Formation réforme lycéeMathématiques

AVRIL-MAI 2019

Les mathématiques en voie générale volume horaire

Seconde générale et technologique

Enseignement commun : 4h

Voie générale Première - Enseignement de spécialité : 4 h

Terminale

• Enseignement de spécialité : 6h

• Enseignement optionnel de mathématiques expertes : 3h

• Enseignement optionnel de mathématiques complémentaires : 3h

Les mathématiques en voie technologique volume horaire

Seconde générale et technologique • Enseignement commun : 4h

Voie technologique Première et terminale • Enseignement commun : 3h

• Enseignement de spécialité Physique-Chimie-Mathématiques

STI2D : 6h

STL : 5 h

Poids au baccalauréat- voie générale

Si spécialité en première et en terminale◦ Épreuve terminale : 16%

◦ Oral : variable jusqu’à 10%, valeur typique 5%

◦ Évaluation au cours du cycle terminal : 1% ou 2% (arrondi) selon choix de « mathématiques expertes »

Si spécialité seulement en première◦ Épreuve commune de contrôle continu : 5%

◦ Évaluation au cours du cycle terminal : 1% ou 2% (arrondi) selon choix de « mathématiques complémentaires »

Poids au baccalauréat- voie technologique

Pour toutes les séries de la voie technologique◦ Épreuve commune de contrôle continu : 5%

◦ Évaluation au cours du cycle terminal : 1%

si STI2D ou STL on ajoute :◦ Épreuve terminale de spécialité PC-Maths: 16%

◦ Oral : variable jusqu’à 14%

Contexte de la réforme

Rapport Villani-Torossian

Note d’analyses du CSP Calcul

Raisonnement, démonstration

Consolidation du collège

Préparation à l’enseignement supérieur, avec spécialisation progressive

Plus de mathématiques dans certaines disciplines (PC, SES,…)

Nouvelle écriture des programmes

Apparition de nouvelles rubriques,

Remplacement des tableaux par des paragraphes.

Intentions nouvelles

Place du calcul et des automatismes

Raisonnement et démonstration

Continuités d’ordre général

Au cycle 4 comme en seconde, l’enseignement des mathématiques est commun à tous les élèves

Les six compétences

L’importance donnée au calcul (numérique et littéral)

Le développement d’automatismes, la place du raisonnement et de la démonstration

La trace écrite

Le travail personnel des élèves

Place de l’oral

Diversité de l’activité de l’élève

Les évaluations tout au long de l’année

Diversifier la forme, l’organisation, les modalités

Questions flash, évaluations diagnostiques, formatives …

Devoirs en temps libre

Travaux de recherche, de groupe, compte rendu de TP

Individuelle, collective

Oral, écrite

Avec ou sans calculatrice

Sur poste informatique, débranchée

Place de l’oral

Pratique de l’argumentation

Explicitation du raisonnement

Débats

Interaction

Trace écrite

Cours clair, explicite et structuré

Explicitation des objectifs

Exemple de référence

Schéma

Statut des énoncés

Démonstrations exemplaires

Travail personnel de l’élève

Consolidation des apprentissages

Nature et forme variée

Prise en compte de la diversité

Prise d’initiative

Stabilisation des connaissances

Lignes directrices pour l’enseignement

Importance d’une bonne atmosphère de travail

Développement d’attitudes positives chez l’élève.

Travail sur l’erreur

Résolution de problème

Problèmes « internes » et problèmes « externes »

Lignes directrices pour l’enseignement

Rapport Villani-Torossian : équilibre entre divers temps de l’apprentissage

Recherche, activité, manipulation

Dialogue, échange, verbalisation

Exposé par le professeur

Exemples

Exercices et problèmes

Rituels

Histoire des mathématiques

Les sections « Histoire des mathématiques » ont pour but d’éclairer le cours d’éléments de contextualisation d’ordre historique ou épistémologique.

Rubriques des programmes

Contenus

Capacités attendues

Démonstrations

Exemples d’algorithme

Approfondissements possibles

Démonstrations

Une intention importante : raisonnement et démonstration.

Les démonstrations mentionnées ne sont pas exigibles en tant que

telles (exemple : 2 irrationnel) mais doivent illustrer le raisonnement, la démarche mathématique, et participer à la compréhension des objets mis en jeu.

Rubrique « Exemples d’algorithmes »

La partie « Algorithmique et programmation » est bien présentepour apprendre les mathématiques et non pour faire de l’informatiqueen tant que telle.

D’où l’existence de la rubrique « exemples ou situations d’algorithmes » dans toutes les parties des programmes.

Rubrique « Approfondissements possibles »

Des pistes pour enrichir les activités des élèves.

On évite d’aborder des sujets qui apparaissent dans leprogramme de la classe supérieure.

Programme de secondecontenus

Nombres et calculs

Géométrie

Fonctions

Statistiques et probabilités

Algorithmique et programmation

[Vocabulaire ensembliste et logique]

Continuités et rupturesCalcul (numérique et littéral)

Cycle 4 Seconde

• Définition de la racine carrée (introduite à partir de Pythagore)

• Puissances d’un nombre• Distributivité (simple et double)• Annulation d’un produit• 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)• Résolution d’équations du premier degré ou s’y

ramenant, notamment 𝑥2 = 𝑎• Ordre sur les nombres, ordres de grandeurs

• Règles de calcul sur les puissances et les racines carrées• Démonstration de :

𝑎𝑏= 𝑎. 𝑏, pour 𝑎 > 0 et 𝑏 > 0• Les trois identités remarquables à connaître dans les deux

sens• Illustration géométrique de l’égalité (𝑎 + 𝑏)2= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

• Inéquations du premier degré• Résoudre une équation, une inéquation produit ou quotient à

partir d’un tableau de signes• Démonstration de :

𝑎 + 𝑏 < 𝑎 + 𝑏, pour 𝑎 > 0 et 𝑏 > 0Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues, déterminer le point d’intersection de deux droites (rubrique représenter et caractériser les droites du plan)

Géométrie

Cycle 4 Seconde

Notions de géométrie plane

• Angles alternes-internes• Cas d’égalité des triangles• Triangles semblables• Thalès et Pythagore• Lignes trigonométriques dans le triangle rectangle

• Résoudre des problèmes de géométrie (triangles, quadrilatères, cercles)

• Relation trigonométrique cos2(𝛼) + sin2(𝛼) = 1 dans un triangle rectangle

Transformations, vecteurs

• Comprendre l’effet des transformations sur une figure(translation, rotation, symétries, homothéties)

• Vecteur associé à une translation• Direction, sens, norme• Coordonnées d’un vecteur dans une BON, norme d’un

vecteur• Déterminant de deux vecteurs dans une BON• Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Géométrie (suite)

Droites du plan (fonctions) Droites du plan (aspect vectoriel)

Représentation graphique d’une fonction linéaire, d’une fonction affine

Représenter et caractériser les droites du planEquation cartésienne d’une droite (en utilisant le déterminant)Systèmes linéaires de 2 équations à 2 inconnues

Fonctions

Cycle 4 Seconde

Fonctions

Différents modes de représentation : expression symbolique, tableau de valeurs, représentation graphique, programme de calculVocabulaire : variable, fonction, image, antécédent

Fonctions linéaires (en lien avec la proportionnalité)Fonctions affines

Caractérisation de l’appartenance d’un point à une courbe d’équation 𝑦 = 𝑓(𝑥)Résoudre graphiquement une équation 𝑓 𝑥 = 𝑘 ou une inéquation 𝑓 𝑥 < 𝑘

• Fonctions carré, racine carrée, inverse, cube• Variations et extremums : démonstration des

variations des fonctions carré, inverse, racine carrée• Algorithme d’approximation d’un extremum

(balayage, dichotomie)

Statistiques et probabilités (OGD)Cycle 4 Seconde

Information chiffrée

Proportionnalité :• Coefficient de proportionnalité• Taux d’évolution et coefficient multiplicateur• Notion de ratio

• Proportions• Evolution (variation absolue, variation relative)• Evolutions successives, évolution réciproque

Statistiques descriptives

• Effectifs, fréquences• Indicateurs de position : moyenne, médiane• Indicateur de dispersion : étendue

• Linéarité de la moyenne• Indicateur de tendance centrale : moyenne pondérée• Indicateur de dispersion : écart interquartile, écart

type• Pour des données réelles ou simulées, lire et

comprendre une fonction écrite en Python qui renvoie la moyenne 𝑚, l’écart type 𝑠 et la proportion d’éléments appartenant à l’intervalle [𝑚− 2𝑠 ;𝑚 +2𝑠]

ProbabilitésCycle 4 Seconde

Modéliser le hasard, calculer des probabilités

• Vocabulaire des probabilités • Faire le lien entre fréquence et probabilité• Calculer des probabilités dans des cas

simples

• Dénombrement à l’aide de tableaux dans le cas d’expériences à deux épreuves

• Distinguer modèle probabiliste et réalité• Distribution de probabilités. Probabilité d’un événement• Relation 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 + 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵• Dénombrement à l’aide de tableaux et d’arbres• Calculer des probabilités dans des cas simples (expériences

aléatoires à deux ou trois épreuves)• Construire un modèle à partir des fréquences observées

Echantillonnage

• Echantillon aléatoire de taille n pour une expérience à deux issues (Bernoulli)

• Version vulgarisée de la loi des grands nombres• Simuler 𝑁 échantillons de taille n d’une expérience aléatoire à

deux issues. Si 𝑝 est la probabilité d’une issue et 𝑓 sa fréquence observée sur un échantillon, calculer la proportion des cas où

l’écart entre 𝑝 et 𝑓 est inférieur ou égal à 1

𝑛

Algorithmique et programmationCycle 4 Seconde

Découverte de la programmation de manière ludique

Notion d’algorithme et de programmeLogiciel utilisé : Scratch

L’algorithmique et la programmation en lien avec les apprentissage mathématiques La programmation comme production d’un texte dans un langage informatiqueLogiciel utilisé : Python

Notion de variable informatique Concevoir et écrire une instruction d’affectation

Déclenchement d’une action par un événementSéquences d’instructions, boucles, instructions conditionnelles

Concevoir et écrire une séquence d’instructions, une boucle bornée ou non bornée

La notion de fonction

Les parcours au lycée général

Une spécialité qui s’adresse à un large public mais un texte de programme ambitieux qui peut dissuader certains élèves.

Programme de première généraleContexte

Triplettes variées : scientifiques, sciences sociales, mixtes ouplus littéraires.

Horaires : 4 heures

Cohérence mathématique, lien avec les autres spécialités, élèves de profils variés.

Des nouveautés importantes

Étude de la fonction exponentielle dès la classe de première

Modération de la géométrie et de la trigonométrie

Probabilités conditionnelles et indépendance

Programme de première généraleContenus

Algèbre

Analyse

Géométrie

Probabilités et statistiques

Algorithmique et programmation

[Vocabulaire ensembliste et logique]

Programme de première généraleContenus- Algèbre

1) Suites numériques - Modes de génération- Suites arithmétiques - Suites géométriques - Approche de la notion de limite d’une suite à partir d’exemples.

2) Équations, fonctions polynômes du second degré- Forme factorisée. Racines, signe, somme et produit des racines. - Forme canonique, discriminant. - Factorisation éventuelle. - Équation du second degré. - Signe

Programme de première généraleContenus- Analyse

1) Dérivation• Point de vue local - Taux de variation, sécantes à (𝐶𝑓).

- Nombre dérivé : f’(a).- Tangente à (𝐶𝑓) : 𝑦 = 𝑓’ 𝑎 𝑥 −𝑎 +𝑓 𝑎 .

• Point de vue global - Fonction dérivable sur un intervalle - Fonction dérivée.- Fonction dérivée des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée.- Dérivée d’une somme, d’un produit, d’un inverse, d’un quotient et de 𝑥 ↦ 𝑔 𝑎𝑥 + 𝑏 .- Dérivée de 𝑥 ↦ 𝑥𝑛, 𝒏 ∈ ℤ- Fonction 𝑥 ↦ 𝑥 ; dérivabilité en 0.

Programme de première généraleContenus- Analyse

2) Variations et courbes représentatives- Lien entre signe de la dérivée et sens de variation ; caractérisation des fonctions constantes

- Nombre dérivé en un extremum, tangente à 𝐶𝑓 .

3) Fonction exponentielle •Définition : 𝑓 𝑡. 𝑞. 𝑓’ = 𝑓 𝑒𝑡 𝑓(0) = 1.• exp(𝑥+𝑦)=exp(𝑥)exp(𝑦) et exp(𝑥)exp(−𝑥)=1. • Nombre 𝑒 ; notation 𝑒𝑥 .• Signe, variation et courbe.

Programme de première généraleContenus- Géométrie

1) Calcul vectoriel et produit scalaire - Produit scalaire (projection orthogonale et formule avec le cosinus). - Bilinéarité, symétrie. Expression analytique et la norme, orthogonalité. - Expressions à l’aide de normes.

-Transformation de l’expression 𝑀𝐴 ⋅ 𝑀𝐵- Formule de la médiane - Centre de gravité d’un triangle.

2) Géométrie repérée - Vecteur normal, vecteur directeur à une droite d’équation 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0. - Équation de cercle. - Parabole (fonction polynôme du second degré).

Programme de première généraleContenus- Probabilités et statistiques

1) Probabilité conditionnelle et indépendance- Probabilité conditionnelle, indépendance. - Arbres pondérés - calcul de proba- Formule des probabilités totales. - Épreuves successives indépendantes

2) Variables aléatoires réelles - Variable aléatoire réelle - Loi d’une variable aléatoire - Espérance, variance, écart type

Expérimentations : principe de l’estimation de E(X), par celle observée sur un échantillon

Programme de première généraleContenus- Algorithmique et programmation

1) Poursuivre la consolidation des acquis :• notion de fonction• production un programme (Langage naturel ou Python)• Les notions relatives aux types de variables et à l’affectation

2) Notion de liste - Génération en compréhension et en extension ( ~ la notion d’ensemble). - Manipuler des éléments d’une liste - Parcourir une liste.

- Itérer sur les éléments d’une liste.

Programme de première technologiqueles enjeux

Programme commun de mathématiques avec des finalitésdifférenteso Domaine des services (STMG, ST2S, STHR)o Domaines scientifiques et techniques (STI2D, STL)o Design et art appliqué (STD2A)

Enseignement de spécialité (physique-chimie et mathématiques »o STI2D et STL à articuler avec l’enseignement commun

Programme de première technologiqueles enjeux

Mieux préparer aux poursuites d’études, en particulier vers lesIUT et les formations technologiques des universités

Consolider et élargir les acquis du collège et de la classe deseconde, maîtrise du calcul (numérique et littéral) ainsi que lescapacités de lecture et d’interprétation graphiques

Développer une image positive des mathématiques

Développer un mode de pensée algorithmique

Organisation du programme de première technologique

Parties transversales• Automatismes: aucun contenu nouveau• Algorithme et programmation (listes) • Vocabulaire ensembliste et logique

Parties thématiques• Analyse• Statistiques et probabilités

Programme de première technologique Contenus - Analyse

Suites numériques :Suites arithmétiques et géométriques de raison positive

Fonctions de la variable réelle Fonctions comme modèles mathématiques d’évolutions Fonctions polynômes de degré 2Racines et signe d’un polynôme de degré 2 sous forme factorisée pas de calcul du discriminant.Fonctions polynômes de degré 3

Programme de première technologiqueContenus - Analyse

Dérivation

- Nombre dérivé - Fonction dérivée et fonctions dérivées de fonctions polynômes de degré 2 ou 3.Signe de la dérivée en lien avec le sens de variation d’une fonction.

Programme de première technologiqueContenus - Statistiques et Probabilités

Traitement statistique de fichiers avec des données réelles en lien avec les enseignements de spécialités en vue de l’épreuve orale terminale.

Tableau croisé d’effectif,Fréquences conditionnelles,Fréquence marginale

Programme de première technologique Contenus - Statistiques et Probabilités

Probabilités conditionnellesÉpreuve de Bernoulli, répétition d’épreuves aléatoires identiques et indépendantes de BernoulliArbre de probabilité pour une expérience à 2 épreuves indépendantes et calcul des probabilités pour 𝑛 ≤ 4

Variable aléatoire discrète : loi de probabilité, espéranceLoi de Bernoulli (0 , 1 ) de paramètre p, espérance

Fluctuation d’échantillonnageSavoir interpréter sur des exemples la distance à p de la fréquence observée des 1 dans un échantillon de n d’une loi de Bernoulli de paramètre p

En résumé : évolution enseignement des Statistiques et Probabilités Traitement de fichiers de données : croisement de variables catégorielles

traitement statistique de données à partir de fichiers réelstableau de contingencefréquences conditionnelles, fréquences marginales

Progressivité des probabilités du collège au lycéeCollège : stabilisation des fréquences observées, calculs de probabilités à partir de dénombrements,pas d’arbresClasse de seconde : formalisation de la notion de loi de probabilité en prenant appui sur le langageensembliste, loi des grands nombres, fluctuation d’échantillonnage, pas d’arbres (sinon dedénombrements)Cycle terminal :

modélisation d’expériences aléatoires à deux épreuves indépendantes (probabilités produits),probabilités conditionnelles (tableaux d’effectifs)Terminale : arbres de probabilités…

pas de statistiques inférentielles mais une expérience de la fluctuation d’échantillonnage par lasimulation

Les textes de référence

Bulletin officiel spécial n°1 du 22 janvier 2019 Programmes de seconde :https://cache.media.education.gouv.fr/file/SP1-MEN-22-1-2019/95/7/spe631_annexe_1062957.pdf

Programme de spécialité mathématiques – premièrehttps://cache.media.education.gouv.fr/file/SP1-MEN-22-1-2019/16/8/spe632_annexe_1063168.pdf

Programme de mathématiques des classes de premières technologiques ( sauf TMD)https://cache.media.education.gouv.fr/file/SP1-MEN-22-1-2019/53/0/spe630_annexe_1063530.pdf

Bulletin officiel du 25 avril 2019 : modalités des E3C

Documents ressources

Voie technologique◦ Automatismes*

◦ Algorithmique et programmation*

◦ Probabilités et statistiques*

Voie générale◦ Documents* ci-dessus, en commun avec la voie T

◦ Raisonnement, démonstration

◦ Spécialité de première

◦ Histoire des mathématiques ?