Flambe Ment

Cours de- mcanique -

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Instabilit lastique : Le flambement

Mcanique : une instabilit lastique: le flambement, une instabilit lastiqueLyce Le Garros AUCH ALBOUY Ch PEDECHES JM Page 1/16

SOMMAIRE

1. GNRALITS ............................................................................................... 12. FLAMBEMENT DES POUTRES DROITES .................................................... 2

2.1. Hypothses .................................................................................................................22.2. Dtermination des sollicitations...................................................................................22.3. La rsolution de l'quation diffrentielle donne une solution gnrale de la forme .....32.4. Calcul de la charge critique dEuler suivant le type de liaisons aux extrmits ...........42.5. Dtermination de llancement maximum ...................................................................7

3. RALIT DU PHNOMNE DU FLAMBEMENT............................................ 83.1. Dfaut de rectitude......................................................................................................83.2. Dfaut de centrage de leffort normal ..........................................................................9

4. FORMULATION PRATIQUE DU PHNOMNE DE FLAMBEMENT ........... 105. APPLICATION LEUROCODE 3 : FLAMBEMENT DES LMENTS

COMPRIMS ................................................................................................ 125.1. Critre de rsistance au flambement ........................................................................12

5.2. Longueur de flambement l .....................................................................................125.3. lancement rduit .................................................................................................125.4. Choix de la courbe de flambement............................................................................13

5.5. Coefficient de rduction ......................................................................................13


1. GENERALITESSoumettons une poutre lance encastre sa base

un effort de compression N croissant. La thorie dela compression simple, dans le cadre de la RDMclassique suppose que la poutre reste rectiligne. Cettethorie est vrifie pour des poutres peu lances, et laruine est alors obtenue pour une valeur de N plcorrespondant la plastification de la matire (pour unpoteau en acier par exemple A.fN ypl = ).

Pour des poutres lances (llancement est dfiniplus loin.), lexprience montre que, quand N atteintune certaine valeur critique N K (trs infrieure N pl ),la poutre subit brutalement une flexion importante. Onne peut plus augmenter N sans rompre la poutre parplastification de la section droite la plus sollicite enflexion compose) ou provoquer des dplacementsinadmissibles. Cest le phnomne du flambement. Il esttrs important de vrifier que les lments comprims(poteaux, barres comprimes de treillis ou decontreventement,..) prsentent une scurit suffisantevis vis du flambement car celui-ci se produit sansprvenir et entrane souvent non seulement la propreruine de llment, mais aussi celle de toute laconstruction dont il fait partie.

N

N

Les grands dplacements affectent les zones comprimes des pices. Elles peuvent prsenter troistypes de comportements caractristiques dnomms phnomnes dinstabilit

le flambement, qui affecte les barres simplement comprimes ou comprimes et flchies. Le dversement, qui affecte les zones comprimes des pices flchies (semelles, membrures de

poutres de grande hauteur).

le voilement qui affecte les mes des poutres flchies. Ltude des phnomnes dinstabilit lastique est particulirement importante en construction

mtallique, car ils sont trs frquents du fait de lutilisation dlments minces et de grand lancement.


2. FLAMBEMENT DES POUTRES DROITES

2.1. Hypothses Matriau lastique linaire Poutre bi-articule (autour de laxe Gz) soumise un effort centr xNr appliqu en B Sections droites constantes Petites dformations ainsi que les dplacements Les sollicitations seront dtermines sur la ligne moyenne dforme priori inconnue. tude dune poutre bi-articule

2.2. Dtermination des sollicitationsInitialement la poutre AB non charge est droite.

Appliquons en B un effort normal de compressionr rN N x= .

avec N > 0 , lquilibre statique exige que laction de contact en Asoit rN . Le centre de gravit ( )G x de la section droite ( ) xvient en ( )G x' , la section droite devient ( )' x .

Soit ( ) ( ) ( )r rU x G x G x= ' le dplacement( ) ( ) ( )r r rU x U x x U x yx y= +

Nous ne connaissons pas priori la configuration de la structuredforme, cependant nous allons calculer les sollicitations en ( )G x'sur la ligne moyenne dforme.

En ( )G x' nous allons associer un repre local mobile sedplaant avec la section droite : ( )( )G x x y z' , 1 1 1

x

y z

(x)x

y z

'(x)

A

B

G(x) G'(x)

-N x

B'

A A'

L

effort normal : N N1 = .coseffort tranchant : V Ny1 = .sinmoment de flexion : ( )M N U xz y1 = . petit : 1cos ; sintanMz1 est appel moment du second ordre externe d la force extrieurerN de compression applique en B. Ce moment est aussi appel moteurcar cest lui qui est lorigine du flambement (flexion) de la poutre. Nousconnaissons la relation suivante consquence de lhypothse de Navier-Bernoulli (les sections initialement droites restent droites)Nous allons utiliser lhypothse suivante : les dformations sont petites

( )U xy' est petit : ( ) = tanx'U y , do la relation que nous avonsutilise en RDM.

( ) ( )M xEI R

U xzGz

y1 1= "

De plus N N1 ; ( )V N N N U xy y1 = .sin . . ' En utilisant lexpression

( ) ( )M xEI R

U xzGz

y1 1= " et en explicitant le

moment de flexion, nous obtenons lquation diffrentielle classique dusecond ordre

x

y z

'(x) G'(x)

G(x)U(x)-N x

x1

y1

z z1


( ) ( )U x N U xEIy

y

Gz"

.=

2.3. La rsolution de cette quation diffrentielle donne une solution gnrale de laforme

Cette expression est une quation diffrentielle : ( ) ( )U x U x NEIy y Gz" + = = 2 20

( )U x A x B xy = +.cos .sin conditions aux limites

au niveau de larticulation A : ( )U Ay 0 0 0= =au niveau de lappui simple bilatral B : ( )U L B L L n n INy = = = 0 0.sin

pour n LNEI L

K

Gz= = =

1

2

N EILK

Gz= 2

2

quation de la ligne moyenne dforme : ( )U x BL

xy = .sin avec B inconnu, B reprsente la flchemaximum dans la section mdiane

x

y z

-N x

x

y z

-N x

x

y z

-N x

n=2 N = 2NKn=1 N = NK n=3 N = 3NK

Pour n = 2 , leffort normalcorrespondant est 2N K et lquationde la ligne moyenne dforme :

( )U x BL

xy2 2= .sin de mme pour n = 3 , leffort normalcorrespondant est 3N K et lquationde la ligne moyenne dforme :

( )U x BL

xy3 3= .sin . La configuration critique n = 1 seraatteinte en premier, cest elle qui doittre considre.


NEILK

Gz= 2

2 est appele charge critique dEuler,

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

z

Gz

Gz

Gz

GzGzK

E

iLAE

LAEi

AILAE

ALAEI

LEI

N =

==

===

avec zGz

Li

= z est appel lancement , iIAGzGz= rayon de giration.

Af y

N

2

2

EAN k =

9931 ,fE

y

==

Pour le matriau acier

Lintersection de la courbedfinissant kN en fonction dellancement avec la droite

AfN y= correspond unebifurcation dquilibre. Ce pointcorrespond un lancement ditEulrien

993235

2100001 ,f

Ey

===

Nous pouvons interprter ce diagramme de la faon suivante

Lorsque 1 < le flambement nest pas craindre et la ruine survient pour yf= celacorrespond une plastification de la section droite.

Lorsque 1 > il y a ruine par flambement ds que 22

EANN k == .

2.4. Calcul de la charge critique dEuler suivant le type de liaisons aux extrmitsUn calcul analogue au prcdent donne les valeurs suivantes de la charge critique dEuler N K pour

diffrentes conditions aux appuis.

NEI

LKGz

kz=

2

2

L kz est appele longueur de flambement note l dans leurocode 3 L K Lkz z= .


Kz coefficient reprsentant les conditions dappuis

AI

iiLEAN GzGz

Gz

kzzk ===

2

2

Tableau donnant les diffrentes longueurs de flambement pour quelques cas courants.

L =

N

Lk

2 articulations

K

L Lz

kz

==1

L

N

Lk 1 articulation1 encastrement

L,L

,K

kz

z

70

7022

==

L

N

Lk une articulation et un encastrementlastique

LLL,

K

kz

z


LN

Lk 2 encastrements avec possibilit dedplacement relatifsperpendiculairement la ligne

moyenne initiale

K

L Lz

kz

==1

LN

Lk = 2L console : 1 encastrement parfait etune extrmit libre

K

L Lz

kz

==2

2

L

N

Lk > 2L un encastrement lastique et uneextrmit libre

K

L Lz

kz

>>2

2


2.5. Dtermination de llancement maximum

x

y z

-N x

L

Lky

x

zy

h

z

yx

h

b

zx

y

-N x

Lkz

by

z z

Les liaisons peuvent tre diffrentessuivant le plan considr. Prenonslexemple ci-contre :

Dans le plan xz, les appuis sont desarticulations

Kz = 1 L Lkz =

AI

iiL

iL Gz

GzGzGz

kzz ===

Dans le plan xy, les appuis sont desencastrements

50,K y = L,L ky 50=

AI

iiL

iL Gy

GyGyGy

kyy === 2

NEA

K = 2

2

avec ( ) = min ,z ySi nous avions simultanment L k max et imin ,il serait inutile de dterminer llancementdans les 2 plans. Il suffirait dtudier leflambement dans le plan pour lequelllancement est maximum.Gnralement cest le plan perpendiculaire laxe pour lequel nous avons linertieminimum.

Pour la situation ci-contre, nous ne pouvonspas priori dfinir le plan de flambement(plan dans lequel la poutre va se dplacer). Ilfaut donc calcules les 2 lancements etconsidrer celui qui est le plus grand.

Si II

ii

GyGz

GyGz< y z le flambement se produira dansle plan xy (fig. droite)


3. REALITE DU PHENOMENE DU FLAMBEMENT

3.1. Dfaut de rectitudehypothses :

matriau lastique linaire, charge centre, poutre bi-articule (autour de laxe Gz) sections droitesnon volutives, petites dformations.

Lordonne initiale de la ligne moyenne peut tre reprsente par lquation

( ) ( ) ( )U x e xL

U U L UL

ey y y y0 0 0 0 0 00 0 2= = =

=sin

x

y z

Lkz

x

y z

-N x

Lkz

L

Uy0Uy0Uy1

Uy(x)

e0

Soit ( ) ( ) ( )U x U x U xy y y= +0 1 lquation de laligne dforme

On montre que ( ) ( )U x U x NN Ny y KK= 0 .

NN N

K

K apparat comme un coefficientamplificateur de la dformation initiale de lapoutre.

avec NEI

LEA

KGz

kz z= =

2

2

2

2 N > 0

UL

e Ky 2 0

= . ' K

NN N

K

K' =

ML

K e Nz 2 0

= '


3.2. Dfaut de centrage de leffort normalhypothses :

matriau lastique linaire, charge centre, poutre bi-articule (autour de laxe Gz) sections droitesnon volutives, petites dformations.

Considrons un dfaut de centrage de leffort normal : soit e0 sa valeur., N lintensit de leffortnormal 0>N .

x

y z

Lkz

x

y z

-N x

Lkz

L

Uy(x)

e0

Uy(L/2)

-N x

e0Uy1

( ) ( )U x e U xy y= +0 1On montre que

UL e

NN

e Ky

K

22

00

=

=cos

. "

KN

N K

"cos

=

1

2

ML

K e Nz 2 0

= "

NEI

LEA

KGz

kz z= =

2

2

2

2

K

NNk

10

4

110.5

7 K"K'

U Comparaison des coefficients amplificateurs

KN

N NK

K' = K N

N K

"cos

=

1

2

On peut remarquer que

K K' "

nous utiliserons la valeur de KN

N NK

K= pour les deux types

de dfauts


4. FORMULATION PRATIQUE DU PHENOMENE DE FLAMBEMENTCe phnomne apparat uniquement lorsquil existe un effort normal de compression associ ou non avec un moment de flexion(moment du premier ordre d aux charges appliques sur la poutre). Ici nous considrons le cas le plus simple ou la poutre est uniquement comprime. En adoptant comme critre de ruine latteinte de la limite dlasticit yf sur la fibre la plus sollicite, en utilisant lexpression dela contrainte normale en flexion compose on obtient lexpression de la contrainte max. sur le fibre extrme la plus comprime.

yIM

AN

Gz

z= ; Cest le moment du second ordre (dtermination sur la ligne moyenne dforme)

NeNN

NNe'KLMMk

kzmaxz 002 ==

= en posant 0>N , N : intensit de leffort normal

NNN'K

k

k

= est le coef. damplification d aux dfautscrivons que la contrainte max. est gale la limite lastique (elle est ngative car cest une compression)

( ) yGz

k

k

Gz

zmax f

'vI

NeNN

N

AN'v

IM

AN =

+==

0

yGz

k

k

f

'vI

NeNN

N

AN =

+

0

; Af

'vI

AeNNN

NN yGzk

k =

+0 ;

[ ]NAf'v

IAeN

NNN

yGzk

k =

0 ; [ ][ ]

='v

IAeNNNNNAf

Gzkky

0

Expression de llancement Eulrien yf

E =1 , Effort normal critique dEuler 22

EANk =

2

2

12

2 1

=

==

yy

k

fE

AfN

; NAf

N

y

= ;

[ ]

=

'v

IAeNNN

Gz

022

111 ; [ ][ ] =

'vI

AeNNNGz

0211

[ ][ ] NNN = 211 ; Le paramtre

='v

IAe

Gz

0 reprsente les imperfections de la poutre ; ( )20,= ;

quation du second degr en N : [ ][ ] ( )2011 2 ,NNN = ;Rsolution et reprsentation graphique 0= imperfections nulles, poutre idalise[ ][ ] 011 2 = NN


[ ] 01 = N 1= N AfN y= coulement plastique, 01 2 ; 1 , la rsolution de lquation du second degr en N : [ ][ ] ( )2011 2 ,NNN = donne :

( )[ ] 01201 222 =+++ N,N 01222 =+ NN avec ( )[ ]220121 ++= ,

( )224 = si 0> le produit et le somme des racines sont positifs, les 2 racines sont positives 2 22 , onretiendra la plus petite des racines de cette quation

( )[ ]22 2222 201211 ++==+== ,NLe rglement retient la valeur de

22

1 +=

tude du signe du discriminant ( ) ( ) ( )[ ]2222 121 ++= avec ( )20,= , 0> ; est une quationdu second degr en 2 , son discriminant ' est toujours ngatif : ( ) ( ) 0161414 22


5. APPLICATION A Leurocode 3 : FLAMBEMENT DES ELEMENTS COMPRIMES

5.1. Critre de rsistance au flambementSi l'lancement rduit 20, , le risque de flambement d'un lment comprim n'est pas considrer.Si 20, , on doit vrifier pour tous les modes de flambement :

1M

yARd.bSd

AfNN

= indice b : buckling = flambemento est le coefficient de rduction pour le mode de flambement considrer

1=A pour les sections de classe 1, 2 ou 3A/AeffA = pour les sections de classe 4

111 ,M = est le coefficient partiel de scurit sur les rsistances aux instabilits5.2. Longueur de flambement l

La longueur de flambement d'un lment comprim est la longueur d'un lment bi-articul (extrmits maintenuesvis--vis du mouvement latral, mais libres de tourner), par ailleurs similaire, ayant la mme rsistance auflambement.

Longueur de flambement dans quelques cas simples avec des liaisons parfaitesConditions d'appuis

Longueur de flambement lSans dplacement des extrmits (nuds fixes)

N

L = l L

N

Ll L,70

N

Ll L,50

Avec libert de dplacement aux extrmits (nuds dplaables)

NL

L2

NL = l

L

5.3. lancement rduit = 1 A o i

l= est l'lancement pour le mode de flambement considravec l est la longueur de flambement dans plan considr

i est le rayon de giration suivant l'axe concern, dtermin partir descaractristiques brutes de la section

9931 ,fE

y

== est l'lancement Eulrien

avecyf

235= (= 1 pour l'acier S235)

EC3 : 5.5.1.1

EC3 : Annexe E


1=A pour les sections de classe 1, 2 ou 3 ; A/AeffA = pour les sections de classe 45.4. Choix de la courbe de flambement

Choix de la courbe de flambement correspondant une sectionType de section Limites Axe de

flambementCourbe deflambement

Sections en Ilamines

21,b/h > 40ft y-yz-z

ab

10040 < ft y-yz-z

bc

21,b/h 100ft y-yz-z

bc

100>ft y-yz-z

dd

Sections en I soudes 40ft y-yz-z

bc

40>ft y-yz-z

cd

Sections creuses lamines chaud quel qu'il soit alamines froid en utilisant la limite lastique de base

de la tle mrequel qu'il soit b

en utilisant la limite lastiquemoyenne de l'lment aprs formage

quel qu'il soit c

Caissons souds d'une manire gnrale (sauf ci-dessous) quel qu'il soit bsoudures paisses et 30


peut aussi tre dtermin l'aide du tableau suivant :Tableau 5.5.2 : Coefficient de rduction

Courbe de flambementa b c d

0,2 1,0000 1,0000 1,0000 1,00000,3 0,9775 0,9641 0,9491 0,92350,4 0,9528 0,9261 0,8973 0,85040,5 0,9243 0,8842 0,8430 0,77930,6 0,8900 0,8371 0,7854 0,71000,7 0,8477 0,7837 0,7247 0,64310,8 0,7957 0,7245 0,6622 0,57970,9 0,7339 0,6612 0,5998 0,52081,0 0,6656 0,5970 0,5399 0,46711,1 0,5960 0,5352 0,4842 0,41891,2 0,5300 0,4781 0,4338 0,37621,3 0,4703 0,4269 0,3888 0,33851,4 0,4179 0,3817 0,3492 0,30551,5 0,3724 0,3422 0,3145 0,27661,6 0,3332 0,3079 0,2842 0,25121,7 0,2994 0,2781 0,2577 0,22891,8 0,2702 0,2521 0,2345 0,20931,9 0,2449 0,2294 0,2141 0,19202,0 0,2229 0,2095 0,1962 0,17662,1 0,2036 0,1920 0,1803 0,16302,2 0,1867 0,1765 0,1662 0,15082,3 0,1717 0,1628 0,1537 0,13992,4 0,1585 0,1506 0,1425 0,13022,5 0,1467 0,1397 0,1325 0,12142,6 0,1362 0,1299 0,1234 0,11342,7 0,1267 0,1211 0,1153 0,10622,8 0,1182 0,1132 0,1079 0,09972,9 0,1105 0,1060 0,1012 0,09373,0 0,1036 0,0994 0,0951 0,0882

GENERALITESFLAMBEMENT DES POUTRES DROITESHypothsesDtermination des sollicitationsLa rsolution de cette quation diffrentielle donne une solCalcul de la charge critique dEuler suivant le type de liaiDtermination de llancement maximum

REALITE DU PHENOMENE DU FLAMBEMENTDfaut de rectitudeDfaut de centrage de leffort normal

FORMULATION PRATIQUE DU PHENOMENE DE FLAMBEMENTAPPLICATION A Leurocode 3: FLAMBEMENT DES ELEMENTS COMPRIMCritre de rsistance au flambementLongueur de flambementLongueur de flambement dans quelques cas simples avec des li

lancement rduitChoix de la courbe de flambementCoefficient de rduction

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