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CHIMIE / Unité :4

Evolution temporelle

des systèmes

mécaniques

I- Pendule élastique horizontal - Disposons sur un banc à coussin d’air horizontal un solide (S) de masse m attaché à l’une des extrémités d’un

ressort à spires non jointives de masse négligeable et de raideur k L’autre extrémité du ressort accrochée

en un point fixe.

- les frottements seront considérés comme négligeables.

- Au repos, G, centre d’inertie de S, est en O, pris comme

origine des abscisses sur l’axe horizontal Ox.

- On écarte G de sa position d’équilibre suivant Ox d’une

distance d vers la droite et sans vitesse initiale.

1- Equation différentielle du mouvement Le système étudié est le corps de masse m.

Le référentiel L’origine O du repère est le centre d’inertie G du solide lorsque

le ressort n’est pas déformé.

L’axe Ox est parallèle au ressort et orienté dans le sens de

l’étirement du ressort. L'axe

Oy est vertical. (On n’a pas besoin du 3 axe Oz car il n'y a pas

de force ni de mouvement selon cet axe.)

Bilan des Forces extérieures

* Poids P = m.g =-m.g.j

* Réaction du plan R =R.j

* Tension du ressort (force de rappel) �� = -k.x. 𝑖 (si le ressort est étiré ou comprimé) Appliquons le principe fondamental de Newton (Newton II) :

�� +�� +�� =m.𝒂𝑮 donc −𝒎.𝒈. 𝒋 + R. 𝒋 − k. 𝐱. 𝒊 = m.𝒂𝑮 La projection de cette relation vectorielle sur l’axe Ox nous conduit à :

{−k. 𝐱. = m. 𝒂𝒙

−𝒎.𝒈 + R = m. 𝒂𝒚

G effectue un mouvement rectiligne. L'accélération est donc parallèle à l'axe Ox donc 𝒂𝒚 = 0

Alors l'équation différentielle du mouvement est : 𝑚.𝐝𝟐𝒙

𝐝𝟐𝐭= −k. 𝑥

𝐝𝟐𝒙

𝐝𝟐𝐭+

k

𝑚. 𝑥 = 0

C'est l'équation différentielle du mouvement.

Remarque:

L'accélération n'est donc pas constante. Elle dépend de la déformation x du ressort

2- Solution de l'équation différentielle du mouvement : Equation horaire x(t) (Elongation)

L'étude mathématique de cette équation fournit comme solution : x(t)= Xm. cos(2.𝜋

𝑇0.t +𝜑),

où Xm, 𝑇0 et 𝜑 sont des constantes.

Expression de 𝑇0 période propre

Dérivons :

{

x(t) = Xm. cos(

2.𝜋

𝑇0. t + 𝜑)

d 𝑥

d t= −Xm.

2.𝜋

𝑇0. sin(

2.𝜋

𝑇0. t + 𝜑)

d2𝑥

d2t= Xm. (

2.𝜋

𝑇0)2. cos(

2.𝜋

𝑇0. t + 𝜑)

Remplaçons dans l'équation différentielle :

−Xm. (2. 𝜋

𝑇0)2. cos(

2. 𝜋

𝑇0. t + 𝜑) +

k

𝑚. Xm. cos(

2. 𝜋

𝑇0. t + 𝜑) = 0

Xm. cos(𝜔0. t + 𝜑)(−(2.𝜋

𝑇0)2 +

k

𝑚) = 0

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Avec Xm. cos(𝜔0. t + 𝜑) ≠ 0 donc −(2.𝜋

𝑇0)2 +

k

𝑚=0 (

2.𝜋

𝑇0)2 =

k

𝑚

Comme l’oscillateur est libre, il oscille avec sa période propre T0, sa fréquence propre f0 et sa

pulsation propre 𝜔0.

La période propre est donnée par : 𝑇0 = 2. 𝜋.√𝑚

k

La fréquence propre est donnée par : 𝑓0 =1

2.𝜋. √

k

𝑚

La pulsation propre est donnée par : 𝜔0 = √k

𝑚

Détermination de l'amplitude Xm et de la phase initiale 𝜑

Nous déterminons ces constantes à l'aide des conditions initiales :

t = 0 abscisse initial x0 = d > 0

vitesse initiale v0x = 0

Remplaçons les conditions initiales dans les équations

{

Abscisse ∶ x(t) = Xm. cos(2. 𝜋

𝑇0. t + 𝜑)

𝑉𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 ∶ 𝑣𝑥 =d 𝑥

d t= −Xm.

2. 𝜋

𝑇0. sin(

2. 𝜋

𝑇0. t + 𝜑)

d = Xm. cos(𝜑)>0

0 = −Xm.2. 𝜋

𝑇0. sin(𝜑)

Finalement : Xm = d, alors = 0 .

Conclusion Equations finales de l'élongation, de la vitesse et de l'accélération

Vitesse : 𝑣𝑥(t) = x(𝑡) = −Xm.2.𝜋

𝑇0. sin(√

k

𝑚. t);

amplitude de la vitesse : Xm = Xm. √k

𝑚

Accélération :

��(𝑡) = −Xm.k

𝑚. cos(√

k

𝑚. t);

amplitude de l'accélération : Xm = Xm.k

𝑚

II- Pendule de torsion

Un pendule de torsion est un solide suspendu à un fil vertical, le centre de masse étant

sur l'axe du fil, l'autre extrémité du fil étant maintenue fixe dans un support.

Quand le solide tourne autour de l'axe du fil, celui-ci réagit à la torsion en exerçant des

forces de rappel équivalentes à un couple dont le moment par rapport à l'axe est

proportionnel à l'angle de torsion : M∆ , couple= −C θ . La constante C dite constante de torsion dépend de la longueur et du diamètre du fil

(supposé cylindrique) et de la nature du matériau constituant le fil.

On écarte le pendule de sa position d’équilibre d’un angle θ0 et on le lâche

sans vitesse initiale à t=0.

Les frottement sont supposés négligeables

1- Equation différentielle du mouvement Le système étudié est la tige de moment d'inertie J .

La tige est soumise

* �� le poids du système (S) * �� Tension de fil * Couple de torsion ©

Application de la relation fondamentale de la dynamique : ∑𝑀(𝐹 𝑒𝑥𝑡) = 𝐽(∆) . ��

M∆( �� ) +M∆( �� ) + M∆ , couple = J∆.��

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M∆( �� ) = 0 car la droite d’action de �� coupe l’axe (∆).

M∆( �� ) = 0 car la droite d’action de �� coupe l’axe (∆).

D'après le principe fondamental de la dynamique : ∑𝑀(𝐹 𝑒𝑥𝑡) = 𝐽(∆) . ��

Alors : −C θ=J.��

L'équation différentielle du mouvement de la tige est donc∶ �� +𝐶

𝐽∆. 𝜃 = 0

2- Solution de l'équation différentielle du mouvement : Equation horaire x(t)

L'étude mathématique de cette équation fournit comme solution : (t)= m. cos(2.𝜋

𝑇0.t +𝜑),

où m, 𝑇0 et 𝜑 sont des constantes.

Expression de 𝑇0 période propre

Dérivons :

{

(t) = m. cos(

2.𝜋

𝑇0. t + 𝜑)

d

d t= −m.

2.𝜋

𝑇0. sin(

2.𝜋

𝑇0. t + 𝜑)

d2

d2t= �� = m. (

2.𝜋

𝑇0)2. cos(

2.𝜋

𝑇0. t + 𝜑)

Remplaçons dans l'équation différentielle :

−m. (2. 𝜋

𝑇0)2. cos(

2. 𝜋

𝑇0. t + 𝜑) +

𝐶

𝐽∆. m. cos(

2. 𝜋

𝑇0. t + 𝜑) = 0

m. cos(𝜔0. t + 𝜑)(−(2.𝜋

𝑇0)2 +

k

𝑚) = 0

Avec m. cos(𝜔0. t + 𝜑) ≠ 0 donc −(2.𝜋

𝑇0)2 +

𝐶

𝐽∆=0 (

2.𝜋

𝑇0)2 =

𝐶

𝐽∆

Comme l’oscillateur est libre, il oscille avec sa période propre T0, sa fréquence propre f0 et sa

pulsation propre 𝜔0.

La période propre est donnée par : 𝑇0 = 2. 𝜋.√𝐽∆

𝐶

La fréquence propre est donnée par : 𝑓0 =1

2.𝜋. √

𝐶

𝐽∆

La pulsation propre est donnée par : 𝜔0 = √𝐶

𝐽∆

Détermination de l'amplitude m et de la phase initiale 𝜑

Nous déterminons ces constantes à l'aide des conditions initiales :

t = 0 abscisse initial = 0 > 0

vitesse angulaire initiale 0 = 0

Remplaçons les conditions initiales dans les équations

{

Abscisse ∶ (t) = m. cos(2. 𝜋

𝑇0. t + 𝜑)

𝑉𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 ∶ =d

d t= −m.

2. 𝜋

𝑇0. sin(

2. 𝜋

𝑇0. t + 𝜑)

d = m. cos(𝜑)>0

0 = −m.2. 𝜋

𝑇0. sin(𝜑)

Finalement : m = 0, alors 𝜑 = 0 .

Conclusion Equations finales de l'élongation, de la vitesse et de l'accélération

Ecart angulaire : (t) = m. cos(√𝐶

𝐽∆. t ); amplitude de l’élongation : m = 0

Vitesse angulaire : (t) = −m.2.𝜋

𝑇0. sin(√

𝐶

𝐽∆. t); amplitude de la vitesse : m = m. √

𝐶

𝐽∆

Accélération angulaire : (𝑡) = m.k

𝑚. cos(√

𝐶

𝐽∆. t); amplitude de l'accélération : m = m.

𝐶

𝐽∆

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III- pendule pesant On considère un pendule pesant constitué d’un tige homogène AB. Ce système peut

tourner autour d’un axe horizontal (∆), son moment d’inertie par rapport à (∆) est J∆ et sa

masse est m .

Écarter de sa position d’équilibre d’un angle θm, puis libéré sans vitesse initiale , le

système (S) effectue un mouvement de va-et-vient autour de sa position d’équilibre .

Les frottement sont supposés négligeables et les positions du pendule sont repérées par

l’abscisse angulaire θ qui forme la tige avec la verticale passant par la position G0 du

centre d’inertie G du système .

1- Equation différentielle du mouvement Système étudié : (S)

Bilan des forces extérieur exercées sur (S) :

* �� le poids du système (S)

* �� force exercée par l’axe (∆) sur (S) ;

On étudie le mouvement du système dans un référentiel terrestre supposé Galiléen.

Application de la relation fondamentale de la dynamique : ∑𝑀(𝐹 𝑒𝑥𝑡) = 𝐽(∆) . ��

M∆( �� ) +M∆( �� ) = J∆.��

M∆( �� ) = 0 car la droite d’action de �� coupe l’axe (∆).

M∆( �� ) =-P.d où d est la distance entre la droite d’action de �� et l’axe (∆)

Dans la figure sin=𝑑

0𝐺 alors d=OG.sin donc M∆( �� ) = −m.g.OG.sinθ

Dans ce cas nous avons : −m.g. OG.sinθ = J∆.��

�� + 𝑚.𝑔.OG

𝐽∆.sinθ = 0

Pour des faibles oscillations (θ ⩽ 15°) on peut écrire l’approximation sinθ ≃ θ(rad) , dans ce cas l’équation

différentielle est : �� + 𝑚.𝑔.OG

𝐽∆. θ = 0

2- Solution de l'équation différentielle du mouvement : Equation horaire x(t)

L'étude mathématique de cette équation fournit comme solution : (t)= m. cos(2.𝜋

𝑇0.t +𝜑),

où m, 𝑇0 et 𝜑 sont des constantes.

Expression de 𝑇0 période propre

Dérivons :

{

(t) = m. cos(

2.𝜋

𝑇0. t + 𝜑)

d

d t= −m.

2.𝜋

𝑇0. sin(

2.𝜋

𝑇0. t + 𝜑)

d2

d2t= �� = m. (

2.𝜋

𝑇0)2. cos(

2.𝜋

𝑇0. t + 𝜑)

Remplaçons dans l'équation différentielle :

−m. (2. 𝜋

𝑇0)2. cos(

2. 𝜋

𝑇0. t + 𝜑) +

𝑚. 𝑔. OG

𝐽∆. m. cos(

2. 𝜋

𝑇0. t + 𝜑) = 0

m. cos(𝜔0. t + 𝜑)(−(2. 𝜋

𝑇0)2 +

k

𝑚) = 0

Avec m. cos(𝜔0. t + 𝜑) ≠ 0 donc −(2.𝜋

𝑇0)2 +

𝑚.𝑔.OG

𝐽∆=0 (

2.𝜋

𝑇0)2 =

𝑚.𝑔.OG

𝐽∆

Comme l’oscillateur est libre, il oscille avec sa période propre T0, sa fréquence propre f0 et sa

pulsation propre 𝜔0.

Détermination de l'amplitude m et de la phase initiale 𝜑

Nous déterminons ces constantes à l'aide des conditions initiales :

t = 0 abscisse initial = 0 > 0

vitesse angulaire initiale 0 = 0

Remplaçons les conditions initiales dans les équations

{

Abscisse ∶ (t) = m. cos(2. 𝜋

𝑇0. t + 𝜑)

𝑉𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 ∶ =d

d t= −m.

2. 𝜋

𝑇0. sin(

2. 𝜋

𝑇0. t + 𝜑)

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d = m. cos(𝜑)>0

0 = −m.2. 𝜋

𝑇0. sin(𝜑)

Finalement : m = 0, alors 𝜑 = 0 .

Conclusion Equations finales de l'élongation, de la vitesse et de l'accélération

Ecart angulaire : (t) = m. cos(√𝑚.𝑔.OG

𝐽∆. t ); amplitude de l’élongation : m = 0

Vitesse angulaire : (t) = −m. √𝑚.𝑔.OG

𝐽∆. sin(√

𝑚.𝑔.OG

𝐽∆. t); amplitude de la vitesse : m = m. √

𝑚.𝑔.OG

𝐽∆

Accélération angulaire : (𝑡) = m.𝑚.𝑔.OG

𝐽∆. cos(√

𝑚.𝑔.OG

𝐽∆. t); amplitude de l'accélération : m = m.

𝑚.𝑔.OG

𝐽∆

IV- pendule simple

Un pendule simple est constitué d’une bille de masse m et de centre d’inertie G.

Cette bille, assimilable à un objet ponctuel, est accrochée à l’extrémité O d’un fil

inextensible de longueur l et de masse négligeable.

On écarte le pendule de sa position d’équilibre d’un angle θ0 avec la verticale et on

le lâche sans vitesse initiale à t=0.

Les frottement sont supposés négligeables.

1- Equation différentielle du mouvement Système étudié : (bille)

Bilan des forces extérieur exercées sur (bille M) :

* �� le poids du système (bille M)

* �� force exercée par l’axe (∆) sur (bille M) ;

On étudie le mouvement du système dans un référentiel terrestre supposé Galiléen .

Application de la relation fondamentale de la dynamique : ∑𝑀(𝐹 𝑒𝑥𝑡) = 𝐽(∆) . ��

M∆( �� ) +M∆( �� ) = J∆.��

M∆( �� ) = 0 car la droite d’action de �� coupe l’axe (∆).

M∆( �� ) =-P.d où d est la distance entre la droite d’action de �� et l’axe (∆)

Dans la figure sin=𝑑

𝑙 alors d=l.sin donc M∆( �� ) = −m.g.l.sinθ

Alors −m.g.l.sinθ = J∆.��

Dans ce cas de pendule simple : 𝐽(∆) = 𝑚. 𝑙2

�� + 𝑚.𝑔.𝑙

𝑚.𝑙2.sinθ = 0 �� +

𝑔

𝑙.sinθ=0

Pour des faibles oscillations (θ ⩽ 15°) on peut écrire l’approximation sinθ≃θ(rad)

, dans ce cas l’équation différentielle est : �� + 𝑔

𝑙. θ = 0

La pulsation propre est donnée par : 𝜔0 = √𝑔

𝑙

La période propre est donnée par : 𝑇0 = 2. 𝜋.√𝑙

𝑔

La fréquence propre est donnée par : 𝑓0 =1

2.𝜋. √

𝑔

𝑙

Conclusion Equations finales de l'élongation, de la vitesse et de l'accélération

Ecart angulaire : (t) = m. cos(√𝑔

𝑙. t ); amplitude de l’élongation : m = 0

Vitesse angulaire : (t) = −m. √𝑔

𝑙. sin(√

𝑔

𝑙. t); amplitude de la vitesse : m = m. √

𝑔

𝑙

Accélération angulaire : (𝑡) = m.𝑔

𝑙. cos(√

𝑔

𝑙. t); amplitude de l'accélération : m = m.

𝑔

𝑙

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T0

V- Oscillations forcées : Résonance

Montage

Observations :

* Le résonateur effectue des oscillations de même fréquence que celle de l'excitateur: il effectue des oscillations

forcées.

* L'amplitude A du résonateur dépend de la fréquence de l'excitateur et de l'intensité de l'amortissement.

* L'amplitude A passe par un maximum : c'est la résonance. La fréquence de résonance fR est pratiquement égale

à la fréquence propre f0 du résonateur.

Influence de l’amortissement sur la résonance d’élongation

L’amplitude du résonateur à la résonance d’élongation dépend de

l’amortissement des oscillations :

Plus l’amortissement est faible, plus l’amplitude des

oscillations est élevée : on parle de résonance aiguë.

Plus l’amortissement est élevé, plus l’amplitude des oscillations

est faible : on parle de résonance floue.

Remarque. :

Lors d’une résonance aiguë, si l’amplitude des oscillations dépasse la valeur maximale indiquée par le

constructeur, le système est détruit