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INEQUATIONS SYSTEMES D’INEQUATIONS

1. OPERATIONS ET INEGALITES

1.1. Addition et multiplication d’une inégalité par un réel a, b et c sont des nombres réels : (1) Si a b< alors a + c b+ c< Additionner un même terme à deux nombres ne modifie pas leur ordre. (2) Si a b< et c 0> alors a c b c× < ×

Si a b< et c 0> alors a

c

b

c<

Multiplier ou diviser deux nombres par un même nombre positif non nul ne modifie pas leur ordre. (3) Si a b< et c 0< alors a c b c× > ×

Si a b< et c 0< alors a

c

a

c>

Multiplier ou diviser deux nombres par un même nombre négatif non nul change leur ordre.

1.2. Addition et multiplication de deux inégalités membre à membre

a, b , c et d sont des nombres réels :

(4) Si a b

c < dalors a c b d

<RS|T|+ < +

En ajoutant membre à membre des inégalités de même sens, on obtient une inégalité de même sens.

(5) Si 0 < a b

0 < c < dalors 0 a c b d

<RS|T|< × < ×

En multipliant membre à membre des inégalités de même sens, entre nombres positifs, on obtient une inégalité de même sens.

1.3. Passage d’une inégalité au carré a, et b sont deux nombres réels tels que a b< : (6) Si a et b sont positifs alors a b2 2< Prendre le carré de deux nombres positifs garde l’ordre de ces deux nombres. (7) Si a et b sont négatifs alors a b2 2> Prendre le carré de deux nombres négatifs change l’ordre de ces deux nombres.

1.4. Passage d’une inégalité à la racine carrée a, et b sont deux nombres réels positifs : (8) Si a b< alors a b<

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Prendre la racine carrée de deux nombres positifs garde l’ordre de ces deux nombres.

1.5. Passage d’une inégalité à l’inverse a, et b sont deux nombres réels non nuls de même signe :

(9) Si a b< alors 1

a

1

b>

2. ENCADREMENT

2.1. Définition Deux nombres a et b encadrent un nombre réel x signifie que le réel x est compris entre a et b. C’est-à-dire : a x b≤ ≤ Le nombre b - a s’appelle l’amplitude de l’encadrement. Remarques :

• Dans la pratique, a et b sont souvent des nombres décimaux. • a x b x a;b≤ ≤ ⇔ ∈

x compris entre a et b signifie x appartient à l’intervalle [a ; b]

2.2. Exemples

2.2.1. Montrer que 1,41 2 1,42≤ ≤

1,41 1,98812b g = , 2 22e j = et 1,42 2,01642b g =

On a l’encadrement : 1,9881< 2 < 2,0164 donc 1,41 2 1,422 2 2b g e j b g< <

Le passage à la racine carrée conserve l’ordre (propriété (8)) donc 1,41 2 1,42< < De la même façon, on peut montrer que : 1,73 3 1,74< <

2.2.2. Sachant que 1,41 2 1,42< < , déterminer un encadrement de 2 1−

1,41 2 1,42< < On ajoute –1, d’après la propriété (1) : 1,41- 1 2 1 1,42 - 1< − < Donc 0,41 2 1 0,42< − <

2.2.3. Sachant que 1,41 2 1,42< < , déterminer un encadrement de 3 2

1,41 2 1,42< < On multiplie par 3, d’après la propriété (2) : 3 1,41 3 2 3 1,42× < < × Donc 4,23 3 2 4,26< <

2.2.4. Sachant que 1,41 2 1,42< < , déterminer un encadrement de -2 2

1,41 2 1,42< < on multiplie par -2, d’après la propriété (3) : -2 1,41 -2 2 -2 1,42× > > × Donc -2,82 -2 2 -2,84> > c’est-à-dire : -2,84 -2 2 -2,82< ≤

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2.2.5. Sachant que 1,41 2 1,42< < et 1,73 3 1,74< < , déterminer un encadrement de 2 3+

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1,41 2 1,42< < 1,73 3 1,74< <

On ajoute membre à membre, d’après la propriété (4) : 1,41+1,73 2 3 1,42+1,74< + < Donc 3,14 2 3 3,16< + <

2.2.6. Sachant que 1,41 2 1,42< < et 1,73 3 1,74< < , déterminer un encadrement de 6

1,41 2 1,42< < 1,73 3 1,74< <

On multiplie membre à membre, d’après la propriété (5) : 1,41 1,73 2 3 1,42 1,74× < × < × Donc 2,4393 2 3 2,4708< × < Et 2,4393 6 2,4708< <

2.2.7. Démontrer que si 0 < x < y alors 0 <1

y 1<

1

x 12 2+ +

0 < x < y

On élève au carré, d’après la propriété (6) : 0 < x < y2 2 On ajoute 1, d’après la propriété (1) : 1< x +1< y 12 2 +

On prend la racine carrée, d’après la propriété (8) : 1< x +1 < y 12 2 +

On prend l’inverse, d’après la propriété (9) : 1>1

x +1>

1

y 12 2 +

Il s’agit de nombres positifs, donc 0 <1

y 1<

1

x 12 2+ +

3. INEQUATIONS ET SYSTEMES D’INEQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE

3.1. Exemple

L’inégalité 5x 3 2x 4− ≥ + est une inéquation du premier degré à une inconnue. Elle est vraie pour certaines valeurs de x, fausse pour d’autres. Résoudre dans R cette inéquation, c’est déterminer le sous-ensemble de R pour lequel cette inégalité est vraie.

3.2. Exemple de résolution Résolution de l’inéquation 5x 3 2x 4− ≥ + . On ajoute 3 aux deux membres de l’inéquation : 5x 2x 7≥ + On retranche 2x aux deux membres de l’inéquation : 3x 7≥

On divise par 3 les deux membres de l’inéquation : x7

3≥

L’ensemble des solutions de cette inéquation est S7

3;= +∞LNMLNM

Représentation graphique de l’ensemble des solutions sur une droite graduée :

7

3

0

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Convention : la partie hachurée est la partie qui ne convient pas.

3.3. Système d’inéquations

Résoudre dans R le système d’inéquations 4x - 2 x+1 3x 7

4 5 2x 3 4 3x

b gb g

> +

− − < −

RS|T|

, c’est déterminer le sous-ensemble des

nombres réels pour lesquels ces deux inégalités sont vraies en même temps. On traite d’abord la première inéquation :

4x - 2 x +1 3x 7b g > + 4x - 2x - 2 3x 7> −

2x - 2 3x 7> − 5 x>

On traite ensuite la deuxième inéquation :

4 5 2x 3 4 3x− − < −b g 20 8x 3 4 3x− − < −

17 8x 4 3x− < − 13 5x< 13

5x<

On obtient finalement : 13

5x < 5<

L’ensemble des solutions de ce système d’inéquations est S13

5;5=

OQPLNM

Représentation graphique de l’ensemble des solutions sur une droite graduée : Convention : la partie hachurée est la partie qui ne convient pas.

4. INEQUATIONS ET SYSTEMES D’INEQUATIONS DU PREMIER DEGRE A DEUX INCONNUES

4.1. Exemple

L’inégalité 4x y - 3 0+ ≤ est une inéquation du premier degré à deux inconnues. Elle est vraie pour certains couples x;yb g , fausse pour d’autres. Résoudre cette inéquation, c’est déterminer les couples x;yb g de nombres réels pour lesquels cette inégalité est vraie. Par exemple :

• Les couples (0 ; 0) et (1 ; -1) sont solution.

50

13

5

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• Les couples (1 ; 1) et (2 ; 1) ne sont pas solution.

Il existe une infinité de couples solutions : nous allons résoudre graphiquement cette inéquation. Résoudre graphiquement cette inéquation, c’est représenter les points M x;yb g du plan dont les coordonnées sont les couples de nombres réels pour lesquels cette inégalité est vraie.

4.2. Régionnement du plan par une droite

4.2.1. Propriété admise Soit d une droite d’équation ax+ by + c = 0 ( a et b non nuls en même temps). La droite d partage le plan en deux demi-plans :

• pour tout point M x;yb g de l’un d’entre eux, l’expression ax + by + c est positive ; • pour tout point M x;yb g de l’autre, l’expression ax + by + c est négative.

4.2.2. Conséquences

Pour tous les points M x;yb g d’un même demi-plan, l’expression ax + by + c garde le même signe. Ainsi, si pour un point quelconque d’un demi-plan, l’expression est positive alors elle est positive pour tous les autres points de ce même demi-plan et elle sera négative dans l’autre demi-plan. Pour associer à chaque demi-plan le signe qui lui correspond, il suffit de tester l’origine O(0 ;0) (pour le point O : ax+ by + c = c) ; le signe de c donne donc le « signe du demi-plan » auquel O appartient. Remarque : Si O appartient à la droite d’équation ax+ by + c = 0 (en fait c = 0), il faut tester un autre point.

4.3. Exemple de résolution graphique d’une inéquation du premier degré à deux inconnues

Résoudre graphiquement l’inéquation 4x y - 3 0+ ≤ :

• le plan étant rapporté à un repère O;I;Jb g , on trace la droite ∆ d’équation 4x y - 3 0+ = , c’est-à-dire la droite d’équation y -4x 3= + ;

• Soit O 0;0b g , le point-test : 4 0 0 - 3 -3× + = donc l’expression 4x y - 3+ est strictement négative dans le demi-plan de bord ∆ qui contient O et négative dans l’autre ;

• La solution graphique de l’inéquation 4x y - 3 0+ ≤ est donc le demi-plan fermé de bord ∆ qui contient O.

Par convention, le demi-plan qui ne convient pas est le demi-plan hachuré.

4.4. Exemple de résolution graphique d’un système d’inéquations du premier degré à deux inconnues

O

∆

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Résoudre graphiquement le système d’inéquations x y 2 0

x 2y 1 0

+ − <

− + <

RS|T|, c’est déterminer les couples x;yb g de

nombres réels pour lesquels ces deux inégalités sont vraies en même temps. Résolution graphique : Le plan est rapporté à un repère O;I;Jb g . On traite d’abord la première inéquation : x y 2 0+ − < :

• on trace la droite d1 d’équation x y - 2 0+ = , c’est-à-dire la droite d’équation y -x 2= + ; • Soit O 0;0b g , le point-test :

0 0 - 2 -2+ = donc l’expression x y - 2+ est strictement négative dans le demi-plan de bord d1 qui contient O et positive dans l’autre ;

• La solution graphique de l’inéquation x y 2 0+ − < est le demi-plan fermé de bord d1 qui contient O. On traite ensuite la deuxième inéquation : x 2y 1 0− + < :

• on trace la droite d2 d’équation x 2y 1 0− + = c’est-à-dire la droite d’équation y1

2x

1

2= + ;

• soit O 0;0b g , le point-test : 0 0 +1 1− = donc l’expression x 2y 1− + est strictement positive dans le demi-plan de bord d2 qui contient O et négative dans l’autre ;

• La solution graphique de l’inéquation x 2y 1 0− + < est le demi-plan fermé de bord d2 qui ne contient pas O.

La solution graphique du système d’inéquations est la partie non hachurée du plan.

4.5. Exemple de résolution graphique d’un problème de programmation linéaire

Une entreprise fabrique deux types de bagues A et B. Pour fabriquer une bague de type A il faut 2 H de travail et le bénéfice net est 20 €. Pour fabriquer une bague de type B il faut 1 H de travail et le bénéfice net est 15 €. Le temps de travail disponible dans une journée est de 1000 H.

d1

d2

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La quantité de métal disponible permet de fabriquer 800 bagues par jour (tous types confondus). L’approvisionnement journalier en pierres et de 400 pour le modèle A et de 700 pour le type B. Il s’agit de déterminer le programme de production journalier qui rend maximum le bénéfice net de l’entreprise. Soit x la production journalière de bagues A et y la production journalière de bagues B.

L’énoncé permet d’écrire un système de contraintes :

2x y 1000 1

x y 800 2

0 x 400 3

0 y 700 4

+ ≤

+ ≤

≤ ≤

≤ ≤

R

S|||

T|||

b gb gb gb g

Ces contraintes constituent un système d’inéquations du premier degré à deux inconnues dont la solution graphique est l’ensemble des points situés à l’intérieur du polygone OABCDE Le bénéfice net, BN est donné par la relation BN = 20x + 15 y. Soit la droite d d’équation 20x + 15 y = 9000 : en tout point de cette droite, le bénéfice est de 9000 €. La droite d est appelée une droite d’isoprofit.

Toutes les droites d’isoprofit sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur − = −20

15

4

3.

Le bénéfice est d’autant plus grand que la droite d’isoprofit est plus éloignée de l’origine du repère. Dans le cas présent, le bénéfice est maximum au point C(200 ; 600). Il est alors égal à 20 200 15 600 13000× + × = €.

5. INEQUATION DU SECOND DEGRE A UNE INCONNUE

5.1. Equation du second degré et factorisation du trinôme du second degré (rappel)

100

500

500 1000

D3

D1

D2

A

B

CD

E

O

droites d’isoprofit

d

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Soit l’équation ax bx c 0 (a 0)2 + + = ≠ dont le discriminant est ∆ = −b 4ac2 .

En fonction du signe de ∆ , voici les différents cas de résolution de l’équation ax bx c 0 (a 0)2 + + = ≠

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∆ < 0 ∆ = 0 ∆ > 0

solutions de

l’équation ax bx c 02 + + =

pas de solution une seule solution

xb

2a0 =

−

deux solutions distinctes

xb

2a1 =

− + ∆

xb

2a2 =

− − ∆

factorisation du trinôme

du second degré ax bx c2 + +

pas de factorisation a x x02

−c h a x x x x1 2− −c hc h

5.2. Exemple de résolution d’une inéquation du second degré

On se propose de résoudre l’inéquation x 2x 15 02 − − ≤ On résout l’équation x 2x 15 02 − − = ; pour cela on calcule son discriminant : ∆ = 64 , l’équation

x 2x 15 02 − − = a deux solutions x2 8

231 =

−= − et x

2 8

252 =

+= donc le polynôme x 2x 152 − − se

factorise sous la forme x 2x 152 − − = + −x 3 x 5b gb g. On étudie son signe à l’aide du tableau de signe suivant :

x

−∞ -3

5

+∞

x 3+

-

0 +

+

x 5−

−

−

0 +

x 3 x 5+ −b gb g

+

0 −

0 +

x 3 x 5 0+ − ≤b gb g pour tout x de l’intervalle −3;5 .

L’ensemble des solutions de l’inéquation x 2x 15 02 − − ≤ est donc S = −3;5 .

6. INEQUATION OU L’INCONNUE APPARAIT AU DENOMINATEUR D’UNE FRACTION

On se propose de résoudre l’inéquation x 2

x 40

+

−≥

On étudie son signe à l’aide du tableau de signe suivant :

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x

−∞ -2

4

+∞

x 2+

-

0 +

+

x 4−

−

−

0 +

x 2

x 4

+

−

+

0 −

+

La double barre signifie que l’expression x 2

x 4

+

− n’est pas définie pour x = 4.

x 2

x 40

+

−≥ pour tout x de l’intervalle −∞ −; 2 ou tout x de l’intervalle 4;+∞

L’ensemble des solutions de l’inéquation x 2

x 40

+

−≥ est donc S = −∞ −; 2 ∪ 4;+∞ .