I Cristallographie - LMM · PDF fileCristallographie I 1 I. CRISTALLOGRAPHIE Introduction et...

Cristallographie

I 1

I. CRISTALLOGRAPHIE

Introduction et Objectifs :

- familiarisation avec les différents états de la matière

- description de l’état cristallin

- les structures des métaux, céramiques et polymères

Préparation au TP :

« Introduction à la science des matériaux », eds. W. Kurz, J.-P. Mercier, G. Zambelli, 3e édition,

Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1999.

La connaissance des chapitres suivants est demandée :

Chap. 3 Structure et organisation des solides

en particulier : 3.1, 3.2, 3.3 (savoir utiliser les indices de Miller)

Chap. 4 Structure des principaux matériaux

en particulier : 4.1, 4.2, 4.3, 4.4

Manipulations :

1. Construire des modèles de sphères de diverses structures des matériaux

2. Identifier les particularités des modèles étudiés

3. Chaque équipe d’étudiants réalise et analyse un modèle et présente ses résultats et

observations aux autres groupes

4. Chaque étudiant répond à des questions spécifiques en relation avec le modèle étudié par

le groupe

Matériel à disposition :

- sphères (polystyrène expansé, PS, épingles, pâte à modeler)

- assemblage de sphères par collage (toluène diluant le PS) ou cure-dents

Rapport

Il est souhaitable que le rapport soit organisé de façon suivante :

- Introduction (présentation du sujet, définir les objectifs)

- Description du modèle construit pendant le TP

- Description des modèles des autres groupes selon la démonstration faite devant tout le

monde (moins détaillé que la présentation du modèle de votre groupe)

- Réponse aux questions en cristallographie en rapport avec la structure étudiée (les

questions se trouvent sur une feuille à part)

- Conclusions

Cristallographie I 2

Crystallography: Miller Indices

Source: Klein and Hurlbut (21st Ed) p. 41-45

Source: http://www.gly.uga.edu/schroeder/geol6550/zoneaxis.gif

Miller Indices are a symbolic vector representation for the orientation of an atomic plane in a

crystal lattice and are defined as the reciprocals of the fractional intercepts which the plane makes

with the crystallographic axes.

The method by which indices are determined is best shown by example. Recall, that there are

three axes in crystallographic systems (*except sometimes in the hexagonal system adopts a

convention where there are four axes). Miller indices are represented by a set of 3 integer

numbers.

(111) plane :

If you want to describe the orientation of a

crystal face or a plane of atoms within a

crystal lattice, then there are series of steps

that will lead you to its notation using

Miller indices.

1. The first thing that must be ascertained

are the fractional intercepts that the

plane/face makes with the crystallographic

axes. In other words, how far along the

unit cell lengths does the plane intersect

the axis. In the figure above, the plane

intercepts each axis at exact one unit

length.

2. Step two involves taking the reciprocal

of the fractional intercept of each unit

length for each axis. In the figure above,

the values are all 1/1.

3. Finally the fractions are cleared (i.e.,

make 1 as the common denominator).

4. These integer numbers are then

parenthetically enclosed and designate that

specific crystallographic plane within the lattice. Since the unit cell repeats in space, the notation

actually represents a family of planes, all with the same orientation. In the figure above, the

Miller indice for the plane is (111)


Why go through all of these operations?

(101) plane:

This becomes immediately apparent when we

consider the case of the (101). In this case the plane

intercepts the a axis at one unit length and also the c

axis at one unit length. The plane however, never

intersects the b axis. In other words, it can be said that

the intercept to the b axis is infinity. The intercepts

are then designated as 1,infinity,1. The reciprocals are

then 1/2, 1/infinity, 1/1. Knowing 1/infinity = 0 then

the indices become (101).

(102) plane (-102) plane


(102) and (201) planes

Closures for crystallographic indices

(hkl) = parentheses designate a crystal face or a family of planes throughout a crystal lattice.

[hkl] = square brackets designate a direction in the lattice from the origin to a point. Used to

collectively include all the faces of a crystals whose intersects (i.e., edges) parallel each other.

These are referred to as crystallographic zones and they represent a direction in the crystal lattice.

Zone axis concept


(1 0 1 0)

(1 1 2 0)

{hkl} = "squiggly" brackets designate a set of face planes that are equivalent by the symmetry of

the crystal. The set of face planes results in the crystal form. {100} in the isometric class

includes (100), (010), (001), (-100), (0-10) and (00-1), while for the triclinic {100} only the (100)

is included.

d-spacing is defined as the distance between adjacent planes. When X-rays diffract due to

interference amongst a family of similar atomic planes, then each diffraction plane may be

reference by its index dhkl

Miller Bravais Indices for hexagonal crystals

Since the hexagonal system has three "a" axes perpendicular to

the "c" axis, both the parameters of a face and the Miller Index

notation must be modified. The modified parameters and Miller

Indices must reflect the presence of an additional axis. This

modified notation is referred to as Miller-Bravais Indices, with

the general notation (hkil)

To see how this works, let's look at the dark shaded face in the

hexagonal crystal shown here. This face intersects the positive

a1 axis at 1 unit length, the negative a3 axis at 1 unit length, and

does not intersect the a2 or c axes. This face thus has the

parameters: 1 a1, a2, -1 a3, c

Inverting and clearing fractions gives the Miller-Bravais Index:

For the hexagonal system, is that whatever indices are

determined for h, k, and i,

h + k + i = 0

For a similar hexagonal crystal, this time with the shaded face

cutting all three axes, we would find for the shaded face in the

diagram that the parameters are 1 a1, 1 a2, -1/2 a3, c.

Inverting these intercepts gives: 1/1, 1/1, -2/1, 1/

resulting in a Miller-Bravais Index of

Note how the "h + k + i = 0" rule applies here!


Miller-Bravais indices for planes in hexagonal lattices:


Planes in the same family are identified by permutations of the first three indices,

as with Miller indices for the other systems:


hc-cfc : systèmes compacts

1.1. Systèmes cristallins compacts (hc/cfc)

Travail de groupe : construire les modèles des systèmes cristallins cfc et hc.

1.1.1 Calculez le rapport entre le rayon maximum r de la sphère inscrite dans l’interstice

octaédrique et le rayon R de l’atome de la maille cfc.

1.1.2 Montrer la structure hexagonale dans le système cristallin cfc. hc-cfc



1.2.1 Quel est le plan ayant la plus forte densité de sphères pour les systèmes cristallins

étudiés ?

1.2.2 Quelle est la densité linéaire d’atomes dans la direction (111) pour le système

cristallin de l’aluminium : système cfc, paramètre de maille a = 0,404 nm ?

hc-cfc



1.3.1 Décrire schématiquement quels sont les atomes du système cristallin cfc qui

appartiennent aux couches A,B,C de l’empilement compact.

1.3.2. Etablir la relation entre le paramètre de maille a et le rayon des atomes R du système

cfc.

hc-cfc

1.4 Systèmes cristallins compacts (hc/cfc)


1.4.1. Calculez la distance entre les plans adjacents (111) de l’or ayant un système cristallin

cfc avec un paramètre a = 0,4079 nm.

1.4.2 Quelles sont les coordonnées de tous les sites interstitiels tétraédriques de la structure

cristalline cfc ?


Cc : système cubique centré

2.1 Système cristallin cubique centré cc

Travail du groupe : construire le modèle du système cristallin cc

2.1.1. Calculez le changement théorique de volume qui accompagne une transformation

allotropique d’un métal passant du système cc au système cfc.

2.1.2. Calculez la densité linéaire d’atomes dans la direction (111) pour le fer a (cc) ayant

un paramètre de maille a = 0,287 nm.

Cc



2.2.1 Calculez le rapport entre le rayon maximum r de la sphère inscrite dans l’interstice

octaédrique et le rayon de l’atome R.

2.2.2 Quelle est la relation entre le paramètre de la maille a et le rayon des atomes R du

système cristallin cc ?

Cc



2.3.1 Quelle est la fraction volumique occupée par les atomes de la maille cc ?

2.3.2 Calculez le paramètre a de la maille du chrome (système cc) ayant un rayon d’atome

R = 0,125 nm.

Cc



2.4.1. Quel est le plan ayant la plus forte densité d’atomes dans le système cristallin cc ?

Calculez cette densité planaire.

2.4.2 Un métal a une maille cristalline cubique de paramètre a = 0,5025 nm de rayon

d’atome R = 0,2176 nm. Quel est le type de structure cristalline cubique de ce métal ?


NaCl : structure ionique

3.1. Structure cristalline des céramiques

Travail du groupe : construire le modèle du système cristallin NaCl

3.1.1 Calculez la densité linéaire des ions de Sodium (Na) dans la direction (111) du

système cristallin NaCl.

3.1.2 Dessinez schématiquement la structure du Chlorure de Césium CsCl sachant que

l’anion de Chlore Cl- est au centre d’un cube

(Interstice cubique).

NaCl

3.2. Structure cristalline des céramiques

Travail du groupe : construire le modèle du système cristallin NaCl.

3.2.1. Calculez la densité du chlorure de Sodium NaCl.

3.2.2 Quel est le nombre d’atomes en contact direct avec un ion de Cl- et un ion Na

+ ?

NaCl

3.3 Structure cristalline des céramiques


3.3.1 Calculez la densité planaire des ions de Sodium Na dans le plan (111) du système

cristallin NaCl.

3.3.2 Dans quel type d’interstice se place l’atome de Sodium (Na) dans la maille cristalline

de Chlorure de Sodium NaCl ?

NaCl

3.4 Structure cristalline des céramiques


3.4.1 Calculez le facteur de compaction du Chlorure de Sodium NaCl.

3.4.2 Quelles sont les conditions nécessaires pour obtenir un cristal ionique tel que le

Chlorure de Sodium ?


P : Polymères

4.1. Structure des polymères

Travail du groupe : construire le modèle des structures moléculaires d’un

thermoplastique, thermodurci et d’un élastomère.

4.1.1 Dessiner schématiquement :

a) une molécule d’éthylène

b) une chaîne moléculaire de polyéthylène (PE).

4.1.2 Calculez le degré de polymérisation (poids moléculaire du polymère sur poids

moléculaire du monomère) d’un polyéthylène (PE) ayant un poids moléculaire de

100000g/g.mole.

P

4.2 Structure des polymères



4.2.1 Dessiner schématiquement une chaîne moléculaire du polypropylène (PP).

4.2.2 Le polyéthylène (PE) a un taux de polymérisation d’environ 420 atomes de carbone

par chaîne moléculaire. Calculez la longueur maximale de la chaîne si les atomes de

carbone font un angle de 109o entre eux

P




4.3.1 Décrivez schématiquement une zone partiellement cristallisée du polyéthylène (PE).

4.3.2 Quel est le degré de cristallinité d’un polyéthylène (PE) ayant une densité de 0,985

g/cm3 ?

Densité du PE amorphe : 0,9 g/cm3, densité PE cristallin : 1,03 g/cm

3.

P




4.4.1 Dessinez schématiquement une chaîne moléculaire du polychlorure de vinyle (PVC).

4.4.2 Quels sont les types de liaisons dans ce polymère ?

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