file d'attente

7/26/2019 file d'attente

1/30

1

1

Thorie des files dattente

2

Introduction

Les rseaux de file dattente constituentun outil de modlisation des systmes vnements discrets. Ils sont

particulirement adapts pourmodliser les systmes de production

Arrive des clients Dpart des clients

File dattente Serveur


2/30

2

3

Dfinitions

Une station : elle se compose dune filedattente et dun ou plusieurs serveurs.Les clients arrivent de lextrieur,attendent ventuellement dans la filedattente, reoivent le service, puis

quittent la station Un rseau de file dattente est un

ensemble de stations inter-connectes.

4

Dfinitions (suite) Une station est dfinie par :

Un processus darrive : distribution de probabilitpour les temps inter-arrives : A(t) = probabilit(temps entre deux arrives conscutifs t)

Un processus de service : B(x) = probabilit (temps

de service x) Une structure et une discipline :

Nombre de serveurs disponibles : C Capacit de la file : K (ventuellement ). Il sagit du nombre

de clients dans la file et du nombre de clients dans le serveur. Discipline de service :

PAPS (Premier arrive, premier servi) DAPS (dernier arrive, premier servi)

Notation de Kendall pour une file dattente :A/B/C/K


3/30

3

5

Rseau de file dattente ouvert

Un rseau ouvert : les clients arrivent delextrieur, circulent dans le rseau travers lesdiffrentes stations puis quittent le rseau. Lenombre de clients est variable

Un rseau ouvert (mono-classe) est dfini par : La description de chacune des stations Le processus darrive des clients dans le rseau

Le cheminement des clients dans le rseau Dans un rseau ouvert capacit limite, le

nombre total de clients est born

6

Exemple

Arrive desclients

Dpart desclients

S1

S2

S3


4/30

4

7

Rseau de files dattente ferm

Dans un rseau ferm, le nombre de clientsest constant, il ny a ni arrive, ni dpart declients

Un rseau ferm mono-classe est dfini par : La description de chacune des stations Le nombre de clients prsents dans le rseau Le cheminement des clients dans le rseau

8

Exemple de rseau ferm

S1 S2

S3


5/30

5

9

Remarques On peut distinguer plusieurs classes de clients. Dans ce

cas, il faut : Dfinir le processus darrive et de service pour chaque classe La discipline de service entre les classes (modliser les

priorits entre les clients)

Une classe de clients est un ensemble de clientsstochastiquement quivalent

On distingue : Rseau mono-classe (ouvert, ferm) Rseau multi-classes (ouvert, ferm)

Dfinir les processus de cheminement des clients (taux de visitemoyen pour chaque station i et classe r : v ir), les processus deservice (taux de service moyen : sir) et pour chacune des classesventuellement, le processus de changement de classe dun client

10

Comment calculer le nombre devisites pour un rseau ouvert/ferm ?

Dans un rseau ouvert, le nombre devisites sera compt entre lentre et la

sortie dun client du rseau Dans un rseau ferm, le nombre de

visites est comptabilis entre deuxpassages conscutifs dun mme clientpar rapport une station prise commerfrence


6/30

6

11

Les paramtres tudier Lors de lvaluation de la performance

dun rseau de files dattente, on peuttudier : Le dbit des clients chaque station Le taux dutilisation de chaque serveur Le nombre moyen de clients prsents

chaque station Le temps moyen de rponse dun client

une station

12

Terminologie et Notations

Ltat du systme = Nombre de client dans le systmede file dattente

Longueur de la file dattente = nombre de clients en

attente de service = tat du systme nombre declients en service N(t) : Nombre de clients dans le systme linstant t P(n) : Probabilit davoir n clients dans le systme

linstant t (en rgime permanent, le nombre de clientsdans le systme est indpendant du temps) = Pn

: Taux darrive moyen des clients : Taux de service moyen des clients


7/30

7

13

Indicateurs de performance

=

Cn

npcn )()(

=0

)(n

nnp

1 p(0)U : Taux dutilisation moyen du serveur

Qf/XWf : Temps dattente moyen

Q/X (loi de Little)W : Temps de rponse moyen

(en rgimepermanent)

X : Dbit moyen

Qf : Longueur de la file dattente

Q : Nombre moyen de clients dans le systme

14

Quelques rappels sur lesprocessus stochastiques


8/30

8

15

Processus alatoire (stochastique)

Un processus alatoire est une famille devariables alatoires Xt, t T

Exemple 1:Xt : le niveau deau dans un rservoir linstant t, aprs sa mise en serviceXt, t 0 est un processus stochastique

paramtre continu t et espace dtatcontinu [0,c], c tant la profondeur deaudans le rservoir

16

Exemple 2 :Nt : le nombre de pices dans unsystme linstant tNt est un processus alatoire paramtre continu t et tats discrets(nombre de pices)

Fonction de rpartitionFX(x,t) = P(Xtx)=FXt(x)

Processus alatoire (stochastique)


9/30

9

17

Processus Markovien Xt : un processus stochastique espace dtats

discrets ou continus et paramtres discrets oucontinus Dans les cas des systmes de production considrs

comme des Systmes vnements discrets, nousnous intressons aux processus stochastiques paramtre continu et espace dtat discret.

Un processus stochastique est dit Markovien siP(Xt+1 = j/X0=k0, X1=k1,Xt-1=kt-1,Xt=i) =P(Xt+1 = j/Xt=i) t et squence k0, k1, ..kt-1,i, j

18

Proprits dun processus Markovien

tant donn des vnements passs et un vnementprsent, tout vnement futur est indpendant desvnements passs et dpend uniquement de ltatprsent.

Pour dfinir un processus Markovien :P(Xt+dt = j / xt = i) = ij dt i,jAvec ij : le taux de transition de ltat i ltat j

Une chane de Markov est un graphe n sommets(reprsentant les tats 1,2,..n). Les arcs (i,j)reprsentent les transitions entre ltat i et j (ij 0)


10/30

10

19

Proprit sans mmoire de la loi

exponentielle

P(Xt+t0/Xt0)= P(Xt+t0 et Xt0) / P(Xt0)= [P(Xt+t0) + P(Xt0) P(Xt+t0ou Xt0)] / P(Xt0)= [P(Xt+t

0) + P(Xt

0) 1] / P(Xt

0)

= [1-e-(t+t0) +(1-(1-e-(t0)))1] / (1 -(1-e-(t0)))= (e-(t0)) [-e-(t) +1] / (e-(t0))= [1 - e-(t)] = P(Xt)

t0 t0+tX

20

Exemple de processus Markovien

On considre une machine deux tats : Panne (P)

Marche (M) La dure de bon fonctionnement est une

loi exponentielle de taux (peut tre 1) La dure de rparation est une loi

exponentielle de taux (peut tre 1)


11/30

11

21

Exemple (Suite)

P(Xt+dt=P/Xt=M) = dtCest la probabilit pour que la machinetombe en panne entre t et t+dt sachantqu t, elle tait en marche

P(Xt+dt=M/Xt=P) = dt

Cest la probabilit pour que la machinefonctionne entre t et t+dt sachant qut, elle tait en panne

22

Exemple (Suite)

La chane de Markov pour cette exemple peuttre reprsente par :

M P


12/30

12

23

Mise en quation dune Chane de Markov

p(Xt+dt=j)=p(Xt=j)(1- ji dt) + p(Xt=i) ij dt

p(Xt=j)= p(Xt=i) ij - p(Xt=j) ji

Cette quation est crire j=1..N

=

N

jii ,1

=

N

jii ,1

dtd

=

N

jii ,1

=

N

jii ,1

j

j1

jN

1j

Nj

24

Rgime limite

Thorme :

Il existe un rgime limite indpendant de ltat initial siet seulement si il existe une seule classe dtats

ergodiques

3 classes dtatsergodiques


13/30

13

25

Rgime limite

Rgime limite : t , p(Xt=j) p(j) ( p(Xt=j)= 0)

p(i) ij = p(j) ji : quations dquilibre

=

N

jii ,1

=

N

jii ,1

Dans ce cours, on sintressera au rgime permanent

Il suffit dcrire les quations dquilibre et

lquation de normalisation : p(i)=1=

N

i 1

dtd

26

Processus de renouvellement

T={ti} : suite dinstants alatoires

Processus darrive. Xi = ti+1 ti : Temps inter-arrives

Le processus darrive T est un processus derenouvellement si les variables alatoires Xisont indpendantes et identiquementdistribues

t0=0 t1 t2 t3 t4 t5


14/30

14

27

Processus de poisson

Un processus de poisson est un processus derenouvellement o les temps inter-arrivessont distribus selon une loi exponentielle.

Pour un processus de poisson de taux , laprobabilit dune arrive entre t et t+dt estdt (ne dpend pas du pass : sans

mmoire) Un processus de poisson de taux est un

processus Markovien et peut tre modlis parune chane de Markov.

28

tude dune M/M/1


15/30

15

29

tude dune M/M/1

Temps inter-arrives suit une loi exponentielle deparamtre

Temps de service suit une loi exponentielle de paramtre

Proprit sans mmoire de la loi exponentielle Temps inter-arrives et de service indpendants dupass

N(t) : nombre de clients dans la file linstantt est indpendant du pass : Processus Markovien

30

Modlisation dune M/M/1 par uneChane de Markov

quations dquilibre : p(0)= p(1)(+) p(n)= p(n-1)+ p(n+1) n1On peut montrer par rcurrence que : p(n)= p(n+1) n0

0 1 2 n-1 n n+1 N

Hypothse : dt petit Un seul vnement entre t et t+dt


16/30

16

31

Modlisation dune M/M/1 par une

Chane de Markov On pose : (taux de charge)

Si 1 : le systme est satur Si


17/30

17

33

tude dune M/M/C

C serveurs

34

valuation des performances On peut dmontrer par rcurrence :

1...npour!!

1...cnpour!

00

0

+==

=

=

cPcc

Pcc

Pn

P

cn

n

cn

c

n

n

1

1

00

)1(!!

=

+

=

ccn

P

c

c

n

nDo

Avec :c

=


18/30

18

35

valuation des performances

( )

( )

02

1

02

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

00

1

)1(

1

1)

1

1(

!

!)(

P

c

!c

Pc!c

d

dP

c!c

d

dP

c!c

d

d

Pc!c

jPcc!

cjP

c

Pcc

jjPPcnQ

c

cc

j

j

c

j

jc

j

j

c

j

j

c

j

cj

jj

cjn

cn

f

=

=

=

=

=

=

=

===

+

++

=

+

=

+

=

=

+

=

=+

=

Le nombre moyen de clients dans la file

36

Optimisation des files dattente :Exemple dapplication

Le directeur logistique voudrait dterminer le nombrede magasiniers, affecter au magasin nouvellementimplant dans lusine, qui fournit les ouvriers enoutils et en pices. Les magasiniers reoivent unsalaire de 9$ lheure (y compris les avantages

sociaux). Une heure de travail dun ouvrier estvalue 30$ (y compris les avantages sociaux et letemps attendre les pices). Par exprience, ledirecteur de la logistique estime que les demandesdes ouvriers sont de lordre de 18 lheure alors quela capacit de service est de 20 demandes lheurepar magasinier. Combien de magasinier devrait-onaffecter au magasin, si on suppose que le processusdarrives et de services sont des processus depoisson et que le nombre douvriers qui se prsententau magasin est trs lev.


19/30

19

37

Cot total (CT) = Cot dattente (Ca) + Cot de service (Cs)

Calculer le cot total en fonction de diffrentes valeurs quicorrespondent au nombre de magasiniers (nombre de serveurs) Le cot dattente est fonction du nombre moyen de clients dans le

systme. Le cot de service dpend du nombre de serveurs.

Le taux dutilisation du systme : le rapport entre la demande(mesure grce au taux ) et la capacit de service (produit dunombre de serveurs C et du taux de service )

= 18

= 20 C? serveurs

1=

cChoisir c /

Optimisation des files dattente :

Exemple dapplication (suite)

38

Cot total

Nombre de serveurNombre optimum

Optimisation des files dattente :Exemple dapplication (Suite)


20/30

20

39

Optimisation des files dattente :

Exemple dapplication (suite)

Lidal est demployer 2 magasiniers

* Pour calculer nfutiliser les transparents 32 et 33 ou voir table

54,90 $27,90 $27,00 $0,930,033

51,87 $33,87 $18,00 $1,1290,2292

279,00 $270,00 $9,00 $98,11

Cot totalCot

d'attente =30$ x ns

Cot deservice =9$ x M

Nombre moyen declients en attentedans le systme

(ns = nf + /)

Nombre moyen declients en attentedans la file (nf)

Nombre demagasiniers

(M)

40

Cas particulier : File dattente decapacit finie (K)

La file dattente est a une capacitlimite Exemple : Service durgence dun hpital

Le nombre maximum de client dans lesystme = K

Le nombre maximum de client enattente dans la file = K-C (CK)

==

Knpour0

1-K0,1,...,npourn


21/30

21

41

M/M/1/K

0 1 2 n-1 n n+1 K

n

KK

n

nK

n

n

n

K

K

np

p

ppnp

ppnp

1

1

1

1)(

1

1)0(

11

1*)0(1)0(1)(

)0()0()(

1

00

+

+

=

=

=

==

=

=

+

==

42

M/M/C/K


22/30

22

43

Modle de ligne de fabrication

44

Introduction

Lorsque la structure du systme de production est simple ilnest pas ncessaire de faire appel des outils demodlisation tels que les rseaux de files dattente

Modle ligne de fabrication

Ce modle doit prendre en compte desphnomnes tels que les pannes des machines etles blocages dus la capacit de stockage


23/30

23

45

Modle de rfrence

M1 B1 M2 B2 Bk-1 Mk

Taille C1 Taille C2 Taille Ck-1sk: taux de production moyenk: taux de pannek: taux de rparation

Distribus exponentiellement

Toutes les pices passent successivement sur toutes lesmachines

La machine M1 a toujours des pices en attente de service La machine Mka toujours de la place pour dposer sa

production

Hypothses

46

Taux de production de la ligne

En rgime stationnaire, si une machine tombe en panne, laproduction continueOn considre ti : le temps opratoire moyen de Mi (si = 1/ti)

Ci=, i=1..k

Mi Pi

i

ii

iii

i

i

tMP

tU

+

==

1

1.

1)(

1

)1

1.1(max

i

iii tMinU

+

=

Taux de production pourune machine i



24/30

24

47


Si une machine tombe en panne, la production sarrte

Ci=0, i=1..k

M

P111

)(.1

1

1)(

max

max

1

MPt

U

MP

i

ik

i

=

+

=

=

Pk

k

k

p(Pi) i=p(M) ip(Pi)+p(M)=1

48

Exercice


25/30

25

49

nonc On considre un atelier flexible

comportant cinq stations de travail quisont les suivantes : Station 1 : chargement/dchargement (CD) Station 2 : centre dusinage n1 (CU1) Station 3 : centre dusinage n2 (CU2) Station 4 : centre dusinage n3 (CU3) Station 5 : poste dinspection (IN)

50

nonc (suite)

Latelier fabrique simultanment les deux types depices p1 et p2. Les ratios de production dsirs sont1/3 de p1 et 2/3 de p2. Les pices sont transportssur des palettes qui sont toutes identiques (10

palettes). Les gammes de fabrication des pices p1et p2 sont respectivement donnes par G1 et G2, lestemps de service dans chacune des stations est celuiprcis entre parenthse. G1 : CD(1) puis CU1 (3) puis CU2 (6) puis [IN (5) ou rien]

puis CD (1). Une pice sur deux est vrifie la stationdinspection.

G2 : CD (1) puis CU1 (6) puis CU3 (5) puis [IN (20) ou rien]puis CD (1). Une pice sur dix est vrifie la stationdinspection.


26/30

26

51

nonc (suite) Les transports des pices entre les stations se font

par des convoyeurs mais leurs dures sontngligeables devant les temps dusinage, sauf leretour des pices de la station dinspection vers lastation de chargement/dchargement qui prend troisunits de temps.

Les stocks devant chacune des stations de travailsont suffisamment grands pour viter des blocages.

A la station de chargement/dchargement lorsquunepalette arrive, elle est dcharge de la pice termineet recharge aussitt par une nouvelle pice.

Toutes les files sont gres par la discipline PAPS.

52

Questions

Modliser latelier par un rseau de filedattente et caractriser ce rseau.

Calculer le temps de service moyen etle taux de visite moyen de chaquestation pour chaque type de produit etpour chaque station.


27/30

27

53

Rseau de files dattente forme produit

54

Introduction

Cest quoi une forme produit ?

Pour certains rseaux de files dattente simples on peututiliser pour le calcul de ses performances sur ce quonappelle forme produit

On a M stations interconnectes dans le rseau de filesdattente en question

On considre ltat (n1, n2, , nM) o ni est le nombre declients la station i (le rseau tant monoclasse)

On veut connatre la probabilit p((n1, n2, , nM))

Forme produit : p((n1, n2, , nM)) = K.=M

iii n

1)(

Constante denormalisation

ne dpend que dela station i


28/30

28

55

Cas dun rseau ouvert monoclasse Donnes

p01

p03

1

3

2

4

p12

p23

p24

p34

p43

p40

: taux darrive des clients de lextrieur pij : proportion de clients qui, quittant la station i, vont la

station j vi : taux de visite dun client une station i i : taux de service la station i

56

Cas dun rseau ouvert monoclasse

Dbit des stations

Au rgime permanent on a :

MipXpX

vX

Mipvpv

pp

Mippp

p

M

j

jijii

ii

M

j

jijii

M

j

iji

iMii

M

i

i

..1,

..1,

1..Mi,1

..1,1...

1

1

0

1

0

1

0

21

1

0

=+=

=

=+=

==

=+++

=

=

=

=

=

Ces quations sont

valables quelle que soitla loi darrive Les taux de service

ninterviennent pas Mais ces quations

toutes seules nepermettent pas dedterminer lesperformances du rseau


29/30

29

57

Cas dun rseau ouvert monoclasse Hypothses de la forme Produit

1. Le processus darrive des clients extrieurs est unprocessus de Poisson

2. Le cheminement des clients dans le rseau est Markovien(les mouvements entre les stations ne dpendent que de ladernire station visite et pas des autres)

3. Chaque station contient Ci serveurs de temps de servicemoyen ti=1/i

4. Le temps de service est exponentiel5. Les files dattente sont illimites6. Les files dattente sont gres PAPS (sans premption)

58

Cas dun rseau ouvert monoclasse

Dans ces conditions on a :

Le nombre de clients dans une station donne ne dpendpas du nombre de clients dans les stations voisines

La station i se comporte comme si elle tait alimente par

un processus de Poisson de taux Xi

p((n1, n2, , nM))= =M

iii np

1)(

avec pi(ni) est la probabilit stationnaire davoir ni clientsdans une station M/M/Ci en isolation avec une charge i

i

ii X

=


30/30

59

Cas dun rseau ouvert monoclasse Performances

Qi : Nombre moyen de clients dans la station i Wi : Temps de rponse moyen la station i

Pour le rseau, on a :

=

=

=

=

=M

iii

M

i

i

WvQ

W

QQ

1

1

60

Cas dun rseau ouvert multiclasses

Comme le cas dun rseau monoclasse

On tudie chaque station i en isolation avec un tauxde service ir et un taux darrive Xir, vrifiant :

RrMipXpXM

j

r

ji

r

j

r

i

r

i ..1;..1,1

0 ==+=

=

On dtermine les performances de chaque stationpour chaque classe

On dtermine les performances du rseau

file d'attente

Documents

Transcript of file d'attente