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    Thorie des files dattente

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    Introduction

    Les rseaux de file dattente constituentun outil de modlisation des systmes vnements discrets. Ils sont

    particulirement adapts pourmodliser les systmes de production

    Arrive des clients Dpart des clients

    File dattente Serveur

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    Dfinitions

    Une station : elle se compose dune filedattente et dun ou plusieurs serveurs.Les clients arrivent de lextrieur,attendent ventuellement dans la filedattente, reoivent le service, puis

    quittent la station Un rseau de file dattente est un

    ensemble de stations inter-connectes.

    4

    Dfinitions (suite) Une station est dfinie par :

    Un processus darrive : distribution de probabilitpour les temps inter-arrives : A(t) = probabilit(temps entre deux arrives conscutifs t)

    Un processus de service : B(x) = probabilit (temps

    de service x) Une structure et une discipline :

    Nombre de serveurs disponibles : C Capacit de la file : K (ventuellement ). Il sagit du nombre

    de clients dans la file et du nombre de clients dans le serveur. Discipline de service :

    PAPS (Premier arrive, premier servi) DAPS (dernier arrive, premier servi)

    Notation de Kendall pour une file dattente :A/B/C/K

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    Rseau de file dattente ouvert

    Un rseau ouvert : les clients arrivent delextrieur, circulent dans le rseau travers lesdiffrentes stations puis quittent le rseau. Lenombre de clients est variable

    Un rseau ouvert (mono-classe) est dfini par : La description de chacune des stations Le processus darrive des clients dans le rseau

    Le cheminement des clients dans le rseau Dans un rseau ouvert capacit limite, le

    nombre total de clients est born

    6

    Exemple

    Arrive desclients

    Dpart desclients

    S1

    S2

    S3

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    Rseau de files dattente ferm

    Dans un rseau ferm, le nombre de clientsest constant, il ny a ni arrive, ni dpart declients

    Un rseau ferm mono-classe est dfini par : La description de chacune des stations Le nombre de clients prsents dans le rseau Le cheminement des clients dans le rseau

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    Exemple de rseau ferm

    S1 S2

    S3

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    Remarques On peut distinguer plusieurs classes de clients. Dans ce

    cas, il faut : Dfinir le processus darrive et de service pour chaque classe La discipline de service entre les classes (modliser les

    priorits entre les clients)

    Une classe de clients est un ensemble de clientsstochastiquement quivalent

    On distingue : Rseau mono-classe (ouvert, ferm) Rseau multi-classes (ouvert, ferm)

    Dfinir les processus de cheminement des clients (taux de visitemoyen pour chaque station i et classe r : v ir), les processus deservice (taux de service moyen : sir) et pour chacune des classesventuellement, le processus de changement de classe dun client

    10

    Comment calculer le nombre devisites pour un rseau ouvert/ferm ?

    Dans un rseau ouvert, le nombre devisites sera compt entre lentre et la

    sortie dun client du rseau Dans un rseau ferm, le nombre de

    visites est comptabilis entre deuxpassages conscutifs dun mme clientpar rapport une station prise commerfrence

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    Les paramtres tudier Lors de lvaluation de la performance

    dun rseau de files dattente, on peuttudier : Le dbit des clients chaque station Le taux dutilisation de chaque serveur Le nombre moyen de clients prsents

    chaque station Le temps moyen de rponse dun client

    une station

    12

    Terminologie et Notations

    Ltat du systme = Nombre de client dans le systmede file dattente

    Longueur de la file dattente = nombre de clients en

    attente de service = tat du systme nombre declients en service N(t) : Nombre de clients dans le systme linstant t P(n) : Probabilit davoir n clients dans le systme

    linstant t (en rgime permanent, le nombre de clientsdans le systme est indpendant du temps) = Pn

    : Taux darrive moyen des clients : Taux de service moyen des clients

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    Indicateurs de performance

    =

    Cn

    npcn )()(

    =0

    )(n

    nnp

    1 p(0)U : Taux dutilisation moyen du serveur

    Qf/XWf : Temps dattente moyen

    Q/X (loi de Little)W : Temps de rponse moyen

    (en rgimepermanent)

    X : Dbit moyen

    Qf : Longueur de la file dattente

    Q : Nombre moyen de clients dans le systme

    14

    Quelques rappels sur lesprocessus stochastiques

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    Processus alatoire (stochastique)

    Un processus alatoire est une famille devariables alatoires Xt, t T

    Exemple 1:Xt : le niveau deau dans un rservoir linstant t, aprs sa mise en serviceXt, t 0 est un processus stochastique

    paramtre continu t et espace dtatcontinu [0,c], c tant la profondeur deaudans le rservoir

    16

    Exemple 2 :Nt : le nombre de pices dans unsystme linstant tNt est un processus alatoire paramtre continu t et tats discrets(nombre de pices)

    Fonction de rpartitionFX(x,t) = P(Xtx)=FXt(x)

    Processus alatoire (stochastique)

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    Processus Markovien Xt : un processus stochastique espace dtats

    discrets ou continus et paramtres discrets oucontinus Dans les cas des systmes de production considrs

    comme des Systmes vnements discrets, nousnous intressons aux processus stochastiques paramtre continu et espace dtat discret.

    Un processus stochastique est dit Markovien siP(Xt+1 = j/X0=k0, X1=k1,Xt-1=kt-1,Xt=i) =P(Xt+1 = j/Xt=i) t et squence k0, k1, ..kt-1,i, j

    18

    Proprits dun processus Markovien

    tant donn des vnements passs et un vnementprsent, tout vnement futur est indpendant desvnements passs et dpend uniquement de ltatprsent.

    Pour dfinir un processus Markovien :P(Xt+dt = j / xt = i) = ij dt i,jAvec ij : le taux de transition de ltat i ltat j

    Une chane de Markov est un graphe n sommets(reprsentant les tats 1,2,..n). Les arcs (i,j)reprsentent les transitions entre ltat i et j (ij 0)

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    Proprit sans mmoire de la loi

    exponentielle

    P(Xt+t0/Xt0)= P(Xt+t0 et Xt0) / P(Xt0)= [P(Xt+t0) + P(Xt0) P(Xt+t0ou Xt0)] / P(Xt0)= [P(Xt+t

    0) + P(Xt

    0) 1] / P(Xt

    0)

    = [1-e-(t+t0) +(1-(1-e-(t0)))1] / (1 -(1-e-(t0)))= (e-(t0)) [-e-(t) +1] / (e-(t0))= [1 - e-(t)] = P(Xt)

    t0 t0+tX

    20

    Exemple de processus Markovien

    On considre une machine deux tats : Panne (P)

    Marche (M) La dure de bon fonctionnement est une

    loi exponentielle de taux (peut tre 1) La dure de rparation est une loi

    exponentielle de taux (peut tre 1)

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    Exemple (Suite)

    P(Xt+dt=P/Xt=M) = dtCest la probabilit pour que la machinetombe en panne entre t et t+dt sachantqu t, elle tait en marche

    P(Xt+dt=M/Xt=P) = dt

    Cest la probabilit pour que la machinefonctionne entre t et t+dt sachant qut, elle tait en panne

    22

    Exemple (Suite)

    La chane de Markov pour cette exemple peuttre reprsente par :

    M P

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    Mise en quation dune Chane de Markov

    p(Xt+dt=j)=p(Xt=j)(1- ji dt) + p(Xt=i) ij dt

    p(Xt=j)= p(Xt=i) ij - p(Xt=j) ji

    Cette quation est crire j=1..N

    =

    N

    jii ,1

    =

    N

    jii ,1

    dtd

    =

    N

    jii ,1

    =

    N

    jii ,1

    j

    j1

    jN

    1j

    Nj

    24

    Rgime limite

    Thorme :

    Il existe un rgime limite indpendant de ltat initial siet seulement si il existe une seule classe dtats

    ergodiques

    3 classes dtatsergodiques

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    Rgime limite

    Rgime limite : t , p(Xt=j) p(j) ( p(Xt=j)= 0)

    p(i) ij = p(j) ji : quations dquilibre

    =

    N

    jii ,1

    =

    N

    jii ,1

    Dans ce cours, on sintressera au rgime permanent

    Il suffit dcrire les quations dquilibre et

    lquation de normalisation : p(i)=1=

    N

    i 1

    dtd

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    Processus de renouvellement

    T={ti} : suite dinstants alatoires

    Processus darrive. Xi = ti+1 ti : Temps inter-arrives

    Le processus darrive T est un processus derenouvellement si les variables alatoires Xisont indpendantes et identiquementdistribues

    t0=0 t1 t2 t3 t4 t5

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    Processus de poisson

    Un processus de poisson est un processus derenouvellement o les temps inter-arrivessont distribus selon une loi exponentielle.

    Pour un processus de poisson de taux , laprobabilit dune arrive entre t et t+dt estdt (ne dpend pas du pass : sans

    mmoire) Un processus de poisson de taux est un

    processus Markovien et peut tre modlis parune chane de Markov.

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    tude dune M/M/1

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    tude dune M/M/1

    Temps inter-arrives suit une loi exponentielle deparamtre

    Temps de service suit une loi exponentielle de paramtre

    Proprit sans mmoire de la loi exponentielle Temps inter-arrives et de service indpendants dupass

    N(t) : nombre de clients dans la file linstantt est indpendant du pass : Processus Markovien

    30

    Modlisation dune M/M/1 par uneChane de Markov

    quations dquilibre : p(0)= p(1)(+) p(n)= p(n-1)+ p(n+1) n1On peut montrer par rcurrence que : p(n)= p(n+1) n0

    0 1 2 n-1 n n+1 N

    Hypothse : dt petit Un seul vnement entre t et t+dt

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    Modlisation dune M/M/1 par une

    Chane de Markov On pose : (taux de charge)

    Si 1 : le systme est satur Si

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    17

    33

    tude dune M/M/C

    C serveurs

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    valuation des performances On peut dmontrer par rcurrence :

    1...npour!!

    1...cnpour!

    00

    0

    +==

    =

    =

    cPcc

    Pcc

    Pn

    P

    cn

    n

    cn

    c

    n

    n

    1

    1

    00

    )1(!!

    =

    +

    =

    ccn

    P

    c

    c

    n

    nDo

    Avec :c

    =

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    valuation des performances

    ( )

    ( )

    02

    1

    02

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    00

    1

    )1(

    1

    1)

    1

    1(

    !

    !)(

    P

    c

    !c

    Pc!c

    d

    dP

    c!c

    d

    dP

    c!c

    d

    d

    Pc!c

    jPcc!

    cjP

    c

    Pcc

    jjPPcnQ

    c

    cc

    j

    j

    c

    j

    jc

    j

    j

    c

    j

    j

    c

    j

    cj

    jj

    cjn

    cn

    f

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    ===

    +

    ++

    =

    +

    =

    +

    =

    =

    +

    =

    =+

    =

    Le nombre moyen de clients dans la file

    36

    Optimisation des files dattente :Exemple dapplication

    Le directeur logistique voudrait dterminer le nombrede magasiniers, affecter au magasin nouvellementimplant dans lusine, qui fournit les ouvriers enoutils et en pices. Les magasiniers reoivent unsalaire de 9$ lheure (y compris les avantages

    sociaux). Une heure de travail dun ouvrier estvalue 30$ (y compris les avantages sociaux et letemps attendre les pices). Par exprience, ledirecteur de la logistique estime que les demandesdes ouvriers sont de lordre de 18 lheure alors quela capacit de service est de 20 demandes lheurepar magasinier. Combien de magasinier devrait-onaffecter au magasin, si on suppose que le processusdarrives et de services sont des processus depoisson et que le nombre douvriers qui se prsententau magasin est trs lev.

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    Cot total (CT) = Cot dattente (Ca) + Cot de service (Cs)

    Calculer le cot total en fonction de diffrentes valeurs quicorrespondent au nombre de magasiniers (nombre de serveurs) Le cot dattente est fonction du nombre moyen de clients dans le

    systme. Le cot de service dpend du nombre de serveurs.

    Le taux dutilisation du systme : le rapport entre la demande(mesure grce au taux ) et la capacit de service (produit dunombre de serveurs C et du taux de service )

    = 18

    = 20 C? serveurs

    1=

    cChoisir c /

    Optimisation des files dattente :

    Exemple dapplication (suite)

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    Cot total

    Nombre de serveurNombre optimum

    Optimisation des files dattente :Exemple dapplication (Suite)

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    Optimisation des files dattente :

    Exemple dapplication (suite)

    Lidal est demployer 2 magasiniers

    * Pour calculer nfutiliser les transparents 32 et 33 ou voir table

    54,90 $27,90 $27,00 $0,930,033

    51,87 $33,87 $18,00 $1,1290,2292

    279,00 $270,00 $9,00 $98,11

    Cot totalCot

    d'attente =30$ x ns

    Cot deservice =9$ x M

    Nombre moyen declients en attentedans le systme

    (ns = nf + /)

    Nombre moyen declients en attentedans la file (nf)

    Nombre demagasiniers

    (M)

    40

    Cas particulier : File dattente decapacit finie (K)

    La file dattente est a une capacitlimite Exemple : Service durgence dun hpital

    Le nombre maximum de client dans lesystme = K

    Le nombre maximum de client enattente dans la file = K-C (CK)

    ==

    Knpour0

    1-K0,1,...,npourn

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    21

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    M/M/1/K

    0 1 2 n-1 n n+1 K

    n

    KK

    n

    nK

    n

    n

    n

    K

    K

    np

    p

    ppnp

    ppnp

    1

    1

    1

    1)(

    1

    1)0(

    11

    1*)0(1)0(1)(

    )0()0()(

    1

    00

    +

    +

    =

    =

    =

    ==

    =

    =

    +

    ==

    42

    M/M/C/K

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    22

    43

    Modle de ligne de fabrication

    44

    Introduction

    Lorsque la structure du systme de production est simple ilnest pas ncessaire de faire appel des outils demodlisation tels que les rseaux de files dattente

    Modle ligne de fabrication

    Ce modle doit prendre en compte desphnomnes tels que les pannes des machines etles blocages dus la capacit de stockage

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    23

    45

    Modle de rfrence

    M1 B1 M2 B2 Bk-1 Mk

    Taille C1 Taille C2 Taille Ck-1sk: taux de production moyenk: taux de pannek: taux de rparation

    Distribus exponentiellement

    Toutes les pices passent successivement sur toutes lesmachines

    La machine M1 a toujours des pices en attente de service La machine Mka toujours de la place pour dposer sa

    production

    Hypothses

    46

    Taux de production de la ligne

    En rgime stationnaire, si une machine tombe en panne, laproduction continueOn considre ti : le temps opratoire moyen de Mi (si = 1/ti)

    Ci=, i=1..k

    Mi Pi

    i

    ii

    iii

    i

    i

    tMP

    tU

    +

    ==

    1

    1.

    1)(

    1

    )1

    1.1(max

    i

    iii tMinU

    +

    =

    Taux de production pourune machine i

    Taux de production de la ligne

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    24

    47

    Taux de production de la ligne

    Si une machine tombe en panne, la production sarrte

    Ci=0, i=1..k

    M

    P111

    )(.1

    1

    1)(

    max

    max

    1

    MPt

    U

    MP

    i

    ik

    i

    =

    +

    =

    =

    Pk

    k

    k

    p(Pi) i=p(M) ip(Pi)+p(M)=1

    48

    Exercice

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    25

    49

    nonc On considre un atelier flexible

    comportant cinq stations de travail quisont les suivantes : Station 1 : chargement/dchargement (CD) Station 2 : centre dusinage n1 (CU1) Station 3 : centre dusinage n2 (CU2) Station 4 : centre dusinage n3 (CU3) Station 5 : poste dinspection (IN)

    50

    nonc (suite)

    Latelier fabrique simultanment les deux types depices p1 et p2. Les ratios de production dsirs sont1/3 de p1 et 2/3 de p2. Les pices sont transportssur des palettes qui sont toutes identiques (10

    palettes). Les gammes de fabrication des pices p1et p2 sont respectivement donnes par G1 et G2, lestemps de service dans chacune des stations est celuiprcis entre parenthse. G1 : CD(1) puis CU1 (3) puis CU2 (6) puis [IN (5) ou rien]

    puis CD (1). Une pice sur deux est vrifie la stationdinspection.

    G2 : CD (1) puis CU1 (6) puis CU3 (5) puis [IN (20) ou rien]puis CD (1). Une pice sur dix est vrifie la stationdinspection.

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    26

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    nonc (suite) Les transports des pices entre les stations se font

    par des convoyeurs mais leurs dures sontngligeables devant les temps dusinage, sauf leretour des pices de la station dinspection vers lastation de chargement/dchargement qui prend troisunits de temps.

    Les stocks devant chacune des stations de travailsont suffisamment grands pour viter des blocages.

    A la station de chargement/dchargement lorsquunepalette arrive, elle est dcharge de la pice termineet recharge aussitt par une nouvelle pice.

    Toutes les files sont gres par la discipline PAPS.

    52

    Questions

    Modliser latelier par un rseau de filedattente et caractriser ce rseau.

    Calculer le temps de service moyen etle taux de visite moyen de chaquestation pour chaque type de produit etpour chaque station.

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    27

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    Rseau de files dattente forme produit

    54

    Introduction

    Cest quoi une forme produit ?

    Pour certains rseaux de files dattente simples on peututiliser pour le calcul de ses performances sur ce quonappelle forme produit

    On a M stations interconnectes dans le rseau de filesdattente en question

    On considre ltat (n1, n2, , nM) o ni est le nombre declients la station i (le rseau tant monoclasse)

    On veut connatre la probabilit p((n1, n2, , nM))

    Forme produit : p((n1, n2, , nM)) = K.=M

    iii n

    1)(

    Constante denormalisation

    ne dpend que dela station i

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    28

    55

    Cas dun rseau ouvert monoclasse Donnes

    p01

    p03

    1

    3

    2

    4

    p12

    p23

    p24

    p34

    p43

    p40

    : taux darrive des clients de lextrieur pij : proportion de clients qui, quittant la station i, vont la

    station j vi : taux de visite dun client une station i i : taux de service la station i

    56

    Cas dun rseau ouvert monoclasse

    Dbit des stations

    Au rgime permanent on a :

    MipXpX

    vX

    Mipvpv

    pp

    Mippp

    p

    M

    j

    jijii

    ii

    M

    j

    jijii

    M

    j

    iji

    iMii

    M

    i

    i

    ..1,

    ..1,

    1..Mi,1

    ..1,1...

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    21

    1

    0

    =+=

    =

    =+=

    ==

    =+++

    =

    =

    =

    =

    =

    Ces quations sont

    valables quelle que soitla loi darrive Les taux de service

    ninterviennent pas Mais ces quations

    toutes seules nepermettent pas dedterminer lesperformances du rseau

  • 7/26/2019 file d'attente

    29/30

    29

    57

    Cas dun rseau ouvert monoclasse Hypothses de la forme Produit

    1. Le processus darrive des clients extrieurs est unprocessus de Poisson

    2. Le cheminement des clients dans le rseau est Markovien(les mouvements entre les stations ne dpendent que de ladernire station visite et pas des autres)

    3. Chaque station contient Ci serveurs de temps de servicemoyen ti=1/i

    4. Le temps de service est exponentiel5. Les files dattente sont illimites6. Les files dattente sont gres PAPS (sans premption)

    58

    Cas dun rseau ouvert monoclasse

    Dans ces conditions on a :

    Le nombre de clients dans une station donne ne dpendpas du nombre de clients dans les stations voisines

    La station i se comporte comme si elle tait alimente par

    un processus de Poisson de taux Xi

    p((n1, n2, , nM))= =M

    iii np

    1)(

    avec pi(ni) est la probabilit stationnaire davoir ni clientsdans une station M/M/Ci en isolation avec une charge i

    i

    ii X

    =

  • 7/26/2019 file d'attente

    30/30

    59

    Cas dun rseau ouvert monoclasse Performances

    Qi : Nombre moyen de clients dans la station i Wi : Temps de rponse moyen la station i

    Pour le rseau, on a :

    =

    =

    =

    =

    =M

    iii

    M

    i

    i

    WvQ

    W

    QQ

    1

    1

    60

    Cas dun rseau ouvert multiclasses

    Comme le cas dun rseau monoclasse

    On tudie chaque station i en isolation avec un tauxde service ir et un taux darrive Xir, vrifiant :

    RrMipXpXM

    j

    r

    ji

    r

    j

    r

    i

    r

    i ..1;..1,1

    0 ==+=

    =

    On dtermine les performances de chaque stationpour chaque classe

    On dtermine les performances du rseau