Génération de coupes pour la planification dagents Boris Detienne, Laurent Péridy, Eric Pinson,...

Génération de coupes pour la planification d’agents

Boris Detienne, Laurent Péridy, Eric Pinson, David RivreauBoris Detienne, Laurent Péridy, Eric Pinson, David RivreauCentre de Recherche et d’Etudes sur les Applications des MathématiquesCentre de Recherche et d’Etudes sur les Applications des Mathématiques

Institut de Mathématiques Appliquées Institut de Mathématiques Appliquées

Université Catholique de l’Ouest – AngersUniversité Catholique de l’Ouest – Angers

6ème Conférence Francophone de Modélisation et Simulation Modélisation, Optimisation et Simulation des Systèmes :

Défis et OpportunitésRabat, 3-5 avril 2006

Sommaire Description du problèmeDescription du problème FormalisationFormalisation Borne inférieure (décomposition lagrangienne)Borne inférieure (décomposition lagrangienne) Méthodes heuristiquesMéthodes heuristiques

Approche gloutonneApproche gloutonne Génération de coupesGénération de coupes

Méthodes exactes Méthodes exactes Décomposition de BendersDécomposition de Benders Génération de coupesGénération de coupes

Conclusion / PerspectivesConclusion / Perspectives

Description du problème


• ΘΘ : Horizon temporel : Horizon temporel• A : Ensemble d’agentsA : Ensemble d’agents• C : Ensemble de compétencesC : Ensemble de compétences• eecc

θ θ : Requête en agents pour c: Requête en agents pour cC durant θC durant θΘΘ

Θθ 1θ 2θ 3θ 4θ 5θ 6 …

e

c1

c2

c3

A : ensemble d’agentsA : ensemble d’agents• Compétences maîtrisées CCompétences maîtrisées Ca a C C

• Ensemble de profils horaires sur l’horizonEnsemble de profils horaires sur l’horizon


Θθ 1 θ 2 θ 3 θ 4 θ 5 θ 6 …

…

ω1

ω2

ωn

ωn-1


PHH(1 semaine)

Roulements(2-5 semaines)

Profils horaires(horizon)

Règles contractuellesCongés

Législation du travailCoûts horaires

• Affecter : Affecter : • Un profil horaire par agentUn profil horaire par agent• Une compétence à chaque agent présent sur Une compétence à chaque agent présent sur

chaque plage horairechaque plage horaire• De manière à satisfaire les requêtesDe manière à satisfaire les requêtes• Au moindre coûtAu moindre coût


Formalisation

Programme linéaire (1)

1,0,,

1,0,

,

0,

1

..

min:][

aca

aa

Aacac

a

Ccac

a

Aa

aa

xCcAa

yAa

exCc

yxAa

yAa

ts

yETP

c

aa

a

a

Notations

• νωθ=1 le profil ω

couvre la période θ

• ηωa : coût du profil ω

Variables de décision

• yωa=1 le profil ω

est affecté à l’agent a

• xacθ=1 l’agent a est

affecté à la compétence c durant θ

Formalisation

Affectation Profil / Agents

Affectation Compétence / Agent / Période

ETP

Contraintes couplantes

Borne inférieure pardécomposition lagrangienne

Décomposition lagrangienne

Affectation Profil / Agent

Affectation Compétence / Agent / Période

Dualisation des contraintes couplantes(perte d’information)

ETP

Décomposition lagrangienne

1,0,,

1,0,

,

0,

1

..

min:][

aca

aa

Aacac

a

Ccac

a

Aa

aa

xCcAa

yAa

exCc

yxAa

yAa

ts

yETP

c

aa

a

a

Décomposition lagrangienneFonction duale :Fonction duale :

),(),()( * yxL *yx LL

avec :

1,0,,,

,..

min),(*

aca

Aacac

Aaac

ax

xCcAa

exCcts

xx

c

L

1,0,,

1,..

min),(*

aa

a

Aa

aaay

yAa

yAats

yy

a

a

L

Affecter le profil de coût lagrangien

minimum par agent

Affecter les ecθ agents de « coût » min

par plage horaire et compétence

Décomposition relaxation

Maximisation de L(Maximisation de L() par une méthode de ) par une méthode de sous-gradientsous-gradient

Équivalent à la relaxation continueÉquivalent à la relaxation continue

Résultats numériques

Instances aléatoires :Instances aléatoires : • 100 instances par catégorie100 instances par catégorie• 5-50 profils / agent5-50 profils / agent• 5-20 compétences5-20 compétences


Borne inférieure - Qualité

0,991

0,986

0,995

0,9930,991

0,975

0,980

0,985

0,990

0,995

1,000

50 / 50 50 / 100 100 / 50 100 / 100 Moyenne

Instances (nb agents / nb périodes)

[RL]/XPRESS


Borne inférieure - Temps de calcul

1,7 4,2 3,68,5

4,53,5

21,4

11,3

81,8

29,5

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

50 / 50 50 / 100 100 / 50 100 / 100 Moyenne


Tem

ps

(s.)

[RL]

XPRESS

Résolution heuristique

Approche gloutonneApproche gloutonne

Approche par génération de coupesApproche par génération de coupes

Résultats numériquesRésultats numériques


Approche gloutonneApproche gloutonne

Approche gloutonne

PrincipePrincipe

Étape i :Étape i :• Affecter un profil à un agentAffecter un profil à un agent• Réduire l’ensemble Réduire l’ensemble ΩΩ des profils possibles pour des profils possibles pour

les autres agentsles autres agents

Approche gloutonne

Sélection de l’agent / profilSélection de l’agent / profil

• CoûtCoût• Bonus / pénalitésBonus / pénalités• Indicateurs sur les périodes couvertesIndicateurs sur les périodes couvertes

• Requête (résiduelle ou absolue)Requête (résiduelle ou absolue)• Nombre d’agents potentielsNombre d’agents potentiels• ……

Approche gloutonne

Réduction de Réduction de ΩΩ

a a doitdoit être présent en être présent en θθ

ω ω ΩΩa, a, ννωωaa=0 =0 y yωω

aa=0=0

dans toute solution réalisabledans toute solution réalisable

Stratégie : Stratégie : détecter heuristiquement ces couples agents/périodesdétecter heuristiquement ces couples agents/périodes

Approche gloutonneRéduction de Réduction de ΩΩ

Affectation agent/profil partielle Affectation agent/profil partielle 1 c-couplage par période 1 c-couplage par période

Sous-ensemble d’agents obligatoirement présents Sous-ensemble d’agents obligatoirement présents (non optimal)(non optimal)

• Peut être généralisé pour un ensemble de périodesPeut être généralisé pour un ensemble de périodes• Peut être utilisé dans d’autres méthodes (pré-processing, Peut être utilisé dans d’autres méthodes (pré-processing,

exploration…)exploration…)

… Compétences(e1

θ)

(e3θ)

(e2θ)

Demandes

Agents


Génération de coupesGénération de coupes

Génération de coupes

Affectation Agent / Profil

sous contraintes(générées)

Contrôle de réalisabilité

ETP

Horaires de présence des

agents

Contraintes(c-couplages)

Affectation Agent / Profil

sous contraintes(exponentielles)

ETP

Génération de coupesFormalisation alternativeFormalisation alternativeDistribution y* Distribution y* |Θ| problèmes de c-couplage |Θ| problèmes de c-couplage

y* extensible à une solution réalisable y* extensible à une solution réalisable

on peut coupler l’ensemble des sommets-requêtes on peut coupler l’ensemble des sommets-requêtes

sur l’ensemble des sommets-agentssur l’ensemble des sommets-agents

…

Agents … Compétences

(e1θ)

(e3θ)

(e2θ)

Demandes…

Génération de coupesFormalisation alternativeFormalisation alternativeThéorème de König-Hall : Théorème de König-Hall :

C peut être couplé sur A si et seulement si :C peut être couplé sur A si et seulement si :

Kc

ceKCK )(,

y* peut être complété en une solution réalisable si et seulement si :

Kc

cAa

aKa eyCK

a

*,,

avec αaK=1 KCa

Génération de coupesProgramme linéaire (2)Programme linéaire (2)

1,0,

)(,

1

..

min:][

aa

Kcc

Aa

aKa

a

Aa

aa

yAa

eyCPK

yAa

ts

yMMKP

a

a

a

P(C) représente l’ensemble des parties de CP(C) représente l’ensemble des parties de C

Sac-à-dos multidimensionnel multi-choix avec un Sac-à-dos multidimensionnel multi-choix avec un nombre exponentiel de contraintes de ressources :nombre exponentiel de contraintes de ressources :

Génération de coupesAlgorithme général

1.1. Sélectionner un ensemble de contraintes de ressource Sélectionner un ensemble de contraintes de ressource initial initial ΔΔ00 définissant [MMKP]définissant [MMKP]00 ; ; ii00

2.2. Résoudre [MMKP]Résoudre [MMKP]ii y* y*

3.3. y* est réalisable pour [MMKP] ?y* est réalisable pour [MMKP] ? Si oui, STOPSi oui, STOP Sinon, déterminer une contrainte de ressource Sinon, déterminer une contrainte de ressource

violée et l’ajouter à Δviolée et l’ajouter à Δii ; i ; ii+1; aller en 2i+1; aller en 2

Génération de contraintesEnsemble initial de contraintes

1.1. Sélection gloutonne Sélection gloutonne (requête maximale sur (requête maximale sur agent potentiels,…) agent potentiels,…)

2.2. FiltresFiltres1.1. DominancesDominances

2.2. Suppression heuristique :Suppression heuristique :1.1. Approximation des variables duales par relaxation Approximation des variables duales par relaxation

LagrangienneLagrangienne

2.2. Suppression des contraintes de variables duales Suppression des contraintes de variables duales 0 0

Génération de contraintesRésolution du sous-problème

[MMKP][MMKP]ii peut être résolu peut être résolu• Exactement (solver de MIP)Exactement (solver de MIP)• Heuristiquement (Heuristiquement (adaptation de [Akbar et al,2001]adaptation de [Akbar et al,2001]))

1.1. Trouver une solution réalisableTrouver une solution réalisable

2.2. Améliorer son coût (permutations)Améliorer son coût (permutations)

3.3. Améliorer son coût (destruction/réparation)Améliorer son coût (destruction/réparation) Si échec, STOP ; renvoyer la solution trouvée en 2Si échec, STOP ; renvoyer la solution trouvée en 2

Sinon, retour en 2Sinon, retour en 2

Génération de coupesContrôle de réalisabilité : y*

Recherche de Recherche de |Θ| |Θ| c-couplages maximumc-couplages maximum

…

…

…AgentsCompétences

(e1θ)

(e3θ

(e2θ)

Demandes

Génération de coupesDétection de contraintes violées

Soit M un c-couplage maximum et un sommet Soit M un c-couplage maximum et un sommet non M-saturé cnon M-saturé c

…

…

…

c

AgentsCompétences

(e1θ)

(e3θ

(e2θ)

Demandes


Le déficit en c pourrait être comblé en dérivant un Le déficit en c pourrait être comblé en dérivant un agent de c’ ou c’’ par un transfert le long d’une agent de c’ ou c’’ par un transfert le long d’une chaîne alternéechaîne alternée

…

…

…

cc’c’’


Impossible de saturer un sommet non M-saturé et tous les Impossible de saturer un sommet non M-saturé et tous les sommets atteignables par une C.A.sommets atteignables par une C.A.

Contrainte violéeContrainte violée

…

…

…

cc’c’’

Kc

c

Aa

aKa eya

K

Résolution heuristiqueRésultats numériques

Instances aléatoires :Instances aléatoires : • 5-50 agents5-50 agents• 10-100 périodes10-100 périodes• 5-50 profils / agent5-50 profils / agent• 5-10 compétences5-10 compétences


Méthodes heuristiquesMéthodes heuristiques

HG1 HG2 HG3 HG4 HG5Gén.

Coupes

% résolu 45% 4% 38% 37% 18% 93%Tps (ms.) 772 744 791 765 713 613H/LB 1,09 1,15 1,10 1,11 1,11 1,04

Résolution exacte

Génération de coupes (couplages)Génération de coupes (couplages)

Décomposition de BendersDécomposition de Benders


Résolution exacte

Génération de coupes (couplages)Génération de coupes (couplages)

Génération de coupesAlgorithme général

1.1. Sélectionner un ensemble de contraintes de ressource Sélectionner un ensemble de contraintes de ressource initial initial ΔΔ00 définissant [MMKP]définissant [MMKP]00 ; ; ii00

2.2. Résoudre [MMKP]Résoudre [MMKP]ii y* ( y* (solver MIPsolver MIP))

3.3. y* est réalisable pour [MMKP] ?y* est réalisable pour [MMKP] ? Si oui, STOPSi oui, STOP Sinon, déterminer une contrainte de ressource Sinon, déterminer une contrainte de ressource

violée et l’ajouter à Δviolée et l’ajouter à Δii ; i ; ii+1; aller en 2i+1; aller en 2

Résolution exacte

Décomposition de BendersDécomposition de Benders

Décomposition de BendersProgramme linéaire (3)

N

c

aca

aa

Aaccac

a

Ccac

a

Ccc

Aa

aa

rCc

xCcAa

yAa

erxCc

yxAa

yAa

ts

rMyP

c

aa

a

a

,

1,0,,

1,0,

,

0,

1

..

min:][

Variables de décision :rc

θ : marge satisfaction de la requête

Évite l’irréalisabilité

Décomposition de Benders

[P]: min z = cx + fys.c. Dx + Fy = d

x 0

Les variables de [P] sont naturellement partitionnables :

x : var de couplage de compétences sur agentsy : var d’affectation de PHs aux agents


[SP(ŷ)]: min z = cxs.c. Dx = d - Fŷ

x 0

Problèmes de couplages indépendants

y fixé : ŷ

[DSP(ŷ)]: max w = v(d – F ŷ)s.c. vD c

v quelconque

Dual :

Problèmes indépendantsContraintes indépendantes de y Points extrêmes v1, v2, …, vq

x : var de couplage de compétences sur agentsy : var d’affectation de PHs aux agentsY : contrainte d’un profil unique par agent


J={1,…,q} : cut = { fy + vj(d – fy), j J }

Programme maître :[PM] : miny zs.c. cut

yY

[P]: minyY { fy + SP(y) }

Réécriture de [P] : [P] : min zs.c. z fy + v1(d - fy)

…z fy + vq(d - fy)yY[P]: minyY { fy + maxi=1..q vi(d -Fy) }

Décomposition de BendersAlgorithme général :

LB = - ; UB = + cut = ; choisir ŷ YTant que UB-LB> faire

Résoudre [DSP(ŷ)] : max {v(d – Fŷ) / vD c } v*Si f ŷ+v*(d-Fŷ) > LB alors

cut = cut { f ŷ+v*(d-Fŷ) z }UB = min {UB, f ŷ+v*(d-Fŷ) }

SinonSTOP : solution optimale

Fin SiRésoudre [PM]:min { z / cut, y Y } y*, coût z*LB=max { LB, z* } ŷ = y*

Fin Tant que

Résolution exacte


Méthodes exactesRésultats numériques

Référence : Référence : Solveur de PLNE – stratégie standard Solveur de PLNE – stratégie standard

(XPRESS MP 2004)(XPRESS MP 2004)

1,0,,

1,0,

,

0,

1

..

min:][

aca

aa

Aacac

a

Ccac

a

Aa

aa

xCcAa

yAa

exCc

yxAa

yAa

ts

yETP

c

aa

a

a

Instances aléatoires :Instances aléatoires : • 100 instances par catégorie100 instances par catégorie• 5-50 profils/agent5-50 profils/agent• 5-20 compétences5-20 compétences

• Catégories pour lesquelles les trois méthodes aboutissentCatégories pour lesquelles les trois méthodes aboutissent

Résolution exacteRésultats numériques


Résolution exacte - Instances aléatoires

34,6

98,3

2,46,17,8

57,2

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

100 / 50 100 / 100


Tp

s (s

.) Benders

Couplages

XPRESS


Instances réelles :Instances réelles :• 1 semaine1 semaine• 100 agents100 agents• 10 compétences10 compétences• 8 profils par agent8 profils par agent• 600+ périodes (50 par dominances)600+ périodes (50 par dominances)


Instances XPRESSSemaine 31 >10 min. 328 48469Semaine 32 >10 min. 390 8594Semaine 33 >10 min. 391 5829Moyenne --- 223,5 12591,4

Benders Couplages

Temps (ms.)

Méthodes exactes – Instances réellesMéthodes exactes – Instances réelles

Conclusion / Perspectives

Coupes K-H Coupes K-H outil de résolution opérationnel outil de résolution opérationnel pour des instances de taille réellepour des instances de taille réelle

Surclassent XPRESS et la décomposition de Surclassent XPRESS et la décomposition de BendersBenders

Les coupes de Benders induisent une structure de Les coupes de Benders induisent une structure de PM très difficile à résoudrePM très difficile à résoudre Benders : 1 – 10 coupesBenders : 1 – 10 coupes K-H : 30 – 100 coupesK-H : 30 – 100 coupes

Incrémentaliser la résolution du programme maîtreIncrémentaliser la résolution du programme maître

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