Hassan Bensalah Chap. II : Transformation en Z

Chap. II : Transformation en Z

Hassan Bensalah

ELE 6705

Traitement numérique

des signaux

ELE6705 Poly MTL 2

Sujets abordés

• Définition

• Régions de convergence

• Transformation inverse

• Filtre numérique(Fonction de transfert)

• Propriétés

• Discrétisations des filtres analogiques

Transformée en Z• La transformée en Z est aux systèmes en temps discret

ce que la transformée de Laplace est aux systèmes en

temps continu :

– Analyse dans le domaine fréquentiel est souvent

plus simple que dans le domaine temporel :

convolution vs. opération algébrique.

– Représentation d’un système par sa fonction de

transfert ou même par ses pôles et ses zéros.

– Applicable à un plus grand ensemble des signaux et

plus facilement inversible que la transformée de

Fourier.

Poly MTL 3ELE6705

ELE6705 Poly MTL 4

𝑋𝑒 𝑠 = න

−∞

+∞

𝑥𝑒(𝑡)𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡

𝑥𝑒 𝑡 : Signal Échantillonné est nul partout sauf

pour 𝑡 = 𝑛𝑇; 𝑛 = 0,1, … ,

𝑥𝑒 𝑡 =

𝑛=−∞

+∞

𝑥(𝑛𝑇)𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)

𝑋𝑒 𝑠 = න

−∞

+∞

𝑛=−∞

+∞

𝑥(𝑛𝑇)𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇) 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡

=

𝑛=−∞

+∞

𝑥 𝑛𝑇 𝑒−𝑠𝑛𝑇 , 𝑧 = 𝑒−𝑠𝑇

Définition de la transformée en Z• La transformée en Z d’une séquence x(n) est définie

comme la série X(z) :

• La transformée en Z unilatérale :

Poly MTL 5

( ) ( ( )) ( )

RC ( ) converge

n

n

n

k

X z x n x n z

z x n z

C

Z

0

( ) ( ) n

n

X z x n z

ELE6705

Existence de la transformée en Z• Existence de la transformée en Z implique la

convergence absolue de la série :

• Critère de Cauchy sur la convergence des séries de puissance :

• Convergence d’une transformée en Z :

Poly MTL 6

( ) n

n

x n z

1/

0

( ) si lim ( ) 1n

nn

u n u n

1 2

1

0

( ) ( ) ( ) ( )n n n

n n n

X X

X z x n z x n z x n z

ELE6705

Existence de la transformée en Z• Partie causale X2 :

X2 converge pour

Poly MTL 7

20

( ) ( ) n

n

X z x n z

1/1/ 1lim ( ) lim ( ) 1

nn n

n nx n z x n z

1/

lim ( )n

nR x n

z R

ELE6705

Existence de la transformée en Z• Partie anti-causale X1 :

X1 converge pour

• Région de convergence :

R z R

( )z

( )z

R

R

0

RC

Poly MTL 8

1

11

( ) ( ) ( )n n

n n

X z x n z x n z

1/1/lim ( ) lim ( ) 1

kk k

k kx k z x k z

11/

lim ( )n

nz R x n

ELE6705

Pôle et zéro• X(z) est une fonction rationnelle complexe :

• Pôle (point singulier de X(z)) :

• Zéro : ( )z

( )z

R

R

0

• Pôle et zéro à l’infini

– L’infini est un pole si n < m.

– L’infini est un zéro si n > m.Poly MTL 9

1 2

1 2

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )m

n

z z z z z zX z K

z p z p z p

( ) , 1, 2, ,i

X p i n

( ) 0, 1, 2, ,i

X z i m

ELE6705

Poly MTL 10

Tracer pôles et zéros avec Matlab

num = [1 -1 0];

den = [1 -1 2 1];

z=roots(num);

p=roots(den);

zplane(z,p);

disp(z);

disp(p);

2

3 2( )

2 1

z zX z

z z z

ELE6705

Exemples de la transformée en Z• Impulsion de Dirac :

• Échelon unitaire :

• x(n) = an1(n) :

• x(n) = an : comme R– = R+ = |a|, la transformée en Z n’existe pas.

Poly MTL 11

( ( )) 1,k z CZ

1/

10

1(1( )) , lim 1( ) 1.

1

nn

kn

n z z R nz

Z

1

10 0

1(1( ) ) , .

1

nn n n

n n

n a a z a z z aaz

Z

ELE6705

• Théorème intégral de Cauchy

Transformée en Z inverse

Poly MTL 12

• Transformée en Z inverse

1 11

( ) ( ) ( ( ))2

n

Cx n X z z dz X z

jZ

ELE6705

ර𝑧𝑛−1𝑑𝑧 = ൞

2𝜋𝑗, 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 = 0

; 𝑗 = −10, 𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡

ර𝑋 𝑧 𝑧𝑛−1𝑑𝑧 = ර

𝑙=−∞

+∞

𝑥(𝑙)𝑧−𝑙𝑧𝑛−1𝑑𝑧 = ර

𝑙=−∞

+∞

𝑥(𝑙) 𝑧 𝑛−𝑙 −1𝑑𝑧

Si: 𝑛 − 𝑙 = 0; 𝑛 = 𝑙

Poly MTL 13

Transformée en Z inverse

• Inverse à l’aide du théorème des résidus

pôles d’ordre 1 :

pôles d’ordre q :

1

1

aux poles de ( )

( ) residus de ( )n

n

X z z

x n X z z

1

1lim ( ) ( )n

z ar X z z z a

1

1

1

1lim ( ) ( )

( 1)!

qn

q qz a

dr X z z z a

q dz

ELE6705

• Exemple : Inverser

L’inverse de l’intégrale


Poly MTL 14

( )( 1)( 2)

zX z

z z

1 2

( ) 1 2 , 02 1

n nn

z z

z zx n n

z z

1( )

( 1)( 2)X z

z z

0,1,2

1 1 1(0) residus de 1 0

( 1)( 2) 2 2z

xz z z

11

1,2

( ) residus de 1 2 , 0( 1)( 2)

nn

z

zx n n

z z

1( ) 1 2 1( 1)nx n n

ELE6705

L’inverse directe

• Écrire X(z) sous forme des séries de puissance

• Identifier la séquence x(n).


Poly MTL 15

1 2

0 1 2( )X z x x z x z

2( )

( 2)( 1) 3 2

z zX z

z z z z

1 2 3 4

2

3 7 15

3 2

z z z z

z z z

13 2z z 13 2z 1 23 9 6z z 1 27 6z z 1 2 37 21 14z z z

2 315 14z z

( ) 2 1, 0nx n n

ELE6705

L’inverse par factorisation

• Écrire X(z) sous forme

• Pour les pôles simples

• Pour un pôles d’ordre q > 1

Poly MTL 16

( ) ( )/ ( ), ordre( ) ordre( )X z P z Q z P Q

1

( ), ( ) ( )/ ( )

( )

N

i

i ii i

iz p

P zz p P z Q z

Q z z p

1

( )

( ) ( )

1( ) ( )/ ( )

( )!

qj

jj n

q jj

j nq jnz p

P z

Q z z p

dz p P z Q z

q j dz

ELE6705

L’inverse par factorisation



Poly MTL 17

( )( 1)( 2)

zX z

z z

( ) ( ) 1 2 , 0.( 1)( 2) 1 2

nz z zX z x n n

z z z z

1

( )( 1)( 2)

X zz z

1 1 1( ) ?

( 1)( 2) 1 2X z

z z z z

( ) 1 1 1 1

( 1)( 2) 2 1 2( 2)

X z

z z z z z z z

1( )

2 1 2( 2)

z zX z

z z

11 1( ) ( ) 1( ) 2 1( ) ( 1 2 )1( 1)

2 2

n nx n n n n n

ELE6705

Factorisation avec Matlab


B = [1]; A = [1 -3 2];

[R,P,K] = residue(B,A);

B(s) R(1) R(2) R(n)

----- = --------- + --------- + ... + ---------- + K(s)

A(s) z - P(1) z - P(2) z - P(n)

R = [1 -1]; P = [2 1]; K = [];

Poly MTL 18

2

( ) 1 1

( 1)( 2) 3 2

X z

z z z z z

2

1 1 1( )

2 1 2 13 2

z zX z

z z z zz z

ELE6705

• Linéarité

Propriétés de la transformée en Z

La région de convergence est au moins l’intersection

des régions associées à X1(z) et X2(z).

Poly MTL 19

1 2( ) ( ) ( )x n x n x n

1 2

1 2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

n

n

n n

n n

X z x n x n z

x n z x n z

X z X z

ELE6705

• Décalage et la transformée bilatérale



Poly MTL 20

( ) ( )y n x n l

( )( ) ( ) ( )

( )

n l m

n m

l

Y z x n l z x m z

z X Z

( ) 1/( 1)( 2)Y z z z

( ) ( )( 1)( 2)

zX z zY z

z z

1 1 1

( ) (2 1)1( )

( ) ( ( )) ( 1) (2 1)1( 1)

n

n

x n n

y n z X z x n n

ZELE6705

• Operateur de retard unité

• Application aux équations aux différences

1z( )x n ( 1)x n

Poly MTL 21

1 2( ) ( ) ( 1) ( 2)y n u n by n b y n

1 2

1 2( ) ( ) ( ) ( )Y z U z b z Y z b z Y z

1 2

1 2

1( ) ( )

1Y z U z

b z b z

1

1 2

1 2

1( ) ( )

1y n U z

b z b z

Z

ELE6705

• Décalage et transformée unilatérale


• Exemple : Résoudre l’équation aux différence

Poly MTL 22

( ) ( )y n x n l

1

0 1

1 1

0

( ) ( 1) ( )

( 1) ( ) ( 1) ( )

n m

n m

m

m

Y z x n z z x m z

z x z x m z x z X Z

0

1

( ) ( ) ( 1), ( 1) , ( ) 1( )

( ) ( ) ( )

j ny n u n y n y K u n e n

Y z U z K z Y z

ELE6705

← réponse libre

← réponse forcée

Poly MTL 23

0

0

0 0 0

1

1 1 1

1 1 1

( )( )

11

1 1 1

1 1 1

j

j

j j j

U z KY z

zK

z z e z

K e

z e z e e z

0

0 0

1

( 1)1

( ) n

j nn

j j

y n K

e

e e

0n ELE6705

• Changement d’échelle :


• Remarque : moduler le signal par une séquence en

puissance changera les pôles et les zéros de X(z).Poly MTL 24

w az

1 1

1

1( ) ( ( )) ( )

2

1( / )( / ) ( / )

2

n

C

n

C

x n X z X z z dzj

X w a w a d w aj

Z

11( ) ( / )

2

n n

Ca x n X w a w dw

j

( ) ( / )na x n X z a

ELE6705

• Effet du changement d’échelle

a est une valeur réelle

( )z

( )z

0( )z

( )z

0

| | 1a | | 1a

a est une valeur complexe

( )z

( )z

0

1a

Poly MTL 25

ja a e

ELE6705

• Dérivation dans le domaine fréquentiel


• Exemple : Considérons la séquence

Poly MTL 26

( ) ( ) n

n

X z x n z

1( ) ( )( ) ( ) ( )n n

n n

dX z dX zn x n z z nx n z

dz dz

( )( )

dX znx n z

dz

1

1 1 2

11( )

1 (1 )

d zn n z

dz z z

1( )n n

ELE6705

• Convolution (ou produit de séquences)


Poly MTL 27ELE6705

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝑔(𝑛)

𝑌 𝑧 =

𝑛=−∞

+∞

(𝑥 𝑛 ∗ 𝑔(𝑛))𝑧−𝑛 =

𝑛=_∞

+∞

𝑙=−∞

+∞

𝑥 𝑙 𝑔(𝑛 − 𝑙) 𝑧−𝑛

𝑌 𝑧 =

𝑙=_∞

+∞

𝑥(𝑙)

𝑚=−∞

+∞

𝑔(𝑚)𝑧−𝑚 𝑧−𝑙

Si on pose: 𝑚 = 𝑛 − 𝑙

𝐺(𝑧)𝑌 𝑧 = 𝑋 𝑧 𝐺(𝑧)

• Valeur initiale d’une séquence causale


• Valeur finale : si x(n) ↔ X(z) et (1–z–1)X(z) n’a pas de

pôles sur ou à l’extérieur du cycle unitaire, alors la

valeur finale de la séquence x(n) est donnée par

• Exemple :

En effet :Poly MTL 28

0

( ) ( ) (0) lim ( )n

zn

X z x n z x X z

1

1lim ( ) lim(1 ) ( )n z

x n z X z

( ) /( 1)X z z z

1

1(0) lim 1, lim ( ) lim(1 ) 1

1 1z n z

z zx x n z

z z

/( 1) 1( )z z n ELE6705

• Définition : pour un système LTI :

Fonction de transfert

Fonction de transfert d’un filtre ou un système :

• Causalité : La réponse

impulsionelle d’un système

causal est convergée pour tout

|z| > R_ → tous ses pôles sont à

l’intérieur d’un cercle.

( )z

( )z

R

0

Poly MTL 29

( ) ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( )m

y n u m h n m u n h n Y z U z H z

( )

( ) ( )( )

Y zH z h n

U z Z

ELE6705

• Stabilité : un système est de gamme dynamique bornée (entrée bornée / sortie bornée) si la réponse impulsionnelle est convergente


Or :

Sur un cercle à rayon unité :

Pour qu’un système soit stable, le cercle de rayon unité doit appartenir au domaine de convergence de sa FdT.

Poly MTL 30

( )n

h n

( ) ( ) ( )n n

n n

H z h n z h n z

( ) ( ) ( )j j n

n n

H e h n e h n

ELE6705

ELE6705 Poly MTL 31

• Exemple: Stabilité des filtres récursifs.

Filtre à réponse impulsionnelle infinie (RII)(intégrateur)

𝑦 𝑛 = 2𝑦 𝑛 − 1 + 𝑢(𝑛)

• Soit le filtre définit par son algorithme

• Sa réponse impulsionnelle est la suivante:

𝑦 0 = 1𝑦 1 = 2𝑦 2 = 4

⋮

C’est une série qui diverge, donc non stable

Il doit alors exister une conditions sur les

coefficients, pour que le filtre soit stable

ELE4200 Poly MTL 32

• Le filtre numérique 𝐻(𝑧) est définit comme suit:

𝐻 𝑧 =1

1 − 2𝑧−1

• Pôle de 𝐻 𝑧 :

2 < 1


• Système stable

( )z

( )z

R

R

0 1

• Système stable et causal

( )z

( )z

1

0

• Rappel : moduler le signal par une séquence en puissance changera les pôles les zéros de X(z). Ceci permet de stabiliser un système.

Poly MTL 33

( ) ( / )na x n X z a

ELE6705

34

• Considérons un signal discrétisé :

Discrétisation des FdT en s

Sa transformée de Laplace est donnée par :

34Poly MTL

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sn

n n

x t x t t nT

x nT t nT x n t nT

0 0

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, ( ) ( )T s

st st

s st tn

st nsT

tn n

T s

s z e

X s x t e dt x n t nT e dt

x n t nT e dt x n e

z e X s X z

ELE6705

• Projection d’une bande (la bande primaire) :

( )z

( )z

0

1

( )s

( )s

0

2s

35

Projection du plan-s au plan-z

2s

11

2

34

5 6

2

3

5

4

6

4s

4s7

7

35Poly MTL

( ) (2 / )Ts T j T

sz e e e

/ 2 / 2s s

ELE6705

Poly MTL 36

Discrétisation avec bloqueur d’ordre zéro• Propriété de BOZ

• Réponse impulsionelle

BOZ

t

( )t

t

( )BOZx t

T

• Fonction de transfert de BOZ

( ) ( ), ( 1)n

x t x nT nT t n T

( ) 1( ) 1( )BOZ

h t t t T

1 1( )

T s T s

BOZ

e eH s

s s s

ELE6705

Poly MTL 3737

( )H sBOZ( )U z ( )Y s

( )H z

( )Y z

T

Transformée en Z équivalente avec BOZ

1( ) ,

sTsTe

BOZ s z es

1

1 1

( ) ( ) ( ) (1 ) ( )/

(1 ) ( ( )/ )

(1 ) ( ( )/ )

(1 ) ( ( )/ )

sT

sT

H z BOZ s H s e H s s

e H s s

z H s s

z H s s

Z Z

Z Z

Z

Z L

ELE6705

Poly MTL 38

• Exemple : TZ équivalente de

1 1 1 1( )

( 1) 1

(1 ), 0

s

t

Ky t K

s s s s

K e t

L L

( ) (1 )1( )snT

sy nT K e n

1

1 1

1 1 1

1 1

1 1( ) (1 )

1 1

1 ( )1

1 1

(1 )

s

s

s s

s

s

T

T

T T

T

T

Y z z Kz e z

z K z e zK

e z e z

K e

z e

( ) / ( 1)H s K s

ELE6705

• Réponse impulsionelle

t

( )t

BO’1

t

'1( )BOx t

T

12

1 2T

Discrétisation avec bloqueur d’ordre 1• Propriété de BO’1

( ) (( 1) )( ) ( ) ( ), ( 1)

n

x nT x n Tx t x nT t nT nT t n T

T

1 2( ) 1( ) 1( ) 21( ) ( )1( )

11( 2 ) ( 2 )1( 2 )

nx t t t t t T t T t T

T Tt T t T t T

T

Poly MTL 39ELE6705

Poly MTL 40

• Réponse fréquentielle

• Fonction de transfert de BO’12

2

'1 22

1 2 1( ) (1 2 )

1 1

T s T sT s T s

BO

T s

e eH s e e

s s s T sT s e

T s

2

22 2

'1 2

1

'1

1 1( )

sin( / )4( ) 1

/

2 2( ) tan

j T

BOZ

s

BO

ss

BO

s s

j T eH j

T j

H j T

H j

ELE6705

Poly MTL 41

Transformation bilinéaire (Tustin)

• Du plan-z au plan-s :

• Du plan-s au plan-z :

2

2

1 / 2

1 / 2

T s

T s

T s

sTez e

sTe

3 5

1ln

2 1 1 1 1 1

1 3 1 5 1

2 1

1

s zT

z z z

T z z z

z

T z

ELE6705

Poly MTL 42

Transformation bilinéaire

( )z

( )z

0

1

1

2

3

5

4

6

7

( )s

( )s

0

R

1

2

3

5

4

6

7

2 T

2 T

/ 2 / 2

/ 2 / 2

2 2

2 1 2 1 2

1 1

sin( / 2)tan( / 2)

cos( / 2)

j T j T j T

j T j T j Tj Tz e

T T

z e e es

T z T Te e e

Tj T j

T

ELE6705

Poly MTL 43

• Exemple : Transformée inverse

Hd = tf([1 -0.5], [1 1 0.3],0.1);

Hc1 = d2c(Hd, 'zoh');

Hc2 = d2c(Hd, 'tustin');

• Remarque : Transformation de Tustin n’est pas définie

à z = 1 et la transformation se comporte mal pour z

près de 1.

2

0.5( ) , 0.1

0.3

zH z T s

z z

1 2

2

2 2

83.32 168.8( )

12.04 776.75 66.67 666.7

( )93.33 3067

c

c

sH s

s ss s

H ss s

ELE6705

Poly MTL 44

Distorsion fréquentielle et pré-distorsion

• Distorsion fréquentielle (frequency warping) : un système se comporte à ω comme son homologue en temps continu à ωa.

• Pré-distorsion (pre-warping) : compenser la distorsion par appliquer une transformation la fréquence en question (e.g. fréquence de coupure) :

• Remarque :

2 2tan( /2) tan( /2)

as j T T

T T

2tan( /2)

aT

T

0

2 2lim tan( /2)

2a T

TT

T T

ELE6705

Invariance de la réponse impulsionnelle• Reproduire la réponse impulsionnelle du système en

temps continu par un système en temps discret.

• Exemple : discrétiser

Poly MTL 45

( ) 1 / ( 1)H s s

ELE6705

Poly MTL 46

Discrétisation de FdT en s avec Matlab

• sysd = c2d(sysc, Ts, method)

• The string method selects the discretization method among the following:

'zoh' Zero-order hold on the inputs

'foh' Linear interpolation of inputs (triangle appx.)

'imp' Impulse-invariant discretization

'tustin' Bilinear (Tustin) approximation

'prewarp' Tustin approximation with frequency prewarping. The critical frequency Wc (in rad/sec) is specified as fourth input by

sysd = c2d(sysc,Ts, 'prewarp', Wc)

'matched' Matched pole-zero method (for SISO systems only).

ELE7605

Poly MTL 47

• Exemple : T = 0.1 s

H = tf([1 1], [1 4 5]);

Hd1 = c2d(H, 0.1, 'zoh');

Hd2 = c2d(H, 0.1, 'tustin');

Hd3 = c2d(H, 0.1, 'prewarp',1);

2

1( )

4 5

sH s

s s

1 2

2

2 2

2

3 2

0.08611 0.07791( )

1.629 0.67030.0433 0.004124 0.03918

( )1.629 0.6701

0.0433 0.00413 0.0392( )

1.629 0.6699

d

d

d

zH z

z zz z

H zz zz z

H zz z

ELE7605

Poly MTL 48

• Exemple : T = 0.1 s

H = tf([1 1], [1 4 5]);

Hd1 = c2d(H, 0.1, 'zoh');

Hd2 = c2d(H, 0.1, 'tustin');

2

1( )

4 5

sH s

s s

1 2

2

2 2

0.08611 0.07791( )

1.629 0.6703

0.0433 0.004124 0.03918( )

1.629 0.6703

d

d

zH z

z s

z zH z

z s

ELE7605

• Discrétisation des fonctions de transfert par pôles-zéros matching

– Calculer les pôles et les zéros

– Calculer les zéros à l’infinie (n-m > 0)

Poly MTL 49

0

0 0: ,p

Ts TsTs

p pz e s z e s z e

0

00

(retard d'une periode)

1 (sans retard)j

zs j

z e

– Ajuster le gain stationnaire (le plus utilisé et par

défaut) ou à une fréquence quelconque (une

spécification particulière).

ELE7605

Poly MTL 50

Exemple :

0 0

1

1

( 1)( )( ) ( )

( ) ( 1)( )

( ) lim ( ) lim( )

1( ) lim(1 ) ( ) 2

1

(1 )

2 (1 )

aT

c d bT

c cs s

aT

s d bTz

aT

d c bT

s a z z eG s K H z K

s s b z z e

s a ax sG s K s K

s s b b

ex z H z K

e

a eK K

b e

Exemple :

( ) ( )

1 (1 )(0) (1)

1 (1 )

aT

c d bT

aT bT

c d d cbT aT

s a z eG s K H z K

s b z ea e a e

G K H K K Kb e b e

ELE7605

Hassan Bensalah Chap. II : Transformation en Z

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