Géométrie analytique

Équations d’une droite

- Forme fonctionnelle (canonique) : y = mx + b

- Forme symétrique : x

a+ y

= 1b

- Forme générale : Ax + By + C = 0

Une droite (un segment) peut être représentée par plusieurs formes d’équations.

La forme fonctionnelle :

Elle utilise la pente et l’ordonnée à l’origine.

La forme symétrique :x

+y

a b= 1

Elle utilise les coordonnées à l’origine.

La forme générale : Ax + By + C = 0

C’est l’écriture géométrique d’une droite. Elle utilise la notion de vecteurs;

y = mx + b

les paramètres représentent des variations.

P1 (x1 , y1)

P2 (x2 , y2)

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

m = x1x2 -

y1y2 - =

02 -

15 - =

2

4 = 2

Cette forme d’équation peut se déterminer en 2 étapes.

1 ) Déterminer la pente :

2 ) Déterminer l’ordonnée à l’origine en

utilisant la forme théorique de la

droite, la pente et un point :

y = mx + b

y = 2x + b avec le point (2 , 5)

5 = 2 X 2 + b

5 = 4 + b

1 = b Équation : y = 2x + 1

Forme fonctionnelle

y = mx + b

Tout segment d’une droite a la même pente.

Cette propriété nous permet de trouver une nouvelle formule pour déterminer l’équation d’une droite.

P1 (x1 , y1)

P2 (x2 , y2)

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6Plaçons un point quelconque et notons-le P.

P (x , y)

La pente entre le point P et le point P1 peut se calculer comme suit :

m = x1x -

y1y -

La pente entre le point P2 et le point P1 peut se calculer comme suit :

m = x1x2 -

y1y2 -

Tout segment d’une droite a la même pente.

x1x -

y1y - =

x1x2 -

y1y2 -Donc,

En remplaçant par les valeurs numériques, nous obtenons :

0x -

1y - =

02 -

15 -

0x -

1y - =

2

4

P1 (x1 , y1)

P2 (x2 , y2)

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

P (x , y)

2 (y – 1) = 4 (x – 0)

2 y – 2 = 4 x

2 y = 4 x + 2

y = 2 x + 1

P1 (x1 , y1) P2 (x2 , y2)

P1 (0 , 1) P2 (2 , )

Remarques

La forme fonctionnelle est la forme que l’on connaît le mieux.

C’est la forme utilisée pour exprimer une fonction, car elle est exprimée en fonction de x.

C’est la forme la plus facile à utiliser pour tracer une courbe dans le plan cartésien surtout avec une calculatrice à affichage graphique ou une table de valeurs.

Elle ne permet pas d’exprimer toutes les droites.

Exemple

P1 (x1 , y1)

P2 (x2 , y2)

x

y

1 2 3 4

1

2

3

4

Un segment vertical a une pente indéterminée, donc on ne peut pas déterminer son équation par la forme fonctionnelle.

Dans cette forme, y est isolé.

Dans la forme fonctionnelle : y = mx + b

La pente est donnée par m.

L’ordonnée à l’origine est donnée par b.

L’abscisse à l’origine est donnée par

Démonstration

On sait que l’abscisse à l’origine est la valeur de x quand y = 0.

Donc, y = mx + b

0 = mx + b

- b = mx

- b

m= x

- b

m.

Forme symétrique

x+

y

a b= 1 P1 (x1 , y1)

P2 (x2 , y2)

x

y

P (x , y)

(0 , b)

(a , 0)

Elle est obtenue en utilisant les coordonnées à l’origine.

x1x -

y1y - =

x1x2 -

y1y2 -

0x -

by - =

0 a -

b 0 -

y - b

x=

- b

a

a (y - b) = - bx

ay - ab = - bx

bx + ay = ab

+x

a

y

b= 1

bx + ay = ab

ab ab ab

P1 (x1 , y1) P2 (x2 , y2)

P1 (0 , b) P2 (a , 0)

Remarques

Dans cette forme, l’équation est égale à 1.

Dans cette forme :

- b est l’ordonnée à l’origine.

- a est l’abscisse à l’origine;

Exemple :x

+y

6 5= 1

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

Elle permet donc de tracer très rapidement la droite dans le plan cartésien.

Les coefficients aux numérateurs sont positifs.

x+

-y

3 2= 1Exemple : n’est pas encore la forme symétrique, car le

numérateur de y est négatif.

Il faut rendre ce numérateur positif en positionnant le signe négatif au dénominateur.

x+

y

3 -2= 1 La courbe ainsi obtenue sera :

y

x1

1

Démonstration

Créons un terme équivalent à :-y

2

-y

2÷

÷

-1

-1=

y

-2

Remarque

Dans une fraction, le dénominateur n’est jamais négatif.

3

-5J’ai mangé 3 morceaux d’une tarte découpée en – 5 morceaux ???????

Il est plus normal de voir un numérateur négatif.

-3

5Il manque 3 morceaux de la tarte que j’avais découpée en 5 morceaux.

Dans le cas de la forme symétrique, un dénominateur négatif est très significatif.

Exemple :

x+

y

3 2= 1

Traçons la courbe de

x+

y

3 -2= 1

x+

y

-3 2= 1

x+

y

-3 -2= 1

y

x1

1

Dans la forme symétrique : - les coefficients (numérateurs) de x et y doivent être positifs.

- les dénominateurs peuvent être négatifs.

- les droites horizontales, car il n’y a pas d’abscisse à l’origine.

La forme symétrique ne permet pas de représenter :

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6- les droites verticales, car il n’y a pas d’ordonnée à l’origine.

- les droites passant pas l’origine, car les termes sont indéterminés.

x+

y

0 0= ?

Dans la forme symétrique :

x+

y

a b= 1

L’ordonnée à l’origine est donnée par b.

L’abscisse à l’origine est donnée par a.

La pente est donnée par

Démonstration

Prenons la forme symétrique, ramenons-la sous la forme fonctionnelle et isolons y.

bx + ay = ab

ab ab ab

bx + ay = ab

ay = - bx + ab

aa a

y = - bx + b

a

x+

y

a b= 1

- b

a.

Forme générale

Ax + By + C = 0

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

P1(x1 , y1)

P2(x2 , y2)

P(x , y)

Elle est obtenue en utilisant la formule suivante :

x1x -

y1y - =

x1x2 -

y1y2 -

On peut représenter

La formule devient doncx1x -

y1y - =

∆ y

∆ x

y2 – y1 par ∆ y

x2 – x1 par ∆ x. et

Développons :

y1)(y -x1)(x - = ∆ x∆ y

∆yx - ∆yx1 = ∆xy - ∆xy1

Ramenons l’équation à zéro : ∆yx - ∆yx1 - ∆xy + ∆xy1 = 0

x1x -

y1y - =

∆ y

∆ x

Associons les termes dont on ne connaît pas les coordonnées :

∆yx - ∆xy + ∆xy1 - ∆yx1 = 0

Remplaçons les variations par des paramètres plus simples : Ax + By + C = 0

Les paramètres A et B ne correspondent pas aux paramètres a et b des formes fonctionnelle et symétrique. Pour les distinguer, on les écrit en lettres majuscules.

Remarques

Dans la forme générale d’une droite, les paramètres A , B et C représentent des variations.

L’équation est égale à zéro.

C’est la seule forme pouvant représenter toutes les droites du plan cartésien.

Il n’est pas facile de tracer la courbe d’une droite représentée sous la forme générale.

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

C’est la seule forme pouvant représenter toutes les droites du plan cartésien.

∆yx - ∆xy + ∆xy1 - ∆yx1 = 0

Ax + By + C = 0

Pour une droite horizontale :

0x + By + C = 0 By + C = 0

Pour une droite verticale :

Ax + 0y + C = 0 Ax + C = 0

Pour une droite passant pas l’origine (0 , 0) :

∆y = 0

∆x = 0

∆xy1 - ∆yx1

∆x0 - ∆y0 = 0

Ax + By + 0 = 0 Ax + By = 0

Dans la forme générale :

L’abscisse à l’origine est donnée par

Ax + By + C = 0

Démonstration

L’abscisse à l’origine est la valeur de x quand y = 0.

Ax + By + C = 0

Ax + B X 0 + C = 0

Ax + C = 0

Ax = - C

x =- C

A

- C

A.

Dans la forme générale :

L’ordonnée à l’origine est donnée par

Ax + By + C = 0

Démonstration

L’ordonnée à l’origine est la valeur de y quand x = 0.

Ax + By + C = 0

A X 0 + By + C = 0

By + C = 0

By = - C

y =- C

B

- C

B.

Dans la forme générale : Ax + By + C = 0

Démonstration

La pente est donnée par

Ax + By + C = 0

Prenons la forme générale, ramenons-la sous la forme fonctionnelle et isolons y.

By = - Ax - C

B BB

y = - Ax - C

BB

- A

B.

Passer d’une forme à l’autre

Démarche

Faire disparaître les coefficients fractionnaires (s’il y en a), en créant une équation équivalente.

Pour obtenir : - la forme fonctionnelle, on isole y;

- la forme générale, on ramène l’équation égale à 0;

- la forme symétrique, on isole le terme constant et on ramène l’équation égale à 1 .

y = mx + b

Ax + By + C = 0

x+

y

a b= 1

Exemples

x+

y

5 2= 1

Donne la forme générale et la forme fonctionnelle de l’équation suivante.

Créons une équation équivalente sans dénominateur.

2x+

5y

10 10=

10

10

2x + 5y = 10

1) On transforme, en premier, chaque membre de l’équation en les écrivant tous sur le même dénominateur.

2) On supprime, en deuxième, le dénominateur de chaque côté de l’équation.

x+

y

5 2= 1 2x + 5y = 10

Forme générale :

2x + 5y - 10 = 0

Forme fonctionnelle :

2x + 5y - 10 = 0

5y = -2x + 10

y = -2x + 2

5

ramener l’équation égale à 0.

ramener l’équation égale à y.

5 55

2x + 5y = 10

Donne la forme générale et la forme symétrique de l’équation suivante.

y = - 2x + 4

Forme générale : ramener l’équation égale à 0.

2x + y - 4 = 0

Forme symétrique :

- ramener l’équation égale au terme constant :

2x + y = 4

- diviser chaque membre de l’équation afin d’obtenir un terme constant égal à 1 :

2x + y = 44 4 4

- simplifier : x+

y

2 4= 1

Remarque :

Donne la forme symétrique de l’équation suivante : y = - 4x + 14

Forme symétrique : 4x + y = 14 4x + y = 14

14 14 14

2x + y

7 14= 1

Ce n’est pas encore la forme symétrique,

car le numérateur de x ≠ 1 .

Créons un terme équivalent à :2x

7

2x

7÷

÷

2

2=

x

7

2

yx

7/2+

14= 1

L’abscisse à l’origine est donc l’inverse du coefficient de x.

2x

7 7/2

x

=x

7 ÷ 2

Une division est une fraction.

Donne la forme générale et la forme fonctionnelle de l’équation suivante.

yx5/3

+ = 1- 1/2

Il faut, en premier, transformer les termes contenant les variables.

y=

- 1/2

x5/3

=

Une fraction est une division.

x ÷

53

= x X 35

= 3x5

On multiplie par l’inverse.

y ÷ -12

=-2yX

y 2

-1=

1

y 21

=-1

X

Donne la forme générale et la forme fonctionnelle de l’équation suivante.

yx

5/3+ = 1

- 1/2

Forme générale :

3x

5

- 2y

1= 1+ -3x

52y = 1

-3x

5

10y = 5

5 53x - 10y = 5

3x - 10y - 5 = 0

Forme fonctionnelle : -10y = -3 x + 5

-10y = - 3x + 5

-10 -10 -10

y = 3x - 110 2

y = mx + b

Ax + By + C = 0

x+

y

a b= 1

- b

mm b

- b

aa b

- C

A

- C

B

- A

B

En résumé

Forme fonctionnelle :

Forme générale :

Forme symétrique :

Pente Abscisse à l’origine

Ordonnée à l’origine

Remarques : Pour trouver la pente sous n’importe quelle forme, retiens la première colonne

Pour déterminer l’abscisse à l’origine et l’ordonnée à l’origine sous n’importe quelle forme, retiens leur définition.

- abscisse à l’origine : valeur de x quand y = 0.

- ordonnée à l’origine : valeur de y quand x = 0.

ou ramène l’équation sous la forme fonctionnelle.

La pente, l’ordonnée à l’origine et l’abscisse à l’origine sont trois informations importantes en géométrie analytique.

Exemple : pente : m =

Abscisse à l’origine : valeur de x quand y = 0.

- 10 = - 2x

5 = x

Ordonnée à l’origine : valeur de y quand x = 0.

y = -2x + 2

5 5-2

y = -2x + 2

5

0 = -2x + 2

5

0 = -2x + 105 5 5

0 = -2x + 10

y = -2x + 2

5

y = -2 X 0 + 2

5

y = 2

Exemple : 2x + 5y - 10 = 0

Abscisse à l’origine : valeur de x quand y = 0.

Ordonnée à l’origine : valeur de y quand x = 0.

pente : - A

B=

- 2

5

2x + 5y - 10 = 0

2x + 5 X 0 - 10 = 0

2x - 10 = 0

2x = 10

x = 5

2 X 0 + 5y - 10 = 0

5y - 10 = 0

5y = 10

y = 2

ou ramener l’équation sous la forme fonctionnelle :

2x + 5y - 10 = 0 5y = -2x + 10 5y = -2x + 10

5 5 5 5

y = -2x + 10

5

2x + 5y - 10 = 0

Exemple : pente : - b

a=

- 2

5

ou ramener l’équation sous la forme fonctionnelle :

x+

y

5 2=1

x+

y

5 2=1

2x + 5y = 10

10 10 102x + 5y = 10 5y = -2x +10

5

y = -2x + 10

5

Exemples

Abscisse à l’origine : valeur de x quand y = 0.

Ordonnée à l’origine : valeur de y quand x = 0.

x+

y

5 2= 1

x+

0

5 2= 1

x

5= 1

x = 5

x+

y

5 2= 1

0+

y

5 2= 1

y

2= 1

y = 2

Remarque : L’habilité à jouer avec les lois algébriques est importante.

x+

y

5 2=1