Fonctionnement du marche des taux avant la crise

Les emprunts des etats et les prets interbancaires sont sansrisque: le defaut n’existe que pour les obligations “corporate”

Tous les instruments disponibles (obligations, swaps, tauxLibor) sont utilises pour construire l’unique “courbe de taux”,pour les simulations des flux et pour l’actualisation

Les differents taux pour la meme echeance (Libor vs OIS /Eonia swap) sont quasiment les memes

Il est possible de preter / emprunter au Libor sans risque: leprix d’une obligation payant en fin de periode le taux Liborfixe au debut de la periode est egal au nominal

Les taux Libor correspondant aux durees differents sont reliesentre eux:

(1 + (T2 − T1)Ft(T1,T2))(1 + (T3 − T2)Ft(T2,T3))

= (1 + (T3 − T1)Ft(T1,T3))

Taux Libor: definition precise

LIBOR=London InterBank Offered Rate. Etait calculejusqu’en 2013 pour 10 devises x 15 maturites = 150 taux tousles jours. Les maturites vont de 1 jour a 12 mois.

Le taux LIBOR est calcule comme le taux moyen d’empruntsur un panel de (entre 7 et 18) contributeurs, en excluant25% des taux les plus bas et 25% des taux les plus eleves.

Plus precisement, les banques doivent repondre a la question:“At what rate could you borrow funds, were you to do so byasking for and then accepting inter-bank offers in a reasonablemarket size just prior to 11 am?”

l’EURO fait partie des devises pour lesquels le taux Libor estcote, mais l’Euribor (calcule par European BankingFederation) est plus souvent utilise.

Taux Libor apres la crise

Apres la faillite de Lehmann, les emprunts non-securises sur lemarche interbancaire ne sont plus consideres sans risque.

Ils sont soumis a un “risque de defaut moyen pour une grandebanque representee dans le panel”

Le risque de defaut augmente avec la maturite: un “basisswap” qui paie Libor3M contre Libor6M n’a plus valeur nulle.

Les depots au jour le jour sont toujours largement considerescomme etant sans risque.

La courbe des taux sans risque est maintenant calculeuniquement a partir des taux de Overnight Indexed Swaps.

Overnight indexed swap

Un Overnight Indexed Swap (OIS) est un echange d’unesequence de flux fixes contre une une sequence de fluxvariables calcules a partir du taux overnight.

Le taux standard est EONIA (Euro Overnight Index Average)en Europe ou Federal Funds Rate (FF) aux USA: taux moyendes emprunts non-collateralises au jour le jour sur le marcheinterbancaire.

Le risque de defaut pour un horizon aussi court est tres faible,et les taux EONIA ou FF sont consideres sans risque.

Overnight indexed swap

Le taux du flux variable d’un OIS payable en Ti est donne par

L(Ti−1,Ti ) =1

δi

Ki∏j=1

(1 + (tj − tj−1)R(tj−1, tj))− 1

,

ou Ti−1 = t0 < t1 < · · · < tKi= Ti est la partition de la

periode [Ti−1,Ti ] en Ki jours, et R(tj−1, tj) est le tauxovernight pour la periode [tj−1, tj ].

Les OIS sont collateralises avec ajustement journalier ducollateral (qui est lui meme capitalise au taux overnight).

Le taux OIS pour une echeance donnee est le taux fixe quiannule la valeur de l’OIS.

La courbe des taux sans risque peut etre reconstruite a partirdes taux OIS d’echeances differentes.

Libor n’est plus sans risqueThe financial crisis

Source: Z. Grbac, presentation au seminaire du LPMA

Decouplage entre les Libors de durees differentes

EUR Basis swaps

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1Y 2Y 3Y 4Y 5Y 6Y 7Y 8Y 9Y 10Y

11Y

12Y

15Y

20Y

25Y

30Y

basi

s sp

read

(bps

)3M vs 6M1M vs 3M1M vs 6M6M vs 12M3M vs 12M1M vs 12M

Figure 1: quotations (basis points) as of Feb. 16th, 2009 for the six EUR basis swapcurves corresponding to the four Euribor swap curves 1M, 3M, 6M, 12M. Before thecredit crunch of Aug. 2007 the basis spreads were just a few basis points (source: Reuterspage ICAPEUROBASIS).

corresponding preference for receiving payments with higher frequency (quarterly insteadof semi-annually, etc.).

There are also other indicators of regime changes in the interest rate markets, such asthe divergence between deposit (Xibor based) and OIS 2 (Eonia3 based for EUR) rates,or between FRA4 contracts and the corresponding forward rates implied by consecutivedeposits (see e.g. refs. [AB09], [Mer09], [Mor08], [Mor09]).

These frictions have thus induced a sort of “segmentation” of the interest rate marketinto sub-areas, mainly corresponding to instruments with 1M, 3M, 6M, 12M underlyingrate tenors, characterized, in principle, by di!erent internal dynamics, liquidity and creditrisk premia, reflecting the di!erent views and interests of the market players. We stressthat market segmentation was already present (and well understood) before the creditcrunch (see e.g. ref. [TP03]), but not e!ective due to negligible basis spreads.

Such evolution of the financial markets has triggered a general reflection about themethodology used to price and hedge interest rate derivatives, namely those financialinstruments whose price depends on the present value of future interest rate-linked cashflows. In this paper we acknowledge the current market practice, assuming the existenceof a given methodology (discussed in detail in ref. [AB09]) for bootstrapping multiple ho-

2Overnight Indexed Swaps.3Euro OverNight Index Average, the rate computed as a weighted average of all overnight rates corre-

sponding to unsecured lending transactions in the euro-zone interbank market (see e.g. www.euribor.org).4Forward Rate Agreement.

3

Les basis swap spreads observes le 16 fevrier 2009.Source: M. Bianchetti, “Two Curves, One Price”.

Libor: les developpements recents

Les taux Libor ne correspondent pas a des emprunts reels,mais a des estimations du cout pour un montant“raisonnable”.

Les banques dont les cout d’emprunt sont eleves ont unemotivation de diminuer leurs chiffres, pour ne pas apparaıtre“dangereux”.

En 2012, des manipulations de grande echelle du taux Liboront ete decouverts par les regulateurs et des banques telles queUBS, RBS et Barclays ont du payer des amendes importantes.Une reforme du Libor a ete mise en oeuvre en 2014:

Le nombre de taux a ete reduit a 35 (5 devises x 7 echeances)La compilation est effectuee par ICE BenchmarkAdministration depuis le 1er fevrier 2014 (et non plus parBritish Bankers Association)

A la difference du Libor l’Eonia est calcule comme unemoyenne ponderee des transactions effectivement realisees surle marche interbancaire.

Valorisation des produits de taux apres la crise: facteurs aprendre en compte

Risque de defaut present dans la definition des produits (viales contributeurs au panel de Libor)

Risque de contrepartie (avec / sans collateralisation)

Risque de financement (de la strategie de couverture)

Le multicurve framework pour les produits derives de taux

Voir F. Mercurio (2009), “Interest rates and the credit crunch:new formulas and market models”.

Sur le marche sont cotes des instruments (swaps, FRA, caps,floors, swaptions), dont les sous-jacents sont les taux Libors(ou Eonia) de durees differentes (δ1, . . . , δN).

Pour chaque duree δi , on determine les taux FRAF it (T ,T + δi ) .

A partir des taux FRA, on deduit la courbe des tauxzero-coupons:

F it (T ,T + δi ) =

1

δi

(P it(T )

P it(T + δi )

)

Le multicurve framework pour les produits derives de taux

En raison du risque de defaut / liquidite associe aux tauxLibor, les relations d’arbitrage classiques ne sont plus valables,et les taux FRA de durees differentes sont decouples.

⇒ On a affaire a N courbes des taux zero-coupons differentes.

La courbe des taux zero-coupons correspondant aux taux OISjoue un role particulier.

Elle est consideree sans risque et utilisee pour actualiser lesflux futurs.

Les zero-coupons correspondants seront notes par Pt(T )

Le multicurve framework pour les produits derives de taux

Pour valoriser un produitderive de taux il est souventnecessaire de diffuser deuxcourbes de taux differents(e.g., Libor + OIS)

Les premiers modelesmulticourbe introduisaientun spread deterministe entreles deux taux, mais en realitele spread est stochastique

10 1 Post-Crisis Fixed-Income Markets

2002 2004 2005 2006 2008 2009 2010 2012 2013 20150

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

basi

s po

ints

3m EUR LIBOR−OIS (EONIA) spreadSpot 3 year EUR 3m/6m Basis Swap Spread

2002 2004 2005 2006 2008 2009 2010 2012 2013 20150

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

basi

s po

ints

3m EUR LIBOR−OIS (EONIA) spreadSpot 3 year EUR 3m/6m Basis Swap Spread

Fig. 1.4 Spread Development from January 2004 to April 2014

setup. In particular, for the case of optional derivatives, it suffices to modify thestrike by simple deterministic shifting or scaling (see also more detailed commentsin Sect. 4.3). For this reason, this way of modeling seems to be still often used inpractice in spite of contrary evidence from empirical data (see Fig.1.4), as well as ofpossible anomalies introduced by these simplistic assumptions. One such anomalyis mentioned e.g. in Mercurio and Xie (2012) (see also the last part of Sect. 4.1.1)who point out that a deterministic spread assumption would wrongly lead to a zeroprice for out-of-the-money Libor-OIS swaptions.

The various risks driving the spreads are the risks related to the interbank market,in particular to the banks participating in the Libor panel. Therefore, these risks aresometimes jointly referred to as interbank risk. One important component of this riskis default risk. The rolling construction of the Libor panel is intended to reduce thepossibility of actual defaults within the panel. However, the deterioration of the creditquality of the Libor contributors during the length of a Libor-based loan is greaterwith longer tenors. Moreover, interbank risk arises also from liquidity risk. Strategicgaming can also play a role (Michaud and Upper 2008). Such considerations mightfrom time to time incite a bank to declare as its Libor contribution a number differentfrom its internal conviction regarding “The rate at which an individual ContributorPanel bank could borrow funds, were it to do so by asking for and then acceptinginterbank offers in reasonable market size, just prior to 11.00 London time” (thedefinition of Libor). All this results in a spread between the Libor rates of differenttenors (OIS rates in the limiting case of an overnight tenor).

Filipovic andTrolle (2013) analyze the decomposition of the interbank risk drivingspreads into default and liquidity risk components. Using a data set covering the

Des extensions des grandes classes de modeles de taux au casmulticourbe (taux court, HJM, LMM), avec un spreadstochastique, ont ete developpees

Dans la suite, on presente une extension du cadre LMM aplusieurs courbes de taux

Le multicurve framework pour les produits derives de taux

Pour chaque duree δi , on considere un ensemble de dates (T ik)n+1

k=1,T ik = T i

1 + (k − 1)δi .

Les taux FRA correspondants seront notes par

Li ,kt := F it (T i

k ,Tik+1)

Par definition du taux FRA, Li ,kt = F it (T i

k ,Tik+1) est le flux fixe en

T ik+1 qui est equivalent au flux variable F i

T ik(T i

k ,Tik+1) (taux Libor

observe en T ik pour la periode (T i

k ,Tik+1)).

Valorisation d’un swap de taux

On considere un swap de taux, qui, a chaque date T ik ,

k = 2, . . . , n + 1, paie un flux variable δiLi ,k−1

T ik−1

en echange d’un

flux fixe δiK .

⇒ Swapt(K ,Ti1, . . . ,T

in+1) = δi

n+1∑k=2

Pt(Tik)(Li ,kt − K ).

Le taux de swap est

St(Ti1, . . . ,T

in+1) =

∑n+1k=2 Pt(T

ik)Li ,kt∑n+1

k=2 Pt(T ik)

6=Pt(T

i1)− Pt(T

in+1)

δi∑n+1

k=2 Pt(T ik)

.

Formule de marche pour les caplets

On considere un caplet qui paie (Li ,k−1

T ik−1

− K )+ a la date T ik .

Soit QT ik la mesure T i

k -forward (numeraire Pt(Tik)). Alors

Caplett(K ,Tik−1,T

ik) = Pt(T

ik)EQTi

k [(Li ,k−1

T ik−1

− K )+|Ft ]

Li ,k−1t est une QT i

k -martingale car par definition,

E[e−

∫ Tik

t rsds(Li ,k−1

T ik−1

− Li ,k−1t )|Ft

]= 0

En supposant que cette martingale est lognormale,

dLi ,k−1t

Li ,k−1t

= σkt dWkt ,

on obtient la formule de Black pour le prix d’un caplet.

Formule de marche pour les swaptions

Le pay-off d’une swaption (a la date T i1) est donne par

(ST i1(T i

1, . . . ,Tin+1)− K )+δi

n+1∑k=2

PT i1(T i

k)

Introduisant la mesure swap forward QT i1,T

in+1 correspondant au

numeraire At := δi∑n+1

k=2 Pt(Tik), le prix de la swaption s’ecrit

Swptnt(K ,Ti1, . . . ,T

in+1)

= δi

n+1∑k=2

Pt(Tik)EQ

Ti1,T

in+1

[(ST i1(T i

1, . . . ,Tin+1)− K )+],

ou le taux swap est martingale sous QT i1,T

in+1 .

En supposant que cette martingale est lognormale, on obtient laformule de Black pour les swaptions.

LMM double-curve

Exemple: pricing d’une swaption dans le modele LMM.

Swptnt = Pt(Tin+1)EQ

Tin+1

(δi∑n+1

k=2 PT i1(T i

k)(Li ,k−1

T i1− K )

)+

PT i1(T i

n+1)

.Le pay-off ne peut pas etre exprime comme fonction uniquementde Li ,·

T i1

mais il est egal a

δi n∑k=1

(Li ,k−1

T i1− K )

k∏j=1

(1 + δi Li ,j−1

T i1

)

+

,

ou Li ,jt = 1δi

(Pt(T i

j )

Pt(T ij +δi )

− 1

)sont les taux forward sans risque.

⇒ Il est necessaire de decrire la dynamique jointe des taux forwardpour les deux courbes sous QT i

n+1 .

LMM double-curve

La dynamique des taux forward Li ,kt et Li ,kt est lognormale sous la

probabilite correspondante QT ik+1 :

dLi ,kt = σk(t)Li ,kt dZk(t)

dLi ,kt = σk(t)Li ,kt dZk(t).

Pour la simulation jointe, il est necessaire d’exprimer tous les taux

sous la meme probabilite (QT ik+1).

On postule:

dLi ,kt

Li ,kt= γk(t)dWk(t) + driftkt

dLi ,kt

Li ,kt= γk(t)dWk(t) + drift

k

t ,

ou (W1, . . . ,Wn, W1, . . . , Wn) est un MB standard sous QT in+1 .

Correction de drift

Ecrivons la dynamique de Li ,n−1 et Li ,n−1 sous QT in+1 .

Li ,n−1t (1 + δi L

i ,nt ) et Li ,n−1

t (1 + δi Li ,nt )

sont QT in+1-martingales.

⇒ driftn−1t = −δi L

i ,nt 〈γn−1, γn〉1 + δi L

i ,nt

et driftn−1

t = −δi Li ,nt 〈γn−1, γn〉1 + δi L

i ,nt

.

De maniere similaire,

driftkt = −n∑

j=k+1

δi Li ,jt 〈γk , γj〉

1 + δi Li ,jt

et driftk

t = −n∑

j=k+1

δi Li ,jt 〈γk , γj〉

1 + δi Li ,jt

.

Le modele est parametre par 2 vecteurs de volatilites (un pourchaque courbe) et une matrice de correlation 2n × 2n.

Problematiques recentes dans la modelisation des tauxd’interet

Depuis 2015, plusieurs taux de referencecourt terme sont devenus negatifs

Les modeles classiques (e.g., LMMlog-normal) ne permettent pas au taux dedevenir negatif ou tres bas ⇒ difficultespour la valoriser les options de strike faible

Les modeles gaussiens (Vasicek, HJM) ne resolvent pas le probleme: ladistribution du taux est tres asymetrique et il est possible de detenir desbanquenotes au cout limite

Plusieurs approches de modelisation ont ete proposees:

Modele log-normal shifte: un deplacement deterministe est appliquee autaux Libor pour le rendre negatif dans certains scenarios;Bruit gaussien: un bruit gaussien independant est rajoute au tauxFonction de transformation: une fonction deterministe est appliquee autaux log-normal pour le rendre negatif