Formation des images par des

surfaces simples

Filières SM et SMI, année 2006-2007

H. EL RHALEBUniversité Mohammed V, Rabat, AgdalFaculté des Sciences, Département de Physique,Laboratoire de Spectronomie Moléculaire, d’Optique et d’Instrumentation Laserelrhaleb@fsr.ac.ma

2/40

Ce chapitre étudie en détailles surfaces simples, c'est-à-dire les dioptres et les miroirs plans ou sphériques dans le but d'associer de telles surfaces pour former de véritables systèmes optiques (lentilles,...)

Dans chaque cas, on se place dans l'approximation de Gauss et on établit les relations essentielles (relations de conjugaison, distances focales,...) liées à ces systèmes optiques "élémentaires".

3/40I – Les surfaces réfractantesI.1 Le dioptre

sphérique I.1.1 Définition

n n´axe

optiqueSC

+

Un dioptre sphérique est une portion de sphère caractérisée par son centre de courbure C, son rayon de courbure et par les indices de réfraction n et n´ de part et d'autre de sa surface.

+

n n´

S C

Le point, S sommet du dioptre correspond à l'intersection de sa surface avec l'axe optique.

SC

0SC0SC

4/40

I.1.2 Relation de conjugaison, grandissements

I.1.2.a - Relation de conjugaison de

Descartes On repère les positions de l'objet A et de son image

A´ à partir d'une origine; le choix le plus simple consiste à prendre l'origine au sommet S. Il existe d'autres choix possibles (origine au centre C par exemple).

5/40

Considérons un point objet A sur l'axe optique et A´ son image. Si nous supposons que n´ < n. Compte tenu du sens de propagation de la lumière, choisi comme sens positif, on constate que SA, SA´ et SC sont négatifs.

n n´

+

AA´

N

H SCαα´ ω

i´

i

I

n<

6/40

Dans les triangles AIC et A´IC nous pouvons écrire (les angles étant comptés positivement s'ils sont orientés dans le sens trigonométrique) respectivement :

Au point I, la loi de Snell-Descartes s'écrit :

et

ωα i ωα i´

i´sin´nisinn i´nin ´

n n´

+

AA´

N

H SCαα´ ω

i´

i

I

7/40

En combinant ces trois relations, on obtient :

Par ailleurs, l'approximation de Gauss nous permet de confondre les points H et S et d'écrire :

et de la même façon :

CSHItan ωω

ASHIα

S´AHIα´

´´nn´nn ααω

8/40En reportant ces valeurs dans l'équation : ω(n-n´) = nα – n´α´, on obtient la relation de conjugaison (de Descartes)

avec l'origine au sommet, valable quel que soit le point I :

On peut choisir l'origine au centre C; dans ces conditions, cette dernière équation devient :

SC´nn

´SA´n

SAn

CS´nn

CA´n

´CAn

9/40

Nous devons construire l'image B´ du point B. Pour cela nous orientons les objets et les images, puis nous effectuons une construction géométrique utilisant un rayon passant par S et un rayon passant par C. Le rayon passant par S subit une réfraction tandis que celui passant par C, confondu avec un rayon de la sphère, n'est pas dévié.

i´

iA´

B´

A

B

+

n

n´

SC

+

I.1.2.b - Grandissements transversal

10/40

En appliquant n i = n´ i´ on en déduit :

et

Pour les mêmes raisons que ci-dessus :

´SA´B´A´iitan

SAAB

iitan

AB´B´Aγ

SA´SA

´nnγ

i´

iA´

B´

A

B

+

n

n´

SC

+

11/40I.1.2.c - Le grandissement longitudinal est :

On retrouve bien le fait qu'objet et image se déplacent dans le même sens.

Par définition : soit :

I.1.2.d - Grandissement angulaire

0SA

´SA´n

nn´n

2

2

γγ

i´iGa

´SASA

Ga

12/40

foyer image

foyer objet´n

I.1.3 Éléments cardinaux du dioptre sphérique

Nous savons que le foyer image F´ est le point conjugué d'un point objet situé à l'infini sur l'axe

optique :

I.1.3.a - Foyers et distances

focales

De même le foyer objet est le point conjugué d'un point image situé à l'infini sur l'axe optique. La relation de conjugaison donne immédiatement la position des foyers :

avec

nn

SCSFn´n´n

SC´SF

SCSF´SF

F´A´SA

13/40

Le dioptre est dit convergent si ses foyers sont réels (F dans l'espace objet, F´ dans l'espace image) :

Il est dit divergent si ses foyers sont virtuels (F dans l'espace image, F´ dans l'espace objet) :

et

et

0SF 0´SF

0´SF 0SF

14/40

Figure (a) Figure (b) Figure (c) Figure (d)

n´ - n < 0 > 0 > 0 < 0

< 0 > 0 < 0 > 0

< 0 réel > 0 réel > 0 virtuel > 0 virtuel

> 0 réel > 0 réel < 0 virtuel < 0 virtuel

dioptre convergent convergent divergent divergent

et

et

avec

SF

´SF

´SF R´, SCRSF

SC

SF

´SF

sont les distances focales objet et image.

15/40

SF´

++

S

SF´

+

F´

+

SF´

Figure (a) Figure (b)

Figure (c) Figure (d)

n

n´

n

n´

n

n´

n

n´

16/40

n n n nV

SA´ SA SF´ SF

Dans le cas du dioptre sphérique, on a donc l'expression :

En introduisant cette grandeur, la relation de conjugaison peut s'écrire :

On rappelle que la vergence s'écrit :

I.1.3.b Vergence

[5]

On retrouve bien le fait que, si V > 0, le dioptre est convergent et, si V < 0, le dioptre est divergent.

SFn

´SF´n

V

SCn´n

V

17/40

ou relation de conjugaison de Newton.

Si on pose :la relation de conjugaison :

devient :

Exercice

et

VSFn

'SF´n

SAn

´SA´n

´σσ

FAσ ´A´Fσ

18/40

Les plans principaux sont confondus avec le plan tangent en S (sommet) au dioptre (dans un schéma, on peut donc remplacer le dioptre par son plan tangent en S).

Les points nodaux sont confondus avec le centre du dioptre.

I.1.3.c Plans principaux et points nodauxL'exploitation de la relation γ = 1 conduit sans

difficulté à :

L'exploitation de Ga = 1 donne de la même façon :

SC´´SNSN

0SH´SH

19/40

n'n

I.2 Le dioptre planC'est un cas particulier du dioptre sphérique pour

lequel le rayon de courbure est infini : donc V = 0. Les foyers sont rejetés à l'infini, le dioptre plan

est un système afocal.

n´ < n

n'nA A´

n'n

A´

An´ > n

A´A

n'nA´ A

SC

20/40

La relation de conjugaison donne :

et sont toujours du même signe donc un objet réel donne une image virtuelle et inversement.

et par suite le grossissement et le grandissement angulaire deviennent :

et

n´nA A´

n´n

A´

A

Remarque 1 : Le dioptre plan est rigoureusement stigmatique pour les points à l'infini et les points de sa surface.

´SA SA

´n/nGa 1γ

SAn

´SA´n

21/40II – Les surfaces réfléchissantesII.1 Le miroir

sphérique II.1.1 DéfinitionDans l'approximation de Gauss, un miroir

sphérique est une calotte sphérique réfléchissante de centre C et de sommet S. La droite passant par ces points C et S est l'axe optique.

Miroir convexe

+

CS C

Miroir concave

+

S

0SC0SC

22/40

Remarquons que l'espace image est replié sur l'espace objet. Les objets et images virtuels sont situés "de l'autre côté du miroir".

II.1.2 Relation de conjugaison, grandissements

Pour déterminer la relation de conjugaison, on procède de la même façon que pour le dioptre sphérique.

II.1.2.a - Relation de conjugaison de Descartes

23/40Triangle AIC et A´IC : α – i = ω et ω + i´ = α´

et on en déduit :Or ,

Loi de Snell-Descartes : i = - i´ ; donc α + α´ = 2ω.

A´A Hα´α ωi´

i

+

SC

nI

CSHIω

ASHIα

S´AHI´α

SC2

´SA1

SA1

24/40

On remarque que la relation de conjugaison du miroir sphérique peut se déduire directement de celle

du dioptre sphérique en écrivant n´ = - n. En effet pour le dioptre, on utilise la loi n i = n´ i´, tandis que,

pour le miroir, on utilise i = - i´.

SC2

´SA1

SA1

SC´nn

´SA´n

SAn

25/40II.1.2.b Grandissement transversal et

grandissement longitudinal

D'après la figure, on peut écrire :

et SAAB

i´SA

BAi

A SC

B+

ii´

A´B´

La loi de réflexion donne i = - i´ en déduit :

[9]SA

´SAAB

BA -

26/40Le grandissement longitudinal est :

objets et images se déplacent en sens inverse.

II.1.2.c Grandissement angulaire Il est évident que

:[10]

´SASA

Ga

022 nn

27/40

II.1.3 Éléments cardinaux du miroir sphérique

Par définition des foyers, si , A´  F´ = foyer image et si , A  F = foyer objet. La relation [8] montre que les foyers sont confondus.

[11]

On obtient :

SA´SA

2SC

´SFSF

II.1.3.a Foyers et distances focales

28/40

Pour un miroir convexe, SF > 0 et SF´ > 0, les foyers sont virtuels, le miroir est dit divergent.

SC

F:F´

miroir convexe

Pour un miroir concave, SF < 0 et SF´ < 0, les foyers (confondus) sont réels, le miroir est dit convergent.

miroir concave

C SF

F´

29/40II.1.3.b Vergence

ce qui permet d’écrire la relation de conjugaison sous la forme :

V > 0 pour un miroir concave et V < 0 pour un miroir convexe.

Elle est égale à

[12]

La relation de conjugaison de Newton s'écrit ici : 2´ σσ

SC2

´SF1

SF1

V

V´SA

1SA1

30/40

L'exploitation de la relation  = 1 conduit sans difficulté à :

Les plans principaux sont confondus avec le plan

tangent en S (sommet) au miroir (dans un schéma, on

remplace le miroir par son plan tangent en S).

II.1.3.c Plans principaux et points nodaux

L'exploitation de Ga = 1 donne de la même

façon :

Les points nodaux sont confondus avec le centre C du miroir.

0´SHSH

SC´´SNSN

31/40II.2 Le miroir planC'est le cas particulier du miroir sphérique pour

lequel le rayon de courbure est : donc V = 0 (afocal) ; la relation de conjugaison s'écrit :

et sont toujours de signes opposés donc un objet réel donne une image virtuelle et inversement.

A SA´

A´ S A

I I

Les relations [9] et [10] donnent : 1Ga

1γ

SA ´SA

SC

0´SASA

32/40

Comme nous travaillons dans les conditions de Gauss, un miroir sphérique sera quasiment confondu avec son plan tangent en S.

Modélisation et constructions

Le problème usuel est de construire l’image d’un objet AB perpendiculaire à l’axe optique.Le système étant aplanétique, il suffit de trouver

l’image B´ de B puis de projeter B´ sur l’axe optique pour trouver A´.

concave convexe plan

33/40

A

B

B´

A´

Construire l’image B´ de B ne nécessite que deux rayons lumineux parmi les quatre fondamentaux.

3- Le rayon passant par C revient sur lui-même.

2- Le rayon passant par B et S revient symétriquement par rapport à l’axe optique.

4- Le rayon passant par B et F revient parallèlement à l’axe optique.

1- Le rayon issu de l’infini, parallèle à l’axe optique et passant par B revient en passant par F.

C SF

34/40Exercice d’application : Miroir concave

A

B

B´

A´CF

S

C FS

A´

B´

B

A

Objet réel avant C1

Objet réel entre C et F2

Ces 2 cas se déduisent l’un de l’autre par le principe du retour inverse.

Image réelle -1 < γ < 0

Image réelle γ < -1

35/40

Objet réel entre F et S3

A´

B´

CF S

B

A

Image virtuelle γ > 1

Objet virtuel4

Image réelle 0 < γ < 1A

BB´

A´C F S

Ces 2 cas se déduisent l’un de l’autre par le principe du retour inverse.

36/40

Objet

Image

F SC

C F S

γ < -1

-1 < γ < 0

0 < γ < 1 γ > 1

37/40Exercice d’application : Miroir convexe

Objet réel 1

Objet virtuel entre S et F 2

Image virtuelle 0 < γ < 1

Image réelle γ > 1

A

BB´

A´S CF

A´

B´B

ASC

F

38/40

Objet virtuel entre F et C 3

Image virtuelle γ < -1

A´

B´

B

ASC

F

Objet virtuel après. 4

Image virtuelle

-1 < γ < 0

A´

B´

B

AS CF

39/40

Objet

Image

F´ CS

S F´ Cγ > 1 0 < γ < 1

-1 < γ < 0

γ < -1

FIN