Premières S Jeudi 19 décembre 2013

Devoir de Mathématiques n° 3 (3 heures)

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Exercice 1 : ( 5 points)

1) Dans une usine, on fabrique et on vend un colorant. Le coût total de fabrication de x litres de ce colorant est donné par :

C ( x )=0,02 x2+8 x+500 , pour x∈ [ 0 ;500 ] .

Le coût C (x) est exprimé en euros.

a) Quel est le montant du coût fixe (c'est-à-dire le coût alors qu’aucun litre de colorant n’est fabriqué) ?

b) Déterminer par le calcul le volume x pour lequel le coût total est égal à 4700 € .

2) L’usine fabrique 360 litres.

a) Quel est le coût de fabrication de ces 360 litres ?

b) Chaque litre est vendu 17,5 € . Quelle est la recette (c'est-à-dire le montant total de la vente) associée à la vente de ces 360 litres ? On notera R(360) cette recette.

c) Calculer le bénéfice (c'est-à-dire la différence Recette - Coût) que procure la fabrication et la vente de 360 litres. On notera B(360) ce bénéfice.

3) L’usine fabrique et vend x litres avec x∈ [ 0 ;500 ]. On appelle p le prix de vente (en euros) d’un litre. Dans cette question, p=17,5.

a) Quelle est la recette R(x ) associée à la vente de ces x litres ?

b) Exprimer en fonction de x le bénéfice B (x ) que procure la fabrication et la vente de x litres de colorant et vérifier que B (x )=−0,02 x2+9,5 x−500.

c) Déterminer par le calcul le volume de colorant à fabriquer et à vendre pour que l’entreprise réalise un bénéfice strictement positif.

4) Soit les fonctions f et g définies sur [ 0 ;500 ] par :

f ( x )=0,02 x2+8 x+500et

g ( x )=17,5 x

a) Tracer sur la feuille annexe à rendre avec la copie les courbes C f et Cg représentant respectivement les fonctions f et g.

b) Expliquer comment on peut retrouver graphiquement la réponse à la question 3) c).

5) Dans cette question, on ne connait pas la valeur de p, mais on sait que l’entreprise réalise un bénéfice maximal lorsqu’elle fabrique et vend 300 litres de colorant. Calculer p.

1

Exercice 2 : ( 5 points)

1) Dans une entreprise A les salaires nets mensuels en euros des 100 salariés se répartissent de la façon suivante :

Salaire (€) 1200 1600 2000 2400 2800 3200 23200Effectif 28 36 18 10 4 3 1

a) Déterminer le salaire médian M A.b) Calculer l’écart interquartile.c) Dessiner le diagramme en boîte sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.d) Calculer le salaire moyen x A.e) Calculer l’écart-type σ A des salaires. Arrondir au centime.

2) Dans une entreprise B les salaires nets mensuels en euros des 71 salariés se répartissent de la façon suivante :

Salaire (€) 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600Effectif 17 17 19 12 3 2 1

a) Déterminer le salaire médian M B.b) Calculer l’écart interquartile.c) Dessiner le diagramme en boîte sur la feuille annexe, en-dessous du diagramme précédent.d) Calculer le salaire moyen xB. Arrondir au centime.e) Calculer l’écart-type σ B des salaires. Arrondir au centime.

3) Comparer les salaires entre les entreprises A et B à l’aide de critères de votre choix. Justifier.

Exercice 3 : ( 5 points)

Deux poteaux verticaux de hauteurs respectives 10 mètres et 15 mètres représentés par les segments [ AC ] et [ BD ] sont espacés de d mètres. On a donc d=AB. Deux câbles partant des sommets sont reliés au pied de l’autre poteau. Les câbles sont assez tendus pour être représentés par les segments [ AD ] et [ BC ] qui se croisent en I . A la verticale du point I , sur le sol, se trouve le point S. On note h la hauteur du point de croisement des deux câbles.

Partie A

1) Dans cette partie, d=30 m et on choisit comme repère ( A , i⃗ , j⃗ ) de façon à avoir B (30;0 ) et C (0 ;10 ).a) Donner les coordonnées du point D.b) Déterminer une équation des droites ( AD ) et ( BC ).

2) Calculer les coordonnées du point I .

3) En déduire la hauteur h à laquelle les câbles se croisent.

Partie BDans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

2

Si la distance d entre les poteaux augmente au-delà de 30 m, en supposant que les câbles soient toujours assimilables à des segments de droites, la hauteur h du point de croisement augmente-t-elle aussi ?

Exercice 4 : ( 3 points)

On considère la fonction f définie sur I=[−6 ;6 ] et dont la

représentation graphique est donnée ci-contre.

Dans chacun des cas suivants, dresser le tableau de variation de la fonction proposée, en le justifiant.

1) La fonction f −4 sur l’intervalle [−4 ;0 ] .

2) La fonction −f sur l’intervalle [−6 ;−2 ] .

3) La fonction 5 f sur l’intervalle [ 0 ;2 ] .

4) La fonction 1f sur l’intervalle [−6 ;0 ] .

5) La fonction √ f sur l’intervalle [−6 ;0 ] .

6) La fonction 1√ f

sur l’intervalle [−6 ;0 ] .

Exercice 5 : ( 2 points)

On considère l’algorithme suivant :

Déclaration des variables :

x et y sont des réels.

Début d’algorithme

Saisir x

Si x+1>0Alors

y prend la valeur x+1Sinon

y prend la valeur −x−1

FinSi

Afficher y

Fin d’algorithme

1) Que donne l’algorithme avec les valeurs suivantes :

x=−3 ; x=−1 ; x=5?

2) Donner, à l’aide d’une valeur absolue, l’expression f (x) de la fonction f décrite par l’algorithme ci-

dessus.

3

3) Déterminer les réels x tels que l’algorithme affiche 8.

4

NOM : ……………………………………. Classe :…………… ANNEXE de l’exercice 1 A rendre avec la copie

5

NOM : …………………………………………….

Classe :…………………..

ANNEXE de l’exercice 2

A rendre avec la copie

6