Influence de discontinuites - SAVOIR

Etude de l’influence de discontinuités 1

Etude de l’influence de discontinuités

L. CHAMPANEY et Ph. TROMPETTE

Objectifs :– Comparaison poutre-massif,– Discontinuité de section,– Discontinuité de ligne neutre.

Dans ce chapitre, nous étudions le comportement d’une poutre présentant en premierlieu une discontinuité de section sans discontinuité de ligne neutre. Nous comparons lasolution éléments finis massifs et la solution éléments finis poutres. Nous faisons ensuitela même étude dans le cas d’une discontinuité de ligne neutre.

Table des matières

1 Poutres alignées 21.1 Modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Sollicitation de traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Sollicitation de flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Sollicitation de flexion pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Poutres non alignées 162.1 Modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Sollicitation de traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Sollicitation de flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 Sollicitation de flexion pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Conclusions 29


1 Poutres alignées

1.1 Modèles

100 100

515

E = 2.1E5MPa, ν = 0.3

La structure étudiée est présentée sur la figure ci-dessus. Il s’agit d’une structureen forme de poutre qui présente une longueur totale de 200mm pour une épaisseurde section maximale de 15mm. La poutre présente une discontinuité de section en sonmilieu. La section passe brutalement de 15 à 5mm sans discontinuité de la ligne moyenne.

La poutre est encastrée à gauche et soumise successivement à droite à un effort ouun moment de manière à obtenir des sollicitations de type :

– traction pure,– flexion simple,– flexion pure.

Nous envisageons d’abord une modélisation massive de la poutre qui représenteexactement la géométrie considérée. Dans cette modélisation, l’encastrement n’est pasréalisé en bloquant tous les déplacements de la section de gauche car une telle conditionentraînerait l’apparition de singularités (voir le chapitre concernant les singularités). Lacondition imposée est le blocage du déplacement axial de tous les points de la sectionet du déplacement vertical du point central. Cette condition correspond exactement àun encastrement sous l’hypothèse de résistance des matériaux.

Dans la modélisation poutre, la structure représentée est la ligne moyenne. Les élé-ments situés à gauche du point de discontinuité ont des caractéristiques (section etinertie) qui correspondent à la section d’épaisseur 15mm et les éléments situés à droiteont les caractéristiques de la section d’épaisseur 5mm.


1.2 Sollicitation de traction

515

500N

500N

On considère d’abord la sollicitation de traction pure. Un effort de traction de 500Nest appliqué sur la section de droite.

Dans la modélisation massive cet effort est la résultante d’une répartition constanted’efforts normaux linéiques de 100N/mm appliquée sur les 5mm de hauteur de la section.

Le maillage utilisé dans la modélisation massive, est constitué d’éléments quadran-gulaires à huit noeuds (approximation quadratique du déplacement). Il est assez fin demanière à bien représenter les effets dus à la discontinuité. Ce maillage contient 2000éléments (voir figure suivante) et 6261 noeuds, soit 12522 degrés de liberté.

Le maillage poutre ne contient qu’un seul élément de chaque côté de la discontinuité.Pour cette sollicitation, la solution analytique poutre est linéaire en déplacement axialcomme l’approximation EF. Il n’est donc pas nécessaire d’utiliser plus d’éléments. Il n’estpas possible d’en utiliser moins à cause de la discontinuité qui ne peut être représentéeau sein d’un seul élément.

La figure suivante présente la déformée de la structure massive (amplification ×340).On constate sur le zoom les effets dus à la discontinuité.

La figure d’après présente les isovaleurs de la contrainte équivalente de Von Misessur la structure complète et sur un zoom autour de la discontinuité. La répartition descontraintes est constante (état de traction pure) dans chacune des deux poutres et estseulement perturbée très près de la discontinuité.


1.2.1 Déformée

Amplification ×340

1.2.2 Contrainte

1.7 9.7 18. 26. 34. 42. 50. 58. 66. 74. 82. 90. 98. 1.06E+02 1.14E+02 1.22E+02 1.30E+02 1.38E+02 1.46E+02 1.55E+02 1.63E+02 1.71E+02

Contrainte équivalente de Von Mises (MPa)


1.2.3 Evolution de l’effort normal

ABS

EFFX

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00X1.E2

4.80

4.90

5.00

5.10

5.20

5.30

5.40X1.E2

La figure ci-dessus présente l’évolution de l’effort normal le long de la ligne moyenne.C’est la seule composante du torseur des efforts intérieurs qui est non nulle.

On constate que les perturbations de la répartition d’effort normal constatées sur lasolution massive sont relativement localisées dans une zone de 20mm de part et d’autrede la discontinuité.

Pour la solution massive, cet effort est calculé par intégration dans l’épaisseur dela contrainte σxx. Ces répartitions de contraintes sont tracées pour les deux tronçons(barre un et barre deux) sur les deux figures suivantes.

Les sections utilisées pour le tracé sont situées tous les 2mm. On constate des sur-contraintes importantes dans la solution massive.

Il ne faut pas attacher trop d’importance au maximum des contraintes qui est lié à lasingularité due au raccord entre les deux poutres (voir le chapitre sur les singularités).

Les effets de la discontinuité se propagent assez loin dans la partie gauche mais sontrelativement limités dans la partie droite.


1.2.4 Répartition de la contrainte dans la barre 1

ABS

SMXX

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 −0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60X1.E2


ABS

SMXX

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.50X1.E2


1.3 Sollicitation de flexion simple

515

500N

500N

On considère maintenant la sollicitation de flexion simple. Un effort tranchant de500N est appliqué sur la section de droite.

Dans la modélisation massive, cet effort est la résultante d’une répartition constanted’efforts tangentiels linéiques de 100N/mm appliquée sur les 5mm de hauteur de lasection.

Le maillage utilisé dans la modélisation massive est le même que celui utilisé pourla sollicitation de traction pure.

Le maillage poutre ne contient qu’un seul élément de chaque côté de la discontinuité.Pour cette sollicitation, la solution analytique poutre est cubique en déplacement verticalcomme l’approximation EF. Il n’est, là encore, pas nécessaire d’utiliser plus d’éléments.

La figure suivante présente la déformée de la structure massive (amplification ×0.22).On constate sur le zoom les effets dus à la discontinuité.

La figure d’après présente les isovaleurs de la contrainte équivalente de Von Misessur la structure complète et sur un zoom autour de la discontinuité. La répartition descontraintes est linéaire dans l’épaisseur (moment fléchissant dans cet état de flexionsimple) dans chacune des deux poutres et est seulement perturbée très près de la dis-continuité.


1.3.1 Déformée

Amplification ×0.22

1.3.2 Contrainte

1.21E+02 8.25E+02 1.53E+03 2.23E+03 2.93E+03 3.64E+03 4.34E+03 5.05E+03 5.75E+03 6.45E+03 7.16E+03 7.86E+03 8.56E+03 9.27E+03 9.97E+03 1.07E+04 1.14E+04 1.21E+04 1.28E+04 1.35E+04 1.42E+04 1.49E+04



1.3.3 Evolution de l’effort tranchant

ABS

EFFY

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00X1.E2

−2.00

−1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00X1.E3

La figure ci-dessus présente l’évolution de l’effort tranchant le long de la lignemoyenne. L’effort normal est nul sous cette sollicitation. L’effort tranchant de la so-lution poutre est constant et égal à l’effort appliqué à droite.

On constate que les perturbations de la répartition d’effort constatés sur la solutionmassive sont très localisées dans une zone de part et d’autre de la discontinuité.

Pour la solution massive, cet effort est calculé par intégration dans l’épaisseur de lacontrainte σxy.

Les maxima de la répartition qui sont observés sont là encore dus aux singularités àla jonction des deux poutres qui génèrent des valeurs très grandes des contraintes σxyprès des points anguleux.


1.3.4 Evolution du moment fléchissant

ABS

MOMZ

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00X1.E2

−0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00X1.E5

La figure ci-dessus présente l’évolution du moment fléchissant le long de la lignemoyenne. On retrouve la solution classique d’un moment fléchissant nul à droite etévoluant linéairement le long de la poutre.

On constate que les perturbations de la répartition de moment constatés sur lasolution massive sont extrêmement localisées dans une zone de part et d’autre de ladiscontinuité.

Pour la solution massive, ce moment est calculé par intégration dans l’épaisseur dela quantité y.σxx. Les répartitions de la contrainte normale sont tracées pour les deuxtronçons (barre un et barre deux) sur les deux figures suivantes.

Les sections utilisées pour le tracé sont situées tous les 2mm. On constate des sur-contraintes importantes dans la solution massive.

Les effets de la discontinuité sont très localisés autour de la discontinuité et sontquasiment uniquement dus aux singularités.



ABS

SMXX

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 −1.50

−1.00

−0.50

0.00

0.50

1.00

1.50X1.E4


ABS

SMXX

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 −1.50

−1.00

−0.50

0.00

0.50

1.00

1.50X1.E4


1.4 Sollicitation de flexion pure

515

1E4Nmm

1E4Nmm

On considère maintenant la sollicitation de flexion pure. Un moment fléchissant de1000Nmm est appliqué sur la section de droite.

Dans la modélisation massive, ce moment est le couple résultant d’une répartitionlinéaire d’efforts normaux appliquée sur les 5mm de hauteur de la section.

Le maillage utilisé dans la modélisation massive est le même que celui utilisé pourla sollicitation de traction pure.

Le maillage poutre ne contient toujours qu’un seul élément de chaque coté de ladiscontinuité. Pour cette sollicitation, la solution analytique poutre est quadratique endéplacement vertical alors que l’approximation EF est cubique. Il n’est là encore pasnécessaire d’utiliser plus d’éléments.

La figure suivante présente la déformée de la structure massive (amplification ×0.84).On constate sur le zoom les effets dus à la discontinuité.

La figure suivante présente les isovaleurs de la contrainte équivalente de Von Misessur la structure complète et sur un zoom autour de la discontinuité. La répartition descontraintes est linéaire dans l’épaisseur (moment fléchissant dans cet état de flexionsimple) dans chacune des deux poutres et est seulement perturbée près de la disconti-nuité.


1.4.1 Déformée


1.4.2 Contrainte





ABS

MOMZ

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00X1.E2

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

1.15X1.E4

La figure ci-dessus présente l’évolution du moment fléchissant le long de la lignemoyenne. On retrouve la solution classique d’un moment fléchissant constant dans lapoutre. Les autres composantes du torseur des efforts intérieurs sont nulles dans ce cas.

On constate que les perturbations de la répartition de moment constatés sur la solu-tion massive sont extrêmement localisées dans une zone d’une vingtaine de millimètresde part et d’autre de la discontinuité.

Pour la solution massive, ce moment est calculé par intégration dans l’épaisseur dela quantité y.σxx. Les répartitions de la contrainte normale sont tracées pour les deuxtronçons (barre un et barre deux) sur les deux figures suivantes.

Les sections utilisées pour le tracé sont situées tous les 2mm. On constate des sur-contraintes importantes dans la solution massive. Ces effets sont constatés sur la partiegauche alors qu’il sont très faibles sur la partie droite.



ABS

SMXX

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 −3.00

−2.00

−1.00

0.00

1.00

2.00

3.00X1.E3


ABS

SMXX

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 −3.00

−2.00

−1.00

0.00

1.00

2.00

3.00X1.E3


2 Poutres non alignées

2.1 Modèles

100 100

5

15

On s’intéresse maintenant au cas de discontinuité de la ligne moyenne.La structure étudiée est présentée sur la figure ci-dessus. Il s’agit d’une structure

en forme de poutre qui présente une longueur totale de 200mm pour une épaisseur desection maximale de 15mm. La poutre présente une discontinuité de section et de lignemoyenne en son milieu. La section passe brutalement de 15 à 5mm et il y a un décalagede 5mm sur les lignes moyennes.

On envisage les trois mêmes sollicitations que pour le cas précédent.

Pour la modélisation massive, les conditions d’encastrement sont réalisées commesur le modèle précédent.

Nous considérons deux modélisations poutres. Dans ces deux modélisations, les élé-ments situés à gauche du point de discontinuité ont des caractéristiques (section etinertie) qui correspondent à la section d’épaisseur 15mm et les éléments situés à droiteont les caractéristiques de la section d’épaisseur 5mm.

Pour la première modélisation poutre, on ne modélise pas la discontinuité de ligneneutre. Pour la deuxième, la discontinuité est modélisée par l’ajout d’un élément rigidevertical qui rejoint les deux lignes moyennes discontinues.

Dans la suite, on ne met l’accent que sur les phénomènes liés à la discontinuité deligne moyenne. Les phénomènes liés à la discontinuité de section sont les même que dansla partie précédente.


2.2 Sollicitation de traction

5

15

500N

500N

500N

On étudie d’abord le cas de la traction pure.

La présence de la discontinuité de ligne moyenne entraîne une non symétrie duchargement sur la poutre de gauche, ce qui génère de la flexion. Ce phénomène n’estforcément pas constaté dans le modèle poutre qui ne contient pas de discontinuité deligne neutre.

Cette flexion se traduit par une apparition d’un moment fléchissant dans la poutrede gauche qui est très bien représenté par la solution massive et par la solution poutreavec discontinuité de ligne neutre.


2.2.1 Déformée

Amplification ×32

2.2.2 Contrainte

1.0 7.2 13. 19. 26. 32. 38. 44. 50. 56. 62. 68. 75. 81. 87. 93. 99. 1.05E+02 1.11E+02 1.17E+02 1.24E+02 1.30E+02



2.2.3 Evolution de l’effort normal

ABS

EFFX

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00X1.E2

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

5.50X1.E2


ABS

MOMZ

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00X1.E2

−0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00X1.E3



ABS

SMXX

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 −0.40

−0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20X1.E2


ABS

SMXX

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06

1.08

1.10X1.E2


2.3 Sollicitation de flexion simple

5

15

500N

500N

500N

Dans le cas de la flexion simple, il n’y a aucun effet constaté dù à la discontinuitéde ligne moyenne.


2.3.1 Déformée


2.3.2 Contrainte




2.3.3 Evolution de l’effort tranchant

ABS

EFFY

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00X1.E2

−1.50

−1.00

−0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00X1.E3


ABS

MOMZ

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00X1.E2

−0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20X1.E5



ABS

SMXX

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 −2.00

−1.50

−1.00

−0.50

0.00

0.50

1.00

1.50X1.E4


ABS

SMXX

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 −2.00

−1.50

−1.00

−0.50

0.00

0.50

1.00

1.50X1.E4


2.4 Sollicitation de flexion pure

5

151E4Nmm

1E4Nmm

1E4Nmm

Sur la sollicitation de flexion pure, il n’y a pas non plus d’effet dù à la discontinuitéde ligne moyenne.


2.4.1 Déformée


2.4.2 Contrainte

28. 1.93E+02 3.59E+02 5.24E+02 6.90E+02 8.55E+02 1.02E+03 1.19E+03 1.35E+03 1.52E+03 1.68E+03 1.85E+03 2.01E+03 2.18E+03 2.34E+03 2.51E+03 2.68E+03 2.84E+03 3.01E+03 3.17E+03 3.34E+03 3.50E+03



2.4.3 Évolution du moment fléchissant

ABS

MOMZ

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00X1.E2

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10X1.E4



ABS

SMXX

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 −4.00

−3.00

−2.00

−1.00

0.00

1.00

2.00

3.00X1.E3


ABS

SMXX

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 −4.00

−3.00

−2.00

−1.00

0.00

1.00

2.00

3.00X1.E3


3 Conclusions

– Discontinuité de section :– perturbations très localisées près de la zone dediscontinuité.

– très bonne représentation de la solution poutre,même avec très peu d’éléments.

– Discontinuité de ligne neutre :– problème avec les efforts axiaux : génération d’uneflexion parasite non négligeable.

– très bonne représentation de la solution poutre,même avec très peu d’éléments.

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