Guide de l’Enseignant - Dyrassa | Education

Guide de l’Enseignant3ème

année du cycle secondaire collégial

Mathématiques

3A.C

Equipe pédagogique coordonnée par :Moulay Mohamed OUAHIDI

Hassane AGHZEREMounir ELAOUFI

Guide 3 ème AC l'univers des Maths.indd 1 22/10/18 15:39

Edition : 2019Dépôt légal : 2018 MO 0787

ISBN : 978-9954-688-71-7

Guide de l’enseignantUnivers des Maths - 3ème année du cycle secondaire collégial


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SommaireAvant-propos ............................................................................................................................................................................................................................................................................. 51. Conception de l’apprentissage ...................................................................................................................................................................................................... 6APPRENDRE .................................................................................................................................................................................................................................................................................. 7

1. Le constructivisme piagétien ............................................................................................................................................................................................................. 72. Le socioconstructivisme ............................................................................................................................................................................................................................ 73. La psychologie cognitive ........................................................................................................................................................................................................................... 84. Les travaux des didacticiens des mathématiques et notamment

de G. Brousseau et de ses élèves .................................................................................................................................................................................................. 9- La résolution de problèmes : un moyen et une fin de la connaissance ........................................................ 14- Le processus d’apprentissage : un processus d’interaction ancien/

nouveau avec un rôle constructif de l’erreur ............................................................................................................................................ 14- Le processus d’enseignement-apprentissage est essentiellement

un processus de traitement de l’information. ......................................................................................................................................... 14- Le sens et l’automatisme : nécessité de comprendre et de s’exercer.................................................................... 15- Le langage et les interactions sociales : vecteurs de la connaissance ................................................................. 15

2. Modèle didactique adopté ................................................................................................................................................................................................................. 161. Favoriser la construction des savoirs en proposant des situations d’investigation

et de résolution de problèmes ................................................................................................................................................................................................... 182. Les approches privilégiées sont celles qui donnent un sens aux apprentissages

via des situations d’apprentissage par adaptation .................................................................................................................................. 183. L’apprentissage de chaque notion est de nature « spiralaire » et non linéaire ......................................... 18

ENSEIGNER ................................................................................................................................................................................................................................................................................ 19Le processus d’enseignement apprentissage ......................................................................................................................................................... 19

• La phase de recherche .............................................................................................................................................................................................................................. 19• La phase de mise en commun ou la « correction » .................................................................................................................................. 19• La phase de l’institutionnalisation ........................................................................................................................................................................................ 20• L’évaluation des connaissances des élèves ............................................................................................................................................................ 20

Jalons de nos choix pédagogiques ........................................................................................................................................................................................... 20Analyse didactique du programme des mathématiques en 3ème année du collège ...................... 213ème année du collège : Une marche prononcée vers les mathématiques déductives ............... 22NOMBRES ET CALCUL ................................................................................................................................................................................................................................................................. 23GEOMETRIE ......................................................................................................................................................................................................................................................................................... 23ORGANISATION ET GESTION DES DONNEES ........................................................................................................................................................................................................ 26 Leçon 1 : Calcul numérique : Identités remarquables et puissances ......................................................................................... 26Leçon 2 : Racines carrées ...................................................................................................................................................................................................................................... 27Leçon 3 : Ordre et opérations ....................................................................................................................................................................................................................... 28Leçon 4 : Théorème de Pythagore ........................................................................................................................................................................................................ 29


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Leçon 5 : Théorème de Thalès ...................................................................................................................................................................................................................... 29Leçon 6 : Trigonométrie .......................................................................................................................................................................................................................................... 30Leçon 7 : Angles au centre et angles inscrits ...................................................................................................................................................................... 30Leçon 8 : Equations et inéquations ..................................................................................................................................................................................................... 31Leçon 9 : Triangles isométriques et triangles semblables ............................................................................................................................ 33Leçon 10 : Vecteurs et translation ......................................................................................................................................................................................................... 34Leçon 11 : Repère dans le plan ................................................................................................................................................................................................................... 35Leçon 12 : Equation d’une droite ........................................................................................................................................................................................................... 35Leçon 13 : Fonctions linéaires et fonctions affines ................................................................................................................................................... 35Leçon 14 : Système de deux équations du premier degré à deux inconnues ........................................................... 36Leçon 15 : Calcul de volumes, géométrie dans l’espace, agrandissement et réduction .......................... 37Leçon 16 : Statistiques .............................................................................................................................................................................................................................................. 37 Mise en œuvre des leçons ............................................................................................................................................................................................................................. 39Leçon 1 : Calcul numérique : Identités remarquables et puissances ......................................................................................... 41Leçon 2 : Racines carrées ...................................................................................................................................................................................................................................... 45Leçon 3 : Ordre et opérations ....................................................................................................................................................................................................................... 49Leçon 4 : Théorème de Pythagore ........................................................................................................................................................................................................ 53Leçon 5 : Théorème de Thalès ...................................................................................................................................................................................................................... 57Leçon 6 : Trigonométrie .......................................................................................................................................................................................................................................... 62Leçon 7 : Angles au centre et angles inscrits ...................................................................................................................................................................... 66Leçon 8 : Equations et inéquations ..................................................................................................................................................................................................... 71Leçon 9 : Triangles isométriques et triangles semblables ............................................................................................................................ 80Leçon 10 : Vecteurs et translation ......................................................................................................................................................................................................... 86Leçon 11 : Repère dans le plan ................................................................................................................................................................................................................... 92Leçon 12 : Equation d’une droite ........................................................................................................................................................................................................... 96Leçon 13 : Fonctions linéaires et fonctions affines ............................................................................................................................................... 101Leçon 14 : Système de deux équations du premier degré à deux inconnues ....................................................... 110Leçon 15 : Calcul de volumes, géométrie dans l’espace, agrandissement et réduction ...................... 119Leçon 16 : Statistiques .......................................................................................................................................................................................................................................... 126Bibliographie ....................................................................................................................................................................................................................................................................... 135


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Avant-propos

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Ce guide pédagogique a été conçu pour aider les enseignants du collège dans leur tâche et pour leur permettre de mettre en œuvre les programmes marocains en langue française avec justesse et efficacité.

Le guide a été élaboré pour permettre à l’enseignant :

• D’organiser des situations d’apprentissage;

• D’utiliser le fichier de l’élève dans les meilleures conditions.

L’approche adoptée est l’enseignement par les situations problèmes et les activités favorisant ainsi l’action et la construction des savoirs par les apprenants eux-mêmes.

Le guide fournit des repères didactiques pour aider l’enseignant à conduire son action pédagogique avec le maximum d’efficacité. Il présente des outils permettant la mise en œuvre des situations d’apprentissage, que ce soient les situations de construction de nouvelles notions ou l’entrainement et le réinvestissement de ce qui est construit.

Ce guide pédagogique a été élaboré en s’appuyant sur les travaux des chercheurs en didactique des mathématiques et en psychologie cognitive, les orientations pédagogiques générales sur l’enseignement des mathématiques au cycle secondaire collégial au Maroc, les documents et les ressources d’accompagnement des programmes de mathématiques.

On trouve successivement dans ce guide :

• un exposé des conceptions de l’apprentissage et de l’enseignement fondant nos choix pédagogiques ;

• une analyse didactique fine des contenus du programme de première année du collège;

• les leçons du programme de la troisième année collège avec des commentaires sur les activités de découverte et de construction, sur les exercices résolus qui visent des capacités méthodologiques en mathématiques et sur le cours et les exercices et problèmes d’application, d’entrainement et de réinvestissement.

Vue l’importance de l’évaluation formative, le guide donne aussi des indications sur le QCM au début de chaque leçon visant à diagnostiquer les prérequis chez les apprenants ainsi que sur le QCM de fin de leçon qui permet à l’élève de s’autoévaluer et de se rendre compte de ce qu’il a appris et des aspects de la leçon qui restent à approfondir ou à consolider.


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1. Conception de l’apprentissagePendant longtemps les mathématiques étaient enseignées comme un ensemble de faits

disparates, des règles, des formules ou des procédures à apprendre et à appliquer par imitation et à maitriser par entrainement intensif. C’est ainsi qu’on apprenait les nombres, les opérations arithmétiques, les techniques opératoires et les théorèmes de géométrie.

De ce fait, beaucoup d’élèves ne saisissaient pas le sens des notions qu’on leur inculquait. Quels liens entre addition et multiplication par exemple, pourquoi la technique de la division usuelle marchait…

On commençait alors à se poser la question sur les finalités et la méthodologie de l’enseignement des mathématiques. Quelle importance y a-t-il de faire apprendre aux élèves des savoirs figés. Ne saurait-il pas plus judicieux de développer chez la nouvelle génération de nos enfants des compétences et des démarches comme le raisonnement, la résolution de problèmes, la modélisation des situations concrètes, les attitudes critiques et la capacité d’évaluer, la communication, la créativité, les habiletés d’investigation et de questionnement…

De nouvelles perspectives pédagogiques et didactiques commençaient à se dessiner : ne pas se contenter de la mémorisation, de l’imprégnation et de l’entrainement répétitif ; mais mettre en avant d’autres démarches de pensée comme « chercher », « modéliser », « explorer », « communiquer », « évaluer », « raisonner »…Ce qui exige une autre façon d’enseigner.

De par le monde, depuis quelques années déjà, et sous l’impulsion des théories piagétiennes et des sciences cognitives, il y a consensus sur le fait que l’apprentissage (développement intellectuel et acquisition des savoirs) est de nature constructiviste. L’acquisition des concepts est mieux assurée par des situations d’apprentissage de type adaptatif que par simple transmission ou entrainement répétitif et intensif.

Cela consiste à affirmer que l’on apprend essentiellement, non pas par simple imprégnation, ni par imitation passive ; mais à travers des actions finalisées menées dans le but d’apporter une réponse ou une solution à un problème à une tâche signifiante (c’est-à-dire que l’on s’est approprié) à laquelle le sujet fait face.

C’est dans ce processus de résolution de problèmes que les connaissances sont construites, d’abord comme outils fonctionnels avant de devenir des objets de savoirs avec un statut reconnu (concepts, méthodes, techniques, formules…).A titre d’exemple, l’apprenant construit la notion de soustraction en traitant des situations où cette notion fonctionne, avant que la soustraction devienne une notion mathématique avec des techniques, un champ de validité...


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APPRENDRE Le processus d’apprentissage est actuellement éclairé par des apports divers.

1. Le constructivisme piagétien

Jean Piaget émet la théorie qu’un individu confronté à une situation donnée va mobiliser un certain nombre de structures cognitives, qu’il nomme schèmes. Celui qui apprend ne le fait pas seulement en relation avec les connaissances qu’il acquiert, mais il organise son monde au fur et à mesure qu’il apprend, en s’adaptant.

L’apprentissage consiste à entrer dans un processus actif de construction (plutôt que d’acquisition) de connaissances en interagissant avec son environnement, en donnant du sens à ses expériences et en développant ses représentations.

Le processus d’apprentissage constructiviste se déroule en trois étapes:

• L’assimilation : le processus d’assimilation se caractérise par l’intégration de nouvelles idées, analyses, notions à des cadres mentaux qui existent déjà. L’individu ajoute à sa structure cognitive des éléments provenant de son environnement, il les intègre en les reliant, en les coordonnant aux informations, aux connaissances dont il dispose déjà.

• L’accommodation : le processus d’accommodation est marqué par l’adaptation du sujet à des situations nouvelles, d’où modification de ses cadres mentaux et réorganisation de ses connaissances. C’est donc une action de l’environnement sur l’individu qui va avoir pour effet de provoquer des ajustements dans la manière de voir, de faire, de penser du sujet.

L’équilibration : On appelle équilibration (Piaget en parle en terme d’autorégulation) la recherche du meilleur équilibre entre les deux processus complémentaires, assimilation et accommodation, c’est-à-dire entre l’individu et son environnement.

2. Le socioconstructivisme

Faisant suite au courant constructiviste, le socioconstructivisme, développé par Lev Vygotski, intègre, comme son appellation l’indique, la dimension sociale. La perspective socioconstructiviste met l’accent sur le rôle des interactions sociales multiples dans la construction des savoirs et propose de considérer l’apprentissage comme une participation active à des activités en situation réelle et en interagissant avec d’autres.

L’approche socioconstructiviste repose sur les principes suivants :

• La tête de l’élève n’est jamais vide de connaissances.

• L’apprentissage ne se fait pas par empilement de connaissances, ni de manière linéaire.

• Les interactions sociales entre élèves peuvent aider à l’apprentissage.

• L’élève donne un sens à une connaissance si elle apparaît comme un outil indispensable pour résoudre un problème.


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3. La psychologie cognitive

Le phénomène d’apprentissage est aussi éclairé par les apports de la psychologie cognitive. L’élève traite aussi les informations cognitives, il met les nouvelles informations en relation avec ses connaissances antérieures, choisit la stratégie la plus appropriée pour réussir la tâche… En effet, les cognitivistes considèrent que le sujet apprenant est un sujet actif et constructif qui acquiert, intègre et réutilise des connaissances. Ces connaissances se construisent graduellement.

Les principes fondamentaux de l’approche cognitive de l’apprentissage selon le professeur Jacques TARDIF (1992) sont les suivants :

• l’apprentissage est un processus actif et constructif : ici, l’élève est au cœur de l’apprentissage, il doit être actif et conscient de ce qui se passe à l’intérieur et à l’extérieur de lui. Il construit lui-même ses connaissances même si ces connaissances ne sont pas totalement correctes. Il les corrigera progressivement.

• les connaissances antérieures exercent un rôle primordial dans l’apprentissage et les connaissances sont essentiellement cumulatives : ce principe stipule que dans le processus d’acquisition et d’intégration de nouvelles connaissances, les connaissances antérieures stockées dans la mémoire à long terme déterminent non seulement ce que l’apprenant peut apprendre mais aussi ce qu’il apprendra effectivement et la façon dont les nouvelles connaissances seront apprises. C’est ainsi que le professeur Jacques Tardif (1992) affirme « L’apprentissage est l’établissement de liens entre les nouvelles informations et les connaissances antérieures. » De plus, l’apprentissage consiste en l’accumulation de connaissances. Les nouvelles informations s’associent aux anciennes soit pour les confirmer, soit pour s’y intégrer ou pour les nier.

• l’apprentissage signifiant est étroitement lié à la représentation et à l’organisation des connaissances: L’apprentissage requiert l’organisation constante des connaissances. Les connaissances doivent être bien organisées dans la structure cognitive de l’apprenant.

• l’apprentissage est fondamentalement l’acquisition d’un répertoire de connaissances et de stratégies cognitives et métacognitives : ici, les cognitivistes stipulent que le système cognitif de l’apprenant comporte des connaissances statiques, dynamiques et des stratégies cognitives et métacognitives qui lui permettent d’agir sur son environnement, d’utiliser les informations qu’il acquiert dans la résolution des problèmes. Il importe aussi de rendre l’élève conscient de ces stratégies, de leur économie et de leurs efficacités.

• il existe des catégories de connaissances : les connaissances déclaratives, les connaissances procédurales et les connaissances conditionnelles.

■ Les connaissances déclaratives correspondent aux connaissances théoriques ou qui sont reconnues comme savoirs au cours de l’évolution d’une société. Ces connaissances sont constituées de faits, de règles, de lois et de principes.

■ Les connaissances procédurales correspondent au comment faire, aux étapes d’une action, aux procédures, en fait ce sont les savoir-faire. Il faut savoir effectuer l’addition suivante 45+39 par exemple.


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■ Les connaissances conditionnelles font allusion au quand et au pourquoi. Elles correspondent aux classifications et aux catégorisations. On doit par exemple distinguer un carré d’un rectangle.

• La métacognition joue un rôle très important dans l’acquisition des connaissances : ici, la métacognition réfère à la connaissance ainsi qu’au contrôle que le sujet a sur lui-même et sur ses stratégies cognitives.il a une perception de l’importance de la tâche et des buts que l’enseignant poursuit et il est conscient du contrôle possible qu’il a sur sa réussite dans la réalisation de cette tâche. De plus il exige toujours de l’élève la gestion active de ses démarches cognitives et la gestion active de soi comme apprenant, c’est-à-dire de son investissement affectif dans la tâche.

4. Les travaux des didacticiens des mathématiques et notamment de G. Brousseau et de ses élèves.

Les apports de la didactique à la compréhension de l’acte d’apprendre et à l’organisation de l’enseignement des mathématiques sont importants. Sans aller en profondeur dans une présentation théorique, nous passons en revue les éléments suivants qui nous semblent fonctionnels et utiles pour les enseignants.

Apprentissage par adaptation

L’acquisition de connaissances passe par une interaction entre le sujet et l’objet d’études par le biais de résolutions de problèmes. La tête de l’élève n’est jamais vide de connaissances (conceptions) et l’apprentissage ne se fait pas par empilement de connaissances, ni de manière linéaire. L’élève ne donne un sens à une connaissance que si elle apparaît comme un outil indispensable pour résoudre un problème. Les interactions sociales entre élèves peuvent aider à l’apprentissage. Dans la conception de l’apprentissage adaptatif, l’erreur n’est pas à éviter. Elle est l’expression d’une forme de connaissance.

Transposition didactique des savoirs

Les savoirs à enseigner fixés par les programmes scolaires sont affiliés aux savoirs mathématiques élaborés par les mathématiciens et que l’on trouve dans les traités de mathématiques sous leur forme achevés (savoir savant).

Les savoirs savants désignés pour être enseignés (savoirs à enseigner)ne peuvent l’être tels quels, ils subissent des transformations pour être objet d’enseignement et d’apprentissage. L’une de ces transformations est la mise en situation qui s’apparente à une sorte de genèse artificielle. On parle ici de recontextualisation du savoir mathématique. Lorsqu’un élève résout de telles situations, il reconstruit des savoirs. Il y a repersonnalisation du savoir mathématique. Les connaissances ainsi produites en classe seront à nouveau décontextualisées et dépersonnalisées pour constituer les savoirs à retenir. Ces savoirs prendront leur place dans l’ensemble des savoirs antérieurs ou conduiront à les reconsidérer ou à les réaménager (décontextualisation et insitutionnalisation).

Ce travail de transformation des savoirs est appelé transposition didactique. L’un des roles de l’enseignant est d’opérer une transposition didactique pertinente des notions mathématiques à enseigner.


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La situation problème

La situation problème joue un rôle central dans l’enseignement et l’apprentissage des

mathématiques. Au niveau de la fonction, elle est un moyen même de l’apprentissage, puisque

c’est autour d’elle que va se nouer le dispositif didactique puisqu’elle est la source, le lieu et le critère

de l’élaboration du savoir. La situation-problème a pour objectif, à l’opposé de celui du problème

d’application, puisqu’il ne s’agit plus d’exercer et de renforcer les connaissances existantes, mais bien

de découvrir le savoir à partir du problème, de lui donner du sens. Elle va permettre l’engagement

de l’élève dans une résolution et qui va catalyser la genèse des instruments intellectuels, dont la

construction se révélera nécessaire, chemin faisant.

La psychologie cognitive qui étudie les stratégies mentales des individus dans l’interprétation

d’une situation donnée et la résolution de problèmes rencontrés affirme que les connaissances

sont acquises selon un processus de résolution de problèmes mettant en oeuvre une dynamique

de questionnement. Confronté à un obstacle, l’individu convoque ses connaissances et capacités

pour sortir de l’impasse. Par l’exercice de ses potentialités, mais aussi par l’échange avec d’autres

sur la complexité de la situation, il se construit de nouvelles compétences.

Les situations-problèmes sont des situations qui dans un premier temps, permettent à l’élève

d’investir son ancien savoir. Dans un deuxième temps, permettent à l’élève de prendre conscience

de l’insuffisance de ce savoir. Mais attention ! lui seul peut prendre conscience de l’insuffisance

de ce savoir (inutile de le lui dire... !). Il faut donc que la situation donne la possibilité à l’élève

de vérifier l’insuffisance de ses connaissances. Dans un troisième temps permettent à l’élève de

construire de nouvelles procédures.

Les didacticiens, se basant sur ces théories (par exemple Douady Régine. 1986. Jeux de cadres

et dialectique outil-objet, Recherches en didactique des mathématiques, vol. 7, no. 2.) donnent

les caractéristiques d’une situation problème pour en faire un moyen didactique de construction

de savoir chez les apprenants (sources : https://gpc-maths.org/data/images/situationpbdef.pdf ) :

caractéristique Commentaires

1. L’élève doit pouvoir s’engager dans la résolution du problème. L’élève peut envisager ce qu’est une réponsepossible du problème.

1) Si non il ne mobilisera pas ses connaissances etne pourra s’apercevoir qu’elles sont insuffisantes.

2. Les connaissances de l’élève sont en principe insuffisantes pour qu’il résolveimmédiatement le problème.

2) Si non il n’y a pas d’acquisition nouvelle. Il y aréinvestissement des connaissances.


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3. La situation-problème doit permettre à l’élève de décider si une solution trouvée est convenable oupas.

3) Cette caractéristique est essentielle. En effet l’élève doit prendre conscience seul de l’insuffisance de ses connaissances. Cette insuffisance ne peut se constater que s’il est capable de constater tout seul que sa solution estfausse ou que sa méthode est trop lourde.

4. La connaissance que l’on désire voir acquérir par l’élève doit être l’outil le plus adapté pour la résolution duproblème au niveau de l’élève.

4) Cette condition n’est pas facile à remplir. Une analyse à priori du problème est donc indispensable. Les données du problème, le matériel mis à disposition des élèves... sont autant de variables qui influenceront les stratégies des élèves. Ces variables sont appelées variablesdidactiques.

5. Le problème peut se formuler dans plusieurs cadres entre lesquels on peut établir des correspondances (par exemple cadre physique, cadregéométrique, cadre graphique).

5) Cette construction n’est souvent pas simple. Enfin il arrive que les élèves arrivent à percevoir l’insuffisance de leurs connaissances mais soient incapables de résoudre le problème. Ce blocage n’est pas tenable pour l’enseignant. Il ne peut qu’aider les élèves à construire une solution. Ne retombe-t-on pas alors dans une pratique behavioriste ? Il semble ici qu’il y ait une différence fondamentale avec le modèle behavioriste : ici l’élève prend conscience de l’insuffisance ses conceptions. Ce qui n’est pas le cas dans lapratique behavioriste.

Activité

Dans l’enseignement des mathématiques, on ne peut pas tout enseigner par des situations problèmes ayant les caractéristiques ci-dessus. On peut utiliser des activités.

Une activité est ce qui donne lieu à une activité mathématique de la part de l’élève, c’est la recherche d’un problème qui utilise et coordonne des notions apprises séparément ou encore un problème qui s’inscrit dans un processus d’apprentissage d’un «objet» mathématique. Une activité peut être définie par les caractéristiques suivantes :

1) L’élève peut engager une stratégie de son choix qui le conduit à des réponses au moins partielles au problème posé.

2) L’élève a besoin de convaincre ses interlocuteurs (autres élèves, professeur...) Il a les moyens de justifier ses réponses. Il est convaincu que cela fait partie de son contrat-élève.

3) L’énoncé laisse à l’élève la responsabilité du choix des «outils» et de la stratégie pour résoudre le problème.

4) Parmi les «outils» adaptés à la résolution du problème, «l’objet» mathématique visé est l’un des plus performants.


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Le conflit cognitif

Dans une situation où les représentations d’un individu sont perçues par lui comme incompatibles avec une réalité objective, il y a confrontation entre ce qu’il croit connaître de la situation (sa représentation) et ce qu’il constate (la réalité). Ce constat oblige l’individu à déconstruire la représentation initiale pour en construire une nouvelle intégrant de nouvelles connaissances.

Le conflit sociocognitif

L’individu n’apprend pas seul mais en interaction avec d’autres : ses pairs, les enseignants, ses parents... Sur un même sujet, les représentations et les points de vue sont souvent très différents. Par cette confrontation à des points de vue qui dérangent les savoirs antérieurs, le conflit (qui n’est pas une querelle de personnes mais une confrontation des idées) oblige à se décentrer, écouter l’autre et complexifier sa vision du réel.

Enseignement par situation problèmes

Une situation problème est à construire avec soin et rigueur aussi bien dans les connaissances ou capacités visées que dans son déroulement. Son objectif est d’instaurer un déséquilibre, un conflit, une divergence entre ce que l’élève croit savoir du problème posé (ses représentations initiales) et ce qu’il constate dans la réalité. Ce déséquilibre (conflit cognitif ) provoque un questionnement introspectif. L’énigme proposée par l’enseignant suppose une résolution qui transformera les représentations initiales par l’intégration de nouvelles compétences. Dans le cadre d’un travail collaboratif, la confrontation des idées et des différents points de vue fait évoluer les représentations de chaque élève du groupe de travail mais aussi les représentations majoritaires de la classe par l’acquisition de nouvelles connaissances et capacités. Mais la situation problème n’a de sens que si elle donne lieu à une production mutualisable (écrit, représentation graphique, rapide exposé...) et à un bilan réflexif sur ce qui a été abordé. Située en amont d’une démarche d’investigation ou de résolution de problème, elle permet de placer l’élève dans de bonnes conditions de réception en donnant du sens à l’activité d’apprentissage proposée.

Les types de situations de didactique et gestion d’une situation d’enseignement-apprentissage

Dans le cadre de la théorie des situations didactiques, le rôle de l’élève est de résoudre un problème. Le savoir est construit par l’élève. Le rôle de l’enseignant est d’organiser un milieu favorable pour l’apprentissage : choix de situations, organisation de travail en groupe, institutionnaliser. L’enseignant doit gérer la dévolution du problème à la classe (l’élève doit prendre la responsabilité du problème).

Le processus d’enseignement- apprentissage est fait de phases.

Phase d’action : appropriation du problème (connaissances anciennes)

Les élèves ne doivent pas seulement apprendre des définitions, des théorèmes et techniques, retenir les problèmes et les méthodes mises en oeuvre pour les résoudre. Ils doivent aussi devenir capables de s’emparer d’un problème complexe nouveau, de poser des questions, de discuter de la qualité des questions, de produire des réponses (des démarches, des formalisations, des preuves), et de discuter de leur pertinence.


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La situation d’action pose à l’élève un problème dont la solution « optimale » (en termes d’effort, de temps, de fiabilité) dans les conditions proposées est à la connaissance à enseigner. Elle permet à l’élève d’investir ses stratégies et modèles implicites pour agir sur elle et lui renvoie de l’information sur son action. Elle lui permet aussi de juger le résultat de son action ; ajuster l’action sans intervention de l’enseignant.

Phase de formulation : formulation d’hypothèses

L’élève formule la solution trouvée, explicite son modèle implicite (modèle explicite : formulé à l’aide de signes, de règles communes, connues ou nouvelles) de manière à ce que cette formulation ait un sens, ce qui lui permet d’échanger de l’information : messages oraux/écrits, langage naïfs ou mathématiques avec d’autres élèves : émetteurs- récepteurs.

Phase de validation

L’élève doit se convaincre et convaincre les autres de la validité de la solution proposée (confrontation avec les autres, l’expérience). Il doit montrer pourquoi le modèle créé est valable, convaincre : argumentation, démonstration, réfutation ; et ce en proposant un message mathématique, modèle de la situation comme assertion à un interlocuteur, opposant (validation sémantique et syntaxique).

Phase d’institutionnalisation

Cette phase vise l’intégration de la nouvelle connaissance au patrimoine mathématique de la classe. L’enseignant fixe conventionnellement et explicitement le statut cognitif du savoir. Les connaissances changent de statut : la nouvelle connaissance est étiquetée savoir officiel, les élèves peuvent la retenir et l’appliquer.

Dans cette phase la notion étudiée passe du statut d’outil qu’elle avait dans la phase d’action au statut d’objet.

Phase d’entraînement et de réinvestissement

Des exercices d’entraînement, d’application et de réinvestissement complètent le processus. Dans cette phase devient un outil explicite.

Dévolution

Dans les situations didactiques, l’apprenant est amené à confronté un problème pour le résoudre à travers son action mathématique. Mais cette action, pour avoir du sens pour cet apprenant doit être autonome, c’est-à-dire que celui-ci doit agir sous l’impulsion du feed-back donné par le milieu et non par les directives de l’enseignant. La situation doit être a didactique. Ce transfert de la tâche de résolution complétement à l’apprenant est défini par G. Brousseau comme la dévolution du problème et qui est un « acte par lequel l’enseignant fait accepter à l’élève la responsabilité d’une situation d’apprentissage [...] et accepte lui-même les conséquences de ce transfert ».

En somme des apports du constructivisme, du socioconstructivisme, de la psychologie cognitive et de la didactique des mathématiques, nous retenons ce qui suit.


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1. La résolution de problèmes : un moyen et une fin de la connaissance

La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s’acquiert et s’exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité.

2. Le processus d’apprentissage : un processus d’interaction ancien/ nouveau avec un rôle constructif de l’erreur

Dans la perspective constructiviste, les acquis ne s’accumulent pas, mais le nouveau s’intègre à l’ancien et conduit à certaines adaptations de ce dernier.

A titre d’exemple, l’apprentissage des nombres décimaux comme savoir nouveau se réalise en interaction avec les acquis concernant les nombres entiers. L’introduction de ces nouveaux nombres remet en question certaines conceptions comme entre deux nombres entiers il n’y pas d’autres nombres », « le produit de deux nombres est supérieur aux deux nombres »,

Dans ce cadre, les apprenants commettent des erreurs car ils appliquent des savoirs hors de leur champ de validité. Les contradictions qui en résultent conduisent à des déséquilibres cognitifs que l’apprenant tentera de dépasser pour retrouver un nouvel équilibre.

Les erreurs jouent ainsi un rôle moteur dans la construction des savoirs. Elles sont positives et sources d’apprentissage. Elles sont normales dans le processus d’apprentissage car elles expriment à la fois la représentation mentale que l’élève se fait d’une notion ou d’une action et un obstacle à repérer avant de le dépasser.Gaston Bachelard (philosophe des sciences) disait: « On connaît contre une connaissance antérieure, en détruisant les connaissances mal faites, en surmontant ce qui,dans l’esprit même, fait obstacle ».

L’apprentissage se déclenche lorsqu’un signal d’erreur montre que la prédiction générée par notre cerveau n’est pas parfaite. Il ne peut pas exister d’apprentissage quand tout est parfaitement prévisible.

■ L’erreur ou l’incertitude sont normales – elles sont même indispensables.

■ Les punitions face aux erreurs ne font qu’augmenter la peur, le stress, et le sentiment d’impuissance inutilement. Les punitions sont néfastes aux apprentissages.

■ La motivation positive et les encouragements stimulent l’apprentissage. Les meilleurs encouragements résident dans le regard des autres et la conscience de progresser, ils ne sont pas synonymes de récompenses.

3. Le processus d’enseignement-apprentissage est essentiellement un processus de traitement de l’information.

L’apprentissage est un processus actif et constructif, les connaissances antérieures exercent un rôle primordial dans l’apprentissage qui est fondamentalement l’acquisition d’un répertoire de connaissances et de stratégies cognitives et métacognitives.


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La métacognition joue un rôle très important dans l’acquisition des connaissances. Elle réfère à la connaissance ainsi qu’au contrôle que le sujet a sur lui-même et sur ses stratégies cognitives, et aussi à la gestion active de ses démarches cognitives et la gestion active de soi comme apprenant, c’est-à-dire de son investissement affectif dans la tâche.

4. Le sens et l’automatisme : nécessité de comprendre et de s’exercer

L’apprentissage des mathématiques doit assurer un équilibre entre la compréhension et les mécanismes.

«Une appropriation mathématique pour un élève ne saurait se limiter à la connaissance formelle de définitions, de résultats, de techniques et de démonstrations, il est indispensable que les connaissances aient pris du sens pour lui à partir de questions qu’il s’est posées et qu’il sache les mobiliser pour résoudre des problèmes».

Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l’école primaire des automatismes en calcul. Il faut aussi comprendre des concepts et des techniques (calcul, algorithme) et les mémoriser afin d’être en mesure de les utiliser. Mais l’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.

5. Le langage et les interactions sociales : vecteurs de la connaissance

Les interactions sociales entre élèves peuvent aider à l’apprentissage. Le sens des savoirs se construit à travers une « négociation sociale » des différents points de vue. A cet égard le langage est un vecteur primordial.

Les éléments exposés ci-avant fondent nos choix pédagogiques et son l’objet de la partie « ENSEIGNER » ci-après.


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2. Modèle didactique adoptéLa conception constructiviste de l’apprentissage, lorsqu’elle est adoptée comme arrière- plan

du modèle pédagogique amène à des approches didactiques et des méthodes pédagogiques qui favorisent l’activité des élèves et prennent comme entrée à l’apprentissage les situations problèmes. Dès lors, l’approche transmissive ou behavioriste ne sauraient constituer le fond sur travail d’enseignement.

Les principes pédagogiques généraux du constructivisme :

a. Les apprenants « construisent » leur propre connaissance à partir des notions qu’ils possèdent déjà et de leur expérience.

b. On met l’accent sur la réalisation d’activités d’apprentissage authentiques ou en contexte, c’est-à-dire en prenant part à des situations susceptibles de se dérouler dans la vie de tous les jours.

c. On met l’accent sur l’apprenant plutôt que sur l’enseignant. Elle encourage cet apprenant à construire ses propres conceptualisations et à apporter ses solutions aux problèmes qu’il rencontre, elle l’incite même à développer au maximum son autonomie et son initiative.

d. l’apprentissage est basé sur la participation active des élèves à la résolution de problèmes et à la pensée critique en regard de la tâche qu’ils doivent réaliser. L’individu est donc le protagoniste actif du processus de connaissance, et les constructions mentales qui en résultent sont le produit de son activité. Dans cette optique, apprendre ne consiste pas à recevoir le savoir d’une manière passive, mais à agir sur les informations reçues de la situation en les transformant.

e. L’enseignant devient un facilitateur, un « accompagnateur » qui guide l’élève et le pousse à utiliser son esprit critique, à résoudre des problèmes et à synthétiser ses connaissances. Dans cette perspective, l’enseignant ne doit pas entraver le processus de développement interne de l’élève (l’enseignement doit s’adapter aux besoins des élèves). Il lui revient de fournir à ses élèves un environnement d’apprentissage ouvert, riche de possibilités d’apprentissage, et surtout non-fondé sur des séquences d’instruction prédéterminées.

Les principes pédagogiques généraux du socioconstructivisme :

1. L’apprentissage est considéré comme le produit d’activités sociocognitives liées aux échanges didactiques enseignant-élèves et élèves – élèves. Ceci peut se réaliser par exemple dans des travaux de groupe, des stages de terrain, un enseignement réciproque (entre étudiants), des collaborations à distance en recourant à l’usage des technologies, des simulations (l’utilisation du courrier électronique dans le cadre d’une correspondance scolaire ou encore le travail au sein de classes virtuelles). L’enseignant et les élèves évaluent les constructions réalisées en termes de produits en faisant appel, par exemple, au portfolio.

2. La conception constructiviste de l’apprentissage se base sur la production d’un conflit sociocognitif par confrontation d’un apprenant à une situation problème, d’où un effet de


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déstabilisation susceptible de provoquer une réorganisation de connaissances ou l’acquisition de nouveaux savoirs et savoir-faire.

3. L’enseignant doit favoriser une construction en commun de la connaissance, fondée sur la négociation et la coopération entre pairs. Le groupe d’élèves est même convié à évaluer les prestations de chacun de ses membres. L’enseignant amène l’élève à réfléchir sur son processus d’apprentissage et à comparer ses constructions avec celles des pairs.

4. Cette approche encourage chez l’apprenant la curiosité, l’initiative et la recherche. L’élève est invité à résoudre un problème ou à réaliser une activité en faisant appel aux ressources humaines et matérielles auxquelles il a accès : collègues, expériences antérieures. La motivation à l’acquisition est démultipliée par le fait d’avoir à gérer des relations sociales: rapports conflictuels, par exemple, dont la résolution va de pair avec la résolution du problème cognitif. C’est alors que, par essai et erreur, l’élève en question sera en mesure de comparer les conceptions qu’il possède déjà avec ses nouvelles expériences en parvenant ainsi à un nouveau palier de connaissances. En clair, l’élève est responsable de ses apprentissages, il « apprend à apprendre ».

Les principes généraux retenus du cognitivisme sont reliés aux facteurs qui déterminent la vitesse et la facilité d’apprentissage, à savoir:

• L’attention

• L’engagement actif - importance de l’évaluation et de la métacognition

• Le retour d’information - signaux d’erreurs - motivation et récompense

• La consolidation - L’automatisation: transfert du conscient au non‐conscient, et libération de ressources.

Les principes généraux de la didactique des mathématiques :

• L’enseignement par les situations problèmes et les activités où l’action des élèves et la résolution des problèmes jouent un rôle fondamental

• L’enseignant a pour rôle central non la transmission de savoirs achevés, mais d’organiser l’environnement d’apprentissage et de gérer les situations didactiques de façon à préserver le sens des savoirs mathématiques traités (dévolution)

• La dialectique outil/objet permet d’investir les conceptions et les stratégies initiales des apprenants (outils implicites) pour aboutir à des objets mathématiques institutionnalisés et de nouveaux outils explicites

• Les erreurs ne sont pas l’effet de l’étourderie ou de manque de connaissances mais l’indice d’un savoir appliqué hors de son champ de validité ou des conceptions erronées.

De ces principes constructivistes, socioconstructivistes,cognitivistes et didactiques découlent les orientations didactiques suivantes.


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Favoriser la construction des savoirs en proposant des situations d’investigation et de résolution de problèmes

L’élève doit être acteur de ses apprentissages, il est important de le mettre en face de situations où il doit avoir une activité de recherche. L’accent doit être mis sur les différentes démarches possibles qu’utilisent les élèves pour résoudre une situation, ce qui nécessite des échanges sur les procédures mobilisées afin d’introduire une nouvelle notion, une procédure « experte », un calcul spécifique, un nouvel outil mathématique.

La résolution de problèmes est la base de tous les apprentissages en mathématiques. Elle fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations ». De ce fait elle est naturellement présente et intégrée à la plupart des activités.

Les approches privilégiées sont celles qui donnent un sens aux apprentissages via des situations d’apprentissage par adaptation

L’environnement d’apprentissage doit permettre aux élèves d’élaborer, par adaptations successives, des stratégies de résolution du problème qui conduisent à l’apprentissage visé. Les élèves apprennent à expliciter progressivement leurs procédures. Les échanges entre les élèves ainsi qu’un étayage approprié du professeur contribuent à l’apprentissage de chacun.

Les situations d’enseignement doivent permettre l’interaction et la collaboration entre les élèves, expérience décisive dans la construction des savoirs. Dans ce contexte l’élève travaille dans une atmosphère de socialisation où les talents de chacun sont reconnus. L’élève un acteur responsable dans la réalisation de ses apprentissages et l’apprentissage doit se faire en profondeur, en se basant sur la réflexion, plutôt que sur une étude superficielle des connaissances fondée sur la mémorisation. L’enseignement touche donc les savoirs, les savoir-faire, les savoir-être et les stratégies d’apprentissage et doit doter l’élève de confiance en ses habiletés afin qu’il s’investisse pleinement dans une démarche personnelle qui lui permettra d’atteindre un haut niveau de compétence.

L’élève doit développer le goût de l’effort intellectuel avec ce que cela exige d’imagination et de créativité d’une part, d’esprit critique et de rigueur d’autre part, ces exigences étant adaptées en fonction de son avancement.

L’enseignant prépare son enseignement/ses leçons en centrant son attention et ses efforts sur deux aspects :

• Quelles situations-problèmes et activités proposer pour construire les notions à enseigner ;

• Quelle gestion des situations didactiques en classe qui favorise l’action des élèves (manipulation, résolution de problèmes, interaction entre les élèves);

• Quelle régulation des apprentissages (diagnostic, évaluation formative, feed-back…).

L’apprentissage de chaque notion est de nature « spiralaire » et non linéaire

Il se déroule par approfondissements et élargissements successifs, souvent sur plusieurs périodes pendant lesquelles alternent phases de construction ou d’appropriation, moments de structuration, phases d’entraînement et de consolidation. La progression sur une année prend en compte cet aspect.


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ENSEIGNERLe processus d’enseignement apprentissage

Adossé aux conceptions constructiviste, socioconstructiviste et cognitiviste de l’apprentissage et à un modèle pédagogique de l’enseignement des mathématiques cohérents avec ces conceptions, nous présentons le processus d’enseignement- apprentissage des mathématiques au collège centré sur les situations didactiques, la résolution des problèmes, les activités.

Ce processus se démarque nettement de l’approche transmissive qui consiste à procéder par le schéma classique ; « j’apprends- j’applique- je comprends » où les élèves reçoivent les savoirs sous leur forme achevés (définitions, théorèmes et leurs démonstrations et exemples) puis exercices pour appliquer ce qu’ils ont reçu, s’entrainer pour comprendre le sens des notions étudiées.

Il consiste au contraire à susciter l’action des apprenants via des problèmes ou des activités construites ou créés par l’enseignants pour amener ces apprenants à construire le savoir visé par la leçon.

Les notions se construisent le plus souvent possible, comme des réponses à des questions qui présentent un certain enjeu pour les élèves. Dans ces « situations d’apprentissage », les élèves développent, pour les résoudre, une réelle activité cognitive de nature mathématique qui contribue à donner du sens à la notion.

En se référant à la théorie des situations didactiques de Guy Brousseau, on conçoit le processus d’enseignement-apprentissage selon les phases suivantes.

□ La phase de recherche

Au cours de cette phase, l’enseignant laisse les élèves chercher en s’assurant qu’ils ont bien compris ce qui leur est demandé. Son rôle est alors très important. Il consiste à solliciter les élèves, à veiller à ce qu’ils se sentent concernés, à relancer la recherche. Il consiste aussi à recueillir des informations sur les procédures des élèves qu’il est en train d’observer et éventuellement à les prendre en note. Ces informations lui permettent d’avoir une meilleure connaissance des compétences de ses élèves et d’organiser ainsi plus facilement la phase de mise en commun.

□ La phase de mise en commun ou la «correction»

Après un certain temps de recherche, les élèves doivent être informés sur la validité du travail qu’ils ont effectué. Une mise en commun des productions des élèves est nécessaire.

Pour que ces moments puissent fonctionner, l’enseignant doit veiller, dès le début de l’année, à mettre en place la communication entre l’élève qui fait sa proposition et le groupe classe. Cela nécessite beaucoup d’attention, d’implication et d’écoute de la part de tous. Les élèves doivent apprendre à argumenter lorsqu’on leur pose la question « Pourquoi... ? » sans craindre d’avoir fait une erreur, à considérer les erreurs non comme des « fautes » mais comme des propositions qui ne sont pas valides, à respecter les arguments de leurs camarades.


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□ La phase de l’institutionnalisation

Pour que les connaissances construites par ce travail de confrontation à des situations d’apprentissage puissent devenir des savoirs partagés, les moments où le professeur officialise certains éléments sont fondamentaux. Ces moments sont collectifs : le professeur formule ce qui a été découvert, ce que l’on a appris. Avant de pouvoir être évaluées, les connaissances doivent faire l’objet d’une longue phase d’entraînement, pour que les élèves puissent se les approprier et les mobiliser spontanément dans de nouveaux contextes. Chaque étape comporte des exercices ayant cette fonction d’entraînement.

□ L’évaluation des connaissances des élèves

L’évaluation est avant tout un outil permettant au professeur de réguler son enseignement au jour le jour et tout au long de l’année. Cette évaluation des compétences se fait, en cours d’apprentissage, lorsque le professeur observe chaque élève devant une tâche. L’évaluation se fait également au travers d’activités spécifiques permettant à l’enseignant d’évaluer les performances des élèves à un moment donné sur un sujet précis.

Jalons de nos choix pédagogiques

La Collection «l’Univers des Maths » a été conçue dans uneoptique socioconstructiviste et cognitiviste de l’apprentissage et e l’enseignement : L’enfant développe ses connaissances à travers son activité sur son environnement. C’est une activité sociale dont le langage est le médiateur principal. L’échange avec les pairs d’une part, le rôle de l’adulte d’autre part, prennent une part déterminante dans le processus d’apprentissage. Les méthodes pédagogiques que nous proposons reposent sur les principes constructivistes, socioconstructivistes et cognitivistes présentés ci-avant.

Faire des mathématiques, c’est résoudre des problèmes : l’enfant construit ses connaissances face à des situations qui lui imposent d’élaborer et de verbaliser les images mentales, les outils et les concepts logiques et mathématiques.

Enseigner des mathématiques c’est aménager d’un environnement d’apprentissage autour de situations problèmes et d’activités et gérer cet environnement da manière à ce que les élèves cherchent, collaborent, échangent de façon autonome.


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Analyse didactique du programme des mathématiquesen 3èmeannée du collège

Cette partie fournit à l’enseignant des repères didactiques quant aux contenus mathématiques traités en première année du collège, les principaux objectifs poursuivis et des indications sur le traitement de ces contenus pour atteindre ces objectifs.Cette analyse est structurée par domaine et par leçons.

Mais de prime abord, précisons que, l’enseignant doit prendre conscience du fait que,de façon transversale, les mathématiques sont un puissant outil et un langage universel permettant de décrire et de modéliser les phénomènes de la nature mais elles s’en distinguent aussi car elles forment une discipline intellectuelle autonome, possédant son identité.

Le rôle de la preuve, établie par le raisonnement, est essentiel et l’on ne saurait se limiter à vérifier sur des exemples la vérité des faits mathématiques. L’enseignement des mathématiques conduit à goûter le plaisir de découvrir par soi-même cette vérité, établie rationnellement et non sur un argument d’autorité, et à la respecter.

Faire des mathématiques, c’est se les approprier par l’imagination, la recherche, le tâtonnement et la résolution de problèmes, dans la rigueur de la logique et le plaisir de la découverte.

Les programmes officiels précisent que l’enseignement des mathématiques au collège vise à développer chez les élèves des compétences transversales et des attitudes, en plus des compétences disciplinaires.

- La résolution de problèmes : résoudre des problèmes lui permettant d’appliquer les nouvelles notions mathématiques et d’établir des liens entre elles;

- La communication : communiquer mathématiquement de façon appropriée;

– Le raisonnement: raisonner et justifier son raisonnement;

- Les liens : créer des liens entre les idées et les concepts mathématiques, la vie quotidienne et d’autres disciplines;

- L’estimation et le calcul mental : utiliser au besoin l’estimation et le calcul mental;

- La technologie : choisir et utiliser l’outil technologique approprié à la résolution de problèmes.

- Attitudes positives vis-à-vis des mathématiques qui génèrent chez l’apprenant la capacité de faire des mathématiques et lui prennent conscience de l’importance des mathématiques dans le développement personnel et social, et ce à travers ;

• le développement de la confiance en soi dans le domaine des mathématiques et le développement d’attitudes positives envers cette discipline ;

• l’appréciation des aspects artistiques dans les mathématiques (les patterns, la symétrie, le pavage) ;

• l’appréciation du rôle des mathématiques dans le progrès scientifique et social.

L’apprentissage des mathématiques développe l’imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement. La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif


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et contribue à construire le sens des notions étudiées. Les attitudes visées à travers l’apprentissage des mathématiques sont essentiellement :

• la rigueur et la précision dans les tracés, dans les mesures, dans les calculs ;• le goût du raisonnement ;• le réflexe de contrôler la vraisemblance des résultats ;• la volonté de justesse dans l’expression écrite et orale ;• l’ouverture à la communication, au dialogue, au débat ;• l’envie de prendre des initiatives, d’anticiper ;• la curiosité et la créativité ;• la motivation et la détermination dans la réalisation d’objectifs.

Troisième année du collège :une marche prononcée vers les mathématiques déductives.

Pour cette troisième et dernière année du collège, l’enfant va devoir se servir de tout ce qu’il a appris jusqu’à présent pour pouvoir le consolider, l’enrichir et être prêt à faire son entrée en Secondaire qualifiant. Ces changements vont être importants, surtout s’il s’oriente vers un cursus scientifique. Les bases du langage mathématique (théorèmes, conjectures, résolution, argumentation, infirmation...) doivent être maîtrisées.

La troisième année du collège constitue ainsi une étape décisive dans le parcours scolaire des élèves.

En troisième année la marche vers des mathématiques où prédominent la démarche algébrique, le raisonnement déductif, la géométrie théorique (et expérimentale) est plus marquée.

Dès lors, les élèves doivent prendre conscience du fait que résoudre un problème ne revient pas à trouver, tout de suite, les calculs à effectuer pour répondre à la question posée. Une élaboration est, en général, nécessaire, faite d’étapes ou d’essais plus ou moins organisés. Un même problème, suivant le moment où on le propose, suivant les connaissances des élèves à qui on le destine et suivant la gestion qui en est faite, peut être résolu par élaboration de procédures personnelles ou par reconnaissance et utilisation d’une procédure experte appropriée. Dans certains cas, la résolution des problèmes est organisée par l’enseignant pour, à partir des solutions personnelles élaborées par les élèves, déboucher sur une nouvelle connaissance (notion, procédure).

Le programme de troisième année reprend, pour les consolider, des notions du domaine des nombres étudiées en deuxième année, comme les nombres décimaux, les fractions et les nombres relatifs, les équations. De nouvelles notions sont abordées : dans le domaine des nombres, les nombres réel (racines carrées); en géométrie plane les triangles géométriques et les triangles semblables, les vecteurs et la translation; le théorème de Pythagore et celui de Thalès et en géométrie dans l’espace une initiation aux droites et plans et leurs positions relatives. Cette année connait aussi l’introduction de trigonométrie.

Dans ce qui suit nous présentons une analyse fine des contenus traités en 3ème année du collège.


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NOMBRES ET CALCUL

Les nombres sont au début et au cœur de l’activité mathématique. L’acquisition des principes de base de la numération, l’apprentissage des opérations et de leur sens, leur mobilisation pour des mesures et pour la résolution de problèmes s’est opérée à l’école primaire. Elle est poursuivie au collège avec des degrés croissants de complexité – nombre entiers naturels, nombres décimaux, fractions, nombres relatifs. L’apprentissage des techniques opératoires s’enrichit par des apprentissages de nature algébrique (calcul littéral, développement et factorisation, équations…).

Les notions relatives aux nombres et aux opérations doivent être introduites et mises en fonctionnement à travers des problèmes associant à une situation donnée une activité numérique. Ce qui permet de renforcer le sens des opérations et des diverses écritures numériques et littérales. Ils sont principalement issus de la vie courante, des autres disciplines ou des mathématiques. Il convient de ne pas multiplier les activités purement techniques. Tous les travaux numériques fournissent des occasions de pratiquer le calcul exact ou approché sous toutes ses formes, utilisées en interaction : calcul mental, à la main ou instrumenté.

La résolution de problèmes a pour objectifs :

• d’entretenir et développer la pratique du calcul mental, du calcul à la main et l’utilisation raisonnée des calculatrices ;

• d’assurer la maîtrise des calculs d’expressions numériques sur les nombres décimaux positifs et prévoir l’ordre de grandeur d’un résultat ;

• d’initier aux nombres relatifs et aux calculs sur les nombres en écriture fractionnaire ; de familiariser les élèves aux raisonnements conduisant à des expressions littérales ;

• d’apprendre à choisir et interpréter l’écriture appropriée d’un nombre ou d’une expression littérale suivant la situation,

• d’apprendre à effectuer des transformations simples d’écriture ;

• d’initier à la notion d’équation.

En cette année de nouvelles notions du domaine du nombre et du calcul sont introduites, principalement la racine carrée d’un nombre.

Cette année connait aussi l’introduction de notions de trigonométrie (une première approche du cosinus d’un angle du triangle droit a été approchée en deuxième année).

Il y a aussi l’étude des inéquations qui prolongent les acquis algébriques comme les équations, l’ordre et les opérations.

GEOMETRIE

L’enseignement de la géométrie occupe une place importante dans la formation des élèves en mathématique. De fait, les programmes de géométrie reposent sur deux idées essentielles :

• continuer à développer les dimensions perceptive et instrumentée de la pratique de la géométrie de l’école primaire ;


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• initier à la géométrie déductive dans le prolongement du travail entrepris sur le raisonnement.

Les pratiques mises en œuvre à l’école primaire (observation, description, reproduction, représentation, construction, mesurage, argumentation) se développent sur des objets déjà rencontrés ou sur des objets nouveaux, réels ou représentés. Pour les élèves, le statut théorique des objets étudiés se précise au fur et à mesure que leur sont conférées des définitions ou des propriétés caractéristiques.

En effet, à côté des propriétés rencontrées à l’école primaire (alignement, parallélisme, perpendicularité, égalité de longueurs, d’angles ou d’aires, présence d’un axe de symétrie), obtenues ou constatées à l’aide d’instruments, sont installées de nouvelles propriétés des objets du plan (par exemple, les propriétés caractéristiques des quadrilatères usuels), auxquelles se réfèrent les argumentations et sur lesquelles peut se développer l’apprentissage du raisonnement déductif.

Au collège donc, l’élève s’appuie toujours sur une géométrie perçue par les sens et contrôlée par les instruments, mais s’oriente progressivement vers une géométrie où les propriétés des objets sont validées par le raisonnement. Il poursuit et enrichit sa connaissance des figures et configurations clés (triangles, quadrilatères, cercles), et de leurs propriétés géométriques et métriques.

La définition et les propriétés de ces configurations sont explicitées avec un formalisme raisonnable, à partir de situations qui en révèlent la nécessité. Les théorèmes de Pythagore et de Thalès ainsi que les rapports trigonométriques, sont introduits avec progressivité.

L’élève entretient sa pratique des problèmes de construction à l’aide des instruments de tracé. Les frises, rosaces et pavages sont un terrain fertile pour utiliser ces outils, en liaison avec les transformations de figures. Le repérage sur la droite est introduit en liaison avec les nombres relatifs. Les tracés à la main levée ont toute leur importance, que ce soit pour chercher des conditions nécessaires dans les problèmes de construction, ou pour conduire des raisonnements. Le repérage dans le plan à l’aide des coordonnées cartésiennes est relié aux représentations graphiques (organisation de données, proportionnalité).

Le vocabulaire lié aux objets et notions géométriques (médiatrice, hauteur, inégalité triangulaire relève de l’utilisation d’un langage mathématique adapté. Le codage des figures est lui-même une autre forme de langage mathématique.

L’écriture d’un protocole est une méthode efficace pour comprendre ou réaliser une construction. La démonstration est perçue utilisée comme une démarche mathématique permettant de prouver un énoncé ou un résultat général. La modélisation en géométrie plane est une façon de représenter le monde.

La pratique des figures usuelles et de leurs propriétés, entamée au primaire est poursuivie et enrichie.


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Du primaire au collège, le contrôle des propriétés géométriques passe de la perception au dessin, puis à une géométrie plus abstraite, contrôlée par le raisonnement, qu’il soit formalisé ou non par une démonstration écrite.

Pour passer de la géométrie perçue à la géométrie abstraite, le changement de paradigme doit être motivé par des activités qui en montrent la nécessité. Par exemple, le recours à une propriété caractéristique peut être motivé par une figure codée, un programme de construction téléphoné, le jeu du portrait, ... ; l’emploi d’une argumentation raisonnée peut l’être en réponse à une question du type « le triangle est-il à peu près rectangle, ou exactement ? », par un raisonnement à partir d’une figure à main levée ; etc.

Problèmes de construction

Les problèmes de construction constituent un champ privilégié de l’activité géométrique. Ces problèmes doivent être diversifiés : reproduction d’une figure, figures sous contrainte, protocoles ou algorithmes de construction, analyse et modélisation de situations complexes issues du monde réel, des arts visuels, de l’architecture, du design, etc. Ces problèmes développent l’aptitude à observer une figure et à la représenter dans le modèle géométrique abstrait pour y raisonner.

L’élève doit entretenir et consolider ses compétences dans la manipulation des instruments de tracé et de mesure, et se familiariser progressivement avec les fonctionnalités d’un logiciel de géométrie dynamique permettant des constructions. Pour certaines figures relevant d’une procédure algorithmique, un logiciel adapté peut être utilisé.

La géométrie doit rester en prise avec le monde sensible qu’elle permet de décrire. Les constructions géométriques, avec leurs instruments traditionnels - règle, équerre, compas, rapporteur-, aussi bien qu’avec un logiciel de géométrie, constituent une étape essentielle à la compréhension des situations géométriques. Mais la géométrie est aussi le domaine de l’argumentation et du raisonnement, elle permet le développement des qualités de logique et de rigueur.

L’étude de la symétrie centrale et de la symétrie axiale permet de réorganiser et de compléter les connaissances sur les figures. Les travaux de géométrie plane prennent toujours appui sur des figures dessinées, suivant les cas, à main levée, à l’aide des instruments de dessin et de mesure, ou dans un environnement informatique. Ils sont conduits en liaison étroite avec l’étude des autres rubriques. Les diverses activités de géométrie habituent les élèves à expérimenter et à conjecturer, et permettent progressivement de s’entraîner à des justifications mettant en œuvre les outils du programme et ceux déjà acquis en classe de sixième.

La résolution de problèmes a pour objectifs de connaître et utiliser les propriétés conservées par symétrie (axiale ou centrale), les propriétés relatives aux figures usuelles (triangles, parallélogrammes, cercles), d’entretenir la pratique des constructions géométriques (aux instruments et à l’aide d’un logiciel de géométrie) et des raisonnements sous-jacents qu’elles mobilisent, de conduire sans formalisme des raisonnements géométriques simples, de familiariser les élèves avec les représentations de figures de l’espace.


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ORGANISATION ET GESTION DES DONNEES

L’organisation et la gestion des données sont indispensables pour comprendre un monde contemporain dans lequel l’information chiffrée est omniprésente, et pour y vivre. Il faut d’abord apprendre à lire et interpréter des tableaux, schémas, diagrammes, à réaliser ce qu’est un événement aléatoire. Puis apprendre à passer d’un mode de représentation à l’autre, à choisir le mode le plus adéquat pour organiser et gérer des données. Émerge ainsi la proportionnalité et les propriétés de linéarité qui lui sont associées. En demandant de s’interroger sur la signification des nombres utilisés, sur l’information apportée par un résumé statistique, sur les risques d’erreur d’interprétation et sur leurs conséquences possibles, y compris dans la vie courante, cette partie des mathématiques contribue à former de jeunes adultes capables de comprendre les enjeux et débats de la société où ils vivent. Enfin, en tant que discipline d’expression, les mathématiques participent à la maîtrise de la langue, tant à l’écrit - rédaction, emploi et construction de figures, de schémas, de graphiques - qu’à l’oral, en particulier par le débat mathématique et la pratique de l’argumentation.

Comme c’est le cas pour les dernières années de l’école primaire, au collège, la proportionnalité occupe une place centrale. Elle a été traitée en première année et sera consolidée, enrichie et élargie en deuxième année.

Les méthodes de résolution des problèmes de proportionnalité évoluent avec les connaissances des élèves, notamment avec une meilleure maîtrise de la notion de quotient. La partie relative au traitement et à la représentation de données a pour objectif d’initier à la lecture, à l’interprétation, à la réalisation et à l’utilisation de diagrammes, tableaux et graphiques et de mettre en évidence la relativité de l’information représentée. Les travaux correspondants sont conduits à partir d’exemples et en liaison, chaque fois qu’il est possible, avec l’enseignement des autres disciplines et l’étude des thèmes de convergence.

La résolution de problèmes a pour objectifs

• d’affermir la maîtrise des principaux raisonnements qui permettent de traiter les situations de proportionnalité,

• d’initier les élèves au repérage sur une droite graduée ou dans le plan muni d’un repère,

• d’acquérir et interpréter les premiers outils statistiques (organisation et représentation de données, fréquences) utiles dans d’autres disciplines et dans la vie de citoyen, de se familiariser avec des écritures littérales

Leçon 1 : Calcul numérique : Identités remarquables et puissances.

Les notions d’identités remarquables et de puissances ont été profondément traitées dans les années précédentes. Les techniques et habiletés de factorisation, développement et réduction d’expressions algébriques bien exercées. A ce stade des études, les élèves doivent être capables de retrouver les formules des puissances par exemple amxap = am+p en revenant à la définition de la puissance d’un nombre.


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Cette année, il s’agit de les enrichir et de les faire fonctionner dans divers domaines mathématiques et extra mathématiques.

Les objectifs d’apprentissage sont :

• Développer et factoriser ;

• Connaître et utiliser les identités remarquables ;

• Connaître et utiliser les règles de calcul sur les puissances.

• Connaître et utiliser la puissance positive d’un nombre relatif ;

• Connaître et utiliser la puissance négative d’un nombre relatif ;

• Connaître et utiliser la puissance positive d’un nombre rationnel ;

• Connaître et utiliser la puissance négative d’un nombre rationnel ;

• Connaître et utiliser l’écriture scientifique.

Leçon 2 : Racines carrées

La notion de racine carrée, comme beaucoup de notions mathématiques, est au carrefour de plusieurs domaines: algèbre, géométrie, analyse. Ensuite la racine carrée a provoqué la première grande crise dans les mathématiques, du moins en Occident : la crise des irrationnels chez les Grecs. Avant la crise des irrationnels, cette notion déjà ancienne (on en trouve l’existence chez les Babyloniens) intéressait les mathématiciens à un double titre: numérique et géométrique. Elle apparaissait en effet quand on voulait «calculer le côté d’un carré d’aire donnée numériquement, ou construire le côté d’un carré d’aire donnée géométriquement» (Dedron et Itard, 1959, Mathématiques et Mathématiciens, Magnard, Paris). Ces deux types de problèmes étaient séparés, chacun avait sa propre sphère d’influence. C’est lorsque les Grecs veulent calculer le côté d’un carré d’aire donnée géométriquement et qu’ils n’y réussissent pas que le problème surgit. L’impossibilité de calculer ce côté existant géométriquement est l’origine d’un long débat au sein des mathématiques, celui des nombres réels, résolu seulement au XIXème siècle.

La racine carrée se trouve alors au cœur de la problématique des irrationnels. Par ailleurs la racine carrée est la seule écriture exacte pour certains irrationnels à ce moment-là. Ce problème d’écriture se révèle pertinent dans la mesure où les élèves confondent souvent écriture et nombre.

La notion de racine carrée pose beaucoup de problèmes aux élèves.

Voici quelques exemples où les élèves rencontrent des difficultés et commettent des erreurs.

Difficulté en rapport avec la définition :

• la racine d’un nombre positif ne donne pas toujours un résultat (entier ou décimal ou rationnel): 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )

2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

= 6 mais

17 ∉ 5 a + b = a + b ?

• l’extraction de la racine carrée d’un négatif est impossible, mais il y a une différence entre le cas où ce nombre est «visiblement» négatif et le cas où il ne l’est pas : 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )

2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

n’existe pas mais 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )

2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

?

• La confusion entre a36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

0 condition d’existence et 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

0 par définition ;


28

• La signification d’exister ou ne pas exister de 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

pour un nombre : 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

n’existe pas mais

17 ∉ 5 a + b = a + b existe et pourtant, on ne peut l’écrire (écriture décimale ou rationnelle).

• La confusion entre x² = 25 possède deux solutions : 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

= 5 et -36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

= -5 et 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

= 5;

• On dit que la racine carrée est la réciproque du carré mais l’égalité 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

n’est pas toujours vraie.

• Une des erreurs fréquentes chez les élèves est

17 ∉ 5 a + b = a + b , due à « l’obstacle de la linéarité » :

Difficultés en rapport avec le calcul

•

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

= -4!;

• Résolution d’équations : x² = -49 ; x² = 25 ; x2 = 25100

; 25x2=81 ;

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

• il y a des opérations qui donnent des résultats (entiers ou décimaux) et d’autres non :

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

mais

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

est-il vraiment un résultat ?

• Pourquoi n’écrit-on pas toujours une approximation décimale puisque la calculatrice donne un résultat précis alors qu’avec la racine carrée on ne sait pas combien vaut le résultat?

• On peut multiplier ou diviser sous la racine mais pas ajouter ou soustraire ;

• Pour ajouter ou soustraire on ne doit pas « mélanger » les nombres et les racines, on doit faire comme dans le cas du calcul littéral :

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

(comme 7x - 4x = 3x) mais quand on développe on perd (apparemment) des termes : (x + 1)2 = x² + 2x + 1 mais

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

;

• Pour

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

j’ai compris mais si vous me donnez

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

qu’est-ce que je devrai répondre? Cette réponse d’un élève montre les difficultés que la racine carrée pose aux élèves.

• on écrit dans l’ordre 2

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

pour exprimer le double de la racine carrée de 3 mais avec une calculatrice de type « collège », cet ordre dans la séquence de frappe donne le triple de la racine de 2.

L’approche des racines carrées doit donc être prudente et l’enseignant doit être vigilant quant aux diverses difficultés et erreurs de ses élèves.

Les objectifs d’apprentissage de cette leçon sont les suivants :

• Connaître que si a désigne un nombre positif, 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

est le nombre positif dont le carré est a ;

• Connaître et utiliser les égalités 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

= a et 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

=a où a est un nombre positif ;

• Déterminer les nombres x tels que x2 = a, où a désigne un nombre positif ;

• Utiliser les égalités

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

,

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

, où a et b sont deux nombres positifs et b#0 dans le dernier cas.

Leçon 3 : Ordre et opérations

L’ordre et les opérations constituent des notions omniprésentes dans les calculs et la manipulation des nombres, que ce soit dans la résolution des problèmes ou dans la résolution des équations.


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La maîtrise de ces deux notions doit être une priorité pour l’enseignant. En effet, leur disponibilité et leur utilisation est un garant de la réussite de l’utilisation des nombres.

Les règles régissant l’ordre en rapport avec les opérations doivent être bien assimilées.

Des erreurs sont fréquentes dans l’utilisation de l’ordre et des opérations ; par exemple: multiplier une inégalité par un nombre négatif sans changement du sens de l’égalité, ou « soustraire deux inégalités ».

Dans cette leçon, les objectifs d’apprentissage sont :

• Comparer deux nombres relatifs ;• Maîtriser les propriétés de l’ordre et des opérations ;• Ecrire un encadrement d’un nombre relatif ;• Utiliser les propriétés de l’ordre dans la résolution de problèmes.

Leçon 4 : Théorème de Pythagore

Ce théorème est fondamental en géométrie et prend une place de choix dans la géométrie au collège et au-delà du collège.

Il est traité de façon approfondie, particulièrement pour caractériser ou identifier les triangles rectangles et calculer des longueurs et aussi pour résoudre des problèmes divers.


• Caractériser le triangle rectangle par le théorème de Pythagore ;• Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres, en

utilisant l’égalité de Pythagore.

Leçon 5 : Théorème de Thalès

Ce théorème est fondamental en géométrie et prend une place de choix dans la géométrie au collège et dans les années suivantes. Il permet de faire une liaison entre le géométrique et le numérique, mais plus précisément entre parallélisme et proportionnalité, et ouvre ainsi de nombreux horizons mathématiques au collège et les voies de l’homothétie et du barycentre au Lycée.

En deuxième année du collège il a été approché implicitement dans la leçon « triangle : milieux et parallèles». Cette année le théorème de Thalès est traité de façon approfondie, particulièrement pour caractériser ou identifier les triangles rectangles et calculer des longueurs et aussi pour résoudre des problèmes divers.


• Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés de deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux droites sécantes (théorème de Thalès) ;

• Connaître et utiliser un énoncé réciproque du théorème de Thalès.


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Leçon 6 : Trigonométrie

La trigonométrie (en grec τριγον = triangle) était à l’origine l’art de préciser uniquement par le calcul les informations absentes. Avec suffisamment d’informations, la trigonométrie vous permet de calculer les dimensions et les angles d’un triangle préalablement défini. Pourquoi des triangles? Parce que ce sont les figures de base qui permettent de construire toutes les autres formes ayant des côtés rectilignes. Un carré, un pentagone ou un polygone peuvent être divisés en triangles, en menant des lignes droites d’un angle à tous les autres.

La trigonométrie est un système mathématique qui apprend à mesurer les angles, non pas pour en donner les valeurs simples obtenues en géométrie plane en se servant d’un rapporteur, mais pour effectuer des calculs à l’aide de fonctions spéciales basées sur les angles que l’on appelle fonctions trigonométriques.

La notion de cosinus est approchée en deuxième année du collège. Cette année il s’agit d’aborder les lignes trigonométriques d’un angle aigu (cosinus, sinus et tangente) dans un triangle rectangle.


• Connaître et utiliser le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle ;

• Calculer avec une calculatrice une valeur approchée d’un sinus, cosinus, tangente d’un angle ou la valeur approchée d’un angle de sinus, cosinus, tangente connus ;

• Résoudre des problèmes faisant appel à ces lignes trigonométriques.

Leçon 7 : Angles au centre et angles inscrits

Euclide dans son Livre III consacré entièrement à l’étude du cercle formule les deux propriétés : « Dans un cercle, la mesure de l’angle au centre est égale au double de la mesure de tout angle inscrit qui intercepte le même arc » (proposition n°20) et « Dans un cercle, deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure » (proposition n°21).

Ces propriétés sont fondamentales pour l’étude de l’égalité des mesures des angles qui interceptent le même arc.

Les angles au centre et les angles inscrits interviennent dans beaucoup de problèmes géométriques. Les élèves doivent apprendre les notions nouvelles d’angle au centre et d’angle inscrit ainsi qu’à repérer l’angle au centre interceptant le même arc qu’un angle inscrit donné.

Une difficulté de reconnaissance de la configuration est connue : lorsque l’angle inscrit est obtus, l’arc intercepté est un grand arc, l’angle au centre associé est rentrant ; des élèves considèrent pourtant l’angle au centre saillant qui intercepte le petit arc. Une familiarisation avec les figures composées de triangles inscrits dans un cercle est donc nécessaire pour identifier les angles. La relation entre la mesure d’un angle inscrit et celle de l’angle au centre qui intercepte le même arc ainsi que sa conséquence sur les mesures d’angles inscrits interceptant le même arc constituent


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des objets de savoir nouveaux. À ces objets correspondent toutes les situations géométriques où ils interviennent comme outils pour : déterminer la mesure d’un angle inscrit connaissant celle de l’angle au centre ou d’un autre angle inscrit interceptant le même arc, calculer la mesure d’un angle au centre connaissant celle d’un angle inscrit interceptant le même arc, démontrer que deux angles ont la même mesure parce qu’ils sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc. Ces objectifs peuvent être intermédiaires, le calcul d’angle permet par exemple de prouver qu’un triangle est rectangle et l’égalité de deux angles permet de démontrer par exemple qu’une demi-droite est une bissectrice.


• Connaître et utiliser les angles inscrits et les angles au centre qui interceptent un même arc du cercle ;

• Connaître et utiliser la relation entre un angle inscrit et l’angle au centre qui interceptent le même arc du cercle.

Leçon 8 : Equations et inéquations

Pour anticiper la notion d’équation, l’élève apprend, dès le début du collège, à tester une égalité à la main ou à l’aide d’un outil numérique (tableur, calculatrice), en attribuant des valeurs numériques au nombre désigné par une lettre qui figure dans l’égalité. Il apprend à compléter des opérations à trou. Il est initié aux programmes de calcul à partir de programmes dont les opérations sont réversibles et permettent de « remonter » le programme en commençant par la dernière opération. C’est le cas dans l’exemple suivant:

Je pense à un nombre, je le multiplie par 3. Si je retranche 12 au résultat obtenu, j’obtiens 7,5. A quel nombre ai-je pensé ?

La méthode algébrique de résolution des équations du premier degré s’appuie sur les propriétés de l’égalité, par exemple l’invariance des solutions d’une équation par l’ajout d’une même expression à chacun de ses membres. L’utilisation du tableur et la programmation d’algorithmes permettent la résolution, au moins approchée, d’équations d’autres types.

L’étude des équations doit s’inscrire dans la double rupture épistémologique tant sur le plan outil, que sur le plan objet de l’algèbre. Celle-ci se manifeste d’une part, par une nouvelle conceptualisation du statut des lettres ainsi que des symboles et signes utilisés, d’autre part, par un changement dans les démarches de résolution de problèmes :

« Alors que la résolution arithmétique d’un problème en langage naturel consiste à rechercher les inconnues intermédiaires dans un ordre convenable, et à choisir les données et les opérations adéquates pour calculer ces inconnues, l’algèbre consiste à écrire des relations explicites entre inconnues et données et à s’en remettre ensuite à des procédures de traitement relativement automatiques pour trouver la solution. »(Vergnaud, 1988).

Le tableau suivant synthétise et illustre les discontinuités entre des démarches algébriques et non algébriques (arithmétique, ou par essai erreur).


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Côté outil Exemples Arithmétique Algèbre

Démarches de résolution inversées

Un père partage une somme de 1200dh entre ses trois fils, il donne à Ali 3 fois plus qu’à Sami et 200 de moins à Hicham qu’à Ali. Quelle est la part de chacun ?

connu -> inconnuDiviser la somme totale par le nombre de parties 1200 : 3 = 400D’où les parts respectives d’Ali, de Sami et Hicham sont 400 + 200 ;400 - 200 et 400

inconnu -> connuSoit x la part de Sami, alorsx + 3x + (3x-200) = 1200la résolution de cette équation aboutit à x=200 donc la part de Hicham est 400 et celle d’Ali est 600.

Techniques de résolution différentes

Trouver un nombre tel que son double ajouté à 15 donne 37.

Intuitiveessai erreur2x+15 = 37on soustrait 15 de 37 et on trouve 22 c’est le double du nombre cherché.Ce nombre est donc 11.

Formelle algorithmique2x + 15 =37 implique2x + 15-15 =37-15 implique2x = 22

2x x 12

=22 x 12

implique

x = 11

Côté objet Exemples Arithmétique Algèbre

Appréhension des statuts des lettres

15 m qui peut signifier 15 fois l’inconnue désignée par m ou 15 mètres…

x :étiquetteunité

x :inconnuevariablenombre généralisé

Appréhension de nouveaux objets

Ecriture fréquente chez les élèves23 + 32 = 55 – 15 = 40 comme réponse à un problème donné. La symétrie et la transitivité du signe = sont violées, il est interprété comme : « ça donne… »

signe = comme annonce d’un résultat

signe = comme relation d’équivalence (symétrique et transitive)

Si les problèmes élémentaires peuvent être résolus par l’arithmétique, les problèmes non

élémentaires confrontent les élèves à des difficultés qui peuvent leur révéler les limites des

outils mathématiques dont ils disposent à ce niveau et leur faire « accepter une autre approche

qu’arithmétique à la résolution de problèmes. La supériorité de la méthode algébrique est qu’elle

permet de traiter ces problèmes sans vraiment se contorsionner pour découvrir le chemin qui

«remonte» au résultat et qu’elle s’applique à des tas d’autres énoncés pour lesquels on serait bien

en peine de trouver la solution autrement.


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Un autre intérêt de la « technique de mise en équation » est qu’elle apporte une façon de structurer les données de l’énoncé. Enfin, si la solution arithmétique fait appel à l’expérience, « à la mémoire, l’esprit d’analogie, le sens de l’adaptation », « elle est beaucoup moins performante que la méthode algébrique au sens où elle n’offre pas de démarche « universelle ».

Cette leçon consolide la notion d’équation acquise par les élèves en deuxième année, et qui fait partie de la pensée algébrique. Il s’agit de renforcer les connaissances et les habiletés des élèves dans ce domaine fondamental. Il s’agit aussi d’introduire cette année la notion d’inéquation.

La notion d’inéquation est plus délicate que celle d’équation, au moins pour deux raisons :

résoudre une inéquation fait appel à l’ordre et aux opérations, parfois la résolution fait appel à la factorisation et à l’étude de signe d’une expression algébrique. Alors que pour les équations, on transforme des expressions contenant des égalités.

L’ensemble des solutions d’une inéquation est généralement infini.

Tout cela fait que la résolution des inéquations pose beaucoup plus de difficultés aux élèves et conduit à des erreurs de signes, d’ensemble des solutions...

Notons enfin que les équations et les inéquations sont un outil puissant pour mathématiser, modéliser et résoudre beaucoup de situations de la vie courante ou issues d’autres disciplines.

Cette leçon est ainsi une occasion de travailler sur la modélisation par les mathématiques.

Les objectifs d’apprentissage dans cette leçon sont les suivants :

• Résoudre une équation du premier degré à une inconnue ;

• Résoudre des équations simples se ramenant à une équation du premier degré à une inconnue ;

• Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue ;

• Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue et représenter ses solutions sur une droite graduée.

Leçon 9 : Triangles isométriques et triangles semblables

Euclide définit les triangles semblables comme des triangles ayant à la fois trois angles de même mesure et trois côtés proportionnels. Mais il suffit en réalité de deux angles respectivement égaux pour obtenir la similitude des triangles. C’est ensuite à l’aide du théorème de Thalès que la condition de similitude par la proportionnalité des côtés est introduite.


• Connaître deux triangles isométriques;

• Connaître deux triangles semblables;

• Utiliser les cas d’isométrie pour résoudre des problèmes;

• Utiliser les cas de similitude pour résoudre des problèmes.


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Leçon 10 : Vecteurs et translation

La translation est une transformation géométrique importante en mathématiques et ses usages sont multiples en mathématiques et dans les autres sciences. Elle est conceptuellement liée à la notion de vecteur. Cette dernière notion est aussi riche et reliée à d’autres notions comme le parallélogramme.

Une des difficultés par rapport à la translation est de la confondre avec d’autres transformations géométriques comme la symétrie ou la rotation. Quant aux difficultés en rapport avec la notion de vecteurs c’est de le concevoir comme des bipoints équipollents.

Quand on aborde l’enseignement des transformations du plan on n’a plus cette possibilité car on ne peut pas montrer une transformation ou dessiner une transformation. On ne peut en voir que les effets. On peut dessiner le translaté d’un triangle, on ne peut pas dessiner une translation. Cela tient à la nature même des transformations qui constituent un ensemble de concepts abstraits non identifiables à des objets. Dès lors, si nous ne pouvons pas définir les transformations en les montrant, comment aider les élèves à les appréhender, à les concevoir et plus tard à les maîtriser?

La notion de translation comme glissement est en cours d’acquisition. On peut penser que cette acquisition se fait suivant la progression suivante:

• les objets: considérés dans leur globalité puisqu’on les montre représentés par des dessins ou identifiés aux dessins;

• les points particuliers: extrémités, sommets, points remarquables;

• un point quelconque: un point de l’objet, n’importe quel point de l’objet;

• le point: isolé, objet en lui-même, objet élémentaire;

• l’ensemble de points: les points de l’objet, les points constituant l’objet;

• le plan: ensemble de tous les points, ensemble de référence.

L’enseignement des vecteurs vise à faire passer les élèves de la géométrie euclidienne du plan et de l’espace à une géométrie vectorielle. Les vecteurs sont définis par leurs caractéristiques géométriques de longueur, de direction et de sens. On traite ensuite la notion d’égalité de deux vecteurs, la somme de deux vecteurs et puis on relie la notion de vecteur au parallélogramme.


• Reconnaître un vecteur : direction, sens, longueur et le construire ;

• Construire la somme de deux vecteurs : parallélogramme, relation de Chasles.

• Utiliser les vecteurs pour résoudre un problème ;

• Construire l’image d’une figure géométrique par une translation ;

• Déterminer le vecteur d’une translation.


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Leçon 11 : Repère dans le plan

Cette leçon introduit les notions de la géométrie analytique : repère dans le plan et coordonnées de points du plan. Ces notions sont un outil puissant qui permet de résoudre des problèmes géométriques par des techniques algébriques et de calcul.

Ces notions ne présentent pas de grandes difficultés pour les élèves. Néanmoins un effort de mémorisation des formules est demandé.


• Connaître un repère orthogonal ;

• Connaître l’abscisse et l’ordonnée d’un point ;

• Relier les coordonnées d’un vecteur aux coordonnées des deux points constituant un représentant de ce vecteur ;

• Calculer les coordonnées du milieu d’un segment ;

• Calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs ;

• Calculer les coordonnées du produit d’un vecteur par un réel ;

• Calculer la distance de deux points ;

• Résoudre des problèmes géométriques en utilisant le repère et les coordonnées.

Leçon 12 : Equation d’une droite

A la suite de la leçon 11, qui a introduit des éléments de géométrie analytique, cette leçon porte

sur la caractérisation algébrique et analytique des droites du plan. Il s’agit en effet de déterminer

une droite du plan par une formule algébrique, son équation.

Cette notion d’équation d’une droite est un outil performant pour résoudre des problèmes géométriques.


• Connaître et utiliser l’équation d’une droite ;

• Connaître et utiliser la condition analytique de parallélisme de deux droites ;

• Connaître et utiliser la condition analytique de perpendicularité de deux droites.

Leçon 13 : Fonctions linéaires et fonctions affines

L’un des objectifs de l’étude des fonctions est de faire émerger progressivement, sur des exemples, la notion de fonction en tant que processus faisant correspondre, à un nombre, un autre nombre. Les exemples mettant en jeu des fonctions sont issus de situations concrètes ou de thèmes interdisciplinaires. Les fonctions linéaires et affines apparaissent alors comme des exemples particuliers de tels processus. L’utilisation des expressions « est fonction de » ou « varie en fonction de », amorcée dans les classes précédentes, est poursuivie et est associée à l’introduction de la notation f(x).


36

L’étude des fonctions linéaires permet de compléter l’étude de la proportionnalité par une synthèse d’un apprentissage commencé à l’école primaire.

L’utilisation de tableaux de proportionnalité permet de mettre en place le fait que le processus de correspondance est décrit par une formulation du type « je multiplie par a ». Cette formulation est reliée à : x → ax.

Pour des pourcentages d’augmentation ou de diminution, le fait que, par exemple, augmenter de 5% c’est multiplier par 1,05 et diminuer de 5 % c’est multiplier par 0,95 est établi. Certains traitements des situations de proportionnalité utilisés dans les classes précédentes sont reliés aux propriétés d’additivité et d’homogénéité de la fonction linéaire.

Parmi les situations qui ne relèvent pas de la proportionnalité, certaines sont cependant modélisables par une fonction dont la représentation graphique est une droite. Cette remarque peut constituer un point de départ à l’étude des fonctions affines. Pour les fonctions affines, la proportionnalité des accroissements de x et y est mise en évidence.

Les objectifs d’apprentissage dans cette leçon sont les suivants :

• Connaître et traduire une situation proportionnelle par la formule f(x) = ax ;

• Déterminer l’image et l’antécédent d’un nombre par une fonction linéaire ;

• Représenter graphiquement une fonction linéaire ;

• Déterminer la formule d’une fonction linéaire à partir d’un nombre non nul et son image par cette fonction ou à partir d’un point de son graphe, différent de l’origine du repère ;

• Déterminer l’image et l’antécédent d’un nombre par une fonction affine ;

• Traduire des situations par la formule f(x) = ax+b ;

• Représenter graphiquement une fonction affine ;

• Déterminer la formule d’une fonction affine à partir de deux nombres et leurs images par cette fonction ou à partir de deux points de son graphe ;

• Lire la représentation graphique d’une fonction linéaire ou affine.

Leçon 14 : Système de deux équations du premier degré à deux inconnues

Les équations, inéquations et systèmes d’équations servent à résoudre une grande variété de problèmes dans lesquels plusieurs conditions données sont exprimées par des relations entre des nombres ou quantités connus et inconnus. Il s’agit de répondre à la question suivante: y a-t-il des valeurs qui conviennent pour les inconnues, une seule ou plusieurs, et comment fait-on pour les trouver quand c’est possible?

Les systèmes d’équations sont une notion nouvelle. Elle met en jeu deux équations et deux inconnues. Leur résolution peut s’opérer par la méthode de substitution ou la méthode de combinaison linéaire.


37

L’enseignant doit mener de front le travail sur le sens et l’utilité des systèmes d’équation dans la résolution de nombreux problèmes mathématiques ou concrets et aussi sur la maitrise des techniques de résolution.

La modélisation des situations concrètes constitue un contexte très favorable pour donner du sens à cette notion.


• Résoudre algébriquement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues;

• Résoudre graphiquement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues;

• Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à un système de deux équations du premier degré.

Leçon 15 : Calcul de volumes, géométrie dans l’espace, agrandissement et réduction

Dans cette leçon les notions d’espace étudiées dans les années précédentes sont consolidées et enrichies, en particulier les positions relatives des droites et des plans dans l’espace sont traitées.

Les objectifs d’apprentissage de cette leçon sont :

• Développer la vision dans l’espace ;

• Reconnaître, manipuler, construire des objets de l’espace : solides, droites et plans ;

• Connaître les positions relatives des droites et des plans dans l’espace ;

• Connaître et calculer les aires et les volumes de solides usuels ;

• Agrandir ou réduire une figure et connaître les effets sur les aires et les volumes.

Leçon 16 : Statistiques

Les principales capacités visées sont de calculer des effectifs, calculer des fréquences et regrouper des données en classes d’égale amplitude.

Les élèves sont entraînés à lire, interpréter et représenter des données en utilisant un vocabulaire adéquat dans des contextes qui leur sont familiers. Les écritures 4

10 ; 25 ; 0,4; 40% sont utilisées

pour désigner une fréquence : elles permettent d’insister sur les diverses représentations d’un même nombre.

Il s’agit à cet égard de maîtriser les habiletés suivantes. Lire et interpréter des informations à partir d’un tableau ou d’une représentation graphique (diagrammes divers, histogramme). Présenter des données sous la forme d’un tableau, les représenter sous la forme d’un diagramme ou d’un histogramme (dans ce cas les classes sont toujours de même amplitude).

Le choix de la représentation est lié à la nature de la situation étudiée. L’utilisation d’un tableur permet d’enrichir ce travail en le prolongeant à des situations plus complexes que celles qui peuvent être traitées « à la main ».


38

Le traitement des données numériques consiste en la lecture, l’interprétation, l’organisation, la synthétisation et la représentation de données chiffrées. Les activités relatives au traitement de données permettent de développer les compétences mathématiques, et plus particulièrement la capacité à communiquer, à représenter et à exercer son esprit critique, participant ainsi à la formation de citoyens éclairés et responsables.

L’objectif est de fournir aux élèves des méthodes, d’une part pour comprendre les informations qu’ils rencontrent dans différents contextes sous la forme de tableaux, de graphiques ou de diagrammes, et d’autre part pour synthétiser et représenter sous une forme adaptée des données chiffrées qu’ils sont amenés à recueillir ou consulter, et en donner des résumés en utilisant quelques caractéristiques simples de statistique descriptive.

Dans un monde où les élèves sont confrontés en permanence à des images, il est primordial de les amener à réfléchir sur celles d’entre elles qui représentent des données.

Pour traiter des données, l’élève lit, interprète, commente et produit des tableaux et des graphiques; il étudie des relations entre des données statistiques et il les représente graphiquement. La lecture critique de diagrammes ou de représentations de données issus de différents supports amène l’élève à s’interroger sur la crédibilité des sources d’information ; elle contribue à l’éducation aux médias et à la maîtrise des techniques usuelles de l’information et à la formation du citoyen.

Les élèves sont entraînés à lire, interpréter et représenter des données en utilisant un vocabulaire adéquat dans des contextes qui leur sont familiers.

En première et deuxième années du collège ont été traitées les notions suivantes : pourcentage; représentation à l’aide d’un tableau ou graphique de données, ainsi que les notions suivantes : diagramme; histogramme; effectifs et fréquences ; classes d’égale amplitude ; effectifs cumulés, fréquences cumulées et moyenne.

Cette année, les notions de médiane, mode et étendue sont étudiées.

Les objectifs d’apprentissage de la leçon sont les suivants :

• Exploiter des tableaux, des graphiques pour résoudre des problèmes ;

• Connaître, utiliser et calculer une moyenne, une médiane et un mode ;

• Connaître et utiliser l’étendue.


Mise en œuvredes leçons


41

Repères didactiquesCette année, il s’agit d’enrichir et de faire fonctionner dans diverses situations les notions

d’identités remarquables et de puissances qui ont été traitées dans les années précédentes.

Les techniques et habiletés de factorisation, développement et réduction d’expressions algébriques doivent être bien exercées à ce stade des études. Les élèves doivent être ainsi capables de retrouver les formules des puissances par exemple amxap = a m+p en revenant à la définition de la puissance d’un nombre

Objectifs d’apprentissage• Développer et factoriser ;

• Connaître et utiliser les identités remarquables ;

• Connaître et utiliser les règles de calcul sur les puissances.

• Connaître et utiliser la puissance positive d’un nombre relatif ;

• Connaître et utiliser la puissance négative d’un nombre relatif ;

• Connaître et utiliser la puissance positive d’un nombre rationnel ;

• Connaître et utiliser la puissance négative d’un nombre rationnel ;

• Connaître et utiliser l’écriture scientifique.

Je vérifie mes prérequisCe QCM vérifie la maîtrise des élèves de notions acquises relativement au calcul numérique:

valeur d’une expression algébrique pour une valeur particulière de la variable, expression réduite d’une expression algébrique; l’expression développée réduite d’une expression algébrique

Activités de découverteActivité 1

Cette activité porte sur la forme d’expressions algébriques : produit ou somme d’autres expressions algébriques et comment les factoriser en utilisant les règles algébriques k(a+b) = ka+kb ou la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

Activité 2

Dans cette activité on découvre la première identité remarquable (a+b)2 = a2 + 2ab +b2 dans un contexte de géométrie et de calcul d’aires.

Calcul numérique :Identités remarquables et puissances1


42

Activité 3

Dans cette activité on redécouvre la première identité remarquable (a+b)2 = a2 +2ab+b2 dans un contexte algébrique en utilisant la règle de double distributivité de la multiplication par rapport à l’addition. Puis on en déduit la deuxième identité remarquable (a-b)2 = a2 -2ab+b2.

Activité 4

Dans cette activité on redécouvre la première identité remarquable (a-b)2 = a2-2ab+b2 dans un contexte de géométrie et de calcul d’aires.

Activité 5

Dans cette activité on redécouvre la première identité remarquable (a-b)2 = a2 -2ab+b2 dans un contexte algébrique, en utilisant la règle de double distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

Activité 6

Dans cette activité on calcule l’aire du domaine bleu dans la figure 1 et la figure 2.

Dans la figure 1 cette aire est égale à la différence de l’aire du carré de côté a et l’aire du carré de côté b c’est à dire a2 – b2

2Dans la figure 2 cette aire est égale à (a +b)(a –b)

2Activité 7

Dans cette activité on travaille les égalités développées dans les activités précédentes à savoir les identités remarquables.

CoursDes activités traitées, l’élève doit retenir :

1. La signification de « factoriser » et « développer » une expression algébrique ;

2. La définition de la puissance d’un nombre relatif et les formules des puissances et les opérations sur les puissances;

3. L’écriture scientifique d’un nombre décimal ;

4. La règle de double distributivité de la multiplication par rapport à l’addition ;

5. Les trois identités remarquables.

Exercices résolusExercice 1

Il s’agit de faire des calculs sur la réduction des puissances :

75x76 = 7 5+6= 711 etc.


43

Exercice 2

Dans cet exercice on s’exerce sur le développement d’expressions algébriques à l’aide des identités remarquables. Il faut veiller à l’erreur souvent commise par les élèves : (3x-9)2 = 3x2 -54x+81 où ils ne se rendent pas comptent que 3 aussi doit être élevé au carré.

Exercice 3

Il s’agit de factoriser des expressions algébriques :

Dans la première il faut identifier le facteur commun à savoir l’expression (x+2)

Dans la seconde expression il faut y identifier la première identité remarquable :

4x2 +16x+ 16 = (2x)2 + 2 x 2x x 4 + 42 = (2x+4)2

Exercice 4

Pour factoriser l’expression, il faut identifier le facteur commun à savoir (3x+1)

Exercice 5

Dans cet exercice il s’agit d’appliquer les règles des puissances pour écrire la quantité donnée en fonction des puissances de 2 et 3 uniquement.

Exercice 6

Dans cet exercice il s’agit d’appliquer les règles des puissances pour écrire la quantité donnée sous la forme la plus réduite possible.

Exercice 7

Il s’agit d’appliquer les identités remarquables pour développer et réduire des expressions algébriques.

Exercice 8

Il s’agit de factoriser des expressions algébriques en utilisant des identités remarquables.

Exercices et problèmes

Exercice 2A= 3x2 + 8x = x(3x+8)

B= (2x-1)(x-2)+4(2x-1) = (2x-1)(x-2+4) = (2x-1)(x+2)

C= (2-x)(x+5)+(3+x)(x+5)= (x+5)(2-x+3+x) = (x+5)(5)= 5(x+5)

Exercice 28Dans cet exercice on applique les régles des signes pour trouver le signe d’un produit :

a) 24x32 = 24x4x8 = 24x22x23 = 24+2+3 = 211 = 2048

b) 16x47= 42x47= 49

c) 16x81= 24x34= (2x3)4= 64

d) 3-7x81 = 3-7x34= 3-7+4 = 3-3


44

Exercice 35(6x104x35x10-4)

14x103 = (6x35)14x103= 15x10-3= 1,5x10-2

Exercice 46a) 100-t2= 102-t2 = (10-t)(10+t)

b) x2-36 =x2-62= (x-6)(x+6)

c) y2-100= y2-102= (y-10)(y+10)

d) 16-a2= 42-a2= (4-a)(4+a)

e) 9-4b2= 32- (2b)2= (3-2b)(3+2b)

f) 16y2-64= (4y)2-82= (4y-8)(4y+8)

Exercice 661) l’aire de la croix est égale à l’aire du grand carré de côté 4 cm moins 4 fois l’aire des petits

carrés de côtés x donc cette aire est 16-4x2

2) 16 - 4x2 = 42 - (2x)2 = (4 - 2x)(4 + 2x)

3) un rectangle de largeur 4 - 2x et de longueur 4 + 2x a la même aire que la croix.

QCM pour s’évaluer.Ce QCM permet aux élèves de vérifier leur degré d’acquisition des notions traitées dans la leçon (concepts, techniques, règles, formules…) : développement et réduction d’expressions algé-briques, utilisation des identités remarquables, calcul des puissances et exploitation des for-mules de puissances.Répondre correctement aux items du QCM est un indice de l’atteinte par les élèves des objectifs de la leçon. Des erreurs ou des difficultés dans les réponses à ces items doivent inciter les élèves à revoir leurs cours, approfondir leur compréhension. L’enseignant doit aussi tirer profit de ce QCM pour réguler son enseignement et prévoir des activités de remédiation et de renforcement des acquis de ses élèves.


45

Repères didactiques

La notion de racine carrée, comme beaucoup de notions mathématiques, est au carrefour de plusieurs domaines: algèbre, géométrie, analyse. Elle pose beaucoup de problèmes aux élèves. Voici quelques exemples où les élèves rencontrent des difficultés et commettent des erreurs.

• la racine d’un nombre positif ne donne pas toujours un résultat (entier ou décimal ou rationnel): 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )

2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

= 6 mais

17 ∉ 5 a + b = a + b .

• l’extraction de la racine carrée d’un négatif est impossible, mais il y a une différence entre le cas où ce nombre est « visiblement » négatif et le cas où il ne l’est pas : 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )

2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

n’existe pas mais 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )

2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

? • confusion entre a36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )

2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

0 condition d’existence et 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

0 par définition ;

• signification d’exister ou ne pas exister de 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

pour un nombre : 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

n’existe pas mais

17 ∉ 5 a + b = a + b existe et pourtant, on ne peut en écrire (écriture décimale) aucun des deux;

• confusion entre x² = 25 possède deux solutions et 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

= 5 et -36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

= -5 et 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

= 5;

• on dit que la racine carrée est la réciproque du carré mais l’égalité 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

n’est pas toujours vraie.

• Une des erreurs fréquentes chez les élèves est

17 ∉ 5 a + b = a + b , due à «l’obstacle de la linéarité»:

•

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

= - 4 ;

• Résolution d’équations : x² = - 49 ; x² = 25 ; x2 = 25100

; 25x2 = 81 ;

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

• l y a des opérations qui donnent des résultats (entiers ou décimaux) et d’autres non :

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

mais

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

est-il vraiment un résultat?

L’approche des racines carrées doit donc être prudente et l’enseignant doit être vigilant quant aux diverses difficultés et erreurs de ses élèves.

Objectifs d’apprentissage

• Connaître que si a désigne un nombre positif, 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

est le nombre positif dont le carré est a ;

• Connaître et utiliser les égalités 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

= a et 36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

=a où a est un nombre positif ;

• Déterminer les nombres x tels que x2 = a, où a désigne un nombre positif ;

• Utiliser les égalités

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

,

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

, où a et b sont deux nombres positifs et b#0 dans le dernier cas.

Je vérifie mes prérequisCe QCM vérifie la maîtrise des élèves des notions en relation avec le carré d’un nombre : trouver

le carré d’un nombre ou trouver un nombre dont le carré est donné.

Racines carrées2


46

Activités de découverte

Activité 1

Dans cette activité on aborde la situation où

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

est mis en jeu sans qu’il puisse être calculé exactement.

C’est la situation qui a mené les Grecs à la découverte des irrationnels.D’après le théorème de Pythagore, a2 = 12 +12

a2 = 2 on considère que la valeur de a est J.on calcule de la même façon b on trouve b2 = a2+1= 3on calcule c on trouve c2= b2+1= 4on calcule aussi d2 = c2 +1 =17on calcule e2= d2+1= 18

Activité 2

1) a) aire du triangle POM = 6x132 = 39

b) on applique pythagore 3 fois : dans le triangle PHM, dans le triagle PHO et le triangle PMO (réciproque).

c) PO x PM2

d) 117 × 52 = 117 × 52

(ab) = a × b a ≥ 0 b ≥ 0

ab

=ab

36 + 64 100 36 + 64

2) Il s’agit de démontrer que ab = a × b

72

36

64

ou

117 × 52 = 117 × 52

(ab) = a × b a ≥ 0 b ≥ 0

ab

=ab

36 + 64 100 36 + 64

et

117 × 52 = 117 × 52

(ab) = a × b a ≥ 0 b ≥ 0

ab

=ab

36 + 64 100 36 + 64

.Activité 3

On trouve OC =

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

et OD =

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

en appliquant pythagore.Activité 4

Dans cette activité on applique le résultat démontré dans l’activité 2 ab = a × b

72

36

64

Activité 5

Dans cette activité on traite des exemples qui montrent que la racine carrée de la somme ou de la différence est différente de la sommeou des différences des racines carrées.

A =

117 × 52 = 117 × 52

(ab) = a × b a ≥ 0 b ≥ 0

ab

=ab

36 + 64 100 36 + 64 = 6 +8 = 14B=

117 × 52 = 117 × 52

(ab) = a × b a ≥ 0 b ≥ 0

ab

=ab

36 + 64 100 36 + 64 = 10Nous avons A différent de B donc

ab = a × b

72

36

64

+

ab = a × b

72

36

64 est différent de

117 × 52 = 117 × 52

(ab) = a × b a ≥ 0 b ≥ 0

ab

=ab

36 + 64 100 36 + 64 .


1. La définition de la racine carrée d’un nombre positif ;

2. Lorsque la racine carrée d’un nombre ne peut être obtenue directement, on peut obtenir une valeur approchée à l’aide de la calculatrice ;

3. Il y a une méthode pour représenter la racine carrée d’un nombre sur une droite graduée ;

4. Les formules du produit et du quotient des racines carrées de nombres ;


47

5. La racine carrée de la somme ou de la différence de deux nombres rationnels n’est pas en général égale à la somme ou à la différence des racines carrées de ces nombres ;

6. Les solutions de l’équation x2 = a selon le signe de a.


1) On développe 1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2

2) D’après la question 1)

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2

donc la racine carrée de

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2

est

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2

.

Exercice 2

Cet exercice porte sur des calculs avec une racine carrée et la factorisation d’une expression écrite où il faut écrire 7 =

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2

B(x) = 4x2- 7 =(2x)2-

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2

= (2x-

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2

)(2x+

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2

)

Exercice 3

Dans l’exercice 3 on traite la technique de rendre rationnel le dénominateur d’une expression.

A=

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2

B=

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2

.

Exercice 4

Dans cet exercice on manipule des racines carrées pour développer et simplifier des expressions algébriques.

Exercice 5

Ici on factorise ou on simplifie des expressions algébriques contenant des racines carrées.

Exercice 6

Dans l’exercice 6 on écrit des nombre sous la forme a

117 × 52 = 117 × 52

(ab) = a × b a ≥ 0 b ≥ 0

ab

=ab

36 + 64 100 36 + 64

.

A=

ab = a × b

72

36

64

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2

B=

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2


Exercice 8a 36 144 -10 13 17 0,81

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)26 12 N’existe pas

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)20,9


48

Exercice 12a)

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2= 5 b)

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2= 7 c)

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2= 8 d)

1+ 2( )2

1+ 2( )2= 1+ 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2

3 + 2 2 = 1+ 2( )2 1+ 2

7( )2 7

A =2 3 + 1( )

5 2=

2 2 3 + 1( )5 2 × 2

=2 6 + 2

10

B =2

2 − 1=

2 2 + 1( )2 − 1( ) 2 + 1( )

=2 + 2

1= 2 + 2

A = 7( )2= 2 × 62 = 6 2

B = 12 − 27 + 5 48 = 3 × 22 + 3 × 32 + 5 3 × 42 = 2 3 − 3 3 + 5 × 4 3 = 19 3

a 13 17 5( )2 72 (−8)2 −7 (−4)2 = -7x4= -28

Exercice 16Si a est le côté de ce carré, alors a2 = 16. Cette égalité est vérifiée par deux nombres opposés -4 et 4. Et puisqu’il s’agit d’une longueur alors a = 4.

Exercice 30 A=4 7 − 8 28 + 700 = 4 7 − 16 7 + 10 7 = −2 7

648 + 972 = 2 × 182 + 3 × 182 = 18 2 + 18 3 = 18( 2 + 3)

20 = 4 × 5 = 2 5 80 = 16 × 5 = 4 5

500 = 5 × 100 = 10 5 125 = 5 × 25 = 5 5

1+ 2( )2= 12 + 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2 = 3 + 8

3 + 8 = 1+ 2 8 = 2 2

3 + 8 = 1+ 2 2 + 2 = 12 + 2 2 + 2( )2= 1+ 2( )2

2 3( )2 13

A = 3 + 3( )2= 3( )2

+ 2 × 3 3 + 32 = 3 + 6 3 + 9 = 12 + 6 3

A' = 2 72 + 3 6( ) = 2 72 + 3 2 6 = 144 + 3 12 = 12 + 6 3

Exercice 32On a 648 = 2x182 et 972= 3x182

Donc

A=4 7 − 8 28 + 700 = 4 7 − 16 7 + 10 7 = −2 7

648 + 972 = 2 × 182 + 3 × 182 = 18 2 + 18 3 = 18( 2 + 3)

20 = 4 × 5 = 2 5 80 = 16 × 5 = 4 5

500 = 5 × 100 = 10 5 125 = 5 × 25 = 5 5

1+ 2( )2= 12 + 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2 = 3 + 8

3 + 8 = 1+ 2 8 = 2 2

3 + 8 = 1+ 2 2 + 2 = 12 + 2 2 + 2( )2= 1+ 2( )2

2 3( )2 13

A = 3 + 3( )2= 3( )2

+ 2 × 3 3 + 32 = 3 + 6 3 + 9 = 12 + 6 3

A' = 2 72 + 3 6( ) = 2 72 + 3 2 6 = 144 + 3 12 = 12 + 6 3

.

Exercice 38a)

A=4 7 − 8 28 + 700 = 4 7 − 16 7 + 10 7 = −2 7

648 + 972 = 2 × 182 + 3 × 182 = 18 2 + 18 3 = 18( 2 + 3)

20 = 4 × 5 = 2 5 80 = 16 × 5 = 4 5

500 = 5 × 100 = 10 5 125 = 5 × 25 = 5 5

1+ 2( )2= 12 + 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2 = 3 + 8

3 + 8 = 1+ 2 8 = 2 2

3 + 8 = 1+ 2 2 + 2 = 12 + 2 2 + 2( )2= 1+ 2( )2

2 3( )2 13

A = 3 + 3( )2= 3( )2

+ 2 × 3 3 + 32 = 3 + 6 3 + 9 = 12 + 6 3

A' = 2 72 + 3 6( ) = 2 72 + 3 2 6 = 144 + 3 12 = 12 + 6 3

b)

A=4 7 − 8 28 + 700 = 4 7 − 16 7 + 10 7 = −2 7

648 + 972 = 2 × 182 + 3 × 182 = 18 2 + 18 3 = 18( 2 + 3)

20 = 4 × 5 = 2 5 80 = 16 × 5 = 4 5

500 = 5 × 100 = 10 5 125 = 5 × 25 = 5 5

1+ 2( )2= 12 + 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2 = 3 + 8

3 + 8 = 1+ 2 8 = 2 2

3 + 8 = 1+ 2 2 + 2 = 12 + 2 2 + 2( )2= 1+ 2( )2

2 3( )2 13

A = 3 + 3( )2= 3( )2

+ 2 × 3 3 + 32 = 3 + 6 3 + 9 = 12 + 6 3

A' = 2 72 + 3 6( ) = 2 72 + 3 2 6 = 144 + 3 12 = 12 + 6 3

c)

A=4 7 − 8 28 + 700 = 4 7 − 16 7 + 10 7 = −2 7

648 + 972 = 2 × 182 + 3 × 182 = 18 2 + 18 3 = 18( 2 + 3)

20 = 4 × 5 = 2 5 80 = 16 × 5 = 4 5

500 = 5 × 100 = 10 5 125 = 5 × 25 = 5 5

1+ 2( )2= 12 + 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2 = 3 + 8

3 + 8 = 1+ 2 8 = 2 2

3 + 8 = 1+ 2 2 + 2 = 12 + 2 2 + 2( )2= 1+ 2( )2

2 3( )2 13

A = 3 + 3( )2= 3( )2

+ 2 × 3 3 + 32 = 3 + 6 3 + 9 = 12 + 6 3

A' = 2 72 + 3 6( ) = 2 72 + 3 2 6 = 144 + 3 12 = 12 + 6 3

d)

A=4 7 − 8 28 + 700 = 4 7 − 16 7 + 10 7 = −2 7

648 + 972 = 2 × 182 + 3 × 182 = 18 2 + 18 3 = 18( 2 + 3)

20 = 4 × 5 = 2 5 80 = 16 × 5 = 4 5

500 = 5 × 100 = 10 5 125 = 5 × 25 = 5 5

1+ 2( )2= 12 + 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2 = 3 + 8

3 + 8 = 1+ 2 8 = 2 2

3 + 8 = 1+ 2 2 + 2 = 12 + 2 2 + 2( )2= 1+ 2( )2

2 3( )2 13

A = 3 + 3( )2= 3( )2

+ 2 × 3 3 + 32 = 3 + 6 3 + 9 = 12 + 6 3

A' = 2 72 + 3 6( ) = 2 72 + 3 2 6 = 144 + 3 12 = 12 + 6 3

Exercice 49On peut commencer par calculer

A=4 7 − 8 28 + 700 = 4 7 − 16 7 + 10 7 = −2 7

648 + 972 = 2 × 182 + 3 × 182 = 18 2 + 18 3 = 18( 2 + 3)

20 = 4 × 5 = 2 5 80 = 16 × 5 = 4 5

500 = 5 × 100 = 10 5 125 = 5 × 25 = 5 5

1+ 2( )2= 12 + 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2 = 3 + 8

3 + 8 = 1+ 2 8 = 2 2

3 + 8 = 1+ 2 2 + 2 = 12 + 2 2 + 2( )2= 1+ 2( )2

2 3( )2 13

A = 3 + 3( )2= 3( )2

+ 2 × 3 3 + 32 = 3 + 6 3 + 9 = 12 + 6 3

A' = 2 72 + 3 6( ) = 2 72 + 3 2 6 = 144 + 3 12 = 12 + 6 3

Donc

A=4 7 − 8 28 + 700 = 4 7 − 16 7 + 10 7 = −2 7

648 + 972 = 2 × 182 + 3 × 182 = 18 2 + 18 3 = 18( 2 + 3)

20 = 4 × 5 = 2 5 80 = 16 × 5 = 4 5

500 = 5 × 100 = 10 5 125 = 5 × 25 = 5 5

1+ 2( )2= 12 + 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2 = 3 + 8

3 + 8 = 1+ 2 8 = 2 2

3 + 8 = 1+ 2 2 + 2 = 12 + 2 2 + 2( )2= 1+ 2( )2

2 3( )2 13

A = 3 + 3( )2= 3( )2

+ 2 × 3 3 + 32 = 3 + 6 3 + 9 = 12 + 6 3

A' = 2 72 + 3 6( ) = 2 72 + 3 2 6 = 144 + 3 12 = 12 + 6 3

On écrit

A=4 7 − 8 28 + 700 = 4 7 − 16 7 + 10 7 = −2 7

648 + 972 = 2 × 182 + 3 × 182 = 18 2 + 18 3 = 18( 2 + 3)

20 = 4 × 5 = 2 5 80 = 16 × 5 = 4 5

500 = 5 × 100 = 10 5 125 = 5 × 25 = 5 5

1+ 2( )2= 12 + 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2 = 3 + 8

3 + 8 = 1+ 2 8 = 2 2

3 + 8 = 1+ 2 2 + 2 = 12 + 2 2 + 2( )2= 1+ 2( )2

2 3( )2 13

A = 3 + 3( )2= 3( )2

+ 2 × 3 3 + 32 = 3 + 6 3 + 9 = 12 + 6 3

A' = 2 72 + 3 6( ) = 2 72 + 3 2 6 = 144 + 3 12 = 12 + 6 3

et on écrit

A=4 7 − 8 28 + 700 = 4 7 − 16 7 + 10 7 = −2 7

648 + 972 = 2 × 182 + 3 × 182 = 18 2 + 18 3 = 18( 2 + 3)

20 = 4 × 5 = 2 5 80 = 16 × 5 = 4 5

500 = 5 × 100 = 10 5 125 = 5 × 25 = 5 5

1+ 2( )2= 12 + 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2 = 3 + 8

3 + 8 = 1+ 2 8 = 2 2

3 + 8 = 1+ 2 2 + 2 = 12 + 2 2 + 2( )2= 1+ 2( )2

2 3( )2 13

A = 3 + 3( )2= 3( )2

+ 2 × 3 3 + 32 = 3 + 6 3 + 9 = 12 + 6 3

A' = 2 72 + 3 6( ) = 2 72 + 3 2 6 = 144 + 3 12 = 12 + 6 3

Exercice 54Soit x la longueur des deux côtésOn considère l’un des triangles rectanglesNous avons x2= 12+

A=4 7 − 8 28 + 700 = 4 7 − 16 7 + 10 7 = −2 7

648 + 972 = 2 × 182 + 3 × 182 = 18 2 + 18 3 = 18( 2 + 3)

20 = 4 × 5 = 2 5 80 = 16 × 5 = 4 5

500 = 5 × 100 = 10 5 125 = 5 × 25 = 5 5

1+ 2( )2= 12 + 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2 = 3 + 8

3 + 8 = 1+ 2 8 = 2 2

3 + 8 = 1+ 2 2 + 2 = 12 + 2 2 + 2( )2= 1+ 2( )2

2 3( )2 13

A = 3 + 3( )2= 3( )2

+ 2 × 3 3 + 32 = 3 + 6 3 + 9 = 12 + 6 3

A' = 2 72 + 3 6( ) = 2 72 + 3 2 6 = 144 + 3 12 = 12 + 6 3

= 1+12= 13Donc x =

A=4 7 − 8 28 + 700 = 4 7 − 16 7 + 10 7 = −2 7

648 + 972 = 2 × 182 + 3 × 182 = 18 2 + 18 3 = 18( 2 + 3)

20 = 4 × 5 = 2 5 80 = 16 × 5 = 4 5

500 = 5 × 100 = 10 5 125 = 5 × 25 = 5 5

1+ 2( )2= 12 + 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2 = 3 + 8

3 + 8 = 1+ 2 8 = 2 2

3 + 8 = 1+ 2 2 + 2 = 12 + 2 2 + 2( )2= 1+ 2( )2

2 3( )2 13

A = 3 + 3( )2= 3( )2

+ 2 × 3 3 + 32 = 3 + 6 3 + 9 = 12 + 6 3

A' = 2 72 + 3 6( ) = 2 72 + 3 2 6 = 144 + 3 12 = 12 + 6 3

Exercice 561) l’aire du carré est

A=4 7 − 8 28 + 700 = 4 7 − 16 7 + 10 7 = −2 7

648 + 972 = 2 × 182 + 3 × 182 = 18 2 + 18 3 = 18( 2 + 3)

20 = 4 × 5 = 2 5 80 = 16 × 5 = 4 5

500 = 5 × 100 = 10 5 125 = 5 × 25 = 5 5

1+ 2( )2= 12 + 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2 = 3 + 8

3 + 8 = 1+ 2 8 = 2 2

3 + 8 = 1+ 2 2 + 2 = 12 + 2 2 + 2( )2= 1+ 2( )2

2 3( )2 13

A = 3 + 3( )2= 3( )2

+ 2 × 3 3 + 32 = 3 + 6 3 + 9 = 12 + 6 3

A' = 2 72 + 3 6( ) = 2 72 + 3 2 6 = 144 + 3 12 = 12 + 6 3

2) l’aire du rectangle est

A=4 7 − 8 28 + 700 = 4 7 − 16 7 + 10 7 = −2 7

648 + 972 = 2 × 182 + 3 × 182 = 18 2 + 18 3 = 18( 2 + 3)

20 = 4 × 5 = 2 5 80 = 16 × 5 = 4 5

500 = 5 × 100 = 10 5 125 = 5 × 25 = 5 5

1+ 2( )2= 12 + 2 × 1× 2 + 2( )2

= 3 + 2 2 = 3 + 8

3 + 8 = 1+ 2 8 = 2 2

3 + 8 = 1+ 2 2 + 2 = 12 + 2 2 + 2( )2= 1+ 2( )2

2 3( )2 13

A = 3 + 3( )2= 3( )2

+ 2 × 3 3 + 32 = 3 + 6 3 + 9 = 12 + 6 3

A' = 2 72 + 3 6( ) = 2 72 + 3 2 6 = 144 + 3 12 = 12 + 6 3 3) on remarque que A=A’.

QCM pour s’évaluer.Ce QCM permet aux élèves de vérifier leur degré d’acquisition des notions traitées dans la leçon (concepts, techniques, règles, formules…) : définition de la racine carrée d’un nombre positif, les formules des racines carrées, la réduction d’expression comprenant des racines carrées., les solu-tions d’équations du type x2 = a. Répondre correctement aux items du QCM est un indice de l’atteinte par les élèves des objectifs de la leçon. Des erreurs ou des difficultés dans les réponses à ces items doivent inciter les élèves à revoir leurs cours, approfondir leur compréhension. L’enseignant doit aussi tirer profit de ce QCM pour réguler son enseignement et prévoir des activités de remédiation et de renforcement des acquis de ses élèves.


49


L’ordre et les opérations constituent des notions omniprésentes dans les calculs et la manipulation des nombres, que ce soit dans la résolution des problèmes ou dans la résolution des équations.

La maîtrise de ces deux notions doit être une priorité pour l’enseignant. En effet, leur disponibilité et leur utilisation est un garant de la réussite de l’utilisation des nombres.

Les règles régissant l’ordre en rapport avec les opérations doivent être bien assimilées.

Des erreurs sont fréquentes dans l’utilisation de l’ordre et des opérations ; par exemple multiplier une inégalité par un nombre négatif sans changement du sens de l’inégalité, ou « soustraire deux inégalités ».

Objectifs d’apprentissage• Comparer deux nombres relatifs ;

• Maîtriser les propriétés de l’ordre et des opérations ;

• Ecrire un encadrement d’un nombre relatif ;

• Utiliser les propriétés de l’ordre dans la résolution de problèmes.

Je vérifie mes prérequisCe QCM vérifie la maîtrise des élèves des opérations et de l’ordre étudiés en deuxième année

par exemple si a<b alors a-b<0 ; 23

> 35

parce que 2x5>3x3 ; - 27

>- 37

; si x<2 alors x+3<5 .


Dans cette activité on aborde le signe de la différence de deux nombres et différentes techniques de comparaison des nombres.

1) a) b) c) on étudie la comparaison de deux nombres selon que la différence est positive ou négative : a>2 donc a-2>0 ; b-4,5>0 donc b>4,5 ; c-1<0 donc c<1

Dans la question d) on étudie les cas généraux

2) dans cette question on aborde des techniques de comparaison des nombres : mentalement, à la main ou à l’aide de la calculatrice.

Activité 2

Cette activité aborde la comparaison des nombres dans des situations concrètes.

1) Le nombre des élèves inscrits au brevet est supérieur au nombre des élèves qui ont passé l’épreuve. Donc x<34247

Donc x-34247<0 ou aussi 34247-x>0.

2) on compare des nombres

3) on a x<3,2 donc x est différent de 3,2 et 72

mais il peut être égal à 3,19.

Ordre et opérations3


50

Activit é 3

Dans cette activité on compare des nombres.

Activité 4

1) Dans cette activité on aborde dans un contexte concret (jeux de console), la proppriété «si on ajoute ou si on retranche un même nombre aux deux membres d’une inégalité elle ne change pas».

Dans le deux cas a) et b) Maha aura toujours moins de points que Nisrine.

2) Dans cette question on traite cette propriété dans le cas général.

Activité 5

Dans cette activité on aborde dans un contexte de droite graduée, la propriété « si on multiplie les deux membres d’une inégalité par un même nombre positif elle ne change pas ; si ce nombre est négatif on inverse le sens de l’inégalité ».

2) Dans cette question on traite cette propriété dans le cas général.

Activité 6 :

Dans cette activité on aborde, la propriété « si a<b alors 1a

> 1b

dans les deux cas où a et b sont

tous les deux positifs strictement ou le cas où ils sont tous les deux négatifs strictement»

Activité 7

Cette activité est un exercice de comparaison exploitant ce qui a été développé précédemment.

Cours

Des activités traitées, l’élève doit retenir ce qui suit:

1. Comparer deux nombres revient à étudier le signe de leur différence ;

2. Une inégalité ne change pas en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres de cette inégalité;

3. si on multiplie une inégalité par un même nombre positif elle ne change pas ; si ce nombre est négatif on inverse le sens de l’inégalité;

4. si a<b alors 1a > 1

b dans les deux cas où a et b sont tous les deux positifs strictement ou le

cas où ils sont tous les deux négatifs strictement;

5. si a et b sont deux nombres positifs, si a<b alors a2<b2 et inversement;

6. si a et b sont deux nombres positifs, si a<b alors a b<a b et inversement;

7. encadrer un nombre x c’est trouver deux nombres tel que a<x<b, la valeur b-a est appelée l’amplitude de l’encadrement.


Dans cet exercice on compare des nombres donnés par une expression algébrique :a) x+5<4 donc x+5-5<4-5 et alors x<-1b) - 2

3 x>1 donc - 32 x(- 2

3 x)< - 32 x1 (on multiplie par le nombre négatif - 3

2 donc on change le signe de l’inégalité). D’où x<- 3

2 .


51

Exercice 2

Ici on propose de comparer des nombres comprenant une racine carrée. Si les deux nombres sont positifs on compare leurs carrés.

2 6( )2 2 6 2

a2 =1

14 5( )2 =1

980 b2 =

131( )2 =

1961

a2 = x x + 1( )2= x2 (x + 1) = x3 + x2

b2 = x + 1 x( )2= (x + 1)2 x = (x2 + 2x + 1)x = x3 + 2x2 + x

= 4 x 6 = 24 et 52 = 25

24<25 donc 2 6( )2 2 6 2

a2 =1

14 5( )2 =1

980 b2 =

131( )2 =

1961

a2 = x x + 1( )2= x2 (x + 1) = x3 + x2

b2 = x + 1 x( )2= (x + 1)2 x = (x2 + 2x + 1)x = x3 + 2x2 + x

<5

Exercice 3

Ici on cherche à encadrer des expressions algébriques. Par exemple 1 < a < 2 et -5 < b < -3Trouvons un encadrement de a + bEn ajoutant les deux inégalités on trouve 1 + -5 < a + b < 2 + -3 donc -4 < a + b < -1Pour encadrer ab, il faut écrire 3<-b<5 (en multipliant -5<b<-3 par -1 et en changeant le signe des deux inégalités)On a donc 1<a<23<- b<5 (remarquer que –b est positif )En multipliant les deux inégalités membre à membre on trouve : 3<- ab<10On multiplie par -1 et on change le signe des deux inégalités on obtient : -10 < ab < -3

Exercices et problèmesExercice 2a - b = 2 6( )2

2 6 2

a2 =1

14 5( )2 =1

980 b2 =

131( )2 =

1961

a2 = x x + 1( )2= x2 (x + 1) = x3 + x2

b2 = x + 1 x( )2= (x + 1)2 x = (x2 + 2x + 1)x = x3 + 2x2 + x

et puisque 2 6( )2 2 6 2

a2 =1

14 5( )2 =1

980 b2 =

131( )2 =

1961

a2 = x x + 1( )2= x2 (x + 1) = x3 + x2

b2 = x + 1 x( )2= (x + 1)2 x = (x2 + 2x + 1)x = x3 + 2x2 + x

>0 alors a-b>0 donc a>b

Exercice 91) on calcule a-b =

xy +

yx - 2 =

x2+y2-2xy2xy =

(x-y)2

2xy >0 donc a>b

2) on calcule a-b = x + y − 2 xy = x( )2+ y( )2

− 2 x y = x − y( )2> 0

x2 y2 15

donc a>b

Exercice 121) on a x>3 et y>-2 donc x+y>3+(-2)

D’où x+y> 1 donc x+y est positif2) y>-2 donc 2y>-4

D’où x+2y> 3+(-4) et alors x+2y+1>-1+1x+2y+1>0 Donc x +2y+1 est positif

Exercice 191) on a : a<b on multiplie par le nombre positif 1

3 alors on obtient 1

3 a< 1

3 b

2) on multiplie maintenant par –2 6( )2 2 6 2

a2 =1

14 5( )2 =1

980 b2 =

131( )2 =

1961

a2 = x x + 1( )2= x2 (x + 1) = x3 + x2

b2 = x + 1 x( )2= (x + 1)2 x = (x2 + 2x + 1)x = x3 + 2x2 + x

qui est un nombre négatif alors le signe de l’inégalité change d’où –2 6( )2 2 6 2

a2 =1

14 5( )2 =1

980 b2 =

131( )2 =

1961

a2 = x x + 1( )2= x2 (x + 1) = x3 + x2

b2 = x + 1 x( )2= (x + 1)2 x = (x2 + 2x + 1)x = x3 + 2x2 + x

a>-2 6( )2 2 6 2

a2 =1

14 5( )2 =1

980 b2 =

131( )2 =

1961

a2 = x x + 1( )2= x2 (x + 1) = x3 + x2

b2 = x + 1 x( )2= (x + 1)2 x = (x2 + 2x + 1)x = x3 + 2x2 + x

b.

Exercice 261) pour comparer les deux nombres positifs a et b on peut comparer leurs carrés :

2 6( )2 2 6 2

a2 =1

14 5( )2 =1

980 b2 =

131( )2 =

1961

a2 = x x + 1( )2= x2 (x + 1) = x3 + x2

b2 = x + 1 x( )2= (x + 1)2 x = (x2 + 2x + 1)x = x3 + 2x2 + x

et

2 6( )2 2 6 2

a2 =1

14 5( )2 =1

980 b2 =

131( )2 =

1961

a2 = x x + 1( )2= x2 (x + 1) = x3 + x2

b2 = x + 1 x( )2= (x + 1)2 x = (x2 + 2x + 1)x = x3 + 2x2 + x

on a 961<980 donc

2 6( )2 2 6 2

a2 =1

14 5( )2 =1

980 b2 =

131( )2 =

1961

a2 = x x + 1( )2= x2 (x + 1) = x3 + x2

b2 = x + 1 x( )2= (x + 1)2 x = (x2 + 2x + 1)x = x3 + 2x2 + x

>

2 6( )2 2 6 2

a2 =1

14 5( )2 =1

980 b2 =

131( )2 =

1961

a2 = x x + 1( )2= x2 (x + 1) = x3 + x2

b2 = x + 1 x( )2= (x + 1)2 x = (x2 + 2x + 1)x = x3 + 2x2 + x

donc b2>a2


52

par conséquent b>a.

3) Là aussi on compare les carrés des deux nombres.

2 6( )2 2 6 2

a2 =1

14 5( )2 =1

980 b2 =

131( )2 =

1961

a2 = x x + 1( )2= x2 (x + 1) = x3 + x2

b2 = x + 1 x( )2= (x + 1)2 x = (x2 + 2x + 1)x = x3 + 2x2 + x

et b2 = (x + 1) x( )2= (x + 1)2 x = (x2 + 2x + 1)x = x3 + 2x2 + x

D’où a2-b2 =( x3+x2)- (x3+2x2+x)= x3+x2- x3-2x2-x=-x2-x = -(x2 +x)<0Donc a2-b2<0 et alors a2<b2

Par conséquent a<b.

Exercice 30a) on a 3<x<1 donc 3-1<x-1<1-1 d’où 2<x-1<0b) on a 3<x<1 donc 3+ 1

2 <x+ 1

2<1+ 1

2d’où 5

2<x+ 1

2< 3

2

Exercice 331) On réduit au même dénominateur les deux fractions : 5

6 = 35

42 et 6

7 = 36

42 en comparant les

numérateurs des deux fractions on en déduit 56

< 67

2) On détermine le signe de la différence

nn+1 – n+1

n+2 = n(n+2) - (n+1)2

(n+1)(n+2) = (n2+2n-n2-2n-1)(n+1)(n+2) =

-1(n+1)(n+2)<0

Donc nn+1 < n+1

n+2 .

Exercice 39On calcule A-B= x+1

x-2 x + 1

x - 2 = (x2+1-2x)

x = (x-1)2

x>0 donc A>B

Exercice 401) On a 0<x<y

On multiplie par x (nombre positif ) donc 0<x2<xyOn multiplie par y (nombre positif donc 0<xy<y2

D’où x2<xy<y2

2) si xy = 15 alors d’après 1) on obtient x2<15<y2 et alors

x + y − 2 xy = x( )2+ y( )2

− 2 x y = x − y( )2> 0

x2 y2 15<

x + y − 2 xy = x( )2+ y( )2

− 2 x y = x − y( )2> 0

x2 y2 15 <

x + y − 2 xy = x( )2+ y( )2

− 2 x y = x − y( )2> 0

x2 y2 15C’est-à-dire : x<

x + y − 2 xy = x( )2+ y( )2

− 2 x y = x − y( )2> 0

x2 y2 15 <y car x>0 et y>0.

4) Il suffit de comparer les carrés des nombres en jeu.

QCM pour s’évaluer.Ce QCM permet aux élèves de vérifier leur degré d’acquisition des notions traitées dans la leçon:

la comparaison des nombres, les comparaisons et les opérations, l’encadrement de nombres.

Répondre correctement aux items du QCM est un indice de l’atteinte par les élèves des objectifs de la leçon. Des erreurs ou des difficultés dans les réponses à ces items doivent inciter les élèves à revoir leurs cours, approfondir leur compréhension. L’enseignant doit aussi tirer profit de ce QCM pour réguler son enseignement et prévoir des activités de remédiation et de renforcement des acquis de ses élèves.


53


Ce théorème est fondamental en géométrie et prend une place importante dans la géométrie au collège et au-delà du collège.

Il est traité de façon approfondie, particulièrement pour caractériser ou identifier les triangles rectangles et calculer des longueurs et aussi pour résoudre des problèmes divers.


• Caractériser le triangle rectangle par le théorème de Pythagore ;

• Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres, en utilisant l’égalité de Pythagore.

Je vérifie mes prérequisCe QCM vérifie la maîtrise des élèves de notions préliminaires au théorème de Pythagore :

carré d’un nombre ; l’aire d’un carré, côté d’un carré d’aire donnée, mesure d’un angle.


Dans cette activité on aborde l’égalité exprimant le théorème de Pythagore dans un contexte géométrique.

1) La figure (en blanc) est un carré car elle a un angle égal à 90°et ses côtés sont égaux.2) L’aire du carrée est A et elle est égale à l’aire du grand carré (de côté a+b) à laquelle il faut

retrancher les aires des quatre triangles.Or l’aire des quatre triangles est égale à 2 fois l’aire du rectangle initial (découpé) qui est égale à 2ab.Donc A = (a+b)2 -2ab = a2 +2ab +b2 -2ab = a2+ b2

3) On a c la diagonale du rectangle donc c est aussi le côté du carré en blanc. Donc on a aussi A = c2

D’où c2 = a2 +b2.

Activité 2

Cette activité porte sur la réciproque du théorème de Pythagore dans trois cas particuliers de triangles de côtés donnés.

On trouve que le carré du grand côté est la somme des carrés des deux autres côtés. Et on s’aperçoit que ces triangles sont rectangles.

Activité 3

Dans cette activité il s’agit d’établir la réciproque du théorème de Pythagore dans le cas général.

Théorème de Pythagore4


54

1) on utilise le théorème de Pythagore direct dans le triangle rectangle ABC’ :

Donc BC’2 = AB2 +AC’2

et on a comme donnée BC2 = AB2 +AC2

et puisque AC’= AC (C’ étant le symétrique de C par rapport à A)

D’où BC’2 = BC2 et donc BC’ = BC.

2) La droite (AB) est perpendiculaire à la droite (CC’) et passe par le milieu du segment CC’.

Alors La droite (AB) est la médiatrice du segment [CC’].

3) puisque la droite (AC) est la droite (CC’) alors La droite (AB) est perpendiculaire à la droite (AC) et par conséquent le triangle ABC est rectangle en A.

4) La propriété démontrée dans cette activité est la suivante ; si dans un triangle ABC on a BC2 = AB2 +AC2 alors le triangle ABC est rectangle en A.

5) pour le premier rectangle, on calcule le carré du côté le plus long : 100Et la somme des carrés des deux autres côtés : 82 + 62= 64+36 =100Nous avons ainsi BC2 = AB2 +AC2 et donc le triangle ABC est rectangle en A.Pour le deuxième rectangle82 = 64(6,4)2 + (4,8)2 = 64Ce triangle est donc rectangle.


1. Le théorème direct de Pythagore et ses utilisations.

2. Le théorème réciproque de Pythagore et ses utilisations.


Cet exercice est un entrainement à calculer la valeur approchée d’un nombre dont le carré est donné à l’aide d’une calculatrice

Pour cacluler le nombre dont le carré est 8,73 on tape respectivement :shift x2 8 . 7 3 ou 2nde x2 8 . 7 3

Exercice 2

Dans cet exercice on applique le théorème direct de Pythagore pour calculer la longueur du troisième côté d’un triangle rectangle dont les longueurs des deux autres côtés sont données.

Le triangle ABC est rectangle en B d’après le théorème direct de Pythagore, AC2 = AB2 +BC2

Donc BC2 =AC2 –AB2,

BC2= (6,8)2 -(5,2)2 = 19,2

A l’aide de la calculatrice on trouve BC =4,38 cm arrondi au dixième.


55

Exercice 3

Il s’agit de démontrer qu’un triangle est rectangle à l’aide du théorème réciproque de Pythagore.Pour cela on compare le carré de la longueur du plus long côté à la somme des carrés des

longueurs des deux autres côtés.Dans le triangle EFG, le côté EG est le plus longEG2 = 132 = 169EF2 +FG2 = 122 +52 = 144+25= 169Donc EG2 = EF2 +FG2

Alors le triangle EFG est rectangle en F.

Exercice 4

Dans cet exercice on traite un cas de triangle non rectangle ;Pour cela on compare le carré de la longueur du plus long côté à la somme des carrés des

longueurs des deux autres côtés.Dans le triangle IJK, le côté JK est le plus longJK2 = 10,22 = 104,04IK2+IJ2= 7,82 + 6,52 = 103,09Donc JK2 est différent de EF2 +FG2.Alors le triangle IJK n’est pas rectangle.

Exercices et problèmesExercice 1a) L’hypoténuse est le côté le plus long donc dans le triangle ABC c’est le côté BCb) L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, dans le triangle c’est le côté EG.

Exercice 8a) L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit B, donc c’est AC et alors AC2 = AB2 +BC2

b) L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit F, donc c’est DE et alors DE2 = DF2 +FE2

Exercice 10a) L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit D, donc c’est ECb) D’après le théorème direct de Pythagore, CE2 = DE2 +DC2

c) CE2 = 242 + 322 = 576 + 1024= 1600

d’où CE = 40 cm.

Exercice 16a) dans le triangle OPQ, le côté le plus long est OQ

OQ2 = (9,1)2 = 82,81Et OP2 + PQ2 = (5,2)2 + (7,5)2 = 27,04 +56,25 = 83,29

Donc OQ2 est différent de OP2 + PQ2.Le triangle OPQ n’est pas rectangle.


56

Exercice 181) Puisque le côté droit est le côté opposé à l’hypoténuse, c’est-à-dire au côté le plus long, alors

le triangle XSJ ne peut être droit ni en X ni en J. en effet le côté opposé à X est SJ de longueur 56 mm et le côté opposé à J est SX de longueur 42 mm.

2) XJ2 = 702 = 4900

Et JS2 + SX2 = 562 +422 = 3136 + 1764 = 4900

Donc XJ2 = JS2 + SX2

Donc le triangle XSJ est rectangle en S.

Exercice 231) Le triangle AHC est rectangle en H donc d’après le théorème direct de Pythagore :

AC2 = CH2 +HA2 = 92 + 122= 81 + 144= 255D’où AC = 15 cmLe triangle BHA est rectangle en H donc d’après le théorème direct de Pythagore : AB2 = HB2 +HA2

132 = HB2 +122

HB2 =132 - 122=169 - 144= 25D’où HB = 5 cm

2) Le périmètre du triangle ABC = AB+BC+CA= AB+BH+HC+CA= 13+ 5+9+15= 42 cm.

L’aire du triangle ABC = AHxBC2 = 12x14

2 = 98 cm2.Exercice 28

Dans le triangle DQX, la mesure de l’angle Q est 180° - (58°+32°) = 90°Donc le triangle DQX est rectangle en Q.D’après le théorème de Pythagore DX2 = DQ2 +QX2

Donc DX2 = 152 +112= 225 +121 = 346D’où DX = 18,6 cm.

QCM pour s’évaluer.Ce QCM permet aux élèves de vérifier leur degré d’acquisition des notions traitées dans la

leçon (le théorème direct et le théorème réciproque de Pythagore et ses utilisations).



57


En deuxième année du collège il a été approché implicitement dans la leçon « triangle : milieux et parallèles». Cette année le théorème de Thalès est traité de façon approfondie, particulièrement pour caractériser ou identifier les triangles rectangles et calculer des longueurs et aussi pour résoudre des problèmes divers.Ce théorème permet de faire une liaison entre le géométrique et le numérique, mais plus précisément entre parallélisme et proportionnalité.

L’enseignant doit accompagner ses élèves à maîtriser progressivement l’utilisation du théorème de Thalès (propriétés directe et réciproque).


• Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés de deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux droites sécantes (théorème de Thalès) ;

• Connaître et utiliser un énoncé réciproque du théorème de Thalès.

Je vérifie mes prérequisCe QCM vérifie la maîtrise des élèves de quelques notions utiles pour cette leçon :

proportionnalité ; rapport entre lignes dans un triangle vu en deuxième année.


Cette activité aborde le théorème de Thalès comme il a été étudié de façon implicite en deuxième année du collège.

1) Ainsi AMAB = AN

Ac = BCMN

2) dans cette question on établit le théorèmede Thalès dans une configuration “papillon».

On a OAOC = OB

OD = ABCD

Etc.

Dans la question 2) on se ramène à la configuration« classique »en s’aidant des symétriques de E et F par rapport au point R.

3) On a E’F’ // EF//PQ parce que la symétrie centrale conserve le parallélisme

4) on a RF’RQ = RE’

RP = E’F’PQ

5) RF= RF’ et ER= E’R (vu que E’ et F’ sont les symétrique de E et F par rapport à P)

6) D’où l’on tire à partir de 4) et de 5)que RFRQ = RE

RP = E’F’PQ

Théorème de Thalès5


58

Activité 2

Dans cette activité on met en avant l’importance du théorème direct de Thalès pour calculer des longueurs et démontrer que des droites ne sont pas parallèles.

1) D’après le théorème de Thalès, ANAC = AM

ABD’où AN= AM

AB x AC = 3521 x27 = 45 mm

MNCB = AM

AB

MN= AMAB xCB = 35

21 x33 = 55 mm.

2) AMAB = 48

37 = 1,29

Et ANAC = 56

42 = 1,33

Puisque les deux rapports sont différents alors les deux droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.

Activité 3

Dans cette activité on aborde expérimentalement la réciproque du théorème de Thalès. On

étudie pour cela des configurations diverses où AMAB = AC

AN

Et on constate expérimentalement que (AB)//(MN).

Activité 4

1) Dans le dessin de Khadija nous avons :OAOC = 1

4 et OBOD = 6

5

Donc OAOC est différent de OB

OD.

Khadija n’a pas suivi la consigne du professeur.

2) Dans les dessins de Ghita et Riad on a (AB)//(CD).

3) Non : dans le dessin de Mehdi, les deux droites (AB) et (CD) sont sécantes.

La propriété faisant intervenir l’ordre des points est : « les points O, A et C sont alignés et les points O, B et D sont alignés dans le même ordre »


1. Le théorème direct de Thalès et ses utilisations (calculer des longueurs, montrer que deux droites ne sont pas parallèles) ;

2. Une méthode de partage d’un segment ;

3. La réciproque du théorème de Thalès et ses utilisations (montrer que deux droites sont parallèles).


59


1) a) Dans cet exercice on utilise le théorème de Thalès pour calculer des longueurs.

Les conditions de l’application du théorème de Thalès sont satisfaites (les droites (AC) et (BD) sont sécantes en O et les droites (AB) et (CD) sont parallèles). Alors :OAOC = OB

OD = ABCD

D’où OAOC = OB

OD

Donc 32,4 = 3,6

OD

D’où OD = 2,4x3,63 = 2,88 cm.

Exercice 2

Cet exercice est une application du théorème de Thalès pour démontrer que deux droites ne sont pas parallèles, en comparant des rapports de distances entres points.

AMAB = 11,9

35 = 0,34 et ANAC = 18,2

52 = 0,35

Donc AMAB est différent de AN

AC donc les deux droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Exercice 3

Dans cet exercice on présente une méthode de construction de points définis par des rapports de longueurs.

On veut construire un point C vérifiant une égalité donnée à partir de deux points donnés sur deux droites parallèles.

Pour cela on construit trois points intermédiaires E1, E2 sur la droite (d) et F sur la droite (d’) tels que : AE1 = 2 et AE2 = 2 et BF = 3

On considère le point C1 intersection des deux droites (AB) et (E1F) et C2 intersection de (AB) et (E2F).

Dans le triangle C1BF on applique le théorème direct de Thalès :C1A

C1B =

AE1

BF =

2

3.

Et Si on considère la configuration « papillon » AE2FB on applique le théorème direct de Thalès: C2A

C2B =

AE2

BF =

2

3Donc les deux points C1 et C2 satisfont l’égalité :

CACB

= 2

3.

Exercice 4

Dans cet exercice on fait fonctionner la réciproque du théorème de Thalès pour montrer que deux droites sont parallèles.

On a AEAU = 5,4

9 = 0,6 et AFAV = 7,5

12,5 =0,6


60

Les deux rapports sont égaux : AEAU = AF

AV donc selon la réciproque du théorème de Thalès les deux droites (EF) et (UV) sont parallèles.

Exercices et problèmesExercice 1a) les deux droites rouges sont parallèles, d’après le théorème de Thalès on a :

LNLM = LP

LQ = PNMQ

b) AEAD = AF

AC = EFDC

Exercice 6a) on a (AS)// (TH) donc d’après le théorème de Thalès MH

MS = MTMA

124 = MT

2,4 alors 3 = MT2,4 d’où MT= 3 x 2,4

MT = 7,2 cmb) on a (MS)// (AH) donc d’après le théorème de Thalès TH

TM = TATS = HA

MS 2,7MT = 6

21,5 = 4

4 TM = 7,2

D’où TM = 7,24 = 1,8cm.

MT = 1,8 cm

Exercice 121) on a MB = AB - AM= 32 - 25,6 = 6,4

On applique le théorème de Thalès dans le triangle ABCABAM = AC

AN32

25,6 = 42AN

32AN = 42x25,6

AN= 42x25,632 = 33,6

On a aussi BCMN = AB

AM53

MN = 3225,6

32MN = 53x25,6

MN = 53x25,632

MN = 42,4On a BM = 6,4CN = AC - AN = 42 - 33,6 = 8,4

Exercice 181) EG

EC = 3321 = 1,571 et EF

ED = 15,710 = 1,570

Donc EGEC est différent de EF

ED .

2) D’après la réciproque du théorème de Thalès les droites (CD) et (FG) ne sont pas parallèles.


61

Exercice 30a) AD

AB = 21

14 = 3

2 = 1 ,5

On a AC=AE-CE=33-11=22AEAC

= 3322

= 32

=1,5.

Donc ADAB

= AEAC

b) les deux rapports sont égaux d’où d’après la réciproque du théorème de Thalès les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

Exercice 42Les deux droites (DH) et (BC) sont verticales. Elles sont donc perpendiculaires à la droite (AD).

Par conséquent elles sont parallèles.

En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle ADH on obtient :HAAC

= ADAB

= DHBC

ADAB

= DHBC

151,2

= DH0,8

D’où DH= 151,2x0,8

= 10

Donc la longueur de l’arbre est 10 m.

Exercice 452) les deux droites (ED) et (AB) sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème direct de

Thalès configuration « papillon » : CACD

= BADE5

7 = 5

DE d’où 5DE = 5x7 et alors DE = 7cm

D’autre part CBCE

= CACD4

CE = 5

7 d’où 5CE = 7x4 et alors CE = 28

5 = 5,6cm.

Exercice 481) On a TI2= 12,52 = 156,25 et TL2 + LI2 = 102+7,52= 100+56,25 =156,25

Donc TI2= TL2 + LI2

D’après la réciproque du théorème de Pythagore on déduit que le triangle TLI est rectangle en L.

2) on a LM = LO +OM = 102

+ 52

= 5+2,5=7,5 cm.


leçon : le théorème de Thalès et sa réciproque et leur utilisation.



62


La trigonométrie est un domaine mathématique de concepts et de méthodes qui permettent la mesure des angles, non pas pour en donner les valeurs simples obtenues en géométrie plane en se servant d’un rapporteur, mais pour effectuer des calculs à l’aide de fonctions spéciales basées sur les angles que l’on appelle fonctions trigonométriques.

La notion de cosinus est approchée en deuxième année du collège. Cette année il s’agit d’aborder les lignes trigonométriques d’un angle aigu (cosinus, sinus et tangente) dans un triangle rectangle.

Dans cette leçon la difficulté des élèves réside dans la mémorisation des formules de lignes trigonométriques et la confusion entre le sinus et cosinus.


• Connaître et utiliser le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle ;

• Calculer avec une calculatrice une valeur approchée d’un sinus, cosinus, tangente d’un angle ou la valeur approchée d’un angle de sinus, cosinus, tangente connus ;

• Résoudre des problèmes faisant appel à ces lignes trigonométriques.

Je vérifie mes prérequisCe QCM vérifie la maîtrise des élèves de quelques notions préliminaires aux notions

trigonométriques : hypoténuse d’un triangle, mesures des angles d’un triangle, cosinus d’un angle.


Cette activité est une première approche empirique des lignes trigonométriques (cosinus, sinus et tangente) dans des triangles rectangles, puis une démonstration des résultats constatés.

Les élèves calculent les rapports définissant ces lignes trigonométriques pour l’angle 30°dans les trois triangles proposés et constatent que ces rapports sont constants.

Pour démontrer que ces rapports sont constants on travaille avec un seul triangle et à l’aide du théorème de Thalès, on établit que ces rapports dépendent de la mesure de l’angle et non de la dimension des côtés du triangle.

Ces rapports caractérisent l’angle. Il s’agit du cosinus, sinus et tangente.

Activité 2

Dans cette activité, l’apprenant s’entraine à utiliser une calculatrice pour calculer le cosinus d’un angle donné ou déterminer un angle dont le cosinus est connu.

Trigonométrie6


63

Pour calculer cos20° on met la calculatrice en mode degré et on tape respectivement cos 2 0 = et on obtient le résultat : cos20° ≈ .......Pour déterminer un angle de cosinus 0,03 on tape :

inv ( ou 2nd ou SHIFT sin puis 0 . 0 3 = et on obtient le résultat.On traite de la même façon sin ou tan.


1. La définition des lignes trigonométriques d’un angle aigu : cosinus, sinus et tangente ;

2. Des formules trigonométriques : tana = sinacosa et (cosa)2 + (sina)2 = 1 et leur utilisation.


Cet exercice présente une méthode de calcul de l’hypoténuse d’un triangle en utilisant le sinus.

Dans le triangle EFD, sinDEF = DEEF = 8

EF d’où EF= 8sin52°

La calculatrice donne 8sin52° =10,15214572

EF ≈ 10,2.

Exercice 2

Cet exercice présente une méthode de calcul de l’hypoténuse d’un triangle en utilisant le cosinus.

Dans le triangle EFG, cosEFG = FEFG

Cos59°= FE7,5

Ainsi FE= 7,5xcos59°

Avec la calculatrice, on trouve FE ≈ 3,9 cm.

Exercice 3

Cet exercice présente une méthode de calcul de l’hypoténuse d’un triangle en utilisant la tangente.

Dans le triangle LAC

tanLAC = ALFG

d’où AL = AC x tanLAC

AL = 8,6xtan32°

Avec la calculatrice on trouve

AL ≈ 5,4 cm arrondi au millième.

Exercice 4

Dans cet exercice on présente une méthode pour calculer la mesure d’un angle dans un triangle rectangle.


64

Sin E = DFEF = 2,7

5,8

En utilisant la calculatrice (on tape sin-1( 2,75,8 ), on trouve que l’angle mesure 27,7 arrondi au

dixième.

Remarque : si on écrit 2,75,8 = 0,5 arrondi au dixième, la calculatrice donne E = 30°. On commet

ainsi une erreur d’approximation.

Exercice 5

Dans cet exercice on utilise les formules trigonométriques tana = sinacosa et (cosa)2 + (sina)2 = 1.

a) On cos A = 35

Puisque (cos A )2 + (sin A )2 = 1 alors (sin A )2 = 1-(cos A )2

(sin A )2 = 1-(cos A )2= 1-( 35

)2= 1 - 925 = 16

25

Et puisque le sinus d’un angle aigu est positif, SinA = 1625

0,64 = 45

.

b) tan A = sin A

cos A= 4

5 : 3

5 = 4

5 x 5

3 = 4

3.

Exercices et problèmesExercice 7En considérant le triangle RTK on écrit :

cos R = RTKR , sin R = TK

KR tan R = TKRT

Et en considérant le triangle REK on écrit :

cos R = RKRE , sin R = KE

RK , tan R = KRRE

Exercice 14On a sin F = EG

FG = EG5

D’où EG= 5sin F

EG= 5sin49° = …

cos F = EFFG

d’où EF=FGcos F = 5cos49° = …

Exercice 18tan18°= AB

HBD’où HB= AB

tan 12° = …

Exercice 22Aon a tanAPR = AP

PR = 54 = 1,25 d’où APR ≈ 51°

Exercice 291) si cosx = 1

2 et sinx = 56 alors (cosx)2 + (sinx)2 = ( 1

2 )2

+( 54 )

2

= 14 + 25

16 = 416 + 25

16 = 2916 donc

cos2x + sin2x =1 or on sait que (cosx)2 + (sinx)2 =1.


65

2) on a (cosy)2 + (siny)2 = 1 donc (siny)2 = 1- (cosy)2 = 1 - (0,6)2 = 1- 0,36 = 0,64.

Et puisque siny est positif alors siny = 1625

0,64 = 0,8

On peut aussi obtenir siny comme suit : Tany = sinycosy

Donc siny = tany x cosy = 43

x 0,6 = 0,8.

Exercice 33On a sin D = AC

AD = ACAT +TD

Or AT= AC= 2 (rayons du cercles)

Donc sin D = 22

+ TD

D’où 2 + TD = 2sinD

TD= 2sin30°

- 2

Or sin30° = 12

D’où TD = 212

-2 = 4 - 2

TD = 2.

Exercice 431) Considérons C’ la projection de C sur AB.

SinBAC = CC’AC = CC’

b d’où CC’= b sinBAC

Sin ABC = CC’BC = CC’

a d’où CC’= a sinABC

Donc b sinBAC= a sinABC

D’où asinBAC

= bsinABC

2) de la mêm façon on obtient :

asinBAC

= csinABC

et donc asinBAC

= bsinABC

= csinABC


leçon: lignes trigonométriques d’un angle aigu et les formules trigonométriques et leur utilisation.



66


Les angles au centre et les angles inscrits interviennent dans beaucoup de problèmes géométriques, comme toutes les situations géométriques où il s’agit de déterminer la mesure d’un angle inscrit connaissant celle de l’angle au centre ou d’un autre angle inscrit interceptant le même arc, calculer la mesure d’un angle au centre connaissant celle d’un angle inscrit interceptant le même arc, démontrer que deux angles ont la même mesure parce qu’ils sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc.

Les élèves doivent apprendre les notions nouvelles d’angle au centre et d’angle inscrit ainsi qu’à repérer l’angle au centre interceptant le même arc qu’un angle inscrit donné.

Certains élèves ont une difficulté de reconnaissance de la configuration: lorsque l’angle inscrit est obtus, l’arc intercepté est un grand arc, l’angle au centre associé est rentrant ; des élèves considèrent pourtant l’angle au centre saillant qui intercepte le petit arc.


• Connaître et utiliser les angles inscrits et les angles au centre qui interceptent un même arc du cercle ;

• Connaître et utiliser la relation entre un angle inscrit et l’angle au centre qui intercepte le même arc du cercle.

Je vérifie mes prérequisCe QCM vérifie la maîtrise par les élèves de quelques notions supposées acquises et

préliminaires à cette leçon : comme la notion d’angle, de mesure d’un angle, de triangle inscrit dans un cercle ; de la somme des angles d’un triangle et de cercle circonscrit à un triangle…


Cette activité aborde les deux notions de la leçon : angle inscrit et angle au centre. Elle commence par définir, à l’aide de dessins, l’angle inscrit dans un cercle, ce que signifie qu’un angle intercepte un arc de cercle ; l’angle au centre, le petit arc et le grand arc de cercle.

Activité 2

L’activité 2 approche la relation entre la mesure d’un angle inscrit et d’un angle au centre interceptant le même arc de cercle, à savoir que l’angle au centre mesure le double de l’angle inscrit.

Angles au centre et angles inscrits7


67

1er cas : la mesure de l’angle au centre est inférieure à 180°

2)a) L’angle ACB est inscrit dans le cercle car son sommet C appartient au cercle et ses côtés coupent le cercle en A et B ;

b) L’angle AOB est un angle au centre car son sommet O est le centre du cercle et ses côtés coupent le cercle en A et B.

3) on mesure à l’aide du rapporteur les deux angles AOB et ACB

4) on constate que l’angle au centre AOB mesure le double de l’angle inscrit ACB.

2ème cas : le mesure de l’angle au centre est supérieure à 180°

2)a) L’angle inscrit ACB intercepte le grand arc (ne contenant pas C).

3) on peut estimer que l’angle au centre mesure le double de l’angle inscrit.

Conjecture

Dans un cercle, l’angle au centre mesure le double de l’angle inscrit interceptant le même arc de cercle.

Activité 3

Dans cette activité on démontre la conjecture énoncée à la fin de l’activité 2, en distinguant 3 cas.

On considère un cercle de centre O et un angle inscrit BAC de sommet A.

1er cas : le segment [AB] est un diamètre du cercle.

1) L’angle au centre qui intercepte le même arc de cercle que l’angle BAC est l’angle BOC.

2)a) On a OA=OC (rayons du cercle) donc le triangle OAC est isocèle de sommet O.

b) On en déduit que les angles à la base OAC et OCA ont même mesure.

c) On considère le triangle AOC ; On a alors l’angle AOC mesure 180°- (OCA +OAC) = 180°-2 mesure de OAC.

Donc mesure de AOC= 180°-2 mesure de OAC= 180°-2mesure BAC (car l’angle BAC c’est aussi l’angle OAC).

3) On a mesure BOC= 180°- mesure AOC= 180°-(180°-2 mesure BAC)= 2 mesure BAC.

D’où mesure de BOC = 2 mesure BAC.

2ème cas: les points B et C sont situés de part et d’autre du diamètre AE du cercle

1) L’angle au centre BOC intercepte le même arc de cercle BC que l’angle inscrit BAC.

2) Puisque [AE] est diamètre du cercle, selon le 1er cas on a mesure BOE = 2 mesure BAE et aussi mesure EOC = 2 mesure CAE.

T T

T T

T

T

T T

T

T T

T

T

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T T

T T T

T

T T

T T

T T

T TT T

T T T

T

T


68

3) On a

mesureBOC = mesureBOE + mesureEOC = 2mesure BAE +2mesureCAE= 2 (mesureBAE+mesureCAE)=2mesureBAC

Donc mesureBOC = 2mesureBAC

3ème cas: les points B et C sont situés du même côté du diamètre AE du cercle

1) L’angle au centre BOC intercepte le même arc de cercle BC que l’angle inscrit BAC.

2) Puisque [AE] est diamètre du cercle, selon le 1er cas on a mesure BOE = 2 mesure BAE et aussi mesure EOC = 2 mesure CAE.

3) On a

mesureBOC = mesureBOE-mesureEOC = 2mesure BAE-2mesureCAE= 2 (mesureBAE-mesureCAE)=2mesureBAC

Donc mesureBOC = 2mesureBAC

Conclusion

Dans les trois cas étudiés nous avons toujoursmesureBOC = 2mesureBAC.

La conjecture énoncée dans l’activité 2 est donc valide.

D’où la propriété « Dans un cercle, l’angle au centre mesure le double de l’angle inscrit s’ils interceptent le même arc de cercle ».

Activité 4

2)a) le point A est sur le cercle et les côtés de l’angle BAC coupent le cercle donc l’angle BAC est un angle inscrit dans le cercle.

b) l’angle au centre qui intercepte le même arc de cercle BC est l’angle BOC. C’est un angle plat. Donc sa mesure est 180°.

La mesure de l’angle inscrit BAC est la moitié de la mesure de l’angle au centre BOC donc

mesure BAC= 180°2 = 90°.

L’angle BAC est un angle droit.

La propriété démontrée ici est la suivante ;

« Un triangle inscrit dans un cercle (c’est-à-dire que l’un de ses côté est un diamètre du cercle) est un triangle droit ».


1. La définition d’un angle inscrit et d’un angle au centre dans un cercle ;

2. L’identification de l’arc intercepté par un angle inscrit ou un angle au centre dans un cercle ;

3. Le cas particulier de l’angle inscrit où l’un des deux côtés est tangent au cercle ;

4. La propriété « Si dans un cercle, un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc de cercle, alors l’angle au centre mesure le double de l’arc inscrit » ;

T

T

T T

T

T T

T

T

T

T T

TT

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T T

T

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T T T T T

T

T T

T T T T T T

T T


69

5. La propriété « Deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle ont la même mesure » ; particulièrement si l’un des deux angles à un côté tangent au cercle ;

Exercices résolusDans ces exercices on montre comment utiliser les propriétés et les définitions traités en cours

pour trouver des mesures d’angles.

Exercice 1

L’angle AEB est un angle inscrit dans le cercle qui intercepte le meme arc de cercle que l’angle au centre AOB.

Donc mesure AEB = 12 mesureAOB= 68

2 = 34°

Exercice 2

a) Dans le cercle (C), l’angle inscrit BDC et l’angle inscrit BAC interceptent le même arc BC. Donc ils ont même mesure d’où mesure BDC = 41°.

Exercice 3

JOK est l’angle au centre qui intercepte le même arc que l’angle inscrit JIK .

Donc mesure JIK = 12 mesure JOK= 1

2 x132= 66°.

Les angles inscrits IMK et IJK interceptent le même arc IK.

Donc mesure IJK = mesure IMK=28°.

La somme des mesures des angles du triangle IJK est égale à 180°.

Donc mesure IKJ= 180- (mesure JIK+mesure IJK)= 180°-(66°+28°)= = 180°-94°= 86°.

Exercices et problèmesExercice 3Seule la figure du cas 2) où l’angle est inscrit dans le triangle. Car pour les autres figures le

sommet de l’angle n’est pas sur le cercle.

Exercice 4Dans les cas 2) et 4) l’angle est un angle au centre. Pour les deux autres cas non car le sommet

de l’angle est différent du centre du cercle.

Exercice 9L’angle BIC est un angle au centre qui intercepte le même arc de cercle BC que l’angle inscrit BAC.

Donc mesure BIC= 2 mesure BAC= 2x65= 130°.

Exercice 11PNR et PMR sont deux angles inscrits dans le cercle et interceptent le même arc PR

Donc ils ont même mesure

Par conséquent mesure PNR= mesurePMR=55°.

TT

T

T

T

T

T

T

T

T

T T T

T

T

T

TT

T

T

T T

T T


70

Exercice 13L’angle SFI est un angle inscrit dans le cercle et intercepte le même grand arc SI que l’angle au

centre SLI.

Donc mesureSFI= 12 mesureSLI= 1

2 x220=110°.

Exercice 19L’angle ACB est un angle inscrit dans le cercle et intercepte le même arc de cercle AB que

l’angle au centre AOB qui mesure 90°.

Donc mesureACB= 12 mesureAOB= 1

2 x90= 45°.

Exercice 24L’angle ACD est un angle inscrit dans le cercle et intercepte le même arc de cercle AD que

l’angle au centre AOD qui mesure 90°.

Donc mesureACD= 12 mesureAOD= 1

2 x90= 45°.

De plus le triangle ABC est inscrit dans le cercle, son côté [AB] est un diamètre du cercle donc l’angle ABC est droit

Par conséquent l’angle BCD = 90°-mesure AOD= 90°-45° = 45°.

Et alors la droite (CD) est bissectrice de l’angle ACB.

Exercice 331) Les deux angles IDB et ICA sont des angles inscrits interceptant le même arc de cercle AB.

Donc ils ont mêmes mesures.


leçon (concepts, techniques, règles, formules…) : angle inscrit et d’angle au centre dans un cercle ; la propriété « Si dans un cercle, un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc de cercle, alors l’angle au centre mesure le double de l’arc inscrit » ; la propriété « Deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle ont la même mesure » ; particulièrement si l’un des deux angles à un côté tangent au cercle.


T

TT

T T

TT

T T

T

T

T

T T

T

T T

T


71


La méthode algébrique de résolution des équations du premier degré s’appuie sur les propriétés de l’égalité, par exemple l’invariance des solutions d’une équation par l’ajout d’une même expression à chacun de ses membres.

L’étude des équations doit s’inscrire dans la double rupture épistémologique tant sur le plan outil, que sur le plan objet de l’algèbre.

Cette leçon consolide la notion d’équation acquise par les élèves en deuxième année, et qui fait partie de la pensée algébrique. Il s’agit de renforcer les connaissances et les habiletés des élèves dans ce domaine fondamental. Il s’agit aussi d’introduire cette année la notion d’inéquation.

La notion d’inéquation est plus délicate que celle d’équation, au moins pour deux raisons :

• résoudre une inéquation fait appel à l’ordre et aux opérations, parfois la résolution fait appel à la factorisation et à l’étude de signe d’une expression algébrique. Alors que pour les équations, on transforme des expressions contenant des égalités.

• L’ensemble des solutions est généralement infini.

Tout cela fait que la résolution des inéquations pose beaucoup plus de difficultés aux élèves et conduit à des erreurs de signes, d’ensemble des solutions…

Notons enfin que les équations et les inéquations sont un outil puissant pour mathématiser, modéliser et résoudre beaucoup de situations de la vie courante ou issues d’autres disciplines.

Cette leçon est ainsi une occasion de travailler sur la modélisation par les mathématiques.


• Résoudre une équation du premier degré à une inconnue ;

• Résoudre des équations simples se ramenant à une équation du premier degré à une inconnue ;

• Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue ;

• Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue et représenter ses solutions sur une droite graduée.

Je vérifie mes prérequisCe QCM vérifie la maîtrise des élèves des acquis de l’année précédente concernant les

équations du premier degré, ainsi que la manipulation de l’ordre et des opérations.

Equations et inéquations8


72


Dans cette activité on met en équation un problème concret de commerce.

1.a) x est le nombre de cornets à une boule, 1,2x représente le prix de vente de tous les cornets à une boule vendus pendant la journée par Ahmed.

b) Ahmed a vendu en tout 200 cornets dont x à une boule et le reste à deux boules.

Donc 200-x est le nombre de tous les cornets à deux boules vendus pendant la journée par Ahmed.

c) 1,8 (200-x) représente le prix de vente de tous les cornets à deux boules vendus pendant la journée par Ahmed

2.a) la recette de la journée peut être exprimée de deux façons :

- elle est égale à 312 dirhams

- elle est aussi égale à 1,2x+1,8(200-x) (c’est-à-dire la somme du prix de vente des cornets à une boules et du prix de vente des cornets àdeux boules)

D’où l’équation : 1,2x+1,8(200-x) = 312

b) 1,2x+1,8(200-x) = 312

donc 1,2x +1,8x200 -1,8x = 312

-0,6x + 360 = 312

D’où 0,6x = 360-312

0,6x = 48

Et alors x = 480,6 = 80.

Conclusion: Ahmed a vendu 80 cornets à une boule et 200-80= 120 cornets à deux boules.

Vérification

1,2x80 = 96 dirhams

1,8 x120= 216 dirhams

Recette : 96 +276 = 312 dirhams

Activité 2

Notons x la longueur initiale du côté du carré.On a augmenté de 4 cm le côté initial (2 cm de chaque côté)L’aire du carré initial est x2 et l’aire du nouveau carré est (x+4)2

Or cette aire est égale à l’aire du carré initial augmenté de 64 cm2

Ce qui peut se mettre en équation comme suit :(x+4)2 = x2+ 64Résolvons cette équation :(x+4)2 = x2+ 64x2+8x+16= x2+ 648x+16= 64


73

8x = 64-168x = 48x= 48

8x= 6Donc le côté du carré initial mesure 6cm.VérificationL’aire du carré initial est 6x6 = 36cm2

L’aire du nouveau carré est (6+4)(6+4)= 100 cm2

On a bien 100 = 36 +64.

Activité 3

Dans cette activité on aborde l’étude des équations dont la résolution se réduit à la résolution d’équation du premier degré.

(2x+3)(x+2)=02x+3 = 0 ou x+2 =0Donc x= - 3

2 ou x= -2.Dans la situation problème présentée :a) L’aire du domaine coloré dans la figure 1 est égale à l’aire du rectangle moins l’aire du triangle

= 9x4-xx2x2 = 36-x2

L’aire du domaine coloré dans la figure 2 est égale à l’aire du rectangle moins l’aire du triangle= 6x8-8x2x

2 = 48-8x.b) les deux aires sont égales signifie que 36-x2= 48-8x.

Donc x2 -8x+48-36=0C’est-à-dire : x2 -8x+48-36=0Alors x2 -8x+12=0 donc (x-4)2 -4 =0(x-4-2)(x-4+2)=0(x-6)(x-2)=0x-6 =0 ou x-2 =0x=6 ou x = 2Or puisqu’on constate dans la figure 1 que x<4 alors x=2.

En vérifiant on trouve bien que les deux domaines colorés dans les deux figures ont même aire égale à 32 cm2

Activité 4

Cette activité est un investissement des techniques de résolution d’équations.

1) Le triangle est rectangle on peut donc utiliser le théorème de Pythagore.

2) Puisque n+1> n et n+1>n-1 alors n+1 est la mesure de l’hypoténuse (la plus longue longueur).

D’après le théorème de Pythagore : (n+1)2 = n2 + (n-1)2

3) En développant les deux membres de l’égalité en utilisant les identités remarquables on obtient : n2 + 2n + 1= n2 + n2 - 2n + 1


74

4) D’où 2n2 -2n + 1-n2 -2n -1 = 0 et alors n2- 4n = 0

5) n2-4n=n(n-4)

Donc n2-4n=0 équivaut à n(n-4)=0

6) Les produit de n(n-4) sont n et n-4

7) n(n-4) si n=0 ou n-4=0

8) puisque n-1, n et n+1 sont des longueurs alors n=0 ne convient pas (0-1 = -1 négatif ) donc la solution est n=4.

En conclusion les nombres entiers consécutifs qui peuvent être les longueurs des trois côtés d’un triangle rectangles sont 4-1, 4 et 4+1 c’est-à-dire 3, 4 et 5.

Activité 5

Cette activité approche,dans un contexte géométrique et de calcul des aires, la notion d’inéquation.

1) Le rectangle ADMT a pour dimensions 4 et x donc son aire est égale à 4x.

2) Le rectangle MCRS a pour dimensions 3 et 7-x donc son aire est égale à 3(7-x).

3) L’information « L’aire du rectangle ADMT doit être inférieure à celle du rectangle MCRS » se traduit mathématiquement par l’inéquation : 4x<3(7-x)

4) 4x<3(7-x) donc 4x<21-3x alors 4x+3x<21

7x<21 et donc x<217

Donc x<3.

Les solutions de cette équation sont les nombres inférieurs à 3. Et puisque x est une longueur alors x>0

Finalement 0<x<3

5) En conclusion, pour que l’aire du rectangle ADMT soit inférieure à celle du rectangle MCRS, il faut que la distance DM soit inférieure à 3cm.


1. La notion d’équation, ce que signifie résoudre une équation, et les procédures algébriques de résolution (transformer l’équation en équations équivalentes pour isoler x, et ce en additionnant, soustrayant, divisant ou multipliant par un même nombre) ;

2. Comment résoudre des équations du type (ax+b)(cx+d)=0 ;

3. La notion d’inéquation, ce que signifie résoudre une inéquation, et les procédures algébriques de résolution (transformer l’inéquation en inéquations équivalentes pour isoler x, et ce en additionnant, soustrayant, divisant ou multipliant par un même nombre, tout en respectant les règles des opérations et de l’ordre)

4. Comment traduire une situation en équation ou en inéquation, répondre à la question et s’assurer de la véracité de la solution proposée.


75


Cet exercice montre la technique et les étapes de résolution d’une équation du premier degré à une inconnue consistant à isoler x dans l’un des deux membres de l’équation.

Exercice 2

Dans cet exercice on travaille sur la résolution d’une équation du type (ax+b)(cx+d)=0

En utilisant le fait qu’un produit est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul.

Ce qui ramène l’équation à des équations du premier degré à une inconnue.

(3x + 8)(10 - 4x) = 0

3x + 8 = 0 ou 10 - 4x = 0

3x = - 8 ou -4x = -10

x= - 83 ou x = - 10

-4

x= - 83 ou x = 5

2Exercice 3

Dans cet exercice on travaille sur la résolution d’une équation qui à l’aide de facrtorisation on la ramène au type (ax+b)(cx+d)=0

3(x-2)2 + (x-2)(2x+3)=0On factorise par (x-2)D’où : (x-2) [3(x-2) + (2x+3)]=0(x-2)(3x-6+2x+3)=0(x-2)(5x-3)=0x-2=0 ou 5x-3=0x=2 ou 5x=3

x=2 ou x= 35 .

Exercice 4

Dans cet exercice on résout un problème concret à l’aide d’une équation.

On commence d’abord par mathématiser la situation :

On choisit l’inconnu x qui est le nombre d’années cherché.

Salma OncleAge actuel 11 46

Age dans x ans 11+x 46+xDans x ans l’âge de l’oncle sera le double de l’âge de Salma se traduit par l’équation

mathématique: 46+x =2(11+x)

Donc 46+x = 22+2xD’où 46 -22=2x-xx= 24.


76

Vérification

Dans 24 ans Salma aura 11+24 soit 35 ans

Son oncle aura 46+24 = 70 ans

On a bien 70 = 2x35.

Exercice 5

L’exercice 5 est un entrainement sur la résolution d’inéquations

5x-6<3x+2

5x-3x<2+6

2x<8

x<4

Les solutions de l’inéquation sont tous les nombres inférieurs à 4 (4 n’est pas une solution).

On résout de la même façon l’inéquation 2x+10 ≥ 4x-7

2x-4x ≥ -7-10

-2x ≥ -17

x< -17-2 (attention il faut changer le signe de l’inégalité car on a divisé par le nombre négatif -2).

Donc x< 172

Les solutions de l’inéquation sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 172 ( 17

2 est aussi solution).

Exercice 6

Cet exercice porte sur une situation concrète à mathématiser et à résoudre ;

Notons x le nombre de matchs auxquels on assiste ;

• Prix à payer avec le tarif 1 : 7x• Prix à payer avec le tarif 2 : 35+4,2x

Le tarif 2 est plus avantageux si 35+2,4x<7xC’est-à-dire 35<7x-2,4x35<2,8x352,8 <x12,5<xPuisque x est un entier, alors x est supérieur ou égal à 13 ;

Donc le tarif 2 est plus avantageux si le nombre de matchs est supérieur à 13 matchs.


Exercice 81) On remplace -2 dans les eux membres de l’équation on trouve pour le premier membre

5x2-1=9 et pour le deuxième membre 4x2+9 =17, donc -2 ne vérifie pas l’équation, alors -2 n’est pas une solution de cette équation.


77

2) On remplace 10 dans les deux membres de l’équation on trouve pour le premier membre 5x10-1=49 et pour le deuxième membre 4x10+9 =49.donc 10 vérifie pas l’équation, alors 10 n’est pas une solution de cette équation.

Exercice 12a) x+ 2

3 x=5

b) x+ 23 =5

c) 53 x=5

Exercice 13a) 2x+ 1

5 =x+ 25 donc 2x+1 =x+2 (on simplifie par 1

5 dans les eux membres de l’équation)d’où 2x-x=2-1x= 1

b) -x+ 35 = 2x+3

10 donc 2(-x+3)

10 = 2x+3

10 d’où 2(-x+3)= 2x+3 alors -2x+6=2x+3

-2x-2x=3-6-4x=-3

x = -3-4x = 3

4c) -2x+ 3

8 = x4 - 5

8 d’où -2x+3/8= 2x/8-5/8d’où -2x+3=2x-5-2x-2x=-5-3-4x=-8

x= - 8- 4

x=2

d) 3x-1=x+ 72 donc 2(3x-1)

2 =x+ 7

2 alors 2(3x-1)=x+76x-2=x+76x-x=7+25x=9

x= 95

Exercice 18a) x2-3x= x(x-3)b) x2-3x= 0 donc x(x-3)=0 d’où x=0 ou x-3 =0 donc x=0 ou x=3.

Exercice 191) 16y2- 4 =(4y)2 -22= (4y-2)(4y+2)

2) 16y2 - 4 + (4y-2)(y+8)= (4y-2)(4y+2)+(4y-2)(y+8) (d’après question 1)

= (4y-2)((4y+2)+(y+8))


78

(4y-2)(4y+2+y+8)

=(4y-2)(5y+10)= 5(4y-2)(y+2)

3) D’après 3) l’équation 16y2 - 4 + (4y-2)(y+8)=0 est donc est équivalente à 5(4y-2)(y+2) =0donc (4y-2)(y+2)=0 alors 4y-2 =0 ou y+2 =0 d’où 4y=2 ou y=-2y= 2

4 ou y=-2

y= 12 ou y=-2.

4) on utilise la méthode que précédemment :25x2 – 49 –(5x+7)(2x+6) =0(5x)2 -72- (5x+7)(2x+6)=0(5x-7)(5x+7)- (5x+7)(2x+6)=0(5x-7)((5x+7)-(2x+6))=0(5x+7)(5x+7-2x-6)=0(5x+7)(3x+1)=0Donc 5x+7=à ou 3x+1 =05x= -7 ou 3x=-12 x= - 7

5 ou x= - 13 .

Exercice 211) On peut ajouter 25 aux deux membres de l’égalité et elle reste vraie

Donc les solutions de l’équation x2+10x+25=81 sont les mêmes que les solutions de l’équation x2+10x= 56

2) en appliquant la première identité remarquable on écrit x2+10x+25= x2 +2x5xx+52= (x+5)2

D’où l’équation x2+10x+25=81 s’écrit (x+5)2=81 c’est-à-dire (x+5)2-81 =0.

3) (x+5)2-81 = 0, c’est-à-dire (x+5)2-92=0. Ce qui s’écrit en utilisant la troisième identité remarquables (x+5-9)(x+5+9)=0

Donc (x-4)(x+14)=0 d’où x-4=0 ou x+14=0

Donc x=4 ou x=-14.

Exercice 28On 3x+2<5 on ajoute -2 aux deux membres de l’inégalité on obtient 3x+2-2<5-2

D’où 3x<3 on divise par 3 qui est un nombre positif sans changer le signe de l’inégalité on obtient x<1.

Exercice 361) On remplace x par 0 dans l’inéquation on trouve : 2x0-5< 3

2 -11x0 c’est-à-dire -5< 23 , ce qui

est vrai, donc 0 est solution de l’inéquation 2x-5< 23 -11x

2) On remplace x par 1 dans l’inéquation on trouve : 2x1-5< 32 -11x1 c’est-à-dire -3<-29

3 , ce qui

est faux, donc 1 est n’est pas solution de l’inéquation 2x-5< 23 -11x.

3)a) 2x-5< 23 -11x donc 2x+11x< 2

3 +5 alors 13x<173 par conséquent x<17

39.


79

Exercice 44C’est la deuxième équation qui permet de traduire le problème posé parce que dans 10 l’âge du

fils sera x+10 et l’âge du père sera (x+25)+10, c’est-à-dire x+35 et selon les données x+35 =2(x+10).

Exercice 46Notons x ce nombre : on a 3x+5<0 donc 3x<-5 donc x<- 5

3 .

Exercice 48Notons x la quantité de blé récoltée.

Selon les informations du problème : x-( 55100 x +13)= 24,8

Donc x- 55100 x-13=24,8

Alors 45100 x = 24,8+13

45100 x =37,8

Donc 45x=3780

D’où x= 378045

Donc x= 84 tonnes.

Exercice 491) Le triangle HAB est rectangle en A d’après le théorème de Pythagore, HB2 = HA2 +AB2

Le triangle BMC est rectangle en C d’après le théorème de Pythagore, BM2 = MC2 +BC2

2) On doit avoir HB=MB car Hamid et Moussa courent à la même vitesse et doivent arriver au même temps au point B (parcourir ces distances dans une même durée).

3) Des questions 1) et 2) on peut écrire l’équation : HA2 +AB2= MC2 +BC2

C’est-à-dire 402 +x2 = 302 + (50-x)2

4) 402 +x2 = 302 + (50-x)2 donc 1600 +x2 = 900 + 2500-100x+x2

D’où 1600-900-2500=-100xAlors -1800=-100x

D’où x= -1800-100 =18.

Donc le ballon doit être posé à 18 mètres du point A.


leçon (concepts, techniques, règles, formules…) :équations et inéquations.



80


Euclide définit les triangles semblables comme des triangles ayant à la fois trois angles de même mesure et trois côtés proportionnels. Mais il suffit en réalité de deux angles respectivement égaux pour obtenir la similitude des triangles. C’est ensuite à l’aide du théorème de Thalès que la condition de similitude par la proportionnalité des côtés est introduite.


• Connaître deux triangles isométriques ;

• Connaître deux triangles semblable ;

• Utiliser les cas d’isométrie pour résoudre des problèmes ;

• Utiliser les cas de similitude pour résoudre des problèmes.

Je vérifie mes prérequisCe QCM vérifie les connaissances des élèves prérequises par rapport aux notions traitées

dans cette leçon. Ainsi on vérifie l’acquisition des notions comme les angles alternes internes, le théorème de Thalès, les angles inscrits et les angles au centre dans un triangle.


Dans cette activité on approche la notion de triangles isométriques dans une configuration du parallélogramme.

1) Dans le parallélogramme, les triangles AOB et COD sont isométriques car leurs côtés homologues sont de mêmes longueurs, et les triangles AOD et BOC sont isométriques car leurs côtés homologues sont de mêmes longueurs.

2) a)Les triangles AMO et NOC sont isométriques car leurs côtés homologues sont de mêmes longueurs (il suffit d’utiliser le théorème de Thalès dans la configuration « papillon » AMNC, et de même les triangles MOB et OND sont isométriques car leurs côtés homologues sont de mêmes longueurs.

b) De ce qui précède on déduit que AM=CN.

3) En utilisant la symétrie centrale de centre O, on a C est le symétrique de A et N est le symétrique de M par cette symétrie et puisque une symétrie centrale conserve les distances alors : AM=CN.

Activité 2

a) L’angle MCN est droit car c’est l’angle du carré ABCD.

Triangles isométriqueset triangles semblables9


81

Et puisque le triangle CMN est inscrit dans le cercle (C) alors O appartient à la droite (MN) et par conséquent [MN] est un diamètre de cercle.

Et puisque le triangle MAN est inscrit dans le cercle (C) et son côté [MN] est un diamètre de cercle alors ce triangle est rectangle en A et alors mesure TMAN = 90°.

Activité 3

Cette activité traite la notion de triangles semblables.

Dans les deux figures on a deux parallèles (BC)// et (MN) et deux sécantes (BM) et (CN) :

a) Dans la figure 1, les angles TB et TM sont alternes internes, donc ils sont égaux et aussi les angles TC et TN .

Dans la figure 2, les angles TB et TM sont correspondants, donc ils sont égaux et aussi les angles TC et TN .

Par conséquent les triangles ABC et AMN ont les mêmes angles. On dit qu’ils sont semblables.

b) selon le théorème de Thalès : AMAB = AN

AC =MNBC

Les côtés des deux triangles sont proportionnels.

c) Dans la figure 1 on a : ABAM = 3

1,2 = 2,5. Donc le rapport d’agrandissement est 2,5

Dans la figure 2 on a : BCMN = 4,5

1,5 = 3.Donc le rapport d’agrandissement est 3.


1. La signification de « triangles isométriques » : leurs côtés sont deux à deux de même longueur. Et dans ce cas leurs angles sont deux à deux égaux.

2. Les trois cas d’isométrie de deux triangles (cas 1 : les trois côtés égaux ; cas 2 : deux côté égaux et les angles compris entre les deux côtés sont égaux; cas 3 : un côté de même longueur et adjacent à deux angles respectivement de même mesures)

3. La signification de « triangles semblables » : leurs angles homologues sont deux à deux égaux;

4. La propriété de la proportionnalité des mesures des côtés homologues de deux triangles semblables ; le coefficient de proportionnalité est appelé le rapport de similitude ;

5. Les trois cas de similitude de deux triangles (cas 1 : les trois côtés sont respectivement proportionnels ; cas 2 : un angle égal entre deux côtés proportionnels; cas 3 : deux angles d’un triangle ont même mesure que deux angle du deuxième triangle).


Dans cet exercice on applique une propriété des cas d’isométrie de deux triangles.

a) on a mesure TB’AB = mesure TC’AC et AB’=AC’ et AB=AC


82

alors d’après le deuxième cas d’isométrie de deux triangles, les deux triangles AB’B et AC’C sont isométriques.

b) D’après a) les côtés des triangles AB’B et AC’C ont deux à deux même longueur donc en particulier BB’=CC’.De plus, BC est un côté commun (BC=CB) et BC’=B’CDonc d’après le troisième cas d’isométrie, BB’C et CC’B sont isométriques.

Exercice 2

On a mesure TABG = mesure TABC +90°

Et mesure TDBC = mesure TABC +90°

Donc mesure TABC =mesure TDBGDe plus BA=BD et BG=BCDonc d’après le deuxième cas d’isométrie, ABG et DBG sont isométriquesCes triangles ont donc leurs côtés homologues de même longueur, d’où en particulier AG=DC.Exercice 3Dans cet exercice on traite des situations de triangles semblables.

Dans le triangle isocèle en A on a mesureTB = mesureTC = 72°

Et mesure TA = 180°-2x72°=36°Dans le triangle BDC :

mesureTB = 72° et mesure TBCD = 12 x72°=36°

et mesure TBDC = 180°-(72°+36°) =72°.Les angles des triangles ABC et BDC sont deux à deux de même mesure, donc ces triangles sont semblables (de même forme).

Exercice 4

Les triangles AID et ABC sont de même forme.

En effet, mesureTAID= mesure TABC et mesure TIAD=mesure TBAC donc (mesure TIDA= mesure TACB)On en déduit que : AI/AB=AD/AC=ID/BC

C’est-à-dire : 1442 = AD

28 = ID36

D’où AD=28x 1442 = 28

3

D’où ID=36x 1442 =12.

Exercices et problèmesExercice 1

Sommets homologues Côtés homologues Angles homologuesA et M AB et MS ABC et MSOB et S AC et OM ACB et MOSC et O BC et OS BAC et OMS


83

Exercice 81) Le triangle ABC est isocèle

Donc : AB=AC et mesure angle TB = mesure angle TC Et (AM) axe de symétrie du triangle donc BM= CMDonc d’après le deuxième cas d’isométrie les deux triangles ABM et ACM sont isométriques.

Exercice 11

D’après les données ABCD est un parallélogramme

Donc ses côtés opposés sont égaux : AD=BC et AB=DC

Et puisque les deux triangles ABD et CDB ont un côté commun BD

Alors les 3 côtés des deux triangles ABD et CDB sont deux à deux égaux donc d’après le premier cas d’isométrie les deux triangles sont égaux.

Exercice 12

c) Les deux angles TAMB et TCMD sont opposés par le sommet donc ils ont même mesure.

Et puisque M est milieu de deux segments AD et BC alors BM=CM et AM=DM

Donc les deux triangles sont deux à deux égaux donc d’après lepremier cas d’isométrie les deux triangles ABM et DCM sont isométriques.

Exercice 13

a) D’après le théorème de Thalès : OMON = OA

OB et puisque O est milieu de AB alors OA=OB OMON = 1

donc OM=ON. De plus les deux angles TAOM et TBON sont opposés par le sommet.b) On a dans la configuration deux droites parallèles (AB) et (DC) et une sécante (MN)

Les angles TNDO et TMBO sont alternes internes donc égaux;

De même les angles TOMB et TDNO sont alternes internes donc égaux

De plus les deux angles TMOB et TNOD sont opposés par le sommet.

Donc les trois angles homologues des deux triangles sont deux à deux égaux.

Alors d’après le troisième cas d’isométrie les deux triangles NOD et MOB sont isométriques.

Exercice 25

On a OLPI = 24

8 = 3 ; OENI = 18

6 =3 et ELNP = 15

3

Donc OLPI = OE

NI = ELNP =3

Alors d’après le premier cas de similitudes les deux triangles PIL et OLE sont semblables.

Exercice 26

a) On a :l’angle TA = l’angle TE ; l’angleTB = l’angleTD ; l’angle TC = l’angleTF .

les trois angles de l’un sont égaux aux trois angles de l’autre, donc d’après le premier cas d’isométrie, les deux triangles ABC et DEF sont semblables.


84

b) le triangle DEF est une réduction du triangle ABC,

Le coefficient de réduction est égal à : CACB = 5

7 .

c) D’après la propriété de proportionnalité des côtés de deux triangles semblables, on a:

BCBA = DF

DE donc 74 = DF

2,8 d’où DF = 74 x 2,8 = 7x0,7= 4,9.

Donc DF = 4,9 cm.

On a FE2,8 = 5

4 donc FE= 54 x 2,8= 5x0,7=3,5

Donc FE= 3,5 cm.

Exercice 27

a) On a dans la configuration deux droites parallèles (AR) et (BS)et deux sécantes (BC) et (SC).

Les angles TSBA et TCAR sont correspondants et aussi les angles TBSR et TARC .

Comme l’angle C est commun aux deux triangles TCAR et TCBS

Alors ces deux triangles ont leurs angles deux à deux égaux ; donc ils sont semblables ;

b) le rapport de similitude est égal à BSAR = 2,4

1 = 2,4.

c) le côté CS du triangle CBS est l’homologue du côté CR du triangle CAR.

Pour calculer CS on multiplie alors CR par le coefficient de similitude

Donc CS = 2,4 x 2=4,8cm.

De même CB= 2,4x 1,5 = 3,6 cm.

Exercice 30

La somme des angles du triangle ABC est égale à 180°

Donc mesure de l’angle TA = 180° -(50°+110°)= 20°

La somme des angles du triangle ACD est égale à 180°

Donc mesure de l’angle TACD = 180° -(20°+50°)= 110°

Les deux triangles ont donc les trois angles deux à deux égaux, ils sont donc semblables.

Exercice 33

Dans le triangle ABC l’angle TA est droit et l’angle TA mesure 35°

Dans le triangle ACH l’angle H est droit et l’angle TC mesure 35°

Donc les deux triangles ont deux angles égaux, d’où d’après le troisième cas de similitude, les deux triangles sont semblables.

Exercice 41

1.a) ABCD est un parallélogramme donc la mesure de l’angle TB est égal à la mesure de l’angle TD

Et puisque on a deux droites parallèles (AB) et (DC) et la sécante (AN) alors l’angle N dans le triangle ADN l’angle A dans le triangle MBA sont alternes interne donc mesure TN=mesure TA


85

Donc le triangle ADN et le triangle MBA ont deux angles deux à deux égaux, alors d’après le troisième cas de similitude, les deux triangles sont semblables.

b) ABND = MA

AN = MBAD

2) le rapport de similitude (agrandissement) est ABND = 3

1 = 3

Donc Aire (MBA) = 32 x aire (ADN) = 9aire (ADN).


leçon (concepts, techniques, règles, formules…).



86


La translation est une transformation géométrique importante en mathématiques ses usages sont multiples en mathématiques et dans les autres sciences. Elle est conceptuellement liée à la notion de vecteur. Cette dernière notion est aussi riche et reliée à d’autres notions comme le parallélogramme.

Une des difficultés par rapport à la translation est de la confondre avec d’autres transformations géométriques comme la symétrie ou la rotation. Quant aux difficultés en rapport avec la notion de vecteurs c’est de les concevoir comme des bipoints équipollents.

L’enseignement des vecteurs vise à faire passer les élèves de la géométrie euclidienne du plan et de l’espace à une géométrie vectorielle. Les vecteurs sont définis par leurs caractéristiques géométriques de longueur, de direction et de sens. On traite ensuite la notion d’égalité de deux vecteurs, la somme de deux vecteurs et puis on relie la notion de vecteur au parallélogramme.


• Reconnaître un vecteur : direction, sens, longueur et le construire ;

• Construire la somme de deux vecteurs : parallélogramme, relation de Chasles.

• Utiliser les vecteurs pour résoudre un problème ;

• Construire l’image d’une figure géométrique par une translation ;

• Déterminer le vecteur d’une translation.

Je vérifie mes prérequisCe QCM vérifie les connaissances des élèves et qui sont des préliminaires pour apprendre les

notions de vecteurs et de translation, comme la notion de parallélogramme, image d’un point par une translation dans un contexte de papier quadrillé, translation, ou la capacité de reconnaître le translaté d’une figure.


Dans cette activité on rafraîchit les connaissances des élèves par rapport à la notion de parallélogramme et de vecteur.

1) dans la configuration on reconnaît aisément trois parallélogrammes : ACLM ; CDHL ; BDHJ, le quatrième peut être KACI (ses sommets sont alignés).

Vecteurs et translation10


87

2.a) Puisque CL→

= AM→

alors l’image de C par la translation de vecteur AM→

est le point L. De même puisque AM

→ = DH

→ alors l’image de D est le point H et puisque AM

→ = BJ

→ alors

l’image de B est le point J.

b) Puisque AM→

= CL→

alors l’image de A par la translation de vecteur CL→

est le point M. Et puisque CL→

= CL→

, alors l’image de C par la translation de CL→

est le point L. Et puisque DH→

= CL→

, alors l’image de D par la translation de CL

→ est le point H.et puisque CL

→ = BJ

→ alors l’image de B

par la translation de vecteur CL→

est le point J.

c) AM→

= CL→

= DH→

= BJ→

d) ACLM est un parallélogramme donc AC→ = ML

→ ; CL→ = AM

→ ; CA→ = LM

→ ; LC→ = MA

→ .

Activité 2

Cette activité aborde la notion de somme de deux vecteurs.

Activité 3

Cette activité aborde la notion de produit d’un vecteur par un réel :

- on a les deux vecteurs AB→

et AC→

ont même direction, même sens et AC = 3AB alors on écrit AC→

= 3 AB→

.

- on a les deux vecteurs AD→

et AB→

ont même direction, des sens opposés et AD = 32 AB alors

on écrit vecteur AD→

= - 32 AB

→.

2) en appliquant ce qui précède on a

BC→

= 2 AB→

; AB→

= 12 BC

→; CA

→= -2 DA

→; AD

→= 1

2 AC→

; AD→

= - 34 BC

→; AC

→= - 6

5 BD→

Activité 4

Cette activité porte aussi sur le produit d’un vecteur par un réel.

1. a) AM→

= 37

AB→

b) AM→

= 43

AB→

c) AM→

= - 34

AB→

d) AM→

= - 14

AB→

2) a) AM→

= 35

AB→

b) AN→

= 2 AB→

c) AP→

= - 65

AB→

Remarque : il y a d’autres écritures possibles de chacune de ces phrases.

Par exemples pour a) vecteur MB→

= 32

AM→

Activité 5

Dans cette activité on fait des démonstrations en utilisant des vecteurs.


88

1) Démonstration sans les vecteurs

a) Dans le triangle ABC, la droite (OD) passe par I le milieu du côté BC et par O le milieu du côté AB. Donc d’après la propriété de la droite des milieux (théorème de Thalès), (OD) est parallèle au troisième côté, AC.

Donc (OD)//(AC)

b) On a I milieu du segment BC et milieu du segment OD.

Donc OBCD est un parallélogramme (ce qui veut dire aussi que D est le symétrique de O par rapport à I et C symétrique de B par rapport à I)

D’où (OB)//(DC).

c) Puisque la droite (OB) c’est aussi la droite (AO), alors on a (AO)//(DC) et d’après a) on a (OD)//(AC)

Donc le quadrilatère ACDO a les deux côtés opposés parallèles, donc c’est un parallélogramme.

2) Démonstration avec les vecteurs

a) On a AO→

et OB→

ont même direction, même sens et même longueur (par ce que O est le milieu du segment AB) donc AO

→ = vecteur OB

→.

b) OBDC est un parallélogramme car ses diagonales ont le même milieu I, alors (OB)//(CD), et les demi droites [OB) et [CD) ont même sens et OB=OD.

Alors OB→

= CD→

c) de a) on a AO→

= OB→

et de b) on a OB→

= CD→

D’où AO→

= CD→

.

D’où on déduit que AODC est un parallélogramme.


1. La définition d’un vecteur par sa direction, son sens et sa longueur ;

2. Un vecteur a un nombre indéfini de représentants ;

3. L’égalité de deux vecteurs : s’ils ont même direction, même sens et même longueur ;

4. La somme et la différence de deux vecteurs ;

5. L’opposé d’un vecteur ;

6. Le produit d’un vecteur par un réel ;

7. La définition d’une translation par son vecteur, et l’égalité entre le vecteur de la translation et un vecteur dont un représentant est un point et son image par la translation.

8. L’image d’une droite, d’un segment, d’un cercle par une droite et la conservation du parallélisme, des distances, des angles.


89

9. La propriété caractéristique d’une translation : si T(M) = M’ et T(N)=N’ alors M’N’→

= MN→

, c’est-à-dire (MM’N’N) est un parallélogramme

Exercices résolusExercices 1

Dans cet exercice on montre comment construire un représentant d’un vecteur donné, sur papier quadrillé ou sur papier blanc.

Dans le premier cas on utilise la translation à l’aide de déplacement sur le quadrillage selon le code de la translation; et dans le second cas on utilise un compas.

Exercice 2

Cet exercice aborde la relation de Chasles.

a) NM→

+ PN→

= PN→

+ NM→

= PM→

b) PN→

+ QP→

+ NQ→

= PN→

+ NQ→

+ QP→

= PN→

+ NP→

= PP→

= 0→

.

Exercice 3

Dans cet exercice on montre comment construire la somme de deux vecteurs.

Pour cela on choisit un point E quelconque, et un représentant EF→

du AB→

.

Puis on choisit un représentant FG→

du vecteur CD→

.

D’où AB→

+ CD→

= EF→

+ FG→

= EG→

d’après la relation de Chasles.

Le EG→

est le représentant de AB→

+ CD→

d’origine E.

Exercice 4

Dans cet exercice aussi on construit la somme de deux vecteurs.

Pour construire la somme de AB→

+ CB→

, on choisit un représentant du CB→

d’origine B, notons le BN→

.

Alors AB→

+ CB→

= AB→

+ BN→

= AN→

(d’après la relation de Chasles).

Exercice 5

Dans cet exercice on montre également comment construire la somme de deux vecteurs.

La somme des deux vecteurs IE→

et IF→

est le quatrième sommet S du parallélogramme dont les trois autres points sont I, E, F.

On construit S à l’aide d’un compas (on dessine un arc de cercle de centre E et de rayon IF et un arc de cercle de centre F et de rayon IE, ces deux arc se coupent en S).

Exercice 6

1) DEBF est un parallélogramme donc DE→

= FB→

.

2) ADCB parallélogramme donc AD→

= BC→

.

3) AD→

+ DE→

= AE→


4) On a d’après 1) et 2) AD→

+ DE→

= BC→

+ FB→

= FC→



90

Donc d’après 3) AE→

= FC→

.

Par conséquent AECF est un parallélogramme.

Exercices et problèmesExercice 41) ABCD est un parallélogramme donc AB

→ = DC

→.

Et N est l’mage de M par la translation de AB→

donc MN→

= AB→

D’où MN→

= DC→

.

2) de l’égalité précédente on déduit que MNCD est un parallélogramme.

Exercice 10I est le symétrique de B par rapport à A donc A est milieu du segment IB.

Par conséquent : IA→

= AB→

.

De même J est le symétrique de D par rapport à C, donc C est milieu du segment [DJ].

Par conséquent : DC→

= CJ→

.

Puisque ABDC est un parallélogramme alors AB→

= DC→

.

Par conséquent IA→

= CJ→

.

D’où IAJC parallélogramme.

Exercice 21D’après la relation de Casles : MA’

→ = MB

→ + BA’

→ = MB

→ + 1

2 BC→

(car A’ milieu de [BC])

D’où MA’→

= MB→

+ C’B’→

(C’B’→

= 12 BC

→ car C’ et B’ sont milieux de [AB] et [AC] d’après le théorème

de Thalès).

On montre les deux autres égalités de la même façon.

Exercice 22On utilise la relation de Chasles : AB

→ + AC

→ = AM

→ + MB

→ + AN

→ + NC

→

Et selon les données MB→

= - AN→

Par conséquent AB→

+ AC→

= AM→

+ AN→

Exercice 28a) On a MM’

→ = MB

→ + MC

→ c’est-à-dire que le vecteur MM’

→ est la somme des deux MB

→ et MC

→

donc MBM’C est un parallélogramme. Et puisque I est le milieu de la diagonale BC, alors I est le centre de ce parallélogramme et par conséquent M et M’ sont symétriques par rapport à I.

b) Le point M doit être sur la droite passant par I et le milieu du segment AC. Car dans ce cas la droite (IM) qui est aussi la droite (MM’) passe par les milieux des deux côtés (BC) et (AC)


91

du triangle ABC, alors elle est parallèle au troisième côté (AB) (propriété de la droite des milieux).

Exercice 35OA→

-OB→

+ AC→

= OA→

+BO→

+ AC→

=BO→

+OA→

+ AC→

= BA→

+ AC→

= BC→

(utilisation à deux reprises de la relation de Chasles)

Exercice 36MA→

- MB→

+ MC→

-MD→

=MA→

+ BM→

+ MC→

+ DM→

= MA→

+ BC→

+DM→

=DM→

+MA→

+ BC→

= DA→

+ BC→

= DA→

- CB→

=0 car ABCD est un parallélogramme ( DA

→ = CB

→)

Exercice 47AB→

= AC→

+ AM→

donc AMBC est un parallélogramme et alors AM→

= CB→

AC→

= AB→

+ AN→

donc ABCN est un parallélogramme et NA→

= CB→

Par conséquent AM→

=NA→

Donc A milieu de [MN].


leçon (concepts, techniques, règles, formules…) :définition d’un vecteur par sa direction, son sens et sa longueur ; égalité de deux vecteurs : s’ils ont même direction, même sens et même longueur; la somme et la différence de deux vecteurs ;

L’opposé d’un vecteur ; produit d’un vecteur par un réel ; la translation et son vecteur…



92

Repères didactiquesCette leçon introduit les notions de la géométrie analytique : repère dans le plan et coordonnées

de points du plan. Ces notions sont un outil puissant qui permet de résoudre des problèmes géométriques par des techniques algébriques et de calcul.

Ces notions ne présentent pas de grandes difficultés pour les élèves. Néanmoins un effort de mémorisation des formules est demandé.


• Connaître un repère orthogonal ;

• Connaître l’abscisse et l’ordonnée d’un point ;

• Relier les coordonnées d’un vecteur aux coordonnées des deux points constituant un représentant de ce vecteur ;

• Calculer les coordonnées du milieu d’un segment ;

• Calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs ;

• Calculer les coordonnées du produit d’un vecteur par un réel ;

• Calculer la distance de deux points ;

• Résoudre des problèmes géométriques en utilisant le repère et les coordonnées.

Je vérifie mes prérequisCe QCM vérifie les connaissances des élèves par rapport aux notions de repère traitées dans

cette leçon : abscisse d’un point sur une droite graduée, coordonnées d’un point dans un repère du plan, coordonnées du milieu d’un segment.

Activités de découverteActivités1 et 2

Dans ces deux activités il s’agit d’introduire à l’aide de quadrillage la notion de coordonnées d’un vecteur et d’un point à l’aide des codes et des déplacements selon ces codes.

Activité 3

Dans cette activité on établit les coordonnées du vecteur AB→

en fonction des coordonnées de A et B : AB

→(xB-xA ; yB-yA)

Activité 4

Dans cette activité on établit les coordonnées du milieu du segment [AB] en fonction des

coordonnées de A et B : I(xA+xB

2 ;

yA+yB

2 ).

Repère dans le plan11


93

Activité 5

Dans cette activité on établit en utilisant le théorème de Pythagore la formule de la distance

AB en fonction des coordonnées de A et B : AB = xB − xA( )2+ yB − yA( )2

x2 + y2

AB = 52 = 2 13

MA2 = −3 −32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ 2-1( )2 = - 92

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+12 = 814

+1= 854

MB2 = 5 −32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ 4-1( )2 = 72

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+32 = 494

+9= 494

+ 364

= 854

MA=MB= 852


1. La notion de repère du plan, son origine, l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées ;

2. Un point du plan peut être caractérisé par un couple de nombres appelés ses coordonnées M(x , y) : x est l’abscisse et y l’ordonnée ; l’origine O du repère a pour coordonnées (0 , 0) ; les points de l’axe des abscisse ont tous pour ordonnée 0 et les points de l’axe des ordonnées ont tous pour abscisse 0 ;

3. Le milieu d’un segment [AB] avec A(xA,yA) et B(xB,yB)a pour coordonnées (xA+xB

2 ;

yA+yB

2 )4. AB

→ où A(xA,yA) et B(xB,yB)a pour coordonnées (xB-xA, yB-yA)

5. Si on a A(xA, yA) et B(xB, yB) alors la distance AB = xB − xA( )2+ yB − yA( )2

x2 + y2

AB = 52 = 2 13

MA2 = −3 −32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ 2-1( )2 = - 92

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+12 = 814

+1= 854

MB2 = 5 −32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ 4-1( )2 = 72

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+32 = 494

+9= 494

+ 364

= 854

MA=MB= 852

6. La somme de deux vecteurs u→(x,y) et v→(x’,y’) a pour coordonnées (x+x’, y+y’)

7. Si u→ est un vecteur de coordonnées (x,y) alors sa longueur est

AB = xB − xA( )2+ yB − yA( )2

x2 + y2

AB = 52 = 2 13

MA2 = −3 −32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ 2-1( )2 = - 92

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+12 = 814

+1= 854

MB2 = 5 −32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ 4-1( )2 = 72

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+32 = 494

+9= 494

+ 364

= 854

MA=MB= 852

Exercices résolusExercices 1

Cet exercice est un entrainement sur la lecture des coordonnées de vecteurs dessinés sur quadrillage

AB→

(3,2) ; CD→

(-2 ; 2,5) ; EF→

(-3, -1) GH→

(2,-4)

Exercice 2

On démontre ici qu’un quadrilatère ABCD est un parallélogramme en démontrant que les coordonnées des deux vecteurs AB

→ et DC

→ ont les mêmes coordonnées.

En effet, on a AB→

(2-(-3), 2-1) donc AB→

(5,1)

DC→

(6-1, -1-(-2)) donc DC→

(5,1)

Exercice 3

Pour que ABCD soit un parallélogramme il suffit que AB→

= DC→

Notons (xD, yD) les coordonnées de D

On a AB→

(-4-1,1,3-2) c’est-à-dire AB→

(-5,1)

et DC→

(1-xD, -2-yD)

Donc -5=1-xD et 1=-2-yD

D’où xD = 6 et yD =-3.


94

Exercice 4

Ici on applique la formule de la distance de deux points :

AB2 = (-4-2)2 + (1+3)2 = (-6)2 + 42 = 63 + 16= 52

Donc

AB = xB − xA( )2+ yB − yA( )2

x2 + y2

AB = 52 = 2 13

MA2 = −3 −32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ 2-1( )2 = - 92

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+12 = 814

+1= 854

MB2 = 5 −32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ 4-1( )2 = 72

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+32 = 494

+9= 494

+ 364

= 854

MA=MB= 852


Exercice 11) A est l’origine du repère donc A(0,0) ; B(1,0) ; C(1,1) ; D(0,1), O(1/2,1/2)

Exercice 4I(1+0

2 ; 0+42 ) donc I( 1

2 , 2)

J(2+02 ; 0+6

2 ) donc J(1,3)

Exercice 7I milieu de [AB] donc I(3+1

2 ; 2+(-4)2 ) donc I(2,-1)

J milieu de [AC] donc J(3+(-1)2 ; 2+(-3)

2 ) donc J(1,- 12 )

K milieu de [BC] donc K(2+(-1)2 ; -4+(-3)

2 ) donc K(0, - 72 )

Exercice 9Puisque sur l’axe des abscisses 1 unité = 1 carreau et sur l’axe des ordonnées 1 unité = 1,5

carreau alors : on a A(2,4) B(-2, 8/3) C(1,- 43 ) D(5,0)

On a le vecteur AB→

(-2-2 ; 83 -4) et DC

→(1-5 ; - 4

3 - 0)

Donc AB→

(-4 ;- 43 ) et DC

→(-4, - 4

3 ) donc les deux vecteurs sont égaux et alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Exercice 21D est le quatrième sommet du parallélogramme D(x,y)

AB→

(2-(-2) ; 0-1) et DC→

(1-x ; -2-y)

AB→

(4 ;-1) et DC→

(1-x, 2-y)

Donc 1-x=4 et 2-y=-1

D’où x=1-4 et y = 2+1

Alors x = -3 et y = 3)

Exercice 331) On a M(5+(-2)

2 ; 4+(-2)2 ) donc M( 3

2 , 1)

2)

AB = xB − xA( )2+ yB − yA( )2

x2 + y2

AB = 52 = 2 13

MA2 = −3 −32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ 2-1( )2 = - 92

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+12 = 814

+1= 854

MB2 = 5 −32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ 4-1( )2 = 72

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+32 = 494

+9= 494

+ 364

= 854

MA=MB= 852


95

AB = xB − xA( )2+ yB − yA( )2

x2 + y2

AB = 52 = 2 13

MA2 = −3 −32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ 2-1( )2 = - 92

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+12 = 814

+1= 854

MB2 = 5 −32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ 4-1( )2 = 72

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+32 = 494

+9= 494

+ 364

= 854

MA=MB= 852

Donc

AB = xB − xA( )2+ yB − yA( )2

x2 + y2

AB = 52 = 2 13

MA2 = −3 −32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ 2-1( )2 = - 92

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+12 = 814

+1= 854

MB2 = 5 −32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ 4-1( )2 = 72

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+32 = 494

+9= 494

+ 364

= 854

MA=MB= 852

On a finalement MA=MB=MC car M est le milieu du segment [BC].

Donc M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Et puisque [BC] est un diamètre de ce cercle (car M est le milieu du segment [BC]) on en déduit que le triangle ABC est rectangle en A.


leçon (concepts, techniques, règles, formules…) : coordonnées d’un point du plan ; coordonnées du milieu d’un segment, coordonnées d’un vecteur, distance de deux points, égalité, somme de deux vecteurs…

Répondre correctement aux items du QCM est un indice de l’atteinte par les élèves des objectifs de la leçon. Des erreurs ou des difficultés dans les réponses à ces items doit inciter les élèves à revoir leurs cours, approfondir leur compréhension. L’enseignant doivent aussi tirer profit de ce QCM pour réguler son enseignement et prévoir des activités de remédiation et de renforcement des acquis de ses élèves.


96

Repères didactiquesA la suite de la leçon 11, qui a introduit des éléments de géométrie analytique, cette leçon porte

sur la caractérisation algébrique et analytique des droites du plan. Il s’agit en effet de déterminer une droite du plan par une formule algébrique, son équation.

Cette notion d’équation d’une droite est un outil performant pour résoudre des problèmes géométriques.

Objectifs d’apprentissage• Connaitre et utiliser l’équation d’une droite ;

• Connaitre et utiliser la condition analytique de parallélisme de deux droites ;

• Connaitre et utiliser la condition analytique de perpendicularité de deux droites.

Je vérifie mes prérequisCe QCM vérifie les connaissances des élèves par rapport à des notions préliminaires à la notion

d’équation analytique d’une droite : coordonnées d’un vecteur, parallélogramme et égalité de vecteurs, théorème de Pythagore, les coordonnées des points de l’axe des abscisses ou de l’axe des ordonnées…

Activités de découverteActivité 1Dans cette activité on demande de tracer une droite définie par deux points dont les

coordonnées sont relativement A(67 ; 41) et B(-23 ; -4).Activité 2Cette activitéest une première approche de la méthode pour vérifier qu’un point appartient à

une droite, en utilisant les coordonnées de ce point et l’équation de la droite.1) Les points A(1 ;3) et C(1 ;1) ont pour abscisse 1 donc elles vérifient l’équation (E1) : x = 1 ;

Le point A(1 ;3)vérifie l’équation (E2): y=2x+1 (car 3=2x1+1) ;Le point B(-2 ;3) av pour ordonnée 3 donc il vérifie l’équation (E3): y = 3 ;Le points A(1 ;3) vérifie l’équation (E4): y= 3x (car 3 =3x1).

2) Les points du plan vérifiant (E1) se trouvent sur la droite parallèle à l’axe des ordonnées et passant par x =1.

3) Les points du plan vérifiant (E2)se trouvent sur la droite passant par le point A et le point (0;1).Les points du plan vérifiant (E3 ) se trouvent sur la droite parallèle à l’axe des abscisses et passant par y=3.

Les points du plan vérifiant E4 se trouvent sur la droite passant par A et l’origine du repère O(0;0).Activité 3Dans cette activité on montre que si deux droites ont le même coefficient directeur alors ces

deux droites sont parallèles.(D) : y = 2x+p (D a pour coefficient directeur 2)(D’) : y= 2x +p’(D’ a pour coefficient directeur 2)1) A(0 ; p) car si x=0 alors y = 2x0 +p

B(1, 2+p) car si x=1 y=2x1 +p

Equation d’une droite12


97

2) De même A’(0 ;p ‘) et B’(1 ; 2+p’)3) le vecteur AB

→(1-0, 2+p-p) c’est-à-dire AB

→(1,2)

Le vecteur A’B’→

(1-0, 2+p’-p’) c’est-à-dire A’B’→

(1, 2’)Donc AB

→ = A’B’

4) Par conséquent (AB)//(A’B’)Activité 4Dans cette activité on montre que si deux droites sont tels que le produit de leurs coefficients

directeurs est égal à -1 alors ces deux droites sont perpendiculaires.(D) : y = -2x+3

(Δ) : y= 12 x -2

2) A(1 ;1) et B(0 ;-2)3) notons C(x ;y)

Puisque C appartient à la fois à (D) et (Δ) alors x et y vérifient à la fois y = -2x +3 et y = 12 x-2

Donc -2x+3 = 12 x-2

-2x- 12 x=-2-3

- 52 x = -5 d’où x = 2

Et alors y = -2x2 + 3 (en remplaçant x par 2 dans l’équation de (D)Donc y = -1Finalement C(2 ; -1).

4) AB2 = (0-1)2 + (-2-1)2 = 12 + 32 =1+9 = 10 donc AB = 10 5 52 2 3 852

AC2 = (2-1)2 + (-1-1)2 = 12 + 22 =1+4 = 5 donc AC = 10 5 52 2 3 852

BC2 = (2-0)2 + (-1+2)2 = 22 + 12 =4+1 = 5 donc BC = 10 5 52 2 3 852

On constate que AB2 =AC2 + BC2

Alors d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en CPar conséquent les droites (AC) et (BC) sont perpendiculairesOr la droite (AC) c’est la droite (D) et (BC) est la droite (Δ).Donc (D) et (Δ) sont perpendiculaires.

CoursDes activités traitées, l’élève doit retenir :1. l’équation d’une droite et comment l’utiliser, en particulier l’équation réduite lorsque la

droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées (coefficient directeur, ordonnée à l’origine) ;2. l’équation d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées : x = a où a est une constante;3. l’équation d’une droite parallèle à l’axe des abscisse : y = b où b est une constante, en

particulier l’axe des ordonnées a pour équation x = 0 et l’équation de l’axe des abscisses a pour équation y = 0 ;

4. Comment calculer le coefficient directeur à partir des coordonnées de deux points distincts

A et B de la droite m = yB-yAxB-xA

;5. la condition analytique de parallélisme de deux droites et son utilisation;6. la condition analytique de perpendicularité de deux droites et son utilisation.


98

Exercices résolusExercices 1Dans cet exercice on montre comment tracer une droite Δ connaissant l’un de ses points A (xA, yA) et son coefficient directeur m.Pour cela on choisit un deuxième point B (xB, yB) de Δ

On a le coefficient directeur est m = yB-yAxB-xA

= - 35

On choisit B tel que yB-yA = -3 et xB-xA= 5 c’est-à-dire yB= yA-3 = 2-3 = -1Et xB = xA+5 = 1+5 =6 donc B(6,-1)Pour tracer Δ, on place le point A puis on place le point BExercice 2

Dans cet exercice on montre comment tracer par deux méthodes une droite définie par son équation réduite.

Δ : y = 25 x+2

Méthode 1 : on choisit deux points A et B assez éloignés pour la précision du tracéOn choisit deux valeurs de x par exemple 0 et 5 et on calcule y dans chaque en remplaçant x

par 0 puis par 5 dans l’équation de la droite y = 25 x+2

On trouve alors A(0 ; 2) et B(5, 4) On dessine A et B puis on trace la droite passant par eux.Méthode 2 :On utilise la même méthode que l’exercice 1 ci-dessus en choisissant un point A et un autre

point B en utilisant le coefficient directeur 25 .

Exercice 3

Dans cet exercice il s’agit de trouver l’équation de la droite (AB) avec A et B sont deux points donnés par leurs coordonnées.

a) on a A(2 ;-3) et B(2 ;5). Comme A et B ont même abscisse alors la droite (AB) est la droite parallèle à l’axe des ordonnées et passant par x =2.

b) on a A(5 ;4) et B(-3 ; 4). Comme A et B ont même ordonnée alors la droite (AB) est la droite parallèle à l’axe des abscisses et passant par y=4.

c) A et B ont des abscisses différents donc (AB) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, elle admet alors un coefficient directeur m

soit y = mx +p son équation réduite.Calculons m

m = yB-yAxB-xA

= -1 - 34 -(-2) = - 2

3

donc (AB) : y= - 23 x +p

Reste à calculer pIl suffit de remplacer dans l’équation de la droite x et y par les coordonnées de l’un des points

connus de la droite (par exemple A)

Alors on obtient : 3=- 23 x (-2)+p donc 3= 4

3 + p d’où p = 3- 43 ; Doncp = 5

3

Finalement (AB) : y = - 23 x+ 5

3


99

Exercices 4

On trace la droite (Δ) en choisissant deux points de cette droite A(6 ;1) et B(-1 ; -3) par exemplePour trouver le point d’intersection de (Δ) avec l’axe des ordonnées (qui a pour équation x=0),

il suffit de prendre x= 0 et de calculer y on trouve alors le point C(0 ; -177 ).

Pour trouver le point d’intersection de (Δ) avec l’axe des abscisses (qui a pour équation y =0), il

suffit de prendre y= 0 et de calculer x on trouve alors le point D(174 ;0).

Exercices 5

Dans cet exercice on applique la propriété qui lie le parallélisme de deux droites avec l’égalité de leurs coefficients directeurs.

On a (Δ) une droite d’équation y = -x+4 On veut déterminer la droite (Δ’) parallèle à (Δ) et passant par le point A(3 ;5).Le coefficient directeur de la droite Δ est m = -1. Comme (Δ)//( Δ’) alors (Δ’) a aussi comme

coefficient directeur m’ = -1.Donc (Δ’) : y= -x+pCalculons pPuisque (Δ’) passe par A alors 5 = -3 +pD’où p = 8Finalement : Donc (Δ’) : y= -x+8.

Exercices 6

Dans cet exercice on applique la propriété qui dit que deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.

On a (Δ) une droite d’équation y = 65 x+2.

On veut déterminer la droite (Δ’) perpendiculaire à (Δ) et passant par le point A(-1 ;-2).

Le coefficient directeur de la droite Δ est m = 65 . Notons m’ le coefficient directeur de (Δ’). On

veut que les deux droites soit perpendiculaires il faut donc que mm’= -1 c’est-à-dire 65 xm’=-1

D’où m’= - 56 .

Donc (Δ’) : y = - 56 x+p

Calculons p

Puisque (Δ’) passe par A alors -2=- 56 x(-1) +p

D’où -2= 56 + p

D’où p = -2- 56 =-17

6Finalement : Donc (Δ’) : y= - 5

6 x-176 .

Exercices 7

1) Puisque les coefficients directeurs des deux droites sont différents alors elles ne sont pas parallèles, c’est-à-dire qu’elles sont sécantes.

2) K(x, y) le point d’intersection des deux droites, ses coordonnées vérifient les deux équations

y = x+1 et y = -2x+5 Donc x+1 = -2x+5 D’où x+2x = 5-1 d’où 3x =4 et alors x = 43

y = 43 + 1 = 7

3 donc K( 43 , 7

3 ).


100

Exercices et problèmesExercice 4En remplaçant dans l’équation de la droite x et y par les coordonnées de A on trouve 1=2-1 est

vrai, donc A appartient à cette droiteDe même pour B : -2 =-1-1 est vrai, donc B aussi appartient à cette droite.Donc l’équation y= x-1 est l’équation de la droite (AB) ?

Exercice 4I(1+ 0

2 ;0+ 42 ) donc I( 1

2 , 2)

J(2+ 02 ;0+ 6

2 ) donc J(1,3)

Exercice 9D1 : y = - 1

2 x+p; D2 : y = - 12 x+p’; D3 : y = - 1

2 x+p’’

A(1 ;2) appartient à D1 donc 2=- 12 x1+p d’où p=2+ 1

2 = 52

Donc D1 : y = -1/2x+5/2

B(-3 ;0) appartient à D2 donc 0=- 12 x(-3)+p’ d’où p’= 3

2Donc D1 : y = - 1

2 x+3/2

C(0 ;2) appartient à D3 donc 2=- 12 x0+p’’ d’où p’’=2

Donc D1 : y = - 12 x+2

Exercice 14Notons A(x, y).x vérifie l’équation 2x-2 = -3x+13Donc 2x+3x=13+25x=15 d’où x = 3Et alors y= 2x3-2=4Finalement A(3,4).

Exercice 16Le coefficient de la droite (AB) est m =

yB-yAxB-xA

= 4-2/3-1 4 - 23 - 1)

= 22 = 1

Donc (AB) : y = x+p calculons p

Le coefficient de la droite (AB) est m = yB-yAxB-xA

= 4 - 23 - 1)

= 22 = 1

Donc (AB) : y = x+p calculons p

QCM pour s’évaluer.Ce QCM permet aux élèves de vérifier leur degré d’acquisition des notions traitées dans la leçon

(concepts, techniques, règles, formules…) : équation réduite d’une droite, coefficient directeur d’une droite, liens entre parallélisme et perpendicularité de droites et coefficients directeurs….



101

Repères didactiquesL’un des objectifs de l’étude des fonctions est de faire émerger progressivement, sur des

exemples, la notion de fonction en tant que processus faisant correspondre, à un nombre, un autre nombre. Les exemples mettant en jeu des fonctions sont issus de situations concrètes ou de thèmes interdisciplinaires. Les fonctions linéaires et affines apparaissent alors comme des exemples particuliers de tels processus. L’utilisation des expressions « est fonction de » ou « varie en fonction de », amorcée dans les classes précédentes, est poursuivie et est associée à l’introduction de la notation f(x).

L’étude des fonctions linéaires permet de compléter l’étude de la proportionnalité par une synthèse d’un apprentissage commencé à l’école primaire.

L’utilisation de tableaux de proportionnalité permet de mettre en place le fait que le processus de correspondance est décrit par une formulation du type « je multiplie par a ». Cette formulation est reliée à x → ax.

Pour des pourcentages d’augmentation ou de diminution, le fait que, par exemple, augmenter de 5% c’est multiplier par 1,05 et diminuer de 5 % c’es tmultiplier par 0,95 la correspondance est établie. Certains traitements des situations de proportionnalité utilisés dans les classes précédentes sont reliés aux propriétés d’additivité et d’homogénéité de la fonction linéaire.

Parmi les situations qui ne relèvent pas de la proportionnalité, certaines sont cependant modélisables par une fonction dont la représentation graphique est une droite. Cette remarque peut constituer un point de départ à l’étude des fonctions affines. Pour les fonctions affines, la proportionnalité des accroissements de x et y est mise en évidence.


• Connaître et traduire une situation proportionnelle par la formule f(x) = ax ;

• Déterminer l’image et l’antécédent d’un nombre par une fonction linéaire ;

• Représenter graphiquement une fonction linéaire ;

• Déterminer la formule d’une fonction linéaire à partir d’un nombre non nul et son image par cette fonction ou à partir d’un point de son graphe, différent de l’origine du repère ;

• Déterminer l’image et l’antécédent d’un nombre par une fonction affine ;

• Traduire des situations par la formule f(x) = ax+b ;

• Représenter graphiquement une fonction affine ;

• Déterminer la formule d’une fonction affine à partir de deux nombres et leurs images par cette fonction ou à partir de deux points de son graphe ;

• Lire la représentation graphique d’une fonction linéaire ou affine.

Fonctions linéaires et fonctions affines13


102

Je vérifie mes prérequisCe QCM vérifie les connaissances des élèves par rapport à des notions préliminaires aux notions

de fonctions linéaires et fonctions affines, particulièrement les tableaux de proportionnalité, les équations, la manipulation des expressions littérales, les graphiques.


Dans cette activité on rappelle les connaissances des élèves sur la proportionnalité, et ce dans un contexte de mouvement uniforme où la distance parcourue est proportionnelle au temps et dont le coefficient de proportionnalité est la vitesse.

a) en effectuant les opérations on constate que : 8412 = 210

30 = 35050 = 7.

b) c’est le coefficient 7.

Ce nombre représente la vitesse du vaisseau spatial.

Il est exprimé en km/seconde.

La relation entre la distance parcourue d et le temps t mis pour la parcourir est : d = 7t.

c) pour une durée d’une heure c’est-à-dire 3600 secondes, d= 7x3600 = 25200 km.

Activité 2

1.a) en divisant les nombres de la deuxième ligne par ceux de la première ligne on constate que le quotient est constant = 1,852.

Donc il s’agit d’un tableau de proportionnalité.

b) le coefficient de proportionnalité est a =1,852.

2) f(x) = 1,852x3) a) la fonction de la question 2 est une fonction linéaire de coefficient 1,852.

b) si a=0 alors la fonction prend la valeur nulle pour tout x. quel que soit x, f(x) = 0.

Activité 3

1) L’augmentation du volume du glaçon est 20x 8100 = 1,6 cm3

D’où le volume total du glaçon obtenu : 20 +1,6 = 21,6 cm3

2) si on prend x cm3, le volume total du glaçon obtenu est x + 8100 x = x+ 0,08x = 1,08x cm3.

3) la fonction est du type f(x) = ax donc elle est une fonction linéaire de coefficient 1,08.

4) il s’agit de la fonction de coefficient 1 + a100

Donc f(x) = (1+ a100 )x.


103

Activité 4

a)

Nombre Image Point associéx 2x M(x ;2x)0 0 O(0 :0)1 2 A(1 ;2)3 6 B(3 ;6)-2 -4 C(-2 ;-4)-5 -10 D(-5, -10)

b) on a 2xx = 2 pour tout x.

Donc les abscisses et les ordonnées de tous ces points sont proportionnelles parce que la fonction f est linéaire.

Les points sont alignés.

c) D’après le théorème de Thalès dans le triangle OPN, on aNPIA = ON

OIDonc y

2 = x

1 d’où y = 2x.

d) M(x, 2x) il appartient à la droite d’équation y = 2x qui est la droite (OP).

M doit donc être sur cette droite.

Activité 5

1) f(10) = 1,8x10+32 =18 +32 = 50°F Vrai

f(x) = 41 donc 1,8x+32 = 41 d’où 1,8x = 9 d’où x = 91,8 = 5 vrai

f est une fonction linéaire : c’est faux parce qu’elle n’est pas du type f(x) = ax.

La relation entre x et y est de la forme y = ax + b avec a = 32 et b = 1,8 faux

La relation entre x et y est de la forme y = ax + b avec a = 1,8 et b = 32 vrai

2) y =1,8x30+32 = 86 °F donc 30 °C c’est 86°F

y = 1,8x(-20) +32 = -36+32 = -4 °F donc -20°C c’est -4°F

3) 98,6 = 1,8x+32 donc 1,8x = 98,6-32

1,8x = 66,6 d’où x = 66,61,8

Donc x = 37°C.

Cet Américain a une température normale.

4) 38 = 1,8x + 32 donc 1,8x = 38 -32

1,8x = 6

x= 61,8 =3,33°C

Il fait donc froid. Les passagers doivent descendre en manteau.


104

Activité 6

1) Conjecture

a)

x -3 -2 -1 0 1 2 3f(x) -4,5 -2,5 -0,5 1,5 3,5 5,5 7,5

b) la représentation graphique semble être une droite.

c) le point O n’appartient pas à la représentation graphique de f.

2) Démonstration

a) Les deux droites (OB) et (OM) ont le même coefficient directeur 2 elles sont donc parallèles.

On a OB=MN= 1,5.

Le quadrilatère OBMN est un parallélogramme car il a deux côtés isométrique et deux côtés parallèles.

b) la représentation graphique de la fonction affine f est donc une droite ne passant pas par O.


1. La notion de fonction linéaire et sa forme algébrique f(x) = ax ; a est son coefficient ;

2. Une situation de proportionnalité peut être exprimée par une fonction linéaire ;

3. L’image d’un nombre x par une fonction linéaire est proportionnelle à x;

4. La représentation graphique d’une fonction linéaire f(x) = ax est la droite d’équation y = ax et qui passe par l’origine du repère ;

5. La représentation graphique d’une fonction affine f(x) = ax+b est la droite d’équation y = ax+b.


On s’exerce dans cette exercice sur la manipulation d’une fonction linéaire : calculer l’image d’un nombre, l’antécédent d’un nombre ;

F(x) = -7xDonc f(3) = -7x3=-21

F(x) = -2 donc -7x=-2 d’où x= 27 donc l’antécédent de -2 est 27 .

Exercice 2

Ici on montre comment définir le coefficient d’une fonction linéaire et par conséquent son expression algébrique en connaissant l’image d’un nombre non nul par cette fonction.

f(2)=3 donc a=f(2)2 = 32

Alors f(x) = 3x2


105

Exercice 3

Dans cet exercice on s’exerce à construire la représentation graphique d’une fonction linéaire.

f(x)= 1,5x donc sa représentation graphique est la droite (D) : y=1,5x.

qui passe par O(0 ;0) et A(1 ; 1,5).

Exercice 4

1) Sur le graphique on lit : l’image de 5 est 2

2) Sur le graphique on lit : l’antécédent de 1,4 est le nombre 3,5.

Exercice 5

Ici on montre comment définir l’expression algébrique d’une fonction affine f(x) = ax+b en connaissant deux nombres et leurs images par f.

On a f(1)=-1 et (3)2 = 5.

Calcul de a coefficient directeur de la droite représentant f.

a=f(3)-f(1)3 -1= 5- (-1)

3 -1= 62 =3 donc f(x) =3x+b.

Calcul de b (ordonnée à l’origine)

On a f(1) = -1 donc 3+b = -1

Donc b = -1 - 3= - 4.

Finalement f(x)=3x - 4.

Exercice 6

Dans cet exercice on s’exerce à construire la représentation graphique d’une fonction affine.

1) f(x)= 2x-1 donc sa représentation graphique est la droite (D) y=2x-1.

qui passe par exemple par A(3 ;5) et B(1 ; 1).

On place ces deux points dans le repère et on trace la droite (AB).

2) Graphiquement on lit que l’antécédent de 7 est le nombre 4.

Vérification par le calcul

F(x) = 7 signifie 2x - 1 = 7 donc 2x = 7+1

2x = 8 et alors x = 4.

Exercice 7

Dans cet exercice on s’exerce à construire la représentation graphique D d’une fonction affine connaissant l’image d’un point donné et son coefficient directeur.

f(0)= 2 donc la droite passe par le point A(0 ;2) et son coefficient directeur est - 34 .

On place le point H à 4 carreaux à droite de A en se déplaçant parallèlement à l’axe des abscisses. On place le point B à « 3 carreaux », soit à 3 carreaux du point H en « descendant » parallèlement à l’axe des ordonnées.

La droite (AB) est alors la représentation graphique de f.


106

Exercice 8

Dans cet exercice on montre comment déterminer le coefficient directeur d’une fonction affine à partir de sa représentation graphique.

On repère deux points A(x1, f(x1)) et B(x2, f(x2)). On place le point H à droite du point A tel que le triangle AHB soit rectangle. On repère l’accroissement x2-x1 de x1 à x2 en comptant le nombre de carreaux entre le point A et H. On repère l’accroissement f(x2)-f(x1) de f(x1) à f(x2) en comptant le nombre de carreaux entre le point H et B. On a f(x2)-f(x1) = a(x2-x1).

1) Dans le ca 1) on prend les deux points A(1 ;1) et B(4 ;3) de la droite (d1).

Le coefficient directeur est de la droite (d1) est égal à 23 .

2) de la même façon Le coefficient directeur de la droite (d2) est égal à - 54 .


Exercice 1

1) En divisant les nombres de la deuxième ligne par les nombres de la première ligne, on constate que le quotient est constant égal à 1,25.

Donc le tableau est un tableau de proportionnalité.

2) L= 1,25l = 54 l

3) l = 45 L

Exercice 2

a) on a pq = 15

12 = 54 d’où p = 5

4 q

b) soit p la quantité de pommes achetée à 14 dh,

on a 14 = 54 p d’où p = 14x 4

5 = 11,2kg.

Exercice 4

1) non

2) oui le coefficient de proportionnalité est la vitesse moyenne

3) oui la distance est l’échelle de représentation de la carte réelle.

Exercice 5

1) En divisant les nombres de la deuxième ligne par les nombres de la première ligne, on constate que le quotient est constant égal à 2.

Donc le tableau est un tableau de proportionnalité.

2) l’expression algébrique qui aux nombres de la première ligne associe les nombres de la deuxième ligne est : f(x) = 2x

3) cette fonction est linéaire.


107

Exercice 6

Seule la fonction m est linéaire car m(x) = (5-2x) -5 = 5 - 2x -5

Donc m(x) = -2x donc de coefficient directeur 2.

Exercice 8

Le volume de la pyramide est V(x) = 13 Bx où B est l’aire de sa base et x sa hauteur.

1) Donc V(x) = 13 x (25)2x = 625

3 x

V est donc une fonction linéaire de coefficient 6253 .

2) V(12) = 6253 x12= 625x4= 2500

3) V(x) = 5500 donc 6253 x = 5500 d’où x = 5500x3

625 = 26,4.

Exercice 10

1) f(6) = 3x64 = 18

4 = 92

2) soit x le nombre qui a pour image -9

f(x) =-9 donc 34 x = -9 d’où x = 4x(-9)

3 = -12.

Exercice 13

Seuls les graphiques a) et f ) sont des représentations graphiques d’une fonction linéaire. Car il s’agit de droites passant par l’origine du repère.

Exercice 16

1) le coefficient de cette fonction linéaire est 1,75 donc f(x) = 1,75x

2) on a 1x 1,75 = 74 donc A(1 ; 7

4 ) appartient à la droite (d)

B(-4 ; 7) n’appartient pas à la droite (d) car 1,75x (-4) est différent de 7

C(2 ; 3, 25) n’appartient pas à la droite (d) car 1,75 x 2 = 3,5 qui est différent de 3,25.

4) E(8,e) appartient à (d) donc 1,75 x 8 = e d’où e=14 donc E(8,14)

5) F(k, -2)appartient à (d) donc 1,75k =-2 d’où k= - 21,75 = -1,14 donc F(-1,14 ;-2)

Exercice 20

On a g(9)=-6 donc son coefficient directeur est a= g(9)

9 = - 6

9Donc a= - 2

3D’où g(x) = - 2

3 x


108

Exercice 25

Donner m(0) = 0 n’est pas suffisant pour déterminer m car toutes les fonctions linéaires vérifient cette condition.

Exercice 26a) f est une fonction affine de coefficient directeur 5 et d’ordonnée à l’origine 2b) g est une fonction linéaire donc c’est une fonction affine de coefficient directeur 2 et

d’ordonnée à l’origine 0c) la fonction h n’est pas affine, elle n’est pas du type ax+b.d) k(x) = (3x-1)-3x = 3x-1-3x= -1. Donc k est une fonction constante. C’est une fonction affine de

coefficient directeur 0 et d’ordonnée à l’origine -1

Exercice 28a) g(5) = 5x5 +1 = 26b) g(0) = 5x0 +1 = 1

g(-2,1) = 5x(-2,1)+1= -10,5 + 1= -9,5g(7) = 5x7+1= 36

c) g(x) =21 donc 5x+1 = 21 d’où 5x= 21-1 donc 5x = 20 alors x= 205 =4

Donc l’antécédent de 21 est 4

g(x) =-14 donc 5x+1 = -14 d’où 5x= -14-1 donc 5x=-15 alors x= - 155 =-3

donc l’antécédent de -14 est -3

g(x) =0 donc 5x+1 = 0 d’où 5x= -1 donc x= - 15

Donc l’antécédent de 0 est - 15 .

Exercice 36La droite (D1) passe par O(0 ;0) et par A(1 ;4)

f est donc une fonction linéaire de coefficient 41 = 4

D’où f(x) = 4xLa droite (D2) passe par O(0 ;0) et par A(1 ;4)

f est donc une fonction linéaire de coefficient 41 = 4

D’où f(x) = 4xLa droite (D3) passe par B(0 ;-20) et par C(-4 ;0)

g est donc une fonction affine de coefficient 0-(-20)5 = 20

-4 =-5Donc g(x) =-5x+pCalculons p

B(0 ;-20) appartient à (D2) donc -5x0 +p=-20 d’où p=-20Finalement g(x) = -5x-20


109

La droite (D3) passe par E(0 ;-3) et elle est parallèle à l’axe des abscisses.Donc la fonction h est constanteh(x) = -3

Exercice 39

1) Le point M(3 ;3,5) ne semble pas appartenir à la représentation graphique de f

2) la droite passe par A(0 ;1) et B(5 ;5)

Donc le coefficient directeur est a = 5 - 15 - 0 = 4

5f(x) = 4

5 x +b

Calculons b

A(0 ;1) appartient à la droite donc 1=4 x 05 +b d’où b= 1

Finalement f(x) = 45 x +1

3) f(3)= 4 x 35 + 1 = 12

5 + 1 = 175 = 3,4.

Donc la droite passe par N(3 ; 3,4) et non par le point M(3 ; 3,5)

Exercice 42

g est une fonction affine telle que g(3) = 8 et g(-1) = -12

a) le coefficient directeur de g est a= -12 - 8-1 - 3 = -20

-4 = 5

Donc g(x) = 5x+b

Calculons b

On a g(3)=8 donc 8=5x3+b d’où b= 8-15=-7

Donc g(x) = 5x-7.

QCM pour s’évaluer.Ce QCM permet aux élèves de vérifier leur degré d’acquisition des notions traitées

dans la leçon (concepts, techniques, règles, formules…) : fonction linéaire et sa forme algébrique f(x) = ax; a est son coefficient ; l’image d’un nombre x par une fonction linéaire est proportionnelle à x; la représentation graphique d’une fonction linéaire f ; fonction affine et sa forme algébrique f(x) = ax+b ; a est son coefficient ; la représentation graphique d’une fonction affine…



110

Repères didactiquesLes équations, inéquations et systèmes d’équations servent à résoudre une grande variété de

problèmes dans lesquels plusieurs conditions données sont exprimées par des relations entre des nombres ou quantités connus et inconnus. Il s’agit de répondre à la question suivante: y a-t-il des valeurs qui conviennent pour les inconnues, une seule ou plusieurs, et comment fait-on pour les trouver quand c’est possible ?

Les systèmes d’équations sont une notion nouvelle. Elle met en jeu deux équations et deux inconnues. Leur résolution peut s’opérer par la méthode de substitution ou la méthode de combinaison linéaire.

L’enseignement doit mener de front le travail sur le sens et l’utilité des systèmes d’équation dans la résolution de nombreux problèmes mathématiques ou concrets et aussi sur la maitrise des techniques de résolution.

La modélisation des situations concrète constitue un contexte très favorable pour donner du sens à cette notion.

Objectifs de la leçon

• Résoudre algébriquement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues;

• Résoudre graphiquement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues;

• Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à un système de deux équations du premier degré.

Je vérifie mes prérequisCe QCM vérifie les connaissances des élèves par rapport aux expressions algébriques

comprenant deux variables.


Dans cette activité il convient de traduire une situation concrète par une équation à deux inconnues.

a) 7 bouteilles de jus d’oranges valent 7x12 = 84 dh et 6 bouteilles de jus de pamplemousse valent 6x15= 90 dh. Le total est 84 +90 =174 dh qui n’est pas les 120 dh payés par la cliente servie.

2 bouteilles de jus d’oranges valent 2x12 = 24 dh et 8 bouteilles de jus de pamplemousse valent 8x15= 120 dh. Le total est 24 +120 =144 dh qui n’est pas les 120 dh payés par la cliente servie.

Système de deux équations du premier degré à deux inconnues14


111

b)

Nombre de bouteilles de jus d’oranges

Nombre de bouteilles de jus de pamplemousse

Prix à payer (en dh)

0 9 1351 8 1322 7 1293 6 1264 5 1235 4 1206 3 1177 2 1148 1 1119 0 108

c) on constate dans le tableau du b) que le prix 120 dh correspond à 5 bouteilles de jus d’orange et 4 bouteilles de jus de pamplemousse.

Finalement la réponse du livreur est : 5 bouteilles de jus d’orange et 4 bouteilles de jus de pamplemousse.

d) Si le livreur a 10 caisses de 36 bouteilles, la méthode précédentes deviendra lourde et fastidieuse.

Mise en équation et résolution par substitution

Soit x le nombre de bouteilles de jus d’oranges et y le nombre de bouteilles de jus de pamplemousse.

a) puisque le nombre total des bouteilles livré est 9 alors x+y=9Et le prix payé par la cliente servie est 120 dh donc 12x+15y=120Donc le système qui traduit l’énoncé du problème le troisième système :x+y=9 (1)12x+15y=120 (2)

b) En utilisant la méthode de substitution, c’est-à-dire calculer y dans (1) et la remplacer dans (2) on aboutit à une équation de premier degré d’inconnue x.En effet : de (1) on tire y =9-xD’où en remplaçant y dans (2) on obtint 12x+15(9-x) =12012x+135-15x=120-3x=120-135-3x=-153x=15

x= 153

d’où x=5en remplaçant x dans (1) on obtient 5+y=9 d’où y= 9-5=4

c) La réponse du livreur est : 5 bouteilles de jus d’orange et 4 bouteilles de jus de pamplemousse.


112

Mise en équation et résolution par combinaison

Comme précédemment, soit x le nombre de bouteilles de jus d’oranges et y le nombre de bouteilles de jus de pamplemousse. Le système qui traduit l’énoncé du problème est le système :

} x+y=9 (1) 12x+15y=120 (2)

a) On multiplie les deux membres de l’équation (1) par -12 on obtient une nouvelle équation (1’) : -12x-12y=-108

b) On a alors le système

} -12x-12y=-108 (1’) 12x+15y=120 (2)En ajoutant membre à membre (1’) et (2) on obtient : -12y+15y=-108+120Donc 3y = 12 d’où y = 4.

c) On multiplie les deux membres de l’équation (1) par -15 on obtient une nouvelle équation (1’’) : -15x-15y=-135

d) On a alors le système

} -15x-15y=-135 (1’’) 12x+15y=120 (2)En ajoutant membre à membre (1’’) et (2) on obtient : -15x+12x=-135+120Donc -3x = -15 d’où x = 5.La réponse du livreur est : 5 bouteilles de jus d’orange et 4 bouteilles de jus de pamplemousse.

Mise en équation et résolution graphique

Comme précédemment, soit x le nombre de bouteilles de jus d’oranges et y le nombre de bouteilles de jus de pamplemousse. Le système qui traduit l’énoncé du problème est lesystème :

x+y=9 (1)12x+15y=120 (2)

De (1) on tire y=9-x qui est une équation de droite (D1)

De (2) on tire 15y =120 - 12x c’est-à-dire y= 12015 - 12x

15D’où y = 8 - 4

5 x qui est une équation de droite (D2)

d) le couple solution du système est le point de concours des deux droites (D1) et (D2).sur le graphique ce point est I(5 ;4).

La réponse du livreur est : 5 bouteilles de jus d’orange et 4 bouteilles de jus de pamplemousse

Activité 2

Cette activité porte la mise en système de deux équations à deux inconnues une situation concrète.

Monsieur et Madame Slaoui pèsent ensemble 180 kg.

Madame Slaoui pèse 40 kg de plus que son mari.

a) il y a plusieurs possibilités des poids de chacun ; par exemple :


113

Poids de Monsieur Slaoui Poids de madame Slaoui Poids total70 110 180

100 80 18089 91 180

b) Seul le couple (70 ;110) convient à la condition exprimée ; « si Madame Saloui pèse 40kg de plus, elle aura le même poids que son mari ».

c) soit x le poids de Madame Saloui et y le poids de monsieur Saloui.

« Monsieur et Madame Slaoui pèsent ensemble 180 kg » est traduit par l’équation; x+y=120

d) x+40 =y exprime dans le problème posé que le poids de Monsieur Slaouiest égal au poids de Madame Slaoui augmenté de 40 kg.

Pour répondre au problème posé, il faut résoudre le système d’équations à deux inconnues x et y :

} x+40 =y x+y=120

a) On utilise la méthode de substitution comme dans l’activité 1) ; on remplace dans la deuxième équation y par x+40 on obtient :

x+x+40 = 180

b) D’où 2x+40 =180

c) donc 2x=180-40

2x=140 alors x= 70

d) D’où y = 70+40

y=110.

e) le couple solution est donc (70 ; 110).


1. La notion d’équation linéaire à deux inconnues ; ux+vy = w, et ses couples de solutions sont les coordonnées de points de la droite D : ux+vy=w ;

2. La notion de système d’équation linéaire à deux inconnues ;

3. Les trois méthodes de résolution (méthode de substitution, méthode d’élimination par combinaison et méthode graphique).

Exercices résolus

Exercice 1

Dans cet exercice on entraine l’élève à utiliser la méthode de substitution pour résoudre un système d’équations linéaires à deux inconnues.


114

Exercice 2

Dans cet exercice on entraine l’élève à utiliser la méthode de combinaison pour résoudre un système d’équations linéaires à deux inconnues.

Exercices 3

Dans cet exercice on entraine l’élève à utiliser la méthode graphique pour résoudre un système d’équations linéaires à deux inconnues.

Exercices 4

Dans cet exercice on traite un autre système d’équations linéaires à deux inconnues, par la méthode de substitution.

Exercice 5

On montre ici comment appliquer la résolution systèmes d’équations linéaires à deux inconnues pour apporter une solution à un problème de concret.

On mathématise la situation concrète en choisissant comme inconnues : x le nombre de pots contenant 500g (ou 0,5 kg) de confiturey le nombre de pots contenant 375g (ou 0,375kg) de confiture.(x et y sont des entiers positifs).

Nombre de potsMasse de confiture, en kg

dans un pot dans les potsxy

0,50,375

0,5x0,375y

14 pots en tout 6kg de confiture en tout

Selon les données du problème :

}x+y=14 0,5x +0,375y =9En résolvant ce système par la méthode de substitution ou la méthode de combinaison, on

arrive à la solution ; x = 6 et y= 8.Il y a donc 6 pots de 500 g et 8 pots de 375g.Vérification

6+8 =14 pots0,5x6 +0,375x8 = 3+3 =6 kg de confiture.

Exercice 6

Dans cet exercice on traite un autre système d’équations linéaires à deux inconnues, par la méthode de substitution.

Exercice 7

Dans cet exercice on traite un autre système d’équations linéaires à deux inconnues, par la méthode de combinaison.


115

Exercice 8

Dans cet exercice on traite un autre système d’équations linéaires à deux inconnues résolu à l’aide d’un graphique.

Il s’agit de trouver, s’il existe, le point I(x, y) intersection des deux droites dont les équations sont les deux équations linéaires constituant le système en question.

Alors (x, y) est la solution.

Exercice 9

On traite ici le cas où on réduit un système d’équation à un système équivalent du type :

} y=ax+b

y= cx+d

Considérons le système

}4x+y=-5 (1)

5x-2y=-16 (2)

On peut écrire (1) comme y = -4x-5

Et écrire (2) comme y = 52 x + 8

x est alors solution de -4x-5 = 52 x +8

D’où -132 x = 13

Donc x=-2

Et alors y= 5-4(-2)= 3.

Le système a pour solution le couple (-2 ;3).


Exercice 2

1) Le couple (x,6) est solution de l’équation x-2y=5 signifie x-2x6=5 d’où x=5+12 d’où x= 17.

2) Le couple (1,y) est solution de l’équation x-2y=5 signifie 1-2y=5 d’où -2y= 5-1

Donc -2y= 4 et alors y= -2.

Exercice 4

Le couple (-2 ;1) est solution du système considéré s’il vérifie les deux équations, on remplace alors x et y dans le système respectivement par -2 et 1 :

Dans la première équation : 2x(-2) +3x(1) = -4+3=-1

Dans la deuxième équation : -2 +5x1=3

On constate bien que le couple (-2 ;1) vérifie les deux équations.


116

Exercice 121) on a x+y=1 donc y=1-x2) On remplace y par 1-x dans la deuxième équation, on obtient : 2x+3(1-x)= 33) De 2) on obtient 2x+3-3x=3 alors -x= 0 d’où x=0 et y= 1-0= 1

Le système a pour solution le couple (0 ;1).

Exercice 181) On multiplie par 2 la première équation du système, on obtient l’équation : 4x+6y=162) On ajoute membre à membre les équations du système obtenu, on obtient :

4x+6y+ (-4x) +y=16+(-2)D’où 6y +y=14 c’est-à-dire 7y= 14 et donc y=2.On remplace y par 2 dans la première équation du système on obtient 2x+3x2=8, d’où on tire 2x=2 et donc x=1La solution du système est donc le couple (1 ;2).

Exercice 21a) Dans le graphe 1 le point d’intersection est le point I(1 ;2). Or ce couple vérifie le système :

} 2x+y=4 x+2y=5

Donc la représentation graphique 1 est celle qui semble permettre de résoudre le système a).b) Dans le graphe 2 le point d’intersection est le point J(-1 ;2). Or ce couple vérifie le système:

}3x-2y=-7 3x+6y=9

Donc la représentation graphique 2 est celle qui semble permettre de résoudre le système c).c) Dans le graphe 3 le point d’intersection est le point K(1 ;-2). Or ce couple vérifie le système:

}-5x-4y=3 -3x+2y=-7

Donc la représentation graphique 3 est celle qui semble permettre de résoudre le système b)

Exercice 27On considère le système : }x2+y2+2y+1 =3 2x2+3(y+1)2=8Puisque = y2+2y+1 = (y+1)2 (première identité remarquable) le système s’écrit ;

}x2+(y+1)2 =3 2x2+3(y+1)2=8On pose a=x2 et b=(y+1)2

Alors le système s’écrit :


117

} a+b=3 (1) 2a+3b=8 (2)On utilise la méthode de substitution ;De l’équation (1) on tire : b=3-aOn remplace b dans l’équation (2) alors on obtient : 2a +3(3-a)=8D’où 2a+9-3a=8 alors –a=-1 et donc a= 1On remplace a par 1 dans l’égalité b= 3-a on en tire b= 3-1= 2.Or a = x2 donc x2 = 1 c’est-à-dire x2-1=0 donc (x-1)(x+1)=0 (troisième identité remarquable)D’où x-1=0 ou x+1=0 d’où x=1 ou x=-1.

On a b= (y+1)2 donc (y+1)2=2 d’où (y+1)2-2=0 c’est-à-dire (y+1)2- (

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

)2=0

((y+1)-

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

))((y+1)+

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

))=0

(y+1-

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

)(y+1+

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

)=0

Donc y+1-

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

= 0 ou y+1+

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

=0

Donc y=-1+

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

ou y = -1-

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

.

Le système a donc pour solution quatre couples (1 ; 1+

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

) ; (1 ; -1-

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

) ; (-1 ;1+

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

) et (-1 ; -1-

36 17 −4 p − 3 ≥ a 25 a 2 = a ( )2 (a + b) = a + b

16 x 2 = 81 50 × 2 = 10 50 + 2 = 2 6

7 2 − 4 2 = 3 2 2 + 1( )2

= 2 2 + 3 3 2 + 5 2 3 2 + 5 3

ab = a b ab

=ab

).

Exercice 32

1) Notons x la longueur et y la largeur du triangle.

Selon les données on a :

} x+y=34

x-y=10

2) résolvons ce système par la méthode de l’élimination par combinaison :

Ajoutons membre à membre les deux équations. On obtient : x+y+x-y=34+10

D’où 2x=44 et donc x=22

On remplace x par 22 dans la première équation on obtient : 22+y=34 d’où y=34-22 =12

Donc le rectangle a pour longueur 22 cm et pour largeur 12 cm

Vérification :

} 22+12=34

22-12=10.

Exercice 32

a) d’après les données des balances qui sont équilibrées :

} a+30=b

2b+30=3a

Ce système s’écrit aussi : } -a+b=30

3a-2b=30


118

b) résolvons le système } -a+b=30

3a-2b=30

par substitution on a b= 30+a on remplace dans la deuxième équation : 3a-2(30+a)=30 d’où 3a-60-2a=30 donc : a=90.

D’où b= 30+90=120.

Finalement une pomme pèse 90 grammes et une poire pèse 30 grammes.

Vérification :

Dans la première balance : dans un plateau il y a une pomme et deux masses marquées de 20 et 10 grammes donc 90 +20+10=120 grammes et dans l’autre plateau une poire qui pèse 120 grammes.

Dans la deuxième balance : dans un plateau il y a trois pommes donc 90 +90+90=270 grammes et dans l’autre plateau deux poires et deux masses marquées de 20 et 10 grammes donc= 120+120+20+10= 270.

QCM pour s’évaluer.Ce QCM permet aux élèves de vérifier leur degré d’acquisition des notions traitées dans la leçon

(concepts, techniques, règles, formules…) : notion d’équation linéaire, de système d’équation linéaire à deux inconnues ; les trois méthodes de résolution (méthode de substitution, méthode d’élimination par combinaison et méthode graphique).



119

Repères didactiquesDans cette leçon les notions d’espace étudiées dans les années précédentes sont consolidées

et enrichies, en particulier les positions relatives des droites et des plans dans l’espace sont traitées.


• Développer la vision dans l’espace ;

• Reconnaître, manipuler, construire des objets de l’espace : solides, droites et plans ;

• Connaître les positions relatives des droites et des plans dans l’espace ;

• Connaître et calculer les aires et les volumes de solides usuels ;

• Agrandir ou réduire une figure et connaître les effets sur les aires et les volumes.

Je vérifie mes prérequisCe QCM vérifie les connaissances des élèves par rapport aux notions qui vont être traitées dans

cette leçon, unités de mesures de volumes et leur conversion, Théorème de Thalès, théorème de Pythagore, volume d’un cylindre.

Activités de découverteActivité 1Dans cette activité on développe la vision dans l’espace et la lecture de solides représentés en

perspective cavalière.1.a) le mur est représenté par le plan (Q)

b) le plan (Q) contient la face EFGH2) a) la face ABCD est parallèle au plan (P)

b) ABFE est parallèle au plan (Q)3.a) Oui le plan (P) est parallèle à la droite (AD), à la droite (AB), à la droite (AC), à la droite (EF).

Par contre il n’est pas parallèle à la droite (BF), à la droite (DF).Le plan (Q) est parallèle à la droite (BF), à la droite (AB), à la droite (EF).Par contre il n’est pas parallèle à la droite (DF), à la droite (AC).

Activité 2Cette activité traite des positions relatives des droites et des plans.A. Droites et plans1.b) Oui tous les points de la droite (AB) appartiennent au plan (P).

La droite (AB) est incluse dans le plan (P).2.b) oui la droite (d) est incluse dans le plan (P).

c) il y a un nombre indéfini de droites parallèles à la droite (AB). Les unes incluses dans le plan (P) d’autres non.

d) oui il y a une infinité de droites passant par le point C et qui ne sont pas parallèles au plan (P). Ce sont des droites qui coupent (P) au point C.

Calcul de volumes, géométrie dans l’espace, agrandissement et réduction15


120

B. Plans parallèles et plans sécants1) les deux plans (P1) et (P2) ne sont pas parallèles, ils se coupent selon une droite.2) le plan (P3) coupe les plans (P1) et (P2)selon deux droites parallèles.3) a) Si les plans (P1) et (P2) sont parallèles alors la droite (d) est perpendiculaire à ces deux plans.

b) Si la droite (d) est aussi perpendiculaire au plan (P2) alors les deux plans (P1) et (P2) sont parallèles.

Activité 3Dans cette activité on aborde la perpendicularité (orthogonalité) des droites, des droites et

plans.1- Droites orthogonales

Dans le cube ABCDEFGH, les droites (AE) et (BC) sont orthogonales non sécantes, de même que (AB) et (FG). Par contre (AB) et (CD) sont non orthogonales, de même que (EH) et (FG)

2- Droites et palns perpendiculaires

2) a) les six droites suivantes sont orthogonales à la droite (HD) : (AB), (AD), (BC), (CD), (EH), (GH).b) (AB) est orthogonale au plan (BGCF) donc les droites (BG) et (CF) sont orthogonales à (AB)c) les droites (DB) et (EG) sont orthogonales car (DB)//(HF) et (HF) et (EG) sont orthogonales

car diagonales du carré EFGH, donc (DB) et (EG) sont orthogonales.d) non car deux droites peuvent être orthogonales à une même troisième sans qu’elles

soient parallèles. Par exemple dans le cube ABCDEFGH, on a les deux droites (AB) et (FB) sont toutes les deux orthogonales avec (BC), mais elles sont sécantes en B.

Activité 4Cette activité traite l’agrandissement et réduction dans le plan et l’espace. A) Dans le plan

1) b) Si on réduit un carré ABCDà l’échelle 14 , le périmètre du carré réduit est 4 fois plus petit

que le périmètre du carré ABCD.

En effet, Si le carré ABCD a pour côté a son périmètre est 4a, et le côté du carré réduit est a4

et son périmètre est alors égal à 4x a4 = a.

L’aire du carré ABCD est a2, et l’aire du carré réduit est ( a4 )2 = a2

16 .

2) a) 2( 15 xa+ 1

5 xb) représente le périmètre du rectangle réduit à l’échelle 15 d’un rectangle

de dimensions a et b.2(a+b) représente le périmètre d’un rectangle de dimensions a et b.15 x2(a+b) représente le 1

5 ème du périmètre du rectangle de dimensions a et b.

b)( 15 xa)x( 1

5 xb) représente l’aire du rectangle réduit à l’échelle 15 d’un rectangle de

dimensions a et b. 15 x 1

5 (ab) est l’aire du rectangle réduit à 125 d’un rectangle de

dimensions a et b.

( 15 xa)x( 1

5 xb) = 15 x 1

5 (ab)= 125ab

B) Dans l’espace

b) n=3x3x3


121

CoursDes activités traitées, l’élève doit retenir :1. Trois points non alignés de l’espace déterminent un plan ;2. Une droite et un plan sont sécants s’ils se coupent en un seul point ;3. Si une droite ne coupe pas un plan on dit qu’ils sont parallèles ;4. Deux plans dans l’espace sont soit parallèles (n’ont pas de points communs ou confondus),

soit ils se coupent selon une droite ;5. Deux droites dans l’espace sont parallèles si elles sont dans un même plan et ne se coupent

pas (la condition « ne pas se couper » n’est pas suffisante pour le parallélisme de deux droites dans l’espace);

6. Si une droite coupe un plan en un point A. Cette droite est perpendiculaire à ce plan si elle est perpendiculaire à toutes les droites de plan passant par A; (Propriété fondamentale : Il suffit que cette droite soit perpendiculaire à deuxcôtés d’un triangle dans ce plan) ;

7. Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l’un est orthogonale à l’autre ;8. Les périmètres et les aires des figures usuelles (disque, triangle, rectangle, carré,

parallélogramme, losange, trapèze)et les volumes des solides usuels (pavé droit, cube, prisme droit, pyramide, cylindre de révolution, cône de révolution).

9. Effet de l’agrandissement ou de la réduction de rapport k sur les longueurs, les aires et les volumes (les longueurs sont multipliées par le rapport k, les aires par k2 et les volumes par k3, alors que les mesures des angles sont conservées.

Exercices résolus

Exercice 1

On travaille ici une la notion de parallélisme dans l’espace.1) ABCDEFGH est un pavé droit. Des exemples de droites passant par E et parallèle au plan

(BCGF) : (EA), (EH), (ED). Evidemment on peut citer un nombre indéfini de ce type de droite (en fait toutes les droites passant par E et incluses dans le plan (ADHE).

2) par exemple les droites (HF) et (AC) ne sont pas sécantes et ne sont pas parallèles. De même que (AD) et (GB) et aussi (AD) et (GH) ainsi que (BC) et (EA)

Exercice2

On travaille ici une la notion d’orthogonalité de deux droites dans les deux cas : les deux droites sont sécantes et les deux droites ne se coupent pas ;

Ainsi dans le cube ABCDEFGH, les droites (AB) et (AD) sont orthogonales et se coupent au point A ; et les droites (AE) et (BC) orthogonales et ne se coupent pas.

Exercice 3

Dans cet exercice on exploite les propriétés de perpendicularité et de parallélisme dans l’espace.

On veut montrer que le triangle MNP est rectangle en M.On a la droite (AE) perpendiculaire aux droites sécantes (AB) et (AD) qui sont incluses dans le

plan (ABD). Donc (AE) est perpendiculaire au plan (ABD).Et puisque les droites (AE) et (MN) sont parallèles, alors la droite (MN) est aussi perpendiculaire

au plan (ABD).


122

La droite (MN) est alors perpendiculaire à toute droite incluse danc ce plan.Or la droite (MP) est incluse dans le plan (ABD).Donc (les droites (MN) et (MP) sont perpendiculaires. Et par conséquent le triangle MNP est rectangle en M.Exercice 4

Dans cet exercice on montre comment on peut se ramener à des configurations dans des plans même si on travaille dans l’espace et dans ces configurations on peut utiliser des techniques et des propriétés étudiées dans le plan (théorème de Pythagore…).

Le plan (MNP) est parallèle à la droite (EF) donc la section (MNPQ) est un rectangle tel que MN=EF=4 cm.

a) Détermination graphique de NP

On trace la face rectangulaire BFGC tel que BC= 2cm et BF=3cm. Puis on place le point N du segment BF tel que FN=1cm et le point P du segment CG tel que CP=0,5cm.

On trace la section MNPQ sachant que c’est un rectangle de longueur MN=4cm et de largeur NP que l’on reporte au compas à partir de la figure précédente.

b) Calcul de NP

Pour calculer NP on travaille avec la face BCFG. On trace un point supplémentaire H permettant de faire apparaître un triangle rectangle d’hypoténuse NP.

H est le point du segment [BF] tel que la droite (PH) est perpendiculaire à la droite (BF).On calcule la longueur HP en constatant que le quadrilatère BCPH est un rectangle. En effet ce

quadrilatère à trois angles droits. Par conséquent : HP=BC= 2cm et BH=CP= 0,5cm.Exercice 5

Dans cet exercice on calcule des distances dans l’espace et on traite l’agrandissement ou la réduction de solides.

1) La pyramide SABCD est régulière donc sa hauteur est le segment [SO].Puisque le triangle ABC est rectangle en BG alors d’après le théorème de Pythagore on a ; AC2 = AB2 +BC2. Donc AC2= 42+42 et alors AC2= 32

D’où AC= 32 = 4 2 4 2

2= 2 2 28 = 2 7

23

× 2 7 =4 7

3

72 = 6 3 6 3

2= 3 3 3 3( )

2 108 = 6 3

12 × 6 3 = 72 3

.

Le point O est le milieu du segment [AC] donc AO=AC2 = 32 = 4 2

4 22

= 2 2 28 = 2 7 23

× 2 7 =4 7

3

72 = 6 3 6 3

2= 3 3 3 3( )

2 108 = 6 3

12 × 6 3 = 72 3

.

SO est la hauteur de la pyramide SABCD donc le triange SOA est rectangle en O et donc d’après le théorème de Pythagore : SA2 = SO2 +AO2.

Donc SO2= 62+(32 = 4 2 4 2

2= 2 2 28 = 2 7

23

× 2 7 =4 7

3

72 = 6 3 6 3

2= 3 3 3 3( )

2 108 = 6 3

12 × 6 3 = 72 3

)2 et alors SO2= 28. D’où SO= 32 = 4 2

4 22

= 2 2 28 = 2 7 23

× 2 7 =4 7

3

72 = 6 3 6 3

2= 3 3 3 3( )

2 108 = 6 3

12 × 6 3 = 72 3

.

2.a) la section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone de même nature que le polygone de base. Donc IJKL est un carré comme la base ABCD de la pyramide ;

b) La pyramide SIJKL est une réduction de la pyramide SABCD. Le rapport de réduction est SISA = 4

6 = 23 .

La hauteur de la pyramide SIJKL est donc égale à 23 x hauteur de la pyramide SABCD.

Donc égale à 32 = 4 2 4 2

2= 2 2 28 = 2 7

23

× 2 7 =4 7

3

72 = 6 3 6 3

2= 3 3 3 3( )

2 108 = 6 3

12 × 6 3 = 72 3

.


123


Exercice 5

Notons a et b les dimensions de la base du pavé et h sa hauteur.

Puisque le triangle ABC est rectangle en B, alors d’après le théorème de Pythagore :

AC2= a2+b2

De même dans le triangle AA’B’ on a : AB’2= a2+h2et dans le triangle CB’C’ on a B’C2=b2+ h2

On a alors AB’2+B’C2= a2+h2+b2+ h2=a2+b2+ 2h2

Par conséquent dans le triangle AB’C on a AC2 est différent de AB’2+B’C2

Ce qui signifie d’après le théorème de Pythagore que le triangle AB’C n’est pas rectangle en B et par conséquent les diagonales (AB’) et (B’C) ne sont pas orthogonales.

Exercice 6

On a ABCDEA’B’C’D’ est un prisme droit. Donc ses quatre faces latérales sont des rectangles dont les diagonales se coupent en leurs milieux. Donc I est milieu du segment [AB’] et J milieu du segment [AC’].

On considère le triangle (A’BC’) on a I milieu d du segment [A’B] et et J est milieu du segment [BC’], donc d’après le théorème de Thalès (propriété des droites de milieu), (IJ) est parallèle au troisième côté qui est (A’C’).On procède de la même façon pour montrer que (KL)// (A’C’) ; (JK) et (IL) parallèles à (B’D’).

On a (IJ) et (KL) sont parallèles à la même droite (A’C’) donc elles sont parallèles : (IJ)//(KL)

Et on a (JK) et (IL) sont parallèles à la même droite (B’D’) donc elles sont parallèles : (IJ)//(KL)

Donc le quadrilatère (IJKL) est un parallélogramme.

Exercice 15

On applique le théorème de Pythagore dans chacun des trois triangles rectangles AOB , AOC et BOC, on a alors :

AB2=AO2 + BO2

AC2=AO2 + CO2

BC2=BO2 + CO2

Considéronsle triangle ABC et calculons tous les cas de la somme des carrés de deux de ses côtés :

On a AB2 + BC2= AO2 + BO2+ BO2 + CO2 = AO2 + CO2+2BO2

AB2 + AC2= AO2 + BO2+ AO2 + CO2 = BO2 + CO2+2AO2

AC2 + BC2= AO2 + CO2+ BO2 + CO2 = AO2 + BO2+2CO2

On constate que dans les trois cas le théorème de Pythagore n’est pas vérifié.

Donc le triangle ABC n‘est pas rectangle.


124

Exercice 16a) le triangle JDC est rectangle en D

Donc l’aire de ce triangle est A = DCxJD2 = 4.

b) puisque I est milieu du segment [AF] et J milieu du segment [DE] alors la droite (IJ) est perpendiculaire avec la droite (DE).

IJ est alors la hauteur de la pyramide IJDC

c) l’aire de la pyramide = 13 x Base x hauteur= 1

3 x 4 x 4= 163 cm3.

Exercice 17a) Le pavé ABCDEFGH est droit donc la droite (CG) est perpendiculaire aux droites (BC) et (CD)

Puisque ces deux droites sont sécantes et incluses dans le plan (ABC) alors la droite (CG) est orthogonale à ce plan. Elle est alors perpendiculaire à toutes les droites de ce plan.

Et puisque la droite (AC) est incluse dans ce plan alors les droites (CG) et (AC) sont perpendiculaires.

Par conséquent : le triangle ACG est un triangle rectangle en G.

b) d’après les données, la droite (II’) est parallèle à la droite (GC). On applique le théorème de Thalès dans le triangle ACG, alors on obtient :GIGA = CI’

CA d’où CI’CA = 1

3 .

Calculons CA.

Le triangle ABC est rectangle en B, alors d‘après le théorème de Pythagore :

AC2= AB2+BC2= 82+62=64+36=100

Donc AC= 10 cm.

D’où CI’3 = 1

3 et alors CI’= 103 .

Exercice 22Puisque O est le centre du cube alors la hauteur de la pyramide est c

2 où c est le côté du cube, et on a la pyramide et le cube ont même base d’aire c2.

Le volume de la pyramide est 13 x base x hauteur = 1

3 x c2 x c 2 = 1

6 c3. Or c3 est le volume du cube.

Finalement : Volume pyramide = 16 volume cube.

Exercice 221) le volume de la pyramide est 1

3 x base x hauteur= 13 x 62 x h= 1

3 x 36 x h=12h.

Calculons la hauteur h de la pyramide (considérons le point O projection de S sur la base).

SO2= SA2+AO2= 92 + AO2


125

Calculons donc AO2.

AO est la moitié de la diagonale AC de la base carré, d’après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en en B : AC2 = AB2+BC2=62+ 62=72

D’où AC =

32 = 4 2 4 2

2= 2 2 28 = 2 7

23

× 2 7 =4 7

3

72 = 6 3 6 3

2= 3 3 3 3( )

2 108 = 6 3

12 × 6 3 = 72 3

.

Et donc AO =

32 = 4 2 4 2

2= 2 2 28 = 2 7

23

× 2 7 =4 7

3

72 = 6 3 6 3

2= 3 3 3 3( )

2 108 = 6 3

12 × 6 3 = 72 3

.

Par conséquent : SO2= SA2+AO2= 92 +

32 = 4 2 4 2

2= 2 2 28 = 2 7

23

× 2 7 =4 7

3

72 = 6 3 6 3

2= 3 3 3 3( )

2 108 = 6 3

12 × 6 3 = 72 3

= 108.

D’où SO=

32 = 4 2 4 2

2= 2 2 28 = 2 7

23

× 2 7 =4 7

3

72 = 6 3 6 3

2= 3 3 3 3( )

2 108 = 6 3

12 × 6 3 = 72 3

.

Finalement le volume de la pyramide est égal à 12h =

32 = 4 2 4 2

2= 2 2 28 = 2 7

23

× 2 7 =4 7

3

72 = 6 3 6 3

2= 3 3 3 3( )

2 108 = 6 3

12 × 6 3 = 72 3 .

2) Le rapport de réduction est K= SESA = 6

9 = 23 .

3) le volume de la pyramide réduite est P1 = ( 23 )3

x volume de la grande pyramide

= 827 x

32 = 4 2 4 2

2= 2 2 28 = 2 7

23

× 2 7 =4 7

3

72 = 6 3 6 3

2= 3 3 3 3( )

2 108 = 6 3

12 × 6 3 = 72 3 = 643

32 = 4 2 4 2

2= 2 2 28 = 2 7

23

× 2 7 =4 7

3

72 = 6 3 6 3

2= 3 3 3 3( )

2 108 = 6 3

12 × 6 3 = 72 3 .

Exercice 26

1.a) le volume du cône de révolution V= 13 x base x huateur = 1

3 x π OM2 x 6= 13 x 32 x 6 =18π.

Une valeur approchée de π est 3,14 donc V = 18x3,14 = 56,52 m3.

V= 56520 dm3

b) on sait que 1dm3 = 1 litre. Donc V= 56520 litres.

Donc V est plus que 10 000 litres.

2.a) pour trouver le temps nécessaire pour remplir le bassin à l’aire de la pompe qui débite 15 litres par seconde il suffit de diviser 56520 par 15.

On trouve : 3768 secondes

b) on sait qu’une heure de temps correspond à 60 minutes x 60 secondes = 3600 secondes. Donc la durée nécessaire pour remplir le bassin est supérieure à 1 heure.

3)a) le facteur de réduction est OEOS.

b) Le volume exacte d’eau contenu dans le bassin est V= OEOS x 56520 litres.


leçon (concepts, techniques, règles, formules…) : parallélisme de droites, de droites et plans, orthogonalité droites, de droites et plans ; volumes des solides usuels ; effet de l’agrandissement ou de la réduction de rapport k sur les longueurs, les aires et les volumes et des angles.



126

Repères didactiquesLes activités relatives au traitement de données permettent de développer des compétences

mathématiques, et plus particulièrement la capacité à communiquer, à représenter et à exercer son esprit critique, participant ainsi à la formation de citoyens éclairés et responsables.

L’objectif est de fournir aux élèves des méthodes, d’une part pour comprendre les informations qu’ils rencontrent dans différents contextes sous la forme de tableaux, de graphiques ou de diagrammes, et d’autre part pour synthétiser et représenter sous une forme adaptée des données chiffrées qu’ils sont amenés à recueillir ou consulter, et en donner des résumés en utilisant quelques caractéristiques simples de statistique descriptive.

En première et deuxième années du collège ont été traitées les notions suivantes : pourcentage; tableau ou d’une représentation graphique de données, diagramme ou d’un histogramme; effectifs et fréquences ;classes d’égale amplitude ; effectifs cumulés, fréquences cumulées et moyenne.

Cette année, les notions de médiane, mode et étendues sont étudiées.


• Exploiter des tableaux, des graphiques pour résoudre des problèmes ;

• Connaître, utiliser et calculer une moyenne, une médiane et un mode ;

• Connaître et utiliser l’étendue.

Je vérifie mes prérequisCe QCM vérifie les connaissances des élèves par rapport à des notions statistiques étudiées au

cours des deux années précédentes ; effectif, fréquence, diagramme en bâtons, moyenne d’une série statistique.


Dans cette activité on introduit la notion de médiane d’une série statistique.

1) On dresse d’abord un tableau des notes avec leurs effectifs

Notes du groupe 1 (13 élèves)

Note 3 4 5 6 12 13 15 19

Effectif 1 3 1 1 1 1 4 1

Statistiques16


127

Notes du groupe 2 (14 élèves)

Note 5 6 7 8 9 12 13 17 18

Effectif 1 2 4 1 1 1 1 1 2

La moyenne du groupe 1 est m1 = ((1x3)+(3x4)+(1x5)+(1x6)+(1x12)+(1x13)+(4x15)+(1x19))

13

m1 = 13013 = 10

La moyenne du groupe 2 est m2 = ((1x5)+(2x6)+(4x7)+(1x8)+(1x9)+ (1x12)+(1x13)+(1x17)+(2x18))

14 m2 = 152

14 = 10,8

2.a) Notes du groupe 1 :

3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 6 ; 12 ; 13 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15 ; 19

La note qui partage cette série en deux séries de même effectif est la note 12.

12 est appelée la médiane de la série des notes du groupe 1.

c) « Dans le groupe 1 il y a environ autant d’élèves qui ont obtenu une note inférieure ou égale à 12 d’élèves qui ont obtenu une note supérieure ou égale à 12 ».

3.a) Notes du groupe 2 :

5 ; 6 ; 6 ; 7 ;7 ;7 ;7 ;8 ; 9 ;12 ; 13 ; 17 ; 18 ; 18.

b) Le nombre des élèves est pair donc il n’y a pas une note qui partage la série en deux séries de même effectif.

c) On peut proposer une note fictive par exemple 7,5qui partage la série en deux séries de même effectif.

Cette note est appelée la médiane de la série des notes du groupe 2.

4) les moyennes des deux groupes sont proches. Mais dans le groupe 2 il y plus d’élèves qui ont obtenu des notes moyennes (moins de 12) que dans le groupe 1.

Activité 2

Dans cette activité on s’exerce sur les notions de moyenne et de médiane de séries statistiques et leurs interprétations pour comparer des séries statistiques, et on introduit la notion d’étendue d’une série statistique.

a) Durée moyenne pour le groupe 1 : m1= (8+3,5+7+4+2,5)

5 = 25

5 = 5

Durée moyenne pour le groupe 2 : m2= (0+6+2+7,5+10+6,5+3)

7 = 35

7 = 5

Durée moyenne pour le groupe 3 : m3= (8+3 ;5+7+4+2,5)5

= 255 = 5

On constate que les moyennes des durées sont égales.

b) Groupe 1 : 2,5-3,5-4-7-8 l’étendue de la série est 8-2,5= 5,5

Groupe 2 : 0-2-3-6-6,5-7,5-10 l’étendue de la série est 10-0= 10


128

Groupe 3 : 2,5-3,5-4-7-8 l’étendue est 8-2,5= 5,5.La médiane de la série du groupe 1 est 4 La médiane de la série du groupe 2 est 6La médiane de la série du groupe 3 est 4 Les durées du groupe 2 sont plus dispersées que celles du groupe 1 et du groupe 3

Pour le groupe 1 le pourcentage des données inférieures ou égales à la médiane est 35 = 60%



Pour le groupe 1 le pourcentage des données supérieures ou égales à la médiane est 35 = 60%



d) l’affirmation de Mehdi est fausse. En fait il devrait dire la moitié au moins …

Activité 3

Dans cette activité on introduit la notion de mode d’une série statistique.1) Cas d’une série à caractère discreta)

La notexi

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Effectif 1 4 1 3 3 4 2 2 8 4 3

Effectif cumulécroissant

1 5 6 9 12 16 18 20 28 32 35

b) le mode est la note qui a la moitié des notes le plus grand effectif donc c’est 14.12 est la médiane de la série car c’est la note telle que au moins sont inférieures à cette note.

c) m= ((1x6)+(4x7)+(1x8)+(3x9)+(3x10)+(4x11)+(2x12)+(2x13)+(8x14)+(4x15)+(3x16))

35m= 413

35 donc m = 11,8.

2) Cas d’une série à caractère continu

1) La classe modale est l’intervalle [10, 15[ car elle le grand effetif 15

2)

Classe de notesxi, xi+1

[1,5[ [5,10[ [10,15[ [15,20[

Centre de classexi+xi+1

23 7,5 12,5 17,5

effectif 4 11 15 5


129

La moyenne de la série est m = ((3x4) +(7,5x11)+(12 ;5)x15+(17,5)x5)

35M= 369,75

35 =10,56.

Activité 4

Cette activité porte sur la moyenne et l’étendue de deux séries.

Organisons d’abord les données dans deux tableaux

Classe A

Nombres de sms envoyés 2 3 4

Effectif 12 10 9

Classe B

Nombre de sms envoyés effectifs 1 8 9

Effectif 23 5 3

a) La moyenne de la série A est mA= ((12x2)+(10x3)+(9x4))

31 = 90

31 =2,9.

La moyenne de la série B est mB= ((1x23)+(5x8)+(3x9))

31= 90

31 =2,9.

On constate que les deux séries ont la même moyenne.

b) La moyenne ne donne aucune idée sur la dispersion de la série

c) L’étendue de la série A est eA= 4-2=3

L’étendue de la série B est eB= 9-1=8

Donc les valeurs de la série B sont plus dispersées que les valeurs de la série A.


1. la moyenne, la médiane, le mode et l’étendue d’une série statistique

2. comment déterminer ces paramètres

3. Utiliser et interpréter ces paramètres.

Exercices résolus

Exercice 1

L’exercice est une activité sur la représentation graphique d’une série statistique à caractère discret à l’aide d’un diagramme en bâton.

Lorsqu’on représente les effectifs de la série, la longueur d’un bâton est proportionnelle à l’effectif correspondant.

Remarque : Ce diagramme nous permet de déterminer facilement le ou les modes de la série.


130

Exercice 2

L’exercice est une activité sur la représentation graphique d’une série statistique à caractère continu à l’aide d’un histogramme.

Lorsqu’on représente les effectifs de la série, la longueur d’une bande est proportionnelle à la fréquence correspondant.

Remarque : Ce diagramme nous permet de déterminer facilement le ou les modes de la série.

Exercice 3

L’exercice est une activité sur le mode et l’étendue d’une série statistique à caractère discret.

1.a) Afin de trouver les modes de cette série, on remplit d’abord le tableau des effectifs :

Nombre d’envois 0 2 5 6 7 8 11

Effectif 8 3 5 3 8 3 5

L’effectif maximum pour les valeurs 0 et 7 du caractère.

Cette série admet donc deux modes 0 et 7.

b) L’étendue de cette série est égale à la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série, c’est à-dire 11-0 =11.

Exercice 4

L’exercice est une activité sur la moyenne d’une série statistique à caractère discret.

Les valeurs de la série sont 3-4-7-9-10

Donc sa moyenne est m= (3+4+7+9+10)5

= 335 =6,6.

Exercice 5

L’exercice est une activité sur la moyenne pondérée d’une série statistique à caractère discret.

Dépenses de Ghita pendant ses vacances

Dépenses en dh 25 30 35 40 50 70

Effectif 3 1 4 1 2 3

La moyenne des dépenses de Ghita est :

m= ((25x3)+(60x1)+(35x4)+(40x1)+(50x2)+(70x3))14

= 59514 = 42,5 dh.

Cette moyenne peut être interprétée comme suit : si Ghita avait dépensé chaque jour la même somme 42,5 dh elle aurait dépensé en tout la somme totale 595 dh qu’elle a dépensée de façon variable pendant chacun des 14 jours.

Exercice 6

L’exercice est une activité sur la médiane d’une série statistique à caractère discret (cas impair).

Valeur 50 45 30 60

Effectif 2 3 2 2


131

Commençons par ranger les valeurs du caractère par ordre croissant, chacune figurant un nombre de fois égal à son effectif :

30- 30- 45- 45- 45- 50- 50- 60- 60.

Ici le nombre est impair N=9, donc la médiane M est la valeur qui est située au milieu c’est-à-dire au 5ème rang donc M= 45.

Exercice 7

L’exercice est une activité sur la médiane d’une série statistique à caractère discret (cas pair).

1)

Valeur 50 45 30 60 61

Effectif 2 3 2 2 1


30- 30- 45- 45- 45- 50- 50- 60- 60- 61.

Ici le nombre est pair N=10, donc la médiane M est le milieu de l’intervalle médian, c’est-à-dire de l’intervalle délimité par les cinquième et sixième valeurs, c’est-à-dire (45,50).

Donc M= (45+50)/2= 47,5.

2)

Valeur 50 45 30 60 61

Effectif 2 3 2 2 3


30- 30- 45- 45- 45- 50- 50- 60- 60- 61- 61- 61.

Ici le nombre est pair N=12, donc la médiane M est le milieu de l’intervalle médian, c’est-à-dire de l’intervalle délimité par les sixième et septième valeurs qui sont les mêmes : 50. D’où l’intervalle médian est (50 ;50). Il est réduit à un point

M= 50.

Remarques :

- la médiane renseigne davantage sur la répartition des valeurs de la série statistique parce qu’elle donne des informations sur les valeurs qui lui sont inférieures et les nombres de valeurs qui lui sont supérieures.

- Si on enlève les deux valeurs extrêmes de la série (la plus petite valeur et la plus grande valeur) la médiane ne change pas parce qu’elle dépend de l’ordre des valeurs de la série.

Par exemples les deux séries :1-9-10-11-13-14-30 et 9-10-11-13-14 ont même médiane M=11.


132


Exercice 2

Puisque avant 12 il y a 5 valeurs, après 12 il doit y avoir 5 aussi donc il manque 3 valeurs (cas impair)

Exercice 3

La moyenne de la série 10-14-9-16-5-x est 11 donc (10+14+9+16+5+x)6

= 11

D’où 54+x =66 d’où x =66-54 alors x= 12.

Exercice 5

a) l’étendue de la série de notes est 20-6=14

b) la moyenne de la classe est :((1x20)+((3x18)+(3x16)+(2x15)+(1x14)+(1x12)+(1x11)+(1x10)+(4x9)+(3x8)+(2x7)+(1x6))

23= 12,1

c) on range les notes dans l’ordre croissant et en répétant chacune autant que son effectif, alors la note 11 se trouve à la 12ème place donc c’est la médiane de la classe.

Cette médiane signifie qu’il y a au moins la moitié des 23 élèves qui ont obtenu une note inférieure à 11 et au moins la moitié des 23 élèves qui ont obtenu une note supérieure à 11.

Exercice 6

a) la valeur la plus fréquente est 3

b) l’étendue de la série est 4-0 = 4

c) l’effectif de 0 est 2, celui de 1 est 4, celui de 2 est3, celui de 3 est 6 et celui de 4 est 5. Donc l’effectif total de la série est 2+4+3+6+5= 20

d) la fréquence de la valeur 4 est : 520 = 25%

e) On range les valeurs dans l’ordre croissanten répétant chacune autant que son effectif :

0-0-1-1-1-1-2-2-2-3-3-3-3-3-3-4-4-4-4-4

Le nombre est pair : 20 on aura donc un intervalle médian, (3,3) qui se réduit au point 3

La médiane de la série est donc égale à 3.

Exercice 10

1) L’étendue de la série est la différence entre le plus grands poids et le plus petit poids qui est égale à 53-42,5=10,5.

2) On range les valeurs dans l’ordre croissant : 42,5-44-45-46,5-46,5-49-50-50-50-51,5-53

On constate que 49 occupe le milieu de la série (la 6ème place) donc c’est la médiane de cette série.


133

Exercice 13

On range les valeurs de chacune des trois séries dans l’ordre croissant :

A : 4-6-8-10-12-14

B : 5-7-7-11-12-15

C : 3-7-9-9-13-13

L’étendue de la série A est 14-4 =10

L’étendue de la série B est 15-5 =10

L’étendue de la série C est 13-3 =10

Les trois séries ont donc toutes pour étendue 10

La médiane de la série A est le centre de l’intervalle médian (8 ; 10) c’est-à-dire 9

La médiane de la série B est le centre de l’intervalle médian (7 ;11) c’est-à-dire 9

La médiane de la série C est le centre de l’intervalle médian (9 ;9) c’est-à-dire 9

La moyenne de la série A est (4+6+8+10+12+14)6

= 549 =9

La moyenne de la série B est (5+7+7+11+12+15)6

= 579 = 9,5

La moyenne de la série C est (3+7+9+9+13+13)6

= 549 = 9

Donc ce sont les séries A et C qui ont pour étendue 10, pour médiane 9 et pour moyenne 9.

Exercice 17

Notons x la plus petite valeur et y la plus grande valeur de la série.

L’étendue de la série = 13 signifie que y-x = 13

La moyenne de la série = 9 signifie que : (x+5+7+8+10+12+13+y)/8= 9

Donc x+55+y=72 d’où x+y =17

Donc on a le système :

}-x+y=13

x+y=17

on résout ce système par la méthode d’élimination par combinaison en ajoutant deux à deux les membres de deux équations :

-x+y+x+y=13+17

2y=30 d’où y =15

Et alors x= y-13=15-13=2.

Finalement, la plus petite valeur de la série est 2 et la plus grande valeur est 15.


134

Exercice 22

Puissancefiscale (CV)

Effectifs Fréquences

4

5

6

7

8

9

43

57

31

15

7

7

43160 =0,27

57160=0,36

31160=0,20

15160=0,09

7160=0,04

7160=0,04

Total 160 1

Diagramme en bâtons des fréquences

0,4

0,3

0,2

0,1

01 2 3 4 5 6

QCM pour s’évaluer.

Ce QCM permet aux élèves de vérifier leur degré d’acquisition des notions traitées dans la leçon (concepts, techniques, règles, formules...) : la moyenne, la médiane, le mode et l’étendue d’une série statistique ; comment déterminer ces paramètres.



135

Bibliographie1. Constructivisme ou socioconstructivisme Gabriel Labédie et Guy Amossé

http://www.schule.suedtirol.it/blikk/angebote/reformpaedagogik/rp701construct.htm2. Théories d’apprentissage etThéories didactiquesCours de master IC2A / Spécialité didactique

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3. Les grands principes de l’apprentissage Stanislas Dehaene Collège de France et Unité INSERM‐CEA de Neuro NeuroSpin Center, Saclay, France http://www.college-de-france.fr/media/stanislas-dehaene/UPL4296315902912348282_Dehaene_GrandsPrincipesDeLApprentissage_CollegeDeFrance2012.pdf

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5. Système mnésique- mémoireshttp://www.noesis-reseau.com/wp-content/uploads/2014/07/5-SYST%C3%88ME-MN%C3%89SIQUE.pdf

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13. De la pédagogie à l’andragogie Hugues Lenoirhttp://www.hugueslenoir.fr/de-la-pedagogie-a-landragogie/

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QUATRIEME ET TROISIEME I.R.E.M. d’Aix-Marseillehttp://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_x/fic/20/20x1.pdf

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26. Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la troisième année, numération et sens du nombre Ontariohttp://atelier.on.ca/edu/resources/guides/GEE_math_M_3_NSN.pdf

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