Géométrie analytique

équations d’une droite :

- forme fonctionnelle (canonique) : y = mx + b

- forme symétrique : x

a+ y

= 1b

- forme générale : Ax + By + C = 0

Une droite ( un segment ) peut être représentée par plusieurs formes d’équations.

La forme fonctionnelle :

Elle utilise la pente et l’ordonnée à l’origine.

La forme symétrique :x

+y

a b= 1

Elle utilise les coordonnées à l’origine.

La forme générale : Ax + By + C = 0

C’est l’écriture géométrique d’une droite. Elle utilise la notion de vecteurs;

y = mx + b

les paramètres représentent des variations.

P1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

m = x1x2 -

y1y2 - =

02 -

15 - =

2

4 = 2

Cette forme d’équation peut se déterminer en 2 étapes.

1 ) Déterminer la pente :

2 ) Déterminer l’ordonnée à l’origine en

utilisant la forme théorique de la

droite, la pente et un point :

y = mx + b

y = 2x + b avec le point ( 2 , 5 )

5 = 2 X 2 + b

5 = 4 + b

1 = b

donc y = 2x + 1

Forme fonctionnelle: y = mx + b

Tout segment d’une droite a la même pente.

Cette propriété nous permet de trouver une nouvelle formule pour déterminer l’équation d’une droite.

P1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6Plaçons un point quelconque et notons-le P .

P ( x , y )

La pente entre le point P et le point P1 peut se calculer comme suit :

m = x1x -

y1y -

La pente entre le point P2 et le point P1 peut se calculer comme suit :

m = x1x2 -

y1y2 -

Tout segment d’une droite a la même pente.

x1x -

y1y - =

x1x2 -

y1y2 -donc

en remplaçant par les valeurs numériques, nous obtenons :

0x -

1y - =

02 -

15 -

0x -

1y - =

2

4

P1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

P ( x , y )

2 ( y – 1 ) = 4 ( x – 0 )

2 y – 2 = 4 x

2 y = 4 x + 2

y = 2 x + 1

P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 )

P1 ( 0 , 1 ) P2 ( 2 , 5 )

Remarques :

La forme fonctionnelle est la forme que l’on connaît le mieux.

C’est la forme utilisée pour exprimer une fonction car elle est exprimée en fonction de x .

C’est la forme la plus facile à utiliser pour tracer une courbe dans le plan cartésien surtout avec une calculatrice à affichage graphique ou une table de valeurs.

Elle ne permet pas d’exprimer toutes les droites.

Exemple:

P1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

x

y

1 2 3 4

1

2

3

4

Un segment vertical a une pente indéterminée donc on ne peut pas déterminer son équation par la forme fonctionnelle.

Dans cette forme, y est isolé.

Dans la forme fonctionnelle : y = mx + b

La pente est donnée par m.

L’ordonnée à l’origine est donnée par b.

L’abscisse à l’origine est donnée par- b

m

Démonstration :

On sait que l’abscisse à l’origine est la valeur de x quand y = 0 .

donc y = mx + b

0 = mx + b

- b = mx

- b

m= x

Forme symétrique :x

+y

a b= 1

P1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

x

y

P ( x , y )

( 0 , b )

( a , 0 )

Elle est obtenue en utilisant les coordonnées à l’origine.

x1x -

y1y - =

x1x2 -

y1y2 -

0x -

by - =

0 a -

b 0 -

y - b

x=

- b

a

a ( y - b ) = - bx

ay - ab = - bx

bx + ay = ab

bx + ay = ab

ab ab ab

+x

a

y

b= 1

bx + ay = ab

ab ab ab

P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 )

P1 ( 0 , b ) P2 ( a , 0 )

Remarques :

Dans cette forme, l’équation est égale à 1 .

Dans cette forme :

b est l’ordonnée à l’origine.

a est l’abscisse à l’origine;

Exemple :x

+y

6 5= 1

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

Elle permet donc de tracer très rapidement la droite dans le plan cartésien.

Les coefficients aux numérateurs sont positifs.

x+

-y

3 2= 1Exemple : n’est pas encore la forme symétrique, car le

numérateur de y est négatif.

Il faut rendre ce numérateur positif en descendant le signe négatif au dénominateur.

x+

y

3 -2= 1 la courbe ainsi obtenue sera :

y

x1

1

Démonstration :

Créons un terme équivalent à :-y

2

-y

2÷

÷

-1

-1=

y

-2

Remarque : Normalement, dans une fraction, le dénominateur n’est jamais négatif.

3

-5J’ai mangé 3 morceaux d’une tarte découpée en – 5 morceaux ???????

Il est plus normal de voir un numérateur négatif.

-3

5Il manque 3 morceaux de la tarte que j’avais découpé en 5 morceaux.

Dans le cas de la forme symétrique, un dénominateur négatif est très significatif.

Exemple:

x+

y

3 2= 1

Traçons la courbe de :

x+

y

3 -2= 1

x+

y

-3 2= 1

x+

y

-3 -2= 1

y

x1

1

Dans la forme symétrique : - les coefficients de x et y doivent être positifs.

- les dénominateurs peuvent être négatifs.

Les droites horizontales car il n’y a pas

d’abscisse à l’origine.

La forme symétrique ne permet pas de représenter :

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6Les droites verticales car il n’y a pas

d’ordonnée à l’origine.

Les droites passant pas l’origine car les termes sont indéterminés.

x+

y

0 0= ?

Dans la forme symétrique :

x+

y

a b= 1

L’ordonnée à l’origine est donnée par b.

L’abscisse à l’origine est donnée par a.

La pente est donnée par - b

a

Démonstration :

Prenons la forme symétrique, ramenons-la sous la forme fonctionnelle et isolons y.

bx + ay = ab

ab ab ab

bx + ay = ab

ay = - bx + ab

aa a

y = - bx + b

a

x+

y

a b= 1

Forme générale : Ax + By + C = 0

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

P1(x1 , y1)

P2(x2 , y2)

P(x , y)a

b

Elle est obtenue en utilisant la formule suivante :

x1x -

y1y - =

x1x2 -

y1y2 -

On peut représenter

La formule devient doncx1x -

y1y - =

∆ y

∆ x

y2 – y1 par ∆ y

x2 – x1 par ∆ x et

Développons :

y1 )( y -x1 )( x - = ∆ x∆ y

∆yx - ∆yx1 = ∆xy - ∆xy1

Ramenons l’équation à zéro : ∆yx - ∆yx1 - ∆xy + ∆xy1 = 0

x1x -

y1y - =

∆ y

∆ x

Associons les termes dont on ne connaît pas les coordonnées :

∆yx - ∆xy + ∆xy1 - ∆yx1 = 0

Remplaçons les variations par

des paramètres plus simples :Ax + By + C = 0

Les paramètres A et B ne correspondent pas aux paramètres a et b des formes fonctionnelle et symétrique. Pour les distinguer, on les écrit en lettres majuscules.

Remarques :

Dans la forme générale d’une droite, les paramètres A , B et C représentent des variations.

L’équation est égale à zéro.

C’est la seule forme pouvant représenter toutes les droites du plan cartésien.

Il n’est pas facile de tracer la courbe d’une droite représentée sous la forme générale.

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

C’est la seule forme pouvant représenter toutes les droites du plan cartésien.

∆yx - ∆xy + ∆xy1 - ∆yx1 = 0

Ax + By + C = 0

Pour une droite horizontale :

0x + By + C = 0 By + C = 0

Pour une droite verticale :

Ax + 0y + C = 0 Ax + C = 0

Pour une droite passant pas l’origine ( 0 , 0 ) :

∆y = 0

∆x = 0

∆xy1 - ∆yx1

∆x0 - ∆y0 = 0

Ax + By + 0 = 0 Ax + By = 0

Dans la forme générale :

L’abscisse à l’origine est donnée par

Ax + By + C = 0

- C

A

Démonstration :

L’abscisse à l’origine est la valeur de x quand y = 0 ;

Ax + By + C = 0

Ax + B X 0 + C = 0

Ax + C = 0

Ax = - C

x =- C

A

Dans la forme générale :

L’ordonnée à l’origine est donnée par

Ax + By + C = 0

- C

B

Démonstration :

L’ordonnée à l’origine est la valeur de y quand x = 0 ;

Ax + By + C = 0

A X 0 + By + C = 0

By + C = 0

By = - C

y =- C

B

Dans la forme générale : Ax + By + C = 0

Démonstration :

La pente est donnée par- A

B

Ax + By + C = 0

Prenons la forme générale, ramenons-la sous la forme fonctionnelle et isolons y.

By = - Ax - C

B BB

y = - Ax - C

BB

Passer d’une forme à l’autre.

Démarche :

Faire disparaître les coefficients fractionnaires ( s’il y en a ), en créant une équation équivalente.

Pour obtenir : la forme fonctionnelle, on isole y .

la forme générale, on ramène l’équation égale à 0 .

la forme symétrique, on isole le terme constant et on ramène l’équation égale à 1 .

y = mx + b

Ax + By + C = 0

x+

y

a b= 1

Exemples

x+

y

5 2= 1

Donne la forme générale et la forme fonctionnelle de l’équation suivante:

Créons une équation équivalente sans dénominateur :

2x+

5y

10 10=

10

10

2x + 5y = 10

1) On transforme, en premier, chaque membre de l’équation en les écrivant

tous sur le même dénominateur.

2) On supprime, en deuxième, le dénominateur de chaque côté de l’équation.

x+

y

5 2= 1 2x + 5y = 10

Forme générale :

2x + 5y - 10 = 0

Forme fonctionnelle :

2x + 5y - 10 = 0

5y = -2x + 10

y = -2x + 2

5

ramener l’équation égale à 0.

ramener l’équation égale à y.

5 55

2x + 5y = 10

Donne la forme générale et la forme symétrique de l’équation suivante:

y = - 2x + 4

Forme générale : ramener l’équation égale à 0.

2x + y - 4 = 0

Forme symétrique:

- ramener l’équation égale au terme constant:

2x + y = 4

- diviser chaque membre de l’équation afin d’obtenir un terme constant égale à 1 :

2x + y = 44 4 4

- simplifier : x+

y

2 4= 1

Remarque:

Donne la forme symétrique de l’équation suivante: y = - 4x + 14

Forme symétrique: 4x + y = 14 4x + y = 14

14 14 14

2x + y

7 14= 1

ce n’est pas encore la forme symétrique

car le numérateur de x ≠ 1 .

Créons un terme équivalent à :2x

7

2x

7÷

÷

2

2=

x

7

2

yx

7/2+

14= 1

L’abscisse à l’origine est donc l’inverse du coefficient de x .

2x

7 7/2

x

=x

7 ÷ 2

Une division est une fraction.

Donne la forme générale et la forme fonctionnelle de l’équation suivante :

yx5/3

+ = 1- 1/2

Il faut, en premier, transformer les termes contenant les variables.

y=

- 1/2

x5/3

=

Une fraction est une division.

x ÷

53

= x X 35

= 3x5

On multiplie par l’inverse.

y ÷ -12

=y X 2

-1=

y X 21

=- -2y

Donne la forme générale et la forme fonctionnelle de l’équation suivante :

yx

5/3+ = 1

- 1/2

Forme générale :

3x

5

- 2y

1= 1+ -3x

52y = 1

-3x

5

10y = 5

5 53x - 10y = 5

3x - 10y - 5 = 0

Forme fonctionnelle : -10y = -3 x + 5

-10y = - 3x + 5

-10 -10 -10

y = 3x - 110 2

y = mx + b

Ax + By + C = 0

x+

y

a b= 1

- b

mm b

- b

aa b

- C

A

- C

B

- A

B

En résumé

Forme fonctionnelle :

Forme générale :

Forme symétrique :

Pente Abscisse à l’origine

Ordonnée à l’origine

Remarques: Pour trouver la pente sous n’importe quelle forme, retiens la première colonne

Pour déterminer l’abscisse à l’origine et l’ordonnée à l’origine sous n’importe quelle forme, retiens leur définition.

- abscisse à l’origine : valeur de x quand y = 0 .

- ordonnée à l’origine : valeur de y quand x = 0 .

ou ramène l’équation sous la forme fonctionnelle.

La pente, l’ordonnée à l’origine et l’abscisse à l’origine sont trois informations importantes en géométrie analytique.

Exemples: pente : m =

abscisse à l’origine : valeur de x quand y = 0 .

- 10 = - 2x

5 = x

ordonnée à l’origine : valeur de y quand x = 0

y = -2x + 2

5 5-2

y = -2x + 2

5

0 = -2x + 2

5

0 = -2x + 105 5 5

0 = -2x + 10

y = -2x + 2

5

y = -2 X 0 + 2

5

y = 2

Exemples: 2x + 5y - 10 = 0

abscisse à l’origine : valeur de x quand y = 0 .

ordonnée à l’origine : valeur de y quand x = 0

pente : - A

B=

- 2

5

2x + 5y - 10 = 0

2x + 5 X 0 - 10 = 0

2x - 10 = 0

2x = 10

x = 5

2 X 0 + 5y - 10 = 0

5y - 10 = 0

5y = 10

y = 2

ou ramener l’équation sous la forme fonctionnelle:

2x + 5y - 10 = 0 5y = -2x + 10 5y = -2x + 10

5 5 5 5

y = -2x + 10

5

2x + 5y - 10 = 0

Exemples: pente : - b

a=

- 2

5

ou ramener l’équation sous la forme fonctionnelle:

x+

y

5 2=1

x+

y

5 2=1

2x + 5y = 10

10 10 102x + 5y = 10 5y = -2x +10

5

y = -2x + 10

5

Exemples:

abscisse à l’origine : valeur de x quand y = 0 .

ordonnée à l’origine : valeur de y quand x = 0

x+

y

5 2= 1

x+

0

5 2= 1

x

5= 1

x = 5

x+

y

5 2= 1

0+

y

5 2= 1

y

2= 1

y = 2

Remarque: L’habilité à jouer avec les lois algébriques est ici importante.

x+

y

5 2=1