Illustration Algo Sardinas Patterson

7/25/2019 Illustration Algo Sardinas Patterson

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2003

Illustration de l’algorithme

de Sardinas Patterson

Nicolas [email protected]



Programmation Logique

Le langage

Soit A un alphabet fini non vide.

Un code sur A est un sous ensemble de mot C dans A* tel que:

quelque soit 2 séquences

x1 x2 … xm (xi dans C) et y1 y2 … ym (yi dans C)

si x1 x2 … xm = y1 y2 … ymalors: (1) n=m (2) xi=yi (pour tout i)

Définition d’un code




Le langage

Un code ne contient pas le mot vide

C n’est pas un code s’il existe un mot se décomposant de deuxmanière distinctes

Exemple: A={a,b} C={a,ab,ba} n’est pas un code car

il existe un mot se décomposant de deux manières distinctespar rapport à C, à savoir aba = (a)(ba) = (ab) (a)

Définition d’un code (remarques)




Le langage

Détecter et corriger les erreurs

Compression de données

Utilité des codes




Le langage

Soit C un code sur un alphabet A non vide. C est un

. Bloc code si tous les mots de C ont la même longueur

. Préfixe code s’il n’existe pas 2 mots de C tel que l’un est lepréfixe de l’autre

. Suffixe code s’il n’existe pas 2 mots de C tel que l’un est lesuffixe de l’autre

. Bipréfixe code si C est à la fois un préfixe et un suffixe code

. Code binaire si le nombre d’éléments de l’alphabet A est 2.

Classes de codes




Le langage

Question fondamentale:

Etant donné C un ensemble de mots sur un alphabet A,

déterminer si C est un code ou pas.

Pour cela on va maintenant décrire

l’algorithme de Sardinas Patterson

Déterminer si C est un code ou pas




Le langage

Définissons inductivement les deux ensembles suivant à partir de C

(a) C1={x dans A+ | il existe c dans C: cx dans C}

autrement dit:

suffixe non vide de C dont le préfixe appartient à C


dans C

dans C élément de C1




Le langage

(b) Ci+1={x dans A* | il existe p dans C: px dans C i}

autrement dit:suffixe de Ci dont le préfixe appartient à C


dans Ci

dans C élément de Ci+1

Ci+1={x dans A* | il existe p dans Ci: px dans C}

autrement dit:

suffixe de C dont le préfixe appartient à Ci

OU BIEN

dans C

dans Ci

élément de Ci+1




Le langage

Théorème

Soit A un alphabet et C dans A+ un ensemble de mots non vide

C est un code si et seulement si pour tout i>1

l’intersection entre C et Ci est vide

Sardinas Patterson (fin)




Le langage

C= {010,0001,0110,1100,

00011,00110,11110,101011} est-il un code ?

Example d’utilisation




Le langage

! 010 pas un préfixe d’un autre mot de C

! 0001 préfixe de 00011: donc suffixe 1 dans C1

!

0110 pas un préfixe d’un autre mot de C

! 1100 pas un préfixe d’un autre mot de C

!


!

00110 pas un préfixe d’un autre mot de C! 11110 pas un préfixe d’un autre mot de C

!


Calcul de C1

C={010,0001,0110,1100,00011,00110,11110,101011}

C1={1}

dans C





Le langage

! Aucun mot de C n’est préfixe d’un mot de C1 (longueur du mot de C1 trop petite)

! Cherche éléments de C ayant un mot de C1 comme préfixe:" 1 préfixe de 1100: donc suffixe 100 dans C2

"

1 préfixe de 11110: donc suffixe 1110 dans C2

"

1 préfixe de 101011: donc suffixe 01011 dans C2

Calcul de C2

C={010,0001,0110,1100,00011,00110,11110,101011}

C2={100,1110,01011}

C1={1}

dans C1


dans C

dans C1

élément de C2




Le langage

! Cherche mots de C préfixe d’un mot de C2"

010 préfixe de 01011: donc 11 dans C3

"

0001, 0110,1100,00011,00110,11110,101011 pas préfixe

d’aucun mot de C2

!

Cherche éléments de C ayant un mot de C2 comme préfixe:"

aucun mot de C ne commence par 100

"


"


Calcul de C3

C={010,0001,0110,1100,00011,00110,11110,101011}

C3={11}

C2={100,1110,01011} dans C2


dans C

dans C2

élément de C3




Le langage

! Cherche mots de C préfixe d’un mot de C3 (longueur du mot de C3 trop petite)

! Cherche éléments de C ayant un mot de C3 comme préfixe:"


"


Calcul de C4

C={010,0001,0110,1100,00011,00110,11110,101011}

C4={00,110}

C3={11}

dans C3


dans C

dans C3

élément de C4




Le langage


Aucun mot de C n’est préfixe de 00 (longueur trop petite)

"

Aucun mot de C n’est préfixe de 110 (seul 010 serait un candidat )



"


"


" 110 préfixe de 1100: donc 0 dans C5

Calcul de C5

C={010,0001,0110,1100,00011,00110,11110,101011}

C5={01,011,110,0}

C4={00,110}

dans C4


dans C

dans C4 élément de C5




Le langage


Aucun mot de C n’est préfixe de 00 ou 0 (longueur trop petite)

"

Aucun mot de C n’est préfixe de 011 ou 110 (seul 010 serait un candidat )



"


"

011 préfixe de 0110: déjà trouvé

"

110 préfixe de 1100: déjà trouvé

"

0 préfixe de 010: déjà trouve

"


" 0 préfixe de 0110: donc 110 dans C6"


" 0 préfixe de 00110: donc 0110 dans C6

Calcul de C6C={010,0001,0110,1100,00011,00110,11110,101011}

C6={0,10,001,110,0011,0110}

C5={01,011,110,0} dans C5


dans C

dans C5 élément de C6




Le langage


Le mot 0110 de C est préfixe de 0110 de C6donc le mot vide appartient à C7

donc C n’est pas un code

Calcul de C7

C={010,0001,0110,1100,00011,00110,11110,101011}

C7={!,…}

C6={0,10,001,110,0011,0110}

dans C6





Le langage

Récapitulatif des calculs

C

010

0001

0110

1100

00011

00110

11110

101011

C1

C/C

00011

C2

C1/C

1100

C1/C

11110

C1/C

101011

C3

C/C2

01011

C4

C3/C

1100

C3/C

11110

C5

C4/C

0001

C4/C

00011

C4/C

00110

C4/C

1100

C6

C5/C

010

C5/C

0110

C5/C

0001

C5/C

0110

C5/C

00011

C5/C00110

C7

C/C6 (0110)

!




Le langage C

010

0001

0110

1100

0001100110

11110

101011

C1

C/C

00011

C2

C1/C

1100

C1/C

11110

C1/C101011

C3

C/C2

01011

C4

C3/C

1100

C3/C

11110

C5

C4/C

0001

C4/C

00011

C4/C00110

C4/C

1100

C6

C5/C

010

C5/C

0110

C5/C0001

C5/C

0110

C5/C

00011

C5/C

00110

C7

C/C6 (0110)

!

C

(0110)C6

C

(1100)C4

C2

(01011))C

C

(1 C1

C

(0001)

C(00110)C5

C(11110)C3

C(010)

C(00011)

C

Permet de construire un mot (000110101111000110)ayant deux décompositions en mots de C (en partant de C7)

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