Gestion d'Une File d'Attente.

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Généralités sur la file d’attenteEtude des lois1. La loi des arrivées2. La loi des services3. Exercice- Etudes des arrivées- Etudes des servicesCas et applications• Cas d'un seul guichetParamètres et formulesExercices• Cas à plusieurs guichets.Paramètres et formulesExercices• Optimisation du nombre de guichets

Transcript of Gestion d'Une File d'Attente.

  • GESTION DUNE FILE DATTENTE

    Naima Lgarch

    Ralis PAR :

  • 2

    Sommaire

    Introduction3

    I. Gnralits sur la file dattente..3

    1. Dfinition....3

    2. Histoire de la file dattente....3

    3. Types de files d'attente....3

    4. Types de systmes de files dattente4

    5. La thorie des files d'attente.4

    II. Etude des lois..5

    1. La loi des arrives..5

    2. La loi des services..5

    3. Exercice.5

    - Etudes des arrives.....5

    - Etudes des services...7

    III. Cas et applications...8

    Cas d'un seul guichet.....8

    Paramtres et formules...8

    Exercices....10

    Cas plusieurs guichets......11

    Paramtres et formules.....11

    Exercices....12

    Optimisation du nombre de guichets..13

    Dfinition...13

    Exemple.....13

    Exercices.......15

    Conclusion....17

    Bibliographie/ Webographie...17

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    Introduction

    Les phnomnes dattente sont hlas dobservation courante dans la vie quotidienne. Quand nous nous rendons la poste, la gare, la banque, bien souvent nous devons " faire la queue " pour obtenir des timbres, un billet, de

    largent, dans la plupart des modles on suppose que la rgle de priorit est : premier entr, premier servi (PEPS). Cest la rgle la plus communment utilise dans les entreprises de services ; elle procure aux clients un sentiment de justice, bien quelle pnalise les clients dont le temps de service est court. Elle est applique dans les banques, les magasins, les cinmas, les restaurants, les intersections avec arrt obligatoire, les contrles douaniers, etc.

    Certains systmes ne sen servent pas : les salles durgence des hpitaux, en gnral, utilisent trois niveaux de priorit (les cas graves tant traits en priorit) ; les usines traitent les commandes urgentes et les ordinateurs

    centraux traitent les tches par ordre dimportance. Certains clients devront donc attendre plus longtemps, mme sils sont arrivs plus tt.

    I- Gnralits sur la file dattente

    1. Dfinition Une file d'attente, ou une queue, est un regroupement d'individus attendant de manire organise dtre servis,

    lexclusion de celui qui est en train de se faire servir. Les files d'attente rsultent d'une demande suprieure la

    capacit d'coulement d'une offre (un bien ou un service). En principe, elles n'influent pas sur le cot de cette offre.

    Sur les routes, les files d'attente sont appeles des bouchons. Cette notion fait l'objet dune branche du calcul des

    probabilits, la Thorie des files d'attente, utilise aussi bien en logistique quen informatique.

    2. Histoire des files dattentes Les files d'attente ont vraisemblablement pour origine la gestion de la pnurie de vivres au sein d'une

    communaut. Ce fut encore le cas durant la Seconde Guerre Mondiale dans les pays occups o fut impos une

    conomie de rationnement. Les files d'attente devant les magasins d'alimentation furent galement une ralit

    quotidienne dans certains pays communistes.

    De nos jours, les files d'attente se rencontrent pour l'accs des services lorsqu'il y a un manque d'agents pour

    y rpondre, ou pour des manifestations sociales ou culturelles trs prises, comme des matches de football, des

    expositions, des concerts, des sorties de films, voire des mises en vente de produits manufacturs... Dans des cas

    extrmes, il arrive que les individus les plus passionns patientent plusieurs heures ou plusieurs jours avant

    l'vnement non seulement afin d'tre certains de pouvoir y participer, mais aussi afin de pouvoir tre parmi les

    premiers sinon le premier y participer.

    3. Types de files dattente On distingue 4 types de files dattente :

    Files spares : une file par guichet (par exemple, aux caisses des supermarchs) ; ce systme a l'inconvnient de gnrer des frustrations lorsque certaines files sont plus rapides que d'autres, ou lorsqu'un guichet

    supplmentaire s'ouvre, permettant aux derniers de passer les premiers ;

    File distribue ou mutualise : une seule file alimente plusieurs guichets ;

    File virtuelle : une prise de ticket permet de conserver l'ordre d'arrive, sans avoir faire la queue physiquement ; par exemple, les personnes peuvent s'asseoir en attendant leur tour ;

    File virtuelle mobile : les nouvelles technologies permettent maintenant de prendre rang par internet ou par tlphone, et d'tre prvenu par SMS lorsque son tour approche, le temps d'attente ne ncessitant plus une

    prsence physique ;

    File prioritaire : des files plus rapides peuvent tre cres, par exemple pour les personnes ayant un handicap, ou pour les personnes ayant une carte de fidlit ; parfois, des files prioritaires payantes peuvent tre proposes.

  • 4

    4. Type de systmes de file d'attente On nomme systme dattente lensemble des clients qui font la queue, y compris celui qui se fait servir.

    En gnral Les systmes de files dattente fonctionnent avec serveur unique ou serveurs multiples. Les

    exemples de systmes de files dattente avec serveur unique sont nombreux : les petits magasins avec une seule

    caisse, tels que les dpanneurs, certains cinmas, certains lave-autos et tablissements de restauration rapide avec

    guichet unique. Les systmes multiples serveurs sont les banques, les billetteries daroports, les garages et les

    stations-service.

    On distingue quatre types de systmes de files dattente :

    5. La thorie des files d'attente La thorie des files d'attente est une thorie mathmatique relevant du domaine des probabilits, qui tudie

    les solutions optimales de gestion des files dattente, ou queues. Une queue est ncessaire et se crera d'elle

    mme si ce n'est pas anticip, dans tous les cas o l'offre est infrieure la demande, mme temporairement.

    Elle peut sappliquer diffrentes situations : gestion des avions au dcollage ou latterrissage, attente des

    clients et des administrs aux guichets, ou bien encore stockage des programmes informatiques avant leur

    traitement. Ce domaine de recherches, n en 1917, des travaux de lingnieur danois Erlang sur la gestion des

    rseaux tlphoniques de Copenhague entre 1909 et 1920, tudie notamment les systmes darrive dans une

    queue, les diffrentes priorits de chaque nouvel arrivant, ainsi que la modlisation statistique des temps

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    dexcution. C'est grce aux apports des mathmaticiens Khintchine, Palm, Kendall, Pollaczek et Kolmogorov

    que la thorie s'est vraiment dveloppe

    II- Etude des lois

    Prenons le cas le plus simple o il ny a quune file dattente et un service. Les clients arrivent au hasard dans la file dattente et passe dans le service selon un temps alatoire. On peut prendre lexemple dune ville possdant une station essence : les personnes viennent alatoirement et sont servis plus ou moins longuement selon leur besoin. Dans une file dattente le nombre des arrives suit une de poisson et la dure du service suit une loi exponentielle.

    1. La loi des arrives Dfinition de la loi de Poisson

    Un processus de comptage {N(t), t>=0} est un processus de Poisson avec paramtre > 0 si (1) N(0)=0

    (2) les incrments de {N(t),t>=0} sont indpendants

    (3) le nombre d'vnements dans l'intervalle (s,s+t) obit la loi de Poisson :

    L'exprience montre que gnralement, le nombre d'arrives dans une file d'attente suit une loi de Poisson. La probabilit prcdente reprsente donc la probabilit de ralisation de n vnements

    pendant la dure t+s. Dans le cadre des files d'attente, cette loi nous permet donc d'estimer la dure

    entre deux arrives conscutives.

    2. La loi des services Dfinition de la loi exponentielle

    Une variable alatoire (v.a) continue X suit une loi exponentielle avec paramtre > 0 si sa densit de probabilit est donne par :

    ou si sa fonction de rpartition de probabilit est donne par :

    Cette loi permet d'estimer le temps qu'une personne passe au service (guichet). Dans

    cette loi, on peut clairement identifier que est le nombre de clients servis par unit

    de temps et donc que 1/ est le temps moyen que passe un client au guichet.

    3. Exercice

    - Etude des arrives

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    A cent reprises, conscutives ou non, mais prises dans la priode stationnaire, on relve la dure du service,

    c'est--dire le temps pass par un client au guichet.

    Supposons que les rsultats obtenus soient les suivants :

    La moyenne de cette loi de distribution est facile calculer :

    L'emploi d'un test statistique va permettre de vrifier si la loi observe se rapproche d'une loi thorique

    classique, en l'espce de celle de Poisson. La formule :

    ,

    permet de calculer les frquences thoriques d'une loi de Poisson de moyenne 1,26 ; ce sont cent fois les

    valeurs : (cette dernire

    probabilit est en ralit la diffrence entre 1 et la somme des autres ).

    Employons, par exemple, le test du de Pearson, qui s'applique des classes dans lesquelles le nombre

    d'vnements attendus est de l'ordre de 5 (il nous suffira de regrouper les deux dernires classes pour satisfaire

    grossirement cette exigence).

    Ce test consiste calculer les carrs des diffrences entre les frquences thoriques de la loi vrifier et les

    frquences observes, puis diviser chacun de ces carrs par la frquence thorique de la classe laquelle les

    frquences sont relatives.

  • 7

    Le nombre de degrs de libert du systme est d = c - 1 - p, c tant le nombre de classes (ici : 5) et p le nombre

    de paramtres de la loi thorique tirs de l'observation (ici : 1, la moyenne); on a donc : d= 5 - 1 - 1 = 3.

    Or, en se reportant une table des , on trouve, pour 3 degrs de libert :

    Comme le calcul (0,19) est infrieur cette valeur, l'analyste dcide d'admettre que le phnomne

    observ suit une loi de Poisson (en ralit, le test signifie que, si l'hypothse tait exacte, pour 95 % des

    chantillons, la valeur serait infrieure 0,352 ; le risque de rejeter l'hypothse, alors qu'elle est exacte, si

    le calcul est suprieur au relev dans la table, n'est que de 5 %).

    La conclusion tirer de l'tude des arrives est qu'elles se font la Poisson , avec un taux de

    - Etude des services

    A cent reprises, conscutives ou non, mais prises dans la priode stationnaire, on relve la dure du service,

    c'est--dire le temps pass par un client au guichet.

    Supposons que les rsultats obtenus soient les suivants :

    arrives par minute

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    La moyenne est ici :

    Le nombre de clients servis par minute est donc :

    On fait alors l'hypothse que la loi des services est une loi exponentielle de taux .

    En rduisant neuf classes et sept degrs de libert, on a , lu dans la table, s'lve

    2,167 et l'analyste dcide d'admettre qu'il a bien une loi exponentielle de taux .

    III- Cas et applications

    Tous ont pour hypothse que le taux darrive est distribu selon la loi de Poisson et le taux de service suit une loi exponentielle.

    Cas d'un seul guichet

    Paramtres et formules

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    - Les symboles utiliss

    Voici la liste des symboles utiliss :

    Symbole Signification

    Nombre moyen darrives par unit de temps

    Nombre moyen de services par unit de temps

    T Nombre moyen darrives durant la priode de temps T

    1/ Le temps moyen qui spare 2 arrives successives

    1/ Temps moyen dun service

    Taux doccupation ou Taux de trafic ou intensit de trafic pour un seul guichet

    Nombre moyen dunits dans le systme (units qui attendent et units qui sont entrain dtre servis)

    Nombre moyen dunits qui attendent dtre servis

    La probabilit dune attente nulle

    Taux moyen dinactivit dun guichet

    Temps moyen dattente en file

    Temps moyen dattente dans le systme (temps dattente en file + le temps de service)

    (T) La probabilit davoir n personnes arrivant durant la priode de temps T

    La probabilit quil y ait n units dans le systme

    - Les relations de base :

    Voici les relations ou les formules utilises dans le cas dun seul guichet :

    Taux de trafic ou intensit de trafic pour un seul guichet : il reprsente le rapport entre la demande (mesure grce

    au nombre moyen darrives par unit de temps, ) et la capacit de service (c'est--dire le nombre moyen de services par unit de temps, ).

    = / Le nombre moyen de clients en file :

    = 2/(1- )= (2/ ) / (- )= * n Le nombre de clients dans le systme :

    n= /(1- )= /(-) Le temps moyen dattente en file :

    tf=/ Le temps moyen dattente dans le systme :

    =tf+1/ La probabilit davoir n personnes arrivant durant la priode de temps T :

    pn(T)=T* T/n!

    La probabilit quil y ait n units dans le systme :

    qn= (1- ) = q0(

    )

    La probabilit dune attente nulle :

    q0 = 1- Taux moyen dinactivit dun guichet :

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    p = 1-

    Remarque : Le nombre moyen darrives () et de services () doivent tre exprims dans la mme unit de mesure (clients lheure, clients par minute, etc.).

    Exercices

    Exercice 1:

    Une compagnie arienne envisage douvrir un point de vente dans un nouveau centre commercial. Elle compte y faire travailler un agent qui sera responsable des rservations et de la vente de billets. Lagent sert ses clients toutes les 4 minutes en moyenne ; on estime aussi que la distribution des arrives peut tre calcule selon la loi de Poisson et que le

    temps de service sera de 3 minutes en moyenne par client (distribution exponentielle). Dterminez :

    a) Le nombre moyen de clients arrivant par heure b) Le nombre moyen de personnes servis par heure c) Taux dutilisation du systme. d) Pourcentage dinactivit de lagent. e) Nombre moyen de clients qui attendent pour tre servis. f) Temps moyen pass par un client dans le systme. g) Probabilit quil ny ait aucun client dans le systme et probabilit quil y ait quatre clients dans le systme.

    Solution 1:

    a) tant le nombre darrives par mn =nombre darrives/le temps correspondant ces arrives en mn.1/ tant le temps moyen sparant deux arrives successifs. Or 1/ =4mn , h donc =1/(0.066) 15 clients arrivant par heure

    b) le temps de service sera de 3 minutes en moyenne par client 3mn=0.05h, cest aussi la dure dun service=1/ =0.05 h, donc =1/(0.05)=20 personnes servis par heure.

    c) = /M=15/1(20)=0.75

  • 11

    a) Le taux des arrives ou le nombre moyen de clients arrivant par heure est =54/6= 9 arrives par heure

    b) On sait que le temps moyen de service est de 5 minutes par client 5mn=1/12h, do =1/(1/12) = 12 personnes servis par heure.

    On a / =0.75 (file dattente finie)

    c) n= / (1- )= /(-)= 9

    129= 3, il ya 3 lments dans le systme

    d) =

    = (/ )/ (- ) = (/12) / (12-9)= 2.25 lments dans la file

    Cas plusieurs guichets

    Paramtres et formules

    On supposera que l'on a une seule file d'attente, mais plusieurs stations identiques, au total S. En reprenant les

    notations prcdentes : (nombre moyen d'arrives par unit de temps), (nombre moyen de services par

    unit de temps et par station), n (nombre d'individus dans le systme au temps t)

    - Les relations de base :

    Voici les relations ou les formules utilises dans le cas de plusieurs guichets :

    Signification Formule

    Nombre moyen d'lments dans le systme

    )1

    ()(0

    tfnpnn

    n

    Nombre moyen d'lments dans la file

    02

    1

    1 )1(!.

    )( p

    SSS

    psnS

    Sn

    n

    Temps moyen ou la dure moyenne d'attente dans

    la file

    tf 0

    2)1(!.

    p

    SSS

    S

    Avec

  • 12

    Taux moyen dinactivit des guichets

    SpnSS

    n

    n

    0

    )(

    La probabilit dune attente nulle

    La probabilit davoir n personnes dans le systme est

    0)!

    ( pn

    pn

    n

    Si 1nt)=Pr(T>0)e-( S-

    )t

    Avec Pr(T>0)= tf. .(1-( /S)) Nombre moyen de stations inoccupes:

    ni = S -

    Exercices

    Exercice :

    Linfirmerie dune grosse entreprise emploie deux infirmires qui soccupent des incidents bnins (petits accidents, malaises, etc.) survenant durant les heures de travail. Les arrives des patients linfirmerie forment approximativement un processus de Poisson; en moyenne, il arrive deux patients par heure. Chaque patient est soign par une seule

    infirmire (elles ont des qualifications identiques) et le traitement dure une demi-heure en moyenne (la dure du

    traitement suit une loi exponentielle).

    a) Quel modle de files dattente dcrit-il adquatement cette situation? Prcisez tous les paramtres du modle. b) En moyenne, combien de patients se trouvent-ils dans la file dattente un instant quelconque de la journe? Combien de temps doivent-ils attendre avant dtre pris en charge par une des infirmires?

    Solution :

    a) Il sagit dune file dattente M/M/2 dfinie par le processus stochastique suivant.

    Le processus d'arrive est de Poisson de taux , la dure de service est une variable alatoire

    exponentielle de paramtre et il y a 2 serveurs identiques (2 infermires).

    = 2 arrives par heure ; 1/= heure = 2 services par heure ; S= 2 infermires

    b) 02

    1

    )1(!.

    p

    SSS

    S

    avec

    1

    0

    0

    !)1(!

    1

    S

    i

    iS

    i

    SS

    p

    et

    S

  • 13

    on a = 2/2*2 = 0.5 et

    1

    0

    20

    !

    5.0

    )2

    5.01(!2

    5.0

    1

    i

    i

    i

    p = 0.6 donc 03.06.0*)

    2

    5.01(!2.2

    5.0

    2

    3

    , donc le nombre des

    patients qui se trouvent dans la file dattente un instant quelconque de la journe est de 0.03, on peut

    dire que 0 patients se trouvent dans la file dattente un instant quelconque de la journe.

    015.02

    03.0

    tf donc les patients doivent attendre 0.015*60 = 54 secondes avant dtre prises en

    charge par une des infermires.

    Optimisation du nombre de guichets

    Dfinition

    Loptimisation du nombre de guichets consiste chercher le nombre optimal de stations correspondant au minimum du cot total de lattente des clients et de linactivit des stations. Elle apparat donc un compromis entre le cot associ au niveau de service (capacit de service) et le cot dattente des clients (cot encouru par lentreprise en raison de lattente des clients dans le systme). Par exemple, lorsquon conoit un quai de chargement pour un entrept, on tudie le cot du quai plus le cot des quipes de chargement par rapport au cot associ lattente des camions (chargement et dchargement).

    Exemple

    Dans un garage rparant des vhicules automobiles, un comptoir est charg de distribuer aux ouvriers des pices

    dtaches. Le chef du personnel remarque une affluence ce comptoir muni d'un guichet unique. Il analyse alors le

    phnomne en effectuant des statistiques :

    paramtre caractristique des arrives : sur 100 intervalles de 5 minutes, il compte le nombre d'employs qui

    arrivent dans chaque intervalle ; partir du tableau ci-dessous, on ajuste par une loi de Poisson de paramtre t = 1,26, moyenne du nombre d'employs qui arrivent :

    paramtre caractristique des dparts : 100 observations sont effectues sur les dures des services ; le rsultat

    de ces observations est qu'en moyenne un service dure 3,27 minutes. On ajuste alors par une loi exponentielle :

  • 14

    hypothse A : un seul guichet au service des pices dtaches

    = = 0,83. Les formules pour une file aboutissant une seule station conduisent aux rsultats suivants :

    Le nombre d'ouvriers dans le systme est n = /(1-) = 5. Le temps moyen s'attente dans la file est tf=n / = 16.66 minutes. Le temps perdu par les ouvriers est : 8H/jour . 0,25 ouvrier/min . =8*16.66*0.25=33,33 H

    Le temps d'occupation effective de l'agent des pices dtaches est 8H/jour . 0,25 ouvriers/min . (1/) = 6,5 H

    La dpense en salaire "inutile" (due l'inactivit) CA peut tre calcule en supposant que l'heure d'ouvrier est de

    c2= 20 (en incluant la perte de production due l'inactivit de ces ouvriers) et que le salaire horaire de l'agent

    des pices dtaches est c1 = 7 :

    CA = 33,33 H . 20 + (8H-6,5H). 7 = 677,1

    hypothse B : 2 guichets (donc deux agents)

    Le calcul de la dpense CB est effectu sur les bases prcdentes et en utilisant les formules pour une file

    aboutissant S=2 stations : (daprs le tableau des formules dans le cas de plusieurs guichets)

    ni : Nombre moyen de stations inoccupes

    p0: La probabilit dune attente nulle

    Lapplication numrique donne : p0 = 0,412 tf=0,7 min ni=1.17

    Temps perdu par les ouvriers sur une journe : 8h x x tf = 1,4 h Temps total d'occupation des serveurs sur une journe : T x 8h x = 6,66 h

    Temps total perdu par les serveurs : T T x=8 - 6,66 = 1,34 h

    Cot dinactivit des agents est 1(S) = S (T-T x x c1 = 2 x 1,34 h x 7 = 18.76

    Cot dattente des ouvriers est (S) = (8h x x tf ) x c2 = 1,4 h x 20= 28 Donc la dpense "inutile" est gale CB = 1(S)+ (S) => CB = 18.76 + 28= 46,76

    hypothse C : 3 guichets (donc trois agents)

    Lapplication numrique donne : p0 = 0,475 tf = 0,098 ni=2,17

    = 1/3.27 = 0.30 service par minute

    la loi est p(t) = 0.30e-0.30

  • 15

    Temps total perdu par les ouvriers sur une journe : 8h x x tf = 0,195 h Temps total d'occupation des serveurs sur une journe : T x 8h x = 6,66 h

    Temps total perdu par les serveurs : T T x= 8 - 6,66 = 1,34 h

    Cot dinactivit des agents est 1(S) = S (T-T x xc1 = 3 x 1,34 h x 7 = 28.14

    Cot dattente des ouvriers est (S) = (8h x x tf ) x c2 = 0.195 h x 20= 3.9 Donc la dpense "inutile" est gale CC = 1(S)+ (S) => CC = 28.14 + 3.9= 32.04

    hypothse D : 4 guichets (donc quatre agents)

    Lapplication numrique donne : p0 = 0.06 tf = 0.00157 ni=3.17

    Temps total perdu par les ouvriers sur une journe : 8h x x tf = 0.00314h Temps total d'occupation des serveurs sur une journe : T x 8h x = 6,66 h

    Temps total perdu par les serveurs : T T x= 8 - 6,66 = 1,34 h

    Cot dinactivit des agents est 1(S) = S (T-T x xc1 = 4 x 1,34 h x 7 = 37.52

    Cot dattente des ouvriers est (S) = (8h x x tf ) x c2 = 0.00314 h x 20= 0.0628 Donc la dpense "inutile" est gale CD = 1(S)+ (S) => CD = 37.52 + 0.0628= 37,582

    La conclusion est que l'utilisation de 3 employs au service des pices dtaches est optimale.

    Exercices

    Exercice 1:

    Le directeur de la logistique voudrait dterminer le nombre de magasiniers affecter au magasin accueillant

    simultanment des ouvriers et qui leurs fournit en outils et en pices. Ce dernier constate que lors de la rcupration des

    outils, les ouvriers forment des queues devant les guichets-comptoirs du magasin.

    Les magasiniers reoivent un salaire de 9 $ lheure (incluant les avantages sociaux). Une heure de travail dun ouvrier (gnralement des mcaniciens) est value 30 $, ce qui inclut les avantages sociaux ainsi que le temps perdu

    attendre les outils ou les pices. Par exprience, le directeur de la logistique estime que les demandes des ouvriers sont

    de lordre de 88 lheure, alors que la capacit de service est de 48 demandes lheure par magasinier (on suppose que les arrives suivent une loi de poisson et la dure des services est une loi exponentielle).

    1) Quelle est la plus petite valeur de S telle que la file dattente ne sallonge pas indfiniment. 2) La dure de la journe de travail est de 8.5 heures : combien douvriers se prsentent-ils, en

    moyenne, au magasin doutillage par jours ? Quel est le temps total pass par les magasiniers les servir (le convertir en secondes) ?

    On supposant quil y a deux, puis trois, puis quatre, puis cinq magasiniers,Evaluer dans chacun de

    ces quatre cas, la dure journalire globale dinactivit des magasiniers en secondes, puis son cot.

    3) En utilisant labaque ci-joint, trouver lattente moyenne par ouvrier selon que

    S=2, 3, 4 ou 5. Dterminer la dure totale dattente journalire puis son cot pour chacun de ces cas.

    4) Dterminer le nombre de magasiniers qui minimise la somme du cot dattente totale journalire et du cot de linactivit totale journalire.

    Prouver qualors, en moyenne, lun au moins des magasiniers est inactif..

    Solution 1:

    Connaissant le nombre de guichets S, le taux des arrives , le taux des services de chaque client , Calculer dabord

    (/.S) (

  • 16

    1) la plus petite valeur de S telle que la file dattente ne sallonge pas indfiniment est dduit partir de la condition : (/.S) (/)=88/48=1.83, do S2.

    Donc on a besoin au minimum de 2 magasiniers pour que la file dattente ne sallonge pas indfiniment.

    2) Les arrives tant poissonniennes, le nombre moyen darrives sur lintervalle T est T ; pour T=8 heures on obtient T =88*8.5=748 arrives douvriers chaque jour au magasin. La dure moyenne dun service, pour la loi exponentielle, est 1/ soit 1/48 heure. Le temps total pass par les

    magasiniers servir les ouvriers vaut :

    T/ =(748/48)*3600=56100 secondes

    Le tableau ci-dessous rsume les calculs demands.

    S Dure totale de prsence des

    Magasiniers en secondes

    T/ *3600 + T (S -

    )

    Dure de linactivit

    = T (S -

    )

    Cot de linactivit en

    = T (S -

    ) /3600 * 9

    2

    3

    4

    5

    61302

    91902

    122502

    153102

    5202

    35802

    66402

    97002

    13.005

    89.505

    166.005

    242.505

    1) On rsume les lectures et calculs dans le tableau suivant :

    S = 2 ; S = /S = 88/2*48 = 0.91 => 0.9

  • 17

    S 2 3 4 5

    (S) 617.015 127.905 173.157 244.094

    Le plus faible valeur du cot est obtenue pour S=3 magasiniers.

    Remarquons que pour S=3 linactivit est de 35802s /jours, soit 9h 56mn 42s, cest dire plus que la dure journalire

    de travail dun magasinier.

    Conclusion

    Lanalyse des files dattente peut tre un aspect important de la conception des systmes. Les files dattente ont tendance se former, bien que, dun point de vue macro, les systmes ne soient pas congestionns. Les arrives alatoires des clients combines la variabilit des temps de service crent temporairement des congestions dans le

    systme, do la cration de files dattente. Dans certains cas, il arrive galement que les serveurs soient inactifs.

    Pour analyser des files dattente, il est important de dfinir si la population de clients potentiels est infinie ou bien si elle se limite un nombre fini de clients. Il existe cinq modles de base pour analyser les files dattente ; quatre pour une population infinie et un pour une population finie. En gnral, les hypothses mises dans le cadre de ces modles sont

    que les taux darrive des clients sont distribus selon une loi de Poisson, alors que les temps de service suivent une loi exponentielle.

    Bibliographie / Webographie

    SITES INTERNET CONSULTES

    http://fr.wikipedia.org/wiki/File_d%27attente

    http://dept-info.labri.fr/ENSEIGNEMENT/formation-a-distance/cibermiage

    processus/c1.7/ch03/seq10/exos.htm

    http://fileattente.free.fr/

    http://ensrotice.sciences.univ-metz.fr/04ExercicesFileAttente_02/co/Modules_web_02.html

    http://cours-et-exercices.blogspot.com/2012/10/exercices-corriges-recherche_23.html

    http://serge.mehl.free.fr/exos/exo_poisson2.html

    http://foad.u-picardie.fr/ines/foadF/eMiage-

    M1/ModuleC107/C107_6.htm#Ph%C3%A9nom%C3%A8nes%20d%27attente

    DOCUMENTS UTILISES

    Corriges des exercices (File dattente) FR (pdf)

    La gestion de laccueil clients ESII FR (pdf)

    Chapitre 9- LES FILES DATTENTE FR (pdf)

    Les files dattente : Frderic Sur Ecole des mines de Nancv FR (pdf)

    Chapitre 2 : Files dattente FR (pdf)

    Modlisation stochastique, Files dattente : Stephan Robert, HEIG-Vd FR (pdf)

    Processus alatoires et applications : Universit dOrlans Nils Berglund FR (pdf)

    Files dattente - Exercices FR (pdf)

    TD n 8 - Files dattente (Exercices & Solutions) : mohamed.baslam, eric.thierry FR (pdf)

    TD n 9 - Files dattente (Exercices & Solutions): mohamed.baslam, eric.thierry FR (pdf)

    Files dattente : M. Petitot FR (pdf)