Gestion de Portefeuille_2

8/10/2019 Gestion de Portefeuille_2

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Universit Paris Dauphine

Mathmatiques de la Modlisation et de la Dcision -

M1MMD

Gestion de Portefeuilles

responsable du cours :

Imen Ben Tahar

[email protected]

2010-2011


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Introduction

Ce cours a pour objectif de donner des lments de rponse au problme suivant :

tant donne une somme dargent que lon dcide dinvestir sur le march nancier,

quelle doit tre la stratgie de placement ? Quels produits dtenir et dans quelles

proportions?

Ce problme soulve un certain nombre de questions

quelles informations a-t-on accs sur les marchs nancier ?

sur quels critres peut-on se baser pour dcider de la stratgie de placements ?

quels outils de modlisation conomique, quels outils mathmatiques, infor-

matiques, ... etc, peut-ont faire appel pour traiter ces questions ?

A quelles informations a-t-on accs? Il sagit tout dabord de cerner les diffrentsproduits, ou les diffrentes classes de produits, qui forment le march nancier. On

sintresse ensuite aux donnes disponibles relatives ces diffrents produits, leur na-

ture, leur pertinence, galement les mthodes statistiques permettant de les analyser.

Ces points font lobjet du Chapitre 1 de ce cours.

Sur quels critres peut-on se baser pour dcider de la stratgie de placement ?A travers cette question nous pouvons aborder trois volets. Le premier concerne

la politique de placement relative linvestisseur, quil soit un agent particulier ou

bien une institution. En effet, pour dcider de la manire avec laquelle son porte-

feuille dactifs nanciers sera constitu ou mis jour, il est essentiel pour linves-

tisseur dnoncer clairement les objectifs quil veut atteindre tout aussi bien que les

contraintes auxquelles il est soumis. Cest la politique de placement quest consacr

le Chapitre 2.

La politique de placement tant prcise, il est alors ncessaire dtablir un cadre for-

mel dans lequel sera trait le problme de gestion de portefeuille. Cest le deuxime

volet. Il sagit dtablir un modle pertinent pour le march nancier, de trouver un

bon critre pour le choix de portefeuille et de mettre en oeuvre les outils math-


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3

matiques, ou encore informatiques pour la rsolution du problme. Dans ce sens, le

Chapitre 3 prsente la thorie moderne de gestion de portefeuille. On exposera dans

ce chapitre la thorie de choix de portefeuille de Markowitz, le modle de lquilibre

des actifs nanciers (MEDAF) et enn, la thorie de lvaluation par arbitrage ( ar-

bitrage pricing theory APT) dans le cadre des modles factoriels.

Le Chapitre 4 sera consacr des techniques classiques particulires dAssurance de

portefeuille. On prsentera notamment des stratgies faisant intervenir des produits

drivs, ou encore les stratgies coussins multiples et les stratgies stop-loss.

Enn, le troisime volet concerne lvaluation du processus de gestion de portefeuille

tabli et sa capacit rpondre aux objectifs viss. Cest lobjet du Chapitre 5.


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Table des matires

1 March nancier et donnes nancires 9

1.1 Marchs nanciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Les produits du march nancier . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Fonctionnement des marchs nanciers . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Elments danalyse des donnes nancires . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Prix et rentabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 Rsums empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3 Lois statiques gaussiennes pour les rentabilits . . . . . . . . 16

1.2.4 Tester lhypothse de normalit . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.5 Quelques faits styliss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 De lefficience des marchs nanciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Politique de gestion de portefeuille 25

2.1 Enoncer la politique de placement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Dterminants de la politique de placement . . . . . . . . . . . . . . . 26

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6 TABLE DES MATIRES

2.2.1 Les objectifs de placement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2 Les contraintes de placement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Thorie moderne de portefeuille 29

3.1 Thorie de portefeuille de Markowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 Modle du march nancier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2 Choix en prsence de risque : thorie de lesprance dutilit . 32

3.1.3 Critre de moyenne-variance et portefeuilles efficients . . . . . 34

3.1.4 Dtermination de la frontire efficiente en absence de lactif

sans risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.5 Dtermination de la frontire efficiente en prsence de lactif

sans risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Le modle dquilibre dactifs nanciers MEDAF . . . . . . . . . . . 48

3.2.1 Drivation du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.2 Extensions du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.3 Validation empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3 Thorie de lvaluation par arbitrage (APT) et modles factoriels . . 59

3.3.1 Modle factoriel linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.2 Nature des facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.3 Absence dopportunits darbitrage et relations fondamentales

de lAPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 Assurance de portefeuille 65


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TABLE DES MATIRES 7

4.1 Assurance de portefeuille : dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 Stratgies utilisant des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.1 Rappels sur les options classiques . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.2 Le montage de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.3 Rplication du put : cadre du modle binomial lmentaire . 69

4.2.4 Rplication du put : cadre du modle de Cox-Ross-Rubinstein 70

4.3 Stratgies Stop-Loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4 Mthodes du coussin multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5 Evaluation de performance 75

A Rappels sur loptimisation sous contrainte 77


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8 TABLE DES MATIRES

Agenda

sance 1 Chapitre 1 et 2 : introduction de la gestion de portefeuille, des

marchs nanciers et quelques mots sur la politique de placement

sance 2 Chapitre 3 : thorie de Markowitz : critre moyenne-variance et

notion de portefeuille efficient- Discussion propos du critre

moyenne variance en vue de le thorie vNM

sance 3 Chapitre 3 : la frontire efficiente et le thorme des deux fonds

sance 4 Chapitre 3 : le MEDAF

sance 5 Chapitre 3 : le MEDAF quelques extensions, validation empirique

sance 6 Chapitre 3 : APT et modles factoriels : Modle un facteur com-

paraison avec le MEDAF

sance 7 Chapitre 4 : APT et modles factoriels : Relation fondamentale de

lAPT

sance 8 Chapitre 4 : APT et modle factoriels : Relation fondamentale de

lAPT

sance 9 Chapitre 4 : Stratgies dassurance de portefeuille-1sance 10 Chapitre 5 : Stratgies dassurance de portefeuille-2

sance 11 Chapitre 5 : Stratgies dassurance de portefeuille-3

sance 12 Chapitre 6 : Mesure de performance


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Chapitre 1

March nancier et donnesnancires

1.1 Marchs nanciers

Le rle des marchs nanciers est de mettre en rapport des agents en qute de

capitaux (ltat, les entreprises) et des agents disposant dune pargne (les mnages,

les investisseurs institutionnels tels que les compagnies dassurance, les caisses de

retraites, les grants de fonds). Un agent en besoin de nancement mets des titres

nanciers. En contrepartie de largent quil reoit par lacqureur du titre, il doit as-

surer ce dernier des bnces futurs (ux montaires, droits, ...) dans des conditions

prcises.

1.1.1 Les produits du march nancier

On peut classer les diffrents produits du march nancier selon le tableau

9


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10 CHAPITRE 1. MARCH FINANCIER ET DONNES FINANCIRES

March nancier

march montairemarch des capitaux

obligations actionsproduits drivs

Les instruments du marchs montaire sont des instruments demprunt

court terme pouvant tre mis par le gouvernement, les banques, les investisseurs

institutionnels ou les entreprises. Ils ont une maturit pouvant aller de 10 jours 7

ans . Exemple : Bons du trsor.

Les produits du march des capitaux sont des titres dont la maturit est su-

prieure une anne, voire non dnie. On distingue dune part les titres revenus

xes, les obligations, qui donnent droit une srie de ux montaire bien dtermins,

et dautre part les actions qui constituent une part du capital de lmetteur et par

suite donnent droit la participation ses bnces.

Les obligations : une obligation est un titre dendettement. Lmetteur de lobliga-tion sengage rembourser terme son porteur et lui verser des intrts des dates

spcies. Les obligations peuvent tre mises par ltat, les collectivits locales, les

tablissement publics, les intermdiaires nanciers et les socits.

Les actions : Une action est un titre de participation dans le capital social de son

metteur (socit de capitaux) . Dans sa forme traditionelle elle donne droit la

gestion de la socit (une action = une voix dans les votes en assemble gnrale),

et aux bnces (sous forme de dividendes).

Les produits drivs sont des produits dont la valeur drive dun ou de plusieurs

titres nanciers. Exemples : les options dachat, les options de vente, les contrats

terme.


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1.1. MARCHS FINANCIERS 11

1.1.2 Fonctionnement des marchs nanciers

Le fonctionnement des marchs nanciers repose sur deux compartiments : le mar-

ch primaire et le march secondaire.

Le march primaire est proprement parler le lieu de rencontre des agents en be-

soin de nancement et des agents disposant dpargne, puisquil sagit du march de

lmission des titres.

Le march secondaire est le lieu o seffectue lchange des titres qui ont t dj

mis. Par le jeu de loffre et la demande, les prix des produits nanciers varient sur ce

march et peuvent, ventuellement, scarter considrablement du prix lmission.

Mcanisme des ordres en bourse Pour pouvoir effectuer des oprations en

bourse un agent doit tre titulaire dun compte chez un intermdiaire habilit.

Lagent communique les oprations lintermdiaire qui se charge prsenter les

ordres au march. En contrepartie, lintermdiaire touche une commission : ce sont

les cots de transactions.Sur la bourse de Paris, le rglement des ordres peut se faire selon deux modalits.

(i) La premire est le systme du comptant, le rglement et la livraison des titre se

font instantanment et simultanment. Cette modalit constitue la norme. (ii) La

deuxime modalit est le Service de Rglement Diffr (SRD). Ce service permet un

dcalage entre le jour de la ngociation et le jour du rglement ou de livraison des

titres. Seule une slection des valeurs boursires peuvent tre ngocies selon cette

modalit.

Les ordres peuvent tre des ordres dachat, des ordres de vente de titres que lagent

dtient, mais galement des ordres de ventes dcouvert : lagent propose la vente

des titres quil ne possde pas. En pratique, lintermdiaire en bourse se charge dem-

prunter les titres chez un autre agent pour effectuer la vente. Lagent qui les a vendus

dcouvert doit acheter des titres, une date future, pour remplacer ceux qui ont


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t emprunts. Les ventes dcouvert ne peuvent pas tre ralises pour tous les

titres. Sur la bourse de Paris elles ne concernent que les titres du SRD. De plus,

certaines socits peuvent ne pas autoriser la vente dcouvert de leurs titres.

1.2 Elments danalyse des donnes nancires

Dans lobjectif de grer des portefeuilles de titres nanciers, notre premire atten-

tion porte sur les donnes relatives ces titres. Les donnes accessibles sont bienentendu les prix actuels ou encore les historiques de prix ; mais noublions pas que

le rsultat des dcisions dinvestissement prises aujourdhui dpendent des niveaux

futurs des prix, lesquels ne peuvent tre dtermins avec certitude. Face cette

incertitude, loutil statistique est un outil naturel qui aide

comprendre travers lanalyse des donnes historique le comportement des prix,

proposer un modle pour lvolution des prix aidant la prvision et la quan-

tication des risques.

Cette section prsente quelques outils statistiques lmentaires pour une premire

analyse des sries nancires.

1.2.1 Prix et rentabilits

Soit P t le prix dun actif nancier au temps t, et Dt pay par cet actif entre les

dates t 1 et t . Nous noterons pt := ln( P t ) le log-prix la date t .

Dnition 1.2.1 La rentabilit simple entre la date t et la date t 1 est dnie par R t :=

P t + D tP t1

1 . (1.2.1)

La log-rentabilit, appele encore rentabilit gomtrique, est dnie par

r t := ln(1 + R t ) = ln( P t + D t ) ln(P t1) . (1.2.2)


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1.2. ELMENTS DANALYSE DES DONNES FINANCIRES 13

Remarque 1.2.1 Notons que si la rentabilit est proche de zro, alors ces deux

dnitions sont (presque) quivalentes : rt = ln(1 + R t )

R t .

Soit Rt (k), respectivement rt (k), la rentabilit simple, resp. logarithmique, entre la

date t et la date t k. Si on ne tient pas compte des dividendes, elles sont donnespar

R t (k) = (1 + R t )...(1 + R tk+1 ) 1 et rt (k) = rt + ... + r tk+1 , (1.2.3)

Pourquoi les rendements plutt que les prix ?

La gure 1.2.1 prsente lvolution du cours de clture mensuel et les log-rentabilit

mensuelles du CAC40 sur la priode 02/ 199309/ 2007. Chacune de ces sries tempo-relles est issue de lobservation des ralisations, a posteriori, dun processus alatoire.

Si nous voulons lutiliser des ns de modlisation ou de prvision, nous devons faire

attention aux deux points suivants.

(i) Le premier point est la mesure dans laquelle le processus gnrateur de ces don-

nes reste invariable ou change dune priode lautre. Le fait de se servir dobser-vations du pass pour modliser les ralisations du futur na de sens que si certaines

proprits de ce processus alatoire demeurent constantes dans le temps. A cette

ide correspond la notion statistique de stationnarit.

(ii) Le deuxime point est la faon avec laquelle une observation dpend des ralisa-

tions passes. Cest la notion dautocorrlation. Plus la structure de dpendance est

complexe, plus le traitement statistique est difficile.

Lanalyse directe des sries de prix se rvle difficile car elles ne sont pas station-

naires et exhibent une forte corrlation. Les sries des rentabilits ont en gnral de

meilleures proprits statistiques.


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Figure 1.1

0 20 40 60 80 100 120

3 0 0 0

4 0 0 0

5 0 0 0

6 0 0 0

Cours CAC40

jan 1993 sep 2007

C A C 4 0

0 20 40 60 80 100 120

0

. 1 0

0

. 0 5

0 . 0

0

0 . 0

5

0 . 1

0

0 . 1

5

0 . 2

0

CAC 40 logreturns

jan 1993 sep 2007

l o g

r e t u r n s

1.2.2 Rsums empiriques

On considre une srie temporelle y = {yt , 0 t T } valeur dans R d , i.e. chaqueobservation yt = ( y1t ,...,y dt ) est un vecteur de Rd avec d 1.Exemple : Soit S i , i = 1 ,...d des actifs du marchs nanciers de prix respectifs

P 1t , ..., P dt . On sintresse pour chaque actif i la srie des log-rentabilits r it , 0 t T ,

ou bien conjointement la srie

r 1t

...

r dt

, 0 t T .

Pour rendre compte de ses proprits, on peut calculer des rsums empiriques syn-

thtiques

(i) Moyenne empirique

mT (y) = yT := 1

T

T

t=1yt (1.2.4)


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(ii) Matrice de variance covariance empirique

T (y) = ( ij,T (y))1i,j d := 1T 1

T

t=1(yt yT )(yt yT ) (1.2.5)

ij,T (y) = 1T 1

T

t=1(yit yiT )(y jt y jT ) (1.2.6)

qui est une matrice carre symtrique semi-dnie positive.

Dautres moments sont ainsi calculs. Notamment les moments centrs dordre 3 et

4 sont habituellement calculs pour chaque actif :(iii) Coefficient empirique dasymtrie (skewness empirique)

SkiT (y

i ) := 1T 1

13i,T (yi )

T

t=1(yit yiT )3 o 2i,T (yi ) = ii,T (y) (1.2.7)

Une loi normale est symtrique, par suite son moment centr dordre 3 est nul. Une

valeur positive du coefficient dasymtrie rvle une distribution plus tendue vers

les valeurs positives, et une valeur ngative indique une distribution plus tenduevers les valeurs ngatives.

(iv) Coefficient empirique daplatissement (kurtosis empirique)

K iT (yi ) :=

1T 1

14i,T (yi )

T

t=1(yit yiT )4 (1.2.8)

Pour une loi normale la kurtosis vaut 3. On se rfre ce chiffre pour juger de

limportance des queues dune distribution. On parle de

distribution leptokurtique lorsque la kurtosis est suprieure 3 : queues plus

paisses que celles de la loi normale,

distribution platykurtique lorsque la kurtosis est infrieure 3 : queues plus

aplaties que celles de la loi normale.


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1.2.3 Lois statiques gaussiennes pour les rentabilits

Soit P t les vecteurs prix de d actifs nanciers pour 0 t T . On considre lesrentabilits simples Rt et les log-rentabilits r t associes. Les modles les plus simples

pour les prix reposent sur des hypothses de lois gaussiennes.

Dnition 1.2.2 Soient m R et R+ . On note N (m, 2) la loi de probabilit dont la densit est donne par

f (x) = 1

2 2exp

(x m)2

22 . (1.2.9)

Une variable alatoire relle dont la loi est N (, 2) est dite gaussienne.Un vecteur alatoire X = ( X 1,...,X d) est dit gaussien ssi pour tout a Rd, le produit scalaire a X est une variable gaussienne. Dans ce cas, on note X N (, ) ,la loi gaussienne de moyenne := E [X ] et de matrice de variance-covariance =

E [(X )(X ) ]

Remarque 1.2.2 si un vecteur X = ( X 1,...,X d) est gaussien, alors chacune de ses

composantes est une variable alatoire gaussienne. La rciproque nest pas vraie

Proposition 1.2.1 Soit X = ( X 1,...,X d) un vecteur gaussien de moyenne Rd

et de matrice de variance-covariance . Si nest pas inversible alors le vecteur

gaussien X nadmet pas de densit par rapport la mesure de Lebesgue dans Rd .

Sinon, il admet une densit qui scrit

f (x) = 1

(2)d/ 2 det exp 12

(x ) 1(x ) , xR d . (1.2.10)Rciproquement, si un vecteur X admet une densit donne par (1.2.10), alors X est

un vecteur gaussien de moyenne et de matrice de variance-covariance .

Proposition 1.2.2 Soit (X 1, X 2) un vecteur gaussien. Les variables X 1 et X 2 sont

indpendantes ssi cov(X 1, X 2) = 0 .


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Proposition 1.2.3 Soit X 1,...,X n une suite de variables alatoires i.i.d qui suivent

la loi N (m, 2), avec mR , R+ . Alors X n := 1n ni=1 X i et S n := 1n1 ni=1 (X iX n )2 sont indpendantes et vrient

n 12

S n 2n1 et X n mS n / n tn1 . (1.2.11)

Hypothse A Les rentabilits simples R1,...,R T sont indpendantes, identiquement

distribues, avec R1 N (, ) .

Exercice .1 Un investisseur dispose dune richesse initiale V 0 quil investit dans les

actifs nanciers S 1, . . ,S d. Soit i la proportion de la richesse initiale V 0 alloue

lactif i. Linvestisseur projette de garder son portefeuille inchang jusqu une date

future T > 0, on note V T la valeur de son portefeuille cette date.

Exprimez la rentabilit du portefeuille R := V T /V 0 1 en fonction des i et desrentabilits simples R i := R iT (T ) de chacun des actifs S

i . Quelle est la loi de R sous

lHypothse A ?

Hypothse B Les log-rentabilits r 1,...,r T sont indpendantes, identiquement dis-

tribues, avec r 1 N (, ) .

Exercice .2 Dterminez sous lhypothse B les expressions de la moyenne E[R it ] et

de la variance var (R it ) de la rentabilit simple Rit .

Quelle est, sous lhypothse B, la loi de r it (k) ?

Hypothse C Modle de marche alatoire pour les log-rentabilits

r t = rt1 + + t , (1.2.12)

o ( t ) est une suite de variables i.i.d. N (, ) .

Exercice .3 On suppose que les rentabilits vrient lhypothse C. On suppose de

plus que = 2Id avec > 0. Dterminez lexpression de P T en fonction de P 0.

Calculer E[P iT ] et var (P iT ).


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1.2.4 Tester lhypothse de normalit

Soit X une variable alatoire et (x1,...,x n ) une srie dobservations de ralisations

de cette variable. Nous prsentons dans ce qui suit des mthodes simples pour tester

la normalit de la loi de X .

Histogrammes Une estimation de la densit de X peut tre obtenue partir dun

histogramme des observations (x1,...,x n ) dun chantillon (X 1,...,X n ) de X .

Un histogramme glissant de pas h > 0 et de noyau K est obtenu en posant

f h,n (x) := 1nh

n

k=1

K (X i x

h ) x

R , (1.2.13)

o K est une fonction telle que R K ( )d = 1 . Lorsque h 0 et nh , cest unestimateur asymptotiquement convergeant avec nh f h,n (x) f (x) L N 0, f (x) R K 2( )d . (1.2.14)

Exemples de Noyaux

noyau rectangulaire : K ( ) = 12 1 ||1,noyau gaussien : K ( ) = 1 2 exp

2

2 .

Tests visuels Un test graphique de normalit est donn par le diagramme quantile-

quantile, qq plots qui est la reprsentation graphique de

k

n + 1, X k:n , k = 1 ,...,n , (1.2.15)

o X 1:n ,...,X n,n est la statistique dordre de lchantillon (X 1,...,X n ) et () est le

quantile de la distribution de rfrence. Ainsi, pour obtenir ce diagramme,

1. on commence par ordonner les observations de lchantillon par ordre croissant :


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Figure 1.2 Histogram of CAC40 monthly logreturns

CAC40 logreturns

D e n s

i t y

0.15 0.10 0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

0

2

4

6

8

0.1 0.0 0.1 0.2

0 . 0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0

CAC40 logreturns empirical cumulative distribution function

x

F n

( x )

x1:n ... xn :n .2. Ensuite, les observations sont reportes sur un graphique. Lobservation de rang k

est reprsente par le point ( k1+ n ), xk:n , cest dire le point dabscisse le quantile

de la distribution de rfrence dnie par lobservation x i :n et dordonne xk:n .

3. Si les observations correspondent parfaitement aux quantiles de la distribution

de rfrence, les points du diagramme seraient aligns sur la premire bissectrice et

quidistants.

Figure 1.3

2 1 0 1 2

0

. 1 0

0

. 0 5

0 . 0

0

0 . 0 5

0 . 1

0

0 . 1

5

0 . 2

0

Normal QQ Plot

Theoretical Quantiles

S a m p l e Q u

a n t i l e s


20/78


Utilisation des moments dordre 3 et 4 La skewness et la kurtosis qui sont

dnies, respectivement, partir du moment dordre 3 et du moment dordre 4 dune

distribution, fournissent un test de normalit. En effet, si X N (m, 2), alors laskewness et la kurtosis empiriques associes un chantillon (X 1, , , , , X n ) vrient

pour n Sk n (X )N 0,

6n

et K n (X )N 3, 24n

(1.2.16)

Tests de Bera&Jarque : si la distribution suit la loi normale, alors la statistique

BJ T := T

6S 2T +

T 24

( K T 3)2 (1.2.17)

suit asymptotiquement une loi du 2 deux degrs de libert.

BJ T 21 (2) on rejette lhypothse H 0 de normalit au seuil .

1.2.5 Quelques faits styliss

On dsigne par faits styliss des proprits statistiques communment exhibes par

la plupart des actifs nanciers. Il est important de savoir si les modles statistiques

choisis pour modliser les donnes nancires permettent de rendre compte de ces

faits styliss.

Absence dauto-corrlation des rendements : les rentabilits sont imprvisibles et ex-

hibent une trs faible autocorrlation, voire une absence dautocorrlation. Ceci

confre aux sries des rentabilits un aspect de marche alatoire.

Queues paisses : les distributions des rentabilits sont leptokurtiques : les queues

des distributions sont plus paisses que celles dune loi Gaussienne.

Asymtrie ngative : le biais vers les valeurs ngatives implique que les pertes svres

ne sont pas aussi rares que pour une loi gaussienne.


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1.3. DE LEFFICIENCE DES MARCHS FINANCIERS 21

le klustring de volatilit : on observe que de longues priodes o la variance des

rentabilits est haute se succdent de longues priodes o elle est rduite. Cette

proprit nest pas cohrente avec un modle de rentabilits iid.

les time patterns : le rendements exhibent systmatiquement des hausses ou des

baisses des priodes bien prcises de lanne, du mois, de la semaine ou du jour.

Par exemple, on observe une hausse des rendements durant les trente dernires mi-

nutes de la journe, on a remarqu que lundi les rendements sont beaucoup moins

levs que les autres jours de la semaine, ou encore plusieurs tudes ont rvl que

les rendements au mois de janvier sont sensiblement plus levs que les autres mois.

1.3 De lefficience des marchs nanciers

La notion defficience du march nancier, mise en vidence par FAMA dans les

annes 60, joue un rle fondamentale dans la thorie nancire moderne. Dire que

le march est efficient cest dire que le prix courant dun titre incorpore toute lin-

formation disponible , cest dire que la prvision optimale du rendement dun actif base sur lensemble dinformation disponible est gale au rendement dquilibre du

titre . Ainsi, dans un march efficient les prix constituent des signaux ables sur

lesquels on peu btir les dcisions dinvestissement.

Dnition 1.3.1 Un march est dit efficient par rapport un certain ensemble

dinformation F, si toute linformation de F disponible la date t, note F t , est parfaitement rete dans son prix P t .

Pour prciser la notion dinformation, Roberts ( 1967) distingue

efficience faible : F est constitue par lhistorique des prix passs. Si le march

est faiblement efficient alors toute lanalyse technique (qui consiste en lanalyse

de prix ou de fonctions de prix passs) est inutile linvestisseur.


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efficience semi-forte : F est constitue par toute linformation connue publique-

ment par tous les acteurs du march (information publique). Si lefficience semi-

forte est vrie par le march, alors toute lanalyse fondamentale (analyse base

sur linformation publique) est inutile linvestisseur.

efficience forte : F est constitue par toute linformation connue par au moins

un acteur (information publique et prive). Si le march vrie lefficience forte

alors il nexiste aucune possibilit de gain qui reste inexploite.

Si le march est efficient, alors

- les prix retent les esprances des revenus futurs auxquels il donnent droit,

- tous les vnements anticips sont dj inclus dans les prix, par suite seuls les

vnements imprvisibles peuvent les inuencer Pour traduire formellement cette

hypothse nous avons besoin dintroduire la notion de ltration

Dnition 1.3.2 Un ltration F = {F t , t 0}sur un espace de probabilit (, F , P )est une suite croissante de tribus, i.e. F s F t pour 0 s t .Un processus {X t , t 0} dni sur lespace de probabilit (, F , P ) est une martin-gale par rapport la ltration F ssi E [|X t |] < pour tout t 0 et E [X t |F s ] = X spour tout 0 s t .

On trouve dans la littrature plusieurs formulations possibles pour lhypothse def-

cience parmi lesquelles :

Le prix est une martingale cest dire E [P t+1 |P t ,...,P 0|] = E [P t+1 |F t ] = P tExemple : modle de marche alatoire : P t+1 = P t + t , o {t} est une suite devariables alatoires i.i.d. avec E [t ] = 0 et var (t ) = 2

Les log-rentabilits sont i.i.d, cest dire {r t = pt+1 pt} est une suite de variablesalatoires i.i.d.

Le march vrie lhypothse dabsence dopportunits darbitrage, i.e. il existe une

mesure de probabilit Q (quivalente la probabilit historique) telle que les prix,

actualiss par le taux court sans risque, soient des martingales : E Q [P t+1 /r 0,t +1 |F t ] =


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1.3. DE LEFFICIENCE DES MARCHS FINANCIERS 23

P t /r 0,t .

Nombre de travaux ont eu pour objet de tester lefficience des marchs nanciers.

Notons que pour tester lhypothse defficience, il faut tre en mesure de dterminer

le prix correct, cest dire, quil faut disposer dun modle dquilibre. Ainsi quand

on teste lefficience, on teste en mme temps le modle de dtermination du prix

dquilibre. Certains tests formels portent sur la prdictibilit des taux de rentabilit

des actifs. On trouve galement des tests portant sur la (vitesse de) raction des prix

la rvlation de nouvelle informations. On peut galement tudier des faits styliss

tels que les time patterns, les effets de taille, ... etc, et analyser leur compatibilitavec lhypothse defficience.

Quelques rfrences :

1. Tsay, Ruey S. (2005), Analysis of nancial time series , Wiley-interscience.

2. Taylor, Stephen (1986), Modelling Financial time series , John Wiley & Sons

Ltd.

3. Fama, Eugne F. (1965), Random Walks in Stock Market Prices , Financial

Analysts Journal.

La bibliothque de dauphine permet daccder un certain nombre de bases

de donnes nancires, vous pouvez consulter :

4. www.bu.dauphine.fr/scd/formation/m1/nancieres.ppt

et pour une introduction au logiciel R 5. http ://cran.r-project.org/doc/contrib/Paradis-rdebuts_fr.pdf


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Chapitre 2

Politique de gestion de portefeuille

2.1 Enoncer la politique de placement

La premire tape du processus de gestion de portefeuille, pour un investisseur

institutionnel tout aussi bien que pour un investisseur individuel, consiste tablirclairement sa politique de placement . Il sagit de xer : les objectifs de rentabilit

souhaits au bout de lhorizon dinvestissement, les niveaux de risque qui peuvent

tre tolrs, les contraintes des portefeuille et les stratgies admissibles. Le terme

politique de placement dsigne par ailleurs le document crit dtaillant ces diffrents

lments. Le gestionnaire du portefeuille est tenu de le produire et de le rviser

priodiquement.

Enoncer clairement sa politique de placement permet linvestisseur de (i) choisir

le style de gestion qui convient le mieux ces objectifs de rentabilit et de risque,

(ii) garantir tout au long de lhorizon dinvestissement la cohrence des dcisions de

rvision du portefeuille, enn (iii) dvaluer la performance des stratgies de gestion

appliques.

Nous dtaillons dans ce qui suit les lments dterminants dont un investisseur se

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26 CHAPITRE 2. POLITIQUE DE GESTION DE PORTEFEUILLE

doit de tenir compte pour tablir sa politique de placement.

2.2 Dterminants de la politique de placement

2.2.1 Les objectifs de placement

La dnition des objectifs de placement pour un investisseur rsulte dun arbitrage

rendementrisque. Compte tenu du caractre alatoire des rsultats des instruments

nanciers, les possibilits de gains quils peuvent produire sont indissociables des

possibilits de perte. Ainsi, un nonc tel que atteindre un rendement maximal

ou garantir un risque minimal occulte lune des deux faces du problme. Un bon

nonc dobjectif est du type atteindre au moins une rentabilit de 30% en suppor-

tant, au plus, une perte de 10% du capital.

Le rendement. Le niveau de rendement recherch dpend du type dinvestisseuret de son secteur dactivit.

Dans le cas dun investisseur individuel le cycle de vie est un dterminant essentiel.

Par exemple, lentre dans la vie active correspond un faible patrimoine nancier

et un long horizon de placement, linvestisseur favorise alors des placements ren-

dements relativement levs (quitte prendre plus de risques) ; par contre, la retraite

correspond une phase o lindividus vit des revenus de ses placements ou de ses fonds

de retraite et o son horizon de placement est relativement court, il favorise alors

des placements rendements rguliers et de faible risque.

Dans le cas dune institution, la dtermination du niveau de rendement atteindre

tient compte des ux montaire engendrs par son activit, comme elle tient compte

de lquilibre actif/passif. Elle peut dpendre galement de lge moyen de ses em-

ploys.


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2.2. DTERMINANTS DE LA POLITIQUE DE PLACEMENT 27

Le risque. Il peut tre dni de manire quantitative en ayant recours des me-

sures statistiques telle que : lcart-type, les quantiles (notion de valeur risque

V aR). La tolrance pour le risque est en gnral dautant plus grande que la sant

nancire de linvestisseur est solide et son horizon dinvestissement est long. Notons

que pour les investisseurs individuels, des lments autres que quantitatifs inuencent

son attitude vis vis du risque. Dans la pratique, les gestionnaires de portefeuilles

peuvent recourir des systmes de scores attribus travers des questionnaires pour

classer les individus selon leur attitude par rapport au risque.

2.2.2 Les contraintes de placement

Les dcisions dallocation de portefeuille sont lis par diffrents types de contraintes.

Les contraintes rglementaires. Il sagit de dispositons lgales qui limitent les

instruments ou les secteurs du march nancier auxquels un investisseur peut avoir

accs. Certains investisseurs institutionnels tels que les fonds de pension ne peuvent

pas, par exemple, investir dans des classes donnes de produits drivs jugs trop

risqus. Des contraintes lgales peuvent porter galement sur le niveau de risque

admissible ou le degrs de diversication du portefeuille.

Les rgles de taxation. Cest un lment qui dpend du statut de linvestis-

seur et du type de produits considrs. Les taxes peuvent constituer une partie non

ngligeable des cots des dcisions dallocation ou de rvision de portefeuille.

Les contraintes de liquidit. Elles sont lies aux besoins en fonds qui peuvent

survenir de manire plus ou moins priodique. Linvestisseur doit tre assur quune

partie des ces placements est suffisamment exible pour pouvoir, au besoin, satisfaire

ses besoins en liquidits.


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28 CHAPITRE 2. POLITIQUE DE GESTION DE PORTEFEUILLE


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Chapitre 3

Thorie moderne de portefeuille

3.1 Thorie de portefeuille de Markowitz

The process of selecting a portfolio may be divided in two stages. The rst

stage starts with observation and experience and ends with beliefs about the

future performances of available securities. The second stage starts with the

relevant beliefs about future performances and ends with the choice of portfo-

lio Harry Markowitz

3.1.1 Modle du march nancier

On considre un march nancier form par d actifs S i , i = 1 ,...,d

risqus et un actif sans risque S 0 qui peut tre assimil un placement

bancaire un taux sans risque. Le prix de lactif i une date t

0 est

not P it . On suppose que ces actifs sont parfaitement divisibles, quils ne

sont soumis ni des cots de transactions, ni des taxes.

Un agent dcide dinvestir une richesse initiale, w0, dans ce march -

nancier sur un horizon de temps T .

On se concentre tout au long de ce chapitre sur un modle simple une

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30 CHAPITRE 3. THORIE MODERNE DE PORTEFEUILLE

priode. Les agents ont accs ce march seulement deux dates : le

prsent t = 0 et une date future t = T avec T > 0. A la date t = 0

un investisseur forme, partir de sa dotation initiale, un portefeuille

dactifs et le conserve jusqu la date t = T . A la date t = T linvestisseur

consomme la totalit de sa richesse.

Lincertitude concernant le futur (date T ) est modlise par un espace de

probabilit (, F , P ). Pour tout i = 1 ,...,d , P iT est une variable alatoire,et on introduit

R i := P i

T P i0 1, i = 0 ,...,d et le vecteur R := R1 Rd (3.1.1)et on note

m i := E [R i ], M := E [R] = m1 md , (3.1.2) ij := cov(R i , R j ), = ij 1i,j d

. (3.1.3)

Hypothse 1 : On suppose que la matrice de variance-covariance est

inversible.

Remarque 3.1.1 Le fait de supposer que est inversible ne rduit pasla gnralit du modle. En effet, supposons que ne soit pas inversible.

Il existe alors Rd tel que = 0 et = 0 . Un tel vecteur non nul vrie : var ( R) = = 0 , ce qui implique que la variable alatoire

R est gale une constante x presque srement

1R1 + ... dRd x = 0 avec = 0 .On dduit que si nest pas inversible, alors la rentabilit de lun des

actifs risqus peut tre obtenue comme combinaison linaire des rentabi-

lits des autres actifs sur le march, on peut alors le considrer comme

redondant.

Remarque 3.1.2 La rentabilit simple de lactif sans risque R0 est une

constante.


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3.1. THORIE DE PORTEFEUILLE DE MARKOWITZ 31

Stratgies dinvestissement. Dans ce modle, une stratgie dinves-

tissement peut tre dcrite par un vecteur = 1... dA o

i est la proportion de la richesse initiale w0 investie dans lactif i, pour

i = 1 ,...d,

ainsi, en tenant compte de la contrainte budgtaire , 0 := 1 i=1 ...d

i reprsente la proportion de la richesse w0 alloue lactif sans

risque,

A est lensemble des portefeuilles admissibles. Cest une partie de Rdqui tient compte des contraintes de portefeuille.

Exemples Si aucune contrainte de portefeuille nest impose, notam-

ment les ventes dcouvert sont autorises pour tous les actifs, alors

A = Rd . Si on interdit les ventes dcouvert pour tous les actifs, alorsA= [0, 1]d, di=1 [0, 1] . Si on borne les proportions alloues chacun des actifs alors A=

d

i=1

[li , L i] avec li , L iR + .

Valeur terminale et rentabilit dun portefeuille. On note W w,tla valeur la date t dun portefeuille form partir de la richesse initiale

w et en suivant la stratgie dallocation dcrite par le vecteur A. Ona alors W w,0 = w et

W w,T = w 1 d

i=1

i (1 + R0) +d

i=1

w i (1 + R i )

= w 1 + R0 + (R R01 ) , (3.1.4)o 1 est le vecteur 1 = (1 ,

, 1) de Rd . Les expressions de lesprance

et de la variance de la richesse terminale sont donnes par

E W w,T = w 1 + R0 + (M R01 ) , var (W w,T ) = w2 (3.1.5)

On voit que la rentabilit (simple) de ce portefeuille ne dpend pas de la

richesse initiale, mais quelle dpend uniquement de lallocation . On la


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note alors R et son expression est donne par

R := W w,T W w,0 1 = R

0 + R R01 . (3.1.6)

Lesprance et la variance de la rentabilit associe lallocation de por-

tefeuille sont gales

E [R ] = R0 + M R01 , var (R ) = var ( R) = (3.1.7)

Le problme de linvestisseur est de choisir parmi lensemble des

allocations possibles de portefeuille, A, un portefeuille optimal. Mais,selon quel critre ?

Lide de Markowitz est que linvestisseur exprime ses prfrences sur

lensemble des portefeuilles en tenant compte du couple rendement-risque

et ce en examinant deux paramtres : lesprance-la variance du gain asso-

ci chaque portefeuille. Dans ce qui suit nous commen ons par un rappel

sur le problme de choix en environnement incertain et nous verrons dans

quelle mesure se justie le recours un critre moyenne-variance pour lechoix de portefeuille.

3.1.2 Choix en prsence de risque : thorie de lesprance

dutilit

Comment exprimer ses prfrences entre diffrentes perspectives ala-

toires ?

La thorie de von Neumann Morgenstern (1944), en adoptant une axio-

matique simple pour caractriser la rationalit des choix des individus en

prsence de risque, aboutit au critre de lesprance dutilit comme r-

ponse cette question. Ainsi, les prfrences dun agent sur un ensemble


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de perspectives alatoires Asont rationnelles sil existe une fonction duti-lit u telle que pour tout X, Y A

X est prfr Y ssi E [u(X )] E [u(Y )] .Supposons que A soit un ensemble de variables alatoires relles dniessur lespace de probabilit (, F , P ). Un lment X A reprsente legain (montaire) associ un(e) projet/stratgie donn(e). Supposons

que les prfrences dun agent sur A soient dcrites par une fonctiondutilit vNM u : R

R croissante.

Dnition 3.1.1 (i). On appelle quivalent certain de X A, et on note ecu (X ), la valeur certaine (i.e le rel) quivalent pour lagent X ,

i.e. : u(ecu (X )) = E [u(X )] (ii). On appelle prime de risque associe

X la quantit u (X ) := E [X ]ecu (X ).La notion de prime de risque permet de caractris le comportement de

lagent vis vis du risque : une prime de risque positive indique que

lagent est prt renoncer X pour un montant certain ecu (X ) qui est

infrieur au gain espr de X

Si u 0 lagent est averse au risque , si u 0 lagent est tolrant pour le risque et si u = 0 lagent est neutre vis vis du risque .

Proposition 3.1.1 Lagent est

averse au risque ssi u est concave,

tolrant pour le risque ssi u est convexe,

neutre vis vis du risque ssi u est affine.

Si la fonction dutilit u est concave, strictement croissante et deux

fois drivable, alors on peut dnir lindice absolu daversion pour le

risque

ra u : xR

u (x)u (x)

. (3.1.8)


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Proposition 3.1.2 Soient u1 et u2 deux fonctions dutilit deux fois dif-

frentiables, strictement concaves et croissantes, alors ra u 1 ra u 2 ssi u

1

u2.

On peut alors dire que lagent dont la fonction dutilit est u1 est plus

averse que lagent dont la fonction dutilit est u2.

3.1.3 Critre de moyenne-variance et portefeuilles effi-

cients

Comme nous lavons cit plus haut, dans la thorie de choix de porte-feuille de Markowitz, les prfrences entre les diffrents portefeuilles sont

dnies uniquement partir de lesprance et de la variance de leurs

rentabilit.

Hypothse M (Markowitz) Les prfrences dun agent sur lensemble

des portefeuilles admissibles A sont caractrises par une fonction duti-lit U qui dpend de lesprance et de la variance

1

est prfr 2

ssiU E [W w,

1

T ],var (W w, 1T ) U E [W w,

2

T ],var (W w, 2T ) ,

avec U croissante par rapport son premier argument (la moyenne),

et dcroissante par rapport son deuxime argument (la variance). Se-

lon cette hypothse, rsoudre le problme de slection de lallocation de

portefeuille optimale revient rsoudre

supA

U E [W w,T

],var (W w,T

) . (3.1.9)

Critre de moyenne-variance et hypothse de lesprance duti-

lit : Dans quelle mesure lhypothse M est-elle compatible avec un

cadre desprance dutilit ?

Selon lhypothse M, un agent utilise uniquement les moments dordre


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1 et 2 pour comparer les diffrents portefeuilles, en omettant les autres

proprits statistiques des rentabilits telles que la symtrie (moment

dordre 3) ou lpaisseur des queues des distributions (moment dordre

4), ... etc. Cette hypothse restrictive est compatible avec le cadre de

la thorie de lesprance dutilit dans certains cas particuliers. Nous en

citons deux.

Fonction dutilit quadratique Supposons que la fonction dutilit vNM

soit une fonction quadratique, cest dire de la forme u(x) = x x 2.Dans ce cas

E u(W w,T ) = E [W w,T ] 1 E [W w,T ] var (W w,T ) .

Si on suppose en plus que |W w,T | est borne par 1 (cest par exempleles cas si les rentabilit R i des diffrents actifs sont bornes et les porte-

feuilles sont contraints tre choisis dans un domaine born), alors, on

se retrouve dans le cadre de lhypothse M. Il faut cependant remarquer

quune fonction dutilit vNM quadratique peut poser problme : (i) elle

nest pas croissante sur tout son domaine, ce qui implique quau deldun certain niveau de richesse un agent prfre avoir moins de richesse

que plus de richesse, (ii) elle implique que lagent est tout aussi averse

aux dviations qui sont en-dessous de la moyenne, que celle qui sont au-

dessus.

Normalit des rentabilit Nous avons vu dans le Chapitre 1 que la loi nor-

male peut tre considre comme une premire approximation des ren-

tabilits des actifs (Hypothse A). Dans ce cas, pour chaque portefeuille

, la richesse W w,T est gaussienne, et sa distribution est parfaitement

caractrise par sa moyenne et sa variance. Quelle que soit la fonction

dutilit vNM u,

E u(W w,T ) = R u(x) 2( )2 exp

(x m )22( )2

= U (m , ( )2)


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o m = E [W w,T ] et ( )2 = var (W w,T ).

Notion de portefeuille efficient

Dnition 3.1.2 Soit 1 et 2 deux portefeuilles de A. On dit que 1et prfrable 2 au sens du critre de moyenne variance, et on note

1 mv 2 ssi

E R1

E R2

et var (R1

) var (R2

) .

La relation

mv dnit un prordre sur lensemble

A. Ce prordre est

partiel.

Dnition 3.1.3 Un portefeuille est dit efficient sil nest domin par

aucun autre portefeuille eu sens du prordre mv .On appelle frontire efficiente lensemble des couples

{(E [R ],var (R )) , avec portefeuille efficient },

ou encore lensemble des couples

(E [R ], var (R )) , avec portefeuille efficient .Sous lhypothse M, quel que soit lagent k, donc quelle que soit sa

fonction dutilit U k (E [.],var (.)) , si un portefeuille k est optimal alors il

est efficient. Ceci est une consquence de la croissance de U par rapport

la moyenne et sa dcroissance par rapport la variance. Rsoudre le

problme de Markowitz ( 3.1.9) revient alors rsoudre en deux tapes

successives :1. Dtermination de la frontire efficiente. Ce qui revient la rsolution

du problme (P f f ) ou dune manire quivalente, du problme (P f fm ) :

(P f f ) :supAE [R

]

s.c. var (R ) = 2, (P f fm ) :

inf Avar (R )

s.c. E[R ] = m


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o 2 et m sont des niveaux de variance et desprance de rentabilit

arbitrairement xs.

2. Slection par lagent du portefeuille optimal. Ceci revient dtermi-

ner pour lagent, en vue de ses prfrences, llment de la frontire effi-

ciente quil prfre.

3.1.4 Dtermination de la frontire efficiente en absence

de lactif sans risque

On suppose dans ce paragraphe que les investisseurs sur le marchnancier nont pas accs lactif sans risque S 0. Ainsi lensemble des

portefeuilles admissibles est

Ano S 0 = R d ,d

i=1

i = 1 = 1 .

Pour dterminer la frontire efficiente

F (Ano S 0 ) := E [R ],

var (R ) , Ano S 0 et portefeuille efficient ,

on rsout pour chaque 2 x le problme

(P ) :

supAno S 0 E [R ]

s.c

var (R ) = 2i.e.

sup R d M

s.c

= 2

1 = 1

Une remarque utile

Puisque est une matrice symtrique dnie positive, lapplication

< , > 1 := 1

dnit un produit scalaire dans Rd . On notera

|| || 1 := 1


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la norme associe.

On introduit les rels

a := 1 11 = ||1 ||2 1 et b := 1 1M = < 1 , M > 1 .

Variance minimale des portefeuilles efficients

On commence par dterminer les valeurs de variance 2 pour lesquelles

lensemble des portefeuilles admissibles de variance 2 est non vide

Ano S 0 := R d : 1 = 1 et = 2 = .Si cet ensemble admet un lment , alors

1 = 1 = 1 1( ) = < 1 , > 1 et

2 = = ( ) 1( ) = || ||2 1 ,par suite

a 2 = ||1 ||2 1 || ||2 1 (< 1 , > 1 )2 = 1Rciproquement, si a2

1, alors lensemble

Ano S 0 est non vide. En

effet, soit e un vecteur non nul orthogonal 1 , < e, 1 > 1 = 0,

avec ||e|| 1 = 1 . Un calcul simple permet de vrier que le vecteur0 := 1 1a 1 + 2 1/ae est un lment de Ano S 0 .Proposition 3.1.3 Lensemble Ano S 0 est non vide ssi 2 1a .Si 2 = 1a , cet ensemble se rduit au singleton Ano S 0 = {1a 11 }. En particulier,la variance minimale des portefeuilles efficient est 2min =

1a ,

elle est ralise par le portefeuille min = 1a 11 . La rentabilit espre

correspondante est mmin = ba .

Le cas simple M V ect{1 }Dans ce cas, M = ba 1 . Le problme

(P ) : sup R d

m 1 s.c. = 2 et 1 = 1 ,


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devient trivial. On vrie aisment la proposition suivante.

Proposition 3.1.4 Lorsque M V ect{1 }, le rendement espr maxi-mal vaut ba . La frontire efficiente est F(Ano S 0 ) = ( ba , ), 1a .

Figure 3.1 Frontire efficiente dans le cas M V ect{1 }

Le cas M V ect{1 }On suppose dans le reste de ce paragraphe que

M /V ect{1 } et que 2 > 1a

.

On introduit le Lagrangien associ problme (P ) :

L: ( , , )R d R R M + 2 + 1 1 .

Pour dterminer les points stationnaires de ce problme doptimisationet les multiplicateurs de Lagrange associs, on rsout

(P )L(,, ) = M 2 1 = 0 L (,, ) = 2 = 0 L (,, ) = 1 1 = 0

Sous la condition 2 > 1a , la rsolution de ce systme conduit deuxpoints stationnaires possibles + et , dnis par

= 12

1 M 1 o := 12||M ba 1 || 1

2 1a(3.1.10)


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Les multiplicateurs de Lagrange associs au point sont (, ) dnis

par

= 1a

(b2) = 1a

b ||M ba ||

2 1a , = (3.1.11)

Les contraintes dnies par les fonctionsh1 : h2 : 1 ,

sont rgulires en chacun des points + et . En effet les vecteurs

h1( ),h

2( ) = (2 , 1 ) = ( 1

(M 1 ), 1 )forment un systme libre puisque M V ect{1 }. Seul le point = + , avec les multiplicateurs de Lagrange (+ , + ),vrie la condition suffisante de maximum local. En effet, puisque + =

> 0,

D 2L(+ , + , + ) = 2 est une matrice semi-dnie ngative .

Le problme doptimisation sous-contrainte P est un problme demaximisation sur un ensemble compact

AnoS 0 = R d : 1 = 1 et ||||2 1 = 2

ceci assure le fait que + est un maximum global.

Proposition 3.1.5 Pour le niveau de variance 2 > 1a , la rentabilit

maximale espre est

m() := E R+ =

ba

+ 2 1a ||M ba 1 || 1 .Elle est atteinte par le portefeuille

() := + = 11

a + 2 1a 1 M

ba

1

||M ba 1 || 1


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Figure 3.2 Frontire efficiente dans le cas M

V ect

{1

}

Remarque 3.1.3 La reprsentation graphique de lensemble des porte-feuilles admissibles dans le plan moyenne-cart-type, i.e

(m = E [R ], = var (R ) , 1 = 1}est donne par

(m, ), 1a

, m() m m()

m() correspond la rentabilit espre maximale pouvant tre atteinte

par un portefeuille admissible de variance 2

m() est la rentabilit espre minimale pouvant tre atteinte par un

portefeuille de variance 2. On peut montrer que

m() = b

a + 2 1a ||M ba 1 || 1


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et quelle est atteinte par le portefeuille

() = = 11a 2 1a 1 M ba

1

||M ba 1 || 1La reprsentation de lensemble des portefeuilles admissibles dans le plan

moyenne-cart-type est donc la parabole dquation

(m ba

)2 = ( 2 1a

)||M ba

1 || 1 .La frontire de cet ensemble est constitu par la frontire efficiente et la

frontire inefficiente .

Exercice .4 Montrez que pour tout portefeuille efficient + , autre quele portefeuille de variance minimale, il existe un portefeuille sur lafrontire de lensemble des portefeuilles admissibles tel que

cov(R+ , R

) = 0

Vriez que est dans la partie inefficiente de la frontire. Exprimez E[R

] et var (R

) en fonction de E[R

+ ] et de var (R

+ ).

Montrez que la tangente en (

var (R

+ ), E [R

+ ]) la frontire effi-

ciente coupe laxe des ordonnes au point (0, E [R ]).

La Figure ( 3.3) reprsente lensemble des portefeuilles admissibles AnoS 0 .Elle a t partir des donnes suivantes de march

d = 2 , R0 = 3 .0 , M =4

3 et =

2.5 0.50.5 3.0

.

La branche de la parabole dessine en rouge reprsente la frontire effi-

ciente, celle dessine en bleu reprsente la frontire inefficiente.

3.1.5 Dtermination de la frontire efficiente en prsence

de lactif sans risque

On suppose dans ce paragraphe que les investisseurs peuvent investir

dans les d actifs risqus S i , i = 1 ,...,d , aussi bien que dans lactif sans


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Figure 3.3 Reprsentation de

AnoS 0

risque S 0. Lensemble des portefeuilles admissibles est A = Rd . Pourdterminer la frontire efficiente

F (A) := E [R ], var (R ) , R d et portefeuille efficient ,on rsout pour chaque

2

x le problme

( P ) :

supRd E [R ]

s.c

var (R ) = 2i.e.

sup R d R0 + (M R01 )s.c

= 2


44/78


Proposition 3.1.6 La variance minimale des portefeuilles efficients est

2min = 0 . Elle est ralise par le portefeuille = 0 , cest dire le porte-

feuille contenant uniquement lactif sans risque S 0. La rentabilit espre

correspondante est R0.

On suppose maintenant que 2 > 0.

On introduit le Lagrangien associ au problme

L(, ) = R0 + (M R01 ) + (2 ).

Pour dterminer les points stationnaires du problme ( P ) on rsout lesystme

L(, ) = M R01 2 = 0 L (, ) = 2 = 0

Le seul point stationnaire possible est

:= 1

1(M R01 ) avec = 12 ||M R 0 1 || 1

.

tant le multiplicateur de Lagrange associ .

La contrainte dnie par la fonction

h : ,

est rgulire au point . En effet le vecteur h( ) = 2 = 0 car = 0 .

La point vrie la condition suffisante de maximum local : la matriceD 2L( , ) = 2 1 est une matrice dnie ngative. La concavit du problme assure que est un point le maximumglobal.


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Proposition 3.1.7 Pour le niveau de variance 2 > 0, la rentabilit

maximale espre est

m() = R0 + ||M R01 || 1 . (3.1.12)Elle est ralise par le portefeuille

() = 1 (M R01 )||M R01 || 1

. (3.1.13)

Le coefficient Sh := ||M R01 ||2 1 = ( M R01 ) 1(M R01 ) est ap-pel performance de Sharpe du march . Les quations ( 3.1.12) et (3.1.13)

peuvent tre crites en utilisant la performance de Sharpe

m() = R0 + Sh , (3.1.14)() =

Sh

1 M R01 . (3.1.15)

Thorme des deux fonds

Soit 2 > 0 un niveau de variance x, le portefeuille efficient correspon-

dant () nest ncessairement totalement investi dans les actifs risqus

1 () nest pas en gnral = 1 .

Par contre, il vrie ncessairement

1 () = 0 .

En effet, supposer que 1 () = 0 veut dire que le portefeuille ne contient

que de lactif sans risque S 0, ce qui implique une variance gale 0 < 2.

Ainsi, on peut toujours dnir

:= 11 ()

() ,

ce vecteur vrie par dnition 1 = 1 . Il correspond donc un porte-

feuille totalement investi dans les actifs risqus, il permet dcrire

() = (1 0()) o 0() := 1 1 () .


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Figure 3.4 Frontire efficiente en prsence de lactif sans risque

Le portefeuille dpend uniquement des caractristiques du march : larentabilit excdentaire espre des actifs risqus M R0 et la matricede variance-covariance

= 1(M R01 )

1 1(M R01 ) =

1baR 0

1(M R01 ) ,

il ne dpend pas des caractristiques individuelles des investisseurs.

Thorme 3.1.1 Thorme des deux fonds En prsence de lactif

sans risque, tous les agents rpartissent leur richesse initiale entre lactif

sans risque S 0 et le mme portefeuille risqu . Leurs paramtres person-

nels (fonction dutilit, aversion pour le risque,...) ninterviennent que

pour dterminer la rpartition optimale entre S 0 et .Autrement dit, les investisseurs rpartissent leur richesse entre lactif sans

risque et un fond reproduisant lindice de march dtermin par . On


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parle de gestion indicielle ou encore de gestion passive .

Droite de March et portefeuille tangent

On suppose dans ce paragraphe que M vect{1 }.Lorsque les investisseurs ont accs au placement sans risque (actif sans

risque S 0), il est clair quils ont plus dopportunits dinvestissement,

Ano S 0 A , par consquent, pour un niveau de variance 2 x, larentabilit espre maximale qui peut tre atteint par des portefeuilles

forms uniquement partir des actifs risqus,

Ano S 0 , est infrieure

la rentabilit espre maximale qui peut tre atteinte avec des porte-

feuilles A. Par suite, dans le plan (cart-type, rentabilit espre), lareprsentation graphique de la frontire efficiente F(Ano S 0 ) est toujoursen dessous de la reprsentation graphique de la frontire efficiente F(A).Leur intersection ne peut tre que vide ou gale un singleton ( t , m t ).

On note Cno S 0 la reprsentation de la frontire efficiente F(Ano S 0 ) dansle plan (cart-type,rentabilit espre)

Cno S 0 : m() = ba

+ 2 1a ||M ba 1 || 1 ,et C la reprsentation de la frontire efficiente F(Ano S 0 )

C : m () = R0 + ||M R01 || 1 .

La droite C est appele droite de march ou Capital Market Line (CML) .Lorsque les deux courbes C et C(Ano S 0 ) se touchent cela veut dire quelon est en mesure de former dans le march initial (o lutilisation delactif sans risque S 0 est permise) un portefeuille efficient sans recourir

au placement sans risque. Ce portefeuille t , appel portefeuille tangent

nest rien dautre que lindice . Il vrie

( t , m t ) = C Cno S 0 , mt = E [Rt], t = var (R t ), t = Ano S 0 .


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Existence de t i.e. efficience de lindice

Dterminer lexistence du portefeuille tangent revient rsoudre lqua-

tion

ba

+ 2 1a ||M ba 1 || 1 = R0 + ||M R01 || 1 , min .(3.1.16)Proposition 3.1.8 Les courbes C et Cno S 0 sont tangentes si et seulement si R0 < ba . Dans ce cas

t = Sh

(baR 0) = min 1 + ||M

ba

1 || 1||( ba R0)1 || 1

> min(3.1.17)

m t = R0 + ShbaR 0 (3.1.18)

3.2 Le modle dquilibre dactifs nanciers ME-

DAF

(Modle de Sharpe - Lintner) Le modle dquilibre des actifs nan-

ciers (MEDAF) est un modle dont le but est de dterminer les renta-

bilits appropries des diffrents actifs qui forment le march nancier.Cest un modle dquilibre, cest a dire que les rentabilits sont expli-

ques par ladquation entre loffre et la demande en titres des diffrents

agents qui interviennent sur le march. Ce modle, qui se base sur la

thorie de choix de portefeuille de Markowitz, a t dvelopp grce aux

travaux de Jack Treynor ( 1961), William Sharpe ( 1964), John Lintner

(1965) et Jan Mossin ( 1966). Le message essentiel du MEDAF est que le

risque de chaque titre peut tre dcompos en une composante systma-

tique commune tous les actifs du march et une composante spcique

diversiable, le march ne rmunrant que la composante systmatique.

3.2.1 Drivation du modle

On reprend le modle de march du paragraphe 3.1.1.


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3.2. LE MODLE DQUILIBRE DACTIFS FINANCIERS MEDAF 49

Figure 3.5 Portefeuille tangent

Hypothses sur loffre.

On suppose connues les quantits disponibles de chacun des titres. Onnote

q iM la quantit disponible de lactif S i ,

q M :=q 1M

q dM

le portefeuille de march

Chacun de ces titres est parfaitement divisible et le march ne comportepas de frictions.


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Hypothse sur le comportement des investisseurs.

Un nombre gal J agents intervient sur le march. Chaque agent jpossde une dotation initiale en actifs dont la valeur est w j > 0. Chaque

agent investit 1 sa richesse initiale w j au prsent sur le march en consti-

tuant un portefeuille j quil maintiendra constant tout au long de lho-

rizon dinvestissement T .

On note

W :=J

j =1

w j =N

i=1

q iM S i (0) .

On suppose que tous ces agents forment des anticipations homognes,cest dire que les probabilits accordes aux vnements futurs ne va-

rient pas dun agent lautre, mais concident.

On suppose galement que les agents forment des anticipations rationnelles,cest dire que les probabilits quils accordent aux diffrents vnements

sont les

Lobjectif de chaque investisseur est de slectionner le portefeuille quilui assure la meilleure rentabilit au bout de lhorizon T et adopte cet effet le critre moyenne-variance de Markowitz. En se rappelant les

rsultats de la section prcdente Proposition 3.1.7, on dduit que lagent

j choisit le portefeuille efficient j = ( j ) o j est la solution de

sup

R +U j (m(), 2) .

Ici, U j dsigne la fonction dutilit de lagent j et m(), dont lexpression

est dnie dans ( 3.1.12), dsigne la rentabilit espre du portefeuilleefficient de variance . Ainsi, lagent j choisit le portefeuille

( j ) = j 1 (M R01 )

||M R01 || 1., (3.2.1)

1. En dautres termes, chaque agent dcide au prsent de modier son portefeuille initial en

vendant/achetant des actis risqus, de manire obtenir un portefeuille optimal


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dont la variance j est dtermine par son degr aversion au risque.

Equilibre du march : efficience du portefeuille de march

A lquilibre du march, les prix la date T des actifs (ou de manire

quivalente les rentabilits) vrient

Demande en actifs par tous les agents

=

Offre totale dactifs sur le march

On note M le portefeuille de march, cest dire, le portefeuille compos

par tous les actifs risqus dans les proportions du march

iM = q iM S i (0) /W

La relation dquilibre entre offre et demande scrit alors

J

j =1

w j i j /S i(0) = q im = W

iM /S i (0) ,

ce qui donne

M =J

j =1

w jW

j 1 (M R01 )||M R01 || 1

= 1 Sh

J

j =1

w jW

j 1(M R01 ) .

On voit que le portefeuille du march est un portefeuille efficient. Cest

un portefeuille efficient form uniquement dactifs risqus, donc il est gal

au portefeuille tangent

M = = 1

baR 01(M R01 ) . (3.2.2)


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Proposition 3.2.1 Lquilibre entre loffre et la demande, sur ce march

nancier, implique que le portefeuille de march est efficient. Par cons-

quent M est le portefeuille tangent : point de rencontre entre la droite

de march (CML), dont la reprsentation graphique est note C, et la frontire efficiente en absence dactif sans risque, dont la reprsentation

graphique est note CS 0 .En vue du Thorme 3.1.1, on peut dire qu lquilibre, les investisseurs

rpartissent leur richesse entre lactif sans risque S 0 et le portefeuille de

march M .

Si on regarde la covariance de la rentabilit R M du portefeuille de march

avec le vecteur R des rentabilits des actifs risqus, en utilisant le fait que

M est le portefeuille tangent t , ainsi que les quations ( 3.2.2), (3.1.17)

et (3.1.18), on obtient

cov(R, R M ) = cov(R, M R) = M

= 1baR 0

M R01 .

= var (RM )E [RM ]R0 (M R

01 ) .

Proposition 3.2.2 A lquilibre, les rentabilits R i , i = 1 ,...,d des actifs

risqus sont telles que

E [R i ]R0 = i (E [RM ] R0) o i := cov(R i , R M )

var (RM ) . (3.2.3)

Le coefficient i est appel le beta de lactif risqu i.

Remarque 3.2.1 Les relations crites ci-dessus peuvent prendre gale-ment cette forme :

E [R i ]R0 = ( baR 0)cov(R i , R M )= Shvar (RM ) cov(R i , RM ) .


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Risque spcique et risque systmatique Le MEDAF implique

que pour tout qctif risqu S i , i = 1 ,...,d , la rentabilit R i peut scrire

R i R0 = i RM R0 + i o E[i ] = 0 et cov(RM , i ) = 0 .(3.2.4)

La variance de la rentabilit de lactif risqu scrit alors

( i )2 = var (R i ) = ( i )2var (RM ) + var (i ) . (3.2.5)

Ainsi le risque de lactif S i se dcompose en deux parties

risque systmatique : ( i )2var (RM )

risque idiosyncratique : var (i )

Lorsque le coefficient i > 1 on dit que lactif S i correspond un place-

ment agressif , et lorsque i < 1 on parle de placement concervateur .

3.2.2 Extensions du modle

Le MEDAF sans actif sans risque La possibilit de prts ou em-

prunts, sans restrictions, un taux sans risque est une hypothse peu

raliste. Balck (1972) propose un modle dquilibre avec des contraintes

sur les transactions qui portent sur lactif sans risque R0. On examine

dans cette section la relation dquilibre entre offre et demande si on

suppose que les investisseurs nont pas accs S 0.

Daprs les rsultats des sections prcdentes, le portefeuille de march

vrie lquilibre entre offre et demande la relation

J

j =1

w j11

a + 2 j 1a 1 M ba

1

||M ba 1 || 1 = W M

ce qui peut tre rcrit sous la forme

11a

+ 2 1a 1 M ba

1

||M ba 1 || 1= M , (3.2.6)


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o est dnie par

2 = 1

a +

J

j =1

w jW 2 j 1a

2

.

De cette relation on dduit que le portefeuille de march est un porte-

feuille efficient.

Mais contrairement au modle de la section prcdente, les portefeuilles

dactifs risqus dtenus par les investisseurs ne lui sont pas proportion-

nels.

Le portefeuille de bta nulDans la Remarque 3.1.3, on a une description de la reprsentation de

lensemble des portefeuilles admissibles (en absence de lactif sans risque)

dans le plan moyenne-cart-type et de sa frontire.

On note qu tout portefeuille () de la frontire efficiente, on peut

associer un portefeuille de la frontire inefficiente tel que

cov(R () , R ) = 0 .

Un calcul simple permet de vrier que pour M = (), le portefeuille

:= 1

a1 2 1a ||M ba 1 || 1

o 2 1a = 1a 2 1aest le portefeuille de la frontire inefficiente tel que

cov(RM , R ) = 0 .

La rentabilit espre du portefeuille est gale

m = E[R ] = ba

1a 2 1/a ||

M ba

1 || 1On peut vrier que la tangente la frontire efficiente au point M

coupe laxe des ordonnes au point (0, m) (cf Figure (3.3)).


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Le rsultat important de cette section est que dans ce modle nous ob-

tenons une relation analogue la relation du MEDAF classique :

Proposition 3.2.3 Pour tout actif risqu S i on a

(E [R i ]m) = i(E [RM ] m) avec i = cov(R i , R M )

var (RM ) .

Le portefeuille est appel portefeuille de bta nul.Preuve : exercice!

Contraintes sur les ventes ventes dcouverts des actifs risqus

Si le modle de Black abandonne lhypothse peu raliste sur lexistence

dun actif sans risque, il nimpose aucune contrainte sur les ventes d-

couvert des actifs risqus. Or, dans la ralit, les ventes dcouverts

des actifs risqus sont soumises des contraintes (interdictions, limita-

tions, ...). Dans un modle ou les ventes dcouverts des actifs risqus

sont contraintes, bien que chaque agent continue choisir un portefeuille

efficient, lquilibre le portefeuille de march mest plus efficient. La

relation qui lie les rentabilits des actifs risqus leurs betas nest plusvalable.

Prsence de frictions Si le march comporte des frictions telles que

les cots de transaction ou les taxes, la r-allocation dun portefeuille

entrane des cots. Alors, il pourrat tre prfrable pour un investisseur

de garder un portefeuille sous-optimal, que de le changer en un porte-

feuille moyenne-variance efficient cause des cots que cette opration

engendrerait.

3.2.3 Validation empirique

A son laboration, le MEDAF a connu un vif succs parmi les acad-

miciens tout aussi bien que parmi les praticiens. Il continue tre utilis


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en pratique, par exemple pour valuer la performance des portefeuilles

grs, ou pour valuer le niveau de risque dun projet dinvestissement.

Ceci est justi par

la simplicit de ce modle !

le fait que ce modle explique par une relation simple le lien entre ren-

tabilit/risque de tout actif nancier. Il indique en outre une mthode

relativement facile pour mesurer le risque attach tout placement -

nancier.

Le MEDAF repose cependant sur des hypothses trs rductrices par

rapport la ralit. Beaucoup de travaux se sont penchs sur la question

de savoir si lobservation des donnes du march permet de conforter les

conclusions du MEADF, ou si, au contraire, elles tendent les inrmer.

Nous faisons, dans ce paragraphe, une revue historique rapide des travaux

empiriques de tests du MEDAF.

Comment tester le MEDAF

Les tests du MEDAF reposent sur les implications suivantes de ce modle Une relation linaire relie les rentabilits espres de tous les actifs

leurs betas

E [R i R z ] = i E [RM Rz ] o i = cov(RM , R i )/var (RM ) ,

ici RM dsigne la rentabilit du march et Rz est un portefeuille non-

corrl avec le portefeuille de march

La rentabilit espre du march dpasse la rentabilit dun portefeuille

non corrl avec le march

E [RM ] E[R z ] .

Dans la version de Sharpe-Lintner, la rentabilit espre dun porte-


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feuille qui nest pas corrl avec le portefeuille de march est gale la

rentabilit de lactif sans risque

E [R z ] = R0 .

Rsultats de travaux empiriques

Les premiers travaux empiriques se sont concentrs sur le modle de

Sharpe-Lintner. Lide repose sur une rgression linaire simple entre les

moyennes de rentabilit des actifs et leurs betas estims

R i R0 = a + b i + i .

Daprs le MEDAF, dans cette rgression linaire a = 0 et b = E [RM ]R0.

Ce teste rencontre deux problmes : (i) problme destimations des be-

tas des actifs, des erreurs de mesures peuvent ainsi saccumuler, (ii ) les

rsidus i , j peuvent tre corrls. Ces corrlations peuvent biaiser les

valeurs de a et b obtenues par la mthodes des moindre carrs.

Des travaux tels que Blume (70), Black, Jensen et Scholes (1972), Fama

et MacBeth (1973), ou encore Fama et French (1992) ont propos des

mthodologies permettant de surmonter (quelque peu ...) ces difficults.

Le rsultat de ces travaux est de rejeter la version de Sharpe-Lintner du

MEDAF.

Des travaux plus rcents testent si les diffrences entre les rentabi-lits espres des actifs sont entirement expliques par le bta, ou si au

contraire elles dpendent aussi dautres lments. Pour ce faire, on ajoute

une deuxime variable explicative X dans la rgression linaire :

R i R0 = a + b i + X i + i .


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3.3. THORIE DE LVALUATION PAR ARBITRAGE (APT) ET MODLES FACTORIELS59

2. La deuxime raction est de signer la mort du bta comme seul

facteur explicatif des rentabilits. Cette raction aboutit deux axes de

recherche.

(i). Le premier cherche dterminer des modles plus complexes que le

MEDAF pour expliquer les rentabilits en intgrant des lments autres

que les btas. Cest le cas du modle trois facteurs de Fama et French

(1996) qui explique les rentabilits par le bta, la capitalisation et le ra-

tio book-to-market . Ce modle rejoint les travaux plus anciens de Ross

(1976) sur les modles factoriels.

(ii). Le deuxime axes de recherche est du domaine de la nance compor-

tementale. Les anomalies par rapport aux MEDAF, observes empirique-

ment, sont expliques par des biais comportementaux ou lirrationalit

des investisseurs. On peut citer ce titre les travaux de Lakonishok-

Schleifer-Vishny (1994), Chan-Lakonishok (2002) ou Chan-Karceski-Lakonishok

(2002).

Nous allons terminer ce chapitre par la prsentation dun modle al-

ternatif au MEDAF pour expliquer les rentabilits des titres nanciers :

lvaluation par arbitrage dans le cadre des modles factoriels.

3.3 Thorie de lvaluation par arbitrage (APT)

et modles factoriels

La thorie de lvaluation par arbitrage ( Arbitrage Pricing Theory

APT ) a t initie par les travaux de Ross (1976). Ross dveloppe un

modle de march nancier sur une priode de temps o tous les in-

vestisseurs saccordent penser que les rentabilits des actifs nanciers

sont expliques par un modle factoriel. Il suppose qu lquilibre, au-

cune opportunit darbitrage nest possible. Il rsulte de cette hypothse


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une relation linaire entre les rentabilits espres des diffrents actifs et

leurs covariances avec les facteurs .

3.3.1 Modle factoriel linaire

On considre un march form par n actifs nanciers sur une priode

de temps [0, T ]. On note R i la rentabilit de lactif i sur la priode [0, T ],

i = 1 , n.Le modle factoriel stipule que les rentabilits de tous les titres sont ex-

pliques par les mmes K facteurs reprsents par des variables alatoiresF 1, F K . Plus prcisment, le modle factoriel linaire suppose

R i := a i + bi, 1F 1 + + bi,k F k + i i = 1 n , (3.3.1)avec, pour i {1, , n}, k, l {1, K }, k = l

E [i ] = 0 (3.3.2)

E [F k] = 0 (3.3.3)

cov(i , F k) = 0 (3.3.4)

cov(i , j ) = 0 (3.3.5)

Remarque 3.3.1 Dans certains dveloppement de la thorie de lAPT,

les conditions ( 3.3.4), (3.3.5) peuvent tre relches ( titre dexemple

Ingersoll (1984)).La variable alatoire i est appele risque idiosyncratique , le coefficient

bi,k est appel le poids ou le bta de lactif i sur le facteur k. Les conditions

(3.3.2), (3.3.3) impliquent

E [R i ] = ai i = 1 , nOn peut alors crire la relation ( 3.3.1)

R i = E[R i] + bi, 1F 1 + + bi,k F k + i i = 1 n .


61/78


ou encore

R = E[R] + bF + e (3.3.6)

o R est le vecteur des rentabilits, b est la matrice b = ( bi,k ) 1 i n1kK

, F

est le vecteur des facteurs et e est le vecteur des risques idiosyncratiques.

3.3.2 Nature des facteurs

Remarquons dabord que le MEDAF aboutit un modle factoriel

linaire pour expliquer les rentabilits des actifs du march : il sagit dunmodle un seul facteur qui est la rentabilit du portefeuille de march.

Mais il faut noter que dans le contexte du MEDAF, le facteur portefeuille

de march se rvle de manire endogne par la drivation du modle.

Dans le contexte des modles factoriels, on postule que les rentabilits

sont expliques par un certains nombre de facteurs qui peuvent varier

dune conomie lautre, dune priode lautre : la dtermination de

ces facteurs procde dune dmarche essentiellement empirique . On peut

classer les modles factoriels selon trois types : les modles facteurs

macroconomiques, fondamentaux ou statistiques.

les modles factoriels macroconomiques : ces modles expliquent

les rentabilits des actifs travers des variables macroconomiques obser-

vables telles que le taux dination, le taux de croissances de lconomie

ou de certains secteurs de lconomie, la consommation agrge, le taux

de chmage... etc. Dans ce type de modles, les facteurs sont observables,

mais les sensibilits bi,k doivent tre estimes.

les modles factoriels fondamentaux : ces modles sont bass sur

lobservation des proprits spciques des actifs, telles que la taille de

lentreprise mettrice, le taux de dividende, le ratio book to market , les


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classication sectorielles ... etc.

Dans le modle de type Barra les sensibilits bi,k correspondent des

attributs de lactif et les facteurs sont estims. Par contre, dans les modle

du type Fama-French, les attributs des actifs sont utiliss pour dnir les

facteurs, les sensibilits bi,k sont alors estimes.

les modles factoriels statistiques : dans ce type de modle utilise

es mthodes statistiques telles que lanalyse en composantes principales

pour estimer les facteurs et les sensibilits. Ainsi, les facteurs sont traitscomme des variables non-observables ou variables latentes. Ce type dap-

proche peut aboutir des facteurs qui peuvent tre interprts comme

des indices boursiers, mais parfois linterprtation conomique ou nan-

cire des facteurs rsultant nest pas vidente.

3.3.3 Absence dopportunits darbitrage et relations fon-

damentales de lAPT

Opportunit darbitrage Un arbitrage est une stratgie nancire

qui ne cote rien et permet de raliser un gain sr ( cest dire qui

ne comprend aucun risque de perte). Une opportunit de raliser une

stratgie darbitrage existe si on peut trouver un actif vendu sur deux

marchs deux prix diffrents.

Une grande partie de la thorie nancire et des mthodes valuation des

actifs nanciers sont bases sur lhypothse de labsence dopportunits

darbitrage. Lide qui sous-tend cette hypothse est que si, un moment

donn, les prix de certains actifs sont tels quune opportunit darbitrage

existe, un grand nombre dagents raliseraient instantanment des tran-

sactions en vue de lexploiter, de sorte que les prix des actifs concerns

convergeraient trs rapidement vers des valeurs telles que lopportunit


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darbitrage soit rsorbe.

En ralit, des opportunits darbitrage peuvent exister, mais elles sont

trs faibles et dune dure de vie trs courte, ainsi lhypothse dabsence

dopportunits darbitrage (AOA) est considre raisonnable.

Relation fondamentale de lAPT Dans sa forme la plus gnrale,

lAPT stipule quil existe des rels 0, 1, , K tels que pour touti = 1 , , n

|E [R i ]

(0 + 1bi, 1 +

+ K bi,K )

| (3.3.7)

o est une constante suffisamment petite.

Quand le modle factoriel vrie les conditions ( 3.3.2) - (3.3.5), on peut

montrer la relation darbitrage exacte

E [R i ] = 0 + 1bi, 1 + + K bi,K , pour tout i = 1 , n .(3.3.8)Quelques rfrences :

1. Hamon, Jacques. (2005), Bourse et Gestion de portefeuilles , Econo-

mica.

2. Elton, E., M. Gruber, S. Brown & W. Goetzmann. (2003) Modern

Portfolio Theory and Investment Analysis Wiley.

3. Sharpe, F. William (1994), The Sharpe Ratio, The Journal of Port-

folio Management.

http : //www.stanford.edu/ wfsharpe/art/sr/sr.htm

4. Fama E. & K. French The Capital Asset Pricing Model : Theory

and Evidence

CRSP Working Paper No. 550 ; Tuck Business School Working Pa-

per No. 03-26

http : //papers.ssrn.com/sol 3/papers.cfm ?abstract id = 440920


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Chapitre 4

Assurance de portefeuille

Le problme de choix de portefeuille a t abord dans le chapitre

prcdent dans un cadre statique : linvestisseur forme un portefeuille

nancier linstant initial t = 0 puis ne ralise aucune transaction jusqu

a date terminale t = T . Cette hypothse est restrictive et on peut mme

dire irraliste long terme. Nous nous intressons dans ce chapitre

des stratgies dynamiques, cest dire, des stratgies qui impliquent desrvisions du portefeuille sur lhorizon de temps [0, T ].

La gestion dynamique regroupe ue grande varit de technique et de styles

de gestion. Nous nous concentrons dans ce chapitre sur les stratgies dites

dassurance de portefeuille

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