GRETA de Reims 1

Détermination d’un défaut de rectitude par la méthode des moindres carrés

Exposé de la méthode

x

y

ythi

yi

Droite d'équation :y = a.x + b

Posons ei = yi - ythi

La droite minimise les écarts lorsque chaque ei est minimum.Chaque ei sera minimum quand le carré de leur somme sera minimum.

ei

GRETA de Reims 2

Détermination d’un défaut de rectitude par la méthode des moindres carrés

Exposé de la méthode

x

y

ythi

yi

Droite d'équation :y = a.x + b

i i i

i i i

2 2 2i i i i i i i

N N2 2i i i i i i

i 1 i 1

N N N N N N N2 2 2i i i i i i i

i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1

N2i

i 1

e y ythe y a.x b

e y a².x b² 2.a.x .y 2.b.y 2.a.b.x

e y a².xi² b² 2.a.x .y 2.b.y 2.a.b.x

e y a² x b² 2.a x .y 2.b .y 2.a.b x

e

N N N N N

2 2i i i i i i

i 1 i 1 i 1 i 1 i 1

y a² x N.b² 2.a x .y 2.b .y 2.a.b x

GRETA de Reims 3

Détermination d’un défaut de rectitude par la méthode des moindres carrés

Exposé de la méthode

x

y

ythi

yi

Droite d'équation :y = a.x + b

N N N N N N2 2 2i i i i i i i

i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1

N2i

i 1

N N N2i i i i

i 1 i 1 i 1

N N

i ii 1 i 1

e y a² x N.b² 2.a x .y 2.b .y 2.a.b x

Posons W = e

W sera minimum quand :W W0 et 0a bW 2.a x 2 x .y 2.b x 0aW 2.b.N 2 .y 2.a xb

0

GRETA de Reims 4

Détermination d’un défaut de rectitude par la méthode des moindres carrés

Exposé de la méthode

x

y

ythi

yi

Droite d'équation :y = a.x + b

N N N2i i i i

i 1 i 1 i 1

N N

i ii 1 i 1

W 2.a x 2 x .y 2.b x 0aW 2.b.N 2 .y 2.a x 0b

N N

i i ii 1 i 1

N N N N

i i i i ii 1 i 1 i 1 i 1

2N N N N2 2i i i i

i 1 i 1 i 1 i 1N

ii 1

x .y x

.y N N. x .y x .ya

x x N. x x

x N

GRETA de Reims 5

Détermination d’un défaut de rectitude par la méthode des moindres carrés

Exposé de la méthode

x

y

ythi

yi

Droite d'équation :y = a.x + b

N N N2i i i i

i 1 i 1 i 1

N N

i ii 1 i 1

W 2.a x 2 x .y 2.b x 0aW 2.b.N 2 .y 2.a x 0b

i

i

N N2

i ii 1 i 1

N N N N N N2

i i i i i ii 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1

2N N N N2 2i i i i

i 1 i 1 i 1 i 1N

ii 1

x x .y

x y x . y x x .yb

x x N. x x

x N

GRETA de Reims 6

Détermination d’un défaut de rectitude par la méthode des moindres carrés

Application

x 0 10 20 30 40 50 60 70 80

y 40,01 40,00 40,01 40,02 40,02 40,01 40,02 40,02 40,03

39,98

39,99

40

40,01

40,02

40,03

40,04

x y x² x.y e0 40,01 0 0 0,0044444410 40 100 400 -0,008055620 40,01 400 800,2 -0,000555630 40,02 900 1200,6 0,0069444440 40,02 1600 1600,8 0,0044444450 40,01 2500 2000,5 -0,008055660 40,02 3600 2401,2 -0,000555670 40,02 4900 2801,4 -0,003055680 40,03 6400 3202,4 0,00444444

360 360,14 20400 14407,1Sx Sy Sx2 Sxy9a 0,00025b 40,0055556

def rect 0,015