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II Quadripôles électroniques

II-1 Définition des quadripôles : un quadripôle est une boîte de composants ou

de circuit munie de deux bornes d’entrée et de deux bornes de sortie.

L’étude des quadripôles linéaires est facilitée par l’usage du calcul matriciel. Cette

représentation des circuits est également bien adaptée aux méthodes de calcul

numérique modernes.

Quatre grandeurs électriques caractérisent un

quadripôle : le courant I1 et la tension U1

d’entrée, le courant I2 et la tension U2 de

sortie. Par convention, on donne le sens positif

aux courants qui pénètrent dans le quadripôle.

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II-2 Exemples de quadripôles :

1- Quadripôle série : il contient une seul impédance.

a-Trouver V2 en fonction V1 et I1.

b-Trouver I2 en fonction V1 et I1.

c-Transformer les deux équations en matrice.

Le quadripôle contient une seule impédance. La loi des mailles donne :

𝑉2 = 𝑉1 − 𝑍𝐼1

𝐼2 = −𝐼1

On peut récrire les deux équations sur la forme de matrice : [𝑉2

𝐼2] = [

1 𝑍0 1

] . [𝑉1

−𝐼1]

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2- Quadripôle parallèle : les mêmes questions

(a, b, c) pour le dipôle suivant.

𝑉2 = 𝑉1 ; 𝐼1 + 𝐼2 = 𝐼 ; 𝐼2 =𝑉1

𝑍− 𝐼1

Soit sous la forme matricielle : [𝑉2

𝐼2] = [

1 01 𝑍⁄ 1

] . [𝑉1

−𝐼1]

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II-3 Matrices représentatives des quadripôles :

Pour les quadripôles ne contenant que des dipôles linéaires les 4 grandeurs

fondamentales V1, V2, I1 et I2 sont liées par des équations linéaires.

Plusieurs représentations matricielles sont possibles et le choix de l’une de celles-

ci sera fait en fonction du problème étudié.

1- Matrice impédance : On exprime les tensions (V1 et V2) en fonctions des

courants (I1 et I2). Les éléments de la matrice ont la dimension d’impédances.

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[𝑉1

𝑉2] = [

𝑍11 𝑍12

𝑍21 𝑍22] . [

𝐼1

𝐼2]

2- Matrice admittance : On exprime les courants (I1 et I2) en fonction des

tensions (V1 et V2). Les éléments de la matrice ont la dimension d’admittances.

[𝐼1

𝐼2] = [

𝑌11 𝑌12

𝑌21 𝑌22] . [

𝑉1

𝑉2]

3- Matrice de transfert : On exprime les grandeurs de sortie (V2 et I2) en

fonction des grandeurs d’entrée (V1 et -I1). 𝑇11 est un nombre, 𝑇12 est une

impédance, 𝑇21 est une admittance et 𝑇22 est un nombre.

[𝑉2

𝐼2] = [

𝑇11 𝑇12

𝑇21 𝑇22] . [

𝑉1

−𝐼1]

NB : cas particulier pour les quadripôles passifs le déterminant ∆(𝑇) = 1 .

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4- Matrice hybride : On exprime les grandeurs (V1 et I2) en fonction des

grandeurs (I1 et V2). 𝐻11 est une impédance, 𝐻12 est un nombre, 𝐻21 est un

nombre et 𝐻22 est une admittance.

[𝑉1

𝐼2] = [

𝐻11 𝐻12

𝐻21 𝐻22] . [

𝐼1

𝑉2]

II-4 Grandeurs caractéristiques des quadripôles : Il est possible de définir

pour un quadripôle des grandeurs caractéristiques comme les impédances d’entrée

et de sortie, et les gains en tension, courant et puissance.

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1- Impédance d’entrée : C’est l’impédance 𝑍𝐸 =𝑉𝐸

𝐼𝐸=

𝑉1

𝐼1 vue à l’entrée quand la

sortie est chargée par une impédance 𝑍𝑢. Pour calculer cette impédance on utilise

la matrice impédance du quadripôle.

[𝑉1

𝑉2] = [

𝑍11 𝑍12

𝑍21 𝑍22] . [

𝐼1

𝐼2]

Donc 𝑉1 = 𝑍11𝐼1 + 𝑍12𝐼2

𝑉2 = 𝑍21𝐼1 + 𝑍22𝐼2 = −𝑍𝑢𝐼2

𝐼2(𝑍22 + 𝑍𝑢) = −𝑍21𝐼1

𝐼2 = −𝑍21𝐼1/(𝑍22 + 𝑍𝑢)

ZG

EG

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Donc 𝑉1 = 𝑍11𝐼1 + 𝑍12(−𝑍21𝐼1

(𝑍22+𝑍𝑢))

𝑍𝐸 =𝑉𝐸

𝐼𝐸=

𝑉1

𝐼1=

𝑍11𝐼1 + 𝑍12(−𝑍21𝐼1

(𝑍22 + 𝑍𝑢))

𝐼1

Donc : 𝑍𝐸 = 𝑍11 −𝑍12𝑍21

(𝑍22+𝑍𝑢)

Si le quadripôle n’est pas chargé mathématiquement la charge 𝑍𝑢 tend vers

l’infini 𝑍𝑢 = ∞. Donc 𝑍𝐸 = 𝑍11.

Remarque : si le quadripôle n’est pas chargé l’impédance d’entrée est égale 𝑍𝐸 =

𝑍11.

2-Impédance de sortie : C’est l’impédance 𝑍𝑆 =𝑉𝑆

𝐼𝑆=

𝑉2

𝐼2 vue à la sortie quand

l’entrée est fermée par une impédance 𝑍𝐺 qui l’impédance du générateur.

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3- Gain en tension : C’est le quotient de la tension de sortie par la tension

d’entrée, où la sortie est chargée par une impédance 𝑍𝑢 : 𝐴𝑉 =𝑉𝑆

𝑉𝐸=

𝑉2

𝑉1

Un calcul analogue au précédent donne :

𝑍𝑆 = 𝑍22 −𝑍12𝑍21

(𝑍11 + 𝑍𝐺)

Pour calculer le gain en tension on peut

utiliser les différentes matrices des

quadripôles (impédance, admittance ou de

transfert).

ZG

EG

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Ex : matrice de transfert :

[𝑉2

𝐼2] = [

𝑇11 𝑇12

𝑇21 𝑇22] . [

𝑉1

−𝐼1]

𝑉2 = 𝑇11𝑉1 − 𝑇12𝐼1 Or : 𝑉2 = −𝑍𝑢𝐼2

𝐼2 = 𝑇21𝑉1 − 𝑇22𝐼1

Donc 𝑇11𝑉1 − 𝑇12𝐼1 = −𝑍𝑢(𝑇21𝑉1 − 𝑇22𝐼1) ⟹ 𝐼1 =(𝑇11+𝑍𝑢𝑇21)

(𝑇12+𝑍𝑢𝑇22)𝑉1

𝑉2 = 𝑇11𝑉1 − 𝑇12(𝑇11+𝑍𝑢𝑇21)

(𝑇12+𝑍𝑢𝑇22)𝑉1 ⟹

𝑉2

𝑉1=

𝑉𝑠

𝑉𝐸= 𝑍𝑢

(𝑇11𝑇22−𝑇12𝑇21)

(𝑇12+𝑍𝑢𝑇22) : 𝑇11𝑇22 −

𝑇12𝑇21 = ∆(𝑇) = 1

Donc 𝐴𝑉 =𝑉𝑆

𝑉𝐸=

𝑍𝑢

(𝑇12+𝑍𝑢𝑇22) si 𝑍𝑢 = ∞ 𝐴𝑉 =

1

𝑇22

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4-Gain en courant : C’est le quotient du courant de sortie par le courant d’entre,

où la sortie est chargée par une impédance 𝑍𝑢 : 𝐴𝐼 =𝐼𝑆

𝐼𝐸=

𝐼2

𝐼1

La même chose pour le gain en courant on peut calculer ce gain en utilisant les

différentes matrices des quadripôles (impédance, admittance ou transfert).

Ex : matrice impédance :

[𝑉1

𝑉2] = [

𝑍11 𝑍12

𝑍21 𝑍22] . [

𝐼1

𝐼2]

𝑉1 = 𝑍11𝐼1 + 𝑍12𝐼2

𝑉2 = 𝑍21𝐼1 + 𝑍22𝐼2 = −𝑍𝑢𝐼2

On utilise seulement la deuxième équation : 𝑍21𝐼1 + 𝑍22𝐼2 = −𝑍𝑢𝐼2

Donc 𝐼2

𝐼1=

𝐼𝑆

𝐼𝐸=

−𝑍21

(𝑍22+𝑍𝑢)

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5-Gain composite en tension AVG : C’est le quotient de la tension de sortie par la

tension de générateur EG : 𝐴𝑉𝐺 =𝑉𝑆

𝐸𝐺=

𝑉2

𝐸𝐺

𝐴𝑉𝐺 =𝑉2

𝐸𝐺=

𝑉2

𝑉1

𝑉1

𝐸𝐺 : nous avons

𝑉2

𝑉1= 𝐴𝑉 et 𝑉1 = 𝐸𝐺

𝑍𝐸

𝑍𝐸+𝑍𝐺 Diviseur de tension

Donc 𝑉1

𝐸𝐺=

𝑍𝐸

𝑍𝐸+𝑍𝐺

Donc

𝐴𝑉𝐺 =𝑉2

𝐸𝐺=

𝑉2

𝑉1

𝑉1

𝐸𝐺= 𝐴𝑉

𝑍𝐸

𝑍𝐸+𝑍𝐺

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6-Gain composite en courant AIG : C’est le quotient du courant de sortie par le

courant d’entré IG :

𝐴𝐼𝐺 =𝐼𝑆

𝐼𝐺=

𝐼2

𝐼𝐺

𝐴𝐼𝐺 =𝐼2

𝐼𝐺=

𝐼2

𝐼1

𝐼1

𝐼𝐺 : nous avons

𝑉2

𝑉1= 𝐴𝐼 𝐼1 = 𝐼𝐺

𝑍𝐺

𝑍𝐸+𝑍𝐺 Diviseur de courant

𝐼1

𝐼𝐺=

𝑍𝐺

𝑍𝐸+𝑍𝐺

Donc 𝐴𝐼𝐺 =𝐼2

𝐼𝐺=

𝐼2

𝐼1

𝐼1

𝐼𝐺= 𝐴𝐼

𝑍𝐺

𝑍𝐸+𝑍𝐺

Ce gain n’a de sens que si la charge est présente : 𝐼2 ≠ 0

IG