Forme différentielle du M.H.S.

Solution:

Remarque:

• Pour une position x(t), il existe deux vitesses possibles:

• une vitesse positive (v > 0);

• une vitesse négative (v < 0).

d 2 x

dt 2+ω 2x = 0

x =Asin ωt+φ( )

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Système m-k (position horizontale)

A

Condition particulière :

À t = 0,1 s, x = - 0,2 m et v = + 0,5 m/s

Données: m = 0,5 kg et k = 50 N/m

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•Calcul de ω:

•Calcul de :

À t = 0,1 s, on a:

(équation 1)

(équation 2)

et

on trouve:

ω =k

m= 10 s-1

x =- 0,2 m =Asin 1+φ( )m

v =+0,5 m/s=10Acos 1+φ( )m/s

A =0,206 m

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•Calcul de :

x =- 0,2 m=0,206 sin 1+φ( ) m

À partir de la fonction position

v =10 ×0,206 cos −1,33 rad ( ) m/s = + 0,5 m/s

on trouve: 1+φ ( ) =- 1,326 rad

Vérifions si la vitesse est exacte:

(c’est bon)

soit: φ = - 2,33 rad

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(où t est en seconde)

c) À quel instant la condition x = + 0,2 m et v = - 0.5 m/s se produit-elle pour la première fois ?

On doit trouver la phase

soit: ( à rejeter car v > 0)

autre possibilité

( v < 0)

On trouve:

x =0,206 sin 10 t−2,33 rad( )m

10t −2,33=+1,33 rad

10 t −2,33=π −1,33 rad

t =0,41 s

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Sans masse

À l’équilibre

Allongé de y’ p/r à l’équilibre

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Posons y = y0 + y’

À l’équilibre Fy = 0

Soit:

Ce qui donne:

y+ m g − k y

0 = 0

y0 = mg

k

mg

ky0

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avec y = y0 + y’

Fy = m ay

y Soit:

et on obtient:

(équation du M.H.S.)

avec:

+ mg − ky = may

T =2π mk

mg

ky

md 2y

dt 2+ ky−mg=0

d 2y

dt 2=d2y'dt2

d 2y '

dt 2+kmy'=0

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a) Déterminez la position d’équilibre

y

Fy = 0

+mg-ky0 = 0

y0 = mg

k=19,6 cm

ky0

mg

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Calcul de ω

Alors la fonction position peut s’écrire:

c) Déterminez la période d’oscillation

ω =k

m= 7,07 s-1

T =2π mk=0,889 s

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