SIMPLEMENT BEAU

Frans van SCHOOTEN

(1615 - 1660)

Vincenzo VIVIANI

(1622 – 1703)

Jean - Louis AYME 1

C B

A

P

1

Résumé. Dans cet article, l'auteur revisite le théorème de Frans van Schooten et

l'accompagne par quelques applications. Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Abstract. In this article, the author revisits the Frans van Schooten's theorem and accompanies by a few applications. The figures are all in general position and all cited theorems can all be proved

synthetically.

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 10/07/2019 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

2

2

Sommaire

A. La relation de Frans van Schooten (1649) 3

B. Applications 5

1. Le problème de Van Khea 5 2. Théorème d'un étudiant de Barry Wolk 9 3. Le résultat d'Antoine Verreken 12 4. Une relation de Jean-Louis Ayme 14 5. Une relation de Miguel Ochoa 16 6. Une relation de Miguel Ochoa 18 7. Viviani et van Schooten ou une relation de Van Khea 20

C. Vincenzo Viviani 22 1. La relation de Viviani 22 2. Une courte biographie de Vincenzo Viviani 23 3. Une généralisation 23 4. Le théorème de Duncan Clough 23

3

3

A. LA RELATION

DE

FRANS VAN SCHOOTEN

1649

VISION

Figure :

C B

A

P

0

Traits : ABC un triangle équilatéral, 0 le cercle circonscrit à ABC et P un point de l'arc BC ne contenant pas A. Donné : PA = PB + PC.

VISUALISATION 1

C B

A

P

0

1

Q Tc

• Notons Tc la tangente à 0 en C. • D'après "Tangente au sommet", Tc // (AB). • Le cercle 0, les points de base A et B, les moniennes naissantes (CAA) et (CBB), les parallèles Tc et (AB), conduisent au théorème 5" de Reim ; en conséquence, il existe un cercle passant par A et B, tangent à (AC), (BC) resp. en A, B.

4

4

• Notons 1 ce cercle et Q le second point d'intersection de (PB) avec 1. • D'après Ferdinand Möbius "Angle de deux cercles sécants", ABC étant équilatéral, le triangle AQP l'est aussi ; en conséquences, (1) 1 et 2 sont égaux (2) PA = PB + BQ. • Les angles <MAC et <NAB étant égaux, interceptent des cordes égales ; en conséquence, BQ = PC . • Conclusion : par substitution, PA = PB + PC.

VISUALISATION 2

Elle fait appel au théorème de Claude Ptolémée. 2 Énoncé traditionnel : for a point P on the circumcircle of an equilateral ABC,

the longest of the segments PA, PB, PC is the sum of the shorter two. Une courte biographie de Frans van Schooten :

Frans van Schooten est un géomètre hollandais qui, en 1646, succède à son père à la chaire de mathématique de l'université de Leyde. Sa position lui permet d'assurer un rapide développement de la géométrie analytique initiée par René Descartes et Pierre de Fermat. En 1649, il publie une version en latin de La Géométrie de Descartes et donne les formules de changement de coordonnées. Frans van Schooten fit voir par de nombreuses questions traitées de deux façons, que la méthode synthétique peut toujours se déduire de la méthode analytique.

2 Ayme J.-L., Casey ou une généralisation de Ptolémée, G.G.G. vol. 43 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

5

5

B. APPLICATIONS

1. Le problème de Van Khea (Cambodia 12/04/2019)

VISION

Figure :

B C

A

O M

N

Q

P

R

1m 1n

0 Mo

Traits : ABC un triangle équilatéral, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, Mo une ménélienne de ABC issue de O, M, N les points d'intersection de Mo resp. avec (AB), (AC), 1m, 1n les cercles circonscrits aux triangles AOM, AON, P, Q les seconds points d'intersection de 1m, 1n resp. avec (AC), (AB) et R le point d'intersection de (MP) et (NQ). Donné : RP + RQ = RA.

VISUALISATION

B C

A

O M

N

Q

P

R

1m 1n

Mo

1a

6

6

• Notons 1a le cercle circonscrit au triangle RPQ. • D'après Auguste Miquel ''Le théorème du pivot'' 3 appliqué au triangle RMN avec P sur (RM), O sur (MN) et Q sur (NR), 1a, 1m et 1n concourent en A.

B C

A

O M N

Q

P

R

1m 1n

1a

T

Tm

Tn

• Notons Tm, Tn les tangentes à 1m, 1n resp. en M, N

et T le point d'intersection de Tm et Tn. • Les cercles 1m et 1a, les points de base A et P, les moniennes (MAQ) et (MPR), conduisent au théorème 1 de Reim ; il s'en suit que Tm // (QR). • Mutatis mutandis, nous montrerions que Tn // (PR) ; en conséquence, le quadrilatère TMRN est un parallélogramme. • (AO) étant la A-bissectrice intérieure de ABC, l'est aussi du triangle AMN ; d'après ''Le théorème de la tangente'', le triangle TMN est T-isocèle. • Conclusion partielle : TMRN est un losange. • Scolie : RM = RN.

B C

A

O M

N

Q

P

R

1m 1n

1a

T

Tm

Tn

U

• Notons U le second point d'intersection de (TR) et 1a. • (RT) étant la R-bissectrice intérieure de RMN, (RT) l'est relativement au triangle RPQ ; 3 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-6 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

7

7

en conséquence, le triangle UPQ est U-isocèle. • Conclusion partielle : d'après ''Le théorème de l'angle inscrit'', UPQ est équilatéral.

B C

A

O M

N

Q

P

R

1m 1n

1a

T

Tm

Tn

U

1'a

• Le cercle 1a, les points de base A et U, les moniennes naissantes (MAQ) et TUR), les parallèles (MT) et (QT), conduisent au théorème 0'' de Reim ; en conséquence, A, U, M et T sont cocycliques. • Mutatis mutandis, nous montrerions que A, U, N et T sont cocycliques. • Notons 1'a le cercle passant par A, U, M, N et T.

B C

A

O M

N

Q

P

R

1m 1n

1a

T

Tm

Tn

U

1'a

• Une chasse angulaire : * par hypothèse, <BAC = <MAN = <QAP = 60° * le quadrilatère convexe AQRP étant cyclique, <PRQ = 120° * par ''Angles opposés'', <PRQ = <MRN * sachant que RM = RN,

par ''Angles inscrit et au centre'', R est le centre de 1'a * en conséquence, RU = RA.

8

8

• D'après ''Le théorème de van Schooten'', RP + RQ = RU. • Conclusion : par substitution, RP + RQ = RA. Archive :

9

9

2. Théorème d'un étudiant 4

VISION

Figure :

A

B C

C'

B'

A'

A*

B*

C*

0

Traits : ABC un triangle, A'CB, B'AC, C'BA trois triangles équilatéraux adjacents extérieurement à ABC, 0 le cercle circonscrit au triangle A'B'C' et A*, B*, C* les seconds points d'intersection de (AA'), (BB'), (CC') avec 0. Donné : AA* + BB* + CC* = AA'.

VISUALISATION 5

A

B C

C'

B'

A'

F

1

2

3

• Notons 1, 2, 3 les cercles circonscrits resp. à A'CB, B'AC, C'BA. • D'après Pierre de Fermat 6, 1, 2 et 3 concourent au premier point de Fermat.

4 Élève de Barry Wolk, Message Hyacinthos # 8064.du 30/09/2003 ;

https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/8064 Stevanovic M., Message Hyacinthos # 8066.du 01/10/2003 ; https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/8066

5 Grinberg D., Message Hyacinthos # 8067 du 01/10/03 ; https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/8067 6 Ayme J.-L., La fascinante figure de Cundy, G.G.G. vol. 2, p. 12-14 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

10

10

• Notons F ce point. • Scolies : (1) (AA'), (BB') et (CC') passent par F (2) <B'FC = 60° (2) <B'FA' = 120°.

A

B C

C'

B'

A'

F M

A*

B*

C*

0

Z

Y

X

• Notons M le centre de 0 et X, Y, Z les pieds des perpendiculaires à (A'A*), (B'B*), (C'C*) issues de M. • Scolies : (1) X, Y et Z sont les milieux resp. de [A'A*], [B'B*], [C'C*] (2) <XMY = 60°. • D'après Thalès de Milet "Cercle inscriptible dans un demi-cercle", X, Y, Z, M et F sont sur le cercle de diamètre [FM]. • D'après le théorème de l'angle inscrit, (1) <B'FC = <YFZ = <YXZ = 60° (2) <XYZ = XMY = 60°. • Conclusion partielle : le triangle XYZ est équilatéral. • Une chasse segmentaire : * d'après A. appliqué au triangle équilatéral A'CB et à F, FA' = FB + FC ; X étant le milieu de [A'A*], XA' = XA* i.e. XA' = FX + FA + AA* ; par soustraction membre à membre, FA' - XA' = FB + FC - FX - FA - AA* i.e. FX = FB + FC - FX - FA - AA* i.e. 2.FX = FB + FC - AA*. • Mutatis mutandis, nous montrerions que 2.FY = FC + FA - FB - BB*

11

11

2.FZ = -FA - FB + FC + CC*. • D'après A. appliqué au triangle XYZ et à F, FZ = FX + FY ou 2.FZ = 2.FX + 2.FY ; par substitution, nous avons: -FA - FB + FC + CC* = (FB + FC - FA - AA*) + (FC + FA - FB - BB*) ; par simplification, AA* + BB* + CC* = FA + FB + FC = FA + FA' = AA'. • Conclusion : AA* + BB* + CC* = AA'. Archive :

12

12

3. Le résultat d'Antoine Verreken 7

VISION

Figure :

P

A

F

D

C

B

E

0

1

2

3

Traits : 0 un cercle, P un point, 1, 2, 3 trois droites passant par P faisant deux à deux un angle de 60°, A, D les points d'intersection de 1 avec 0, B, E les points d'intersection de 2 avec 0 et C, F les points d'intersection de 3 avec 0. Donné : PA + PC + PE = PB + PD + PF.

VISUALISATION 8

7 Verreken A., fermat point, Message Hyacinthos # 7865 du 18/09/03 ; https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/7865

Stevanovic M., fermat point, Message Hyacinthos # 7951 du 18/09/03 ; https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/7951

8 Grinberg D., fermat point-Synthetic solution, Message Hyacinthos # 7961 du 19/09/03 ; https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/7961

13

13

O

P

A

F

D

C

B

E

0

1

2

3

Z

Y

X

• Notons O le centre de 0 et X, Y, Z les pieds des perpendiculaires à 1, 2, 3 issue de O. • Scolies : (1) X, Y et Z sont les milieux de [A'A*], [B'B*], [C'C*] (2) <XPY = <YPZ = 60°. • D'après Thalès de Milet "Cercle inscriptible dans un demi-cercle", X, Y, Z, M et F sont sur le cercle de diamètre [FM]. • D'après "Le théorème de l'angle inscrit", (1) <XPY = <XZY = 60° (2) <YPZ = <YXZ = 60°. • Conclusion partielle : le triangle XYZ est équilatéral. • X étant le milieu de [AD], XA = XD i.e. PA - PX = PX + PD i.e. 2.PX = PA - PD ; mutatis mutandis, nous montrerions que 2.PY = PB – PE 2.PZ = PC - PF. • D'après A. appliqué au triangle XYZ et à P, PY = PX + PZ i.e. 2.PY = 2.PX + 2.PZ ; par substitution, PB - PE = PA - PD + PC - PF • Conclusion : PA + PC + PE = PD + PD + PF.

14

14

4. Une relation de Jean-Louis Ayme

VISION

Figure :

C B

A

M

0

X

Traits : ABC un triangle équilatéral, 0 le cercle circonscrit à ABC, M un point de 0 et D, E, F les pieds des perpendiculaires à (BC), (CA), (AB) issues de M Donné : MA² + MB² + MC² = 2.BC². 9

VISUALISATION

C B

A

M

0

X

• Notons a la longueur d'un côté de ABC et α, β, γ les longueurs resp. de [MA], [MB], [MC]. • D'après A., α = β + γ ↔ β + γ – α = 0 ↔ (β + γ – α)² = 0

↔ α² + β² + γ² – 2.(α.β + α.γ. - β.γ) = 0 ↔ (α.β + α.γ. - β.γ) = (1/2).(α² + β² + γ²).

9 AymeJ.-L., An evaluation, AoPS du 03/07/2019 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1868092_an_evaluation

15

15

• Scolies : (1) <AMB = <CMA = 60° (2) <CMB = 120°. • D'après ''La loi des cosinus'' appliqué au (1) triangle MCB, a² = β² + γ² + β.γ (2) triangle MAC a² = γ² + α² - γ.α (3) triangle MBA a² = α² + β² - α.β. • Par addition membre à membre, 3.a² = 2.( α² + β² + γ²) – (α.β + α.γ - β.γ). • Par substitution et simplification, 3.a² = 2.( α² + β² + γ²) - (1/2).(α² + β² + γ²) 2.a² = α² + β² + γ². • Conclusion : MA² + MB² + MC² = 2.BC².

16

16

5. Une relation de Miguel Ochoa

VISION

Figure :

C B

A

0

D

E

1a

F

Traits : ABC un triangle équilatéral, D un point de [BC], 1a le cercle passant par A et tangent à (BC) en D et E, F les seconds points d'intersection de 1a resp. avec (AC), (AB). Donné : DA = DE + DF. 10

VISUALISATION

C B

A

D

E

1a

F

A'

• Notons A' le milieu de l'arc EF de 1a ne contenant pas D. • Scolie : le triangle A'EF est équilatéral. • Une chasse angulaire : * par une autre écriture, <A'AB = <A'AF

* par ''Angles inscrits'', <A'AF = <A'EF

10 Ochoa M., A nice relation, AoPS du 03/07/2019 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1868103_a_nice_relation

17

17

* par construction, <A'EF = <CBA

* par transitivité de =, <A'AB = <BCA * en conséquence, (AA') // (BC). • Conclusion partielle : le triangle DAA' étant D-isocèle, DA = DA'. • D'après A. appliqué au triangle A'EF et à D, DA' = DE + DF. • Conclusion : par transitivité de =, DA = DE + DF. Archive :

11

11 https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/MiguelVanSchootenLike.shtml

18

18

6. Une relation de Miguel Ochoa

VISION

Figure :

C B

A

D

1a

D'

E F

Traits : ABC un triangle équilatéral, 1a un cercle passant par A, U, V les points d'intersection de 1a avec (BC et E, F les seconds points d'intersection de 1a resp. avec (AC), (AB). Donné : D'A = DE + DF. 12

VISUALISATION

C B

A

D

1a

D'

E F

A'

• Notons A' le milieu de l'arc EF de 1a ne contenant pas D. • Scolie : le triangle A'EF est équilatéral. • Par une chasse angulaire analogue à celle menée en B. 5., nous montrerions que (AA') // (BC). • Conclusion partielle : le tapèze DD'AA' étant isocèle, D'A = DA'. • D'après A. appliqué au triangle A'EF et à D, DA' = DE + DF. 12 Ochoa M., Another nice relation, AoPS du 05/07/2019 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1869191_another_nice_relation

19

19

• Conclusion : par transitivité de =, D'A = DE + DF. Scolie : mutatis mutandis, nous montrerions que DA = D'E + D'F.

Archive :

13

13 https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/MiguelVanSchootenLike4.shtml

20

20

7. Viviani et van Schooten ou une relation de Van Khea

VISION

Figure :

C B

A

M

0

X

P

Q

R

Traits : ABC un triangle équilatéral, X le pied de la A-hauteur de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC, M un point de 0 et P, Q, R les pieds des perpendiculaires à (BC), (CA), (AB) issues de M Donné : MP² + MQ² + MR² = AX². 14

VISUALISATION

C B

A

M

0

X

P

Q

R

• Scolie : (PQR) est la droite de Simson-Wallace de pôle M relativement à ABC. 15 • Notons a la longueur d'un côté de ABC, α, β, γ les longueurs resp. de [MP], [MQ], [MR] et x la distance de M à (PQR).

14 Van khea, Altitude, AoPS du 25/07/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/q2h1679598p10711576 15 Ayme J.-L., Le produit AB.AC, G.G.G. vol. 17, p. 5 ; https//jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

21

21

• M étant extérieur à ABC, β + γ – α = h ↔ β + γ – α = h

(β + γ – α)² = h² ↔ α² + β² + γ² – 2.(α.β + α.γ. - β.γ) = h² ↔ (α.β + α.γ - β.γ) = (1/2).[α² + β² + γ² – h²]

•••• D'après ''Le produit AB.AC'' 16, (1) α.β = MC.x

(2) α.γ = MB.x

(3) β.γ = MA.x en conséquences, * (α.β + α.γ - β.γ) = x.(MC + MB – MA) = 0 (d'après A.) * α² + β² + γ² – h² = 0. •••• Conclusion : MP² + MQ² + MR² = AX².

16 Ayme J.-L., Le produit AB.AC, G.G.G. vol. 7, p. 2-4 ; https//jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

22

22

C. VINCENZO VIVIANI

1. La relation de Vincenzo Viviani (1660)

VISION

Figure :

C B

A

X

M

P

R

Q

Traits : ABC un triangle équilatéral, X le pied de la A-hauteur deABC, M un point intérieur à ABC et P, Q, R les pieds des perpendiculaires à (BC), (CA), (AB) issues de M. Donné : MP + MQ + MR = AX. Énoncé traditionnel :

dans un triangle équilatéral, la somme des distances d'un point intérieur au triangle aux trois côtés

est égale à la hauteur du triangle.

2. Une courte biographie de Vincenzo Viviani

Vincenzo Viviani est né le 5 avril 1622 à Florence (Italie). Elève chez les jésuites, puis pupille de Torricelli, il est l'assistant et l'ami de Galilée jusqu'à la mort de ce dernier en 1642. Il décède le 22 septembre 1703 à Florence.

23

23

En son hommage, un cratère lunaire porte son nom. 3. Une généralisation du résultat de Vincenzo Viviani

17

4. Le théorème de Duncan Clough During 2003, Duncan Clough, a Grade 11 student from Bishops Diocesan College, a high school in Cape Town, was exploring Viviani's Theoerm, which says that the sum of distances of a point to the sides of an equilateral triangle is constant. Using dynamic geometry software, he then discovered (but could not himself prove) the following interesting variation of Viviani's theorem.

VISION

Figure :

C B

A

M

P

R

Q

Traits : ABC un triangle équilatéral, M un point intérieur à ABC et P, Q, R les pieds des perpendiculaires à (BC), (CA), (AB) issues de M. Donné : BP + CQ + AR = CP + BR + AQ = (3/2).BC.

17 José N. Contreras, Discovering and Extending Viviani's Theorem with GeoGebra, p. 7 ;

https://ggijro1.files.wordpress.com/2013/12/art44311.pdf Very simple, AoPS du 05/07/2019 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1869189_very_simple

24

24

VISUALISATION

C B

A

M

P

R

Q

• Notons a la longueur d'un côté de ABC. • Une première chasse segmentaire :

* Lazare Carnot, BP² - CP² + CE² - AE² + AF² - BF² = 0 * factorisation, (BP + CP).(BP – CP) + (CQ + AQ).(CQ - AQ) + (AR + BR).(AR – BR) = 0 * simplification, (BP – CP) + (CQ - AQ) + (AR – BR) = 0 * transposition, BP + CQ + AR = CP + AQ + BR.

• Une dernière chasse segmentaire : * nous avons : BP + CQ + AR = CP + AQ + BR * autre écriture : CP + AQ + BR = (a – BP) + (a – CQ) + (a – AR) * transitivité de =, BP + CQ + AR = (a – BP) + (a – CQ) + (a – AR) * transposition et simplification, BP + CQ + AR = (3/2).BC. • Conclusion : BP + CQ + AR = CP + BR + AQ = (3/2).BC.