HIGHWAY TO GEOMETRY 2

Jean-Louis AYME 1

One of the prolific elementary geometers nowadays 2

Résumé. L'auteur présente ''Highway to Geometry'' un parcours personnel où chaque Sujet, pris dans le noeud coulant d'un lasso, livre, escale après escale, des résultats qui permettent d'élaborer une solution fructueuse par la suite… Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Abstract. The author presents ''Highway to Geometry'' where each subject, taken in the flowing node of a lasso, leads, step after step, to results which will might allow us to reach out eventually for a fruitful solution… The figures are all in general position and all cited theorems can all be shown synthetically.

Resumen. El autor presenta ''Highway to Geometry'' donde cada Sujeto, atrapado en el

nodo fluido de un lasso, trae, paso a paso, resultados que permiten desarrollar posiblemente una solución fructífera… Las figuras están en posición general y todos los teoremas mencionados pueden todos ser demostrados sintéticamente.

Zusammenfassung. Der Autor präsentiert ''Highway to Geometry'' in welcher jeder Leitgedanke zuerst durch den lockeren Knoten eines Lasso's fließen muss, um nach und

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 31/08/2018 ; jeanlouisayme@yahoo.fr 2 Citation de Darij Griberg au sujet de l'auteur ; http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/Links.html

2

2

nach, Ergebnisse zu zeigen, die uns im Endeffekt eine fruchtbare Lösung ermöglichen…

Die Figuren sind alle in einer allgemeinen Position und alle aufgeführten Lehrsätze können synthetisch nachgewiesen werden können.

Sommaire

1. Cinq points cocycliques 3 2. Deux parallèles 6 3. Deux points isotomiques relativement à un segment 9 4. Une concourance équivalente à une proportion 17 5. Les anneaux de Borromée 23 6. Le théorème des six cercles de Michel Chasles 25 7. Le théorème des cinq cercle de Gabriel Ferdinand Affolter 28 8. Trois milieux alignés dans un carré 31 9. Cercle passant par un milieu 35 10. Quatre points cocycliques 40

Lexique Français-Anglais

3

3

PROBLÈME 1 3

CINQ (SIX) POINTS COCYCLIQUES

VISION

Figure :

O K

S

1

L

P 2

Q

L2

L1

T

E

Traits : L1, L2 deux droites perpendiculaires, O le point d'intersection de L1 et L2, 1 un cercle centré sur L1, K le centre de 1, S un point de 1, 2 le cercle de diamètre [OS], L le centre de 2, P le second point d'intersection de 2 et 1, Q le point d'intersection de 2 et L2, T le point d'intersection de (PQ) et L1, et E le second point d'intersection de (OS) avec 1. Donné : T, L, E, K et P sont cocycliques. 3 Concyclic points, AoPS du 24/08/2018 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1696758_concyclic_points

4

4

Commentaire : six points cocycliques par les cercles de Morley et de Reim.

VISUALISATION

LE S-CERCLE DE FRANK MORLEY 4

O K

S

1

L

P

2

Q

L2

L1

E

U

3

• Notons U le second point d'intersection de (SK) avec 2. • D'après ''Le cercle de Frank Morley'' appliqué à 1 et 2, L, E, K, U et P sont cocycliques. • Notons 3 ce cercle.

4 Ayme J.-L., Les cercles de Morley…, G.G.G. vol. 2, p. 1-3 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ Tobias Dantzig, Elementary proof of a theorem due to F. Morley, American Mathematical Monthly, vol. 23, 7 (1916) 246-248 Morley F. (1860- Baltimore 17/10/1937)

5

5

LE THÉORÊME DE REIM

O K

S

1

L

P

2

Q

L2

L1

T

E

U

3

• D'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (SQ) ⊥ L2

par hypothèse, L2 ⊥ L1 i.e. (KT) d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (SQ) // (KT). • Le cercle 2, les points de base U et P, les moniennes naissantes (SUK) et (QPT), les parallèles (SQ) et (KT), conduisent au théorème 0'' de Reim ; en conséquence, P, U, K et T sont cocycliques i.e. T est sur 3. • Conclusion : T, L, E, K, U et P sont cocycliques

6

6

PROBLÈME 2 5

DEUX PARALLÈLES

proposed

by

Jean-Louis Ayme

VISION

Figure :

B C

B'C"

H Y

A

0

T

Traits : ABC un triangle acutangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, H l'orthocentre de ABC, B' le milieu de [AC], Y le point d'intersection de (B'H) avec l'arc ABC, C'' le pied de la C-hauteur de ABC et T le second point d'intersection de (C''Y) avec 0. Donné : (AT) est parallèle à (B'C''). Commentaire :

VISUALISATION

5 Ayme J.-L., Two parallels, AoPS du 25/08/2018 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1697291_two_parallels

7

7

HENRI LÉON LEBESGUES

ET

LE THÉORÈME DES CINQ CERCLES

B C

B'C" H

O Y

A 0

A" A'

1

1c

1b

2

• Notons A' le milieu de [BC], A'' le pied de la A-hauteur de ABC, 1 le cercle d'Euler 6 de ABC ; il passe par A', B', A'', C'' ; 1b le cercle de diamètre [BH] ; il passe par A'', C'', Y ; 7 et 1c le cercle de diamètre [CO] ; il passe par A', B' et est tangent à 0 en C. • Conclusion : d'après Henri Léon Lebesgues ''Le théorème des cinq cercles'' 8

appliqué à 1b, 1, 1c et 0, C'', Y, B' et C sont cocycliques. • Notons 2 ce cercle.

6 Ayme J.-L., Les cercles de Morley, d'Euler…, G.G.G. vol. 2, p. 4-5 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 7 Ayme J.-L., La ponctuelle (MH), G.G.G. vol. 7, p. 7-10 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 8 Lebesgue H. L., Sur deux théorèmes de Miquel et de Clifford, Nouvelles Annales de Mathématiques (1916) 481-495

Ayme J.-L., Du théorème de Reim au théorème des six cercles, G.G.G. vol. 2, p. 6-8 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ Ayme J.-L., Four concyclic points, AoPS du 27/01/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=622653

8

8

LE THÉORÊME DE REIM

B C

B'C"

H Y

A 0

T

2

• Les cercles 0 et 2, les points de base C et Y, les moniennes (ACB') et (TYC''), conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (AT) // (B'C''). • Conclusion : (AT) est parallèle à (B'C'').

9

9

PROBLÈME 3 9

DEUX POINTS ISOTOMIQUES

RELATIVEMENT

À

UN SEGMENT

proposed

by

Jean-Louis Ayme

VISION

Figure :

A

B C M

Ib Ic

1b

1c

P Q

Traits : ABC un triangle, M le milieu de [BC], Ib, Ic les centres resp. des triangles BAM, CAM, 1b, 1c les cercles circonscrits resp. aux triangles BAIb, CAIc et P, Q les seconds points d'intersection de (BC) resp. avec 1b, 1c. Donné : MQ = MP. Commentaire : .

9

10

10

VISUALISATION

THE SPARROWS's LEMMA

A

B C M

Ib Ic

T, U, V

1b

1c

• Notons U, V les seconds points d'intersection de (AM) resp. avec 1b, 1c. • D'après Appendice 1 appliqué à

* BAM et à 1b passant par A et Ib, MU = MB * CAM et à 1c passant par A et Ic, MC = MV. * MB étant égal à MC, MU = MV * en conséquence, U et V sont confondus.

• Notons T ce point. • Conclusion partielle : T est sur (AM). Note historique : Dimitri Shvetsov wrote in a private message

There is a Russian proverb "Shouting from a gun to sparrows"

which is usually used when one uses an extremely powerful thing to solve a simple problem. Alex Polyanski

used an opposite approach : having two very basic statements he solved a number of different problems.

Archive :

11

11

10

11

10 Alex Polyanski, KBAHT 2, (2012) 50 ; http://geometry.ru/articles/sparrowvsgunmain.pdf 11 Alex Polyanski ; Collection of problems ; http://geometry.ru/persons/polyansky/sparrows.pdf

12

12

GASTON GOHIERRE DE LONGCHAMPS

ET

LES POINTS ISOTOMIQUES

A

B C M

Ib Ic

1b

1c

P Q

• Conclusion :

APPENDICE

1. The Sparrow's lemma 12

VISION

Figure :

A

B C

I

Z

Y 1a

Traits : ABC un triangle, I le centre de ABC, 1a un cercle passant par A et I, et Y, Z les points d'intersection de 1a resp. avec (AC), (AB). Donné : BC = BZ + CY.

12 Sparrow's lemma, AoPS du 28/08/2018 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1698253_sparrows_lemma

13

13

VISUALISATION

A

B C

I

Z

Y

1a

T

U

V

1

2

3

4

5

6

• Notons U, V les seconds points d'intersection de 1a resp. avec (BI), (CI) et T le point d'intersection de (UY) et (VZ). • D'après Blaise Pascal ''Hexagramma mysticum'' 13

(BTC) est la pascale de l'hexagramme cyclique AZVIUYA.

A

B C

I

Z

Y

1a

T

U

V

• Scolie : (BU) est la B-bissectrice intérieure du triangle BTZ. • (AI) étant la A-bissectrice intérieure du triangle AYZ, (VI) est la V-bissectrice intérieure du triangle VYZ. • Une chasse angulaire : * le quadrilatère VZUI étant cyclique, <ZUB = <ZVI * (VI) étant bissectrice, <ZVI = <IVY * par ''Angles inscrits'', <IVY = <IUY * par ''Angles opposés'', <IUY = <BUT * par transitivité de =, <ZUB = <BUT. • Scolie : (UB) est la B-bissectrice intérieure du triangle UTZ. • D'après ''Le théorème a.c.a.'' appliqué aux triangles BUZ et BUT, UZ = UT et BZ = BT.

13 Ayme J.-L., Hexagramma mysticum, G.G.G. vol. 12, p. 4-9 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

14

14

• D'après ''Le théorème de la médiatrice'', T est le symétrique de Z par rapport à (BI). • Mutatis mutandis, nous montrerions que T est le symétrique de Y par rapport à (CI). • Une chasse segmentaire : * par décomposition, BC = BT + CT * par symétrie, BT = BZ et CT = CY. • Conclusion : par substitution, BC = BZ + CY.

2. Points isotomiques relativement à un segment

VISION

Figure :

A

B C A'

M

I J

1

2

Traits : ABC un triangle acutangle, M un point, A' le point d'intersection de (AM) et (BC), 1 le cercle passant par les points A, B, M, I le second point d'intersection de (BC) avec 1, 2 le cercle passant par les points A, M, C et J le second point d'intersection de (BC) avec 2. Donné : (AMA') est la A-médiane de ABC si, et seulement si, BI = CJ.

VISUALISATION NÉCESSAIRE

15

15

A

B C A'

M

I J

N

b c

1

2 4

3

• Notons 3 le cercle passant par A et tangent à (BC) en B, 4 le cercle passant par A et tangent à (BC) en C et N le second point d'intersection de 3 et 4. • D'après Euclide "Médiane et cercles adjoints", (AN) est la A-médiane de ABC ; en conséquence, A, N, M et A' sont alignés. • Les cercles 1 et 3 conduisent au théorème 3 de Reim ; il s'en suit que (IM) // (BN) ; les cercles 2 et 4 conduisent au théorème 3 de Reim ; il s'en suit que (JM) // (CN). • Notons b, c les points d'intersection de la parallèle à (BC), passant par M, avec (BN) et (CN). • D'après Thalès "Trapèze complet", Mb = Mc ; par définition, les quadrilatères BIMb et CJMc ayant leurs opposés parallèles, sont des parallélogrammes ; en conséquences, BI = Mb et Mc = CJ. • Conclusion : par transitivité de la relation =, BI = CJ.

VISUALISATION SUFFISANTE

A

B C A'

M

I J a

m

J'

1

2

• Raisonnons par l'absurde en affirmant que (AMA') n'est pas la A-médiane de ABC.

16

16

• Notons a le milieu de [BC], m le second point d'intersection de (Aa) avec 1, 5 le cercle passant par A, C, m et J' le second point d'intersection de [BC] avec 5. • Par hypothèse, CJ = BI ; d'après la visualisation nécessaire, BI = CJ' ; par transitivité de la relation =, CI = CJ' ; en conséquences, (1) J et J' sont confondus (2) M et m sont confondus (3) A' et a sont confondus, ce qui est contradictoire. • Conclusion : (AMA') est la A-médiane de ABC. Scolie : les points situés sur le support d'un segment, à égale distance du point milieu de celui ci,

ont été appelés "points isotomiques relativement à ce segment" par de Gohierre de Longchamps.

17

17

PROBLÈME 4 14

UNE CONCOURANCE

ÉQUIVALENTE

À

UNE PROPORTION

proposed

by

Jean-Louis Ayme 15

VISION

Figure :

D

A B

C

P

M N

K L

1a

1b

1p

Traits : ABCD un quadrilatère convexe, M, N deux points resp. de [AD], [BC], P le point d'intersection de (AC) et (BD), K, L les point d'intersection de (MN) resp. avec (AC), (BD),

14 Ayme J.-L., Four concyclic points, AoPS du 29/08/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1699302_four_concyclic_points 15 inspired by Emil Stoyanov

2015 Bulgaria Team Selection Test Round 1, Problem 2 https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10214840513821151&set=gm.1852701454843552&type=3&theater&ifg=1

18

18

1a, 1b les cercles circonscrits resp. aux triangles AMK, BNL et 1p le cercle circonscrit au triangle KLP. Donné : 1a, 1b et 1c sont concourants si, et seulement si, NC/NB = MA/MD. Commentaire : nous raisonnons par équivalence logique.

VISUALISATION NÉCESSAIRE

LE POINT DE MIQUEL-WALLACE

D

A B

C

P

M N

K L

Q 1a

1b

1p

1d1m

• Notons Q le point de concours de 1a, 1b, 1p et 1d, 1m les cercles circonscrits resp. aux triangles DML, APD. • D'après ''Le point de Miquel-Wallace'' 16

appliqué au triangle APD, à la droite (MKL), Q en est ce point.

16 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-6, 12-13 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

19

19

D

A B

C

P

M N

K L

Q 1a

1b

1p

1d1m

1c1n

• Notons 1c, 1n les cercles circonscrits resp. aux triangles CNK, BPC. • D'après ''Le point de Miquel-Wallace'' 17

appliqué au triangle BPC, à la droite (NLK), Q en est ce point.

DEUX COUPLES

DE

TRIANGLES SEMBLABLES

D

A B

C

P

M N

K L

Q 1a

1b

1p

1d1m

1c1n

• Une première chasse angulaire : * par ''Angles inscrits'', <DQA = <DPA

17 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-6, 12-13 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

20

20

* par ''Angles opposés'', <DPA = <BPC * par transitivité de =, <DQA = <BPC.

• Une deuxième chasse angulaire : * le quadrilatère AMKQ étant cyclique, <QAM = <QKL * par ''Angles inscrits'', <QKL = <QPL * par une autre écriture, <QPL = <QPB * par ''Angles inscrits'', <QPB = <QCB * par transitivité de =, <QAM = <QCB. • Conclusion partielle : les triangles QAD et QCB sont semblables.

21

21

• Une troisième chasse angulaire : * par ''Angles inscrits'', <AMQ = <AKQ * le quadrilatère CNQK étant cyclique, <AKQ = <CNQ * par transitivité de =, <AMQ = <CNQ. • Conclusion partielle : les triangles QAM et QCN sont semblables.

UNE PROPORTION

D

A B

C

P

M N

K L

Q 1a

1b

1p

• Conclusion : N étant l'homologue de M relativement aux triangles semblables QAD et QCB, NC/NB = MA/MD.

22

22

VISUALISATION SUFFISANTE

Scolie : 1a, 1b et 1c sont concourants si, et seulement si, 18 1a et 1b se coupent sur (BC).

18 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

23

23

PROBLÈME 5 19

LES ANNEAUX DE BORROMÉE

Proposed

by

Isaak Moiseevitch Yaglom, Lidii Ivanovna Golovina,

VISION

Figure :

A, G M

N

Q

S

P R

B

C

D

E

F

1

2

3

Traits : 1, 2, 3 trois cercles deux à deux sécants M, N les points d'intersection de 1 et 2, P, Q les points d'intersection de 2 et 3, R, S les points d'intersection de 3 et 1, A un point de 1, B le second point d'intersection de (AM) avec 2, C le second point d'intersection de (BP) avec 3, D le second point d'intersection de (CR) avec 1, E le second point d'intersection de (DN) avec 2, F le second point d'intersection de (EQ) avec 3, et G le second point d'intersection de (FS) avec 1. Donné : G coïncide avec A.

19 Yaglom I. M., Golovina L. I., Induccion en la Geometria, Editions Mir, 1976, Moscou

24

24

VISUALISATION

A, G M

N

Q

S

P R

B

C

D

E

F

1

2

3

• Les cercles 1 et 2 conduisent au théorème 0 de Reim; il s'en suit que (AD) // (BE) ; les cercles 2 et 3 conduisent au théorème 0 de Reim; il s'en suit que (BE) // (CF) ; par transitivité de la relation //, (AD) // (CF) . • Les cercles 3 et 1, les points de base R et S, la monienne (CRD), les parallèles (CF) et (DA), conduisent au théorème 0' de Reim ; en conséquence, F, S et A sont alignés. • Conclusion : D coïncide avec A.

Note historique : Saint Charles Borromée (1538-1584) fut archevêque de Milan. Il contribua

puissamment à la Réforme catholique en restaurant la discipline ecclésiastique, la tenue des synodes et l'organisation des séminaires. Les armes de cette noble famille de la Renaissance italienne, étaient constitués de trois anneaux joints entre eux de manière inséparable, bien que chaque paire d'anneaux pris deux à deux ne soit pas liée.

25

25

PROBLÈME 6 20

LE THÉORÈME DES SIX CERCLES

DE

MICHEL CHASLES

VISION

Figure :

A B C

D D'

C'

B'

A'

1

2

3 4

5

Traits : 1 un cercle, A, B, C, D quatre points dans cet ordre de 1, 2, 3 deux cercles sécants en A et B 4, 5 deux cercles sécants en C et D tels que A', B' soient les points d'intersection de 2 et 4 et C', D' soient les points d'intersection de 3 et 5. Donné : A', B', C' et D' sont cocycliques.

20 Chasles M., Traité de Géométrie supérieure, Paris (1852) 539

26

26

VISUALISATION

A

B C

D

D'

C'

B'

A'

1

2

3 4

5

M

• Notons M le point de concours des "cordes" (AB) et (A'B'). • D'après Gaspard Monge "Les trois cordes" 21, (1) (AB), (A'B') et (CD) de 1, 2 et 4 concourent en M (2) (AB), (C'D') et (CD) de 1, 3 et 5 concourent en M.

A

B C

D

D', D"

C'

B'

A'

1

2

3 4

5

M

6

21 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes. G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

27

27

• Notons 6 le cercle passant par A', B', C' et D" le second point d'intersection de 6 avec 3. • D'après Gaspard Monge "Les trois cordes", (AB), (C'D") et (CD) de 2, 3 et 6 concourent en M ; en conséquence, D' et D" sont confondus. • Conclusion : A', B', C' et D' sont cocycliques.

28

28

PROBLÈME 7 22

LE THÉORÈME DES CINQ CERCLES

DE

GABRIEL FERDINAND AFFOLTER

DE

SOLOTHURN (vers 1875)

VISION

Figure :

A

B C

Q

P

S

R

X

Y Z

W

T

1

2

3

4

Traits : ABC un triangle A-isocèle, P, Q deux points de (AB), 1, 2 deux cercles de centres resp. P, Q passant par B, R, S deux points de (AC), 3, 4 deux cercles sécants de centres resp. R, S, X, Y les points d'intersection de 1 et 3, Z, W les points d'intersection de 2 et 4,

22 Johnson R. A, Advanced Euclidean Geometry, Dover, New York, 1960. (from 1929 original) 77 ; https://books.google.com/books?isbn=048615498X

29

29

et T le point d'intersection de (PR) et (QS). Donné : X, Y, Z et W sont cocycliques.

VISUALISATION

A

B C

Q

P

S

R

X

Y Z

W

T

1

2

3

4

5

6

• Notons 5 le cercle de centre A passant par B ; il passe par C. • Scolies : (1) 1, 2 et 5 sont tangents en B (2) 3, 4 et 5 sont tangents en C. • Conclusion : d'après Michel Chasles ''Le théorème des six cercles'' (Cf. p. 25), X, Y, Z et W sont cocycliques. • Notons 6 ce cercle. Scolie : T est le centre de 6

30

30

A

B C

Q

P

S

R

X

Y Z

W

T

1

2

3

4

5

6

Archive :

31

31

PROBLÈME 8 23

TROIS MILIEUX ALIGNÉS

DANS

UN CARRÉ

proposed

by

Stelios Karpathios

VISION

Figure :

A B

D C

E

G

Pa

F

I

L

M

Traits : ABCD un carré, E un point de (DA), Pa la perpendiculaire à (CE) issue de D, F, G les points d'intersection de Pa resp. avec (CE), (AB) et M, I, L les milieux resp. de [EG], [AB], [AD]. Donné : M, I et L sont alignés.

23 Karpathios S., 2249, Romantics of Geometry (Ροµαντικοί της Γεωµετρίας) https://www.facebook.com/photo.php?fbid=460896851062802&set=gm.1860567770723587&type=3&theater&ifg=1 Three midpoints collinear, AoPS du 03/09/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1701895_three_midpoints_collinear

32

32

VISUALISATION

LA DIAGONALE PRINCIPALE

A B

D C

E

G

Pa

F

I

L

M

X

1

2

• Notons 1, 2 les cercles de diamètres resp. [EG], [CD] et X le second point d'intersection de 1 et 2. • Scolies : (1) 1 passe par A et F (2) 2 passe par F. • Les cercles 1 et 2, les points de base F et X, la monienne (GFD), les parallèles (GA) et (DC), conduisent au théorème 0' de Reim ; en conséquence, A, X et C sont alignés.

33

33

LA DIAGONALE SECONDAIRE

A B

D C

E

G

F

I

L

M

X

1

2

• D'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (DX)⊥ (CX). • Les diagonales d'un carré étant perpendiculaire, (DX) passe par B.

34

34

LA DROITE DES CENTRES

A B

D C

E

G

F

I

L

M

X

1

3

• Notons 3 le cercle de diamètre [AD]. • D'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', 3 passe par X. • Nous avons : (ML)⊥ (AX) et (AX)⊥ (BD) ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (ML) // (BD). • D'après Thalès de Milet ''La droite de milieux'' appliqué au triangle ABD, (ML) passe par I. • Conclusion : M, I et L sont alignés.

35

35

PROBLÈME 9 24

UN CERCLE PASSANT PAR UN MILIEU

proposed

by

Philippe Fondanaiche

VISION

Figure :

A

B C

D E

F

L M

0

1b

1l

Traits : ABCD un carré, 0 le cercle circonscrit à ABC, D un point de l'arc BC ne contenant pas A, E le point de (AB) dans l'ordre A-B-E tel que BE = BD, F le point de (AC) dans l'ordre A-C-F tel que CF = CD, 1b le cercle circonscrit au triangle B-isocèle BDE, L le second point d'intersection de 1b avec (EF), 1l le cercle circonscrit au triangle LBC et M le milieu de [EF]. Donné : 1l passe par M.

VISUALISATION

24 Fondanaiche P., Diophante, D1838 La saga des dichotomies ;

http://www.diophante.fr/problemes-du-mois/4205-d1838-la-saga-des-dichotomies-8ieme-episode

36

36

LE CERCLE GÉMELLAIRE

A

B C

D

E

F L

0

1b1c

• Notons 1c le cercle circonscrit au triangle C-isocèle CDF. • Conclusion partielle : <EBD et <DCF étant supplémentaires, 1c passe par L. • Scolie : <BDE et <FDC sont complémentaires.

LE CERCLE ROUGE

A

B C

D

E

F

L

0

1b

1c

1l

• Le triangle BDE étant B-isocèle, (LB) est la bissectrice intérieure de <DLE.

37

37

• Le triangle CLF étant C-isocèle, (LC) est la bissectrice intérieure de <FLC. • <FLD et <DLE étant adjacents et supplémentaires, <CLB est droit. • Conclusion partielle : [BC] est un diamètre de 1l.

UNE TANGENTE

A

B C

D

E

F

L

0

1b

X

Y

1c

1l

• Notons X le second point d'intersection de (BD) avec 1c, et Y le second point d'intersection de (CX) avec 1l.

• D'après Auguste Miquel ''Le théorème des trois cercles concourants'' 25 appliqué à 1b, 1c et 1l concourants en L, (BY) est tangente à 1b en B. • Conclusion partielle : d'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'',

le triangle YBC est Y-rectangle. • Scolie : BDE étant B-isocèle, (BY) en est la B-bissectrice extérieure.

25 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-7 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

38

38

L 'AXE MÉDIAN

• Notons Z le point d'intersection de (XY) et (AB), et N le milieu de [BX]. • Les cercles 1c et 1b, les points de base L et D, les moniennes (FLE) et (XDB), conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (FX) // (EB). • (BY) étant la B-bissectrice, hauteur du triangle BXZ, BXZ est B-isocèle ;

en conséquence, Y est le milieu de [XZ]. • Conclusion partielle : (NY) est l'axe médian de la bande de frontières (FX) et (EB). • Scolies : (1) (NY) passe par le milieux M de [EF]

(2) (FX), (MY) et (EB) sont parallèles entre elles.

39

39

ENFIN,

LE THÉORÈME DE REIM

A

B C

D

E

F

L M

0

1b

X

N

Y

1c

1l

1n

• Le cercle 1c, les points de base L et C, les moniennes naissantes (FLM) et (XCY), les parallèles (FX) et (MY), conduisent au théorème 0'' de Reim ; en conséquence, L, C, M et Y sont cocycliques. • Notons 1'l ce cercle.

• 1'l et 1n ayant M, C et Y en communs sont confondus. • Conclusion : 1l passe par M. Note historique : Philippe Fondanaiche précise

''l'énoncé de D1838 est une variante ''habillée'' à ma façon, du 2ème problème d'une récente olympiade de Hong Kong (décembre 2017) qui a été diffusé par la revue Mathematical Excalibur 26 volume 21 n°3.''

26 http://www.math.ust.hk/excalibur/

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40

PROBLÈME 10 27

QUATRE POINTS COCYCLIQUES

VISION

Figure :

A

B C

I

D

Y

M

X Pi

Pm

Traits : ABC un triangle, I le centre de ABC, D le pied de la perpendiculaire à (BC) issue de I, Pi la perpendiculaire à (AD) issue de I, X le point d'intersection de Pi avec (AD), M le milieu de [BC], Pm la médiatrice de [BC], et Y le point d'intersection de Pm et Pi. Donné : B, X, Y et Y sont cocycliques.

27 Prove X,Y,B,C concyclic, AoPS du 14/09/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1707329_prove_xybc_concyclic

41

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VISUALISATION

UNE DIVISION HARMONIQUE

A

B C

I

D

Y

M

X

E

A*

R

Q

Te

T

1

• Notons 1 le cercle inscrit à ABC, E le second point d'intersection de 1 avec (AD), Te la tangente à 1 en E, A*, Q, R les points d'intersection de Te resp. avec (BC), (CA), (AB) et T le point d'intersection de (BQ) et (CR). • D'après Isaac Newton ''Le théorème du quadrilatère circonscriptible'' 28, (DE) passe par T. • D'après Pappus d'Alexandrie ''Diagonales d'un quadrilatère complet'' 29 appliqué au quadrilatère ARTQ, le quaterne (B, C, D, A*) est harmonique ; en conséquence, le pinceau (A ; B, C, D, A*) est harmonique.

A

B C

I

D

Y

M

X

E

A*

R

Q

Te

T

1

• Par déplacement du sommet A, le pinceau (X ; B, C, D, A*) est harmonique. • Scolie : A*, X et I sont alignés. • Conclusion partielle : le quaterne (X ; B, C, D, A*) est harmonique.

28 Newton I., Principes 1686, corollaire II du lemme XXIV ; il est aussi appelé théorème faible de Brianchon

Ayme J.-L., La ponctuelle de Newton, G.G.G. vol. 8, p. 4-6 ; http://jl.ayme.pagesperso.orange.fr/ 29 Pappus, Collections, Livre 7, proposition 131.

42

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UNE RELATION MÉTRIQUE PEU CONNUE

A

B C

I

D

Y

M

X

2

A*

• D'après Jakob Steiner ''Puissance d’un point par rapport à un cercle'', A*X.A*Y = A*D.A*M • D'après Michel Chasles, le quaterne harmonique (B, C, D, A*) ne change pas si l'on permute les deux premiers points avec les deux derniers ; en conséquence, le quaterne (D, A*, B, C) est harmonique. • D'après Michel Chasles, le quaterne harmonique (D, A*, B, C) ne change pas si l'on permute en même temps le premier avec le deuxième point, le troisième avec le quatrième ; en conséquence, le quaterne (A*, D, C, B) est harmonique. • M étant le milieu de [BC] 30, A*D.A*M = A*B.A*C ; par transitivité de =, A*X.A*Y = A*B.A*C. • Conclusion : d'après Feuerbach-Steiner, B, X, Y et Y sont cocycliques.

30 Lebossé C., Hémery C., Géométrie, Classe de Mathémtiques, Programmes 1945, Ed. Fernand Nathan, Paris (1961) 167-168

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LEXIQUE

FRANÇAIS - ANGLAIS

A aligné collinear annexe annex axiome axiom appendice appendix adjoint associate a propos by the way btw acutangle acute angle axiome axiom B bissectrice bisector bande strip C centre incenter centre du cercle circonscrit circumcenter cercle circonscrit circumcircle cévienne cevian colinéaire collinear concourance concurrence coincide coincide confondu coincident côté side par conséquence consequently commentaire comment D d'après according to donc therefore droite line d'où hence distinct de different from E extérieur external F figure figure H hauteur altitude hypothèse hypothesis I intérieur internal identique identical i.e. namely incidence incidence L lemme lemma lisibilité legibility M mediane median médiatrice perpendicular bissector milieu midpoint

N Notons name nécessaire necessary note historique historic note O orthocentre orthocenter ou encore otherwise P parallèle parallel parallèles entre elles parallel to each other parallélogramme parallelogram pédal pedal perpendiculaire perpendicular pied foot point de vue point of view postulat postulate point point pour tout for any Q quadrilatère quadrilateral R remerciements thanks reconnaissance acknowledgement respectivement respectively rapport ratio répertorier to index S semblable similar sens clockwise in this order segment segment Sommaire summary symédiane symmedian suffisante sufficient sommet (s) vertex (vertice) T trapèze trapezium tel que such as théorème theorem triangle triangle triangle de contact contact triangle triangle rectangle right-angle triangle