Équipe Analyse AppliquéeRapport d’activité pour les années 2006 à 2010, et projet pour le prochain plan quadriennal

Responsable de janvier à septembre 2006 : Olivier GuèsResponsable depuis octobre 2006 : François Hamel

I. Rapport scientifique

Évolution de l’équipe et perspectives

Au cours de la période 2006-2010, deux professeurs ont été recrutés (F. Boyer, après avoir été chargé de rechercheCNRS dans l’équipe, et A. Benabdallah, après être arrivée comme mâıtre de conférences suite à un échange de postesen 2003), ainsi que six mâıtres de conférences (P. Bousquet, G. Chapuisat, M. Hauray, C. Negulescu, Y. Sire et, trèsvraisemblablement, P. Sicbaldi en 2010). Deux professeurs (R. Boyer et Y. Dermenjian) sont devenus professeursémérites et un mâıtre de conférences (J. Le Rousseau) a obtenu un poste de professeur à l’université d’Orléans. Enfin,un mâıtre de conférences (E. Ernst) a obtenu son rattachement à l’équipe.

L’activité scientifique est très riche, comme en témoignent le nombre et la qualité des publications, des collaborationsinternes et extérieures, le rayonnement national et international, les liens avec l’industrie, qui comprennent notammentla direction de thèses avec plusieurs entreprises de la région, et le succès du séminaire hebdomadaire, des nombreuxgroupes de travail ou des journées thématiques régulières. De nombreux membres de l’équipe participent ainsi à desprojets de recherche avec des institutions publiques ou privées en France, ainsi qu’à des programmes bilatéraux avecdes universités étrangères.

Pour les prochaines années, la politique de l’équipe est de poursuivre les recrutements d’excellente qualité scientifique,en maintenant un équilibre entre les aspects théoriques de l’analyse des équations aux dérivées partielles, les aspectsplus numériques et les nouvelles applications. L’équipe, qui est la seule représentant l’analyse appliquée dans la régionde Marseille, doit en effet garder son spectre très large. En 2010, Pieralberto Sicbaldi devrait être recruté commemâıtre de conférences sur un profil “analyse” (sections 25-26 du CNU). Des profils “modélisation mathématiqueen liaison avec le projet ITER” (PR), “analyse numérique ou analyse des EDP” (MC) et “analyse et géométrie”(MC) sont également demandés pour les années suivantes. En tenant compte de la dynamique forte et reconnue del’équipe et du départ possible de plusieurs collègues suite à des promotions ou mutations, d’autres profils pourraientnaturellement être proposés, par exemple en divisant la demande “analyse numérique ou analyse des EDP” en deuxdemandes. Par ailleurs, l’équipe souhaiterait fortement accueillir des chargés de recherche CNRS.

1. Composition de l’équipe

L’équipe actuelle comprend : 1 Directeur de Recherche CNRS, 12 Professeurs (8 à Aix-Marseille I, 3 à Aix-Marseille III, 1 à l’Ecole Centrale Marseille) et 18 Mâıtres de Conférences (9 à Aix-Marseille I, 1 à Aix-Marseille II, 7à Aix-Marseille III, 1 à Toulon). En outre, l’équipe compte également 24 ATER, doctorants et chercheurs rattachés.Au total cela fait 55 membres, dont 31 permanents.

• Chercheur CNRSNicoläı Nadirashvili (DR, CNRS)

• Enseignants-ChercheursMarie-Thérèse Aimar (MC, Aix-Marseille I)Philippe Angot (PR, Aix-Marseille I)Assia Benabdallah (PR, Aix-Marseille I)Pierre Bousquet (MC, Aix-Marseille I)Franck Boyer (PR, Aix-Marseille III)Robert Boyer (PR émérite, Aix-Marseille I)Guillemette Chapuisat (MC, Aix-Marseille III)Catherine Choquet (MC, Aix-Marseille III)Michel Cristofol (MC, Aix-Marseille III)Yves Dermenjian (PR émérite, Aix-Marseille I)Emil Ernst (MC, Aix-Marseille III)Patricia Gaitan (MC, Aix-Marseille II)

Thierry Gallouët (PR, Aix-Marseille I)Olivier Guès (PR, Aix-Marseille I)François Hamel (PR, Aix-Marseille III)Maxime Hauray (MC, Aix-Marseille I)Marie Henry (MC, Aix-Marseille I)Raphaèle Herbin (PR, Aix-Marseille I)Florence Hubert (MC, Aix-Marseille I)Jacques Liandrat (PR, École Centrale Marseille)Sylvie Monniaux (MC, Aix-Marseille III)Claudia Negulescu (MC, Aix-Marseille I)Anne Nouri (PR, Aix-Marseille I)Olivier Poisson (MC, Aix-Marseille I)Hary Rambello (MC, Aix-Marseille I)Emmanuel Russ (MC, Aix-Marseille III)Kacem Saikouk (MC, Aix-Marseille I)Ali Sili (MC, Univ. du Sud Toulon - Var)Yannick Sire (MC, Aix-Marseille III)Philippe Tchamitchian (PR, Aix-Marseille III)

• ATER et Doctorants (actuellement)Sébastien Benzekry (doctorant, allocataire normalien, dir. : D. Barbolosi, A. Benabdallah et F. Hubert)Frédérique Billy (ATER, Aix-Marseille III)Fanny Dardalhon (doctorante, bourse IRSN-région PACA, dir. : F. Boyer)Adrien Etcheverlego (doctorant, TREFLE Bordeaux, dir. : Ph. Angot, J.-P. Caltagirone et S. Vincent)Amal Fettah (doctorante, bourse d’excellence franco-algérienne, dir. : T. Gallouët)Damien Fournier (doctorant, boursier CEA, dir. : R. Herbin et R. Le Tellier)Jimmy Garnier (doctorant, élève de l’ENS Cachan, dir. : F. Hamel et L. Roques)Thomas Giletti (doctorant, allocataire normalien, dir. : F. Hamel)Walid Kheridji (doctorant, boursier IRSN, dir. : R. Herbin et J.-C. Latché)Stella Krell (doctorante, allocataire, dir. : F. Boyer et F. Hubert)Aurélien Larcher (doctorant, IRSN Cadarache, dir. : Ph. Angot et J.-C. Latché)Hassan Mcheik (ATER, Aix-Marseille III)Sebastian Minjeaud (doctorant, bourse IRSN, dir. : F. Boyer)Trung Tan Nguyen (doctorant, boursier IRSN/EDF, dir. : R. Herbin, J.-M. Hérard et J.-C. Latché)Brahim Ouldahmedou (doctorant, boursier mauritanien, dir. : A. Sili)Sylvie Pegaz-Fiornet (doctorante, ingénieure IFP, dir. : T. Gallouët)Guillaume Royat (ATER, Aix-Marseille I)Xavier Tunc (doctorant, bourse CIFRE, dir. : T. Gallouët)Maamoun Turkawi (doctorant, dir. : Ph. Tchamitchian et E. Russ)Federico Verga (doctorant, bourse INCA, dir. : D. Barbolosi, A. Benabdallah et F. Hubert)Ping Yin (doctorante, bourse gouvernement chinois, dir. : J. LIandrat)

• Enseignants rattachés à l’équipeRené Cautrès (M.E.N.)Karine Dadourian (M.E.N.)Hichem Ramoul (ancien doctorant ayant soutenu sa thèse en novembre 2009)

• Chercheurs invités (période 2006-2010)Matania Ben-Artzi (Université de Jérusalem, Israël), 2 mois en 2006Messoud Efendiev (Technische Universität, Münich, Allemagne), 1 mois en 2008Antonio Gaudiello (Université de Cassino, Italie), 1 mois en 2006Manuel Gonzalez-Burgos (Université de Séville, Espagne), 3 mois en 2008-2009Steve Hofmann (University of Missouri, États-Unis), 1 mois en 2006-2007Hiroshi Isozaki (Université de Tsukuba, Japon), 1 mois en 2007Dorina Mitrea (Université du Missouri-Columbia), 1 mois en 2009

Marius Mitrea (Université du Missouri-Columbia), 1 mois en 2009Leonid Pankratov (Institut des Basses Températures de l’Académie des Sciences de l’Ukraine),1mois en 2008Hichem Ramoul (Université d’Annaba, Algérie), 1 mois en 2006Lenya Ryzhik (University of Chicago, États-Unis), 1 mois en 2007Lucero de Teresa (Université de Mexico, Mexique), 3 mois en 2009Masahiro Yamamoto (Université de Tokyo, Japon), 1 mois en 2007Amar Youkana (Université de Batna, Algérie), 1 mois en 2008

2. Mouvements : arrivées et départs depuis 2006

• Arrivées

– Assia Benabdallah, PR, recrutement Aix-Marseille I en 2007, arrivée de Besançon comme MC dansl’équipe en 2003 suite à un échange de postes.

– Pierre Bousquet, MC, recrutement Aix-Marseille I en 2008.

– Franck Boyer, PR, recrutement Aix-Marseille III en 2007, après avoir été CR CNRS dans l’équipe.

– Guillemette Chapuisat, MC, recrutement Aix-Marseille III en 2008.

– Emil Ernst, MC, Aix-Marseille III, rattachement en provenance d’un autre laboratoire en 2007.

– Maxime Hauray, MC, recrutement Aix-Marseille I en 2009.

– Claudia Negulescu, MC, recrutement Aix-Marseille I en 2006.

– (sous rśerve de confirmation officielle) Pieralberto Sicbaldi, MC, recrutement Aix-Marseille III en 2010.

– Yannick Sire, MC, recrutement Aix-Marseille III en 2006.

• Départs

– Jérôme Le Rousseau (MC, recruté PR à l’Université d’Orléans en 2008).

3. Thèmes de recherche et projets

Les activités de l’équipe d’analyse appliquée peuvent se répartir en quatre grands thèmes, qui ont naturellementde fortes connexions entre eux : l’analyse, les EDP et le contrôle, l’analyse numérique, et la modélisation en lienavec d’autres disciplines. Traditionnellement, les activités de l’équipe étaient centrées sur l’analyse des EDP, desaspects théoriques au calcul scientifique. Récemment, de nouvelles directions en plein essor ont émergé, notammentla modélisation mathématique en médecine et biologie, et les développements liés au projet ITER.

3.1. Analyse réelle, analyse fonctionnelle, analyse harmonique, analyse sur les variétés, calcul desvariations

Les activités reliées à cette thématique se sont beaucoup élargies au cours des dernières années, notamment grâce àdes recrutements récents de grande qualité. Les liens vers la géométrie et l’équipe “Mathématiques fondamentales”du LATP se sont également renforcés.

Espaces fonctionnelsEspaces de Sobolev entre variétés. En collaboration avec A. Ponce et J.V. Schaftingen (Université Catholique deLouvain), P. Bousquet a établi la densité (pour la topologie forte) des fonctions lisses dans les espaces de Soboleventre variétés W s,p(M,N) lorsque s est un entier supérieur à 2 (ce qui généralise un théorème de Bethuel pour lecas s = 1). Pour toutes les valeurs rélles positives de s, mais seulement pour une certaine classe de variétés N, ilsont déterminé les composantes connexes de ces espaces, et établi un théorème de prolongement lorsque les fonctionssont définies a priori seulement sur le bord de la variété M . Ils souhaitent généraliser ces trois types de résultatsà toutes les valeurs de s et toutes les variétés N. Les méthodes utilisées devraient permettre également d’étudier larégularité des solutions de certaines EDP ou problèmes variationnels faisant intervenir des dérivées d’ordre supérieur

à 2 et pour des fonctions contraintes à prendre leurs valeurs dans une variété. En collaboration avec P. Mironescu(Université Lyon I), P. Bousquet a déterminé l’image du Jacobien généralisé défini sur W s,p(M,N) lorsque N estune sphère et pour certaines valeurs de s et p.Espaces de Hardy. E. Russ, en collaboration avec L. Baratchart (INRIA Sophia Antipolis), J. Leblond (INRIA SophiaAntipolis) et S. Rigat (Université de Provence), a développé une théorie des espaces de Hardy pour l’équation deBeltrami conjuguée dans des domaines à frontière régulière au sens de Dini dans C. On résout en particulier leproblème de Dirichlet pour cette équation et dans cet espace, et on étend ainsi en dimension 2 certains résultatsde Fabes, Jodeit et Rivère au cas de l’équation div(σ∇u) = 0. Nous souhaitons maintenant étendre ces résultatsen dimension supérieure et envisager différents type de problèmes extrémaux bornés liés à l’équation de Beltramiconjuguée, en vue d’applications à des problèmes inverses.

Analyse sur des graphesE. Russ, en collaboration avec N. Badr (Université Lyon I), a obtenu des résultats de comparaison entre les normes Lp

de∇f et ∆1/2f sur un graphe vérifiant des hypothèses géométriques convenables. Ces résultats sont la version discrètede la théorie analogue dans des variétés riemanniennes. N. Badr et E. Russ souhaitent appliquer leurs résultats surles opérateurs elliptiques sur des graphes pour obtenir des estimations hölderiennes pour les solutions approchéesd’équations elliptiques d’ordre 2 dans des domaines bornés de Rn par des méthodes de Galerkin.

Inégalités de PoincaréE. Russ et Y. Sire, en collaboration avec C. Mouhot (Université Paris Dauphine), ont prouvé une inégalité dePoincaré L2 non locale dans Rn muni d’une mesure assez générale. C. Mouhot, E. Russ et Y. Sire souhaitentappliquer leur inégalité de Poincaré non locale à des problèmes d’équations cinétiques.

Opérateur divergenceE. Russ et Ph. Tchamitchian ont donné une condition nécessaire et suffisante pour pouvoir, sur un domaine bornéarbitraire de Rn, inverser l’opérateur divergence dans des espaces Lp et des espaces de Sobolev à poids, et établi lelien entre ce résultat et des inégalités de Poincaré à poids. Ces résultats englobent les résultats précédemment connuslorsque le domaine est lipschitzien, ou plus généralement est de John.En collaboration avec D. Mitrea et M. Mitrea, S. Monniaux a étudié le problème

d u = f dans Ω, u|∂Ω = g sur ∂Ω

où Ω est un domaine lipschitzien d’une variété M , d est l’opérateur de dérivation extérieure, f et g sont des formesdifférentielles données sur Ω et ∂Ω. Ils ont trouvé un cadre fonctionnel dans lequel ce problème a une solution u dontla régularité est compatible avec celle de f et de g, avec des estimations naturelles. Ils ont étudié ce problème dansl’échelle des espaces de Besov et ceux de Triebel-Lizorkin, ce qui couvre les espaces de Sobolev. Dans un travail encours, ces trois collaborateurs étudient le problème plus général d’extension de formes différentielles au-delà d’uneinterface lipschitzienne.

Analyse dans des ouverts peu réguliersEn collaboration avec D. Mitrea, I. Mitrea et M. Mitrea, S. Monniaux étudie des problèmes elliptiques dans desouverts peu réguliers. Ce projet en cours a l’ambition de montrer l’existence d’une solution à un problème du type

∆u = f ∈ Bp,ps+ 1p−2

(Ω),

u ∈ Bp,ps+ 1p

(Ω),

TrΩ→∂Ω(u) = g ∈ Bp,ps (∂Ω),(1)

(où Bp,qα désigne l’échelle des espaces de Besov à la fois sur Ω ⊂ Rn et sur ∂Ω) lorsque Ω possède sous de “bonnespropriétés” géométriques. Une première partie de ce travail a permis de déterminer les ouverts Ω pour lesquelsles espaces de Besov (ou de Triebel-Lizorkin) ont des propriétés d’extension à Rn et de trace sur ∂Ω. Les quatrecollaborateurs font aussi le lien entre ces espaces et les espaces de Sobolev à poids. Ensuite, ils étudient les opérateurs“intégrale singulière” dans un cadre géométrique minimal. Leur résultat principal est que le problème (1) est bienposé si la normale extérieure à Ω est “proche” de VMO(∂Ω), cette proximité dépendant en particulier du p ∈]1,∞[et du s ∈](n− 1)( 1p − 1)+, 1[ visés. Ce travail en cours comporte déjà près de 500 pages tapuscrites.

Calcul des variationsP. Bousquet a établi la continuité des solutions d’un problème général de calcul des variations avec condition aubord de type Dirichlet, sans hypothèses de croissance sur les intégrandes (supposées seulement superlinéaires), enintroduisant de nouveaux types de barrières. Il souhaite considérer les questions d’existence et de régularié pour lesproblèmes variationnels à croissance linéaire.

Inégalités de réarrangement et optimisation de formes pour des problèmes spectraux et non linéairesF. Hamel, N. Nadirashvili et E. Russ ont obtenu des inégalités de type Faber-Krahn pour la première valeur propred’opérateurs elliptiques d’ordre 2 (non symétriques en général) avec un terme d’ordre 2 sous forme divergence, surdes domaines bornés de classe C2 de Rn avec condition de Dirichlet et sous différentes contraintes géométriques,intégrales ou ponctuelles sur les paramètres. Ils ont introduit pour cela une nouvelle méthode de symétrisation,différente de celle de Schwarz utilisée pour les opérateurs symétriques. Les résultats obtenus sont d’ailleurs nouveauxmême pour le cas auto-adjoint et même en dimension 1. L’optimisation dans une boule avec ces mêmes contraintesest un des problèmes ouverts naturels, pour lequel les données optimales ne semblent pas monotones dans la directionradiale. Une autre direction prometteuse à explorer sera d’utiliser la nouvelle méthode de réarrangement pour obtenirdes résultats de comparaison “à la Talenti” pour des problèmes elliptiques avec dépendance non linéaire G(x, u,∇u)assez générale sur les termes d’ordre 1 et 0. Ces travaux se font notamment dans le cadre du projet PREFERED del’ANR.

Théorie KAM, réseaux et EDP HamiltoniennesDans un travail en collaboration avec R. de la Llave (University of Texas at Austin, USA) et E. Fontich (Universitatde Barcelona), Y. Sire a développé une théorie systématique d’existence de tores hyperboliques pour des systèmesd’applications couplées sur les réseaux discrets et les systèmes d’EDP hamiltoniennes. Ceci ouvre la voie à denombreuses recherches en cours sur les problèmes de diffusion d’Arnold dans les systèmes dynamiques de dimensioninfinie.

3.2. Équations aux dérivées partielles, contrôle, problèmes inverses

Dans cette thématique très large les recherches de l’équipe poursuivent leur développement, confirmant la réussitede certaines thématiques bien implantées dans l’équipe d’anayse appliquée. De nombreux résultats nouveaux sontobtenus et de nouveaux projets de recherche apparaissent, liés le plus souvent à des problèmes de modélisation.

Équations différentielles ordinairesM. Hauray en collaboration avec C. Le Bris (ENPC) a utilisé une méthode directe (n’utilisant pas l’équation detransport associée) pour prouver l’unicité du flot associé à un champ de vecteurs BV à divergence bornée.

Systèmes hyperboliques : ondes de chocs, interfaces, propagation d’ondes...Ondes de chocs en multi-D. O. Guès, G. Métivier, M. Williams et K. Zumbrun ont prouvé l’existence et la stabilitéd’ondes de chocs généralisées pour des systèmes hyperboliques quasilinéaires multi-D non conservatifs et leur approchepar viscosité évanescence. Ils ont étudié des couches limites non caractéristiques pour les équations de Navier-Stokesà “grand nombre de Reynolds”.Propagation d’ondes internes pour des systèmes hyperboliques semi-linéaires et analyse asymptotique. O. Guès etJ. Rauch ont utilisé une approche par viscosité évanescente de systèmes hyperboliques linéaires à coefficients discon-tinus. O. Guès et B. Fornet ont montré l’existence et la stabilité des solutions généralisées et étudié l’approximationde problèmes aux limites hyperboliques par pénalisation du problème de Cauchy. Un projet développé par Ph. Angotet O. Guès est d’analyser des méthodes de pénalisation pour les systèmes hyperboliques. O. Guès, J.-F. Coulombel,M. Williams étudient la réflexion d’ondes pour des systèmes hyperboliques contre un bord non caractéristique, lorsquela condition aux limites viole la condition de Kreiss-Lopatinsky uniforme tout en conservant un caractère faiblementbien posé, avec des estimations à pertes.

Équations cinétiquesUne équation de Vlasov dont le terme force est égal au gradient de la densité des ions joue un rôle important enphysique des plasmas, en particulier pour le tokamak. L’existence et l’unicité de solutions stationnaires de cetteéquation a été démontrée par M. Hauray et A. Nouri, en collaboration avec P. Ghendrih du CEA Cadarache. Ils

ont aussi prouvé l’existence globale en temps, l’unicité et la stabilité locales en temps de solutions invariantes partranslation dans la direction du champ magnétique, de l’équation de Vlasov gyrocinétique couplée à l’équationde quasi-neutralité. L’existence et la stabilité non linéaire de solutions cinétiques stationnaires du problème deRayleigh-Bénard pour de petits libres parcours moyens ont été établies par A. Nouri en collaboration avec L. Arkeryd(Chalmers, Suède), R. Esposito (L’Aquila) et R. Marra (Rome).

Limites de systèmes de particulesM. Hauray a démontré la convergence de systèmes de type vortex 2D vers des équations de type Euler 2D. Laconvergence est mesurée en terme de distance de Wasserstein infinie, et est valable pour des noyaux singuliersjusqu’au noyau de Biot-Savard non inclus. M. Hauray, en collaboration avec J. Barr et P.-E. Jabin (Universitéde Nice), a démontré un résultat de stabilité de systèmes de N particules en interaction via un potentiel répulsifsingulier – jusqu’au potentiel Coulombien non inclus – autour d’une solution d’équilibre de l’équation de Vlasovlimite.

Phénomènes de propagation pour des EDP d’évolution de type réaction-diffusionEquations et systèmes paraboliques non linéaires. Les phénomènes de propagation d’ondes sont l’un des aspects lesplus importants des modèles de réaction-diffusion et sont essentiels à la compréhension de nombreuses applicationsen écologie, dynamique de populations ou combustion (voir également la section 3.4). F. Hamel, M. Henry, N. Nadi-rashvili et T. Giletti, avec H. Berestycki (EHESS), M. El Smaily (UBC Vancouver), J.-S. Guo (National TaiwanNormal University), G. Nadin (CNRS Paris 6), J.-M. Roquejoffre (Toulouse 3), L. Roques (INRA Avignon) ouL. Ryzhik (Stanford), ont étudié l’existence et les propriétés qualitatives, ainsi que certaines limites singulières, dansles cas homogènes ou périodiques. Par ailleurs, l’existence de fronts progressifs courbes dirigés par la non-linéaritépour des équations de réaction-diffusion sur Rn a été étudiée par G. Chapuisat en collaboration avec H. Berestycki.Cependant, les problèmes réels n’ont que rarement une structure homogène, périodique ou récurrente. H. Berestyckiet F. Hamel ont ainsi récemment introduit, pour des équations d’évolution générales, de nouvelles notions d’ondes detransition, c’est-à-dire des solutions permanentes qui convergent vers un nombre fini d’états limites loin de certaineshypersurfaces mobiles, relativement à la distance géodésique. Ces nouvelles notions unifient toutes celles connuesdans les situations classiques. Des résultats d’existence et de stabilité locale de telles ondes ont été obtenus récemmentdans des cas particuliers en dimension 1 ou dans des géométries particulières comme celle d’un domaine extérieur,par H. Berestycki, F. Hamel et H. Matano (Tokyo). Les nouvelles notions constituent le cadre mathématique naturelpour l’étude de la dynamique spatio-temporelle dans des milieux hétérogènes complexes, ainsi qu’une ouverture versdes modèles réalistes plus généraux en biologie et en écologie. Pour cela, une nouvelle méthode constructive généraled’existence sera recherchée, ouvrant la voie vers la résolution de nouvelles questions de propagation dans des milieuxsoumis à des fluctuations aléatoires. Une autre question essentielle est celle de la persistance et de l’expansion dessolutions des problèmes de Cauchy. H. Berestycki, F. Hamel et N. Nadirashvili ont récemment introduit plusieursdéfinitions générales de vitesses minimales et maximales d’expansion. Des exemples de propagation à vitesses in-finies ou multiples ont été mis en évidence par F. Hamel, G. Nadin, L. Roques et Y. Sire. Cependant, un problèmelargement ouvert consiste à trouver des conditions générales sur les données initiales et l’environnement sous-jacentpour que les vitesses asymptotiques minimales et maximales soient égales, ou de caractériser complètement le com-portement complexe des solutions pour les vitesses intermédiaires. Ces travaux se font notamment dans le cadre desprojets ColonSGS et PREFERED de l’ANR.Problèmes de frontière libre. D’autre part, l’évolution de formes complexes peut être modélisée par des problèmesà frontière libre, où l’équation du bord de cette forme relie vitesse et courbure. Les simulations numériques con-duisent souvent à introduire un paramètre représentant l’epaisseur du bord. M. Henry, D. Hilhorst (CNRS Orsay)et M. Mimura (Meiji University) ont montré la convergence du modèle approché vers le problème à frontière libredécrivant un disque de camphre dans de l’eau.

Propriétés qualitatives pour des EDP elliptiques ou paraboliques semi-linéairesEquations elliptiques. Y. Dermenjian, C. Bourrely (Faculté des Sciences de Luminy), F. Bentosela et E. Soccorsi duCPT ont mis en évidence des états de surface dans un milieu stratifié 3D perturbé, périodique dans deux directionspour −∆ + V . Ils viennent de terminer l’étude lorsque la perturbation est petite. Ils ont montré que la “courbe” dedispersion donnant ces états est effectivement une courbe régulière et pas uniquement un sous-ensemble algébrique.Equations paraboliques et attracteurs globaux. Les théorèmes de classification permettent de caractériser l’ensembledes solutions et de réduire les problèmes à des sous-problèmes plus simples (problèmes symétriques par exemple). Des

résultats de type Liouville ont été obtenus pour des équations complètement hétérogènes par H. Berestycki (EHESS),F. Hamel et L. Rossi (Padoue). La limite singulière entre la persistence et l’extinction dans des écoulements forts a étéétudiée par F. Hamel et N. Nadirashvili. Cependant, de nombreuses questions, sur lesquelles travaillent notammentF. Hamel, N. Nadirashvili et Y. Sire, restent encore ouvertes ou seulement partiellement comprises, comme celles ayanttrait à la classification des formes d’interfaces diffuses dans Rn pour différents types de réaction, à la classificationdes solutions permanentes et de l’attracteur global d’équations paraboliques semi-linéaires, en lien notamment avecles ondes de transition généralisées, ou encore aux propriétés qualitatives de convexité des ensembles de niveau desolutions de certaines EDP elliptiques ou paraboliques semi-linéaires.

p(·)-laplacien à évolution non standard dans des domaines à structure singulièreC. Choquet, en collaboration avec L. Pankratov (Institute for Low Temperature Physics, Kharkov, Ukraine), développedes outils d’analyse dédiés à ce type de problème. Les fortes singularités locales interdisent en particulier l’utilisationde la plupart des outils classiques de contrôle asymptotique des edp. La prochaine étape du travail consistera àmodifier les outils pour traiter des modèles paraboliques (p(t, x)).

Analyse asymptotique ; perturbations singulières et milieux compositesDans le cas d’équations paraboliques modélisant la conduction dans un milieu fortement hétérogène auxquelles estassocié un opérateur qui dégénère avec ε, on s’est intéressé à l’effet de données initiales fortement oscillantes surle comportement de la solution lorsque le petit paramètre ε caractérisant le milieu tend vers zéro. Contrairementaux résultats connus dans le cas d’opérateurs uniformément elliptiques (par rapport à ε) pour lesquels la couchelimite est concentrée autour de l’instant initial, M. Sfaxi et A. Sili ont démontré l’existence d’une couche limiteen temps qui perdure pour tout temps t et ont donné également un résultat de correcteur pour la solution uε duproblème de départ. Le problème des vibrations d’une multi-structure mince donnant lieu à l’étude du comportementasymptotique de la solution d’un problème de valeurs propres à coefficients uniformément elliptiques par rapport àε a été étudié par Antonio Gaudiello (Université de Cassino) et A. Sili, d’abord dans le cas d’un matériau isotrope,puis récemment généralisé au cas d’un matériau anisotrope. Le cas des vibrations d’une multi-structure à coefficientsfortement contrastés qui donne lieu à des coefficients dégénérant avec ε est en cours d’ étude par H. Le Dret (UniversitéPierre et Marie Curie) et A. Sili. Ce travail est un prélude à l’homogénéisation dans un tel cadre, l’objectif étantde généraliser les résultats de V. Zhikov aussi bien dans le cas scalaire que dans le cas vectoriel. Pour le problèmede l’homogénéisation des déformations d’un corps élastique fortement hétérogène, A. Sili a récemment obtenu unrésultat généralisant au cas anisotrope et hétérogène les résultats obtenus par M. Bellieud et G. Bouchitté dans lecas isotrope et homogène et pour une géométrie identique. La technique utilisée s’appuie sur une inégalité de Kornpartielle (le second membre ne contient pas la composante e33(u) du tenseur des déformations). Cette inégalité a étédémontrée par R. Monneau, F. Murat et A. Sili et a été utilisée par les mêmes auteurs pour donner une estimationd’erreur dans un problème de réduction de dimension en élasticité linéarisée. En plus du problème des vibrationscité plus haut, nous projetons d’étudier le comportement asymptotique dans le cadre de fonctionnelles non convexeset d’examiner le problème de la contrôlabilité exacte dans le cadre d’opérateurs dégénérés.

Problèmes inverses et contrôleInégalités de Carleman pour des équations paraboliques à coefficients discontinus. A. Benabdallah, Y. Dermenjianet J. Le Rousseau ont démontré une inégalité de Carleman en dimension un d’espace sans hypothèse de monotoniesur les coefficients de diffusion. J. Le Rousseau l’a généralisée dans le cas de coefficients à variation bornée, puis,avec L. Robbiano (université de Versailles), dans le cas d’une dimension quelconque mais sous la condition quel’interface ne touche pas le bord. Dans un travail récent, A. Benabdallah, Y. Dermenjian et J. Le Rousseau ontmontré, exemple à l’appui et pour toute dimension d’espace, qu’une interface de discontinuité pour les coefficients dediffusion d’une équation parabolique n’interdisait pas l’obtention d’une ingalité de Carleman lorsque cette interfacetouchait transversalement la frontière du domaine, ceci sans condition de monotonie.Contrôlabilité de systèmes. La contrôlabilité de systèmes différentiels linéaires est bien connue. On dispose enparticulier d’une condition nécessaire et suffisante, critère de Kalman. L’objectif de F. Ammar Khodja (Besançon),A. Benabdallah, M. Gonzalez-Burgos (Séville), L. de Teresa (Mexico) est d’étendre ce critère aux cas de systèmesparaboliques. Un premier résultat de condition nécessaire et suffisante a déjà été obtenu dans le cas d’un contrôledistribué. Il vient d’être étendu au cas d’un contrôle frontière. Un livre est en cours de rédaction. L’objectif futurest d’étendre ces résultats à une classe de systèmes plus large.

Systèmes paraboliques. Les inégalités de Carleman pour les opérateurs paraboliques et elliptiques donnent des résultatsdans les domaines suivants : quantification du prolongement unique, contrôle des équations paraboliques linéaires etsemi-linéaires, problèmes inverses d’identification de coefficients, avec dans ce dernier cas des résultats de stabilité.A. Benabdallah, M. Cristofol, P. Gaitan et H. Ramoul ont obtenu des résultats (dont certains sont en collaborationavec M. Yamamoto de l’université de Tokyo) d’identification de coefficients de systèmes paraboliques couplés parl’observation d’une seule des composantes de ces systèmes. L’intérêt de ce résultat vient du fait que l’on n’observequ’une partie de la solution du système. Ce résultat a ensuite été généralisé, avec L. de Teresa de l’université deMexico, pour des systèmes de trois équations de réaction-diffusion couplées et pour des systèmes de deux équationsde réaction-diffusion-convection couplées. Afin d’obtenir des résultats de stabilité et d’unicité pour des coefficients,des outils de la théorie du contrôle (inégalités de type Carleman et estimations d’énergie) ont été utilisés. Pourl’équation ∂ty − ∇ · (c∇y) = 0, un résultat de stabilité sur l’identification du coefficient de diffusion c, supposérégulier par morceaux et sous des hypothèses de monotonie du coefficient, a été obtenu (A. Benabdallah, M. Cristofol,P. Gaitan, O. Poisson). Dans un travail en collaboration avec H. Isozaki (Université de Tsukuba, Japon), P. Gaitanet O. Poisson s’intéressent à la reconstruction d’une interface dans un problème de transmission de la chaleur. Desrésultats théoriques ont déjà été obtenus. En ce qui concerne les résultats numériques, des travaux en cours encollaboration avec S. Siltanen (Université d’Helsinki, Finlande) vont nous permettre de finaliser ce projet.Problèmes inverses pour des équations de type Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov. Pour des équations de type Kolmogo-rov-Petrovsky-Piskunov : ut = D∇2u + u(µ(x) − γu), un résultat de stabilité Lipschitz pour les coefficients µ(x)et γ à partir de mesures localisées en temps et en espace et de mesures sur tout l’ouvert à T fixé a été obtenu,ainsi qu’un résultat d’unicité en minimisant le nombre de mesures (i.e. en évitant la mesure précedente sur toutl’espace), par M. Cristofol et L. Roques (INRA Avignon). Ce résultat d’unicité a été généralisé par M. Cristofol,F. Hamel et L. Roques à un opérateur parabolique avec une non-linéarité de type polynomial de degré n quelconque :∂u∂t −D

∂2u∂x2 =

∑Nk=1 µk(x)u

k + g(x, u), avec la reconstruction des n coefficients à partir de mesures localisées de lasolution du système en un point et sur un intervalle de temps. L’optimalité des conditions sur les mesures a égalementété prouvée.Problèmes inverses pour Schrödinger. M. Cristofol a étudié la question de la reconstruction du potentiel magnétiquea dans l’opérateur de Schrödinger magnétique en dimension n : −i∂u∂t (t, x) + (i∇ + a(t, x))

2u(t, x) = 0 à partir del’observation localisée en temps et sur une partie du bord de la solution pour des valeurs différentes de la conditioninitiale. En milieu non borné, concernant l’opérateur de Schrödinger H := i∂t + c∆ +V dans une couche non bornéede R2, P. Gaitan a donné un résultat de stabilité en norme L2 pour le coefficient c et pour le potentiel V avec une seuleobservation sur une partie non bornée du bord. Très récemment, en collaboration avec L. Cardoulis (Toulouse), nousavons obtenu, pour l’opérateur i∂t + c∆ + V , un résultat de stabilité pour l’identification simultanée du coefficientde diffusion c et du potentiel V et ce avec une seule observation sur une partie du bord.

Problèmes de transmission avec conditions de sauts à l’interfacePh. Angot a montré le caractère bien posé de modèles de mécanique avec une classe de conditions de sauts (vitesse,déplacement, contrainte) immergées et sous des hypothèses de régularité minimales. On montre notamment que leproblème de Stokes/Darcy avec la condition d’interface originelle de Beavers et Joseph (1967) est bien posé.

Problèmes non locaux et EDPDe nouvelles perspectives se sont développées récemment en ce qui concerne l’étude de problèmes non locaux dansla théorie des équations aux dérivées partielles. Impulsé par des résultats récents de localisation dus à Caffarelli etSilvestre, un programme d’étude systématique d’équations elliptiques et paraboliques faisant intervenir le laplacienfractionnaire s’est constitué. Dans un travail en collaboration avec E. Valdinoci (Universita di Roma Tor Vergata),Y. Sire a prouvé l’équivalent en dimension 2 de propriétés de symétrie de solutions stables d’équations elliptiquesnon locales. Dans un travail en collaboration avec A. Cappella (UNAM, Mexico), J. Davila (Univeersita da Santiago,Chili) et L. Dupaigne (Université d’Amiens), Y. Sire a montré que les solutions extrémales radiales d’équations nonlocales sont régulières. Dans un travail en collaboration avec L. Caffarelli (University of Texas at Austin, USA) etJ.M. Roquejoffre (Université Paul Sabatier, Toulouse), Y. Sire a étudié un problème à frontière libre variationnelfaisant intervenir un laplacien fractionnaire. Dans un travail en collaboration avec X. Cabré (UPC, Barcelone), Y. Sirea étudié l’existence et les propriétés qualitatives de solutions connectant des états stationnaires dans des équationselliptiques non locales assez générales. Dans un travail en collaboration avec M. Gonzalez (UPC, Barcelone) et R.Mazzeo (Stanford University), Y. Sire a construit des solutions au problème de Yamabe fractionnaire, ouvrant la voie àune étude plus systématique d’équations géométriques fractionnaires. En ce qui concerne les problèmes paraboliques,

Y. Sire, dans un travail avec A. Mellet (University of Maryland) et J.-M. Roquejoffre a prouvé l’existence d’ondessolitaires 1D pour un modèle de combustion dans les milieux homogènes avec diffusion non locale anormale.

3.3. Analyse numérique

Contrôlabilité de problèmes paraboliques discrétisésRésultats de contrôlabilité à zéro (ou aux trajectoires), uniformes par rapport aux paramètres de discrétisation,pour des problèmes paraboliques semi-discrets (en espace) mais aussi complètement discrétisés en temps et espace.Estimations d’erreur en temps pour le calcul du contrôle sur ces problèmes. L’outil à la base de ces résultats est lapreuve d’inégalités de Carleman discrètes d’abord obtenues en 1D pour en multi-D sur des opérateurs elliptiques eten cours de développement pour les opérateurs paraboliques, ce qui ouvre la porte à des résultats sur les problèmesnon-linéaires.Travail plus qualitatif sur des méthodes d’estimations numériques de la constante d’observabilité pour les problèmesconsidérés (F. Boyer, F. Hubert et J. Le Rousseau). L’extension de certains résultats théoriques et numériquesobtenus ci-dessus pour le cas des systèmes paraboliques est en projet dans le cadre d’une thèse à venir (G. Olive,direction : A. Benabdallah et F. Boyer)

Frontières immergées et domaines fictifsDéveloppement et analyse de méthodes de domaines fictifs pour des conditions aux limites générales. Méthodes dedomaines fictifs pour des conditions aux limites immergées générales (avec interface diffuse ou fine) ; formulationunifiée avec conditions de sauts immergés sur une interface ; méthodes de pénalisation sous-maille (SMP) et d’interfaceimmergée algébrique à l’ordre 2 (Ph. Angot).Développement et analyse de schémas numériques couplant approximation en ondelettes et méthodes de domainesfictifs pour l’approximation de solutions d’EDP sur des domaines complexes (J. Baccou et J. Liandrat).

Schémas de subdivision nonlinéairesEn collaboration avec S. Amat (Univ. de Cartagena, Espagne), K. Dadourian et J. Liandrat ont obtenu des conditionssuffisantes de convergence et de stabilité pour des schémas de subdivision nonlinéaires.

Equations de diffusion anisotrope et d’ordre supérieurSchémas DDFV. Ces schémas, développés initialement en 2D pour traiter des problèmes anisotropes linéaires sur mail-lages très déformés comme ceux intervenant dans des problématiques de milieux poreux, ont été étendus (F. Boyer,F. Hubert, S. Krell) à des problèmes elliptiques non linéaires, puis à des problèmes de Stokes assez généraux, puisenfin au 3D. Ces schémas se sont révélés particulièrement précis en ce qui concerne l’approximation des gradientsdes solutions.Schémas volumes finis de type gradient. Développement et analyse de méthodes volumes finis centrés par maille etinconnues par face pour les équations de diffusion anisotrope et hétérogène en 2 ou 3 dimensions d’espace (T. Gallouët,R. Herbin, en collaboration avec R. Eymard). Comparaison de méthodes de volumes finis et méthodes mimétiques(T. Gallouët, R. Herbin, en collaboration avec J. Droniou et R. Eymard). Discrétisation du bilaplacien par uneméthode non conforme de bas degré (T. Gallouët, R. Herbin, en collaboration avec E. Eymard et A. Linke). Lesproblèmes de type bi-harmonique se rencontrent dans la modélisation des plaques ainsi que dans la formulation enfonction de courant des équations de Navier-Stokes incompressible. Le schéma que nous étudions est le premier àpouvoir être utilisé et analysé sur des maillages quelconques.

Equations de transport linéaireSuite à un cours de M2, nous avons monté un groupe de travail sur les équations de transport linéaire, qui a permisde déboucher sur un joli résultat de convergence du schéma volumes finis implicite avec une hypothèse de régularitéminimale sur le champ et conditions aux limites sur le bord (F. Boyer, A. Fettah, T. Gallouët, R. Herbin)

Méthodes multiniveaux et maillages adaptatifsMéthodes multiniveaux. Application aux problèmes de type convection-diffusion non-linéaire adaptés localement.Méthodes de type AFAC appliquées à de l’élasticité (K. Saikouk).Maillages adaptatifs. Techniques de raffinement de maillage couplé à un estimateur a posteriori de type polynômialet de type volumes finis (R. Herbin et D. Fournier, en collaboration avec R. Le Tellier, CEA).

Méthodes de raffinement local adaptatif et solveurs multiniveaux pour les modèles à interface diffuse. On étudie defaçon détaillée les principes généraux et les propriétés de la méthode de raffinement adaptatif CHARMS dans lecadre de modèles à interfaces diffuses. L’idée de la méthode est de raffiner les fonctions de base et non les élémentsgéométriques, ce qui garantit la conformité de l’espace d’approximation tout au long du calcul. Ces méthodesfournissent, en sus, un cadre naturel dans lequel on peut mettre en oeuvre des solveurs/préconditionneurs multigrilles(F. Boyer et S. Minjeaud, en collaboration avec C. Lapuerta et B. Piar).

Navier-Stokes incompressibleDéveloppement et analyse de nouvelles familles de méthodes de projection pour les équations de Navier-Stokes in-compressible ou à faible nombre de Mach; méthodes de pénalité-projection scalaires ou vectorielles (Ph. Angot, encollaboration avec J.-P. Caltagirone et P. Fabrie).Schémas volumes finis colocalisés pour les équations de Stokes et Navier-Stokes incompressible sur maillage quel-conque. On a montré la convergence et la stabilité de schémas volumes finis pour les écoulements incompressiblespour des maillages quelconques, y compris pour le système modélisant la convection naturelle (R. Herbin, en collab-oration avec E. Chénier, R. Eymard et J.-C. Latché).

Navier Stokes compressiblePreuve de convergence de schémas éléments finis / volumes finis pour les équations de Stokes stationnaires com-pressibles (T. Gallouët, R. Herbin, en collaboration avec R. Eymard et J.-C. Latché). La théorie mise au point parP.-L. Lions pour montrer l’existence des solutions aux équations de Navier-Stokes a été adaptée pour démontrer laconvergence de solutions approchées obtenues par des schémas de discrétisation de bas degré (Crouzeix Raviart pourla vitesse, volumes finis pour la pression, ou schéma MAC) pour les équations de Stokes compressibles. Des travauxsont en cours pour étendre ce résultat à Navier-Stokes.Equations de Navier Stokes complètes. Preuve de stabilité d’un schéma de type prédiction correction pour leséquations de Navier Stokes complètes (R. Herbin, W. Kheridji, en collaboration avec J.-C. Latché). Dans le cas deséquations complètes, l’existence d’une solution est un problème ouvert. Nous travaillons pour l’instant à établir lespropriétés d’existence et de stabilité de schémas de bas degré pour ces équations.

3.4. Modélisation et interactions avec d’autres disciplines

Les interactions des membres de l’équipe avec d’autres disciplines sont en essor constant depuis ces quatres dernièresannées. Outre les collaborations traditionnelles de l’équipe avec le milieu pétrolier, l’interaction avec le milieunucléaire (CEA, IRSN) s’est intensifiée autour notamment du projet ITER. De nouvelles thématiques autour dessciences du vivant se sont développées, mettant en jeu des collaborations avec des équipes travaillant dans les sciencesde la santé (des médecins cliniciens aux pharmacologues en passant par les biochimistes).

Modélisation en cancérologieUn groupe de “Modélisation mathématique en oncologie clinique” s’est formé il y a trois années environ autour deD. Barbolosi (UMR MD3; équipe de pharmaco-cinétique en collaboration avec le Pr Iliadis, directeur de l’équipe etC. Faivre) et de A. Benabdallah et F. Hubert (LATP en collaboration avec G. Chapuisat, Y. Dermenjian, M. Henry).Ce groupe travaille de manière étroite avec différents services d’oncologie clinique notamment avec le Dr N. André(oncologie pédiatrique, Hôpital la Timone Marseille), le Dr C. Mercier (oncologie générale, Hôpital La TimoneMarseille) et avec l’équipe du Pr G. Freyer (service d’oncologie, Hôpital Lyon Sud). La biologie du cancer estcomplexe et les thérapies anticancéreuses dont on dispose posent encore de nombreux problèmes dans leur utilisation.Dans ce contexte, la modélisation mathématique offre de réels espoirs d’amélioration des protocoles d’administration,optimisant l’efficacité des traitements tout en contrôlant leurs toxicités. Notre groupe est plus précisément impliquédans le développement de modèles décrivant la progression tumorale et les processus métastatiques. Nous avonsdeveloppé un premier modèle mathématique et numérique, ayant l’avantage d’être géré par un petit nombre deparamètres, permettant de compléter d’une part les classifications classiques des cancers (TNM, FIGO,...), et d’autrepart de permettre une nouvelle codification du nombre de cycles de chimiothérapies adjuvantes à effectuer pourchaque patient afin de minimiser la survenue d’une récidive de la maladie. Ce travail a fait l’objet de la thèsede F. Verga, financée par l’Institut National du Cancer (INCA). Ce modèle constitué d’une équation de transportassujettie à des conditions aux limites non locales (équation de type renouvellement) a donné des résultats trèsencourageants. Une validation de ce modèle sur le petit animal est en cours grâce au soutien de l’ANR (ANR

MEMOREX-PK ANR-09-BLAN-0217-01). Cette expérimentation sera effectuée au sein de la faculté de pharmaciede Marseille par le Dr J. Ciccolini et son équipe. L’objectif de ce travail étant de fournir un outil in silico applicableen routine clinique, il s’avère être essentiel de pouvoir estimer les paramètres intervenant dans le modèle pour chaquepatient. Ces problèmes d’identification sont un des points phares de nos projets de recherche. Plusieurs pistes sonten cours d’exploration dont la principale est menée en collaboration avec D. Bennequin (Paris 6) et Dr B. Cailloux(anathomopathologiste, Institut Gustave Roussy Villejuif). Elle consiste à utiliser les informations topologiques dela tumeur primitive afin de forger des covariables permettant d’identifier une partie de ces paramètres.La prolifération cancéreuse est intimement liée au phénomène d’angiogénèse (“auto-vascularisation” de la tumeur).Ainsi la prise en compte de ce phénomène dans nos modèles nous permet de mieux appréhender les protocolesen fédérant les chimiothérapies (cytotoxique) et les médicaments anti-angiogéniques (cytostatique). Ce travail estprécisément l’objet de la thèse de S. Benzekry. Un autre de nos projets est d’inclure dans notre modélisation lesinformations données par les taux marqueurs tumoraux dans le sang (par exemple, le PSA pour la prostate) afin deconstruire un indicateur mathématique fiable de l’efficacité d’un traitement. La modélisation de ces deux phénomènesmet en jeu des couplages entre équations de transport multi-dimensionnelles et équations différentielles ordinaires.Les problèmes précédents peuvent être abordés par des modélisations plus mécanistiques. Elles mettent en jeu dessystèmes couplant équations de transport, réaction-diffusion, chimiotactisme... Une collaboration avec le groupe deE. Grenier à Lyon et le service d’oncologie pédiatrique de Marseille est envisagée suite à l’année d’ATER de F. Billyau LATP. L’objectif est d’utiliser le modèle développé dans la thèse de F. Billy (sous la direction de E. Grenier)pour concevoir des protocoles d’administration de chimiothérapies dites métronomiques qui consistent à augmenterla fréquence d’administration des médicaments tout en diminuant leur dose par opposition aux traitements intensifiésinduisant de fortes toxicités. Les problèmes mathématiques soulevés par ces modèles sont nouveaux et variés, voirpar exemple les thèses de F. Verga et S. Benzekry ou les travaux de A. Benabdallah et M. Henry. Ces dernières ontétudié l’équation de transport avec viscosité (correspondant à de la diffusion numérique), en particulier la convergencelorsque la viscosité tend vers zéro.

Modélisation de l’accident vasculaire cérébral ischémiqueL’accident vasculaire cérébral ischémique (AVCi) est la deuxième cause de mortalité dans les pays occidentaux. Ledéveloppement de nouvelles thérapies passe par la modélisation mathématique comme celle développée au sein dugroupe “AVC-in silico”, financé par une ANR Biosys. G. Chapuisat a participé plus particulièrement à l’élaborationd’un modèle d’inflammation durant l’AVCi composé d’EDO ainsi que d’équations de chimiotactisme. Ce modèleen partie développé dans le cadre du CEMRACS 2009, a permis de comparer les différents stratégies de blocage del’inflammation selon l’intensité de l’AVCi. La validation finale du modèle ainsi que l’estimation des paramètres à partirde données animales est en cours. Ce modèle pourra ensuite être intégré dans un modèle phénoménologique globald’AVCi. G. Chapuisat a aussi travaillé sur un modèle d’apoptose dans le cadre de l’AVCi. Ce modèle est composéd’un grand nombre d’EDO et a pour but de comprendre plus précisément à quel niveau agir pour bloquer la cascadeapoptotique, mais aussi d’estimer le gain thérapeutique de ce type de traitement de l’AVCi, sujet d’intense recherchesactuelles en pharmacologie. Ce modèle d’apoptose pourra également être adapté au cadre de la cancérologie. L’arrêtdu processus apoptotique dans la cellule cancéreuse est un sujet de recherche biologique important et une possiblenouvelle voie de thérapie. Il convient de noter qu’un modèle d’ondes de dépolarisation dans le cadre de l’AVCi a aussiété adapté à l’étude de l’aura migraineuse. L’influence de la géométrie du cerveau sur la propagation de l’onde a faitl’objet d’un deuxième travail dans le cadre du CEMRACS 2009 (G. Chapuisat, F. Hubert). L’analyse théorique dece phénomène est en cours (G. Chapuisat, F. Hamel).

Modèles individus-centrés et intégro-différentiels en écologiePour ces modèles, bien adaptés à la description de certains phénomènes écologiques de colonisation et de dispersion deplantes ou d’animaux, et plus fidèles aux observations, les processus de redistribution, de croissance, de compétitionet d’interaction avec l’environnement peuvent être non locaux et répartis de façon aléatoire selon certaines lois deprobabilités. Pour certains de ces modèles, la littérature en écologie théorique donne des vitesses d’expansion quipeuvent crôıtre linéairement ou même exponentiellement en temps (paradoxe de Reid). L’analyse mathématique deces modèles est presque entièrement vierge malgré la multitude des questions qui se posent. La formulation de cesproblèmes, la classification des motifs spatio-temporels apparaissant en temps grand, l’existence et les estimations desvitesses d’invasion, la détermination de leur éventuel caractère déterministe, la recherche de la convergence vers uncertain profil dans certaines variables renormalisées, constituent un ensemble vaste de questions largement ouvertes,qui se font dans le cade du projet ANR ColonSGS et font notamment l’objet de la thèse de J. Garnier, sous la

co-direction de F. Hamel et L. Roques (INRA Avignon).

Projet ITERDans le cadre du projet ITER, une collaboration s’est établie entre l’IRFM (Institut de Recherche sur la FusionMagnétique) du CEA de Cadarache et un groupe d’enseignants-chercheurs du LATP dont sept membres de l’équiped’Analyse Appliquée (P. Angot, O. Guès, M. Hauray, J. Liandrat, C. Negulescu, A. Nouri, E. Russ). Ils font partiedepuis 2009 de la Fédération de Recherche sur la Fusion par Confinement Magnétique (FR-FCM).Analyse mathématique de modèles utilisés : le modèle actuellement utilisé par l’IRFM pour des simulations numériquesd’un plasma au coeur d’un tokamak consiste en une équation de Vlasov gyrocinétique couplée à une équation dequasi-neutralité. En collaboration avec P. Ghendrih de l’IRFM, M. Hauray et A. Nouri ont dérivé rigoureusementl’équation de Vlasov gyrocinétique avec rayon de Larmor fini à partir d’une équation de Vlasov linéaire contenantou non un opérateur de collisions de type Fokker-Planck linéaire. Ils ont montré que pour la dynamique dans ladirection perpendiculaire à la direction du champ magnétique, le modèle est bien posé si on prend les collisions encompte (existence globale en temps, unicité et stabilité locales en temps). Ils ont aussi montré l’existence et l’unicitéde solutions stationnaires en l’absence de collisions pour des données au bord empêchant les particules piègées. Enprojet est l’étude des opérateurs de collisions à inclure dans le modèle, tant du point de vue de la physique duproblème que de sa résolution mathématique, ainsi que la compréhension du comportement différent des solutionsdans les directions parallèle et perpendiculaire aux lignes de champ magnétique. Ces travaux sont faits dans le cadredes ANR EGYPT et GYPSI.Etude du potentiel électrique dans zone du bord d’un tokamak : en collaboration avec P. Ghendrih et Y. Sarazinde l’IRFM, C. Negulescu et A. Nouri ont mis en évidence un modèle simplifié avec des conditions aux limites nonlinéaires décrivant le potentiel électrique au bord d’un tokamak et montré que ce modèle est bien posé.Modèles fluides : Ph. Angot, O. Guès, J. Liandrat et C. Negulescu étudient mathématiquement et numériquement desmodèles fluides décrivant le transport du plasma “froid” au bord d’un tokamak dans la zone proche du limiteur. Desméthodes de pénalisation de systèmes hyperboliques sont ainsi analysées de même que des schémas de subdivisionnon linéaires. Il est projeté de considérer des modèles plus précis, en rajoutant notamment une équation régissant latempérature. Ces travaux se font dans le cadre de la FR-FCM avec CEA- Euratom, thème “transport et turbulenceplasma” et de l’ANR ESPOIR.Identification de paramètres dans les problèmes d’équilibre dans les tokamak : A. Borichev, S. Rigat et E.Russs’intéressent à des problèmes inverses motivés par la modélisation d’un plasma à l’équilibre dans un tokamak, obtenueà partir des équations de la magnéto-hydrodynamique. Ces problèmes sont notamment posés par les physiciens duCEA-IRFM (Cadarache) travaillant sur le tokamak Tore-Supra et le projet de réacteur expérimental ITER. Cestravaux sont effectués pour partie dans le cadre de l’ANR AHPI.

Energie nucléaire : réacteurs, centrales et sûretéEstimations d’erreur a posteriori pour les calculs de neutronique : D. Fournier, R. Herbin en collaboration avec R.Le Tellier (CEA). Les calculs de dimensionnement d’un réacteur font intervenir des équations de transport linéaire(transport du neutron) qui sont discétisées par direction angulaire, niveau dénergie, et enfin en espace. Les estimationsa posteriori permettent un raffinement local du maillage aux endroits où la précision du calcul est la moindre.Modélisation de la turbulence (Ph. Angot, A. Larcher, en collaboration avec J.C. Latché, IRSN). Etude de schémasnumérique pour les modèles de turbulence.Ecoulements dans les générateurs de vapeur (Ph. Angot, I. Ramière en collaboration avec M. Belliard, CEA).Méthode de domaines fictifs pour le diphasique.Schémas numériques stables pour les écoulements compressibles (T. Gallouët, R. Herbin, L. Gastaldo, T.T. Nguyen,en collaboration avec J.-M. Hérard d’EDF et J.-C. Latché de l’IRSN). La modélisation des écoulements dans lescircuits d’une centrale nucléaire à eau sous pression fait intervenir des systèmes d’e.d.p. basés sur les équationsde Navier Stokes compressibles, ou d’Euler lorsque la viscosité est négligeable. Des schémas numériques de typecorrection de pression utilisés dans le cadre incompressible ont été adaptés au cadre compressible et sont comparésaux schémas de type hyperbolique. L’extension de ces schémas à des modèles faisant intervenir des milieux poreux(crayons des réacteurs) est en cours.Simulations numériques directes de flux de bulles à travers une interface entre deux phases liquides. On met en placeet on étudie des modèles couplés de type Cahn-Hilliard / Navier-Stokes pour la simulation numérique d’écoulementsincompressibles à trois phases. L’accent est mis sur le respect de certaines propriétés qualitatives du modèle et surles équivalents discrets. On établit ainsi des algorithmes numériques en temps efficaces que l’on couple avec des

méthodes de raffinement local adpatatif conformes (de type CHARMS) (F. Boyer et S. Minjeaud, en collaborationavec C. Lapuerta et B. Piar).Simulations numériques directes d’incendies en milieux confinés. Dans le cadre du code ISIS développé à l’IRSNpour la simulation des incendies, on étudie différents modèles et méthodes numériques liés à la prise en compte dela turbulence. L’accent est notamment mis sur certaines discrétisations non conformes. (Thèse de F. Dardalhon encours, encadrement : F. Boyer, en collaboration avec C. Lapuerta et J.C. Latché).

Energie nucléaire : frittage des céramiquesSchémas de type éléments-finis/volumes-finis pour des problèmes de type convection-diffusion couplés à de l’élasticitéavec interfaces (R. Boyer et K. Saikouk).Mise en oeuvre de schémas numériques et de solveurs efficaces pour la simulation du problème du frittage de com-bustibles nucléaires. Implémentation avec une librairie industrielle, en collaboration avec le CEA (R. Boyer, J. Léchelle(CEA) et K. Saikouk)

Stockage des déchets radioactifsBenchmark pour les différents schémas de discrétisation pour les problèmes de diffusion sur maillage quelonque.Benchmark 2D “Diffusion anisotrope”. Dans le cadre du GNR MOMAS, nous avons organisé un benchmark àl’occasion du dernier congrès FVCA5, à l’occasion duquel nous avons pu comparer plus d’une vingtaine de schémasrécemment développés pour l’approximation de problèmes anisotropes linéaires sur maillages très déformés. Bench3D maillage quelconque en dimension 3D, R. Herbin, F. Hubert.Ecoulements diphasiques en milieux poreux (M. Henry). Notre travail consiste à justifier mathématiquement certainesapproximations faites par les hydrologistes. En particulier, nous avons montré la convergence d’un modèle diphasiquetrès général vers une équation de type Richards lorsque la viscosité de l’air tend vers 0.Modélisation asymptotique et numérique d’écoulements en milieux poreux fracturés ; analyse de convergence deschémas en volumes finis (Ph. Angot, F. Boyer, F. Hubert) ; modèles homogénéisés multi-échelles (C. Choquet).Transport de contaminants en milieux poreux. Analyse de problèmes fortement couplés de type parabolique dégénérés(C. Choquet).

Modélisation de phénomènes multi-échellesModèles dispersifs efficaces pour des problèmes de chimie-transport : collaboration de C. Choquet avec A. Mikelić(Univ. Lyon 1). Si les observations ont montré dès les années 50 que la convection en présence d’une anisotropiegéométrique accélère la diffusion, le calcul rigoureux de cet influence restait une question largement ouverte. Nousavons développé une technique de perturbation singulière couplée à des transformations de type Laplace pour traiter leproblème sans nous restreindre à la classique hypothèse de séparation des échelles. Nos modèles effectifs s’appuient surdes estimations d’erreur précises qui permettent de plus de préciser les échelles de validité et de détecter d’éventuelsphénomènes de diffusion anormale. Pour répondre aux besoins des partenaires industriels, différentes échelles decinétique chimique sont prises en compte.Microfluidique et effets de rugosité : collaboration de C. Choquet avec D. Bresch (Univ. Savoie), L. Chupin (INSALyon), Th. Colin (Univ. Bordeaux), M. Gisclon (Univ. Savoie). Ce travail est consacré à l’effet de surfaces rugueusessur des écoulements en fluides minces. L’approximation dite de Reynolds pour les problèmes de lubrification s’avèreexpérimentalement valable pour une large gamme de géométries. Notre but est donc de justifier rigoureusementle passage de Navier-Stokes à Reynolds dans des domaines à géométrie complexe. Les premiers résultats prouventqu’une perturbation ad hoc du profil de rugosité peut engendrer à l’ordre principal une augmentation de la pression(effet très désirable pour les applications). Des outils d’analyse très abstraits nous permettent ici d’aller au-delà desrésultats obtenus par calculs formels.

Ingénierie pétrolièreDéveloppement et analyse de schémas de volumes finis 3D centrés pas maille pour une implantation parallèle. Laplupart des schémas développés récemment pour les problèmes d’écoulement en milieu poreux hétérogène tels queceux rencontrés en ingénierie pétrolière nécessitent la prise d’autres inconnues que celles naturellement associées auxmailles de la discrétisation, qui sont habituellement utilisées dans les codes industriels. Ces inconnues supplémentairesrendent difficiles le couplage avec d’autres codes ainsi que la parallèlisation. On peut, dans les méthodes de typegradient (schéma SUSHI) supprimer les inconnues de faces supplémentaires en utilisant le schéma SUCCES, mais celaaugmente considérablement le stencil du schéma, ce qui ne résout pas complètement le probème de parallélisation.

Une méthode avec inconnues centrées a été développé (avec C. Guichard, IFP et R. Eymard, Marne la Vallée).Les premières comparaisons avec les schémas de type “O-scheme” les plus utilisés dans les codes pétroliers lui sontfavorables.Développement et mise en oeuvre de modeles de percolation pour la simulation des bassins sedimentaires (T. Gal-louët en collaboration avec A. Michel (IFP) et S. Pegaz-Fiornet, qui est ingénieure à l’IFP et prépare une thèse).Ces modèles interviennent pour la simulation de la génération des hydrocarbures, leur migration et piégeage. Cesnouveaux modèles ont été comparés avec les modeles plus classiques de type “Darcy”.Modélisation des failles et fissures pour les écoulements multiphasiques en milieu poreux (T. Gallouët en collaborationavec I. Faille (IFP) et X. Tunc, en thèse à l’IFP).

II. Bilan quantitatif

4. Publications dans des revues avec comité de lecture (depuis 2006, parues et à parâıtre)

• [ACL(AA)] A. Alarcón, N. Nadirashvili, Limit sets for complete minimal immersions, Math. Z. 258 (2008),107–113.

• [ACL(AA)] S. Amat, K. Dadourian, R. Donat, J. Liandrat, J.-C. Trillo, Error bounds for a convexity preservinginterpolation and its limit function, J. Comp. Appl. Math. 211 (2008), 36–44.

• [ACL(AA)] S. Amat, K. Dadourian, J. Liandrat, On a nonlinear 4-point ternary and interpolatory multireso-lution scheme eliminating the Gibbs phenomenon, Int. J. Num. Anal. Modeling (IJNAM) 7 (2009), 261–280.

• [ACL(AA)] S. Amat, K. Dadourian, J. Liandrat, Analysis of a class of non linear subdivision schemes andassociated multi-resolution transforms, Adv. Comput. Math., DOI: 10.1007/s10444-010-9151-6.

• [ACL(AA)] S. Amat, K. Dadourian, J. Liandrat, On a nonlinear subdivision scheme avoiding Gibbs oscillationsand converging towards Cs functions with s > 1, Math. Comp., à parâıtre.

• [ACL(AA)] S. Amat, K. Dadourian, J. Liandrat, J. Ruiz, J. C. Trillo, On a class of L1-stable nonlinear cell-average multiresolution schemes, J. Comput. Appl. Math., DOI:10.1016/j.cam.2009.06.003.

• [ACL(AA)] S. Amat, R. Donat, J. Liandrat, J.-C. Trillo, Analysis of a fully nonlinear multiresolution schemefor image processing, Foundations Comput. Math. 6 (2006), 193–225.

• [ACL(AA)] A. Ambroso, J.-M. Hérard, O. Hurisse, A method to couple HEM and HRM two-phase flow models?,Computers and Fluids 38 (2009), 738–756.

• [ACL(AA)] F. Ammar Khodja, A. Benabdallah, C. Dupaix, Null-controllability of some reaction-diffusion sys-tems with one control force, J. Math. Anal. Appl. 320 (2006), 928–943.

• [ACL(AA)] F. Ammar Khodja, A. Benabdallah, C Dupaix, M. Gonzàlez-Burgos, Controllability for a class ofreaction-diffusion systems: generalized Kalman’s condition, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 345 (2007), 543–548.

• [ACL(AA)] F. Ammar Khodja, A. Benabdallah, M. Gonzàlez-Burgos, C. Dupaix, Controllability for a class ofreaction-diffusion systems: generalized Kalman’s condition, J. Evol. Equations 9 (2009).

• [ACL(AA)] B. Andreianov, F. Boyer, F. Hubert, On the finite volume approximation of regular solutions ofthe p-laplacian, IMA J. Num. Anal. 26 (2006), 472–502.

• [ACL(AA)] B. Andreianov, F. Boyer, F. Hubert, Discrete Besov framework for finite volume approximation ofthe p-laplacian on non uniform cartesian grids, ESAIM Proceedings 18 (2007), 1–10.

• [ACL(AA)] B. Andreianov, F. Boyer, F. Hubert, Discrete duality finite volume schemes for Leray-Lions typeproblems on general 2D meshes, Num. Methods PDE 23 (2007), 145–195.

• [ACL(AA)] Ph. Angot, A fictitious domain model for the Stokes/Brinkman problem with jump embeddedboundary conditions, C. R. Math. Acad. Sci. Paris (2009), à parâıtre.

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