Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Raisonnements et algorithmes: Exemplestirés des procédures pour extraire la racinecarrée dans la littérature mathématique en

Sanskrit

Agathe Keller(SPHère, CNRS-Université Denis Diderot )

ANR AlgoLille

22 octobre 2009

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Un algorithme qui utilise les ressources de la numérationpositonelle décimale

105 104 103 102 101 100

1 8 6 6 2 4

186624 = 1× 105 + 8× 104 + 6× 103 + 6× 102 + 2× 101 + 4× 100

L’objectif de l’algorithme d’extraction de racine carrée, nous pouvons lecomprendre comme une tentative pour retrouver dans ce dévelopement, le

dévelopement d’un carré du type:

a2 + 2ab + b2

Par conséquent, l’algorithme comportera de nombreuses soustraction decarré et de division par 2.

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Sources utilisées

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Sources utilisées

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

La règle compacte d’Aryabhat.a

bhagam. hared avargan nityam. dvigun. ena vargamulena| vargad vargesuddhe labdham. sthanantare mulam‖

One doit diviser, sans cesse, la 〈place〉 non-carré par deux fois laracine-carré| Lorque le carré à été soustrait de la 〈place〉 carré, lerésultat est une racine dans une autre place‖

Shukla, K. S. (1976) Aryabhat.ıya of Aryabhat.a, with the commentary ofBhaskara I and Somesvara. Delhi: Indian National Science Academy.

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

La règle “pratique” de Srıdhara

vis. amat padas tyaktyva vargam. sthanacyutena mulena| dvigun. enabhajec ches. am. labdham. vinivesayet panktau ‖ tadvargam.sam. sodhya dvigun. am. kurvıt purvaval labdham| utsarya tato vibhajecses. am. dvigun. ıkr.tam. dalayet‖

PG.24. Ayant retiré le carré du terme impair, on doit diviser le restepar deux fois la racine qui a goutté à sa place|On dispose le reste sur la ligne ‖PG.25. Ayant soustrait le carré de celà, on doit diviser le résultatprécédent|Qui à été doublé 〈au préalable〉. Ainsi, encore et encore.〈Finalement〉 on doit diviser la moitié du reste.‖

Shukla, K. S. (1959) The Pat.igan. ita of Srıdhara with an anonymouscommentary, edited, translanted with notes. Lucknow, University of LucknowPublications.

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Utiliser différentes ressources de la notation positionelle

avarga varga avarga varga avarga varga

sa vi sa vi sa vi

105 104 103 102 101 100

1 8 6 6 2 4

186624 = 1× 105 + 8× 104 + 6× 103 + 6× 102 + 2× 101 + 4× 100

Figure: La disposition telle qu’elle apparaTt dans l’édition d’ APG

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Soustraire le carré du carré: le point de vue d’ Aryabhat.a etBhaskara

∗105 104 103 102 101 100

4/2 6 6 2 4

186624 = 42× (102)2 +2×104 +6×103 +6×102 +2×101 +4×100

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Soustraire le carré du carré: le point de vue d’APG

2 6 6 2 48

186624 = 42× (102)2 +2×104 +6×103 +6×102 +2×101 +4×100

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

On doit diviser par deux fois la racine carrée

Suryadeva

tena dvigun. enanantarad avargasthanad bhagam. haret

On doit diviser la prochaine position/place non-carée par deux foiscette 〈racine〉.

Bhaskara∗ 103 102 101 100

4 3/2 6 2 4

186624 =42×(102)2+2×(4×102)(3×101)+2×103+6×102+2×101+4×100

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Quand doit on doubler la racine (en suivant APG)?

ca tena tatraiva sthitena uparis. t.at bhagam apaharet labdham. panktauvinivesayet

Et l’on doit diviser ce qui se tient au dessus par deux fois cela, à cet endroit.Le quotient doit être inséré sur une ligne.

adho bhagalabdhakas trayaste panktyam. nivesyah.

En dessous le quotient est trois. Ayant entré ces 〈trois unités〉 sur une ligne-il doivent être placés sous 〈la place〉 fait de six 〈unités〉.

∗2 6 6 2 48 3

186624 = 42×(102)2+2×(4×102)(3×101)+2×102+2×101+4×100

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Itération

Bhaskara etat eva sutram punar punar avartate yavat parisamaptamgan. itakarma iti Précisemment cette règle est itérée encore et encorejusqu’à ce que le processus mathématique parviennent à sa fin.Suryadeva evam. tavad kuryad yavan nisses. an. i vargavargasthananibhavanti De cette manière, on doit effectuer 〈le processus〉 jusqu’à cequ’il n’y ait plus aucune place carrée ou non-carrée .

APG tam utsarayet tato vibhajet labdham. panktau vinivesayed ity adipurvavat yavat utsarpan. asambhavah. On doit répêter ce 〈processus〉,ainsi on doit diviser, on doit insérer le quotient sur une ligne, etc.comme auparavant que cette progression serpentine est possible.

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Soustraire le carré de nouveau

Bhaskara∗ 103 102 101 100

4 3/1 7 2 4

186624 = 42 × (102)2 + 2× (4× 102)(3× 101) + 32 × (101)2 + 1×103 + 7× 102 + 2× 101 + 4× 100

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Quand doit-on doubler la racine (d’après APG)/2?

tatas tad vargam uparis. t.ac chodhayet tac ca dvigun. ıkuryat /

Ensuite, on doit soustraire son carré de ce qui se tient au dessus, et ceci doitêtre doublé.

(...)

s. at.kasyadhah. sthapyah. etasya vargo nava tad uparis. t.at s. ad. vim. sateh.sodhaytiva te (1724) trayo dvigun. itah. s. at. kartvyah. , adhah. s. od. asıtir jayate /es. a rasih. sarpati panktyam. dvayor adhah. (s. at.kam. ) bhavati, as. t.akam.saptadhah. / nyasah.

Son carré est neuf. On doit le soustraire de vingt-six au-dessus, ceux-ci(1724) 〈sont placés au-dessus〉, trois est multiplié par deux, six doit être fait.En-dessous, quatre vingt six est produit. Cette quantité glisse/serpente sur laligne en-dessous (de?) deux, (il y à six), en-dessous de sept, huit .

Disposition:1 7 2 4

8 6

186624 = 42 × (102)2 + 2× (4× 102)(3× 101) + 32 × (101)2 + 1×103 + 7× 102 + 2× 101 + 4× 100

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Division de la racine, soustraction du carré

Considering the next place on the right, 172, divide it by twice thepartial square root, 86: the quotient is 2 and there is no remainder.The square root is 432.

Bhaskara style:

∗ 100

4 3 2 4

APG style:4

8 6 2

186624 = 42× (102)2 + 2× (4×102)(3×101)+ 32× (101)2 + 2× (3×100)(4× 102 + 3× 101) + 4× 100 = (4× 102 + 3× 101 + 2× 100)2

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Extracting de la racine carré de 187724 (fin)

le style d’ Aryabhat.a et Bhaskara :

4 3 2

le style d’APG:8 6 4

186624 = (432)2

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Le processus tel que je le reconstruit

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Les différents pas donnés par Ab

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Les différents pas donnés par BAB

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Comparaison d’Ab avec BAB

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Les différents pas donnés par PG

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Comparaison d’Ab avec PG

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Les différents pas donnés par APG

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Comparaison de PG avec APG

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Les différents pas donnés par SYAB

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Comparaison d’Ab avec SYAB

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Comparaison de SYAB avec BAB

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Comparaison de PG avec SYAB

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Choisir des pas

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Règles et algorithmes

• sutra “règle” BAB, APG, SYAB• anayana “calcul” BAB, SYAB• gan. itakarma “processus mathématique” BAB• karan. asutra “règle algorithmique” APG

Keller Raisonnements et algorithmes

Règles (sutras) pour extraire la racine carrée Illustration de la procédure: l’extraction de 186624 L’intention derrière l’énoncé de la règle

Elargir le corpus et explorer d’autres algorithmes

Ab. Chapitre 2Vème siècle

BAB VIIème siècle

SYAB XIIème siècle

PGca Xème siècle

APG inconnue

BSS. Chapitre 12/18

VIIème siècle

PBSS IXème siècle

Keller Raisonnements et algorithmes