page 1 Philippe Hautcoeur Philippe.Hautcoeur@ac-nantes.fr INTRODUCTION A LA MECANIQUE ANALYTIQUE Formalisme de Lagrange page 2 SOMMAIRE Chapitre 1- Principe des travaux (puissances) virtuel(le)s 1.Prambule : diffrentielles et drives virtuelles 1.1Diffrentielles virtuelles 1.2Drive virtuelle 2. Dplacement et vitesse virtuels : dfinitions 2.1 Dplacement virtuel 2.2 Vitesse virtuelle 3. Travail et puissance virtuels Principe de dAlembert 3.1 Dfinition 3.2 Principe de dAlembert 3.3 dmarche lors de lapplication du principe de dAlembert 3.4 Application Exercice dapplication Chapitre 2- Equations de Lagrange 1.Rappels : principe de dAlembert et puissance virtuelle 2.Vitesses virtuelles compatibles avec les liaisons telles quelles existent linstant t 2.1 Configuration du systme linstant t 2.2Liaisons imposes au systme 2.2.1 les liaisons holonmes 2.2.2 les liaisons non-holonmes 2.2.3 Exemple 2.3 Vitesses virtuelles compatibles avec les liaisons telles quelles existent linstant t 2.3.1 Exemples 3. Puissance virtuelle dveloppe par les actions mcaniques 3.1Forme gnrale de la puissance 4. Puissance virtuelle dveloppe par les quantits dacclration 5. Forme gnrale des quations de Lagrange 5.1 Nouvelle criture du principe de dAlembert 5.2 Choix des vitesses virtuelles 5.3Calcul de la puissance virtuelle dans quelques cas particuliers courants 5.3.1Puissance virtuelle dveloppe par les actions mcaniques appliques un solide parfait dans une transformation virtuelle.5.3.2Puissance virtuelle dveloppe par les actions de liaisons intrieures dans une transformation virtuelle 5.3.3Puissance virtuelle dveloppe par les actions donnes drivant dun potentiel dans une transformation virtuelle 5.3.4Cas des systmes liaisons parfaites pour lesquels les forces donnes drivent toutes dun potentiel 5.4Equations de Lagrange pour un champ de vitesses virtuelles compatible avec les liaisons holonmes et les liaisons non-holonmes : les multiplicateurs de Lagrange. 5.5Variante dans la dcomposition des forces gnralises 6. Utilisation des quations de Lagrange pour dterminer des inconnues de liaison 6.1le principe 6.2exemple du pendule simple 7. Intgrales premires 7.1Intgrale premire linaire par rapport aux iq& 7.2Intgrale premire de Painlev 8. Synthse Exercices dapplication Principe des travaux (puissances) virtuel(le)s page 3 1 1.Prambule : diffrentielles et drives virtuelles 1.1Diffrentielles virtuelles soit une fonction de n+1 variables q1,q2,qn,t : f(qi , t) sa diffrentielle relle est : +=niidttfdqqfdf1) ( o dqi et dt sont les diffrentielles des qi et t. Si t est le temps, les variations des paramtres qi seffectuent suivant des lois qi=qi(t) et f est finalement une fonction du temps par lintermdiaire des qi. Par dfinition, on appellera diffrentielle virtuelle de f linstant t lexpression : =nii dqqfdf1

par rapport lexpression prcdente, le temps est fig , dt=0 exemple : + + + =+ + + + =+ = d t x dx t dfdt d t x dx t dft x t x f) cos( ) sin() )( cos( ) sin() sin( ) , , ( 1.3 Drive virtuelle soit une fonction de n+1 variables q1, q2,qn, t : f(qi , t) sa drive relle est : + = niidttfqqff1) ( o les qi sont les drives des qi(t). Par dfinition, on appellera drive virtuelle de f linstant t fig lexpression : = nii qqff1 exemple : page 4 ) cos( ) sin() cos( ) ( ) sin() sin( ) , , ( + + + = + + + + = + = t x t x ft x t x ft x t x f 2. Dplacement et vitesse virtuels : dfinitions 2.1 Dplacement virtuel La position dun point M est dfinie par son vecteur position) , ( t x OMi. Si on assimile le dplacement lmentaire (infinitsimal) du point M sa diffrentielle relle : +=niitOMdxxOMOM d1) ( on peut associer un dplacement virtuel du point M sa diffrentielle virtuelle : M dxxOMOM dniir ==1* le dplacement virtuel est gnralement not :M 2.2 Vitesse virtuelle Par un raisonnement analogue au prcdent, la vitesse relle du point M scrit : + = =niitOMxxOMdtOM dM V1) ( ) (On appellera alors vitesse virtuelle du point M la drive virtuelle de) , ( t x OMi : =niixxOMM V1) ( 3. Travail et puissance virtuels Principe de dAlembert 3.1 Dfinition Raisonnons sur une particule M. Le travail virtuel est le rsultat du produit scalaire dune force applique la particule par un dplacementinfinitsimalconuendehorsdutempsquenousavonsappelprcdemment dplacement virtuel : Principe des travaux (puissances) virtuel(le)s page 5 1 M M F W ). ( = Delammemanire,nouspouvonsdfinirlapuissancevirtuellecommetantleproduit scalaireduneforceappliquelaparticuleparsavitessevirtuellequenousavonsdj dfinie : ) ( ). ( M V M F P =r r 3.2 Principe de dAlembert Le principe fondamental appliqu une particule scrit : nF F F a mr r rr+ + + = ... .2 1 Si nous multiplions scalairement par un vecteurUrles deux membres de lexpression prcdente, nous obtenons : U t U F U F U F U a mnr r r r r r r rr + + + = , . ... . . . .2 1 Ceci tantvrai pour nimporte quelvecteurUr et indpendemment du temps nous pouvons crire par exemple : M F M F M F M a mn . ... . . . .2 1r r rr+ + + = o M a m . .rreprsente le travail virtuel de la quantit dacclration et lesM Fi .rle travail virtuel des forces appliques. On en dduit une premire forme du principe de dAlembert : Pour une particule, le travail virtuel de la quantit dacclration galilenne est dans toutdplacementvirtuelgallasommedestravauxvirtuelsdetouteslesforces appliques. Mais, nous pouvons aussi crire : ) ( . ... ) ( . ) ( . ) ( . .* *2*1*M V F M V F M V F M V a mnr r r r r r rr+ + + = expression qui traduit une seconde forme du principe de dAlembert : Pour une particule, la puissance virtuelle de la quantit dacclration galilenne est danstoutetransformationvirtuellegalelasommedespuissancesvirtuellesde toutes les forces appliques. Dans le cadre de la mcanique du solide indformable, nous devons prendre en compte des champs de dplacement virtuel ou de vitesse virtuelle rigidifiant, cest dire vrifiant la relation de Varignon : page 6 + = AB B A o par analogie,sera une rotation virtuelle. et * * *) ( ) ( + =r r rAB B V A Vo par analogie, *rsera un taux de rotation virtuel. Finalement , le principe de dAlembert pour un solide, scrira : letravailvirtuel(lapuissancevirtuelle)delaquantitdacclrationdusolidepar rapport un repre galilen est dans toute transformation virtuelle gale la somme destravauxvirtuels(puissancesvirtuelles)detouteslesactionsmcaniques extrieures appliques au solide. 3.3 dmarche lors de lapplication du principe de dAlembert Lechoixduchampdedplacementvirtuel(desvitessesvirtuelles)sefaitenfonctiondes effortsquelonsouhaitemanipuler.Onvadoncchoisirunchampdedplacement(de vitesses) qui fera travailler cesefforts. Prenonslexemple simpliste dune table reposant sur ces quatre pieds. Celle ci est immobileet aucun effort travaille, parconsquent un observateur extrieurna aucuneidedeseffortsquiagissentsurcettetable.Nanmoins,pourvaluerlepoidsde lobjet,lobservateuressaieradesouleverlatable.Dautrepartpourvaluerlesefforts tangentiels de contact dus ladhrence des pieds sur le sol, lobservateur fera glisser la table etc Parconsquent,danslepremiercas,sionsouhaitecrireunequationfaisantintervenirle poidsparleprincipedestravaux(puissances)virtuels,onchoisiraundplacement(une vitesse)suivantyr.Delammemanire,enchoisissantundplacement(unevitesse) suivantxr, on crira une quation prenant en compte les efforts tangentiels 3.4 Application On se propose de dterminer le couple ncessaire appliquer unrouleau cylindrique qui remonte une pente en roulant sans glisser : *ou yV y poids y x *ou xV x adhrence Principe des travaux (puissances) virtuel(le)s page 7 1 Le rayon de la base du rouleau et le moment dinertie du rouleau par rapport ) , ( z Grsont nots respectivement r et J. Dautre part, seuls m,, r, J, et x& &sont connus. Lapplication du principe fondamental au rouleau dans son mouvement permet dcrire trois quations : & && &J rTmg Nx m mg T = + = = 0 cossin aussi la condition de roulement sans glissement en I permet dcrire une relation entrex& &et & &, ce qui permet de donner lexpression du couple en fonction des donnes. Appliquonsle principe des travaux virtuels : nousdevonsdansunpremiertempsdterminerlesquantitsdacclrationdansle mouvement rel du rouleau, cest dire le torseur dynamique du mouvement du rouleau par rapport la pente : { } ===z J pente rouleaux x m G a mDGpente rouleauGpente rouleaur& &rr& &r ) / () (// maintenant,ilfautfaire travailler lecoupleenchoisissantunerotationvirtuelle-. Mais attention, dans ce mouvement virtuel, la composante tangentielle T va aussi travailler et apparaitra dans lquation : Wcouple + WT = Wqda nilepoids,nilacomposantenormaleNnetravailledanscemouvementvirtuel.Cequi donne : x y G -mg N T I x page 8 & &J rT = soit : & &J rT = Dans cette quation, quon a dj crite en appliquant le thorme du moment au rouleau en projectionsurzr,apparatTquiestuneinconnue.Donclideconsistecrireuneautre quation donnant T en fonction des grandeurs connues. Faisons travailler T en choisissant un dplacement virtuel x. On crira alors que dans ce dplacement virtuel : WT + Wpoids = Wqda Dans le dplacementvirtuel retenu, ni le couple , ni la composante normale N ne travaille. On obtient alors : x x m x mg x T & & = sinsoit : x m mg T & & = sin Onretrouvelquationissuedelapplicationduthormedelarsultanteenprojectionsur xr. Pour finir, il suffit dcrirela condition de roulement sansglissement en I, ce qui permet de donner lexpression du couple en fonction des donnes. Danslecasdelapplicationduprincipedespuissancesvirtuelles,ladmarcheest exactementidentiquelaprcdente :oncriradeuxquationsenconsidrantdansun premier temps une vitesse de rotation virtuelle-*&porte parzrpuis dans un second temps une vitesse virtuelle *x& suivantxr. Soit : * * * & & & & &J rT = * * *. . sin . x x m x mg x T & & & & & = Eneffet,oncritquelapuissancevirtuelledesquantitsdacclrationestgalela puissance virtuelle des actions extrieures. Dterminons la puissance virtuelle des quantits dacclration : pour un solide S en mouvement par rapport R on aura : =Sdm P V R P a R S a P ) ( ). / ( ) / , (* *rr r or, le champ des vitesses virtuelles tant rigidifiant pour un solide, on a : * * *) ( ) ( + =r r rPG G V P Vsoit : Principe des travaux (puissances) virtuel(le)s page 9 1 | |dm PG R P a dm G V R P a R S a PS S + =* * *). / ( ) ( ). / ( ) / , (rrr r cest dire : * * *). / ( ) ( ). / ( ) / , ( + =r r rr rR S G V R G a m R S a PG dans le cas qui nous intresse on a dune part : * * *) / , ( & & && & &rJ x x m pente rouleau a P + =et dautre part : * * *) ( .) sin ( ) / ( && = rT x mg T pente rouleau rouleau P Do les rsultats obtenus prcdemment. Nousvenonsderaisonnerdemanireintuitive.Ladmarchepeuttreplussystmatique. Elleconsistecrirelavitesserelledunpointdusolide,dechoisirunetransformation virtuellecompatibleaveclesliaisons,etdecalculerlesdiffrentstravauxoudiffrentes puissances : dterminons le torseur cinmatique du mouvement du rouleau par rapport la pente : { }= = =x x VzVpente rouleau Gpente rouleauGpente rouleaur&rr&r) / () / (/ On en dduit les lments virtuels compatibles : le torseur cinmatique virtuel : { }= = = x x VzVpente rouleau Gpente rouleauGpente rouleau r&rr&r*) / (**) / (**/ le torseur de dplacement virtuel :{ }= ==x x Gzpente rouleau Gpente rouleauGpente rouleau rrrr ) / () / (/ Ensuite, il faut mettre en place le torseur des actions mcaniques extrieures au rouleau : { }+ = + ==z rT My mg N x mg T RTrouleau rouleau Grouleau rouleauG rouleau rouleaurrr rr) () sin ( ) cos () () ( et le torseur dynamique : { } ===z J pente rouleaux x m G a mDGpente rouleauGpente rouleaur& &rr& &r ) / () (// page 10 Maintenant on calcule les diffrents travaux virtuels : le travail virtuel des actions extrieures : { } { } ) ( ) sin ( ./rT x mg T TGpente rouleauG rouleau rouleau+ = le travail virtuel des quantits dacclration : { } { } & && & J x x m DGpente rouleauGpente rouleau+ =/ /. ou des diffrentes puissances virtuelles : le travail virtuel des actions extrieures : { } { }* */*) ( ) sin ( . && rT x mg T V TGpente rouleauG rouleau rouleau+ = le travail virtuel des quantits dacclration : { } { }* */*/. & & && & & J x x m V DGpente rouleauGpente rouleau+ = On en dduit, compte tenu du principe de dAlembert : ) ( ) sin ( = + rT x mg T J x x m& && &ou * * * *) ( ) sin ( &&& & && & & = + rT x mg T J x x m soit : & &J rT = x m mg T & & = sin Principe des travaux (puissances) virtuel(le)s page 11 1 Exercice dapplication (dure estime 2 heures) Extrait de lpreuve de physique de lagrgation externe de mcanique de 1991 Soit un double pendule reprsent sur la figure ci-dessous. On se propose dappliquer le principe des puissances virtuelles : pour calculer la valeur des couples moteur C1 et C2 installer sur chaque axe darticulation pour obtenir des trajectoires imposes, pour dterminer la tension dans le premier pendule, 1.Calculs pralables 1.1calculer lexpression vectorielle de la vitesse relle, en projection dans R1, du centre dinertieG1etlavitessevirtuellecompatibleaveclesliaisons.G1estdfinipar 1 1 1z b OGr=avec 1zrvecteur colinaire 2 1O O et 1 2 1a O O = . 1.2calculer lacclration 1Garacclration de G1 en projection dans R1. 1.3CalculerlexpressionvectorielledesvitessesrellesetvirtuellesdeG2telque 2 2 2z b OGr=avec 2zrvecteur colinaire 2 1E O . Projeter dans R1. 1.4Calculer lacclration 2Garacclration de G2 en projection dans R1. 1.5DterminerlapuissancevirtuelledissipeparlesforcesdinertieenG1 etenG2. Dans la suite du problme on supposera que la force dinertie en G2 est ngligeable par rapport la force dinertie en G1. 1.6Dterminerla puissance virtuelle dissipes par les raideurs en rotation K1et K2 des paliers en O1 et O2. 1.7Dterminerlapuissancevirtuelledissipeparlesmoteursinstallssurlesaxes ) , (1 1y Oret) , (2 2y Ordlivrant les couples C1 et C2. 2.Calcul des couples moteurs C1 et C2 2.1CalculerlescouplesC1etC2installerenO1etO2pourobtenirlestrajectoires imposesenE1etE2,etvaincrelespesanteurenG1etG2,lesinerties(enG1 uniquement), les raideurs K1 et K2. 3.Calcul de la tension dans le pendule S1 3.1 S1 reprsente la barre O1O2 du double pendule. Pour le calcul de la tension T, on cre une vitesse virtuelle dlongation 1*z ar& . Que deviennent les vitesse virtuelles de G1 et de G2 ?Ecrire le principe des puissances virtuelles. Montrer quon retrouve C1 et C2 et quon peut calculer T. page 12 x0 z0 z1 z2 x1 x2 1 2 O O1 E1O2 E2 a1 a2 K1 K2 Equations de Lagrange page 13 2 LeformalismedeLagrangeconstituelabasedelamcaniqueanalytique.Cestunoutil quipermetdcrirelesmmesquationsquelorsdelapplicationdesthormes gnraux ;ellesnapportentriendeplus.Cependant,suivantlescas,lcrituredes quationsdeLagrangeseramieuxadapte.Eneffet,ceformalismeprendencomptela globalit du systme tudi partir de son nergie cintique contrairement lapplication desthormesgnrauxquidoittenircomptedecertainsisolementsetquiimposeune stratgie rflchie. La mthodede miseenquationdunproblmeparlesquationsdeLagrangebase sur lemploidestransformationsvirtuellesestsystmatique.Elleestbienadaptepourla dtermination des quations de mouvement. LeprsentfeuilletintroduitlesquationsdeLagrangepartirducalculdespuissances virtuelles. 1.Rappels : principe de dAlembert et puissance virtuelle ConsidronsunpointmatrielPdemassedmappartenantunsystmeS .Leprincipede dAlembert se traduit par lquation suivante : dm a F d F di e.rr r= +avec : eF d r qui reprsente laction extrieure au systme auquel appartient P, iF d r qui reprsente laction intrieure, cest dire laction sur P des autres lments de S arqui est lacclration galilenne de P. il apparat vident que lon peut multiplier les deux membres de cette quation fondamentale par un vecteur arbitraire et par la vitesse virtuelle de P, ) (*P Vr, en particulier : lapuissancevirtuelledelaquantitdacclrationdusystmeparrapportun repregalilenestdanstoutetransformationvirtuellegalelasommedes puissancesvirtuellesdetouteslesactionsmcaniquesextrieuresappliquesau systme et de toutes les actions mcaniques intrieures. Soit : * * *i e qdaP P P + = 2.Vitesses virtuelles compatibles avec les liaisons telles quelles existent linstant t Le terme liaison employ ici doit tre pris au sens dquation de liaison . Dautre part, nous allons voir dans ce paragraphe une classe particulire de transformations virtuelles qui respectent les liaisons imposes au systme. 2.1Configuration du systme linstant t page 14 Danstoutcequisuitonadmettraquelesystmetudipeuttreparamtrparn paramtresgnraliss n iq q q ,..., ,...,1,indpendantsounon.Lesparamtres gnralisssontdduitsdesparamtresprimitifsenprenantencomptelesliaisons gomtriquesouholonmes.Aussi,cesparamtrespeuventtrelispardesliaisons non-holonmes, notamment en prsence de roulement sans glissement. Ainsi, le vecteur position de tout point P appartenant au systme est dfini par : ) ,... ,..., (1 n iq q q OP OP = 2.2 Liaisons imposes au systme Ilconvienticideclasserlesliaisonsendeuxcatgoriescommenouslavonsvu prcdemment : les liaisons holonmes (ou gomtriques) et, les liaisons non-holonmes (ou cinmatiques) Ladistinctionentrecesdeuxtypesdeliaisontientunegrandeplacedanslathoriede Lagrange. 2.2.1 les liaisons holonmes Dans ce cas, sionconsidreleur nombre gal h,lesquations deliaisons holonmes sont de la forme : 0 ) , ,... ,..., (1= t q q q fn i j h j ,..., 1 = 2.2.2 les liaisons non-holonmes Supposons leur nombre gal l , les quations de liaisons non-holonmes sont de la forme : 0 ... ...1 1= + + + +j n jn i ji jb q a q a q a & & &l ,..., 1 = j 2.2.3 exemple Pour mieux comprendre ce que sont ces liaisons, prenons lexemple classique dune roue de rayonR,quiroulesansglissersurunplanhorizontal,systmedanslequelnousretrouvons une liaison holonme et une liaison non-holonme . Equations de Lagrange page 15 2 Le mouvement plan de la roue est paramtr par trois paramtres primitifs x, y, et . Le contact entre S1 et S0 impose que : R y =qui est lquation dune liaison holonme. Cettequationpermetderduirelenombredeparamtresprimitifsdeuxparamtres gnraliss :x q =1 et =2q Or dans le mouvement de S1 par rapport S0, ces deux paramtres gnraliss sont lis. Eneffet,leroulementsansglissementaupointdecontactentreS1etS0 imposeque : 0 = + && R x qui est lquation dune liaison non-holonme . Remarque : cettedernirequationsintgrefacilementpourdonnerlquation :0 = + R x(conditionsinitiales nulles) qui est celle duneliaison holonme ;on dira alors que la liaison est semi-holonme. Dautre part, on retiendra quela prsence dun roulement sans glissementimplique une liaison non-holonme. 2.3 Vitesses virtuelles compatibles avec les liaisons telles quelles existent linstant t Les liaisons holonmes peuvent scrire de la manire suivante en les drivant par rapport au temps : O O1 S1 Y0 X0 Y0 X0 X1 Y1 x y SO page 16 0 ... ...11=++ ++ +tfqqfqqfqqfjnnjiij j& & & avech j ,..., 1 = On constate alors quelles ont la mme forme que les liaisons non-holonmes : 0 ... ...1 1= + + + +j n jn i ji jb q a q a q a & & &l ,..., 1 = j Onappellera vitessesvirtuelles compatiblesaveclesliaisons les *iq& quivrifientles quationsprcdentessachantquelesvitessesvirtuellessontindpendantesdutemps.On aura alors : 0 ... ...* * *11=+ ++ +nnjiij jqqfqqfqqf& & & avech j ,..., 1 =et 0 ... ...* * *1 1= + + +n jn i ji jq a q a q a & & &l ,..., 1 = j 2.3.1 Exemples exemple 1 Reprenons lexemple prcdent de la roue qui roule sans glisser sur un plan horizontal. Nous avonscritdeuxquationsdeliaison.Choisirdesvitessesvirtuellescompatiblesavecles liaisons consiste crire que les *iq doivent vrifier ces quations. Soit : R y =cest dire0 = y& , qui implique 0*= y&et0 = + && R x , qui implique0* *= + && R x exemple 2 Considrons un point matriel P pouvant se dplacer sur une tige T anime dun mouvement de translation suivant) , (0y Or. On a : 021.21y at OOr=Oncherchedterminerlavitessevirtuellecompatibleaveclaliaisontellequelleexiste linstant t . On pose 0 0. . y y x x OPr r+ =Ici, x et y sont lis. Equations de Lagrange page 17 2 Ecrivons lquation de liaison, cest dire lquation donnant y en fonction de x. On a : tan212x at y + =cette quation holonme scrit aussi :021tan2= at x y ( ) , , ( t y x f ) Endrivantcettequationparrapportautemps,onobtientunerelationentrelesvitesses relles : 0 tan = at x y & &Par consquent, les vitesses virtuelles compatibles aveclaliaisonholonmedoivent vrifier cette quation, soit : 0 tan* *= x y & & 3.Puissance virtuelle dveloppe par les actions mcaniques 3.1 Forme gnrale de la puissance Soitunsystmedeforcesappliquesunsystmequelconque. z dF y dF x dF F dz y xr r rr+ + = dsignelunedecesforcesappliquesenPtelque z z y y x x OPr r r. . . + + =Aussi, le systme est paramtr par les n paramtres n iq q q ,..., ,...,1 donc : ) ,... ,..., () ,... ,..., () ,... ,..., (111n in in iq q q z zq q q y yq q q x x=== La puissance virtuelle dveloppe par la forceF d rest : O O1 P X0 Y0 X1 Y1 page 18 ) ( .* *P V F d dPr r=avecz z y y x x P Vr&r&r&r. . . ) (* * * *+ + = Or * * *11** * *11** * *11*... ...... ...... ...nniinniinniiqqzqqzqqzzqqyqqyqqyyqqxqqxqqxx& & & && & & && & & &+ ++ +=+ ++ +=+ ++ += Do la nouvelle expression de la puissance virtuelle dveloppe par la forceF d r : ** *11 1 1*. ...... . ... .n znynxni ziyixiz y xq dFqzdFqydFqxq dFqzdFqydFqxq dFqzdFqydFqxdP&& &|||

\|++++|||

\|+++ +|||

\|++= Ce qui nous amne lexpression de la puissance virtuelle dveloppe par toutes les forces : |||

\|++++|||

\|+++ +|||

\|++=znynxnnziyix i z y xdFqzdFqydFqxqdFqzdFqydFqxq dFqzdFqydFqxq P**1 1 1*1*...... ...&& En posant : |||

\|++=ziyixiidFqzdFqydFqxQOn obtient : * * *1 1*... ...n n i iq Q q Q q Q P & & & + + + + = CetteexpressionestimportantedanslapplicationdelathoriedeLagrange.Nousverrons comment dans la pratique nous pouvons calculer les iQ en envisageant des cas particuliers. Ces termes sont appels coefficients nergtiques, coefficients de puissance ou encore forces gnralises associs aux iq . 4Puissance virtuelle dveloppe par les quantits dacclration La puissance virtuelle dveloppe par les quantits dacclration scrit : Equations de Lagrange page 19 2 =Sqdadm P V P a P ) ( . ) (* *rr dautre part le systme est paramtr par les n paramtres n iq q q ,..., ,...,1 donc : ) ,... ,..., () ,... ,..., () ,... ,..., (111n in in iq q q z zq q q y yq q q x x=== Etz z y y x x OPr r r. . . + + = Or * * *11** * *11** * *11*... ...... ...... ...nniinniinniiqqzqqzqqzzqqyqqyqqyyqqxqqxqqxx& & & && & & && & & &+ ++ +=+ ++ +=+ ++ += cest dire : * * *11*... ... ) (nniiqqPqqPqqPP V &r&r&rr+ ++ += + ++ += dmqPa q dmqPa q dmqPa q Pnnii qdarr&rr&rr& . . ... . . ... . .* *1*1* En posant :dmqPa Aii =rr.On a : * *.i i qdaq A P & = LidedeLagrangeatdeproposeruncalculsystmatiquedescoefficientsAipartirde lnergie cintique du systme. Alors poursuivons le calcul. On a :dmqPa Aii = . .rret) ( ) ( P VdtdP arr=Nous pouvons crire : i iqPP VdtdqPP a=rrrr)]. ( [ ). (Mais :)] ( ).[ ( )]. ( [ ] ). ( [i i iqPdtdP VqPP VdtdqPP Vdtd+=rrrrrr page 20 Et dautrepartendrivant tPqqPqqPP Vii+ ++ +=r&r&rr... ... ) (11parrapportau iq& on trouve le rsultat suivant : i iqPqP V=r&r) ( Aussi, ini nji j i iq tPqq qPqq qPqq qPqPdtd + + + + + =|||

\|r&r&r&r r2 2 2112... ...

Soit innjj i iqP VtPqqPqqPqqPq qPdtd=|||

\|+ ++ ++ +=|||

\| ) (... ... ...11r r&r&r&r r Par consquent

|||

\|=|||

\|=i i i i iq P Vq P VdtdqP VP VqP VP VdtdqPP a) ( ) (21 ) () () (). ( ). (2 2r&r rr&rrrr do lexpression des coefficients Ai : |||

\|

|||

\|=

|||

\|= SiSiSi iidm P Vqdm P Vq dtddmq P Vq P VdtdA ). (21). (21.) ( ) (212 22 2r r&r&r dans laquelle apparat clairement lnergie cintique du systme =Sdm P V T ). (212r: i iiqTqTdtdA|||

\|=& 5Forme gnrale des quations de Lagrange 5.1 Nouvelle criture du principe de dAlembert Le principe de dAlembert scrit pour une transformation virtuelle quelconque : * * *1 1* * *1 1... ... ... ...n n i i n n i iq Q q Q q Q q A q A q A & & & & & & + + + + = + + + + soit 0 .*=|||

\||||

\|i ii iq QqTqTdtd&&

*iq Equations de Lagrange page 21 2 5.2 Choix des vitesses virtuelles Si les *iq& respectent toutes les liaisons holnomes sans respecter les liaisons non-holonmes, ellessontlinairementindpendantes(lesvitessesvirtuellessontcompatiblesavecles liaisonsholnomes)etnouspourronscrireunsystmedenquationsindpendantes, appeles quations de Lagrange : nn nii iQqTqTdtdQqTqTdtdQqTqTdtd=|||

\|=|||

\|=|||

\|&&&11 1 Siles *iq& sontdepluscompatiblesaveclesliaisonsnon-holonmes,cestdirerespectent lesl quations de liaison : 0 ... ...* * *1 1= + + +n jn i ji jq a q a q a & & &l ,..., 1 = j alors les *iq& ne sont plus linairement indpendants et nous verrons que la dtermination des iQ se fait diffremment. Parconsquent,onretiendraquelcrituredesquationsdeLagrangedpendduchoixdes vitesses virtuelles. Dautre part,les iQ sontlescomposantes de forcesgnralises qui peuvent avoir plusieurs origines. Nous crirons par exemple : DiLiiLei iQ Q Q Q + + =avec : LeiQ , force gnralise issue des actions de liaisons extrieures, LiiQ , force gnralise issue des actions de liaisons intrieures, DiQ , force gnralise issue des actions donnes (connues). Exemple de la roue qui roule sans glisser sur un plan horizontal Nouschoisissonsdesvitessesvirtuellesuniquementcompatiblesaveclesliaisons holonmes et respectant lindformabilit de la roue: page 22 { }=x xzVGplan roue r&r&***) / ( lnergie cintique vaut : 2 22 && J x m T + =dautre part : ) (* * *&& R x X PLe+ = rsultat du comoment{ }{ }*) / ( plan roue roue planV T 0*=LiPle systme est constitu que dun seul solide, 0* *= =pesanteur DP Pdo les 2 quations de Lagrange : _ (x) : xQxTxTdtd=& soitX x m = & & _ () : QT Tdtd=& soitRX J = & & 5.3 Calcul de la puissance virtuelle dans quelques cas particuliers courants 5.3.1Puissance virtuelle dveloppe par les actions mcaniques appliques un solide parfait dans une transformation virtuelle.Le torseur des actions mcaniques appliques est :{ }=) ( S S MRTMM S Srr Lesolidetantparfait,cestdireindformable,lechampdesvitessesrellesvrifientla relation de Varignon : il est quiprojectif donc cest un champ de moment.On a alors :MP M V P V + =r r r) ( ) ( Pourunetransformationvirtuellecompatibleaveclindformabilit,lechampdesvitesses virtuelles doit lui aussi tre quiprojectif : cest un champ rigidifiant. On aura donc :MP M V P V + =* * *) ( ) (r r r Par consquent, la puissance virtuelle sera gale au comoment du torseur correspondant aux actions mcaniques extrieures et du torseur correspondant aux vitesses virtuelles : * * *). ( ) ( . + =r r r rS S M M V R PM Equations de Lagrange page 23 2 5.3.2Puissance virtuelle dveloppe par les actions de liaisons intrieures dans une transformation virtuelle SoientS1etS2deuxsolidesenliaisonmutuelles.Sicetteliaisonsefaitparcontactdirect entre S1 et S2 alors, les actions de S1 sur S2 et de S2 sur S1 admettent des torseursopposs en vertuduprincipedactionetderaction.Danscesconditions,pourleschampsdevitesses virtuels : { }*/1Rg SV et { }*/2Rg SV la puissance virtuelle dans Rg des inter-efforts de liaison vaut : { }{ } { }{ } { }{ } { }{ }*/*/*/*/*/2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1S S S S S S S S Rg S S S Rg S S S Rg S SV T V T V T V T P = = + = Sionrespectelaliaisonentre S1etS2tellequelleexistelinstantt,lapuissancevirtuelle est nulle dans deux cas : si la liaison est non-dissipative (absence de frottement dans une liaison parfaite) si dans la transformation virtuelle on a roulement sans glissement entre S1 et S2 et que les moments de roulement et de pivotement sont nuls. 5.3.3Puissance virtuelle dveloppe par les actions donnes drivant dun potentiel dans une transformation virtuelle Les actions donnes drivent dun potentiel ou dune fonction de forces si iDiqVQ =) , ,... ,..., (1t q q q Vn i, est appele fonction potentielle. Exemples fondamentaux en mcanique du solide : Action de la pesanteur On a : */*.Rg G pesanteurV z mg Prr =siz z y y x x VRg Gr&r&r&r* * * */+ + =alors * *z mg Ppesanteur& =cest diremg Qi =On en dduit la fonction potentielle :mgz V =z tant la cote du centre de gravit xy z G -mg page 24 Action dlivre par un ressort On a : *0* * *) ( . x x x k x x k V R Pressort& &r r = = = cest dire) (0x x k Qi =On en dduit la fonction potentielle : 20) (21x x k V =k tant la constante de raideur du ressort. 5.3.4Cas des systmes liaisons parfaites pour lesquels les forces donnes drivent toutes dun potentiel Dans ces conditions LeiQ et LiiQ sont nuls et iDiqVQ = . Par consquent, pour une transformation virtuelle compatible avec les liaisons holonmes les quations de Lagrange scrivent : i i iqVqTqTdtd =& n i ,..., 1 = PosonsV T L = On a i i iqLqVqT =+ , et dautre part , i iqTqL& & =puisque V ne dpend que des qi. On obtient alors les n quations: 0 =i iqLqLdtd& o la fonction L est appele fonction de Lagrange ou lagrangienx X0 R Equations de Lagrange page 25 2 exemple du pendule simple en articulation parfaite avec un bti. On pose 1.z d OGr= Le systme est non-dissipatif et les actions donnes, ici laction de la pesanteur, drive dun potentiel, par consquent lquation de Lagrange se dtermine partir du lagrangien : cos212mgd J V T L = =& on a :0 = L Ldtd& qui donne : & &&&&JLdtdJLmgdL===sin On en dduit lquation du mouvement : 0 sin = + mgd J& & 5.4 Equations de Lagrange pour un champ de vitesses virtuelles compatible avec les liaisons holonmes et les liaisons non-holonmes : les multiplicateurs de Lagrange. X0 X1 O Z0 Z1 G mg page 26 Les quations de liaison peuvent se mettre sous la forme gnrale : 0 ) , ,... ,..., (1= t q q q fn i j h j ,..., 1 = 0 ... ...1 1= + + + +j n jn i ji jb q a q a q a & & &l ,..., 1 = j Ces relations peuvent se mettre, en drivant les relations holonmes, sous la forme unique : 0 ... ...1 1= + + + +j n jn i ji jb q a q a q a & & &m j ,..., 1 = avecl + = h m Nous avons vu que les quations de Lagrange pouvaient scrire : ii iQqTqTdtd=|||

\|&n i ,..., 1 = Prenons maintenant une transformation virtuelle compatible avec les h liaisons holonmes et lesl liaisons non-holonmes, cest dire vrifiant les m quations : 0 ... ...* * *1 1= + + +n jn i ji jq a q a q a & & &m j ,..., 1 = Dautre part, les *iq& doivent vrifier les n quations issues du principe de dAlembert : 0 ) ( ... ) ( ... ) (* * *1 1 1= + + + + n n n i i iq Q A q Q A q Q A & & & n i ,..., 1 = Cequisignifiequelesnderniresquationssontcombinaisonlinairedesmpremires, soit : ( )jmjn jn i ji j n n n i i iq a q a q a q Q A q Q A q Q A =+ + + + = + + + + 1* * *1 1* * *1 1 1... ... ) ( ... ) ( ... ) ( & & & & & & On en dduit les n quations de Lagrange : Equations de Lagrange page 27 2 ===+ =|||

\|+ =|||

\|+ =|||

\|mjjn j nn nmjji j ii imjj ja QqTqTdtda QqTqTdtda QqTqTdtd1111 11 1&&& auxquelles il faut ajouter les m quations : 0 ... ...1 1= + + + +j n jn i ji jb q a q a q a & & &On dispose dun systme n+m quations o les n iqet les m j sont les inconnues. Les coefficients jsont appels multiplicateurs de Lagrange. Les termes =mjji ja1 reprsentela force gnralise correspondantaux actions desliaisons non-holonmes. Par consquent le calcul des( )i iQ Q se fait en ne prenant pas en compte les puissances virtuelles dveloppes par les actions des liaisons non-holonmes. Revenons lexemple du cylindre qui roule sans glisser sur un plan horizontal Lquation non-holonme scrit :0 = + && R x , ce qui implique0* *= + && R xDautre part :0 = iQEnposantx q =1et =2q ,onendduit111 = a etR a =12dolesquationsde Lagrange avec multiplicateur : _ (x) : 1 =xTxTdtd& soitX x m = & & _ () : 1 RT Tdtd=& soitRX J = & & Interprtation mcanique du multiplicateur de Lagrange : Ilapparatclairementdanscesquationsque 1 corresponddunpointdevuemcanique lacomposantedelactiondeliaisonnon-holonmequitravailledanslesdplacements virtuelsx et . Ce rsultat peut tre gnralis. 5.5 Variante dans la dcomposition des forces gnralises page 28 Nousavonsvuprcdemmentqueles iQ sontlescomposantesdeforcesgnralisesqui peuvent avoir plusieurs origines : DiLiiLei iQ Q Q Q + + =avec : LeiQ , force gnralise issue des actions de liaisons extrieures, LiiQ , force gnralise issue des actions de liaisons intrieures, DiQ , force gnralise issue des actions donnes (connues). Une autre dcomposition est possible. Nous pouvons aussi crire : nhifiDi iQ Q Q Q + + =avec : DiQ , force gnralise issue des actions donnes (connues). fiQ , force gnralise issue des actions dissipatives (prsence de frottement), nhiQ , force gnralise issue des actions de liaisons non-holonmes, Dans le cas o la transformation virtuelle respecte les liaisons holonmes et non-holonmes, la force gnralise issue des actions de liaisons non-holonmes est ==mjji jnhia Q1 et par consquent fiDi iQ Q Q + = Prenons lexemple dun cerceau qui roule sans glisser sur un plan Ce systme est non-dissipatif et non-holonme.Il est paramtr par quatre paramtres : , , , y x . y z x O I G R gr Equations de Lagrange page 29 2 Deux approches sont possibles : la transformation virtuelle est compatible avec les liaisons holonmes uniquement la transformation virtuelle est compatible avec les liaisons holonmes et les liaisons non-holonmes. Lesdeuxconditionsnon-holonmesquitraduisentleroulementsansglissementenI scrivent : 0 cos = + & & R xet0 sin = + & & R y Lnergie cintique scrit : ||

\|+ + + =2 2 2 2 2 22121 & & & & R R y x m TCalcul du premier membre des quations de Lagrange : x q =1y q =2 =3q =4qiqT 0000 iqT& x m& y m&&2mR&221mRiqTdtd& x m& & y m& && &2mR& &221mRi iqTqTdtd& x m & & y m& && &2mR& &221mR Calcul du second membre : premier cas : les liaisons non-holonmes ne sont pas prises en compte (le champ des vitesses virtuelles est compatible avec les seules liaisons holonmes) on a : nhifiDi iQ Q Q Q + + = 0 =DiQ icilaseuleactiondonneestlactiondelapesanteurquinedveloppepasde puissance dans la transformation virtuelle retenue. 0 =fiQcar le systme est non dissipatif ( )* * * *) / ( ) (sin cos . &&& &r rYR XR y Y x X V R Qplan cerceau I cerceau plannhi+ + + = = page 30 x q =1y q =2 =3q =4qDiQ0000 fiQ0000 nhiQX Y sin cos YR XR +0 iQX Y sin cos YR XR +0 On en dduit les quatre quations de Lagrange : _(x) :X x m = & &_(y) :Y y m = & &_() : sin cos2YR XR mR + = & &_() :0212= & & mRLes quations de mouvement qui par dfinition ne font pas intervenir dinconnues de liaison sobtiennent en remplaant X et Y par leur valeur dans la troisime quation : cte = =0 & & et) sin cos (1 y xR& & & & & & + =deuxime cas : les liaisons holonmes et non-holonmessontprises en compte (le champ des vitesses virtuelles est compatible avec toutes les liaisons) Le premier membre des quations de Lagrange est inchang ainsi que les DiQ et les fiQ . Reste alors calculer les ==mjji jnhia Q1Ici j varie de 1 2 et i de 1 4 Les quations non-holonmes scrivent : 002 24 23 22 211 14 13 12 11= + + + += + + + +b a a y a x ab a a y a x a & & & && & & & do : x q =1y q =2 =3q =4qia1 10 cos R0 ia2 01 sin R0 =mjji ja112 sin cos2 1+ R 0 On en dduit les quatre quations de Lagrange avec multiplicateurs : Equations de Lagrange page 31 2 _(x) : 1 = x m & &_(y) : 2 = y m& &_() : sin cos2 12R R mR + = & &_() :0212= & & mR Onretrouvelesmmesquationsquedanslecasprcdent.Les i correspondentaux composantes de laction de contact comprises dans le plan. 6Utilisation des quations de Lagrange pour dterminer des inconnues de liaison 6.1 le principe LesquationsdeLagrangedonnentlesmmesrsultatsquelesthormesgnrauxet offrent notamment la possibilit de dterminer des inconnues de liaison. Pour cela il suffit de choisirunetransformationincompatibleaveclaliaisonenquestion,cequirevient rompre la liaison. 6.2 exemple du pendule simple Laliaisondupenduleavecsonsupportestuneliaisonpivotparfaite.Lemouvementdu penduleestdfinipar siontientcomptedelaliaison.Lquationdumouvementest alors : 0 sin = + Lg& & Mais avec un tel paramtrage, il est impossible de dterminer les actions de liaison. Elles ont tliminesenprenantunetransformationvirtuellecompatibleaveclaliaisonpivot.Par contresionchoisitunetransformationvirtuellequinesoitpluscompatibleaveclaliaison, les inconnues apparatront. Nous allons donc introduire deux paramtres supplmentairesz x, tels que : O G, m X0 Z0 L Z1 page 32 0 0 1z z x x OOr r+ = Naturellement nous avons les quations de liaison : 0 = x&et0 = z& Avec ce nouveau paramtrage, lnergie cintique scrit : ( ) sin 2 cos 2212 2 2 2&&&&&& & z L x L L z x m T + + + =Attention, ce niveau du calculde ne pas faire0 = x&et0 = z&dans lexpression de T !!! Dautre part 0 0z Z x X Rpendule btir rr+ = Do lexpression de la puissance virtuelle : sin ) (* * * *&& & mgL z Z mg x X P + + =On obtient alors les trois quations de Lagrange : _(x) :X mL mL x m = + sin cos2& & && &_(z) :mg Z mL mL z m + = cos sin2& & && &_() : sin sin cos2mgL z mL x mL mL = + & & & && & auxquelles on joint les deux quations de liaison : 0 = x&0 = z& Finalement, on a : X mL mL = sin cos2& & & mg Z mL mL + = cos sin2& & & sin2mgL mL =& & O G, m X0 Z0 L Z1 Z O1 x z Equations de Lagrange page 33 2 Onreconnatlquationdumouvementdonneparlatroisimequationdusystme prcdent. Celle-ci tant rsolue, on dterminera X et Z. On peut dailleurs avoir facilement X et Z en fonction de et&, ce qui est souvent suffisant dans la pratique. 7Intgrales premires 7.1 Intgrale premire linaire par rapport aux iq& Il est frquent que pour un i donn, lnergie cintique ne dpende que des iq& et pas des iq et que le second membre de lquation de Lagrange correspondante soit nul :0 =iQ . Cette quation scrit alors : CteqTqTdtdi i= = +|||

\|& &0 0 et donne une intgrale premire linaire par rapport aux iq& vidente. 7.2 Intgrale premire de Painlev Considrons un systme admettant un lagrangien indpendant du temps, soit0 =tL. Etudions la fonctionL qqLHiii=&& avec ) ,... , ,..., (1 1 n nq q q q L L & & = Calculons dtdLqqLqqLdtddtdHiiiii

+|||

\|=& &&&& Or ) (ii iiiqqLqqLdtdL& &&&+= Doii i iqqLqLdtddtdH&&

|||

\|= Or lorsque le systme admet un lagrangien le terme entre crochets de lexpression prcdente est nul (voir 5.3.4). Par consquent, la fonction tudie H, est constante : Cte H = page 34 Exprimons H en fonction de lnergie cintique T et de la fonction potentielle V du systme. On a :V T L = Donc V T qqTHiii+ =&& avec 0 =iqV& or = dm P V T ) (212ravectPqqPP Vii i+=r&rr) ( do lexpression de lnergie cintique dcompose en une somme de trois termes : dmtPdm qqPtPdm q qqPqPTj i iiij ij i2,212121 |||

\|++=r&r r& &r r Soit0 1 2T T T T + + =avec Tk de degr k en iq& . On dit que : T2 est la partie quadratique de T en iq&T1 est la partie linaire de T en iq&T0 est la partie de degr 0 de T en iq& Dautre part : ++=iii iii i iiiiiqqTqqTqqTqqT&&&&&&&&0 1 2 or T0 tant indpendant des iq& , on a :00=iqT& aussi11T qqTiii=&& et 222T qqTiii=&& do 1 22 T T qqTiii+ =&& et( ) Cte V T T T T T H = + + + + =0 1 2 1 22 cest dire T2T1 T0 Equations de Lagrange page 35 2 Cte V T T = + 0 2 qui est lintgrale premire de Painlev. Si de plus les quations de liaison sont indpendantes du temps, cest dire que0 =tPr, on a 2T T = , et par consquentCte V T = + . On retrouve alors lexpression qui caractrise la conservation de lnergie mcanique. 8. Synthse Les quations de Lagrange Pourquoi ? Pour crire les quations de mouvement dun systme, surtout sil admet un lagrangien Comment ? Caractriser le systme Choisir le champ des vitesses virtuelles Tenir compte des hypothses simplificatrices Ecrire les quations Exploiter les quations holonme ou non-holonme compatible avec les liaisons holonmes ou compatible avec les liaisons holonmes et non-holonmes liaisonsparfaites,toutesles forcesdonnesdriventdun potentiel 0 =i iqLqLdtd& 0 ... ...1 1= + + + +j n jn i ji jb q a q a q a & & &ii iQqTqTdtd=|||

\|&=+ =|||

\|mjji j ii ia QqTqTdtd1&sinon {tude de positions dquilibre, tude de la stabilit de ces quilibres, linarisation des petites oscillations autour des positions dquilibre mthode des multiplicateurs page 36 Exercices dapplication (dure estime : 6 heures) Exercice 1 : rgulateur boules de Watt Soit le rgulateur boules reprsent sur la figure ci-dessous : On suppose toutes les liaisons parfaites. Le coulisseaua pour masse M et coulisse le long de la tige verticale entrane suivant une loi impose) (t autour de) , (0z Or . Son moment dinertie par rapport ) , (0z Orest nglig. Lestigesmobilesdemassesngligeables,sontarticulesrespectivementenO1etO2 ( l 22 1= O O ).Cestigeslextrmitdesquellessontmontesdesmassesidentiquesm, sont de longueurs b. Questions 1.Caractrisercesystme(holonmeoupas,dissipatifoupas,admettantun lagrangien ou pas, nombre de degrs de libert). 2.Calculer lnergie cintique et lnergie potentielle de ce rgulateur. 3.Ecrire lquation du mouvement par la mthode de Lagrange. 4.Retrouver cette quation en utilisant le thorme de lnergie cintique. 5.Trouveruneconditionsuffisantedexistencedune intgralepremiredePainlev. Ecrire lintgrale premire. Exercice 2 : pendule dEuler Le systme est form des solides S1 et S2.On pose : 0 1X x OGr= = ) , (1 0X Xr r

1 2 1Z G Grl =Lorsque G1 est en O, le ressort est sans contrainte. On note k la raideur du ressort . De plus, on suppose toutes les liaisons sans frottement. S1 de masse M, de centre de gravit G1, est en glissire par rapport S0. S2 de masse m, de centre de gravit G2, est en liaison pivot par rapport S1. a a G1, m G2,m Z0 b M O1 O2 O l Equations de Lagrange page 37 2 Questions 1.Caractriser ce systme (holonme ou pas, dissipatif ou pas) 2.Dterminer son nergie cintique. 3.Dterminer les quations de Lagrange donnant les quations de mouvement . 4.Retrouver ces rsultats par les thormes gnraux. Exercice 3 : Etude du dploiement des bras dun satellite Afindtudierledploiementdesbrasdunsatellite,brasdestinsaucontrlede lautorotation, on emploie le modle exprimental dfini par la figure ci-dessous. Soit) , , , (0 0 0 0z y x O Rr r run repre galilen. Le corps du satellite S1 est en liaison pivot parfaite daxe) , (0z Oravec S0. On associe S1 le repre) , , , (1 1 1 1 1z y x O Rr r r. La position de S1 par rapport S0 est repre par le paramtre ) , ( ) , (1 0 1 0z z x xr r r r= = . On notera m1 la masse du solide S1. R1 est repre principal dinertie et on notera A1, B1, C1 les moments principaux dinertie. Le bras du satellite S2 est en liaison pivot daxe) , (1 2y Oravec S1, 1 2 2 1x a O Or= .On associe S2 le repre) , , , (2 2 2 2 2z y x G Rr r r. La position de S2 par rapport S1 est repre par le paramtre) , (2 1 2z zr r= .On associe la liaison pivot un frottement visqueux modlis par un couple rsistant : 1 2 2 12y Cr&r = . X0 X1 Z1 Z0 O M m S1 S2 G1 G2 x lpage 38 Entre S1 et S2 on place un ressort de torsion de raideur k2 et un moteur dlivrant un couple 1 2 2y C Cm mrr= . G2 est le centre dinertie de S2 dfini par 2 2 2 2z b G Or= . On notera m2 la masse du solide S2. R2 est repre principal dinertie et on notera A2, B2, C2 les moments principaux dinertie. Le bras du satellite S3 est en liaison pivot daxe) , (1 3y Oravec S1, 1 3 3 1x a O Or = .On associe S3 le repre) , , , (3 3 3 3 3z y x G Rr r r. La position de S3 par rapport S1 est repre par le paramtre) , (3 1 3z zr r= .On associe la liaison pivot un frottement visqueux modlis par un couple rsistant : 1 3 3 13y Cr&r = . Entre S1 et S3 on place un ressort de torsion de raideur k3 et un moteur dlivrant un couple 1 3 3y C Cm mrr= . G3 est le centre dinertie de S3 dfini par 3 3 3 3z b G Or= . On notera m3 la masse du solide S3. R2 est repre principal dinertie et on notera A3, B3, C3 les moments principaux dinertie. Soit 3 2 1S S S = Questions 1.Caractriser ce systme (holonme ou pas, dissipatif ou pas) 2.Dterminerlnergie cintique de . 3.Dterminer les quations de Lagrange donnant les quations de mouvement . 4.Montrer que lune delle est une intgrale premire. 5.Retrouver ces rsultats par les thormes gnraux. 6.Calculer Z01 la composante sur 0zrde leffort de liaison entre S0 et S1 en utilisant le principe fondamental de la dynamique. Comment doit-on procder en utilisant les quations de Lagrange ? Conclure sur le choix de la mthode. Equations de Lagrange page 39 2 O1 O O3 O2 Z0 Z1 Z1 Z3 Z2 2 X1 3 G3 G2 2 1 3 h