FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2011 CAHIER 4...

FORMATION INTERMÉDIAIRE

MAT 2011

CAHIER 4ET

CORRIGÉ

MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4

RAPPORTS ET PROPORTIONS CAHIER 4

TABLE DES MATIÈRES

I

1.0 RAPPORTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Poser un rapport à partir d'une situation donnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Simplifier un rapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.0 TAUX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1 Établir des taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.0 PROPORTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Énoncer la loi fondamentale des proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Exercice 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Calculer un terme manquant dans une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Exercice 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Solutionner des problèmes impliquant des proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Exercice 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.0 APPLICATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1 Appliquer la loi des proportions dans le dessin à l'échelle . . . . . . . . . . . . . . . . 24Exercice 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.0 EXERCICE DE RENFORCEMENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

DI-DR-1991-05-10 BA-PG\98-03



THÉORIE

1

1.0 RAPPORTS

1.1 POSER UN RAPPORT À PARTIR D'UNE SITUATION DONNÉE

Quand on se trouve en présence de deux quantités de même nature, on peut toujours les comparer entre elles. Cette comparaison peut se traduire de différentes façons.

Ainsi, par exemple, dans un collège on constate qu'il y a cent vingt (120) étudiants en informatique et soixante (60) en mécanique. On peut dire simplement qu'il y a plus d'étudiants en informatique qu'en mécanique. C'est une autre façon de dire que 120 > 60 (120 est plus grand que 60).

On peut apporter plus de précision en disant qu'il y a deux fois plus d'étudiants en informatique qu'en mécanique. Mais d'où vient ce nombre 2 dans deux fois plus? Tout simplement en divisant 120 par 60, on obtient le quotient 2, qu'on peut exprimer comme 120 ou 2 = 2.

60 1

Les expressions 120 ou 2 sont appelées des rapports. 60 1

D'où la définition suivante :

+))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))), * Un RAPPORT est la comparaison de deux quantités par quotient. * .)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

On note un rapport de différentes façons.

Ainsi, la comparaison 120 à 60 peut se noter 120 : 60 ou 120 60

et se lit 120 à 60 [":" se lit "à"] où 120 et 60 sont appelés les termes du rapport.



THÉORIE

2

Dans un rapport, les termes sont : soit des nombres; soit des quantités exprimées avec des unités de même nature.

Remarques

1. Le rapport est une fraction. 2. Lorsqu'on établit un rapport, on doit connaître l'ordre dans lequel les termes

du rapport doivent être écrits. Dans la situation précédente :

étudiants en informatique = 120étudiants en mécanique = 60

+)))))))))), * Exemples * .))))))))))

1) Dans un examen, Pauline a répondu correctement à 17 questions sur 25. Écrire un rapport pour comparer le nombre de questions répondues correctement au nombre total de questions.

Pour exprimer ce rapport, on écrit :

17 : 25 ou 1725

2) Soit à trouver le rapport de 30 minutes à 2 heures.

Dans un rapport, il est nécessaire d'exprimer les deux quantités avec les mêmes unités. Donc, il faut changer 2 heures en minutes.

On a 1 heure = 60 minutes2 heures = (2 x 60)

= 120 minutesRapport 30 ou 30 : 120

120



EXERCICE 1

3

1. Écrire chaque rapport de deux façons.

a. 8 à 5 c. 1 à 45 b. 2 à 25 d. 15 à 23

2. Trouver le rapport :

a. de 72 heures à 2 jours; b. de 8 mois à 3 ans; c. de 1 douzaine de pommes à 30 pommes; d. du nombre de roues d'un tricycle au nombre de roues d'une bicyclette.

3. Dans une classe de 30 étudiants, il y a 12 garçons. Exprimer le rapport :

a. du nombre de filles au nombre de garçons; b. du nombre de garçons au nombre total d'élèves; c. du nombre de garçons au nombre de filles.

4. Madeleine a 300 billes, Carmelle, 150 et Colette, 360. Établir le rapport entre le nombre de billes :

a. de Madeleine et le nombre de billes de Colette; b. de Carmelle et le nombre de billes de Madeleine et de Colette; c. de Colette et le nombre total de billes.



THÉORIE

4

1.2 SIMPLIFIER UN RAPPORT

Comme l'idée de rapport est liée à celle de fraction, les rapports bénéficient des mêmes propriétés que les fractions, c-.à-.d. qu'on peut les simplifier.

Soit à simplifier le rapport 75 à 20. On a 75 : 20 = 75

20 = 75 ÷ 5

20 ÷ 5 = 15

4

Donc puisque 75/20 = 15/4,on peut dire que 75/20 et 15/4 sont des rapports équivalents.

Soit le rapport 75 à 20. On a 75 : 20 = 75

20 = 75 x 2

20 x 2 = 150

40 mais 150 = 150 ÷ 10

40 40 ÷ 10 = 15

4

Donc 75/20 et 15/4 sont des rapports équivalents.

+)))))))))), * Exemples * .))))))))))

Simplifier les rapports suivants.

1) 30 : 15 = 30 15 [Diviser par 15]

= 2 1 30 : 15 = 2 : 1



THÉORIE

5

2) 0,15 à 3,5 =

=

0,15 3,5 15

350 = 3

70

3) 1/3 : 2/3 = 1 ÷ 2 3 3

=

=

1 x 3/ 3/ 2 1 2

4) 6 jours à 4 s6 jours 4 semaines

emaines =

=

6 jours 28 jours 3

14

Remarque

[Mult. par 100]

[Diviser par 5] 0,15 : 3,5 = 3 : 70

[":" a la même valeur que "÷"]

1/3 : 2/3 = 1 : 2

6 jours à 4 semaines = 3 : 14

Avant de simplifier un rapport, chaque terme doit être exprimé dans la même unité mais dans la réponse ces unités sont simplifiées.

Ainsi 3 jours = 3 14 jours 14

5) Trouver un rapport équivalent à 2/3 dont le 1er terme est 18.

2 = 18 3 ?

= 2 x 9 3 x 9

= 18 27 2 = 18

3 27



EXERCICE 2

6

1. Simplifier les rapports suivants.

a. 20 : 12 k. 10/12 : 3 b. 4 : 8 l. 5/8 à 5/9 c. 15 : 3 m. 1,3 à 26 d. 60 : 32 n. 39 : 65 e. 4 : 1/5 o. 1 000 à 25 f. 2,5 : 6 p. 44 à 11 g. 3,4 à 1,7 q. 1/3 à 1 2/3 h. 2/3 à 5 r. 35 : 3 1/2 i. 2/3 : 4/5 s. 2,5 à 10 j. 5 à 2/3 t. 0,1 à 0,02

2. Trouver la valeur de x, y et z afin d'obtenir des rapports équivalents.

a. 1 2 x y 4 8 16 100

b. 5 25 150 600 6 x y z

c. 7 x 105 z 8 16 y 360

d. 2 x y z 3 9 12 144

3. Dans la préparation d'une boisson, on mélange : 60 millilitres de crème de cacao; 60 millilitres de rhum; 150 millilitres de jus d'ananas.

Quel est le rapport :

a. de la crème de cacao au mélange? b. du rhum au jus d'ananas? c. du jus d'ananas au mélange? d. de la crème de cacao au rhum?



EXERCICE 2

7

4. Au marathon internationnal de Montréal de 1984, on a recueilli les données suivantes :

Nombre d'hommes inscrits 9 360Nombre de femmes inscrites 1 040Nombre d'hommes ayant terminé l'épreuve 5 472Nombre de femmes ayant terminé l'épreuve 608

Trouver :

a. le rapport du nombre d'hommes inscrits au nombre total de coureurs; b. le rapport du nombre de femmes ayant terminé l'épreuve au nombre de

femmes inscrites; c. le rapport du nombre d'hommes ayant terminé l'épreuve au nombre d'hommes

inscrits.

5. Trouver le rapport de :

a. 6 centimètres à 15 centimètres; b. 48 heures à 20 heures; c. 18 millimètres à 4 millimètres; d. 40 minutes à 1 heure; e. trois 25 ¢ à quatre 10 ¢.

6. Dans une classe, il y a 16 filles et 14 garçons. Trouver :

a. le rapport des filles aux garçons; b. le rapport des filles à toute la classe; c. le rapport des garçons aux filles; d. le rapport des garçons à toute la classe.



THÉORIE

8

2.0 TAUX

2.1 ÉTABLIR DES TAUX

Dans le langage mathématique, on emploie souvent les mots TAUX et RAPPORTS. Il est donc très important d'en connaître la différence.

Dans un RAPPORT, les quantités comparées doivent utiliser les mêmes unités. C'est tout simplement une paire de nombres.

Soit pour comparer les assistances au spectacle de Ginette Reno au Grand Théâtre de Québec, on peut écrire le rapport suivant :

Nombre de spectateurs Nombre de spectateurs (lundi) (mardi)

1 500 : 2 000

Dans un TAUX, les quantités comparées utilisent des unités différentes. On a donc, comme le rapport, une paire de nombres et la relation mutuelle des unités en cause.

Soit si le conseil étudiant a recueilli 50 ¢ par étudiant, on dit qu'il a recueilli cet argentau taux de 50 ¢ par étudiant. On peut également dire que le rapport du nombre de cents au nombre d'étudiants est 50 : 1.

+)))))))))),* Exemples *.))))))))))-

Exprimer ces taux sous leur forme la plus simple.

1) 12 chocolats pour 6 étudiants

12 chocolats = 2 chocolats 6 étudiants 1 étudiant

= 2 chocolats/étudiant



THÉORIE

9

2) Parcourir 720 kilomètres en 8 heures.

720 km = 90 km 8 h 1 h

= 90 km/h

Remarque

90 km/h se lit : "90 kilomètres par heure".

3) 3 boîtes de pois pour 99 ¢.

3 boîtes = 1 boîte 99 ¢ 33 ¢

= 1 boîte pour 33 ¢



EXERCICE 3

10

1. Réécrire chacun des taux suivants et les réduire :

a. 28 points en 4 parties; b. 8 pamplemousses pour 96 ¢; c. 400 mots dactylographiés en 8 minutes; d. 24 mètres de tissu pour 4 robes; e. parcourir 400 kilomètres en 5 heures; f. 2 douzaines d'oeufs en 6 jours; g. 28 000 disques vendus en 7 jours; h. 48 minutes de punition en 8 parties; i. courir 400 mètres en 50 secondes.



THÉORIE

11

3.0 PROPORTIONS

3.1 ÉNONCER LA LOI FONDAMENTALE DES PROPORTIONS

On a déjà vu que 75/20 et 15/4 étaient considérés des rapports équivalents.

Donc, on peut écrire 75 = 15 20 4

Cette égalité de deux rapports s'appelle une PROPORTION.

Cette proportion peut s'écrire 75 : 20 = 15 : 4 et se lit 75 est à 20 comme 15 est à 4.

Dans cette proportion : 75 est le premier terme; 20 est le deuxième terme; 15 est le troisième terme; 4 est le quatrième terme.

er eOn a 1 terme 75 = 15 3 terme e e2 terme 20 4 4 terme

75 : 20 = 15 : 4 9 9 9 9

1er 2e 3e 4e

Dans une proportion, le premier et le quatrième terme s'appellent EXTRÊMES; le deuxième et le troisième s'appellent MOYENS.

On a extrême 75 = 15 moyen moyen 20 4 extrême

moyens +)))))), w w

75 : 20 = 15 : 4 v v .)))))))))))))))



THÉORIE

12

extrêmes

Loi fondamentale d'une proportion

+)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))),* Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au ** produit des moyens. *.))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Cette loi permet de vérifier si deux rapports forment une proportion.

Soit à trouver si les rapports 75 : 20 et 15 : 4 forment une proportion.

On a produit des extrêmes = 75 x 4 = 300

produit des moyens = 20 x 15 = 300

Donc, on a la proportion 75 : 20 = 15 : 4.

+)))))))))), * Exemples * .))))))))))-

Vérifier si chacun des rapports suivants forment une proportion.

1) 1 : 8 et 10 : 80 Produit des extrêmes = 1 x 80

= 80 Produit des moyens = 8 x 10

= 80 On a la proportion 1 : 8 = 10 : 80

2) 3/4 et 6/9

3 64 9



THÉORIE

13

3 x 9 ? 4 x 6 27 =/ 24

Donc 3/4 et 6/9 ne forment pas une proportion.

Remarque

Comme les rapports sont exprimés sous la forme de fractions, on peut vérifier l'équivalence des deux fractions, en multipliant en diagonale.



EXERCICE 4

14

1. Vérifier si chacune des paires de rapports forme une proportion.

a. 1 : 3 = 5 : 15 b. 9 : 15 = 15 : 25 c. 14 est à 21 comme 7 est à 21 d. 7 : 3 = 8 : 4 e. 27 = 9

48 16f. 10 = 6

15 9g. 8 = 16

2 4h. 5 : 4 = 20 : 16 i. 4 : 12 = 5 : 15 j. 21 : 2 = 47 : 7 k. 3 = 6

16 32



THÉORIE

15

3.2 CALCULER UN TERME MANQUANT DANS UNE PROPORTION

On peut appliquer la loi fondamentale des proportions pour trouver le terme manquant dans une proportion. Une lettre de l'alphabet, appelée "variable", est utilisée pour remplacer le terme manquant.

Démarche à suivre

Soit à chercher le terme manquant dans n : 12 = 15 : 9.

1. Appliquer la loi fondamentale des proportions. (Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens)

n • 9 = 12 x 15

2. Diviser les deux membres par le nombre qui multiplie la variable. Puisque 9 multiplie la variable, diviser les deux membres par 9.

4 5 n • 9/ = 1/ 2/1 x 1/ 5/1 9/ 9/

3/

n = 20

Donc, le terme manquant est 20.

Vérification : Remplacer "n" par 20 dans :

n : 12 = 15 : 9 20 : 12 = 15 : 9 20 x 9 = 12 x 15 [produit des extrêmes = produit des moyens]

180 = 180



THÉORIE

16

+)))))))))), * Exemples * .))))))))))-

Trouver la valeur du terme inconnu.

1) 15 : 20 15 • p

1/ 5/ p 1/ 5/

== 4 =

3 : p 20 x 3

2/ 0/ x 3/ 1/ 5/ 3/

p = 4

2) 2 3 3x 3/ x 3/ x

=

= =

=

x 7 2 x 7 2 x 7

314 3

x = 4 2/3

3) y : 3 1/2 y • 7 = y • 7 =

y • 7/ = 7/

= 8 :3 1/2 x 8 28 28

7

76

y = 4

terme inconnu : 4

terme inconnu : 4 2/3

43 1/2 x 8 = 7 x 8/ = 28

2/ 1

terme inconnu : 4



EXERCICE 5

17

1. Trouver le terme manquant.

a. b. c.

d. e. f. g. h. i. j.

k.

l.

2 : 3 = 6 : n n : 8 = 21 : 28 25 = 15 x 6

6 : 7 = 24 : y 32 : 40 = 28 : x 9 : x = 21 : 14 2 : 3 = n : 10 5 : x = 9 : 5 4 : 3 = w : 100 1,2 = a 3,6 4 1,25 = 4

m 12 7 : 12 = 10 : b

m.

q.

t.

4 : 9 = p : 8 n. 5 : 2 = 2 : m o. 30 : 40 = 24 : xp. x : 12 = 7 : 4 3 : 7 = b : 39 r. 9 : a = 57 : 19 s. 3 = 5 11 x x = 10

9 45 u. 1,5 : 0,3 = a : 8 v. x : 0,01 = 0,2 : 0,16 w. 1/2 : 10 = 2 1/2 : xx. 24 : b = 2 1/3 : 5 5/6 y. y : 2 1/4 = 15 : 3/4



THÉORIE

18

3.3 SOLUTIONNER DES PROBLÈMES IMPLIQUANT DES PROPORTIONS

Les proportions aident à résoudre de nombreux problèmes.

Démarche à suivre

1. Lire le problème et identifier l'inconnue. 2. Poser le problème en posant les éléments de même nature les uns sous les autres. 3. Établir une proportion à partir de ces données. 4. Trouver le terme manquant dans la proportion. 5. Interpréter le résultat.

Un cycliste parcourt 15 kilomètres en 3 heures. À la même vitesse, combien de kilomètres parcourra-t-il en 5 heures?

1. Inconnue : nombre de kilomètres )))))))> x

2. Temps Distance 3 heures 15 kilomètres 5 heures x

3. 3 = 15 5 x

4. 3 x = 5 x 15

53/ x = 5 x 1/ 5/

3/ 3/

x = 25

5. Il va parcourir 25 kilomètres.



THÉORIE

19

Remarques

1. Ici le nombre d'heures augmente, donc la distance doit augmenter. 2. Ce genre de problème peut se travailler à l'aide de la Règle de Trois.

3 heures = 15 kilomètres 5 heures = x

x = 5 x 15 3

x = 25 kilomètres

+)))))))))), * Exemples * .))))))))))

1) Lors d'un sondage, le rapport du nombre de garçons au nombre de filles intervie w é s était de 5 à 15. Si 200 garçons ont été intervie w é s , combie n de f i l l e s l ' o n t été?

Le nombre de filles interviewées : x

Rapport Nombre de personnes5 (garçons) 200 (garçons)15 (filles) x (filles)



THÉORIE

20

5 = 200 15 x 5x = 15 x 200

3 5/ x = 1/ 5/ x 200 5/ 5/

x = 600

Nombre de filles interviewées = 600

Remarque

Un rapport de 5 à 15 signifie que pour chaque 5 garçons interviewés, il y avait 15 filles interviewées. On réalise que le rapport du nombre de filles était trois fois celui des garçons, donc le nombre de filles doit être trois fois celui des garçons.

2) Pour poser 50 000 briques, des ouvriers ont travaillé 10 jours. Combien de jours aurait-il fallu pour poser 20 000 briques?

Nombre de jours : x

Jours Briques 10 50 000 x 20 000

10 = 50 000 x 20 000

50 000x = 10 x 20 000 5/ 0/ 0/ 0/ 0/ x = 10/ x 20 0/ 0/ 0/ / 0 / 0/5/ 0/ 0 50/ 0/ 0/ 0/

x = 4



THÉORIE

21

Il faut 4 jours pour poser 20 000 briques.

Remarque

Puisque le nombre de jours diminue, le nombre de briques doit diminuer.

3) Gilles obtient une note de 30 sur 40 dans un examen d'histoire. Exprimer cette note sur 100.

Note sur 100 : x

Note Possibilité 30 40 x 100

30 = 40 x 100 40x = 30 x 100

3 25 4/ 0/ x = 3/ 0/ x 1/ 0/ 0/ 4/ 0/ 4/ 0/

x = 75

Sur 100, la note sera 75.



EXERCICE 6

22

1. Vincent a parcouru 120 kilomètres en 2 heures. Combien de temps lui faudra-t-il pour faire 720 kilomètres?

2. Une recette de 30 biscuits demande 1 1/2 tasse de farine. Combien en faudra-t-il pour faire 200 biscuits?

3. Une pièce d'étoffe de 6 mètres coûte 24 $. Combien coûteront 15 mètres?

4. Lévis fait 6 respirations en 18 secondes. Combien en fait-t-il par minute?

5. Le rapport entre les offres d'emploi et le nombre de demandes est 2 : 5. Si 30 personnes ont fait des demandes, combien d'emplois pourront être attribués?

6. Le rapport entre les livres en retard et les livres prêtés est 1 : 15. Si l'on a prêté 450 livres, combien sont en retard?

7. Il faut approximativement une force de 45 Newtons pour soulever une masse de 4,3 kilogrammes. Calculer la force nécessaire pour soulever une masse de 75 kilogrammes.

8. Dans un échantillon de 900 étudiants âgés de 15 ans, un étudiant sur 5 avait l'habitude de fumer la cigarette. Combien de ces étudiants fumaient?

9. Quinze vaches laitières ont une production journalière de 375 litres de lait. À combien peut-on estimer la production journalière d'un troupeau de 125 vaches?

10. Une voiture parcourt 150 kilomètres en 2 heures. À ce taux, quelle distance parcourra-t-elle en 6 heures?

11. Si un sac de 2 kilogrammes de sucre se vend 1,75 $, calculer le prix de 60



EXERCICE 6

23

kilogrammes.

12. Rachel tape 120 mots en 2 minutes. Combien de temps lui faut-elle pour taper 3 000 mots?

13. L'été dernier, Michel a gagné 3,75 $/heure pour tondre le gazon. Combien gagnait-il par semaine, sachant qu'il travaillait 15 heures par semaine?

14. À une danse, il y avait 6 adultes pour chaque groupe de 18 étudiants. S'il y avait 300 étudiants, combien y avait-il d'adultes?

15. Un serveur gagne 25 ¢ pour chaque client qu'il sert. Si le montant total de ses gains fut 15,75 $, combien de clients a-t-il servis?

16. Le prix d'une bouteille de liquide à vaisselle d'une capacité de 100 millilitres est 2,95 $. Quel est le coût de 1 millilitre?

17. Wayne Gretzky a accumulé 164 points en 80 parties jouées. Calculer la moyenne des points accumulés après 60 parties jouées.

18. Quel achat est le plus avantageux : 5 kilogrammes de sucre à 3,59 $

ou0,25 kilogramme à 0,20 $?

19. Une recette de punch spécifie que le rapport de la quantité de jus d'orange à la quantité de jus d'ananas est de 3 : 5. Si on a 60 boîtes de jus d'orange combien de jus d'ananas devra-t-on avoir?

20. Un contrôleur de qualité a trouvé que 2 pièces pour 135 machines étaient défectueuses. Combien y a-t-il de pièces défectueuses pour 1 350 machines?



THÉORIE

24

4.0 APPLICATION

4.1 APPLIQUER LA LOI DES PROPORTIONS DANS LE DESSIN À L'ÉCH ELLE

Une application des rapports est le DESSIN À L'ÉCHELLE. Très souvent, il est impossible de représenter sur une feuille de papier un objet très grand comme une maison ou un objet très petit comme un virus. On doit donc réduire ou agrandir les dimensions de certains objets de façon à pouvoir utiliser une feuille de papier de grandeur convenable.

Pour comparer les mesures de l'objet véritable à celles de l'objet dessiné, on se sert d'un rapport. Le rapport peut indiquer combien de fois un dessin a été réduit ou agrandi, en comparaison de l'objet qu'il représente. Ce rapport s'appelle l'échelle du dessin. Donc, le DESSIN À L'ÉCHELLE, implique un rapport entre les dimensions du dessin et celles de l'objet réel.

Dans une échelle, le terme de gauche indique une dimension du dessin tandis que celui de droite indique la dimension correspondante de l'objet.

1 : 1 000 mesure sur le diagramme mesure réelle en utilisant la

même unité de mesure

Ce rapport signifie que 1 centimètre sur le dessin représente 1 000 centimètres sur l'objet. Une autre façon de dire est que l'échelle 1 : 1 000 signifie que les mesures du dessin sont 1/1 000 des mesures réelles de l'objet.

Règle générale, les grandeurs comparées dans le rapport ont les mêmes unités de mesure. Cependant, quelquefois on donne le rapport en utilisant des unités différentes. Dans ce cas, il faut écrire les unités.

Ainsi, on peut écrire sans préférence : 1 : 1 000 ou 1 cm représente 10 m (1 m = 100 cm).



THÉORIE

25

+)))))))))), * Exemples * .))))))))))

1) L'échelle 10 : 1 indique que 10 unités sur le dessin représentent 1 unité sur l'objet. (L'objet est agrandi).

2) L'échelle 1 : 5 indique qu'une unité sur le dessin représente 5 unités sur l'objet. (L'objet est réduit).

Puisque l'échelle s'exprime sous la forme d'un rapport, la loi des proportions est utilisée pour résoudre des problèmes.

+)))))))))), * Exemples * .))))))))))

1) Sur un diagramme, 1 : 5 représente l'échelle de grandeur.

a. Comment doit-on interpréter cette échelle? b. Sur le diagramme, on mesure une distance de 7 centimètres. Calculer la

mesure de la distance réelle correspondante. c. Si on a mesuré une distance de 6 centimètres sur l'objet, calculer la mesure

correspondante sur le diagramme.

a. Une unité de longueur sur le diagramme représente 5 unités de longueur dans la réalité.

b. Si 1 centimètre (dessin) = 5 centimètres (objet)et 7 centimètres (dessin) = x (objet)

On peut écrire 1 = 5 7 = x x = 35 centimètres

La distance réelle est 35 centimètres.



THÉORIE

26

c. 1 = x5 65x = 6 x 15/ x = 65/ 5

x = 1,2 centimètre

La distance sur le dessin est 1,2 centimètre.

2) Sur une carte géographique l'échelle est la suivante : 1 centimètre représente 177 kilomètres. Si la distance entre deux villes est de 6,8 centimètres sur la carte, calculer la distance réelle entre les deux villes.

La distance réelle entre les deux villes : x

1 = 6,8 177 x x = 177 x 6,8

x = 1 203,6 kilomètres

La distance entre les deux villes est 1 203,6 kilomètres.

3) Sur un diagramme, une distance mesure 16 centimètres. Si la distance réelle est 4 centimètres, trouver l'échelle utilisée. [Il s'agit de trouver la distance (sur l'objet) représentée par 1 centimètre (sur le diagramme)].

16 = 1 4 x16x = 4

1/ 6/ x = 4/1/ 6/ 1/ 6/

4

x = 1/4

L'échelle utilisée est 1 : 1/4 ou 4 : 1.



EXERCICE 7

27

1. Trouver l'échelle correspondante à chaque cas.

Distance sur le diagramme Distance réelle

a. 2,5 centimètres 5 kilomètres

b. 2 centimètres 100 centimètres

c. 20 centimètres 200 centimètres

d. 6 centimètres 2 centimètres

2. Dire ce que signifie chacune des échelles suivantes associée à un diagramme.

a. 100 : 1 c. 1 : 5 b. 250 : 1 d. 1 : 2,5

3. Compléter le tableau.

Échelle utilisée Longueur du dessin Longueur réelle de l'objet

a. 1 : 25 4 centimètres

b. 1 : 5 4,5 centimètres

c. 1 : 2,5 7,5 centimètres

d. 3 : 20 12 centimètres

4. Sur une carte la distance entre deux villes est 17 centimètres. Si une distance de 10 centimètres sur cette carte représente 25 kilomètres, calculer la distance réelle entre les deux villes.

5. Dans un dessin à l'échelle d'un terrain de base-ball, 1 centimètre représente 5,7 mètres. e erCalculer la distance entre le 3 et le 1 but, si elle est représentée par 6,8 centimètres

sur le diagramme.



EXERCICE 7

28

6. La longueur d'une piste de course est 250 mètres. Si l'échelle utilisée est : 3 centimètres représentent 50 mètres, quelle longueur aura le dessin de la piste?

7. L'échelle sur la carte est : 1 centimètre représente 250 kilomètres.

a. Calculer la distance réelle si, sur une carte, elle est de 4,6 centimètres. b. Si la distance entre deux villes est 1 000 kilomètres, calculer cette distance sur

la carte.



EXERCICE DE RENFORCEMENT

29

5.0 EXERCICE DE RENFORCEMENT


a. 30 : 75 b. 27 à 81 c. 6 centimètres à 15 centimètres d. 2 minutes à 1 heure e. 16 : 20 f. 48 à 72 g. 1/3 à 1 2/3 h. 49 à 3 1/2 i. 4,5 à 10 j. 0,1 à 0,3

2. Simplifier les taux suivants.

a. 264 kilomètres en 3 heures; b. 5 pommes pour 95 ¢; c. 400 mètres dans 50 secondes.

3. Vérifier si chacune des paires de rapports forme une proportion.

a. 3/4 et 15/20 b. 1 : 8 et 10 : 8 c. 6/8 et 4/6 d. 4/10 et 18/45




30

4. Trouver le terme manquant dans les proportions suivantes.

a. 20 = a f. 1,25 = 425 45 a 12

b. 2 = x g. 3 = 453 42 b 27

c. 2,4 = 18 h. 3 = 722,8 b b 6

d. x = 25 i. 0,04 = 0,612 20 0,12 m

e. 0,7 = n j. 21 = 7/100,9 36 x 3/5

5. En faisant fondre 120 litres de neige, on a obtenu 8 litres d'eau. Calculer le nombre de litres d'eau obtenu lorsqu'on fait fondre 45 litres de neige.

6. Dans une recette de vinaigrette le rapport entre le volume de vinaigre et le volume d'huile est de 1 à 3. Si on a 10 millilitres de vinaigre, combien doit-on ajouter d'huile?

7. Dans une école, il y a 120 filles pour 100 garçons. Combien y a-t-il de garçons, s'il y a 450 filles?

8. Un autobus a parcouru 540 kilomètres en 6 heures.

a. Quelle distance avait-il parcourue après 2 1/4 heures? b. Combien de temps prendra-t-il pour parcourir 2 700 kilomètres?

9. Pour peindre un mur de 3,7 mètres de longueur, on a besoin de 2 litres de peinture. Combien faudrait-il de peinture pour peindre un mur de la même hauteur et de 7,4 mètres de longueur?

10. Si une voiture consomme 4 litres d'essence pour parcourir 25 kilomètres, combien




31

de litres aura-t-on besoin pour parcourir 330 kilomètres?

11. À la suite d'un sondage, on concluait que 15 enfants sur 45 avaient des caries dentaires. Sur 900 enfants, combien seraient atteints de caries dentaires?

12. Un cheveu humain croît à la vitesse de 1,3 centimètre par mois. De combien de centimètres croîtra-t-il en 1 an?

13. On vend 6 beignes pour 2,15 $. Combien coûte 1 1/2 douzaine?

14. Voici l'échelle associée à un diagramme : 50 centimètres représente 1 centimètre.

a. Écrire cette échelle sous forme de rapport. b. Si une longueur mesure 15 centimètres sur le diagramme, calculer la mesure

réelle correspondante. c. Si on prend une mesure de 0,2 centimètre sur l'objet réel, calculer la mesure

correspondante sur le diagramme.

15. Si une distance de 800 kilomètres sur une autoroute est représentée par une longueur de 5 centimètres sur un diagramme, calculer l'échelle utilisée.

16. Sur une carte géographique, 1 centimètre représente 125 kilomètres. Si la distance entre deux villes est de 5,5 centimètres sur la carte, calculer la distance réelle qui les sépare.

17. Marc garde des enfants et demande 2,25 $/heure. Pendant combien d'heures devra-til garder des enfants s'il veut gagner 78,75 $?

18. Jeanne a couru une distance de 3,5 kilomètres en 70 minutes. Calculer sa vitesse moyenne en kilomètres par minute.

19. On a noté que 6 voitures passent devant un certain magasin toutes les




32

4 minutes. À ce rythme, combien de voitures passent en 1 heure?

20. Si 1,4 kilogramme de détergent coûte 1,65 $, calculer le prix de 1 kilogramme.


MAT 2011

CORRIGÉ (Cahier 4)

DI-AM-1991-05-27


CORRIGÉ CAHIER 4

1

BA-PG\98-03

EXERCICE 1, PAGE 3

1. a. 8 : 5 ou 8/5 c. 1 : 45 ou 1/45 b. 2 : 25 ou 2/25 d. 15 : 23 ou 15/23

2. a: 72 : 48 ou 3 : 2 c. 12 : 30 ou 2 : 5 b. 8 : 36 ou 2 : 9 d. 3 : 2

3. a. 18 : 12 c. 12 : 18 b. 12 : 30

4. a. 300 : 360 c. 360 : 810 b. 150 : 660

EXERCICE 2, PAGE 6

1. a. 5 : 3 k. 5 : 18 b. 1 : 2 l. 9 : 8 c. 5 : 1 m. 1 : 20 d. 15 : 8 n. 3 : 5 e. 20 : 1 o. 40 : 1 f. 5 : 12 p. 4 : 1 g. 2 : 1 q. 1 : 5 h. 2 : 15 r. 10 : 1 i. 5 : 6 s. 1 : 4 j. 15 : 2 t. 5 : 1

2. a. x = 4 et y = 25 b. x = 30 et y = 180 et z = 720 c. x = 14 et y = 120 et z = 315 d. x = 6 et y = 8 et z = 96

3. a. 2 : 9 c. 5 : 9 b. 2 : 5 d. 1 : 1


CORRIGÉ CAHIER 4

2

4. a. 9 : 10 b. 38 : 65 c. 38 : 65

5. a. 2 : 5 d. 2 : 3 b. 12 : 5 e. 15 : 8 c. 9 : 2

6. a. 8 : 7 c. 7 : 8 b. 8 : 15 d. 7 : 15

EXERCICE 3, PAGE 10

1. a. 7 points/partie b. 1 pamplemousse pour 12 ¢ c. 50 mots/minute d. 6 mètres/robe e. 80 kilomètres/heure f. 1 douzaine en 3 jours g. 4 000 disques/jour h. 6 minutes/partie i. 8 mètres/seconde

EXERCICE 4, PAGE 14

1. a. oui g. oui b. oui h. oui c. non i. oui d. non j. non e. oui k. oui f. oui


CORRIGÉ CAHIER 4

3

EXERCICE 5, PAGE 17

1. a. 9 n. 4/5 b. 6 o. 32 c. 10 p. 21 d. 28 q. 16 5/7 e. 35 r. 3 f. 6 s. 18 1/3 g. 6 2/3 t. 2 h. 2 7/9 u. 40 i. 133 1/3 v. 0,012 5 j. 1 1/3 w. 50 k. 3,75 x. 60 l. 17 1/7 y. 45 m. 3 5/9

EXERCICE 6, PAGE 22

1. 12 9. 3 125

2. 10 10. 450

3. 60 $ 11. 52,50 $

4. 20 12. 50

5. 12 13. 56,25 $

6. 30 14. 100

7. 784,9 15. 63


CORRIGÉ CAHIER 4

4

8. 180 16. 3 ¢

17. 123 19. 100

18. 5 kilogrammes à 3,59 $ 20. 20

EXERCICE 7, PAGE 27

1. a. 1 : 2 b. 1 : 50 c. 1 : 10 d. 3 : 1

2. a. 100 unités sur le diagramme représentent 1 unité dans la réalité. b. 250 unités sur le diagramme représentent 1 unité dans la réalité. c. 1 unité sur le diagramme représente 5 unités dans la réalité. d. 1 unité sur le diagramme représente 2,5 unités dans la réalité.

3. a. 100 centimètres c. 3 centimètres b. 22,5 centimètres d. 80 centimètres

4. 42,5

5. 38,76

6. 15

7. a. 1 150 b. 4


CORRIGÉ CAHIER 4

5

EXERCICE DE RENFORCEMENT, PAGE 29

1. a. 2 : 5 f. 2 : 3 b. 1 : 3 g. 1 : 5 c. 2 : 5 h. 14 : 1 d. 1 : 30 i. 9 : 20 e. 4 : 5 j. 1 : 3

2. a. 88 kilomètres/heure b. 1 pomme pour 19 ¢ c. 8 mètres/seconde

3. a. oui c. non b. non d. oui

4. a. 36 f. 3,75 b. 28 g. 1,8 c. 21 h. 1/4 d. 15 i. 1,8 e. 28 j. 18

5. 3 10. 52,8

6. 30 11. 300

7. 375 12. 15,6

8. a. 202,5 13. 6,45 $ b. 30

9. 4 14. a. 50 : 1


CORRIGÉ CAHIER 4

6

b. 0,3 c. 10

15. 1 centimètre représente 18. 0,05 kilomètre/minute 160 kilomètres

16. 687,5 19. 90

17. 35 20. 1,18 $


MAT 2011

DEVOIR 4ET

CORRIGÉ



DEVOIR 4

1


(12 pts) a. 80 à 32 d. 18 mois à 3 ans b. 1/2 à 3/4 e. 4 mois à 1 an c. 5 à 30 f. 3 à 1,5

2. Simplifier les taux suivants.

(3 pts) a. Un lecteur lit 750 mots en 3 minutes. b. 5 bananes coûtent 0,95 $. c. 24 mètres de tissu pour 4 robes.

3. Calculer la valeur du terme manquant.

a. 18 : 27 = x : 9 b. 12 : 24 = 48 : x

(15 pts) c. 5,6 : 3,2 = 8 : x d. 18 : 20 = x : 2 1/2 e. 4 = 6

9 x

4. En appliquant la loi fondamentale des proportions, vérifier si les rapports donnés forment des proportions.

a. 7 : 28 et 5 : 20 b. 6,5 : 1,3 et 0,5 : 0,1

(10 pts) c. 28 : 24 et 7 : 6 d. 0,3 : 1/2 et 3 : 4 1/2 e. 9 : 15 et 12 : 16

DI-AM-1991-06-03 BA-PG\98-04



DEVOIR 4

2

5. On a interviewé des étudiants pour connaître leur sport préféré. Voici les résultats obtenus. natation 600 cyclisme 80 ski 250 baseball 120 hockey 150

Écrire:

(10 pts) a. le rapport natation : ski; b. le rapport ski : hockey; c. le rapport cyclisme : hockey; d. le rapport baseball : natation; e. le rapport natation : total des étudiants.

6. Claudette conduit sa bicyclette à une vitesse moyenne de 20 kilomètres par (6 pts)heure. Si elle participe à une randonnée cycliste de 3,6 heure, calculer la distance totale parcourue.

(6 pts)7. Si 5 verres coûtent 2 $, quel est le prix de 24 verres?

8. Un artisan tisse 120 mètres de toile en 50 jours. Combien lui faut-il de temps (6 pts) pour tisser 8,6 mètres de tissu? (Réponse au 0,1 près)

9. Le rapport entre la longueur d'une salle et sa largeur est de 3 à 2. Si cette (6 pts) salle a 14 mètres de largeur, calculer sa longueur.

10. Pierre économise 64 $ en 7 semaines. À ce rythme, combien économisera- (6 pts) t-il en 77 semaines?

11. Sur une carte géographique, 1 centimètre représente 250 kilomètres.

(8 pts) a. Si la distance entre deux villes est 2,5 centimètres sur la carte, calculer la distance réelle qui les sépare. b. Si une automobiliste parcourt une distance de 475 kilomètres, calculer la

distance correspondante sur la carte.



DEVOIR 4

3

12. Un fleuve a 4 200 kilomètres de long, mais sur une carte il ne mesure que (2 pts) 28 centimètres. Quelle est l'échelle sur cette carte?

13. Effectuer les calculs suivants.

a. Changer 2,08 en fraction. b. Changer 2/3 en notation décimale.

(10 pts) c. 2 3/4 ÷ 1 1/4 d. 2/3 x 1/2 + 2/3 x 1/4 e. Simplifier 36/60.


CORRIGÉ DEVOIR 4

1

1. a. b. c.

5 : 2 2 : 3 1 : 6

d. e. f.

1 : 2 1 : 3 2 : 1

2. a. b.

250 mots/minute 1 banane 19 ¢

c. 6 mètres/robe

3. a. b. c.

6 96 4 4/7

d. e.

2 1/4 13,5

4. a. b. c.

oui oui oui

d. e.

non non

5. a. b. c.

12 : 5 5 : 3 8 : 15

d. e.

1 : 5 1 : 2

6. 72 11. a. b.

625 1,9

7. 9,60 $ 12. 1 centimètre représente 150 kilomètres

8. 3,6 13. a. b. c.

2 2/25 d. 0,6 2 1/5

1/2 e. 3/5

9. 21

10. 704 $

FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2011 CAHIER 4...

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