1) Equation différentielle

1) Equation différentielle1) Equation différentielle

2) Fonction de transfert2) Fonction de transfert

3) Exemple3) Exemple

4) Réponse à un échelon4) Réponse à un échelon

2/20

5) Identification d’un deuxième5) Identification d’un deuxième

6) Rapidité6) Rapidité


ordre oscillantordre oscillant

Consigne

d’entrée

Variable

de sortie

e(t) s (t)

1) Equation différentielle1) Equation différentielle

Un système est dit du deuxième ordre quand il est régi par l’équation différentielle

e(t)Ks(t)dt

ds(t)z

dt

s(t)d ×=+×+×0

2

2

20

21

ωω

suivante :

3/20

d’entrée de sortie

Gain statiqueGain statique

Equation Equation différentielledifférentielle

Fonction de transfert

ExempleRéponse à un échelon

RapiditéIdentification

Facteur Facteur d’amortissementd’amortissement

Pulsation propre du Pulsation propre du système non amortisystème non amorti

2) Fonction de transfert2) Fonction de transfert

Passons dans le domaine de Laplace en utilisant le théorème de la dérivation :

Nota :

position d’équilibre donc les conditions initiales sont nulles.

E(p)KS(p)pSpz

pSp ×=+×+× )(2

)(1

0

22

0 ωωz

21

la fonction de transfert traduit l’évolution du système depuis une

e(t)Ks(t)dt

ds(t)z

dt

s(t)d ×=+×+×0

2

2

20

21

ωω

4/20

E(p)Kpz

ppS ×=

+×+×× 1

21)(

0

22

0 ωω

20

2

0

21

)(

)()(

ωωp

pz

K

pE

pSpFT

+×+==

Gain statiqueGain statique

Pulsation propre du Pulsation propre du système non amortisystème non amorti

Facteur Facteur d’amortissementd’amortissement

Equation différentielle

Fonction de Fonction de transferttransfert


RapiditéIdentification

ue(t) us(t)

uR(t)

R

CL

uL(t)

circuit RLC

R : résistance électrique (en Ohm)

C : capacité du condensateur (en Farad)q : charge du condensateur (en Coulomb)

L : inductance de la bobine (en Henry)

dq(t) (t)du

3) Exemple3) Exemple5/20

)(.)(

.)( tiRdt

tidLtus ++

(t)uCq(t) s×=dt

dq(t)i(t) =

=++= (t)u(t)u(t)utu RLse )(

avec

dt

)t(idL)t(uL ×=

Condensateur

Bobine

Loi des mailles

Résistance )t(iR)t(uR ×=

dt

(t)duCi(t) s×=�

�

�

�



Réponse à un échelon

RapiditéIdentificationExempleExemple

)(.)(

.)()( tiRdt

tidLtutu se ++=

dt

tudCR

dt

tudCLtutu ss

se)(

..)(

..)()(2

2

++=

dt

(t)duCi(t) s×=

)()()(

..)(

..2

2

tutudt

tudCR

dt

tudCL es

ss =++

6/20

e(t)Ks(t)dt

ds(t)z

dt

s(t)d ×=+×+×0

2

2

20

21

ωωDe la forme :

avec CL=2

0

1

ωCR

ω

z2

0

= 1=K



Réponse à un échelon

RapiditéIdentificationExempleExemple


Prenons un échelon d’amplitude A )(tuAe(t) ×= Fonction d’Heaviside

Utilisons le théorème de dérivation pour passer dans le domaine de Laplace

On cherche l’évolution d’un système depuis une position d’équilibreles conditions initiales sont nulles

e(t)Ks(t)dt

ds(t)z

dt

s(t)d ×=+×+×0

2

2

20

21

ωω

p

AKS(p)pSp

zpSp ×=+×+× )(

2)(

1

0

22

0 ωωOn a donc :

7/20

p00 ωω

p

AKp

zppS =

+×+×× 1

21)(

0

22

0 ωω



Exemple RapiditéIdentificationRéponse à Réponse à un échelonun échelon

+×+××

=

121

)(

0

22

0

pz

pp

AKpS

ωω

Essayons de factoriser le dénominateur calculons le discriminant

+×+××

=

121

)(

0

22

0

pz

pp

AKpS

ωω

=−=∆ "4" 2 cab =××−

1

14

22

0

2

0 ωωz

20

20

2 44

ωω−z

Nous avons trois cas d’étude : ( )14 2

20

−×=∆ zω

8/20

0>∆ 1>zLe système est dit « amorti» ou « non oscillant» ou « apériodique»

0=∆ 1=zLe système est dit « apériodique critique» ou « critique»

0<∆ 1<zLe système est dit « oscillant» ou « sous amorti» ou « pseudopériodique»

�

�

�




0ω

44--1) Premier cas :1) Premier cas :

On a deux pôles réels :

=∆+−= "2

"1 a

bp

+×+××

=

121

)(

0

22

0

pz

pp

AKpS

ωω

( )=

×

−×+−

20

22

00

12

142

ω

ωωz

z

( )14 2

20

−×=∆ zω

z > 1z > 1

20

2

00

2

1z2z2

ω

ωω−+−

9/20

�

( )1zzp 2 −−×−= ω

=∆−−= "2

"2 a

bp

( )=

×

−×−−

20

22

00

12

142

ω

ωωz

z

20

2

00

2

1z2z2

ω

ωω−−−




�

( )1zzp 201 −−×−= ω

( )1zzp 202 −+×−= ω

( )1zzp 201 −−×−= ω ( )1zzp 2

02 −+×−= ω

10/2044--1) Premier cas :1) Premier cas :

+×+××

=

121

)(

0

22

0

pz

pp

AKpS

ωω( )1

4 22

0

−×=∆ zω

z > 1z > 1

D’où la




suivante :factorisation ( ) ( )212

0

1)(

ppppp

AKpS

−×−×=

ω

( ) ( )2120

1)(

ppppp

AKpS

−×−×=

ω

−×

−×××

=

111

)(

21212

0 p

p

p

pppp

AKpS

ω

( )( ) ( )( )111 2

02

02−+−×−−−× zzzz ωω

ω

−×

−

21 p

p1

p

p1

Mettons p1 et p2

en facteur :

11/20

( )( ) ( )( )11 0020

−+−×−−−× zzzz ωωω

( ) =

−−−−−+×2

22222

0

20 111 zzzzzz

ωω

=+− 122 zz= 1




−×

−×

=

21

11

)(

p

p

p

pp

AKpS

−×

−×

=

21

11

)(

p

p

p

pp

AKpS

Posons :1

11

p−=τ et

22

1

p−=τ

( ) ( )AK

pS )(ττ +×+×

=

12/20

( ) ( )ppppS

21 11)(

ττ +×+×=

Faisons une décomposition en éléments simples :

ppppS

21 11)(

τγ

τβα

++

++=




( ) ( )ppp

AKpS

21 11)(

ττ +×+×=

( )( ) ( ) ( )( ) ( )ppp

pppppppS

21

1221

11

1111)(

τττγτβττα

+×+×++++++=

( ) ( )( ) ( )ppp

pp

21

12212

21

11 τττγτβτταγβταταα

+×+×++×++++×+

=

13/20

ppppS

21 11)(

τγ

τβα

++

++=

( ) ( )ppp 21 11 ττ +×+×




( ) ( ) AKpp =++×++++×+ 12212

21 τγτβτταγβταταα

Numérateur :

AK=α021 =+++ γβτατα01221 =++ τγτβττα

( ) ( )2121 τττταγβ +−=+−=+ AK

212112 ττττατγτβ AK−=−=+

1

2

Faisons : ττττ2222 X 1 2 ( ) ( )212

22112 τττττττγ +−−=− AK

22τγ ×−= AK

14/20AK=α( )21 ττγβ +−=+ AK

2112 τττγτβ AK−=+

12

2

τττγ

−×−= AK

L’équation donne alors :1




( )12

22

21 τττττβ

−×++−= AKAK

( )12

22

21 τττττβ

−×++−= AKAK

( ) ( )12

22

12

1221 AKAKττ

τττ

ττττβ−

×+−

−×+−×=

2212

22

2121 τττττττ ++−+−×AK

15/20

=12

2122121

τττττττττ

−++−+−×AK

12

21

τττβ−

×= AK




=

ppppS

21 11)(

τγ

τβα

++

++=

AK=α12

22

τττγ

−×−= AK

12

21

τττβ−

×= AK

2

2

12

22

1

1

12

21

1

1

1

1

)(

τ

τττ

τ

τ

τττ

τ

+×

−×−

+×

−×+=

pAK

pAK

p

AKpS

On a donc la décompositionen éléments simples suivante :

16/20

=)( pS

21 ττ




2

12

2

1

12

1

11

111

τττ

τ

τττ

τ

+×

−−

+×

−+×

pppAK

)t(ueeAK)t(s

tt

××−

−×−

+×=−−

21

12

2

12

11 ττ

τττ

τττ

Représentation graphique de la réponse à un échelonReprésentation graphique de la réponse à un échelon

)(1)( 21

12

2

12

1 tueeAKts

tt

×

×

−−×

−+×=

−−ττ

τττ

τττ

K AValeur finale

En supposant K>1

17/20

z > 1z > 1

t

=∞→

)(lim tst

Nota : ( ) AKAK =−+× 001

Sortie s(t)

Entrée e(t) = A.u(t)A

Tangente horizontale Tangente horizontale à l’origine !à l’origine !

L’erreur statique n’est nulle que si K = 1




Influence du facteur d’amortissement zInfluence du facteur d’amortissement z

Réponse indicielle(échelon de 1)

z = 2

z = 7Si z diminue la courbe se redresse

2

212 =×=AK

ωωωω0 = 1 rad/sK = 2

Valeur finale

18/20

Entrée en échelon unitaire1




Calcul de la tangente à l’origineCalcul de la tangente à l’origine z > 1z > 1

−×−

−

−×−

+×−−

21

212

2

112

1 110 ττ

ττττ

ττττ

tt

eeAK

)(1)( 21

12

2

12

1 tueeAKts

tt

×

×

−−×

−+×=

−−ττ

τττ

τττ

D’où à l’origine (t = 0):

=)(' ts

19/20

== )0(' ts

×

−×−

−×

−×−

× 11

11

212

2

112

1

ττττ

ττττ

AK

=

−+

−−×

1212

11

ττττAK= 0

D’où à l’origine (t = 0):




44--2) Deuxième cas :2) Deuxième cas :

Système apériodique critique ou critique

+×+××

=

121

)(

0

22

0

pz

pp

AKpS

ωω( )1

4 22

0

−×=∆ zωz =1z =1

=

+××+××

=

1121

)(2 ppp

AKpS 2

+× p

AK

1/19

On a un pôle double : 012 ω−=p

+××+×× 1

121

0

22

0

pppωω 0

1

+×

ωp

p

posons :012

1211

ωτ =−=

p

( )2121

)(pp

AKpS

τ+×=




Décomposons en éléments simples :( )2

121)(

p

p

ppS

τγβα

+++=

AK=α2

12τβ AK−=

122 τγ AK−=

2/19

( )2121

)(pp

AKpS

τ+×=




( )=

++−×=

212

122

12

1

21)(

p

p

pKApS

τττ

On en déduit :

( )

+++×−×

212

1212

1

111

p

p

pKA

τττ

( ) ( )

+×−

++×−× 2

12

12212

1212

1

1

1

11

pp

p

pKA

ττ

τττ=

( )

+

××−+

××−×2

12

212

12

12

1212

1

111

111

ττ

τ

ττ

τppp

KA=

3/19

( ) ( )

+×−

+×−× 2

12

12

12

121

1

1

11

pppKA

ττ

ττ

Échelon unitaire "

1"

ap + ( )"

1"

2ap +

D’où dans le domaine temporel : )(1

1)( 1212

12

tueteAKts

tt

×

×−−×=

−−ττ

τ





z = 0,8 z = 1

z = 1,2

Représentation graphiqueReprésentation graphiquez = 1z = 1

212 =×=AK Dépassement (z<1)

2Valeur finale

de la réponse indiciellede la réponse indicielle

4/19

z = 1,2


Pour z = 1 il n’y a pas de dépassement





44--3) Troisième cas :3) Troisième cas :

z <1z <1

Système oscillant ou sous-amorti ou pseudopériodique

Mettons le dénominateur sous la forme : ( )( )22 ω++× app

2ωAK

5/19

+×+××

=

121

)(

0

22

0

pz

pp

AKpS

ωω( )1

4 22

0

−×=∆ zω

=)( pS( )

=+×+×× 2

002

20

21 ωω

ωpzpp

AK

)2( 200

2

20

ωωω

+×+× pzpp

AK

= =−++× ])([ 2

022

02

0

20

ωωωω

zzpp

AK

( )200

2 2 ωω zzp ++

])1()([ 220

20

20

zzpp

AK

−×++× ωωω




Faisons une décomposition en éléments simples de la forme :

22)( ωγβα++

++ap

p

p

])1()([)(

220

20

20

zzpp

AKpS

−×++×=

ωωω

pp])ap[( 222 γβωα ++++×

2ωa

6/19

])ap[(p

pp])ap[(22

222

ωγβωα

++×++++×

])ap[(p

ppaapp22

2222 2

ωγβωαααα

++×+++++

=])ap[(p

)(p)a(p)a(22

222 2

ωβαγαωα

++×+×++×++×




=

222 )( ωωα AKa =+×

=−×+ )1()( 220

20 zz ωω

22 ωωα AK=×

20ω=−+ 2

022

02

02 ωωω zz

7/19

])ap[(p

)(p)a(p)a(

])ap[(p

AK22

222

22

20 2

ωβαγαωα

ωω

++×+×++×++×=

++×

0ωza = ( )220

2 1 z−×= ωω

AK=α

0=+ βα

20

22 )( ωωα AKa =+×

02 =+ γα a

20

20 ωωα AK=×

αβ −=

aαγ 2−=




AK=α

02 ωγ zAK−=

AK−=β

22220

20

20

)(])1()([)(

ωγβα

ωωω

++++=

−×++×=

ap

p

pzzpp

AKpS

)1()(

2)(

220

20

0

zzp

zAKpAK

p

AKpS

−×++

+−=

ωωω

AK=α AK−=β 02 ωγ zAK−=

8/19

−×++

+−×

)1()(

2122

02

0

0

zzp

zp

pAK

ωωω

=

=

−×++−

−×++

+−×

)1()()1()(

122

02

0

0

220

20

0

zzp

z

zzp

zp

pAK

ωωω

ωωω




9/19

( ) ( ) ( ) ( )

−×++−

−×++

+−×=

220

20

0

220

20

0

11

1

zzp

z

zzp

zp

pKA)p(S

ωωω

ωωω

)1()(

)1(

)1(22

02

0

220

220

0

zzp

z

z

z

−×++

−××

−× ωω

ω

ω

ω0ωza =

( )220

2 1 z−×= ωω

++×

−×−

+++−×=

2220

022 )(1)(

1)(

ωω

ω

ωω apz

z

ap

ap

pAKpS




L [ f(t)] = 22)( ω+++

ap

ap)(cos te ta ω×−

Utilisons les résultatssuivants :

++×

−−

+++−×=

22222 )(1)(

1)(

ωω

ω apz

z

ap

ap

pAKpS

0ωza = 20

220 1)1( zz −=−×= ωωω

10/19

L [ f(t)] = 22)( ωω

++ap)(sin te ta ω×−

)( ω++ap

( ) ( )

×−××

−−×−×−×= −−

tzez

ztzeAKts

tztz 202

20 1sin

11cos1)( 00 ωω ωω

D’où au final :




On peut « simplifier » cette équation en faisant le changement de variable suivant :

z=ϕcos21sin z−=ϕ

( ) ( )[ ]

×−×+×−×−×−

−×=−

tzztzzz

eAKts

tz2

02

02

21sin1cos1

11)(

0

ωωω

( ) ( )

×−××

−−×−×−×= −−

tzez

ztzeAKts

tztz 202

20 1sin

11cos1)( 00 ωω ωω

11/19

")sin(sincoscossin" bbaba +=×+× a

( ) ( )[ ]

×−×+×−××−

−×=−

tztzz

eAKts

tz2

02

021sincos1cossin

11)(

0

ωϕωϕω

Utilisons :

( )

+×−×−

−×=−

ϕωω

tzz

eAKts

tz2

021sin

11)(

0




z = 0,2

Représentation graphiqueReprésentation graphiquez < 1z < 1

212 =×=AK

20 1

2"

2"

zT

−==

ωπ

ωπ

2Valeur finale

ωωωω0 = 1 rad/sK = 2de la réponse indiciellede la réponse indicielle

12/19

z = 0,9Entrée en échelon unitaire

1

Si z diminue les oscillations augmentent en nombre et en amplitude





2

z = 0,2


RécapitulatifRécapitulatif

212 =×=AK

2Valeur finale

13/19

z = 1z = 2






Cas particulierCas particulierz = 0z = 0Système non amorti

02

0

2

01

2

ωπ

ωπ =−

=T


14/19


212 =×=AK

2 Valeur médiane

Le système est un oscillateur « pur » de pulsation ωωωω 0




1

22256857114

0

πω

π ===− ,,,

t = 7,85 s t = 14,1 s

5) Identification d’un deuxième ordre oscillant (z<1)5) Identification d’un deuxième ordre oscillant (z<1)On peut déterminer les valeurs numériques de la fonction de transfert

d’un deuxième ordre à partir de sa réponse à un échelon :

A

K . AD

1

sortievaleur finale

échelon d’entrée

1er dépassement

15/19

t

A

20

a1

z12

Tt

−==

ωπ

211

z

z

eD −

−

=π

t1



Exemple RapiditéRéponse à un échelon

IdentificationIdentification

Pseudo-période

z = 0,6

z = 0,8

z = 0,7

6) Rapidité:6) Rapidité: temps de réponse minimal


-5%

16/19

2,9 s

3,4 s

5,2 s




Identification RapiditéRapidité

+/-

Influence de la diminution du facteur d’amortissement Influence de la diminution du facteur d’amortissement 17/19





Abaque des temps de réponse réduitsAbaque des temps de réponse réduits18/19





1) Equation différentielle

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