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12 Cours - Géométrie des masses CPGE MP

18/01/2014 sur 14

Géométrie des masses

Sommaire

Géométrie des masses .................................................................................................................... 1

1 Masse et inertie d’un système ............................................................................................................ 3

1.1 Notions d’inertie. ................................................................................................................................................ 3

1.2 Masse ................................................................................................................................................................. 3

1.3 Centre d'inertie – centre de gravité ...................................................................................................................... 4

1.4 Algorithme de calcul de la position du centre de gravité G d’un système matériel Σ ........................................... 4

1.5 Détermination de la position du centre de gravité G d’un système matériel Σ par la connaissance de volume , de

surface ou de longueur : théorème de Guldin. .................................................................................................................. 6

2 Opérateur d’inertie et matrice d’inertie d’un solide........................................................................... 7

2.1 Moment d’inertie ................................................................................................................................................ 7

2.2 Produit d’inertie.................................................................................................................................................. 7

2.3 Matrice d’inertie ................................................................................................................................................. 8

2.4 Base principale d’inertie – Base centrale d’inertie ............................................................................................... 8

2.5 Simplification par symétrie d’une matrice d’inertie............................................................................................. 9

2.6 Matrices centrales d’inertie de quelques solides élémentaires............................................................................ 10

2.7 Transport et changement de base d’une matrice d’inertie .................................................................................. 11

2.8 Algorithme de calcul d’une matrice d’inertie d’un solide en une point A dans une base b ............................. 12

2.9 Moments d’inertie d’un solide par rapport à un axe quelconque ........................................................................ 14


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EExxeemmppllee ddee ssyyssttèèmmee :: Times Barrier

Le Thames Barrier est un barrage spectaculaire conçu pour protéger la ville de Londres des marées

exceptionnellement élevées qui peuvent remonter de la mer. Sa construction terminée en 1982 a

nécessité 51000 tonnes d’acier et 210000 m3 de béton, ce qui en fait le 2

ème barrage mobile le plus

grand du monde. La structure s’étend sur 520 m de large et est constituée de 10 portes en forme de

secteur angulaire de 20 m de haut. Chaque porte est totalement effacée dans un berceau en béton coulé

au fond de la rivière. En cas de montée des eaux, les portent actionnées par une machinerie

hydraulique, pivotent en position verticale.

Ci-dessous un résumé grossier des différentes parties du programme :

Porte fermée

Porte effacée

dans le berceau

Contrepoids

Porte

Berceau


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1 Masse et inertie d’un système 1.1 Notions d’inertie. Nous savons, par expérience, qu’il est plus « difficile » d’accélérer un camion qu’une moto comme il

est plus « difficile » de le freiner. L’inertie caractérise la résistance qu’oppose un corps par sa nature

propre à une variation de mouvement.

Pour un mouvement de translation, la masse suffit pour définir cette quantité, par contre pour un

mouvement de rotation, il est nécessaire de préciser la répartition de cette masse.

La cinétique est l’étude des caractéristiques d’inertie d’un solide

1.2 Masse Un système matériel est constitué d’un ensemble de points P de masse

élémentaire dm(P ) . La masse du système matériel m (unité kg) est

alors donnée par :

P

m dm(P )

v

P

m (P ) dv

dv est l'élément de volume de , et v (P ) est la masse volumique en P

Pour un solide homogène, la masse volumique v (P ) est constante et dm dv

Remarque : dans le cas des solides modélisés par des surfaces, des lignes ou des points, l'élément de

volume devient respectivement un élément de surface d'aire ds et un élément de ligne de longueur dl,

la masse volumique devenant alors une masse surfacique et une masse linéique. Dans le cas du modèle

point, toute la masse m est concentrée en ce point

La masse est positive et additive pour deux systèmes disjoints :

)()()( 2121 mmm

Nous supposerons que la masse est une grandeur indépendante du temps. Cette propriété

permet d'écrire la relation suivante :

)(.),()().,( PdmtPdt

dPdmtP

dt

d

P RRP

vdm P .dv P

P dv


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1.3 Centre d'inertie – centre de gravité

On appelle centre d’inertie le point GΣ qui vérifie la relation 0)(.

P

PdmPG . On peut alors écrire

0)(.

P

PdmOPOG → P

m .OG OP.dm(P )

(Cette relation est utilisée dans la pratique pour

rechercher GΣ).

Dans la pratique comme on fait l’hypothèse d’un champ de pesanteur constant en tout

point, le centre d’inertie GΣ est confondu avec le centre de gravité G.

1.4 Algorithme de calcul de la position du centre de gravité G d’un système

matériel Σ

Le système (Σ) possède des symétries oui non

Hypothèse : solides homogènes

S’il existe un point de symétrie pour (Σ), G est ce point

S’il existe un axe de symétrie pour (Σ), G est sur cet axe

S’il existe un plan de symétrie pour (Σ), G est dans ce plan

On décompose le système matériel Σ en solides élémentaires Si

Le solide élémentaire (Si) possède des symétries oui non


S’il existe un point de symétrie pour (Si), Gi est ce point

S’il existe un axe de symétrie pour (Si), Gi est sur cet axe

S’il existe un plan de symétrie pour (Si), Gi est dans ce plan

Pour chaque solide élémentaire (Si), on calcule les composantes non déterminées.

On projette )(

..

iS

ii dmOPOGm sur les axes choisis :

→ )(

..

i

i

S

pGi dmxxm → )(

..

i

i

S

pGi dmyym → )(

..

i

i

S

pGi dmzzm

On utilise la formule du barycentre i

itot iOGmOGM .. projetée sur les axes choisis :

→ i

GiiGtot xmxM .. → i

GiiGtot ymyM .. → i

GiiGtot zmzM ..

Ces relations sont transposables pour la vitesse et surtout pour l’accélération.


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Application : Recherche du centre de gravité sur une porte du Times Barrier

Longueur porte : L = 58m Rayon : R = 12,4m

Épaisseur tôle : e = 0,05m (considéré négligeable devant R)

Masse volumique porte : ρ = 7800 km/m3

α = π/3

α x

y

z

R

L

O

On cherche les coordonnées du centre de gravité G du système Σ par

rapport au point O tel que zzyyxxOG GGG

... .

Le système possède 2 plans de symétrie perpendiculaires, le centre de

gravité est sur la droite intersection des 2 plans de symétrie.

→ zG 2

L et xG = 0

On décompose le système en solides élémentaires (les solides élémentaires possèdent les deux mêmes

plans de symétrie identifiés précédemment).

α x

y

z

R

L

O

+

α x

y

z

R

L

O

α x

y

z

R L

O

Solide 1 ayant pour

centre de gravité G1

Solide 2 ayant pour


Il y a un plan de symétrie

supplémentaire sur le solide

1.

→ Il y a 3 plans de symétrie

perpendiculaires le centre

de gravité de S1 est à :

cos.1 RyG

(si e est considéré comme

négligeable et on connait

déjà les coordonnées de G1

sur x

et z

).

Il n’y a pas de plan de symétrie supplémentaires pour le solide 2.

On utilise la définition )(

..

iS

ii dmOPOGm que l’on projette sur l’axe y

(On connait déjà les coordonnées de G2 sur x

et z

) :

dm

α

x

y

R

O

P

yP

)2(

22 ..S

pG dmyym avec

)..2.(..2 RLem et dRLedm ....

RdRyR G .cos....2 2

sin..2...2 2

2 RyR G

sin.2 RyG

On utilise enfin la formule du barycentre i

itot iOGmOGM .. que l’on projette sur l’axe y

:

i

iiGtot ymyM .. → 221121 ..).( GGG ymymymm avec )sin..2.(..1 RLem et )..2.(..2 RLem

sin

)cos1.(sin..

)sin..2.(..)..2.(..

sin.)...2.(..cos.).sin..2.(..

)(

..

21

2211

R

RLeRLe

RRLeRRLe

mm

ymymy GG

G


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1.5 Détermination de la position du centre de gravité G d’un système matériel Σ

par la connaissance de volume , de surface ou de longueur : théorème de

Guldin. Connaissance d’une surface balayée par une courbe

Soit une courbe (C ) de longueur L contenue dans un plan (O, z, x) ne coupant pas l'axe (O, z) .

Soit (S) la surface engendrée par la rotation de cette courbe autour de l'axe (O, z) .

Recherche du centre d'inertie de (C ) :

C

m.OG OP.dm avec m = L et dm = dL

(en supposant une masse linéique constante).

C

L.OG OP.dL

En projection sur (O, x ) : G

C

L x x.dL

Calcul de la surface de révolution

S

S x d dL [ 0, ] C

d x dL

LGS= x L

Connaissance d’un volume balayé par une surface

Soit une surface (S ) d'aire S contenue dans un plan (O, z, x ) ne coupant pas l'axe (O, z ) .

On cherche à calculer le volume engendrée par la rotation de cette surface autour de l'axe (O, z ) .

Recherche du centre d'inertie de ( S ):

S

m.OG O M.dm avec m = S et dm = dS

(en supposant une masse surfacique constante).

S

S.OG O M.dS

En projection sur (O, x ) : G

S

S x x.dS

Calcul du volume de révolution

V

V x d dS [ 0, ] S

d x dS

SGV= x S

O

dL x

xG G

x y

z

S

P

x.d

d

O

dS

x

xG

P

G

z

y x

V S

x.d


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2 Opérateur d’inertie et matrice d’inertie d’un solide La masse suffit pour caractériser l’inertie dans le cas d’un mouvement de translation.

La masse m ne permet pas à elle seule de caractériser la difficulté de mettre un solide en

mouvement de rotation ou de l’en empêcher…

On a besoin de connaître la façon dont cette masse est répartie sur le solide.

Les moments et produits d’inertie caractérisent cette répartition.

2.1 Moment d’inertie Le moment d’inertie par rapport à un point, caractérise la répartition de la masse autour du point.

Plus il est grand, plus la matière est éloignée du point, et plus il sera difficile de mettre le solide en

rotation autour de ce point.

Il en est de même pour des moments d’inertie par rapport à un axe ou un plan.

Moment d’inertie du solide par rapport à un point O : 2 2 2 2

OI ( ) r dm ( x y z ) dm

Unité : kg/m2

Moment d’inertie du solide par rapport à un axe : 2 2

(O,x )

2 2(O,y )

2 2(O,z )

I ( ) A ( y z ) dm

I ( ) B ( x z ) dm

I ( ) C ( x y ) dm

Moment d’inertie du solide par rapport à un plan : 2

(O,x,y )I ( ) z dm

2(O,x,z )I ( ) y dm

2(O,y,z )I ( ) x dm

Propriétés :

O (O,x,y ) (O,x,z ) (O,y,z ) (O,x ) (O,y ) (O,z )

1 1I ( ) I ( ) I ( ) I ( ) I ( ) I ( ) I ( ) A B C

2 2

2.2 Produit d’inertie Le produit d’inertie caractérise l’absence de symétrie dans la répartition des masses.

Ils vont créer des effets de « balourd » perpendiculaires à l’axe autour duquel on souhaite faire tourner

le solide.

Produit d’inertie du solide par rapport à un plan :

(O,y ,z )

(O,x,z )

(O,x,y )

P ( ) D y z dm

P ( ) E x z dm

P ( ) F x y dm

r

P ()

O

P

x

y

z

O

P(x,y,z)


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2.3 Matrice d’inertie La matrice d’inertie du solide permet de caractériser la répartition de la matière d’un solide autour

d’un point (ici O) et dans une base donnée ( x,y,z) .

O

O b

A F E

I F B D

E D C

( )

( ) matrice d’inertie du solide en O dans une base b .

Au concours les calculs des éléments de la matrice d’inertie par les formules ci-dessus

ne donnent pas lieu à évaluation (ils sont donnés en fait). Seule la relation entre la forme

de la matrice d’inertie et la géométrie de la pièce est exigible.

Une matrice d’inertie dépend de la base et du point de calcul, il est donc important de

préciser ces données

2.4 Base principale d’inertie – Base centrale d’inertie Pour tout point O, la matrice d’inertie est symétrique. Il existe donc un système de trois vecteurs

propres orthogonaux deux à deux formant une base. Dans cette base, appelée base principale d’inertie

au point O, la matrice est diagonale (les produits d’inertie D, E, F sont nuls).

Dans la base b ),,( zyx

: O

O b

A F E

I S F B D

E D C

( )

( )

Dans la base principale d’inertie bP ),,( PPP zyx

au point O :

P

P

O P

PO b

A

I S B

C

( )

0 0

( ) 0 0

0 0

),( PxO

, ),( PyO

et ),( PzO

sont les axes principaux d’inertie de au point O.

AP, BP, CP sont les moments principaux d’inertie de () au point O. Ils sont de plus minima.

Si O est centre de gravité de S, alors ),( PxO

, ),( PyO

et ),( PzO

sont axes centraux

d’inertie de () et bP la base centrale de ().


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2.5 Simplification par symétrie d’une matrice d’inertie Si le plan (O,x,y ) est plan de symétrie matérielle,

alors les produits d'inertie D et E sont nuls.

En effet pour tout point M1 S, M2 S tel que

y, yz1 + yz2 = 0 d'où D y z dm 0

De même x, z1x + z2x =0 E x z dm 0

Conséquence : L'axe oz est alors axe principal d'inertie.

(O, x, y, z)

(O,S)

A -F 0

-F B 0

0 0 CO

I

Si deux plans sont plans de symétrie parmi les trois plans

(O,x,y ) , (O,x,z) , (O,y,z) alors D = E = F = 0

Le repère (O,x,y,z) est alors repère principal d'inertie. (x, y, z)

(O,S)

A 0 0

0 B 0

0 0 CO

I

Si (O,z) est axe de révolution

D = E = F = 0 et de plus A = B

La matrice est inchangée pour tout changement de base par rotation

autour de (O,z) .

en effet : 2 2x dm y dm

la direction de l'axe du plan (O,x,y ) .

(x, y, z)

(O,S)

A 0 0

0 A 0

0 0 CO

I

par ailleurs, 2 2 2C ( x y ) dm r dm

les calculs s'effectuent alors souvent en coordonnées polaires

Si S est une plaque d'épaisseur négligeable dans le plan (O,x,y )

Alors D et E sont nuls

z étant négligeable 2A y dm

et 2B x dm

C= A+B

(x, y, z)

(O,S)

A -F 0

-F B 0

0 0 A + BO

I

M2

O

(S)

x y

z

M1 x y z

x y -z

M

O

(S)

y

z

x

O

y x

M

z

(S)


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2.6 Matrices centrales d’inertie de quelques solides élémentaires

Parallélépipède

b + h

a + h

a + b

(x, y, z)

(G,Parallelepipède)

0 0

0 0

0 0

2 2

2 2

2 2

G

m12

m12

m12

I

Cylindre creux

R + r h

R + r h

R + r

(x, y, z)

(G,Cynlindre creux)

0 0

0 0

0 0

2 2 2

2 2 2

2 2

G

m m4 12

m m4 12

m2

I

Sphère creuse

R - r

R - r

R - r

R - r

R - r

R - r(x, y, z)

(G,Sphère creuse)

0 0

0 0

0 0

5 5

3 3

5 5

3 3

5 5

3 3

G

2m

5

2m

5

2m

5

I


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2.7 Transport et changement de base d’une matrice d’inertie

O

O b

A F E

I F B D

E D C

( )

( )

Théorème de Huygens

Méthode globale

A G AI I I m G ( ) ( ) ( )

Besoin : exprimer la matrice

d’inertie en un autre point

Besoin : exprimer la matrice

d’inertie dans une autre base

Changement de base

0x

0y

0z

A

S

G

0x

0y

0z

Matrice d’inertie

de en A

Matrice d’inertie

de en G

Matrice d’inertie en A en

considérant que toute la

masse est concentrée en G

S

0x

0y

1x

1y

θ

A

On définit une matrice de passage de

la base b vers la base b1

1( )

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

b bP

A b b A b bb bI P I P

1 1

1( ) ( )1( ) . ( ) .

Sur la matrice de passage

det(P)=1 → 1 1

1( ) ( )

Tb b b bP P

000 ... zzyyxxAG GGG

G G G G G G

A G G G G G G

G G G G G GO b

y z x y x z

I m G m x y x z y z

x z y z y x

2 2

2 2

2 2

( )

( ) . .

( ) . . ( ) .

. . ( )

Quelques règles importantes à respecter pour éviter tout écueil :

Avant tout calcul, définir la forme simplifiée de la matrice → choisir le point et le repère où l’on exprimera la matrice sous sa forme la plus simple.

Avant de multiplier ou d’additionner 2 matrices, vérifier qu’elles soient exprimées dans une même base et au même point.

Pour appliquer le théorème de Huygens, les deux repères doivent être parallèles et il

s’écrit entre un point A quelconque et le centre de gravité G (AG) et non entre deux

points quelconques du solide.

Le changement de base est une démarche qui prend du temps et elle ne doit être entreprise qu'après mûre réflexion, seulement si elle est vraiment nécessaire.

Si l’on souhaite déterminer un seul moment d’inertie par rapport à un axe d’une autre

base, on n’appliquera pas la méthode de changement de base, mais le calcul

( ) . ( ).AI S i I S i (voir paragraphe 3)


18/01/2014 sur 14

2.8 Algorithme de calcul d’une matrice d’inertie d’un solide en une point A dans

une base b

Le système (Σ) possède des symétries oui non


Si un axe de la base b est axe de symétrie → cet axe est principal d’inertie

Si le système Σ a un plan de symétrie dans la base b → l’axe au plan de symétrie est

axe principal d’inertie

Si le système Σ a deux plans de symétrie dans b → la matrice d’inertie est diagonale

On décompose le système matériel Σ en solides élémentaires Si

Le solide élémentaire (Si) possède des symétries oui non

Utilisation des symétries pour Si (comme ci-dessus)

Pour chaque solide élémentaire (Si), on détermine la matrice d’inertie.

En un point privilégié Gi

Dans une base privilégiée bi liée à Si

Pour chaque solide élémentaire (Si), on ramène la matrice d’inertie au point A dans la base b

Transport de Gi → A (Huygens) : ( ) ( ) ( )i

A i G i A i iI S I S I m G

Changement de base bi → b : 1( ) . ( ) .i

A i b A i bI S P I S P

( )i

G iI S

( )A iI S

On assemble les matrices toutes écrites au même point et dans la

même base : ( ) ( )A A ii

I I S


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Application : Détermination de la matrice d’inertie en A de la porte du barrage Times Barrier

Longueur porte : L = 58m Rayon : R = 12,4m

Épaisseur tôle : e = 0,05m (considéré négligeable devant R)

Masse volumique porte : ρ = 7800 km/m3

α = π/3

α x

y

z

R

L/2

O A

L

Le système Σ possède 2 plans de symétrie perpendiculaires → la

matrice est diagonale.

On décompose le système en solides élémentaires (les solides élémentaires possèdent les deux mêmes

plans de symétrie identifiés précédemment).

+ α

x

y

z

R

L

A

Solide 1 de masse m1

ayant pour centre de

gravité G1

Solide 2 de masse

m2 ayant pour


α x

y

z

R

L/2

O A

L

α x

y

z

R

L/2

O A

L G1

G2

l = 2.R.sinα

La matrice d’inertie de la plaque S1 en G1

est une matrice élémentaire simple bien connue :

G

G b

A

I S B

C

1

1

1

1 1

1 ( )

0 0

( ) 0 0

0 0

avec :

12

. 2

11

LmA ;

12

).( 22

11

lLmB

et

12

. 2

11

lmC

La matrice d’inertie du solide S2 en G2 est :

G

G b

A

I S B

C

2

2

2

2 2

2 ( )

0 0

( ) 0 0

0 0

Où les termes A2, B2 et C2 sont des termes à

calculer à partir des définitions données

paragraphe 2.2.

On doit ensuite transporter à l’aide du théorème de Huygens les 2 matrices en A pour les assembler.

11 1 1 1( ) ( ) ( )A G AI S I S I m G avec :

G

A

GA b

m y

I m G

m y

21 1

1 1

21 1 ( )

. 0 0

( ) 0 0 0

0 0 .

G

A

GA b

A m y

I S B

C m y

21 1 1

1 1

21 1 1 ( )

. 0 0

( ) 0 0

0 0 .

22 2 2 2( ) ( ) ( )A G AI S I S I m G avec :

G

A

GA b

m y

I m G

m y

22 2

2 2

22 2 ( )

. 0 0

( ) 0 0 0

0 0 .

G

A

GA b

A m y

I S B

C m y

22 2 2

1 2

22 2 2 ( )

. 0 0

( ) 0 0

0 0 .

→ Au final on obtient : 1 2( ) ( ) ( )A A AI I S I S


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2.9 Moments d’inertie d’un solide par rapport à un axe quelconque

Soit un solide S de masse m en mouvement par rapport à

un repère ),,,( 00000 zyxOR

.

Soit un axe (Δ) définit par le point A et le vecteur unitaire

i

. Un point P de S se projette en H sur (Δ).

Le moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe (Δ)

est le scalaire positif 2( ) .

S

I S PH dm .

0x

0y

0z

O0

S

i

P

A

H

α

(Δ)

(ΔG)

Si on connait la matrice d’inertie du solide S au point A dans la base R0 on peut calculer

( )I S en utilisant la relation ( ) . ( ).AI S i I S i

Dans le cas d’un moment d’inertie par rapport à un axe quelconque, le théorème de Huygens

devient 2( ) ( ) .GI S I S mPH

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