••]•" 2 B 1 B 2

• / ] N(r ,s

r , s , x , T

"2

| l /2 1/2 T

[l/2 T '2

G (s , rq ArfE) 1

qui n ' e s t que W. . - W„ ? d'après (11,26). L'hermiticitê e s t démontrée. B 2 S 1 B 2 B 1

277

H r . (E) = H (E) (B,14) S l % B 2 B 1

L'aspect numérique permet de diminuer les temps de calcul et le

nombre de mots mémoire en ordinateur. Le problême de la NFT

à tous les ordres requiert la résolution de systèmes linéaires

sur la matrice K pour obtenir F, sur la matrice K pour obtenir

G; or les matrices K et K sont énormes dans les cas concrets. Le processus direct consiste â stocker ces deux grosses matri­

ces et à inverser H- K et <fl- K pour obtenir F et G. Une

méthode astucieuse consiste â ne stocker que K donc à ne dé­

duire que G et à atteindre F grâce à la relation (B,13). Tl

est possible de faire même beaucoup mieux si on prend en con.pte

la propriété de symétrie (B,12); celle-ci permet d'effectuerdos

calculs avec une base d'états intermédiaires

îi 4. + I T

C ®iC C 1 |0> pour lesquels r < s par exemple. Cela

permet de diviser la dimension de la matrice K par près d'un

facteur deux- L'équation analogue à {11,29} pour cette base

restreinte est * présent

.r'<s',xV

avec 3(q(rs)>.T ,q' (r's'hV = ("4 -K),

G . (c!,rs,>T!E) = 7 ^ cJlqfrsHT^q'tr's'J.WtEJG <q',r's',>'Ï ' ;E) r"s q'.rs.«.*v ( B r l 5 )

qfrsHTrqMr's'U'T'

•U- «,..,„.) (-1) S Cl-K'q(rs),T;q'(s'r'U-

En pratique , nous résolvons (B,15) dont la matrice «H. tient

grosso modo quatre fois moins de place que K et dont le calcul

est environ deux fois plus rapide, puis nous prolongeons G

grâce S la propriété (B,12) et obtenons F en vertu de CB.13).

278

APPENDICE C

L'ETAT | j 3 . . I = 3 j - 3 >DANS LE MODELE EN COUCHES

Nous donnons dans ce t appendice le t ra i t ement en termes de modèle en couches de l 'exemole qui a s e r v i d ' i l ­l u s t r a t i o n de notre t h é o r i e aux chap i t r e s I I I 1ère p a r t i e e t 2ème p a r t i e .

Soient t r o i s p a r t i c u l e s dans une couche j couplées à un moment angula i re I = 3j—3 e t C l ' o p é r a t e u r de c réa t ion d'une p a r t i c u l e dans l e sous - é t a t magnétique m. Le schéma m nous p réd i t un seul é t a t de ce genre plus expl ic i tement

j-'. I = 3j-3, M = 3j-3 > = C+ C+_j C+_ 2 |0 > (Cl)

Kr. aer.éral, le modèle en couches n'utilise pas le formalisme

do seconde quantification et 1 'antisymétri'îation correcte des

fonctions d'onde implique l'introduction des coefficients

de parenté fractionnelle (cfp). Ainsi

! j 3 IM > = 2-1 ' ^ ( J D J I|}j 3 I> |J?,(JD j 3 IM> (C,2! Jjpairs

2

l'état |J 1 2(J1) j, IM> est antisyimnitrisê par rapport à l'é­change des particules 1 et 2, mais non vis â vis de l'échange impliquant la particule 3.

Energies.

Comme il n'existe qu'un seul état de spin I - 3j-3, la

valeur propre de H est également sa valeur moyenne. La valeur moyenne de H est trivialement 3 e quant â la valeur moyenne de V elle se réduit à

• j 3, IM: V| J 3,IM> = 3 2-f <J 2(J,) j I|> j 3 l> v T (c,3)

J pair l 'i Ji (voir formule 26.45) de la réf. 1 De Sh BlJ )

279

il n'y a que deux valeurs de J, qui permettent le couplage à

I = 3j-3 â savoir J =X , = 2j-l, Jj =X 2 = 2j-3.

En ce qui concerne la valeur de cfp il suffit d'ouvrir un bon

livre â la bonne page pour trouver (à une phase près)

13 J J, "

: 2 a 1 ) i i|}.j31> Vo + 2 J o J i 3 I Jn

3 + 6^' N2 M i

Jo| f0 • T T

V o

(C,4)

(voir par exemple formule (26,11) de (De Sh 63 J )

Prenons par exemple J„ = X on obtient

V 3 lÙ i 3 I,.

(C,5)

avec les notations déjà rencontrées

/\ A [1

i jj

Jij 5, .+ C. . et

En reportant les cfp dans la valeur moyenne de l'Hamiltonien

nous obtenons immédiatement l'énergie de l'état

(C,6) 3c = B où B 1 11 2 22

Facteurs spectroscopiques

Voyons à orésent ce que valent l e s facteurs spectrosco­

piques de transfert d'une particule des états X^ et ), 2 vers

l'état 1. Avant 2 particules dans l'état J. , c'est la oroba-

bilitô de trouver

une particule

.,2.

le noyau dans l'état I après avoir ajouté

2 S> -.1 = 3< j*(Xk> 1 I|) j J I> = 'kk

(C,7)

le facteur 3 vient du fait qu'on a trois couples possibles de

particules. On peut se convaincre également du résultat de

façon un peu plus mathématique en écrivant les fonctions

d'onde à deux particules

280

r y s - i •?> - c j CU f» r î , 2 j - 2 P> = ci c:-21 ° »

!"J21-3 !°> - <4J -3 ) " 1 / 2 {VwT C+ Ct_3 |0> +$0^ C+._2 I 0>J

r+ 2 J_3 p> = (43-3,-1/2{ -V7 cî c+_ 3 , 0 > + Vi7^I7 c ^ c+_2 |o>J (C,8)

Pour avoir les amplitudes spectroscopiques il suffit de cal­

culer le recouvrement de

f C + 1 + ., 1 1° > avec l ' é t a t cons ide r ! |I I > = C t C i . . ] ^ - ^ l 0 >

I l v ien t a lo r s

I I , c+r, V3(3j-2)' k

(C,9)

Li?» ïactPars spectroscopiques sont simplement les carrés des

amplitudes d'où le résultat cité (C,7).

Probabilités de transitions électromagnétiques

Calculons enfin l'élément de matrice réduit de l'opé­

rateur de transition électromagnétique T entre les deux

mêmes états |II> . C'est un problème de couplage de moment

angulaire qu'on trouve par exemple dans le livre de De Shalit

et Talmi (formule 26.33) f De Sh 63 1

~* 2 33r 1 J lT^I j 3 , I> = 3 l " 2 < j | | T L | | j .3

(-) j + j + I+L ( j I jA

J , p a i r

(C.10)

En u t i l i s a n t la d é f i n i t i o n (11,50) des q u a n t i t é s

^ i ~ Li . (j I-" j I) e t la valeur des cfp donnée en (C,5) i l

es t a i s é d ' o b t e n i r l e r é s u l t a t f i n a l

j 3 : III TU> j 3 , I> a l l "22 < C , 1 1 )

ffY"'"" " T " w ipmiiiii ••••.• » — « i p * -

281

Cette illustration a pour but de fournir les solutions

exactes du modèle en couches qui doivent servir de repère

pour les théories développées dans ce travail. En particulier,

les expressions (C,6), (C,7) et (C,ll) sont les formules de

base pour le chapitre III 1ère partie

J

282

APPENDICE D

QUELQUES ELEMEN... SUR LES DEVELOPPEMENTS BOSONIQUES

a - Généralités

T-os règles qui régissent le comportement cinémati-

que des phonons ne sont pas très simples. Néanmoins, les com-

.Tuta:curs des opérateurs de phonons présentent certaines ana­

logies avec les commutateurs correspondants pour des bosons

pi:rs, la différence étant l'apparition de certains termes sup-

flc::i.'!Kaltiîs. Si l'on néglige ceux-ci les phonons devienne.".::

«os bosons ; quelques méthodes ont adopté cette liqne do pen­

sée : celles utilisant par exemple les quasi-bosons de la Tamin-

Dancoff Approximation (TDA) ou de la Random Phase Approxima­

tion (RI'A) . L'Hamiltonien qui en découle représente des bosons

sans interaction et,comme c'est un opérateur â deux corps, nous

avons affaire à un Hamiltonien harmonique. Outre que les spec­

tres expérimentaux s'éloignent sensiblement de l'harmonicité,

des problèmes avec le principe de Pauli apparaissent rapide­

ment. En effet, on peut empiler un nombre infini de bosons

tlar.s le même état, alors que cela n'est pas possible pour des

phonons. Des méthodes sont apparues qui tentent de concilier

la simplicité cinématique des bosons et le principe de Pauli.

îllles forment un vaste groupe que l'on désigne sous l'appella­

tion générale de développements bosoniques (BE). L'idée géné­

rale des BE est d'établir une correspondance entre les opéra­

teurs d'un espace de fermions et ceux d'un espace de bosons en

imposant certaines contraintes qui sont destinées S tenir

compte du principe de Pauli.Le choix de ces contraintes et

l'usage qui un est fait déterminent les divers types de dévelop­

pements bosoniques.

283

Il n'est pas question de donner ici toutes les possibilités

qui ont fleuri jusqu'à prisent. Nous nous contenterons d'indi­

quer les différentes tendances et nous insisterons un peu plus

sur les approches qui ont été considérées dans ce travail.

Soient a- et a- les opérateurs de création et d'annihi­

lation d'un fermion. Ce peut être une particule réelle ou une

quasi-particule. Nous demandons simplement la vérification des

règles d'anticommutation usuelles

K ' «jl - ° - !«j- «ïl h ' ai\ = a i j ( D ' U

Les développements bosoniques ont été largement utilisés pour

des systèmes à nombre pair de fermions et les opérateurs impor-+ + +

tants dans ce cas sont "les paires de fermions" »j a 2 ' cij a 2

dont nous rappelons l'algèbre ci-dessous

L 1 2 a+

3

[A. a2 +

«3

r + + [ al a 2

+ °3

P2 a l ' +

a3

«] 4J

524 a 3 (a)

(b) °23. al ^4 =14 °3 •

0 (c) <D,2)

°13 °24 «i

+ « 23 o 4 aj -624 oj ax

(d)

Nous introduisons à présent un espace de bosons abstrait«c'est

à dire qui n'est lié en aucune sorte â l'espace de fermions,

défini comme l'espace engendré par des opérateurs élémentai­

res Bt, soumis aux conditions suivantes :

B12 = ( B12> B21 = " B12 (D,3)

[B12'B34] " [B12< B34] = ° [ B

1 2' B34]= * 1 3 « 24

Nous avons p résen té a i n s i une correspondance biunivoque en t re

les pa i r e s de fermions oij t», e t * - e s Posons B * , . I l ne faut

pas c r o i r e bien s'V que les choses sont aussi simples e t qu ' i l suf­

fise de remplacer par ^ a. a , par B , . La correspondance ains:.

284

définie viole le principe de Pauli ce qui apparaît claire­

ment en comoarant (0,3) avec (d) de (D,2) . De plus, les

images des operateurs a, a 2 n'ont pas été définies pour

l1instant.

Les pionniers des développements bosoniques sont Belyaev

et Zelevinsky (BZ) au début des années 60 I" Be 62 1. Leur + + +

méthode consiste à écrire les opérateurs a. a, et a, a 2

sous forme d'une série de produits d'opérateurs B et B de

façon à reproduire les équations (D,2) jusqu'à un ordre donné

d'un "certain paramètre de convergence ". Nous n'insistons

pas trop sur ce point puisque nous reviendrons en détail sur

une méthode dérivée de celle-ci.

Une autre approche a été suggérée quelque temps plus

tard par Marumori et alj Ma 64 a, b J. Au lieu de chercher

une correspondance entre opérateurs à J'aide de leur alg&bre,

ces autours ont cherché une correspondance entre états de tel­

le façon que le princioe de Pauli soit toujours satisfait.

Ainsi à

J'ûtat \n -LZ i 0>de l'espace de fermions correspond

l''?tat B,Z jO)de l'espace de bosons. De même à

••»! "2 "3 a4 i°>-* 3" 1 / 2 ( B12 B34" B t 3

B24 + B+14 B 2 3 » I " e t

ai'isi de suite. A chaque état ] n> de l'espace de fermions

correspond un état jn)de l'espace de bosons vérifiant les

mêmes propriétés de symétrie. L'ensemble des vecteurs I rO

engendre un sous espace de l'espace de bosons total appelé

espace physique. L'espace complémentaire (qui contient des

vecteurs B | 2 B I 3 |0} par exemple ) est l'espace non phy­

sique. On peut définir un opérateur de correspondance U tel

que 1 n- = U | n > (D,4)

U = £ 1 rO<n| (D,5) n

dont l ' a d j o i n t e s t

U+ = £ !n>c n | ( D / 6 )

285

On ne peut pas strictement parler d'U comme d'un opérateur uni­

taire car nous avons les propriétés suivantes

Il U = i sur l'espace fermions (D 7)

U U = \f projecteur sur l'espace physique de

bosons.

La correspondance entre opérateur T de l'espace de (B)

fermions et T de l'espace de bosons s'effectue presque sans peine si on s'impose la condition naturelle.

< n'| T ! n > = C«'| T < B ) | "=> (D,8)

d'où l'on tire

(B) + T v ' = U T U

En remplaçant U et U par leurs expressions (D,6) et

( D, 5), en exprimant )n3> en fonction des opérateurs B et en

faisant usanc de la relation suivante

! 0}C° ! =;exp - \ 2-( si2 Bi2 : n , 9 }

(B ) '

nous obtenons T v sous forme d'une série infinie des opéra­

teurs B" et B d'où le nom de développement bosonique. En par­

ticulier, les premiers termes c

Oj a j sont données ci-dessous

ticulier, les premiers termes des opérateurs a . a , et

K î> < B )= <2 - ï"- ^ Î 2 Ç ^ "34 " % §4 +3 B,} B 3 4 • ...

3

Cette approche semble très attrayante car elle respecte

le principe de Pauli entièrement (à condition de considérer la

série infinie) malheureusement elle est très peu convergente.

Nous analyserons également un peu plus loin une variante

plus convergente de cette méthode.

Marshalek TMa 71 j a examiné la relation qui existe

entre les deux méthodes précédentes. Il a montré qu'un opéra-

tour obtenu par la série infinie BZ possédait les mêmes élé­

ments de matrice dans l'espace de bosons que dans l'espace de

fermions . Contrairement au BE de Marumori les opérateurs BZ

r. 'arn-hi. lcr.t pas tous les états spurisux (c'est-à-dire les

286

états en dehors de l'espace physique); il n'existe par contre

aucun couplage entre les états physiques et les états parasites.

La truncation à un développement BZ fini conduit à de tels

couplages mais le même phénomène se produit dans une approche

du type Marumori.

Une troisième tendance importante a été introduite

par Janssen et al, f" Ja 71 ] et constitue une généralisation

des anciennes méthodes de Dyson T Dy 56j et de Holstein-

Primakoff [ Ho 40jen théorie du magnétisme. En jouant sur

la définition de l'opérateur de correspondance U, ces auteurs

parviennent à définir deux représentations de quelque utilité,

qui donnent aux images des opérateurs de fermions une forme

particulièrement attrayante, (à condition d'agir sur l'espace

physique).

1° Représentation de Dyson :

Il suffit de remplacer partout dans l'expression de

1'opérateur -i. a.

) 3

1 2 par B.j - 2~Ê 1 J 3,4

»» »M B34 (a)

par B 1 2 (b)

P" S B13 B23 (c)

3 ( D, 11 )

On se convainc sans peine que dans cette représentation l'ima­

ge d'un opérateur quelconque dans l'espace de bosons admet

un développement fini. Par contre, il est transparent d'aprës

(a) et (b) que cette représentation ne conserve pas l'hermiti-

cité. En particulier, un opérateur hermitique (l'Hamiltonien

par exemple) dans l'espace de fermions n'a plus aucune riiison

de le rester dans l'espace de bosons. Cela peut conduire dans

certaines circonstances à des valeurs propres complexes

gênantes.

287

2* Représentation de Holstein-Primakoff

Ii suffit de remplacer partout

+ + • + 1/2-B (1-R)

12 ta)

u a 2 1 — • (1-R) 1 / 2B

12 (b)

1 2 ^ 1 3 c23 (c)

3

R 1 2 = £ B23 B13

P,12)

Dans ce. cas-lâ, l'hermiticité est conservée. Les développe­

ments s'obtiennent BOUS une forme fermée finie mais bien

entendu si l'on exprime la racine oarrée de 1-R en fonction

des opérateurs élémentaires B et B nous tombons à nouveau

sur un développement infini de i. a 2 ...

On pourrait multiplier sans fin le nombre de BE que

l'on trouve ici ou là ; en fait ce ne sont que des variantes

de ces trois approches fondamentales telles les deux métho­

des que nous exposons ci-dessous. Dans son cours d'école

d'été â Prédéal, Dreizler f" Dr 73 I a fait une synthèse

remarquable sur l'état des BE en 1973. Les deux variantes

que nous présentons maintenant ont été utilisées dans la

troisième partie.

b - Variante du BE de Belyaev-Zelevinski

cette nouvelle approche de développement bosonique

est le fruit d'un travail reporté dans une série d'articles

par Sjrfrensen T Eo 67 ,68a,68b,70a,70b,73 , Br 68 "7 . Cet

auteur n'a considéré que des applications très simples. La

méthode a b' '• généralisée plus tard et appliquée de façon

plus réaliste et extensive par Kishimoto et al I Ki 72,

Ka 76a, 76b, Ta 75, Ki 76 1. La présentation que nous pvo-

posons,ainsi que 1.» discussion sur les solutions complexes,

est entièrement originale et a fait l'objet d'une publica­

tion. T Si 77 al .

288

La philosophie de ce BE est en tout point analogue à

celle de Belyaev-Zelevinski. La différence est qu'on permet

l'apparition d'un terme constant dans l'expression de

\ . i~ e t qu'on choisit un développement fini de ce mémo

opérateur. Quelle forme prendre pour le développement ? Comme

i n se comporte a l'ordre le nlus bas comme un boson B , il

est naturel de considérer un développement de a t qui aug­

mente de un le nombre de bosons. Dans le même ordre d'idée,

le développement de r" a conserve le nombre de bosons. A

notre connaissance tous les développements bosoniques vérifient

cette contrainte qui n'est pas nécessaire mais qui est suffi­

sante. Suivant également SsJrensenTso 67 Jpuis Simard et

Banville I Si 72 , Ba 70, Si 67 , 69a , 69 b Ion peut,pour

i.i-, , prendre toutes les combinaisons possibles des B et

B r:ul contiennent les indices 1 et 2 dans les opérateurs do

cr-c4ti.on et sommer sur les autres indices possibles qui

.ip;:tu-nissent une fois dans les opérateurs B , une fois dans

des opérateurs B. Nous adoptons un choix similaire pour

,. . t , - Enfin, à une combinaison donnée, nous affectons un

•joef ricient constant ce qui est peut-être la contrainte la

plus drastique. Le fait que cela marche nous a toujours semblé

mystérieux et fait penser » en dessous de tous les développe-

monts bosoniques, 3 l'existence d'une règle plus générale.

Pour préciser 1' ansatz adopté nous donnons le développement

.4.USCÏU' au sixième ordre

6 , v + x, 2-( B+ 3 B 2 3 (D, 13) It T "2

B12 + a B12 fft

B34 B34 + b f - B U B24 B34 £ 3 . & . 6 B » B 5 6 B 5 6

B 3 4 ^ 3 if- s"Ï3»Î4"Î6" S6»34 £ £ B n B 2 4 B S 6 B 3 5 B 46 + s B t 2 Z j B34 B56 B35

3,4,5,6 3 ,4 ,5 ,6

(D ,14)

'46

289

Pour être tout à fait général, nous laissons la liberté aux

différents coefficients d'être complexes.

Nous demandons à ces développements de satisfaire

l'algèbre des paires de fermions ordre par ordre,en permettant

toutes les contractions nécessaires. De cette façon, les

termes d'ordre bas ne seront plus influencés par des composan­

tes d'ordre supérieur du EE. On peut également définir des

approximations oïl l'on interdit certaines contractions. Nous

reviendrons sur ce point plus tard. Ainsi, en contractant des

termer pq par exemple on peut obtenir des termes B B B BBB

que l'on doit considérée si l'on désire un développement au

65me ordre.

La vérification du commutateur ( D ,2a)

fournie les equations

x *<., - x ax- - a b x 9 = b p x 2

E p

q x ^ ^ q r x _ = r S x - - S (D,15)

d'où on déduit immédiatement et sans ambiguïté x- = 1. Avec

cette valeur de x_ (0,2b) est automatiquement satisfait.

De plut., le commutateur ( n , ? cl est satisfait jusqu'au 4ême

ordre et au 6ème ordre nous obtenons

xq - ab + 2aq - 4bp + br - 2xs - 4as + 4bs = O (D,16)

Quant au commutateur ( D, 2 dlil fournit les équations les

plus intéressantes mais aussi les plus compliquées à savoir

à 1'ordre 2 :

Jx|2 = 1 - 2 x o (D ,17)

3 l'ordre •) :

2 |a| 2 *\b\2 + 2 Re (ax*) = 0 (2 fois)

|b| 2 - 2 Ref"(bx*+ 2 ab*)]= 1 (D ,18)

290

à 1 ' o r d r e 6

8 I p C +| qj + | r | +| a| + R e [ 8 a p + 2 x p + bq + 2 b s + 4qs I =0

8 | p! 2 + 2| q! 2 +; r | 2 + 4| s | 2 +| a] 2 +2 Be [ « ap + xp + b* J =0

2 ' r ' 2 - R e [ x q + a<b + 4 a 1 q + 4b*p + 3 b r + Spq'V 6 q r *

+ 2 x* + 8 à*s - 2b*s - 4 qs*+ 4 r s * + 16 ps*J = 0 (H ,19)

2 ! q 1 r | 2 - Re £xq + a t + 4aq + 4b1? - b*q +r?r + 8pq*

+ 2qr*+ 4 r s * l = O

4 | q l 2 + 4 | r | 2 + ' b | 2 + 2 ReTx^r + 4 a r + 4b*q - 2b*r + 8pr* +

- 4 q r*+ 4b*s + 8 q s * - 4 r s * J = 0

t i 'q] 2 + 4] r | + 16| s | 2 + | b | 2 + 2Re Q t r + 4 a r + 4 bq - 2br

+ 8 p r * - 4 q r * - 4 r s * ] = O

- r ' ~ - 4 | s . 2 + 2 R e j b r + 2 q r*+ x* + 4 a s i- 8psp] = O

I c i le symbole ! ' s ign i f i e module e t Be pa r t i e r é e l l e du noTbre complexe.

I l nst à r e m a r q u e r que t o u t e s c e s é q u a t i o n s s o n t q u a d r a t i q u e s

o t p a r c o n s é q u e n t p e u v e n t n ' a v o i r aucune s o l u t i o n ou au

f O " . r r 3 i r e une i n f i n i t é . P r o c é d o n s à p r é s e n t é t a p e p a r é t a p e

on commençant p a r ( D , 17) . I l e s t év-i 'Jent q u ' o n d o i t

p r e n d r e x r é e l e t de p l u s soumis à l a c o n t r a i n t e

x ^ 1 / 2 . On p e u t de même s a n s p e r t e de g é n é r a l i t é c h o i s i r x

r é e l c a r s a p h a s e p e u t ê t r e p r i s e comme une p h a s e g l o b a l e de

( D , M ) , q u i n ' a f f e c t e en r i e n l e s é q u a t i o n s u l t é r i e u r e s . r v r

c o n s é q u e n t , on p e u t t o u j o u r s c h o i s i r

x = ( l - 2 x o > 1 / 2 ( D ,20)

Cherchons, à l ' o r d r e 4, l es solut ions r é e l l e s . Nous modifions

un ncu i,u, 18) à l ' a i d e du changement de variables a = A - -j

!

• , •> 2

2 A + b " I ( D ,21)

b 2 - 4 Ab = 1

2'jl

Nous éliminons facilement A pour obtenir l'équation bicarrée

H b 4 - 2(2x2+l) b 2 + 1 = Q ( D,22)

Pour qu'une telle équation admette une solution, il faut

non seulement que le discriminant réduit soit positif mais

aussi que les racines soient positives. Le discriminant réduit 2 ' 9

vaut 4 (x -1)(x +2). L'existence de solution entraîne x > 1 ou encore x < 0 condition olus restrictive que la condition

o ~ - •*

x < 1/2 déjà citée. Dans ces conditions, { D, 22) admet: 4

so lu t ions

= ± j l * " 2

[< x" - L±S> » , 2 3)

Une fois b déterminé, A^donc a.découle sans ambiguïté

do ( 0 ,21). Existe-t-il quelque raison justifiant le choix

d'une solution b plutôt qu'une autre ? Mathématiquement, au­

cune. Physiquement, nous demandons néanmoins que le développe­

ment bosonique soit convergent. Un des tuts de l'introduction

du paramètre libre x est. justement de permettre une nc-i 1 leuro 2 convergence. Comme x > lfun critère possible est l'étude des

coefficients comme fonction de x lorsque >: 1 . Ils doivent-

être si possible petits,donc se comporter comme 1/x' {m ^ 1 ) .

Ce critère permet d'éliminer deux solutions pour b-à savoir,

collcsavec le signe + dans le crochet. Pour le choix du signe

global, nous demandons que pour x = l, nous obtenions un dé­

veloppement du type Marumori (voir (D ,10)!. Cela nous impose

lo signe t- et nous donne la solution réelle retenue pour

ur. développement à l'ordre 4

a = I {2 V ^ 7 + Vx 2 + 2 - 3 x[ * - | X"3

h = I { V x ^ - Vi^2 } « Le produit B j ^ ^ i ^ i a présente un "ordre de symétrie" plus

élevé queB t-.B*4B ... e t le coef f ic ien t a, qui y e s t a s soc i é ,

présente une convergence plus rapide (en x ) que Le c o e f f i ­

c ien t b (en x ) . Nous verrons qu'un t e l phénomène es t Sgale-

irent valable à un ordre supér ieur . En passant de l ' o r d r e 2 à

l ' o r d r e 4, nous avons r édu i t le domaine de v a r i a t i o n de x . o

Kr.'.re l / 2 < x <0 (ou 0 £ x <l ï un développement d 'o rd re 2

1 - 1 2 X

t D ,24)

292

e x i s t e na is un développement r ée l d 'o rdre 4 e s t impossible .

11 e s t naturel de se poser la quest ion de l'existence d'un déve­

loppement complexe d 'o rd re 4 dans c e t t e région. A cs>tte f in ,

nous désignons un nombre complexe a sous la forme

a s a, + i a 2 -

L'équatior. ( D,l8) modifiée par le changement de va r i a ­

b le sur a s ' é c r i t dans ce cas

= 2 A,

( D,25)

( D ,26)

1

h. O, f, - O > correspond à ia sahi! 1er. rOx-1 r.e ayr>tême \ t..

.iôjà âludiée-Dar.s ( D,25) nous voyons que L. do i t êLre s t l j c i o -

ment néçatif. En

biearce

éliminant A ? nous tombons sur l'équation

9 b!j + 2 (4 E : + E.,) b\ + E^ = O ( D ,27)

Cette équation n'admet de solutions que si le discriminant

ot le.- racines sont positives. Il est facile de voir que ces

conditions se réduisent à

"l ( D ,28)

En reportant les valeurs de E et Ej tirées de ! D ,26) dans

la 1ère inéoalité ,l'existence de solutions est soumise à

la condition

(2 Aj +bj) 2 + 1 - x 2 é O . ( D ,29)

Dans la région où nous cherchons une solution complexe, 2

1-x ost>0 et,par conséquent,( D ,29) n'est jamais satisfait.

Conclusion, s'il n'existe pas de solution réelle à l'ordre 4,

il n'existe pas davantage de solution complexe.

Poussons l'étude un cran plus loin et occupons nous de

'ardre k. Nous nous plaçons d'emblée dans le cas où nous

2 9 3

rr.r i i; i ssn:;s la solution rée l le ( £ , 24) pour a et h. Ainsi

• :or!L- x, J'-'- b s.ir.t connus,et le problème revient à déterminer lus

.:o< fti~Lonts p , q , r , s qrâce aux equations ( 0 , 1 9 ) . A promièro

v.ie, on pourrait sa dôeouraqor c a r avec 4 variables nous de­

vons résoudre 7 équations, 3 avec ( D,16); néanmoins on

voiL «ans peine que sur les sept équations plusieurs sont des

r,.p:i: j liaisons l in t a i ros d 'autres e t on peut aisément réduire

o- syst-ènc: rïe sept équations à un système de cinq e::uaticr.s

>;ui sont t ranscr i tes ci-dessous

Re r < q - 2 s ! (q*- 2 s * b ) l = 0

a" i i i . p ; ' + 2 q; 2 + 1 r: 2 f 4 | s i 2 + 2 R e | 4 a p + xp + bq ~|- O

- M ' - ! r ! " + Ke | xq t ab + 4 aq + 4 bp - bq + br+ B pq

+ 2 .ii:*+ 4 r s ^ = O

: ' ' S <: " * i r ; ' +16 s ! J < 2 R. T>: r t -1 a r t 4 ;.•; -

¥• * n s '.•: • o y r - 4 q r - 4 r s I- O

, 2 r * *n r - 4! s * 2 te br i 2 qr < «s * < as t 1 i;s - C

; r. , 30)

I,a première équation admet la racine suivante

„ = 2 « - b/2 • V " 2 ±! ( D , 3 1 >

où •' est un angle a rb i t r a i r e t e l que O é ' X a

1/i nt i oduction des par t ies réel les e t imaginaires de n

?j • 2 9j - h s in 2 " ( 3,32)

q ? = 2 s„ - b sin "' cos "

dans les équations restantes nous fa i t constater q u ' i l existe

encore un Lien entre ces quatre équations qui perir.et de

rt'-Luire le système 5

r = 4 p - 2 s + 2 a + | - (a + | ) e~ 2 i i ; '

2 2 o = F ( (Xja.b.pj , s . ,••) + If> s , + 24 p , - 16 p , s ,

+ 2 [> (2a +:•:) p 2 - (2a + 2b -ix) s J sin 2 " ( D,33)

-) 2 '. =- i-'., >x,a,b,PjS. , •'•) + 24 s : + 16 p ' - *4 o . s ,

^ 2 ( 2 J + 2b + x) p , - cfia + 2b + Ix I s , sir, 2 • -

294

avec

! U,a,b,Pj .Sj.e) = 16 Sj + 24 pj - 16 PjS, + 2 a (l+4sin-; )

+ 8 a p (3-cos 2?) + 2 x p (3-2cos 2 •)

- 4 as, (2 - cos2ï:)

+ 4 b s, cos 2 G- 2 x s. (l-cos 2") 2 + 6 ax sin s ( D #34)

F.,(x,a,b,Pj,s ,9) = 24 s 2 + 16 p 2 - 64 PjSj + a 2(l+ 8 sin 2 )

j. 2 • 2 « + x sin °

- 2 ab(l-4air. :"• ) + 6 ax sin •.+ 2bx sip.

8 ap, (2-cos 2 = )

- 4 as, ( 8 - 3 cos 2'.') - 8 bp, cos 2-'-

+ 4 bs, cos 2f- + 4 x p, ( l-cos 2 ; )

- 2 X s,(4 - 3 cos 2")

Il est facile de vérifier que la valeur de r ainsi déterminée

pcrmyt de satisfaire la huitième équation ( D ,16) qui ne s'é­

tait jamais manifestée jusqu'à présent.

Nous restons avec deux équations et deux inconnues.

La recherche des solutions réelles se ramène au système

e = o ou r,/2 F (x.a.b.Pj.Sj.O) = 0 ( 0,35)

F 2 (x.a.b.pj.Sj.e) = o

Avec le changement de variables i p, = P + -TQ ja(20-6 cos 2e) + 2b cos 2o+x(5-3 cos 2;,)[

Sj = Sj + C Q ^ 0

2 B <2a + 6b + x[ ( D ,36)

Nous pouvons mettre le système (D ,35) sous forme

quadratique homogène et l'élimination de S, fournit une

équation bicarrée en Pj dont il n'est pas utile de donner

l'expression ici. On peut montrer que cette expression r.'ad-2

nîct de racines que si x > 2 (donc x ^ - 1/2) . Nous avons réduit à nouveau le domaine de variation du paramètre x .

295

î'our chaque valeur de c- l'équation bicarrée admet 4 racines

distinctes et comme il est permis de prendre les valeurs O

et •=•' pour 9 , nous avons 8 solutions possibles. Le critèr

défini précédemment pour choisir parmi ces solutions s'appli­

que encore dans ce cas et nous restons alors avec une solu­

tion unique, à savoir :

2 - l - 5> !x 2+2 . 4 > ' x 2 + 4 / * - | x - 3 (15,37)

I l e s t r e m a r q u a b l e de c o n s t a t e r â nouveau l a r e l a t i o n

<i\jà c i t é e e n t r e l ' o r d r e de s y m é t r i e " -.l'une; cumbi n a i ^ . : :

^ t ' a é r a t e u r D e t l ' o r d r e de c o n v e r g e n c e du p a r a m è t r e ïi.i • •_i

e s t a f f e c t é .

Cherchons s'il existe des solutions complexes uar.s le

domaine où les solutions réelles d'ordre 6 sont interâi es;

autrement dit, existe-t-il des solutions complexes pour

1 . x < V2 (ou - -ô^x 4 0 ) . Pour cela, nous partons de (D ,33)

et effectuons le changement de variables

P-> " p 7 ~ Jn < 6 a + 3x - 2b) sin 2 '' 40 (D, 38)

•j^ (2a + x + 6b) sin 2 S

.\ l'aide de ces nouvelles quantités, le système se trans­

forme en

(D.39) jl6 S2. + 24 P 2 - 16 P 2 S 2 + f31(x,a,b,p1,s1,f

1) = O

24 S 2 + 16 P 2 " 64 P 2 S + G2(x,a,b,p2,s2,f,) = O

où

Gj (x,a,b,p1,s1,e) = Flu,a,b,p1,si,a) +• jg ^2-7x J sin 2 2 0

G2(x(a,b,p,,Sj,e) = F2(x,a,b,p1,s1,L:) + -|Q Tl4 - 9x2J sin 2 2r>

Lorsqu'on élimine S^ du système quadratique, il subsiste '

une équation bicarrée en P,

296

14 4O0 P^ * 80(11 Gj-4G2) P2 + (2 G 2-3Gj)

2 = 0 (11,41)

qui ne possède de racine que si les conditions suivantes sont.

vérifiées

2 G < G 2 < - Qx ! D,42!

Lorsqu'on repor te G. e t G dons la 1ère i n é g a l i t é e t qu'on f a i t usage de ( D,18) i l devient évident que ( D, 42) e s t équivalent à

r i ( h 2

2 4p,+2s, + f I 2a (4-cos 2 0) + 2b cos 2 n + x (2-cos 2») j

+ i (2 - x 2 ) < 0 ( U,43)

Dans le domaine de v a r i a t i o n de x que nous nous permettons 2 - x e s t ' O, par conséquent ( D,43) n ' e s t j ana i s s a t i s f a i t e e t i l n ' e x i s t e pas de so lu t ion complexe à l ' o r d r e (J dans ce cas--là .

La conclusion de c e t t e longue étude c ' e s t q u ' i l exisU: des aones du paramétre x (ou x) où,S un ordre donné,]e pr inc ipe de Pauî i ne peut â t r e s a t i s f a i t cor rec tenent par un t e l type de développement bosonique. Là où c'est pos­s i b l e , i l ex i s t e une seule so lu t ion r é e l l e suffisamment convergente e'. une i n f i n i t é de choix de coe f f i c i en t s coir.ple-

/2" - I -

-1/3 V 2 l

développement à l'ordre 2

développement S l'ordre 41

développement à l'ordre 6 I

(D,44)

Le but de cette variante était l'introduction d'un para­

mètre libre x qui accélère la convergence. Nous venons de

montrer qu'il est nécessaire de se fixer des limites précises

pour ce paramètre. Il est probable que si l'on exigeait una ve­

rification du principe de Fauli à des ordres supérieurs, les

limites seraient encore plus restreintes annulant par là même

l'avantage d'une meilleure convergence. Il a été écrit] So 7 il

qu'outre l'accélération de convergence, le paramètre x pou­

vait avoir d'autres usages, en particulier une minimisation

des effets des états parasites dûs à la non conservation du

nombre de particules. Il n'est pas évident a priori que la

minimisation de tels effets et la prise en compte correcte du

principe de Pauli soient compatibles, en tout cas cela demande

une analyse sérieuse.

Un BE à l'ordre 6 requiert une valeur de x £ -1/2. Une

telle valeur peut être gênante sur quelques points. En parti­

culier, certaines parties de l'Hamiltonien - ou d'un opéra­

teur de façon générale - sont susceptibles de devenir anor­

malement grandes et leur influence néfaste car non contreba­

lancée par les termes provenant d'un développement poussé à

des ordres supérieurs. De plus, l'image du vide de fermions i (B)

|0 > = x / ODs'éloigne de plus en plus du vide de bosons

|0 rendant plus difficiles les interprétations des résultats.

Pour pallier cet inconvénient, Kishimoto et Tamura ont été

amenés à chercher des solutions approchées -donc violant

partiellement le principe de Pauli - a un ordre aonné pour

des valeurs de x qui interdisent une solution exacte au même

ordre. Pour ce faire, ils excluent du calcul

du commutateur |aa,a o J â e s termes qui sans les contractions

sont d'un ordre plus élevé que l'ordre désiré en i a . Plus

précisément, si on désire aller jusqu'à un ordre N il faut

considérer uniquement la partie de a a d'ordre n <N et

la partie cm d'ordre n'< N. Ces deux parties donnent naissance,

dans le commutateur, à un terme qui contient n+n' opérateurs

B et B. Il se peut très bien que n+n' soit supérieur à N

mais qu'une fois effectuées toutes les contractions nicessai-

298

res il reste N' opérateurs B^et B et N'^N. De tels termes

ont été inclus dans le traitement complet mais sont omis

dans le traitement approché. On peut faire un classement de

1'ordre des termes avant contractions. 2

ordre 2 : x ordre 4 : ax, bx

2 2 ordre 6 : a ,b ,ab,px,qx,rx,sx

ordre 8 : ap,aq,ar,as,bp,bq,bs 2 2 2

ordre 10 : p ,q ,s ,pq,rpr,ps,qr,qs,rs

Ainsi, dans le traitement approché,si on désire un développe­

ment à l'ordre4,il taut inclure les termes en ax et bx mais 2 2 non les termes en a ,b et ab,ce qui change les équations

( D,8) en 2 a x " ° soit a " ° ,

b = " fx nans ce ^as la seule limitation du paramètre x est x < 1/2

et non x ^.0 comme dans le cas complet

De même, pour un développement à l'ordre 6,nous restons

avac

(D,46)

Les approximations contenant de tels développements

ont été testées dans la troisième partie de ce mémoire.

(D,4E - 2bx = 1

a +2px = 0 a 2

P " " 55 ~ 1

128 -7

x

qx+ab = 0

b 2+2rx = 0

soit « - - * £ ~ 1 16

-5 x

2 xs = 0 r 2x s = 0

1 8

x " 3

variante du BE de Marumori

La méthode de Marumori est sans aucun doute la plus pro­

pre en ce sens que les états parasites provenant de la viola­

tion du principe de Pauli sont complètement absents lorsqu1

on ne tronque pas le développement infini . Par contre, le

développement est infini et surtout peu convergent. Kleber

[ Kl 69 ~] d'abord/puis Lie et Holzwarth | Li 75 (ont

299

modifié quelque peu la méthode pour la rendre plus conver-

qente dans le cas où il existe des phonons collectifs, ce qui

arrive fréquemment dans des problèmes réalistes.

Dans l'approche originale de Marumori, au vecteur de

l'espace de fermion | n > = a , ûj, a 2 a 2, — a a , | 0 "••

correspond le vecteur | nz> de l'espace de bosor.

L < - > P P » u . B2 2,... B; n, lo: V (2n-l)!! p

(D,47)

où p signifie une permutation sur les indices qui "changent

quelque chose" (une permutation ii' * i'i est exclue ,de mê­

me que les permutations qui changent les blocs do ii'

entre eux).

L'opérateur de correspondance U défini dans (D ,5) s'écrit

plus explicitement

n=0 (2n) ! yTSwTTP i,i' p u = I* ,„.,,,,_ Z-/, Z-<(-)-(PB 1 1,B 2 2 1... B m.) lo;

<D,48)

La correspondance en t re opéra teurs a é t é rappelée en ( D, 8 î •

I l peut s ' avé re r i n t é r e s s a n t pour é tud ie r c e r t a i n s noyaux

d ' i n t r o d u i r e dès phonons d i t s c o r r ë l é s

P+ = - X ! X?, «î A r a 2 ^^ 12 .1 2 1,2

et les bosons corrëlés analogues

r + = A E x-2 2 1,2

Il est trivial d'inverser ces relations à l'aide des condi­

tions d'orthogonalité imposées aux X. De plus, on se rend

compte sans peine ào la correspondance

U P*!o> = r* | 0 3 (D,49)

300

En exprimant U â l'aide des quantités corrëlées, nous parve­

nons à la formule suivante

1 n <D,50)

Cette formule est exacte bien que les états Pr ...P j 0 >

ne soient ni normes, ni orthogonaux.

La forme ( D ,50) de U s'avère particulièrement utile lorqu'on

travaille avec des phonons collectifs . A l'aide de l'ex­

pression de l'opérateur de projection

10 3 co I = :exp - | L B*. B ,: = :exp - Y* r + P : 2 172 1 2 l a a ° ! D' 5 1 Î

(El + on peut exprimer directement l'opérateur T « U T U sous forme normale en termes de boson r une fois qu'on a su calculer < 0 ! P ... P T P + ... P + i 0 >

an a 1 a 1' a n'

C,m,nO

\/(2 i)n(2n-i)n- V < 0 | P ...p w+.p+|°»«

! (2n) ! (2m) ! *—' an al al <V a r

u n ° i ' ..«n' Si . . . » *

<V

(D,52)

Tant que U est utilisé sous sa forme complète (D , 50),c'est-â-dire avec une somme infinie sur n et sommation sur tous les phonons o i fU conserve l'algèbre des opérateurs»autrement dit la correspondance

g = RS = > Q ( B > = R< B> s ( B ) ( D ' 5 3 '

Si on a bien l'égalité ( D ,49) sur les vecteurs, l'égalité

analogue bcr les operateurs n'est plus valable et doit être

remplacée par

301

U P + u += r

+ + Z l c° r V r o a 1T273 0 i a 2°3 a l °2 a 3

E 2 3 4

et par suite de façon plus générale

+ + + c a r r r r r +... a 1 a 2 a 3 04 o 5 ax a 2 «3 04 05 12 3 4 5 ( D r 5 4)

• 1 . . 3 . n

0 P+ 1

u+ = > * * ' £-J a,,

l'2'...n' 1 '

+ + + r r r

,.a.n' »i' = l 2 , a

+ n+l

r * r +... (D,55)

Si on F

appelle N v

1

.. •„ la norme de l' n

'état P + ...P + 1 0 >

«1 V et N B

0 la

1 1 • - • a n

norme de 1'état r °< 1

..r C >nous avons ftn

U N F

a 1 •

P +

• • a n a 1 • • • p+ io> = y p.*1" « ( B > x

» 1 a i , . . . o n ,x

r

+ r+ 10 => (D.56) 0 1 " " »n'

Il est à noter que le vecteur de droite est norme puisque

U conserve la norme des vecteurs. Par conséquent, la

méthode originale de Marumori conduit â des correspondan­

ces entre opérateurs corrélés qui n'ont rien d'agréable car

s i P + | 0 > ^ r + | 0 3 ( D ' 5 7 )

par contre H P P + -. .P+ 10 > \A if r + " +10 3 • l s n »1 «n 7\ a l " - u n ° l an

Déplus, l'emploi de tous les phonons corrêlês est impossible

dans la pratique. Ce qu'on fait généralement,c'est de se

limiter au sous-espace des phonons dits collectifs,que nous

noterons sans indice pour les distinguer des phonons non

collectifs ,où nous conserverons les indices. En gros cela In) j-

consiste â écrire T (r , r ) et ne gaxder que la par-(B) + 3i a i

tie T ^ ' en r , r 3

T t B ) !r + r ) = T r ' ' ( " + r t + T ( B ) ( r + r + , r , r ) r

a i ' r a - col 1 1 ' " + TOl-non c o l 1 ' ' r

a ± ' • ' a/

+ T , , <r+ i r ) (D,58)

non col-non col a ai (Bl

Comme avec la méthode décrite les opérateurs T arrivent

directement sous forme normale, il est aisé de se convaincre (B)

qu'on obtient la partie collective T en utilisant les par­ties collectives de U, U + et |05£0 | . Plus explicitement, cela veut dire qu'on ne considère que les opérateurs

_ Y * 2"\/(2n-l)!i ;-

u coi= Ç 2 " ( 2 f e - 1 1 1 ! ' P + n l o > c o | r " ">.">

+ : exp - r r •

Malheureusement, il découle de ces simplifications que

l'opérateur U . n'est plus unitaire

u ol ueol ^ * col Projecteur sur l'espace de fermion

collectif (Dr60)

et en conséquence

si Ç> = R S alors Q < ^ * R ( * o l S £ [ (D,61)

La différence s'introduit lorsqu'on écrit R S

sous forme normale:il existe une infinité de contractions

possibles d'opérateurs non collectifs qui donne

une contribution à l'opérateur Q '. ; ces contributions

sont bien entendu absentes du produit R' B; S , ,qui ne col col

permet que des contractions d'opérateurs collectifs. Il en résulte également que les normes des états ne sont pas

conservées - sauf la première - c'est-à-dire que

Ucol N n P + " | 0 > = M n r + n|0^mais M n / N® (D,62)

303

e t en p a r t i c u l i e r

< « nî<o|P» T P + « : o > t < ««.coi r " T « > -•-.•, 0 =

(D,63)

La variante due à Kléber puis à Lie-Holzwarth rernédie à tous

ces inconvénients en changeant un peu la correspondance entre

états, donc en changeant l'opérateur 0 en un opérateur

V ? u , tel que

V » ' P + n ! 0 > = H B r + n | 0 3 W (D,64) n ' n n

L'expression de V est immédiate

V = H N n x r+ n ; 03< 0 | P n x N£ (D,65)

n=0

à comparer â l'expression analogue de U_ 0i- Maintenant V est

un opérateur unitaire sur les espaces physiques collectifs.

Il y a aussi correspondance entre les éléments de matrice

de T et de <g ( B ) = V T v + ^ T ^

CB>

N B N B

n , c o | r n e r + n | O D = N £ N F

n , <o | p n T p + n ' | o > ( D , 6 6 )

N est facile à calculer,et une fois o ; donné .son ëlë-n '

ment de matrice ne pose pas non plus de difficultés,ce qui

n'est pas le cas de l'élément correspondant de l'espace de

fermions.En fait, la difficulté s'est déplacée et repose

maintenant entièrement sur le calcul de 6 . Nous traitons

de ce sujet dans la dernière partie de ce travail où,pour

des raisons de commodité,nous avons fait les substitutions

V -0, r *B et 6 ( B ) * T ( B )

Tant que nous restons dans l'espace collectif, cette

méthode est beaucoup plus convergente que celle de Marumori

puisque les branches non collectives ne nous gênent plus.

304

APPENDICE E

ORTHOGONALISATIDN CANONIQUE

Considérons un espace de Hilbert engendré par N vecteurs

!$(> . Cette "base" de vecteurs est non orthonormée et peut être

éventuellement surcomplête. Il existe plusieurs algorithmes

pour construire une base complète et orthonormée de vecteurs

!m > . Le plus ancien et le plus connu est la procédure de

Schmidt qui orthogonalise vecteur après vecteur.

Depuis lors, d'autres méthodes sont apparues; LSwdin Lôw 67 I

en décrit deux : 1'orthogonalisation canonique et l'orthogonali-

sation symétrique. Sau et al. V Sau 78 | ont proposé une

nouvelle méthode très performante pour les espaces de dimension

élevée. Tous les algorithmes ont besoin des données de base

que constitue la matrice de recouvrement.

ûij * <H 1+ j * i,j=l,...N (E,l)

C'est elle qui définit la métrique de notre espace de

Hilbert. Dans ce court appendice, nous analysons la méthode

canonique de Lowdin que nous avons employée dans toutes nos

applications. Elle a l'avantage d'être simple à formuler et

à comprendre. De plus, elle se révèle d'un emploi très facile.

La matrice de recouvrement est hermitique et définie

serai-positive. C'est une conséquence immédiate de la définition

d'un produit scalaire dans un espace de Hilbert. Les valeurs

propres sont réelles, positives ou nulles. De plus, il est

toujours possible de trouver un ensemble de vecteurs propres

de cette matrice mutuellement orthogonaux (que les valeurs

propres soient distinctes ou confondues).

Considérons donc l'équation aux valeurs propres

î=î

Aij " j ^ = AP n i P > i = 1,... N (E,2)

305

à laquelle on adjoint les conditions d'orthogonalitê

j=i

La condition (E,3) signifie que la matrice n i

P est unitaire

et par suite on peut également écrire

V n ( p ) * n j p , > - « ± J i.J - !-•-« <B,4> p=l

Soit l a

D ^ l e vecteur défini par

H

£ -, n ^ P ) | <p -- P = 1 N (E,5)

j=l

De là on calcule facilement

i.j i

De cette formule nous tirons une première conséquence : à une

valeur propre X nulle correspond le vecteur !« > défini

par (£,5) q'-ii est le vecteur nul puisque sa norme est nulle.

Parmi les N valeurs propres trouvées supposons que nous ayons

obtenu n valeurs propres \ différentes de 0. Il n'est pas

difficile de montrer que les n vecteurs |s > associés à ces

n valeurs propres engendrent tout l'espace de Hilbert. Dn vec­

teur quelconque pouvant toujours s'exprimer à l'aide des vec­

teurs |(jj > (ceux-ci engendrent tout l'espace par définition),

il est suffisant de montrer que tous les |<ji.> s'expriment

à l'aide de n vecteurs |s > . Pour cela, partons de (E,5)

multiplions les deux membres par nj et sommons sur

toutes les valeurs de p

p-i j=i p-i j=i

30 6

I*. >= V 1 n i p ) Is > Vi = l,...N (E,7)

Nous pouvons séparer la sommation de gauche en deux parties :

une partie sur les n vecteurs | s> associés à des A ^ 0

et une partie sur les N-n vecteurs I s_ > associés à des A =0 ' P P

Comme ces derniers vecteurs sont les vecteurs nuls, on

peut réécrire

^ • • ' ' * • E n

P = i La proposition est démontrée. D'après la relation (E,3) on

montre sans peine que les n vecteurs |s> sont mutuellement

orthogonaux. La norme est donnée par (E,6). De là, on

déduit que les n vecteurs |m> définis par

IV = " 7 ^ '"p* " p f " 1 ( E ' 8 )

forment une base complète orthonormée de l'espace de Hilbert.

Résumons succintement la méthode canonique d'orthogonali-

sation.

Soient N vecteurs $. >—^matrice de recouvrement A. . = < 4. 1] "l

l*j =

Résolution du problème aux valeurs propres

N

j=i

avec les condi

#> = A £ ( P ) Ap £ i

N

j=i

avec les condi tions d'orthogonalité

i=l

les n vecteurs

E(P') 4 i

. JsBL A p ft 0

i=l

les n vecteurs propres correspondant â des valeurs propres non

nulles A : |m > = p

£ «T i«i> forment une base complète

orthonormée. i=l

Pour finir, indiquons une propriété remarquable des valeurs

propres da;;s le cas où il existe une relation de "fermeture"

de type

30?

£io±>« = l x 4 (E,9)

i=l

Dans la deuxième partie nous avons considéré une formule plus

générale (1,20). En fait, dans un certain nombre de cas étudiés

(3 particules identiques ou non), le nombre Dj est indépendant i 1

de l'indice i; nous le posons égal â - U > 1) et retrouvons

la formule (E,9) . *•

Soit un vecteur propre quelconque J s > de A

Il est évident que <$. |s> = ^-» A ±. n.i " > r^

k On peut évaluer le produit scalaire < s] s> d'une première façon M

_ N 2 < s j s> = 2 J n ± < 4 ± |s> = X 2_j i n i i

i=l i=l On peut aussi le calculer à l'aide de (E,9)

JL _ 1 Vl^i ls> I2 = r l j 2 V >n i' •- s 1 s >

La comparaison des deux expressions fournit l'égalité

XU-A) = 0 (E,10)

Les seules valeurs propres possibles de la matrice [. sont 0 ou l .

Lorsqu'on tronque la base et qu'on se restreint à N'vecteurs j <f>. > une relation aussi simple que (E,10) pour les valeurs propres n'existe plus même si l'espace engendré est l'espace complet. Par contre, on peut montrer l'égalité formelle

O < l 1 (E,ll)

308

REFERENCES

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