“Formes et surfaces avec les bulles de savon”

José L. Rodríguez

22 de juin de 2013

Une journé de divulgarization a la Cité des Sciences de Tunis

Resumé

• On décrit quelques unes des surfaces minimales et des figures les

plus connues qui peuvent être réalisées par les bulles de savon. On

illustre avec des ficelles des problèmes de type isopérimétrique. On

illustre également les lois de Plateau par le biais de figures

artistiques. En ce faisant nous retraçons une partie de l'histoire de

ce sujet passionnant.

Les films de savon sont des surfaces ayant un

bord donné et ayant une aire minimale.

C’est pour cela qu’elles s’appellent

“surfaces minimales”. Voyez qu'est-ce qui se passe avec un cercle.

Cette propriété a des applications pratiques.

Peut-être utilisé pour minimiser le cout et la

quantité de materiaux dans la construction…

Le stade olympique de Munich a été

modelé avec des films de savon (1972)

• La sphère est la surface enfermant un volume donné, et ayant la plus petite surface.

• Montré par Herman A. Schwarz à 1884.

Pourquoi les bulles de savon

ont une forme spherique?

Et … quelle est la meilleure surface qui

contient deux volumes d’air donnés?

2002. Hutchings, Michael; Morgan, Frank; Ritoré, Manuel; Ros, Antonio ont montré le

THÉORÈME DE LA DOUBLE BULLE

publié à “Annals of Mathematics”.

http://math.berkeley.edu/~hutching/pub/bubbles.html

Bulle double standard “Torus-dumbell configuration”

http://www.polthier.info/Models/index.html

Torus-dumbell configuration by Lawlor-Polthier (1991)

Le problème de la bulle triple

reste encore ouvert!!

Le problème de Kelvin (1887) Comment peut-on partitionner

l’espace avec des cellules qui ont le

même volume et tel que la surface

totale des parois est minimale?

Kelvin a proposé une

partition regulière avec des

octaèdres tronqués.

Weaire–Phelan structure (1993)

Ils ont trouvé une meilleure partition,

avec deux cellules qui ont le même

volume: un dodecahedre irrégulier, et un

tetrakaidecahedre.

Estructure de Weaire-Phelan (1993)

Beijing National Aquatics Centre, Jeux olympiques de Pekín (2008)

Surfaces minimales geometriques

(sans air dedans):

Un peu d’histoire

•La caténoïde de Euler

•L’hélicoïde de Meusnier

•Les surfaces de Scherk

Caténoïde Leonard Euler (1744)

C’est une surface minimale entre deux cercles.

C’est la seule surface minimale de révolution dans l’espace (engendrée par une

chaînette).

Hélicoïde

Jean Baptiste Mesnier (1764)

C'est, avec le plan, la seule surface

minimale réglée

(c'est-à-dire pouvant être obtenue par

déplacement d'une droite dans

l'espace).

Surfaces de Scherk

Heinrich Scherk (1934)

Il a decouvert des nouvelles surfaces minimales qui ne

s’entrecoupent pas.

Font: http://en.wikipedia.org/wiki/Scherk_surface

http://youtu.be/ZN9rmVKwbak http://youtu.be/8kgah1cC8y8

Voyez ces videos

Surfaces topologiques

minimales Ont-elles une seule face ou deux?

•Ruban de Moebius

•Surfaces en noeuds.

•Surfaces de Seifert

Ruban de Moebius

C’est une surface avec une seule face!!

Le bord est juste un cercle enroulé.

Surface bornée par un noeud Peut être formée à l'intérieur ou à l'extérieur du noeud

Surfaces de Seifert

Herbert Seifert a prouvé en 1934 que chaque nœud peut être

le bord d’une surface orientable.

Voici les surfaces orientables pour le nœud de trèfle et le

noeud en huit. www.youtube.com/watch?v=vThY9TTgHxw

Bulles de savon polyèdriques et la

quatrième dimension Ici l’hypercube et un morceaux de l’hyperdodecaèdre

Problème isoperimétrique Entre toutes les courbes qui ont un périmètre donné, quelle est la courbe

qui contient le plus d’aire a l’interieur?

(On va ouvrir un bout dans un film de savon. )

La solution est un cercle.

La demonstration était indiquée par Jacob Steiner à1938.

Lois de Plateau Joseph Plateau (XIXe siecle)

1. Dans une arrête se rencontrent trois surfaces, en formant un

angle de 120º.

2. Au tour d’un sommet se rencontrent toujour 4 arêtes en formant

l’angle du tétraèdre.

3. Tout film de savon forme un angle de 90º sur une surface

glissante.

Les lois de Plateau ont été montrées par:

• Jean E. Taylor. The Structure of

Singularities in Soap-Bubble-Like and

Soap-Film-Like Minimal Surfaces. The

Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 103,

No. 3. May, 1976).

http://www.magomoebius.com