I DYNAMIQUE DES ELECTRONS DE BLOCH 2

I.1 MODELE SEMI-CLASSIQUE: 2 I.1.1 DEMONSTRATION DES EQUATIONS SEMI – CLASSIQUES : 3 I.1.2 THEOREME DE LA MASSE EFFECTIVE: 4 I.1.3 VALIDITE DE L'HYPOTHESE SEMI-CLASSIQUE: 7 I.2 MOUVEMENT DANS UN CHAMP ELECTRIQUE UNIFORME ET CONSTANT: 8 I.3 MOUVEMENT DANS UN CHAMP MAGNETIQUE UNIFORME ET CONSTANT: 9 I.3.1 UTILISATION DE B POUR DETERMINER LES PROPRIETES DE LA MATIERE. 10

II EQUATION DE BOLTZMANN: 11

II.1 FONCTION DE DISTRIBUTION DES ELECTRONS. 11 II.2 EQUATION DE BOLTZMANN: 11

III APPROXIMATION DU TEMPS DE COLLISION 12

III.1 HYPOTHESE DE L’EQUILIBRE LOCAL: 12 III.2 LINEARISATION: 12 III.3 VECTEURS DENSITE DE COURANT ELECTRIQUE ET DE FLUX DE CHALEUR: 13 III.4 ELECTRONS ET TROUS: 15 III.5 PHENOMENE DE CONDUCTION DANS LES METAUX: 16 III.5.1 APPLICATION A LA CONDUCTION ELECTRIQUE: 17 III.5.2 APPLICATION A LA CONDUCTIVITE THERMIQUE 19 III.5.3 EFFETS THERMOELECTRIQUES 21 III.6 PHENOMENE DE CONDUCTION DANS LES SEMI – CONDUCTEURS: 21 III.7 TRANSPORT SOUS CHAMP MAGNETIQUE 24 III.7.1 EFFET HALL 25 III.7.2 MAGNETORESISTANCE 26

IV ECRANTAGE 27

IV.1 CONSTANTE DIELECTRIQUE GENERALISEE 27 IV.2 ECRANTAGE DANS L'APPROXIMATION DE THOMAS - FERMI 27 IV.2.1 CAS DES METAUX: 28 IV.2.2 CAS DES SEMI – CONDUCTEURS: 29

Transport électronique

Précédemment, nous avons vu quelques modèles classiques et simples, comme les modèles

de Drude et de Sommerfeld. Nous allons ici effectuer un traitement quantique du problème, ou plutôt semi-classique.

I Dynamique des électrons de Bloch

I.1 Modèle semi-classique:

En mécanique quantique, les électrons ne peuvent plus être considérées comme des

particules ponctuelles avec une position et une vitesse bien définies, et ceci en raison des inégalités d'Heisenberg.

On va alors représenter la particule par un paquet d'ondes planes afin de se rapprocher d'un modèle semi-classique.

(1) ( ) ( ) ( )∫ −=k

ti

knn kderkar nr r

rrrr ωψψ ,

où les ( ) ( ) rki

knknerur

rr

rrrr .=ψ sont les fonctions de Bloch correspondant à l'énergie d'une

bande kn

E r , et h

r

rkn

kn

E=ω , ceci afin que l'on ait bien

tiH

∂∂= ψψ h .

Si l'on impose aucune action extérieure, le paquet d'onde est stable et ( ) tcsteka ∀=r

. Par ailleurs, pour respecter la réalité physique, le paquet d'onde va être centré sur une

valeur 0kr

.

Avec ( )PZBtaillek <<∆ . Quelle est alors l'extension de ce paquet d'onde dans

l'espace réel? On a:

(2) ( ) ( ) ( ) ( )∫ −=+k

tRki

knkderkatRr n

r

rr

r

rrrrr ωψψ .00 ,

Le terme en ( ) ( )0rka

kn

rrrψ a toujours une extension

caractéristique dans l'espace réciproque de kr

∆ , puisque à 0rr

fixé, il n'y a aucune raison pour

que knrψ varie énormément avec k

r (le paquet d'onde dans l'espace réciproque est donné par la

fonction ( )kar

). D'après les propriétés de la transformée de Fourier, l'extension spatiale de la fonction

d'onde se fera donc autour de 0rr

avec une largeur s'étendant sur plusieurs mailles

élémentaires. En effet, ( ).1élemmaille

PZBk>>>

<<.

On va donc repérer l'électron par le centre du paquet d'ondes, que l'on appellera abusivement "position" de l'électron, et le caractère non localisé de la particule se manifestera dans l'extension de ce paquet d'ondes.

Ceci se comprend si l'on calcule la vitesse de groupe de ce paquet d'onde:

∆

(3) 00,

1knknkkkknkg vEgradgradv rrrrrrr

h

r === =ω

C'est cette extension que la modèle semi-classique vise à décrire, et il s'applique à des champs peu variables à l'échelle du paquet d'ondes et donc variable très lentement à l'échelle de la maille élémentaire.

Le modèle semi classique se fonde sur l'hypothèse qu'il n'y pas de transitions interbandes, et le fait que les champs soient lentement variables à l'échelle de la maille élémentaire implique, ce que nous allons démontrer, les relations suivantes:

(4) knkkn

Egradvdt

rdrrr

h

r1==

(5) [ ]BvEedt

kdln

rrrr

h ∧+−= ,

où rr

est la "position" de l'électron, c'est-à-dire le centre du paquet d'onde dans l'espace réel, et k

rh est la "quantité de mouvement" de l'électron, c'est-à-dire que k

rest le centre du

paquet d'onde dans l'espace réciproque.

I.1.1 Démonstration des équations semi – classiques :

1ère étape: Montrons que si on a

knknknEH rrr ψψ = , alors il existe une fonction ( )∇−

riEn , ne

dépendant que de la quantité de mouvement de l'électron, telle que ( )knknknn EiE rrr

rψψ =∇− .

On a

knE r qui est une fonction périodique avec la périodicité du réseau réciproque. On peut

donc la décomposer en série de Fourier:

(6) ( ) ∑∈

=..

.~

BRR

RkiRnn eEkE

r

rr

r

r,

soit:

(7) ( ) ∑∈

∇=∇−..

.~

BRR

RRnn eEiE

r

rr

r

r, avec Rgrad r

r=∇ .

Or

( )

....

....2

1.1

2.

yR

xR

RRe

yxkn

knkn

R

∂∂+

∂∂+=

+∇+∇+=∇

ψψψ

ψψ

r

rr

rr rrrr

( )Rrkn

rrr += ψ. (Développement de Taylor)

D'après les propriétés des fonctions de Bloch, on a donc ( )reekn

RkiR rr

rrrr

ψ.. =∇

Ce qui permet de démontrer le résultat de la première étape:

(8) ( ) ( )knkn

BRRkn

Rkin EeEiE rr

r

r

rrrψψ ==∇− ∑

∈ ..

.~

Ceci constitue un résultat fondamental. En effet, l'équation aux valeurs propres écrite ci-

dessus à directement la forme de celle d'un électron libre, mis à part que l'hamiltonien n'est pas l'énergie cinétique de la particule : le champ cristallin n'apparaît plus que dans la relation de dispersion.

2ème étape : résolution de l'équation aux valeurs propres. Nous allons ici nous limiter au champ électrique, le traitement pour le champ magnétique

étant le même bien qu'un peu plus calculatoire. On a donc

(9) ( ) ( )t

itrUH∂∂=+ ψψ h

r, , avec EeUgrad

r=

L'hypothèse que nous faisons alors est qu'il n'y a pas de transition interbandes. En utilisant (1), l'équation aux valeurs propres se réécrit:

(10) ( ) ( ) ( )t

itrUkdtrHtak knk ∂

∂=+∫ψψψ h

rrrr rr ,,

Or ( )knnknknkn

iEEH rrrr

rψψψ ∇−== , d'après (8). On peut donc écrire:

(11) ( )[ ] ( )t

itrUiEn ∂∂=+∇− ψψ h

rr,

Dans un cadre classique, on aurait :

(12) p

H

t

rr

r

∂∂=

∂∂

et r

H

t

pr

r

∂∂−=

∂∂

.

Etant alors données les dépendances en rr

et en pr

des divers termes de (11), ceci s'écrit:

(13) p

E

t

r nr

r

∂∂

=∂∂

et Eer

U

t

p r

r

r

−=∂∂−=

∂∂

Si on repasse alors en mécanique quantique, on a:

(14) k

E

p

E

dt

rdnnr

hr

r

∂∂

=∂

∂= 1

, ainsi que:

(15) Eet

k rr

h −=∂∂

I.1.2 Théorème de la masse effective:

Considérons une bande n comportant un extremum de bande 0k

r.

Toute fonction de Bloch dans cette bande s'écrit:

(16) ( ) rki

knkneur

rr

rrr .=ψ

Mais si kr

est voisin de 0kr

, alors on a

(17) ( )0

0

0

.

kn

rkki

kn

rki

kneue r

rrr

r

rr

r ψψ −== .

La fonction d'onde totale dans le modèle semi-classique s'écrit donc, d'après (1):

(18) ( ) ( ) ( ) ( )rFkdetatrknk

rkki

kkn

rrrrrr

rrr

rr .,0

0

0ψψψ == ∫ − ,

où ( ) ( ) ( )∫ −=k

rkki

kkdetarF r

rrr

r

rrr0 est très lentement variable en r

rdans la mesure où 0kk

rr− est

petit. Par ailleurs, on a

(19)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )trFeREr

etrFeREr

ertRrFRE

RrtRrFRE

rtrFeREtrFiE

BRR

RiRkinkn

BRR

rkiRnkn

BRR

rki

knn

BRRknn

BRRkn

Rnknn

,~

,~

,~

,~

,~

,

..

..

..

..

..

.

..

..

.

0

0

0

0

0

0

0

00

rrr

rrr

rrrr

rrrrr

rrrrr

r

rrrr

r

r

rrrr

r

r

rr

r

r

r

r

r

rr

r

=

=

+=

++=

=∇−

∑

∑

∑

∑∑

∈

∇−

∈

∇

∈

∈

∈

∇

ψ

ψ

ψ

ψ

ψψ

On a donc : (20) ( ) ( ) ( ) ( )trFikEtrFiE nknknn ,, 0

00

rrrrrrr ∇−=∇− ψψ

D'où, en injectant le résultat précédent dans l'équation de Schrödinger (11), on obtient:

(21) ( )( ) ( )t

FitrFUikEn ∂

∂=+∇− hrrr,0

Si maintenant on effectue un développement de ( )kEn

r autour de 0k

r, on obtient, puisque

nE présente un extremum en 0kr

:

(22) ( ) ( ) ( )2

0

2

0 *2kk

mkEkE nn

rrhrr−+= ,

où *m est appelée masse effective, et correspond au terme qui apparaît dans le

développement. En appliquant ce résultat à ∇−=rrr

ikk 0 , on obtient une nouvelle expression

de l'équation de Schrödinger:

(23) ( ) ( )t

FitrFU

mkEn ∂

∂=

+∇− hrrhr,

*22

2

0

ce qui signifie physiquement que à un extremum de bande, on va pouvoir étudier les particules comme des particules libres de masse effective *m .

Remarque: lien entre masse effective et structure de bande: On se souvient que, pour des fonctions des fonctions de Bloch de la forme

( ) ( ) rki

knknerur

rr

rrrr .=ψ , la fonction u était solution de l'équation:

( ) ( )ruEruhknknknk

rrrrrr = , avec ( ) ( )rVik

mh

k

rrrhr +∇−=

22

2, V représentant le champ cristallin.

On avait par ailleurs:

(24) ( )kkdk

hkdikm

dkm

h rrr

rrrhh +∇−+=+

22

2

2,

et on avait calculé la variation d'énergie due au potentiel cristallin au premier ordre en disant que:

(25) knkknnk udhudE rrr=

Nous avions alors obtenu au premier ordre en perturbation, et donc en dk:

(26) kdgradim

dEknknkn

rhrrr .

2

,ψψ −= ,

résultat important qui nous avait permis de dire que:

(27) knk Egradv rr

h

r 1= .

Au second ordre en perturbation, on va avoir, en traitant le terme quadratique en dk dans le développement de

kh r au premier ordre en perturbation et le terme linéaire au second ordre:

(28)

( )∑

≠ −

∇−+=

nn knkn

knkn

knknkn EE

uikkdm

u

udkm

uE’ ’

2

’

2

22

2

2 rr

rr

rrr

rrrh

hδ ,

et on trouve finalement que:

(29) ( ) ∑∑ ∑≠ −

+=

α β

βαβαδ

nn knkn

knknknkn

kn EE

uPuuPudkdk

mkd

mE

’ ’

’’

222

22

2 rr

rrrr

rhrh

,

ce qui, en faisant le lien avec la masse effective, nous permet de définir un tenseur masse effective m* tel que:

(30)

−

+=

∑

≠nn knknEE

W

mm ’ ’

1

*

1rr

αβαβ

αβ

δ

On peut par exemple appliquer ceci à des électrons dans un champ:

(31) ( )

∑∑ ∂∂

=∂

∂∂

=β

βαβ

β

β

β

βα δt

vm

t

v

v

k

dt

dk

h

*.

Or comme ( )BvEedt

kd rrrr

h ∧+−= , on a:

(32) [ ] ( )BvEedt

vdM

rrrr

∧+−=*

On va donc pouvoir traiter les problème en extremum de bandes comme des particules libres mais de masse la masse effective, qui contient les informations de la structure de bande induite par le champ cristallin.

I.1.3 Validité de l'hypothèse semi-classique:

L'hypothèse semi-classique est valable tant que les deux conditions suivantes sont

remplies:

(33)

( )[ ]

( )[ ]

<<

<<

F

gap

F

gapa

E

kE

m

eB

E

kEeE

2

2

h

Avant de justifier ces critères, prenons quelques exemples: →1 cas d'un mauvais métal : 21 /100;.100 cmAjcm =Ω= −µρ . Ceci implique que

cmVE /10 2−= . On a alors eVeEa1010~ − , et comme eVEF 1~ , on doit avoir

eVEgap510−<< . Ceci montre que l'approximation semi-classique n'est pas très bonne dans le

cas d'un métal. →2 cas d'un semi-conducteur intrinsèque. On a ici eVeEa

410−= , soit meVEgap 10<< .

Ceci n'est pas trop difficile à satisfaire (?) Quelle est l'origine de ces critères de validité? Rappelons l'allure de la courbe ( )kE dans le modèle des électrons presque libres:

On a par ailleurs k

Ev

∂∂=

h

1.

L'hypothèse semi-classique consiste à dire que l'on doit avoir Fvv <<∆ . En effet, le paquet d'ondes "représentant" l'électron doit rester assez piqué, et donc ne pas trop s'étaler au cours de son évolution.

Or kk

Ev ∆

∂∂=∆ 2

21

h, et donc on doit avoir

∂∂

<<∆

2

2

k

E

vk Fh

.

Par ailleurs, on a Kum

K

k

E 122

2

2

≈

∂∂ h

. Comme Fvm

K ≈h et Kgap uE = , la condition

s'écrit: F

gap

v

Ek

h<<∆

D'après les relations de Heisenberg, ceci implique que gap

F

E

vx

h>>∆ .

L'incertitude sur le champ électrique va donc être donnée par gap

Faa E

veExeEe

h>>∆=∆φ .

2

Dans le cadre du modèle semi-classique, il ne peut pas y avoir de transition interbande, ce

qui implique: gap

Fagap E

veEeE

h=∆>> φ , ce qui se réécrit

[ ]F

gap

F

a

E

E

k

eE2

<< . Enfin on a akF ~ ,

ce qui donne l'inégalité attendue.

I.2 Mouvement dans un champ électrique uniforme et constant:

Dans le cadre du modèle semi classique, l'égalité (15) s'intègre aisément en: (34) ( )0ktEek a

rh

rrh +−=

Par ailleurs, la vitesse de l'électron est donnée par:

(35) ( ) tEekEgradv ank

rrh

h

rr −= 0

1

Représentons une bande du cristal dans la première zone de Brillouin: Comme le comportement de la vitesse en t

est le même que sont comportement en kr

, à une constante multiplicative près, la structure de bande impose que la vitesse reste bornée. Ceci constitue une différence majeure avec les électrons libres : on ne peut pas accélérer jusqu'à l'infini des électrons placés dans un potentiel périodique : ils effectuent des oscillations, appelées oscillations de Bloch. On constate alors que:

→1 il n'y a pas de courant continu dans un cristal parfait

→2 l'application d'un champ électrique constant induit un courant alternatif dans le

conducteur. En fait, dans un vrai solide, la présence des impuretés entraîne l'apparition d'un courant

continu, dû aux collisions entre les électrons et les impuretés du cristal. Intéressons nous tout d'abord à la période de ces oscillations: Le temps mis pour parcourir la première zone de Brillouin est tel que:

(36) h

aeET

a=π2

, soit

(37) aa aeE

h

aeET == hπ2

Si on prend un champ électrique fort VEa410= , et

o

Aa 1= , alors τ311 1010 =≈ − sT , où

τ est le temps caractéristique des collisions.

vEn ,

tk ,r

On voit donc que les collisions avec les impuretés vont totalement détruire ce régime oscillant, puisque dans une période de ce mouvement l'électron va subir en moyenne un millier de collisions.

I.3 Mouvement dans un champ magnétique uniforme et constant:

On a toujours les relations du modèle semi-classique:

(38) Egraddt

rdkr

h

r1= et Bve

dt

kdk

rrr

h r ∧−=

Si on se donne un axe Oz parallèle à B, comme dans le traitement classique, ( )kEr

et zk seront des constantes du mouvement.

La trajectoire, dans l'espace réciproque, de l'électron sera donc une courbe s'appuyant sur une surface d'énergie constante et perpendiculaire à Oz .

Le sens dans lequel est parcouru l'orbite se déduit de la relation liant la vitesse au gradient de l'énergie. En effet, la vitesse va pointer vers les énergies plus hautes, ce qui donne le sens du parcours. Si on s'imagine alors marchant le long de l'orbite (dans l'espace des k) de l'électron, ces relations montrent que les hautes énergies vont se trouver à notre droite, si le champ magnétique pointe vers le haut.

D'après la relation donnant l'évolution temporelle de kr

, on a:

Bredkdk

rrrr ∧−= , ce qui implique que l'orbite électronique dans l'espace réel va se déduire

de celle dans l'espace des k par une rotation de 2/π autour de Oz suivie d'une homothétie de

rapport eB

h.

Pour des électrons libres, on retrouve que la pulsation correspondant à l'orbite est la

classique pulsation cyclotron m

eBc =ω .

Il faut remarquer que, dans le cas des électrons de Bloch, la structure de bande entraîne une déformation des surfaces d'énergies constantes, ce qui implique que dans un grand nombre de cas les orbites ne sont plus circulaires, ni même nécessairement fermées.

Nous pouvons alors évaluer le temps que met l'électron a parcourir la portion d'une orbite contenue entre 1k et 2k .

On a:

(39) ∫∫ ==−=∆ 2

1

2

112

k

k

t

t

dt

kd

kddtttt

r

r r

r

En utilisant les équations du modèle semi-classique, on a Bve

dt

kdk⊥= r

h

r

, ce qui donne

(40) ( ) BEgrade

dt

kdk ⊥= r

h

r

2

Selon ce petit schéma, on a ( )k

dEEgrad r

δ=⊥ , et donc:

(41) ∫=∆ 2

1

2k

kk

dE

kd

eBt

r

r

rr

h δ

L'intégrale donne justement l'aire comprise entre les deux orbites voisines de k

rδ , délimités

par 1kr

et 2kr

, ce qui donne au total, en désignant par 2,1A cette aire:

(42) E

A

eBt

∂∂

=∆ 2,12

h.

Si la courbe est une courbe fermée, on obtient la période du mouvement:

(43) ( )

*

2*2,2

c

z

eH

m

E

kEA

eBT

ωππ ==

∂∂

= h,

où on a définit la masse cyclotron par

(44) ( )

E

kEAm Z

∂∂

=,

2*

2

πh

.

Remarquons que l'on retrouve bien, dans le cas des électrons libres, mm =* , puisque

( ) Em

kkEA z 22 2

,h

ππ == .

I.3.1 Utilisation de B pour déterminer les propriétés de la matière.

Rappel sur les niveaux de Landau: Si on considère des électrons libres soumis à un champ OzB //

r, l'hamiltonien s'écrit:

(45) ( )2

2

1Aep

mH

rr += .

Les fonctions propres solutions de cet hamiltonien sont:

(46)

+=

eB

kxee

Ly

nzikik

kknzy

zy

hφψ 1

,, ,

et les énergies propres de ces états, appelés niveaux de Landau sont:

(47) cz

kn nm

kE

zωhh

++=

2

1

2

22

,

La dégénérescence d'un niveau de Landau est donnée, à zk donné, par:

(48) ( ) 22L

h

eBEg n = ,

et la densité d'états par unité de surface est donnée par:

E

E+dE

kr

δ

(49) ( ) ( )∑∫∞

∞−−=

nkn

z

zEE

dk

h

eBEg ,2

2 δπ

, soit:

(50) ( ) ∑=

+−

=0

0

2

1

12

2 n

n

cnEh

eBEg

ωπ

h

,

avec 0n tel que cc nEn ωω hh

+<<

+

2

3

2

100 .

La densité d'états à donc l'allure suivante:

La densité d'état, qui est un des paramètres

les plus importants en ce qui concerne les propriétés électriques du conducteur, présente donc des singularités à chaque fois que

(51) m

e

En

B F

h

+=

2

11.

II Equation de Boltzmann:

II.1 Fonction de distribution des électrons.

Nous nous intéressons maintenant à un modèle permettant d'expliquer le transport

électronique dans les différents corps cristallins. Considérons un volume élémentaire de l'espace des phases kdrd

rr 33 , avec macrorda <<<< r3 .

Le volume occupé par un état vaut V

38π, ce qui implique que le nombre d'états contenus

dans ce volume élémentaire vaut (avec le spin):

(52) ( ) kdrd

krnr

rrr 3

3

3

4,

π= .

On appelle alors fonction de distribution la fonction donnant la proportion de ces états qui sont occupés. On aura donc

(53) ( ) kdrdtkrfrrrr 33

2.,,

4

1

π : nombre d'états occupés dans ce volume élémentaire.

II.2 Equation de Boltzmann:

Lorsqu'il n'y a pas de collision, la fonction ( ) ( )( )tktrf

rr, est une constante. En effet, il s'agit

d'une distribution satistique qui ne varie pas tant que les électrons ne sont pas soumis à un potentiel différent que celui du champ cristallin.

2

h

2

3h

2

5h

2

7h

Ceci implique par différentiation que:

(54) 0.. =∂∂++

t

ffgrad

dt

kdfgrad

dt

rdkrrr

rr

(équation de Liouville)

Par ailleurs, comme les collisions sont des phénomènes soudain et rapide, on ne peut pas leur appliquer le modèle semi-classique.

Ici nous donnons à collision son sens le plus large, c'est-à-dire une interaction rapide avec, les impuretés, les défauts du cristal, les atomes extérieurs, les phonons acoustiques et optiques…

L'équation de Liouville va alors être modifiée en équation de Boltzmann:

(55) .

..coll

kr t

f

t

ffgrad

dt

kdfgrad

dt

rd

∂∂=

∂∂++ rr

rr

III Approximation du temps de collision

III.1 Hypothèse de l'équilibre local:

On va essayer de modéliser les collisions. Cette approximation consiste en fait à oublier

l'origine microscopique des collisions. On fait tout d'abord l'hypothèse de l'équilibre local : on suppose qu’il est possible de

découper le système en cellules élémentaires, suffisamment grandes pour pouvoir y définir des grandeurs thermodynamiques (T, P, µ ), mais petites à l'échelle du système et surtout suffisamment petites pour pouvoir considérer que ces grandeurs thermodynamiques y sont uniformes.

On fait alors l'hypothèse suivante: Les collisions ont tendance à ramener la fonction de distribution vers celle de l'équilibre

local.

On écrit donc que ( )v

ff

t

f

coll τ0−

−=

∂∂

, où 0f est la fonction de distribution de l'équilibre

local. Par exemple, et c'est ce que nous considérerons dans la suite,

(56) ( ) ( ) ( )( ) 1

1,,0

+

=−

rTk

rk

Be

tkrfr

rr

rr

µε, fonction de Fermi – Dirac.

III.2 Linéarisation:

On va supposer que les effets qui vont écarter le système de l'équilibre vont être faibles, et

on va développer f par: (57) 10 fff += , avec 01 ff << .

III.3 Vecteurs densité de courant électrique et de flux de chaleur:

On a directement que le vecteur densité de courant électrique vaut :

(58) ( ) ( ) ( )∫−=PZB

e kvtkrfkde

trjrrrrrrr

,,4

, 33π

.

Si on veut déterminer Qj

r, on doit utiliser l'expression thermodynamique des deux

principes: (59) eVdNdNdUTdS +−= µ , ce qui implique que :

(60) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )∫ −−=PZB

Q kveVktkrfkdtrjrrrrrrrr

µεπ

,,4

1, 3

3

Réécrivons alors l'équation de Boltzmann (65) dans l'approximation du temps de collision:

(61) τ

0..ff

t

ffgrad

dt

kdfgradv kr

−−=

∂∂++ rr

rr

.

On va alors supposer que la seule dépendance de f en t se trouve par l'intermédiaire de r et

k, c'est-à-dire que 0=∂∂

t

f.

En utilisant alors la linéarisation (57) de f, on a:

(62) ( )v

f

t

ffgrad

dt

kdfgradv kr τ

100 .. −=

∂∂++ rr

rr

Or, d'après (56), on a:

(63) vf

gradf

fgrad kk

rhrr

εε

ε ∂∂

=∂∂

= 000

(64) ( ) ( )rTgradT

frgrad

ffgrad rrr

rrrrr

∂∂

+∂∂

= 000 µ

µ

Toujours d'après (56), εµ ∂

∂−=∂∂ ff

et par ailleurs, si l'on pose Tk

XB

µε −= , on a :

(65) ε

εµεµε∂∂

∂∂−−=

∂∂−−=

∂∂ 0

20

20 f

XTkX

f

TkT

f

BB

ce qui implique que:

(66) ε

µε∂∂−−=

∂∂ 00 f

TT

f.

On est bien sûr toujours dans l'étude d'un système soumis à une force extérieure, et dans un

cadre semi-classique, ce qui implique que Fdt

kd r

h

r1= .

Toutes ces transformations permettent d'obtenir une forme assez simple de l'équation de Boltzmann:

(67) ( ) vd

fTgrad

TgradFvf rr

rrrr

εµεµτ 0

1 .∂

−++−=

Ceci nous permet de réécrire les expressions des courants ejr

et Qjr

. En effet, la

contribution de 0f à ces courants va être nulle puisque, lorsqu'il n'y a aucun gradient ni

aucune force extérieure, ceux-ci doivent être nuls, et que la contribution de 1f dans ce cas est

nulle. Mathématiquement, ceci se voit à la parité de la fonction vfr

.0 en kr

( 0f dépend de k par

l'intermédiaire de l'énergie, et est donc paire en k, et v est impaire en k). Par ailleurs, dans l'expression du courant de flux de chaleur, on va pouvoir négliger le

terme en eV, puisqu'il va être du second ordre après multiplication par 1f (on suppose que la force extérieure est déjà du premier ordre, ceci nous ayant permis de linéariser f).

On a donc:

(68) ( ) ( ) ( )∫−=PZB

e kvtkrfkde

trjrrrrrrr

,,4

, 13

3π

(69) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )∫ −=PZB

Q kvrktkrfkdtrjrrrrrrrrr

µεπ

,,4

1, 1

33

Remarque importante:

On a montré que ε

α∂∂ 0

1

ff (67). Or si l'on trace 0f en fonction de l'énergie, on voit que

pour ( ) 10 =εf , c'est-à-dire pour une bande

pleine, on a 00 =∂∂

εf

, et que pour ( ) 00 =εf ,

c'est-à-dire pour une bande vide, on a 00 =∂∂

εf

.

Ceci signifie clairement que les bandes complètement vides ou complètement pleines ne vont pas participer à la conduction, thermique ou électrique.

On peut par ailleurs exprimer les diverses composantes des courants considérés:

(70)

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

∂∂−

−

∂∂

−−

∂∂+

∂∂

−=

∂∂

∂∂−+

∂∂+−=

∫

∑ ∫

∫ ∑

ββα

β βββα

ββ

βββαα

µεετεπ

µετεπ

εµεµτ

π

x

Tkvv

fkd

e

eT

xeEvv

fkd

e

vf

x

T

TxeEvvkd

ej

PZB

PZB

PZB

e

rr

r

r

033

2

033

2

033,

.4

1

1.

4

4

Si on pose:

(71) ( ) ( ) ( )( )νβαναβ µεετ

επ−

∂∂

−= ∫ kvvf

kde

LPZB

rr03

3

2

.4

,

cette expression devient:

(72) ( ) ( )∑

∂∂−−

∂∂+=

β βαβ

ββαβα

µx

TL

eTxeELje

10 11.

f

ε

1

Fεµ =

On trouve de même que:

(73) ( ) ( )∑

∂∂−+

∂∂+−=

β βαβ

ββαβα

µx

TL

TexeEL

ejQ

22

1 111

Tout le problème de détermination des propriétés de conduction du système considéré

revient à la détermination des coefficients ( )ναβL , puisque seuls ces termes font intervenir les

variables internes du système.

III.4 Electrons et trous:

Reprenons (71) de manière plus condensée:

(74) ( ) ( )∫ ∂∂

=PZB

vlf

kdL βν

αβναβ ε

03 .r

, avec

(75) ( ) ( ) ( )( )ναν

αβ µεετπ

−−= kve

lr

2

2

4

Or on a β

βε

kv

∂∂=

h

1, ainsi que

ββ

εε k

f

k

f

∂∂

=∂∂

∂∂ 00 , ce qui implique que:

(76) ( ) ( )∫ ∂∂

=PZB

lk

fkdL ν

αββ

ναβ

03 .1 r

h

Si on effectue une intégration par partie, on obtient immédiatement:

(77) ( )( )[ ]

∂∂

−∂

∂= ∫∫

PZBPZB k

lfkd

k

lfkdL

β

αβ

β

ναβν

αβ 03031 rr

h

Or la fonction ( )ναβlf0 ne dépend de k

rque par l'intermédiaire de ε et de v, qui sont des

fonctions périodiques de kr

. ( )ναβlf0 est donc périodique, et la sommation sur le premier terme

est donc nulle. On a donc:

(78) ( ) ∫ ∂∂

−=PZB k

lfkdL

β

αβναβ 0

31 r

h

Or 0f représente les états peuplés dans la distribution d'équilibre local. Comme:

(79) ( )

03 =∂∂

∫PZB

kdk

l r

β

ναβ

puisque la fonction ( )ναβl est périodique, on peut écrire que:

(80) ( ) ( )∫ ∂∂

−=PZB k

lfkdL

β

αβναβ 0

3 11 r

h.

Mais physiquement, le coefficient 01 f− représente exactement les états vides dans la

distribution d'équilibre local. Ceci permet d'introduire la notion d'électrons et de trous, et de justifier que l'on puisse

indifféremment raisonner sur les électrons "réels" ou sur les trous "imaginaires".

Par définition un trou est un électron manquant dans une bande, et il a les caractéristiques suivantes:

- eqT +=

- −−=eT EE

- −−=eT kkrr

- −=eT vvrr

- ** −−=eT mm

III.5 Phénomène de conduction dans les métaux:

On considère ici un gaz d'électrons dégénéré, et on utilise donc la statistique de Fermi –

Dirac, c'est-à-dire que la fonction de distribution de l'équilibre local va être donnée par (56) Les coefficients ( )ν

αβL définis par (71) dépendent de la fonction de distribution par

l'intermédiaire de sa dérivée par rapport à l'énergie. Avant de les calculer, regardons donc

l'allure de ε∂

∂ 0f.

Or on a FBTk ε<< , ce qui signifie que vis-à-vis de la densité électronique, la fonction ε∂

∂ 0f

va se comporter comme une fonction δ . La conséquence physique de ce fait est que le comportement du matériau va être relié à la densité d'état à l'énergie de Fermi uniquement.

Calculons à présent ces coefficients:

Pour ce faire, on va effectuer une sommation non pas sur

les vecteurs de l'espace réciproque, mais sur l'énergie, la correspondance entre les deux étant suggérée par le schéma. D'après (71):

(81)

( ) ( )( )

( ) ( )∫

∫ ∫∫

∂∂

−=

∇−

∂∂

−=

εν

αβ

εε

βανν

αβ

εε

ε

ετµε

εε

π

Ff

d

dSvv

fd

eL

kS k

kk

0

03

2

4 r

r

f0

ε

1

Fεµ = Fε

ε∂∂ 0f

TkB

ε

yk

xk

zk

( )εkS

( )εε dS k +

εε

k

ddk

r

r∇

=⊥

avec: (82) ( ) ( ) ( ) ( )εµεε αβ

νναβ gF −= , et

(83) ( ) ( )( )∫∫=

εβααβ τ

πε

kS

k

v

dSvvk

eg r

r

h4

2

Etant donné les remarques faites d'après l'allure de ε∂

∂ 0f, on va pouvoir développer la

fonction ( )ναβF autour de Fε :

(84) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

FF

d

Fd

d

dFFF F

FF

εε

ναβ

εε

ναβν

αβν

αβ εεε

εεεεε

==

−+−+=

2

22

2.

Regardons à présent la contribution des différents termes de ce développement dans l'expression de ( )ν

αβL :

→1 le premier terme va donner:

(85) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )FFF Ff

Ff

dF εε

εε

εε ναβ

ναβε

ναβ =

∂∂

−=

∂∂

−∞

∫0

00 .

→2 le second terme va donner une contribution nulle puisque ε∂

∂ 0f est paire par rapport à

Fε et ( )Fεε − est quant à elle impaire. Ceci nous permet d'écrire:

(86) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫

∂∂

−−+=ε

ναβ

ναβ

ναβ ε

εεεε 02"2

1 fFFL FFF

Un développement d'Onsager permet de calculer le second terme, ce qui donne:

(87) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )FBF FTkFL επε ναβ

ναβ

ναβ "

62

2

+=

En reprenant alors l'expression (82), on obtient: (88) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )εµεεµενεµεννε αβ

ναβ

ναβ

νναβ "’21" 12 gggF −+−+−−= −−

Par ailleurs, les divers courants ne dépendent des ( )ναβL que pour 3;2;1∈ν . Ceci nous

permet d'expliciter plus avant ces coefficients: (89) 01 =→ ν : ( ) ( ) ( )FF gF εε αβαβ =0 et ( ) ( ) ( )FF gF εε αβαβ "" =0

(90) 12 =→ ν : ( ) ( ) 01 =FF εαβ et ( ) ( ) ( )FF gF εε αβαβ ’2"1 =

(91) 23 =→ ν : ( ) ( ) 02 =FF εαβ et ( ) ( ) ( )FF gF εε αβαβ 2"2 =

III.5.1 Application à la conduction électrique:

La composante α du courant électrique s'écrit: (92) ∑=

ββαβα σ Ej ,

où les αβσ sont les composantes du tenseur conductivité électrique.

Or, d'après l'expression (72), on s'aperçoit immédiatement que, en utilisant (89):

(93) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )FFFBF gFFTkFL εεεπεσ αβαβαβαβαβαβ =≈+== 0022

00 "6

Or, d'après (83):

(94) ( ) ( )∫∫=FS

kF v

dSvvk

eg r

r

hβααβ τ

πε

4

2

, avec ( )FkF SS ε= .

Ceci implique physiquement que pour que la conductivité électrique soit importante, il faut

que les électrons aient des vitesses élevées sur la surface de Fermi. Or le modèle des électrons presque libres avait donné une relation de dispersion de la forme:

Il faut donc que la sphère de Fermi soit loin de la limite de la

PZB. Ceci implique que les métaux alcalins, par exemples, ou les métaux nobles, vont être de bons conducteurs.

Pour aller plus loin dans le calcul de la conductivité, il faut supposer que ( ) ( )εττ =k , ce

qui implique que, en utilisant (93) et (94):

(95) ( )∫∫=FS

FF v

dSvv

er

hβααβ ετ

πσ 3

2

4

Si on considère ensuite un cristal à symétrie cubique, l'isotropie nous donne directement que:

(96) ( ) ∫∫=FS

FF vdSe

3

1

4 3

2

αβαβ δετπ

σh

Si on se place enfin dans un modèle d'électrons libres (ceci étant justifié pour les bons

conducteurs où la surface de Fermi est loin de la limite de la PZB), où m

kv

h= , on obtient que

(97) 3

0

2

0

3 4sin FF

S

F km

kddm

vdSF

hh πθθπ π

=ϕ= ∫ ∫∫∫ ,

soit

(98) ( )

2

32

3πετσ FF k

m

e=

Or ==3

3

2

3

43

41

3 ππ

πVk

V

k FF nombre d'électrons/unité de volume, ce qui redonne la formule

classique de Drude:

(99) ( )

m

ne Fετσ2

= .

Mais ici, τ est radicalement différent, puisqu'il ne prend en compte que les états à l'énergie de Fermi.

Numériquement, ceci donne une conductivité de l'ordre du cm.Ωµ à température ambiante, valeur correspondant à l'ordre de grandeur des valeurs expérimentales.

0=v

Physiquement, qu'a modifié l'introduction de τ par rapport à la situation initiale qui entraînait, dans un champ électrique, des oscillations de Bloch?

Ceci se voit en utilisant l'équation de Boltzmann en champ électrique uniquement:

Comme εkgradv r

h

r 1= , l'équation (67) en champ électrique seul se réécrit:

(100) ( ) ( ) 00

1 fgradEe

vf

gradEe

vf kkrr

h

r

h

r

τε

δετ =∂

=

En se souvenant que la nouvelle fonction de distribution s'écrit: 10 fff += , on a

(101) ( ) 00 fgradEe

vff kr

h

r

τ+= ,

expression qui s'apparente à un développement de Taylor de f en kr

. On a donc

+= τ

h

rr Eekff 0

Graphiquement, ceci se représente par la sphère de Fermi:

La forme de la surface de Fermi reste donc la même, mais il y a plus d'électrons, dans la

qui on des xk négatifs que positifs (avec x la direction du champ électrique), ce qui induit le

courant électrique.

III.5.2 Application à la conductivité thermique

On se place dans les conditions expérimentales suivantes:

- 0r

≠Tgrad

- 0rr

=ej

Ceci implique, d'après (72), qu'il y a apparition d'un champ électrique. On écrit la relation liant le courant de chaleur au gradient de température selon:

[ ] TgradKjQ αβ−=r

, où [ ]αβK est le tenseur conductivité thermique.

Il s'agit maintenant d'évaluer ce tenseur

Er

yk

xk

yk

xk

Or, si l’on reprend l’expression de 0rr

=ej , on obtient que:

(102) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

∂∂−=

ββ x

TL

eTEL .

1. 10 ,

où les ( )[ ]νL sont les matrices ( )( )αβ

ναβL , et ( )[ ]βE et Tgrad

x

T −=

∂∂−

β

sont les vecteurs

de composantes βx

T

∂∂− et βE .

L'équation (73) devient alors:

(103) ( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )TgradLTe

LLLTe

jQ −

+−= − 2

21101

2

11r

Or, on a les relations: - ( )

αβαβ σ=0L

- ( ) ( ) ( )FB gTkL επαβαβ ’2

62

21 =

- ( ) ( ) ( ) αβαβαβ σπεπ2

62

62

22

22 TkgTkL BFB ==

ce qui donne, en introduisant les tenseurs [ ]σ et ( )[ ]Fg ε’ , évidemment définis:

(104) [ ] ( ) ( )[ ][ ] ( )[ ] TgradggTke

Tkj FFB

BQ

−−= − εσεπσπ’’

3312

2

2

2r,

et donc:

(105) [ ] [ ] ( ) ( )[ ][ ] ( )[ ]

−= −FFB

B ggTke

TkK εσεπσπ

αβ ’’33

122

2

22

Or en reprenant les résultats du modèle d'électrons libres établis au paragraphe précédent,

on a ( ) ( ) 32

2

3 FF

F km

eg

πετεαβ = , et donc, comme

2

3

23 2

=

h

εmkF ,

( ) ( )F

FF

m

m

eg ε

πετεαβ 2

32

3’

2

3

22

2

=h

, soit, puisque ( )

2

32

3πετσ FF k

m

e= ,

F

gεσ

αβ 2

3’ = . Ceci

nous permet de déterminer l'ordre de grandeur du second terme dans l'expression de αβK :

( ) ( )[ ][ ] ( )[ ] ( ) σε

σεσ

σεσεσε <<

≈≈−

2

212 1’’

F

B

FFBFFB

TkTkggTk

On retrouve alors la loi de Wiedemann – Franz:

(106) [ ] [ ]σπαβ Tk

eK B

22

2

3=

Cette relation a une grande généralité à partir du moment où on ne considère que des

processus élastiques. En effet, dans ce cas, les modifications de Qjr

– qui en toute généralité se

font soit via l'énergie soit via le vecteur d'onde – ne se font ici que par le biais de kr

, soit de la même manière que ej

r.

Cette relation est donc vérifiée même en dehors d'un modèle d'électrons libres, ou même en dehors du modèle semi – classique, à partir du moment où l'on peut négliger les processus inélastiques.

III.5.3 Effets thermoélectriques

→1 Effet Seebeck:

Si on impose un gradient de température sur un circuit ouvert, on observe l'apparition d'un

champ électrique tel que:

(107) ( )( )[ ] ( )[ ]( ) [ ] TgradQTgradLLeT

E =−= − 1101r

Or, d'après (98), pour des électrons libres:

(108) ( ) ( ) ( ) 2

3

22

20 2

3

==

h

FFF

m

m

egL

επ

ετεαβαβ

et

(109) ( ) ( ) ( )22

1

6’2 TkgL BF

πεαβαβ = , avec ( ) ( )F

FF

m

m

eg ε

πετεαβ 2

32

3’

2

3

22

2

=h

,

On a donc:

(110) ( )

F

B

F

B

e

TkTk

eTQ

επ

επ

22

1 2222

−=−= , où Q est le coefficient Seebeck, et vaut dans les

métaux usuels environ KV /10.2 6− .

→2 Effet Peltier: il s'agit de l'apparition d'un courant de chaleur lorsque l'on a un courant électrique donné et un gradient de température nul. On définit alors un coefficient Peltier par:

(111) ( )[ ] ( )[ ] [ ] eeQ jjLLe

jrrr

Π=−=−101 .

1

On a alors directement que: (112) [ ] [ ]TQ=Π

III.6 Phénomène de conduction dans les semi – conducteurs:

Etant donné le remplissage des bandes dans les semi – conducteurs, la différence

fondamentale avec les métaux est que, puisque le gap est très grand devant TkB , que la

densité d'énergie va "voir" la queue de ε∂

∂ 0f.

La partie de 0f considérée va donc être TkB

F

efεε −

=0 , ce qui implique que, dans cette zone:

(113) Tk

ff

B

00 =∂∂

−ε

.

On suppose par ailleurs – ce qui rejoint une description en termes de masse effective – que puisque seule la partie extrémale de la bande va intervenir:

(114) ( )∑ −

+=α α

ααεεm

kkkk

20

2

20

hrr .

On pose alors 00

=krε , ce qui revient uniquement à fixer une origine des énergies et est

donc sans aucune influence sur le problème. Il s'agit alors, comme dans les métaux, d'évaluer les coefficients ( )ν

αβL .

Effectuons pour cela un changement de variable α

ααα

m

kkq 0−

= , ce qui donne 2

22qq

hr =ε .

On a alors kdmmmqdrr 3

3213 = , ainsi que

( )α

α

α

αα

αα

εm

q

m

kk

kv

hh

h=

−=

∂∂= 01

.

Ceci nous amène à une nouvelle expression de ( )ναβL :

(115) ( ) ( )( )∫∫∫ −

∂∂

−=q

qdmmmm

q

m

qfeL r

rhh 3321

03

2

4 β

β

α

ανναβ µεετ

επ.

En coordonnées sphériques, on obtient donc:

(116) ( ) ( )( ) ϕ−

∂∂

−= ∫ ∫ ∫= =ϕ

ddmmmm

q

m

qdqq

feL

q

..sin4 0

2

0

32120

3

2

θθµεετεπ

π

θ

π

β

β

α

ανναβ

hh

Les coordonnées α et β correspondent à des coordonnées cartésiennes. Examinons les différents cas:

- 0sin.cos.sin 22 →ϕϕ= θqqq yx par parité après sommation sur ϕ

- 0coscossin2 →ϕ= θθqqq zx par parité après sommation sur ϕ

- 0sincossin2 →ϕ= θθqqq zy par parité après sommation sur ϕ

On a donc forcément βα = . Si on examine ces cas, on trouve que:

- πθ .3

4cossin 2222 →ϕ= qqx

- πθ .3

4sinsin 2222 →ϕ= qq y

- πθ 2.3

2cos222 →= qq z

Ces considérations nous permettent d'écrire:

(117) ( ) ( )( )∫ −

∂∂

−=q

dqqmm

mmmfeL 4321

20

2

2

3ν

αββα

ναβ µεετδ

επh

On effectue alors un changement de variable en énergie, et, puisque:

- 4

24 4

h

ε=q

- qdqd 2h=ε , soit ε

εddq

2

12

h

h=

On trouve alors:

(118) ( ) ( )( ) εε

εµεετδεπ ε

ναβ

βα

ναβ d

mm

mmmfeL ∫ −

∂∂

−=2

114

3 4

2321

20

2

2

hh

h

Si on écrit par ailleurs que ( ) ( ) kdkdknqdqnrrrrr 3

333

4

1

π== , on trouve que:

(119) ( )3

321

3

3

3 44

1

ππmmm

qd

kdqn == r

rr

.

En introduisant la densité d'énergie telle que ( ) ( ) dqqqndN 24πεε = on tire

que ( ) ( ) εε

επεε dqndN2

124

2hh

= , soit:

(120) ( )ε

επ

ε 1232

321

h

mmmN =

Si on introduit cette densité d'états en énergie dans l'expression de ( )ναβL , on trouve:

(121) ( ) ( )( ) ( ) εεεµεετδεε

ναβ

βα

ναβ dN

mm

feL ∫ −

∂∂

−= 1

3

2 02

Enfin si on exprime le fait que Tk

ff

B

00 =∂∂

−ε

, on obtient finalement:

(122) ( ) ( )( ) ( )∫ −=ε

ν

α

βναβ εεεµεετ

δdNf

mTk

eL a

B0

2

3

2

Ceci nous permet de tirer directement l'expression de la conductivité électrique:

(123) ( ) ( ) ( )∫== 0

εα

αβαβαβ εεεετ

δσ dNf

mTk

eL

B0

2

3

2,

que l'on peut écrire sous une forme habituelle:

(124) ( )

αβα

αβ δτ

σm

eTn 2

= ,

avec:

- ( ) ( )∫∞

=0

0 . εεε dNfTn

-

( ) ( )

( )∫

∫∞

∞

=

0

0

0

0

.

.1

εεε

εεεεττ

dNf

dNf

TkB

Remarque: ici les variations en température de la conductivité vont être dans le terme

( )Tn , c'est-à-dire que celle-ci va varier en Te1−

.

Expérimentalement, on obtient la courbe suivante:

III.7 Transport sous champ magnétique

On considère un électron dans un conducteur. En s'appuyant sur des résultats de masse

effective, on a ( )*2

22

m

kk

hr=ε

Plaçons nous dans une configuration où un champ électrique et un champ magnétique coexistent, mais où ils sont croisés.

L'équation de Boltzmann s'écrit alors, puisque les champs sont statiques et uniformes:

τ1ff

Fk

−=∇ r

r

h

r

, avec 01 fff −=

Ceci se réécrit en:

101 . fBveFv

ffkr

rrrrr ∇∧−∂∂

=−ετ

On va alors chercher 1f sous la forme ( )

∂∂

−=ε

ε 01 .

fcvfrr

. En injectant cette expression

dans l'équation de Boltzmann, on obtient: ( )

( ) ( )Bvcm

evEe

cv rrrrrrr

∧−=−*

..

ετε

, soit ( ) cBm

eEe

c rrrr

∧−=−*ετ

Introduisons la pulsation cyclotron vectoriellement, définie par *m

Bec

rr =ω . On a:

- ( ) 0... == cc Eec ωετω rrrr puisque les champs sont croisés

- ( ) ( )ετωωωω c

Eec cccc

rrrrrrr ∧+∧=∧∧ .

Ceci nous permet de tirer que:

22

2

22 11 τωωτ

τωτ

c

c

c

EeEec

+∧

−+−=

rrrr

Régime extrinsèque

Régime intrinsèque

Pente en énergie d'activation Ed/k

Pente en énergie d'activation Eg/k

Quand tous les porteurs du niveau donneurs sont passés dans la bande de conduction

1/T

lnR

La densité de courant électrique s'écrit alors:

∫∫∫−=PZB

e kdfvejrrr

3134

1

π, qui mène au final à l'expression de la conductivité électrique

définie par:

=

y

x

yyyx

xyxx

y

x

E

E

j

j

σσσσ

, à [ ]

++

+−

+=

2222

2

22

2

222

11

11

*

τωτ

τωτω

τωτω

τωτ

σ

cc

c

c

c

c

m

ne,

avec

εεε

εεε

df

Xdf

X2

30

2

30

∫

∫

∂∂

−

∂∂

−=

Le résultat obtenu est donc identique à celui obtenu dans le cadre du modèle de Drude, aux

valeurs moyennes près, qui font intervenir le caractère quantique du problème, via la fonction de distribution 0f .

III.7.1 Effet Hall

On a, d'après la géométrie du système 0=yj , ce qui

donne que yyx

yyx EE

σσ

−= , et donc:

yxy

yyxxxyx Ej

σσσσ −

=2

→1 limite de champ magnétique fort 1>>τω c .

On obtient directement que yyc

x EB

neE

m

nej −=−=

ω1

*

2

→2 limite de champ magnétique faible 1<<τω c

On obtient alors une expression moins simple:

yx EB

nej

2

2

ττ

−=

Dans le cas d'un métal, seule l'énergie de Fermi intervient, ce qui, compte tenu de

l'expression des valeurs moyennes, implique 22 ττ = . On retrouve alors l'expression de la

limite champ fort.

HV

x y

Br

I

Dans le cas d’un semi – conducteur, si on suppose que ( ) sεετ = , on trouve que la

résistance de Hall va être donnée par

+Γ

Γ

+Γ

−=s

s

neRH

2

52

52

2

51

2

III.7.2 Magnétorésistance

Selon le modèle de Drude, le tenseur résistivité est donné par:

[ ] [ ]

−

== −

1

12

1

τωτω

τσρ

c

c

ne

m

Ceci implique que si l'on définit la magnétorésistance telle que, si 0=yj , alors

( ) xx EBj σ= , il n'y a pas de magnétorésistance dans le modèle de Drude.

Or, en fait, on a, pour 0=yj et pour 1<<τω c :

- τσ ∝=0B

- 3222

~1

τωττω

τσ c

c

B −+

∝ ,

ce qui donne 232 Bc ∝−=∆ τωσσ

Et pour 1>>τω c , on a:

stec C→−

=∆

−

τ

τωτ

σσ 2

1

: il y a une saturation de magnétorésistance.

IV Ecrantage

IV.1 Constante diélectrique généralisée

Considérons un milieu isotrope et linéaire. L'électromagnétisme donne alors les équations

suivantes: (125) ED r

rrεε 0= ,

et les équations de Maxwell s'écrivent: (126) extDdiv ρ=

r et indextEdiv ρρε +=

r

0 , avec Pdivindr

−=ρ

Par ailleurs, on a:

(127) VgradE −=r

et extVgradD 0ε=r

, ce qui implique que r

ext

V

V ε= .

Considérons à présent un gaz d'électrons libres accompagné de 0n charges positives.

Le potentiel extérieur s'écrit alors directement, d'après la relation donnant rε :

(128) ( ) ( ) ( )∫= ’’,’3 rVrrrdrV ext rrrrr ε

Or comme le milieu est homogène, on peut supposer que ( ) ( )’’, rrrrrrrr −= εε . Une

transformation de Fourier mène alors à la relation: (129) ( ) ( ) ( )qVqqV ext rrr ε= Les relations de Maxwell énoncées ci-dessus mènent par ailleurs à:

(130) 0ερρ indext

V+=∆ et

0ερ ext

extV =∆ , ce qui s'écrit en Fourier:

(131) ( ) ( ) ( )0

2

ερρ qq

qVqindext rr

r += et ( ) ( )0

2

ερ q

qVqext

ext

rr =

Ceci nous permet de tirer directement l'expression de ( )qr

rε :

(132) ( ) ( )( ) ( )

( )( )qVq

q

qq

qq

ind

indext

ext

r

r

rr

rr

20

1ε

ρρρ

ρε −=+

=

IV.2 Ecrantage dans l’approximation de Thomas - Fermi

Cette approximation est une approximation semi – classique permettant de déterminer,

entre autre, quel est le potentiel électrostatique effectif induit par un électron perçu par le milieu. Cette approximation est valable si le potentiel varie très lentement à l'échelle de la maille atomique, à savoir Fkq << .

La densité électronique en un point rr

donné vaut:

(133) ( ) ( ) ( )∫+

=−−

14

1 3

3

Tk

reVk

Be

kdrn

µεπrr

rr

, avec ( )m

kk

2

22hr

=ε

Par ailleurs, lorsque ce potentiel perturbateur n'est pas présent, c'est-à-dire lorsque l'on ne tient pas compte des interactions électron – électron, on a:

(134) ( )∫+

=−

14

1 3

30

Tk

k

Be

kdn

µεπr

r

On a donc:

(135) ( ) ( )( ) ( )µ

µµ∂∂

+=+= 000

neVnreVnrn

rr

Ceci implique que la densité électrique induite vaut:

(136) ( )( )µ

ρ∂∂

−=−−= 020

nVenrneind r

Et la constante diélectrique correspondante s'écrit,

(137) ( )2

200

20

2

11q

kn

q

eq +=

∂∂

+=µε

ε r, où 0k est le vecteur d'onde de Thomas – Fermi.

Par ailleurs, si ( )2

0q

QqV ext

ε=r

(potentiel coulombien), on a

(138) ( ) ( )( ) ( )2

02

0 kq

Q

q

qVqV

ext

+==

εε r

rr

,

ce qui implique que:

(139) ( ) rker

QrV 0

04−=

πεr

On comprend alors bien la notion d'écrantage : le potentiel créé par une charge ponctuelle n'est plus à longue portée, mais elle n'est perçue dans le milieu que sur une distance caractéristique de l'ordre de 0/1 k .

IV.2.1 Cas des métaux:

On a, dans le cas d'un métal:

(140) ( )

( )∫ += − 1

./0 TkBe

gdn µε

εε, avec ( )

22

2

hh

mEng

πε = .

On en déduit que:

(141) ( ) ( )Fgf

gdn ε

εεε

µ=

∂∂

−=∂∂

∫ 00 . ,

puisque la fonction ( )F

f εδε

≅

∂∂ 0 . On en déduit la valeur du vecteur d'onde de Thomas –

Fermi:

(142) Fkne

k22

0

220

hπε= , ce qui numériquement s'écrit:

Fs k

a

rk

2/1

00 815,0~

, avec sr tel que 1

3

4 30 =srn π , rayon de sphère dure de l'électron.

Typiquement, une charge dans un métal est écrantée sur la distance d'une maille.

IV.2.2 Cas des semi – conducteurs:

On a dans ce cas:

(143) Tk

nn

B

00 =∂∂

µ

Et on aura:

(144) Tk

nek

Br

0

0

220 εε

= , ce qui donne un 0λ de quelques nanomètres.