Lespace réciproque Espace des vecteurs donde Espace de Fourier Inverse Orthogonal.
Fonctions, Dérivées et Intégrales Maths bac S...1 Savoir Unité d’aire Dans un repère...
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Savoir
Unité d’aire
Dans un repère orthogonal , l’unité d’aire (u.a.), est l’aire du rectangle
avec .
Primitive de
Soit une fonction continue sur un intervalle .
On appelle primitive de sur toute fonction dérivable sur telle que : .
• Soit une fonction définie et continue sur un intervalle , qui admet une pri-
mitive sur . Alors, admet une infinité de primitives sur et toute pri-
mitive de sur est : .
• Pour et fixés, il existe une unique primitive de avec : .
• Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
SAVOIR
A
O Oi Oj;
OiAj A 1 1
A(1,1)j
O ix
y
B f
f I
f I F I F f=
f I
G I f I
F f I F x G x c c �+=
xo yo F f F xo yo=
I
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Intégrale d’une fonction continue
• Soit une fonction continue et positive sur et sa courbe représenta-
tive dans le repère orthogonal .
L’intégrale de à de est l’aire du domaine situé sous la courbe :
.
• Soit une fonction continue sur , soit une primitive de :
.
Valeur moyenne
Pour toute fonction continue sur , la valeur moyenne de sur est
le réel tel que : .
Propriétés de l’intégrale
. Si est intégrable sur et si est une fonction paire
alors : .
. Si est intégrable sur et si est une fonction impaire
alors : .
C
f a b
O Oi Oj;
a b f A
A f x xda
b
=
f a b F f
f x xda
b
F x ab
F b F a –= =
D
f I a b = f a b
m m 1b a–------------ f x xd
a
b
=
E
1 f a a– f f x– f x =
f x xda–
a
2 f x xd0
a
=
2 f a a– f f x– f– x =
f x xda–
a
0=
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. Si est intégrable sur un intervalle avec , alors :
.
. Nous avons :
. Si est intégrable sur un intervalle avec , alors :
.
C’est ce qu’on appelle la relation de CHASLES.
. Si et sont intégrables sur un intervalle avec , alors :
.
. Si est intégrable sur un intervalle avec , alors :
.
. Si et sont intégrables sur un intervalle avec , alors :
et .
. Soient et intégrables sur un intervalle avec ;
on suppose : si , alors .
. Si est intégrable sur un intervalle avec , alors :
.
3 f a b a b
f x xda
b
f x xdb
a
–=
4 f x xda
a
0=
5 f a b a b
f x xda
c
f x xdc
b
+ f x x c a b da
b
=
6 f g a b a b
f x g x + xda
b
f x x g x xda
b
+da
b
=
7 f a b a b
f x xda
b
f x x �da
b
=
8 f g a b a b
f g+ x xda
b
f x x g x xda
b
+ da
b
= �
9 f g a b a b
x a b f x g x f x x g x xda
b
da
b
10 f a b a b
f x 0 f x x 0da
b
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Tableau des différentes primitives
Tableau 1 :
F
f F I
K K x �
xn
n 0 et n 1–
xn 1+
n 1+---------------
� si n 0 0 ou 0 + si n 1––
1
x------- 2 x 0 +
1
x2
------
x 0
1–x
------ �*
ex
ex �
1x--- x ln 0 +
x sin x cos– �
x cos x sin �
x ln xln x x– 0 +
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Tableau 2 :
Avec :
. et dérivables sur
. et
f F Conditions
K u K u -
u v+ u v+ -
u un
n 0 et n 1–
un 1+
n 1+----------------
Si n 1– u ne s'annule pas sur I
uu
------- 2 u u strictement positive sur I
uu----- u ln u strictement positive sur I
u
u2
------
n � n 2
1–u------ u 0 sur I
ueu
eu -
ax b+ sin 1–a
------ ax b+ cos-
ax b+ cos 1a--- ax b+ sin
-
u v I
a b � a 0
.
.
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