Filtre de Kalman
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1
Filtre de Kalman – Préliminaires (1)
Théorème
Soient et deux vecteurs aléatoires tels que
est de distribution multinormale de moyenne
et de variance . Alors, la densité de probabilité
conditionnelle ( | ) es
T
p
1
1|
t également gaussienne et sa
moyenne et sa variance sont respectivement données par
ˆ ( )
T
2
Filtre de Kalman – Préliminaires (2)
Estimateur à variance minimale
Estimer constante, a, telle que
est minimale
Résultat:
En effet:
2 2
( ) ( ) ( )E x a x a f x dx
(où x variable aléatoire de densité de probabilité f(x))
( ) ( )a E x xf x dx
22 2
2
2
2 2 0
( )
( )
E x a a aE x E x
E x a a E x a E xa
3
Filtre de Kalman – Préliminaires (3)
Meilleur estimateur non linéaire de la variable x en termes de y
y et x deux variables aléatoires; densité de probabilité conjointe f(x,y).
Estimer x par une fonction g(y) de sorte que
est minimale
Résultat:
2 2
( ) ( ) ( , ) E x g y x g y f x y dx dy
( ) |g y E x y
4
Filtre de Kalman – Préliminaires (4)
Démonstration
2 2
2
( , ) ( | ) ( )
E x-g(y) ( ) ( ) ( | )
Intégrant positif ou nul il suffit de minimiser
( ) ( | )
pour tout y pour minimiser l'intégrale double.
Par similitude a g(
f x y f x y f y
f y x g y f x y dx dy
x g y f x y dx
y) et donc g(y)=E(x|y)
5
Filtre de Kalman – Modèle et hypothèses (1) Système décrit par modèle en variables d’état
1
0 0
0
0
T T
T Tkm
0
x(k ) Ax(k) Bu(k) (k)
y(k) Cx(k) Du(k) (k)
Sans perte de généralité, on peut considérer D=0.
E (m) (m)
(k) QE (m) (m)
(k) R
Etat initial x(0) de moyenne x et de varian
0ce
Si en outre toutes les suites et vecteurs aléatoires sont
de distribution gaussienne, alors x(k) et y(k) sont des
suites aléatoires gaussiennes
6
Filtre de Kalman – Formulation du problème Problème:
Déterminer l’estimateur de variance minimale de l’état à l’instant k étant donné les mesures jusqu’à l’instant k-1, c-à-d tel que
x̂(k)
1
1
Tk F
F
k
ˆ ˆ(k) E (x(k) x(k))(x(k) x(k)) | Y
où est la variance de l'erreur donnée par tout autre
estimateur.
Par extension du résultat du préliminaire,
ˆ x(k) E x(k) | Y
Critère d'optimali
1T
k
té équivalent
ˆ ˆ tr( (k)) E (x(k) x(k)) (x(k) x(k)) | Y
7
Filtre de Kalman
Considérons le modèle en variables d’état ci-dessus et définissons
1 1 kx̂(k ) E x(k ) | Y
0
1
1
0
T T
T
k
ˆ ˆ ˆ ˆx(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+K(k) y(k)-Cx(k) x( ) x
où K(k) gain du filtre donné par
K(k) A (k)C C (k)C R
dans lequel (k) est la variance de l'erreur
ˆ ˆd'estimation d'état (k) E x(k)-x(k) x(k)-x(k) | Y
1
0
1
0
T T T T
Elle vérifie la récurrence suivante
(k ) A (k)A Q A (k)C C (k)C R C (k)A
( )
8
Filtre de Kalman – Démonstration(1)
Equations d’état du système
1
1 0
0 0
1
1 1
1x
ky
x(k)x(k ) A I B
(k) u(k)y(k) C I
(k)
x(k )Distribution multinormale de caractérisée par
y(k)
- moyenne
(k ) x(k ) AE Y = E x(k)|Y
(k ) y(k) C
k-1
B+ u(k)
0
(du fait que (k) et (k) de moyenne nulle et u(k) déterministe)
9
Filtre de Kalman – Démonstration (2)
- Variance
1 11 1
Tx Tx y
y
T T
T T
T T
x(k ) (k )E (x(k ) (k )) y(k) (k)
y(k) (k)
(k) 0 0 A CA I 0
= 0 Q 0 I 0C 0 I
0 0 R 0 I
A (k)A Q A (k)C =
C (k)A C (k)C R
où
1T
kˆ ˆ (k)=E x(k)-x(k) x(k)-x(k) | Y
10
Filtre de Kalman – Démonstration (3)
Par application du théorème (Préliminaire (1))
- Moyenne
1 1
1
k
k
ˆavec =x(k+1) et y(k), on déduit E(x(k ) | Y ) x(k ),
ainsi que la variance de l'erreur d'estimation étant donné Y ,
(k ).
1
1
1
T T
ˆ ˆx(k ) Ax(k) Bu(k)
ˆ A (k)C (C (k)C R) y(k) Cx(k)
11
Filtre de Kalman – Démonstration (4)
- Variance
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1 1
1 1
Tx x k
T
x y k
T
y y k
T
x y k
(k ) E x(k ) (k ) x(k ) (k ) | Y
+E x(k ) (k ) y(k) (k) | Y
E y(k) (k) y(k) (k) | Y
E x(k ) (k ) y(k) (k) | Y
1
T
T T T T
soit
(k+1)=A (k)A Q A (k)C C (k)C R C (k)A
12
Filtre de Kalman - Innovation
Prédiction de y(k)
Innovation
1k
e
ˆ ˆy(k) E y(k) | Y Cx(k)
ˆpartie de la k mesure qui peut etre prédite à l'aide
d'une fonction linéaire des observations passées
1 1
e
TT T Tk k
nouvelle information apportée par la k mesure
r(k) de moyenne nulle et r(k) indépendant de r(j) pour k j
ˆ ˆE r(k)r(k) | Y C E x(k)-x(k) x(k)-x(k) | Y C E (k) (k)
T C (k)C R
distribution de r(k) normale (si et gaussiens) entièrement caractérisée
ˆr(k) y(k) y(k)
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Filtre de Kalman permanent (1)
Sous conditions données à la page suivante,
Filtre prend la forme
10T T T T
(k) et K(k) tendent vers matrices constantes quand k .
Limite de la suite des (k) vérifie équation de Riccati algébrique
A A A C C C R C A Q (ERA)
1
1
1
0
s
s s
T Ts s s s
ˆ ˆ ˆx(k ) Ax(k) Bu(k) K (y(k) Cx(k))
soit
ˆ ˆx(k ) A K C x(k) Bu(k) K y(k)
avec K =A C C C R et solution de ERA
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Filtre de Kalman permanent (2)
Théorème
Soit L tel que . Si les 3 conditions suivantes
sont remplies:
1) (A,L) stabilisable
2) (C,A) détectable
3)
Alors
TQ LL
0 0
sk
sk
s
s s
lim (k) (convergence exponentielle)
lim K(k)=K (convergence exponentielle)
avec solution stabilisante de ERA, c-à-d valeurs
propres de A-K C à l'intérieur du cercle unité ( réelle,
symétrique, 0).
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Filtre de Kalman permanent (3)
Variance de l’erreur d’estimation minimisée
asymptotiquement, c-à-d
T
kˆ ˆlim E x(k) x(k) x(k) x(k) minimale
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Filtre de Kalman – Défaut présent (1)
Equations système supervisé + filtre de Kalman en présence d’un défaut
En l’absence de défaut, solution
1 0
1
x(k ) A x(k) Bu(k)
ˆ ˆx(k ) K(k)C A K(k)C x(k) B
E (k) f(k)
K(k)F K(k) (k)
x(k)r(k) C C Ff(k) (k)
x̂(k)
0r(k) r (k)
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Filtre de Kalman – Défaut présent (2)
Donc L (r(k))=N (
0 k k
0 0
Défaut de type f(k)=f 1
r(k)=r (k)+ (k,k )f
par la linéarité du système
0T(k,k )f ,C (k)C R)
18
Bibliographie
G.C. Goodwin et K.S. Sin. Adaptive filtering, prediction and control. Prentice-Hall, 1984
A. Papoulis. Probability, random variables and stochastic processes. McGraw Hill, 1965
R.S. Mangoubi. Robust estimation and failure detection: a concise treatment
Springer 1998